9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 180

Las figuras geométricas surgen como una idealización de las formas y es-tructuras observables en la naturaleza. Una de las creaciones humanasdonde mejor se aprecia esta inspiración es la arquitectura. Gaudí imitólas parábolas que trazan los surtidores de agua. También las circunferen-cias son muy frecuentes, tanto en la naturaleza como en la arquitectura.

1 Mira a tu alrededor y encuentra objetos creados por el hombre o elementos dela naturaleza que tengan las formas geométricas siguientes:a) Polígonos. b)Circunferencias. c) Parábolas. d)Elipses.

Respuesta libre. Por ejemplo:

Parábolas: La trayectoria que sigue cualquier objeto que lanzamos y dejamos caer.

Elipses: La línea que marca la superficie del agua que hay en un vaso medio lleno.

Un corte oblicuo en una barra de chorizo.

PÁGINA 181

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 En un decágono regular (10 lados), calcula la suma de todos sus ángulos, y lasamplitudes de uno de sus ángulos y de su ángulo central.

Suma total: 180° · 8 = 1 440°

Un ángulo: = 144°

Ángulo central: = 36°

2 Determina un triángulo rectángulo y nombra sus lados en cada figura.

d /2 y d'/2

c /2

h h

a r

r r

t

d d

l l

l /2b-b' b-b'—

2

144°

36°360°10

1 440°10

Pág. 1

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 182

1 Di cuáles de los ángulos ìA,

ìB,

ìC,

ìD,

ìE y

ìF están inscritos en la correspondien-

te circunferencia.

Están inscritos en la circunferencia los ángulos ìA,

ìF y

ìD, ya que son los únicos

que tienen el vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.

2 Di, razonadamente, el valor de estos ángulos:

ìFAC,

ìACF,

ìAFC,

ìFBD,

ìBDE,

ìDEF,

ìBFE

La circunferencia está dividida en 6 arcos iguales. La medida de cada uno de ellos es

= 60°.

ìFAC = = 90°

ìACF = = 30°

ìAFC = = 60°

ìFBD = = 60°

ìBDE = = 90°

ìDEF = = 120°

ìBFE = = 90°

PÁGINA 1833 ¿Cuál es la medida angular de cada uno de los ocho

arcos iguales en que se ha dividido la circunferencia?

Di el valor de los ángulos ìABC,

ìACB,

ìFDE,

ìDEF,

ìDFG,

ìFGD.

La medida angular de cada uno de los ocho arcos iguales en que se ha dividido la

circunferencia es = 45°.

ìABC = = 45°

ìDFG = = 90°

ìACB = = 90°

ìFDE = = 22° 30'

ìFGD = = 67° 30'

ìDEF = = 112° 30'5 · 45°

23 · 45°

245°2

4 · 45°2

4 · 45°2

2 · 45°2

360°8

A B

C

F

G

D

E

3 · 60°2

4 · 60°2

3 · 60°2

2 · 60°2

2 · 60°2

60°2

3 · 60°2

360°6

A

B

C

D

E

F

Aì

Bì

Cì

Dì

EìFì

Pág. 2

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

4 Halla:

a)ìCAD = ➀ b)

ìADB = ➁ c)

ìADV d)

ìAVD = a

a)ìCAD = ➀ = = 20°

b)ìADB = ➁ = = 50°

c)ìADV = 180° – ➁ = 180° – 50° = 130°

d)ìAVD = 180° – ➀ – 130° = 180° – 20° – 130° = 30°

5 ¿Cuál es la medida angular de cada uno de los diez ar-cos iguales? Halla el valor de los ángulosìCAB,

ìABC,

ìBCA,

ìCAD,

ìADC,

ìACD.

La medida angular de cada uno de los diez arcos iguales en que se ha dividido la cir-

cunferencia es = 36°.

ìCAB = = 18°

ìCAD = = 54°

ìABC = = 90°

ìADC = = 90°

ìBCA = = 72°

ìACD = = 36°

6 Halla:

a)ìCBD = ➀ b)

ìADB = ➁ c)

ìBVD d)

ìAVB = a

aV

B

AC

D

100°40°

AB = 100°

CD = 40°

21

2 · 36°2

4 · 36°2

180°2

180°2

3 · 36°2

36°2

360°10

A

B

C

D

100°2

40°2

a V

B

AC

D AB = 100°

CD = 40°

2100°40°

1

Pág. 3

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

a)ìCBD = ➀ = = 20° b)

ìADB = ➁ = = 50°

c)ìBVD = 180° – ➀ – ➁ = 180° – 20° – 50° = 110°

d)ìAVB = a = 180° – 110° = 70°

PÁGINA 185

1 a) Midiendo sobre el plano del problema resuelto de la página anterior, di cuálesson las distancias reales entre A y C y entre A y F.

b) Si la distancia real entre dos lugares de este mismo plano fuera de 12 km, ¿a quédistancia estarían en el plano?

a) En el plano, midiendo, obtenemos —AC = 3 cm,

—AF = 8,9 cm. Por tanto, en la

realidad la distancia de A a C es 3 cm Ò 200 000 = 600 000 cm = 6 km, y ladistancia de A a F es 8,9 cm Ò 200 000 = 17,8 km.

b) 12 km en la realidad corresponden a = = 6 cm.

