solucionario matemáticas II 2jgvaldemora.org/blog/matematicas/wp-content/... · Combinatoria y...

bachillerato2solucionario

matemáticas IIUNIDADES 8 - 14

8. Determinantes ............................................................................................................ 4

9. Sistemas de ecuaciones lineales .............................................................................. 46

Fin bloque II ............................................................................................................ 122

10. Vectores ................................................................................................................. 128

11. Rectas y planos en el espacio ................................................................................. 168

12. Propiedades métricas ............................................................................................. 208

Fin bloque III ........................................................................................................... 250

13. Combinatoria y probabilidad ................................................................................... 254

14. Distribuciones de probabilidad ................................................................................ 302

Fin bloque IV ........................................................................................................... 338

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque tienen alguna corrección en su

enunciado respecto del que aparece en el libro del alumno.

4 Unidad 8| Determinantes

8 Determinantes

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Ejercicio resuelto.

2. Calcula el valor de los siguientes determinantes.

a) 3 28 4

b) 2 1 35 1 00 2 6

−−−

c) 1 4 12 5 11 2 3

−

− −

a) 3 23 4 2 8 12 16 4

8 4= ⋅ − ⋅ = − = −

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 35 1 0 2 1 6 1 0 0 5 2 3 3 1 0 0 2 2 1 5 6 12 30 0 0 0 30 480 2 6

−− = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ = − + − − − = −−

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 12 5 1 1 5 3 4 1 1 2 2 1 1 5 1 1 2 1 4 2 3 15 4 4 5 2 24 121 2 3

−= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = − + − + − = −

− −

3. Dada la matriz = −

2 3 00 1 21 0 2

M halla 23 32 12, y A A A .

( )2 323

2 31 1 3 3

1 0A += − = − ⋅ = −

− ( )3 2

322 0

1 1 4 40 2

A += − = − ⋅ = − ( )1 212

0 21 1 2 2

1 2A += − = − ⋅ = −

−

4. Calcula el valor de los siguientes determinantes, utilizando sucesivamente la definición por recurrencia.

a)

2 1 0 13 1 2 12 1 1 00 1 1 2

−−

− b)

−

−− −

−

1 1 0 2 01 0 2 0 00 0 1 2 31 2 2 1 02 5 0 1 2

a) ( ) ( )1 1 1 211 12 13 14

2 1 0 11 2 1 3 2 1

3 1 2 12 1 0 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 0

2 1 1 01 1 2 0 1 2

0 1 1 2

A A A A + +

−− −

−= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − − + ⋅ − +

−

( ) ( )1 3 1 43 1 1 3 1 2

0 1 2 1 0 1 1 2 1 1 16 4 0 4 160 1 2 0 1 1

+ +−

+ ⋅ − − − ⋅ − − = + + − =

Determinantes | Unidad 8 5

b)

−

= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + = − + + =−− −

−

11 12 13 14 15 11 12 14

1 1 0 2 01 0 2 0 0

1 1 0 2 0 2 58 14 176 1320 0 1 2 31 2 2 1 02 5 0 1 2

A A A A A A A A

( ) ( )1 1 1 211

0 2 0 00 2 3

0 1 2 31 1 2 1 2 1 0 58

2 2 1 05 1 2

5 0 1 2

A + +−= − = ⋅ ⋅ − − = −

−−

−

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 212

1 2 0 01 2 3 0 2 3

0 1 2 31 1 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 12 2 14

1 2 1 00 1 2 2 1 2

2 0 1 2

A + + +−

− = − = − ⋅ ⋅ − − + ⋅ − − − = − + = − − − − − −

( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 1 1 314

1 0 2 00 1 3 0 0 3

0 0 1 31 1 1 1 2 2 0 2 1 1 2 0 34 54 88

1 2 2 05 0 2 2 5 2

2 5 0 2

A + + +−

− = − = − ⋅ ⋅ − + ⋅ − − = − − − = − − − −


6. Sabiendo que =12 53

a db dc d

, halla el valor de los siguientes determinantes.

a) +++

2 22 42 6

a d db d dc d d

b) 3 1 23 2 23 3 2

a d ab d bc d c

− −− −− −

c) 6 2 3

3a b c b c

d d d+ +

a) 2 2 2 2 2 12 4 4 2 4 2 2 0 2 5 102 6 6 2 6 3

a d d a d d d a db d d b d d d b dc d d c d d d c d

++ = + = + = ⋅ =+

Hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el determinante en suma de dos determinantes. En el primero hemos sacado factor común en la segunda columna, el segundo es nulo por ser la primera y tercera columnas proporcionales.

b) ( )3 1 2 1 2 1 23 2 2 3 2 2 3 2 2 3 5 153 3 2 3 2 3 2

a d a a d a a d a d ab d b b d b b d b d bc d c c d c c d c d c

− − + − − = − + = − + = − ⋅ − = − − +

En primer lugar, hemos sacado factor en las columnas segunda y tercera y, a continuación, hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el determinante en suma de dos determinantes. En el primero hemos usado la propiedad 7, el segundo es nulo por ser la primera y tercera columnas proporcionales.

c) 6 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3

1 2 3 53

a b ca b c b c a b c b c a b c b b c c b c

d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d

+ ++ + = + + = + + = − = −

+ +

Hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el determinante en suma de tres determinantes. En el primero hemos usado la propiedad 7 y la 9, el segundo y el tercero son nulos por tener dos columnas iguales.


7. Si a, b y c son números enteros, comprueba que 3

10 45 251 3 1

a b c es múltiplo de 15.

3 3

10 45 25 5 2 9 5 15 2 3 51 3 1 1 3 1 1 1 1

a b c a b c a b c= = , por tanto, el determinante es múltiplo de 15.

8. Si A y B son dos matrices cuadradas de orden 3 tales que ( )det 4A = y ( )det 2B = , halla, razonadamente:

a) ( )det AB b) ( )( )−1det tA B c) ( )3 2det A B d) ( )det 2A

a) ( ) ( ) ( )= =det det det 8AB A B .

b) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−= = = =

1 1 1 1 1detdet det det det det 8

tt t

A BA B A B A B

.

c) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]= = =3 23 2 3 2det det det det det 256A B A B A B .

d) Sacando factor común a 2 en las tres filas de A obtenemos ( ) ( )= =3det 2 2 det 32A A .


10. Utilizando el método de Gauss, calcula los siguientes determinantes.

a) 2 4 04 0 11 1 1−

b)

2 1 0 11 2 1 13 9 6 00 6 3 2

− c)

1 0 1 23 2 4 22 2 1 04 2 1 0

−− −−

−

a) 2 2 1 3 2 3 3 23 3 1

4

2 4 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 24 0 1 2 4 0 1 2 0 8 1 2 0 1 8 2 0 1 8 221 1 1 1 1 1 0 3 1 0 1 3 0 0 11

F F F C C F F FF F F→ − ↔ → −→ +

= = − = − − = − − = −− −

b) 1 2 2 2 1 3 3 2 4 4 3

3 3 1 4 4 2

23 2

2 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 11 2 1 1 2 1 0 1 0 3 2 3 0 3 2 33 9 6 0 3 9 6 0 0 3 3 3 0 0 1 60 6 3 2 0 6 3 2 0 6 3 2 0 0 1 8

F F F F F F F F F F FF F F F F F

↔ → − → + → +→ − → +

− − −− − − − −

= − = − = − =

−

1 2 1 10 3 2 3

420 0 1 60 0 0 14

−− −

= − =

c) 2 2 1 3 3 2 4 4 33 3 1 4 4 24 4 1

3 224

1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 23 2 4 2 0 2 1 4 0 2 1 4 0 2 1 4

482 2 1 0 0 2 1 4 0 0 2 0 0 0 2 04 2 1 0 0 2 5 8 0 0 4 12 0 0 0 12

F F F F F F F F FF F F F F FF F F

→ + → − → −→ + → +→ +

− − − −− − − − −

= = = = −−

− −


11. Calcula los siguientes determinantes desarrollando por los elementos de una fila o columna.

a)

1 1 0 30 1 2 11 2 0 21 0 6 1

−−

b)

0 1 2 31 2 0 22 0 2 23 2 2 0

c)

1 2 3 03 1 0 22 0 1 30 3 2 1

−−

−−

a) ( )3 3 14 4 1

1 1

Desarrollando porla primera columna

1 1 0 3 1 1 0 31 2 1

0 1 2 1 0 1 2 11 1 3 0 5 50

1 2 0 2 0 3 0 51 6 2

1 0 6 1 0 1 6 2F F FF F F

+

→ +→ −

−− −

= = − =−

− −− −

b) ( )3 3 14 4 1

1 3

Desarrollando porla tercera columna

0 1 2 3 0 1 2 31 2 2

1 2 0 2 1 2 0 22 1 2 1 1 40

2 0 2 2 2 1 0 13 1 3

3 2 2 0 3 1 0 3F F FF F F

+

→ −→ −

= = − − − =− −

−−

c) ( )2 2 13 3 1

1 1

3 Desarrollando porla primera columna2

1 2 3 0 1 2 3 05 9 2

3 1 0 2 0 5 9 21 1 4 5 3 48

2 0 1 3 0 4 5 33 2 1

0 3 2 1 0 3 2 1F F FF F F

+

→ +→ +

− −−

= = − − = −−

−− −

12 y 13. Ejercicios resueltos.

14. Halla el rango de cada una de las siguientes matrices.

= −

1 1 21 2 51 2 1

A −

= − −

2 1 1 01 2 0 10 3 1 2

B = − −

1 1 2 0 12 1 1 3 50 1 1 1 1

C

1 2 0 0 32 0 1 3 11 4 2 1 20 1 1 2 4

D

− = − −

Rango de A:

Como el menor 1 1

3 01 2

= − ≠−

, rg( ) 2A ≥ . El único menor de orden 3 es 1 1 21 2 5 01 2 1

− = , por tanto, rg( ) 2A = .

Rango de B:

3 2 12 1 1 0

2 rg( )1 2 0 1

F F F B rg− = − ⇒ = −

. Como 1 0

1 00 1−

= ≠−

, rg( ) 2B =

Rango de C:

3 1 2 4 1 2

1 1 1, rg( ) 2 1 5

0 1 1C C C C C C C rg

= + = − ⇒ = −

. Como 1 1 12 1 5 6 00 1 1

− = − ≠ , rg( ) 3C =

Rango de D:

Como ( )2 2 1

1 1

2 Desarrollando porla primera columna

1 2 0 0 1 0 0 04 1 3

2 0 1 3 2 4 1 31 1 6 2 1 19 0

1 4 2 1 1 6 2 11 1 2

0 1 1 2 0 1 1 2C C C

+

→ −

− −− − −

= = − = ≠− −

−− −

, rg( ) 4D =


15. Halla el valor de k para que 1 1 0

rg 2 1 1 2 20 3 1 2

k k

k

+ = +

.

Como el menor 2 0

6 01 3

= ≠ , el rango es al menos 2.

Para que el rango sea 2, los dos menores de orden 3 que se obtienen ampliando el anterior se deben anular, es decir:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2

1 1 02 1 1 00 3 1

1 4 01 3 1 2 1 0 42 8 02 1 6 6 1 4 0

1 12 1 2 00 3 2

k

kk kk k k kkk k k

k k

+ = +

+ − = + − + − + =⇒ ⇒ ⇒ = − =+ + − + − = +=

16. Estudia el rango de 2

33 1

3 1P

α α = α α − α −

en función de α .

El único menor de orden 3 se anula si:

( )2 2 3 3 2 3 2

33 1 0 3 3 3 3 3 3 0 6 6 0 6 1 0 0, 1, 1

3 1

α αα α = ⇒ − α − α + α + α − α + α = ⇒ α − α = ⇒ α α − = ⇒ α = α = − α =− α −

Por tanto, si 1, 0 y 1α ≠ − α ≠ α ≠ , tenemos rg( ) 3P = .

Si 1α = − tenemos 3 1 13 1 13 1 1

P− −

= − − − −

y rg( ) 2P = , ya que 3 1

6 03 1−

= ≠− −

.

Si 0α = tenemos 3 0 00 0 13 0 1

P = − −

y rg( ) 2P = , ya que 3 0

3 00 1

= ≠ .

Si 1α = tenemos 3 1 13 1 13 1 1

P = − −

y rg( ) 2P = , ya que 3 1

6 03 1

= ≠−

.

En resumen, si 1, 0 o 1α = − α = α = tenemos rg( ) 2P = , en otro caso rg( ) 3P = .

17. Ejercicio interactivo.



20. En cada caso, determina si la matriz tiene inversa.

1 0 1 1 0 22 1 2 1

1 1 0 2 1 03 5 4 2

0 1 1 0 2 1A B C D

− − = = = = − − −

2 17 0

3 5A A= = ≠ ⇒ es invertible.

1 0 11 1 0 00 1 1

C C−

= = ⇒− −

no es invertible.

2 10

4 2B B

−= = ⇒−

no es invertible. 1 0 22 1 0 9 00 2 1

D D= = ≠ ⇒ es invertible.

21. Halla la matriz inversa de cada una de las matrices.

2 0 2 1 3 14 1

2 1 0 1 3 15 2

1 1 0 0 1 1M N P

− − = = − = −

Inversa de M: 4 1

3 05 2

M M= = ≠ ⇒ es invertible.

( ) 2 5Adj

1 4M

− = − y ( )( )1

2 12 11 1 3 3Adj5 4 5 43

3 3

tM MM

−

− − = = = − −

Inversa de N: 2 0 22 1 0 6 01 1 0

N N−

= − = ≠ ⇒ es invertible.

( )0 0 3

Adj 2 2 22 4 2

N−

= − −

y ( )( )1

1 103 30 2 2

1 1 1 2Adj 0 2 4 06 3 33 2 2 1 1 1

2 3 3

tN NN

−

− −

= = = − − − −

Inversa de N: 1 3 11 3 1 6 00 1 1

P P−

= − = ≠ ⇒ es invertible.

( )2 1 1

Adj 4 1 16 0 6

P−

= − −

y ( )( )1

1 2 13 32 4 6

1 1 1 1Adj 1 1 0 06 6 61 1 6 1 1 1

6 6

tP PP

−

− −

= = = − − − −


22. En cada caso, determina para qué valores del parámetro λ tiene inversa la matriz.

a) = λ −λ

1 1 01

0 2 1A b)

1 31 2

2 1 0B

λ = λ − λ

c) 1 1 13 2 01 1 0

Cλ +

=

d)

2 1 3 10 2 1 20 0 1 10 0 0 1

D

λ − = −

a) A tiene inversa si 0A ≠ :

1 1 00 1 0 1 0 1

0 2 1A = ⇒ λ −λ = ⇒ λ + = ⇒ λ = −

Por tanto, si 1λ ≠ − la matriz A tiene inversa.

b) B tiene inversa si 0B ≠ :

2

1 310 1 2 0 4 9 2 0 , 242 1 0

Bλ

= ⇒ λ = ⇒ − λ + λ − = ⇒ λ = λ =− λ

Por tanto, si 14

λ ≠ y 2λ ≠ la matriz B tiene inversa.

c) C tiene inversa si 0C ≠ :

1 1 10 3 2 0 0 1 0

1 1 0C

λ += ⇒ = ⇒ = ⇒No hay solución

Por tanto, la matriz C tiene inversa para cualquier valor de λ .

d) D tiene inversa si 0D ≠ :

( )

2 1 3 10 2 1 2

0 0 2 2 0 20 0 1 10 0 0 1

Dλ −

= ⇒ = ⇒ − λ − = ⇒ λ =

−

Por tanto, si 2λ ≠ la matriz D tiene inversa.


24. Identifica las expresiones que sean iguales de entre las siguientes.

a) 2AB A+ d) ( )B A I− g) AB CB+

b) ( )A C B+ e) ( )2A B I+ h) 5B A+

c) AB B− f) 3 2A B A+ + i) ( )2B I A+

( )2 2AB A A B I+ = + , es decir, las expresiones a y e son iguales.

( )A C B AB CB+ = + , es decir, las expresiones b y g son iguales.

3 2 5A B A B A+ + = + , es decir, las expresiones f y h son iguales.


25. Despeja la matriz X en cada una de las siguientes ecuaciones matriciales, suponiendo que todas las matrices son cuadradas de orden 3 y que las matrices que lo requieran tienen inversa.

a) =BX C d) tAX B C+ = g) A BXB C+ =

b) B XA C+ = e) XAB A XB= + h) AX B A X+ = +

c) 2XA A= f) AXB C= i) ( )A B XA C+ =

a) 1BX C X B C−= ⇒ =

b) ( ) 1B XA C XA C B X C B A−+ = ⇒ = − ⇒ = −

c) ( ) ( )− − −= ⇒ = = =1 22 2 1 1XA A X A A A A A

d) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )−− − −+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − = − = −11 1 1 tt tt t t t t tAX B C AX C B X A C B X A C B C B A C B A

e) ( ) ( ) ( )[ ] ( )−− −−= + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = − = − = −11 11XAB A XB XAB XB A X AB B A X A AB B A A I B AB A I

f) 1 1AXB C X A CB− −= ⇒ =

g) ( )− −+ = ⇒ = − ⇒ = −1 1A BXB C BXB C A X B C A B

h) ( ) ( ) ( )−+ = + ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = − −1AX B A X AX X A B A I X A B X A I A B

i) ( ) ( )− − − −+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −1 1 1 1A B XA C B XA A C XA A C B X A C B A

26. Resuelve la ecuación matricial − =2XA A B siendo las matrices A y B:

1 0 1 2 0 11 1 1 0 1 21 1 0 1 2 0

A B−

= − = −

Tenemos 2 2XA A B XA B A− = ⇒ = + , por tanto, si existe 1A− tenemos ( )2 1 1X B A A BA A− −= + = + .

Como 1 0 11 1 1 1 01 1 0

A−

= − = ≠−

existe 1A− : ( )1 1 0

Adj 1 1 11 0 1

A =

y ( )( )1

1 1 11 Adj 1 1 0

0 1 1

tA AA

−

= =

Por tanto:

1

2 0 1 1 1 1 1 0 1 2 3 3 1 0 1 3 3 20 1 2 1 1 0 1 1 1 1 3 2 1 1 1 0 4 31 2 0 0 1 1 1 1 0 3 3 1 1 1 0 4 2 1

X BA A−

− − = + = + − = + − = − −

27. Resuelve la ecuación matricial: 1A AXA B−= + en la que A y B son las matrices: 3 4 2 6,

2 2 2 5A B

− = = −

( )1 1 1A AXA B AXA A B X A A B A− − −= + ⇒ = − ⇒ = −

Como 3 4

2 02 2

A = = − ≠ existe 1A− : ( ) 2 2Adj

4 3A

− = − y ( )( )1

1 22 41 1Adj 32 3 122

tA AA

−

− − = = = − −−

Por tanto:

( )11 2 1 23 4 2 6 3 4 5 2 3 4 1 4

3 32 2 2 5 2 2 4 3 2 2 2 11 12 2

X A A B A−

− − − − = − = − = = − −− −



29 a 38. Ejercicios resueltos.

EJERCICIOS

Cálculo de determinantes

39. Calcula el determinante de cada una de las matrices siguientes.

3 1 5 7 1 42 3 2 0 3 5

A B C− − − = = = −

11, 14 y 17A B C= = − = −


1 2 1 1 1 3 2 1 13 1 2 2 0 2 3 1 20 2 1 4 1 1 1 2 3

M N P− − −

= = = − −

5, 14 y 30M N P= = =


3 0 0 0 2 0 0 00 4 0 0 1 1 1 20 0 1 0 2 1 1 21 0 0 2 3 2 1 1

S T

− = = −

La matriz S es triangular, por tanto, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir, 24S = .

Desarrollando por la primera fila, tenemos ( )1 11 1 2

2 1 1 1 2 242 1 1

T +−

= − − = − .

42. Calcula, en función de a, el determinante de cada una de las matrices siguientes.

2 1 1 1 11 1 2 2 0

1 2 3 1 2 1

a aA a B a

− − = − = + −

2 2

2 11 1 6 2 1 4 3 3 9

1 2 3

aA a a a a a a= − = − + − + − = − + +

( )( ) ( ) ( )− −

= + = − + − − − + + = − − +−

2

1 1 12 2 0 2 2 2 1 2 1 2 2 3 10

1 2 1

aB a a a a a a a


43. Dadas las matrices:

2 1 0 1 1 21 1 1 1 1 13 0 1 1 2 1

A B− −

= − = − −

Calcula los determinantes de las matrices:

a) AB c) ( )2A B+

b) A B+ d) 2tA B−

a) 3 3 31 2 2 184 5 7

AB AB− = − ⇒ = −

c) ( ) ( )2 25 4 62 0 4 64

10 4 8A B A B

+ = ⇒ + =

b) 1 0 22 0 0 82 2 2

A B A B + = ⇒ + =

d) 4 1 1

2 3 3 2 2 542 5 1

t tA B A B− −

− = − − ⇒ − = − − −

44. Calcula el valor de m que hace que el determinante de las matrices M y N sea el mismo, siendo:

1 1 0 0 1 22 1 1 2 1

1 0 2 1 0M m N m

m m

− = = − − +

2 22 1 2 1M m m m m= − − = − + − y ( ) ( )2 1 2 1 8 4N m m= − − + + − = − , por tanto:

2 22 1 4 2 3 0 1, 3M N m m m m m m= ⇒ − + − = − ⇒ − + + = ⇒ = − =

45. Determina los valores de a que cumplen la ecuación:

1 11 1 04 2

aa

a=

3 3

1 11 1 0 4 2 4 2 0 7 6 0 3, 1, 24 2

aa a a a a a a a a a

a= ⇒ + + − − − = ⇒ − + = ⇒ = − = =

46. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 1 1 1

1 1 01 0x x

x

−− − = b)

1 21 2 0 00 1

x x x

x

+ +=

−

a) ( ) 2 2

1 1 11 1 0 1 1 0 2 0 0, 2

1 0x x x x x x x x x

x

−− − = ⇒ + − + − = ⇒ − + = ⇒ = =

b) ( ) ( )2 2

1 21 2 0 0 2 1 2 0 0 0, 10 1

x x xx x x x x x x

x

+ += ⇒ − + + + + = ⇒ − = ⇒ = =

−


47. Dada la matriz 2 31 2

A− = −

, se define para cada número real k, la matriz B A kI= − , donde I denota la

matriz identidad de orden 2. Halla los valores de k que hacen que el determinante de B sea nulo.

( )( )− −= − = ⇒ = ⇒ − − − + = ⇒ − = ⇒ = − =

− −22 3

0 0 2 2 3 0 1 0 1, 11 2

kB A kI k k k k k

k

48. Dada la matriz 2 01 1

A =

, halla el valor de λ que hace nulo el determinante de la matriz − λ2A A .

2 4 0 2 0 4 2 03 1 3 1

A Aλ − λ − λ = − = λ λ − λ − λ

, por tanto, ( ) ( )2 0 4 2 1 0 2, 1A A− λ = ⇒ − λ − λ = ⇒ λ = λ = .

49. A partir de la matriz 1 2

1 1 12 1 0

x xM

x

− = − − +

, se construye el polinomio ( ) det( )P x M= . Halla las raíces de P(x).

( ) ( ) ( ) 2( ) 0 2 1 2 1 4 1 0 3 4 0 1, 4P x x x x x x x x x= ⇒ − − − + − + + = ⇒ − − = ⇒ = − = .

Propiedades de los determinantes

50. Si 3a b cd e fg h i

= , halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas.

a) 3 3 3

2 2 2

a b cd e fg h i− − − b)

a d a g ab e b h bc f c i c

− +− +− +

a) Propiedad 2

3 3 33 92 2

2 2 2

a b c a b cd e f d e fg h i g h i− − − = − = −

b) Propiedad 1 Propiedad 4 Propiedad 1 Propiedad 4

a d a g a a d a g a d a a a d a g a d g a a gb e b h b b e b h b e b b b e b h b e h b b hc f c i c c f c i c f c c c f c i c f i c c i

− + − − −− + = − + − = − = − =− + − − −

Propiedad 9

3a d g a b cb e h d e fc f i g h i

= = =


51. Se sabe que 1 1 1

2 2 2

3 3 3

2a b ca b ca b c

= − , calcula razonadamente:

a) 1 1 1

1 2 1 2 1 2

3 3 3

2 2 23 3 3

a b ca a b b c c

a b c− − − b)

2 2 2 2

1 1 1 1

3 3 3 3

32 6 2 2

3

a b c aa b c a

a b c a

+++

a) − − − = − = − =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2Propiedad 1 Propiedad 4Propiedad 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 6 123 3 3 3 3 3 3 3 3

a b c a b c a b c a b ca a b b c c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c

b) ++ = + = = =+

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Propiedad 1 Propiedad 2 Propiedad 2 Propiedad 7Propiedad 4

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 32 6 2 2 2 6 2 2 6 2 2 3 6

3 3 3 3

a b c a a b c a b a a b c a b ca b c a a b c a b a a b c a b c

a b c a a b c a b a a b c a b c

( )( )= − = − − =1 1 1

2 2 2

3 3 3

6 6 2 12a b ca b ca b c

52. Sabiendo que =1 1 1

40 2 4x y z , calcula, sin utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando

en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.

a) 3 3 31 1 10 1 2

x y z b) 3 3 2 3 4

2 2 2

x y zx y z

x y z+ +

+ + +

a) = = − = −Propiedad 2 Propiedad 7

3 3 3 1 1 13 31 1 1 1 1 1 62 20 1 2 0 2 4 0 2 4

x y z x y zx y z

b) + + = + = =+ + + + + + + + + + + +

Propiedad 1 Propiedad 5 Propiedad 13 3 2 3 4 3 3 3 0 2 4 0 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z x y z x y z x y zx y z x y z

x y z x y z x y z x y z

= + = = = − = =Propiedad 4 Propiedad 2 Propiedad 7 Propiedad 7

1 1 1 1 1 10 2 4 0 2 4 0 2 4 2 0 2 4 2 0 2 4 2 8

2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 2 4

x y z x y z x y z x y zx y z

x y z x y z

53. Dada la matriz −

=

2 1 11 0 13 1 2

M , utilizando una sola vez la regla de Sarrus, calcula: M , tM , 3M , 4M y

1M − .

= + − − − − = −0 3 1 0 2 2 2M , 2tM M= = − , 33 8M M= = − , 34 4 128M M= = − y 1 1 12

MM

− = = − .


54. Se considera una matriz G de orden 3 x 3, cuyas columnas se representan por 1C , 2C , 3C y cuyo determinante vale 2. Considera la matriz H cuyas columnas son 3C , 3 2C C+ , 13C . ¿Cuál es el determinante de esa nueva matriz H?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = + = =3 3 2 1 3 3 1 3 2 1 3 2 1Propiedad 1 Propiedad 4 Propiedad 2det det , , 3 det , , 3 det , , 3 det , , 3H C C C C C C C C C C C C C

( ) ( ) ( )3 2 1 1 2 3Propiedad 73det , , 3det , , 3det 6C C C C C C G= = − = − = − .

55. Sabiendo que a, b, c y d son números distintos de cero, sin aplicar la regla de Sarrus, justifica que:

1 1 1

0a b cbc ac abd d d

=

Propiedad 2 Propiedad 4

1 1 11 0

bc ac aba b c bc ac abbc ac ab abc

d d dd d d

= = .

56. Sea C una matriz cuadrada de orden 2 de columnas 1C y 2C y =det( ) 5C , y sea B una matriz cuadrada de orden 2 y con determinante 2. Si D es la matriz cuadrada de orden 2 de columnas 24C y 1 2C C− , calcula el determinante de la matriz 1BD− .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1Propiedad 1 Propiedad 5 Propiedad 2 Propiedad 7det det 4 , det 4 , det 4 , det 4 , 4det ,D C C C C C C C C C C C= − = − = = =

( ) ( )1 24det , 4det 20C C C= − = − = − .

Por tanto, 1 110

BBD

D− = = −

57. Calcula, por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificando los pasos, el determinante:

22

2

a b ca b ca b c

++

+

( )3 1 2 3

Propiedad 8: Propiedad 2 Propiedad 1

2 2 2 2 12 2 2 2 2 1

2 2 1C C C C

a b c a b a b c a ba b c a b a b c a b c a ba b c a b a b c a b→ + +

+ + + + + ++ = + + + + = + + + + =

+ + + +

( ) ( )Propiedad 5 Propiedad 1

2 1 1 2 12 0 2 1 2 1 2 0 2 1

0 1 1 0 1

b a b ba b c b a b a b c b

b a b b

= + + + + + + = + + + + =

( ) ( ) ( ) = + + + + = + + + = + + +

Propiedad 5

2 0 1 2 1 2 0 12 0 2 1 0 1 2 0 2 1 4 2

0 0 1 0 1 0 0 1

ba b c b a b c a b c

b


58. Sin desarrollar el determinante prueba que las raíces del polinomio ( )P x son 3, 4 y –7, siendo:

4 4( ) 3 4

3 3

xP x x

x=

4 4 3

(3) 3 3 4 03 3 3

P = = , ya que 1 2C C=

4 4 4(4) 3 4 4 0

4 3 3P = = , ya que 2 3C C=

4 4 7( 7) 3 7 4 0

7 3 3P

−− = − =

−, ya que 3 1 2C C C= − −

59. Resuelve la ecuación ( ) ( )

( )

22

2 2

2 1 1 11 1 1 01 1 1

x x xx x xx x x

− + +− + + =

− − −

.

Observemos que

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22

2 22

2 2 2 2

2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 11 1 1 1 1 1 1

2 1 11 1 1 1 1 1 1

1 1 1

x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x

x xx x x x x x x

x x x x x x

− + + + − + + − +− + + = − + + = + − − + + =

− +− − − − − + −

= + − + = + −

Por tanto, la ecuación se reduce a ( ) ( )2 21 1 0x x x+ − = , cuyas soluciones son 1, 1, 0x x x= − = = .

Método de Gauss y determinantes

60. Calcula los siguientes determinantes utilizando el método de Gauss.

a)

−−

−−

1 1 1 20 1 2 12 2 0 11 3 1 3

b)

1 2 1 01 0 2 12 8 7 53 4 1 1

−

−

a) 3 3 1 3 3 2 4 4 34 4 1 4 4 2

2 42

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 20 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1

482 2 0 1 0 4 2 5 0 0 6 1 0 0 6 11 3 1 3 0 2 2 5 0 0 6 7 0 0 0 8

F F F F F F F F FF F F F F F→ − → + → −→ + → +

− − − −− − − −

= = = = −− − − − −

−

b) 2 2 1 3 3 2 4 4 33 3 1 4 4 24 4 1

223

1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 01 0 2 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 1

62 8 7 5 0 4 5 5 0 0 1 3 0 0 1 33 4 1 1 0 2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 3

F F F F F F F F FF F F F F FF F F

→ + → − → +→ − → +→ −

−= = = = −

− −− − − −


61. Calcula los siguientes determinantes.

a)

1 0 2 12 1 0 11 2 1 11 3 1 2

−

−

b)

2 1 1 00 2 1 21 0 2 01 2 0 4

−−

−

a) ( )3 3 14 4 1

1 1

2 Desarrollando porla primera fila

1 0 2 1 1 0 0 01 4 3

2 1 0 1 2 1 4 31 1 2 1 0 16

1 2 1 1 1 2 1 03 3 1

1 3 1 2 1 3 3 1C C CC C C

+

→ −→ −

− −− − −

= = − − =−

−− −

b) ( )3 3 1

1 3

2 Desarrollando porla tercera fila

2 1 1 0 2 1 5 01 5 0

0 2 1 2 0 2 1 21 1 2 1 2 68

1 0 2 0 1 0 0 02 2 4

1 2 0 4 1 2 2 4C C C

+

→ −

− −−

− −= = − − =

− −

62. Calcula el determinante:

2 0 0 0 20 2 0 2 00 0 2 0 20 2 2 0 02 0 0 2 0

5 5 1 4 4 3 5 5 44 4 2

2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 20 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0

640 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 20 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 22 0 0 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 4

F F F F F F F F FF F F→ − → − → +→ −

= = = =− − − − −

− − −

63. Halla dos raíces del polinomio de cuarto grado:

1 1 11 1 1

( )3 3 33 3 3

xx

P xx

x

=

Una raíz es 1x = , ya que (1) 0P = por ser las dos primeras filas iguales.

Otra raíz es 3x = , ya que (3) 0P = por ser las dos últimas filas iguales.

64. Obtén, en función de a, b y c, el determinante de la matriz:

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 11 1 1 1

aA

bc

+ = + +

( )1 1 42 2 43 3 4

1 4

Desarrollando porla primera fila

1 1 1 1 0 0 0 10 0

1 1 1 1 0 0 11 1 0 0

1 1 1 1 0 0 10 0

1 1 1 1 0 0 1F F FF F FF F F

aa a

A b abcb b

cc c

+

→ −→ −→ −

+= = = − = −

++


Rango y determinantes

65. Determina el rango de cada una de las siguientes matrices.

0 1 1 01 0 2 1 2 1

3 1 1 1 0 12 1 1 3 0 3

2 1 1 0 1 01 1 5 2 1 2

1 1 1 1

A B C D

− = = − = = − −

Rango de A:

Como el menor 3 1

1 02 1

= ≠ , rg( ) 2A = .

Rango de B:

Como el menor 1 0

1 02 1

= − ≠−

, rg( ) 2B ≥ . El único menor de orden 3 es 1 0 22 1 1 01 1 5

− = , por tanto, rg( ) 2B = .

Rango de C:

Como el menor 1 2

6 03 0

= − ≠ , rg( ) 2C ≥ . El único menor de orden 3 es 1 2 13 0 3 24 02 1 2

= − ≠−

, por tanto,

=rg( ) 3.C

Rango de D:

Como ( )3 3 2

1 2

Desarrollando porla primera fila

0 1 1 0 0 1 0 01 1 1

1 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 3 0

1 0 1 0 1 0 1 01 2 1

1 1 1 1 1 1 2 1C C C

+

→ −

− −− − −

= = − = ≠−

− −

, rg( ) 4D = .

66. Halla el rango de las siguientes matrices.

2 1 0 1 3 2 1 1 1 2 1 2 12 4 6 3

1 2 5 0 0 0 0 1 1 2 0 4 03 6 9 2

5 1 3 1 6 4 2 0 1 2 3 2 1A B C D

− − = = − − = = − − − − − − − −

Rango de A:

Como el menor 2 3

10 03 2

= ≠−

, rg( ) 2A = .

Rango de B:

Como el menor 1 0 12 5 0 6 01 3 1

− = ≠ , rg( ) 3B = .

Rango de C:

Observemos que 1 33C C= y 2 32C C= − , así, 1 1

rg( ) rg 0 1 22 0

C = = −

, ya que el menor 1 1

1 00 1

= ≠ .

Rango de D:

Como el menor 1 2 10 4 0 8 03 2 1

− = ≠−

, rg( ) 3D = .


67. a) Determina, razonadamente si la tercera columna de la matriz A siguiente es combinación lineal de las dos primeras.

1 2 3 00 1 1 11 0 1 1

A−

= − − −

b) Calcula el rango de la matriz A.

a) Como 1 2 30 1 1 01 0 1

−− =

−, las tres columnas son linealmente dependientes.

Además, las dos primeras columnas de A son independientes, ya que no son proporcionales, por tanto, la tercera columna debe ser combinación lineal de las dos primeras.

b) 1 2 0

rg( ) rg 0 1 1 31 0 1

A = = − −

, ya que 1 2 00 1 1 3 01 0 1

= − ≠− −

.

68. Dada la matriz:

− − − −

1 2 01 2 3

2 3 2 4

kk k

k

Halla, en cada caso, los valores del parámetro k para que:

a) La tercera columna sea combinación lineal de las dos primeras.

b) La cuarta columna sea combinación lineal de las dos primeras.

c) El rango de la matriz sea 2.

Observemos que las dos primeras columnas son linealmente independientes, ya que no son proporcionales.

a) Para que la tercera columna sea combinación lineal de las dos primeras debe ser:

2 2

1 2 01 2 3 0 ( 2) 12 9 2( 2) 0 2 3 0 1, 3

2 3 2k k k k k k k

k− − − = ⇒ − − + + − = ⇒ − − = ⇒ = − =

−

b) Para que la cuarta columna sea combinación lineal de las dos primeras debe ser:

2

1 21 2 0 4( 2) 4 3 2 ( 2) 3 8 0 2 6 0 0, 3

2 3 4

kk k k k k k k k k k k k− − = ⇒ − + − − − − + = ⇒ − + = ⇒ = =

c) Según los apartados anteriores, si 3k = , la tercera y la cuarta columna son combinación lineal de las dos primeras columnas, por lo que el rango de la matriz será 2. En cambio, si 3k ≠ bien 1 2 3, ,C C C bien 1 2 4, ,C C C serán linealmente independientes, con lo que el rango de la matriz sería 3.


69. Determina el rango de cada una de las siguientes matrices según el valor del parámetro k.

2 0 41 22 4

A kk

− − =

1 0

0 11 0

k kB k k

k k

− = − −

1 ( 1)

11 1

k k k kC k k

k k

− − = −

1 2 30 23 1

D kk

= −

Rango de A: 20 2 8 0 0, 4A k k k k= ⇒ − + = ⇒ = = , por tanto:

Si 0 y 4k k≠ ≠ , tenemos rg( ) 3A = .

Si 0k = tenemos 2 0 41 0 22 4 0

A− − =

y rg( ) 2A = , ya que 1 0

4 02 4

= ≠ .

Si 4k = tenemos 2 0 41 4 22 4 4

A− − =

y rg( ) 2A = , ya que 1 4

4 02 4

= − ≠ .

Rango de B: 3 2 10 2 3 0 0, , 12

B k k k k k k= ⇒ − + = ⇒ = = = ,por tanto:

Si ≠ ≠ ≠10, y 12

k k k , tenemos rg( ) 3B = .

Si 0k = tenemos 1 0 00 1 01 0 0

B− = − −

y rg( ) 2B = , ya que 1 0

1 00 1−

= ≠−

.

Si 12

k = tenemos

1 1 02 2

1 102 2

1 102 2

B

− = − −

y rg( ) 2B = , ya que

1 112 2 0

1 402

−= ≠

−.

Si 1k = tenemos 0 1 00 0 10 0 1

B =

y rg( ) 2B = , ya que 1 0

1 00 1

= ≠ .

Rango de C: 20 2 0 0, 2C k k k k= ⇒ − = ⇒ = = , por tanto:

Si 0 y 2k k≠ ≠ , tenemos rg( ) 3C = .

Si 0k = tenemos 0 1 00 1 00 1 1

C−

= −

y rg( ) 2C = , ya que 1 0

1 01 1

= − ≠−

.

Si 2k = tenemos 2 1 22 1 22 1 1

C =

y rg( ) 2C = , ya que 1 2

1 01 1

= − ≠ .

Rango de D: 20 9 14 0 2, 7D k k k k= ⇒ − + = ⇒ = =

Por tanto, si 2 y 7k k≠ ≠ , tenemos rg( ) 3D = .

Si 2k = tenemos 1 2 30 2 23 1 2

D = −

y rg( ) 2D = , ya que 1 2

2 00 2

= ≠ .

Si = 7k tenemos 1 2 30 7 23 1 7

D = −

y rg( ) 2D = , ya que 1 2

7 00 7

= ≠ .


70. Determina para qué valores de a son linealmente independientes los vectores:

(1, 1, 2), (2, , 1) y ( , 2, )u v a w a a= − = − =

Formemos una matriz A cuyas columnas sean los vectores dados, si el determinante de esta matriz no es nulo los vectores serán linealmente independientes.

2

1 20 1 2 0 3 10 0 2, 5

2 1

aA a a a a a

a= ⇒ − = ⇒ − + + = ⇒ = − =

−

Por tanto, los vectores son linealmente independientes si 2 y 5a a≠ − ≠ .

71. Estudia el rango de

2 1 3 52 2 11 1 1 63 1 4

aA

a

− − − = −

en función de los valores de a.

El menor 2 1

6 02 2

−= ≠ , por lo que rg( ) 2A ≥ .

Ampliando este menor con la tercera fila y la tercera columna tenemos 2 1 32 2 1 9 01 1 1

− −− = ≠ , por lo que rg( ) 3A ≥ .

El único menor de orden 4 es:

( )2 2 13 3 14 4 1

3 1

Desarrollando porla tercera fila

6

2 1 3 5 2 3 5 73 5 7

2 2 1 2 0 3 121 1 0 3 12 2 12

1 1 1 6 1 0 0 02 7 18

3 1 4 3 2 7 18C C CC C CC C C

a aA a a

aa a

+

→ −→ −→ −

− − − − −− − −

− − −= = = − − − = − +

− − −− − − −

Por tanto, si 6a ≠ el rango de A es 4 y si 6a = el rango es 3.

72. Halla el rango de cada una de las siguientes matrices según el valor del parámetro.

19

2 6

kA k

=

2

1 1 11 1

1 1 1

kB k k

k

=

1 1 21 3

1 2 12 0 5

aC

a

− − = +

1 1 1

1 1 11 1 2 1

m mD m m

m

− = − −

Rango de A: El menor = −9

6 182 6k

k se anula si = 3k , por tanto:

Si 3k ≠ , tenemos rg( ) 2A = .

Si 3k = tenemos 1 3

rg( ) rg 3 9 12 6

A = =

, ya que 2 13C C= .

Rango de B: El menor 3

1 11 1 3 2

1 1

kk k k

k= − + se anula si 2k = − o 1k = , por tanto:

Si 2k ≠ − y 1k ≠ , tenemos rg( ) 3B = .

Si 2k = − tenemos 1 1 1 2

rg( ) rg 2 4 1 1 31 1 2 1

B−

= − = −

, ya que el menor 1 1 12 4 1 18 01 1 2

− = − ≠−

.


Si 1k = tenemos 1 1 1 1

rg( ) rg 1 1 1 1 11 1 1 1

B = =

, ya que todas las filas coinciden.

Rango de C: El menor 1 1 21 3 12 0 5

a a− − = − se anula si 1a = , por tanto:

Si 1a ≠ , tenemos rg( ) 3C = .

Si 1a = tenemos

1 1 21 1 3

rg( ) rg 21 3 12 0 5

B

− − = =


2 01 1

= ≠−

y los dos menores de orden 3 que

se pueden conseguir ampliándolo, 1 1 21 1 31 3 1− − y

1 1 21 1 32 0 5− − , se anulan.

Rango de D: El menor 3 2

1 1 11 1 1 3 41 1 1

mm m m

m

−− = − +

− se anula si 1m = − o 2m = , por tanto:

Si 1m ≠ − y 2m ≠ , tenemos rg( ) 3D = .

Si 1m = − tenemos 3 1 24 1 2

2 1 1 1 2 1rg( ) rg 1 2 1 1 rg 1 2 2

1 1 2 2 1 1C C CC C C

D= +=− −

− − − = − − = − = −


3 01 2

−= ≠

−.

Si 2m = tenemos 1 1 2 1

rg( ) rg 1 1 2 1 11 1 2 1

D = =

, ya que todas las filas son proporcionales.

73. Halla el valor de k para que la siguiente matriz tenga rango 2.

1 1 0 22 0

1 1 1 1M k k

k k

− = + − −

Para que el rango sea dos, los menores de orden 3 se deben anular, en particular:

2

1 0 20 0 3 3 0 0 o 1

1 1 1k k k k k k

k

−= ⇒ − = ⇒ = =

− −

Si 0k = tenemos 1 1 0 2

rg( ) rg 2 0 0 0 31 1 1 1

M−

= = − −

, ya que el menor 1 1 02 0 0 2 01 1 1

−= − ≠

−.

Si 1k = tenemos 1 1 0 2 1 1 2

rg( ) rg 2 1 0 1 rg 2 1 1 32 1 0 1 2 1 1

M− −

= = = − −

, ya que el menor 1 1 22 1 1 6 02 1 1

−= − ≠

−.

Por tanto, el rango de M es 3 para cualquier valor de k.


Inversa y determinantes 74. Determina cuáles de las siguientes matrices tienen inversa.

4 3 2 1 2 12 3

1 1 1 3 1 03 5

2 5 0 2 1 1A B C

− = = − − = −

= ≠ ⇒1 0A A es invertible. = ⇒0B B no es invertible. = ⇒0C C no es invertible.

75. Calcula, si existe, la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes.

1 2 0 2 0 2 3 1 31 1 2 0 1 1 1 2 12 1 3 2 1 2 1 0 1

A B C−

= − − = = − − − −

Inversa de A: = − ≠ ⇒1 0A A es invertible.

( )1 1 1

Adj 6 3 54 2 3

A− −

= − −

y ( )( )−

− − − = = − = − − − − − −

1

1 6 4 1 6 41 1 1 3 2 1 3 2Adj

1 1 5 3 1 5 3

tA AA

Inversa de B: = − ≠ ⇒2 0B B es invertible.

( )1 2 2

Adj 2 0 22 2 2

B−

= − − −

y ( )( )1

11 2 2 1 11 1 2Adj 2 0 2 1 0 12 2 2 2 1 1 1

tB BB

−

− − − = = − − = − − − −

Inversa de C: = ≠ ⇒2 0C C es invertible.

( )2 2 2

Adj 1 0 17 6 5

C− = − − −

y ( )( )−

− − − − = = − = − − −

1

1 712 1 7 2 21 1Adj 2 0 6 1 0 32 2 1 5 1 51

2 2

tC C

C

76. Determina si las siguientes matrices tienen inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.

0 0 1 11 1 2 1 0 3

1 0 0 10 0 2 0 1 2

1 1 0 01 2 1 1 4 0

1 1 1 0

A B C

− = = − = −

Inversa de A: = − ≠ ⇒2 0A A es invertible.

( )4 2 0

Adj 5 3 12 2 0

A− − = − − −

y ( )( )−

− − − = = − − = − − −

1

52 124 5 2

1 1 32 3 2 1 1Adj2 20 1 0 10 0

2

tA AA

Inversa de B: = − ≠ ⇒5 0B B es invertible.

( )8 2 1

Adj 12 3 43 2 1

B− = − − − −

y ( )( )−

− − − = = − − = − − − −

−

1

8 12 35 5 58 12 3

1 1 2 3 2Adj 2 3 25 5 5 51 4 1 1 4 1

5 5 5

tB B

B

Inversa de C: = − ≠ ⇒1 0C C es invertible.

( )

1 1 0 11 1 0 0

Adj1 2 1 11 1 1 1

C

− − − = − − − −

y ( )( )−

− − − − − − − − = = =

− − − − − −

1

1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 1 1 2 11 1Adj0 0 1 1 0 0 1 111 0 1 1 1 0 1 1

tC C

C


77. Se tiene la matriz: −

= −

2 1 11 3 00 1 1

A

a) Halla −1A y ( )−− 11A .

b) Comprueba que ( )−− =11A A .

c) Comprueba que ( ) = ⋅Adj Adj( )A A A .

a) Inversa de A: = ≠ ⇒6 0A A es invertible.

( )3 1 1

Adj 0 2 23 1 5

A− −

= −

y ( )( )1

1 102 23 0 3

1 1 1 1 1Adj 1 2 16 6 3 61 2 5 1 1 5

6 3 6

tA AA

−

= = − − = − − − −

Inversa de 1A− : 1 11 06

A A− −= ≠ ⇒ es invertible.

( )1

1 1 03 61 1 1Adj6 2 61 106 6

A−

= − −

y ( ) ( )( )11 11

1 1 13 6 6 2 1 1

1 1 1 1Adj 0 1 3 01 6 2 0 1 11 16 06 6

tA A A

A−− −

−

− −

= = = = − −

b) Queda comprobado en el apartado anterior.

c) ( ) ( )3 1 1 12 6 6 2 1 1

Adj 0 2 2 Adj Adj( ) 6 18 0 6 1 3 03 1 5 0 6 6 0 1 1

A A A A− − − −

= ⇒ = = = ⋅ − − −

78. Determina para qué valores del parámetro a no tiene inversa cada una de las matrices siguientes.

− = − − −

1 0 11 1

0 2M a

a

=

1 11

1 1

aN a a

a

1 2 10 1 11 1

a aP a a

a

− − = + − −

2 2

2

1 1 1Q a a a

a a a

=

M no tiene inversa si = ⇒ − − + = ⇒ = − =20 2 0 2, 1M a a a a .

N no tiene inversa si = ⇒ =0 0 0N , es decir, para cualquier valor de a N no tiene inversa.

P no tiene inversa si = ⇒ − − = ⇒ = − =30 3 2 0 1, 2P a a a a .

Q no tiene inversa si = ⇒ − + = ⇒ = =4 3 20 2 0 0, 1Q a a a a a .

79. Determina para qué valores de los parámetros a y b tienen inversa las matrices siguientes.

0 10 0 0 1

20 0 0 0 0 1

a b a ba b b

A B a C aa a b

+ = = = +

Las matrices dadas tendrán inversa si su determinante no es nulo, por tanto:

( )= + − = + ⇒2 2 22A a b ab a b A tiene inversa si 0a ≠ o 0b ≠ .

= ⇒0B B no tiene inversa para ningún valor de a y b.

= ⇒1C C tiene inversa para cualquier valor de a y b.


80. Determina para qué valores de los parámetros a, b y c ninguna de las tres matrices siguientes tiene inversa:

1 2 1 1 0 1 2 33 1 1 2

4 4 2 1 1 5 0 2

cA a b c B a C a

b

− = = = −

donde a, b y c son parámetros reales. Para que las matrices dadas no tengan inversa, sus determinantes deben ser nulos, es decir:

= − + = = = ⇒ + − = ⇒ + = ⇒ = = = = − + − = − + =

0 2 4 0 20 2 5 0 2 5 3, 2, 10 4 7 2 0 4 7 2

A b c b cB a c a c a b cC a b a b

81. a) Demuestra que la matriz 1 0 11 11 1

A a ba

− = − −

tiene inversa si, y solo si, los parámetros a y b no son nulos.

b) Calcula −1A cuando 1a b= = . a) tiene inversa 0 0 0 y 0A A ab a b⇔ ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ≠ .

b) si 1a b= = tenemos 1 0 11 1 01 1 1

A−

= −

y ( )( )1

1 1 0 1 1 11 1Adj 1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1 1

t

tA AA

−

− − = = − − = − − − −

.

Ecuaciones matriciales

82. Resuelve la ecuación matricial + =AX B C , siendo:

4 1 1 2 0 1 0 1 2 11 0 2 1 1 1 1 0 3 0

A B C− − = = = − − − −

( )

−

−+ = ⇒ = − ⇒ = −1

1

Si existe AAX B C AX C B X A C B

Como = ≠1 0A existe 1A− :

( ) = −

0 1Adj

1 4A y ( )( )− − = =

1 0 11 Adj

1 4t

A AA

Por tanto, ( )− − − − − − = − = = − − − − 1 0 1 1 3 2 2 3 1 4 1

1 4 3 1 4 1 11 1 14 2X A C B

83. Calcula la matriz X que verifica la ecuación AX B I+ = , donde I representa la matriz identidad y las

matrices A y B son: 0 1 2 0 1 11 0 1 1 3 22 1 1 3 6 6

A B− − −

= − = − − − −

( )

−

−+ = ⇒ = − ⇒ = −1

1

Si existe AAX B I AX I B X A I B

Como = − ≠1 0A existe 1A− :

( )1 1 1

Adj 3 4 21 2 1

A = − − − − − −

y ( )( )−

− − − = = − − = − − − − −

1

1 3 1 1 3 11 1Adj 1 4 2 1 4 2

1 1 2 1 1 2 1

tA A

A

Por tanto, ( )−

− − = − = − − = − − − − − − −

1

1 3 1 1 1 1 5 13 01 4 2 1 2 2 9 21 31 2 1 3 6 5 4 11 2

X A I B


84. Calcula la matriz cuadrada X sabiendo que verifica 2XA BA A+ = , siendo A y B:

0 0 1 0 0 20 1 0 0 2 01 0 0 2 0 0

A B− −

= − = − − −

( ) ( )

−

− −+ = ⇒ = − ⇒ = − = − = −1

2 2 2 1 1

Si existe AXA BA A XA A BA X A BA A A B AA A B

Como 1 0A = ≠ existe 1A− y, por tanto, 0 0 10 1 01 0 0

X A B = − =

.

85. Halla, si existe, una matriz X que verifique la ecuación 2B X BX X B− + = siendo − =

2 10 3

B .

( )( )

( )−

−

− +− + = ⇒ − + = ⇒ = − +

12

12 2 2

Si existe B B IB X BX X B B B I X B X B B I B

Tenemos 2 4 50 9

B− =

y 2 3 4

0 7B B I

− − + =

, como − + = ≠2 21 0B B I existe ( )−− +12B B I :

( ) − + =

2 7 0Adj

4 3B B I y ( ) ( )( )−

− + = − + = = − +

12 22

1 47 41 1 3 21Adj0 3 121 0

7

tB B I B B I

B B I

Por tanto, ( )− − = − + = =

12

1 4 2 52 13 21 3 210 31 30 0

7 7

X B B I B .


− − = − = −

2 1 1 3 1 12 3 1 2 1 01 2 3 1 0 1

A B

Resuelve la ecuación: 3I XA X B− = + .

( )

( )( ) ( )

−

−

− −− = + ⇒ − − = − ⇒ − − = − ⇒ = − − −

1

1

Si existe 33 3 3 3

A II XA X B XA X B I X A I B I X B I A I

Como − −

− − = − − = − ≠− −

1 1 13 2 0 1 1 0

1 2 0A I existe ( )−− − 13A I :

( )− − − = − − −

2 1 4Adj 3 2 1 3

1 1 2A I y ( ) ( )( )−

− − − − − = − − = − = − − − − − − − −

12 2 1 2 2 1

1 13 Adj 3 1 1 1 1 1 13 1 4 3 2 4 3 2

tA I A I

A I

Por tanto, ( )( )−− − −

= − − − = − − = − − − −

12 1 1 2 2 1 1 0 1

3 2 0 0 1 1 1 4 4 21 0 0 4 3 2 2 2 1

X B I A I .


87. Dadas las matrices 1 11 2

A− = −

y 2 11 0

B =

encuentra la matriz X tal que 1 30 1

AXB = − .

Si existen las inversas de las matrices A y B, tendremos 1 11 3 1 30 1 0 1

AXB X A B− − = ⇒ = − − .

Como = ≠1 0A existe 1A− : ( ) 2 1Adj

1 1A =

y ( )( )1 2 11 Adj

1 1tA A

A− = =

Como = − ≠1 0B existe 1B− : ( ) 0 1Adj

1 2B

− = − y ( )( )1 0 1 0 11 1Adj

1 2 1 21tB B

B− − = = = − −−

Por tanto, 1 11 3 2 1 1 3 0 1 2 5 0 1 5 80 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2 2 3

X A B− − − = = = = − − − − −

88. Halla todas las matrices X tales que 1 1 1 11 1 1 1

X X =

.

La matriz X debe ser de orden 2, pongamos a b

Xc d =

, entonces:

1 1 1 11 1 1 1

a b a ca b a b a c b d a b b d b c

X Xc d c d a c b d c d a c a d

c d b d

+ = ++ + + + + = + = = ⇒ = ⇒ ⇒ + + + + + = + = + = +

Por tanto, las soluciones de la ecuación matricial son de la forma a b

Xb a =

con ,a b∈ .

89. Resuelve la ecuación matricial ( )2B A I AXA B+ = + , siendo:

1 1 1 2 1 00 1 1 1 0 1

A B I− = = = − −

( ) ( ) ( )

−

− − −+ = + ⇒ = + − = + − = ⇒ = =1

1 1 1

Si existe 2 2 2 2 2 2

AB A I AXA B AXA B A I B BA B B BA X A BA A A B

Como = ≠1 0A existe 1A− :

( ) =

1 0Adj

1 1A y ( )( )− = =

1 1 11 Adj

0 1t

A AA

Por tanto, 1 2 2 1 2 0 22

0 2 1 1 2 2X A B− = = = − − − −

90. a) Despeja la matriz X en la ecuación ( )+ − = +2 2X M XM I X en la que M es una matriz regular de orden 3 e I es

la identidad del mismo orden.

b) Resuelve la ecuación cuando la matriz M es: 1 1 11 0 10 1 1

M−

= − −

a) ( ) ( )− −+ − = + ⇒ + + + − = + ⇒ = − ⇒ = − = −2 2 2 2 2 2 1 2 1X M XM I X X XM MX M XM I X MX I M X M I M M M

b) Como = − ≠1 0M existe 1M − :

( )1 1 1

Adj 2 1 11 0 1

M−

= − −

y ( )( )1

1 2 1 1 2 11 1Adj 1 1 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1

tM MM

−

− − − = = = − − − − − −

Por tanto, 1

2 1 20 1 11 0 0

X M M−

− − − = − = −


91. Dadas las matrices −

= −

2 1 10 1 32 1 2

A y 0 0 11 1 11 0 0

B =

encuentra la matriz X que verifica 1A XA B A− = − .

( )1 1A XA B A X A B A A− −= − ⇒ = −

Como 10 0A = − ≠ existe 1A− :

( )1 6 2

Adj 3 2 44 6 2

A− −

= − − −

y ( )( )1

1 3 210 10 51 3 4

1 1 3 1 3Adj 6 2 610 5 5 52 4 2 1 2 1

5 5 5

tA AA

−

− − −

= = − − = − − − − −

Por tanto, ( ) 1

1 3 2 1 3 210 10 5 10 10 52 1 1 2 1 2 6 1 4

3 1 3 3 1 30 1 3 1 0 2 10 3 85 5 5 5 5 52 1 2 3 1 2 11 0 101 2 1 1 2 15 5 5 5 5 5

X A B A A−

− − − − − − −

= − = − − = − − − = − − − − − − − −

2 0 14 2 215 5 5

31 7 1210 10 5

− −= − −

Síntesis 92. a) Estudia para qué valores de α la matriz

0 1 21 1 2

1 1 2A

= α + − α − − α +

tiene rango máximo.

b) Siendo 1A− la inversa de la matriz A, calcula ( )− 21A para 1α = − .

a) La matriz A tendrá rango máximo, es decir, rango 3, si su determinante no es nulo.

= ⇒ α + α = ⇒ α = α = −2 10 2 0 0,2

A

Por tanto, la matriz A tendrá rango máximo si 10 y 2

α ≠ α ≠ − .

b) Según el apartado anterior, si 1α = − el determinante de A no se anula ( = 1A ) y, por tanto, existe 1A− :

0 1 20 1 31 0 2

A = − − −

, ( )− − = − − −

2 3 1Adj 2 2 1

1 0 0A y ( )( )−

− − − = = − −

1

2 2 11 Adj 3 2 0

1 1 0

tA A

A

Por tanto, ( )−

− − − − − − − = = − − − − − − −

21

2 2 1 2 2 1 1 1 23 2 0 3 2 0 0 2 31 1 0 1 1 0 1 0 1

A



1 2 30 23 1

A tt

= −

1 0 00 1 00 0 1

I =

se pide:

a) Hallar el rango de A en función de t.

b) Calcular t para que ( )− =det 0A tI .

a) Tenemos 20 9 14 0 2, 7A t t t t= ⇒ − + = ⇒ = = , por tanto:

Si 2t ≠ y 7t ≠ , rg( ) 3A =

Si 2t = , 1 2 3

rg( ) rg 0 2 2 23 1 2

A = = −

ya que el menor 1 2

2 00 2

= ≠ .

Si 7t = , 1 2 3

rg( ) rg 0 7 2 23 1 7

A = = −

ya que el menor 1 2

7 00 7

= ≠ .

b) −

− = ⇒ = ⇒ − + = ⇒ =−

1 2 30 0 0 2 0 2 14 0 7

3 1 0

tA tI t t

94. Dadas las matrices = −

1 20 1 1

kA y

01 13 2

kB

=

.

a) Determina para qué valores de k las matrices AB y BA tienen inversa.

b) Resuelve la ecuación = 3ABX I para 0k = , donde 1 00 1

I =

.

a) Tenemos:

+ += ⇒ = ⇒ − − = ⇒ = −

6 2 4 20 0 3 2 02 1 3

k kAB k k

Por tanto, AB tiene inversa si 23

k ≠ − .

−= ⇒ − = ⇒

−

00 1 1 3 0 No depende de .

3 3 2 8

k kBA k k

k Por tanto, BA no tiene inversa.

b) Según el apartado anterior, si 0k = , 6 42 1

AB =

tiene inversa ( = −2AB ):

1 2Adj( )

4 6AB

− = − y ( ) ( )( )−

− − = = = −− −

111 4 21 1Adj 22 62 1 3

tAB AB

AB

Por tanto, ( ) ( )− − − = ⇒ = = =

−

1 13 63 3 3 23 9

ABX I X AB I AB



0 1 2 4 1 1 22 1 0 2 3 7 81 1 3 2 3 3

A Ba a a

− − = − − = − − − − − +

a) Estudia el rango de la matriz B en función de a.

b) Para = 0a , calcula la matriz X que verifica AX B= .

a) Como el menor −

= − ≠− −4 1

14 02 3

el rango de B es al menos 2.

Si los dos menores de orden 3 que se pueden formar ampliando este menor de orden 2 se anulan, el rango de B será 2, en caso contrario el rango será 3.

Estudiemos, por tanto, cuando se anulan estos dos menores de orden 3:

4 1 12 3 7 0 40 40 0 1

3 2 3a a

a a

−− − − = ⇒ − + = ⇒ =

− +

4 1 22 3 8 0 36 36 0 1

3 2 3a a

a

− −− − − = ⇒ − + = ⇒ =

−

Por tanto, si 1a = tenemos rg( ) 2B = , y si 1a ≠ tenemos rg( ) 3B = .

b) Si A tiene inversa tendremos 1X A B−= . Como 0 1 22 1 0 41 0 1

A = − − = , existe 1A− :

( )1 2 1

Adj 1 2 12 4 2

A− = − − −

y ( )( )1

1 1 14 4 21 1 2

1 1 1 1Adj 2 2 4 14 2 21 1 2 1 1 1

4 4 2

tA AA

−

− − − − = = − − = − −

Por tanto, 1

1 1 14 4 2 4 1 1 2 1 2 3 41 1 1 2 3 7 8 0 1 1 02 2 3 2 3 3 2 0 0 11 1 14 4 2

X A B−

− − − −

= = − − − − − − = − −


96. Dada la ecuación matricial:

2 1 13 7 1 1a

B =

donde B es una matriz cuadrada de dimensión 2 x 2, se pide:

a) Calcular el valor o valores de a para los que esta ecuación tiene solución.

b) Calcular B en el caso = 1a .

a) Si la matriz 2

3 7a

tiene inversa, es decir, si su determinante no es nulo, la ecuación tendrá solución. Si la

matriz no tiene inversa (su determinante es nulo), la ecuación todavía puede tener solución, por lo que habrá que comprobar este hecho.

Tenemos 2 60 7 6 0

3 7 7a

a a= ⇒ − = ⇒ = , por tanto, si 67

a ≠ la ecuación tiene solución 12 1 1

3 7 1 1a

B−

=

.

Analicemos que sucede si 67

a = . En este caso no se puede despejar B, con lo que pongamos 1 2

3 4

x xB

x x

=

,

tenemos:

+ + + = + = = ⇒ = ⇒ + + + = + =

1 3 2 4 1 3 2 4

1 3 2 4 1 3 2 4

6 6 6 66 2 2 2 11 1 1 1 2 12 y 7 7 7 77 1 1 1 13 7 3 7 3 7 1 3 7 13 7

x x x x x x x xB

x x x x x x x x

pero ninguno de estos dos sistemas tiene solución, por tanto, si 67

a = la ecuación no tiene solución.

b) Según el apartado anterior, si 1a = la ecuación tiene solución:

11 2 1 1 7 2 1 1 5 53 7 1 1 3 1 1 1 2 2

B− − = = = − − −

CUESTIONES

97. Si M es un matriz cuadrada de orden 2 tal que = 7M , razona cuál es el valor de los determinantes 2M y

2M .

Usando la propiedad 10 tenemos = =22 49M M . Usando la propiedad 2, aplicada a cada una de las filas de 2M, tenemos = =22 2 28M M .

98. Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det( ) 2M = . Calcula:

a) El rango de 2M .

b) El determinante de 2 tM .

c) El determinante de ( )− 21M .

d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y la segunda filas de M.

a) Tenemos = = ≠22 4 0M M , por lo que el rango de 2M es 3.

b) Usando la propiedad 2, aplicada a cada una de las filas de 2 tM , y la propiedad 9, tenemos:

= = =32 2 8 16t tM M M .

c) Usando las propiedades 10 y 11 tenemos ( )− −= = =2 21 1

21 1

4M M

M.

d) Usando la propiedad 7 tenemos = − = −2N M .


99. Todos los elementos de la matriz M son números naturales, razona si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) El determinante es un número natural.

b) El determinante puede ser fraccionario.

c) El determinante es un número entero.

Si la matriz M no es cuadrada no existe su determinante y las tres afirmaciones son falsas.

Si la matriz M es cuadrada, como el cálculo del determinante solo involucra sumas, restas y productos de los elementos de M, la afirmación c es verdadera.

También la afirmación b es verdadera, ya que todos los números enteros son fraccionarios, pero el determinante nunca podría ser un número fraccionario no entero.

La afirmación a es falsa, como prueba la matriz 0 11 0

A =

, cuyo determinante es –1.

100. Razona cuál es el valor del determinante de una matriz escalar. Toda matriz escalar de orden n es de la forma nIλ , por tanto, aplicando la propiedad 2 a cada una de las filas de la

matriz, obtenemos de su determinante es n nn nI Iλ = λ = λ .

101. En una matriz D de dimensión 3 x 4 todos los menores de orden 2 formados con las dos primeras filas son nulos. Razona si son ciertas las afirmaciones siguientes.

a) El rango de D no puede ser 2.

b) El rango de D no puede ser 3.

c) El rango de D no puede ser 4.

Observemos en primer lugar que como D tiene 3 filas, su rango no pude ser superior a 3.

Por otro lado, las dos primeras filas de D deben ser linealmente dependientes, por lo que el rango tampoco puede ser 3.

Por tanto, las afirmaciones b y c son verdaderas.

La afirmación a es falsa, como prueba la siguiente matriz, cuyo rango es 2 y verifica las condiciones del enunciado:

1 0 0 01 0 0 00 1 0 0

D =

102. Se sabe que el determinante del producto de las matrices cuadradas A y B de orden 3 es =det( ) 2AB . Halla el rango de B. Puesto que det( ) det( )det( )AB A B= , el determinante de B no puede ser nulo, con lo que el rango de B será 3.

103. Prueba que si A es una matriz cuadrada de orden n y λ es un número real cualquiera, entonces:

( ) ( )det detnA Aλ = λ

Basta aplicar la propiedad 2 a cada una de las n filas de Aλ para obtener que ( ) ( )det detnA Aλ = λ .


104. Sea M una matriz de dimensión 3 x 4 y de columnas 1C , 2C , 3C y 4C . Si se sabe que ( )1 2 3det , , 0C C C = , ( )2 3 4det , , 0C C C ≠ y ( )1 2 4det , , 0C C C = , determina qué columnas son combinación lineal de otras y qué

columnas son linealmente independientes. ¿Cuál es el rango de M? Como M tiene 3 filas, su rango no puede ser superior a 3, por tanto, al ser ( )2 3 4det , , 0C C C ≠ el rango de M es 3 y

2C , 3C y 4C son linealmente independientes.

En particular, 2C y 3C también son linealmente independientes, por lo que, al ser ( )1 2 3det , , 0C C C = deducimos que 1C es combinación lineal de 2C y 3C , pongamos 1 1 2 2 3C C C= λ + λ .

De manera análoga, como ( )1 2 4det , , 0C C C = , 1C es combinación lineal de 2C y 4C , pongamos 1 1 2 2 4C C C= α + α .

Por tanto, obtenemos 1 2 2 3 1 2 2 4C C C Cλ + λ = α + α , de donde se deduce que 2 0λ = , ya que en caso contrario

podríamos escribir 1 1 23 2 4

2 2

C C Cα − λ α= +

λ λ como combinación lineal de 2C y 4C en contradicción con que

( )2 3 4det , , 0C C C ≠ (de igual manera, tenemos 2 0α = ).

Es decir, hemos obtenido que 1 1 2C C= λ es proporcional a 2C .

105. Sea M una matriz cuadrada tal que 1M = − y 2 8M− = . Calcula el orden de la matriz M.

Si M es de orden n tenemos ( ) ( )8 2 2 2n nM M= − = − = − − , por tanto, 3n = .

106. ¿Qué condición se debe cumplir para que el determinante de una matriz triangular de orden 3 sea negativo? El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal, por tanto, para que el determinante sea negativo, exactamente uno o los tres elementos de la diagonal principal deben ser negativos.

107. El determinante de la matriz M es 5. La matriz N se construye de modo que su primera columna es la tercera de M, su segunda columna es la primera de M y su tercera columna es la segunda de M. Halla el valor del determinante de N. Sea 'N la matriz que se obtiene intercambiando la primera y la segunda columna de M, con lo que 'N M= − .

N se obtiene intercambiando la primera y la tercera columna de 'N , con lo que 'N N M= − = .

108. Prueba que si A y B son matrices cuadradas de orden 2, el determinante de su producto es el producto de sus determinantes, es decir =AB A B .

Sean 1 2

3 4

a aA

a a

=

y 1 2

3 4

b bB

b b

=

, tenemos

( ) ( )1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 1 4 1 4 2 3 2 3 1 4 2 3 2 3A B a a a a b b b b a a b b a a b b a a b b a a b b= − − = − − +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 1 2 2 41 1 2 3 3 2 4 4 1 2 2 4 3 1 4 3 1 3 1 2

3 1 4 3 3 2 4 4

a b a b a b a bAB a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b

a b a b a b a b+ +

= = + + − + + =+ + 1 4 1 4 2 3 2 3a a b b a a b b+ + +

2 4 3 4a a b b+ 1 3 1 2a a b b− 1 4 2 3 2 3 1 4 2 4 3 4a a b b a a b b a a b b− − − 1 4 1 4 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4a a b b a a b b a a b b a a b b= − + −

Por tanto, obtenemos que AB A B= .


109. Una matriz A es idempotente si verifica que 2A A= . Determina qué valor puede tomar el determinante de una matriz idempotente.

Observemos que si 2A A= , la matriz A debe ser cuadrada y 2A A= , es decir, 2A A= , por lo que 0A = o

1A = .

PROBLEMAS

110. Sea la matriz =

2

2 2

2 2

a ab abA ab a b

ab a a.

a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcula el determinante de A.

b) Estudia el rango de A en el caso = −b a .

a) ( ) ( )3 3 2

2

2 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Propiedad 2 Desarrollando por2 2 la tercera columna

01

0C C C

a ab ab a b b a ba b

A ab a b a ab a b a ab a b a a b ab a

ab a a b a a b a

+

→ −= = = − = − − =

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2a b a a b a a b= − − − = −

b) Si = −b a tenemos

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a a aA a a a

a a a

− − = − −

, por tanto, todas las filas son proporcionales, con lo que el rango de

A es 1 si 0a ≠ y 0 si 0a = .

111. Sea =

1 0 00 1 0

0A

a b.

a) ¿Cuándo el determinante de A es el seno de un número real?

b) Calcula la inversa de A, cuando exista.

c) Determina todos los pares (a, b) para los que A coincide con su inversa.

a) El determinante de A será el seno de un número real si 1 1A− ≤ ≤ , es decir, 1 1b− ≤ ≤ .

b) Existe 1A− si 0A ≠ , es decir, si 0b ≠ . En este caso tenemos:

0Adj( ) 0 0

0 0 1

b aA b

− =

y ( )( )1

1 0 00 01 1 0 1 0Adj 0 0

10 1 0

tb

A A bA b aa

b b

−

= = = − −

c) ( )12

1 0 01 0 00 o 11 00 1 00 1 0

1 1 o 1110 0

aa a ba bbA Ab bba ba b

bb b

−

= − = = −+ = = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ = = −= =−

Por tanto, A coincide con su inversa si ( ) ( ), 0, 1a b = o ( ) ( ), , 1a b a= − para algún a∈ .


112. Sea A una matriz cuadrada de orden 3.

a) Se sabe que el determinante de la matriz 2A es =2 8A . ¿Cuánto vale el determinante de A? Razona la respuesta indicando las propiedades que has utilizado.

b) Calcula para qué valores de x se cumple que =2 8A , siendo A la matriz:

1 11 2 2

2 1

xA x

x x

= + −

a) Usando la propiedad 2 aplicada a cada una de las filas de A tenemos = =32 2 8A A A , por tanto, = 1A .

b) Según el apartado anterior tenemos:

= ⇒ = ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ = =2 22 8 1 2 1 1 2 0 0, 2A A x x x x x x

113. Sea =

a bA

c d.

a) Calcula las matrices que verifican la relación = +A A I . (I es la matriz identidad y A representa el determinante de A).

b) Calcula todas las matrices diagonales, que no poseen inversa, y que verifican la relación anterior.

c) ¿Se verifica para cualquier par de matrices B y C la relación B C B C+ = + ? Si no es cierto pon un contraejemplo.

Justifica todas las respuestas.

a) Tenemos:

( ) ( )11 1 1 1 0

1a b a b

A A I ad bc a d bc ad ad a d a dc d c d

+= + ⇒ = ⇒ − = + + − ⇒ = + + + ⇒ + + =

+

Por tanto, las matrices que verifican = +A A I son de la forma 1

a bA

c a = − −

con , ,a b c ∈ .

b) Ya sabemos que la matriz debe ser de la forma 1

a bA

c a = − −

con , ,a b c ∈ , además, para que sea

diagonal debe ser 0b c= = , y para que no tenga inversa debe ser ( )0 1 0 0 o 1A a a a a= ⇒ − − = ⇒ = = − .

Por tanto, las matrices que cumplen las condiciones son 0 00 1

A = − y

1 00 0

A− =

c) La relación B C B C+ = + no se verifica para todas las matrices, por ejemplo, las matrices del tipo

1a b

Ac a = − −

con , ,a b c ∈

no verifican A I A I+ = + , ya que según el apartado a, A I A+ = , pero 1A I A+ = + .


114. a) Sabiendo que = =2 2 2

1 1 12A a b c

a b c donde a, b, c son números reales, calcula los determinantes:

− − −− − −2 2 2

1 1 11 1 1

5 5 5

a b ca b c y

2 2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)a b ca b ca b c

+ + +

indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.

b) Razona que, puesto que 2A = , los parámetros a, b y c deben ser distintos entre sí.

a) 1 1 32 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Propiedad 2 Propiedad 8 Propiedad 7 Propiedad 7

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 5 1 1 1 5 5

5 5 5 1 1 1 1 1 1F F FF F F

a b c a b c a b ca b c a b c a b c a b c

a b c→ +→ +

− − − − − −− − − = − − − = = − =

2 2 2

1 1 15 10a b c

a b c= =

b)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Propiedad 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 2 1 2 1 2 1 2 2 2a b c a a b b c c a b c a b ca b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c a b c

+ + + + + + + + += = + +

Propiedad 4

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 12a b c a b c

a b c a b c+ = =


PROFUNDIZACIÓN 115. Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama polinomio característico de A al polinomio ( ) np x A xI= −

a) Halla las raíces del polinomio característico de la matriz:

3 2 11 4 10 4 2

A−

= −

b) Si A es la matriz a b

Ac d =

:

i) Comprueba que su polinomio característico es:

( )= − + +2( )p x x a d x A

ii) Encuentra los valores de a, b, c y d para que A tenga como polinomio característico 2( ) 1p x x x= + + . ¿Cuántas matrices hay con el mismo polinomio característico?

iii) Si A tiene inversa, demuestra que el polinomio característico de la inversa, 1A− , es += − +2 1( ) a dp x x x

A A.

a) El polinomio característico de A es:

( )( )− −

= − = − − = − + − + = − − −−

23 23

3 2 1( ) 1 4 1 9 24 20 5 2

0 4 2

xp x A xI x x x x x x

x

cuyas raíces son 2x = (raíz doble) y 5x = .

b)

i) El polinomio característico de A es:

( )( ) ( ) ( ) ( )−= − = = − − − = − + + − = − + +

−2 2

2( )a x b

p x A xI a x d x bc x a d x ad bc x a d x Ac d x

ii) Tenemos:

+ = − + = − = − − ⇒ ⇒ = − = − =

1 1 11 1 1

a d a d d aA ad bc ad bc

Sustituyendo el valor de d en la segunda ecuación obtenemos ( ) ( )= − = − − − = − + +21 1 1 1bc ad a a a a .

Como 2 1a a+ + no se anula nunca, deducimos que b y c no pueden ser nulos y, por tanto, las soluciones del sistema no lineal son

2 1, , y 1a aa b c d ab+ +

∈ ∈ = − = − −

En particular, obtenemos que existen infinitas matrices con el mismo polinomio característico.

iii) Si A es invertible será:

( )( )−

− − = = = − −

1 1 1Adjt

t

d bd c A AA Ab a c aA A

A A

Por tanto, según el aparatado a, el polinomio característico de 1A− es:

− + = − + + = − +

2 1 2 1( ) d a a dp x x x A x xA A A A


116. Se consideran las matrices de orden n de la forma:

1 1 1 11 4 1 11 1 4 1

1 1 1 4

nA

−

= − − − − −

a) Calcula ( )2det A , ( )3det A y ( )4det A .

b) Formula una hipótesis razonada sobre el valor de ( )det nA .

c) Formula una hipótesis razonada sobre el valor del determinante de la matriz similar a nA en cuya diagonal principal los elementos distintos del primero valen 7.

a) ( )21 1

det 51 4

A = =−

y ( ) ( ) ( )3 3 1

3 3 23 2Desarrollando por

la última fila

1 1 1 1 1 1det 1 4 1 1 4 1 5 1 det 25 5

1 1 4 0 0 5F F F

A A+

→ += − = − = − = =− −

.

( ) ( ) ( )3 3 1

4 4 34 3Desarrollando por

la última fila

1 1 1 1 1 1 1 11 4 1 1 1 4 1 1

det 5 1 det 125 51 1 4 1 1 1 4 11 1 1 4 0 0 0 5

F F FA A+

→ +

− −= = = − = =− − − −− − −

.

b) ( ) 1det 5nnA −= , se podría demostrar por inducción usando la técnica anterior.

c) En este caso ( ) 1det 8nnA −= , se podría demostrar por inducción de manera completamente análoga a como se

demostraría la expresión anterior.

117. Dada la matriz 1 1 11 1 cos 1 sen1 1 sen 1 cos

M = + α − α + α + α

:

a) Determina para qué valores de α la matriz M tiene inversa.

b) Halla la matriz inversa de M, cuando exista.

a) M tiene inversa si su determinante no es nulo. Tenemos:

( ) + α − α= + α − α = α − α = ⋅ − = α + α =

α α+ α + α α α

1 1 2 2

1 1 1 1 1 1cos sen

1 1 cos 1 sen 0 cos sen 1 1 sen cos 1sen cos

1 1 sen 1 cos 0 sen cosM

Por tanto, la matriz M tiene inversa para cualquier valor de α .

b) Según el apartado anterior la matriz M tiene inversa para cualquier valor de α . Tenemos:

( )1 2cos sen cos sen cos

Adj sen cos cos sensen cos sen cos

M+ α − α − α α − α

= α − α α − α − α − α α α

( )( )1

1 2cos sen cos sen cos1 Adj sen cos cos sen

sen cos sen cos

tM MM

−

+ α α − α − α − α = = − α − α α α α − α − α α


118. Sean las matrices cos sensen cos

a aA

a a = −

y cos 0 sen

0 0sen 0 cos

a aB b

a a

= −

, estudia qué valores de a y b hacen que

sea cierta la igualdad:

( )2det( ) 2det( )det( ) 1 0A A B− + =

Tenemos = + =2 2det( ) sen cos 1A a a y ( )= + = + =2 2 2 2det( ) sen cos sen cosB b a b a b a a b , por tanto:

( )2det( ) 2det( )det( ) 1 0 1 2 1 0 1A A B b b− + = ⇒ − + = ⇒ =

Así, obtenemos , 1a b∈ = .

119. Resuelve la ecuación

1 2 3 43 6 1

06 4 1

5 4 1

x xx x x

x x x x

+=

+ ++ + +

.

( ) ( )4 4 3 3 3 2

4 1

Desarrollando porla última fila

1 2 3 4 1 2 3 42 3 4

3 6 1 3 6 11 1 6 1

6 4 1 6 4 14 1

5 4 1 1 0 0 0F F F F F F

x x x xx x x

x x x x x xx x x

x x x x x

+

→ − → −

+ += = − − + =

+ + + ++ +

+ + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1

Desarrollando porla última fila

2 3 43 4

1 6 1 1 2 1 1 2 3 3 41

2 0 0x x x x x x x x x

x xx

+= − − + = − − − − = − − − + − =+

−

( ) ( ) ( )1 2 3x x x= − − −

Por tanto, las soluciones de la ecuación son 1x = , 2x = y 3x = .

120. Averigua, según el valor de a, el número de soluciones de

2

2

2

2

0

x a a aa x a aa a x aa a a x

= .

( )1 1 2 3 4 2 2 1

3 3 14 4 1

2 2 2 2 2

22 22

22 2 Propiedad 2

22 2

1 1 1 13 3 3 3

3F F F F F C C C

C C CC C C

x a a a x a x a x a x aa x a aa x a a a x a a x aa a x aa a x a a a x aa a a xa a a x a a a x

→ + + + → −→ −→ −

+ + + +

= = + =

( ) ( ) ( )2

32 2 22

2

1 0 0 00 0

3 30 00 0

a x ax a x a x a

a x aa x a

−= + = + −

−−

, por tanto,

si 0a > la ecuación tiene dos soluciones (triples), x a= − y x a= .

si 0a < la ecuación tiene dos soluciones, 3x a= − y 3x a= .

si 0a = la ecuación tiene una solución (con multiplicidad 8), 0x = .


AUTOEVALUACIÓN

Comprueba qué has aprendido

1. Dadas las matrices − = − −

1 1 22 1

Aa

y 1 11 2

2B

a

− =

:

Halla el valor de a que hace que = 2AB .

