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5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema – 12: E 12: E 12: E 12: EL L HORRIBLE NÚMERO 2011 HORRIBLE NÚMERO 2011 HORRIBLE NÚMERO 2011 HORRIBLE NÚMERO 2011. Si que existen números que, a la vez, son divisibles por 2011 y sus cifras suman 2011. Como muestra, aquí te construimos uno. Mira: Teniendo en cuenta que: - las cifras de 2011 suman 4. - las cifras de 30165 (quince veces 2011), por ejemplo, suman 15 el número formado por 499 veces 2011 y terminado en 30165 l número formado por 499 veces 2011 y terminado en 30165 l número formado por 499 veces 2011 y terminado en 30165 l número formado por 499 veces 2011 y terminado en 30165 cumple bien nuestro propósito, pues, es claramente múltiplo de 2011 y sus cifras suman 499x4+15=2011 499 veces 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 …… …… …… …… 2011 2011 2011 2011 30165 30165 30165 30165 2011 2011 2011 2011 0 2011 1 001 …… 1 001 00015 0 …… 2011 0 3016 1005 5 0 498 veces 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema – 13: 13: 13: 13: EL PUNTO P Y EL ÁNGULO OBTUSO EL PUNTO P Y EL ÁNGULO OBTUSO EL PUNTO P Y EL ÁNGULO OBTUSO EL PUNTO P Y EL ÁNGULO OBTUSO. Desde los puntos del semicírculo de diámetro AB AB AB AB se ve ese mismo lado bajo un ángulo recto y, claramente, desde su interior bajo un ángulo obtuso (Algunos recordarán la noción de arco capaz arco capaz arco capaz arco capaz) C A B 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema – 14: 14: 14: 14: ELOCUENCIAS ELOCUENCIAS ELOCUENCIAS ELOCUENCIAS. Observando la imagen de Toni Prat, la hora que marcaría un reloj normal sería las 10 h 8 m 40 sg 10 h 8 m 40 sg 10 h 8 m 40 sg 10 h 8 m 40 sg. - Las agujas de un reloj normal, a las 10 10 10 10 h, forman un ángulo de 60º 60º 60º 60º. - Como la aguja horaria se mueve a una velocidad de 30º 30º 30º 30º a la hora, esto es, medio grado al minuto, en 8 m 8m 8m 8m 40 sg 40 sg 40 sg 40 sg habrá recorrido 4º 20’ 4º 20’ 4º 20’ 4º 20’ . - Y como la aguja del minutero se mueve a 360º a la hora, o lo que es lo mismo, 6º por minuto, en 8 m 40 8 m 40 8 m 40 8 m 40 sg sg sg sg habrá recorrido 6 x 8m 40 sg = 52º 52º 52º 52º . - En conclusión, el ángulo que forman las agujas es exactamente de 107º 40’ 107º 40’ 107º 40’ 107º 40’

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5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema –––– 12: E 12: E 12: E 12: EL LLL HORRIBLE NÚMERO 2011HORRIBLE NÚMERO 2011HORRIBLE NÚMERO 2011HORRIBLE NÚMERO 2011....Si que existen números que, a la vez, son divisibles por 2011 y sus cifras suman 2011. Como muestra, aquí te construimos uno. Mira:

Teniendo en cuenta que: - las cifras de 2011 suman 4. - las cifras de 30165 (quince veces 2011), por ejemplo, suman 15

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499 veces

2011201120112011 2011201120112011 … …… …… …… … 2011201120112011 30165301653016530165 2011201120112011

0 2011 1 001 … … 1 001 00015 0 … …

20110 3016

1005 5 0

498 veces

5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema –––– 13: 13: 13: 13: EL PUNTO P Y EL ÁNGULO OBTUSOEL PUNTO P Y EL ÁNGULO OBTUSOEL PUNTO P Y EL ÁNGULO OBTUSOEL PUNTO P Y EL ÁNGULO OBTUSO....Desde los puntos del semicírculo de diámetro ABABABAB se ve ese mismo lado bajo un ángulo recto y, claramente, desde su interior bajo un ángulo obtuso

(Algunos recordarán la noción de arco capazarco capazarco capazarco capaz)

A B

5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema 5ª Jornada: Problema –––– 14: 14: 14: 14: ELOCUENCIASELOCUENCIASELOCUENCIASELOCUENCIAS....Observando la imagen de Toni Prat, la hora que marcaría un reloj normal sería las 10 h 8 m 40 sg10 h 8 m 40 sg10 h 8 m 40 sg10 h 8 m 40 sg.

- Las agujas de un reloj normal, a las 10101010 hhhh, forman un ángulo de 60º60º60º60º.

- Como la aguja horaria se mueve a una velocidad de 30º30º30º30º a la hora, esto es, medio grado al minuto, en 8 m 8 m8 m8 m40 sg40 sg40 sg40 sg habrá recorrido 4º 20’4º 20’4º 20’4º 20’.

- Y como la aguja del minutero se mueve a 360º a la hora, o lo que es lo mismo, 6º por minuto, en 8 m 40 8 m 40 8 m 40 8 m 40 sgsgsgsg habrá recorrido 6 x 8m 40 sg = 52º52º52º52º.

- En conclusión, el ángulo que forman las agujas es exactamente de 107º 40’107º 40’107º 40’107º 40’