2 Construye un plano de tu habitación a escala 1:100.

Respuesta individual.

3 Descompón en triángulos las figuras siguientes, de manera que, para probar sison o no semejantes, reduzcamos el problema a la semajanza de triángulos:

PÁGINA 187

1 Prueba que los polígonos de la actividad 3 de la página 185 son semejantes.

Se comprueba que y tienen dos ángulos respectivamente iguales.

Análogamente, en y y en y .3'32'2

1'1

3'2'

1'3

21

1 200 000 cm200 000

12 km200 000

100°2

40°2

Pág. 4

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2 Repite el razonamiento del ejercicio resuelto 2. Si el lado del pentágono mide 12 cm,¿cuánto mide su diagonal?

= 8 d 2 – 12d = 144 8 d = 6 + 6 = 19,4 cm

PÁGINA 188

1 En los siguientes triángulos rectángulos, se dan dos catetos y se pide la hipotenu-sa (si su medida no es exacta, dala con una cifra decimal):

a) 37 cm y 45 cm b) 16 cm y 30 cm

a = hipotenusa

a) a = = ≈ 58,3 cm b) a = = = 34 cm

2 En los siguientes triángulos rectángulos, se da la hipotenusa y un cateto, y se pideel otro cateto (exactamente o con una cifra decimal):

a) 45 cm y 37 cm b) 39 cm y 15 cm

c = cateto que falta

a) c = = ≈ 25,6 cm b) c = = = 36 cm

PÁGINA 189

3 De un rombo conocemos una diagonal, 24 cm, y el lado, 13 cm. Halla la otra dia-gonal.

x = = = 5 cm

La otra diagonal mide 2 · 5 = 10 cm. 24 cm

13 cm

x

12 c

m√25√132 – 122

√1 296√392 – 152√656√452 – 372

√1 156√162 + 302√3 394√372 + 452

√512d – 12

d12

d – 12dd

12

12

12

E

A

A A

E

D

B CB

D

C

1 1'

2'

2

Pág. 5

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

4 Una circunferencia tiene un radio de 15 cm. Una recta, r, corta a la circunferen-cia en dos puntos, A y B. La distancia entre A y B es de 18 cm. ¿Cuál es ladistancia del centro de la circunferencia a la recta?

d = = = 12 cm

La distancia del centro de la circunferencia a la recta es 12 cm.

5 Averigua cómo son los triángulos de lados:

a) 7 cm, 8 cm, 11 cm b) 11 cm, 17 cm, 15 cm

c) 34 m, 16 m, 30 m d) 65 m, 72 m, 97 m

a) 72 + 82 = 113; 112 = 121

Como 112 > 72 + 82, entonces el triángulo es obtusángulo.

b) 112 + 152 = 346; 172 = 289

Como 172 < 112 + 152, entonces el triángulo es acutángulo.

c) 162 + 302 = 1 156; 342 = 1 156

Como 342 = 162 + 302, entonces el triángulo es rectángulo.

d) 652 + 722 = 9 409; 972 = 9 409

Como 972 = 652 + 722, entonces el triángulo es rectángulo.

6 Halla el radio de la circunferencia sabiendo que:—OP = 39 cm —PT = 36 cm

r = = = 15 cm

7 r1 = 15 cm, r2 = 6 cm, —O1O2 = 41 cm

Halla la longitud del segmento T1T2.

La longitud del segmento T1T2 es igual que x :

x = = = 40 cm9 cm

41 cm

T1

x T2

O1

r2

O2√1 600√412 – 92

T1

T2

O1

r1

r2

O2

√225√392 – 362

OP

T

15 cm

18 c

m9 cm

A

d

B

√144√152 – 92

Pág. 6

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 190

1 Averigua si el triángulo de lados 29 cm, 35 cm y 48 cm es rectángulo, acutángu-lo u obtusángulo. Halla la longitud de la altura sobre el lado mayor.

292 + 352 = 2 066; 482 = 2 304

Como 482 > 292 + 352, el triángulo es obtusángulo.

Aplicamos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos:

Restando: x2 – (48 – x)2 = 292 – 352

Se resuelve la ecuación y se obtiene x = 20 cm.

Calculamos h:

202 + h2 = 292 8 h = 21 cm

La altura sobre el lado mayor mide 21 cm.

2 Los lados de un trapecio miden 13 m, 20 m, 19 m y 40 m, respectivamente. Losdos últimos son paralelos. Halla la altura del trapecio.