( ) ( ) 22 2 32 2 2 2 2 4 6 2 4 12 0 0, 3

2 2 4a

AB a a a a a aa

−= ⇒ = ⇒ − − − = ⇒ − = ⇒ = =

−.

2. Sabiendo que =0 31 3 32 3

abc

, calcula el valor de los siguientes determinantes.

a) 0 62 64 6

a ab bc c

−−−

b) − −

1 1 10 1 2

2 2 1 2 2a b c

a) Propiedad 1 Propiedad 4 Propiedad 2 Propiedad 7

0 6 0 0 6 0 6 0 3 0 32 6 2 2 6 2 6 4 1 3 4 1 3 124 6 4 4 6 4 6 2 3 2 3

a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c c

−− = − = − = − = =−

b) Propiedad 1 Propiedad 4 Propiedad 2 Propiedad 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 320 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 232 2 1 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2a b c a b c a b c a b c

= − = = =− −

= = − = − ⋅ = −Propiedad 7

3 0 0 32 2 23 1 1 3 3 23 3 33 2 2 3

a ab bc c

3. Determina para qué valores del parámetro k tiene inversa la matriz y halla su inversa cuando = 2k .

0 1 11 3 11 1 0

kA k

− − = − −

A tiene inversa si su determinante no es nulo.

Tenemos:

( ) ( ) 20 1 1 1 3 0 2 3 0 1, 3A k k k k k k= ⇒ − − − − − = ⇒ − − = ⇒ = − =

Por tanto, A tiene inversa si 1k ≠ − y 3k ≠ .

En particular, para 2k = tenemos 0 1 11 3 11 1 0

A−

= − −

, 3A = − y

( )( )−

− − = = − − − = − − − −

−

1

1 1 23 3 31 1 4

1 1 1 1 1Adj 1 1 13 3 3 32 1 1 4 1 1

3 3 3

t

tA A

A


4. Halla el rango de la matriz 3 11 1 12 3

m mA

m

+ =

para los distintos valores posibles del parámetro m.

Tenemos:

( ) ( ) 2 20 3 2 3 1 2 1 9 0 6 8 0 2, 4A m m m m m m m m m= ⇒ + + + − + − − = ⇒ − + − = ⇒ = =

Por tanto:

si 2m ≠ y 4m ≠ tenemos rg( ) 3A = .

si 2m = tenemos 3 2 3

rg( ) rg 1 1 1 22 3 2

A = =


1 01 1

= ≠ .

si 4m = tenemos 3 4 5

rg( ) rg 1 1 1 22 3 4

A = =


1 01 1

= − ≠ .

5. Dada la ecuación matricial 2 2tXA B X− = − .

a) Despeja la matriz X, cuando sea posible.

b) Halla la matriz X si las matrices A y B son:

0 1 1 3 3 21 1 1 2 0 12 0 0 3 3 2

A B−

= − =

a) ( )2 2 2 2 2 2t t tXA B X XA X B X A I B− = − ⇒ + = ⇒ + =

Por tanto, si 2A I+ es invertible, tendremos ( ) 12 2tX B A I −= + .

b) 2 1 1

2 1 1 12 0 2

A I−

+ =

y 2 1 1

2 1 1 1 2 02 0 2

A I−

+ = = ≠ , por lo que 2A I+ tiene inversa:

( )2 0 2

Adj 2 2 2 22 1 3

A I−

+ = − − −

y ( ) ( )( )1

1 1 12 2 2 11 1 0 12 Adj 2 0 2 1 22 2 2 2 3 31 1

2

tA I A IA I

−

− − − + = + = − = + − − − −

Por tanto, según el apartado anterior:

( ) 1

1 1 16 4 6 0 4 110 12 2 6 0 6 0 0 324 2 4 0 2 131 1

2

tX B A I −

− − = + = = − −


6. Calcula el valor del determinante

1 1 11 1

1

aa ba b ca b c d

.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 13 3 14 4 1

1 1

Desarrollando porla primera columna

1 1 1 1 1 11 0 0

1 1 0 1 0 01 1 1 0 1 1 1

1 0 1 1 01 1 1

0 1 1 1F F FF F FF F F

a ab

a b ba b c a b c d

a b c b cb c d

a b c d b c d

+

→ −→ −→ −

−−

= = − − − = − − −− −

− − −− − −

7. A y B son dos matrices cuadradas de orden 4 cuyos determinantes son: det( ) 5, det( ) 2A B= = . Halla:

a) ( )−1det A b) ( )det 4A c) ( )5det B A d) ( )( )det tAB

a) ( )( )

− = =1 1 1detdet 5

AA

b) ( ) ( )= =4det 4 4 det 1280A A

c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )= = =55 5det det det det det 160B A B A B A

d) ( )( ) ( ) ( ) ( )= = =det det det det 10tAB AB A B

Relaciona y contesta

Elige la única respuesta correcta en cada caso 1. A es una matriz triangular cuyos elementos son números naturales y cuyo determinante es 15.

A. Algún elemento de A vale 3. C. A tiene exactamente tres elementos nulos.

B. Algún elemento de A vale 1. D. A puede tener siete elementos nulos.

A y C son falsas, basta considerar la matriz 15 01 1

A =

.

B también es falsa, basta considerar la matriz 5 00 3

A =

.

La respuesta correcta es D, basta considerar la matriz

1 0 0 01 3 0 01 1 5 00 1 1 1

A

=

.

2. El determinante de la matriz B es =det( ) 1B .

A. B es la matriz identidad. C. =2det( ) 1B

B. B coincide con su inversa. D. det( ) 0B I− =

La respuesta correcta es C, ya que ( )22det( ) det( ) 1B B= = .

El resto de respuestas son falsas, basta considerar la matriz 1 11 2

B =

con det( ) 1B = , 1 2 11 1

B− − = − y

0 1det( ) 1 0

1 1B I− = = − ≠ .


3. En la matriz A, cuadrada de orden 3, se sabe que: = = = =21 23 22 230, 1, 0 y a a A A m .

A. =det( ) 0A

B. det( )A m=

C. Las filas 2 y 3 son linealmente independientes.

D. No hay información suficiente para saber el valor de det( )A .

La respuesta correcta es B, desarrollando por la segunda fila de B tenemos

21 21 22 22 23 23 21 22det( ) 0 0 1A a A a A a A A a m m= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

D obviamente es falsa.

A solo es cierta si 0m = .

C es verdadera si 0m ≠ (las tres filas serán linealmente independientes), pero puede ser verdadera, 1 0 10 1 11 0 1

A =

, o falsa, 0 0 10 1 10 1 1

A =

, si 0m = .

Señala, en cada caso, las respuestas correctas 4. En la matriz adjunta de la matriz cuadrada A, de orden 3, todos los elementos de la última fila son nulos.

Entonces:

A. rg( ) 3A <

B. Una de las dos primeras filas está formada por ceros.

C. La última fila de A es combinación lineal de las dos primeras.

D. La matriz A no tiene inversa.

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Adj( )A A A

A A A AA A A

Si A31 = A32 = A33 = 0 ⇒ las dos primeras filas de A son dependientes la una de la otra, luego rg(A) < 3.

A y D son verdaderas.

5. El determinante de una matriz cuadrada de orden 4 es un número múltiplo de 3, entonces:

A. Todos sus elementos son múltiplos de 3.

B. Hay una fila en la que todos los elementos son múltiplos de 3.

C. El rango de la matriz es 3.

D. La matriz tiene inversa.

A, B y C son falsas, basta considerar la matriz

1 0 0 00 1 0 00 0 4 10 0 1 1

M

=

con determinante 3, por tanto, de rango 4.

D también es falsa salvo que añadamos que el determinante de la matriz es un múltiplo de 3 no nulo, en cuyo caso D sería correcta.


Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas 6. Se tiene una matriz de orden 5 de la que se consideran las afirmaciones:

1. Todos los menores de orden 4 son nulos. 2. rg( ) 4A <

A. 1 2⇒ pero 2 1⇒ C. 1 2⇔

B. 2 1⇒ pero 1 2⇒ D. Nada de lo anterior.

Recordemos que si todos los menores de orden p de una matriz son nulos, el rango de la matriz es menor que p, por tanto 1 2⇒ .

Recíprocamente, si rg( ) 4A < no podemos encontrar ningún menor de orden 4 no nulo, ya que en este caso tendríamos rg( ) 4A ≥ , por tanto, también 2 1⇒ .

Es decir, la relación correcta es C.

Señala el dato innecesario para contestar 7. Se quiere calcular el determinante de una matriz y para ello se tienen los siguientes datos:

1. Es una matriz triangular.

2. Todos los elementos de la última columna son nulos.

3. Hay un menor de orden 2 distinto de cero.

A. El dato 1 es innecesario. C. El dato 3 es innecesario.

B. El dato 2 es innecesario. D. Basta con dos datos cualesquiera de los tres.

Con solo el dato 2 podemos saber que el determinante de la matriz debe ser nulo.

No nos basta con el dato 1 y 3, por ejemplo, las matrices 1 10 1

A =

y 1 10 2

B =

verifican 1 y 3 pero sus

determinantes no coinciden.

Por tanto, las respuestas correctas son A y C.

46 Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales

9 Sistemas de ecuaciones lineales


1. Añade una ecuación al sistema − + = + − =

32 3 0x y zx y z

para que resulte un sistema incompatible.

Basta añadir, por ejemplo, la ecuación 0x y z− + = , ya que ninguna solución de esta ecuación puede verificar a su vez la primera ecuación del sistema.

2. Escribe un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas que tenga como solución la terna (2, 3, 1). Existen infinitos sistemas posibles, por ejemplo:

62

04

x y zx y z

x y zx y z

+ + =− + + = − + = + − =

3. Escribe en forma matricial y en forma vectorial los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) 2 3 43 2 5 1

x y z tx y z t

− + − = + − + = −

b)

1 2

1 2

1 2

1 2

2 3 12 02 1

3 2

x xx xx x

x x

− = + = − = −− + =

a) Forma matricial: Forma vectorial:

2 1 3 1 41 3 2 5 1

xyzt

− − = − −

2 1 3 1 41 3 2 5 1

x y z t− − + + + = − −

b) Forma matricial: Forma vectorial:

1

2

2 3 11 2 01 2 13 1 2

xx

− = − − −

1 2

2 3 11 2 01 2 13 1 2

x x

− + = − − −

4. Escribe en forma de sistema de ecuaciones y en forma vectorial la ecuación matricial:

2 1 2 01 3 2 11 0 1 2

xyz

− =− −

Forma de sistema de ecuaciones: Forma vectorial:

2 2 03 2 1

2

x y zx y zx z

− + = + − = − =

2 1 2 01 3 2 11 0 1 2

x y z−

+ + − = −

Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9 47

5. Las tres cifras de un múltiplo de 11 suman 19. Si se le cambian de orden las dos primeras cifras disminuye en 450.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita averiguar las cifras de un número que cumpla las condiciones.

b) ¿Hay algún otro sistema, que no sea equivalente, que cumpla también las condiciones del enunciado?

a) Sea 100 10x y z+ + un número que verifica las condiciones del enunciado. Como las cifras suman 19 y al

intercambiar las dos primeras cifras disminuye en 450 tenemos:

19x y z+ + =

( ) ( )100 10 100 10 450 90 90 450 5x y z y x z x y x y+ + − + + = ⇒ − = ⇒ − =

Por otro lado, al ser múltiplo de 11 se verifica que x y z− + es múltiplo de 11, además, 1 , , 9x y z≤ ≤ (ninguna de las cifras puede ser nula, ya que entonces su suma sería entonces como máximo 18), por lo que

1 9 1 9 1 9 7 17x y z x y z− + ≤ − + ≤ − + ⇒ − ≤ − + ≤

De este modo se tiene que verificar que 0x y z− + = o 11x y z− + = , pero la primera opción junto con 5x y− = daría 5z = − , lo que no es posible, por tanto, debe ser 11x y z− + = .

Por tanto, el sistema de ecuaciones que nos permite encontrar un número verificando las condiciones del enunciado es

195

11

x y zx yx y z

+ + = − = − + =

Observemos que de las dos últimas ecuaciones deducimos que 6z = , con lo que, de las dos primeras ecuaciones se deduce que 9x = e 4y = , es decir, el único número que verifica las condiciones del enunciado es 946.

b) Según el apartado anterior, no es posible encontrar otro sistema no equivalente al anterior que también verifique las condiciones del enunciado.


9. Aplicando el método de Gauss se han obtenido los siguientes sistemas escalonados. Indica qué tipo de sistema es.

a) 2 3 2

3 14 10

x y zy z

z

− + = + = =

c) 1

2 2 24 12

x y z ty z t

t

− + − = + − = =

b) 3 2 2 9

3 00 13

x y zy z

− + = − = =

d)

2 3 4 14 3 2 1

5 2 27 0

x y z ty z t

z tt

+ − + = − + − = − + = =

a) Sistema compatible determinado.

b) Sistema incompatible.

c) Sistema compatible indeterminado.

d) Sistema compatible determinado.


10. Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss.

a) 2 3 2 33 6 42 9 9 2

x y zx y zx y z

+ − = − + − = − + + =

c)

2 22 0

2 2 3 3 60

x y z ty z t

x y z tx y z t

+ − + = + + = + − + =− + + + =

b)

2 43 1

4 72 0

x yx y

x yx y

+ = − = − = −− + =

d) 2 1

4 3 13 5 3

x y z tx y z t

y z t

+ − + =− − + − = − + − = −

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 3 2

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 13 6 4 3 4 1 3 4 1 12 9 9 2 6 11 5 3 3 1

E E E E E EE E E

x y z x y z x y z xx y z y z y z yx y z y z z z

→ − → −→ −

+ − = − + − = − + − = − = → → →+ − = − + = + = = − + + = + = = =

b) 2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1

2 3 5 92 5 2

2 4 2 4 2 43 1 5 10 5 10 2 4 1

4 7 9 18 0 0 5 10 22 0 2 4 0 0

E E E E E EE E E E E EE E E

x y x y x yx y y y x y x

x y y y yx y y

→ − → +→ − → +→ +

+ = + = + = − = − = − − = − + = = → → → → − = − − = − = − = − = − + = = =

c) 3 3 1 4 4 2 4 4 34 4 1

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 12 0 2 0 2 0 2 0

2 2 3 3 6 2 2 20 2 2 2 2 2 3 6

E E E E E E E E EE E E

x y z t x y z t x y z t x y z t xy z t y z t y z t y z t y

x y z t z t z t z tx y z t y z t z t t

→ − → − → +→ +

+ − + = + − + = + − + = + − + = = + + = + + = + + = + + = → → → → + − + = + = + = + = − + + + = − + = − + = =

102

zt

= − = =

d) 2 2 1 3 3 22 3

3 42 1 2 1 2 1

2 34 3 1 1 1

3 43 5 3 3 5 3 2 8 6

E E E E E E

xx y z t x y z t x y z t

yx y z t y z t y z t

zy z t y z t z t

t→ + → −

= − λ+ − + = + − + = + − + = = − + λ → → →− − + − = − + + = + + = = − λ + − = − + − = − − − = − = λ


14. Resuelve como ecuación matricial los siguientes sistemas.

a) 3 4 62 3 7

x yx y+ =

+ = b) 2 3 4

6 6 7x yx y− = −

+ = −

a) La forma matricial del sistema es 3 4 62 3 7

xy

=

, con matriz de coeficientes 3 42 3

A =

.

Como 1 0A = ≠ , la matriz de coeficientes es invertible y ( )( )1 3 41 Adj2 3

tA AA

− − = = − .

Por tanto, la matriz de incógnitas es 1 6 3 4 6 107 2 3 7 9

xA

y− − − = = = −

.

b) La forma matricial del sistema es 2 3 46 6 7

xy

− − = − , con matriz de coeficientes

2 36 6

A− =

.

Como 30 0A = ≠ , la matriz de coeficientes es invertible y ( )( )1

1 16 31 1 5 10Adj6 2 1 130

5 15

tA AA

−

= = = − −

.

Por tanto, la matriz de incógnitas es 1

1 1 34 45 10 2

17 1 1 735 15

xA

y−

− − − = = = − − −

.


15. Resuelve los siguientes sistemas como ecuaciones matriciales.

a) 2 5

2 21

x y zx y

y z

+ + = − = + =

b) 3 1

2 12 2

x y zx y zx y z

− − = + − =− − + =

a) La forma matricial del sistema es 1 1 2 51 2 0 20 1 1 1

xyz

− =

, con matriz de coeficientes 1 1 21 2 00 1 1

A = −

.

Como 1 0A = − ≠ , la matriz de coeficientes es invertible y

( )( )1

2 1 1 2 1 41 1Adj 1 1 1 1 1 2

1 4 2 3 1 1 3

t

tA AA

−

− − − − = = − = − − − − −


5 2 1 4 5 42 1 1 2 2 11 1 1 3 1 0

xy Az

−

− − = = − − = −

.

b) La forma matricial del sistema es 1 1 3 12 1 1 11 1 2 2

xyz

− − − = − −


A− −

= − − −

.

Como 7 0A = ≠ , la matriz de coeficientes es invertible y

( )( )1

1 5 47 7 71 3 1

1 1 3 1 5Adj 5 1 27 7 7 74 5 3 1 2 3

7 7 7

t

tA AA

−

− − = = − = − − − −

−


1 5 47 7 71 1 23 1 51 1 27 7 72 2 11 2 37 7 7

xy Az

−

= = − − − = − −

.


16. Expresa en forma matricial los siguientes sistemas y resuélvelos.

a)

10

10

x y zy z tx y tx z t

− + = − + = − − = −− + + =

b)

2 03 7

23 2

x zy t

x yz t

+ = + = + = + = −

a) La forma matricial del sistema es

1 1 1 0 10 1 1 1 01 1 0 1 11 0 1 1 0

xyzt

− − = − − − −

.

El determinante de la matriz de coeficientes es

3 3 14 4 1

1 1 1 0 1 1 1 01 1 1

0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 1 0

1 1 0 1 0 0 1 11 2 1

1 0 1 1 0 1 2 1F F FF F F

A→ −→ +

− −−

− −= = = − − = − ≠

− − − −−

− −

con lo que es invertible y ( )( )1

1 1 1 0 1 0 1 10 1 1 1 1 1 3 21 1Adj1 3 2 1 1 1 2 111 2 1 1 0 1 1 1

t

tA AA

−

− − − − − − − − − = = = − − − −− −

.


1 1 0 1 1 1 20 1 1 3 2 0 41 1 1 2 1 1 30 0 1 1 1 0 1

xy

Azt

−

− − − − − = = = − − − − − −

.

b) La forma matricial del sistema es

1 0 2 0 00 3 0 1 71 1 0 0 20 0 3 1 2

xyzt

= −

.

El determinante de la matriz de coeficientes es

3 3 1

1 0 2 0 1 0 2 03 0 1

0 3 0 1 0 3 0 11 2 0 3 0

1 1 0 0 0 1 2 00 3 1

0 0 3 1 0 0 3 1F F F

A→ −

= = = − = − ≠−

con lo que es invertible y ( )( )1

2 21 23 33 3 3 92 22 2 1 3 1 11 1Adj 3 36 3 3 93 1 11 12 2 1 6 3 3

3 1 3 2

t

tA AA

−

− − − −

− − − − = = = − − − − −− −

−

.


2 21 23 30 0 22 27 7 41 13 32 2 11 11 12 2 53 3

3 1 3 2

xy

Azt

−

− − −

− − = = = − −− − −

−

.




21. Comprueba si son de Cramer cada uno de los siguientes sistemas y en caso de serlo, resuélvelos aplicando la regla de Cramer.

a) 3 6 102 4 3x y

x y− =

− + = c)

2 22 5 4

2 4 3

x y zx yx y z

+ + = − =− + − =

e) 5 2 2 3

12

x y zy zx y z

− − = + = − + =

b) 2 3

3 2 01

x y zx y zx y z

+ − = − + =− + + =

d) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 3 23

2 3 2

x x xx x xx x x

+ − = + − = − + = −

f) 2 43 5

2 4

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

a) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo, pero −

= =−3 6

02 4

A . El sistema no es de Cramer.

b) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y 1 2 13 1 2 15 01 1 1

A−

= − = − ≠−

. El sistema es de Cramer con

3 2 10 1 21 1 1 6 2

15 5x

A

−−

−= = =

−

1 3 13 0 21 1 1 20 4

15 3y

A

−

− −= = =

−

1 2 33 1 01 1 1 1 1

15 15z

A

−− −

= = =−

c) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y 1 2 12 5 0 35 01 2 4

A = − = ≠− −


2 2 14 5 03 2 4 95 19

35 7x

A

−−

= = =

1 2 12 4 01 3 4 10 2

35 7y

A− −

= = =

1 2 22 5 41 2 3 45 9

35 7z

A

−− −

= = = −

d) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y 3 2 31 1 1 3 02 3 1

A−

= − = ≠−


1

2 2 33 1 12 3 1 15 5

3x

A

−−

− −= = = 2

3 2 31 3 12 2 1 21 7

3x

A

−−

−= = = 3

3 2 21 1 32 3 2 27 9

3x

A− −

= = =

e) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y 5 2 20 1 1 10 01 1 1

A− −

= = ≠−


3 2 21 1 12 1 1 10 1

10x

A

− −

−= = =

5 3 20 1 11 2 1 0 0

10y

A

−

= = =

5 2 30 1 11 1 2 10 1

10z

A

−

−= = =

f) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y 1 2 11 3 1 1 02 1 1

A = = − ≠ . El sistema es de Cramer con

4 2 15 3 14 1 1 1 1

1x

A−

= = =−

1 4 11 5 12 4 1 1 1

1y

A−

= = =−

1 2 41 3 52 1 4 1 1

1z

A−

= = =−


22. Resuelve los siguientes sistemas indeterminados con ayuda de la regla de Cramer.

a) 5 3 2 17 4 3

x y zx y z+ − =

+ + = b)

2 2 02 2 3

3 1

x y z tx z t

x y z t

− + − =− − + = − − − = −

a) Como ( )1 25 3

det , 1 07 4

C C = = − ≠ , podemos hacer z = λ y obtener el sistema de Cramer:

5 3 1 27 4 3

x yx y+ = + λ

+ = − λ

cuyas soluciones son:

1 2 33 4 5 11

1x

+ λ− λ

= = − λ−

5 1 27 3 8 19

1y

+ λ− λ

= = − + λ−

b) Como ( )1 2 3

1 2 1det , , 2 0 2 16 0

3 1 1C C C

−= − − = ≠

− −, podemos hacer t = λ y obtener el sistema de Cramer:

2 22 2 3

3 1

x y zx z

x y z

− + = λ− − = − λ − − = − + λ


2 2 13 0 21 1 1 13 3

16 16x

λ −− λ −

− + λ − − − + λ= =

1 2 12 3 2

3 1 1 12 12 3 316 16 4

y

λ− − λ −

− + λ − − − λ − − λ= = =

1 2 22 0 3

3 1 1 11 516 16

z

− λ− − λ

− − + λ − + λ= =


23. Resuelve los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer.

a)

1 3

2 4

1 4

2 3

2 12 02 0

1

x xx xx x

x x

+ = + = + = + =

b)

10

10

x y zy z tx y tx z t

− + = − + = − − = −− + + =

a) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la

matriz de coeficientes es:

1 0 2 02 0 1 0 2 1

0 2 0 10 0 1 2 2 0 1 2 2 2 2 0

2 0 0 11 1 0 0 1 0

0 1 1 0

A = = + = − + ⋅ = ≠

Aplicando la regla de Cramer:

1

1 0 2 00 2 0 10 0 0 11 1 1 0 2 1

2x

A= = = , = = =2

1 1 2 00 0 0 12 0 0 1

20 1 1 0 1,2

xA

= = =3

1 0 1 00 2 0 12 0 0 1

00 1 1 0 0,2

xA 4

1 0 2 10 2 0 02 0 0 00 1 1 1 4 2

2x

A−

= = = −

b) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la

matriz de coeficientes es:

3 3 14 4 1

1 1 1 0 1 1 1 01 1 1

0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 1 0

1 1 0 1 0 0 1 11 2 1

1 0 1 1 0 1 2 1F F FF F F

A→ −→ +

− −−

− −= = = − − = − ≠

− − − −−

− −


1 1 1 00 1 1 11 1 0 10 0 1 1 2 2

1x

A

−−

− − −−

= = =−

1 1 1 00 0 1 11 1 0 11 0 1 1 4 4

1y

A

−− −

− −= = =

−

1 1 1 00 1 0 11 1 1 11 0 0 1 3 3

1z

A

−

− − −− −

= = =−

1 1 1 10 1 1 01 1 0 11 0 1 0 1 1

1t

A

−−

− −−

= = = −−


26. En cada caso, indica el número de soluciones del sistema.

a) rg( ) 2, rg( *) 3, 3A A n= = = c) rg( ) 2, rg( *) 2, 4A A n= = =

b) rg( ) 3, rg( *) 3, 3A A n= = = d) rg( ) 1, rg( *) 2, 4A A n= = =

a) El sistema es incompatible, es decir, no tiene soluciones, ya que rg( ) rg( *)A A≠ .

b) El sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución, ya que rg( ) rg( *)A A n= = .

c) El sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 2, es decir, tiene infinitas soluciones dependientes de dos parámetros, ya que rg( ) rg( *)A A n= < y rg( ) 2n A− = .

d) El sistema es incompatible, ya que rg( ) rg( *)A A≠ , es decir, no tiene soluciones.


27. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) 2 13 2

x y zx y z+ + =

− − = b)

2 33 1

3 2 0

x yx y

x y

+ = − =− + =

c) 3 0

3 12 2 3

x y zx y zx y z

+ − = − + = + − =

d) 3 1

2 05 1

x yx yx y

+ = − = + =

a) Las matrices asociadas al sistema son 1 2 11 3 1

A = − − y

1 2 1 1*

1 3 1 2A = − −

. Como el menor

1 25 0

1 3= − ≠

−, tenemos rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado

con grado de indeterminación 1.

b) Las matrices asociadas al sistema son = − −

2 11 33 2

A y 2 1 3

* 1 3 13 2 0

A = − −

. Como * 28 0A = − ≠ , tenemos

rg( *) 3A = . Además, rg( ) 2A ≤ , con lo que rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

c) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 33 1 12 2 1

A−

= − −

y 1 1 3 0

* 3 1 1 12 2 1 3

A−

= − −

. Como 20 0A = − ≠ ,

tenemos rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

d) Las matrices asociadas al sistema son = −

1 32 15 1

A y 1 3 1

* 2 1 05 1 1

A = −

. Como * 0A = , tenemos rg( *) 3A < .

Como el menor 1 3

7 02 1

= − ≠−

, tenemos rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible

determinado. 28. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)

2 12 3 0

11

x yx y z

x zy z

+ = − − = − = − + =

b)

3 42 4

2 13 7

x y zx yx y zy z

− + = − + =− + + = − − =

a) Las matrices asociadas al sistema son

1 2 02 1 31 0 10 1 1

A

− − = −

y

1 2 0 12 1 3 0

*1 0 1 10 1 1 1

A

− − = − −

.

Como 3 3 14 4 1

1 2 1 22 1 2

2 1 1 2* 1 1 2 3 0

1 0 0 01 1 1

0 1 1 1C C CC C C

A→ +→ +

− −= = − − = − ≠ , tenemos rg( *) 4A = . Además, rg( ) 3A ≤ , con lo que

rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

b) Las matrices asociadas al sistema son

− =− −

1 1 32 1 01 1 20 3 1

A y

1 1 3 42 1 0 4

*1 1 2 10 3 1 7

A

− − = − − −

.

Como 2 2 13 3 1

2

1 1 3 43 6 12

0 3 6 12* 0 5 5 0

0 0 5 53 1 7

0 3 1 7F F FF F F

A→ −→ +

− −−

−= = − =

−−

−

, tenemos rg( *) 4A < .

Como el menor 1 1 32 1 0 15 01 1 2

−= ≠

−, tenemos rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible

determinado.


29. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)

3 53

13 3 1

x y zx y zy zx y z

− + = + − = − = − + = −

b) 2 6 4 33 9 6 2x y z

x y z− + =

− + − =


3 1 11 1 10 1 11 3 3

A

− − = − −

y

3 1 1 51 1 1 3

*0 1 1 11 3 3 1

A

− − = − − −

.

Como 3 2C C= − , tenemos

3 11 1

rg( ) rg 20 11 3

A

− = = −


4 01 1

−= ≠ .

De igual modo,

3 1 51 1 3

rg( *) rg 20 1 11 3 1

A

− = = − −

, ya que los menores de orden 3 que se obtienen ampliando el

anterior menor de orden 2 son nulos:

3 1 51 1 3 00 1 1

−=

3 1 51 1 3 01 3 1

−=

− −

Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1.

b) Las matrices asociadas al sistema son 2 6 43 9 6

A− = − −

y 2 6 4 3

*3 9 6 2

A− = − −

.

Las dos filas de A son proporcionales ( 2 132

F F= − ), con lo que todos los menores de orden 2 de A serán nulos y

rg( ) 1A = . En cambio, las dos filas de *A no son proporcionales, de hecho, el menor 4 3

26 06 2

= ≠−

, con lo

que rg( *) 2A = . Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.


33. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) 3 6 04 8 0

2 0

x yx yx y

− = − =− + =

b) 2 0

2 7 02 0

x y zx y zx y z

− + = − + = − − =

Como son sistemas homogéneos, se trata de sistemas compatibles. Para saber si son determinados o indeterminados estudiamos el rango de la matriz de coeficientes y lo comparamos con el número de incógnitas.

a) rg( ) 1A = , ya que las filas A son proporcionales ( 1 3 2 33 , 4F F F F= − = − ), por tanto, el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo hacemos y = λ y despejamos en la tercera ecuación, obteniendo 2x = λ .

b) rg( ) 2A = , ya que 1 1 21 2 7 02 1 1

A−

= − =− −

y el menor 1 1

1 01 2

−= − ≠

−, por tanto, el sistema es compatible

indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo el sistema de Cramer:

− = − λ ⇒ = λ = λ = λ − = − λ

23 , 5 ,

2 7x y

x y zx y


34. Añade una ecuación al sistema − + = − − =

2 3 03 4 0

x y zx y z

para que resulte homogéneo

a) Determinado. b) Indeterminado.

Observemos que el rango de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo del enunciado es 2, ya que el

menor 2 3

1 03 4

−= ≠

−.

a) Basta añadir una ecuación que no sea combinación lineal de las del sistema original pero cuyo término independiente siga siendo nulo, por ejemplo, 2 3 0x y− = . De este modo, el rango de la matriz de coeficientes del nuevo sistema será 3 y, por tanto, el nuevo sistema será compatible determinado.

b) Puesto que el sistema original ya es compatible indeterminado, basta añadir cualquier ecuación que sea combinación lineal de las dadas, por ejemplo, 2 0x y z− + + = .

35. Discute y resuelve los siguientes sistemas homogéneos.

a) − + − = − + = + − =

7 5 02 3 03 3 0

x y zx y zx y z

b) + − =

− = + + =

3 4 02 5 0

2 0

x y zx y

x y z

Como son sistemas homogéneos, se trata de sistemas compatibles. Para saber si son determinados o indeterminados estudiamos el rango de la matriz de coeficientes y lo comparamos con el número de incógnitas.

a) rg( ) 2A = , ya que 1 7 52 3 1 03 1 3

A− −

= − =−

y el menor 1 7

11 02 3−

= − ≠−

, por tanto, el sistema es compatible

indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo el sistema de Cramer:

7 5 8 9, ,2 3 11 11

x yx y z

x y− + = λ λ λ ⇒ = = = λ − = −λ

b) rg( ) 3A = , ya que 3 1 42 5 0 53 01 2 1

A−

= − = − ≠ , por tanto, el sistema es compatible determinado y su única

solución es la trivial, 0x y z= = = .

36. Se sabe que una solución de un sistema homogéneo indeterminado es

1 5 2, ,3 6 3

. Halla otra solución del

sistema que esté formada por números enteros no nulos. Cualquier terna proporcional a la del enunciado también será solución. Si queremos que esté formada por números enteros basta multiplicar por cualquier múltiplo no nulo de 6. Por ejemplo, una posible solución sería ( )2, 5, 4 .



39. Discute los siguientes sistemas para los distintos valores del parámetro y resuélvelos en el caso de ser compatibles indeterminados.

a) 1

12 2

kx y zx y z kx ky z

− + = − − = − − + =

c) 3

0x my m

mx myx y m

+ = + = + =

b) 2 1

1kx ky zkx y kzx ky z k

+ + = + + = + + =

d)

02 2 1

03 1

x my zx y mzx mzx my

+ − = − + =− + = − =

a) Las matrices asociadas al sistema son 1 1

1 1 11 2

kA

k

− = − − −

y 1 1 1

* 1 1 1 11 2 2

kA k

k

− = − − − −

, con rango máximo 3.

20 3 4 0 4, 1A k k k k= ⇒ − − + = ⇒ = − =

• Para 4k ≠ − y 1k ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 4k = − tenemos 0A = , 4 1 11 1 11 4 2

A− − = − −

y 4 1 1 1

* 1 1 1 51 4 2 2

A− − = − − −

.

El menor 1 1

2 01 1−

= ≠− −

, por tanto, rg( ) 2A = .

Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:

1 1 11 1 5 24 0 rg( *) 34 2 2

A−− − − = − ≠ ⇒ =

Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 1k = tenemos 0A = , 1 1 11 1 11 1 2

A−

= − − −

y 1 1 1 1

* 1 1 1 01 1 2 2

A−

= − − −

.

El menor 1 1

2 01 1−

= ≠− −



1 1 11 1 0 1 0 rg( *) 31 2 2

A−− − = ≠ ⇒ =−

.



b) Las matrices asociadas al sistema son 2

11 1

k kA k k

k

=

y 2 1

* 1 11 1

k kA k k

k k

=


3 20 2 2 0 1, 1, 2A k k k k k k= ⇒ − + + − = ⇒ = − = =

• Para 1k ≠ − , 1k ≠ y 2k ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 1k = − tenemos 0A = , 1 1 21 1 11 1 1

A− − = − − −

y 1 1 2 1

* 1 1 1 11 1 1 1

A− − = − − − −

.

El menor 1 1

2 01 1− −

= − ≠−



1 1 11 1 1 0 rg( *) 21 1 1

A− −− = ⇒ =

− −


Para resolver el sistema en este caso, observemos que según el menor de orden 2 anterior, debemos eliminar la tercera ecuación y hacer z = λ para obtener un sistema de Cramer:

1 2 2 3, ,1 2 2

x yx y z

x y− − = − λ − + λ λ ⇒ = = = λ− + = + λ

• Para 1k = tenemos 0A = , 1 1 21 1 11 1 1

A =

y 1 1 2 1

* 1 1 1 11 1 1 1

A =

.

Observemos que, tanto en A como en *A , 2 3F F= , por lo que rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1.

Para resolver el sistema en este caso, observemos que según lo anterior podemos eliminar la tercera

ecuación. Para decidir que incógnita será un parámetro observemos que el menor 1 2

1 01 1

= − ≠ , con lo

que hacemos x = λ para obtener un sistema de Cramer:

2 1, 1 , 0

1y z

x y zy z+ = − λ ⇒ = λ = − λ = + = − λ

• Para 2k = tenemos 0A = , 2 2 22 1 21 2 1

A =

y 2 2 2 1

* 2 1 2 11 2 1 2

A =

.

El menor 2 2

2 02 1

= − ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


2 2 12 1 1 3 0 rg( *) 31 2 2

A= − ≠ ⇒ =



c) Las matrices asociadas al sistema son 3

1 1

mA m m

=

y 3

* 01 1

m mA m m

m

=

, con rango máximo 2 y 3,

respectivamente. 3 2* 0 3 0 0, 3A m m m m= ⇒ − + = ⇒ = =

• Para 0m ≠ y 3m ≠ tenemos * 0A ≠ , por tanto, rg( *) 3A = y rg( ) 2A ≤ , con lo que el sistema es incompatible.

• Para 0m = tenemos * 0A = , 3 00 01 1

A =

y 3 0 0

* 0 0 01 1 0

A =

.

El menor 3 0

3 01 1

= ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible

determinado.

• Para 3m = tenemos * 0A = , 3 33 31 1

A =

y 3 3 3

* 3 3 01 1 3

A =

.

En A, 1C y 2C coinciden, por tanto, rg( ) 1A = .

En *A , el menor 3 3

9 03 0

= − ≠ , por tanto, rg( *) 2A = .

Así, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

d) Las matrices asociadas al sistema son

1 12 21 03 0

mm

Am

m

− − = − −

y

1 1 02 2 1

*1 0 03 0 1

mm

Am

m

− − = − −


respectivamente. 2* 0 3 2 0 1, 2A m m m m= ⇒ − + = ⇒ = =

• Para 1m ≠ y 2m ≠ tenemos * 0A ≠ , por tanto, rg( *) 4A = y rg( ) 3A ≤ , con lo que el sistema es incompatible.

• Para 1m = tenemos * 0A = ,

1 1 12 2 11 0 13 1 0

A

− − = − −

y

1 1 1 02 2 1 1

*1 0 1 03 1 0 1

A

− − = − −

.

En A y *A el menor 0 1

1 01 0

= ≠−

, ampliándolo con 1C y 2F obtenemos el menor 2 2 11 0 1 3 03 1 0

−− = − ≠

−.

Por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.


1 2 12 2 21 0 23 2 0

A

− − = − −

y

1 2 1 02 2 2 1

*1 0 2 03 2 0 1

A

− − = − −

.

En A y *A el menor 0 2

1 02 0

= ≠−

, ampliándolo con 1C y 1F obtenemos el menor 1 2 11 0 2 14 03 2 0

−− = ≠

−.



40. Discute los siguientes sistemas para los distintos valores del parámetro.

a) 2 1

2 21

x kykx yx y

− = − = + =

c) 0

0( 1) 1

x ymy zx m y mz m

+ = + = + + + = +

b) 3 3

1

ax y zx ay z aax y z

+ − = − + + = − + + = −

d) 2

2 1( 1) 1

x ay zax y za x y z a

− − = + + = + − + = +

a) Las matrices asociadas al sistema son 2

21 1

kA k

− = −

y 2 1

* 2 21 1 1

kA k

− = −


respectivamente. 2* 0 6 0 2, 3A k k k k= ⇒ − − = ⇒ = − =

• Para 2k ≠ − y 3k ≠ tenemos * 0A ≠ , por tanto, rg( *) 3A = y rg( ) 2A ≤ , con lo que el sistema es incompatible.

• Para 2k = − tenemos * 0A = , 2 22 21 1

A = − −

y 2 2 1

* 2 2 21 1 1

A = − −

.

En A, 1C y 2C coinciden, por tanto, rg( ) 1A = . En *A , el menor 2 1

6 02 2

= ≠−

, por tanto, rg( *) 2A = .


• Para 3k = tenemos * 0A = , 2 33 21 1

A−

= −

y 2 3 1

* 3 2 21 1 1

A−

= −

.

El menor 2 3

5 03 2

−= ≠

−, por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible

determinado.

b) Las matrices asociadas al sistema son 3 1

1 11 1

aA a

a

− =

y 3 1 3

* 1 11 1 1

aA a a

a

− − = − −


20 2 2 4 0 2, 1A a a a a= ⇒ + − = ⇒ = − =

• Para 2a ≠ − y 1a ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 2a = − tenemos 0A = , 2 3 11 2 12 1 1

A− − = − −

y 2 3 1 3

* 1 2 1 22 1 1 1

A− − − = − − −

.

El menor 2 3

1 01 2

−= ≠

−, por tanto, rg( ) 2A = .


2 3 31 2 2 0 rg( *) 22 1 1

A− −

− = ⇒ =− −



• Para 1a = tenemos 0A = , 1 3 11 1 11 1 1

A−

=

y 1 3 1 3

* 1 1 1 11 1 1 1

A− −

= − −

.

El menor 1 3

2 01 1

= − ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


1 3 31 1 1 0 rg( *) 21 1 1

A−− = ⇒ =−


Observemos que llegamos a la misma conclusión si nos damos cuenta que, tanto en A como en *A , tenemos 2 3F F= .

c) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 00 11 1

A mm m

= +

y 1 1 0 0

* 0 1 01 1 1

A mm m m

= + +


20 0 0, 1A m m m m= ⇒ − = ⇒ = =

• Para 0m ≠ y 1m ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 0m = tenemos 0A = , 1 1 00 0 11 1 0

A =

y 1 1 0 0

* 0 0 1 01 1 0 1

A =

.

El menor 1 0

1 00 1

= ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


1 0 00 1 0 1 0 rg( *) 31 0 1

A= ≠ ⇒ =


• Para 1m = tenemos 0A = , 1 1 00 1 11 2 1

A =

y 1 1 0 0

* 0 1 1 01 2 1 2

A =

.

El menor 1 1

1 00 1

= ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


1 1 00 1 0 2 0 rg( *) 31 2 2

A= ≠ ⇒ =



d) Las matrices asociadas al sistema son 1 1

1 21 1 1

aA a

a

− − = + −

y 1 1 2

* 1 2 11 1 1 1

aA a

a a

− − = + − +

, con rango máximo

3. 20 4 0 2, 2A a a a= ⇒ − + = ⇒ = − =

• Para 2a ≠ − y 2a ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 2a = − tenemos 0A = , 1 2 12 1 21 1 1

A−

= − − −

y 1 2 1 2

* 2 1 2 11 1 1 1

A−

= − − − −

.

El menor 1 2

3 02 1

= ≠− −



1 2 22 1 1 0 rg( *) 21 1 1

A− = ⇒ =− − −


• Para 2a = tenemos 0A = , 1 2 12 1 23 1 1

A− −

= −

y 1 2 1 2

* 2 1 2 13 1 1 3

A− −

= −

.

El menor 1 2

5 02 1

−= ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


1 2 22 1 1 0 rg( *) 23 1 3

A−

= ⇒ =−





EJERCICIOS

Sistemas de ecuaciones. Soluciones

47. Escribe cada uno de los siguientes sistemas en forma matricial y en forma vectorial.

a) 2 1

2 12 5

x yx yx y

− = − = − + =

b) 3 2 1

4 2 02 2 2

x y z tx y z t

x y z t

− + + = + − + =− + + − =

a) Forma matricial: Forma vectorial:

2 1 11 2 11 2 5

xy

− − = −

2 1 11 2 11 2 5

x y−

+ − = −

b) Forma matricial: Forma vectorial:

3 1 2 1 11 4 2 1 02 1 1 2 2

xyzt

− − = − −

3 1 2 1 11 4 2 1 02 1 1 2 2

x y z t−

+ + − + = − −

48. Escribe un sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada sea:

− = − −

1 2 1 0 1* 2 2 1 2 3

0 1 2 1 2A

2 1

2 2 2 32 2

x y zx y z t

y z t

+ − = − + + = + − =

49. Escribe un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas que tenga entre sus soluciones (2, 1, –3).

Por ejemplo, 0

3x y zx y+ + =

+ =

50. Determina una matriz A para que el sistema 0AX = sea equivalente a la ecuación matricial.

( ) ( )1 2

0 02 11 2

x y z−

=

Trasponiendo la ecuación matricial tenemos:

1 2 1 0 1 2 12 1 2 0 2 1 2

xy Az

= ⇒ = − −


Resolución de sistemas 51. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss.

a) 2 1

2 5 2 13 2 6

x y zx y zx y z

+ − = + − =− + − = −

c) 2 4 3 1

32 0

x y zx y zx y z

+ + = + + =− + − =

e) 2 2

3 4 142 14

x y zx yx z

− + − = − − = − =

b) − + − = + =− − + = −

3 63 2 0

2 2 3

x y zx z

x y z d)

2 4 63 5

2 0

x yx y

x y

+ = + =− − =

f) 2 2 3

2 04 5 2

x y zx y zx y z

− − = −− + + = + + =

a) 2 2 13 3 1

2

2 1 2 1 32 5 2 1 1 1

3 2 6 5 3 5 0E E EE E E

x y z x y z xx y z y yx y z y z z

→ −→ +

+ − = + − = = → →+ − = = − = − − + − = − − = − =

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

32

183 6 3 6 3 6 7

3 2 0 3 7 18 3 7 18 32 2 3 4 7 15 3 27

7

E E E E E EE E E

xx y z x y z x y zx z y z y z y

x y z y z y z→ + → +→ −

=− + − = − + − = − + − = → → →+ = − = − = = −

− − + = − − + = − − = − = −

c) 1 2 2 3 1

3 3 1

2

2 4 3 1 3 3 93 2 4 3 1 2 5 1

2 0 2 0 3 3 7E E E E E

E E E

x y z x y z x y z xx y z x y z y z yx y z x y z y z

↔ → −→ +

+ + = + + = + + = = → → →+ + = + + = + = − = − + − = − + − = = = −

d) 1 2 2 2 1 3 3 2

3 3 1

2 2 52

2 4 6 3 5 3 5 3 53 5 1

3 5 2 4 6 2 4 2 42 4 2

2 0 2 0 5 10 0 0E E E E E E E E

E E E

x y x y x y x yx y x

x y x y y yy y

x y x y y↔ → − → +

→ +

+ = + = + = + = + = = − → → → → →+ = + = − = − − = − − = − = − − = − − = = =

e) 2 2 1 3 3 23 3 1

32

2 2 2 2 2 2 63 4 14 2 3 8 2 3 8 12 14 4 3 10 2 2 2

E E E E E EE E E

x y z x y z x y z xx y y z y z yx z y z y z

→ + → −→ +

− + − = − − + − = − − + − = − = → → →− = − = − = = − = − = = = −

f) 1 2 2 2 1

3 3 1

24

12 2 3 2 0 2 012 0 2 2 3 3 3

34 5 2 4 5 2 13 5 2E E E E E

E E E

xx y z x y z x y zyx y z x y z yzx y z x y z y z

↔ → +→ +

=− − = − − + + = − + + = → → → = −− + + = − − = − = − =+ + = + + = + =

52. Aplica el método de Gauss para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)

2 02 3 3 2

2 2 5 122 2 2 3

x y z tx y t

y z tx y z t

− + − =− + + = − − − =− + − − = −

b)

42 4 8

24 8 9 14

x y z tx y t

x y tx y z t

+ − + = + + = − + = + + + =

a) 2 2 1 3 3 2 4 4 34 4 1

2 2

2 0 2 0 2 0 2 02 3 3 2 2 2 2 2 2 2

2 2 5 12 2 2 5 12 2 3 8 22 2 2 3 3 3 3 3

E E E E E E E E EE E E

x y z t x y z t x y z t x y z tx y t y z t y z t y z t

y z t y z t z tx y z t z t z t

→ + → + → −→ +

− + − = − + − = − + − = − + − = − + + = − − + + = − − + + = − − + + = − → → → − − = − − = − = − + − − = − − − = − − − = −

3 83 11z tz

→ − = − = −

43 82 11 2, , ,3 9 3 9

x y z t→ = = = = −

b) 2 2 1 3 3 2 4 4 33 3 1 4 4 24 4 1

22

4

4 4 4 42 4 8 2 2 0 2 2 0 2 2

2 2 2 3 24 8 9 14 4 13 3 2 9 2

E E E E E E E E EE E E E E EE E E

x y z t x y z t x y z t x y z tx y t y z t y z t y z t

x y t y z z tx y z t y z t z t

→ − → + → −→ − → −→ −

+ − + = + − + = + − + = + − + = + + = + − = + − = + − = → → → − + = − + = − − = − + + + = + − = − − = −

03 26 0z tz

→ − = − =

1, 1, 0, 2x y z t→ = = = =


53. Resuelve los siguientes sistemas transformándolos en ecuaciones matriciales.

a) 2 55 3 4

x yx y− = −

+ = b)

2 02 4

1

x y zy zx y

− + = + = − = −

c) 4

2 42

x y zx zx y

− + = − + =− + = −

d) 3 2

32 2

x yx zy z

− = − = + =

a) La forma matricial del sistema es 2 1 55 3 4

xy

− − =

, con matriz de coeficientes 2 15 3

A− =

.

El determinante de la matriz de coeficientes es 11 0A = ≠ , con lo que A es invertible y

( )( )1

3 13 51 1 11 11Adj1 2 5 211

11 11

ttA A

A−

− = = = −


3 15 5 111 114 5 2 4 3

11 11

xA

y−

− − − = = = −

.

b) La forma matricial del sistema es 2 1 1 00 1 2 41 1 0 1

xyz

− = − −


A−

= −

.


( )( )1

2 2 1 2 1 31 Adj 1 1 1 2 1 4

3 4 2 1 1 2

t

tA AA

−

− − − = = − − = − − − − −


0 2 1 3 0 14 2 1 4 4 01 1 1 2 1 2

xy Az

−

− − − = = − − = − − −

.

c) La forma matricial del sistema es 1 1 1 42 0 1 41 1 0 2

xyz

− − = − −


A−

= −

.


( )( )−

− − − − − − − = = = ⇒ = = − − − − −

1

1 1 1 1 1 11 1 2 4 52 2 2 2 2 21 1Adj 1 1 0 4 31 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 62 2 2 2 2 21 0 1 1 0 1

t

tx

A A yA z

d) La forma matricial del sistema es 3 1 0 21 0 1 30 1 2 2

xyz

− − =


A−

= −

.


( )( )−

− = = − = − ⇒ = − = −

− −

1

1 2 1 1 2 15 5 5 5 5 51 2 1 2 2

1 1 2 6 3 2 6 3Adj 2 6 3 3 45 5 5 5 5 5 51 3 1 2 11 3 1 1 3 1

5 5 5 5 5 5

t

tx

A A yA z


54. Resuelve los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer.

a) 5 3 23 2 4

x yx y+ =

+ = c)

3 22 1

2 4

x y zx y zx y z

+ − = − + =− − + =

b) 3 4 72 2

x yx y+ =

− = d)

3 22 1

2 1

x y zx z

x y z

− − + = + = + − = −

a) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la

matriz de coeficientes es 5 3

1 03 2

A = = ≠ .


2 34 2 8 8

1x

A−

= = = −

5 23 4 14 14

1y

A= = =

b) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la

matriz de coeficientes es 3 4

11 02 1

A = = − ≠−

.


7 42 1 15 15

11 11x

A− −

= = =−

3 72 2 8 8

11 11y

A−

= = =−

c) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la

matriz de coeficientes es 3 1 11 1 2 9 01 2 1

A−

= − = ≠− −

.


2 1 11 1 24 2 1 11

9x

A

−−−

= =

3 2 11 1 21 4 1 32 32

9 9y

A

−

− −= = = −

3 1 21 1 11 2 4 17 17

9 9z

A

−− − −

= = = −

d) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la

matriz de coeficientes es 1 1 32 0 1 11 01 2 1

A− −

= = ≠−

.


2 1 31 0 11 2 1 2

11x

A

−

− −= =

1 2 32 1 11 1 1 3 3

11 11y

A

−

− − −= = = −

1 1 22 0 11 2 1 7

11z

A

− −

−= =


55. Aplica la regla de Cramer para hallar las soluciones de los siguientes sistemas.

a)

2 02 12 2

2 0

x tx yy z

x t

+ = + = + = + =

b)

2 02 2 1

2 02 4 0

x y zy z t

x zx y t

+ − = + − = + =− + + =

a) El determinante de la matriz de coeficientes es

2 0 0 12 0 1

2 1 0 02 1 0 3 0

0 2 1 01 0 2

1 0 0 2

A = = = ≠ .


0 0 0 11 1 0 02 2 1 00 0 0 2 0 0

3x

A= = =

2 0 0 12 1 0 00 2 1 01 0 0 2 3 1

3y

A= = =

2 0 0 12 1 1 00 2 2 01 0 0 2 0 0

3z

A= = =

2 0 0 02 1 0 10 2 1 21 0 0 0 0 0

3t

A= = =

b) El determinante de la matriz de coeficientes es:

2 1 1 01 1 0 2 1 0

0 2 1 22 1 2 2 0 2 2 16 2 26 68

1 0 2 02 0 4 1 2 4

1 2 0 4

A

−−

−= = − + − = + ⋅ =

−−


0 1 1 01 2 1 20 0 2 00 2 0 4 8 2

68 17x

A

−−

−= = = −

1 0 1 00 1 1 11 0 0 11 0 1 1 20 5

68 17y

A

−−

−= = =

1 1 0 00 1 1 11 1 0 11 0 0 1 4 1

68 17z

A

−

− −−

= = =

1 1 1 00 1 1 11 1 0 01 0 1 0 12 3

68 17t

A

−−

−− −

= = = −


56. Resuelve los siguientes sistemas indeterminados.

a) 3 2 15 1

x y zx y z− + =

+ − = − b) 1 2 3

1 2 3

3 2 23 1

x x xx x x+ − =

− + = c)

3 2 12 0

3 2 2

x y z tx y z tx y t

− + − = + + + = + − =

d) 2 11

64 3 2 23

x yx y zx y z

+ = + − = + − =

a) Como ( )2 32 1

det , 1 01 1

C C−

= = ≠−

, podemos hacer x = λ y obtener un sistema de Cramer:

2 1 3, 8 , 1 13

1 5y z

x y zy z− + = − λ ⇒ = λ = λ = + λ − = − − λ

b) Como ( )1 21 3

det , 4 01 1

C C = = − ≠−

, podemos hacer = λ3x y obtener un sistema de Cramer:

+ = + λ − λ + λ⇒ = = = λ − = − λ

1 21 2 3

1 2

3 2 2 5 7 1 5, ,1 3 4 4

x xx x x

x x

c) Como ( )1 2 3

3 2 1det , , 1 1 1 11 0

3 1 0C C C

−= = − ≠ , podemos hacer t = λ y obtener un sistema de Cramer:

3 2 12

3 2 2

x y zx y zx y

− + = + λ + + = − λ + = + λ


1 2 12 1 1

2 2 1 0 7 911 11

x

+ λ −− λ+ λ + λ

= =−

3 1 11 2 13 2 2 0 1 5

11 11y

+ λ− λ+ λ − λ

= =−

3 2 11 1 23 1 2 2 8 26

11 11z

− + λ− λ+ λ − − λ

= =−

d) El determinante de la matriz de coeficientes es 0A = y el menor 2 1

1 01 1

= ≠ , con lo que, dado que sabemos

que el sistema es indeterminado, el grado de indeterminación será 1 y, considerando el menor de orden 2 anterior, podemos resolverlo eliminando la tercera ecuación y tomando z = λ para obtener un sistema de Cramer:

2 115 , 1 2 ,

6x y

x y zx y

+ = ⇒ = − λ = + λ = λ + = + λ

57. Resuelve los siguientes sistemas.

a) 2 7 3

2 02 1

x y zx y z

x y z

− + = − − = − + =

b)

2 33 1

2 24

x yy z

x y zx y z

+ = + = + + = − − =

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 3

1 32 7 3 2 7 3 2 7 32 7 3

2 52 0 3 15 6 3 15 63 15 6

2 1 5 2 0 0E E E E E EE E E

xx y z x y z x y zx y z

yx y z y z y zy z

zx y z y z→ − → −→ −

= − + λ− + = − + = − + = − + = → → → → = − + λ− − = − = − − = − − = − = λ− + = − = − =

NOTA: El determinante de la matriz de coeficientes es nulo, por lo que no se puede usar el método de Cramer directamente, deberíamos discutir previamente el sistema para verificar si es compatible indeterminado y determinar qué ecuación o ecuaciones se pueden eliminar y qué incógnita o incógnitas se toman como parámetros.


b) ↔ → − → −

→ −

+ = + + = + + = + + = + = + = + = + = → → → + + = + = − − = − − − = − − − = − − = − − = = −

1 3 3 3 1 4 4 14 4 1

2

2 3 2 2 2 2 2 23 1 3 1 3 1 3 1

2 2 2 3 3 2 1 3 2 14 4 3 2 2 0 3

E E E E E E E EE E E

x y x y z x y z x y zy z y z y z y z

x y z x y y z y zx y z x y z y z

El sistema es incompatible, no tiene solución.

NOTA: Como 2 1 00 3 1 3 01 2 1

= ≠ podríamos haber pensado en aplicar la regla de Cramer al sistema resultante

de eliminar la cuarta ecuación y hacer t = λ , pero para ello tendríamos que haber comprobado si el sistema es compatible indeterminado y resulta no serlo.

58. Resuelve el sistema:

− − + + =

1 2 0 52 0 1 80 2 1 0

x y z

El determinante de la matriz de coeficientes es 1 2 02 0 1 2 00 2 1

−= − ≠ , por lo que podemos usar la regla de Cramer:

5 2 08 0 10 2 1 6 3

2 2x

−

−= = =

− −

1 5 02 8 10 0 1 2 1

2 2y

− −

= = = −− −

1 2 52 0 80 2 0 4 2

2 2y

− −

−= = =

− −

59. Resuelve el siguiente sistema.

2 3 42 3 4

2 4 2 6 82 2 0

x y z tx y z tx y z tx z

− + − = − + + + = − + − = − + =

2 2 1 2 43 3 14 4 1

22

2 3 4 2 3 42 3 4 4 6 8 2 3 4 4 3, , ,

2 4 2 6 8 0 0 4 6 8 22 2 0 4 6 8

E E E E EE E EE E E

x y z t x y z tx y z t y t x y z t

x y z tx y z t y tx z y t

→ − =→ −→ −

− + − = − − + − = − + + + = + = − + − = − − λ → → → = −µ = = µ = λ − + − = − = + = + = + =

60. Resuelve los siguientes sistemas indeterminados con grado de indeterminación 2.

a) + − + =− + + − =

2 3 3 13 2 2x y z t

x y z t b) 0

2 3 3x y z tx y z+ − − =

− − = −

a) Como ( )3 41 3

det , 1 01 2

C C−

= = − ≠−

, podemos hacer x = λ , y = µ y obtener un sistema de Cramer:

3 1 2 3, , 8 5 9 , 3 4

2 2 3z t

x y z tz t− + = − λ − µ ⇒ = λ = µ = + λ − µ = + λ − µ − = + λ − µ

b) Como ( ) −= = − ≠−2 41 1

det , 1 01 0

C C , podemos hacer x = λ , z = µ y obtener un sistema de Cramer:

, 3 2 3 , , 3 23 2 3

y tx y z t

y− = −λ + µ ⇒ = λ = − − λ + µ = µ = − − λ + µ = − − λ + µ


61. Determina las soluciones de los siguientes sistemas en función del parámetro m.

a) 2 12 3mx y m

x my+ = +

+ = c)

2 22 0

1

x my zx y mzx my z

− + = + + =− + + =

b) 0

2 01

x y zx mz

x my

+ + = + = + =

d) 1

20

x y zx y mz m

x y mz

− + = + + = + − =


2m

Am

=

y 2 1

*2 3m m

Am

+ =


20 4 0 2, 2A m m m= ⇒ − = ⇒ = − =

• Para 2m ≠ − y 2m ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

2

2

1 23 6 3

4 2

mm m m mx

A m m

++ − +

= = =− +

2

12 3 2 1

4 2

m mmy

A m m

+−

= = =− +

• Para 2m = − tenemos 0A = , 2 22 2

A− = −

y 2 2 1

*2 2 3

A− − = −

.

Como las filas de A son proporcionales, rg( ) 1A = . En cambio, las filas de *A no son proporcionales, con lo que rg( *) 2A = . Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 2m = tenemos 0A = , 2 22 2

A =

y 2 2 3

*2 2 3

A =

.

Como las filas de A son iguales, rg( ) 1A = . También las filas de *A son iguales, con lo que rg( *) 1A = . Por tanto, rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitas 2A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1.

Para resolverlo eliminamos una de las dos ecuaciones y hacemos y = λ , con lo que obtenemos 3 22 3 2

2x x − λ= − λ ⇒ = .

b) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 12 01 0

A mm

=

y 1 1 1 0

* 2 0 01 0 1

A mm

=


20 3 0 0, 3A m m m m= ⇒ − = ⇒ = =

• Para 0m ≠ y 3m ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

2

0 1 10 01 0 1

3 3

mm mxA m m m

= = =− −

2

1 0 12 01 1 0 2

3

mmy

A m m−

= =−

2

1 1 02 0 01 1 2

3m

zA m m

−= =

−

• Para 0m = tenemos 0A = , 1 1 12 0 01 0 0

A =

y 1 1 1 0

* 2 0 0 01 0 0 1

A =

.

El menor 1 1

2 02 0

= − ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .



1 1 02 0 0 2 0 rg( *) 31 0 1

A= − ≠ ⇒ =


• Para 3m = tenemos 0A = , 1 1 12 0 31 3 0

A =

y 1 1 1 0

* 2 0 3 01 3 0 1

A =

.

El menor 1 1

2 02 0

= − ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


1 1 02 0 0 2 0 rg( *) 31 3 1

A= − ≠ ⇒ =


c) Las matrices asociadas al sistema son 1 22 11 1

mA m

m

− = −

y 1 2 2

* 2 1 01 1 1

mA m

m

− = −


10 6 3 02

A m m= ⇒ + = ⇒ = −

• Para 12

m ≠ − tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible

determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

2 2

2 20 11 1 3

6 3 2 1

mm

m m mxA m m

−

− −= = =

+ +

1 2 22 01 1 1 3

6 3 2 1

mm my

A m m− − −

= = =+ +

1 22 1 01 1 6 3 1

6 3

m

m mzA m

−

− += = =

+

• Para 12

m = − tenemos 0A = ,

11 22

12 12

11 12

A

= − − −

y

11 2 22

1* 2 1 02

11 1 12

A

= − − −

.

El menor

11 32 01 412

−= ≠

−, por tanto, rg( ) 2A = .


1 2 22

1 31 0 0 rg( *) 32 4

1 1 12

A− = − ≠ ⇒ =

−



d) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 12 11 1

A mm

− = −

y 1 1 1 1

* 2 11 1 0

A m mm

− = −


10 5 1 05

A m m= ⇒ − + = ⇒ =

• Para 15

m ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible

determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

2

1 1 11

0 15 1

m mm m mx

A m

−

− − −= =

− +

2

1 1 121 0 2

5 1

m mm m my

A m− − +

= =− +

1 1 12 11 1 0 2 1

5 1

mmz

A m

−

− += =

− +

• Para 15

m = tenemos 0A = ,

1 1 112 1511 15

A

− = −

y

1 1 1 11 1* 2 15 511 1 05

A

− = −

.

El menor 2 1

1 01 1

= ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


1 1 11 32 1 0 rg( *) 35 5

1 1 0

A

−

= ≠ ⇒ =



Clasificación de sistemas 62. Clasifica y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) 2 3 12 2 14 5 2 2

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

c)

2 12

32 2

x y zy z

x yx z

+ − =− + = + = − = −

e)

2 12 2

3 41

x zx y zy tx y t

− = + − = + =− + − = −

b) 3 7 1

2 21

x yx yx y

− = + =− + = −

d) 1 2

1 2 3

1 3

5 53 2 0

2 3 1

x xx x x

x x

+ = + + =− + =

f)

3 12 3

32 4

x yx y

x yx y

+ = + = − − = −− + =

a) Las matrices asociadas al sistema son 2 3 12 2 14 5 2

A =

y 2 3 1 1

* 2 2 1 14 5 2 2

A =

.

Como las dos últimas columnas de *A son iguales los rangos de A y *A coinciden, es decir, el sistema es

compatible. Como 0A = y el menor 2 3

2 02 2

= − ≠ , tenemos rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el

sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1.

Para resolver el sistema eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo el sistema:

2 3 1 1 , 0,2 2 1 2

x yx y z

x y+ = − λ − λ ⇒ = = = λ + = − λ

b) Las matrices asociadas al sistema son 3 71 21 1

A−

= −

y 3 7 1

* 1 2 21 1 1

A−

= − −

.

Como * 2 0A = − ≠ , tenemos rg( *) 3A = . Además, rg( ) 2A ≤ , con lo que rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

c) Las matrices asociadas al sistema son

1 2 10 1 11 1 02 0 1

A

− − = −

y

1 2 1 10 1 1 2

*1 1 0 32 0 1 2

A

− − = − −

.

Como 3 3 1 2 34 4 12

1 2 1 10 1 1 2

* 00 1 1 20 4 1 4

F F F F FF F F

A→ − =→ −

−−

= =−− −

, tenemos rg( *) 4A < . Como el menor 0 1 11 1 0 3 02 0 1

−= − ≠

−, tenemos

rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer al sistema que se obtiene eliminando la primera ecuación:

2 1 13 1 02 0 1 3 1

3 3x

−

− − −= = =

− −

0 2 11 3 02 2 1 6 2

3 3y

− − −= = =

− −

0 1 21 1 32 0 2 12 4

3 3z

−

− −= = =

− −


d) Las matrices asociadas al sistema son 5 1 03 2 12 0 3

A = −

y 5 1 0 5

* 3 2 1 02 0 3 1

A = −

.

Como 19 0A = ≠ , rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

1

5 1 00 2 11 0 3 31

19 19x = = 2

5 5 03 0 12 1 3 60

19 19x

−= = −

−= =3

5 1 53 2 02 0 1 27

19 19x

e) Las matrices asociadas al sistema son

2 0 1 01 2 1 00 3 0 11 1 0 1

A

− − = − −

y

2 0 1 0 11 2 1 0 2

*0 3 0 1 41 1 0 1 1

A

− − = − − −

.

Como

2 0 1 02 1 0 2 0 1

1 2 1 03 1 1 0 1 2 1 2 0

0 3 0 11 0 1 1 1 0

1 1 0 1

A

−− −

−= = − − − − = − ≠

− − −− −

, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 4A A= = = y el

sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

1 0 1 02 2 1 04 3 0 11 1 0 1 2 1

2 2x

−−

− − −= = =

− −

2 1 1 01 2 1 00 4 0 11 1 0 1 2 1

2 2y

−−

− − − −= = =

− −

2 0 1 01 2 2 00 3 4 11 1 1 1 2 1

2 2z − − − −= = =

− −

2 0 1 11 2 1 20 3 0 41 1 0 1 2 1

2 2t

−−

− − −= = =

− −

f) Las matrices asociadas al sistema son

1 32 11 11 2

A

= − −

y

1 3 12 1 3

*1 1 31 2 4

A

− = − − −

.

El menor 1 1

1 01 2

−= ≠

−, con lo que rg( ) 2A = . Los dos posibles menores de orden 3 que se pueden

considerar en *A ampliando este menor son nulos:

1 3 1 2 1 31 1 3 1 1 3 01 2 4 1 2 4

−− − = − − =

− −


Teniendo en cuenta el menor de orden 2 considerado, resolvemos el sistema reduciéndolo a un sistema 2 x 2

eliminando las dos primeras ecuaciones: 3

2, 12 4

x yx y

x y− = − ⇒ = − =− + =


63. Estudia cuántas soluciones tienen los siguientes sistemas.

a) 1 2 21 1 03 2 1

xy

=− −

b) 1 2 3 21 1 2 33 0 2 5

x y z + + =− − −

a) Las matrices asociadas al sistema son 1 21 13 2

A = − −

y 1 2 2

* 1 1 03 2 1

A = − −

.

Como * 1 0A = ≠ , tenemos rg( *) 3A = . Además, rg( ) 2A ≤ , con lo que rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible, es decir, no tiene ninguna solución.

b) Las matrices asociadas al sistema son 1 2 31 1 23 0 2

A = − −

y 1 2 3 2

* 1 1 2 33 0 2 5

A = − − −

.

Como 27 0A = ≠ , rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución.

Discusión y resolución de sistemas con parámetros

64. Discute los siguientes sistemas para los distintos valores del parámetro y resuélvelos cuando sea posible.

a) 3 ( 4) 2mx y m

x m y m− =

+ − = + c)

2(1 ) 1

x y aa x y

ax y a

+ = − − = + =

e) 1

2 25 (3 1) 6

x yx ayx a y a

+ = + = + − = −

b) 1( 1) 2

ax yx a y

− = + − =

d) 26 ( 1) 2

kx y kx k y k− =

− + − = − − f)

1

2 2 1

mx yx my mmx y m

+ = + = + = +


3 4m

Am− = −

y 1

*3 4 2m m

Am m− = − +


20 4 3 0 1, 3A m m m m= ⇒ − + = ⇒ = =

• Para 1m ≠ y 3m ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

2

2

12 4 3 2 2

4 3 3

mm m m m mx

A m m m

−+ − − + −

= = =− + −

2

2

3 24 3 3

m mm m m myA m m m

+ −= = =

− + −

• Para 1m = tenemos 0A = , 1 13 3

A− = −

y 1 1 1

*3 3 3

A− = −

.

Tanto las filas de A como las de *A son proporcionales, por tanto, rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitas 2A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1.

Para resolverlo eliminamos una de las dos ecuaciones y hacemos y = λ , con lo que obtenemos 1x = + λ .

• Para 3m = tenemos 0A = , 3 13 1

A− = −

y 3 1 3

*3 1 5

A− = −

.

Las filas de A son proporcionales, con lo que rg( ) 1A = . En cambio, las filas de *A no son proporcionales, con lo que rg( *) 2A = . Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.



1 1a

Aa− = −

y 1 1

*1 1 2a

Aa− = −


20 1 0A a a= ⇒ − + = ⇒Sin solución

Por tanto, para cualquier valor de a tenemos 0A ≠ , es decir, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

2

1 12 1 1

1a axA a a

−− +

= =− +

2

11 2 2 1

1

aay

A a a−

= =− +

c) Las matrices asociadas al sistema son 2 1

1 11

A aa

= − −

y 2 1

* 1 1 11

aA a

a a

= − −

, con rango máximo 2 y 3

respectivamente. 2* 0 2 0 1, 2A a a a a= ⇒ − − = ⇒ = − =

• Para 1a ≠ − y 2a ≠ tenemos * 0A ≠ , con lo que rg( *) 3A = . Como rg( ) 2A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 1a = − tenemos * 0A = , 2 12 11 1

A = − −

y 2 1 1

* 2 1 11 1 1

A−

= − − −

.

El menor 2 1

1 01 1

−= ≠

−, con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible

determinado. Además, lo podemos resolver eliminando la primera ecuación: 2 1

0, 11

x yx y

x y− = ⇒ = = −− + = −

• Para 2a = tenemos * 0A = , 2 11 12 1

A = − −

y 2 1 2

* 1 1 12 1 2

A = − −

.

El menor 2 1

1 01 1

= − ≠− −

, con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible

determinado. Además, lo podemos resolver eliminando la tercera ecuación: 2 2

3, 41

x yx y

x y+ = ⇒ = = −− − =

d) Las matrices asociadas al sistema son 2

6 1k

Ak− = − −

y 2

*6 1 2

k kA

k k− = − − − −


20 12 0 3, 4A k k k k= ⇒ − − = ⇒ = − =

• Para 3k ≠ − y 4k ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

2

2

22 1 3 4 1

12 3

kk k k k kx

A k k k

−− − − − − +

= = =− − +

2

2

6 2 412 3

k kk k k ky

A k k k− − − − + −

= = =− − +

• Para 3k = − tenemos 0A = , 3 26 4

A− − = − −

y 3 2 3

*6 4 1

A− − − = − −

.

Las filas de A son proporcionales, con lo que rg( ) 1A = . En cambio, las filas de *A no son proporcionales, con lo que rg( *) 2A = . Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 4k = tenemos 0A = , 4 26 3

A− = −

y 4 2 4

*6 3 6

A− = − −

.

Tanto las filas de A como las de *A son proporcionales, por tanto, rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitas 2A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo eliminamos una de las dos ecuaciones y hacemos x = λ , con lo que obtenemos

2 2y = − + λ .


e) Las matrices asociadas al sistema son 1 125 3 1

A aa

= −

y 1 1 1

* 2 25 3 1 6

A aa a

= − −

, con rango máximo 2 y 3

respectivamente. 2* 0 3 2 0 1, 2A a a a a= ⇒ − + − = ⇒ = =

• Para 1a ≠ y 2a ≠ tenemos * 0A ≠ , con lo que rg( *) 3A = . Como rg( ) 2A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 1a = tenemos * 0A = , 1 12 15 2

A =

y 1 1 1

* 2 1 25 2 5

A =

.

El menor 1 1

1 02 1

= − ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible

determinado. Además, lo podemos resolver eliminando la tercera ecuación: 1

1, 02 2x y

x yx y+ = ⇒ = = + =

• Para 2a = tenemos * 0A = , 1 12 25 5

A =

y 1 1 1

* 2 2 25 5 4

A =

.

Las columnas de A son proporcionales, con lo que rg( ) 1A = . En cambio, las columnas de *A no son

proporcionales, por ejemplo, el menor 2 2

2 05 4

= − ≠ , con lo que rg( *) 2A = . Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el

sistema es incompatible.

f) Las matrices asociadas al sistema son 1

12 2

mA m

m

=

y 1 1

* 12 2 1

mA m m

m m

= +


respectivamente. 3 2* 0 1 0 1, 1A m m m m m= ⇒ − − + = ⇒ = − =

• Para 1m ≠ − y 1m ≠ tenemos * 0A ≠ , con lo que rg( *) 3A = . Como rg( ) 2A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 1m = − tenemos * 0A = , 1 11 12 2

A−

= − −

y 1 1 1

* 1 1 12 2 0

A−

= − − −

.

Las columnas de A son proporcionales, con lo que rg( ) 1A = . En cambio, las columnas de *A no son

proporcionales, por ejemplo, el menor 1 1

2 02 0

= − ≠ , con lo que rg( *) 2A = . Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el

sistema es incompatible.

• Para 1m = tenemos * 0A = , 1 11 12 2

A =

y 1 1 1

* 1 1 12 2 2

A =

.

Tanto las columnas de A como las de *A son proporcionales, por tanto, tenemos rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitas 2A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Además, lo podemos resolver eliminando dos ecuaciones y haciendo y = λ , obteniendo

1x = − λ .



a) ( 2) ( 1) 6

55

a x a yx y ax y

+ + + = − + = + = −

e) 2 1

25 2 1

kx y zx ky z kx y z

+ + = + + = + + =

b) 2

2 3

212

x y zx ay a zax a y a z

+ + = + + = − + + =

f) ( 1) 2 1

( 1) 2 1

x k y zkx y z kk x y z k

+ + + = − + + = − − − = +

c) 2

1(1 ) 1

x y z ax y az

x ay a z

− + =− + − = + + + = −

g) 2

2( 1)

x ky z kkx y z kx y kz k

+ + = + + + = + + = − +

d) 2 1

21

x y zx y z

x y z

+ + = α − + + α = α + α + =

h) ( 1)

( 1) 01

m x y z mx m y zy z

− + + = + − + = + =

a) Las matrices asociadas al sistema son 2 1

1 51 1

a aA

+ + =

y 2 1 6

1 51 1 5

a aA a

+ + − = −


respectivamente.

* 0 21 21 0 1A a a= ⇒ − − = ⇒ = −

• Para 1a ≠ − tenemos * 0A ≠ , con lo que rg( *) 3A = . Como rg( ) 2A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 1a = − tenemos * 0A = , 1 01 51 1

A =

y 1 0 61 5 11 1 5

A−

= − −

.

El menor 1 0

5 01 5

= ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible

determinado. Además, lo podemos resolver eliminando la tercera ecuación: 6

6, 15 1

xx y

x y= − ⇒ = − = + = −


2 3

1 1 11A a aa a a

=

y 2

2 3

1 1 1 2* 1 1

2A a a

a a a

= −


El determinante de A es 0 para cualquier valor de a, con lo que el sistema nunca es compatible determinado.

El menor 1 1

11

aa= − se anula si 1a = , ampliando este menor con la columna de términos independientes

tenemos 2

2

1 1 21 1 2

2a a a

a a− = + − , que se anula si 2a = − o 1a = .

• Para 1a ≠ y 2a ≠ − , tenemos rg( ) 2A = y rg( *) 3A = , con lo que el sistema es incompatible.

• Para 2a = − , tenemos rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando z = λ :

2

2

2 (2 1) ( 1) 3 ( 1), ,1 1 1

x y a a a ax y zx ay a a a+ = − λ + + − λ + − λ

⇒ = = − = λ+ = − − λ − −

• Para 1a = tenemos 1 1 1

rg( ) rg 1 1 1 11 1 1

A = =

y 1 1 1 2

rg( *) rg 1 1 1 1 21 1 1 2

A = − =

, con lo que el sistema es

incompatible.


c) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 21 1

1 1A a

a a

− = − − +

y 1 1 2

* 1 1 11 1 1

aA a

a a

− = − − + −


20 2 0 1, 2A a a a a= ⇒ − − = ⇒ = − =

• Para 1a ≠ − y 2a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

2

1 21 11 1 3

2

aa

a a axA a

−−

− + += =

−

1 21 1

1 1 1 12

aaa

yA a

− −− +

= =−

1 11 1 1

1 1 12

a

a azA a

−−

− += = −

−

• Para 1a = − tenemos 0A = , 1 1 21 1 11 1 0

A−

= − −

y 1 1 2 1

* 1 1 1 11 1 0 1

A− −

= − − −

.

El menor 1 1

1 01 0

= ≠−

, con lo que rg( ) 2A = .


1 2 11 1 1 0 rg( *) 21 0 1

A− −

= ⇒ =− −

Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado.

Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la primera ecuación y tomando x = λ :

1, 1 , 0

1y z

x y zy+ = + λ ⇒ = λ = + λ =− = − − λ

• Para 2a = tenemos 0A = , 1 1 21 1 21 2 3

A−

= − −

y 1 1 2 2

* 1 1 2 11 2 3 1

A−

= − − −

.

El menor 1 1

3 01 2−

= − ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


1 1 21 1 1 9 0 rg( *) 31 2 1

A−

− = − ≠ ⇒ =−



d) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 12 11 1

A = α α

y 1 1 1 2 1

* 2 11 1 1

Aα −

= α α α


= ⇒ −α + α − = ⇒ α = α =20 3 2 0 1, 2A

• Para 1α ≠ y 2α ≠ tenemos ≠ 0A , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

α −α α

α α −= =

α −

2

2 1 1 11

1 1 2( 1)2

xA

α −α α

= = −

1 2 1 121 1 1

2yA

α −α

α − α= =

α −

1 1 2 12 11 1 3

2z

A

• Para 1α = tenemos = 0A , 1 1 12 1 11 1 1

A =

y 1 1 1 1

* 2 1 1 11 1 1 1

A =

.

Tanto en A como en *A la primera y tercera fila coinciden, así, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1.

Para resolverlo observemos que el menor 1 1

1 02 1

= − ≠ , con lo que podemos eliminar la tercera ecuación

y tomar z = λ : 1

0, 1 , 02 1x y

x y zx y+ = − λ ⇒ = = − λ = + = − λ

• Para 2α = tenemos = 0A , 1 1 12 1 21 2 1

A =

y 1 1 1 3

* 2 1 2 21 2 1 1

A =

.

El menor 1 1

1 02 1

= − ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


1 1 32 1 2 6 0 rg( *) 31 2 1

A= ≠ ⇒ =


e) Las matrices asociadas al sistema son 2 1

2 15 2 1

kA k

=

y 2 1 1

* 2 15 2 1 1

kA k k

=


= ⇒ − + = ⇒ = =20 7 10 0 2, 5A k k k k

• Para 2k ≠ y 5k ≠ tenemos ≠ 0A , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

= =

1 2 11

1 2 10

k k

xA

−= =

−

1 12 15 1 1 1

2

kk

kyA k

−= =

−

2 125 2 1

2

kk k

kzA k


• Para 2k = tenemos 0A = , 2 2 12 2 15 2 1

A =

y 2 2 1 1

* 2 2 1 25 2 1 1

A =

.

El menor 2 2

6 05 2

= − ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


2 2 12 2 2 6 0 rg( *) 35 2 1

A= ≠ ⇒ =


• Para 5k = tenemos 0A = , 5 2 12 5 15 2 1

A =

y 5 2 1 1

* 2 5 1 55 2 1 1

A =

.

El menor 5 1

3 02 1

= ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


2 1 15 1 5 0 rg( *) 22 1 1

A= ⇒ =


Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la primera ecuación y tomando x = λ :

5 5 2 4 3 5 21, ,2 1 5 3 3y z

x y zy z+ = − λ + λ − − λ ⇒ = λ = = + = − λ

f) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 2

1 11 2 1

kA k

k

+ = − − −

y + −

= − − − +

1 1 2 1* 1 1

1 2 1 1

kA k k

k k, con rango

máximo 3.

= ⇒ − + = ⇒ = =2 10 2 5 2 0 , 22

A k k k k

• Para 12

k ≠ y 2k ≠ tenemos ≠ 0A , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es

compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

− +

+ − − += =

−

1 1 21 1

1 2 1 2 12 1

kk

k kxA k

−

− + −= =

1 1 21

1 1 10

k kk k

yA

+ −

− − + −= =

−

1 1 11

1 2 1 22 1

kk k

k k kzA k


• Para 12

k = tenemos 0A = ,

31 22

1 1 121 2 12

A

= − − −

y

− = − − −

31 2 12

1 1* 1 12 21 32 12 2

A .

El menor 1 1

1 02 1

= ≠− −

, con lo que rg( ) 2A = .


−

= − ≠ ⇒ =

− −

3 2 12

11 1 3 0 rg( *) 3232 12

A


• Para 2k = tenemos 0A = , 1 3 22 1 11 2 1

A = − −

y 1 3 2 12 1 1 21 2 1 3

A−

= − −

.

El menor 3 2

1 01 1

= ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


3 2 11 1 2 0 rg( *) 22 1 3

A−

= ⇒ =− −


Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando x = λ :

3 2 1, 5 3 , 7 5

2 2y z

x y zy z

+ = − − λ ⇒ = λ = − + λ = − λ + = − λ

g) Las matrices asociadas al sistema son 1 1

1 11 1

kA k

k

=

y 1 1 2

* 1 11 1 2( 1)

k kA k k

k k

+ = − +


30 3 2 0 2, 1A k k k k= ⇒ − + − = ⇒ = − =

• Para 2k ≠ − y 1k ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

2 11 1

2( 1) 11

k kkk k kx

A k

+

− += =

−

1 2 11

1 2( 1) 21

kk k

k k kyA k

+

− + += =

−

1 21

1 1 2( 1) 2( 1)1

k kk k

k kzA k

+

− + − += =

−


• Para 2k = − tenemos 0A = , 1 2 12 1 11 1 2

A−

= − −

y 1 2 1 0

* 2 1 1 21 1 2 2

A−

= − − −

.

El menor 1 2

3 02 1

−= − ≠

−, con lo que rg( ) 2A = .


1 2 02 1 2 0 rg( *) 21 1 2

A−

− − = ⇒ =


Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando z = λ :

2 4 3 2 3, ,2 2 3 3

x yx y z

x y− = −λ + λ + λ ⇒ = = = λ− + = − − λ

• Para 1k = tenemos 0A = , 1 1 11 1 11 1 1

A =

y 1 1 1 3

* 1 1 1 11 1 1 4

A = −

.

Todas las filas de A coinciden, por tanto rg( ) 1A = .

Las tres primeras columnas de *A son iguales, por tanto 1 3

rg( *) rg 1 1 21 4

A = = −

.


h) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 1

1 1 10 1 1

mA m

− = −

y 1 1 1

* 1 1 1 00 1 1 1

m mA m

− = −

, con rango

máximo 3. 20 3 2 0 1, 2A m m m m= ⇒ − + = ⇒ = =

• Para 1m ≠ y 2m ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

1 10 1 11 1 1

1

mm

xA

−

= =

1 11 0 10 1 1 2

2

m m

yA m

−

−= =

−

1 11 1 00 1 1

2

m mm

mzA m

−−

= =−

• Para 1m = tenemos 0A = , 0 1 11 0 10 1 1

A =

y 0 1 1 1

* 1 0 1 00 1 1 1

A =

.

El menor 0 1

1 01 0

= − ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


0 1 11 0 0 0 rg( *) 20 1 1

A= ⇒ =



1, 1 ,

yx y z

x= − λ ⇒ = −λ = − λ = λ = −λ


• Para 2m = tenemos 0A = , 1 1 11 1 10 1 1

A =

y 1 1 1 2

* 1 1 1 00 1 1 1

A =

.

El menor 1 1

1 00 1

= ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


1 1 21 1 0 2 0 rg( *) 30 1 1

A= ≠ ⇒ =



a) 2 1

(2 1) 3 1( 3) 2 1

x ky zx k y zx ky k z k

+ + = + − + = + + + = −

c) (2 1) (1 ) 0

3(1 ) 0

ax a y a zax az a

ax ay a z

+ + + − = + = + + − =

e) 2

3

( 1)( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)

ax y z a ax ay z a ax y az a a

+ + = − + + + = − + + + = − +

b) 2

( 1) 1( 1) 2 2

( 1) 2

a x y za x z

y a a z a

+ + + = − − − − = + − − = − +

d) 2

2 ( 3) 3(4 ) 3

2 4 3( 2) 8

x y m zx y m m zx y m z

+ + + =

+ + + − = + + + =

f)

2

2 2

2 2

( ) 2 2( ) ( ) 4( 2) ( 2) 2

a a x ya a x a a ya a x a a z

+ + =

+ + − = − − + − − =

a) Las matrices asociadas al sistema son 1 21 2 1 31 3

kA k

k k

= − +

y 1 2 1

* 1 2 1 3 11 3 2 1

kA k

k k k

= − + −

, con rango

máximo 3. 20 1 0 1, 1A k k k= ⇒ − = ⇒ = − =


1 21 2 1 3

2 1 3 51

kk

k k k kxA k

−− + −

= = −+

1 1 21 1 31 2 1 3 2

1k k

yA k− +

= = −+

1 11 2 1 11 2 1 2( 1)

1

kkk k kz

A k

−− −

= =+

• Para 1k = − tenemos 0A = , 1 1 21 3 31 1 2

A−

= − −

y 1 1 2 1

* 1 3 3 11 1 2 3

A−

= − − −

. El menor 1 1

2 01 3

−= − ≠

−, con lo

que rg( ) 2A = . Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:

1 1 11 3 1 8 0 rg( *) 31 1 3

A−− = ≠ ⇒ =− −



• Para 1k = tenemos 0A = , 1 1 21 1 31 1 4

A =

y 1 1 2 1

* 1 1 3 11 1 4 1

A =

. El menor 1 2

1 01 3

= ≠ , con lo que

rg( ) 2A = . Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:

1 2 11 3 1 0 rg( *) 21 4 1

A= ⇒ =



2 1, 1 , 0

3 1y z

x y zy z+ = − λ ⇒ = λ = − λ = + = − λ


1 1 11 0 2

0 1 1

aA a

a a

+ = − − − − −

y 2

1 1 1 1* 1 0 2 2

0 1 1 2

aA a

a a a

+ − = − − − − − − +

, con

rango máximo 3. 30 0 1, 0, 1A a a a a a= ⇒ − = ⇒ = − = =

• Para 1a ≠ − , 0a ≠ y 1a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

2

1 1 12 0 2

2 1 1 2( 1)( 1)

a a a axA a a

−−

− + − − −= = −

+

2

1 1 11 2 2

0 2 1 1

aa

a a a ayA a

+ −− − −

− + − − −= =

1 1 11 0 2

0 1 2 1

aa

az

A a

+ −− −

− += = −

• Para 1a = − tenemos 0A = , 0 1 10 0 20 1 1

A = −

y 0 1 1 1

* 0 0 2 20 1 1 3

A−

= −

. El menor 1 1

2 00 2

= − ≠−

, con lo


1 1 10 2 2 8 0 rg( *) 31 1 3

A−

− = − ≠ ⇒ =


• Para 0a = tenemos 0A = , 1 1 11 0 20 1 1

A = − − −

y 1 1 1 1

* 1 0 2 20 1 1 2

A−

= − − −

. El menor 1 1

1 01 0

= ≠−

, con lo


1 1 11 0 2 1 rg( *) 30 1 2

A−

− = ⇒ =



• Para 1a = tenemos 0A = , 2 1 12 0 20 1 1

A = − − −

y 2 1 1 1

* 2 0 2 20 1 1 1

A−

= − − −

. El menor 2 1

2 02 0

= ≠−

, con lo


2 1 12 0 2 0 rg( *) 20 1 1

A−

− = ⇒ =



2 11 , 1 ,

2 2 2x y

x y zx+ = − − λ ⇒ = − − λ = + λ = λ− = + λ

c) Las matrices asociadas al sistema son 2 1 1

3 01

a a aA a a

a a a

+ − = −

y 2 1 1 0

* 3 01 0

a a aA a a a

a a a

+ − = −

, con rango

máximo 3.

3 2 30 4 3 0 1, 0,4

A a a a a a a= ⇒ + − = ⇒ = − = =

• Para 1a ≠ − , 0a ≠ y 34

a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema

es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

0 2 1 10

0 1 14 3

a aa a

a a axA a

+ −

− −= =

−

0 13

0 10

a aa a aa a

yA

−

−= =

2 1 03 0

04 3

a aa aa a az

A a

+

= =−

• Para 1a = − tenemos 0A = , 1 1 23 0 11 1 2

A− −

= − − − −

y 1 1 2 0

* 3 0 1 11 1 2 0

A− −

= − − − − −

. El menor 1 2

1 00 1−

= ≠−

, con

lo que rg( ) 2A = . Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:

1 2 00 1 1 0 rg( *) 21 2 0

A−

− − = ⇒ =−



2, 2 7 , 1 3

1 3y z

x y zz− + = λ ⇒ = λ = − λ = − λ− = − + λ

• Para 0a = tenemos 0A = , 0 1 10 0 00 0 1

A =

y 0 1 1 0

* 0 0 0 00 0 1 0

A =

. Como el sistema es homogéneo y

0A = , será compatible indeterminado. Además, obviamente podemos eliminar la segunda ecuación, obteniendo:

0, 0, 0

0y z

x y zz+ = ⇒ = λ = = =


• Para 34

a = tenemos 0A = ,

3 5 14 2 49 304 43 3 14 4 4

A

=

y

3 5 1 04 2 49 3 3* 04 4 43 3 1 04 4 4

A

=

. El menor

3 5454 2 0

9 804

= − ≠ , con


3 5 04 29 3 630 rg( *) 34 4 643 3 04 4

A= ⇒ =



1 2 31 1 42 4 3( 2)

mA m m

m

+ = + − +

y 2

1 2 3 3* 1 1 4 3

2 4 3( 2) 8

mA m m

m

+ = + − +

, con rango

máximo 3. 0 0 0A m m= ⇒ − = ⇒ =

• Para 0m ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

2

2

3 2 33 1 48 4 3( 2) 4 10

mm mm m mx

A m

++ −

+ + −= =

2

2

1 3 31 3 42 8 3( 2) 2 2

mm mm my

A m

++ −

+ −= = −

1 2 31 1 32 4 8 2z

A m= =

• Para 0m = tenemos 0A = , 1 2 31 1 42 4 6

A =

y 1 2 3 3

* 1 1 4 32 4 6 8

A =

. El menor 1 2

1 01 1

= − ≠ , con lo que


1 2 31 1 3 2 0 rg( *) 32 4 8

A= − ≠ ⇒ =


e) Las matrices asociadas al sistema son 1 1

1 11 1

aA a

a

=

y 2

3

1 1 ( 1)( 2)* 1 1 ( 1) ( 2)

1 1 ( 1) ( 2)

a a aA a a a

a a a

− + = − + − +


30 3 2 0 2, 1A a a a a= ⇒ − + = ⇒ = − =

• Para 2a ≠ − y 1a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

2

32

( 1)( 2) 1 1( 1) ( 2) 1( 1) ( 2) 1

2 1

a aa a aa a a

x a aA

− +− +− +

= = − + +

2

3

( 1)( 2) 11 ( 1) ( 2) 11 ( 1) ( 2)

2 3

a a aa aa a a

y aA

− +− +− +

= = −

2

33 2

1 ( 1)( 2)1 ( 1) ( 2)1 1 ( 1) ( 2)

2 1

a a aa a a

a az a a a

A

− +− +− +

= = − − +


• Para 2a = − o 1a = el sistema resulta ser homogéneo con 0A = , por lo que es compatible indeterminado en ambos casos.

Para 2a = − tenemos 2 1 11 2 11 1 2

A− = − −

con el menor 1 1

1 02 1

= − ≠ , por lo que podemos resolver el

sistema eliminando la tercera ecuación y tomando x = λ :

2, ,

2y z

x z zy z+ = λ ⇒ = λ = λ = λ− + = −λ

Para 1a = las tres ecuaciones coinciden, por lo que el sistema se reduce a:

0 , ,x y z x y z+ + = ⇒ = −µ − λ = µ = λ

f) Las matrices asociadas al sistema son:

2

2 2

2 2

2 00

2 0 2

a aA a a a a

a a a a

+ = + − − − − −

y

2

2 2

2 2

2 0 2* 0 4

2 0 2 2

a aA a a a a

a a a a

+ = + − − − − −


6 5 4 3 20 5 8 4 0 1, 0, 2A a a a a a a a a a= ⇒ − − + + + = ⇒ = − = =

• Para 1a ≠ − , 0a ≠ y 2a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

2

2 2

2

2 2 04 02 0 2 2( 4)

( 2)( 1)

a aa a a ax

A a a a

−− − − −

= =− +

2

2

2 2

2 04 0

2 2 2 2( 2)( 1)

a aa a

a a a ay

A a a

++

− − − −= =

− +

2

2 2

2

2

2 24

2 0 2 4( 2)( 2)( 1)

a aa a a a

a a azA a a

++ −

− − += =

− +

• Para 1a = − tenemos 0A = , 0 2 00 2 00 0 0

A =

y 0 2 0 2

* 0 2 0 40 0 0 2

A =

y el sistema es incompatible, ya que la

tercera ecuación es 0 2= .

• Para 0a = tenemos 0A = , 0 2 00 0 02 0 2

A = − −

y 0 2 0 2

* 0 0 0 42 0 2 2

A = − −

y el sistema es incompatible, ya

que la segunda ecuación es 0 4= .

• Para 2a = tenemos 0A = , 6 2 06 2 00 0 0

A =

y 6 2 0 2

* 6 2 0 40 0 0 2

A =

y el sistema es incompatible, ya que la

tercera ecuación es 0 2= .



a)

2

13 16 3

ax y z ax y zx y zx y z a

+ + = − + =

− − = − + =

c)

22

32 0

x y zx y

y zx y z

+ + = − = λ + = λ − + =

b)

23 05 0

2 1

kx ky zx kyx ky

x z

+ − = − = + = + =

d)

3 40

2 22 2 0

x y azax y azx ay ax y z

+ − =− + + =− + = + − − =


1 11 1 13 1 16 1 1

a

A

− = − − −

y

21 11 1 1 1*3 1 1 16 1 1 3

a a

A

a

− = − − −


respectivamente. 2* 0 4 16 16 0 2A a a a= ⇒ − + − = ⇒ =

• Para 2a ≠ tenemos * 0A ≠ , con lo que rg( *) 4A = . Como rg( ) 3A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 2a = tenemos * 0A = ,

2 1 11 1 13 1 16 1 1

A

− = − − −

y

2 1 1 41 1 1 1

*3 1 1 16 1 1 6

A

− = − − −

. El menor 2 1 11 1 1 10 03 1 1

− = ≠− −

,

con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos eliminando la cuarta ecuación y aplicando la regla de Cramer:

4 1 11 1 11 1 1 10 1

10 10x

−− −

= = =

2 4 11 1 13 1 1 10 1

10 10y

−= = =

2 1 41 1 13 1 1 10 1

10 10z

−−

= = =

b) Las matrices asociadas al sistema son

13 05 01 0 2

k kk

Ak

− − =

y

1 23 0 0

*5 0 01 0 2 1

k kk

Ak

− − =


respectivamente.

* 0 40 0 0A k k= ⇒ − = ⇒ =

• Para 0k ≠ tenemos * 0A ≠ , con lo que rg( *) 4A = . Como rg( ) 3A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 0k = tenemos * 0A = ,

0 0 13 0 05 0 01 0 2

A

− =

y

0 0 1 23 0 0 0

*5 0 0 01 0 2 1

A

− =

.

Observemos que rg( ) 2A = , en cambio rg( *) 3A = , ya que el menor 0 1 23 0 0 15 01 2 1

−= ≠ .



c) Las matrices asociadas al sistema son

1 1 12 1 00 1 31 1 2

A

− = −

y

1 1 1 22 1 0

*0 1 31 1 2 0

A

− λ = λ −


respectivamente. * 0 14 14 0 1A = ⇒ λ − = ⇒ λ =

• Para 1λ ≠ tenemos * 0A ≠ , con lo que rg( *) 4A = . Como rg( ) 3A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 1λ = tenemos * 0A = ,

1 1 12 1 00 1 31 1 2

A

− = −

y

1 1 1 22 1 0 1

*0 1 3 11 1 2 0

A

− = −

. El menor 1 1 12 1 0 7 00 1 3

− = − ≠ , con lo

que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos eliminando la cuarta ecuación y aplicando la regla de Cramer:

2 1 11 1 01 1 3 7 1

7 7x

−−

= = =− −

1 2 12 1 00 1 3 7 1

7 7y −= = =

− −

1 1 22 1 10 1 1 0 0

7 7z

−

= = =− −

d) Las matrices asociadas al sistema son

1 31

1 2 02 1 2

aa a

Aa

− − = − − −

y

1 3 41 0

*1 2 0 2

2 1 2 0

aa a

Aa a

− − = − + − −

, con rango máximo 3 y

4, respectivamente. 3 2* 0 8 12 0 3, 2A a a a a a= ⇒ − − + = ⇒ = − =

• Para 3a ≠ − y 2a ≠ tenemos * 0A ≠ , con lo que rg( *) 4A = . Como rg( ) 3A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 3a = − tenemos * 0A = ,

1 3 33 1 31 6 02 1 2

A

− = − − − −

y

1 3 3 43 1 3 0

*1 6 0 12 1 2 0

A

− = − − − − −

.

El menor 1 3 33 1 3 60 01 6 0

− = − ≠− −

, con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es

compatible determinado. Lo resolvemos eliminando la cuarta ecuación y aplicando la regla de Cramer:

4 3 30 1 31 6 0 60 1

60 60x

−− − −

= = =− −

1 4 33 0 31 1 0 0 0

60 60y

−− −

= = =− −

1 3 43 1 01 6 1 60 1

60 60z

− − − −= = =

− −

• Para 2a = tenemos * 0A = ,

1 3 22 1 21 4 02 1 2

A

− − = − − −

y

1 3 2 42 1 2 0

*1 4 0 4

2 1 2 0

A

− − = − − −

.

El menor 1 3

7 02 1

= ≠−

, pero cualquier ampliación a un menor de orden 3 es nulo, tanto en A como en

*A . Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera y cuarta ecuación y tomamos z = λ :

3 4 2 4 8 8 2, ,2 2 7 7

x yx y z

x y+ = + λ + λ + λ ⇒ = = = λ− + = − λ


68. Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro.

02 3 0

( 1) ( 1) 23 ( 3) 4 2

x y zx y zmx m y m z m

x m y z m

+ + = + + = + + + − = − + + + = −

Las matrices asociadas al sistema son

1 1 11 2 3

1 13 3 4

Am m m

m

= + − +

y

1 1 1 01 2 3 0

*1 1 2

3 3 4 2

Am m m m

m m

= + − − + −

, con rango

máximo 3 y 4, respectivamente. = ⇒ − + = ⇒ =2* 0 2 8 8 0 2A m m m

• Para 2m ≠ tenemos ≠* 0A , con lo que rg( *) 4A = . Como rg( ) 3A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.


1 1 11 2 32 3 13 5 4

A

=

y

1 1 1 01 2 3 0

*2 3 1 03 5 4 0

A

=

. Como el sistema es homogéneo, será

compatible. Como el menor 1 1 11 2 3 3 02 3 1

= − ≠ tenemos rg( ) nº de incógnitas 3A = = y el sistema es

compatible determinado.

69. Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro y halla todas sus soluciones cuando 1α = .

− + + + + = + = + + + + − = − + 2

(1 ) (2 1) (2 2)2 2

2 ( 1) ( 1) 2 9

x y zx yx y z

α α α αα α α

α α α α

Las matrices asociadas al sistema son 1 2 1 2 2

02 1 1

A− α α + α +

= α α α + α −

y 2

1 2 1 2 2* 0 2 2

2 1 1 2 9A

− α α + α + α = α α α + α + α − α − α +

,

con rango máximo 3. = ⇒ −α + α − α = ⇒ α = α = α =3 20 3 2 0 0, 1, 2A

• Para 0, 1 y 2α ≠ α ≠ α ≠ tenemos ≠ 0A , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 0α = tenemos 0A = , 1 1 20 0 02 1 1

A = −

y 1 1 2 0

* 0 0 0 22 1 1 9

A = −

, con lo que la segunda ecuación es

0 2= , siendo, por tanto, el sistema incompatible.

• Para 1α = tenemos 0A = , 0 3 41 1 02 2 0

A =

y 0 3 4 1

* 1 1 0 42 2 0 8

A =

. El menor 0 3

3 01 1



0 3 11 1 4 0 rg( *) 22 2 8

A= ⇒ =

Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas 3A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando z = λ :

3 1 4 11 4 1 4, ,4 3 3

yx y z

x y= − λ + λ − λ ⇒ = = = λ + =


• Para 2α = tenemos 0A = , 1 5 62 2 02 3 1

A− =

y 1 5 6 2

* 2 2 0 62 3 1 9

A− =

. El menor 2 0

2 03 1

= ≠ , con lo que


5 6 22 0 6 26 0 rg( *) 33 1 9

A= − ≠ ⇒ =


70. Sea 1 22 0 1

1 2

mB

m

=

la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Halla razonadamente los valores de m

para los que el sistema es compatible determinado. El sistema será compatible determinado si B es no nulo. Tenemos:

= ⇒ − = ⇒ =90 4 9 04

B m m

Por tanto, el sistema es compatible determinado si 94

m ≠ .

71. Dado el sistema

3 12

3 2 04 5

x zy t

x zx t

− = − − =− + =− + = − λ

.

a) Discute su compatibilidad según los distintos valores de λ .

b) Resuélvelo para 7λ = .


1 0 3 00 1 0 13 0 2 04 0 0

A

− − = − − λ

y

1 0 3 0 10 1 0 1 2

*3 0 2 0 04 0 0 5

A

− − − = − − λ −

, con rango

máximo 4.

= ⇒ − λ = ⇒ λ =0 7 0 0A

• Para 0λ ≠ tenemos ≠ 0A , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 4A A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 0λ = tenemos = 0A ,

1 0 3 00 1 0 13 0 2 04 0 0 0

A

− − = − −

y

1 0 3 0 10 1 0 1 2

*3 0 2 0 04 0 0 0 5

A

− − − = − − −

.

El menor 1 0 30 1 0 7 03 0 2

−= − ≠



1 0 3 10 1 0 2

27 rg( *) 43 0 2 04 0 0 5

A

− −

= ⇒ =−− −



b) Según el apartado anterior, si 7λ = el sistema es compatible determinado y lo podemos resolver con la regla de Cramer:

1 0 3 02 1 0 10 0 2 05 0 0 7 14 2

49 7x

A

− −−

− −= = =

−

1 1 3 00 2 0 13 0 2 04 5 0 71 71

49 49y

A

− −−

−− − λ −

= = =−

1 0 1 00 1 2 13 0 0 04 0 5 7 21 3

49 7z

A

−−

−− − −

= = =−

1 0 3 10 1 0 23 0 2 04 0 0 5 27 27

49 49t

A

− −

−− −

= = = −−

72. Discute los siguientes sistemas para los distintos valores de los parámetros a y b.

a) 2 3

3 18 4

x ay zx y zx y z b

+ + = − − = −− + + =

c) (2 1) 1

2(1 )

ax a y azax y az bax a z b

+ + − = + − = − + − =

b) 2 2

54 5 10

x y z bx y zx y az

− − = + + = − + = −

d) 2

12

2

ax y z bax y a zx y az b

+ + = +

+ + = + + =

a) Las matrices asociadas al sistema son 1 21 3 11 8 4

aA

= − − −

y 1 2 3

* 1 3 1 11 8 4

aA

b

= − − − −


= ⇒ − + = ⇒ =0 3 6 0 2A a a

• Para 2a ≠ tenemos ≠ 0A , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

• Para 2a = tenemos 0A = , 1 2 21 3 11 8 4

A = − − −

y 1 2 2 3

* 1 3 1 11 8 4

Ab

= − − − −

. El menor 1 2

5 01 3

= − ≠−

, con


1 2 31 3 1 5 25 rg( *) 31 8

b Ab

− − = − + ⇒ =−

si 5b ≠ y rg( *) 2A = si 5b =

Por tanto, el sistema es incompatible si 2a = y 5b ≠ , y compatible indeterminado si 2a = y 5b = .

b) Las matrices asociadas al sistema son 2 1 21 1 14 5

Aa

− − = −

y 2 1 2

* 1 1 1 54 5 10

bA

a

− − = − −


= ⇒ + = ⇒ = −0 3 24 0 8A a a

• Para 8a ≠ − tenemos ≠ 0A , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

• Para 8a = − tenemos = 0A , 2 1 21 1 14 5 8

A− −

= − −

y 2 1 2

* 1 1 1 54 5 8 10

bA

− − = − − −

. El menor 2 1

3 01 1

−= ≠ , con


2 11 1 5 9 rg( *) 34 5 10

bb A

−= − ⇒ =

− − si 0b ≠ y rg( *) 2A = si 0b =

Por tanto, el sistema es incompatible si 8a = − y 0b ≠ , y compatible indeterminado si 8a = − y 0b = .



10 1

a a aA a a

a a

+ − = − −

y 2 1 1

* 1 20 1

a a aA a a b

a a b

+ − = − − −

, con rango

máximo 3. 20 2 0 0A a a= ⇒ − = ⇒ =

• Para 0a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

• Para 0a = tenemos 0A = , 0 1 00 1 00 0 1

A =

y 0 1 0 1

* 0 1 0 20 0 1

A bb

= −

.

El menor 1 0

1 00 1

= ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


1 0 11 0 2 2 1 rg( *) 30 1

b b Ab− = + ⇒ = si 1

2b ≠ − y rg( *) 2A = si 1

2b = −

Por tanto, el sistema es incompatible si 0a = y 12

b ≠ − , y compatible indeterminado si 0a = y 12

b = − .


1 11

1 1

aA a a

a

=

y 2

1 1 1* 1 2

1 1 2

a bA a a

a b

+ =


3 20 1 0 1, 1A a a a a a= ⇒ − + + − = ⇒ = − =

• Para 1a ≠ − y 1a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

• Para 1a = − tenemos 0A = , 1 1 11 1 11 1 1

A− = − −

y 1 1 1 1

* 1 1 1 21 1 1 2

bA

b

− + = − −

.

El menor 1 1

2 01 1−

= − ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


1 1 11 1 2 2 2 rg( *) 3

1 1 2

bb A

b

− +− = − + ⇒ = si 1b ≠ y rg( *) 2A = si 1b =


• Para 1a = tenemos 0A = , 1 1 11 1 11 1 1

A =

y 1 1 1 1

* 1 1 1 21 1 1 2

bA

b

+ =

.

Observemos que rg( ) 1A = , rg( *) 2A = si 1b ≠ y rg( *) 1A = si 1b = .



Sistemas homogéneos 73. Determina para qué valores del parámetro k cada uno de los siguientes sistemas tienen soluciones

distintas de la trivial y resuélvelo en tales casos.

a) 0

2 2 04 0

x ky zx y z

x y kz

+ − = − + = − + =

b) 00

( 1) 0

x ky zkx y zk x y

+ − = − + = + + =

Al tratarse de sistemas homogéneos, tendrán soluciones distintas de la trivial si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas, es decir, si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

a) −

= − = ⇒ − + + = ⇒ = − =−

2

1 152 1 2 0 2 15 0 , 321 4

kA k k k k

k

Por tanto, el sistema tiene soluciones distintas de la trivial si 52

k = − o 3k = .

• Para 52

k = − tenemos

51 12

2 1 251 42

A

− −

= − − −

, el menor 1 1

4 02 2

−= ≠ , por lo que podemos resolver el

sistema eliminando la tercera ecuación y tomando y = λ :

5 3 , ,2 22 2

x z x y zx z

− = λ λ ⇒ = = λ = −λ + = λ

• Para 3k = tenemos 1 3 12 1 21 4 3

A−

= − −

, el menor 1 3

7 02 1

= − ≠−

, por lo que podemos resolver el sistema

eliminando la tercera ecuación y tomando z = λ :

3 5 4, ,2 2 7 7x y

x y zx y+ = λ λ λ ⇒ = − = = λ − = − λ

b) 2

1 11 1 0 2 0 1, 2

1 1 0

kA k k k k k

k

−= − = ⇒ − − = ⇒ = − =

+

Por tanto, el sistema tiene soluciones distintas de la trivial si 1k = − o 2k = .

• Para 1k = − tenemos 1 1 11 1 10 1 0

A− −

= − −

, el menor 1 1

1 00 1− −

= − ≠ , por lo que podemos resolver el

sistema eliminando la primera ecuación y tomando z = λ :

, 0,0

x yx y z

y− − = −λ ⇒ = λ = = λ =

• Para 2k = tenemos 1 2 12 1 13 1 0

A−

= −

, el menor 1 1

1 01 0−

= − ≠ , por lo que podemos resolver el sistema

eliminando la primera ecuación y tomando x = λ :

2, 3 , 5

3y z

x y zy− + = − λ ⇒ = λ = − λ = − λ = − λ


74. Discute y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas.

a) 2 0

2 02 0

x y zx y z

x y z

λ + + =λ − + = − λ + =

b) 3 2 0

3 03 5 0

x y zmx y z

x y z

− − = + − = − + =

Al tratarse de sistemas homogéneos serán siempre compatibles. Serán compatibles determinados si el rango de la matriz de coeficientes en igual al número de incógnitas, es decir, si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo.

a) 2

2 11 2 0 6 5 0 1, 5

1 2A

λ= λ − = ⇒ λ − λ + = ⇒ λ = λ =

−λ

• Para 1λ ≠ y 5λ ≠ tenemos 0A ≠ y, por tanto, el sistema es compatible determinado.

Su única solución es la trivial, 0x y z= = = .

• Para 1λ = tenemos 0A = , 1 2 11 1 21 1 2

A = − −

y el sistema es compatible indeterminado.

Como el menor 1 2

3 01 1

= − ≠−

, podemos resolverlo eliminando la tercera ecuación y tomando z = µ :

2 5 , ,2 3 3

x yx y z

x y+ = −µ µ µ ⇒ = − = = µ − = − µ

• Para 5λ = tenemos 0A = , 5 2 15 1 21 5 2

A = − −


Como el menor 2 1

5 01 2

= ≠−

, podemos resolverlo eliminando la tercera ecuación y tomando x = µ :

2 5, , 3

2 5y z

x y zy z+ = − µ ⇒ = µ = −µ = − µ− + = − µ

b) 3 1 2

3 1 0 7 63 0 93 1 5

A m m m− −

= − = ⇒ + = ⇒ = −−

• Para 9m ≠ − tenemos 0A ≠ y, por tanto, el sistema es compatible determinado.

Su única solución es la trivial, 0x y z= = = .

• Para 9m = − tenemos 0A = , 3 1 29 3 13 1 5

A− −

= − − −


Como el menor 1 2

7 03 1− −

= ≠−

, podemos resolverlo eliminando la tercera ecuación y tomando x = λ :

2 3, 3 , 0

3 9y z

x y zy z− − = − λ ⇒ = λ = λ = − = λ


75. La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es:

− − +

1 2 32 1 04 1 2 2

aa

Discútelo y resuélvelo cuando tenga infinitas soluciones. Al ser un sistema homogéneo, es siempre compatible. Será determinado si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo.

= ⇒ + − ⇒ = − =20 2 4 16 4, 2A a a a a

Por tanto, el sistema es compatible determinado si 4a ≠ − y 2a ≠ , y es compatible indeterminado si 4a = − o 2a = . De este modo, debemos resolver el sistema si 4a = − o 2a = .

• Para 4a = − el menor 2 3

15 05 0

= − ≠ , con lo que podemos resolver el sistema eliminando la tercera ecuación

y tomando x = λ : 2 3 2 3, ,5 2 5 5

y zx y z

y+ = λ λ λ ⇒ = λ = − = = − λ

• Para 2a = el menor 2 3

3 01 0

= ≠−

, con lo que podemos resolver el sistema eliminando la tercera ecuación y

tomando x = λ : 2 3

, 2 ,2

y zx y z

y+ = λ ⇒ = λ = λ = −λ− = − λ

76. Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro y resuélvelo para 0m = .

3 0

3 2

x y mzx y mmx y mz m

− + = + = − + = −

Las matrices asociadas al sistema son 3 11 1 0

3

mA

m m

− = −

y 3 1 0

* 1 1 03 2

mA m

m m m

− = − −


= ⇒ − + = ⇒ = =20 0 0, 1A m m m m

• Para 0m ≠ y 1m ≠ tenemos ≠ 0A con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 0m = tenemos = 0A , 3 1 01 1 00 3 0

A−

= −

y 3 1 0 0

* 1 1 0 00 3 0 0

A−

= −

. Como el sistema es homogéneo, es

compatible indeterminado. Como el menor 1 1

3 00 3

= − ≠−

, lo podemos resolver eliminando la primera

ecuación y tomando z = λ : 0

0, 0,3 0

x yx y z

y+ = ⇒ = = = λ− =

• Para 1m = tenemos = 0A , 3 1 11 1 01 3 1

A−

= −

y −

= − −

3 1 1 0* 1 1 0 1

1 3 1 2A . El menor

1 11 0

1 0−



−= ⇒ =

− −

1 1 01 0 1 0 rg( *) 23 1 2

A

Por tanto, = =rg( ) rg( *) 2A A y el sistema es compatible indeterminado.

Tomando = λx : − + = − λ ⇒ = λ = − λ = − λ = − λ

3, 1 , 1 4

1y z

x y zy


Síntesis 77. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

+ = − − − =

1(1 2 )x my

m x y m

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuelve el sistema en los casos en que la solución no sea única.

c) Calcula los valores de m para que (−3, 2) sea solución.


1 2 1m

Am

= − − y

1 1*

1 2 1m

Am m

− = − − con rango máximo 2.

2 10 2 1 0 , 12

A m m m m= ⇒ − − = ⇒ = − =

• Para 12

m ≠ − y 1m ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es


• Para 12

m = − tenemos 0A = , 112

2 1A

− = −

y

11 12*

12 12

A

− − = − −

.

Las filas de A son proporcionales, pero las de *A no lo son, por tanto, rg( ) 1A = , rg( *) 2A = y el sistema es incompatible.

• Para 1m = tenemos 0A = , 1 11 1

A = − − y

1 1 1*

1 1 1A

− = − − .

Tanto las filas de A como las de *A son proporcionales, por tanto, rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitas 2A A= = < = y el sistema es compatible indeterminado.

b) Según el apartado anterior, tenemos que resolver el sistema para 1m = . Para ello, podemos eliminar la segunda ecuación y tomar y = λ , obteniendo 1x = − − λ .

c) 3 2 1 13(1 2 ) 2 1

m mm m m

− + = − = ⇒ − − − = = ⇒ Para m = 1 es solución el punto (−3, 2).

78. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

( 1) 2 1

(1 ) 2 1

x m y zmx y z m

m x y z m

+ + + = − + + = − + + = − −

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuelve el sistema para = 2m . Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que 2z = .

a) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 2

1 11 2 1

mA m

m

+ = −

y 1 1 2 1

* 1 11 2 1 1

mA m m

m m

+ − = − − −

, con rango

máximo 3.

2 10 2 5 2 0 , 22

A m m m m= ⇒ − + − = ⇒ = =

• Para 12

m ≠ y 2m ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) n.º de incógnitas 3A A= = = y el sistema es



• Para 12

m = tenemos 0A = ,

31 22

1 1 121 2 12

A

=

y

31 2 12

1 1* 1 12 21 32 12 2

A

− = −

.

El menor 1 1

1 02 1

= − ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


3 2 12

11 1 3 0 rg( *) 3232 12

A

−

= ≠ ⇒ =

−


• Para 2m = tenemos 0A = , 1 3 22 1 11 2 1

A = −

y 1 3 2 1

* 2 1 1 21 2 1 3

A−

= − −

.

El menor 1 1

1 02 1

= − ≠ , con lo que rg( ) 2A = .


3 2 11 1 2 0 rg( *) 22 1 3

A−

= ⇒ =−


b) Según el apartado anterior, si 2m = el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1.

Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 considerado en dicho apartado, lo podemos resolver eliminando la primera ecuación y tomando x = λ :

2 2, 5 3 , 7 5

2 3y z

x y zy z+ = − λ ⇒ = λ = − + λ = − λ + = − + λ

Para encontrar una solución en la que 2z = observemos que 2 7 5 2 1z = ⇒ − λ = ⇒ λ = , por tanto, la solución buscada es 1, 2, 2x y z= = − = .


79. Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales − + =

∈− + = − + =

2 3 4,2 8

5 4

x y zax y z

x y az

es compatible indeterminado.

a) Calcula a y resuelve el sistema para dicho valor del parámetro. b) Para el valor de a encontrado, da una solución particular del sistema tal que x y= . a) Para que el sistema sea compatible indeterminado el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo:

0 3 24 0 8A a a= ⇒ − = ⇒ =

Para 8a = tenemos 1 2 32 1 11 5 8

A−

= − −

y 1 2 3 4

* 2 1 1 81 5 8 4

A−

= − −

. El menor 1 2

3 02 1

−= ≠


Como sabemos que el sistema es compatible indeterminado, no es necesario determinar rg( *)A , sabemos que debe ser rg( *) 2A = . Además, para resolver el sistema, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, podemos eliminar la tercera ecuación y tomar z = λ :

2 4 3 12 5, ,2 8 3 3x y

x y zx y− = − λ + λ λ ⇒ = = = λ − = − λ

b) Tenemos 12 5 33 3

x y + λ λ= ⇒ = ⇒ λ = , por tanto, la solución buscada es 5, 5, 3x y z= = = .

80. Se sabe que el vector (2, 1, –1) es solución del sistema:

+ + = + − + = − − − + = 2

ax by cz a cbx y bz a b ccx by z b

Calcula el valor de los parámetros a, b y c. Sustituyendo las coordenadas del vector tenemos:

1 1 2 3 3 23 2

2 2 0 2 0 2 0 32 1 2 1 3 1 3 1 12 2 2 2 2 2 2 2 4 8 2

E E E E E E

a b c a c a b c a b c a b c ab b a b c a b c b c b c bc b b b c b c c c

→ + → +

+ − = + + − = + − = + − = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒− − = − − − + + = − = − = = − − = − + = − + = = =

81. Se consideran las matrices:

3

3 1 0 1 0 01 3 0 0 1 00 0 2 0 0 1

A I−

= =−

a) Resuelve la ecuación ( )3det 0A xI− = .

b) Discute el sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz es 3A xI− según los valores del número real x.

c) Resuélvelo en aquellos casos en que el sistema sea compatible indeterminado.

a) ( ) 3 23

3 1 0det 0 1 3 0 0 8 20 16 0 2, 4

0 0 2

xA xI x x x x x x

x

− −− = ⇒ − − = ⇒ − + − + = ⇒ = =

−

b) Según el apartado anterior, el sistema será compatible determinado si 2x ≠ y 4x ≠ , y será compatible indeterminado si 2x = o 4x = .

c) Si 2x = tenemos 3

1 1 0rg( 2 ) rg 1 1 0 1

0 0 0A I

− − = − =

, por lo que el sistema se reduce a una ecuación, 0x y− = ,

con solución , ,x y z= λ = λ = µ .

Si 4x = tenemos 3

1 1 0rg( 2 ) rg 1 1 0 2

0 0 2A I

− − − = − − = −

, por lo que el sistema se reduce a 0

0x y

z− − = =

, con

solución , , 0x y z= −λ = λ = .


82. Dado el sistema − + = − + =

2 3 53 2 0

x y zx y z

:

a) Calcula el valor del parámetro α para que al añadirle la ecuación α + + =3 9x y z , resulte un sistema compatible indeterminado. Resuélvelo, si es posible, para 0α = .

b) ¿Existe algún valor de α para el que el sistema con estas 3 ecuaciones no tenga solución?

a) Añadiendo la ecuación, las matrices asociadas al sistema serán 1 2 31 3 2

3 1A

− = − α

y 1 2 3 5

* 1 3 2 03 1 9

A−

= − α

.

Para que el sistema sea compatible indeterminado los rangos de A y *A deben coincidir y ser menores que el número de incógnitas, es decir, que 3.

Observemos que para cualquier valor de α , rg( ) 2A ≥ , ya que el menor 1 2

1 01 3

−= − ≠

−, por tanto, para que el

sistema sea compatible indeterminado debe ser rg( ) rg( *) 2A A= = .

Para que rg( ) 2A = , A debe ser nulo:

20 5 2 05

A = ⇒ α + = ⇒ α = −

Además, para este valor de α , rg( *) 2A = , ya que ampliando el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes tenemos:

1 2 51 3 0 02 3 95

−− =

−

Por tanto, el sistema es compatible indeterminado si 25

α = − .

Para 0α = tenemos 2 0A = ≠ , con lo que el sistema es compatible determinado y lo podemos resolver por la regla de Cramer:

5 2 30 3 29 3 1 0 0

2x

A

−−

= = =

1 5 31 0 20 9 1 4 2

2y

A= = =

1 2 51 3 00 3 9 6 3

2z

A

−−

= = =

b) Según el apartado anterior no existe ningún valor de α para el que el sistema sea incompatible, si 25

α ≠ − es

compatible determinado y si 25

α = − es compatible indeterminado.


83. Se considera el sistema de ecuaciones lineales que depende de los parámetros a, b y c:

+ + = − − = − + = −

2 33 2 25 2 4

ax by z cx y cz aax y cz b

a) Justifica razonadamente que para los valores de los parámetros = 0a , 1b = − y 2c = el sistema es incompatible.

b) Determina razonadamente los valores de los parámetros a, b y c, para los que se verifica que ( , , ) (1, 2, 3)x y z = es solución del sistema.

c) Justifica si la solución ( , , ) (1, 2, 3)x y z = del sistema del apartado b) es, o no, única.

a) Si = 0a , 1b = − y 2c = las matrices asociadas al sistema son:

0 1 13 2 40 2 2

A−

= − − −

y 0 1 1 6

* 3 2 4 00 2 2 4

A−

= − − −

Tenemos 0A = y el menor 0 1

3 03 2

−= ≠

−, por lo que rg( ) 2A = .


0 1 63 2 0 24 0 rg( *) 30 2 4

A−− = − ≠ ⇒ =−


b) Sustituyendo los valores de x, y, z tenemos:

1 2 2 2 1 3 3 2

3 3 1

2 25

2 2 3 3 2 2 3 3 6 1 6 1 6 13 4 6 6 1 2 2 3 3 2 15 1 2 15 15 4 3 4 5 4 3 4 5 4 3 4 4 27 9 3 11

E E E E E E E EE E E

a b c a b c a c a c a cc a a c a b c b c b c

a c b a b c a b c b c c↔ → + → −

→ +

+ + = + − = − − − = − − = − − = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒− − = − − = + − = − − = − − = − − + = − + + = + + = − = =

1123, 27,3

a b c= − = =

NOTA: El sistema obtenido con incógnitas a, b y c es de Cramer, ya que el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, por lo que podríamos haber usado la regla de Cramer para resolverlo.

c) Según el aparatado anterior, si ( , , ) (1, 2, 3)x y z = es solución tenemos 1123, 27 y 3

a b c= − = = .

Para estos valores de los parámetros el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es:

46 27 1223 2 23249 0311115 23

−

− − = ≠

− −

Por tanto, el sistema es compatible determinado, con lo que ( , , ) (1, 2, 3)x y z = es la única solución.


84. Dado el sistema − + = + − =

2 3 12 2x y zx y z

, halla dos constantes α y β de manera que al añadir al sistema anterior

una tercera ecuación 5x y zα β+ + = , el sistema resultante sea compatible indeterminado.

Añadiendo la ecuación, las matrices asociadas al sistema serán 1 2 32 1 15 1

A−

= − α

y 1 2 3 1

* 2 1 1 25 1

A−

= − α β

.

Para que el sistema sea compatible indeterminado los rangos de A y *A deben coincidir y ser menores que el número de incógnitas, es decir, que 3.

Observemos que para cualquier valor de α , rg( ) 2A ≥ , ya que el menor 1 2

5 02 1

−= ≠ , por tanto, para que el

sistema sea compatible indeterminado debe ser rg( ) rg( *) 2A A= = .

Para que rg( ) 2A = , A debe ser nulo:

20 5 2 05

A = ⇒ α + = ⇒ α = −

Para este valor de α , rg( *) 2A = si el determinante obtenido ampliando el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes es nulo:

1 2 1rg( *) 2 2 1 2 0 5 25 0 5

5 1A

−= ⇒ = ⇒ β − = ⇒ β =

β

85. a) Considera la matriz y los vectores siguientes:

= = =

101

x y z aM y z x A Bb

z x y c

donde x, y y z son números reales. Determina x, y y z para que el vector 123

A =

sea solución del sistema

MA B= .

b) Sean ahora la matriz y los vectores siguientes:

101

a b c xN b c a X By

c a b z

= = =

donde a, b y c son números reales que verifican 0a ≠ , c a= y 0a b+ = . Determina si el sistema NX B= es compatible determinado.

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

3 52

2 3 1 2 3 1 2 3 11 13 2 0 5 7 3 5 7 32 02 3 1 5 1 18 23 1

F F F F F FF F F

x y z x y z x y z x y zMA B y z x x y z y z y z

z x y x y z y z z→ − → −→ −

+ + = + + = + + = = ⇒ = ⇒ + + = ⇒ − − = − ⇒ − − = − ⇒ + + = − − = − − = −

2 4 1, ,9 9 9

x y z⇒ = − = =

b) El determinante de la matriz de coeficientes del sistema es:

34 0a a a

N a a a aa a a

−= − = − ≠

−

Por tanto, el sistema es compatible determinado.


86. El sistema =AX B donde:

1 0 10 2 0

5A

a a

=

x

X yz

=

tiene diferentes soluciones según sea la matriz A.

a) Determina, si existen, el valor o los valores de a para los que el sistema es compatible determinado (independientemente del valor de B).

b) Si 4a = y = −

01Bb

, determina, si existen, el valor o los valores de b para los que el sistema es incompatible.

c) Si 4a = y 0

10B c

=

, determina, si existen, el valor o los valores de c para los que el sistema es compatible

indeterminado. Resuelve el sistema.

a) El sistema será compatible determinado si el determinante de A no es nulo, pero 0A = para cualquier valor de

a, por lo que no existe ningún valor de a para el que el sistema sea compatible determinado.

b) Si 4a = tenemos 0A = y el menor 1 0

2 00 2

= ≠ , con lo que rg( ) 2A = .

Para que el sistema sea incompatible, rg( *)A debe ser 3, es decir, el determinante que se obtiene ampliando el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes no debe ser nulo. Tenemos:

1 0 00 2 1 2 54 5

bb= − −

−

Por tanto, el sistema es incompatible si 52

b ≠ − .

c) Como en el apartado anterior, si 4a = tenemos rg( ) 2A = .

Para que el sistema sea compatible indeterminado, rg( *)A debe ser también 2, es decir, el determinante que se obtiene ampliando el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes debe ser nulo. Tenemos:

1 0 00 2 20 54 5 10

c c= −

Por tanto, el sistema es compatible indeterminado (con grado de indeterminación 1) si 4c = .

Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2, para resolver el sistema en este caso podemos eliminar la tercera ecuación y tomar z = λ :

, 2,2 4x

x y zy= −λ ⇒ = −λ = = λ =


CUESTIONES

87. Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones.

a) Un sistema con más ecuaciones que incógnitas no puede ser indeterminado.

b) Un sistema con más incógnitas que ecuaciones puede ser compatible.

c) Un sistema con más incógnitas que ecuaciones puede ser compatible y determinado.

a) La afirmación es falsa, si partimos de un sistema indeterminado siempre podremos añadirle ecuaciones que

sean combinación lineal de las originales y el sistema seguirá siendo indeterminado. Por ejemplo,

− = − = − =

02 2 03 3 0

x yx yx y

es un sistema con más ecuaciones que incógnitas e indeterminado.

b) La afirmación es correcta, el sistema podría ser compatible indeterminado, aunque no determinado.

En efecto, si el sistema tiene n ecuaciones y m incógnitas con m > n y A es la matriz de coeficientes del sistema, tenemos rg( )A n m≤ < , por lo que es imposible que los rangos de las matrices asociadas al sistema coincidan con el número de incógnitas, es decir, es imposible que el sistema sea compatible determinado.

En cambio sí puede ser compatible indeterminado, por ejemplo, el sistema 00

x y zx y z− + =

− − =.

c) La afirmación es falsa, como hemos probado en el apartado anterior.

88. Las columnas de la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones son 1C , 2C , 3C y 4C . Y la matriz de los términos independientes es 2 3B C C= + . Razona si el sistema es compatible o incompatible.

Si A y *A son las matrices asociadas al sistema, tenemos rg( ) rg( *)A A= , ya que la columna que se añade a A para formar *A , formada por los elementos de B, es combinación lineal de las columnas de A.

Por tanto, el sistema debe ser compatible.

89. Sean S y S' dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma matriz de los coeficientes. Se pide:

a) Justificar con un ejemplo que uno de los dos sistemas puede ser compatible, y el otro, incompatible.

b) Si ambos sistemas son compatibles, ¿puede ser uno determinado y el otro indeterminado?

a) El sistema 0

2 2 0x yx y− =

− = es compatible (indeterminado), con solución x y= = λ .

En cambio, el sistema 0

2 2 1x yx y− =

− = es incompatible.

b) No es posible, ambos sistemas comparten la matriz de coeficientes A, por tanto, si uno de los sistemas es determinado, tendremos rg( ) nº de incógnitasA = .

Además, para cualquier posible matriz ampliada *A tendremos rg( ) rg( *) nº de incógnitasA A≤ ≤ , de donde se deduce que rg( ) rg( *) nº de incógnitasA A= = , es decir, cualquier sistema con matriz de coeficientes A será compatible determinado.


90. Se considera un sistema de ecuaciones S con m ecuaciones y n incógnitas y el sistema homogéneo S' en el que todos los coeficientes de las incógnitas coinciden con los de S. Prueba que si 1 2 3( , , , ... )ns s s s y

1 2 3( , , , ... )nt t t t son dos soluciones de S, entonces 1 1 2 2 3 3( , , , ... )n ns t s t s t s t− − − − es solución S'.

Consideremos la forma matricial de los sistemas S y S’:

1 1 2 2 ... n nA x A x A x B+ + + = 1 1 2 2 ... 0n nA x A x A x+ + + =

Tenemos ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ... ... 0n n n n n n nA s t A s t A s t A s A s A s A t A t A t B B− + − + + − = + + + − + + + = − = , es decir, 1 1 2 2 3 3( , , , ... )n ns t s t s t s t− − − − es solución de S’.

91. Considera el sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas:

13

x yx y+ =

− =

cuya solución es el par (2, –1). Sea S' el sistema que se obtiene al añadir a S una tercera ecuación ax by c+ = . Contesta razonadamente las siguientes preguntas.

a) ¿Puede ser S' compatible determinado?

b) ¿Puede ser S' incompatible?

c) ¿Puede ser S' compatible indeterminado? a) Sí, siempre que la nueva ecuación sea combinación lineal de las originales, el sistema seguirá siendo

compatible determinado, ya que los rangos de las matrices asociadas no cambiarán. Por ejemplo, el sistema

131

x yx yx y

+ = − = + =

sigue siendo compatible determinado.

b) Sí, basta que la ecuación añadida contradiga una de las originales. Por ejemplo, el sistema 130

x yx yx y

+ = − = + =

es

indeterminado.

c) No, si hubiera infinitos pares que verificasen las tres ecuaciones del nuevo sistema, los habría que verifican las dos ecuaciones originales, lo que no es posible, ya que la única solución de éste es la dada en el enunciado.

PROBLEMAS

92. Se tiene una pieza rectangular de cartón cuyo perímetro mide 148 cm. Para hacer una caja se corta un cuadrado en cada esquina y se dobla de modo que resulta la base de la caja con un perímetro de 100 cm y una de las caras laterales con un perímetro de 72 cm. Calcula las dimensiones de la caja.

Sean x, y y z el largo, ancho y alto (en cm) de la caja respectivamente, es decir, de la pieza rectangular de dimensiones 2x z+ e 2y z+ recortamos un cuadrado de lado z en cada esquina.

Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:

202( 2 2 ) 148 4 74302( ) 100 5062( ) 72 36

xx z y z x y zyx y x yzy z y z

=+ + + = + + = ⇒ ⇒ =+ = + = =+ = + =

Resolviendo el sistema obtenemos que las dimensiones de la caja son 30y = cm de largo, 20x = cm de ancho y 6z = cm de alto.


93. En una tienda venden camisetas de calidades baja, media y alta, a 5, 10 y 15 €, respectivamente. En una semana se han vendido 150 camisetas, lo que ha supuesto unos ingresos de 1450 €. Si se hubieran vendido 5 camisetas más de calidad baja y 5 menos de calidad media, habría coincidido el número de camisetas vendidas de estas calidades. Calcula cuántas camisetas se han vendido de cada clase. x: camisetas calidad baja y: camisetas calidad media z: camisetas calidad alta


150 1505 10 15 1450 2 3 290

5 5 10

x y z x y zx y z x y z

x y x y

+ + = + + = ⇒+ + = + + = + = − − = −

Resolviendo el sistema obtenemos que se han vendido 50x = camisetas de calidad baja, 60y = de calidad media y 40z = de calidad alta.

94. Juan y Pedro invierten 2000 € cada uno. Juan coloca una cantidad A al 4 % de interés, una cantidad B, al 5 %, y el resto, al 6 %. Pedro invierte la misma cantidad A al 5 %, la B, al 6 %, y el resto, al 4 %.

Determina la cantidad B, sabiendo que Juan obtiene unos intereses de 105 € y Pedro de 95 €. Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:

0,04 0,05 0,06(2000 ) 105 0,02 0,01 150,05 0,06 0,04(2000 ) 95 0,01 0,02 15

A B A B A BA B A B A B+ + − − = + = ⇒ + + − − = + =

Resolviendo el sistema obtenemos que 500B = € (también 500A = €).

95. Las normas de un juego establecen que cuando un jugador pierde debe repartir entre el resto de los jugadores la mitad de lo que tiene. Tres jugadores empiezan a jugar con un total de 12 € y después de jugar dos veces, en las que pierde distinto jugador, acaban los tres con la misma cantidad.

¿Con cuánto dinero empezó a jugar cada uno de los jugadores? Sean A, B y C los jugadores, siendo A el primero que pierde y B el segundo en perder. Sean x, y y z las cantidades con las que comienza cada jugador respectivamente. La siguiente tabla recoge las condiciones del enunciado:

Jugador A Jugador B Jugador C

Inicio x Y z

1.ª partida 2x

4xy +

4xz +

2.ª partida 942 4 16 4

xyx x y++ = + 4

2 2 8

xy y x+= + 54

4 4 16 4

xyx x yz z+

+ + = + +

Obtenemos, por tanto:

12129

4 €, 7 €, 1 €7 4 016 4 2 89 5 4 016 4 16 4

x y zx y zx y y x

x y zx yx y x y x zz

+ + = + + = + = + ⇒ ⇒ = = =− = − = + = + +

NOTA: Este problema se resuelve de manera mucha más sencilla razonando “hacia atrás”. Como el total en juego, 12 €, no cambia, al final cada jugador acaba con 4 €. Así, el jugador que perdió la segunda partida tenía antes de jugarla 8 €, y los otros dos tenían 2 € cada uno. Por tanto, el jugador que perdió la primera partida tenía antes de jugarla 4 €, y los otros dos tenían 7 € y 1 €, respectivamente.


96. La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. El equipo campeón obtuvo 70 puntos en total, 3 puntos por cada partido ganado, 1 punto por los empatados y 0 puntos por los perdidos. Sin embargo, hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón? x: partidos ganados y: partidos perdidos z: partidos empatados

Observemos que cada equipo juega 40 partidos, 20 de ida y 20 de vuelta, por tanto, las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:

403 702 50

x y zx yx y

+ + = + = + =

Resolviendo el sistema obtenemos que el equipo ganador ha ganado 20x = partidos, ha empatado 10y = partidos y ha perdido 10z = partidos.

97. En una fábrica producen tres modelos de automóvil. La capacidad de producción es de 6000 unidades cada mes. La demanda del modelo A es el triple que la demanda del modelo B y la demanda del modelo C es la tercera parte de la demanda conjunta de los otros dos modelos. Calcula cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica cada mes. x: unidades modelo A y: unidades modelo B z: unidades modelo C


6000 60003 3 0

3 03

x y z x y zx y x y

x y x y zz

+ + = + + = = ⇒ − = + − − + ==

Resolviendo el sistema tenemos que se deben producir 3375x = unidades de A, 1125y = de B y 1500z = de C.

98. La suma de las tres cifras de un número es 16 y la suma de la primera y la tercera cifras es k veces la segunda. Permutando entre sí la primera y la tercera cifras se obtiene un número que supera en 198 unidades al número dado.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita hallar el número dado.

b) Estudia para qué valores del parámetro k el sistema tiene solución.

c) Para 1k = , determina el número de tres cifras que cumple las condiciones del enunciado.

a) Si el número buscado es 100 10N x y z= + + , las condiciones del enunciado nos llevan al sistema lineal:

16 160

100 10 100 10 198 2

x y z x y zx z ky x ky z

z y x x y z x z

+ + = + + = ⇒+ = − + = + + = + + + − + =


b) Las matrices asociadas al sistema son 1 1 11 11 0 1

A k = − −

y 1 1 1 16

* 1 1 01 0 1 2

A k = − −

.

0 2 2 0 1A k k= ⇒ − − = ⇒ = −

• Si 1k ≠ − tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema será compatible determinado.

• Si 1k = − , tenemos 0A ≠ y rg( ) 2A = , ya que el menor 1 1

1 01 0

= ≠−

. En cambio, rg( ) 3A = , ya que al

ampliar el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes tenemos:

1 1 161 1 0 16 01 0 2

= ≠−

Por tanto, el sistema es incompatible.

c) Si 1k = , resolviendo el sistema lineal del apartado a mediante el método de Gauss o de Cramer, obtenemos 3, 8 y 5x y z= = = , con lo que el número buscado es 385N = .

99. Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: La edad del

padre es α veces la del hijo. El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es 182 años. El doble de la edad del niño más la del abuelo es 100.

a) Establece las edades de los tres suponiendo que 2α = .

b) Para 3α = , ¿qué ocurre con el problema planteado? c) Siguiendo con 3α = , ¿qué ocurre si en la segunda condición la suma es 200 en vez de 182? Sean x, y y z las edades respectivas del niño, el padre y el abuelo. Las condiciones del enunciado nos llevan al sistema de ecuaciones lineales:

02 182 2 1822 100 2 100

y x x yz x y x y zx z x z

= α −α + = ⇒+ + = + + = + = + =

con matrices asociadas 1 0

1 1 22 0 1

A−α =

, 1 0 0

* 1 1 2 1822 0 1 100

A−α =

y 3A = −α + .

a) Si 2α = tenemos 1 0A = ≠ , por lo que el sistema será compatible determinado y lo podemos resolver aplicando la regla de Cramer:

0 1 0182 1 2100 0 1

18xA

= =

2 0 01 182 22 100 1

36yA

−

= =

2 1 01 1 1822 0 100

64zA

−

= =

Por tanto, el niño tiene 18 años, el padre, 36, y el abuelo, 64.

b) Si 3α = tenemos 0A = y rg( ) 2A = , ya que el menor 1 2

1 00 1

= ≠ . En cambio, rg( ) 3A = , ya que al ampliar

el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes tenemos:

1 0 01 2 182 18 00 1 100

= ≠

Por tanto, el sistema es incompatible, el problema no tiene solución. c) En este caso, rg( )A sigue siendo 2, pero para determinar rg( *)A tenemos:

1 0 01 2 200 0 rg( *) 20 1 100

A= ⇒ =

Por tanto, el sistema sería compatible indeterminado, el problema tendría infinitas soluciones. En concreto, las soluciones serían , 3 , 100 2x y z= λ = λ = − λ .


100. Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado 22 €. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafos el coste es de 14 €.

a) Expresa, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador.

b) Calcula lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores.

a) Sean x, y y z los precios respectivos de un cuaderno, un rotulador y un bolígrafo. Las condiciones del

enunciado nos llevan al sistema:

5 2 3 222 6 14

x y zx y z+ + =

+ + =.

Tomando el precio de un bolígrafo como parámetro obtenemos:

5 2 22 36 9 , 26 24

2 14 6x y z

x z y zx y z+ = − ⇒ = − + = − + = −

NOTA: Teniendo en cuenta que los precios deben ser positivos obtenemos además que 2 133 12

z< < .

b) Ocho cuadernos y tres rotuladores costarán 8 3 8( 6 9 ) 3(26 24 ) 30x y z z+ = − + + − = €.

101. Se dispone de tres frascos que contienen una mezcla de tres sustancias A, B y C. El primero contiene 80 g de A, 20 de B y 50 de C, el segundo contiene 40 g de A, 10 de B y 50 de C y el tercero contiene 40 g de A, 50 de B y 70 de C. Se quiere tener una mezcla que contenga 60 g de A, 40 de B y 70 de C. Calcula qué parte de cada frasco se debe añadir a la mezcla. Sean x, y y z la cantidad, en porcentaje, que hay que usar de cada uno de los tres frascos. Las condiciones del enunciado nos llevan al sistema:

80 40 40Sustancia : 60100 100 100 8 4 4 60020 10 50 2 5 400Sustancia : 40100 100 100 5 5 7 70050 50 70Sustancia : 70100 100 100

x y zAx y z

x y z x y zBx y zx y zC

+ + =+ + =

⇒ + + =+ + = + + =

+ + =

Resolviendo el sistema obtenemos 35 %, 17,5 % y 62,5 %x y z= = = .


PARA PROFUNDIZAR 102. Discute los siguientes sistemas para los valores posibles de los parámetros a y b.

a) ( 2) 2 2

5( 1) 5

a x y z bax y z b

x a z

+ + + = + − = −− + + =

c) 1

2 ( 1) 1ax y

x b y zx by z b

+ = + + + =− + + =

b) ( 1) 5

3 (2 )

a x ay az a by az a bay a z b

+ + + = − − = + + − =

d) ( 1)

13 2 1

a x y bz ax y

x y z

+ + + = + =− − + =


1 11 0 1

aA a

a

+ = − − +

y 2 2 2

* 1 1 51 0 1 5

a bA a b

a

+ = − − − +

, con rango

máximo 3. 20 6 0 2, 3A a a a a= ⇒ − + + = ⇒ = − =

• Para 2a ≠ − y 3a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

• Para 2a = − tenemos 0A = , 0 2 22 1 11 0 1

A = − − − −

y 0 2 2

* 2 1 1 51 0 1 5

bA b

= − − − − −

.

El menor 1 1

1 00 1

−= − ≠

−, con lo que rg( ) 2A = . Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo

la columna de términos independientes:

2 21 1 5 30 rg( *) 30 1 5

bb b A− − = − ⇒ =

− si 30b ≠ y rg( *) 2A = si 30b =


• Para 3a = tenemos 0A = , 5 2 23 1 11 0 4

A = − −

y 5 2 2

* 3 1 1 51 0 4 5

bA b

= − − −

.

El menor 3 1

1 01 0

= ≠−

, con lo que rg( ) 2A = . Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo la

columna de términos independientes:

5 23 1 5 5 rg( *) 31 0 5

bb b A− = − + ⇒ =

− si 5b ≠ y rg( *) 2A = si 5b =



b) Las matrices asociadas al sistema son 1 5

0 10 3 2

a a aA a

a a

+ = − −

y 1 5

* 0 10 3 2

a a a a bA a a b

a a b

+ − = − + −

, con rango

máximo 3. 3 20 3 2 2 0 1A a a a a= ⇒ + + + = ⇒ = −

• Para 1a ≠ − tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

• Para 1a = − tenemos 0A ≠ , 0 5 10 1 10 3 3

A− −

= −

y 0 5 1 1

* 0 1 1 10 3 3

bA b

b

− − − − = − + −

.

El menor 1 1

6 03 3

= ≠−

, con lo que rg( ) 2A = . Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo

la columna de términos independientes:

5 1 11 1 1 8 24 rg( *) 33 3

bb b A

b

− − − −− + = − ⇒ =

− si 3b ≠ y rg( *) 2A = si 3b =



2 1 11 1

aA b

b

= + −

y 1 0 1

* 2 1 1 11 1

aA b

b b

= + −


0 3 0 3A a a= ⇒ − = ⇒ =

• Para 3a ≠ tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

• Para 3a = tenemos 0A = , 3 1 02 1 11 1

A bb

= + −

y 3 1 0 1

* 2 1 1 11 1

A bb b

= + −

.

El menor 3 0

3 02 1

= ≠ , con lo que rg( ) 2A = . Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo la

columna de términos independientes:

3 0 12 1 1 3 rg( *) 31 1

b Ab= ⇒ =

− si 0b ≠ y rg( *) 2A = si 0b =


d) Las matrices asociadas al sistema son 1 1

1 1 01 3 2

a bA

+ = − −

y 1 1

* 1 1 0 1 .1 3 2 1

a b aA

+ = − −

0 2( ) 0A a b a b= ⇒ − = ⇒ =

• Para a b≠ rg( ) rg( *) 3A A= = y el sistema es compatible determinado.

• Para a b= tenemos 1 1

* 1 1 0 1 .1 3 2 1

a a aA

+ = − −

El menor 1 0

2 0,3 2

= ≠−

con lo que rg( ) 2.A = Para determinar rg( *)A ampliamos este menor añadiendo

la columna de términos independientes: 11 0 1 2 23 2 1

a aa= − −

−

Por tanto, el sistema es incompatible si 1,a ≠ − y compatible determinado si 1.a = −


103. Se llama “eliminación de parámetros” al proceso inverso a la resolución de un sistema indeterminado: al eliminar los parámetros se obtienen una o varias ecuaciones en las que solo aparecen las incógnitas.

Para eliminar los parámetros se busca la condición o condiciones que deben verificar las incógnitas para que existan valores de los parámetros que permitan obtenerlas. Es necesario entonces obligar a que el sistema cuyas incógnitas son los parámetros tenga solución.

a) Elimina los parámetros s y t en las ecuaciones:

2 211 2

x s ty s tz s t

= + + = − + = − + −

b) Elimina los parámetros , y λ µ ν :

1

2

3

4

12

12

xxxx

= + λ + µ = λ − ν = − − µ + ν = − λ + µ

a) 2 2 2 21 11 2 2 1

x s t s t xy s t s t yz s t s t z

= + + + = − ⇒= − + − + = − = − + − − = +

.

La matriz ampliada asociada al sistema con incógnitas s y t y parámetros x, y y z es:

1 2 2* 1 1 1

2 1 1

xA y

z

− = − − − +

,

Y para que este sistema tenga solución el determinante de *A debe ser nulo, es decir, tenemos:

* 0 5 3 0A x y z= ⇒ − + + =

b)

1 1

2 2

3 3

4 4

1 12 2

1 12 2

x xx xx xx x

= + λ + µ λ + µ = − = λ − ν λ − ν = ⇒ = − − µ + ν −µ + ν = + = − λ + µ −λ + µ = −

La matriz ampliada asociada al sistema con incógnitas , y λ µ ν y parámetros 1 2 3 4, , y x x x x es:

1

2

3

4

1 1 0 12 0 1

*0 1 1 11 1 0 2

xx

Axx

− − = − + − −

,

Y para que este sistema tenga solución el determinante de *A debe ser nulo, es decir, tenemos:

1 2 3 4* 0 2 2 3 3 0A x x x x= ⇒ − − − + =


104. La ecuación general de una circunferencia en el plano se puede escribir como:

+ + + + =2 2 0x y ax by c

Se tienen los puntos: A(1, 2), B(–1, 1), C(m, 0) y D(0, m). Calcula el valor de m para que los cuatro puntos pertenezcan a una circunferencia. Para que los puntos A, B, C y D pertenezcan a una circunferencia, el siguiente sistema con incógnitas a, b y c y parámetro m debe ser compatible, de hecho, compatible determinado, ya que 3 puntos distintos no pueden pertenecer a más de una circunferencia (hablamos de 3 puntos distintos debido a que C y D podrían coincidir si

0m = ):

2 2

2 2

1 4 2 0 2 51 1 0 2

00

a b c a b ca b c a b c

m ma c ma c mm mb c mb c m

+ + + + = + + = − + − + + = − + + = − ⇒ + + = + = − + + = + = −

Es decir, si las matrices asociadas al sistema son A y *A , con rango máximo 3 y 4 respectivamente, debemos tener rg( ) rg( *) 3A A= = . En particular el determinante de *A debe ser nulo:

2

2

1 2 1 51 1 1 2

0 3 (2 )( 1) 00 1

0 1

m m mm m

m m

−− −

= ⇒ − + =−−

• Para 0m = se tiene rg( ) rg( *) 3A A= = , para ello basta observar que el menor

1 2 11 1 1 3 0

0 0 1− = ≠

Por tanto, los puntos A, B, C y D pertenecen a la misma circunferencia si 0m = . Además, resolviendo el sistema, según el menor de orden 3 anterior podemos eliminar la cuarta ecuación, podemos obtener la ecuación de dicha circunferencia:

2 2

2 51 7 1 7, , 0 Ecuación de la circunferencia: 023 3 3 3

0

a b ca b c x y x ya b c

c

+ + = − ⇒ = − = − = ⇒ + − − =− + + = − =

• Para 2m = se tiene rg( ) rg( *) 3A A= = y resolviendo el sistema se obtiene la ecuación de la circunferencia:

2 2

2 51, 1, 2 Ecuación de la circunferencia: 2 02

2 4


a c

+ + = − ⇒ = − = − = − ⇒ + − − − =− + + = − + = −

• Para 1m = − se tiene rg( ) rg( *) 3A A= = y resolviendo el sistema se obtiene la ecuación de la circunferencia:

2 2

2 51, 1, 2 Ecuación de la circunferencia: 2 02

1


a c

+ + = − ⇒ = − = − = − ⇒ + − − − =− + + = −− + = −


105. Se considera el sistema: + − + =

− + = + + =− + + − =

2 22 2

2 5

x ky z tx y z k

kx y tx y kz t k

a) Discútelo según los valores del parámetro k.

b) Resuélvelo cuando sea posible.

Las matrices asociadas al sistema son

1 2 12 1 2 0

2 0 11 1 1

k

Ak

k

− − = − −

y

1 2 1 22 1 2 0

*2 0 1 5

1 1 1

kk

Ak

k k

− − = − −


20 12 0 4, 3A k k k k= ⇒ − − + = ⇒ = − =


3 2 2

2

2 2 11 2 0

5 2 0 11 1 4 12 4

12 4

kk

k k k k k k kxA k k k

−−

− − − + − −= = = −

− − + +

3 2 2

2

1 2 2 12 2 0

5 0 11 1 5 2 24 2 8

12 4

kk

k k k k k k kyA k k k

−

− − − − + − −= = = −

− − + +

3 2 2

2

1 2 12 1 0

2 5 11 1 1 6 2

12 4

kk

kk k k k k kz

A k k k

−

− − − + + += = =

− − + +

4 3 2 3 2

2

1 2 22 1 2

2 0 51 1 2 6 13 12 3 4

12 4

kk

kk k k k k k k k kt

A k k k

−−

− − + + − + + − += = =

− − + +

• Para 4k = − tenemos 0A = ,

1 4 2 12 1 2 04 2 0 11 1 4 1

A

− − − = − − − −

y

1 4 2 1 22 1 2 0 4

*4 2 0 1 51 1 4 1 4

A

− − − − = − − − − −

.

El menor 1 2 02 0 1 2 01 4 1

−= ≠

− −, con lo que rg( ) 3A = .


4 2 1 21 2 0 4

112 0 rg( *) 42 0 1 51 4 1 4

A

− −− −

= ≠ ⇒ =

− − −



• Para 3k = tenemos 0A = ,

1 3 2 12 1 2 03 2 0 11 1 3 1

A

− − = − −

y

1 3 2 1 22 1 2 0 3

*3 2 0 1 51 1 3 1 3

A

− − = − −

.

El menor 1 2 02 0 1 9 01 3 1

−= ≠



3 2 1 21 2 0 3

0 rg( *) 32 0 1 51 3 1 3

A

−−

= ⇒ =

−


Además, teniendo en cuenta el menor de orden 3 anterior, lo podemos resolver eliminado la primera ecuación, tomando x = λ y aplicando la regla de Cramer al sistema resultante:

2 3 22 5 3

3 3

y zy t

y z t

− + = − λ + = − λ + − = + λ

x = λ

3 2 2 05 3 0 13 3 1 7 2

9 9y

− λ− λ+ λ − + λ

= =

1 3 2 02 5 3 11 3 1 17 8

9 9z

− − λ− λ+ λ − − λ

= =

1 2 3 22 0 5 31 3 3 31 31

9 9t

− − λ− λ+ λ − λ

= =

AUTOEVALUACIÓN

Comprueba qué has aprendido 1. Estudia cuántas soluciones tiene el siguiente sistema.

2 4 03 2

2 1

x yx yx y

+ = − =− + = −

Las matrices asociadas al sistema son 2 41 31 2

A = − −

y 2 4 01 3 21 2 1

A = − − −

.

Como * 6 0A = − ≠ , tenemos rg( *) 3A = . Como rg( ) 2A ≤ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible, es decir, no tienen ninguna solución.


2. Aplica el método de Gauss para resolver los sistemas:

a)

2 22 1

2 03 2 1

x y zx y zx yy z

− + = − − =− + = − = −

b) 2 3 5 23 4 1

x y zx y z− + =

− + =

a) 2 2 1 4 4 2 4 33 3 1

2

2 2 2 2 2 22 2 2

2 1 3 3 3 3 3 33 3 3 1

2 0 2 22 2

3 2 1 3 2 1 2E E E E E E E EE E E

x y z x y z x y zx y z x

x y z y z y zy z y

x y z zz z

y z y z z→ − → − =→ +

− + = − + = − + = − + = = − − = − = − − = − → → → − = − → = − + = = = = = − = − − = − =

b) 2 2 12 3

5 172 3 5 2 2 3 5 2

4 133 4 1 13 4E E E

xx y z x y z

yx y z y z

z→ −

= − + λ− + = − + = → → = − + λ − + = − = − = λ

3. Discute los siguientes sistemas para los distintos valores del parámetro y resuélvelos cuando sea posible:

a) 2 2 3

3 2 1( 1) 0

x y zax y zx y a z

− + + = + + = − + + =

b) 2 0

2 02 0

x y zx y z

x y z

λ − + = + λ − = − λ + =


3 21 1 1

A aa

− = − +

y 2 2 1 3

* 3 2 11 1 1 0

A aa

− = − +


2 30 2 9 9 0 3,2

A a a a a= ⇒ − − − = ⇒ = − = −

• Para 3a ≠ − y 32

a ≠ − tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es

compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

2

3 2 11 3 20 1 1 7 12

2 9 9a ax

A a a− + +

= =− − −

2

2

2 3 11 2

1 0 1 3 5 32 9 9

aa a ay

A a a

−

+ − − += =

− − −

2 2 33 1

1 1 0 32 3

a

zA a

−

−= =

+

• Para 3a = − tenemos 0A = , 2 2 13 3 21 1 2

A− = − − −

y 2 2 1 3

* 3 3 2 11 1 2 0

A− = − − −

.

El menor 2 1

1 03 2

= ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


2 1 33 2 1 9 0 rg( *) 31 2 0

A= − ≠ ⇒ =− −



• Para 32

a = − tenemos 0A = ,

2 2 13 3 22

11 12

A

− = − − −

y

2 2 1 33* 3 2 12

11 1 02

A

− = − − −

.

El menor 2 1

1 03 2

= ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


2 1 333 2 1 0 rg( *) 3211 0

2

A= ≠ ⇒ =

− −

.


b) Se trata de un sistema homogéneo y, por tanto, siempre será compatible.

La matriz de coeficientes es 1 2

2 11 2

Aλ − = λ − −λ


20 6 5 0 1, 5A = ⇒ λ − λ + = ⇒ λ = λ =

• Para 1λ ≠ y 5λ ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, el sistema es compatible determinado. Su única solución es la trivial 0x y z= = = .

• Para 1λ = tenemos 0A = , por tanto, el sistema es compatible indeterminado y 1 1 22 1 11 1 2

A−

= − −

.


3 02 1

−= ≠ , por lo que podemos eliminar la tercera ecuación

y tomar z t= :

2 5, ,2 3 3x y t t tx y z tx y t− = − ⇒ = − = = + =

• Para 5λ = tenemos 0A = , por tanto, el sistema es compatible indeterminado y 5 1 22 5 11 5 2

A−

= − −

.


15 01 5

= − ≠−

, por lo que podemos eliminar la primera

ecuación y tomar z t= :

2 5, ,

5 2 3 3x y t t tx y z t

x y t+ = ⇒ = − = = − = −


4. Se tiene el sistema de ecuaciones lineales:

3 5 02 2 1x y z

x y z− + =

− + − =

a) Halla el valor que debe tener m para que al añadir la ecuación 3 2x my z+ + = − resulte un sistema compatible indeterminado.

b) Añade una ecuación al primer sistema de modo que resulte un sistema compatible determinado.

a) Las matrices asociadas al nuevo sistema son 3 5 12 1 21 3

Am

− = − −

y 3 5 1 0

* 2 1 2 11 3 2

Am

− = − − −

, con rango

máximo 3.

Para que el sistema sea compatible indeterminado es necesario (pero no suficiente) que

0 4 12 0 3A m m= ⇒ − = ⇒ =

Para este valor de m el sistema es compatible indeterminado, ya que el menor 3 5

7 02 1

−= − ≠

−, con lo que

rg( ) 2A = , y ampliando este menor con la columna de términos independientes tenemos:

3 5 02 1 1 0 rg( *) 21 3 2

A−

− = ⇒ =−

b) Para que el nuevo sistema sea compatible determinado debe ser 0A ≠ , es decir, 3m ≠ , por lo que, por

ejemplo, se puede añadir la ecuación 3 2x z+ = − .

5. En una tienda de alimentación se vende carne de tres calidades a 10, 15 y 20 € euros el kilo. La semana pasada se vendieron 150 kilos, obteniéndose unos ingresos de 2150 €. Los ingresos obtenidos por la venta de carne de calidad superior han sido k veces los obtenido con la calidad inferior.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular cuánta carne se ha vendido de cada tipo.

b) Determina si hay algún valor de k para el que el sistema no tenga solución. a) x: kg de carne de calidad superior y: kg de carne de calidad media z: kg de carne de calidad inferior


150 15020 15 10 2150 4 3 2 43020 10 2 0

x y z x y zx y z x y zx kz x kz

+ + = + + = ⇒+ + = + + = = − =

b) Para que el sistema no tenga solución es necesario (pero no suficiente) que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo:

1 1 10 4 3 2 0 2 0 2

2 0A k k

k= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

−

Para este valor de k el sistema no tiene solución, ya que el menor 1 1

1 04 3

= − ≠ , con lo que rg( ) 2A = , y

ampliando este menor con la columna de términos independientes tenemos:

1 1 1504 3 430 40 0 rg( *) 32 0 0

A= − ≠ ⇒ =



Elige la única respuesta correcta en cada caso

1. El sistema de ecuaciones + − =

− + =− + − =

2 12 2 0

3 1

x y zx y zx ky z

A. Para ≠ 2k es incompatible. C. Es siempre compatible.

B. Para 3k = es incompatible. D. Es siempre incompatible.

Las matrices asociadas al sistema son 1 2 12 1 21 3

Ak

− = − − −

y 1 2 1 1

* 2 1 2 01 3 1

Ak

− = − − −


0 4 12 0 3A k k= ⇒ − + = ⇒ =

Para 3k ≠ tenemos 0A ≠ , rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema será compatible determinado.

Para 3k = tenemos 0A = , 1 2 12 1 21 3 3

A−

= − − −

y 1 2 1 1

* 2 1 2 01 3 3 1

A−

= − − −

. El menor 1 2

5 02 1

= − ≠−

, con lo que


1 2 12 1 0 0 rg( *) 21 3 1

A− = ⇒ =−

Por tanto, para 3k = tenemos rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible indeterminado.

Es decir, la respuesta correcta es C.

2. En un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas se sabe que el rango de la matriz ampliada es 3. Entonces:

A. El sistema es compatible y determinado.

B. El sistema es compatible indeterminado.

C. El sistema es incompatible.

D. Si A es la matriz de los coeficientes =rg( ) 2A o rg( ) 3A = .

Sabemos que rg( *) rg( )A A= o rg( *) rg( ) 1A A= + , por tanto, D es correcta.

Además, si fuera rg( *) rg( )A A= el sistema sería compatible determinado y si fuera rg( *) rg( ) 1A A= + sería incompatible, por lo que B nunca se cumple, mientras que A y C no siempre se cumplen.

3. Si a un sistema compatible y determinado se le añade una ecuación. El nuevo sistema:

A. No puede ser compatible y determinado. C. No puede ser compatible indeterminado.

B. No puede ser incompatible. D. Necesariamente es compatible y determinado.

El nuevo sistema puede seguir siendo compatible y determinado, basta añadir una ecuación que sea combinación lineal de las originales. Por tanto, A es incorrecta.

También son incorrectas B y D, basta añadir una ecuación que contradiga a las originales para que el sistema sea incompatible.

En cambio C es correcta, si el nuevo sistema fuera compatible indeterminado, infinitas soluciones verificarían sus ecuaciones, en particular verificarían las ecuaciones originales, con lo que el sistema original sería compatible indeterminado.


Señala, en cada caso, las respuestas correctas

4. Las soluciones del sistema + + = − + =

2 12 2

x y zx y z

pueden ser:

A. 1 , 1 ,x y z= − λ = − + λ = λ C. , , 1x y z= λ = −λ = − λ

B. , 1 , 1x y z= λ = + λ = − λ D. Todas son ciertas. Sustituyendo los valores dados de x, y y z en las ecuaciones del sistema verificamos que las respuestas correctas son A y C.

5. Se tiene un sistema de ecuaciones S y el sistema homogéneo S' en el que los coeficientes de las incógnitas son iguales a los de S, ambos con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas:

A. Si S es compatible y determinado, S' solo tiene la solución trivial. B. Si S es incompatible, S' tiene soluciones distintas de la trivial. C. Si S es compatible indeterminado, S' solo tiene la solución trivial. D. Si S' tiene soluciones distintas de la trivial, S es compatible indeterminado. Como ambos sistemas tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y comparten la matriz de coeficientes tenemos que S es compatible determinado si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, es decir, si y solo si S’ es compatible determinado, es decir, si y solo si S’ solo tiene la solución trivial. Por tanto, las respuestas correctas son A y B.

Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas

6. En un sistema de ecuaciones:

1. El sistema es compatible y determinado. 2. La matriz de los coeficientes es cuadrada y regular. A. 1 2⇒ pero 2 1⇒ C. 1 2⇔

B. 2 1⇒ pero 1 2⇒ D. Nada de lo anterior. Sean A y *A las matrices asociadas al sistema. Si la matriz de coeficientes, A, es cuadrada de orden n y regular, tenemos rg( ) rg( *) nº de incógnitasA A n= = = y, por tanto, el sistema es compatible determinado, es decir, 2 1⇒ . En cambio, si el sistema es compatible determinado tenemos rg( ) rg( *) nº de incógnitasA A= = , pero esto no implica necesariamente que A sea cuadrada (ni, por tanto, regular), basta considerar como contraejemplo el sistema de 3 ecuaciones y 2 incógnitas compatible determinado (con solución 1x y= = )

20

1

x yx yx

+ = − = =

Por tanto, la relación correcta es B.