Aplicamos el teorema de Pitágoras enlos dos triángulos rectángulos:

Restando: x2 – (21 – x)2 = 132 – 202

Se resuelve la ecuación y se obtiene x = 5 m.

Ahora se obtiene el valor de a: a2 + 52 = 132 8 a = 12 m

La altura del trapecio mide 12 m.

PÁGINA 191

1 Define como lugar geométrico una circunferencia de centro C y radio 8 cm.

La circunferencia de centro C y radio 8 cm es el lugar geométrico de los puntos Pcuya distancia a C es 8 cm:

—CP = 8 cm

40 m

19 m

20 m13 m

21 – xx

a a °¢£

a2 + x2 = 132

a2 + (21 – x)2 = 202

°¢£

x2 + h2 = 292

(48 – x)2 + h2 = 352

48 cm

35 cm29 cm

48 – xx

h

Pág. 7

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2 Dadas dos rectas paralelas, r y s, ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos queequidistan de ambas? Dibújalo.

La recta t es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas r y s.

A la recta t se la llama paralela media a r y s

3 Dibuja en negro una recta r. Dibuja en rojo el lugar geométrico de los puntoscuya distancia a r es 1 cm. (ATENCIÓN: son dos rectas).

4 Dibuja una semicircunferencia de diámetro AB. Defínela como lugar geométri-co (arco capaz de 90°).

La semicircunferencia de diámetro AB (el arco rojo) es el lugar geométrico de lospuntos desde los cuales se ve el segmento AB bajo un ángulo de 90°. Se llama arcocapaz de 90° para el segmento AB.

A B

90°

r

1 cm

1 cm

d /2

d

r

s

t

Pág. 8

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 193

1 Toma una trama como la del ejercicio resuelto 1 (puedes sacarla del CD-ROM) y di-buja en ella:

a) Dos elipses con d = 14 y d = 24. b) Dos hipérbolas con d = 8 y d = 4.

F F'

F F'

Pág. 9

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2 Toma una trama como la del ejercicio resuelto 2 (puedes sacarla del CD-ROM) y di-buja en ella:

a) Una parábola de foco F y directriz d2.

b) Una parábola de foco F y direcctriz d3.

PÁGINA 194

1 Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 10 m, 17 m y 21 m.

Aplicamos la fórmula de Herón:

Perímetro = p = 10 + 17 + 21 = 48 m; s = = 24 m

A = = = 84 m2√7 056√24 · (24 – 10) · (24 – 17) · (24 – 21)

482

F

d3d2

Pág. 10

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9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2 Halla el área del hexágono regular en el que cada uno de sus lados mide 10 cm.

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la apo-tema.

ap = = ≈ 8,66 cm

A = = 259,8 cm2

3 Halla el área de un rombo de lado 3 dm, sabiendo que una diagonal mide 46 cm.

Lado = 3 dm = 30 cm

x = = ≈ 19,26 cm

La otra diagonal mide 2 · 19,26 = 38,52 cm

A = = 885,96 cm2

4 Dos de los lados de un triángulo isósceles miden 30 cm y 13 cm. Halla su área.

Los lados iguales del triángulo isósceles miden 30 cm, y elotro lado, 10 cm.

No puede ser de otra forma, porque si los lados iguales mi-den 10 cm el otro no podría medir 30 cm.

(10 + 10 = 20 < 30).

Aplicamos la fórmula de Herón:

p = 30 · 2 + 10 = 70 cm

s = 35 cm

A = ≈ 147,9 cm2

PÁGINA 195

1 Halla el área de la parte coloreada en las figuras siguientes:

10 cm

6 cm

a) b)

4 cm120°

6 cm

c) d)

√35(35 – 30)2 · (35 – 10)

30 cm30 cm

10 cm

x

23 c

m 30 cm

46 · 38,522

√371√302 – 232

ap

10 cm

10 cm

5 cm

10 · 6 · 8,662

√75√102 – 52

Pág. 11

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

a) ACÍRCULO GRANDE

= π · 52 ≈ 78,54 cm2

ACÍRCULO PEQUEÑO

= π · 12 ≈ 3,14 cm2

AELIPSE

= π · 5 · 3 ≈ 47,12 cm2

APARTE COLOREADA

= 78,54 – 2 · 3,14 – 47,12 = 25,14 cm2

b) APARTE COLOREADA

= – ≈ 20,94 cm2

c) APARTE COLOREADA

= · 6 · 9 = 36 u2

d) ATRIÁNGULO

= = 13,5 u2

ASECTOR PARÁBOLA

= 36 u2 (según el ejercicio anterior)

APARTE COLOREADA

= – ATRIÁNGULO

=

= – 13,5 = 4,5 u2

3 u

9 u

362

ASECTOR PARÁBOLA

2

3 · 92

23

π · 42 · 120°360°

π · 62 · 120°360°

5 cm

3 cm

1 cm

Pág. 12

Unidad 9. Problemas métricos en el plano