Señala el dato innecesario para contestar

7. Se tiene un sistema de ecuaciones con tres incógnitas en que la matriz de los coeficientes es A y la matriz ampliada es *A . Se quiere saber si el sistema es compatible o no y si es determinado o no y se tiene la siguiente información:

1. Tiene cuatro ecuaciones. 2. =rg( ) 3A 3. rg( *) 3A = A. El dato 1 es innecesario. C. El dato 3 es innecesario. B. El dato 2 es innecesario. D. Falta información para contestar. De 2 y 3 se deduce que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = , con lo que el sistema sería compatible determinado y el dato 1 sería innecesario. En cambio, 1 y 2 no bastan para discutir el sistema, ya que podría ser rg( *) 3A = (compatible determinado) o rg( *) 4A = (incompatible).

Análogamente, 1 y 3 no bastan, ya que podría ser =rg( ) 3A (compatible determinado) o rg( ) 2A = (incompatible).

Por tanto, la respuesta correcta es A.

122 Bloque II Números y Álgebra

PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Considera la matriz − =

1 11

Aa

.

a) Calcula la matriz B = A2 − 2A.

b) Determina para qué valores de a la matriz B tiene inversa.

c) Para a = 1, calcula si es posible A−1 y B−1.

a) 22 2

1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 12 2

1 1 1 1 1 2 2 1 1 2a a

B A Aa a a a a a a a a− − − − − − − − = − = − = − = + − + − + − + −

b) B tiene inversa si el determinante es distinto de cero.

2 22

2 12( 2 1) ( 1)( 1) 2 3 0 1, 3

1 1 2a

B a a a a a a a aa a a

− −= = − − − − − + − = − + + = → = − =− + − + −

Por lo tanto, B tiene inversa si a ≠ 3, −1.

c) Para a = 1, 1 11 1

A− =

y 2 0

0 2B

− = −

Para hallar la inversa de A y B se aplica el método de Gauss - Jodan:

( ) ( )2 2 1 1 1 2 2 2

12 21 1

2 2

1 11 1 1 01 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 2| |2 21 1 0 1 0 2 1 1 1 10 2 1 1 0 12 2

F F F F F F F FA I I A−

→ − → + →

− − = → → → = − − −

Por tanto 1

1 12 21 12 2

A−

= −

( ) ( )12 21

2

11 0 02 0 1 0 2| |0 2 0 1 10 1 0

2i iF F

B I I B−

→−

− − = → = − −

Por tanto 1

1 02

102

B−

− = −

2. Sabiendo que el valor del determinante

1 0 12 4 6

x y zes igual a 1, calcular el valor de los determinantes:

a) 3 0 1

3 26 8 6x y z b)

2 4 63 1 3 3 1

3 4 7

x y zx y z+ + +− −

a) 1 1 22

32

3 0 1 1 0 13 2 6 6 1 0 1 66 8 6 2 4 6 2 4 6

C F FC

x y zx y z x y z

↔= = = − = −

b) 1 1 3 2 2 1 2 1 1 2

3 3 1

3 2

2 4 6 1 1 1 1 1 13 1 3 3 1 3 1 3 3 1 2 0 2 2 1 0 1

3 4 7 3 4 7 3 4 7 3 4 7F F F F F F F F F F

F F F

x y z x y z x y z x y zx y z x y z

→ − → − → +→ −

+ + + − − − − − −− − = − − = = =

2 1 0 1 22 4 6

x y z= =

Bloque II Números y Álgebra 123


− − = − = = = − −

2 4 2 2 01 , 0 , X , 0 01 2 1 1 0

xA m m B y

z

Se pide:

a) Estudia el rango de A según los valores de m.

b) Calcula el determinante de la matriz A20.

c) Para m = −2, resuelve el sistema AX = 0.

d) Para m = 0, resuelve el sistema AX = B.

a) Como F1 = 2F3 0A m= ∀ ∈ y rg(A) < 3

2 42 4 0 2

1m m

m−

= − + = ⇒ =−

. Si m ≠ 2, rg(A) = 2.

Si m = 2, 2 22 0

1 2−

= − ≠−

, rg(A) = 2. Por tanto rg(A) = 2, ∀ ∈m

b) 2020 200 0A A= = =

c) Se trata de un sistema homogéneo y el rg(A) = 2 < n.º de incógnitas, luego es un sistema compatible

indeterminado. Como 3 112

E E= , puede eliminarse la tercera ecuación.

1 2 2 2 12

12

2 4 2 0 2 2 0 2 2 0 32 2 0 2 4 2 0 8 6 0 4E E E E E

x

x y z x y z x y zy

x y z x y z y zz

↔ → −

= − λ

− + + = − − − = − − − = → → → = − λ − − − = − + + = + = = λ

d) Para m = 0, *

2 4 2 21 0 0 01 2 1 1

A− − = − − −

. Se observa que F1 = 2F3 y por tanto trata de un sistema compatible

indeterminado.

1 32

02 4 2 20 10 2 1 22 1

E E

xx y zx

x yx y z

x y z z=

=− + + = − = − − λ− = → → = − + + = − − + + = − = λ


4. a) Sean A y B matrices 2 x 2. Determina dichas matrices sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones: 4 2 1 3

3 23 4 1 1

A B A B− − − + = − = − − −

b) Sean C y D las matrices:

1 1 2 2y

1 0 0 1C D = =

Determina el determinante |5(CD)−1|, donde (CD)−1 es la matriz inversa de (CD).

a) Se multiplica por 3 la segunda ecuación: 3 96 3

3 3A B

− − = − −

Sumando ambas ecuaciones: 7 7 1 17

0 7 0 1A A

− − = → = − −

Y sustituyendo en la segunda ecuación: 1 11 1

B− − = −

b) ( ) ( )1 12 1 25 25 255 5 25( 1) 2 2

CD CDCD C D

− −= = = = = −− ⋅

5. Dado el sistema de ecuaciones + + = −

+ + = − + + = 2

3 2 12 4 5 2

3 2

x y zx y z k

x k y z k, donde k es un parámetro real se pide:

a) Discute razonadamente el sistema según los valores de k. b) Obtén razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, todas las soluciones del

sistema cuando k = −1. c) Resuelve razonadamente el sistema cuando k = 0.

a) La matriz ampliada del sistema es 2

1 3 2 1* 2 4 5 2

1 3 2A k

k k

− = −

Se estudia los valores de k para los cuales el determinante de A es 0:

2

2

1 3 22 4 5 1 0 11 3

A k kk

= = − + = → = ±

Para k 1≠ ± , A ≠ 0, luego rg(A) = rg(A*) = número de incógnitas. El sistema es compatible determinado.

Para k = 1, 1 3 2 1

* 2 4 5 11 1 3 2

A−

= −

. Como el menor 1 30

2 4≠ → rg(A) = 2.

Para calcular el rango de A* añadimos al menor anterior C4 y F3:

1 3 12 4 1 4 01 1 2

−− = − ≠ , por lo que el rg(A*) = 3

Como rg(A*) ≠ rg(A), el sistema es incompatible.

Para k = −1, 1 3 2 1

* 2 4 5 31 1 3 2

A−

= − −

. Como F3 = F2 – F1, rg(A*) = rg(A) < nº de incógnitas = 3, el sistema es

compatible indeterminado.


b) Para k = −1, el sistema compatible indeterminado será 3 2 1

2 4 5 3.3 2

x y zx y z

x y z

+ + = − + + = − + + = −

2 2 1 3 3 23 3 1

2

5 723 2 1 3 2 1 3 2 1

12 4 5 3 2 1 2 123 2 2 1 0 0

E E E E E E zE E E

xx y z x y z x y zx y z y z y z y

x y z y z z→ − → − =λ→ −

− − λ =+ + = − + + = − + + = −

+ λ + + = − → − + = − → − + = − → = + + = − − + = − = = λ

c) Para k = 0 el sistema es compatible determinado es 3 2 1

2 4 5 23 0

x y zx y z

x z

+ + = − + + = − + =

y podrá resolverse aplicando la regla

de Cramer. Como 20 1 1A = + =

1 3 22 4 50 0 3

12 18 61

x

−−

= = − + = ,

1 1 22 2 51 0 3

6 5 4 6 11

y

−−

= = − − + + = − ,

1 3 12 4 21 0 0

6 4 21

z

−−

= = − + = −


PRUEBA II. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Para que un producto AB tenga dimensión 2 x 3 se dan las siguientes condiciones: 1. La matriz A debe tener dos filas. 2. La matriz B ha de tener tres columnas. 3. El número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. 4. La matriz B tiene una fila de ceros.

Señala cuál de las siguientes condiciones puede eliminarse.

A. Puede eliminarse el dato 1. C. Puede eliminarse el dato 3. B. Puede eliminarse el dato 2. D. Puede eliminarse el dato 4.

Solución D

2. Si B es la matriz B =

0 1 10 0 10 0 0

, la matriz B3 es:

A. B3 = O B. B3 = 0 0 10 0 00 0 0

C. B3 = B D. B3 = I

B2 = 0 1 10 0 10 0 0

0 1 10 0 10 0 0

= 0 0 10 0 00 0 0

B3 = 0 0 10 0 00 0 0

0 1 10 0 10 0 0

= 0 0 00 0 00 0 0

= O

Solución A

3. Sabiendo que la matriz A =

0 02 5 01 4

a

c tiene rango 2, analiza si la información es suficiente para contestar

1. Si ac = 0 y a ≠ 0 ó c ≠ 0 2. Si 02 5a ≠ 0

A. Cada afirmación es suficiente por sí sola. B. 1 es suficiente por sí sola, pero 2 no. C. 2 es suficiente por sí sola, pero 1 no. D. Son necesarias las dos juntas.

La afirmación 1 es suficiente por sí sola, pero no 2. Obsérvese que 2 es insuficiente pues

02 5a ≠ 0 ⇒

0 02 5 01 4

a

c puede ser distinto de 0, bastaría que c ≠ 0. Solución: B


4. Dada la ecuación − −

− −− −

x a b a bc x b c bc a x a c

= 0, señala las respuestas correctas

A. x = 0 es una solución. C. x = a + b + c es una solución.

B. x = a + b + c es una solución. D. x = b − c es una solución.

1 1 2 3 2 2 13 3 1

111

C C C C F F FF F F

x a b a b x a b a bc x b c b x x b c b x x b c bc a x a c x a x a c a x a c

→ + + → −→ −

− −− − = − − = − − =

− − − − − −

2

10 ( ) 0 0,0 0

a bx b c a b x x a b c x x a b c

x a c b− − − = − − − = ⇒ = = + +

− − −

Solución A y C

5. Halla un número de tres cifras, tal que la suma de sus cifras es 9, la cifra de las decenas sea la media aritmética de las otras dos cifras, y que si se invierte el orden de las cifras, la diferencia entre el número obtenido y el inicial sea 396.

A. 432 C. 234

B. 126 D. 531

9 9 5

2 0 3 5312 4 1100 10 100 10 396

x y z x y z xx zy x y z y N

x z zx y z z y x

+ + = + + = = + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = − = = + + − − − =

Solución D

6. Consideremos un sistema de cinco ecuaciones lineales con tres incógnitas. Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada. Indica cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones tiene un dato innecesario para poder comprobar que el sistema es compatible determinado:

1. rg(A) = rg(A*) = 3 = número de incógnitas

2. rg(A) = 3, rg(A*) = 3

3. Solo hay tres ecuaciones linealmente independientes y, además, rg(A) = rg(A*).

4. rg(A) = rg(A*), existe un menor M de orden 3 perteneciente a A, tal que |M| ≠ 0, rg(A*) = 3

A. En 1 hay algún dato innecesario. C. En 3 hay algún dato innecesario.

B. En 2 hay algún dato innecesario. D. En 4 hay algún dato innecesario.

La única respuesta que no tiene ningún dato innecesario es que rg A = 3; rg A* = 3. Solución A, C y D

128 Unidad 10|Vectores

10 Vectores



2. Indica dos vectores equipolentes para cada uno de los siguientes CB

, MH

y AC

:

Vectores equipolentes de CB

: KA

, DO

, LJ

, EN

, FP

, MI

y GH

.

Vectores equipolentes de MH

: LP

y DN

.

Vectores equipolentes de AC

: JD

y PE

.

3. Expresa GH

y JK

en función de OA

, OB

y OC

.

1 5 1 5 5 12 6 2 6 6 2

GH GE EL LH CE EF OC OB OA OC OA OB OC= + + = + − = + − = + −

1 1 5 2 16 2 6 3 2

JK JM MO OC CK OA OB OC OA OA OB OC= + + + = − − + + = − +


Vectores | Unidad 10 129

6. Escribe, si es posible, el vector ( )5, 1, 22u = − − −

como combinación lineal de los vectores ( )0,1, 3v = −

y ( )1,1,2w =

.

Se debe intentar calcular λ y µ tales que u v w= λ + µ

.

( ) ( ) ( )5, 1, 22 0,1, 3 1,1,2− − − = λ − + µ

Si el sistema 5122 3 2

− = µ− = λ + µ− = − λ + µ

es compatible, se podrá escribir u

como combinación lineal de v

y w

.

En este caso se obtiene la solución 4, 5λ = µ = − y, por tanto, 4 5u v w= −

.

7. Comprueba, en cada caso, si los vectores u

, v

y w

forman o no una base de V3:

a) ( )= −

3,4,2u , ( )= −

2,1, 3v , s ( )0, 3,0w = −

b) ( )= −

1,3, 2u , ( )= −

2, 2,2v , ( )= − −

5,17, 14w

c) ( )= −

4,8, 8u , ( )= −

3,0, 10v , ( )= −

3,0,3w

a) −

− = − + = ≠ ⇒−

3 4 22 1 3 12 27 15 00 3 0

Sí forman base.

b) −

− = − − + − + = ⇒− −

1 3 22 2 2 28 68 30 20 34 84 05 17 14

No forman base.

c) −− = + = ≠ ⇒

− −

4 8 83 0 10 240 72 312 03 0 3

Sí forman base.

8. Calcula las coordenadas del vector ( )7, 13,8a = − −

en la base ( ) ( ) ( ){ }2, 4,4 , 0,0, 2 , 9, 9,6u v w= − = − = − −

.

Se debe comprobar que, efectivamente, , yu v w

forman una base de V3:

2 4 40 0 2 72 36 108 09 9 6

−− = − − = − ≠ ⇒

− − Sí forman base.

( ) ( ) ( ) ( )1 2 37, 13,8 2, 4,4 0,0, 2 9, 9,6− − = λ − + λ − + λ − − ⇒

1 3

1 3

1 2 3

2 9 74 9 13

4 2 6 8

λ − λ = −− λ − λ = − ⇒ λ − λ + λ =

Resolviendo el sistema se obtiene su única solución 1 1λ = , 2 1λ = , 3 1λ = .

Por tanto: a u v w= + +

Las coordenadas de a

en esta base son ( )1,1,1 .


9. Calcula las coordenadas de los vectores de la base canónica en la base ( ) ( ) ( ){ }2, 4,4 , 0,0, 2 , 9, 9,6u v w= − = − = − −

.

( )1,0,0i =

( )0,1,0j =

( )0,0,1k =

u

, v

y w

forman base porque 2 4 40 0 2 72 36 108 09 9 6

−− = − − = − ≠

− −.

( ) ( ) ( ) ( )1 3

1 2 3 1 3 1 2 3

1 2 3

1 2 91 1 21,0,0 2, 4,4 0,0, 2 9, 9,6 0 4 9 , ,6 9 27

0 4 2 6

= λ − λ= λ − + λ − + λ − − ⇒ = − λ − λ ⇒ λ = λ = λ = − = λ − λ + λ

Por tanto, ( ) 1 1 21,0,06 9 27

u v w= + − .

( ) ( ) ( ) ( )1 3

1 2 3 1 3 1 2 3

1 2 3

0 2 91 4 10,1,0 2, 4,4 0,0, 2 9, 9,6 1 4 9 , ,6 9 27

0 4 2 6

= λ − λ= λ − + λ − + λ − − ⇒ = − λ − λ ⇒ λ = − λ = − λ = − = λ − λ + λ

Por tanto, ( ) 1 4 10,1,06 9 27

u v w= − − − .

( ) ( ) ( ) ( )1 3

1 2 3 1 3 1 2 3

1 2 3

0 2 910,0,1 2, 4,4 0,0, 2 9, 9,6 0 4 9 0, , 02

1 4 2 6

= λ − λ= λ − + λ − + λ − − ⇒ = − λ − λ ⇒ λ = λ = − λ = = λ − λ + λ

Por tanto, ( ) 10,0,12

v= − .

10. Calcula el valor o valores de a, si es que existen, para que u

, v

y w

sean linealmente dependientes.

( )2, ,3u a=

( )1,2,v a=

( )5, 2,4w = −

Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado con sus coordenadas debe ser nulo.

2 22 31 2 16 6 5 30 4 4 0 5 20 0 2, 25 2 4

aa a a a a a a= − + − + − = ⇒ − = ⇒ = = −

−

Luego los valores de a son 2 y −2.



14. Dados los vectores ( )2, 2,4u = −

y ( )1, 2,3v = − −

calcula:

a) ( ) ( )+ ⋅ −

2 3 2 3u v u v

b) ( ) ( ) ( ) ( )+ ⋅ − + + ⋅ −

2 3 3 3 2u v u v u v u v

c) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ + − − ⋅ +

2 3 3 3 2u v u v u v u v

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ⋅ − = − + − − ⋅ − − − − = − ⋅ − = −

2 3 2 3 4, 4,8 3, 6,9 4, 4,8 3, 6,9 1, 10,17 7,2, 1 30u v u v

b) ( ) ( ) ( ) ( )+ ⋅ − + + ⋅ − =

2 3 3 3 2u v u v u v u v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + − − ⋅ − − − − + − + − − ⋅ − − − − = 2, 2,4 2, 4,6 2, 2,4 3, 6,9 6, 6,12 1, 2,3 6, 6,12 2, 4,6

( ) ( ) ( ) ( )= − ⋅ − + − ⋅ − = − + =0, 6,10 5,4, 5 5, 8,15 8, 2,6 74 146 72

c) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ + + − ⋅ + =

2 3 3 3 2u v u v u v u v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − − − ⋅ − + − − − − − − − ⋅ − + − − = 2, 2,4 2, 4,6 2, 2,4 3, 6,9 6, 6,12 1, 2,3 6, 6,12 2, 4,6

( ) ( ) ( ) ( )= − ⋅ − − − − ⋅ − = − − = −4,2, 2 1, 8,13 7, 4,9 4, 10,18 46 230 276

15. a) Comprueba si los vectores ( )1, 2,3u = −

y ( )4,1,2v = −

son o no perpendiculares.

b) Calcula un vector perpendicular a ( )2, 2, 2u = − −

cuya primera coordenada sea 0.

a) ( ) ( )1, 2,3 4,1,2 4 2 6 0u v⋅ = − ⋅ − = − − + = ⇒

Sí son perpendiculares.

b) ( )−0,1, 1 .

16. Calcula, en cada caso, el valor de la incógnita para que los vectores u

y v

sean perpendiculares.

a) ( )= −

2 , 1,5u x ( )= + −

, 1, 1v x x c) ( )= − +

2 , , 2u x x x ( )= + −

3,1, 4v x x

b) ( )= + − −

2 1, 3, 1u x x ( )=

1, ,v x x d) ( )= − +

3 , 1,4 2u x x ( )= − −

3,3, 3v x x

a) ( ) ( )⋅ = ⇒ − ⋅ + − = − − − = ⇒ − − = ⇒

2 20 2 , 1,5 , 1, 1 2 1 5 0 2 6 0u v x x x x x x x

1 1 48 1 7 32,4 4 2

x x x± + ±⇒ = = ⇒ = = −

b) ( ) ( ) ± −⋅ = ⇒ + − − ⋅ = + − + − = ⇒ − + = ⇒ = = 2 2 2 4 40 2 1, 3,x 1 1, , 2 1 3 0 2 1 0 1

2u v x x x x x x x x x x

c) ( ) ( )⋅ = ⇒ − + ⋅ + − = + − − − = ⇒ − − = ⇒ 2 2 20 2 , x,x 2 3,1, 4 2 6 4 8 0 2 3 0u v x x x x x x x x x x

( ) 32 3 0 0,

2x x x x⇒ − − = ⇒ = = −

d) ( ) ( )⋅ = ⇒ − + ⋅ − − = − − − − = ⇒ − − − = ⇒ 2 2 20 3 , 1,4x 2 x 3,3, 3 3 9 3 12 6 0 9 15 3 0u v x x x x x x x x

5 13 5 13,6 6

x x− + − −= =


17. ¿Existe algún valor de m para que los vectores ( )1 2u m i j k= + + −

y 2v i mj k= − +

sean perpendiculares? ¿Y paralelos? Si existe algún valor de m para que los vectores u

y v

sean perpendiculares, entonces su producto escalar ha de ser cero.

0 2 2 2 0 0u v m m m⋅ = ⇒ + − − = ⇒ =

Si existe algún valor de m para que los vectores u

y v

sean paralelos, entonces debe cumplir:

1 1 2

2 1m

m+ −

= =− .

Luego:

1 2 5

2 1m m+ −

= ⇒ = − y

1 2 11 2

mm

−= ⇒ =

− .

Por tanto, no existe un valor de m para que los vectores u

y v

sean paralelos.

18. Calcula el valor de u v−

sabiendo que 45u v+ =

y 10u v⋅ =

.

2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2

22

22

u v u vu v u v u v u v


+ − −⋅ = ⇒ + = + − ⋅ ⇒

+ − − ⋅ = ⇒ + = ⋅ + −

2 2 2 22 2 4u v u v u v u v u v u v u v⇒ + − ⋅ = ⋅ + − ⇒ + − − = ⋅

( )2 2 245 4 10 45 40 5 5u v u v u v− − = ⋅ ⇒ − = − = ⇒ − = .

19. Sean u

y v

dos vectores ortogonales de módulos 4 y 3, respectivamente. Calcula el módulo de u v+

y de u v−

.

( ) ( )2 2 22u v u v u v u u v v− = − ⋅ − = − ⋅ +

.

( ) ( )2 2 22u v u v u v u u v v+ = + ⋅ + = + ⋅ +

.

u

y v

ortogonales 0u v⇒ ⋅ =

.

( ) ( )2 2 22 16 0 9 25 25 5u v u v u v u u v v u v+ = + ⋅ + = + ⋅ + = + + = ⇒ + = =

( ) ( )2 2 22 16 0 9 25 25 5u v u v u v u u v v u v− = − ⋅ − = − ⋅ + = − + = ⇒ − = =


20. Los vectores u

y v

definen el paralelogramo de la figura. Se sabe que:

5u =

13v =

15u v⋅ =

a) Expresa los vectores que definen las diagonales como combinación lineal de u

y v

.

b) Calcula la medida de las dos diagonales.

a) D u v= +

d u v= −

b) + − −

⋅ = ⇒ + = + + ⋅ = + + = ⇒ =

2 2 22 2 2 2 25 13 30 68 68

2u v u v

u v u v u v u v D

2 2 22 2 2 2 25 13 30 8 8

2u v u v

u v u v u v u v d+ − −

⋅ = ⇒ − = + − ⋅ = + − = ⇒ =

21. Desarrolla y simplifica las siguientes expresiones.

a) ( ) ( )− ⋅ −

u v u v

b) ( )⋅ −

4 2u u v

c) ( ) ( )− ⋅ +

2 3u v u v

d) ( ) ( )+ ⋅ −

u v u v

a) ( ) ( )− = − ⋅ − = − ⋅ + 2 2 22u v u v u v u u v v

b) ( )⋅ − = ⋅ − ⋅ = − ⋅ 24 2 4 2 4 8 4u u v u u u v u u v

c) ( ) ( )− ⋅ + = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − 2 22 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3u v u v u u u v v u v v u u u v u v v v u u v v

d) ( ) ( )+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − 2 2u v u v u u u v u v v v u v


26. Calcula el ángulo que forman los vectores ( )2, 2,0u = − y ( )2, 2, 1v = −

.

2 2 0cos 0 arccos 0 90º

2 2 2 2 1u vu v⋅ − + +

α = = = ⇒ α = =⋅ + ⋅ + +

.

Los vectores son perpendiculares.


27. a) Calcula todos los vectores unitarios que sean paralelos al vector 4 4 7x i j k= + −

.

b) Calcula todos los vectores que sean paralelos a ( )1, 4, 8AB = − −

y que tengan por módulo el triple que el

módulo de AB

.

a) Todos los vectores paralelos a x

son de la forma ( )4 ,4 , 7λ λ − λ .

Obligando a que su módulo valga la unidad:

2 2 2 2 2

1 4 4 7, ,9 9 9 9116 16 49 1 81 1

81 1 4 4 7, ,9 9 9 9

λ = ⇒ − λ + λ + λ = ⇒ λ = ⇒ λ = ⇒ λ = − ⇒ − −

b) Todos los vectores paralelos a AB

son de la forma ( ), 4 , 8λ − λ − λ .

Obligando a que su módulo valga 3 1 16 64 3 9 27⋅ + + = ⋅ = :

( )

( )2 2 2 2 2

27 3 3, 12, 24729 916 64 27 81 272781 3 3,12,249

λ = = ⇒ − −λ + λ + λ = ⇒ λ = ⇒ λ = ⇒ λ = − = − ⇒ −

28. Calcula dos vectores linealmente independientes y que sean ambos perpendiculares al vector 2 1, , 2 .3 5

u = −

11 2, ,05 3

v = −

2

10,2,5

v =

29. Calcula los valores de k para que los vectores ( ), ,0u k k= −

y ( ), , 2v k k= − −

formen un ángulo de 45º.

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2cos45º 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2

12 2 2 2 2 4 1

1

k k k k k kk k k k k k k

kk k k k k

k

+ ⋅= = = = ⇒ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒

+ ⋅ + + ⋅ + +=⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = −

30. Comprueba que no existe ningún valor de k para el cual los vectores ( ),1,1u k=

y ( )1, 2,v k= −

formen un

ángulo de 45º.

( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2cos45º 2 3 2 2 3 421 1 1 2 2 3

u v k k k k k ku v k k k k

⋅ − + += = = = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒

+ + + + + +

4 2 2 4 23 2 6 4 0 5 2 0k k k k k⇒ + + + − = ⇒ + + = ⇒ No tiene solución.

Por tanto, no existe ningún valor de k para que los vectores u

y v



31. Dado el vector ( )1,2,3u = −

:

a) Calcula el ángulo que forma con cada uno de los tres vectores de la base i

, j

y k

.

b) Calcula la medida de las proyecciones de u

sobre cada uno de los vectores de la base i

, j

y k

.

( )=

1,0,0i ( )=

0,1,0j ( )=

0,0,1k

a) ( ) ⋅ − − α = = = = ⇒ α = −

+ +⋅

1 1 1cos cos , arccos 105º30'1 4 9 14 14

u iu iu i

( ) ⋅ β = = = = ⇒ β =

+ +⋅

2 2 2cos cos , arccos 57º41'1 4 9 14 14

u ju ju j

( ) ⋅ γ = = = = ⇒ γ =

+ +⋅

3 3 3cos cos , arccos 36º42'1 4 9 14 14

u ku ku k

b) ⋅= = − =

proy 1 1iu iu

i ⋅

= = =

proy 2 2ju ju

j ⋅

= = =

proy 3 3ku ku

k


35. Calcula las coordenadas de un vector que sea ortogonal a los vectores ( )1,2,0u = −

y ( )1, 2,2v = − −

y cuyo módulo sea la unidad. ¿Cuántos vectores de estas características existen?

( )1 2 0 4 2 4 4,2,41 2 2

i j ku v i j k× = − = + + =

− −

.

Por tanto, todos los vectores perpendiculares a u

y v

a la vez deberán ser de la forma: ( )4 ,2 ,4λ λ λ

Obligando a que este vector tenga por módulo 1, se obtiene los valores de λ :

2 2 2 2 1 116 4 16 36 1 6 1 ,6 6

λ + λ + λ = λ = ⇒ λ = ± ⇒ λ = λ = −

Los vectores buscados son =

12 1 2, ,3 3 3

w y = − − −

22 1 2, ,3 3 3

w .

36. Calcula los valores de x e y para que el vector ( )1 2u x i yj k= + + −

sea ortogonal a los vectores

2v i j k= − +

y 2 3w j k= +

.

( )2 1 1 5 6 4 5, 6,40 2 3

i j kv w i j k v w× = − = − − + ⇒ × = − −

. El vector u

debe llevar la misma dirección que

( )5, 6,4v w× = − −

y, por tanto, debe ser proporcional a él. Luego:

+ −= = ⇒ = =

− −1 2 3 , 3

5 6 4 2x y x y


37. Dados los vectores ( )3,1, 2u = −

y ( )3, ,2v = − α

.

a) Calcula el valor de α para que los vectores sean paralelos.

b) Calcula el valor de α para que los vectores sean perpendiculares. Para este valor, calcula u v×

.

a) Para que sean paralelos deben ser proporcionales:

−= = ⇒ α = −

− α3 1 2 13 2

b) Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser nulo:

( )3 3 2 2 0 9 4 0 13⋅ − + α − ⋅ = ⇒ − + α − = ⇒ α =

( )3 1 2 28 42 28,0,423 13 2

i j ku v i k u v× = − = + ⇒ × =

−

38. a) Calcula las coordenadas de los vectores u

y v

de la figura en la base canónica { }, ,i j k

.

b) Calcula el área del paralelogramo determinado por u

y v

.

a) ( )=

1,2,2u , ( )=

2,3,1v .

b) ( )× = = − + − ⇒ × = − −

1 2 2 4 3 4,3, 12 3 1

i j ku v i j k u v

Por tanto, el área del paralelogramo es:

= × = + + =

16 9 1 26A u v u2.



41. Dados los vectores ( )1,3,6u = −

, ( )1, 8,5v = − −

y ( )3,4, 5w = −

, calcula:

a) [ ]

, ,u v w c) [ ]× ×

, ,u v u w w

b) [ ]+ −

, ,3u v u v w d) 1 3 1,2 ,2 5 3

u v u v u w + − ×

a) [ ]−

= − − = − − + + + − =−

1 3 6, , 1 8 5 40 24 45 144 20 15 130

3 4 5u v w

b) [ ]− −

+ − = = − − + = −−

2 5 11, ,3 0 11 1 330 45 1089 24 780

9 12 15u v u v w

c) ( )× = − = − + ⇒ × = −− −

1 3 6 63 11 63, 1,111 8 5

i j ku v i j k u v

( )1 3 6 39 13 13 39,13, 133 4 5

i j ku w i j k u w× = − = − + − ⇒ × = − −

−

63 1 11, , 39 13 13 4095 1716 39 429 3276 195 2730

3 4 5u v u w w

−× × = − − = − − + − + + = −

−

d) − −

+ − × = = − − −

11 33 610 101 3 1 35711,2 , 5 26 31

2 5 3 103 3 3

39 13 13

u v u v u w

42. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores ( )2, 3,7u = −

, ( )12,0,5v = −

y ( )13, 2, 7w = − −

.

3P

2 3 7, , 12 0 5 168 195 20 252 245u

13 2 7V u v w

−= = − = − + + =

− −

43. Calcula los valores de k para que los vectores ( )1, , 3AB k= −

, ( ),1,4AC k=

y ( )3,0,2AD = −

:

a) Determinen un paralelepípedo de volumen de 11 unidades cúbicas.

b) Determinen un paralelepípedo de volumen de 39 unidades cúbicas.

a) −

= = − − − = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ −

2 2 21 3

, , 1 4 2 12 9 2 11 2 12 18 0 6 9 03 0 2

kAB AC AD k k k k k k k

2( 3) 0 3k k⇒ + = ⇒ = −

b) −

= = − − − = ⇒ + + = ⇒ −

2 21 3

, , 1 4 2 12 9 2 39 2 12 46 03 0 2

kAB AC AD k k k k k

2 6 566 23 02

k k k − ± −⇒ + + = ⇒ = . No existe ningún valor real de k para el que se cumpla la condición.


44. Calcula los valores de k para que los vectores ( )2, ,4AB k=

, ( )5,1,AC k= −

y ( )7,6, 1AD = −

no determinen ningún paralelepípedo. ¿Cómo deben ser estos tres vectores? Los tres vectores deben ser linealmente dependientes. Su producto mixto debe ser nulo:

2 22 4

, , 5 1 2 120 7 28 12 5 0 7 17 90 07 6 1

kAB AC AD k k k k k k = − = − + − − + + = ⇒ − − =

−

.

17 2809 17 53 185,14 14 7

k k k± ±= = ⇒ = = −

45. Si los módulos de los vectores u

, v

y w

son 12, 14 y 15 respectivamente, ¿entre qué valores está comprendido el valor absoluto de su producto mixto?

( ) ( ) ( ) ( ), , cos , sen , cos ,u v w u v w u v w u v w u v w v w u v w= ⋅ × = × × = ×

.

El valor máximo absoluto del producto mixto , ,u v w se obtiene cuando ( )sen ,v w

y ( )cos ,u v w×

toman su valor

máximo, es decir, uno. Por tanto:

, , 12 14 15 2520u v w u v w= = ⋅ ⋅ =

El valor mínimo absoluto se obtiene cuando ( )sen ,v w

o ( )cos ,u v w×

toman su valor mínimo, es decir, cero.

Por tanto:

, ,w 0u v =

46. Calcula el volumen y una de las alturas del prisma de la figura.

El volumen del prisma será:

( ) ( ) ( )0 25 0

0, 25, 0 , 15, 0, 15 , 2, 0, 10 15 0 15 750 3750 30002 0 10

− − = − = − + = − .

La altura es el cociente entre el volumen y el área de la base:

( ) ( )= = = =

× −3000 3000 8 4 2

0, 25, 0 15, 0, 15 281 250 2h




EJERCICIOS

Vectores libres en el espacio

55. Observa la figura:

a) Indica un vector equipolente de cada uno de los siguientes:

FL ,

FE y

EB .

b) Compara el módulo dirección y sentido de las parejas de vectores:

i)

AF y

BE ii)

FE y

BA

c) Indica dos vectores del mismo módulo y dirección que EJ

pero con diferente sentido.

a) Vectores equipolentes de

FL : AG

,

BH , CI

, DJ

,

EK

Vector equipolente de

FE :

LK

Vectores equipolentes de

EB :

KH , JI

, DC

b) i) AF

y BE

tienen igual dirección e igual sentido y sus módulos son diferentes y verifican que 2BE AF=

.

ii) FE

y BA

tienen diferente dirección y, por tanto, no tiene sentido comparar sus sentidos. Sus módulos son iguales.

c)

JE y IB

.

56. Dados los vectores u

, v

y w

cuyas coordenadas respecto de la base canónica son 2 3u i j k= + −

,

3 2 3v i j k= − + +

y 2w i j k= + −

, calcula las coordenadas de los siguientes vectores referida a la misma base:

a) + −

2 3u v w c) 2 1 23 3 3

u v w+ −

b) − − 1 14

2 5u v w d) ( ) ( )− + + −

12 2 3 32

u v u v w

( )= −

2,3, 1u ( )= −

3,2,3v ( )= −

1,1, 2w

a) ( ) ( ) ( ) ( )+ − = − + − − − = −

2 3 4,6, 2 9,6,9 1,1, 2 6,11,9u v w

b) ( ) − − = − + − − + − − = − −

1 1 3 1 1 1 2 64 67 1214 1, , 12, 8, 12 , , , ,2 5 2 2 5 5 5 5 10 10

u v w

c) + − = − + − + − − = −

2 1 2 4 2 2 3 2 2 4 1 5,2, 1, , , , ,2,3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

u v w

d) ( ) ( ) ( ) − + + − = − − + − = − −

1 9 13 3 272 3 2 3 3 22, 6, 20 4, , 18, ,2 2 2 2 2

u v u v w


57. Calcula los valores de a, b y c para que se verifique la igualdad: ( ) ( )1 13,2,0 2, 2,22 4

au bv cw+ + = − − − si se

sabe que ( )3,0, 2u = − −

, ( )2, 1,4v = −

y ( )3, 1, 1w = − −

.

( ) ( ) ( )1 1 3 1 3 13,2,0 2, 2,2 2, , 3 2 3 , , 2 4 2, ,2 4 2 2 2 2

au bv cw au bv cw a b c b c a b c + + = − − − ⇒ + + = − − ⇒ − + + − − − + − = − −

Por tanto:

3 2 3 23 21 11 29, ,2 34 17 34

12 42

a b c

b c a b c

a b c

− + + = −− − = ⇒ = − = − = −− + − = −

58. Decide si los siguientes tríos de vectores u

, v

y w

son linealmente independientes o linealmente dependientes. ¿En qué casos los tres vectores u

, v

y w

forman una base de V3?

a) ( )= −

1,1, 1u , ( )= −

1, 1,1v , ( )= −

1,1,1w

b) ( )= −

1,2, 3u , ( )= −

2, 1,3v , ( )=

5,0,3w

c) = − −

1 3, , 22 4

u , = −

10, , 22

v , ( )1,0, 10w = −

Tres vectores linealmente independientes de V3 forman base. Si son linealmente dependientes, no forman base.

a) −

− = − − − + − − = − ≠ ⇒−

1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 4 01 1 1

Sí forman base de V3.

b) −

− = − + − − = ⇒1 2 32 1 3 3 30 15 12 05 0 3

No forman base de V3.

c)

− −

= − + + = ⇒−

−

1 3 22 4 5 3 1 010 2 2 2

21 0 10


59. Calcula la relación que ha de existir entre a y b para que los vectores ( ), 2,u a b= −

, ( )3,2,v a=

y ( )2,4,0w =

sean linealmente independientes.

2

2 22

3 2 12 4 4 4 0 2 022 4 0

a b a aa b a b a a a b b− +

= − − − = ⇒ + − = ⇒ =

Por tanto, la relación entre a y b para que los vectores u

, v

y w

sean linealmente independientes es: 2

2a ab +

≠


60. Calcula el valor o los valores de k para que los vectores u

, v

y w

no formen una base de V3.

a) ( )= −

2,2, 5u ( )=

4,1,7v ( )= −

,5, 3w k

b) ( )=

1, ,3u k ( )= −

2,4, 6v ( )= −

, 5,9w k

c) ( )= −

1, 2,3u ( )= −

4, 1,v k ( )= + −

1, ,11w k k

a) −

= − = ⇒ = = ⇒ =−

2 2 5 1524 1 7 19 152 0 8 8195 3

k k kk

b) − = − − − = ⇒ = − = −−

21 32 4 6 6 30 24 0 4, 1

5 9

kk k k k

k

c) −− = − − + = ⇒ = − =

+ −

21 2 34 1 11 80 0 16, 5

1 11k k k k k

k k

61. Para cada caso, comprueba si los vectores u

, v

y w

forman una base de V3 y, en caso afirmativo, expresa el vector ( )12, 30,4a = − −

como combinación lineal de los vectores de esa base.

a) ( )= −

1,0, 2u , ( )= − −

1,3, 2v , ( )= − −

5, 9,2w

b) ( )= − −

2,3, 1u , ( )= −

1, 1,2v , ( )= −

1,2,1w

a) −

− − = − − − = − ≠ ⇒− −

1 0 21 3 2 6 18 30 18 60 05 9 2

Sí forman base de V3.

( ) ( ) ( ) ( )1 2 312, 30,4 1,0, 2 1,3, 2 5, 9,2− − = λ − + λ − − + λ − − ⇒

1 2 3

2 3 1 2 3

1 2 3

5 123 9 30 2, 1, 3

2 2 2 4

λ − λ − λ = −⇒ λ − λ = − ⇒ λ = λ = − λ =− λ − λ + λ =

Por tanto, = − +

2 3a u v w .


en esta base son: ( )2, 1,3−

b) − −

− = − − + + − = ⇒−

2 3 11 1 2 2 2 6 1 8 3 01 2 1


62. Se sabe que los vectores u

, v

y w

son linealmente independientes. Estudia, para cada caso, si los vectores, a

, b

y c

son o no linealmente independientes.

a) = − +

2 4a u v w = − − +

2 3b u v w = − − +

3 3c u v w

b) = − +

a u v w = − − +

2 4b u v w = − +

4 6c u v w

a) 2 4 11 2 3 12 1 36 6 6 12 133 1 3

−− − = − + + − + − = ⇒− −

Sí son linealmente independientes.

b) 1 1 11 2 4 12 4 4 2 16 6 0

1 4 6

−− − = − + − + + − = ⇒

−Sí son linealmente dependientes.


63. a) Comprueba que los vectores ( )2, 1, 2u = − −

y ( )1, 3,2v = −

son linealmente independientes.

b) Indica un vector 1w

tal que u

, v

y 1w

sean linealmente independientes. ¿Formarán los tres una base de V3?

c) Indica un vector 2w

tal que u

, v

y 2w

sean linealmente dependientes. ¿Formarán los tres una base de V3?

a) Dos vectores de V3 son linealmente independientes si no son proporcionales:

2 1 21 3 2

− −≠ ≠ ⇒−

Son linealmente independientes.

b) Cualquier otro vector que, con los dos anteriores, determine un determinante no nulo hará que los tres sean linealmente independientes. Por ejemplo, ( )1 1,0,0w =

:

2 1 21 3 2 2 6 01 0 0

− −− = − − ≠

c) Cualquier otro vector que, con los dos anteriores, determine un determinante nulo hará que los tres sean

linealmente dependientes. Por ejemplo, ( )2 3, 4,0w u v= + = −

:

− −− = − − + =−

2 1 21 3 2 8 6 18 16 03 4 0

No forman base porque son linealmente dependientes.

64. a) Comprueba que los vectores ( )= − −

1, 1, 3u , ( )= −

1, 2,2v y ( )= − −

1,5, 17w son linealmente dependientes.

¿Se puede escribir cualquier otro vector a

como combinación lineal de u

, v

y w

?

b) Intenta escribir ( )4, 6, 2a = − −


, v

y w

.

a) − −− = − + + − − =

− −

1 1 31 2 2 34 15 2 6 10 17 01 5 17

Al no formar base u

, v

y w

, no es posible que cualquier otro vector de V3 pueda escribirse como combinación lineal de ellos. (Eso no quiere decir que algunos particulares sí se puedan escribir).

b) ( ) ( ) ( ) ( )− − = λ − − + λ − + λ − − ⇒1 2 34, 6, 2 1, 1, 3 1, 2,2 1,5, 17

2 1 2 3 2 3

3 1 35

3

1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 41 2 5 6 0 1 4 2 0 1 4 23 2 17 2 0 5 20 10 0 0 0 0

F F F F F FF F F

→ + →− −→ +

− − − − − − → − − → − − − − − −

Sistema compatible indeterminado. Como, por ejemplo, una solución es 1 2 32, 2, 0λ = λ = λ = el vector a

sí se

puede escribir como combinación lineal de u

, v

y w

: 2 2 0a u v w= + +

.


65. a) Calcula los valores de k para que los vectores ( )1, ,2u k= −

, ( )2, 1,v k k k= + −

y ( )4, 3,4w = −

sean linealmente dependientes.

b) Para 0k = , intenta escribir ( )6, 4,4a = −


, v

y w

.

c) Para 0k = , intenta escribir ( )3,2,0b =


, v

y w

.

d) Para = 1k , intenta escribir ( )=

3,2,0b como combinación lineal de

u ,

v y

w .

a) −+ − = − + − − + − + − − − = − = ⇒ =

−

2 21 22 1 4 4 6 12 4 8 8 3 4 8 29 0 0

4 3 4

kk k k k k k k k k k k k .

Para cualquier valor 0k ≠ , los vectores u

, v

y w

son linealmente independientes.

b) ( ) ( ) ( ) ( )− = λ − + λ − + λ − ⇒1 2 36, 4,4 1,0,2 2, 1,0 4, 3,4

3 2 3

3 1 34

2

1 2 4 6 1 2 4 6 1 2 4 60 1 3 4 0 1 3 4 0 1 3 42 0 4 4 0 4 12 16 0 0 0 0

F F FF F F

→ −→− −

− − − − − − → − − − → − − − − − −

Sistema compatible indeterminado.

Como, por ejemplo, una solución es 1 2 32, 4, 0λ = λ = λ = , el vector a

sí se puede escribir como combinación

lineal de u

, v

y w

:

2 4a u v= +

c) ( ) ( ) ( ) ( )= λ − + λ − + λ − ⇒1 2 33,2,0 1,0,2 2, 1,0 4, 3,4

3 2 3

3 1 34

2

1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 60 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 22 0 4 0 0 4 12 6 0 0 0 14

F F FF F F

→ −→− −

− − − − − → − − → − − − − −

Sistema incompatible.

El vector a

no se puede escribir como combinación lineal de u

, v

y w

.

d) ( ) ( ) ( ) ( )= λ − + λ + λ − ⇒1 2 33,2,0 1,1,2 3,0,1 4, 3,4

→− − → −→− −

− − − − → − − − → − − − − − −

2 1 2 3 2 33 1 3

7 32

1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 4 31 0 3 2 0 3 1 5 0 3 1 52 1 4 0 0 7 12 6 0 0 29 17

F F F F F FF F F

Sistema compatible determinado con única solución:

1 2 3

7 54 17, ,29 29 29

λ = λ = λ = −

El vector a

sí se puede escribir como combinación lineal de u

, v

y w

:

7 54 1729 29 29

a u v w= + −


Producto escalar de vectores

66. Calcula el producto escalar de los vectores u

y v

.

a) ( )= − −

3,5, 10u ( )= − −

1, 2,12v

b) = −

1 3 1, ,2 4 5

u = −

2 1 1, ,3 6 10

v

a) ( ) ( )⋅ = − − ⋅ − − = − − = −

3,5, 10 1, 2,12 3 10 120 127u v

b) ⋅ = − ⋅ − = + + =

1 3 1 2 1 1 1 1 1 287, , , ,2 4 5 3 6 10 3 8 50 600

u v .

67. Dados los vectores ( )3,5, 10u = − −

y ( )1, 2,12v = − −

, calcula los productos escalares.

a) ( )⋅ −

2 3u v

b) − ⋅ +

1 1 142 4 5

u v u v

c) ( ) ⋅ + ⋅

1 3 32

u v u v v

a) ( ) ( ) ( )⋅ − = − − ⋅ − = − + + =

2 3 6,10 20 3,6, 36 18 60 720 762u v

b) − ⋅ + = − ⋅ − − = − + + =

1 1 1 13 37 101 16 23 38 26 851 1919 83194 , , , ,2 4 5 8 8 4 5 5 5 5 40 10 40

u v u v

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ + ⋅ = − − − + − − ⋅ − − =

1 1273 3 9,15, 30 3, 6,36 1, 2,122 2

u v u v v

( )1137 1917 49 281, ,1941 1, 2,12

2 2 2 = − ⋅ − − =

68. Calcula el valor o los valores de k para que se verifiquen las siguientes igualdades:

a) ( ) ( )− ⋅ − = −2, 3,4 ,1 ,3 5k k

b) ( ) ( )− ⋅ + − = −1,2, 2, , 4 2k k k k

c) − ⋅ − =

1 1 1 9, , , ,2 2 8 8 8

kk k

a) − + + = ⇒ = − ⇒ = −42 3 3 12 5 5 45

k k k k

b) − − + + − = − ⇒ − = ⇒ = =2 22 2 4 2 3 0 0, 3k k k k k k k k

c) + + = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ = = −2 2 21 9 17 170 16 17 0 1,16 16 8 16 16 16k kk k k k k k


69. Se considera el tetraedro regular ABCD de la figura de arista a.

a) Calcula los productos escalares AB AC⋅

y AB AD⋅

.

b) Calcula el producto escalar AB CD⋅

. ¿Qué puedes concluir?

a) ⋅ = ⋅ ⋅ = =

21cos60º2 2

aAB AC AB AC aa

⋅ = ⋅ ⋅ = =

21cos60º2 2

aAB AD AB AD aa

b) ( )⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + =

2 20

2 2a aAB CD AB CA AD AB CA AB AD AB AC AB AD

Las aristas AB y CD son perpendiculares.

Aplicaciones del producto escalar


, ( )1,2,3v = −

calcula:

a) Los módulos de u

y de v

.

b) El producto escalar de u v⋅

.

c) La medida del ángulo que forman u

y v

.

d) La medida de la proyección de v

sobre u

.

a) = + − + = 2 2 21 ( 1) 2 6u , = − + + =

2 2 2( 1) 2 3 14v

b) ⋅ = ⋅ − + − ⋅ + ⋅ =

1 ( 1) ( 1) 2 2 3 3u v

c) ( ) ( )⋅= = = ⇒ =

⋅

3 3 3cos , , arccos 70º 53' 36''6 14 84 84

u vu v u vu v

d) Proyección de v

sobre u

: ⋅= =

3proy6v

u vuu


71. Los módulos de tres vectores u

, v

y w

son 4, 4 y 2 respectivamente. Los vectores siguen las direcciones y sentidos de los vectores de la base canónica y, por tanto, son perpendiculares dos a dos.

a) Halla las coordenadas de

u , v

y w

y de + +

u v w .

b) Determina el módulo del vector suma.

c) Calcula el valor de los ángulos que el vector suma forma con cada uno de los vectores u

, v

y w

.

a) Se puede tomar las direcciones de los ejes coordenados como las de los tres vectores dados:

4u i=

, 4v j=

, 2w k=

y el vector suma vendrá determinado por las coordenadas ( )4,4,2s u v w= + + =

.

b) + + = + + = = 2 2 24 4 2 36 6u v w .

c) ( ) ( )⋅= = = ⇒ =

⋅

16 2 2cos , , arccos 48º11'23''6 4 3 3

s us u s us u

( ) ( )⋅= = = ⇒ =

⋅

16 2 2cos , , arccos 48º11'23''6 4 3 3

s vs v s vs v

( ) ( )⋅= = = ⇒ =

⋅

4 1 1cos , , arccos 70º31'44''6 2 3 3

s ws w s ws w

72. Halla el valor o los valores de α para que los vectores ( )3, 2,5u = − α

y ( )1, 1,v = − −α


Para que dos vectores no nulos sean perpendiculares es necesario y suficiente que su producto escalar sea nulo:

( ) ( ) 23, 2,5 1, 1, 3 2 5 0 1, 1− α ⋅ − −α = + − α = ⇒ α = α = −

73. Se consideran los vectores de coordenadas ( )1,2, 1a = −

, ( ),1,b x y=

y ( )2, ,0c x y= +

.

a) Calcula los valores de x e y para que el vector a

sea perpendicular al vector b c−

y para que el vector b

sea perpendicular al vector c a−

.

b) Demuestra que, para los valores de x y de y hallados, el vector c

es perpendicular al vector a b−

.

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⋅ − = ⇒ − ⋅ − − − − − = ⇒ ⇒ = = − + =⋅ − = ⇒ ⋅ + −

0 1,2, 1 2,1 , 3 0 3 1,1 2 20 ,1, 1, 2,1

a b c x x y y x yx y

x yb c a x y x y

b) ( ) ⋅ − − = − + = ⇒

1 12,1,0 ,1, 1 1 02 2

c es perpendicular a a b−

.


74. Calcula las coordenadas de todos los vectores que lleven la misma dirección que ( )1,2, 1u = −

y tengan por módulo 15 unidades de longitud. Todos los vectores paralelos a u

son de la forma ( ),2 ,λ λ −λ . Obligando a que su módulo valga 15:

2 2 2 2 2

75 75 75, 150,2 2 2754 15 6 15

2 75 75 75, 150,2 2 2

λ = ⇒ − λ + λ + λ = ⇒ λ = ⇒ λ = ⇒

λ = − ⇒ − −

.

75. Calcula todos los vectores unitarios que sean paralelos al vector (1, 2, 1)u = −

.

Todos los vectores paralelos a u

son de la forma ( ),2 ,λ λ −λ . Obligando a que su módulo valga 1:

λ = ⇒ − λ + λ + λ = ⇒ λ = ⇒ λ = ⇒

λ = − ⇒ − −

2 2 2 2 2

1 1 2 1, ,6 6 3 614 15 6 1

6 1 1 2 1, ,6 6 3 6

76. Calcula el ángulo que forman los vectores:

a) ( )= −

4, 4,7u y ( )= − −

1, 8, 4v

b) = − −

1 1 1, ,2 2 2

u y = −

1 1 1, ,2 3 6

v

c) = − −

1 3, 2,2 5

u y = −

1 1 10, ,3 4 9

v

a) ⋅ + −α = = = ⇒ α = =

⋅ + + ⋅ + +

4 32 28 8 8cos arccos 84º20'81 8116 16 49 1 64 16

u vu v

b) + −⋅

α = = = ⇒ α = =⋅

+ + ⋅ + +

1 1 1 1244 6 12 3cos arccos 51º53'

1 1 1 1 1 1 7 3 74 4 4 4 9 36 24

u vu v

c) + −⋅

α = = = ⇒ α = =⋅

+ + ⋅ + +

1 1 26 2 3cos 0 arccos 0 90º

1 9 1 1 10044 25 9 16 81

u vu v

77. Calcula el valor de k para que los vectores y ( )2, 2,0u = −

y ( )0, ,2v k=


2 2 2 2

2

2 1cos60º 4 32 8 16 32 8 8 3228 4

u v k k k k k ku v k

⋅ −= = = ⇒ − = + ⇒ = + ⇒ = ⇒

⋅ +

( )2 FALSA , 2k k⇒ = = − .

Por tanto, el único valor de k es −2.


78. Calcula las coordenadas del vector proyección de ( )6, 6,17u = −

sobre el vector ( )6,10,15v = −

.

⋅ = − − + = >

36 60 255 159 0u v

Por ser proyvu

de la misma dirección y mismo sentido que v

, será de la forma:

( )proy 6 ,10 ,15vu = − λ λ λ

para algún λ positivo. Obligando a que el módulo de proyvu

valga:

⋅= =

+ +

159 1591936 100 225

u vv

, se obtiene el valor de λ :

= λ + λ + λ = ⇒ λ = ⇒ λ =

2 2 2 159 159 159proy 36 100 225 1919 19 361vu

El vector proyección buscado es = −

954 1590 2385proy , ,361 361 361vu .

79. Calcula las coordenadas del vector proyección de ( )4,4,7u = −

sobre el vector ( )1,2, 2v = −

.

4 8 14 10 0u v⋅ = − + − = − <

Por ser proyvu

de la misma dirección y diferente sentido que v


( )proy ,2 , 2vu = λ λ − λ

para algún λ negativo.

Obligando a que el módulo de proyvu

valga 103

u vv⋅

=


2 2 2 10 10 10proy 4 4 3

3 3 9vu = λ + λ + λ = ⇒ λ = − ⇒ λ = −

El vector proyección buscado es 10 20 20proy , ,9 9 9vu = − −

.

80. Dos vectores u

y v

verifican que 15u =

, 12v =

y 25u v− =

.

a) Calcula el producto escalar u v⋅

¿De qué tipo es el ángulo que forman u

y v

?

b) Calcula el ángulo que forman u

y v

.

c) Calcula el ángulo que forma u v−

con el vector v

.

a) + − − + −

⋅ = = = −

2 2 2225 144 625 128

2 2u v u v

u v

Al ser el producto escalar negativo, los vectores u

y v

formar un ángulo obtuso.

b) ( ) ( ) ( )⋅ −= = − ⇒ −

⋅ ⋅

128cos , 0,7111 , arccos 0,7111 135º 20'15 12

u vu v u vu v

c) ( ) ( )( ) ( )

− ⋅ ⋅ −− = = − ⇒ − − =

− ⋅ ⋅

2

cos , 0,9067 , arccos 0,9067 155º3'25 12

u v v u v vu v v u v v

u v v


81. Los módulos de dos vectores valen 40 y 30 unidades de longitud, respectivamente. El módulo de la suma de dichos vectores es 50 unidades de longitud. Calcula el ángulo que forman los vectores suma y diferencia de los dos considerados.

2 2 2 2 2 250 40 30 02 2

u v u vu v

+ − − − −⋅ = = =

2 2 2

2 2 2 20 50 502


+ − −⋅ = = ⇒ − = + = ⇒ − =

( ) ( ) 2 2 2 240 30 700u v u v u v+ ⋅ − = − = − =

( ) ( ) ( )( ) ( )700cos , 0,28 , arccos 0,28 73º 44'

50 50u v u v

u v u v u v u vu v u v+ ⋅ −

+ − = = = ⇒ + − =+ ⋅ − ⋅

82. En física, se define el trabajo de una fuerza constante sobre una partícula como el producto escalar de dicha fuerza por el vector desplazamiento de dicha partícula. Con esta información, calcula qué trabajo ha ejercido una fuerza, ( )2, 3,4F = −

(N) sobre una partícula que se ha movido entre los puntos ( )1,0, 3A − y ( )2,2,2B (m).

Vector desplazamiento: ( ) ( ) ( )= − − =

2,2,2 1,0, 3 1,2,5AB

Por tanto, el trabajo de la fuerza F

sobre la partícula es: ( ) ( )2, 3,4 1,2,5 2 6 20 16F AB⋅ = − ⋅ = − + =

J.

Producto vectorial de vectores

83. Calcula el producto vectorial de los vectores 2 3 2u i j k= + −

y 4 3 5v i j k= − + −

.

( )2 3 2 9 18 18 9,18,184 3 5

i j ku v i j k u v× = − = − + + ⇒ × == −

− −

84. Expresa los vectores MN

y PQ

como combinación lineal de los vectores de la base canónica { }, ,i j k

y

calcula su producto escalar y su producto vectorial.

2 2MN i k= +

PQ i j= +

( ) ( )2,0,2 1,1,0 2MN PQ⋅ = ⋅ =

2 0 2 2 2 21 1 0

i j kMN PQ i j k× = = − + +


85. a) Calcula el producto vectorial u v×

de los vectores ( )0, 2,4u = −

y ( )1,3,3v = −

.

b) Calcula el módulo de u v×

.

c) Calcula el seno del ángulo que forman u

y v

.

a) × = − = − − −−

0 2 4 18 4 21 3 3

i j ku v i j k

b) × = + + =

324 16 4 344u v

c) ×

α = = = =⋅ + ⋅ + +

344 344 86sen380 954 16 1 9 9

u vu v

86. Calcula el producto vectorial de los vectores u

y v y demuestra que el vector resultado es perpendicular

a los dos dados:

a) ( )= −

1, 3,5u y ( )= − −

3, 2,4v

b) = − −

1 1 1, ,2 2 2

u y = −

1 1 1, ,2 3 6

v

a) ( )× = − = − − − ⇒ × = − − −− −

1 3 5 2 19 11 2, 19, 113 2 4

i j ku v i j k u v

( ) 2 57 55 0u v u u v u× ⋅ = − + − = ⇒ × ⊥

( ) 6 38 44 0u v v u v v× ⋅ = + − = ⇒ × ⊥

b) × = − − = − − + ⇒ × = − −

−

1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,2 2 2 4 3 12 4 3 121 1 12 3 6

i j k

u v i j k u v

( ) 1 1 1 0

8 6 24u v u u v u× ⋅ = − + − = ⇒ × ⊥

( ) 1 1 1

8 9 72u v v u v v× ⋅ = − + + ⇒ × ⊥


y ( )2,1,0v = −

:

a) Demuestra que u

y v

son perpendiculares.

b) Escribe, con ayuda de parámetros, todos los vectores x

tales que verifiquen que u x v× =

.

c) ¿Qué hubiera ocurrido si u

y v

no hubieran sido perpendiculares?

a) ( ) ( )1,2, 1 2,1,0 2 2 0u v u⋅ = − ⋅ − = − + = ⇒

y v


b) ( ) ( ) ( ) ( )+ = −

= ⇒ × = − = + − + + − = − + ⇒ + = − ⇒ − =

2 2, , 1 2 1 2 2 2 1

2 0

c bi j kx a b c u x c b i a c j b a k i j a c

a b c b a

( )1 , 2 2 , 1 , 2 2 ,a b c x⇒ = − − λ = − − λ = λ ⇒ = − − λ − − λ λ

c) No habría ninguna solución, ya que el producto vectorial de dos vectores es perpendicular a cada uno de ellos.


Aplicaciones del producto vectorial 88. Calcula las coordenadas de un vector que sea perpendicular a los vectores ( )1,2,3u = −

y ( )0, 1,2v = −

y tal

que su módulo mida 9 6 unidades de longitud. ¿Cuántos vectores de estas características existen?

1 2 3 7 20 1 2

i j ku v i j k× = − = + + ⇒

−

Todos los vectores ortogonales a u

y a v

son de la forma ( )7 ,2 ,λ λ λ .

Como el módulo debe ser 9 6 , entonces: 2 2 2 249 4 54 486 3λ + λ + λ = λ = ⇒ λ = o 3λ = − .

Existen dos vectores con las características requeridas: ( )21,6,3 y ( )21, 6, 3− − − .

89. Calcula todos los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores 2 3 2u i j k= + −

y

4 3 5v i j k= − + −

.

2 3 2 9 18 184 3 5

i j ku v i j k× = − = − + +

− −

El vector ( )−9,18,18 tiene la misma dirección que el vector ( )−1,2,2 .

Todos los vectores ortogonales a u

y a v

son de la forma ( ),2 ,2−λ λ λ .

Como el módulo debe ser 1, entonces: λ + λ + λ = λ = ⇒ λ =2 2 2 2 14 4 9 13

o λ = −13

Existen dos vectores con las características requeridas: 1 2 2, ,3 3 3

−

y 1 2 2, ,3 3 3

− −

90. Calcula el área del paralelogramo determinado por los vectores:

a) ( )= −

1, 1,0u y ( )= −

0,1, 1v

b) ( )= −

1, 2, 2u y ( )= −

2,1, 1v

c) = −

1 3, 1,2 4

u y =

12, ,12

v

a) × = − = + +−

1 1 00 1 1

i j ku v i j k 1 1 1 3A u v= × = + + =

u2

b) ( ) ( )× = − = − + + +−

1 2 2 2 2 3 1 2 22 1 1

i j ku v i j k ( ) ( )2 222 2 3 1 2 2 24A u v= × = − + + + =

u2

c) × = − = − + +

1 3 11 912 4 8 4

12 12

i j k

u v i j k 121 81 509164 16 8

A u v= × = + + =

u2


91. Calcula el área del triángulo determinado por los vectores ( )2, 1,3u = −

y ( )4,4, 10v = −

.

× = − = − + +−

2 1 3 2 32 124 4 10

i j ku v i j k 1 1 4 1024 144 293

2 2A u v= × = + + =

u2

92. Calcula los posibles valores de a para que el área del paralelogramo determinado por los vectores ( )2, , 3u a= −

y ( )4, 1,5v = −

valga 633 u2.

( ) ( )2 3 5 3 22 2 44 1 5

i j ku v a a i j a k× = − = − − − +

−

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 25 3 22 2 4 633 5 3 484 2 4 633 41 14 136 0a a a a a a− + + + = ⇒ − + + + = ⇒ − − = ⇒

14 150 682,82 41

a a a±⇒ = ⇒ = = −

93. La fuerza de Lorenz es la fuerza que sufre una partícula con carga eléctrica q cuando se mueve con una velocidad u

dentro de un campo magnético B

y viene dada por la expresión F qv B= ×

. Un protón cuya

carga es de 1,6·10−19 C, entra un campo magnético uniforme ( )1,2,3B = −

(T). Determina el valor de la fuerza sobre el protón en el instante en que su velocidad es:

a) ( )=

3,1,5v (ms−1)

b) ( )=

2,1,0v (ms−1)

c)

v paralela a

B y con un valor de 5 ms−1.

a) ( ) ( ) ( )− −= ⋅ × − = − −

19 201,6 10 3,1,5 1,2,3 10 112, 224,112 (J)F

b) ( ) ( ) ( )− −= ⋅ × − = −

19 201,6 10 2,1,0 1,2,3 10 48, 96,80 (J)F

c) Como v

es paralela a B

, entonces qv

también es paralelo a B

, luego × =

0qv B . Por tanto, =

0F .

Producto mixto de vectores

94. Calcula el producto mixto de los vectores u

, v

y w

.

a) ( )= −

2,4, 5u , ( )= − −

2, 2,5v , ( )= −

2,4,6w

b) = −

1 1 1, ,2 2 2

u , = − −

1 1, , 12 4

v , = −

1 1, ,02 4

w

a) [ ]−

= − − = − + − + − + =−

2 4 5, , 2 2 5 24 40 40 20 40 48 4

2 4 6u v w

b) [ ]

−

= − − = − + + + =

−

1 1 12 2 21 1 1 1 1 1 3, , 12 4 16 4 16 8 81 1 02 4

u v w


95. Calcula el producto mixto de los vectores 3 4u i j k= − + −

, 10 3 2v i j k= − + −

y 4 2 4w i j k= − + −

.

[ ]− −

= − − = + + − − − = −− −

1 3 4, , 10 3 2 12 80 24 48 4 120 56

4 2 4u v w


, ( )2, 2,1v = − −

y ( )1, 2, 3w = − −

, comprueba que se verifica la igualdad

, , , ,u v w v w u=

.

2 1 1

, , 2 2 1 12 4 1 2 4 6 51 2 3

u v w−

= − − = − + − + − = − −

2 2 1, , 1 2 3 4 1 12 4 6 2 5

2 1 1v w u

− −= − − = − + + + − − =

−

Aplicaciones del producto mixto

97. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores:

a) ( )= −

0,2, 2u , ( )= − −

3,0, 1v , ( )= −

3, 8,0w

b) ( )=

2,0,0u , ( )= − −

2, 12,24v , ( )= − −

10, 22, 36w

a) [ ]−

= = − − = − − =−

P

0 2 2, , 3 0 1 48 6 54

3 8 0V u v w u3.

b) [ ]= = − − = =− −

P

2 0 0, , 2 12 24 1920 1920

10 22 36V u v w u3.

98. Dada la figura:

a) Calcula las coordenadas de los vectores u

, v

y w

.

b) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores.

a) ( )=

1,0,3u , ( )=

0,5,3v y ( )=

1,5,0w

b) [ ] [ ]= = − − = − ⇒ = = − =

1 0 3, , 0 5 3 15 15 30 , , 30 30

1 5 0u v w V u v w u3.


99. Calcula los valores de a para que el volumen del paralelepípedo formado por los vectores 5u i aj k= + +

,

8 9v i j k= + −

y 3w ai j= − +

valga 173 unidades cúbicas.

2 2 21 5 5 31 13, , 8 1 9 120 9 5 27 9 5 147 173 9 5 26 0 , 2

18 93 0

au v w a a a a a a a a a

a

− ±= − = + + + = + + = ⇒ + − = ⇒ = ⇒ = = − −

Síntesis

100. Se considera el vector de coordenadas ( )1,1,1u = −

.

a) Escribe, con ayuda de los parámetros necesarios, la expresión de todos los vectores ortogonales a u

.

b) Descompón el vector ( )3 0,3a = − −

como suma de dos vectores, uno de los cuales sea paralelo a u

y el otro

ortogonal a u

.

a) Los vectores serán de la forma ( ), ,α λ µ pero debe verificarse que su producto escalar sea nulo:

( ) ( )1,1,1 , , 0 0− ⋅ α λ µ = ⇒ −α + λ + µ = ⇒ α = λ + µ

Los vectores pedidos son de la forma ( ), ,λ + µ λ µ .

b) ( ) ( ) ( )− + λ +µ = −− = − + λ +µ λ µ ⇒ + λ = ⇒ − − + − = − + µ =

33,0,3 , , , , 0 3 3

3

xx x x x x x x

x

( ) ( ) ( )2, 2, 1 3,0,3 2,2,2 1, 2,1x⇒ = λ = − µ = ⇒ − = − + − −

101. Dados los vectores ( )2,1, 3u = − −

, ( )2, 2, 1v = − −

y ( )1,2,0w = −

:

a) Calcula el producto escalar ⋅

2 3u v .

b) Calcula el producto vectorial 2 2u w×

.

c) Calcula el producto mixto , ,u v w

.

a) ( ) ( )⋅ = − − ⋅ − − = − − + = −

2 3 4,2, 6 6, 6, 3 24 12 18 18u v

b) × = − − = + −−

2 2 4 2 6 24 12 122 4 0

i j ku w i j k

c) [ ]− −

= − − = −−

2 1 3, , 2 2 1 9

1 2 0u v w



, ( )3, 2,3v = −

y ( )1,1,3w = −

, calcula:

a) El área del paralelogramo determinado por u

y v

.

b) El volumen del paralelepípedo determinado por u

, v

y w

.

c) La medida de la altura del paralelepípedo sobre la cara determinada por u

y v

.

a) ( )× = − = − − + ⇒ × = − −−

1 1 0 3 3 3, 3,13 2 3

i j ku v i j k u v ( ) ( )2 2 23 3 1 19 4,36A u v= × = − + − + =

u2.

b) [ ]−

= − =−

1 1 0, , 3 2 3 3

1 1 3u v w P , , 3V u v w= =

u3.

c) = =P 319

VhA

u.

103. Calcula:

a) El valor de x para que los vectores ( )1, ,0u x=

y ( )3,2, 8v x= + −

sean ortogonales y, para ese valor hallado, calcula el área del paralelogramo determinado por los dos vectores.

b) Todos los valores de y que hacen que los vectores ortogonales del apartado anterior junto con el vector ( ), 1, 1w y y= − +

determinen un paralelepípedo de 20 unidades cúbicas de volumen.

a) Dos vectores no nulos son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo. Entonces:

( ) ( )0 3 2 0 1 1, 1,0 , 2,2, 8u v x x x u v⋅ = ⇔ + + = ⇒ = − ⇒ = − = −

= × = − = + + = + + =−

1 1 0 8 8 4 64 64 16 122 2 8

i j kA u v i j k u2

b) [ ] − = ≥ ⇒ =− = − = − ⇒ − = ⇒

− + − = < ⇒ = −

112 4 20 si 21 1 0 3, , 2 2 8 12 4 12 4 201 41 1 4 12 20 si3 3

y y yu v w y y

y y y y y

CUESTIONES

104. Se consideran u

y v

vectores de V3 no nulos, no iguales y no opuestos. Demuestra que se verifica la siguiente propiedad.

u v u v= ⇔ +

y u v−


⇒) ( ) ( )+ ⋅ − = − ⋅ + ⋅ − = ⇒ + ⊥ − 2 2 0u v u v u u v u v v u v u v

)⇐ Como u v u v+ ⊥ −

entonces ( ) ( ) 0u v u v+ ⋅ − =

. Por tanto:

2 2 2 20u u v u v v u v u v− ⋅ + ⋅ − = ⇒ = ⇒ =


105. Se consideran u

y v

vectores de V3 no nulos, no iguales y no opuestos. Demuestra que se verifica la siguiente propiedad.

u v u v u+ = − ⇔

y v


Por el ejercicio 104 sabemos que dos vectores tienen el mismo módulo si y solo si su suma y su diferencia son perpendiculares.

Considerando los vectores = +

a u v y = −

b u v , entonces, a b a b a b= ⇔ + ⊥ −

.

Por tanto:

( ) 2 2u v u v u v u v u v u v u v u v+ = − ⇔ + + − ⊥ + − − ⇔ ⊥ ⇔ ⊥

106. Dado el vector 1 2 3u u i u j u k= + +

:

a) Demuestra que uu

es un vector unitario.

b) Calcula los cosenos de los ángulos que forma u

con los vectores i

, j

y k

de la base canónica.

a) = =

1

uuu u

b) ( )=

1 2 3, ,u u u u ( )=

1,0,0i ( )=

0,1,0j ( )=

0,0,1k

( ) ⋅= = =

⋅

1 1cos ,1

u uu iu iu uu i

( ) ⋅= = =

⋅

2 2cos ,1

u uu ju ju uu j

( ) ⋅= = =

⋅

3 3cos ,1

u uu ku ku uu k


107. Indica, razonadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si u

, v

y w

son tres vectores no nulos de V3 tales que u

y v

son linealmente dependientes, entonces u

, v

y w

también son linealmente dependientes.

b) Si u

, v

y w

son tres vectores no nulos de V3 tales que u

y v

son linealmente independientes y v

y w

son linealmente independientes, entonces u

, v

y w

también son linealmente independientes.

c) + = +

u v u v

d) Si ⋅ = ⋅

u v u w y ≠ ⇒ =

0u v w

e) Si × = ×

u v u w y ≠ ⇒ =

0u v w

a) Verdadero.

u

y v

son linealmente dependientes 0 ,u v u v w u v⇒ = λ ⇒ = λ + ⇒

y w

son linealmente dependientes.

b) Falso.

Por ejemplo, ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0 , 1,1,0u v w= = =

c) Falso.

Por ejemplo, si ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0u v= =

, entonces, ( )1,1,0 , 2, 2u v u v u v+ = + = + =

d) Falso.

Por ejemplo, si ( ) ( ) ( )1,1,0 , 1,0,0 , 0,1,0u v w= = =

, entonces 1u v u w⋅ = ⋅ =

y v w≠

e) Falso.

Por ejemplo, si ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0 , 1,1,0u v w= = =

, entonces:

× = =

1 0 00 1 0

i j ku v k , × = =

1 0 01 1 0

i j ku w k , v w≠


PROBLEMAS

108. Un avión viaja en dirección Este−Oeste partiendo del punto A y con una velocidad de 800 km/h.

a) Calcula la velocidad verdadera si en ese momento hay un viento de 100 km/h que sopla en dirección Norte−Sur. Determina dicha velocidad verdadera dando su módulo y el ángulo que forma con la dirección Este−Oeste.

b) Calcula la velocidad verdadera si en ese momento hay un viento de 100 km/h que sopla del Noreste al Sudoeste (La dirección del viento forma 45º con el Oeste y 45º con el Sur)

a)

La velocidad del avión es 800v = km/h.

La velocidad del viento es 100sv = km/h.

El módulo de la velocidad verdadera será:

2 2800 100 100 65 806,225rv = + = = km/h

La velocidad verdadera formará un ángulo α con la dirección Este−Oeste:

800 8 8cos arccos 7º8 '100 65 65 65

α = = ⇒ α =

b)

La velocidad del avión es 800v = km/h.

La velocidad del viento es 100sv = km/h.


= + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =2 2 2800 100 2 800 100 cos135º 763137,085 873,577r rv v km/h

La velocidad verdadera formará un ángulo α con la dirección Este−Oeste:

100 873,577 sen 0,081 4º39'sen sen135º

= ⇒ α = ⇒ α =α


109. Un barco se dirige hacia el este con una velocidad propia de 12 km/h en un momento en que la corriente es de 3 km/h en dirección al SW. Encuentra la velocidad verdadera del barco. La velocidad propia del barco es 12v = km/h.

La velocidad de la corriente es 3v = km/h.


= + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =2 2 212 3 2 12 3 cos45º 102,088 10,104r rv v km/h

La velocidad verdadera formará un ángulo α con la dirección W−E:

= ⇒ α = ⇒ α =α

3 10,104 sen 0,21 12º7'sen sen45º

110. Dos remolcadores arrastran hacia el puerto un petrolero según el esquema de la figura. Si cada uno tira del barco remolcado con una fuerza de 105 N, calcula el ángulo que forman los dos cables entre sí sabiendo que la resultante tiene un valor de 1,5⋅105 N. Llamando α al ángulo formado por la resultante y uno de los dos remolcadores, y utilizando el teorema del coseno, se obtiene:

10 10 10 5 510 10 1,5 10 2 10 1,5 10 cos= + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ α

Operando resulta:

cos 0,75 41º 24'α = ⇒ α =

Multiplicando por 2 se obtiene el ángulo entre los dos remolcadores: 82º 48 '

111. Se considera el octaedro regular ABCDEF de la figura y la base de V3 formada por { }, ,BC BE BA

a) Indica los ángulos que forman los vectores de la base.

b) Escribe los vectores BD

, AD

y AF

en función de los vectores de la base.

c) Calculando el producto escalar AF BD⋅

demuestra que las rectas AF y BD son perpendiculares. Recuerda que un octaedro regular está formado por ocho triángulos equiláteros.

a) ( ) =

, 90ºBC BE ( ) =

, 60ºBC BA ( ) =

, 60ºBE BA

b) = +

BD BC BE

AD AB BD BA BC BE BC BE BA= + = − + + = + −

= + = + = − + + − = + −

2AF AB BF AB AD BA BC BE BA BC BE BA

c) Suponiendo que los lados del octaedro miden todos a unidades de longitud.

( ) ( )2 2 2AF BD BC BE BA BC BE BC BC BC BE BE BC BE BE BA BC BA BE⋅ = + − ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =

2 2 2 2 2 2 2 210 0 2 cos60 2 cos60º 2 4 2 2 0

2a a a a a a a a= + + + − − = − ⋅ = − =


PARA PROFUNDIZAR 112. Las coordenadas del vector a

respecto de la base de V3 { }, ,u v w

son ( )8,4,1a =

.Halla las coordenadas de

a

respecto de la base canónica si 2 3u i j k= + −

, 2v i j k= − + −

y 2 2w i j k= + +

.

( ) ( ) ( )8 4 8 2 3 4 2 2 2a u v w i j k i j k i j k= + + = + − + − + − + + + =

= + − − + − + + + = + −

16 24 8 4 8 4 2 2 14 34 11i j k i j k i j k i j k

113. Las coordenadas del vector a

respecto de la base de V3 { }1 2 3,u u u

son ( )10, 8,3a = −

. Halla las

coordenadas de a

respecto de la base { }1 2 3, ,v v v

si 1 1 2 33 2v u u u= − +

, 2 1 2 32 2v u u u= + −

y

3 1 2 32 3v u u u= − +

.

Se supone que = − + = + +

1 2 3 1 2 310 8 3a u u u xv yv zv .

Entonces:

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 310 8 3 3 2 2 2 2 3u u u xv yv zv x u u u y u u u z u u u− + = + + = − + + + − + − + =

( ) ( ) ( )1 2 32 3 2 2 2 3x y z u x y z u x y z u= + + + − + − + − +

Por tanto, se resuelve el sistema:

2 103 2 8

2 2 3 3

x y zx y z

x y z

+ + =− + − = − − + =

2 1 2 3 2 3

3 1 3

3 6 72

1 2 1 10 1 2 1 10 1 2 1 103 1 2 8 0 7 1 22 0 7 1 222 2 3 3 0 6 1 17 0 0 13 13

F F F F F FF F F

→ + → +→− +

− − − → → − − −

El sistema es compatible determinado con solución única:

= = =3, 3, 1x y z .

Por tanto:

= + +

1 2 33 3a v v v .


114. a) Demuestra que:

( )⋅ + × = ⋅ 2 2 2 2u v u v u v

b) Calcula los módulos de los vectores u

y v

sabiendo que son iguales y que sus productos escalar y vectorial valen:

208u v⋅ = −

( )85, 6,10u v× = − −

a) Sea α el ángulo que forman los vectores u

y v

, entonces:

( ) ( ) ( )⋅ + × = ⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α = 2 22 2 2 2 2 22 2cos sen cos senu v u v u v u v u v u v

( )= ⋅ α + α = ⋅ 2 2 2 22 2cos senu v u v

b) ( ) ( ) ( ) ( )( )⋅ + × = ⋅ ⇒ ⋅ = − + − + − + = ⇒

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2208 85 6 10 50 625u v u v u v u u

⇒ = ⇒ = = = 4 450 625 50 625 15u u v

115. Se consideran los vectores de V3:

( )1,0,0u u=

( )1 2, ,0v v v=

( )1 2 3, ,w w w w=

a) Calcula ( )× ×

u v w .

b) Calcula ( ) ( )⋅ − ⋅

u w v u v w .

c) Calcula el valor de ( )u v w× ×

si ( )= −

1, 2,3u , ( )1,4, 2v = − −

y ( )3,3, 1w = − −

.

a) ( )× = = − + −

1 2 2 3 1 3 1 2 2 1

1 2 3

0i j k

v w v v v w i v w j v w v w kw w w

( ) ( )× × = = − + −− −

1 1 1 2 1 2 1 1 1 3

2 3 1 3 1 2 2 1

0 0i j k

u v w u u v w u v w j u v w kv w v w v w v w

b) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ − ⋅ = − = + − + + =

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3u w v u v w u w v u v w u w v i v j u v w i w j w k

( ) ( ) ( )= − + − − = − −

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 1 3u w v u v w i u w v u v w j u v w k u w v u v w j u v w k

Se deduce que ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅

u v w u w v u v w .

c) ( )= −

1, 2,3u , ( )= − −

1,4, 2v y ( )= − −

3,3, 1w .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 3 1 8 6 12 1,4, 2 15 3,3, 1 33, 3,9u v w u w v u v w v w× × = ⋅ − ⋅ = − − − − − − − = − − − + − − = − −


AUTOEVALUACIÓN


1. En el tetraedro ABCD de la figura se consideran los vectores u AB=

v AC=

y w AD=

que forman una base del espacio V3. Escribe, en función de los vectores u

, v

y w

el vector BM

donde M es el punto medio del segmento de extremos D y C.

DC DA AC AC AD v w= + = − = −

( )1 1 1 12 2 2 2

AM AD DM AD DC w v w v w= + = + = + − = +

1 12 2

BM BA AM AB AM u v w= + = − + = − + +

2. Dados los vectores ( )1, 1,0 ,u = −

( )2, 1, 2v = − −

y ( )0, 3,3w = −

:

a) Prueba que son linealmente independientes. ¿Forman base de V3?

b) Escribe ( )8,7, 18a = −


, v

y w

. ¿Cuáles son las coordenadas de a

respecto de

u

, v

y w

?

a) Tres vectores son linealmente independientes si el determinante formado por ellos no es nulo:

−− − = − − + = − ≠−

1 1 02 1 2 3 6 6 3 00 3 3

Los vectores u

, v

y w

sí forman una base de V3.

b) ( ) ( ) ( )λ + λ == λ − + λ − − + λ − ⇒ −λ − λ − λ =− λ + λ = −

1 2

1 2 3 1 2 3

2 3

2 81, 1,0 2, 1, 2 0, 3,3 3 7

2 3 18a

2 1 2 3 2 32

1 2 0 8 1 2 0 8 1 2 0 81 1 3 7 0 1 3 15 0 1 3 15

0 2 3 18 0 2 3 18 0 0 3 12F F F F F F→ + → +

− − − → − → − − − − − −

El sistema es compatible determinado con solución única 1 2 32, 3, 4λ = λ = λ = − .

Por tanto:

= + −

2 3 4a u v w .


respecto de la base { }, ,B u v w=

serán ( )2,3, 4− .



, ( )2, 3, 1v = − −

y ( )6, 7, 1w = − −

.

a) Prueba que son linealmente dependientes. ¿Son base de V3?

b) Escribe w


y v

.

a) Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante formado por ellos es nulo:

1 1 02 3 1 3 6 7 2 06 7 1

−− − = + − − =− −

. Los vectores u

, v

y w

no forman una base de V3.

b) ( ) ( ) ( )λ + λ =− − = λ − + λ − − ⇒ −λ − λ = −−λ = −

1 2

1 2 1 2

2

2 66, 7, 1 1, 1,0 2, 3, 1 3 7

1

El sistema es compatible determinado con solución única: λ = λ =1 24, 1

Por tanto: = +

4w u v .

4. Calcula los valores de a para que los vectores ( ), ,5u a a=

y ( )7,1,v a a= +


Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo:

( ) ( )2 27 5 7 6 13 13u v a a a a a a a a a a a⋅ = + + + = + + = + = +

( )0 13 0 0, 13u v a a a a⋅ = ⇒ + = ⇒ = = −

5. Dados los vectores 2 3u i j k= − + −

, 2 2 2v i j k= − + +

y 3 4 5w i j k= + −

:

a) Calcula el producto escalar ( ) ( )2 3 3u v v w+ ⋅ −

.

b) Calcula el producto vectorial ( )3 2u w× −

.

c) Calcula el producto mixto , ,u v w

.

( )= − −

2,1, 3u ( )= −

2,2,2v ( )= −

3,4, 5w

a) ( ) ( ) ( ) ( )+ ⋅ − = − ⋅ − = + =

2 3 3 10,8,0 9,2,11 90 16 106u v v w

b) ( )× − = − − = − + +− −

3 2 6 3 9 42 114 666 8 10

i j ku w i j k

c) [ ]− −

= − = + + + + − =−

2 1 3, , 2 2 2 20 24 6 18 16 10 74

3 4 5u v w


6. Dados los vectores 4 5u i k= −

, 4 3v i j= − +

y 2 3 5w i j k= − − +

, calcula:

a) La medida de la proyección de u

sobre v

.

b) El área del paralelogramo determinado por u

y v

.

c) El volumen del paralelepípedo determinado por u

, v

y w

.

( )= −

4,0, 5u ( )= −

4,3,0v ( )= − −

2, 3,5w

a) ⋅

= = =+

16 16proy516 9v

u vu

v

b) × = − = + +−

4 0 5 15 20 124 3 0

i j ku v i j k

= × = + + = 2 2 215 20 12 769A u v u2

c) [ ]−

= = − = − − =− −

P

4 0 5, , 4 3 0 60 60 30 30

2 3 5V u v w u3.

7. Halla las coordenadas de todos los vectores paralelos a ( )6, 6, 7u = − −

y que tengan módulo igual a 33 unidades de longitud. Todos los vectores paralelos a u

son de la forma ( )6 , 6 , 7λ − λ − λ .

Obligando a que su módulo valga 33 se tiene:

2 2 2 2 236 36 49 33 121 33 9λ + λ + λ = ⇒ λ = ⇒ λ =

Si λ = 3 , entonces ( )18, 18, 21− − .

Si λ = −3 , entonces ( )18,18,21− .



y ( )8,9, 12v = − −

, calcula:

a) El ángulo que forman.

b) Un vector unitario y perpendicular a ambos.

c) Las coordenadas del vector proyección de u

sobre v

.

a) ( ) ( )⋅ − − − −= = = = − ⇒ =

⋅ + + + +

8 108 144 260cos , 0,8997 , 154º7'2891 144 144 64 81 144

u vu v u vu v

b) 1 12 12 36 84 878 9 12

i j ku v i j k× = − = − −

− −

, es decir, todos los vectores ortogonales a u

y a v

son de la

forma:

( )36 , 84 , 87λ − λ − λ . Como el módulo debe ser 1, entonces: 2 2 2 2 2 2 236 84 87 15921 1λ + λ + λ = λ = . Luego:

λ =1

15921 o λ = −

115921

Por tanto, existen dos vectores:

− −

36 84 87, ,15921 15921 15921

y −

36 84 87, ,15921 15921 15921

c) ⋅ = − − − = − <

8 108 144 260 0u v

Por ser proyvu

de la misma dirección y diferente sentido que v


( )proy 8 ,9 , 12vu = − λ λ − λ

para algún λ negativo.

Obligando a que el módulo de proyvu

valga 260 2601764 81 144

u vv⋅

= =+ +


2 2 2 260 260 260proy 64 81 144 17

17 17 289vu = λ + λ + λ = ⇒ λ = − ⇒ λ = −

El vector proyección buscado es 2080 2340 3120proy , ,289 289 289vu = −

.

Relaciona y contesta Elige la única respuesta correcta en cada caso

1. Si u

, v

y w

son tres vectores no nulos:

A. El vector ( )u v w× ×

se puede escribir como combinación lineal de u

y de v

.

B. El vector ( )u v w× ×

se puede escribir como combinación lineal de u

y de w

.

C. El vector ( )u v w× ×

se puede escribir como combinación lineal de v

y de w

. D. Nada de lo anterior es verdad. La respuesta correcta es la C porque el vector ( )u v w× ×

es perpendicular a v w×

que, a su vez, es perpendicular

a v

y a w

a la vez.

Por tanto, el vector ( )u v w× ×

es combinación lineal de v

y w

.


2. En el paralelepípedo de la figura el producto escalar GM JK⋅

vale:

A. 0 B. 25 C. 61 D. 72 La respuesta correcta es B.

= + + + = − − + + = − − 2 1

3 3GM GB BO OA AM OC OB OA OC OA OB OC

= + + + = − + + + = + + 1 3 1

4 4 2JK JO OA AE EK OB OA OC OB OA OB OC

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = 1 1 1 1 1

2 2 3 6 3GM JK OA OA OA OB OA OC OB OA OB OB OB OC OC OA OC OB OC OC

= − − = − ⋅ − ⋅ = − − = 2 2 2 2 2 21 1 1 16 4 3 36 8 3 25

2 3 2 3OA OB OC

3. Se sabe que u v w× =

y que u

, v

y w

no son nulos:

A. Los vectores u

y v


B. Los vectores u

y w


C. Los vectores u v×

y v u− ×

tienen diferente sentido.

D. Los vectores u v×

y v u×

tienen el mismo sentido. La respuesta correcta es B. porque la dirección de w u v= ×

es perpendicular a los dos vectores u

y v

. En particular es perpendicular al vector u

.


4. Se consideran los vectores 1 2, 1,22

u

= − −

y 2 1, 1,2 2

v

= − − −

:

A. Los vectores tienen el mismo módulo. B. Son ortogonales. C. Forman un ángulo de 60º. D. Llevan la misma dirección. Las respuestas correctas son A. y C.

= + + = 1 21 2

2 4u , = + + =

2 11 24 2

v , es decir, los vectores tienen el mismo módulo.

( ) 1 1, arccos arccos 60º22 2

u v = = =⋅

, es decir, forman un ángulo de 60º.


5. Sabiendo que , , 0u v w =

, se puede afirmar con seguridad que:

A. Por lo menos uno de los vectores u

, v

y w

tiene módulo cero. B. Los vectores son linealmente dependientes.

C. El vector w

se puede escribir como combinación lineal de los vectores u

y v

.

D. Por lo menos dos de los vectores u

, v

y w

llevan la misma dirección La respuesta correcta es B.


6. Se quiere calcular el ángulo que forman los vectores u

y v

. Para ello se dan los siguientes datos:

1. 314u v+ =

2. 154u v− =

3. 5v u=

4. 40u v⋅ =

A. Puede eliminarse el dato 1. B. No puede eliminarse el dato 2. C. Pueden eliminarse los datos 1 y 2 a la vez. D. Todos los datos son necesarios La respuesta correcta es A., es decir, se puede eliminar el dato 1.primer dato:

− = = ⋅ =

154, 5 , 40u v v u u v

2 2 2 226 15440 9 3, 5 3 15

2 2u v u v u

u v u v+ − − −

⋅ = ⇒ = ⇒ = = = ⋅ =

168 Unidad 11| Planos y rectas en el espacio

11 Rectas y planos en el espacio



4. Indica qué tipo de elemento geométrico (curva, recta, plano o superficie) representan, en cada caso, las siguientes ecuaciones. Indica su dimensión y calcula las coordenadas de uno de sus puntos.

a) =

= =

2

0

x ty tz

b) 2

1x sy sz s

= + = − =

c) x t sy tz s

= + = =

a) La dimensión es 1 y no es lineal, por lo que es una curva. Si ( )0 0,0,0t O= ⇒ .

b) La dimensión es 1 y es lineal, por lo que es una recta. Si ( )0 2, 1,0s P= ⇒ − .

c) La dimensión es 2 y es lineal, por lo que es un plano. Si ( )= = − ⇒ −1, 1 0,1, 1t s Q .

5. Representa los puntos del espacio de tres dimensiones ( )2,2,3A y ( )1,2,1B − tomando{ }, , ,O i j k

como

referencia.

6. En el cubo de la figura se toma la referencia { }; , ,A AB AD AE

.

Calcula las coordenadas de los puntos F, G, C, M y N.

( )1,0,1AF AB AE F= + ⇒

( )1,1,1AG AC CG AB BC CG AB AD AE G= + + + + = + + ⇒

( )1,1,0AC AB BC AB AD C= + = + ⇒

= + = + = + + ⇒

1 1 11,1,2 2 2

AM AC CM AC CG AB BC AE M

= + = + − = + + − = + + ⇒

1 1 1 1 1 1 1 11, ,2 2 2 2 2 2 2 2

AN AM MN AC CG AD AB AD AE AD AB AD AE N

Planos y rectas en el espacio | Unidad 11 169


9. Las coordenadas de un vector son ( )4,0, 2− y las de su origen ( )3,2, 1− − . Calcula las coordenadas de su extremo.

( )4,0, 2AB = −

, ( )3,2, 1A − − y ( )1 2 3, ,B b b b . Teniendo en cuenta que AB OB OA= −

, se tiene que:

( )1 1

2 2

3 3

3 4 12 0 2 1,2,, 31 2 3

b bb b Bb b

+ = = − = ⇒ = ⇒ − + = − = −

10. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo de vértices ( )2,2, 1A − , ( )1,3,2B − y ( )0, 2,4C − .

Aplicando la fórmula para el cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento:

M punto medio de AB 2 1 2 3 1 2 1 5 1, , , ,

2 2 2 2 2 2M M− + − + ⇒ ⇒

N punto medio de AC 2 0 2 2 1 4 3, , 1,0,2 2 2 2

N N+ − − + ⇒ ⇒

P punto medio de BC 1 0 3 2 2 4 1 1, , , ,32 2 2 2 2

P P− + − + ⇒ ⇒ −

11. Dado el segmento AB

, donde ( )5,4, 2A − − y ( )2,1, 2B − − :

a) Calcula las coordenadas del punto M tal que 43

AM AB=

.

b) Calcula las coordenadas del punto N tal que 23

AN AB=

.

a) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 34 4, , , 5, 4, 2 3, 3,0 4, 4,03 3

M m m m AM AB m m m= ⇒ + − + = − = − ⇒

1 1 2 2 3 35 4 1; 4 4; 0; 2 0 2m n m n m m+ = ⇒ = − − = − = + = ⇒ = − . Por tanto, ( )1,0, 2M − − .

b) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 32 2, , , 5, 4, 2 3, 3,0 2, 2,03 3

N n n n AN AB n n n= ⇒ + − + = − = − ⇒

1 1 2 2 3 35 2 3; 4 2; 2; 2 0 2n n n n n n+ = ⇒ = − − = − = + = ⇒ = − . Por tanto, ( )3,2, 2N − − .



13. Comprueba si los puntos ( )3,1,3A − , ( )3,1,5B y ( )1, 1,2C − pertenecen o no a la recta que pasa por ( )1,1, 1P − − y tiene como vector director ( )2,0, 3v = − −

. Calcula dos puntos más de esta recta.

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P y tiene como vector director

v : 1 2

: 11 3

xr y

z

= − − λ = = − − λ

( )

λ =− = − − λ− ⇒ = ⇒ = ⇒ ∉

= − − λ λ = −

13 1 2

3,1,3 1 1 1 13 1 3 4

3

A A r

( )3 1 2 2

3,1,5 1 1 1 15 1 3 2

B B r= − − λ λ = −

⇒ = ⇒ = ⇒ ∈ = − − λ λ = −

( )1 1 2

1, 1,2 1 12 1 3

C C r= − − λ

− ⇒ − = ⇒ ∉ = − − λ

Dos puntos de esta recta se obtienen sustituyendo λ por dos valores distintos:

( )10 1,1, 1Pλ = ⇒ − − ( )21 3,1, 4Pλ = ⇒ − −

14. Considera la recta que pasa por el punto ( )1, 2,5S − y lleva la dirección del vector ( )2,2,0v = −

.

a) Calcula su ecuación vectorial. b) Halla sus ecuaciones paramétricas.

a) Ecuación vectorial: ( ) ( )1, 2,5 2,2,0p = − + λ −

b) Ecuaciones paramétricas: 1 2

2 25

xyz

= − λ = − + λ =


18. Calcula, en cada caso, unas ecuaciones implícitas de la recta que cumple las siguientes condiciones:

a) Pasa por el punto ( )1,1,3A − y lleva la dirección del vector ( )1, 2,4u = − −

.

b) Pasa por el punto ( )1, 2,0A − − y es paralela al segmento de extremos ( )0, 3,1B − y ( )1,1,0C .

c) Pasa por el punto ( )2, 2, 3A − − y es paralela al eje Y.

a) = − − λ

− − = − + − + =+ − − = − λ ⇒ = = ⇒ ⇒ + = − + + + =− − = + λ

12 2 1 2 3 01 1 3: 1 2 :

4 4 3 4 1 01 2 43 4

xx y x yx y zr y r

x z x zz

b) 1

4 4 2 4 2 01 2: 2 4 :1 1 01 4 1

xx y x yx y zr y rx z x z

z

= − + λ+ = + − + =+ + = − + λ ⇒ = = ⇒ ⇒ − − = + + =− = −λ

c) 2

22 2 3: 2 :30 1 03

xxx y zr y rz

z

==− + + = − + λ ⇒ = = ⇒ = − = −


19. Halla unas ecuaciones implícitas para cada una de las rectas sobre las que descansan los lados del triángulo de vértices ( )1, 1,1A − , ( )0,1,2B y ( )1,2, 3C − .

= − λ

− = − − + − =− + − = − + λ ⇒ = = ⇒ ⇒ − = − + + − =− = + λ

12 2 1 2 1 01 1 1: 1 2 :

1 1 2 01 2 11

xx y x yx y zAB y AB

x z x zz

13 3 0 1 01 1 1: 1 3 :

4 4 3 3 4 3 1 00 3 41 4

xx xx y zAC y AC

y z y zz

=− = − =− + − = − + λ ⇒ = = ⇒ ⇒ − − = − + + =− = − λ

= λ= − − + =− − = + λ ⇒ = = ⇒ ⇒ − = − + − =− = − λ

1 1 01 2: 1 :5 2 5 2 01 1 52 5

xx y x yx y zBC y BC

x z x zz

20. Para cada una de las siguientes rectas, calcula dos puntos de ella y halla unas ecuaciones paramétricas:

a) 0:

2 0x y

rx y z+ =

− + = b) 3 2 0

:3 0

x y zs

x y z− − =

+ + − =

a) 0:

2 03

xx y

r yx y z

z

= λ+ = ⇒ = −λ − + = = − λ

. Dos puntos de r: ( ) ( )0,0,0 , 1, 1, 3A B − − .

b) = λ

− − = ⇒ = λ − + + − = = − λ

3 2 0: 4 3

3 06 5

xx y z

s yx y z

z. Dos puntos de s: ( ) ( )1,1,1 , 0, 3,6A B − .

21. Dada la recta :0

x yr

x z=

+ =:

a) Calcula dos puntos de ella y los simétricos de ellos respecto del origen de coordenadas.

b) Calcula la recta simétrica de r respecto del origen de coordenadas.

a) Dos puntos de la recta r son: ( )0,0,0O y ( )−1,1, 1A .

El simétrico de O respecto de O es él mismo. Sea ( )' , ,A a b c el simétrico de A respecto de O:

( )1 1 10; 0; 0 ' 1, 1,12 2 2

a b c A+ + − += = = ⇒ − −

b) La recta simétrica de r respecto de O es ella misma porque pasa por O.



25. *Comprueba si los puntos ( )3, 2, 2A − − , ( )1,0,1B y ( )2,1, 1C − pertenecen o no al plano de ecuaciones paramétricas:

1:

2

xyz

= − λ −µπ = λ −µ = − λ −µ

( )− λ −µ =

− − ⇒ λ −µ = − ⇒ λ = µ = − λ −µ = −

1 33, 2, 2 2 1, 3

2 2A . Compatible A⇒ ∈π .

( )1 1

1 11,0,1 0 ,2 22 1

B− λ − µ =

⇒ λ − µ = ⇒ λ = µ = − λ − µ =

. Compatible B⇒ ∈π .

( )1 2

2,1, 1 12 1

C− λ − µ =

− ⇒ λ − µ = ⇒ − λ − µ = −

Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene 1 = 3. Incompatible C⇒ ∉π .

26. Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita del plano que pasa por ( )2,2,2A y tiene como

vectores de dirección ( )3, 2,1u = − −

y AB

, donde ( )1,2, 1B − .

( )2,2,2A , ( )1,0, 3AB = − −

y ( )3, 2,1u = − −

Ecuaciones paramétricas del plano:

= − λ − µ = − λ = + λ − µ

2 32 22 3

xyz

Ecuación implícita del plano:

1 3 20 2 2 0 2 4 9 18 6 12 2 0 : 3 5 6 03 1 2

xy z y x y x y zz

− − −− − = ⇒ − + − − + + − = ⇒ π − − + =

− −

27. Calcula unas ecuaciones paramétricas del plano de ecuación implícita 3x y z+ + = e indica uno de sus puntos y dos vectores de dirección independientes.

Haciendo x = λ , = µy : 3

xyz

= λ = µ = − λ − µ

Un punto sería el ( )0,0,3A y dos vectores de dirección independientes ( )1,0, 1u = −

y ( )0,1, 1v = −

.


28. Comprueba que las siguientes ecuaciones paramétricas representan el mismo plano. Para ello obtén tres puntos no alineados del primero y comprueba que los puntos obtenidos también pertenecen al segundo plano.

= + λ + µ

π = −µ = − λ + µ

2:

2

xyz

=

π = − = − +

' :4 2

x sy t sz t s

Tres puntos no alineados del primero:

( )λ = µ = ⇒0, 0 2,0,2A ( )λ = µ = ⇒ −0, 1 3, 1,3B ( )λ = µ = ⇒1, 0 3,0,1C

Los puntos obtenidos pertenecen al segundo plano:

( )2

2,0,2 0 2, 24 2 2

sA t s t s

t s

=⇒ − = ⇒ = = − + =

. Compatible ⇒ ∈π 'A .

( )3

3, 1,3 1 2, 34 2 3

sB t s t s

t s

=− ⇒ − = − ⇒ = = − + =

. Compatible ⇒ ∈π 'B .

( )3

3,0,1 0 3, 34 2 1

sC t s t s

t s

=⇒ − = ⇒ = = − + =

. Compatible ⇒ ∈π 'C .


33. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos ( )2, 2,1A − , ( )1, 2, 1B − − y ( )0, 1,2C − .

( )2, 2,1A − , ( )1,0, 2AB = − −

y ( )2,1,1AC = −

.

1 2 20 1 2 0 1 4 8 2 4 2 0 : 2 5 7 02 1 1

xy z y x y x y zz

− − −+ = ⇒ − + + + + − + + = ⇒ π + − + =

− −

34. Halla las ecuaciones de los siguientes planos:

a) Paralelo a XY y que pasa por ( )1,2, 2A − − .

b) Paralelo a XZ y que pasa por ( )3, 2,0B − .

c) Paralelo a YZ y que pasa por ( )0, 2, 2C − − .

a) 2z = − b) 2y = − c) 0x =


35. En la figura aparece un tetraedro de vértices los puntos O, A, B y C. Calcula las ecuaciones de los planos que contienen a las cuatro caras del tetraedro.

Los puntos son: ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,0,0 , 0,3,0 , 0,0,5O A B C .

Las ecuaciones de las caras son:

: 0OAB z = : 0OBC x = : 0OAC y =

2 2 2

: 3 0 0 15 30 10 6 0 :15 10 6 30 00 5

xABC y x y z ABC x y z

z

− − −= ⇒ − + + = ⇒ + + − =

36. Indica un vector director y otro normal del plano de ecuación 2 2 0x y z− + + = .

Dos puntos del plano:

( )0, 0 0 0,0,0x y z O= = ⇒ = ⇒ ( )0, 1 2 0 2 0,1, 2x y z z A= = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ −

Un vector director: ( )0,1, 2OA = −

. Un vector normal: ( )2,2,1n = −

.

37. Halla un vector director y otro normal del plano que pasa por los puntos 11,2,3

A −

y 1 , 1,02

B −

, y por

el origen de coordenadas.

La ecuación del plano es

112 1 12 1 0 0 : 2 0

6 31 03

x

y z y x z x y

z

−

− = ⇒ + + − = ⇒ π + = .

Un vector director es el 11,2,3

OA = −

paralelo a ( )3,6,1− .

Un vector normal es ( )2,1,0n =

.

38. Un plano tiene como vector normal el ( )2, 3,2n = −

y pasa por el punto ( )1,2, 5A − − . Escribe su ecuación normal, su ecuación implícita y sus ecuaciones paramétricas. Ecuación normal: ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 5 0x y z+ − − + + =

Ecuación implícita: 2 3 2 18 0x y z− + + =

Ecuaciones paramétricas:

= λ = µ

= − − λ + µ

392

x

y

z


39. Halla la recta perpendicular al plano 2x z+ = y que pasa por el punto ( )1,2,0A .

Vector normal del plano: ( )1,0,1n =

Este vector n

será vector director de la recta r buscada. Por tanto:

121 2: 2

11 0 1

xyx y zr yx z

z

= + λ=− − = ⇒ = = ⇒ − = = λ

40. Halla el plano perpendicular a la recta 2 1x y z= = y que pasa por el origen de coordenadas.

El vector ( )2,1,1 es de dirección de la recta y, por tanto, normal del plano. En consecuencia, la ecuación del plano será : 2 0x y zπ + + = .


43. Estudia la posición relativa de los planos π y 'π en los siguientes casos.

a) : 2 0x y zπ − − = ' : 6 3 3 3 0x y zπ − + + − = b) : 2 0x y zπ − − = ' : 2 3 0x y zπ + − − =

a) 2 1 16 3 3M − − = −

y 2 1 1 0' 6 3 3 3M − − = − − . ( ) ( )= = ⇒rg 1, rg ' 2M M Los planos son paralelos.

b) 2 1 1' 2 1 1M M − − = = − ( ) ( )= = ⇒rg 2, rg ' 2M M Los planos se cortan en una recta.

44. Estudia la posición relativa de los planos siguientes.

a) : 3 2 2x y zπ − − = ' : 2 6 4 1x y zπ − + + = − '' : 3 9 6 6x y zπ − − =

b) : 3 1x y zπ − − = ' : 2 2 6 2x y zπ − + + = − '' : 0x y zπ + + =

c) : 2 1x y zπ − − = ' : 2 3 15x y zπ − + = '' : 4x zπ + = −

a) 1 3 22 6 4

3 9 6M

− − = − − −

y 1 3 2 2

' 2 6 4 13 9 6 6

M− −

= − − − −

. ( ) ( )rg 1 rg ' 2M M= < = ⇒ El sistema es incompatible y los tres

planos tienen el mismo vector normal. Además el primer y tercer plano son coincidentes. Por tanto, dos planos son coincidentes y el otro es paralelo a ellos.

b) 1 1 32 2 61 1 1

M− −

= −

y 1 1 3 1

' 2 2 6 21 1 1 0

M− − −

= −

. ( ) ( )rg 2 rg ' 2M M= = = ⇒ El sistema es compatible

indeterminado con un parámetro. Además, los dos primeros planos son coincidentes. Se trata, por tanto, de dos planos coincidentes y otro que los corta.

c) 1 1 22 3 11 0 1

M− −

= −

y 1 1 2 1

' 2 3 1 151 0 1 4

M− − −

= − −

. ( ) ( )rg 3 rg ' 3M M= = = ⇒ El sistema es compatible determinado.

Los planos forman triedro. Para hallar el punto común P a los tres planos, se resuelve el sistema:

1 1 215 3 1

4 0 1 40 58 8

x

− −−

−= = = −

− −;

1 1 22 15 11 4 1 64 8

8 8y

−

−= = = −

− −;

1 1 12 3 151 0 4 8 1

8 8y

−

− −= = =

− −. Luego ( )5, 8,1P − − .



47. Estudia la posición relativa de la recta r y el plano π en los siguientes casos:

a) 2 3

: 22 4

xr y

z

= + λ = λ = − + λ

: 3 2 1 0x y zπ − + + =

b) 2 3

: 12

x tr y t

z t

= + = − = +

: 3 8 0x y zπ − + − =

a) ( ) ( )+ λ − λ + − + λ + = ⇒ λ + = ⇒ λ = −13 2 3 2 2 2 4 1 0 15 3 05

. Se cortan en el punto 7 2 14,5 5 5

P − −

.

b) 2 3 3 3 2 8 0 0 0t t t t+ − + + + − = ⇒ = ⇒ La recta está contenida en el plano.

48. Estudia la posición relativa de la recta 2

:3 7 0

y zr

x y− =

− + = y el plano : 2 2 0x y zπ − − + = .

Dos puntos de la recta son, por ejemplo, ( )1,2,0A − y ( )4,1, 1B − − .

Unas posibles ecuaciones paramétricas de la recta son 1 3

2xyz

= − − λ = − λ = −λ

.

1 3 4 2 2 0 0 3− − λ − + λ + λ + = ⇒ λ = ⇒ La recta es paralela al plano.

49. Calcula el valor de k para que la recta 2 0

:x y

rx z k

+ = + =

esté contenida en el plano 1 0x y z+ − − = .

Dos puntos de la recta son, por ejemplo, ( )0,0,A k y ( )1, 2, 1B k− − .

Unas posibles ecuaciones paramétricas de la recta son 2xyz k

= λ = − λ = − λ

.

1 2 1 0 0 1 1x y z k k k+ − − = λ − λ − + λ − = ⇒ λ = + ⇒ = −




52. Estudia la posición relativa de las rectas:

a) 1

: 23

xr y

z

= + λ = − + λ = λ

2 2

: 11 3

xs y

z

= − + λ = − + λ = − λ

b) 1

: 22 3

xr y

z

= + λ = λ = + λ

3

: 2 41

xs y

z

= λ = − + λ =

a) Punto de r: ( )1, 2,0A − ; vector de r: ( )=

1,1,3 .u Punto de s: ( )− −2, 1,1B ; vector de s: ( )= −

2,1, 3 .v

Se calcula el rango de las matrices 1 21 13 3

M = −

y −

= −

1 2 3' 1 1 1

3 3 1M . Como ( ) ( )= = ⇒rg 2; rg ' 3M M Las

rectas se cruzan.

b) Punto de r: ( )1,0,2A ; vector de r: ( )1,2,3u =

. Punto de s: ( )0, 2,1B − ; vector de s: ( )3,4,0v =

.

Se calcula el rango de las matrices 1 32 43 0

M =

y 1 3 1

' 2 4 23 0 1

M−

= − −

. Como ( ) ( )= = ⇒rg 2; rg ' 3M M Las rectas

se cruzan.

53. Estudia la posición relativa de las rectas:

a) 2 1:

2 0x y z

rx y

+ − = − =

2 2

: 11 5

xs y

z

= − + λ = − + λ = + λ

b) 2:

2 3x y z

rx z+ − =

− =

2 2 3:

2 3 0x y z

sx y− − =

− =

a) 4 4 1 1 5 1 0 72 2 2 2 0 0 0− + λ − + λ − − λ = λ = ⇒ ⇒ − + λ + − λ = =

No hay ningún punto en común a las dos rectas.

Además, tienen el mismo vector de dirección ( )2,1,5 , por lo que las rectas son paralelas.

b) Puntos de r: ( )2,1,1A y ( )0, 1, 3B − − Vector de r: ( )2, 2, 4u = − − −

Puntos de s: ( )3,2, 2C − y 30,0,2

D −

Vector de s: 13, 2,2

v = − −

Se calcula el rango de − − = − − −

2 32 2

142

M y − − = − − − −

2 3 1' 2 2 1

14 32

M . Como ( ) ( )rg 2 3 rg 'M M= ≠ = ⇒ Las rectas se

cruzan.


56. Escribe la ecuación del haz de rectas:

a) Que son paralelas a 0

:2 0

x yr

y z− =

− =. b) De vértice el punto ( )1,4,0P − .

a) Se debe calcular un vector de dirección de la recta. Para ello, se obtienen dos puntos de ella:

( )0,0,0A y ( ) ( )2,2,1 2,2,1B u AB⇒ = =

El haz de rectas paralelas a r viene dado por la expresión: 31 2

2 2 1zx y − λ− λ − λ

= =

b) 1 2 3

1 4x y z+ −= =

λ λ λ, con 1λ , 2λ y 3λ no nulos los tres a la vez.


57. Escribe las ecuaciones de los siguientes haces de planos.

a) Paralelos al plano : 3 3 3 0x y zπ + − − = c) Que contienen a la recta 0

:2 0x y z

rx y z− + =

− + =

b) Que tienen como vector normal el ( )1,2, 3n = − −

d) Paralelos al plano coordenado XZ.

a) + − + λ =3 3 0x y z , con λ∈

b) − + − + λ =2 3 0x y z , con λ∈

c) ( )2 0x y z x y z− + + λ − + = con λ∈ y además el plano 2 0x y z− + = .

d) + λ = 0y , con λ∈

58. Escribe la ecuación del haz de planos que contiene a la recta que pasa por los puntos ( )1, 1,3A − y ( )0,2, 1 .B −

Las ecuaciones en forma continua de AB son:

− = − − + − =− + − = = ⇒ ⇒ − + = − + − − =− −

3 3 1 3 2 01 1 34 4 3 4 1 01 3 4x y x yx y z

x z x z

La ecuación del haz es:

( )+ − + λ − − =3 2 4 1 0x y x z , con λ∈ añadiendo − − =4 1 0x z

59. Escribe la ecuación del haz de planos que contiene a la recta de ecuaciones paramétricas:

1: 2

2 2

x tr y t

z t

= + = − + = +

Las ecuaciones en forma continua de AB son: 1 2 3 01 2 2

2 2 2 2 01 1 2x y x yx y zx z x z− = + − − =− + − = = ⇒ ⇒ − = − − =

La ecuación del haz es: ( )3 2 0x y x z− − + λ − = con λ ∈ añadiendo 2 0x z− = .

60. Comprueba que todos los planos que tienen por ecuación ( ): 2 1 0x y zπ + λ + + λ − = , siendo λ cualquier número real, contienen una misma recta. Escribe la ecuación de dicha recta. ( ) ( )2 1 0 2 1 0 2 1 0x y z x x y z x y x z+ λ + + λ − = ⇒ + λ + + λ − = ⇒ + − + λ + =

Por tanto, todos los planos de esta forma contienen a la recta 2 1 0

:0

x yr

x z+ − =

+ =


63. Calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano : 2 2 3 6x y zπ + − = y que pasa por el punto ( )2,3,4 .A −

La recta buscada r tiene como vector de dirección a ( )2,2, 3n = −

normal del plano π y pasa por ( )2,3,4A − .

Por tanto, 2 2

5 02 3 4: 3 23 2 2 02 2 34 3

xx yx y zr yx z

z

= − + λ− + =+ − − = + λ ⇒ = = ⇒ + − =− = − λ


64. Calcula la ecuación del plano perpendicular a : 3 4x y zπ − + = y que contiene a la recta de ecuaciones

paramétricas 1

: 23 2

x tr y t

z t

= + = − = +

.

El plano buscado tiene como vectores de dirección ( )1, 1,2u = −

de la recta r y el normal ( )1, 1,3n = −

del plano π.

Además, pasa por el punto ( )1,2,3 de la recta r. Plano buscado: 1 1 1

' : 1 1 2 0 3 02 3 3

xy x yz

−π − − − = ⇒ + − =

−

65. Verifica si los puntos A, B, C y D son o no coplanarios.

a) ( ) ( ) ( ) ( )−2,1,0 , 4,2,0 , 1, 2,0 , 1,2,0A B C D

b) ( ) ( ) ( ) ( )− −1,1,1 , 2,2, 1 , 1,2,2 , 2,1,2A B C D

a) Todos los puntos pertenecen al plano = 0z . Por tanto, son coplanarios.

b) Se calcula la ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C:

( ) ( )− −

= − = − ⇒ − = ⇒ ⇒ + + − = ⇒ π + + =− −

1 2 11,1, 2 ; 2,1,1 1 1 1 0 0 3 3 3 9 0 : 3

2 1 1

xAB AC y x y z x y z

z

El punto D no pertenece a π ya que 2 1 2 3 0+ + − ≠ ⇒A, B, C y D no son coplanarios.

66. Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta 2 3 6

:x y z

ry z− + =

= y al punto ( )2,2, 2A − .

( ) ( )− + − + λ − = ⇒ − − − + λ + = ⇒ λ =72 3 6 0 2 4 6 6 2 2 02

x y z y z

( )72 3 6 0 : 2 3 12 02

x y z y z x y z− + − + − = ⇒ π + − − =


EJERCICIOS

Coordenadas de un vector

77. Para cada uno de los siguientes casos calcula las coordenadas del vector de origen el punto A y de extremo el punto B.

a) ( ) ( )− −2,0, 3 ; 0,3, 5A B b) − −

1 2 3, 2, ; 1, ,22 2 5

A B

a) ( )= − −

2,3, 2AB b) 3 13, ,12 5

AB = −

78. Del vector ( )2,0,3PQ = −

se sabe que el origen tiene coordenadas ( )1, 2,3P − . Calcula las coordenadas del extremo Q.

( ) ( ) ( )= + = − + − = − −

1, 2,3 2,0,3 1, 2,6OQ OP PQ , luego ( )= − −1, 2,6 .Q


79. Del vector ( )4, 1,2PQ = −

se sabe que el extremo tiene coordenadas ( )2, 3, 4Q − − . Calcula las coordenadas del origen P.

( ) ( ) ( ) ( )= + = − = − − − − = − − − ⇒ = − − −

2, 3, 4 4, 1,2 2, 2, 6 2, 2, 6OP OQ QP OQ PQ P

División de un segmento

80. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A y B para cada uno de los siguientes casos.

a) ( ) ( )3,2, 3 ; 1, 2,1A B− − − b) 1 4 2, 3, ; 2, ,23 3 3

A B − − −

c) ( ) ( )5,3, 2 ; 10,2, 7A B− −

a) ( )− −1,0, 1M b) 5 7 1, ,6 6 3

M − −

c) 15 5 9, ,2 2 2

M −

81. Calcula las coordenadas de dos puntos A y B que dividan al segmento de extremos ( )2,2, 1P − y

( )5, 4, 7Q − − en tres segmentos de la misma longitud.

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 33 3, 6, 6 3 2, 2, 1 3, 0, 3 3,0, 3PQ PA a a a a a a A= ⇒ − − = − − + ⇒ = = = − ⇒ −

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 33 33, 6, 6 2, 2, 1 3, 2, 5 4, 2, 52 2

PQ PB b b b b b b B= ⇒ − − = − − + ⇒ = = − = − ⇒ − −

82. Calcula las coordenadas de tres puntos A, B y C que dividan al segmento de extremos 1 21, ,2 3

P −

y

3 23, ,2 3

Q −

en cuatro segmentos de la misma longitud.

= ⇒ − = − − + ⇒ = = = − ⇒ −

1 2 3 1 2 34 1 2 3 1 3 14 4,1, 4 1, , 0, , 0, ,3 2 3 4 3 4 3

PQ PA a a a a a a A

( ) = ⇒ − = − − + = − = = ⇒ −

1 2 3 1 2 34 1 22 4,1, 2 1, , 1, 1, 0 1,1,03 2 3

PQ PB b b b b b b B

= ⇒ − = − − + ⇒ = − = = ⇒ −

1 2 3 1 2 34 4 4 1 2 5 1 5 14,1, 1, , 2, , 2, ,3 3 3 2 3 4 3 4 3

PQ PC c c c c c c C

83. Dado el segmento de extremos ( )2,1, 1A − y ( )5, 2,8B − :

a) Calcula las coordenadas del punto C de forma que B sea el punto medio del segmento AC.

b) Calcula las coordenadas de dos puntos P y Q pertenecientes al segmento AB y tales que dividan a este segmento en tres segmentos de igual longitud.

a) ( ) ( ) ( )= ⇒ − − + = − ⇒ = = − = ⇒ −

1 2 3 1 2 32 2, 1, 1 2 3, 3,9 8, 5, 17 8, 5,17AC AB c c c c c c C

b) ( ) ( ) ( )= ⇒ − = − − + ⇒ = = = ⇒

1 2 3 1 2 33 3, 3,9 3 2, 1, 1 3, 0, 2 3,0,2AB AP p p p p p p P

( ) ( ) ( )= ⇒ − = − − + ⇒ = = − = ⇒ −

1 2 3 1 2 33 33, 3,9 2, 1, 1 4, 1, 5 4, 1,52 2

AB AQ q q q q q q Q


Ecuaciones de la recta

84. Escribe las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua y las ecuaciones implícitas de la recta:

a) Que pasa por los puntos ( )1, 2,0A − y ( )2, 3, 1B − − .

b) Que pasa por el punto ( )2, 2,0A − − y lleva la dirección del vector ( )1, 1,4u = − −

.

c) Que pasa por el punto 2 1, 2,3 2

A − −

y lleva la dirección del vector 1 1,0,3 2

u =

.

a) 1

1 2 1 01 2: 2 : : :1 1 01 1 1

xx y x yx y zAB y AB AB ABx z x z

z

= + λ− + = + + + =− + = − − λ ⇒ = = ⇒ ⇒ − + = + − =− − = −λ

b) 2

2 2 02 2: 2 : : :4 8 4 8 01 1 44

xx y x yx y zr y r r r

x z x zz

= − − λ+ = + − =+ + = − − λ ⇒ = = ⇒ ⇒ + = − + + =− − = λ

c)

2 12 1 2 03 3 2 023 2: 2 : : :1 1 1 11 1 3 2 3 001 1 2 3 3 63 2

2 2

xyx z yyr y r r r

x zx zz

= − + λ + =+ − + =+ = − ⇒ = = ⇒ ⇒ − + =+ = − = + λ

85. Dados los puntos ( )1, 1,2A − y ( )1, 2,0B − − , calcula unas ecuaciones paramétricas y unas implícitas para

la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene como vector de dirección al vector AB

.

( )2, 1, 2AB = − − −

Ecuaciones paramétricas: 2

:2

xAB y

z

= − λ = −λ = − λ

Ecuaciones implícitas: 2 0

:0

x yAB

x z− =

− =

86. Calcula dos puntos de cada una de las siguientes rectas.

a) 2 2

: 11 2

xr y

z

= − + λ = − + λ = − + λ

b) 1 2:1 2 2

x y zr − += =

− − c) 2 0

:2 0x y z

rx y z− + =

− − =

a) ( ) ( )− − −2, 1, 1 ; 0,0,1A B b) ( ) ( )− −1, 2,0 ; 0,0, 2A B c) ( ) ( )0,0,0 ; 1,1,1A B

87. Calcula un punto y un vector de dirección de cada una de las siguientes rectas.

a) 3

: 2 31 4

xr y

z

= − λ = − + λ = − λ

b) 2 2:2 1 3x y zr − +

= =−

c) 2 3:

2 1x y

rx z+ =

− =

a) ( ) ( )− = − −

0, 2,1 ; 3,3, 4P u

b) ( ) ( )− = −

0,2, 2 ; 2,1,3P u

c) ( ) ( )− = −

0,3, 1 ; 1, 2,2P u


88. Calcula la ecuación en forma continua y las ecuaciones implícitas de la recta de ecuaciones paramétricas:

1

: 2 23 3

xr y

z

= − λ = + λ = − λ

Se despeja el valor del parámetro λ : + − =− − − = = ⇒ − =− −

2 4 01 2 33 01 2 3

x yx y zx z

89. Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación en forma continua de la recta de ecuaciones implícitas:

3 1 0:3 0

x y zrx y z

− − − = + − − =

Dos puntos de la recta:

( )10 2, 1 0,1, 2

3y z

x z y Ay z− − == ⇒ ⇒ = − = ⇒ − − =

( )21 0, 2 1,2,0

2y z

x z y By z− − = −= ⇒ ⇒ = = ⇒ − =

Vector de dirección: ( )1,1,2AB =

Ecuaciones paramétricas: : 12 2

xr y

z

= λ = + λ = − + λ

Ecuación en forma continua: 1 2:1 1 2x y zr − += =

90. Escribe las ecuaciones de cada una de las siguientes rectas.

a) Eje X.

b) Paralela al eje Y y que pasa por el punto ( )3,0,2 .

c) Bisectriz de los ejes positivos X e Y.

a) 00

yz=

= b) 3

2xz=

= c) 0z

x y=

=

91. Escribe la ecuación en forma continua de las rectas que se indican a continuación. Calcula un punto y un vector director de cada una de ellas. Ten en cuenta que las ecuaciones dadas no están en forma continua.

a) 2 2 1:2 3 3x y zr − −= =

− b) 1 2 4 3 2:

3 2 4x y zr − + − −

= =−

a) 2 2 1 1 1:32 3 3 2 32

x y z x y zr − − − −= = ⇒ = =

− − Punto: ( )0,1,1 Vector director: ( )32, , 3 4,3, 6

2 − −

b)

21 2 4 3 2 1 2 3:

43 2 4 3 13

zx y z x yr−− + − − − −

= = ⇒ = =− − −

Punto: 21,2,3

Vector director: ( )43,1, 9,3, 43

− − − −


92. Se considera la recta que pasa por el punto ( )1,2, 3A − − y tiene como dirección la del vector ( )2, 1,2u = −

.

a) Escribe las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones continuas de la recta.

b) Decide cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta y cuáles no:

( )5, 1,3P − ( )3,3, 4Q − − 30, , 22

R −

c) Escribe dos puntos más de dicha recta.

a) Ecuaciones paramétricas: = − + λ

= − λ = − + λ

1 223 2

xyz

Ecuación en forma continua: 1 2 32 1 2

x y z+ − += =

−

b) P sí pertenece ( )3λ = ; Q no pertenece (no existe ningún valor de λ ); R sí pertenece 12

λ =

.

c) ( )5,4, 7S − − para 2λ = − y ( )3,0,1T para 2λ = .

93. Verifica si los siguientes puntos pertenecen o no a una misma recta. En caso afirmativo, calcula sus ecuaciones paramétricas.

a) ( ) ( )2, 1,2 , 3,0,3A B− y ( )4,1,4C

b) ( ) ( )1, 1,1 , 1, 2,1A B− − − y ( )3, 1,1C −

c) ( ) ( )3,0, 2 , 4,2,0A B− − y ( )3,1,0C

a) ( ) ( )1,1,1 , 2,2,2AB AC= =

. Como 2AC AB=

, entonces A, B y C están alineados: 2

12

xyz

= + λ = − + λ = + λ

b) ( ) ( )2, 1,0 , 2,0,0AB AC= − − =

. Como no son proporcionales, A, B y C no están alineados.

c) ( ) ( )7,2,2 , 0,1,2AB AC= − =

. Como no son proporcionales, A, B y C no están alineados.


Ecuaciones del plano

94. Escribe las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita del plano:

a) Que pasa por el punto ( )1,3,1A − y lleva la dirección de los vectores ( )1, 1,3u = −

y ( )1, 1,4v = − −

.

b) Que pasa por los puntos ( )1, 1,2A − , ( )2,0, 1B − y ( )3,1,0C − .

c) Que pasa por el punto −

3 1,2,2 2

A y lleva la dirección de los vectores 1 1,0,3 2

u =

y 1 1 3, ,2 2 2

v = −

.

d) Que contiene al triángulo de vértices ( )1,0,0A , ( )0,1,0B y ( )0,0,1C .

a) 1 1 1 1

3 1 1 3 0 7 2 22 03 4 11 3 4

x xy y x y z

zz

= − + λ − µ − + = − λ − µ ⇒ − − − = ⇒ + + − =− = + λ + µ

b) ( ) ( ) ( )= + λ − µ − −= − = − − − − ⇒ = − + λ +µ ⇒ + = ⇒ + + − =

− − − = − λ −µ

1 2 1 2 11,1, 3 ; 4,2, 2 || 2,1, 1 1 1 1 1 0 2 7 3 1 0

3 1 22 3

x xAB AC y y x y z

zz

c)

= + λ +µ +

= −µ ⇒ − − = ⇒ − − + = −= + λ + µ

3 32 2 12 22 0 1 2 0 6 6 4 23 0

11 3 33 3 22

x x

y y x y z

zz

d) ( ) ( )1

1,1,0 ; 1,0,1 1 0x

AB AC y x y zz

= − λ − µ= − = − ⇒ = λ ⇒ + + − = = µ

95. Dados los puntos ( )1,1, 2A − , ( )1, 2, 3B − − − y ( )1,1,0C , calcula la ecuación implícita del plano que pasa por

el origen de coordenadas y tiene como vectores directores AB

y AC

.

( )2, 3, 1AB = − − −

y ( )0,0,2AC =

−− = ⇒ − + = ⇒ − =−

2 03 0 0 6 4 0 3 2 01 2

xy x y x yz

96. Calcula dos puntos de cada uno de los siguientes planos.

a) 1

: 2 23 3 2

xyz

= − − λ + µπ = + λ − µ = − λ − µ

b) : 2 3 1x y zπ + − =

a) ( )1,2,3A − , ( )0,1,1B b) ( )0, 2, 1A − − , ( )1,2,1B


97. Calcula un punto, dos vectores de dirección linealmente independientes y un vector normal de cada uno de los siguientes planos.

a) 1

: 3 21 2

xyz

= − − λπ = λ − µ = − λ − µ

b) : 3 2 0x y zπ − − =

a) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1

1,0,1 ; 1,3, 2 , 0, 2, 1 ; 3 2 0 7 2 9 0 7, 1,22 1 1

xP u v y x y z n

z

− +− = − − = − − − = ⇒ − − + − = ⇒ = − −

− − −

b) ( ) ( ) ( ) ( )3, 1, 2 ; 3 2 0,0,0 ; 1,3,0 , 0, 2,1x

n y O u vz

= λ= − − = λ − µ ⇒ = = − = µ

98. Escribe unas ecuaciones paramétricas para el plano de ecuación implícita : 2 3 1x y zπ − + = .

1 2 3x

yz

= + λ − µ = λ = µ

99. Escribe las ecuaciones paramétricas para el plano que pasa por ( )1,3, 2A − y tiene como vector normal ( )1, 2,0n = −

.

2 0x y D− + = . Como ( )− ∈π ⇒ − + = ⇒ = ⇒ − + =1,3, 2 1 6 0 5 2 5 0A D D x y .

Ecuaciones paramétricas: = − + λ

π = λ = µ

5 2:

xyz

100. Escribe la ecuación implícita del plano de ecuaciones paramétricas:

2 2 3

: 1 2 21 2 2

xyz

= − − λ + µπ = − λ − µ = + λ − µ

Ecuación implícita: 2 3 22 2 1 0 4 5 2 0

2 2 1

xy x y zz

− +− − − = ⇒ + + + =

− −


101. Verifica si los siguientes puntos pertenecen o no a un mismo plano. En caso afirmativo, calcula su ecuación.

a) ( ) ( ) ( )− −2,1,1 , 1,0, 2 , 1,2,0A B C y ( )− −2,0, 5D c) ( ) ( ) ( )− − − −1, 1,1 , 1, 2,1 , 3, 1,1A B C y ( )2,1,6D

b) ( ) ( ) ( )− −1,1,1 , 1,2,1 , 2, 1,1A B C y ( )2,2,2D − d) ( ) ( ) ( )− − −1, 1,2 , 2,0, 1 , 3,1,0A B C y ( )3,3,3D −

Si ( )rg , , 3AB AC AD = ⇒

No coplanarios. Si ( )rg , , 3AB AC AD < ⇒

Coplanarios.

a) − − −

− − = ⇒ − − −

1 3 4rg 1 1 1 2

3 1 6Coplanarios: 2 3 0x y z+ − − =

b) 2 1 3

rg 1 2 1 30 0 1

− − − = ⇒

No coplanarios.

c) 2 2 1

rg 1 0 2 30 0 5

− − = ⇒

No coplanarios.

d) 1 4 4

rg 1 2 4 33 2 1

− − = ⇒ − −

No coplanarios.

102. Escribe las ecuaciones de cada uno de los siguientes planos.

a)

b)

c)

a) z = 0

b) y = 1

c) ( )0 0 0 10

a a x a x y zb y bc x a acy abz bcx acy abz abca b cc z

− − −= ⇒ − + + = ⇒ + + = ⇒ + + =


Posiciones relativas de dos planos

103. Estudia la posición relativa de los dos planos π y 'π en los siguientes casos.

a) : 2 0' : 2 1

x y zx y z

π − + =π − + + =

b) : 2 0' : 4 2 2 1

x y zx y z

π − + =π − + − =

c) π − + =π − + − =

: 2 0' : 4 2 2 0

x y zx y z

d) : 1 0' : 2 0

x yx z

π + − =π + − =

a) 2 1 12 1 1M − = −

, 2 1 1 0' 2 1 1 1M − = − ; ( ) ( )= = ⇒rg 2; rg ' 2M M Se cortan en una recta.

b) 2 1 14 2 2M − = − −

, 2 1 1 0' 4 2 2 1M − = − − ; ( ) ( )= = ⇒rg 1; rg ' 2M M Planos paralelos.

c) 2 1 14 2 2M − = − −

, 2 1 1 0' 4 2 2 0M − = − − ; ( ) ( )= = ⇒rg 1; rg ' 1M M Planos coincidentes.

d) 1 1 01 0 1M =

, 1 1 0 1' 1 0 1 2M =

; ( ) ( )= = ⇒rg 2; rg ' 2M M Se cortan en una recta.

Posiciones relativas de tres planos

104. Estudia la posición relativa de los tres planos π , 'π y ''π en los siguientes casos.

a) : 2 0

' : 3 4 0'' : 3

x y zx y z

x y z

π − + =π + + =π + − =

c) : 0

' : 3 2 1 0'' : 2 1 0

x y zx y

x z

π + − =π + + =π + + =

e) : 2 0

' : 2 3 1'' : 3 3 4 1

x y zx y zx y z

π − + =π − + =π − + =

g) : 2 3 4

' : 2 7'' : 2 2

x y zx y z

x y z

π − + =π − − = −π − + − =

b) : 2 0

' : 0'' : 2 1

x y zx y zx z

π + + =π + − =π + =

d) : 2 3 3

' : 6 3 9 9'' : 10 5 15 15

x y zx y z

x y z

π − − + =π + − = −π − − + =

f) : 2 4 6 1 0

' : 2 0'' : 2 3 1 0

x y zx y zx y z

π − + + =π + + =π − + − =

h) : 0

' : 0'' : 0

x y zx y zx

π + − =π − + =π =

a) ( ) ( )rg 3;rg ' 3M M= = ⇒ Se cortan en un punto.

b) ( ) ( )rg 2;rg ' 3M M= = ⇒ No existe ninguna pareja de planos paralelos, los tres planos forman un prisma.

c) ( ) ( )rg 2;rg ' 2M M= = ⇒ Se cortan en una recta sin que haya ninguna pareja de planos coincidentes.

d) ( ) ( )rg 1;rg ' 1M M= = ⇒ Los tres planos son coincidentes.

e) ( ) ( )rg 2;rg ' 2M M= = ⇒ Se cortan en una recta sin que haya ninguna pareja de planos coincidentes.

f) ( ) ( )rg 2;rg ' 3M M= = ⇒ Como π y ''π son paralelos, son dos planos paralelos y uno que los corta.

g) ( ) ( )= = ⇒rg rg ' 3M M Se cortan en un punto.

h) ( ) ( )= = ⇒rg rg ' 2M M Se cortan en una recta sin que haya ninguna pareja de planos coincidentes.

Posiciones relativas de recta y plano

105. En cada uno de los siguientes casos, estudia la posición relativa del plano : 2 1x y zπ − + = y las rectas siguientes.

a) 1

: 23

x tr y t

z t

= + = − =

b) 1:2 4 1x y zs −= = c)

1 2: 4

x tt y t

z t

= + = =

a) 1 2 6 1 0t t t t+ + + = ⇒ = ⇒ La recta corta al plano en el punto ( )1,0,0P .

b) 2 1

4 2 02 2

x y zx y

x z

− + = − = − = −

, 1 1 24 2 01 0 2

M−

= − −

, 1 1 2 1

' 4 2 0 01 0 2 2

M−

= − − −

. ( ) ( )rg 2;rg ' 3M M= = ⇒ Recta paralela al plano.

c) 1 2 4 2 1 0 0t t t t+ − + = ⇒ = ⇒ La recta está contenida en el plano.


106. En los siguientes casos, calcula el punto de intersección de la recta r con el plano π.

a) :1 1 1x y zr = =

− : 2 0x y zπ + − = b)

10 3: 7 2

1

x tr y t

z t

= − = − + = − +

: 3 2 1 0x y zπ + − + =

a) Escribiendo la recta r en paramétricas y sustituyendo en el plano se obtiene:

2 0 0 0t t t t− − = ⇒ = ⇒ La recta está contenida en el plano.

b) Se sustituye la recta r en el plano:

( ) ( )3 10 3 2 7 2 1 1 0 6 18 3t t t t t− + − + + − + = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ La recta corta al plano en el punto ( )1, 1,2P − .

Posiciones relativas de dos rectas

107. Estudia la posición relativa de las rectas r y s en los siguientes casos.

a) 2: 11 2

x yr z−= = +

− 2 8: 5

1 2x ys z+ +

= = + d) :1 2 3x y zr = = 1 1:

3 2 1x y zs − −

= =

b) 1:2 2 3x y zr +

= =−

2

: 23

x ts y t

z t

= = − = −

e) 2 5:3 2 4x y zr − −= =

3: 5

6 3

x ts y t

z t

= − + = − − = +

c) :r x y z= − = :x t

s y tz t

= − = = −

a) Recta r: ( )1,2,1u = −

, ( )2,0, 1P − Recta s: ( )1,2,1v =

, ( )2, 8, 5Q − − − ( ) ( )= − − − = −

4, 8, 4 4 1,2,1PQ

1 1

2 21 1

M− =

, 1 1 1

' 2 2 21 1 1

M− =

. ( ) ( )rg 2 rg 'M M= = ⇒ Rectas secantes.

b) Recta r: ( )2,2,3u = −

, ( )0, 1,0P − Recta s: ( )2, 2, 3v = − −

, ( )0,0,0Q ( )0,1,0PQ =

2 2

2 23 3

M− = − −

, 2 2 0

' 2 2 13 3 0

M− = − −

. ( ) ( )rg 1 rg ' 2M M= ≠ = ⇒Rectas paralelas.

c) Recta r: ( )1, 1,1u = −

, ( )0,0,0P Recta s: ( )1,1, 1v = − −

, ( )0,0,0Q ( )0,0,0PQ =

1 11 1

1 1M

− = − −

, 1 1 0

' 1 1 01 1 0

M−

= − −

. ( ) ( )rg 1 rg 'M M= = ⇒Rectas coincidentes.

d) Recta r: ( )1,2,3u =

, ( )0,0,0P Recta s: ( )3,2,1v =

, ( )1,1,0Q ( )1,1,0PQ =

1 32 23 1

M =

, 1 3 1

' 2 2 13 1 0

M =

. ( ) ( )rg 2 rg ' 3M M= ≠ = ⇒ Rectas que se cruzan.

e) Recta r: ( )3,2,4u =

, ( )0,2,5P Recta s: ( )1, 1,3v = −

, ( )3, 5,6Q − − ( )3, 7,1PQ = − −

3 12 14 3

M = −

, 3 1 3

' 2 1 74 3 1

M−

= − −

. ( ) ( )rg 2 rg 'M M= = ⇒ Rectas secantes.


Haces de rectas y planos

108. Escribe las ecuaciones de los haces de rectas:

a) Paralelas a 2 3 0

:2 2 8

x zr

x y z+ =

− + = −

b) Que pasan por el punto de intersección del plano : 2 4x y zπ + − = y la recta 2 2

:1

x y zr

x y z+ + =

− + = −

a) Se calculan dos puntos de la recta y, con ellos, un vector de dirección: ( )0,8,0A , ( )3,6,2B − , ( )= −

3,2, 2BA .

La ecuación del haz de rectas paralelas es: 31 2

3 2 2zx y − λ− λ − λ

= =−

b) El punto de intersección de la recta y el plano es:

( )2 4

2 2 1, 1, 1 1,1, 11

x y zx y z x y z P

x y z

+ − = + + = ⇒ = = = − ⇒ − − + = −

. Ecuación del haz de rectas secantes: 1 2 3

1 1 1x y z− − += =

λ λ λ

109. Escribe la ecuación del haz de planos secantes en las rectas:

a) = − λ

= − + λ = − λ

1: 2

1 2

xr y

z b) 1 2:

2 1 3x y zs − +

= =−

a) 1 01 2 1:2 1 01 1 2x yx y zrx z+ + =− + − = = ⇒ ⇒ − − =− −

Haz: ( )1 2 1 0x y x z+ + + λ − − = λ∈ , añadiendo 2 1 0x z− − = .

b) 2 3 01 2:3 2 3 02 1 3x yx y zsx z+ + =− + = = ⇒ ⇒ − − =−

Haz: ( )2 3 3 2 3 0x y x z+ + + λ − − = λ ∈ ,

añadiendo 3 2 3 0x z− − =

110. Escribe la ecuación del haz de planos paralelos, tal que uno de ellos pase por los puntos ( )2,1,1A − , ( )3,0, 3B − y ( )2,1,4C − .

Plano que pasa por A, B y C: 5 0 21 0 1 0 : 5 3 04 3 1

xy x yz

+− − = ⇒ π + − = ⇒− −

Haz: 5 0x y+ + λ = , λ ∈ .

Síntesis

111. Dados los puntos ( )1,2,0A − y ( )5, 2,4B − , calcula las coordenadas del punto C que está situado en el interior del segmento de extremos A y B, tal que la distancia de C a B sea el triple que la distancia de C a A.

Equivale a partir el segmento en cuatro partes iguales, luego buscamos C tal que 14

AC AB=

.

Tomando coordenadas, se tiene que: ( ) ( ) + − = − ⇒ = = = ⇒

1 2 3 1 2 31 1 11, 2, 6, 4,4 , 1, 1 ,1,14 2 2

c c c c c c C


112. *Calcula el valor de a para que los puntos ( )2,0, 1A − , ( )5,2, 2B − y ( )1, ,C a a pertenezcan a una misma recta.

( ) ( ) −⇒ − − + ⇒ = = ⇒ = −

− +

3 2 1 2|| 3,2, 1 || 1, ,11 1 3

AB AC a a aa a

113. Calcula todos los valores de m que hacen que los puntos del espacio ( )0,2,2A , ( )21,1, 1B m − y

( )2,0,2C m pertenezcan a una misma recta.

Escribe unas ecuaciones implícitas para esa recta.

( )21, 1, 3AB m= − −

; ( ) ( )2 22, 2,2 2 2 3 2 2 2 2 4 0 2, 1AC m m m m m m m= − − ⇒ − = − ⇒ − − = ⇒ = = −

Si m = 2: + =− − = = ⇒ − = −−

22 221 1 1

x yx y zx z

Si m = −1: + =− − = = ⇒ + =− −

22 22 21 1 2x yx y zx z

114. Calcula el valor de m para que los puntos del espacio ( )0,1,2A , ( )1,0,3B , ( )1, ,1C m y ( ), 1,2D m m− pertenezcan a un mismo plano. Para que A, B, C y D sean coplanarios se debe verificar que el rango de la matriz cuyas filas son los vectores AB

, AC

y AD

sea 2. Por tanto:

21 1 1

rg 1 1 1 2 4 0 2, 22 2 2

m m m mm m

− − − = ⇒ − = ⇒ = = − − −

115. Calcula el valor de a para que los puntos ( )3,0,2A , ( )0, ,B a a , ( )1,2,2C y ( )1, 1,0D − − sean coplanarios.

Para este valor hallado, calcula la ecuación del plano que contiene a los cuatro puntos.

Ecuación del plano que pasa por A, C y D: − − −

− = ⇒ π + − + =− −

2 4 32 1 0 : 2 2 5 4 00 2 2

xy x y z

z

Para que B pertenezca a π , se debe verificar: − + = ⇒ =42 5 4 03

a a a

116. Dadas las rectas:

2:

3x kz

ry z− =

− = − −

= + =1: 1

2xs y z

¿Existe algún valor de k que haga que estas rectas sean secantes?

23

2 11

x kzy zx zy z

− = − = − − = − = −

, 1 00 1 11 0 20 1 1

kM

− −= − −

, 1 0 20 1 1 3' 1 0 2 10 1 1 1

kM

− − −= − − −

. Entonces, ' 0 2M k= ⇔ =

Para k = 2, ( )rg 2M = y ( )rg ' 3M = . Para k ≠ 2, ( )rg 3M = y ( )rg ' 4M = .

En cualquier caso, el sistema es incompatible. Por tanto, no existe ningún valor de k para el cual las rectas se corten en un punto.



6:

2 2x y z

rx z+ − = −

− = − 2 2 1:

2 2x y zs

m+ − +

= =

Estudia sus posiciones relativas según los valores de m. Recta r: Punto: ( )1, 5,0A − − , vector director: ( )1,1,2ru =

. Recta s: Punto: ( )2,2, 1B − − , vector director: ( )2, ,2su m=

1 1 22 2M m =

, 1 1 2

' 2 21 7 1

M m = − −

, ( )rg 2M = , 1 1 22 2 0 141 7 1

m m= ⇒ = −− −

Si m = −14, ( )rg ' 2M = y las rectas se cortan. Si m ≠ −14, ( )rg ' 3M = y las rectas se cruzan.

CUESTIONES

118. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Dos rectas paralelas determinan un único plano.

b) Desde un punto exterior a una recta solo se puede trazar una paralela a ella.

c) Desde un punto exterior a una recta solo se puede trazar una perpendicular a ella.

d) Dos rectas que se cruzan no forman ningún ángulo.

e) Dadas dos rectas que se cruzan y un punto exterior a ellas, solo hay una recta que pase por ese punto y toque a las dos rectas.

a) Verdadero, porque basta tomar dos puntos A y B de una de las rectas y otro punto C de la otra recta. Entonces

se puede definir el plano que pasa por A y lleva la dirección AB

y AC

que es el plano determinado por las dos rectas paralelas.

b) Verdadero, porque sería la recta que pasa por ese punto y tiene por vector director el de la recta dada.

c) Falso, hay infinitas rectas perpendiculares a una recta que pasan por un punto exterior, solo una de ellas cortará a la recta, pero la afirmación no exige que sea secante.

d) Falso, porque el ángulo que forman dos rectas que se cruzan es el formado por los vectores directores de esas rectas.

e) Verdadero, puede ser una o ninguna. Si el plano que contiene a una de las rectas y pasa por el punto exterior es paralelo a la otra recta, no hay ninguna. Y si dicho plano es secante a la recta en un punto, la recta buscada es la que pasa por el punto de corte y el punto exterior.

119. Dado un plano y un punto de él:

a) ¿Cuántas rectas se pueden trazar que estén contenidas en el plano y que pasen por el punto?

b) ¿Cuántas rectas se pueden trazar y que sean perpendiculares al plano y que pasen por el punto?

a) Infinitas, porque existen infinitas direcciones en el plano.

b) Una única recta.


PROBLEMAS

120. Dado el plano : 6 4 3 0x y z Dπ + − − = :

a) Calcula el valor de D para que el plano pase por el punto ( )2,0,0P .

b) Calcula las coordenadas de A, B y C, que son los puntos de corte de los ejes de coordenadas con el plano π .

c) Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A, B y C.

a) 6 2 4 0 3 0 12 : 6 4 3 12 0D D x y z⋅ + ⋅ − ⋅ − ⇒ = ⇒ π + − + =

b) Eje X: 0

20

yx

z= ⇒ = =

Eje Y: 0

30

xy

z= ⇒ = =

Eje Z: 0

40

xz

y= ⇒ = − =

c) Baricentro: 2 4,1,3 3

G −

121. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos ( )2,1,3A − y ( )2, 1,4B − . El baricentro está situado en el

punto 1 1, ,33 3

G −

.

Calcula las coordenadas del tercer vértice C. Sea ( ), ,C a b c el vértice buscado. Entonces:

− + += ⇒ =

2 2 1 13 3

a a 1 1 1 13 3

b b− += − ⇒ = − 3 4 3 2

3c c+ += ⇒ =

Por tanto, ( )−1, 1,2C

122. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos ( )3,1, 1A − y ( )2,0,3B , y es paralelo a la recta de

ecuaciones:

2 1 3:1 3 4

x y zr − − −= =

( )1, 1,4AB = − −

, ( )1 1 3

1,3,4 1 3 1 0 : 8 4 19 04 4 1

r

xu y x y z

z

− −= ⇒ − − = ⇒ π − + − =

+

123. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto ( )2, 3,2P − − y es paralelo a las rectas:

2 1 3:1 3 4

x y zr + − −= =

− −

2 3:

1

x ts y t

z t

= + = = − −

( )1,3, 4ru = − −

, ( )1 3 2

3,1, 1 3 1 3 0 : 13 10 17 04 1 2

s

xu y x y z

z

− += − ⇒ + = ⇒ π − − − =

− − −


124. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )2, 3,0A − y es paralela a la recta determinada por la intersección de los planos:

: 2 3 0x y zπ − + = 1

' :2 2

x t sy t sz t s

= + +π = − = + +

1 1 1

' : 1 1 0 ' : 3 2 1 0 :2 1 2

xy x y z r s

z

−π − = ⇒ π + − + = ⇒

−

+ − + = ⇒ = − + =

3 2 1 0(5, 7, 11)

2 3 0 rx y z

ux y z

La recta buscada es = + λ

= − + λ = λ

2 5: 3 7 .

11

xr y

z

125. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto ( )1,1, 2P − − y es perpendicular a la recta 2 1

: .0

x y zr

x y z+ + =

− + =

( )= + λ

= −λ ⇒ = − − = − + λ

1 2: 2, 1, 3

1 3

xr y u

z es normal a 2 3 0 2 1 6 0 3 : 2 3 3 0x y z D D D x y zπ ⇒ − − + = ⇒ − − + + = ⇒ = − ⇒ π − − − =

126. Halla la ecuación de la recta perpendicular al plano : 2 2 1 0x y zπ − + − = y que pasa por el punto ( )1,0,3P − .

El vector normal del plano es el de dirección de la recta buscada. Por tanto, 1 2

:3 2

xr y

z

= − + λ = −λ = + λ

127. Halla la ecuación del plano paralelo al plano : 2 3 4 0x y zπ − + + − = que pasa por el punto medio del segmento de extremos ( )1, 2,3A − y ( )3,4, 3B − − .

Punto medio de A y B: ( )1,1,0M − Todos los planos paralelos a π son: 2 3 0x y z D− + + + =

De todos ellos, el que pasa por M cumplirá: 1 2 0 3 ' : 2 3 3 0D D x y z+ + = ⇒ = − ⇒ π − + + − =

128. Determina el plano perpendicular al segmento de extremos ( )2, 1,0A − y ( )2,2, 1B − − y que pasa por su

punto medio.

El punto medio es 1 10, ,2 2

M −

. El vector normal al plano será ( )4,3, 1AB = − −

.

El plano será 3 14 3 0 0 2 : 4 3 2 02 2

x y z D D D x y z− + − + = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ π − + − − = .

129. Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos ( )1, 1,1A − y ( )0,3, 2B − y es paralelo al eje Z.

Vectores de dirección: ( )1,4, 3AB = − −

, vector director del eje Z: ( )0,0,1 .

El plano será: 1 0 1

4 0 1 0 : 4 3 03 1 1

xy x yz

− −+ = ⇒ π + − =

− −


130. Determina la ecuación del plano paralelo a los ejes de coordenadas X e Y, y que pasa por el punto de

intersección de la recta 2

: 13

x tr y t

z t

= + = − =

con el plano : 2 2 3 0x y zπ + − + = .

Punto de intersección de r con el plano ( ): 2 2 2 6 3 0 7 7 1 3,0,3t t t t t Pπ + + − − + = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ .

La ecuación del plano es: ' : 3zπ =

131. Halla la ecuación de la recta de la figura.

11 1 331 0 0

yx y zz= −− + − = = ⇒ =

132. Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, donde:

1:2 2

x yr z+= =−

2

: 11

x ts y t

z t

= = + = −

Vectores de dirección: ( )2, 2,1ru = −

, ( )2,1,1su =

Punto de r: ( )1,0,0rP −

El plano es: 2 2 12 1 0 : 2 1 01 1

xy x zz

+− = ⇒ π − + =

133. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )0,1,3P y corta a las rectas siguientes. Para ello,

estudia previamente la posición relativa que ocupan las dos rectas.

a) 2:3 2 1x y zr −= =

−

2 1:

2 2 2x y

sx y z− = −

− − = − b) : 1

2

x tr y t

z t

= = + = +

2

:2 8

x y zs

x y z− + =

+ + =

a) Vector director de r: ( )3,2, 1ru = −

Punto de r: ( )0,0,2A

Vector director de s: ( )2,1,2su =

Punto de s: ( )1,0,0B −

Vector AB

: ( )1,0, 2AB = − −

Como ( )rg , 2r su u =

y ( )rg , , 3r su u AB = ⇒

Las rectas se cruzan.

El plano π que pasa por P y tiene como vectores ru

y PA

: 3 02 1 1 0 21 1 3

xy x y zz

− − = ⇒ − + =− − −

El plano 'π que pasa por P y tiene como vectores su

y PB

: 2 11 1 1 0 4 12 3 3

xy x y zz

−− − = ⇒ − + = −− −

La recta buscada será 2

: .4 1

x y zt

x y z− + =

− + = −


b) Vector director de r: ( )1,1,1ru =

Punto de r: ( )0,1,2A

Vector director de s: ( )1,0,1su = −

Punto de s: ( )4,2,0B

Vector AB

: ( )4,1, 2AB = −


y ( )rg , , 2r su u AB = ⇒

Las rectas se cortan.

El punto de corte es:

( )1 2 2 11,2,3

2 2 2 8 1t t t t

Qt t t t− − + + = = ⇒ ⇒ + + + + = =

La recta t buscada pasa por P y Q. ( )1,1,0 : 13

xPQ t y

z

= λ= ⇒ = + λ =

134. Se considera la recta r que pasa por el punto ( )3,0,0A y tiene como dirección la del vector ( )1,1, 1n = −

. Se consideran, también, los planos paralelos de ecuaciones : 2 0x yπ + = y ' : 2 3 0x yπ + + = .

La recta r determina un segmento PQ interior a los planos π y 'π .

Calcula las coordenadas del punto medio M de dicho segmento.

Ecuación de la recta: 3

:x t

r y tz t

= + = = −

Intersección de la recta r y el plano π, es decir, el punto P:

( ) ( )2 3 0 2 1, 2,2t t t P+ + = ⇒ = − ⇒ −

Intersección de la recta r y el plano 'π , es decir, el punto Q:

( ) ( )2 3 3 0 3 0, 3,3t t t Q+ + + = ⇒ = − ⇒ −

Por tanto, el punto medio es 1 5 5, ,2 2 2

M −

135. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )1,2,3P − y que toca a los ejes de coordenadas X y Z. Obviamente, la recta buscada es la que pasa por ( )0,0,0O y por ( )1,2,3P − .

Por tanto: : 23

xt y

z

= −λ = λ = λ


136. Escribe una expresión algebraica que determine todos los planos que contienen a la recta 1: .

2 1 2x y zr −

= =−

De todos los planos anteriores, escribe la ecuación del que pasa por el punto ( )1,0,4 .B −

Haz de planos secantes en la recta ( ): 2 1 2 0r x y y z+ − + λ + = , con λ ∈ , 2 0y z+ = añadiendo el plano.

Si pasa por B, verifica que ( )1 11 1 4 0 2 1 2 02 2

x y y z− − + λ = ⇒ λ = ⇒ + − + + =

Por tanto, : 2 6 2 0.x y zπ + + − =

137. Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices ( )2,0,1A − , ( )1, 1,2B − y ( )4,2, 3C − .

a) Calcula las coordenadas del vértice D.

b) Calcula la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.

c) Calcula las ecuaciones de las diagonales del paralelogramo.

a) En un paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto medio. El punto medio de estas diagonales es M,

que es el punto medio de AC, es decir, ( )1,1, 1M −

( )( )( )

( )

1 1 121, 1,21, , 1 3 1,3, 42

1,1, 1 2 1 42

a aB

bD a b c b DM c c

+ = ⇒ =−

− + ⇒ = ⇒ = ⇒ − − + = − ⇒ = −

b) La ecuación del plano que contiene a A, B, C y D es:

3 3 21 1 0 : 9 6 4 0

1 2 1

xy ABCD x y z

z

+− = ⇒ + + − =

− −

c) Diagonal AC: 2 13 1 2

x y z+ −= =

− Diagonal BD: 1 1 2

0 2 3x y z− + −

= =−

138. Dado el tetraedro de vértices ( )0, 1,2A − , ( )1,1, 1B − , ( )1,1,2C − y ( )1,0,1D − :

a) Calcula las coordenadas de los puntos medios M, N, P y Q de sus aristas AB, AC, DC y DB.

d) Comprueba que los puntos M, N, P y Q son coplanarios.

e) Estudia la posición relativa de la recta que contiene a la arista AD y del plano que contiene a M, N, P y Q.

a) 1 1,0,2 2

M

, 1 ,0,22

N −

, 1 31, ,2 2

P −

, 10, ,02

Q

.

b) Plano que pasa por M, N y P:

3 112 2

10 0 : 6 10 4 5 02

3 112 2

x

y x y z

z

− − −

= ⇒ π + + − =

−

Se comprueba que Q pertenece a π : 16 0 10 4 0 5 02

⋅ + ⋅ + ⋅ − =

c) La recta es paralela al plano.


139. Tres vértices de una de las caras de un paralelepípedo ABCDA’B’C’D’ son los puntos ( )1,2, 1A − , ( )0,2,1B y ( )3,2, 5C − .

a) Calcula las coordenadas del vértice D.

b) Sabiendo que todas las diagonales del paralelepípedo se cortan en el punto ( )1,4,1M , calcula las coordenadas de los otros cuatro vértices de la figura.

a) ( 1, 2, 1) (3, 0, 6) (4, 2, 7)AD BC x y z D= ⇒ − − + = − ⇒ = −

Por tanto, las coordenadas del vértice D serán ( )4,2, 7D − .

b) M es el punto medio de AA’, BB’ y CC’ y DD’.

Por tanto:

( )' 1,6,3A ( )' 2,6,1B ( )' 1,6,7C − ( )' 2,6,9D − .

140. Se consideran los puntos ( )1,1,1A , ( )0,2,1B , ( )2,0,1C y ( )2,1,0D .

a) Verifica si de esos cuatro puntos hay tres que están alineados. ¿Forman un cuadrilátero?

b) Comprueba que pertenecen a un mismo plano y calcula su ecuación.

a) Se consideran los vectores AB

, AC

y AD

.

( )1,1,0AB = −

, ( )1, 1,0AC = −

y ( )1,0, 1AD = −

Los vectores AB

y AC

son proporcionales.

Por tanto, A, B y C están alineados y, por tanto, ABCD no es un cuadrilátero.

b) Plano que pasa por A, B y D:

1 1 2

1 0 1 0 : 3 00 1

xy ABCD x y z

z

− −− = ⇒ + + − =

−


PARA PROFUNDIZAR

141. En el paralelepípedo de la figura se toma como referencia el origen A y los vectores AB

, AD

y AE

.

a) Calcula las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G y H.

b) Calcula las ecuaciones de los planos HGC y BCD.

c) Calcula las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales DB y DG.

d) Calcula las coordenadas de:

P: punto medio del segmento HG.

M: punto tal que 2MF EM=

.

N: punto tal que 2DN NC=

.

e) Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo MPN.

f) Calcula la ecuación del plano determinado por los puntos M, P y N.

g) Calcula las ecuaciones de la recta que contiene al segmento MN.

a) ( )0,0,0A ( )0,0,1E

( )1,0,0B ( )1,0,1F

( )1,1,0C ( )1,1,1G

( )0,1,0D ( )0,1,1H .

b) : 1HGC y = : 0BCD z =

c) 0:

1z

DBx y=

+ = :

1x z

DGy=

=

d) 1 ,1,12

P

, 1 ,0,13

M

, 2 ,1,03

N

e) Baricentro: 1 2 2, ,2 3 3

G

f)

1 1 16 3 31 1 0 : 6 3 00 1 1

x

y PMN x y zz

−

= ⇒ − + − =− −

g)

113:

1 3 3

x y zMN− −

= =−


142. Se consideran los puntos ( )2,1,0A , ( )0,2,1B , ( )1,0,2C y ( )3,0,0D , vértices de un cuadrilátero.

a) Comprueba que pertenecen a un mismo plano y calcula su ecuación.

b) Comprueba que entre los cuatro puntos no hay tres que estén alineados.

c) Calcula las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales del cuadrilátero.

d) Calcula las coordenadas de M, N, P y Q, puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA.

e) Comprueba que MNPQ es un paralelogramo.

f) Calcula las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales del paralelogramo MNPQ.

a) ( )2,1,1AB = −

, ( )1, 1,2AC = − −

y ( )1, 1,0AD = −

. ( )1, 2,1BC = −

, ( )3, 2, 1BD = − −

.

Plano que pasa por A, B, C y D: 3 0x y z+ + − =

b) Entre AB

, AC

y AD

no hay dos proporcionales. BC

y BD

tampoco son proporcionales. Por tanto, no hay tres puntos alineados.

c) Diagonal AC: 1 0

2 4 0x yx z− − =

+ − =. Diagonal BD:

2 3 6 02 0

x yy z

+ − = − =

Punto de corte:

1 02 4 0 9 4 2, ,2 3 6 0 5 5 5

2 0

x yx z

Rx y

y z

− − = + − = ⇒ + − = − =

d) Punto medio del lado AB: 3 11, ,2 2

M

Punto medio del lado BC: 1 3,1,2 2

N

Punto medio del lado CD: ( )2,0,1P

Punto medio del lado DA: 5 1, ,02 2

Q

e) 1 1, ,12 2

MN = − −

, 1 1, ,12 2

QP = − −

Como MN QP=

, MNPQ es un paralelogramo.

f) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Por tanto, 3 3 3, ,2 4 4

S


143. Dada la familia de los planos que tienen por ecuación:

( ) ( )2 1 0x y z+ λ + + λ − =

a) Calcula dos de ellos.

b) Comprueba que los planos elegidos pasan por el punto ( )1, 3, 1P − − .

c) ¿Hay alguna recta que esté contenida en todos los planos considerados? En caso afirmativo, escribe su ecuación.

a) 0 2 0x y zλ = ⇒ + − = 1 3 0x yλ = ⇒ + =

b) ( ) ( )( )2 3 1 1 2 3 1 0+ λ − + λ − − = + λ − − λ + = ⇒ P pertenece a todos los planos.

c) ( ) 2 02 0 :

0x y z

x y z x z rx z

+ − =+ − + λ + = ⇒ + =

144. En el prisma de la figura se toma como referencia el origen A y los vectores AB

, AF

y AD

.

a) Calcula las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E y F.

b) Calcula la ecuación del plano CBE.

c) Calcula las ecuaciones de la recta que contiene a la diagonal BE.

d) Calcula las coordenadas de:

M: punto tal que 2MB AM=

N: punto tal que 2DN NE=

e) Calcula las ecuaciones de la recta que contiene al segmento MN.

a) ( )0,0,0A , ( )1,0,0B , ( )1,0,1C , ( )0,0,1D , ( )0,1,1E , ( )0,1,0F

b) : 1 0CBE x y+ − =

c) 1

1:11 1 1

xy zx y zBE yx y

z

= − λ=− = λ ⇒ = = ⇒ + =− = λ

d) 1 ,0,03

M

20, ,13

N

e)

113 3 2 03: 2

6 3 21 2 33

xx y zy zMN y

x yz

= − λ − − = = λ ⇒ = = ⇒ + =− = λ


145. Considera la recta 2 7

:5 8

x y zr

x y z− + =

− − = − y el plano 2ax y z b+ + = .

a) Calcula los valores de a y de b para que la recta sea paralela al plano.

b) Calcula los valores de a y de b para que la recta corte al plano.

c) Calcula los valores de a y de b para que la recta esté contenida en el plano.

1 1 21 1 5

2 1M

a

− = − −

, 1 1 2 7

' 1 1 5 82 1

Ma b

− = − − −

7 14M a= + 1 2 71 5 8 23 7

2 1b

b

−− − − = +

7 14 0 2a a+ = ⇒ = − 2323 7 07

b b+ = ⇒ = −

a) Para 2a = − y 237

b ≠ − , ( ) ( )rg 2,rg ' 3M M= = ⇒ La recta es paralela al plano.

b) Para 2a ≠ , ( ) ( )rg rg ' 3M M= = ⇒ La recta corta a plano.

c) Para 2a = − y 237

b = − , ( ) ( )rg rg ' 2M M= = ⇒ La recta está contenida en el plano.

146. Escribe la condición que deben verificar a, b y c para que los puntos ( )1,0,A a , ( )1, ,0B b y ( ),0,1C c estén alineados.

( )0, ,AB b a= −

; ( )1,0,1AC c a= − −

Para que A, B y C estén alineados, AB

y AC

deben ser proporcionales: c = 1, b = 0 y cualquier valor de a.

147. ¿Qué condición deben verificar a, b y c para que ( )1,0,A a , ( )1, ,0B b , ( ),0,1C c y ( )1,1,1D sean coplanarios?

( )0, ,AB b a= −

, ( )1,0,1AC c a= − −

, ( )0,1,1AD a= −

Para que A, B, C y D sean coplanarios, debe verificarse que ( )rg , , 3AB AC AD <

. Por tanto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1

0 1 0 1 1 1 0 1 01 1

c cb c a b c a c a b ab

a b aba a a

− == ⇒ − + − − = ⇒ − + − = ⇒ + =− − −

148. Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los diferentes valores de m:

: 1' : 1'' : 1

mx y zx my zx y mz

π + + =π + + =π + + =

2( 1) ( 2)M m m= − +

Si 2m ≠ − , los tres planos forman triedro y se cortan en el punto 1 1 1, ,2 2 2

Pm m m

+ + +

.

Si m = −2, los tres planos forman un prisma.

Si m = 1, los tres planos son coincidentes.


149. Calcula los valores de los parámetros a y b que hacen que los siguientes planos se corten todos en una misma recta.

: 2 0' : 2 2 1 0'' : 2 1 0

x y zx y zax y bz

π + − =π + − + =π + + − =

1 2 11 2 2

2M

a b

− = −

, 1 2 1 0

' 1 2 2 12 1

Ma b

− = − −

Para que los planos se corten en una recta, el sistema debe ser compatible indeterminado con un parámetro.

Por tanto: ( ) ( )rg rg ' 2M M= = .

1 2 11 2 2 0 2 2 0 1

2a a

a b

−− = ⇒ − = ⇒ =

2 1 02 2 1 0 2 0 02 1

b bb

−− − = ⇒ = ⇒ =

Luego, los parámetros buscados para que los dos planos se corten en una misma recta son a = 1 y b = 0.

150. Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los diferentes valores de m y n:

: 1' : 2 3 1'' :

x y zx y zy mz n

π + + =π + + =π + =

1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 1 0 1 2 00 1 0 0 2m n m n

→ −

Si 2m ≠ , los tres planos forman un triedro y se cortan en el punto 21 , ,2 2 2

n n nPm m m

+ − − − .

Si m = 2 y n = 0 los tres planos tienen una recta en común.

Si m = 2 y n ≠ 0 los tres planos forman un prisma.


Autoevaluación


1. En cada caso, calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación en forma continua de la recta r que cumple las siguientes condiciones:

a) Pasa por los puntos ( )1,2,4A − y ( )3,4, 7B − − .

b) Pasa por el punto ( )3,4,0A − y su dirección es perpendicular a la de los vectores ( )1,2, 3u = − −

y ( )0, 2,5v = −

.

a) Un vector director será el ( )1 2

1 2 42,2, 11 2 22 2 114 11

x tx y zAB y t

z t

= − −+ − −= − − ⇒ = + ⇒ = =− − = −

b) Un vector director será el 3 4

1 2 3 4 5 2 4 50 2 5 2

x ti j ku v i j k y t

z t

= − +× = − − = + + ⇒ = +

− =

2. En cada caso, calcula las ecuaciones paramétricas y la general del plano α que cumple las siguientes

condiciones:

a) Pasa por los puntos ( )1,2, 1A − − , ( )1,0,3B − y ( )1,2,3C − .

b) Pasa por el punto ( )3, 2,1A − − y uno de sus vectores normales es el ( )1, 2, 3n = − −

.

a) 0 0 12 0 2 0 1 0

4 4 1

xy xz

+− − = ⇒ + =

+

b) El plano pedido será de la forma 2 3 0x y z D− − + = . Como debe pasar por A, entonces:

3 4 3 0 2D D− + − + = ⇒ =

Por tanto, 2 3 2 0x y z− − + =

3. a) Decide si los puntos A, B y C están alineados o forman triángulo: ( )1,2, 2A − , ( )2,0,1B y ( )0,4, 4C − .

b) Decide si los puntos A, B, C y D son coplanarios o forman tetraedro: ( )2,1,1A , ( )1,0, 2B − , ( )1,2,0C − y

( )2,0, 5D − −

a) ( )1, 2,3AB = −

, ( )1,2, 2AC = − −

, 1 2 3rg 21 2 2− = ⇒ − −

A, B y C forman triángulo.

b) A, B, C y D son coplanarios ( )rg , , 2AB AC AD⇔ ≤

. ( )1, 1, 3AB = − − −

, ( )3,1 1AC = − −

, ( )4, 1, 6AD = − − −

.

1 3 41 1 1 23 1 6

rg− − −

− − = ⇒ − − −

A, B, C y D son coplanarios.


4. Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto ( )1, 1,2P − − y por la recta dada por la ecuación 1 2:

2 1x yr z− −

= =− −

.

La recta r pasa por ( )1,2,0A y tiene como vector director ( )2, 1,1u = − −

.

El plano pedido será el que pasa por A y tiene como vectores directores u

y ( )2, 3,2AP = − −

.

2 2 11 3 1 0 2 4 5 01 2 2

xy x y zz

− − +− − + = ⇒ + + − =

−

5. a) Estudia la posición relativa de los planos : 2 3 5 25 0x y zπ + − − = , ' : 3 2 3 4x y zπ + + + y

'' : 2 x 2y 5z 21 0.π + − − =

b) Estudia la posición relativa de la recta r y del plano π .

: 21 3

xr y

z

= λ = − λ = − − λ

: 1x y zπ − + = −

c) Estudia la posición relativa de las rectas r y s.

5 6:1 2 1x y zr + −= =

−

2 1:

3x y

sx y z

+ = − + + =

a) 2 3 53 2 32 2 5

M−

= −

, ( ) ( )2 3 5 25

' 3 2 3 4 rg 3 rg '2 2 5 21

M M M−

= − ⇒ = = ⇒ −

Los planos se cortan en un punto.

Las coordenadas del punto de corte se obtienen resolviendo el sistema. Aplicando el método de Gauss:

( )2 3 5 25

5 21 83 1,4, 321 63

x y zy z P

z

+ − = − + = − ⇒ − − − =

b) Sustituyendo los valores de la recta en el plano: 2 1 3 1 0 0λ + λ − − λ = − ⇒ λ = ⇒ La recta está contenida en el plano.

c) Tomamos dos puntos de la recta s: ( )0, 1,4A − y ( )1,1,3B −

( )1,2, 1ru = −

, ( )1,2, 1su AB= = − −

. Punto de r: ( )0, 5,6rA − . Punto de s: ( )0,1, 4sA − . ( )0,6, 10r sA A = −

.


y ( ), , 2r s r srg A A u u = ⇒

Las rectas r y s se cortan en un punto.

Las coordenadas del punto de corte se obtienen al resolver el sistema: ( )

2 56

1, 3,52 1

3

x yx z

Px y

x y z

− = + = ⇒ − + = − + + =


6. Dadas las rectas 2 3:2 1 2

x y z kr + − += =

− − y

4 4: 1 3

4 5

xs y

z

= − + λ = − + λ = − + λ

a) Calcula el valor de k para que las rectas se corten.

b) Para el valor hallado en el apartado anterior, calcula las coordenadas del punto de corte y la ecuación del plano que determinan las dos rectas.

a) ( )2,1, 2ru = − −

, ( )4,3,5su =

, ( )2,3,rA k− − , ( )4, 1, 4sA − − − , ( )2, 4, 4r sA A k= − − −

Para que las rectas se corten en un punto debe ocurrir que ( )rg , 2r su u =

y ( )rg , , 2r s r sA A u u =

. Entonces:

2 2 44 1 3 0 10 10 0 14 2 5

k kk

− −− = ⇒ − = ⇒ =− −

b) Sustituyendo los valores de s en r: ( )2 4 4 3 3 5 1 0,2,12 1 2

P− + λ − + λ − + λ= = ⇒ λ = ⇒

− −

El plano que determinan r y s en este caso es: 2 41 3 2 0 :11 2 10 6 02 5 1

xy x y zz

−− = ⇒ π + − + =

− −

7. Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( )1, 2,0P − , que es paralela al plano : 2 3x yπ + =

y que es perpendicular a la recta : 1r x y z= − = .

Sean ( )1,1,1ru =

vector director de r y ( )2,1,0nπ =

vector normal al plano. El vector w

, director de la recta

buscada, debe ser perpendicular a ru

y nπ

a la vez. Por tanto, ( )1,2, 1rw u nπ= × = − −

.

La recta s pedida tendrá por ecuaciones: 1 2:1 2 1

x y zs − += =

− −.


1. Calcula el valor de m para que la recta 2

:1 3

xr y

z

= + λ = λ = + λ

sea paralela al plano : 2 1 0x y mzπ + − + = .

A. m = 2 C. En ningún caso la recta es paralela al plano.

B. m = 1 D. La recta siempre es paralela al plano.

La solución es B. Un vector de dirección de la recta es ( )1,1,3 . Un vector normal del plano es ( )2,1, m− . Para que la recta sea paralela al plano, los dos vectores deben ser perpendiculares y, por tanto, su producto escalar nulo:

( ) ( )1,1,3 2,1 2 1 3 0 1m m m⋅ − = + − = ⇒ =


2. Dada la recta 2 6: 14

xr y z−= − = − , un punto P y un vector de dirección u

de ella son:

A. ( )6, 1,0P − − ( )4,0,0u =

C. ( )3,1,0P ( )2,1, 1u = −

B. ( )6,1,0P ( )4,1,1u =

D. ( )3,1,0P ( )2,1,1u =

La solución es C. 3: 12 1

x zr y−= − =

−. Se observa que el punto y el vector director son los indicados en esa

respuesta.


3. Si A y B son dos puntos diferentes del espacio y el vector ( )2,1,3n =

es un vector normal del plano π .

A. Si A y B son dos puntos del plano nπ ⇒

y AB


B. n

y AB

son perpendiculares⇒ A y B son puntos del plano π .

C. Si al menos uno de los dos puntos A y B pertenece a nπ ⇒

y AB


D. n

y AB

no son perpendiculares⇒ Al menos uno de los dos puntos A y B no pertenecen a π .

Una solución es A porque n

es perpendicular a cualquier vector de dirección del plano y a AB

. La otra solución correcta es D porque si A y B pertenecen al plano, entonces n

es perpendicular AB

.

4. Se consideran los puntos del espacio ( ),0,0A a , ( )0, ,0B b , ( )0,0,C c y ( )0,0,0O .

A. Si a = b = 0⇒ A, B, C y D son coplanarios.

B. Si A, B, C y O son coplanarios 0abc⇔ =

C. Si alguno de los valores a, b y c es no nulo⇒ el volumen del tetraedro es diferente de 0.

D. El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y O es abc .

El plano que pasa por los puntos A, B y C es bcx acy abz abc+ + = . Para que O pertenezca a este plano es suficiente con que uno de los valores a, b o c sea igual a 0.

Las soluciones son A y B.


5. Se consideran los planos 1 : 0Ax By Cz Dπ + + + = , 2 : ' ' ' ' 0A x B y C z Dπ + + + = ,

3 : '' '' '' '' 0A x B y C z Dπ + + + = y la matriz ' ' ''' '' ''

A B CM A B C

A B C

=

.

1. El rango de la matriz M es 2.

2. Los planos se cortan en una recta.

A. 1 ⇔ 2 C. 2 ⇒ 1 pero 1⇒ 2.

B. 1 ⇒ 2 pero 2 ⇒ 1 D. 1 y 2 no se pueden dar a la vez.

El rango de la matriz ' ' ''' '' ''

A B CM A B C

A B C

=

puede ser 3, por tanto 1 ⇒ 2. Por tanto, la solución es C.



6. Para calcular el área y el perímetro del cuadrilátero es ABCD se dan los siguientes datos:

1. Las coordenadas de los vértices opuestos A y C.

2. Las coordenadas del vértice B.

3. Las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales.

4. El hecho de que el cuadrilátero es un paralelogramo.

Puede eliminarse el dato:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

No es necesario conocer el punto donde se cortan las diagonales del cuadrilátero. Por tanto, la respuesta correcta es C.

208 Unidad 12| Propiedades métricas

12 Propiedades métricas



2. Calcula el ángulo que forman las siguientes rectas.

2: 2

xr y

z

= + λ = − + λ = −λ

2 3

:2 3

x ys

x z+ = −

− =

( )1,1, 1ru = −

( )2 1 0 1,2, 22 0 1

s

i j ku = = − −

−

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

1 1 1 2 1 2 1cos 54 º 4431 1 1 1 2 2

⋅ − + ⋅ + − ⋅ −α = = ⇒ α

+ + − ⋅ − + + −

3. Halla los vectores directores de las rectas y el ángulo que forman.

2 4 5:

4 3x y z

rx y z

− + = −− + − =

3 1

:2 3 4x z

sx y+ =

− + = −

( )2 4 1 15,7, 21 1 4

r

i j ku = − = −

− −

( )3 0 1 3, 2,92 3 0

s

i j ku = = − −

−

( )

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

15 ( 3) 7 2 ( 2) 9 77cos 61º 33' 16''26 13215 7 2 3 2 9

⋅ − + ⋅ − + − ⋅α = = ⇒ α

+ + − ⋅ − + − +


5. Calcula el ángulo formado por los planos:

a) : 2 3 6 0x y zπ + − + = y ' : 2 5 0y zπ − + = b) : 2 3 2 6 0x y zπ − + − = y ' : 3 6 6 1 0x y zπ + + − =

a) Vectores normales de π y de 'π son ( )2,3, 1nπ = −

y ( )' 0,2, 1nπ = −

( ) ( )'

'

7 7 7cos , ' , ' arccos 33º 13'14 5 70 70

n n

n n

π π

π π

⋅π π = = = ⇒ π π =

⋅

b) Vectores normales de π y de 'π son ( )2, 3,2nπ = −

y ( )' 3,6,6nπ =

' 2 3 3 6 2 6 0n nπ π⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

Dado que el producto escalar de dichos vectores es nulo, deducimos que los planos son ortogonales.

Propiedades métricas | Unidad 12 209

6. Calcula el valor de m para que los planos:

: 2 3 1x y zπ − + = ' : 2 0x y mzπ − + =

a) Sean perpendiculares. b) Formen un ángulo de 60º.

a) Los planos serán perpendiculares si sus vectores normales lo son:

( )2, 3,1nπ = −

y ( )' 1, 2,n mπ = −

' 2 6 0n n mπ π⋅ = + + = ⇒

m = −8

b) ( ) ' 2

2'

8 1 16 721cos , ' 70 14 16 22 514 5

n n m m m mn n m

π π

π π

⋅ + ±π π = = = ⇒ + = + ⇒ =

⋅ +


8. Calcula el ángulo formado por r y π en los siguientes casos.

a) 1 10:1 1 2

x y zr − −= =

− : 2 0x yπ − =

b) 2: 1 32

yr x z+− = = − : 2 3 0zπ − =

c) 1

:2

xr y

z

= + λ = λ = + λ

1: 02

x y zπ − + =

a) Vector normal de π: ( )2, 1,0nπ = −

Vector director de r: ( )1,1, 2ru = −

( ) ( )1 1 1sen , , arcsen 10º 31'5 6 30 30

r

r

n ur r

n u

π

π

⋅π = = = ⇒ π =

⋅

b) Vector normal de π: ( )0,0,2nπ =

Vector director de r: ( )1, 2,1ru =

( ) ( )2 1 1sen , , arcsen 30º2 2 2 2

r

r

n ur r

n u

π

π

⋅π = = = ⇒ π =

⋅

c) Vector normal de π: 11, ,12

nπ = −

Vector director de r: ( )1,1,1ru =

( ) ( )3

1 12sen , , arcsen 35º16'3 3 332

r

r

n ur r

n u

π

π

⋅π = = = ⇒ π =

⋅


9. Calcula el ángulo formado por la recta r y el plano π.

2 3 0

:0

x y zr

x z− + =

− = : 2 3x y zπ + − =

Vector normal de π: ( )1,1, 2nπ = −

Vector director de r: ( ) ( )2 3 1 3,3,3 1,1,11 0 1

r

i j ku = − =

−

( ) ( )1 1 2sen , 0 , arcsen0 0º6 3

r

r

n ur r

n u

π

π

⋅ + −π = = = ⇒ π =

⋅

Por tanto, la recta es paralela al plano.

10. Calcula el valor de m, si es que existe, para que la recta 2:

1x mz

ry z

= + = +

y el plano : 3 3 2 0x y zπ − − − = :

a) Sean paralelos. b) Sean perpendiculares.

a) Los vectores nπ

y ru

deben ser perpendiculares, es decir, su producto escalar debe ser nulo:

3 3 0rn u mπ ⋅ = − − = ⇒

m = 6.

b) Los vectores nπ

y ru

deben ser paralelos, es decir, proporcionales:

1 3 3 11 1 3

mm

− −= = ⇒ = −

11. Calcula la proyección ortogonal de ( )2, 2,0P − sobre el plano : 2 3y zπ + = y sobre la recta 3 4 8

: .4 20

x yr

x z+ =

+ = −

Para la calcular la proyección ortogonal de P sobre el plano π. Como 2 0 3 P− + ≠ ⇒ ∉ π .

Vector normal de π: ( )0,1,2nπ =

Recta perpendicular a π que pasa por P: 2

: 22

xr y

z

= = − + λ = λ

Se obtiene Pπ , la proyección ortogonal del punto P sobre el plano π resolviendo el sistema formado por la recta r y el plano π.

( )2 4 3 1 2,1,2Pπ− + λ + λ = ⇒ λ = ⇒

Para calcular la proyección ortogonal de P sobre la recta r. Como ( )3 2 4 2 2 8 P r⋅ + ⋅ − = − ≠ ⇒ ∉ .

Se calcula el plano perpendicular a r y que pasa por P.

( ) ( )3 4 0 16, 12, 4 4, 3, 11 0 4

r

i j ku = = − − − −

4 3 0 8 6 0 0 14 : 4 3 14 0x y z D D D x y z− − + = ⇒ + − + = ⇒ = − ⇒ π − − − =

Se resuelve el sistema 3 4 8

4 204 3 14

x yx z

x y z

+ = + = − − − =

y se tiene la proyección ortogonal del punto P sobre la recta r

30 297 145, ,13 26 26rP −

.


12. Halla el simétrico de ( )1,1, 2P − respecto del plano : 3 4 16 0x y zπ − + − = y respecto de la recta 24 36 7

:2 1

x yr

z− = −

=.

Para calcular el simétrico de P respecto del plano π

Sea P’ el punto simétrico de P respecto del plano π.

Como 1 3 8 16 0 P− − − ≠ ⇒ ∉ π

Se calcula el punto Pπ , proyección ortogonal de P sobre π:

1

' : 1 32 4

xPP y

z

= + λ = − λ = − + λ

( )

11 3

' 1 2, 2,22 4

3 4 16 0

xy

P PP Pzx y z

π π

= + λ = − λ= π ∩ ⇒ ⇒ λ = ⇒ − = − + λ − + − =

Se supone que el punto 'P buscado es ( )' , ,P a b c y se obliga a que Pπ sea el punto medio de P y de 'P :

1 2 32

a a+= ⇒ = 1 2 5

2b b+

= − ⇒ = − 2 2 62

c c−= ⇒ =

Por tanto, ( )' 3, 5,6P − .

Para calcular el simétrico de P respecto de la recta r:

Sea P’ el punto simétrico de P respecto de la recta r.

Como ( )2 2 4 1 P r⋅ − = − ≠ ⇒ ∉

Se calcula el punto Pπ , proyección ortogonal de P sobre r:

( )3,2,0ru = ⇒

El plano π perpendicular a r y que pasa por P es:

3 2 0 3 2 0 5 : 3 2 5 0x y D D D x y+ + = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ π + − =

24 36 7

83 47 12 1 , ,78 52 23 2 5 0

x yP r z P

x yπ π

− = − = π ∩ ⇒ = ⇒

+ − =

Se supone que el punto P’ buscado es ( )' , ,P a b c y se obliga a que Pπ sea el punto medio de P y de 'P :

1 83 442 78 39

a a+= ⇒ = 1 47 21

2 52 26b b+

= ⇒ = 2 1 32 2

c c−= ⇒ =

Por tanto, 44 21' , ,339 26

P

.



17. Comprueba si el triángulo de vértices ( )2, 1,4A − , ( )1,3, 4B − y ( )3, 1,3C − − es equilátero, isósceles o escaleno. Los lados del triángulo miden:

( )22 24 4 7 9BC = + + − =

( ) ( )2 225 0 1 26AC = − + + − =

( ) ( )2 221 4 8 9AB = − + + − =

.

Se trata de un triángulo isósceles.

18. Calcula la distancia del punto P al plano π:

a) ( )1, 2,6P − : 2 2 3 0x y zπ + − + =

b) 1 2, 1,2 3

P − −

: 3 2 16 0x y zπ − − − − =

c) ( )4, 1,3P − : 2 3 0x y zπ + − + =

a) ( )2 1 2 2 6 3 9, 3 u

34 1 4d P

⋅ − − ⋅ +π = = =

+ +

b) ( )

3 41 1691 13 142 3, u

129 1 4 6 14d P

− + + −π = = =

+ +

c) ( )4 1 6 3

, 01 1 4

d P P− − +

π = = ⇒ ∈ π+ +

. La distancia es cero.

19. Calcula los valores de m para que la distancia entre los planos paralelos:

: 3 4 12 0x y z mπ − − + = 3' : 2 6 3 02

x y zπ − − + =

sea de 2 unidades de longitud. El punto ( )2,0,0 'P − ∈ π .

( ) 6 6 6 26 32, 2

6 26 20139 16 144

m m m md P

m m− + − + − + = ⇒ =π = = = ⇒ − = ⇒ = −+ +



21. Calcula la distancia del punto ( )2,3,5P − a la recta r en los siguientes casos.

a) 2 2

:2 6 9

x y zr

x y z− + =

+ + = c) 2 1:

3 4 3x y zr − −

= =−

b) 2

: 2 22 3

xr y

z

= − λ = + λ = + λ

d) 2:

2x

ry

= = −

a) Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:

( )2 1 1 8, 11,51 2 6

r

i j ku = − = − −

( )1,1,1Q

( )3, 2, 4PQ = − −

, ( )8 11 5 54, 17,493 2 4

r

i j ku PQ× = − − = −

− −

, 2 2 2| | 54 17 49 5606ru PQ× = + + =

( )2 2 2

5606 5606 2803,1052108 11 5

r

r

u PQd P r

u

×= = = =

+ +

u.

b) Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:

( )1,2,3ru = −

( )2,2,2Q

( )4, 1, 3PQ = − −

, ( )1 2 3 3,9, 74 1 3

r

i j ku PQ× = − = − −

− −

, 2 2 2( 3) 9 ( 7) 139ru PQ× = − + + − =

( ) 139 139,141 4 9

r

r

u PQd P r

u

×= = =

+ +

u.

c) Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:

( )3,4, 3ru = −

( )2,0,1Q

( )4, 3, 4PQ = − −

, ( )3 4 3 25,0, 254 3 4

r

i j ku PQ× = − = − −

− −

, 2 225 25 25 2ru PQ× = + =

( ) 25 2 25 17,1734

r

r

u PQd P r

u

×= = =

u.

d) Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:

( )0,0,1ru =

( )2, 2,0Q −

( )4, 5, 5PQ = − −

, ( )0 0 1 5,4,04 5 5

r

i j ku PQ× = =

− −

, 25 16 41ru PQ× = + =

( ) 41, 411

r

r

u PQd P r

u

×= = =

u.


22. Comprueba que las rectas r y s se cruzan y calcula la distancia entre ellas.

1 1 1:2 1 1

x y zr − − −= =

− 2 3 2

:0

x y zs

x y+ + = −

+ =

( )2, 1,1ru = −

, ( )1,1,1P

( )2 3 1 1,1, 11 1 0

s

i j ku = = − −

, ( )0,0, 2Q −

2 1 11 1 1M − = − −

, 2 1 1

' 1 1 11 1 3

M−

= − −

( )rg 2M = , ( )' 6 1 1 1 2 3 4 0 rg ' 3M M= − + − + − = ≠ ⇒ =

Por tanto, las rectas se cruzan.

Se halla el plano π que contiene a s y es paralelo a r.

22 1 1 0 : 2 01 1 1

x y zy z

+− = ⇒ π + + =

− −.

( ) ( )2 2

1 1 2 4, , 2 221 1

d r s d P+ +

= π = = =+

u

23. Comprueba que la recta 3 2 1:4 1 2

x y zr − + += =

− − es paralela al plano : 2 4x zπ + = y calcula la distancia

que los separa. Se comprueba la posición relativa de la recta y el plano:

( )4, 1,2ru = − −

( )1,0,2nπ =

( )3, 2, 1P − −

Como 4 4 0r ru n u n rπ π⋅ = − + = ⇒ ⊥ ⇒ π

Se calcula la distancia: ( ) ( )2 2

3 2 4 3 3 5, ,551 2

d r d P− −

π = π = = =+

u



25. Comprueba que r y s se cruzan y halla su perpendicular común.

2 2: 1

xr y

z

= λ + = λ − = λ

1 1:2 1 2

x y zs − += =

−

Las ecuaciones paramétricas r y s son: 2 2

: 1x

r yz

= λ + = λ − = λ

1 2

: 12

xs y

z

= + µ = − − µ = µ

El vector ( )1 2 2 , ,2− + µ − λ −µ − λ µ − λ debe ser perpendicular a ru

y su

:

2 4 4 2 0 6 5 2 82 4 4 4 2 0 5 9 2 29

− + µ − λ − µ − λ + µ − λ = − λ + µ = ⇒ ⇒ λ = − − + µ − λ + µ + λ + µ − λ = − λ + µ = , 2

29µ =

La perpendicular común será la recta que pasa por 42 37 8, ,29 29 29

A − −

y 33 31 4, ,29 29 29

B −

es

42 37 829 29 29:9 6 12

x y zt

− + += =

−.

26. Determina si las siguientes rectas se cruzan y, en su caso, halla su perpendicular común.

2 0:

2 6x y z

rx y z− + =

+ + = 1:

1zs x y −

= =−

Las ecuaciones paramétricas r y s son: 2

: 2x

r yz

= − µ = + µ = µ

:1

xs y

z

= λ = λ = − λ

El vector ( )2, 2,1λ + µ − λ − µ − − λ − µ debe ser perpendicular a ru

y su

:

2 2 1 0 3 1 72 2 1 0 3 5 4

−λ − µ + + λ − µ − + − λ − µ = −λ − µ = − ⇒ ⇒ λ = λ + µ − + λ − µ − − + λ + µ = λ + µ = , 1

4µ = −

La perpendicular común será la recta que pasa por 9 7 1, ,4 4 4

A −

y 7 7 3, ,4 4 4

B −

:

9 7 14 4 4:

1 0 1

x y zt

− − += =

27. Calcula el plano mediador del segmento de extremos A y B.

a) ( )2,4,5A − ; ( )4,6,5B −

b) ( )1,2, 3A − − ; ( )3, 4,2B − −

a) ( )3,5,5M − ( )2,2,0AB = −

que es paralelo a ( )1,1,0− .

0 3 5 0 8 8 0x y D D D x y− + + = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ − + − =

b) 12, 1,2

M − − −

( )2, 6,5AB = − −

5 15 152 6 5 0 4 6 0 2 6 5 02 2 2

x y z D D D x y z− − + + = ⇒ + − + = ⇒ = − ⇒ − − + − =


28. Calcula la ecuación de los planos que dividen a los diedros determinados por los planos : 2 2 1x y zπ + − = y ' : 2 2 5x y zπ + + = en dos partes iguales.

Sea P un punto genérico del espacio.

( ) ( ) 2 2 1 2 2 5 3 4 02 2 1 2 2 5, , '2 2 1 2 2 5 4 3 6 04 1 4 4 4 1

x y z x y z y zx y z x y zd P d Px y z x y z x y z

+ − − = + + − + − =+ − − + + − π = π ⇒ = ± ⇒ ⇒ + − − = − − − + + − − =+ + + +


32. Escribe la ecuación de las siguientes superficies esféricas.

a) De centro el punto ( )2,1,2C − y de radio, r = 4.

b) Uno de sus diámetros es el segmento de extremos ( )2, 1,3A − y ( )4, 1,1B − .

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 21 2 3 2 1 2 4x c y c z c r x y z− + − + − = ⇒ + + − + − = ⇒

2 2 2 2 2 24 2 4 4 1 4 16 0 4 2 4 7 0x y z x y z x y z x y z⇒ + + + − − + + + − = ⇒ + + + − − − =

b) El centro estará situado en el punto medio del segmento AB: ( )3, 1,2M − .

El radio será la distancia de M a A: 1 0 1 2r = + + =

La esfera es: ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 23 1 2 2 6 2 4 9 1 4 2 0x y z x y z x y z− + + + − = ⇒ + + − + − + + + − = ⇒

2 2 2 6 2 4 12 0x y z x y z⇒ + + − + − + =

33. Halla el centro y el radio de la superficie esférica 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z+ + − + − + = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 1, 2,3

1 1 2 4 3 9 11 0 1 2 3 33

Cx y z x y z

r

−− − + + − + − − + = ⇒ − + + + − = ⇒ =

34. Halla la ecuación de la superficie esférica de centro ( )2, 2,0P − y tal que el plano que pasa por los puntos ( )0,1, 1A − , ( )1,0, 1B − − y ( )1,1,1C es tangente a ella. Calcula las coordenadas del punto de tangencia.

Plano π que pasa por A, B y C: 1 1

: 1 1 0 0 2 2 1 01 0 2

x y zx y z

− +π − − = ⇒ − − + =

Radio de la esfera: ( )4 4 1

, 39

r d P+ +

= π = =

La ecuación de la esfera es: ( ) ( )2 2 22 2 9x y z− + + + =

El punto de tangencia es:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

22 2 2 2 24 4 1 02 2 9 2 1 0 1 04 4 2 22 2 1 0

x y z x yx y z x y z z x y zx y zx y z

+ + − + − =− + + + = ⇒ ⇒ + + − + = ⇒ + + − = ⇒ − + = − +− − + =

⇒ x = 0, y = 0, z = 1. El punto de tangencia es el ( )0,0,1Q .


35. Halla la ecuación de la superficie esférica de radio 4, tangente a los planos XY e YZ y que pase por el punto

( )1,2,4 7A + . Calcula los puntos de tangencia con dichos planos.

Siendo el radio r = 4 y siendo la superficie esférica tangente a XY e YZ, el centro deberá ser de la forma ( )4, ,4C b .

Por tanto, ( ) ( ) ( ) ( )2 2, 4 9 2 7 4 2 0 2 4,2,4d C A b b b C= ⇒ + − + = ⇒ − = ⇒ = ⇒

La ecuación de la superficie esférica será ( ) ( ) ( )2 2 24 2 4 16x y z− + − + − = .

El punto de tangencia con XY es ( )4,2,0 , y el punto de tangencia con YZ , ( )0,2,4 .


38. Calcula el área del triángulo ABC, siendo:

a) ( )3, 2,3A − , ( )3,1,1B y ( )3, 1, 1C − − .

b) ( )3,1, 1A − , ( )4, 3,0B − y C es el punto intersección de las rectas: 3 11 5:1 2 1

x y zr − − += =

−

2 15:

1x y z

sx y

+ − = = +

a) ( )0,3, 2AB = −

( )0,1, 4AC = −

( )2100 3 2 10,0,0 5

20 1 4

i j kAB AC S× = − = − ⇒ = =

−

u2.

b) ( )

2 172 1

: 6,5, 22 151

x yy z

C Cx y zx y

+ = + = ⇒ − + − = − =

( )1, 4,1AB = −

( )3,4, 1AC = −

( )2 24 161 4 1 0,4,16 68

23 4 1

i j kAB AC S +

× = − = ⇒ = =−

u2.

39. Dados los puntos ( )2,0, 2A − , ( )3, 4, 1B − − , ( )5,4, 3C − , ( )0,1,4D , calcula:

a) El área del triángulo de vértices A, B y C.

b) El volumen del tetraedro determinado por los vértices A, B, C y D.

a) ( )1, 4,1AB = −

( )3,4, 1AC = −

( )2 24 161 4 1 0,4,16 68

23 4 1

i j kAB AC S +

× = − = ⇒ = =−

u2.

b) ( )1, 4,1AB = −

( )3,4, 1AC = −

( )2,1,6AD = −

1 4 11 1 1003 4 1 24 3 8 8 1 72

6 6 62 1 6V

−= − = + − + + + =

− u3.




EJERCICIOS

Ángulos

47. Calcula el ángulo que forman las rectas r y s.

a) 1 3 1:1 1 2

x y zr − + −= =

−

1 2: 1

2

x ts y t

z t

= + = − = −

b) 4

:2 4x y

ry z+ =

− =

2 10:

0x y

sy z

− = + =

a) Vectores directores de r y de s: ( )1, 1,2ru = −

y ( )2, 1, 1su = − −

( ) ( )1 1 1cos , , arccos 80º 24'6 66 6

r s

r s

u ur s r s

u u

⋅= = = ⇒ =

⋅

b) Vectores directores de r y de s: ( )1 1 0 1,1,20 2 1

r

i j ku = = −

−

y ( )1 2 0 2, 1,10 1 1

s

i j ku = − = − −

( ) ( )3 1 1cos , , arccos 60º2 26 6

r s

r s

u ur s r s

u u

⋅= = = ⇒ =

⋅

48. ¿Cuánto mide el ángulo que forman los planos π y π'?

a) : 2 3 6 0x y zπ + − + = ' : 2 5 0y zπ − + =

b) : 2 3 2 6 0x y zπ − + − = ' : 3 x 6 y 6z 1 0π + + − =

c) : x 2y z 1 0π − + − = ' : 2 2 3 0x y zπ + + − =

a) ( )2,3, 1nπ = −

( )' 0,2, 1nπ = −

( ) ( ) ( )3 2 1 1 7 7cos , ' , ' arccos 33º12'39 ''

4 9 1 4 1 70 70

⋅ − ⋅ −π π = = ⇒ π π =

+ + ⋅ +

b) ( )2, 3,2nπ = −

( )' 3,6,6nπ =

( ) ( )2 3 3 6 2 6

cos , ' 0 , ' arccos0 90º4 9 4 9 36 36

⋅ − ⋅ + ⋅π π = = ⇒ π π =

+ + ⋅ + +

c) ( )1, 2,1nπ = −

( )' 2,2,1nπ =

( )( )

( )22 2 2 2 2

1 2 2 2 1 1 1 1cos , ' , ' arccos 82º10'44''54 541 2 1 2 2 1

⋅ − ⋅ + ⋅π π = = ⇒ π π =

+ − + ⋅ + +


49. Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π.

a) 1 10:1 1 2

x y zr − −= =

− : 2 0x yπ − =

b) :r x y z= = : 2 2 0x y zπ − + =

c) 1 3

: 1x t

r y tz t

= + = − =

: 2 3 8 0x y zπ − + + =

a) Vector normal de π: ( )2, 1,0nπ = −

Vector director de r: ( )1,1, 2ru = −

( ) ( )1 1 1sen , , arcsen 10º31'5 6 30 30

r

r

n ur rn u

π

π

⋅π = = = ⇒ π =

⋅

b) Vector normal de π: ( )2, 1,2nπ = −


( ) ( )3 3 3sen , , arcsen 35º16'3 33 3

r

r

n ur rn u

π

π

⋅π = = = ⇒ π =

⋅

c) Vector normal de π: ( )1, 2,3nπ = −

Vector director de r: ( )3, 1,1ru = −

( ) ( )8 8 8sen , , arcsen 40º8'24''11 14 154 154

r

r

n ur rn u

π

π

⋅π = = = ⇒ π =

⋅

50. Halla el ángulo que forma la recta que une los puntos ( )2, 1,0P − y ( )2,0,3Q − con el plano : 2 3 0x y zπ − + − − = .

Vector normal de π: ( )2,1, 1nπ = − −

Vector director de r: ( )4,1,3ru PQ= = −

( ) ( ) ( )( )2 4 1 1 3 1 6 6sen , , arcsen 28º42'38''

6 26 156 156r

r

n ur rn u

π

π

− ⋅ − + ⋅ + ⋅ −⋅π = = = ⇒ π =

⋅

Proyecciones ortogonales. Puntos simétricos

51. Calcula la proyección ortogonal de P sobre el plano π.

a) ( )1, 2,1P − y : 2 0x y zπ + − =

b) ( )1,2,3P − y π es el plano que contiene a la recta 2 0

:2 3 0x y z

rx y+ − =

− + = y al punto ( )0,2, 3Q − .

a) El vector normal del plano π es un vector director de la recta buscada r: 1 2

: 21

xr y

z

= + λ = − + λ = − λ

( ) 1 4 11 52 1 2 2 1 0 , ,6 3 6 6

P r Pπ π = ∩ π ⇒ + λ − + λ − + λ = ⇒ λ = ⇒ −

b) La ecuación de π es: ( )1 2 1 1, 2, 52 1 0

r

i j ku = − = − − −

−

( ) ( )2 2 3 0 4 3 2 3 0 7 : 13 9 21x y z x y x y z+ − + λ − + = ⇒ + + λ − + = ⇒ λ = − ⇒ π − + − =

El vector normal del plano π es un vector director de la recta buscada r: 1 13

: 2 93

xr y

z

= − − λ = + λ = − λ

( ) ( ) ( ) 7 160 439 76013 1 13 9 2 9 3 21 , ,251 251 251 251

P r Pπ π = ∩ π ⇒ − − − λ + + λ − − λ = ⇒ λ = − ⇒ −


52. En los siguientes casos, calcula la proyección ortogonal de P sobre la recta r.

a) ( )2, 4,9P − − y 2 2 0

:2 3 1x y z

rx y z− − =

− + =

b) ( )1, 5,6P − − y r es la recta que pasa por los puntos ( )0, 8,4A − y ( )1, 4,12B − .

a) Plano perpendicular a r y que pasa por P: ( )1 2 2 8, 7,3 8 7 3 02 1 3

r

i j ku n x y z kπ= = − − = − − ⇒ − − + + =

−

Como ( ) ( )8 2 7 4 3 9 0 71 : 8 7 3 71 0k k x y z− − − ⋅ − + ⋅ + = ⇒ = − ⇒ π − − + − =

2 2 0

1294 765 1182 3 1 , ,3 6 618 7 3 71

x y zP r x y z P

x y zπ π

− − = = ∩ π ⇒ − + = ⇒ − −

− − + =

b) : 8 44 8

xr y

z

= λ = − + λ = + λ

Plano perpendicular a r y que pasa por P: 4 8 0x y z k+ + + = .

Como 1 20 48 0 27 : 4 8 27 0k k x y z− − + + = ⇒ = − ⇒ π + + − =

8 4 1 1 20 2081 27 , ,

4 8 3 3 3 34 8 27 0

xy

P r Pzx y z

π π

= λ = − + λ = ∩ π ⇒ ⇒ λ = ⇒ λ = ⇒ − = + λ + + − =

53. Halla la proyección ortogonal de la recta r de ecuación 1 2 3:4 1 1

x y zr − + −= =

− sobre el plano π de

ecuación : 4x y zπ + − = .

1 42 19 2 5: , ,

3 3 3 34

xy

r Pzx y z

= + λ = − + λ ∩ π ⇒ − = − λ + − =

Se calcula la proyección del punto ( )1, 2,3Q − de r sobre π:

1

: 23

xs y

z

= + λ = − + λ = − λ

8 11 2 11 2 3 4 , ,3 3 3 3

P s Qπ π = ∩ π ⇒ + λ − + λ − + λ = ⇒ λ = ⇒

La recta 'r , proyección ortogonal de r sobre π, será la recta que pasa por P y Qπ :

11 2 13 3 3' :

2 1 1

x y zr

− − −= =

−


54. Calcula el simétrico del punto P respecto del plano π en los siguientes casos.

a) ( )2, 5,6P − y : 5 6 0x y zπ + − + = .

b) ( )1, 4,3P − y π es el plano que pasa por los puntos ( )1,0, 2A − , ( )0,1, 3B − , ( )1,0,0C − .

c) ( )1,0,2P y π es el plano perpendicular al eje X y pasa por el punto ( )4,1, 2B − .

a) Se calcula la proyección de P sobre π:

2

: 56 5

xr y

z

= + λ = − + λ = − λ

( )272 5 30 25 6 0 1 3, 4,127

P r Pπ π= ∩ π ⇒ + λ − + λ − + λ + = ⇒ λ = = ⇒ −

Suponiendo que el simétrico buscado es ( ) ( )

2 3 425' , , 4 3 ' 4, 3, 42

6 1 42

a a

bP a b c b P

c c

+ = ⇒ =

− +⇒ = − ⇒ = − ⇒ − −

+ = ⇒ = −

b) 1 2

: 1 1 1 0 : 2 4 2 2 0 2 1 01 1 3

x y zx y z x y z

− +π − − = ⇒ π + + + = ⇒ + + + =

− −

Se calcula la proyección de P sobre π:

1

: 4 23

xr y

z

= + λ = − + λ = + λ

1 3 71 8 4 3 1 0 , 3,2 2 2

P r Pπ π = ∩ π ⇒ + λ − + λ + + λ + = ⇒ λ = ⇒ −


1 3 22 24' , , 3 2 ' 2, 2,42

3 7 42 2

a a

bP a b c b P

c c

+ = ⇒ =

− +⇒ = − ⇒ = − ⇒ −

+ = ⇒ =

c) 4 1 2

: 0 1 0 0 : 4 00 0 1

x y zx

− − +π = ⇒ π − =

Se calcula la proyección de P sobre π:

1

: 02

xr y

z

= + λ = =

( ) ( )1 4 0 3 4,0,2P r Pπ π= ∩ π ⇒ + λ − = ⇒ λ = ⇒


1 4 72

0' , , 0 0 ' 7,0,22

2 2 22

a a

bP a b c b P

c c

+ = ⇒ =

+⇒ = ⇒ = ⇒

+ = ⇒ =

.


Distancias 55. Calcula el perímetro del triángulo de vértices ( )4, 5, 2A − − , ( )6,10,3B − , ( )14,0,3C y comprueba que es

rectángulo en A.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, 6 4 10 5 3 2 350AB d A B= = − − + + + + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, 14 4 0 5 3 2 150AC d A C= = − + + + + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, 14 6 0 10 3 3 500BC d B C= = + + − + − =

Perímetro: 350 150 500+ + u.

El triángulo es rectángulo en A porque aplicando el teorema de Pitágoras se tiene: ( ) ( ) ( )2 2 2350 150 500+ =

56. Halla el valor de a sabiendo que el segmento que tiene por extremos ( )2,3,1A − , ( )1, 1,B a− − tiene una longitud de nueve unidades. ¿Hay una única solución?

( ) ( ) ( )2 2 29 1 2 1 3 1a= − + + − − + − ⇒ a = 9, a = −7.

57. Calcula la distancia entre el punto P y el plano π.

a) ( )1, 2,3P − : 2 3 0x y zπ + + + = b) ( )2, 2,4P − : 1 22 2

xyz

= λ + µπ = − λ + µ = − + λ + µ

a) ( ) ( )2 2 2

2 1 1 2 1 3 3 6, 662 1 1

d P⋅ + ⋅ − + ⋅ +

π = = =+ +

u

b) 1 2

: 1 1 2 0 : 5 3 5 01 2 1

x y zx y z

− +π − = ⇒ π − + + + = ( )

2 2 2

5 2 2 4 3 5 5 35,7355 1 3

d P− ⋅ − + ⋅ +

π = = =+ +

u

58. Halla la distancia entre el punto P y la recta r.

a) ( )1,0, 3P − 1

: 2x

r yz

= + λ = − λ = λ

b) ( )2,1,0P − 2 0

:2 0x y z

rx z+ + − =

− =

a) Punto de la recta: ( )1,2,0rA Vector director: ( )1, 1,1ru = −

( )0, 2, 3rA P = − −

( ) ( )5,3, 2 38 114,33 3

rr

r

A P ud P r

u

× −= = = =

u

b) Se calcula un punto y un vector director de r:

Punto de la recta: ( )0,2,0rA Vector director: ( )1,3, 2ru = − −

( )2, 1,0rA P = − −

( ) ( )2, 4, 7 69 69,1414 14

rr

r

A P ud P r

u

× − −= = = =

u


59. Calcula la distancia del punto ( )2,1,0P − al plano que contiene a la recta 2 0

:2 0x y z

rx z+ + − =

− = y al punto

( )1,2,6Q − .

El plano tiene como vectores de dirección a ru

y AQ

. Su ecuación es : 18 8 3 16 0x y zπ + + − = .

( )

2 2 2

18 2 8 1 16 44( , )39718 8 3

d P⋅ − + ⋅ −

π = =+ +

u.

60. Dadas las rectas paralelas:

1:1 2 1x y zr −

= =−

1

: 1 2x

s yz

= + λ = − λ = λ

Halla la distancia entre ellas. Vectores directores de r y de s: ( )1, 2,1ru = −

, ( )1, 2,1su = −

. Al ser iguales, las rectas serán paralelas o

coincidentes. Como el punto ( )0,0,1A pertenece a r pero no a s, se comprueba que, efectivamente, r y s son paralelas.

Sea ( )1,1,0P un punto de s: ( ) ( ) ( 1, 2, 3) 14 7, ,(1, 2,1) 36

s

s

PA ud r s d A s

u

× − − −= = = = =

−

u.

61. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y calcula la mínima distancia que las separa.

a) 2 3:1 2 3x y zr − −

= = 1 1 2:1 1 2

x y zs − − −= =

−

b) 1

:1 2

x tr y t

z t

= − = = − +

1:1 1 2

x y zs −= =

− −

c) 0:

0x y

rx z

+ = + =

1

: 1x t

s y tz t

= + = + =

a) ( )1,2,3ru =

( )1,1,2su = −

( )0,2,3rP , ( )1,1,2sP ( )1, 1, 1r sP P = − −

( )rg , 2r su u =

y ( )rg , , 3r s r su u P P = ⇒

r y s se cruzan.

( )( )

( )det , , 3 3 3 35,

1, 5,3 3535

r sr s

r s

P P u ud r s

u u= = = =

−×

u

b) Son rectas paralelas. ( ) 1 3,33

d r s = = u

c) ( )1, 1, 1ru = − −

( )1,1,1su =

( )0,0,0rP , ( )1,1,0sP ( )1,1,0r sP P =

( )rg , 2r su u =

y ( )rg , , 3r s r su u P P = ⇒

r y s se cruzan.

( )( )

( )det , , 2 2 2,

0, 2,2 28

r sr s

r s

P P u ud r s

u u= = = =

−×

u


62. Calcula la distancia entre los siguientes planos paralelos.

a) : 0x y zπ + + = y ' : 2 2 2 3 0x y zπ + + + =

b) : 3 0x yπ − = y 2' : 2x 53

yπ − + =

a) Los vectores normales a los planos son proporcionales; por tanto, los planos son efectivamente paralelos, ya

que no son coincidentes. Sea ( )0,0,0O uno de los puntos de π:

( ) ( )2 2 2

2 0 2 0 2 0 3 3 3, ' , '2122 2 2

d d O⋅ + ⋅ + ⋅ +

π π = π = = =+ +

u.

b) Los vectores normales a los planos son proporcionales; por tanto, los planos son efectivamente paralelos, ya que no son coincidentes. Sea ( )0,0,0O uno de los puntos de π.

( ) ( )2

2 2

22 0 0 0 0 55 15 3 403, ' , '

840 4022 0 93

d d O− ⋅ + ⋅ + ⋅ −

π π = π = = = = + +

u.

63. Dados la recta 1:1 1 1

x y zr += =

− y el plano : 2 2x y zπ + − = :

a) Demuestra que la recta es paralela al plano.

b) Calcula la distancia que separa la recta del plano.

a) Vector normal de π: ( )2,1, 1nπ = −

Vector director de r: ( )1, 1,1ru = −

. Como el producto escalar de ambos vectores es nulo, deducimos que son ortogonales y, por tanto, la recta es paralela al plano.

b) Sea ( )1,0,0A r− ∈ ( ) ( )2 2 4 2 6, ,

34 1 1 6d r d A

− −π = π = = =

+ + u.

64. Dadas las rectas :1 1 1x y zr = =

− y

1:

x ts y t

z t

= + = =

:

a) Demuestra que se cruzan.

b) Calcula la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r.

c) Demuestra que ( )2,2, 2P − es un punto de r y calcula la distancia que separa a P de π. ¿Cómo será esta distancia en relación a la distancia que separa a las rectas r y s?

a) ( )1,1, 1ru = −

( )1,1,1su =

( )0,0,0rP , ( )1,0,0sP ( )1,0,0r sP P =

( )rg , 2r su u =

y ( )rg , , 3r s r su u P P = ⇒

Las rectas r y s se cruzan.

b) Plano que contiene a s y es paralelo a r: ( )1,0,0sP , ( )1,1, 1ru = −

, ( )1,1,1su =

1

: 1 1 1 0 : 1 01 1 1

x y zx y

−π − = ⇒ π − − =

c) 2 2 21 1 1

P r−= = ⇒ ∈

− ( ) ( )

2 2 2

1 2, ,21 1 0

d r s d P−

= π = =+ +

u.


Perpendicular común 65. Calcula las ecuaciones de la recta que corta perpendicularmente a las rectas:

1:1 2 3x y zr −

= =−

1:1 1 2

x y zs −= =

−

( )1, 2,3ru = −

( )1,1,2su = −

( )0,0,1rA ( )0,1,0sA

( )1 2 3 7 5 7, 5, 11 1 2

r s

i j ku u i j k× = − = − − − = − − −

−

Plano que contiene a r y que tiene a r su u×

como vector de dirección:

1

1 2 3 0 17 20 19 19 07 5 1

x y zx y z

−− = ⇒ − − + =

− − −

Plano que contiene a s y que tiene a r su u×


1

1 1 2 0 3 5 4 5 07 5 1

x y zx y z

−− = ⇒ − + + =− − −

La perpendicular común es 17 20 19 19 0

:3 5 4 5 0

x y zt

x y z− − + =

− + + =

66. Dadas las rectas : 1r x y z− = = y : 1s x y z= = − +

a) Comprueba que r y s se cruzan y escribe las ecuaciones de la perpendicular común a ambas.

b) Halla la distancia que separa a r de s.

a) 1

:x

r yz

= + λ = λ = λ

:1

xs y

z

= µ = µ = − µ

Punto de r: ( )1,0,0rP Vector de r: ( )1,1,1ru =

Punto de s: ( )0,01sP Vector de s: ( )1,1, 1su = −

1 1 11 1 1A = −

1 1 11 1 11 0 1

B = − −

( )rg 2A = , ( )rg 3B = ⇒ Las rectas se cruzan.

La perpendicular común a r y s es la recta que pasa por el punto rP de r y sP de s.

Un punto genérico de r: ( )1 , ,+ λ λ λ Un punto genérico de s: ( ), ,1µ µ − µ

El vector determinado por estos dos puntos genéricos es ( )1 , ,1µ − − λ µ − λ − µ − λ . Debe ser perpendicular a

los dos vectores de dirección ru

y su

. Por tanto:

3 0 1 3

3 2 4 4µ − λ = ⇒ λ = µ = ⇒ µ − λ =

punto de r: 5 1 1, ,4 4 4

P

, punto de s: 3 3 1, ,4 4 4

Q

. Luego 1 1, ,02 2

QP = −

.

La perpendicular común es

5 1 14 4 4:

1 1 0

x y yt

− − −= =

−.

b) ( ) 1 1 2,4 4 2

d r s = + = u.



2: 12 1y zr x +

− = =−

1 1:2 2 1

x y zs − −= =

−

a) Comprueba que r y s se cruzan y escribe las ecuaciones de la perpendicular común a ambas.

b) Halla la distancia que separa a r de s.

a) 2: 12 1y zr x +

− = =−

1 1:2 2 1

x y zs − −= =

−

Punto de r: ( )1,0, 2rP − Vector de r: ( )1,2, 1ru = −

Punto de s: ( )1,1,0sP Vector de s: ( )2,2, 1su = −

1 2 12 2 1A − = −

1 2 12 2 10 1 2

B−

= −

( )rg 2A = , ( )rg 3B = ⇒ Las rectas se cruzan.

La perpendicular común a r y s es la recta que pasa por el punto rP de r y sP de s.

Un punto genérico de r: ( )1 ,2 , 2+ λ λ − − λ Un punto genérico de s: ( )1 2 ,1 2 ,+ µ + µ −µ

El vector determinado por estos dos puntos genéricos es ( )2 ,1 2 2 , 2µ − λ + µ − λ −µ + + λ . Debe ser perpendicular a

los dos vectores de dirección ru

y su

.

Por tanto:

7 6 00

9 7 0µ − λ = ⇒ λ = µ = ⇒ µ − λ =

punto de r: ( )1,0, 2P − , punto de s: ( )1,1,0Q . Luego ( )0,1,2PQ =

La perpendicular común es 1

:2 2

xt y t

z t

= = = − +

b) ( ) ( ), , 1 4 5d r s d P Q= = + = u.

Lugares geométricos del espacio

68. Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos ( )1, 1,4A − − y ( )3, 3,0B − . Identifica este lugar geométrico.

Sea ( ), ,zP x y un punto cualquiera del plano. Se obliga a que P verifique la propiedad que define el lugar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, , 1 1 4 3 3d P A d P B x y z x y z= = + + + + − = − + + + ⇒

2 2 2 2 2 22 1 2 1 8 16 6 9 6 9 8 4 8 0 2 2 0x x y y z z x x y y z x y z x y z⇒ + + + + + + − + = − + + + + + ⇒ − − = ⇒ − − =

Se trata del plano mediador del segmento de extremos A y B. Es decir, el plano perpendicular a ese segmento y que pasa por su punto medio.


69. Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos:

:xyz

= λπ = µ = λ + µ

' : 0x yπ − =

Identifica este lugar geométrico. La ecuación implícita del plano π es x + y − z = 0.

Sea ( ), ,P x y z un punto cualquiera del lugar. Se obliga a que P verifique la propiedad:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

: 3 2 3 2 2 0, , '

3 2 : 3 2 3 2 2 0

x y zx y z x yd P d Px y z

α − − + + =+ − − π = π ⇒ = ± ⇒ β + − − − =

Se trata de los planos α y β bisectores del diedro que forman π y 'π . Son dos planos perpendiculares y tales que dividen al diedro en dos partes iguales.

70. Calcula la ecuación del plano mediador del segmento de extremos ( )1, 2,3A − y ( )5,0,3B .

Sea ( ), ,P x y z un punto cualquiera del lugar.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22, , 1 2 3 5 3d P A d P B x y z x y z= ⇒ − + + + − = − + + − ⇒

2 2 2 2 2 22 1 4 4 6 9 10 25 6 9 8 4 20 0x x y y z z x x y z z x y⇒ − + + + + + − + = − + + + − + ⇒ + − =

La ecuación del plano mediador es : 2 5 0x yπ + − = .

71. Calcula las ecuaciones de los planos bisectores de los planos π, que pasa por los puntos ( )1,1,2A , ( )2,2,0B y ( )1,3,2C − , y 'π , de ecuación 2 2 5 0x y z+ − + = .

Plano 2 2

: 1 1 2 0 : 4 01 1 0

x y zx y z

− −π − = ⇒ π + + − =

−. Sea ( ), ,P x y z un punto cualquiera del lugar.

( ) ( )( )2 2 2 22 2

4 2 2 5 4 2 2 5, , '331 1 1 2 2 1

x y z x y z x y z x y zd P d P + + − + − + + + − + − +π = π ⇒ = ± ⇒ = ±

+ + + + −

Los planos bisectores serán:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

: 2 3 2 3 1 3 5 4 3 03 4 2 2 5

3 4 2 2 5 : 2 3 2 3 3 1 5 4 3 0

x y zx y z x y z

x y z x y z x y z

α − + − − + + + = + + − = + − + ⇒ + + − = − − + − β + + + + − + − =

72. Calcula el lugar geométrico de los puntos del espacio que distan 3 unidades de la recta 0:

0y

rz

= =

La recta r es el eje X. Sea ( ), ,P x y z un punto cualquiera del lugar.

( ) 2 2 2 23 , 3 9d P r y z y z= ⇒ = + ⇒ + =


73. Calcula el lugar geométrico de los puntos del espacio que distan 3 unidades del plano : 0x yπ + = .

Se trata de dos planos paralelos a : 0x yπ + = .

Sea ( ), ,P x y z un punto cualquiera del lugar.

( ) : 3 2, 3

2 : 3 2

x yx yd Px y

α + =+ π = = ± ⇒ β + = −

74. *Calcula las ecuaciones de las rectas cuyos puntos equidistan de las rectas r y s y están contenidos en el plano determinado por ellas.

a) 2 4:

2 3 1x y z

rx y− + =

+ = −

3 3:

2 3 1x y z

sx z+ + =

− = −

b) 1

:2 3

xr y

z

= + λ = −λ = − λ

1

:2 5x y

sx z+ =

− =

c) 2

:12 3

xr y

z

= + λ = λ = + λ

2

: 34

xs y

z

= − + λ = − λ = − λ

a) Las rectas son secantes, ya que las dos contienen al punto ( )1, 1,1P − y sus vectores de dirección son:

( )1 1 2 6,4,52 3 0

r

i j ku = − = −

( )1 1 3 3,9, 22 0 3

s

i j ku = = − −

−

El vector r s

r s

u uu u

+

es un vector de dirección de una de las bisectrices.

El vector r s

r s

u uu u

−

es un vector de dirección de la otra bisectriz.

6 4 5 3 9 2 6 3 4 9 5 2, , , , , ,77 77 77 94 94 94 77 94 77 94 77 94

r s

r s

u uu u

+ = − + − − = − − + −

6 4 5 3 9 2 6 3 4 9 5 2, , , , , ,77 77 77 94 94 94 77 94 77 94 77 94

r s

r s

u uu u

− = − − − − = − + − +

Las ecuaciones de las bisectrices son:

11 1 1:

6 3 4 9 5 277 94 77 94 77 94

x y zb − + −= =

− − + −

21 1 1:

6 3 4 9 5 277 94 77 94 77 94

x y zb − + −= =

− + − +


b) Las rectas son secantes, ya que las dos contienen al punto ( )2, 1, 1P − − y sus vectores de dirección son:

( )1, 1, 3ru = − −

, ( )1, 1,2su = −

.

El vector r s

r s

u uu u

+


El vector r s

r s

u uu u

−

es un vector de dirección de la otra bisectriz.

1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 3 2, , , , , ,11 11 11 6 6 6 11 6 11 6 11 6

r s

r s

u uu u

+ = − − + − = + − − − +

1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 3 2, , , , , ,11 11 11 6 6 6 11 6 11 6 11 6

r s

r s

u uu u

− = − − − − = − − + − −


12 1 1:

1 1 1 1 1 111 6 11 6 11 6

x y zb − + += =

+ − − − +

22 1 1:

1 1 1 1 3 211 6 11 6 11 6

x y zb − + += =

− − + − −

c) Las rectas son secantes, ya que las dos contienen al punto ( )1, 3,3P − − y sus vectores de dirección son:

( )1,1,3ru =

, ( )1, 3, 1su = − −

.

El vector r s

r s

u uu u

+


El vector r s

r s

u uu u

−

es un vector de dirección de una de la otra bisectriz.

( )1 1 3 1 3 1 2 2 2, , , , , , 1, 1,111 11 11 11 11 11 11 11 11

r s

r s

u uu u

+ = + − − = − ≈ −

( )1 1 3 1 3 1 4 4, , , , 0, , 0,1,111 11 11 11 11 11 11 11

r s

r s

u uu u

− = − − − = ≈


11 3 3:

1 1 1x y zb + + −

= =−

21 3 3:

0 1 1x y zb + + −

= =


La superficie esférica

75. Calcula las coordenadas del centro y la medida del radio de las siguientes superficies esféricas.

a) 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − =

b) 2 2 24 4 4 4 8 4 5 0x y z x y z+ + − − − + =

a) Sea ( ), ,C a b c el centro de la esfera y r el radio. Se verifica:

2 2 2 2

2 24 2

1, 2, 3, 16 46 22

D aE b

a b c rF cG a b c r

= − = − = = − ⇒ = = − = = = ⇒ = − = − = − = + + −

( )1, 2,3 ;C − 4 16 36 2 44 4 4

r = + + + =

b) La ecuación de la esfera se puede escribir como 2 2 2 52 04

x y z x y z+ + − − − + = .

2 2 2 2

1 22 2 1 1 1 1, 1, ,1 2 2 2 4 2

54

D aE b

a b c rF c

G a b c r

= − = − = − = − ⇒ = = = = = ⇒= − = − = = + + −

1 1,1, ;2 2

C

1 4 1 5 14 4 4 4 2

r = + + − =

76. Dada la superficie esférica de ecuación 2 2 2 2 3 0x y z z+ + − − = :

a) Calcula las coordenadas de su centro y la medida de su radio.

b) Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto ( )0,0,3P .

a) ( )0,0,1C , 4 3 4 24

r = + = = u.

b) El vector ( ) ( )0,0,2 0,0,1CP =

es un vector normal al plano tangente. Por tanto, dicho plano tendrá por ecuación z + D = 0. Además, el plano debe pasar por P: 3 + D = 0 ⇒ D = −3 ⇒ z − 3 = 0.

77. Determina la posición relativa de los planos : 3 5 22y zπ + = , ' : 2 3y zπ + = y '' : 4zπ = respecto de la superficie esférica de ecuación 2 2 2 4 2 4 5 0x y z x y z+ + − + − + = .

El centro de la esfera es el punto ( )2, 1,2C − y el radio mide 16 4 16 5 4 24 4 4

r = + + − = = .

2 2

15( , ) 23 5

d C rπ = > = ⇒+

El plano π es exterior a la esfera.

2 2

0( , ') 21 2

d C rπ = < = ⇒+

El plano π es secante a la esfera. La corta en una circunferencia.

2

2( , '') 21

d C rπ = = = El plano π es tangente a la esfera en el punto ( )2, 1,4P − .


78. Se considera la superficie esférica de centro ( )1,1,1C y tangente al plano de ecuación 9x − 2y + 6z = 2.

a) Calcula la medida del radio.

b) Calcula la ecuación de la superficie esférica.

c) Escribe la ecuación del plano tangente a la superficie que pasa por el punto ( )1,2,1P .

a) La medida del radio será: ( )9 2 6 2 11, 1

1181 4 36r d C

− + −= π = = =

+ +

b) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 0x y z x y z x y z− + − + − = ⇒ + + − − − + =

c) Vector normal del plano ( )0,1,0n CPπ = =

⇒ y + D = 0 ⇒ 2 + D = 0 ⇒ D = −2

Por tanto, la ecuación del plano tangente es: y − 2 = 0

79. Halla la ecuación de la superficie esférica de radio 1 concéntrica con 2 2 24 4 4 4 16 1 0x y z x y+ + − + + = .

2 2 2 2 2 2 14 4 4 4 16 1 0 4 0

4x y z x y x y z x y+ + − + + = ⇒ + + − + + =

Centro 1 , 2,02

C −

, radio 1 16 1 24 4 4

r = + − =

La esfera concéntrica de radio 1 será:

( )2

2 2 2 2 2 2 2 2 21 132 1 4 0 4 4 4 4 16 13 02 4

x y z x y z x y x y z x y − + + + = ⇒ + + − + − = ⇒ + + − + − =

Áreas y volúmenes

80. Calcula el área del triángulo ABC en los siguientes casos.

a) ( )4, 6,2A − , ( )3,4, 2B − − , ( )0, 8,0C −

b) 1 1, 2,2 4

A −

, 12, , 22

B − −

, 3 1, 1,4 2

C −

a) ( )7,10, 4AB = − −

, ( )4, 2, 2AC = − − −

( ) 237047 10 4 28,2,54 u2 24 2 2

i j k AB ACAB AC S

×× = − − = − ⇒ = =

− − −

b) 5 5 9, ,2 2 4

AB = − −

, 1 1,1,4 4

AC =

25 5 9 23 1 25 4617, , u2 2 4 8 16 8 2 32

1 114 4

i j kAB AC

AB AC S× × = − − = − ⇒ = =


81. Calcula el área determinada por el triángulo de vértices ( )1, 3, 2A − − , ( )1,1,3B − y ( )4,0,3C y halla la medida de la altura de dicho triángulo que parte del vértice A.

( )2,4,5AB = −

, ( )3,3,5AC =

, ( )5,25, 18AB AC× = −

Área ABC: ( )22 25 25 18 974

2 2 2AB AC

A+ + −×

= = = u2

Altura que parte del vértice A: ( )( )

,C 2 974 4872 , 1326

BCBC

d B h AA hd B C

= ⇒ = = = u

82. Calcula el volumen del tetraedro determinado por los vértices ( )2, 1,2A − , ( )1,2,2B , ( )0,1,0C y ( )1,1,1D .

, , 2 16 6 3

AB AC ADV

− = = =

u3

83. a) Demuestra que los puntos ( )2,1,0A − , ( )2, 1, 1B − − − , ( )0, 1,0C − y ( )1,2,2D pertenecen a un mismo plano.

b) Calcula el área del cuadrilátero ABCD cuyos vértices son los puntos del apartado anterior.

a) ( )0, 2, 1AB = − −

, ( )2, 2,0AC = −

, ( )3,1,2AD =

. Luego ( )rg , , 2AB AC AD = ⇒

A, B, C, D son coplanarios.

b) 1 1 6 24 3 62 2ABCD ABC CDAS S S AB AC CD CA= + = × + × = + =

u2

CUESTIONES 84. Dada una recta r y un punto P exterior a ella, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

c) Existe una única recta que pase por P y que sea paralela a r.

d) Existen infinitas rectas que pasen por P y que sean paralelas a r.

e) Existe una única recta que pase por P y que sea perpendicular a r.

f) Existen infinitas rectas que pasen por P y que sean perpendiculares a r.

g) Existe una única recta que pase por P, que sea perpendicular a r y que sea secante con ella.

a) Verdadera.

b) Falsa.

c) Falsa.

d) Verdadera.

e) Verdadera.


85. Dada una recta r y un punto exterior P a ella, indica:

a) Un método geométrico que permita calcular la distancia de P a r.

b) Un método algebraico que permita calcular la distancia de P a r.

a) Se calcula el plano π que es perpendicular a r y pasa por P.

Se calcula el punto Q intersección de r y del plano π.

Se calcula la distancia de P a Q.

b) Se calculan las ecuaciones paramétricas de r y se toma un punto X genérico de ella.

Se obliga a que el vector PX

sea perpendicular al vector de dirección de r y se obtiene el valor del parámetro y las coordenadas del punto Q.

Se calcula la distancia de P a Q.

PROBLEMAS 86. Dados los puntos del espacio:

( )1, 1,2A − ( )0,3, 2B − ( )4,0, 3C −

a) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por A y B.

b) Escribe la ecuación general del plano π que pasa por A, B y C.

c) Escribe la ecuación del plano 'π que es perpendicular a π y que contiene a r.

d) Halla la distancia que separa a C de 'π y la distancia que separa a C de r.

a) 1

: 1 42 4

xr y

z

= − λ = − + λ = − λ

b) ( )1,4, 4AB = − −

, ( )3,1, 5AC = −

.

1 1 2

1 4 4 0 :16 17 13 25 03 1 5

x y zx y z

− + −− − = ⇒ π + + − =

−

c) 1 1 2

1 4 4 0 ' : 40 17 27 3 016 17 13

x y zx y z

− + −− − = ⇒ π − − − =

d) ( ) ( ) ( )2 2 2

40 4 3 27 3 238, ' ,261840 17 27

d C d C r⋅ − ⋅ − −

π = = =+ +

u.


87. Dadas las rectas que tienen por ecuaciones:

3 1 1:4 2

x y zrm

− + += =

2 3:

2 4x y z

sx y nz

+ − =− + + =

a) Halla los valores de m y n para que r y s sean paralelas.

b) Para los valores calculados de m y n, calcula la ecuación del único plano que contiene a las dos rectas.

c) Halla la distancia que separa las dos rectas.

a) ( )4,2,ru m=

, ( )3, 1, 1P r− − ∈ , ( )1 2 1 2 1,2 ,52 1

s

i j ku n n

n= − = + −

−

, ( )1,2,0Q r− ∈

Los vectores ru

y su

deben ser proporcionales ⇒ 8 4 4 24 2 3 810 22 1 2 5 4

n nm n mm nmn n

− = += = ⇒ ⇒ = = = −+ − .

b) 1 2

2 1 4 0 :11 18 10 25 04 3 1

x y zx y z

+ −= ⇒ π + − − =

− −

c) Se calcula el plano 'π que pasa por P y es perpendicular a las dos rectas paralelas r y s:

2 4 0 6 1 4 0 1 ' : 2 4 1 0x y z D D D x y z+ + + = ⇒ − − + = ⇒ = − ⇒ π + + − =

Se calcula la intersección de 'π con s:

( ) ( )2 2 2

2 33 19 43 4 82 64 25 114452 4 , , , ,4 21 21 21 21 21 21 21

2 4 1 0

x y z

x y z R d r s d P R

x y z

+ − = − + + = ⇒ − ⇒ = = + + =

+ + − =

u.

88. Se consideran los puntos:

( )1, 2,4A − ( )2,2, 1B − ( )1,0,2C −

a) Calcula las coordenadas del punto D de forma que ABCD sean los cuatro vértices de un paralelogramo.

b) Calcula el área del paralelogramo.

c) Calcula la medida de la altura del paralelogramo correspondiente a la base de extremos A y B.

a) Sea M el punto medio de A y C: ( )0, 1,3M −

M debe ser también el punto medio de B y D. Por tanto, ( )2, 4,7D − − .

b) El área del paralelogramo coincide con el módulo del producto vectorial de ( )1,4, 5AB = −

y ( )3, 2,3AD = − −

( )1 4 5 2,12,103 2 3

i j k− =

− −

4 144 100 248S = + + = u2

c) 1 16 25 42AB = + + = ⇒

altura = 248 1242142

= u


89. Dado el punto ( )3,0, 4A − − y la recta 2:

2x y

sy z

− = − + =

a) Calcula las coordenadas de la proyección ortogonal de A sobre s.

b) Calcula la distancia del punto A a la recta s.

c) Calcula el punto simétrico de A respecto de s.

d) Comprueba que la distancia del punto simétrico de A a s coincide con la distancia de A a s.

a) Plano π perpendicular a s y que pasa por A:

El vector de dirección de s es el vector normal de π: ( )1 1 0 1, 1,10 1 1

i j k− = − −

: 0x y z Dπ + − + = . Como D = −1, entonces : 1 0x y zπ + − − =

sA es la intersección de π y de s: 1 5 1, ,3 3 3sA −

b) ( ) ( ) 64 25 169 258, ,9 9 9 3sd A s d A A= = + + = u

c) sA es el punto medio de A y 'A : 7 10 14' , ,3 3 3

A

d) ( ) 64 25 169 258',9 9 9 3sd A A = + + = u

90. Dada la recta 1: 12 2

x yr z−= − = − y el punto ( )2,0,3P − :

a) Calcula la ecuación del plano π que es perpendicular a r y que pasa por P.

b) ¿Cuántas rectas hay que sean perpendiculares a r y que pasen por P?

c) Calcula la ecuación de la recta s perpendicular a r, que pasa por P y de forma que r y s sean secantes.

d) Calcula la distancia que separa a P de r.

a) La ecuación de la recta en forma continua es 1 1:2 2 1

x y zr − −= =

− −

El vector de dirección de r es perpendicular al plano. Por tanto : 2 2 0x y z Dπ − − + = . Como, además, 4 3 0 7 2 2 7P D D x y z∈ π ⇒ − − + = ⇒ = ⇒ π ≡ − − = −

b) Hay infinitas: todas las rectas contenidas en π y que pasan por P.

c) El punto de intersección de r y s coincidirá con el punto de intersección de r y π. Este punto será:

( ) ( ) 82 1 2 2 2 1 79

t t t t+ − ⋅ − + − = − ⇒ = −

7 16 17, ,9 9 9

Q r s = ∩ = −

La recta buscada pasa por P y por Q. Entonces: 2 11

: 163 10

x ts y t

z t

= − + = = −

d) ( ) ( ) 121 256 100 53, ,81 81 81 3

d P r d P Q= = + + = u.


91. Se considera la superficie esférica de ecuación 2 2 2 3 11 9 2 0x y z x y z+ + − − − + = .

a) Calcula las coordenadas de su centro y la medida de su radio.

b) Comprueba que los puntos ( )0, 1,2A − y ( )1,1, 1B − pertenecen a la superficie.

c) Calcula la longitud de la cuerda que tiene por extremos las intersecciones de dicha superficie esférica con la

recta 20

:2

y zr

y z+ =

− =

d) Calcula el valor, o los valores, de m para que el plano : 3 13 5 0x y z mπ + + + = sea tangente a la superficie esférica.

a) 2 2 2 3 11 9 2 0x y z x y z+ + − − − + =

13 3

2 2 2Dc −

= − = − = 211 11

2 2 2Ec − = − = − =

3

9 9 3 11 9, ,2 2 2 2 2 2Fc C− = − = − = ⇒

2 2 2 9 121 81 203 2032

4 4 4 4 4 4 4 2D E Fr G= + + − = + + − = =

b) Al sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación de la superficie esférica, esta se verifica. Por tanto, ambos puntos pertenecen a la superficie:

( )0, 1,2 1 4 11 18 2 0A − ⇒ + + − + = ( )1,1, 1 1 1 1 3 11 9 2 0B − ⇒ + + − − + + =

c) Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de la superficie esférica y las de la recta, se obtienen los puntos ( )1,11,9P y ( )2,11,9Q .

Longitud de la cuerda: ( ), 1L d P Q= =

d) Para que el plano π sea tangente a la superficie esférica se debe verificar que la distancia del centro de la superficie al plano sea igual al radio:

( )2 2 2

3 11 9 197 203 1973 13 5 32032 2 2 2 2 2,203 1972 2033 13 5 2002 2

m m m md C

m m

⋅ + ⋅ + ⋅ + + = + ⇒ =π = = = ⇒ + + = − − ⇒ = −

Por tanto, los valores son m = 3 y m = −200.

92. Calcula la ecuación del plano 'π que pasa por ( )1,1,2C , que es paralelo a la recta que pasa por ( )1,0,2A − y ( )0,2,1B y que es perpendicular al plano : 2 1x y zπ + − = .

¿Cuánto mide la distancia de C al punto de corte de la recta AB y el plano π? El plano 'π tiene como vectores de dirección los vectores ( )1,2, 1AB = −

y ( )2,1, 1nπ = −

.

1 1 2

1 2 1 0 ' : 3 8 02 1 1

x y zx y z

− − −− = ⇒ π + + − =−

El punto de corte de la recta AB con π es: ( )

12

1 0,2,12

2 1

xy

Pz

x y z

= − + λ = λ ⇒ λ = ⇒ = − λ + − =

La distancia de C a P es: ( ), 1 1 1 3d P C = + + = u


93. Los puntos 'A y 'B son las proyecciones ortogonales de los puntos ( )2, 1,1A − y ( )1, 3,0B − en el plano : 2 3 0x y zπ − − − = .

a) Calcula las coordenadas de 'A y 'B .

b) Comprueba que A, B, 'A y 'B son cuatro puntos coplanarios.

c) Calcula el área del cuadrilátero de vértices A, B, 'A y 'B .

a) Recta 2 1 1' :2 1 1

x y zAA − + −= =

− −, 10 5 7' ' ' , ,

6 6 6A AA A = ∩ π ⇒ −

Recta 1 3' :2 1 1

x y zBB − += =

− −, 1 8 1' ' ' , ,

3 3 3B BB B = ∩ π ⇒ −

b) Las rectas 'AA y 'BB son, evidentemente, paralelas.

Por tanto, A, B, 'A y 'B son coplanarios.

c) ' ' ' ' '1 1' ' ' ' '2 2ABA B AA B B BAS S S A A A B B A B B= + = × + × =

1 6 18 30 1 12 36 60 35 35 35, , , ,2 36 36 36 2 36 36 36 12 6 4

= − + − − = + =

u2

94. Dada la recta : 01

xr y

z

= λ = = − λ

y los puntos ( )1,0,2A − , ( )1,2,2B − , ( )1,0,1C y ( )1,0,1P − :

a) Calcula la ecuación del plano π que pasa por A, B y C.

b) Calcula la ecuación de la recta s que pasa por P, es paralela a π y corta a r.

c) Calcula las coordenadas de un punto que pertenezca a r y que equidiste de π y de s.

a) 1 2

0 2 0 0 : 2 3 02 0 1

x y zx z

+ −= ⇒ π + − =

−

b) El punto Q es la intersección de la recta r con el plano

paralelo a π y que pasa por P:

( )1

0 1,0,02 1 0

x zy Qx z

+ = = ⇒ + − =

La recta s pasa por P y por Q: 1 2

: 0x

s yz

= + λ = = −λ

c) Sea ( ),0,1X t t− un punto genérico de r:

( )

( )( )

1,

5 0 0,0,11

,5

td X

t Xt

d X s

− − π =

⇒ = ⇒− =


95. Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo ' ' 'A B C que se obtiene al proyectar ortogonalmente el triángulo ABC sobre el plano π. Calcula las áreas de ambos triángulos.

1 28 13 5' : 2 ' ' , ,6 6 61

xAA y A AA

z

= + λ = + λ ⇒ = ∩ π =

= − λ

1 21 7 7' : 2 ' ' , ,3 3 32

xBB y B BB

z

= − + λ = + λ ⇒ = ∩ π = − −

= − − λ

1 28 19 11' : 2 ' ' , ,6 6 63

xCC y C CC

z

= − + λ = + λ ⇒ = ∩ π =

= − λ

( ) ( ) ( )1 1 12,0, 3 2,0,2 0,10,0 52 2 2ABCS AB AC= × = − − × − = =

u2.

( )' ' '1 1 10 1 19 1 20 10 10 5 6' ' ' ' , , 0,1,1 ,2 2 6 6 6 2 6 6 6 6A B CS A B A C = × = − − × = − =

u2.

96. ¿A qué distancia se encuentran estos dos individuos?

Hay que calcular la distancia de dos rectas que se cruzan.

Punto de r: ( )0,1,0P Vector director de r: ( )2,3,4ru =

Punto de s: ( )0,2, 1Q − Vector director de s: ( )1,2,3su =

Plano que contiene a s paralelo a r: 2 1

: 1 2 3 0 : 2 5 02 3 4

x y zx y z

− +π = ⇒ π − + + =

( ) ( )2 2 2

0 2 1 0 5 3 6, ,261 2 1

d r s d P− ⋅ + +

= π = = =+ +

Por tanto, la distancia entre los dos individuos es 62

u.


97. Dado el tetraedro de vértices ( )3, 1,3A − − , ( )2, 1,0B − , ( )0,0, 2C − y ( )1, 2, 1D − − :

a) Calcula su volumen.

b) Calcula el plano π que contiene la base determinada por los vértices B, C y D.

c) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta m que pasa por A y por el baricentro G de la base BCD.

d) Halla el plano 'π paralelo a π que pasa por el punto medio del segmento AB. Comprueba que también contiene a los puntos medios de AC y AD.

e) Halla el punto P de m que pertenece a 'π . ¿Cuál es la relación entre las distancias de P al vértice A y P a la base BCD?

a) El volumen del tetraedro ABCD se puede calcular hallando el valor absoluto del producto mixto de los vectores

AB

, AC

y AD

.

( )5,0, 3AB = −

, ( )3,1, 5AC = −

, ( )4, 1, 4AD = − −

, 5 0 3

, , 3 1 5 20 9 12 25 244 1 4

AB AC AD−

= − = − + + − = − − −

Por tanto, el volumen del tetraedro será 1 24 46

V = − = u3.

b) El plano π tiene como vectores de dirección ( )2,1, 2BC = − −

y ( )1, 1, 1BD = − − −

y pasa por el punto ( )2, 1,0B − y, por tanto, tiene por ecuación:

2 1

2 1 2 0 : 2 2 2 2 2 4 2 2 0 : 3 3 6 0 : 2 01 1 1

x y zz x y x y z x z x z

− +− − = ⇒ π − + + + − + − − + = ⇒ π − + + = ⇒ π − − =− − −

c) El baricentro de la base BCD es el punto ( )2 0 1 1 0 2 0 2 1, , 1, 1, 13 3 3

G G+ + − + − − − ⇒ − −

La recta m tendrá como vector director el ( )4,0 4AG = −

paralelo al vector ( )1,0, 1− . Por tanto, sus ecuaciones

paramétricas serán 1

: 11

x tm y

z t

= + = − = − −

d) El punto medio de AB es 1 3, 1,2 2

− −

y, por tanto, el plano 'π es:

1 3' : 0 0 2 ' : 2 02 2

x z D D D x zπ − + = ⇒ − − + = ⇒ = ⇒ π − + =

Este plano también pasa por 3 1 1, ,2 2 2

− −

punto medio de AC, ya que 3 1 2 02 2

− − + = .

Así mismo, también pasa por 31, ,12

− −

punto medio de AD, ya que 1 1 2 0− − + = .

( )2 0' 1 1 2 0 2 1, 1,1

1 1 1x z

P m t t t Px t y z t

− + == π ∩ ⇒ ⇒ + + + + = ⇒ = − ⇒ − − = + = − = − −

e) La distancia de P a A es ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, 3 1 1 1 3 1 8 2 2d P A = − + + − + + − = = . La distancia de P a la base BCD

es ( ) ( ) ( )2 2 2( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 8 2 2d P BCD d P G= = + + − + + − − = = . Las distancias son iguales.


98. Dados los puntos ( )1,0,0A , ( )0,2,0B , ( )3,3,0C y ( )1,1,2D :

a) Calcula el área determinada por el triángulo de vértices A, B y C.

b) Calcula la medida de la altura h que parte del vértice A en el triángulo ABC.

c) Calcula el volumen del tetraedro determinado por A, B, C y D.

d) Calcula la medida de la altura H que parte del vértice D en el tetraedro ABCD.

a) ( ) ( ) ( )1 1 1 71,2,0 2,3,0 0,0, 72 2 2 2ABCS AB AC= × = − × = − =

b) ( )( ) 2 2 2

, 2 7 72 , 103 1 0

d B C h SS hd B C

= ⇒ = = =+ +

c) ( )1 2 01 1 1 7det , , 2 3 0 6 8

6 6 6 30 1 2ABCDV AB AC AD

−= = = − − =

d) 3 77 : 23 2

SH VV HS

= ⇒ = = =

99. Calcula el valor, o los valores, de m para que el ángulo que forma la recta 2 3:

3x y

ry z

− = − =

con el plano

2 5 0x y mz+ + + = sea de 30º.

Vector normal de π: ( )1,2,n mπ =

Vector director de r: ( )1 2 0 2,1,10 1 1

r

i j ku = − =

−

( ) 2

2

4 1sen , sen30 2 4 30 625 6

r

r

n u mr m m

n u m

π

π

⋅ +π = = = = ⇒ + = + ⇒

+ ⋅

m = 17, m = −1.

100. Calcula el valor, o los valores, de m para que la distancia del punto ( )1,2,P m a la recta 6: 21

yr x z−= = −

−

sea de 6 unidades de longitud.

Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:

( )1, 1,1ru = −

( )0,6,2Q

( )1,4,2PQ m= − −

( )1 1 1 6, 3,31 4 2

r

i j ku PQ m m

m

→× = − = − −

− −

( ) ( )2 2| | 6 3 9ru PQ m m→

× = − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 26 3 9| |, 6 6 3 9 183| |

r

r

m mu PQd P r m mu

→

→

− + − +×= = = ⇒ − + − + = ⇒

m = 6, m = 3


101. Halla el valor de m para que las rectas 1

: 4 72

xr y

z m

= + λ = − λ = − + λ

y 2 5 6:5 10

x y zsy z

+ + = − + = −

sean coplanarias y calcula,

en este caso, la distancia que separa a su punto de corte del origen de coordenadas. ( )1, 7,ru m= −

( )1,4, 2P r− ∈

( ) ( )2 5 1 0, 2,10 0, 1,50 5 1

s

i j ku = = − −

( )2, 2,0Q s− ∈

Las rectas no pueden ser paralelas. Por tanto, para que sean coplanarias deben ser secantes:

1 70 1 5

mA − = −

1 70 1 51 6 2

mB

− = − −

. Para que sean secantes debe verificarse que 0B = ⇒ m = 7.

El punto de corte de las rectas es ( )2, 3,5R − . La distancia de R a O es ( ), 4 9 25 38d R O = + + = u.

102. Calcula el valor, o los valores, de m para que el área del triángulo que se obtiene al cortar el plano

: 2 3x y z mπ + + = con los ejes coordenados valga 146

u2.

Los puntos de corte son:

2 3

: 0 ,0,020

x y z mmA y A

z

+ + = = ⇒

=

2 3

: 0 0, ,030

x y z mmB x B

z

+ + = = ⇒

=

( )2 3

: 0 0,0,0

x y z mC x C m

y

+ + = = ⇒ =

, ,02 3m mAB = −

,0,2mAC m = −

2 2 2

0 , ,2 3 3 2 6

02

i j km m m m mAB AC

m m

× = − =

−

4 4 41 14 2 2

2 9 4 36 6m m mS m m= + + = ⇒ = = −


103. Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que distan 5 unidades de la recta 3

:4

xr

y=

=. Comprueba que el eje Z está incluido en ese lugar.

Sea ( ), ,X x y z un punto genérico del lugar, entonces ( ), 5d X r = .

Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:

( )0,0,1ru =

( )3,4,0Q ( )3, 4,QX x y z= − −

( )0 0 1 4 , 3,03 4

r

i j ku QX y x

x y z

→× = = − −

− −

2 2| | (4 ) ( 3)ru QX y x× = − + −

( ) ( ) ( )2 22 24 3| |, 5 6 8 0

1| |

r

r

y xu QXd X r x y x yu

→

→

− + −×= = = ⇒ + − − =

El lugar geométrico 2 2 6 8 0x y x y+ − − = contiene a la recta 00

xy

= =

, ya que todos los puntos de esa recta

verifican la ecuación del lugar.

PARA PROFUNDIZAR

104. Dados los puntos ( )5,0,0A − y ( )5,0,0B :

a) Calcula la distancia d que los separa.

b) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que distan d unidades de A y de B a la vez.

c) Identifica el lugar hallado.

a) ( ) 2, 10 10d A B = = u.

b) Sea ( ), ,P x y z un punto genérico. Entonces ( ), 10d P A = y ( ), 10d P B = .

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

5 10 10 75 0 10 75 0 75 00 010 75 05 10

x y z x y z x x y z x y zx xx y z xx y z

+ + + = + + + − = + + + − = + − = ⇒ ⇒ ⇒ = =+ + − − = − + + =

c) Se trata de la circunferencia que se obtiene al cortar la esfera de centro ( )0,0,0C y radio 75r = contenida en el plano x = 0.


105. Dado el plano : 2 2 18 0x y zπ + − + = y la superficie esférica de ecuación 2 2 2 2 4 4 0x y z x y+ + − + − = :

a) Calcula el haz de planos paralelos a π.

b) Calcula las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie esférica y que son paralelos a π.

a) Haz de planos paralelos a : 2 2 0x y z Dπ + − + = .

b) Los planos buscados deben pertenecer al haz anterior y además deben verificar que la distancia del centro de la esfera a ellos coincide con la medida del radio.

Centro: ( )1, 2,0C − . Radio: 1 4 4 3r = + + =

( )1 4 12 : 2 2 12 0

, 36 ' : 2 2 6 01 4 4

D D x y zd C

D x y z− + = ⇒ π + − + =π = = ⇒ = − ⇒ π + − − =+ +

106. Calcula la ecuación de la superficie esférica cuyo diámetro es el segmento de extremos ( )2,0,3A − y ( )0,2,1 .B Calcula el valor o los valores de k para que la recta :r x k y z− = = sea tangente a la superficie

esférica.

Centro de la esfera: ( )2 0 0 2 3 1, , 1,1,22 2 2

C C− + + + ⇒ −

. Radio: ( )22 21 1 122 2 2 32 2 2

r AB= = + + − = =

La ecuación de la superficie esférica es:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 2 3 2 2 4 3 0x y z x y z x y z+ + − + − = ⇒ + + + − − + =

Para hallar el valor o los valores de k se estudia la intersección de r con la superficie esférica.

( )2 2: 3 2 4 2 3 0x k

r y k k kz

= + λ = λ ⇒ λ + − λ + + + = = λ

Para que la recta sea tangente, la ecuación anterior debe tener solución única. Por tanto:

2 5 15 5 158 40 20 0 ,2 2

k k k k− + − −∆ = − − − = ⇒ = =


107. Un rayo parte del punto ( )1,0, 2P − y se refleja el plano : 2x yπ + = .

Calcula el punto donde el rayo toca al plano sabiendo que el rayo reflejado pasa por ( )1, 2,0Q − − .

Sea 'Q el simétrico de Q respecto del plano π. La recta que pasa por P y 'Q cortará al plano π en el punto T buscado.

13 1' : 2 ' , ,02 20

x tQQ y t M QQ M

z

= − + = − + ⇒ = ∩ π ⇒

=

.

Como M es el punto medio de ( )' ' 2,1,2QQ Q⇒ . ' (1,1,4)PQ =

.

13 1' : ' , ,02 22 4

x tPQ y t T PQ T

z t

= + = ⇒ = ∩ π ⇒

= − +


Autoevaluación

Comprueba qué has aprendido 1. Calcula el ángulo que forman los planos 1 : 2 3 2 6 0x y zπ − + − = y 2 : 3 6 6 1 0x y zπ + + − = .

Vectores normales de π y de 'π : ( )2, 3,2nπ = −

y ( )' 3,6,6nπ =

.

( ) ( )'

'cos , ' 0 , ' arccos0 90º

n n

n n

π π

π π

⋅π π = = ⇒ π π =

2. Calcula el ángulo que forma la recta :r x y z= = con el plano : 2 2 0x y zπ − + = .

Vector normal de π: ( )2, 1,2nπ = −


( ) ( )3 3 3sen , , arcsen 35º16'3 33 3

r

r

n ur r

n u

π

π

⋅π = = = ⇒ π =

⋅

3. Comprueba que el triángulo de vértices ( )3,4,5A , ( )9,4, 1B − , ( )1,2, 3C − es equilátero.

Los lados del triángulo miden:

2 2 28 2 2 72a BC= = + + =

, 2 2 2( 2) ( 2) ( 8) 72b AC= = − + − + − =

, 2 2 26 0 ( 6) 72c AB= = + + − =

Se trata de un triángulo equilátero.

4. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y calcula la mínima distancia que las separa.

a) 2 3:1 2 3x y zr − −

= = 1 1 2:1 1 2

x y zs − − −= =

− b) 5 22 0

:12 0

x y zr

x y z+ + − =

− + − =

6 0:

4 16 0x y z

sx y

+ + − = − − =

a) ( )1,2,3ru =

( )0,2,3P ( )1,1,2su = −

( )1,1,2Q

1 2 31 1 2M = −

1 2 3

' 1 1 21 1 1

M = − − −

( )rg 2M = , ( )' 3 0 rg ' 3M M= ≠ ⇒ = ⇒ las rectas se

cruzan.

Se halla el plano π que contiene a s y es paralelo a r:

1 1 2

1 2 3 0 : 5 3 2 01 1 2

x y zx y z

− − −= ⇒ π − + − =

− ( ) ( )

2 2 2

10 9 2 3 3 35, ,35351 5 3

d r s d P− + −

= π = = =+ +

b) ( ) ( )5 1 1 2, 4, 6 1, 2, 31 1 1

r

i j ku = = − − − −

−

( )0,5,17P

( )1 1 1 4,1, 51 4 0

s

i j ku = = −

−

( )16, 0, 10Q −

1 2 34 1 5M − − = −

1 2 3

' 4 1 516 5 27

M− −

= − − −

( )rg 2M = , ' 0 rg( ') 2M M= ⇒ = ⇒ las rectas se cortan

en un punto. Por tanto, la mínima distancia que las separa es 0.


5. Dado el plano : 2 0x y zπ + − = y el punto ( )1, 2,1P − :

a) Calcula las ecuaciones de la recta perpendicular a π y que pasa por P.

b) El punto Pπ es la proyección ortogonal del P sobre el plano π. Calcula sus coordenadas.

a) Vector normal de π: ( )2,1, 1nπ = −

Recta perpendicular a π y que pasa por P: 1 2

: 21

xr y

z

= + λ = − + λ = − λ

b) Se obtiene Pπ al resolver el sistema formado por la recta r y el plano π:

1 4 11 52 4 2 1 0 , ,6 3 6 6

Pπ + λ − + λ − + λ = ⇒ λ = ⇒ −

6. Dada la recta :r x y z= = , calcula las ecuaciones de la recta que es perpendicular a r, que corta a r y que pasa por el punto ( )1,0,0P . Se calcula el plano perpendicular a r y que pasa por P:

( )1,1,1ru =

0 1 0 0 0 1 : 1 0x y z D D D x y z+ + + = ⇒ + + + = ⇒ = − ⇒ π + + − =

Se obtiene rP al resolver el sistema formado por la recta r y el plano π:

1 1 1, ,1 0 3 3 3r

x y zP

x y z= = ⇒ + + − =

La recta s buscada es la recta que pasa por P y por rP :

2 1 1, , ( 2, 1, 1)3 3 3

rPP = − ≈ −

2 11: :02 1 1

x yx y zs sy z

+ =− = = ⇒ − =−

7. a) Demuestra que los puntos ( )3,0, 1A − − , ( )3, 2, 2B − − − , ( )1, 2, 1C − − − y ( )0,1,1D son coplanarios.

b) Calcula el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos A, B, C y D.

a) ( )0, 2, 1AB = − −

, ( )2, 2,0AC = −

, ( )3,1,2AD =

. ( )rg , , 2AB AC AD = ⇒

A, B, C y D son coplanarios.

b) 1 1 24 2 24 3 62 2 2ABCD ABC CDAS S S AB AC CD CA +

= + = × + × = =

u2.

8. a) Demuestra que los puntos ( )3,0,1A , ( )1, 2,1B − , ( )2,1,3C y ( )3, 1,1D − no son coplanarios.

b) Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A, B, C y D.

a) ( )2, 2,0AB = − −

, ( )1,1,2AC = −

, ( )0, 1,0AD = −

. ( )rg , , 3AB AC AD = ⇒

A, B, C y D no son coplanarios y forman

un triedro.

b) 2 2 01 21 1 2

6 30 1 0V

− −= − =

− u3


9. Comprueba que las rectas r y s se cruzan y calcula su perpendicular común.

1:1 2 3x y zr −

= =−

:1 1 2

x y zs = =−

( )1, 2,3ru = −

( )1,1,2su = −

( )0,0,1rA = ( )0,0,0sA =

( )1 2 3 7 5 7, 5, 11 1 2

r s

i j ku u i j k× = − = − − − = − − −

−

Plano que contiene a r y que tiene a r su u×


1

1 2 3 0 17 20 19 19 07 5 1

x y zx y z

−− − = ⇒ − − + =

− − −

Plano que contiene a s y que tiene a r su u×


1 1 2 0 9 15 12 07 5 1

x y zx y z− = ⇒ − + =

− − −

La perpendicular común es 17 20 19 19 0: .

9 15 12 0x y z

tx y z

− − + = − + =

10. Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos:

: 2 2 6 0x y zπ − + − = ' : 3 6 6 1 0x y zπ + + − =

¿Qué nombre recibe dicho lugar? Sea ( ), ,X x y z un punto genérico del lugar.

( )2 2 2 22 2

2 2 6 3 6 6 1( , ) ( , )

3 6 62 1 2

x y z x y zd X d X

− + − + + −α = β ⇒ = ⇒

+ ++ − +

2 2 6 3 6 6 1 3 9 17 03 9

x y z x y z x y− + − + + −= ⇒ − − =

2 2 6 3 6 6 1 9 3 12 19 03 9

x y z x y z x y z− + − + + −= − ⇒ + + − = .

El lugar está formado por los dos planos bisectores.

11. Dada la superficie esférica de ecuación 2 2 2 2 3 0x y z z+ + − − = :

a) Halla su centro y su radio.

b) Calcula la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto ( )0,0,3P .

a) ( )22 2 2 2 22 3 0 1 4x y z z x y z+ + − − = ⇒ + + − = ⇒ Centro: ( )0,0,1 . Radio: 2r =

b) El vector normal del plano será ( ) ( )0,0,2 0,0,1n CPπ = =

.

0 3 0 3 3 0z D D D z+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ − =



1. Para que el triángulo de vértices ( )2, 3,5A − , ( )3,2, 2B − y ( )1, 3,C m− − tenga área de 1 15262

u2, el valor

de m puede ser:

A. 0 B. 1 C. −1 D. Ninguno de los anteriores.

( )1,5, 7AB = −

( )3,0, 5AC m= − −

( )5 25,26 ,15AB AC m m× = − −

( ) ( )2 21 15 25 26 225 15262 2ABCS m m= − + − + = . La solución de esta ecuación es m = 0.

Por tanto, la solución correcta es la A.

2. Se quiere calcular una recta perpendicular a 2 0:

1x y

rx z

− = + =

, que se cruce con ella y que pase por

( )1,3, 2 .P − −

A. Existen infinitas soluciones. C. Existen dos soluciones diferentes.

B. Existe una única solución. D. Todo lo anterior es incorrecto.

Como el punto es exterior a la recta, ya que 2 3 0− − ≠ , existirán infinitas rectas perpendiculares a ella y que se crucen con ella y que, además, pasen por P. Por tanto, la solución correcta es la A.

3. El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos ( )1,0,2A y ( )1,2, 2B − − es:

A. La recta que pasa por el punto ( )0,1,0M y tiene dirección perpendicular al vector AB

.

B. El plano que contiene a los puntos A y B y tiene como uno de sus vectores de dirección el vector AB

.

C. El plano : 2 1 0x y zπ − + + =

D. El plano : 2 0x y zπ − + − =

La solución correcta es la C.

Sea ( ),X x y un punto genérico del plano.

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2, , ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)d X A d X B x y z x y z= = − + + − = + + − + + ⇒

2 2 2 2 2 21 2 4 4 1 2 4 4 4 4 : 2 1 0x x y z z x x y y z z x y z⇒ + − + + + − = + + + + − + + + ⇒ π − + + =


4. La recta r es secante con el plano π y el punto P es exterior a la recta y al plano. Se quiere calcular la ecuación de la recta s que es paralela a π, que pasa por P y que corta a r.

A. Un vector normal de π es de dirección de s.

B. Un vector normal de π es perpendicular a un vector de dirección de s.

C. Cualquier vector de dirección π también lo es de s.

D. La recta s está contenida en el plano paralelo a π y que pasa por P.

Son correctas B y D.



5. Para hallar el radio de la circunferencia que se obtiene al cortar el plano π y la superficie esférica:

2 2 2 1x y z+ + =

se da:

1. La ecuación del plano π.

2. La distancia del plano π al origen de coordenadas.

A. Cualquiera de los dos datos es innecesario si se conoce el otro.

B. 1 es suficiente por sí solo, pero 2 no.

C. 2 es suficiente por sí solo, pero 1 no.

D. Los datos son necesarios. La solución correcta es la A.

Si se conoce la ecuación del plano, se puede obtener la ecuación de la circunferencia y, por tanto, su centro y su radio.

Si se conoce la distancia d del plano al origen de coordenadas, el radio de la circunferencia se puede obtener

mediante 2 2r R d= − , siendo R = 1 el radio de la esfera.

250 Bloque III Geometría


1. Dados los puntos A(1, 2, −3) y O(0, 0, 0):

a) Calcula la ecuación de un plano π1 que pasa por A y O y sea perpendicular a π2: 3x − 5y + 2z = 11.

b) Encuentra la distancia del punto medio de A y O a π2.

a) El plano π1 se determina por los vectores ( )1, 2, 3rv OA= = −

, π −

2(3, 5, 2)n y el punto O(0, 0, 0):

1 1

0 0 0: 1 2 3 11 11 11 0 : 0

3 5 2

x y zx y z x y z

− − −π − = − − − = ⇒ π + + =

−

b) Hallamos el punto medio de A y O: 1 0 2 0 3 0 1 3, , , 1,2 2 2 2 2

M + + − + = = −

( )( ) ( )

2 2 22

1 3 3 353· 5 1 2 11 5 3 1135 35 382 2 2 2, = u

7638 38 2 383 5 2d M

− ⋅ + − − − − − π = = = =

+ − +

2. Sea π el plano que pasa por los puntos A(1, −1, 1), B(2, 3, 2), C(3, 1, 0) y r la recta dada por

− + += =

−7 6 3:

2 1 2x y zr .

a) Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π.

b) Calcula los puntos de r que distan 6 unidades del plano π.

a) El plano π se determinará por dos vectores, ( )1, 4,1AB =

y ( )2, 2, 1AC = −

, y un punto A(1, −1, 1):

1 1 1: 1 4 1 6 3 6 15 0 : 2 2 5 0

2 2 1

x y zx y z x y z

− + −π = − + − + = ⇒ π − + − + =

−

( )2, 1, 2rv = −

y ( )2,1, 2nπ = − −

son proporcionales, π y r son perpendiculares y forman un ángulo de 90o

b) Calculamos la distancia de un punto genérico de la recta de la recta al plano:

(7 2 , 6 , 3 2 )rP + λ − − λ − + λ ; 2 2 2

2(7 2 ) ( 6 ) 2( 3 2 ) 5 9 9( , ) 6 9 9 183( 2) 1 ( 2)

rd P − + λ + − − λ − − + λ + − − λπ = = = ⇒ − − λ =

− + + −

Hay dos puntos que verifican la condición. 9 9 18 3 (1, 3, 9) 9 9 18 1 (9, 7, 1)r rP P− − λ = ⇒ λ = − ⇒ − − − − λ = − ⇒ λ = ⇒ − −

3. Dos de los tres vértices de un triángulo son los puntos A(1, 1, 1) y B(1, 1, 3). El tercer vértice C está en la

recta r que pasa por los puntos P(−1, 0, 2) y Q(0, 0, 2).

a) Determina la ecuación de la recta r.

b) Calcula las coordenadas del vértice C para que el área del triángulo sea 15 unidades cuadradas.

a) El vector director de r y un punto son, respectivamente, ( )1, 0, 0rv PQ= =

y Q(0, 0, 2). : 02

xr y

z

= λ = =

b) Como C pertenece a la recta r, ( ), 0, 2C λ y con el vector ( )1, 1,1AC = λ − −

( ) 2 21 1 10 0 2 2, 2 2, 0 4 4 8 4 15 4 8 8 602 2 21 1 1

i j kS AB AC= × = = λ − = + λ − λ + = ⇒ λ − λ + = ⇒

λ − −

( )( )

2 1 14, 0, 22 4 522 13 0 1 142 ' 1 14, 0, 2

C

C

+± + ⇒ λ − λ − = ⇒ λ = = ± ⇒ −

Bloque III Geometría 251

4. Dadas las rectas = =

0:

0x

rz

, + = − =

1:

1x y

sx y

.

a) Determina un vector director de la recta s.

b) Calcula el plano π que contiene a r y es paralelo a s.

c) Encuentra el plano π que contiene a r y es perpendicular a s.

a) ( ) ( )1

2

1 1 0 0, 0, 2 0, 0,11 1 0

s s

i j k i j kv n v

nπ

π

= = = − → =−

b) El vector director de r es ( )0,1,0rv =

.

El plano contendrá los vectores directores de r y s y pasará por un punto de r.

Por lo tanto: 0 1 0 0 1 0

: 0 : 0 0 1 0 : 00 1 0

r

s

x y z x y zv xv

− − − − − −π = ⇒ π = ⇒ π =

c) Si el plano es perpendicular a s,: ( )0,0,1sn vπ = =

, por lo que el plano es 0z dπ ≡ + = . Por otro lado, si contiene a r, contiene a cualquier punto de punto de r,

(0, , 0)rP λ : ( )0, ,0 : 0 0 0 : 0d d zπ λ + = → = → π =

5. Dados el punto P(1, 0, 1), el plano π : x + 5y – 6z = 1, y la recta = =

0:

0x

rz

se pide:

a) Calcular el punto P’ simétrico a P respecto de π.

b) Hallar la distancia de P a r. c) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y las intersecciones de π con los ejes

coordenados X, Y y Z.

a) Hallamos la recta s que pasa por P y es perpendicular al plano

El vector director será ( )1, 5, 6sv nπ= = −

y un punto es P (1, 0, 1).

1 1:1 5 6

x y zs − −= =

− y un punto genérico de s es (1 , 5 , 1 6 )sP + λ λ − λ

Se halla el punto de corte Q entre la recta s y el plano:

( ) ( ) 31 5 5 6 1 6 1 62 631

+ λ + λ − − λ = → λ = → λ =34 15 13, ,31 31 31

Q ⇒

P' es el simétrico de P respecto de Q, por tanto Q es el punto medio de 'PP

1 1 34 15 13 37 30 5 37 30 5, , , , ' , ,2 2 2 31 31 31 31 31 31 31 31 31

x y zQ x y z P+ + − − = = → = = = →

b) Un punto de r es ( )0,0,0rP = y un vector director ( )0,1,0rv =

. Como ( ) ( )1,0, 1 1,0,1rP P = − − →

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21,0,1 0,1,0, 1 0 1 1,0,1 1 1 2

1 0 1 0

r r

r

i j kP P vd P r u

v

× ×= = = = − = − + =

c) Los puntos de corte del plano con los ejes coordenados: ( ) 1 11, 0, 0 , 0, , 0 y 0, 0,5 6

A B C −

El volumen será 3

1 0 01 1 1 1, , 0 06 6 5 180

10 06

V OA OB OC u = = =

−

252 Bloque III Geometría

PRUEBA II SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Señala cuáles de las siguientes afirmaciones referidas a los vectores

u = (2, −1, 4),

v = (0, 0, 1) y

w = (−4, 2, −8) son ciertas A. Son linealmente dependientes. B. Son linealmente independientes.

C. El vector w

se puede expresar como combinación lineal de u

y v

.

D. det ( u

, v

, w

) = 0

2w u= −

Son correctas las respuestas A, C y D. 2. Halla las coordenadas del vector

u = (2, 4, 5) respecto de la base B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

A. Los vectores de B no forman base. C. 7 1 3, ,2 2 2

B. 7 1 3, ,2 2 2

− −

D. (7, 1, 3)

(2, 4, 5) = a(0, 1, 1) +b(1, 1, 0) + c(1, 0, 1) ⇒ 245

b ca ba c

= + = + = +

⇒ 7 1 32 2 2

a b c = = =

.

Por tanto, las coordenadas de u

respecto de la nueva base son

23,

21,

27 . Solución: C

3. El ángulo formado por el plano π : x + y + z = 2 y la recta r : − 21

x = +12

y =3z es:

A. 22º 12’ 27,56’’ B. 157º 47’ 32,44’’ C. 67º 47’ 32,44’’ D. 37º 47’ 32,44’’

nπ

= (1, 1, 1); ru

= (1, 2, 3); | nπ

| = 3 ; | ru

| = 14 ; sen ( ),r π = 614·3

⇒ ( ),r π = 67° 47’ 32,44”

Solución: C

4. Dados los planos 1π : x + y – 2z + 3 = 0 y 2π : 3y + z – 4 = 0, señala cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas.

A. La recta intersección de ambos planos tiene por vector director a d

= (–7, 1, –3).

B. El plano –x + 5y + 4z – 11 = 0 pertenece al haz definido por 1π y 2π .

C. Los planos forman un ángulo de 90º.

D. El punto (–2, 1, 1) pertenece a la recta definida por los dos planos.

Un vector normal de 1π es (1, 1, −2). Un vector normal de 2π es (0, 3, 1). No son proporcionales y, por tanto, los planos no son paralelos. Un vector de la recta determinada por los planos es (7, –1, 3). El plano de B pertenece al haz determinado por 1π y 2π , ya que es − 1π + 2 2π = 0. Los planos no son perpendiculares, ya que el producto escalar de sus vectores no es nulo. (−2, 1, 1) sí pertenece a la recta ya que verifica sus ecuaciones. Soluciones: A, B y D.

5. Dos puntos distintos P y P ' son simétricos respecto un plano π.

1. d(P, π) = d(P ', π) 2. Si '

PP ⊥ π

n ; π= ∩'

M PP n ; =( , ) ( ', )d P M d P M

A. 1 ⇔ 2 C. 2⇒ 1, pero 1 ⇒ 2

B. 1⇒ 2, pero 2 ⇒ 1 D. 1 y 2 son excluyentes

Solución B 1 ⇒ 2, pero 2 ⇒ 1

Bloque III Geometría 253

6. La posición relativa de la esfera x2 + y2 + z2 − 2x − 3 = 0 y el plano π : 2x − y − z + 3 = 0 es:

A. El plano corta a la esfera en una circunferencia de centro C(1, 1, 1) y radio 1.

B. El plano corta a la esfera en una circunferencia de centro C(−2, 1, 1) y radio 2 .

C. El plano es tangente a la esfera en el punto P(1, 0, 2).

D. Ninguna de las anteriores.

La esfera x2 + y2 + z2 − 2x − 3 = 0 tiene centro C(1, 0, 0) y radio 2.

Como d(C, π ) = 2 ( 1) 3 1 24 1 1 6⋅ − +

= <+ +

. El plano corta a la esfera.

Solución: D, ya que el plano no es tangente a la esfera y los centros de las opciones A y B no pertenecen al plano.

254 Unidad 13| Combinatoria y probabilidad

13 Combinatoria y probabilidad



2. Un experimento consiste en contar el número de hojas dañadas por insectos en una planta. Sean los sucesos A = “el número de hojas dañadas es más de 25” y B = “el número de hojas dañadas está entre 20 y 35”. Describe los sucesos B A− y A B∩ .

− :B A El número de hojas dañadas está entre 20 y 25.

∩ :A B El número de hojas dañadas es menor de 20.

3. En el lanzamiento de un dado dodecaédrico con las caras numeradas del 1 al 12, se consideran los sucesos A = “salir impar” y B = “salir primo”. Comprueba que se cumplen las reglas de De Morgan.

El espacio muestral es { }, , , , , , , , , , ,= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112E .

Los sucesos A y B están formados por { }, , , , ,= 1 3 5 7 9 11A y { }, , , ,= 2 3 5 7 11B .

Primera Ley de De Morgan: ∪ = ∩A B A B

{ } { }, , , , , , , , , ,∪ = ⇒ ∪ =1 2 3 5 7 9 11 4 6 8 10 12A B A B

{ }, , , , ,= 2 4 6 8 10 12A { } { }, , , , , , , , , ,= ⇒ ∩ =1 4 6 8 9 10 12 4 6 8 10 12B A B

Por tanto, queda comprobada la primera ley de De Morgan.

Segunda Ley de De Morgan: ∩ = ∪A B A B

{ } { }, , , , , , , , , ,∩ = ⇒ ∩ =3 5 7 11 1 2 4 6 8 9 10 12A B A B

{ }, , , , ,= 2 4 6 8 10 12A { } { }, , , , , , , , , , , , ,= ⇒ ∪ =1 4 6 8 9 10 12 1 2 4 6 8 9 10 12B A B

De esta manera, queda comprobada la segunda ley de De Morgan.


5. Usando un ordenador se ha simulado el lanzamiento de dos monedas. La tabla muestra las frecuencias absolutas del suceso A = “obtener cara en una moneda y cruz en la otra”.

n 10 25 50 100 250 500 750 1000 f(A) 3 11 26 55 128 252 373 502

Completa la tabla con las frecuencias relativas y asigna un valor aproximado a la probabilidad de A.

La tabla con las correpondientes frecuencias relativas es:

n 10 25 50 100 250 500 750 1000

f(A) 3 11 26 55 128 252 373 502

h(A) 0,3 0,44 0,52 0,55 0,512 0,504 0,497 0,502

Aproximadamente, el valor de la probabilidad de A es P(A) = 0,5.

Unidad 13| Combinatoria y probabilidad 255

6. En una población, se supone que los varones y las mujeres nacen en la misma proporción. De la población se eligen dos bebés al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos bebés sean mujeres? ¿Y de que uno sea varón y otro mujer?

Sean los sucesos A = "elegir bebé varón" y B = "elegir bebé mujer", se tiene que: =1( )2

P A y =1( )2

P B

La probabilidad de que los dos bebés sean mujeres es: = ⋅ = =1 1 1( ) 0,252 2 4

P C

La probabilidad de que uno sea varón y otro mujer es: = =1( ) 0,52

P D

7. Si P es una probabilidad definida sobre el espacio muestral { }1 2 3 4, , ,E w w w w= con ( )1 0,15P w = ; ( ) ( )2 44P w P w= y ( ) ( )4 33P w P w= , halla ( )3P w .

Debe verificarse que todas las probabilidades sean no negativas y que sumen 1. Es decir:

( ) ( ) ( ) ( )+ + + =1 2 3 4 1P w P w P w P w

Como se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )= = ⋅ =2 4 3 34 4 3 12P w P w P w P w

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + = ⇒ = ⇒ = =3 3 3 3 30,850,15 12 3 1 16 0,85 0,05312516

P w P w P w P w P w

Las probabilidaddes de los restantes resultados son:

( ) =2 0,6375P w y ( ) =4 0,159475P w


11. La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es x, mientras que con otra moneda esa probabilidad es y. Se lanzan las dos monedas. Calcula la probabilidad de:

a) No obtener cara.

b) Obtener exactamente una cara.

c) Obtener dos caras.

¿Es posible elegir x e y de modo que las probabilidades de los apartados a, b y c sumen 1?

El espacio muestral está formado por { }= , , ,E CC CX XC XX . Sean ≤ ≤0 1x , ≤ ≤0 1y .

a) Sea A = “no obtener cara” que es equivalente a A = “obtener dos cruces”, su probabilidad es:

( ) ( )= = − − = − − +( ) ( ) 1 1 1P A P XX x y x y xy

b) Sea B = “obtener exactamente una cara”

= = − + − = + −( ) ( , ) (1 ) (1 ) 2P B P CX XC x y y x x y xy

c) Sea D = “obtener dos caras”

= =( ) ( )P D P CC xy

Para ver si es posible elegir x e y de modo que las probabilidades de los apartados a, b y c sumen 1:

+ + = ⇒ − − + + + − + = ⇒ =( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1P A P B P D x y xy x y xy xy

Es decir, cualesquiera que sean [ ]∈, 0, 1x y , la suma de las probabilidades es 1. Ello se debe a que los sucesos A, B y D forman una partición del espacio muestral.


12. Dados los sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio, con ( ) 0,5P A = , ( ) 0,3P B = , ∩ =( ) 0,2P A B , calcula las probabilidades de que:

a) Al menos uno de los sucesos A o B ocurra.

b) A o B ocurran, pero no los dos.

c) No ocurra ninguno de los dos sucesos.

a) Se trata de calcular la probabilidad del suceso A B∪ :

( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,3 0,2 0,6P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − =

b) En este caso se trata del suceso ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B∩ ∪ ∩ = ∪ − ∩ :

(( ) ( )) ( ) ( ) 0,6 0,2 0,4P A B A B P A B P A B∩ ∪ ∩ = ∪ − ∩ = − =

c) Debe calcularse la probabilidad del suceso A B∩ . Utilizando la ley de De Morgan:

( ) ( ) 1 ( ) 1 0,6 0,4P A B P A B P A B∩ = ∪ = − ∪ = − =

13. Sean los sucesos A, B y C asociados a un experimento aleatorio. Sabiendo que ( ) 0,53P A = , ( ) 0,54P B = , ( ) 0,43P C = , ∩ =( ) 0,2P A B , ∪ =( ) 0,71P A C , ∪ =( ) 0,82P B C y ∩ ∩ =( ) 0,05P A B C , calcula:

a) ( )P A C∩ c) ( )P A B C∪ ∪ e) ( )P A B C∩ ∩

b) ( )P B C∩ d) ( )P A B C∩ ∩ f) ( )P A B C∪ ∪

Se deben utilizar las propiedades de la probabilidad y, en caso necesario, acudir a un diagrama de Venn:

a) En este caso:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,53 0,43 0,71 0,25P A C P A P C P A C∩ = + − ∪ = + − =

b) De la misma forma que en el apartado anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,54 0,43 0,82 0,15P B C P B P C P B C∩ = + − ∪ = + − =

c) La probabilidad de la unión de tres sucesos se expresa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,53 0,54 0,43 0,20 0,25 0,15 0,05 0,95

P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ == + + − − − + =

d) Utilizando un diagrama de Venn, se puede ver que:

( ) ( ) ( ) 0,25 0,05 0,20P A B C P A C P A B C∩ ∩ = ∩ − ∩ ∩ = − =

e) Con la ayuda de un diagrama de Venn, se puede ver que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,43 0,25 0,15 0,05 0,08

P A B C P C P A C P B C P A B C∩ ∩ = − ∩ − ∩ + ∩ ∩ == − − + =

f) Este suceso es el suceso contrario del suceso del apartado e, es decir:

A B C A B C∩ ∩ = ∪ ∪

Entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,53 0,2 0,25 0,05 0,13P A B C P A P A B P A C P A B C∩ ∩ = − ∩ − ∩ + ∩ ∩ = − − + =

( ) 1 ( ) 1 0,13 0,87P A B C P A B C∪ ∪ = − ∩ ∩ = − =


14. En una convención, el 80 % de los asistentes habla inglés, el 50 %, español, y el 90 %, al menos uno de los dos idiomas. De la convención se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Hable los dos idiomas.

b) Hable español, pero no inglés.

c) No hable ninguno de los dos idiomas.

d) No hable al menos uno de los dos idiomas.

Sean los sucesos A = “la persona elegida habla inglés”, B = “la persona elegida habla español”. Se tiene que:

( ) 0,8P A = , ( ) 0,5P B = y ( ) 0,9P A B∪ =

a) Se trata de calcular la probabilidad del suceso A B∩ :

( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 0,5 0,9 0,4P A B P A P B P A B∩ = + − ∪ = + − =

b) En esta ocasión es la probabilidad del suceso B A− :

( ) ( ) ( ) 0,5 0,4 0,1P B A P B P A B− = − ∩ = − =

c) Ahora se pide la probabilidad del suceso A B∩ . Aplicando una de las leyes de De Morgan:

( )( ) ( ) 1 1 0,9 0,1P A B P A B P A B∩ = ∪ = − ∪ = − =

d) Debe calcularse la probabilidad del suceso A B∪ . Por una de las leyes de De Morgan y el resultado del apartado a, se tiene:

( )( ) ( ) 1 1 0,4 0,6P A B P A B P A B∪ = ∩ = − ∩ = − =


18. Una bolsa contiene tres bolas numeradas 1, 2, 3. De la bolsa se extrae una bola al azar, se anota su número y se devuelve a la bolsa. Seguidamente se extrae una segunda bola. Calcula la probabilidad de que el número más alto de los extraídos sea el 2. En la bolsa hay tres elementos (bolas) y se realizan 2 extracciones con reemplazamiento. Los resultados posibles, que pueden considerarse equiprobables, son 3,2 9VR = , ya que importa el orden en que se extraen las bolas y los números se pueden repetir. Si el número más alto extraído es el 2, los resultados favorables serían 11, 12 y 21. Es decir, el número de resultados favorables es 3. Aplicando la regla de Laplace:

3 1(número más alto extraído sea 2)9 3

P = =

19. En un torneo triangular de baloncesto, dos de los equipos tienen la misma probabilidad de ganar y el tercer equipo tiene el doble de probabilidad de ganar que los otros dos. Calcula la probabilidad que tiene cada equipo de ganar el torneo.

Sean A, B y C los equipos y también los sucesos consistentes en que cada uno de ellos gane el torneo. Sea:

( ) ( )P A P B p= = y ( ) 2 con 0P C p p= >

Las probabilidades deben sumar 1, luego:

12 14

p p p p+ + = ⇒ =

Por tanto,

1( ) ( )4

P A P B= = y 1( ) 2

P C =


20. Se hacen tres lanzamientos de un dado. Si en el primer lanzamiento sale 2, ¿qué es más probable que la suma de las puntuaciones sea un número par o que tal suma sea impar?

El conjunto de resultados posible es:

211,212,213,214,215,216,221,222,223,224,225,226,231,232,233,234,235,236,241,242,243,244,245,246,251,252,253,254,255,256,261,262,263,264,265,266

E =

Donde por ejemplo, 212, representa el resultado de que el primer lanzamiento salga 2, el segundo 1 y el tercero 2. Aplicando la regla de Laplace:

El suceso A = "la suma de los tres números es par" luego los tres números son pares o dos de ellos son impares.

{ }211,213,215,222,224,226,231,233,235,242,244,246,251,253,255,262,264,266A =

nº de resultados favorables al suceso 18 1( )nº de resultados posibles 36 2

AP A = = =

El suceso B = "la suma de los tres numeros es impar" para queocurra esto un número es impar y los otros pares.

{ }212,214,216,221,223,225,232,234,236,241,243,245,252,254,256,261,263,265B =


BP B = = =

La probabilidad es la misma.

21. Una urna contiene una bola roja y una blanca. Se extrae una bola de la urna y se anota su color y se devuelve a la urna. Se repite el experimento dos veces más, calcula la probabilidad de que:

a) Solo una bola sea roja.

b) Al menos una bola sea roja.

c) Las tres sean blancas.

d) Sean del mismo color.

El conjunto de resultados posibles equiprobables es { }, , , , , , ,E BBB BBR BRB RBB BRR RBR RRB RRR=

Donde por ejemplo, BRB, representa el resultado en el que la primera bola sea blanca, la segunda roja y la tercera blanca. Para calcular las probabilidades se puede aplicar la regla de Laplace.

a) El suceso A = “solo una bola es roja” es { , , }A BBR BRB RBB= , y su probabilidad es:

nº de resultados favorables al suceso 3( )nº de resultados posibles 8

AP A = =

b) El suceso C = “al menos una bola es roja” es { , , , , , , }C BBR BRB RBB BRR RBR RRB RRR= , de modo que:


CP C = =

c) El suceso D = “las tres son blancas” es { }D BBB= , por lo que:


DP D = =

En esta ocasión se puede proceder, también, por el suceso contrario, ya que D C= .

d) El suceso F = "son del mismo color" es { , }F BBB RRR= , luego:


FP F = = =


22. Un dado octaédrico está trucado de forma que la probabilidad de cada cara es proporcional al cuadrado del número que aparece en ella. Si se lanza el dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un divisor de 12?

Los números que aparecen en las caras son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. De modo que si llamas p a la probabilidad de que aparezca en la cara 1, es decir, ( ) =1P p se tiene que las siguientes probabilidades son ( ) =2 4P p ,

( ) =3 9P p , ( ) =4 16P p , ( ) =5 25P p , ( ) =6 36P p , ( ) =7 49P p , ( ) =8 64P p .

Como la suma de estas probabilidades es 1 se tiene que:

+ + + + + + + = ⇒ =14 9 16 25 36 49 64 1

204p p p p p p p p p

La probabilidad pedida es la que aparezca en las caras 1, 2, 3, 4 o 6, luego 66 11( ) .204 34

P D = =



25. Se lanza un dado dos veces consecutivas. Calcula la probabilidad de que:

a) La suma de los puntos sea 5.

b) La diferencia de puntuaciones, en valor absoluto, en los dos lanzamientos sea menor que 3.

c) El producto de los puntos sea múltiplo de 6.

El número de resultados posibles equiprobables al lanzar un dado dos veces consecutivas es 2

6, 2 6 36VR = =

a) El número de resultados favorables al suceso A = “la suma de los puntos es 5” es 4, por tanto:

( ) 4 136 9

P A = =

b) El número de resultados favorables al suceso B = “la diferencia de puntuaciones es menor que 3” es 24, luego:

( ) 24 236 3

BP = =

c) El número de resultados favorables al suceso C = "el producto de los puntos es múltiplo de 6'' es 6, por lo que:

( )364 1

9CP = =

26. Con las cifras del 1 al 9 se forman al azar números de 4 cifras. Calcula la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de cinco si:

a) El número tiene las cifras distintas.

b) El número puede tener cifras repetidas.

a) Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, se pueden formar 9, 4 9 8 7 6 3024V = ⋅ ⋅ ⋅ = números de 4 cifras distintas.

Sea el suceso A = “el número formado es múltiplo de 5”. Los resultados favorables al suceso A son 8,3 8 7 6 336V = ⋅ ⋅ = , puesto que para ser múltiplo de 5 el número formado debe acabar en 5, y quedarían 8

cifras para 3 lugares. Es decir:

( ) 336 13024 9

P A = =

b) Si las cifras se pueden repetir, el número de resultados posibles son 49,4 9 6561VR = = y los resultados

favorables al suceso A = “el número formado acaba en 5” son ahora 39,3 9 729VR = = .

729 1( )6561 9

P A = =


27. Se lanzan tres dados y se observan los resultados obtenidos. Calcula la probabilidad de obtener:

a) Tres caras iguales.

b) Suma igual a 10.

a) En el experimento de lanzar tres dados, el número de resultados posibles equiprobables es 36, 3 6 216VR = =

Sea el suceso A = “obtener tres caras iguales”. Los resultados favorables al suceso A son 6, ya que {111, 222, 333, 444, 555, 666}A = .

Luego:

( ) 6 1216 36

P A = =

b) Los resultados favorables al suceso B = “obtener suma igual a 10” son (entre paréntesis sus respectivas permutaciones) 136 (6), 145 (6), 226 (3), 235 (6), 244 (3), 334 (3).

En total 27 resultados favorables al suceso B. Luego:

( ) 27 1216 8

BP = =

28. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. Calcula la probabilidad de:

a) Obtener par en el dado.

b) Obtener cara y número impar.

El espacio muestral consta de 12 resultados posibles {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }E C C C C C C X X X X X X=

Los números indican los resutados del dado y C (cara) y X (cruz) los de la moneda.

a) Los resultados favorables al suceso A = “obtener par en el dado” son 6, por lo que:

( ) 6 112 2

P A = =

b) Para el suceso B = “obtener cara y número impar” los resultados son 3, ya que {1 , 3 , 5 }B C C C= , entonces:

( ) 3 112 4

P B = =


29. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) ,3 ,2 ,32 4x x xVR V V− = +

b) ,2 , 1

,2

3! 2

x x x

x

V VVR x

−+ =

a) Desarrollando y simplificando la expresión, resulta:

( ) ( ) ( )3 1 2 1 2 4x x x x x x− − = − − +

3 2 3 22 6 4 4x x x x x x− + = − + +

3 25 3 4 0x x x− + + =

Que admite la factorización:

( ) ( )24 1 0x x x− − − =

Como el segundo factor no tiene solución entera, el resultado es, por tanto 4x = .

b) Procediendo de forma similar al apartado anterior:

2

( 1) ! 3! 2

x x xx x−

+ =

( )2 2 22 2 3x x x x− + =

2 2 0x x− =

( )2 0 0, 2x x x x− = ⇒ = =

Por lo que la única solución válida es 2x = .

30. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 rojas. De la bolsa se extraen 3 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Haya al menos una bola roja entre las extraídas.

b) Las 3 sean del mismo color.

Al no importar el orden en que se realizan las extracciones (pueden extraerse las tres bolas simultáneamente), el número de resultados posibles es:

7,37 7 6 5 353 3 2 1 C ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅

a) Si A = “al menos una bola roja entre las tres extraídas”, su contrario es A = “ninguna de las tres es roja” (las tres son blancas)

Los resultados favorables al suceso A y su probabilidad son:

( )4,34 4 3 2 44 3 3 2 1 35

AC P⋅ ⋅ = = = ⇒ = ⋅ ⋅

De manera que:

( ) 4 31135 35

P A = − =

b) El suceso C = “las tres sean del mismo color” se puede escribir como la unión de dos sucesos incompatibles: : " las tres son blancas" y B: "las tres son rojas" A . De esta manera:

( ) ( ) ( ) 4 1 135 35 7

P C P A BP= + = + =


31. Se reparten al azar 12 folios entre 4 niños, ¿cuál es la probabilidad de que a uno de los cuatro no le toque ningún folio?

Para contar el número de resultados posibles al repartir entre cuatro niños doce folios, se pueden utilizar combinaciones con repetición.

Se colocan en línea los 12 folios y 3 separadores para indicar los que corresponden a cada niño. Por ejemplo:

/ / /F FFF FFFFF FFF

Así el niño A se ha llevado 1 folio, el niño B 3 folios, el niño C 5 folios y el niño D 3 folios.

De esta forma, repartir 12 folios entre 4 niños, equivale a elegir 3 elementos (o 12) de los 15 (los 12 folios y los 3 separadores) no importando el orden. Es decir:

4,1 2 15, 315 15 14 13 4553 3 2 1

CR C ⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅

Sea el suceso A = “a uno de los cuatro no le toca ningún folio”

Para contar el número de resultados favorables, debe elegirse en primer lugar el niño que se queda sin folios (4 posibilidades) y por cada una de estas, se reparten los 12 folios entre los 3 niños restantes niños. Esto es:

3,12 14, 214 14 134 4 4 4 3642 2

CR C ⋅ = = ⋅ = ⋅ =

Por último, aplicando la regla de Laplace:

( ) 364 4455 5

P A = =




35. Un local comercial, dispone de dos sistemas de alarma, A y B interconectados. La probabilidad de que el sistema A funcione correctamente es 0,9. Además, en la mitad de las ocasiones ha fallado el B, una vez que también había fallado el sistema A. Mientras que la probabilidad de que una vez que ha fallado B también lo haya hecho A es 0,25. Calcula la probabilidad de que:

a) El sistema B no funcione.

b) No funcione ninguno de los dos sistemas.

c) Funcione al menos uno de los sistemas.

Sean los sucesos A = “El sistema A funciona correctamente”, B = “El sistema B funciona correctamente”. La información disponible es:

( ) ( ) ( )0,9 | 0,5 | 0,25P A , P B A , P A B= = =

Se deben calcular las probabilidades de B y de A B∩ , para ello:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) | 0,5 | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,1 0,05

PP B A P B A P B P

B AA

AA B P

P= ⇒ = ⇒ = ⇒ − ∩ = ⋅ = ⋅ =

∩

De manera que resulta la ecuación ( ) ( ) 0,05P B P A B− ∩ = . Por otra parte,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )| 0,25 | 0,75 0,75 0,75 1 ( )

PP A B P A B P A P A B P B

P

A B

B

∩= ⇒ = ⇒ = ⇒ − ∩ = −

Sustituyendo y simplificando se obtiene una segunda ecuación: ( ) ( )0,75 0,15P B P A B− + ∩ =

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores:

( ) ( )( ) ( )

0,050,75 0,15

P B P A BP B P A B

− ∩ = − + ∩ =

( ) ( )0,8 , 0,75P B P A B= ∩ =

a) La probabilidad de que el sistema B no funcione, se obtiene de forma inmediata:

( )( ) 1 1 0,8 0,2P B P B= − = − =

b) La probabilidad de que no funcione ningún sistema viene dada por el suceso A B∩ :

( ) ( ) ( ) | 0,25 0,2 0,05P P A B PA B B= = ⋅ =∩

c) La probabilidad de que funcione al menos un sistema se obtiene mediante una de las leyes de De Morgan:

( ) ( ) ( )1 1 1 0,05 0,95A B AP A P BB P ∪∪ = − = − = − =∩

36. Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que =( ) 0,7P A , =( ) 0,6P B y ∪ =( ) 0,9P A B ,

calcula ( | )P A B y ( | )P B A .

Se calcula, en primer lugar, la probabilidad del suceso intersección de A y B:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,7 0,6 0,9 0,4P A B P A P B P A B∩ = + − ∪ = + − =

Entonces:

( ) ( )( ) 0,7 0,4( | ) 0,751 ( ) 1 0,6( )

P A P A BP A BP A BP BP B

− ∩∩ −= = = =

− −

( ) ( )( ) 0,6 0,4( | ) 0,66671 ( ) 1 0,7( )

P B P B AP B AP B AP AP A

− ∩∩ −= = = =

− −


37. En una población, de cada cien bebés que nacen, 30 son rubios y el resto morenos. De los rubios, el 80 % tiene los ojos azules, mientras que tienen ojos azules el 20 % de los morenos. Si se elige un bebé al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea rubio y tenga los ojos azules.

b) Sea moreno y no tenga los ojos azules.

Sean los sucesos R = “el bebé es rubio”, M = “el bebé es moreno” y A = “el bebé tiene los ojos azules”. Por los datos proporcionados se sabe que: ( ) 0,3P R = , ( ) 0,7P M = , ( | ) 0,8P A R = y ( | ) 0,2P A M = .

a) Se trata de la probabilidad del suceso R A∩

( ) ( )( | ) 0,8 0,3 0,24P R A P A R P R∩ = = ⋅ =

b) En este caso se debe calcular la probabilidad del suceso M A∩

( ) ( )( | ) 0,8 0,7 0,56P M A P A M P M∩ = = ⋅ =

Siendo ( | ) 1 ( | ) 1 0,2 0,8P A M P A M= − = − =

38. En una campaña de prevención de la gripe se vacuna al 40 % de la población en riesgo. Se sabe que la enfermedad afecta al 20 % de los vacunados y al 50 % de los no vacunados. Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar:

a) Enferme y haya sido vacunada.

b) Enferme y no haya sido vacunada.

Sean los sucesos V = “la persona ha sido vacunada” y F = “la persona enferme”.

Se tiene que:

( ) ( ) ( )0,4 , ( ) 0,6 , | 0,2 , | 0,5P V P V P F V P F V= = = =

a) Se pide la probabilidad del suceso V F∩ , que se calcula:

( ) ( ) ( ) | 0,2 0,4 0,08P V F P F V P V∩ = = ⋅ =

b) En este caso, se trata del suceso V F∩ , cuya probabilidad es:

( ) ( ) ( ) | 0,5 0,6 0,3P V F P F V P V∩ = = ⋅ =


40. Dos máquinas A y B producen 50 y 250 piezas por hora, con un porcentaje de fallos del 1 % y 10 %, respectivamente. Las piezas fabricadas en una hora están mezcladas y elegimos una al azar. Calcula la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B y no sea defectuosa.

Sean los sucesos A = “la pieza ha sido fabricada por la máquina A”, B = “la pieza ha sido fabricada por la máquina B” y C = “la pieza es defectuosa”.

( ) ( ) ( ) ( )50 1 250 5 ; ; | 0,01 ; | B 0,1300 6 300 6

P A P B P D A P D= = = = = =

Se pide la probabilidad del suceso B D∩ :

( ) ( ) ( ) 5 3 | 0,96 4

P B D P D B P B∩ = = ⋅ =

Donde ( ) ( ) | 1 | 1 0,1 0,9P D B P D B= − = − =


41. Se lanza una moneda tres veces. Sea el suceso Aj = “en el lanzamiento j se obtiene CRUZ” (j= 1, 2, 3). Los sucesos Aj ¿son mutuamente independientes?

El espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una moneda tres veces es:

{ , , , , , , , }E CCC CCX CXC XCC CXX XCX XXC XXX=

Si la moneda está equilibrada, los resultados del espacio muestral son equiprobables. Además, los sucesos son:

{ } { }1 2 3, , , , , , { , , , }A XCC XCX XXC XXX A CXC CXX XXC XXX A CCX CXX XCX XXX= = =

De esta manera, mediante la regla de Laplace, se obtiene que:

( ) ( ) ( )1 2 34 18 2

P A P A P A= = = =

Por otra parte:

{ } { }1 2 1 3 2 3, , , , { , }A A XXC XXX A A XCX XXX A A CXX XXX∩ ∩= =∩=

De manera que:

( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 32 18 4

P A A P A A P A A= = =∩ =∩ ∩

Y puede comprobarse que:

( ) ( ) ( ) 1 para , 1,2,3 e 4i j i jP A A P A P A i j i j= = = ≠∩

Es decir, los sucesos son independientes dos a dos.

Además, el suceso intersección de los tres es:

1 2 3 { }A A A XXX=∩ ∩

Con lo que su probabilidad es:

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 31 ( )8

P A A A P A P A P A= =∩ ∩

Y, por tanto, los sucesos son mutuamente independientes, puesto que son independientes dos a dos e independientes en conjunto.

42. En una atracción de feria, dos personas, A y B, lanzan una pelota a un blanco en movimiento. En promedio, A acierta una de cada tres veces, y B, una de cada cuatro. Si A lanza en primer lugar y luego se van turnando, ¿cuál es la probabilidad de que el primer acierto en el blanco se produzca en el tercer lanzamiento? ¿Y en el 5.º?

Considera los sucesos iA = “A acierta en el lanzamiento i" i= 1,3,5,... y iB = “B acierta en el lanzamiento i” i=2,4,6,...

Los lanzamientos son independientes y en cada lanzamiento las probabilidades de acertar de A y B son:

( ) ( )1 1 , 3 4i iP A P B= =

Para que el primer acierto en el blanco se produzca en el tercer lanzamiento, el suceso que ocurre es

31 2A AB∩ ∩

( )1 2 31 232 3 1 1( ( ) ( )3 4 6

)3

P A P P PA AA B B= =∩ ⋅ ⋅ =∩

De la misma forma, el primer acierto en el quinto lanzamiento 31 2 4 5A AB B A∩ ∩ ∩ ∩

( )1 2 4 5 1 2 43 3 52 3 2 3 1 1( ( ) ( ) ( ) ( )3 4 3 4 2

)3 1

P A P P P AA B B A P AA B BP∩ ∩ ∩ ∩ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =




47. Una bolsa contiene 6 bolas rojas y 4 blancas. De la bolsa se extrae al azar una bola y se reemplaza por otra del otro color. A continuación se extrae una segunda bola. Calcula la probabilidad de que:

a) La segunda bola extraída sea roja.

b) Dos bolas extraídas sean blancas.

Sean los sucesos 1R = “la bola en la primera extracción es roja”, 1B = “la bola en la primera extracción es blanca”.

( ) ( )1 13 2 ; 5 5

P R P B= =

Para la segunda extracción, la composición de la bolsa es 1 (5 , 5 )U R B= con probabilidad 35

y 2 (7 , 3 )U R B= con

probabilidad 25

.

La situación se describe en el diagrama de árbol.

a) Sea 2R = “la bola en la segunda extración es roja”. Aplicando el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2 21 3 7 2 29| | 2 5 10 5

50

P R P R U P U P R U P U= + = ⋅ + ⋅ =

b) Si 2B = “la bola en la segunda extracción es blanca” Se debe calcular la probabilidad del suceso:

( ) ( )1 2 2 1 13 2 6 3( | )

51 5 50 2

0P B B P B B P B= = ⋅ = =∩

48. Una epidemia de gripe afecta al 10 % de la población. El sistema de diagnóstico utilizado da positivo en una persona enferma en el 90 % de los casos, y negativo en una persona sana, en el 95 % de los casos. De la población se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que el test diagnóstico de negativo.

Se considera el suceso A = “la persona está afectada por la enfermedad”, junto con su contrario A :

( ) 0,1 , ( ) 0,9P A P A= =

Además, sea D = “el diagnóstico es positivo” y su contrario D = “el diagnóstico es negativo” y se sabe que:

( ) ( )| 0,9 , | 0,95P D A P D A= =

Se pide la probabilidad del suceso D . Por el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( )( ) | | 0,1 0,1 0,95 0,9 0,865P D P D A P A P D A P A= + = ⋅ + ⋅ =

Puesto que ( ) ( )| 1 | 1 0,9 0,1P D A P D A= − = − =


49. En una auditoría trabajan tres personas, A, B y C. A realiza el 30 % de las auditorías de, B realiza el 45 % y C realiza el resto. El porcentaje de errores de A, B y C, es respectivamente 1 %, 3 % y 2 %. Elegida una inspección al azar, calcula la probabilidad de que no tenga errores.

Se considera el suceso D = "no tenga errores". Se sabe que:

= = =( ) 0,99 , ( ) 0,97 , ( ) 0,98P D A P D B P D C

Por el teorema de la probabilidad total se tiene:

= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,99 0,45 0,97 0,25 0,98 0,9785P D P A P D A P B P D B P C P D C

50. El 63 % de los usuarios de móvil en España tiene un smartphone. Entre los propietarios de este tipo de teléfono, el 77 % lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otro tipo de teléfono móvil solo el 8 % lo emplea para la conexión habitual a internet. Calcula la probabilidad de conectarse habitualmente a internet a través del teléfono móvil.

Se considera el suceso A = "conectarse a Internet a través del móvil". Se sabe que:

= =( ) 0,77 , ( ) 0,08P A S P A S

Por el teorema de la probabilidad total se tiene que:

= + = ⋅ + ⋅ =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,63 0,77 0,37 0,08 0,5147P A P S P A S P S P A S


53. El 30 % de los habitantes de una localidad son jubilados y el 20 % son estudiantes, mientras que el resto

ni están jubilados ni son estudiantes. El 80 % de los jubilados, así como el 20 % de los estudiantes y el 40 % del resto de habitantes, son socios del club de fútbol local.

a) Elegido al azar un habitante de esa localidad, calcula la probabilidad de que sea socio del club de fútbol.

b) Elegido al azar un socio del club de fútbol, calcula la probabilidad de que sea jubilado.

c) Elegida al azar una persona que no es socio del club, ¿qué es más probable que sea jubilado o estudiante?

Se consideran los sucesos J = “el habitante es jubilado”, S = “el habitante es estudiante”, R = “el habitante no es jubilado ni estudiante”. Además, sea C = “el habitante es socio del club de fútbol”. Se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,3 0,2 0,5 | 0,8 | 0,2 | 0,4P J P S P R P C J P C S P C R= = = = = =

En el diagrama de árbol se describe la situación.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = | | | 0,8 0,3 0,2 0,2 0,4 0,5 0,48P C P C J P J P C S P S P C R P R

b) ( ) ( ) | ( ) 0,8 0,3J | C 0,5( ) 0,48

P C J P JP

P C⋅

= = =

c) Se deben calcular las probabilidades ( )J | CP y ( )S | CP y compararlas:

( ) ( ) ( )( ) 0,3 0,24J | C 0,11541 ( ) 1 0,48( )

P J P J CP J CPP CP C

− ∩∩ −= = = =

− −

Donde ( ) ( )( ) | 0,8 0,3 0,24P J C P C J P J∩ = = ⋅ =

( ) ( ) ( )( ) 0,2 0,04S | C 0,30771 ( ) 1 0,48( )

P P S CP S CPP CP

SC

− ∩∩ −= = = =

− −

Donde ( ) ( ) ( ) | S 0,2 0,2 0,04P S C P C P S∩ = = ⋅ =

De forma que si la persona elegida al azar no es socio del club de fútbol, entonces es más probable que sea estudiante que jubilado.


54. El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es 120, por la tarde, 150, y por la noche, 30. El porcentaje de vuelos que se retrasan por la mañana es del 2 %, por la tarde, del 4 %, y por la noche, de un 6 %.

a) Calcula la probabilidad de que se retrase un vuelo con destino a este aeropuerto.

b) Si un vuelo llegó con retraso a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo nocturno?

Se consideran los sucesos M = “el vuelo es de la mañana”, T = “el vuelo es de la tarde” y N = “el vuelo es de la noche”. Estos tres sucesos, forman una partición del espacio muestral.

Además, sea R = “el vuelo llega con retraso”. El número total de vuelos es 300, de modo que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )120 2 150 1 30 1 | 0,02 | 0,04 | 0,06300 5 300 2 300 10

P M P T P N P R M P R T P R N= = = = = = = = =

El diagrama de árbol ilustra la situación:

a) Aplicando el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | | 2 1 10,02 0,04 0,06 0,034 5 2 10

P R P R M P M P R T P T P R N P N= + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

b) Mediante el teorema de Bayes:

( ) ( ) | ( ) 0,06 0,1N | R 0,1765( ) 0,034

P R N P NP

P R⋅

= = =



EJERCICIOS

Experimentos aleatorios. Sucesos.

62. En los siguientes diagramas de Venn, obtén la parte coloreada mediante operaciones con sucesos.

a)

c)

b)

d)

En los cuatro casos, se expresan las partes coloreadas como unión de sucesos mutuamente excluyentes.

a) ( ) ( )A B B A C∩ ∪ ∩ ∩ c) ( ) ( ) ( )A B C A B C A B C∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩

b) ( ) ( )A B A B C∩ ∪ ∪ ∪ d) ( ) ( ) ( )A D B C A B D∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩


63. Una tarde de sábado, un joven tiene la posibilidad de realizar, en exclusiva, las siguientes cuatro posibilidades A = “ir al cine”, B = “estudiar”, C = “hacer deporte” o D = “no hacer nada”. Describe los sucesos siguientes.

a) ( )A C A∪ ∩ b) ( )A B B− ∪ c) ( )D A D∩ −

a) Aplicando la propiedad distributiva:

( ) ( ) ( )A C A A C A A A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ = ∪

Entonces, el suceso propuesto se puede describir como “Ir la cine o bien hacer deporte o bien ambas actividades”.

b) Teniendo en cuenta que:

( )A B B B− ∪ =

De modo que el suceso propuesto se puede describir como “No estudiar”.

c) En este caso, por una de las leyes de De Morgan y simplificando:

( ) ( )D A D D A D D∩ − = ∩ ∪ =

Es decir, el suceso es “No hacer nada”

Probabilidad y propiedades

64. En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del suceso contrario a B es 1,3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcula la probabilidad de que:

a) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

b) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B.

Llamamos ( ) ( ) P A x P B y= =

Con lo que ( ) 1P B y= −

Planteando el sistema de ecuaciones y resolviendolo se obtienen los valores de x e y:

2 2 1 1,3 0,3 0,6

1 1,3x y

y y y xx y

= ⇒ + − = ⇒ = = + − =

De este modo, completando con la probabilidad del suceso intersección, se tiene que:

( ) ( ) ( )0,6 0,3 0,18P A P B P A B= = ∩ =

a) Se trata de la probabilidad del suceso unión de A y B:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,3 0,18 0,72P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − =

b) En este caso, se pide la probabilidad del suceso A B∪ , que se puede obtener utilizando una de las leyes de De Morgan:

( ) ( ) ( )1 1 0,18 0,82P A B P A B P A B∪ = ∩ = − ∩ = − =


65. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que ( ) = 0,6P A , ( ) = 0,4P B y ( )∪ = 0,7P A B . Calcula:

a) ( )P A B∩ b) ( )P A B∪ c) ( )P A B∩

a) ( ) ( ) ( ) ( )0,7 0,7 1 1 0,7 0,3P A B P A B P A B P A B∪ = ⇒ ∩ = ⇒ ∩ = − ∩ = − =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 0,3 0,7P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − =

c) ( ) ( )( ) 0,6 0,3 0,3P A B P A P A B∩ = − ∩ = − =

Asignación de probabilidades. Espacios finitos

66. Se lanza 3 veces consecutivas un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de:

a) Obtener al menos un uno.

b) Obtener un seis solo en el tercer lanzamiento.

El número de resultados posibles equiprobables al lanzar tres veces un dado equilibrado es 36, 3 6 216VR = = .

En los cálculos de las probabilidades se puede utilizar la regla de Laplace.

a) Sea el suceso A = “obtener al menos un uno” y su contrario es A = “no obtener ningún uno”.

Los resultados favorables al suceso A son 35,3 5 125VR = = . Luego:

( ) ( )125 125 91 1216 216 216

P A P A= ⇒ = − =

b) Si solo debe aparecer un seis en el tercer lanzamiento, este queda fijo, y en los dos primeros puede haber 5,2 25VR = resultados favorables. Por lo que la probabilidad del suceso B = “obtener solo seis en el tercer

lanzamiento” es:

( ) 25216

P B =


67. Un tarro contiene 25 caramelos de naranja, 12 de limón y 8 de café. Se extraen dos caramelos al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Ambos sean de naranja.

b) Ambos sean del mismo sabor.

c) Ninguno sea de café.

Suponiendo que todos los resultados posibles son equiprobables, se aplica la regla de Laplace.

El número de resultados posibles de extraer 2 caramenlos de un tarro que tiene 45 caramelos es:

45, 245 45 44 9902 2

C ⋅ = = =

a) Sea el suceso N = “los dos caramelos son de naranja”, el número de resultados favorables al suceso N y su probabilidad son:

( )25 , 225 25 24 300 10300 0,303032 2 990 33

C P N⋅ = = = ⇒ = = =

b) Puede que los dos caramelos sean naranja (N), como en el apartado a, o los dos sean de limón (L) o los dos sean de café (C).

Los resultados favorables al suceso L y su probabilidad son:

( )12, 212 12 11 66 166 0,066672 2 990 15

C P L⋅ = = = ⇒ = = =

Los resultados favorables al suceso C y su probabilidad son:

( )8, 28 8 7 28 0,02832 2 990 495

28 14C P C⋅ = = = ⇒ = = =

Como los tres sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de los tres es:

( ) ( ) ( ) ( ) 300 66 28 0,398990 990

3949

190 990 495

97P N L C P N P L P C∪ ∪ = + + = + + = = =

c) Si ninguno es de café, los dos caramelos deben ser extraídos de los que son de naranja o limón, en total 37 caramelos. De modo que los resultados favorables al suceso D = “ninguno de los dos es de café” y su probabilidad son:

( )37, 237 37 36 666 37666 0,672722 2 990 55

C P D⋅ = = = ⇒ = = =


68. Con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, se forman al azar números de 4 cifras distintas. Calcula la probabilidad de que el número sea par y mayor que 5000.

El número total de números de 4 cifras distintas que se pueden formar con las 7 cifras (resultados posibles) es: 7,4 7 6 5 4 840V = ⋅ ⋅ ⋅ =

Sea el suceso A = “el número formado es par y mayor que 5000”.

Para contar el número de resultados favorables al suceso A, se debe tener en cuenta que:

- Hay 4 cifras pares que pueden ocupar la posición de las unidades: 2, 4, 6, 8

- Hay 4 cifras que pueden ocupar la posición de las decenas de millar: 5, 6, 7, 8

- Si la cifra de las unidades es 2 o 4, se dispone de las cuatro cifras (5, 6, 7, 8) para las unidades de millar y por cada una de esas posibilidades, las dos posiciones centrales pueden ocuparse con las restantes cinco cifras. En total: 5, 22 4 160V⋅ ⋅ =

- Si la cifra de las unidades es 6 u 8, se dispone de tres cifras (5, 7, 8 o 5, 6, 7 respectivamente) para las decenas de millar y por cada una de esas posibilidades, las dos posiciones centrales pueden ocuparse con las restantes cinco cifras. En total: 5, 22 3 120V⋅ ⋅ =

En total, el número de resultados favorable es 160 120 280+ = .

Y, suponiendo que los resultados posibles son equiprobables, se puede aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad del suceso A:

( ) 280 1840 3

P A = =

69. Se elige al azar un número de 4 cifras distintas escrito con las cifras 1, 2, 3 y 4. Calcula la probabilidad de que en dicho número las cifras 2 y 3 aparezcan seguidas y en el orden 23.

Con las cuatro cifras se pueden formar 4 4! 24P = = números de cifras distintas. Esos son los resultados posibles.

Sea el suceso A = “Las cifras 2 y 3 aparecen seguidas y en el orden 23”. El 2 y el 3 aparecen seguidos en ese orden solo en tres posiciones, como se puede ver en la tabla:

2 3

2 3

2 3 Por cada una de estas posiciones, las otras dos cifras pueden ordenarse de 2 2! 2P = = formas posibles. En total 3 2 6⋅ = resultados favorables. De esta manera, por la regla de Laplace:

( ) 6 124 4

P A = =

Probabilidad condicionada. Independencia

70. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que ( ) = 0,5P A , ( ) = 0,4P B y ( )∩ = 0,1P A B . Calcula cada una de las siguientes probabilidades.

a) ( )P A B∪ b) ( )P A B∪ c) ( ) | P A B d) ( )P A B∩

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,4 0,1 0,8P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − =

b) ( ) ( ) ( )1 1 0,1 0,9P A B P A B P A B∪ = ∩ = − ∩ = − =

c) ( ) ( ) 0,1 | 0,25( ) 0,4

P A BP A BP B∩

= = =

d) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,1 0,3P A B P B P A B∩ = − ∩ = − =


71. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, con ( )∩ = 0,1P A B , ( )∩ = 0,6P A B y ( ) = | 0,5P A B .

Calcúlense:

a) ( )P B b) ( )P A B∪ c) ( )P A d) ( ) | P B A

a) Para el cálculo de ( )P B , se procede a partir de la definición de probabilidad condicionada:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0,1| 0,2| 0,5

P A B P A BP A B P B

P B P A B∩ ∩

= ⇒ = = =

b) En este caso, se tiene en cuenta la ley de De Morgan A B A B∩ = ∪ :

( ) ( ) ( )0,6 0,6 1 0,6 0,4P A B P A B P A B∩ = ⇒ ∪ = ⇒ ∪ = − =

c) De las propiedades de la probabilidad y los resultados de los apartados anteriores:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,2 0,1 0,3P A P A B P B P A B= ∪ − + ∩ = − + =

d) De la definición de probabilidad condicionada:

( ) ( )( )

0,6 0,6 6| 1 ( ) 1 0,3 7

P B AP B A

P AP A

∩= = = =

− −

72. Se consideran tres sucesos A, B y C de un experimento aleatorio tales que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = = = = ∪ ∪ = ∩ ∩ =1 1 1 1 2| | , , 02 3 4 2 3

P A , P B , P C , P A B P C A P A B C P A B C

Calcula ( )∩P C B y ( )∪ ∪P A B C .

De las propiedades de la probabilidad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1| | 2 3 6 2 2 4

P A B P A B P B P A C P C A P A∩ = = ⋅ = ∩ = = ⋅ =

Y las demás probabilidades son conocidas excepto ( )P B C∩ . Despejando esta, resulta:

( ) 1 1 1 1 1 20 02 3 4 6 4 3

P B C∩ = + + − − + − =

Mientras que, utilizando una de las leyes de De Morgan:

( ) ( ) ( )1 1 0 1P A B C P A B C P A B C∪ ∪ = ∩ ∩ = − ∩ ∩ = − =


73. La probabilidad de que tenga lugar el suceso A es 23

, la probabilidad de que no ocurra el suceso B es

14

y la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B es 1924

. Calcula:

a) La probabilidad de que ocurran a la vez el suceso A y el suceso B.

b) La probabilidad de que no ocurra A y no ocurra B.

c) La probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.

d) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?

Las probabilidades dadas son: ( ) 23

P A = , ( ) 14

P B = y 19( )24

P A B∪ = .

Y de aquí que ( ) 1 314 4

P B = − = .

a) Se trata del suceso A B∩ :

( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 19 53 4 24 8

P A B P A P B P A B∩ = + − ∪ = + − =

b) Ahora es el suceso A B∩ . Utilizando una de las leyes de De Morgan:

( ) ( ) ( ) 19 5 1 124 24

P A B P A B P A B∩ = ∪ = − ∪ = − =

c) Se pide la probabilidad condicionada ( )| P A B :

( ) ( )( )

558| 3 6

4

P A BP A B

P B∩

= = =

d) Los sucesos A y B son independientes si y solo si ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = :

( ) ( ) ( )5 2 3 1 8 3 4 2

P A B P A P B∩ = = ⋅ =

Por tanto, los sucesos A y B no son independientes.


74. La probabilidad de que ocurra el contrario de un suceso A es 13

, la probabilidad de un suceso B es 34

y

la probabilidad de que ocurran a la vez A y B es 58

. Se pide:

a) Probabilidad de que ocurran el suceso A o el suceso B.

b) Probabilidad de que no ocurra ni el suceso A ni el suceso B.

c) Probabilidad de que ocurra A, sabiendo que ha ocurrido B.

d) ¿Son independientes los sucesos A y B? Razona la respuesta.

Las probabilidades dadas son ( ) 13

P A = , ( ) 34

P B = y ( ) 58

P A B∩ = . Y, por tanto ( ) 1 213 3

P A = − = .

a) Se trata de la probabilidad de la unión de los sucesos A y B, es decir:

( ) 2 3 5 193 4 8 24

P A B∪ = + − =

b) Se pide la probabilidad del suceso A B∩ , que utilizando las leyes de De Morgan se puede escribir:

( ) ( ) ( ) 19 5 1 124 24

P A B P A B P A B∩ = ∪ = − ∪ = − =

c) La probabilidad de A condicionada a que ha ocurrido B es:

( ) ( )( )

520 58| 3 24 6

4

P A BP A B

P B∩

= = = =

d) No son independientes, puesto que puede comprobarse rápidamente que:

( ) ( )5 2| 6 3

P A B P A= ≠ =

75. Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes de los que se conoce que ( ) = 0,5P A y ( ) = 0,3P B .

a) Indica, razonadamente, si A y B son sucesos incompatibles.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda A y no suceda B?

c) Halla la probabilidad de que no ocurra el suceso A si se sabe que no ha ocurrido el suceso B.

d) Calcula ( | )P A B .

a) Como A y B son independientes, la probabilidad del suceso intersección A B∩ es:

( ) ( ) ( ) 0,5 0,3 0,15P A B P A P B∩ = = ⋅ =

De manera que los sucesos no son incompatibles, ya que si lo fueran ( ) 0A B P A B∩ = ∅ ⇒ ∩ = .

b) Se trata del suceso A B∩ , cuya probabilidad es:

( ) ( ) ( ) 0,5 0,7 0,35P A B P A P B∩ = = ⋅ =

c) La probabilidad de A condicionada a que ha ocurrido B es:

( ) ( )| 0,5P A B P A= =

d) En este caso, de la definición de probabilidad condicionada:

( ) ( )| 0,5P A B P A= =


76. Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio, con ( ) = 0,3P A , ( ) = 0,6P B y

( )∩ = 0,1P A B :

a) Halla ( )P A B∩ .

b) Calcula ( )| P A B y ( | )P A B .

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,1 0,2P A B P A P A B P A B P A P A B∩ = − ∩ ⇒ ∩ = − ∩ = − =

b) ( ) ( )( )

0,2 1| 0,6 3

P A BP A B

P B∩

= = =

( ) ( )( )

( )( )

1 B 1 0,7 0,3 3| 1 1 0,6 0,4 4

P A B P AP A BP BP B

∩ − ∪ −= = = = =

− −

Ya que ( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,6 0,2 0,7P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − =


Probabilidad total. Teorema de Bayes

77. Considera dos urnas, la primera con 5 bolas blancas y 6 verdes y la segunda con 4 bolas blancas y 3 verdes. De la primera se extraen dos bolas al azar y se pasan a la segunda urna. Finalmente, de la segunda urna se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) La bola sea verde.

b) Las bolas que se han pasado de la primera urna a la segunda sean verdes, si la bola extraída de la segunda ha sido verde.

Sean ( )1 6 , 5U V B= y 2 (3 , 4 )U V B= las dos urnas. De la urna 1U se extaren dos bolas, que se introducen en 2U .

Las bolas extraídas de la primera urna pueden ser A = “las dos verdes”, B = “una blanca y una verde” y C = “las dos blancas”.

La probabilidad de cada uno de estos sucesos se obtiene mediante la regla de Laplace:

( ) ( ) ( )

6 6 5 52 1 1 23 6 2 11 11 1111 11 112 2 2

P A P B P C

= = = = = =

En consecuencia, la segunda urna tiene tres posibles composiciones dependiendo del suceso A, B o C que haya ocurrido.

Si ocurre A, la composición de la segunda urna es 2 (5 , 4 )AU V B= .

Si ocurre B, la composición de la segunda urna es 2 (4 , 5 )BU V B= .

Si ocurre C, la composición de la segunda urna es 2 (3 , 6 )CU V B= .

a) De la segunda urna se extrae una bola, la probabilidad del suceso D = “la bola extraída es verde”, se calcula mediante el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 2 | | | 5 4 3 45 59 11 9 9 99 111 11 1

P D P D A P A P D B P B P D C P C= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

b) Utilizando el teorema de Bayes:

( ) ( )3

| ( ) 11159

51

|

1

( ) 3

P D A P AP A D

P D

⋅= = =


78. Una bolsa contiene dos monedas equilibradas. Una de las monedas tiene cara y cruz y la otra tiene dos caras. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces consecutivas, observándose dos caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda sea la de dos caras?

Sean los sucesos A = “la moneda elegida tiene cara y cruz”, B = “la moneda elegida tiene dos caras” y C = “se obtienen dos caras en los dos lanzamientos”

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 | | 12 2 2 4

P A P B P C A P C B= = = ⋅ = =

La situación se puede representar mediante un diagrama de árbol.

Utilizando el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 5 | | 14 2 2 8

P C P C A P A P C B P B= + = ⋅ + ⋅ =

Y, por medio del teorema de Bayes:

( ) ( )11 | ( ) 42 | 5( ) 5

8

P C B P BP B C

P C

⋅= = =

Síntesis

79. Sabiendo que ( ) = 0,3P A , ( ) = 0,4P B y ( ) = | 0,2P A B .

a) Calcula ( )P A B∪ y ( ) | P B A .

b) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?

Con las probabilidades proporcionadas se pueden obtener algunas más que serán útiles para los cálculos posteriores:

( ) ( )( )

( ) | 0,2 0,2 0,2 0,4 0,08P A B

P A B P A BP B

∩= ⇒ = ⇒ ∩ = ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,4 0,08 0,62P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − =

a) En este caso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 0,3 0,4 0,4 0,08 0,78 P A B P A P B P A B P A P B P B P A B∪ = + − ∩ = − + − − ∩ = − + − − =

Para la probabilidad condicionada:

( ) ( )( )

0,08| 0,26667 0,3

P A BP B A

P A∩

= = =

b) Los sucesos A y B no son independientes, puesto que:

( ) ( ) | 0,2 0,3 P A B P A= ≠ =


80. Sean A, B dos sucesos de un experimento aleatorio, tales =( ) 0,6P A . Calcula ∩( )P A B en cada caso:

a) A y B son mutuamente excluyentes.

b) A está contenido en B.

c) B contenido en A y ( ) 0,3P B = .

d) ( ) 0,1P A B∩ = .

a) Si A y B son mutuamente excluyentes ( ) 0A B P A B∩ = ∅ ⇒ ∩ = y entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,6P A B P A P A B P A∩ = − ∩ = =

b) Si ( ) ( ) A B A B A P A B P A⊂ ⇒ ∩ = ⇒ ∩ = entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0P A B P A P A B P A P A∩ = − ∩ = − =

c) Si ( ) ( ) B A A B B P A B P B⊂ ⇒ ∩ = ⇒ ∩ = entonces:

( ) ( ) ( ) 0,6 0,3 0,3P A B P A P B∩ = − = − =

d) En este caso:

( ) ( ) ( ) 0,6 0,1 0,5P A B P A P A B∩ = − ∩ = − =

81. Se sabe que | ) 9( 0,B AP = , | ) 2( 0,A BP = y ( ) 0,1P A = .

a) Calcula ∩( )P A B y ( )P B .

b) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?

c) Calcula ∪( )P A B .

a) De la definición de probabilidad condicionada:

( ) ( )∩ = = ⋅ =( | ) 0,9 0,1 0,09P A B P B A P A

Y, por otro lado:

( ) ( )∩= = =

0,09 0,45( | ) 0,2

P A BP B

P A B

b) Los sucesos A y B no son independientes puesto que:

( ) ( )= ≠ = | 0,2 0,1P A B P A

c) La probabilidad pedida es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∪ = + − ∩ = + − − − ∩ = + − − − =( ) ( ) 1 0,1 1 0,45 0,1 0,09 0,64P A B P A P B P A B P A P B P A P A B


CUESTIONES

82. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que ( ) 0,2P A = y ( ) 0,4P B = .

a) Si A y B son mutuamente excluyentes, determina ∩( )P A B . ¿Son además A y B independientes? Razónalo.

b) Si A y B son independientes, calcula ∩( )P A B . ¿Son A y B además mutuamente excluyentes? Razona tu respuesta.

c) Si =( | ) 0P A B , calcula ∩( )P A B .¿Son A y B mutuamente excluyentes? ¿Son A y B independientes? Razónalo.

d) Si ⊆A B , calcula ∩( )P A B . ¿Son A y B independientes? Razona la respuesta.

a) Si A y B son mutuamente excluyentes, ∩ = ∅A B , y por tanto ∩ =( ) 0P A B .

Los sucesos A y B no son independientes. Para que lo fueran debería verificarse que:

∩ =( ) ( ) ( )P A B P A P B

Y en este caso no se cumple, ya que ∩ = ≠ =( ) 0 ( ) ( ) 0,08P A B P A P B .

b) Si A y B son independientes, entonces:

( ) ( )∩ = = ⋅ =( ) 0,2 0,4 0,08P A B P A P B

No son mutuamente excluyentes ya que ∩ = ≠( ) 0,08 0P A B .

c) En este caso:

( ) ( )( ) ( ) | 0 0 0

P A BP A B P A B

P B∩

= ⇒ = ⇒ ∩ =

Por lo que A y B son mutuamente excluyentes y, como se razonó en el apartado a no son independientes. Además, es fácil comprobar que ( ) ( )= ≠ = | 0 0,2P A B P A . Luego, A y B no son independientes.

d) Si ⊂A B , entonces ∩ =A B A y, en consecuencia:

( ) ( ) ( ) ( )0,2 0,08P A B P A P A P B∩ = = ≠ =

Luego los sucesos A y B no son independientes. Además, puede comprobarse que ( ) =P | 1B A .

83. Comprueba que si A y B son dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio, se verifica que:

a) ( ) ( )1 ( )P A B P A P B∪ = −

b) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = +

a) Si A y B son independientes, también lo son A y B . Teniendo esto en cuenta y las propiedades de la probabilidad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1 1

P A B P A P B P A B P A P B P A P B P A P B P A P B

P B P A P B P B P A P B P A

∪ = + − ∩ = + − = + − − − =

= − + = − − = −

b) En este caso, aplicando propiedades de la probabilidad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 P A B P A P B P A B P A P B P A P B P A P B P A P A P B P A∪ = + − ∩ = + − = + − = +


84. Sean A y B dos sucesos incompatibles, con ( )∪ > 0 P A B , demostrar que:

( )∪ =+( ) |

( ) ( )P BP B A B

P A P B

Si A y B son incompatibles A B ∩ = ∅ y ( ) 0 P A B∩ = , con lo que ( ) ( ) ( ) P A B P A P B∪ = + .

Por la definición de probabilidad condicionada y como ( ) B A B B∩ ∪ = , se tiene que:

( ) ( )( )( ) ( )∩ ∪

∪ = =∪ +

( ) | ( )

P B A B P BP B A BP A B P A P B

85. Si A, B y C son tres sucesos asociados a un experimento aleatorio de modo que ∩ ⊂B C A prueba que:

( ) ( ) ( )≤ +P A P B P C

( ) ( ) B C A A B C P A P B C∩ ⊂ ⇒ ⊂ ∩ ⇒ ≤ ∩

Utilizando una de las leyes de De Morgan y las propiedades de la probabilidad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B C P B C P B P C P B C P B P C≤ ∩ = ∪ = + − ∩ ≤ +

Puesto que ( ) 0 P B C∩ ≥

86. Si A y B son dos sucesos cualesquiera asociados a un experimento aleatorio, prueba que:

( ) ( )∪ ≥ − −( ) 1P A B P A P B

Es suficiente con tener en cuenta que ( ) 1 P A B∩ ≤ y que entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) P A B P A P B P A B P A P B P A P B P A P B∪ = + − ∩ ≥ + − = − + − − = − −

87. Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Prueba que:

a) Si A y B son independientes con ( )0 1 ,P A< < entonces ( )| ( | ) P B A P B A= .

b) Y recíprocamente: si ( )| ( | ) P B A P B A= , entonces A y B son independientes.

a) Si A y B son independientes, por definición ( )| ( )P B A P B= y además:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )1( )

| 1 1 1

P B A P B P AP B P B A P B P A P BP B A P B

P A P A P AP A

∩ −− ∩ −= = = = =

− − −

La última igualdad es posible porque ( )0 1 1 ( ) 0 P P AA< < ⇒ − ≠ .

b) Recíprocamente:

( ) ( ) ( )( )

( )| | ( )

P B A P B AP B A P B AP A P A

∩ ∩= ⇒ =

De donde se obtiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 ( )P B A P A P B P B A P A∩ − = − ∩

Desarrollando y simplificando se llega a que:

( ) ( ) ( )P B A P B P A∩ =

Y, por tanto, los sucesos A y B son independientes.


PROBLEMAS

88. El 75 % de los alumnos de un instituto practican algún deporte, el 30 % tocan un instrumento musical y el 15 % realiza ambas actividades. Elegido un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Realice al menos una de las dos actividades.

b) No realice ninguna de las dos actividades.

c) Solo realice una de las dos actividades.

Elegido un alumno al azar, se consideran los sucesos D = “practica algún deporte”, M = “toca un instrumento musical”. Se tiene que:

( ) ( ) ( )0,75 , 0,3 , 0,15P D P M P D M= = ∩ =

a) Se debe calcular la probabilidad del suceso unión D M∪

( ) ( ) ( ) ( ) 0,75 0,3 0,15 0,9 P D M P D P M P D M∪ = + − ∩ = + − =

b) Se pide la probabilidad del suceso D M∩ , cuya probabilidad se puede expresar:

( ) ( ) ( )1 1 0,9 0,1 P D M P D M P D M∩ = ∪ = − ∪ = − =

c) En este caso se tiene que calcular la probabilidad del suceso ( ) ( )D M D M∩ ∪ ∩ , unión de dos sucesos

mutuamente excluyentes:

( ) ( ) ( ) 0,75 0,15 0,6 P D M P D P D M∩ = − ∩ = − =

( ) ( ) ( ) 0,3 0,15 0,15P D M P M P D M∩ = − ∩ = − =

Y, finalmente:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0,6 0,15 0,75P D M D M P D M P D M∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = + =

89. Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día?

b) Calcula la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta.

Se consideran los sucesos A = “Antonio va a la compra” y su contrario A , con ( ) 2 5

P A = y ( ) 3 5

P A = .

Además, sea F = “la fruta está de oferta”. Se sabe que ( ) 1 | 3

P F A = y ( ) 1 | 2

P F A =

a) La probabilidad del suceso F se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 13 | | 3 5 2 5 30

P F P F A P A P F A P A= + = ⋅ + ⋅ =

b) Se pide la probabilidad del suceso A F∪ , que se calcula:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 13 1 2 7 | 5 30 3 5 10

P A F P A P F P A F P A P F P F A P A∪ = + − ∩ = + − = + − ⋅ =


90. El 25 % de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita en papel, el 70 %, en prensa digital, y el 10 %, en ambos formatos. Elegido, al azar, un estudiante de esa Universidad:

a) Calcula la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital.

b) Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcula la probabilidad de que también las lea en prensa escrita en papel.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que lea las noticias solo en uno de los dos formatos?

Sean los sucesos A = “el estudiante lee las noticias en prensa escrita en papel”, B = “el estudiante lee las noticias en prensa digital”.

( ) ( ) ( )0,25 , 0,7 , 0,1 P A P B P A B= = ∩ =

a) Se trata del suceso A B∪ , cuya probabilidad es:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,25 0,7 0,1 0,85 P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − =

b) Se debe calcular la probabilidad condicionada ( ) | P A B :

( ) ( )( )

0,1 1 | 0,7 7

P A BP A B

P B∩

= = =

c) El suceso en cuestión está formado por la unión de dos sucesos mutuamente excluyentes, como se ve en el diagrama de Venn:

( ) ( ) A B A B∩ ∪ ∩

Y su probabilidad es:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2

0,25 0,7 2 0,1 0,75

P A B A B P A B P A B P A P B P A B∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = + − ∩ =

= + − ⋅ =

91. En una estantería hay 4 libros de matemáticas, 6 de física y 2 de química. Si se cogen 2 libros al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean de la misma materia?

Sean M = “Los dos libros son de matemáticas”, F = “Los dos libros son de física” y Q = “Los dos libros son de química”

4 3 1( )12 11 11

P M = ⋅ = , 6 5 5( )12 11 22

P F = ⋅ = y 2 1 1( )12 11 66

P Q = ⋅ =

1 5 1 22 1( )11 22 66 66 3

P M F Q∪ ∪ = + + = =

92. En un polígono industrial se almacenan 30 000 latas de refresco procedentes de fábricas A, B y C a partes iguales. Se sabe que en el año actual caducan 1800 latas de la fábrica A, 2400 latas, de la fábrica B, y 3000, de la fábrica C. Se ha elegido una lata de refresco aleatoriamente y se ha visto que caduca en el año actual, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la fábrica A?

Aplicando la regla de Laplace se obtiene directamente la probabilidad pedida:

casos favorables 1800 1800 1( )casos posibles 1800 2400 3000 7200 4

P A = = = =+ +


93. En una autoescuela especializada, se ha impartido un curso de mejora de la conducción a 50 conductores que han perdido todos los puntos del permiso de conducir. De los asistentes al curso, 30 son jóvenes menores de 35 años. Después de un tiempo, se constata que un 70 % de los jóvenes ha mejorado su conducción. Este porcentaje asciende al 80 % en el resto de los asistentes. Si aleatoriamente se elige una persona que asistió al curso, calcula la probabilidad de que:

a) Haya mejorado su conducción.

b) Tenga menos de 35 años, sabiendo que ha mejorado su conducción.

Se consideran los sucesos A = “la persona elegida es joven menor de 35 años”, A = “la persona elegida tiene 35 o más años” y M = “la persona elegida ha mejorado su conducción”

Se sabe que:

( ) ( ) ( ) ( )3 20,6 0,4 | 0,7 | 0,85 5

P A , P A , P M A , P M A= = = = = =

a) Utilizando el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )| | 0,7 0,6 0,8 0,4 0,74P M P M A P A P M A P A= + = ⋅ + ⋅ =

b) Por el teorema de Bayes:

( ) ( )| ( ) 0,7 0,6| 0,56757( ) 0,74

P M A P AP A M

P M⋅

= = =

94. En un edificio inteligente dotado de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0,4, de molinos eólicos, con probabilidad 0,26, y de ambos tipos de instalaciones, con probabilidad 0,12. Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:

a) Por alguna de las dos instalaciones.

b) Solamente por una de ellas.

Se consideran los sucesos S = “la energía proviene de placas solares”, M = “la energía proviene de molinos de eólicos”

Se tiene que:

( ) ( ) ( )0,4 , 0,26 , 0,12P S P M P S M= = ∩ =

a) Se pide la probabilidad del suceso unión S M∪ ,

( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,26 0,12 0,54P S M P S P M P S M∪ = + − ∩ = + − =

b) B = “la energía proviene solo de placas solares o solo de molinos eólicos”. Suceso que se puede escribir como unión de sucesos mutuamente excluyentes:

( ) ( )B S M S M= ∩ ∪ ∩

De modo que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0,4 0,26 2 0,12 0,42 P B P S M P S M P S P M P S M= ∩ + ∩ = + − ∩ = + − ⋅ =


95. A la consulta de un médico acude una mujer que sospecha que está embarazada de solo unos pocos días. Después de un primer examen, el médico cree que la mujer está embarazada con probabilidad 0,7. Para confirmar su diagnóstico, el médico encarga un test que da negativo en el 3 % de los casos en que la mujer está realmente embarazada. Por otro lado, el test da positivo en el 5 % de los casos en los que la mujer no está embarazada. Calcula la probabilidad de que:

a) El test dé positivo.

b) La mujer esté realmente embarazada sabiendo que el test ha dado positivo.

Sean los sucesos A = “la mujer está embarazada” y su contrario A = “la mujer no está embarazada”.

Las probabilidades iniciales para estos sucesos son ( ) 0,7P A = , ( ) 0,3 P A = .

Se considera el suceso T = “el test da positivo” y su contrario T = “el test da negativo”.

Se sabe que:

( ) ( ) | 0,03 , | 0,05 P T A P T A= =

A partir de esta información, también se conoce que ( ) | 0,97P T A = y ( ) | 0,95P T A = .

a) La probabilidad de que el test dé positivo, se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0,97 0,7 0,05 0,3 0,694P T P T A P A P T A P A= + = ⋅ + ⋅ =

b) Utilizando el teorema de Bayes:

( ) ( ) | ( ) 0,97 0,7 | 0,9784 ( ) 0,694

P T A P AP A T

P T⋅

= = =


96. En la representación de navidad de los alumnos de 3.º de Primaria de un colegio hay tres tipos de papeles: 7 son de animales, 3, de personas, y 12, de árboles. Los papeles se asignan al azar. Los alumnos escogen por orden alfabético sobres cerrados en los que está escrito el papel que les corresponde. Calcula la probabilidad de que:

a) A los tres primeros alumnos no les toque el papel de árbol.

b) A los dos primeros alumnos les toque el mismo papel.

c) El primer papel de persona le toque al tercer alumno de la lista.

d) A los tres primeros alumnos de las lista les toque a cada uno un papel diferente.

Los alumnos cogen el papel por orden alfabético. Nombramos por A, el papel de animal, por S el de persona y por R el de árbol. Así, por ejemplo, el suceso SRA indica que al primer alumno le tocó el papel de persona, al segundo alumno el de árbol y al tercer alumno el de animal.

a) En este caso se pide la probabilidad del suceso RRR = “a los tres primeros alumnos no les toque papel de árbol”.

( ) 10 9 8 720 6 22 21 20 9240 77

RRP R = ⋅ ⋅ = =

b) A los dos primeros alumnos les tocan 2 animales (AA) o bien 2 personas (SS) o bien 2 árboles (RR)

( ) ( ) ( )7 6 42 3 2 6 12 11 132 , , 22 21 462 22 21 462 22 21 462

P AA P SS P RR= ⋅ = = ⋅ = = ⋅ =

Como los sucesos son mutuamente excluyentes:

( ) 42 6 132 180 30462 462 462 462 77

P AA SS RR∪ ∪ = + + = =

c) Se trata de calcular la probabilidad del suceso SSS = “a los dos primeros alumnos no les toca el papel de persona y al tercero sí le toca”. Entonces, debe ser:

( ) 19 18 3 1026 17122 21 20 9240 1540

P SSS = ⋅ ⋅ = =

d) En este caso, cada uno de los tres primeros alumnos tiene que tener un papel diferente. Por ejemplo ASR = “al primero de la lista, animal; al segundo, persona y al tercero árbol”.

En total hay 3 3! 6P = = posibilidades, que son las ordenaciones de los tres papeles en los tres primeros puestos de la lista.

La probabilidad de cada una de estas posibilidades es la misma. Por ejemplo, para ASR:

( ) 7 3 12 252 322 21 20 9240 110

P ASR = ⋅ ⋅ = =

Y multiplicando por 6 se obtiene la probabilidad del suceso D = “A los tres primeros de la lista les toque a cada uno un papel diferente”.

( ) 3 18 96110 110 55

P D = ⋅ = =

97. En una caja hay x bolas blancas y 1 roja. Al extraer de la caja 2 bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 0,5. Calcula el número de bolas blancas que debe tener la caja.

Cuando sacamos la primera bola quedan en el saco x bolas, y cuando sacamos la segunda quedan x - 1, por lo

que la probabilidad de sacar la primera bola blanca es ( 1)1

xP Bx

=+

y de sacar una segunda bola blanca es

1( 2) xP Bx−

= .

La probabilidad total del suceso B será:

1( ) 0,5 3 bolas blancas1

x xP B xx x

−= ⋅ = ⇒ =

+


98. Al servicio de urgencias de un hospital llegan pacientes de tres procedencias distintas: remitidos por centros de salud (47 %), por iniciativa propia (32 %) y afectados por accidentes y trasladados directamente por ambulancias (21 %). Los pacientes que presentan dolencias graves son el 10 %, el 4 % y el 25 %, respectivamente. Si se elige aleatoriamente un paciente que llega a dicho servicio:

a) Hallar la probabilidad de que no tenga dolencia grave.

b) Si se detecta una dolencia grave, determinar la probabilidad de que haya acudido por iniciativa propia.

Sean los sucesos S = “el paciente llega a urgencias remitido por el centro de salud”, R = “por iniciativa propia” y A = “afectado por accidente” forman un sistema completo de sucesos.

Considera el suceso G = “el paciente presenta dolencia grave”. Se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,47 , 0,32 , 0,21 , | 0,1 , | 0,04 , | 0,25P S P R P A P G S P G R P G A= = = = = =

La situación se puede representar en un diagrama de árbol:

a) Se calcula la probabilidad del suceso G mediante el teorema de la probabilidad total, y luego se obtiene la probabilidad del suceso contrario de G:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | | 0,1 0,47 0,04 0,32 0,25 0,21 0,1123

P G P G S P S P G R P R P G A P A= + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Entonces ( ) ( )1 1 0,1123 0,8877P G P G= − = − =

b) En este caso, utilizando el teorema de Bayes, se tiene:

( ) ( ) | ( ) 0,04 0,32 | 0,1140( ) 0,1123

P G R P RP R G

P G⋅

= = =

99. En una ciudad, el 35 % de los ciudadanos utiliza el metro al menos una vez al día, el 24 % usa el autobús, y un 15 %, ambos medios de transporte. Se elige una persona al azar, halla la probabilidad de que:

a) Utilice alguno de los dos transportes.

b) No utilice ningún transporte.

c) Sabiendo que monta en metro, no utilice el autobús.

Sean los sucesos A = “la persona elegida usa el autobús”, M = “la persona elegida usa el metro”.

Se tiene que:

( ) ( ) ( )0,24 , 0,35 , 0,15P A P M P A M= = ∩ =

a) Se pide la probabilidad del suceso A M∪ :

( ) ( ) ( ) ( ) 0,35 0,24 0,15 0,44P A M P A P M P A M∪ = + − ∩ = + − =

b) Se pide la probabilidad del suceso A M∩ . Utilizando una de las leyes de De Morgan:

( ) ( ) ( )1 1 0,44 0,56P A M P A M P A M∩ = ∪ = − ∪ = − =

c) Ahora debe calcularse la probabilidad ( ) | P A M .

( ) ( ) ( )( )

( ) 0,35 0,15 0,2 4 | ( ) 0,35 0,35 7

P M P A MP A MP A MP M P M

− ∩∩ −= = = = =


100. El 38 % de los habitantes de una ciudad declaran que su deporte preferido es el fútbol, el 21 % prefiere el baloncesto y el resto se inclina por otro deporte. Si se eligen al azar tres personas, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Las tres personas sean aficionadas al fútbol.

b) Dos personas prefieran el fútbol y la otra el baloncesto.

c) Al menos una de las tres personas prefiera otro deporte diferente al fútbol y al baloncesto.

a) Sea el sucesos A = "Las tres personas son aficionadas al fútbol".

( ) 30,38 0,0549P A = =

b) Sea B = “dos de las personas prefieren el fútbol y la otra el baloncesto”.

El número de formas posibles en que se pueden elegir las dos personas, entre las tres, que prefieren el fútbol (o la que prefiere el baloncesto) es:

33

2 =

Y, por cada una de estas posibilidades, la probabilidad de que dos prefieran fútbol, y la otra, baloncesto es 20,38 0,21⋅ , con lo que ( ) 23 0,38 0,21 0,09097P B = ⋅ =⋅ .

c) Sea el suceso C = “al menos una de las tres personas prefiere otro deporte que no sea el fútbol o el baloncesto”.

El suceso contrario de C, es C = “las tres prefieren el fútbol o el baloncesto”, cuya probabilidad es:

( ) 3(0,38 0,21) 0,2054P C = + =

Y, por tanto, ( ) 1 0,2054 0,7946P C = − =

101. En un servicio técnico especializado en cámaras fotográficas, el 70 % de las cámaras que se reciben son del modelo A, y el resto, del modelo B. El 95 % de las cámaras del modelo A son reparadas, mientras que del modelo B solo se reparan el 80 %. Si se elige una cámara al azar:

a) Halla la probabilidad de que no se haya podido reparar.

b) Si se observa que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?

Se consideran los sucesos A = “la cámara es del modelo A” y B = “la cámara es del modelo B”, que constituyen un sistema completo de sucesos.

Sea, además, el suceso R = “la cámara es reparada”.

Las probabilidades que se conocen son:

( ) ( ) ( ) ( )0,7 , 0,3 , | 0,95 , | 0,8P A P B P R A P R B= = = =

La situación se puede representar en el siguiente diagrama de árbol.

a) Utilizando el teorema de la probabilidad total, se calcula la probabilidad de que la cámara se haya podido reparar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0,95 0,7 0,8 0,3 0,905P R P R A P A P R B P B= + = ⋅ + ⋅ =

Luego, la probabilidad de que no haya podido ser reparada es:

( ) ( )1 1 0,905 0,095P R P R= − = − =

b) Utilizando ahora el teorema de Bayes:

( ) ( )( )

| ( ) 0,2 0,3 | 0,631580,095

P R B P BP B R

P R⋅

= = =


102. Se va a proceder a la selección de investigadores para un centro aeroespacial. Se realizan 3 pruebas independientes: A (idiomas), B (conocimientos teóricos y prácticos) y C (pruebas físicas). Para acceder al puesto hay que superar las tres pruebas. Por procesos anteriores se sabe que la prueba A la superan el 10 % de los aspirantes, la prueba B, el 40 %, y la C, el 20 %. Se elige un candidato al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea seleccionado?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea seleccionado por fallar solo en una prueba?

c) Sabiendo que ha pasado dos pruebas ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado en la prueba B?

Sean los sucesos A = “el candidato supera la prueba de idiomas”, B = “el candidato supera la prueba de conocimientos teóricos y prácticos” y C = “el candidato supera las pruebas físicas”.

( ) ( ) ( )0,1 , 0,4 , 0,2P A P B P C= = =

a) Para ser seleccionado, es preciso pasar las tres pruebas, suceso A B C∩ ∩ . Como los sucesos son mutuamente independientes:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 0,4 0,2 0,008P A B C P A P B P C∩ ∩ = = ⋅ ⋅ =

b) Contando con el suceso contrario de cada uno de los tres dados, el suceso por el que se pregunta es la unión de tres sucesos mutuamente excluyentes.

A B C∩ ∩ = “no supera la prueba de idiomas pero sí las otras dos”.

A B C∩ ∩ = “no supera la prueba de conocimientos teóricos y prácticos pero sí las otras dos”.

A B C∩ ∩ = “no supera las pruebas físicas pero sí las otras dos”.

( ) ( ) ( )D A B C A B C A B C= ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩

Cuya probabilidad es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0,9 0,4 0,2 0,1 0,6 0,2 0,1 0,4 0,8 0,116

P D P A B C P A B C P A B C P A P B P C P A P B P C P A P B P C= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ = + + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

c) El suceso “el candidato ha pasado dos pruebas” es el suceso D del apartado b. De esta manera, se pide la probabilidad del suceso B , dado que ha ocurrido el suceso D. Es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0,1 0,6 0,2| 0,1034( ) ( ) ( ) 0,

116

P A B C P A P B P CP B DP DD

BP P D P D

∩ ∩∩ ⋅ ⋅= = = = =


103. En una población, la mitad de los ciudadanos manifiesta estar satisfecho con su calidad de vida y el 70 % tiene una vivienda propia. De los que no están satisfechos con su calidad de vida, el 45 % no tiene vivienda propia. En esta ciudad, calcula el porcentaje de ciudadanos que:

a) Tiene vivienda propia y no está satisfecho con su calidad de vida.

b) Está satisfecho con su calidad de vida si tiene vivienda propia.

c) Está satisfecho con su calidad de vida si no tiene vivienda propia.

Se selecciona un individuo al azar y se consideran los sucesos S = “está satisfecho con su calidad de vida”, V = “tiene vivienda propia” y sus respectivos sucesos contrarios.

Se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,5 , 0,5 , 0,7 , 0,3 , | 0,45 , | 0,55P S P S P V P V P V S P V S= = = = = =

De las probabilidades anteriores se pueden obtener las probabilidades de los sucesos unión e intersección de S y V. En efecto:

( ) ( )( ) ( ) ( ) | 0,45 0,45 0,45 0,5 0,225 0,775

P V SP V S P V S P V S

P S

∩= ⇒ = ⇒ ∪ = ⋅ = ⇒ ∪ =

Y, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,7 0,5 0,775 0,425P V S P V P S P V S∩ = + − ∪ = + − =

a) Debe calcularse la probabilidad del suceso V S∩ :

( ) ( ) ( ) | 0,55 0,5 0,275P V S P V S P S∩ = = ⋅ =

De modo que el 27,5 % de los ciudadanos tiene vivienda propia y no está satisfecha con su calidad de vida.

b) Se trata de la probabilidad del suceso S condicionado por el suceso V:

( ) ( ) 0,425 | 0,6071( ) 0,7

P V SP S V

P V∩

= = =

El 60,71 % de la población que tiene vivienda propia está satisfecho con su calidad de vida.

c) Ahora, debe calcularse la probabidad del suceso S condicionado por V :

( ) ( ) ( )( ) 0,5 0,425 | 0,25000,3( ) ( )

P S P S VP S VP S VP V P V

− ∩∩ −= = = =

El 25 % de la población que no tiene vivienda propia está satisfecha con su calidad de vida.


104. Un hotel dispone de 60 habitaciones de tres tipos: 6 individuales, 50 dobles y 4 suites. De las 6 individuales, 3 tienen baño completo, y otras 3, solo ducha. De las dobles el 80 % tiene baño completo, el resto, solo ducha. Todas las suites tienen baño completo. Si elegimos una habitación al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Tenga solo ducha.

b) Sea doble, si la habitación tiene baño completo.

c) Sea individual y tenga ducha.

Los sucesos A = “la habitación es individual”, B = “la habitación es doble” y C = “la habitación es una suite” constituyen un sistema completo de sucesos.

El hotel dispone de 60 habitaciones. Si la habitación se elige al azar, la probabilidad de que sea de cada uno de los tres tipos es:

( ) ( ) ( )= = = = = =6 50 40,1 0,8333 0,066760 60 60

P A , P B , P C

Sea el suceso D = “la habitación tiene baño completo”. Se sabe que:

( ) ( ) ( )3 | 0,5 , | 0,8 , | 16

P D A P D B P D C= = = =

Y de estos, se tiene que: ( ) ( ) ( ) | 0,5 , | 0,2 , | 0P D A P D B P D C= = =

La situación se muestra en el diagrama de árbol adjunto.

a) El suceso “tenga solo ducha” puede ser considerado como el contrario del suceso D. Utilizando la información dada y el teorema de la probabilidad total para el suceso contrario del D:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | |

0,5 0,1 0,2 0,8333 0 0,0667 0,2167

P D P D A P A P D B P B P D C P C= + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

b) En este caso se trata de la probabilidad del suceso B condicionada por el suceso D. Utilizando la regla de Bayes y que ( ) ( )1 1 0,2167 0,7833P D P D= − = − = :

( ) ( ) | ( ) 0,8 0,8333 | 0,8511 0,85( ) 0,7833

P D B P BP B D

P D⋅

= = = ≅

c) Debe calcularse la probabilidad del suceso A D∩ , que se obtiene:

( ) ( ) ( ) | 0,5 0,1 0,05P A D P D A P A∩ = = ⋅ =


105. Un paciente acude a su médico al encontrarse enfermo desde hace varios días. Tras un cuidadoso análisis preliminar, el médico duda al 50 % de si el paciente tendrá o no tuberculosis, por lo que le prescribe una prueba específica. La prueba consiste en un análisis de sangre que da positivo si el paciente tiene la enfermedad en el 99 % de los casos y da negativo si el paciente no tiene la enfermedad en el 98 % de los casos. Calcula la probabilidad de que nuestro paciente:

a) De positivo en el test.

b) Esté realmente enfermo de tuberculosis, si el test da resultado negativo.

Sea el suceso T = “el paciente tiene tuberculosis”. Según el diagnóstico inicial del médico ( ) 0,5 P T = ,

( ) 0,5P T = .

Considera el suceso A = “la prueba da positivo en tuberculosis”.

( ) ( ) | 0,99 , | 0,98P A T P A T= =

Y, por tanto, ( ) ( ) | 0,01 , | 0,02P A T P A T= =

En el digrama de árbol se representa la situación.

a) Utilizando el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0,99 0,5 0,02 0,5 0,505P A P A T P T P A T P T= + = ⋅ + ⋅ =

b) Se trata de calcular la probabilidad del suceso T condiconada por el suceso A . Por el teorema de Bayes:

( ) ( ) | ( ) 0,01 0,5 | 0,01011 0,505( )

P A T P TP T A

P A⋅

= = =−

106. El 30 % de las pólizas de una compañía de seguros corresponden a seguros de vida, y el resto, a pólizas de seguros de hogar. Actualmente, en un 12 % de las pólizas de seguros de vida se producen retrasos en los pagos, mientras que ese porcentaje es del 8 % en el caso de los seguros de hogar. Si se elige al azar una póliza, calcula la probabilidad de que:

a) Esté al corriente de pago.

b) Corresponda a un seguro de hogar si se sabe que está al corriente de pago.

Los sucesos V = “la póliza es de seguro de vida” y H = “la póliza es de seguro de hogar” constituyen una partición del espacio muestral en este caso, con las probabilidades ( ) 0,3P V = y ( ) 0,7P H =

Sea el suceso R = “se produce retraso en el págo de la póliza”. Su contrario R = “la póliza está al corriente de pago”. Por la información disponible, se tiene que:

( ) ( ) | 0,12 , | 0,08P R V P R H= =

Y, por tanto ( ) ( ) | 0,88 y | 0,92P R V P R H= =

En el diagrama de árbol se muestra la situación.

a) La probabilidad del suceso R se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0,88 0,3 0,92 0,7 0,908P R P R V P V P R H P H= + = ⋅ + ⋅ =

b) Utilizando la regla de Bayes:

( ) ( )( )

| ( ) 0,92 0,7 | 0,70930,908

P R H P HP H R

P R⋅

= = =


107. Una familia consume leche de dos marcas diferentes A y B. A partir de la primera compra, la probabilidad de que la familia cambie de marca es 0,7. Si la primera compra se realizó al azar lanzando una moneda al aire, calcula la probabilidad de que:

a) En tres compras consecutivas hayan comprado dos veces la marca A.

b) En la tercera compra hayan adquirido la marca B.

c) Empezaran comprando la marca A si en la tercera compra adquirieron la B.

Sea A = “la familia compra marca A” y B = “la familia compra marca B”.

Por ejemplo, el suceso ABA representa que en la 1ª y 3ª compra se adquirió la marca A y en la 2ª la marca B.

En el siguiente diagrama de árbol se contemplan las ocho situciones posibles.

a) La probabilidad del suceso C = “se haya comprado 2 veces la marca A” es:

( ) ( ) ( ) ( )0,5 0,3 0,7 0,5 0,7 0,7 0,5 0,7 0,3 0,455

P C P AAB P ABA P BAA= + + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

b) La probabilidad del suceso D = ”en la tercera compra hayan adquirido la marca B” es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,3 0,7 0,5 0,7 0,3 0,5 0,7 0,7 0,5 0,3 0,3 0,5

P D P AAB P ABB P BAB P BBB= + + + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

c) Sea F = “la primera compra fue de la marca A” ( ) 0,5 P F = . Se pide la probabilidad del suceso D, sabiendo que ha ocurrido F.

( ) ( ) | ( )( ) (0,3 0,7 0,7 0,3) 0,5 | 0,42 ( ) ( ) 0,5

P D F P FP F DP F DP D P D∩ ⋅ + ⋅ ⋅

= = = =

108. Al 80 % de los trabajadores en educación que se jubilan sus compañeros les hacen una fiesta de despedida, también al 60 % de los trabajadores de justicia y al 30 % de los de sanidad. En el último año se jubilaron el mismo número de trabajadores en educación que en sanidad y el doble en educación que en justicia. Se sabe que a un trabajador elegido al azar entre estos tres sectores, no le hicieron fiesta. Calcula la probabilidad de que fuera de sanidad.

Sea E = "trabajadores de educación", J = "trabajadores de justicia", S = "trabajadores de sanidad" y FD = "trabajadores que recibieron una fiesta de despedida".

En el diagrama de árbol se muestra la situación:

Vamos a calcular la probabilidad de que un trabajador recibiese una fiesta. Para ello aplicamos el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 0,4 0,6 0,2 0,3 0,4 0

| |, 6

|5

P FD P FD E P E P FD J P J P FD S P S= + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Aplicando el teorema de Bayes se tiene que:

( | ) ( ) 0,7 0,4( | ) 0,641 0,56( )

P FD S P SP S FDP FD

⋅= = =

−


109. El 40 % de los teléfonos móviles que llegan para ser reparados a un servicio técnico están en garantía. De estos, un 7 % ya ha sido reparado antes mientras que el 25 % de los que no están en garantía ya fueron reparados en otra ocasión. Si se elige un teléfono de este servicio técnico al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Ya haya sido reparado anteriormente.

b) El teléfono esté en garantía si es la primera vez que llega al servicio técnico.

c) El teléfono no esté en garantía si se ha llevado anteriormente a reparar.

Se considera el suceso G = “el teléfono móvil está en garantía” y su contrario G = “el teléfono móvil no está en garantía”. Los sucesos G y su contrario constituyen un sistema completo de de sucesos.

Además, sea el suceso R =“el teléfono móvil ya ha sido reparado”. Se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )0,4 , 0,6 , | 0,07 , | 0,25 P G P G P R G P R G= = = =

Y, también, ( ) ( ) | 0,93 y | 0,75 P R G P R G= =

a) Se pide la probabilidad del suceso R. Por el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0,07 0,4 0,25 0,6 0,178P R P R G P G P R G P G= + = ⋅ + ⋅ =

b) Se pide la probabilidad de que el teléfono esté en garantía sabiendo que no ha sido reparado. Utilizando la regla de Bayes:

( ) ( ) | ( ) 0,93 0,4 | 0,452551 0,178( )

P R G P GP G R

P R⋅

= = =−

c) En este caso, mediante la aplicación de la regla de Bayes:

( ) ( ) ( ) | 0,25 0,6| 0,84270( ) 0,178

P R G P G

P G RP R

⋅= = =

PARA PROFUNDIZAR

110. Se dispone de un dado tetraédrico trucado con cuatro caras con puntuaciones: 1, 2, 3, 4, de modo que =(4) 4 (1)P P , =(3) 3 (1)P P , = 2(2) (1)P P en donde P(4) indica la probabilidad de obtener la puntuación 4 y así sucesivamente. Se dispone también de dos urnas con las siguientes composiciones: Urna U1: 1 bola roja y 2 bolas verdes; urna U2: 2 bolas rojas y 3 bolas verdes. Se lanza el dado. Si sale número par extraemos una bola de la urna U1. Si sale impar extraemos una bola de la urna U2. Se pide:

a) Determina las probabilidades de los sucesos elementales que se presentan al lanzar el dado de cuatro caras.

b) Se lanza el dado y a continuación extraemos una bola de la urna que corresponda. Halla la probabilidad de que sea de color verde.

a) Sea (1) p P= , entonces ( ) ( ) ( )4 4 , 3 3 , 2 2P p P p P p= = = . Las probabilidades deben sumar 1, por lo que:

2 3 4 1 10 1 0,1p p p p p p+ + + = ⇒ = ⇒ =

De esta forma:

( ) ( ) ( ) ( )4 0,4 , 3 0,3 , 2 0,2 , 1 0,1 P P P P= = = =

b) Según la asignación obtenida en el apartado a, las probabilidades de elegir cada una de las urnas es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 4 0,6 , 1 3 0,4 P U P P P U P P= + = = + =

Sea V = “la bola extraída es de color verde”. Las probabilidades de obtener bola verde en cada urna son:

( ) ( )1 22 3 | , | 3 5

P V U P V U= =


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 22 3 | | 0,6 0,4 0,64 3 5

P V P V U P U P V U P U= + = ⋅ + ⋅ =


111. El color de una clase de ratones, negros o marrones, depende de un par de genes, cada uno de los cuales puede ser B o b. Si los dos miembros de la pareja de genes son iguales (BB o bb) se dice que el ratón es homocigótico, en otro caso (Bb o bB) se dice que es heterocigótico. El ratón es de color marrón solo si es homocigótico bb. La descendencia de una pareja de ratones tiene dos de tales genes, uno del padre y otro de la madre, y si el padre es heterocigótico, el gen heredado tiene la misma probabilidad de ser B o b. Si un ratón negro es el resultado de un apareamiento entre una pareja de heterocigóticos. Calcula la probabilidad de que el ratón sea:

a) Homocigótico.

b) Heterocigótico.

Se nombran los sucesos MH = “el ratón es homocigótico” y TH = “el ratón es heterocigótico”. Según la pareja de

genes que se forme, se tiene que { }, , { , } M TH BB bb H Bb bB= = .

Por otro lado, se consideran los sucesos N = “el ratón es de color negro” y M = "el ratón es de color marrón”. Se tiene que { }, , , { } N BB bB Bb M bb= = .

Se cruzan una pareja de ratones heterocigóticos, de forma que el conjuto de resultados posibles es:

{ , , , }E BB Bb bB bb=

Siendo los posibles resultados equiprobables.

De esta forma, las probabilidades iniciales de que el ratón (descendenciente) sea negro (N) y marrón (M) son:

( ) ( )3 1 , 4 4

P N P M= =

a) En este caso, se pide la probabilidad de que el ratón (descendiente) sea homocogótico, sabiendo que ha sido negro:

( ) ( )1 1

|

( ) 12 2| 3( ) 34

M MM

P N H P HP H N

P N

⋅= = =

Probabilidad que puede obtener directamente, ya que si el ratón es negro, { , , }N BB bB Bb= , solo uno de los tres resultados (equiprobables) produce un ratón homocigótico (BB).

b) Con un razonamiento similar al del apartado a, se obtiene que:

( ) 2| 3TP H M =

112. Se lanzan simultáneamente tres dados cúbicos iguales, con las caras numeradas del 1 al 6. Calcula la probabilidad de que:

a) Salgan 3 doses.

b) La suma de las caras sea número par.

Suponiendo que los tres dados están equilibrados, los resultados posibles son equiprobables.

El número de resultados posibles es 6, 3 216VR = .

a) Dado el suceso A = “los tres son doses”, solo uno de los resultados posibles es favorable a este suceso, por lo que:

( ) 1216

P A =

b) Si llamamos B = “la suma de las caras es un número par”, la mitad de los resultados posibles da como resultado suma par, por lo que:

( ) 108 0,5216

P B = =


AUTOEVALUACIÓN


1. El 60 % de los clientes de una frutería compra naranjas y el 30 % no compra ni naranjas ni manzanas. ¿Qué porcentaje de clientes compra manzanas pero no naranjas?

Se elige un cliente al azar. Sean los sucesos A = “el cliente compra naranjas”; B = “el cliente compra manzanas”. Se sabe que ( ) 0,6 P A = y ( ) 0,3P A B∩ = .

Debe calcularse la probabilidad del suceso A B∩ . Como puede observarse en el diagrama de Venn:

( ) ( ) ( ) 0,7 0,6 0,1P A B P A B P A∩ = ∪ − = − =

donde, por la probabilidad del suceso contrario y una de las leyes de De Morgan:

( ) ( ) ( )1 1 1 0,3 0,7P A B P A B P A B∪ = − ∪ = − ∩ = − =

De manera que el 10 % de los clientes compra manzanas pero no naranjas.

2. Se consideran dos sucesos A y B tales que =1( )3

P A , ( ) = 1| 4

P B A y ∪ =1( )2

P A B . Calcula

razonadamente:

a) ( )P A B∩ c) ( )| P B A

b) ( )P B d) ( )| P A B

a) ( )( )

( )1 1 1 1 4 4 3 12

P A BP A B

P A∩

= ⇒ ∩ = ⋅ =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 12 12 3 4

P B P A B P A B P A= ∪ + ∩ − = + − =

c) ( ) ( ) 1 3| 1 | 14 4

P A P B AB = − = − =

d) ( ) ( ) ( )111 22| 11 ( ) 3(

) 1

4

P B P A BP B

P BP B

AA

−− ∪= = =

− −

∩=

3. Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que en la segunda tirada se obtenga un número mayor que en la primera.

Sea A = "en la 2ª tirada se obtiene un número mayor que en la primera" y sea X = "se obtiene el mismo número".

En la siguiente tabla se muestran los posibles resultados:

D1D2 1 2 3 4 5 6

1 X A' A' A' A' A'

2 A X A' A' A' A'

3 A A X A' A' A'

4 A A A X A' A'

5 A A A A X A'

6 A A A A A X

Luego la probabilidad pedida es 15( )36

P A = .


4. Una empresa somete a control de calidad 7 de cada 10 artículos fabricados. De los que son sometidos al control resultan defectuosos un 2 % y de los que no son sometidos a control de calidad resultan defectuosos un 12 %. Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea defectuoso.

b) Haya sido sometido al control de calidad si es defectuoso.

Sean los sucesos C = “el artículo ha sido sometido a control de calidad” y su contrario C = “el artículo no ha sido

sometido a control de calidad”. Se tiene que ( ) 0,7P C = , ( ) 0,3P C = .

Se considera, además, el suceso D = “el artículo es defectuoso”.

( ) ( ) | 0,02 , | 0,12P D C P D C= =

a) Por el teorema de la probabilidad total, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0,02 0,7 0,12 0,3 0,05P D P D C P C P D C P C= + = ⋅ + ⋅ =

b) Se pide la probabilidad del suceso C, condicionada a que el suceso D ha ocurrido. Utilizando la regla de Bayes:

( ) ( ) | ( ) 0,02 0,7 | 0,28( ) 0,05

P D C P CP C D

P D⋅

= = =

5. Se elige al azar un número entre el 10 000 y 50 000. Calcula la probabilidad de que el número extraído sea capicúa.

Comenzamos por estudiar cuántos números capicúas hay cuando la cifra inicial es 1. Para ello basta con fijar las dos siguientes cifras que pueden ser cualquiera de las 9 cifras significativas más el cero. Así, se tiene que:

1 1A B A

Como A puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y B pueder ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 van a existir 10 10 100⋅ = números capicúas entre 10 000 y 20 000.

Razonando de igual forma, entre 20 000 y 30 000 se tienen 100 números capicúas, entre 30 000 y 40 000 se tienen 100 números capicúasy entre 40 000 y 50 000 se tienen 100 números capicúas. Luego en total entre 10 000 y 50 000 hay 100 100 100 100 400+ + + = números capicúas.

Aplicando la regla de Laplace se obtiene que:

400 1( ) 0,0140000 100

P C = = =


6. En una fiesta en la que hay 85 mujeres y 90 hombres se eligen 4 personas al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Ninguna sea hombre.

b) Haya exactamente un hombre.

c) Haya más de un hombre.

d) Haya el mismo número de mujeres que de hombres.

Suponiendo que todas las elecciones posibles son igualmente probables y que no importa el orden en la elección de las personas, el número de resultados posibles al elegir 4 personas del conjunto de 175 personas es:

⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ 175, 4

175 175 174 173 172 37 752 9254 4 3 2 1

C

a) Sea el suceso A = “ninguna de las cuatro personas elegidas es hombre”; es decir, que las cuatro personas han sido elegidas del grupo de las mujeres, con lo que el número de resultados favorables al suceso A es:

⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ 85, 4

85 85 84 83 82 2 024 7854 4 3 2 1

C

Y, aplicando la regla de Laplace, se obtiene:

( ) 2024785 0,053637752925

P A = =

b) Sea B = “haya exactamente un hombre entre las cuatro personas elegidas”. Si tiene que haber exactamente un hombre, las otras tres personas deben ser elegidas entre las mujeres, por lo que el número de resultados favorables al suceso B es:

⋅ ⋅ = = ⋅ =

90, 1 85, 390 85 90 85 84 83 8 889 3001 3 1! 3!

C C

Aplicando la regla de Laplace:

( ) 8889300 0,235537752925

P B = =

c) El suceso C = “haya más de un hombre” es el suceso contrario del suceso unión de los sucesos incompatibles A = “no haya ningún hombre” y B = “haya exactamente un hombre”, cuyas probabilidades han sido calculadas en los aparatados a y b. De esta manera:

( ) ( ) ( )1 1 0,0536 0,2355 0,7109P C P A P B= − − = − − =

d) En este caso, el número de resultados favorables al suceso D = “haya el mismo número de mujeres que de hombres” es:

⋅ ⋅ = = ⋅ =

85, 2 90,285 90 85 84 90 89 14 297 8502 2 2 2

C C

Y, su probabilidad se obtiene aplicando la regla de Laplace:

( ) = =14297850 0,378737752925

P D


7. El 50 % de los jóvenes de cierta población afirma practicar el deporte A y el 40 % afirma practicar el deporte B. Además, se sabe que el 70 % de los jóvenes practica el deporte A o el B. Si se elige un joven al azar, se pide:

a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes.

b) La probabilidad de que practique solo el deporte A.

c) Si practica el deporte B, ¿cuál es la probabilidad de que practique el deporte A?

d) ¿Son independientes los sucesos “practicar el deporte A” y “practicar el deporte B"? ¿Por qué?

Sean los sucesos A = “el joven elegido práctica el deporte A” y B = “el joven elegido practica el deporte B”. Se sabe que ( ) 0,5 P A = , ( ) 0,4P B = y ( ) 0,7P A B∪ = .

a) Se pide la probabilidad del suceso A B∩ . Utilizando una de las leyes de De Morgan:

( ) ( ) ( )1 1 0,7 0,3P A B P A B P A B∩ = ∪ = − ∪ = − =

b) En este caso, se debe calcular la probabilidad del suceso A B A B− = ∩ .

( ) ( ) ( ) 0,5 0,2 0,3P A B P A P A B− = − ∩ = − =

Donde ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,4 0,7 0,2P A B P A P B P A B∩ = + − ∪ = + − =

c) Se debe calcular la probabilidad del suceso A, condicionada a que ocurra el suceso B:

( ) ( ) 0,2 | 0,5( ) 0,4

P A BP A B

P B∩

= = =

d) Como ( ) ( ) ( )0,2 y 0,4 0,5 0,2P A B P A P B∩ = = ⋅ = , resulta que ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = y, por tanto, los sucesos A y B son independientes.



1. Sea A y B, sucesos incompatibles asociados a un espacio muestral E, con ( ) ( )> >0, 0P A P B . Entonces:

A. A y B son independientes.

B. ( ) ( )| |P A B P B A≠

C. y A B son incomptatibles.

D. ( )| 0P A B =

La respuesta correcta es la D por eliminación de las respuestas anteriores ya que A y B son independientes si ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = y como ( ) 0, ( ) 0P A P B> > no se verifica la igualdad. En la B puede ocurrir que ( ) ( )P A P B= lo

cual verifica la igualdad y por último la C no implica que sus contrarios también lo sean. Además como

( ) ( ))

| (

P AB

A BPP

B =∩ se tiene que ( )| 0P A B = .


2. Dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio son independientes si:

A. Cuando ocurre, por ejemplo, A entonces B no ocurre.

B. Cuando uno de ellos ocurre, el otro ya no puede ocurrir.

C. A y B tienen la misma probabilidad.

D. La probabilidad de A, por ejemplo, no se ve modificada por el hecho de que B ocurra.

La respuesta correcta es la D ya que si ocurre el suceso B no afecta a la probabilidad del suceso A.

3. Si A y B son dos sucesos asociados a un espacio muestral E , con ( ) ( )=1| | 2

P A B P B A , entonces:

A. Siempre que ocurre B, ocurre A.

B. La probabilidad de B es doble que la de A.

C. Si ocurre A, no ocurre B.

D. Los sucesos A y B son incompatibles.

La respuesta correcta es la B pues la probabilidad de A B∩ se define como:

( ) ( ) ( ) ( )| o( ) ( ) | P A B A PP P B A P B P BB A A∩ = ∩ =

Igualando se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )| | P P B A P B P A BA =

Finalmente despejando se llega a que:

( ) ( ) ( )( )

( )2 | 2

| P P A B

P B PP A

AB

A⋅

= =


4. Si A y B son sucesos incompatibles, siendo la probabilidad de A doble que la de B y con ( ) > 0P B , entonces:

A. ( ) 3 ( )P A B P B∪ =

B. El suceso B está contenido en A.

C. ( | ) 1P B A =

D. ( ) | ( )P A B P A>

Se sabe que ( ) 2 ( )P A P B= y A B∩ = ∅ , luego por las propiedades de la probabilidad se tiene que:

( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( )P A B P A P B P A B P B P B P B∪ = + − ∩ = + =

Aplicando la definición de probabilidad condicionada se tiene que:

( )( | ) 1 ( | ) 1( )

1P B A PP A

AP B

BA

= − = − =∩

Por tanto, las respuestas correctas son A y C.


5. Si A y B son dos sucesos asociados a un espacio muestral E, y ( ) =| 1P A B , entonces:

A. ( ) 1 ( )P A B P B− = − C. ( ) 1P A B∪ =

B. ( ) ( )P A P B= D. ( ) | 0P B A =

( ) ( ) ( )( | ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 11 ( )( )

P A B P A P A BP A B P A P A B P B P A BP BP B

∩ − ∩= = = ⇒ − ∩ = − ⇒ ∪ =

−

( ) ( ) ( ) 1 ( )P A B P A P A B P B− = − ∩ = −

( ) ( )( | ) 0( ) ( )

P A B P A BP B AP A P A∩ ∪

= = =

Las respuestas correctas son A, C y D.


6. Si A, B y C son tres sucesos incompatibles dos a dos, para calcular la probabilidad de ( )∩ ∩A B C se

necesita:

A. ( ), ( )P A P B

B. ( )P A B C∩ ∩

C. ( ), ( ) y ( )P A B P A C P B C∩ ∩ ∩

D. ( )P C

Aplicando la regla de la multiplicación de probabilidades condicionadas se sabe que:

( ) () | ) ( | )( P B A P C AP A C P A BB ⋅∩ = ∩∩ ⋅

y como A B∩ = ∅ , A C∩ = ∅ y B C∩ = ∅ por tanto la respuesta correcta es la C.

7. Si A, B y C son tres sucesos tales que ∩ = ∅B C , para calcular ∪( | )P A B C , se precisa:

A. ( )P A C. ( ) y ( )P B P C

B. ( )P A B∩ D. ( )P A C∩

Aplicando la definición de probabilidad condicionada se tiene que:

( )( )( )

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

|(

))

( P A B C P A B A C P A B P A CP A B CP B P A

PB P C P A C

P B P C PB C P B C B C P B P C P B C− ∩∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩ + ∩

∪ = = = =∪

+ − ∩+ − ∩ + − ∩∪

Luego la respuesta correcta es la A.

302 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad

14 Distribuciones de probabilidad



2. Sea X una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2 y 3 con probabilidades respectivas 0,2; 0,25; 0,4; 0,15. Calcula su media, su varianza y P(X > 1).

La esperanza es [ ] 0 0,2 1 0,25 2 0,4 3 0,15 1,5E Xµ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Para calcular la varianza se necesita obtener antes [ ]2 2 2 2 20 0,2 1 0,25 2 0,4 3 0,15 3,2E X = + + ⋅+ =⋅ ⋅ ⋅ .

Luego, la varianza es [ ] [ ]22 2Var( ) 3,2 1,52 0,95X E X E X= σ = − = − = .

Por último, la probabilidad que se pide ( ) ( )( 1) 2 3 0,4 0,15 0,55P X P X P X> = = + = = + = .

3. Se lanzan dos dados de distinto color y se considera la variable X: “suma de las puntuaciones obtenidas”.

a) Escribe su función de masa de probabilidad y represéntala mediante un diagrama de barras.

b) Calcula la media y la varianza de X.

En el lanzamiento de dos dados se tienen 26,2 6 36VR = = resultados posibles equiprobables.

a) La variable aleatoria X toma los valores del 2 al 12. La probabilidad de cada uno de los valores se obtiene mediante la regla de Laplace, sin más que contar el número de resultados favorables a cada valor. Por tanto, la función de masa de probabilidad de X es:

xj 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

pj 1

36 1

18 1

12 1

9 5

36 1

6 5

36 1

9 1

12 1

18 1

36

El diagrama de barras que representa la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X es:

b) La esperanza de la variable aleatoria X es:

[ ] 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 736 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36

E X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Para calcular la varianza, es preciso obtener primero la esperanza de 2X .

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 3292 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1236 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36 6

E X ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + + + + ⋅ ⋅+ + + + + + =⋅ ⋅ ⋅

De manera que la varianza de X es [ ]( )22 2329 35Var( ) 76 6

X E X E X= − = − = .

Unidad 14| Distribuciones de probabilidad 303

4. De una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 rojas, se extraen 3 bolas sucesivamente sin reemplazamiento. Sea la variable aleatoria Y: “numero de bolas blancas extraídas”. Determina:

a) Su función de masa de probabilidad.

b) Su media y su varianza.

c) La probabilidad de que se extraigan al menos dos bolas blancas.

Como lo que interesa es el número de bolas blancas y no el orden en el que se han obtenido, se puede considerar que las bolas se extraen simultáneamente, ya que las bolas no se reemplazan. De esta manera, el número de resultados posibles al extraer tres bolas de la urna es el número de combinaciones de orden 3 (las tres bolas que se extraen) de 8 elementos (las ocho bolas de la urna). Esto es:

8,38 8 7 6 563 3!

C ⋅ ⋅ = = =

a) La variable Y: “número de bolas blancas extraídas” puede tomar los valores 0, 1, 2, y 3 con probabilidades, que se pueden obtener por la regla de Laplace, en el numerador va el número de resultados favorables en cada caso:

( ) ( ) ( ) ( )

3 5 3 5 3 51 15 30 103 1 2 2 1 30 1 2 3

56 56 56 56 56 56 56 56P Y P Y P Y P Y

= = = = = = = = = = = =

De modo que la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria Y se puede resumir en la tabla:

Y 0 1 2 3

P(Y = y) 1

56 15

56 15

28 5

28

b) La esperanza de la variable aleatoria Y es [ ] 1 15 15 5 150 1 2 356 56 28 28 8

E Y = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Para calcular la varianza es preciso obtener antes la esperanza de 2Y :

2 2 2 2 21 15 15 5 2250 1 2 356 56 28 28 56

E Y = + + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

De manera que la varianza de Y es [ ]2

22 225 15 225Var( )56 8 448

Y E Y E Y = − = − = .

c) ( ) ( ) ( ) 15 5 20 52 2 328 28 28 7

P Y P Y P Y≥ = = + = = + = =



7. Halla en cada caso la probabilidad indicada.

a) ( ) ( )Bin 5, 0,15 , 4X n p P X= = <

b) ( ) ( )Bin 7, 0,65 , 4Y n p P Y= = ≥

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 0 1 2 3 0,4437 0,3915 0,1382 0,0244 0,9978P X P X P X P X P X< = = + = + = + = = + + + =

Estas probabilidades pueden obtenerse de la tabla o mediante:

( ) 0 550 0,15 0,85 0,4437

0P X = = ⋅ =

, ( ) 1 45

1 0,15 0,85 0,39151

P X = = ⋅ =

( ) 2 352 0,15 0,85 0,1382

2P X = = ⋅ =

y ( ) 3 253 0,15 0,85 0,0244.

3P X = = ⋅ =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 5 6 7P Y P Y P Y P Y P Y≥ = = + = + = + =

Como estas probabilidades no vienen directamente en la tabla, se puede tomar ( )Bin 7, 0,35X n p= =

( ) ( )4 3 0,2679P Y P X= = = = , ( ) ( )5 2 0,2985P Y P X= = = = , ( ) ( )6 1 0,1848P Y P X= = = = y

( ) ( )7 0 0,0490P Y P X= = = =

Luego ( )4 0,2679 0,2985 0,1848 0,0490 0,8002P Y ≥ = + + + =

8. Se sabe que una máquina produce un 10 % de tornillos defectuosos. En un control de calidad, se seleccionan 6 tornillos al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Haya uno defectuoso.

b) Al menos haya uno defectuoso.

Sea la variable aleatoria X: “número de tornillos defectuosos, entre los 6 seleccionados”.

La probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso es 0,1p = , de manera que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial ( )~ Bin 6; 0,1 X n p= = .

a) La probabilidad de que, entre los 6, haya uno defectuoso es:

( ) 1 561 0,1 0,9 0,3543

1P X ⋅ = = =

b) La probabilidad de que al menos una de los 6 tornillos sea defectuoso, se puede calcular como sigue:

( ) ( ) 61 1 0 1 0,9 0,4686P X P X≥ = − = = − =

Nota: El valor de las probabilidades calculadas puede obtenerse directamente de la tabla de la binomial.

9. Se lanza cinco veces una moneda trucada de manera que la probabilidad de que salga cara es el triple de la que salga cruz. Halla la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

Sea ( ) ( ) 3P X p P C p= ⇒ = entonces 13 14

p p p+ = ⇒ = .

Luego sustituyendo se tiene que 1( )4

P X = y 3( )4

P C = .

Sea X = número de cruces, sigue una distribución Bin( 5; 0,25)n p= = . Luego la probabilidad pedida es:

( ) ( ) ( ) ( )P X 3 0 1 2P X P X P X< = = + = + =

Estos valores pueden obtenerse directamente de la tabla, luego:

( )3 0,2373 0,3955 0,2637 0,8965P X < = + + =


10. Se lanza 9 veces un dado equilibrado. ¿Cuántas veces hay que lanzar el dado para obtener al menos un 6 con probabilidad igual o superior a 0,9?

Sea la variable aleatoria X: “número de seises que se obtienen al lanzar un dado 9 veces”. La variable X sigue una

distribución binomial 1~ Bin 9; 6

X n p = =

.

Si k es el número de veces que hay que lanzar el dado para obtener por lo menos un seis con probabilidad mayor o igual que 0,9, se plantea que:

( ) 5 51 0,9 1 0,9 0,1 6 6

k k

P X ≥ ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤

Tomando logaritmos neperianos la desigualdad se conserva (el logaritmo neperiano es una función creciente):

( ) ( )ln 0,15ln ln 0,1 12,62956 ln6

k k ⋅ ≤ ⇒ ≥ =

La última desigualdad se debe a que, al “despejar” k, se divide por un número negativo 5ln 0,18232156

= −

, y, por

tanto la desigualdad cambia de sentido.

De modo que el dado debe lanzarse al menos 13 veces para que se obtenga al menos un seis con probabilidad superior a 0,9.



13. En un país la tasa de paro es del 26 % de su población activa. Si se toma una muestra de 50 personas adultas y se les pregunta por su situación laboral, ¿Cuál será el número esperado de desempleados? ¿Y su desviación típica?

Si se considera la variable aleatoria X: “número de personas desempleadas, de las 50 seleccionadas”, la variable X sigue una distribución binomial ( )~ Bin 50; 0,26X n p= = .

El número esperado de desempleados, entre los 50, es [ ] 50 0,26 13E X n p= ⋅ = ⋅ = .

Y la desviación típica es ( )1 50 0,26 0,74 3,1016n p pσ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = .

14. Un fármaco produce cefaleas en un 40 % de pacientes que lo toman. De 7 pacientes con este tratamiento, seleccionados al azar, calcula el número esperado de ellos que sufrirán ese efecto secundario y la probabilidad de que lo sufran:

a) Al menos dos.

b) Más de 4.

Sea Y: “número de personas que sufren efectos secundarios, de los 7 seleccionados”. La variable Y sigue una distribución binomial ( )~ Bin 7; 0,4Y n p= = .

El número esperado de pacientes que sufrirá efectos secundarios es [ ] 7 0,4 2,8E Y n p= ⋅ = ⋅ = .

a) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 0 1 1 0,0280 0,1306 0,8414P Y P Y P Y P Y≥ = − < = − = − = = − − =

b) ( ) ( ) ( ) ( )4 5 6 7 0,0774 0,0172 0,0016 0,0962P Y P Y P Y P Y> = = + = + = = + + =


15. Una encuesta reciente revela que en una ciudad el 35 % de los adultos aprueba la gestión del equipo de gobierno municipal, mientras el resto la desaprueba. Si de la población se eligen al azar 8 personas, calcula:

a) La probabilidad de que ninguno apruebe la gestión.

b) La probabilidad de que la aprueben exactamente 4.

c) El número esperado de personas que la aprueba.

d) La desviación típica del número de personas que aprueban la gestión.

Considera la variable aleatoria X: “número de personas, de las 8 seleccionadas, que aprueba la gestión”. La variable X sigue una distribución binomial ( )~ Bin 8; 0,35X n p= = .

a) ( ) 80 0,65 0,0319P X = = =

b) ( ) 4 484 0,35 0,65 0,1875

4P X = = = ⋅

c) Se calcula la esperanza de la variable X y es [ ] 8 0,35 2,8E X n p= ⋅ = ⋅ = .

d) En primer lugar se calcula la varianza y luego su raíz cuadrada positiva:

( )( ) 1 8 0,35 0,65 1,82 ( ) 1,82 1,34907Var X n p p Var X= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⇒ σ = = =


17. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es: < <=

23 si 1 2( ) 70 en el resto

x xf x

a) Calcula su esperanza y su varianza.

b) Calcula 3 3 19;2 2 10

P X P X > < <

a) La esperanza de la variable X es:

[ ]242

2

1 1

3 3 3 16 1 45 7 7 4 7 4 4 28

xE X x x dx = = = − = ∫

Para calcular la varianza se debe obtener antes el valor de 2E X :

2522 2 2

1 1

3 3 3 32 1 93 7 7 5 7 5 5 35

xE X x x dx = = = − = ∫

Y la varianza de X es [ ]2

22 93 45Var( ) 0,0742335 28

X E X E X = − = − = .

b) Ambas probabilidades se obtienen calculando el área bajo la función de densidad en cada uno de los dos casos:

2322

1'5 1,5

3 3 3 3 8 3,375 0,660712 7 7 3 7 3 3

xP X x dx > = = = − = ∫

1,931'92

1'5 1,5

3 19 3 3 3 6,859 3,375 0,497712 10 7 7 3 7 3 3

xP X x dx < < = = = − = ∫


18. El tiempo de espera para un viajero en una parada de autobús es una variable aleatoria con función de densidad:

≤ ≤=

1 si 0 20( ) 200 en el resto

xf x

Dibuja su gráfica y calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar deba esperar más de 15 minutos.

La gráfica de la función de densidad:

La probabilidad de que el usuario elegido al azar espere más de 15 minutos es ( ) ( ) 1 115 20 1520 4

P X > = − =

19. Utilizando la tabla de la normal estándar, determina a o p en cada caso.

a) ( ) 1 ,46P Z p≤ = e) ( )0,57 0,12P Z p− ≤ ≤ − =

b) ( ) 2,13P Z p> = f) ( ) 0,0026P Z a< =

c) ( ) 0,78P Z p≥− = g) ( ) 0,8345P Z a≥ =

d) ( )2,33 0,05P Z p− ≤ < = h) ( ) 0,9676P a Z a− ≤ < =

a) ( ) 1 ,46 0,92785P Z p≤ = =

b) ( ) ( )2,13 1 2,13 1 0,98341 0,01659P Z P Z> = − < = − =

c) ( ) ( )0,78 0,78 0,78230P Z P Z≥ − = ≤ =

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2,33 0,05 0,05 2,33 0,05 1 2,33 0,51994 1 0,99010 0,51004P Z P Z P Z− ≤ < = < − < − = Φ − −Φ = − − =

e)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

0,57 0,12 0,12 0,57 1 0,12 1 0,57

1 0,54776 1 0,71566 0,16790

P Z P Z P Z− ≤ ≤ − = < − − < − = −Φ − −Φ =

= − − − =

f) En este caso, el valor de la probabilidad (0,0026) no viene directamente en la tabla ya es menor que 0,5. Ello indica que 0a < y se procede de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )0,0026 1 0,9974 2,8 2,8P Z a P Z a P Z a a a< = ⇒ < − = − < = ⇒ − = ⇒ = −

g) ( ) ( ) ( ) ( )0,8345 0,8345 0,97 aprox 0,97 aproxP Z a P Z a a a≥ = ⇒ < − = ⇒ − = ⇒ = −

h) ( ) ( ) ( )2 1 0,9676 0,9838 2,14P a Z a a a a− ≤ ≤ = Φ − = ⇒ Φ = ⇒ =



23. Un fabricante de un cierto tipo de motores asegura que la duración de su producto tiene una distribución normal de media 10 años de uso con una varianza de 4. Calcula la probabilidad de que un motor elegido al azar dure:

a) Más de 12 años.

b) Menos de 9 años.

c) Entre 10 y 11 años.

Si un comerciante compra un lote de 100 motores al fabricante, calcula cuántos motores puede esperarse que duren:

d) Más de 7 años.

e) Más de 9 años.

Considera la variable aleatoria X: “duración de los motores”. Sabemos que ( )2~ 10; 4X N µ = σ = .

a) ( ) ( ) ( )12 1012 1 1 1 1 0,8413 0,15872

P X P Z P Z− > = > = > = −Φ = − =

b) ( ) ( ) ( )9 129 1,5 1 1,5 1 0,9332 0,06682

P X P Z P Z− < = < = < − = −Φ = − =

c) ( ) ( ) ( ) ( )10 10 11 1010 11 0 0,5 0,5 0 0,6915 0,5 0,19152 2

P X P Z P Z− − < < = < < = < < = Φ −Φ = − =

d) Para calcular el número de motores que se espera que duren 7 años, en primer lugar se calcula la probabilidad de que un motor elegido al azar dure más de 7 años:

( ) ( ) ( )7 107 1,5 1,5 0,93322

P X P Z P Z− > = > = > − = Φ =

Por lo que se estima que el 93,32 % de los motores durará más de 7 años. Si un comerciante compra 100 motores, se espera que aproximadamente 93 de ellos duren más de 7 años.

e) ( ) ( ) ( ) ( )9 109 1 1 1 0,84132

P X P Z P Z P Z− > = > = > − = < = Φ =

De forma que aproximadamente 84 motores, de los 100, durarán más de 9 años.

24. Una máquina produce tuercas cuyo diámetro tiene una distribución normal de media 5 cm y desviación típica 2 mm. No se pueden vender las tuercas que se desvíen 3 mm de la media. De un lote de 500 tuercas, ¿Cuántas deben ser descartadas para la venta?

Sea la variable X: “diámetro de las tuercas producidas por la máquina”. Con las medidas expresadas en milímetros, se tiene que ( )~ 50; 2X N µ = σ = .

Solo son aptas para la venta las tuercas cuyo diámetro esté entre 47 y 53 mm. Por tanto, la probabilidad de que una tuerca elegida al azar sea apta para la venta es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

47 50 53 5047 53 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1 1,52 2

2 1,5 1 2 0,9332 1 0,8664

P X P Z P Z− − < < = < < = − < < = Φ −Φ − = Φ − −Φ =

= Φ − = ⋅ − =

De manera que el 86,64 % de las tuercas producidas son aptas para la venta y se descartarán el 13,36 %. Por tanto, de un lote de 500 tuercas, se descartarán 0,1336 500 66,8⋅ = es decir aproximadamente 67 tuercas.


25. A una prueba de acceso de una universidad se han presentado 2500 aspirantes para 300 plazas. Las calificaciones que han obtenido los aspirantes tienen una distribución normal de media 6,5 y varianza 4. Calcula la nota de corte para los admitidos.

Considera la variable aleatoria X: “calificación del examen”. Su distribución es ( )2~ 6,5; 4X N µ = σ =

Para establecer la nota de corte, se calcula la proporción que representan 300 plazas de 2500 aspirantes:

300 0,122500

=

De manera que se debe buscar la calificación a tal que ( ) 0,12P X x> = . O de forma equivalente:

( ) ( )1 0,12 0,88P X a P X a− < = ⇒ < =

Tipificando en la última expresión y buscando en las tablas de la normal, se tiene que:

6,5 6,50,88 1,175 8,852 2

a aP Z a− − < = ⇒ = ⇒ =

Luego la nota de corte es 8,85 puntos.

26. Un supermercado ha hecho un estudio sobre el número de productos que escanean sus cajeras, llegando a la conclusión de que dicho número, por cajera y minuto, sigue una ley normal de media 33 y desviación típica 4. Si se elige al azar una cajera, calcula la probabilidad de que escanee en un minuto:

a) Más de 35 productos.

b) Menos de 31 productos.

c) Un número de productos comprendido entre 30 y 34.

Se considera la variable X: “número de productos que, por minuto, escanea la cajera”. La variable X sigue una distribución normal ( )~ 33; 4X N µ = σ = .

a) ( ) ( ) ( )35 3335 0,5 1 0,5 1 0,6915 0,30854

P X P Z P Z− > = > = > = −Φ = − =

b) ( ) ( ) ( ) ( )31 3331 0,5 0,5 1 0,5 1 0,6915 0,30854

P X P Z P Z P Z− < = < = < − = > = −Φ = − =

c)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

30 33 34 3330 34 0,75 0,25 0,25 0,754 4

0,25 1 0,75 0,5987 1 0,7734 0,3721

P X P Z P Z− − < < = < < = − < < = Φ −Φ − =

= Φ − −Φ = − + =



30. El 40 % de las personas empadronadas en una ciudad viven en urbanizaciones alejadas del centro. De una muestra de 1500 personas, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 580 vivan en urbanizaciones?

Sea la variable aleatoria Y: “número de personas, de las 1500, que viven en urbanizaciones alejadas del centro”. La variable Y sigue una distribución binomial ( )~ Bin 1500; 0,4Y n p= = que puede aproximarse por una variable X

con distribución normal de media 1500 0,4 600µ = ⋅ = y varianza 2 1500 0,4 0,6 360σ = ⋅ ⋅ = . Esto es

( )~ 600; 360X N µ = σ = . La probabilidad que se pide es:

( ) ( ) ( ) ( )579,5 600580 579,5 1,08 1 1,08 1 8599 0,1401360

P Y P X P Z P Z− < ≅ ≤ = ≤ = ≤ − = −Φ = − =


31. En una población, el 45 % de las personas adultas se declara consumidora de café. Si de la ciudad elegimos una muestra de 250 personas adultas, calcula la probabilidad de que más de la mitad tomen café.

Sea la variable Y: “número de consumidores de café, entre los 250”, cuya distribución es binomial ( )~ Bin 250; 0,45Y n p= = que puede aproximarse por una variable X con distribución normal de media

250 0,45 112,5µ = ⋅ = y varianza 2 250 0,45 0,55 61,875σ = ⋅ ⋅ = . Esto es ( )~ 112,5; 61,875X N µ = σ = .

La probabilidad que se pide es:

( ) ( ) ( ) ( )125,5 112,5125 125,5 1,65 1 1,65 1 0,9505 0,049561,875

P Y P X P Z P Z −

> ≅ > = > = > = −Φ = − =

32. El primer examen de una oposición es un test consta de una batería de 100 preguntas cada una de las cuales tiene 5 posibles respuestas de las que solo una es correcta. Si una persona responde al azar, calcula la probabilidad de que acierte al menos 25 preguntas.

Sea la variable aleatoria Y: “número de respuestas acertadas de las 10”, que sigue una distribución binomial ( )~ Bin 100; 0,2Y n p= = . Ya que si una persona responde al azar, la probabilidad de acertar una pregunta es

1 0,25

p = = .

La distribución de probabilidad de la variable Y puede aproximarse por la de una variable X con distribución normal de media 100 0,2 20µ = ⋅ = y varianza 2 100 0,2 0,8 16σ = ⋅ ⋅ = . Esto es ( )~ 20; 4X N µ = σ = .

La probabilidad que se pide es:

( ) ( ) ( ) ( )24,5 2025 24,5 1,13 1 1,13 1 0,8708 0,12924

P Y P X P Z P Z− ≥ ≅ ≥ = ≥ = ≥ = −Φ = − =

Donde ( )1,13 0,8708Φ = se ha obtenido de la tabla de la N(0,1)




EJERCICIOS

Variable aleatoria discreta

43. La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X, viene dada en la tabla siguiente:

jX -3 0 1 3

jp 0,4 0,3 0,1 0,2

a) Representa gráficamente la distribución.

b) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de X.

c) Calcula (1 2,5)P X< < y ( 1)P X < .

a) La función de masa de probabilidad se puede representar por un diagrama de barras:

b) La esperanza de la variable X es [ ] 3 0,4 0 0,3 1 0,1 3 0,2 0,5E X = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − .

Para calcular la varianza se calcula en primer lugar la esperanza de 2X :

( )22 2 2 23 0,4 0 0,3 1 0,1 3 0,2 5,5E X = − + + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La varianza de X es ( ) [ ] ( )222Var 5,5 0,5 5,25X E X E X= − = − − = .

La desviación típica de X es ( )Var 5,25 2,2913Xσ = = ≅ .

c) Para calcular las probabilidades que se piden, se suman las probabilidades de los valores de X que correspondan en cada caso:

( ) ( )1 2,5 0 porque n o toma ningún valor en el intervalo 1; 2,5P X X< < = .

( ) ( ) ( )1 3 0 0,4 0,3 0,7P X P X P X< = = − + = = + =


44. Sea X una variable aleatoria con función de masa de probabilidad = = =+

( ) p ara 0, 1, 2, 31

kP X x xx

.

a) Calcula el valor de la constante k.

b) Representa gráficamente la función de masa.

c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de X.

d) Calcula (0,5 3,5)P X< < .

a) La suma de las probabilidades de los valores de la variable debe ser 1, es decir:

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 1P X P X P X P X= + = + = + = =

121 0,481 2 3 4 25k k k k k+ + + = ⇒ = =

b) La función de masa de probabilidad de la variable X, se puede recoger en la tabla siguiente:

X 0 1 2 3

P(X = x) 0,48 0,24 0,16 0,12

Y el diagrama de barras correspondiente:

c) La esperanza de la variable X es [ ] 0 0,48 1 0,24 2 0,16 3 0,12 0,92E X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Para calcular la varianza se calcula en primer lugar la esperanza de 2X :

2 2 2 2 20 0,48 1 0,24 2 0,16 3 0,12 1,96E X = + + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La varianza de X es ( ) [ ] ( )222Var 1,96 0,92 1,1136X E X E X= − = − = .

La desviación típica de X es ( )Var 1,1136 1,0553Xσ = = ≅ .

d) La probabilidad del intervalo (0,5; 3,5) se obtiene sumando las probabilidades de los valores de X incluidos en el mismo:

( ) ( ) ( ) ( )0,5 3,5 1 2 3 0,24 0,16 0,12 0,52P X P X P X P X< < = = + = + = = + + =


45. La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta X viene dada en la tabla siguiente:

jX 1 2 3 4 5

jp 0,07 a 0,2 b 0,33

Además, ( )≤ =4 0,67P X y ( )≥ =4 0,6P X . Calcula:

a) Los valores de a y b para completar la tabla.

b) Dibuja la gráfica de la función de masa de X.

c) Calcula la esperanza y la varianza de X.

d) Halla la probabilidad )(2 5P X≤ < .

a) ( ) ( ) ( ) 4 0,6 4 5 0,6P X P X P X≥ = ⇒ = + = = de esta última expresión se obtiene ( ) 0,33 0,6 4 0,27b b P X+ = ⇒ = = = .

Mientras que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0,67 1 2 3 4 0,67P X P X P X P X P X≤ = ⇒ = + = + = + = = y de la última expresión, se

obtiene ( )0,07 0,2 0,27 0,67 2 0,13a a P X+ + + = ⇒ = = = .

Entonces, la función de masa de probabilidad de la variable X queda:

jX 1 2 3 4 5

jp 0,07 0,13 0,2 0,27 0,33

b) El diagrama de barras que representa la función de masa de probabilidad es:

c) La esperanza de la variable X es [ ] 1 0,07 2 0,13 3 0,2 4 0,27 5 0,33 3,66E X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Para calcular la varianza se debe calcular antes:

2 2 2 2 2 21 0,07 2 0,13 3 0,2 4 0,27 5 0,33 14,96E X ⋅ ⋅ ⋅= + + + + =⋅ ⋅

La varianza es ( ) [ ]22 2Var 14,96 – 3,66 1 ,5644X E X E X= − = = .

d) La probabilidad del intervalo [ )2, 5 se obtiene sumando las probabilidades de los valores de X incluidos en el mismo:

( ) ( ) ( ) ( )2 5 2 3 4 0,13 0,2 0,27 0,6P X P X P X P X≤ < = = + = + = = + + =


Variables aleatorias binomiales

46. La variable aleatoria X tiene una distribución binomial de parámetros n = 8 y p = 0,6. Calcula:

a) La esperanza y la varianza de X.

b) ( )( 6) y 5P X P X< ≥

c) (3 5)P X≤ <

d) (0 2)P X< <

a) La esperanza de X es [ ] 8 0,6 4,8E X n p= ⋅ = ⋅ = .

Y su varianza es ( )2 Var 8 0,6 0, 4 1,92X n p qσ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = .

b) Se calculan las probabilidades directamente o por medio de la tabla. En este último caso es preciso utilizar la distribución de ( ) ~ Bin 8, 0,4Y n p= = . Es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 6 1 – 6 7 8 1 – 2 1 0

1 0,2090 0,0896 0,0168 0,6846

P X P X P X P X P Y P Y P Y< = = + = + = = = + = + = = = − + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 6 7 8 3 2 1 0 0,2787 0,2090 0,0896 0,0168 0,5941

P X P X P X P X P X P Y P Y P Y P Y≥ = = + = + = + = = = + = + = + = =

= + + + =

c) De forma similar a la del apartado anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 3 4 5 4 0,2322 0,1239 0,3561P X P X P X P Y P Y≤ < = = + = = = + = = + =

d) Procediendo como en los apartados anteriores:

( ) ( ) ( )0 2 1 7 0,0079P X P X P Y< < = = = = =


Variables aleatorias continuas

47. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad ( ){ − ≤ ≤= 2 si 0 2( ) 0 en el restok x xf X .

a) Halla el valor de k y representa gráficamente la función de densidad.

b) Calcula 12

P X >

.

c) Calcula la esperanza y la varianza de la variable X.

a) Para hallar el valor de k, el área encerrada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas verticales 0x = y 2x = , debe ser 1:

( ) ( )2 22

00

11 2 2 4 2 2 2 2xk x dx k x k k k = − = − = − = ⇒ =

∫

Luego la función de densidad de X es ( )2 si 0 2.20 en el resto

x xf x− ≤ ≤=

Y su gráfica es:

b) Esta probabilidad se puede calcular gráficamente como el área del triángulo señalado en la figura.

( ) 1,5 0,750,5 0,56252

P X ⋅> = =

O también por cálculo integral

( ) ( ) ( )222

0'5 0,5

1 1 11 2 2 4 2 1 0,125 0,5625 2 2 2 2

xP X x dx x > = − = − = − − + = ∫

c) Para calcular la esperanza, se procede del siguiente modo:

[ ] ( )232 2

2

0 0 0

2 1 1 8 2 42 2 3 2 3 3

x xE X xf x dx x dx x− = = = − = − = ∫ ∫

Para calcular la varianza debe calcularse antes:

( )23 42 2

2 2 2

0 0 0

2 1 2 1 16 16 2 2 2 3 4 2 3 4 3

x x xE X x f x dx x dx− = = = − = − = ∫ ∫

La varianza es ( ) [ ]2

22 2 2 2Var3 3 9

X E X E X = − = − = .


48. Considera una variable aleatoria continua con función de densidad ≤ ≤=

1 2 ( ) 0 en el resto

k si xf x x .

a) Calcula el valor de la constate k.

b) Dibuja la gráfica de la función de densidad.

c) Calcula su esperanza y su varianza.

a) El área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas verticales 1x = y 2x = debe ser 1:

[ ]2

2

11

11 ln (ln2 ln1) ln2 ln2

k dx k x k k kx

= = = − = ⋅ ⇒ =∫

b) La función de densidad y su gráfica son:

( )1 si 1 2ln2

0 en el resto

xf x x ≤ ≤=

c) La esperanza de la variable X es [ ] [ ]2

2

11

1 1 1 1,4427ln2 ln2 ln2

E X x dx xx

= = = =∫ .

Para calcular la varianza debe calculase antes: 222

2 2

1 1

1 1 1 1 2 2,1640ln2 ln2 2 ln2 2

xE X x dxx

= = = − = ∫

La varianza es ( ) [ ]22 2Var 2,1640 1,4427 0,0826X E X E X= − = − = .

Variables aleatorias con distribución normal

49. Sea una variable aleatoria que sigue una distribución N(0, 1), halla el valor de k en cada caso.

a) ( ) 0,9846P Z k≤ = c) ( ) 0,8413P Z k> =

b) ( ) 0,33P Z k≥ = d) ( ) 0,7498P k Z k− < < =

a) ( ) ( ) 0,9846 2,16k P Z k kΦ = ≤ = ⇒ =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,33 1 0,33 0,67 0,44P Z k P Z k k P Z k k≥ = ⇒ − ≤ = ⇒Φ = ≤ = ⇒ =

c) ( ) ( ) ( )0,8413 0,8413 1 1P Z k k P Z k k k> = ⇒ Φ − = < − = ⇒− = ⇒ = −

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 P k Z k P Z k P Z k P Z k P Z k P Z k− < < = < − < − = < − − < = < −

Por tanto, ( ) ( )2 1 0,7498 0,8749 1,15k k kΦ − = ⇒Φ = ⇒ =


50. Sea una variable aleatoria que sigue una distribución normal ( )µ = σ =3, 0,8N , halla el valor de a en cada caso.

a) ( ) 2 0,5P X a≤ = c) 0,99912aP X > =

b) ( ) 1 0,1056P X a≥ − = d) (3 3 ) 0,7888P a X a− < < + =

En todos los casos, debe tipificarse la variable para poder utilizar la tabla de la normal N(0,1).

a) ( ) 2 3 2 3 2 0,5 0 1,50,8 0,8a aP X a P Z a− − ≤ = ≤ = ⇒ = ⇒ =

b) ( ) 1 3 4 1 1 0,10560,8 0,8

a aP X a P Z P Z− − − ≥ − = ≥ = − < =

Entonces, resulta 4 4 40,8944 1,25 50,8 0,8 0,8

a a aP Z a− − − Φ = < = ⇒ = ⇒ =

.

c) 3 62 1

2 0,8 1,6

aa aP X P Z P Z

− − > = > = − <

Entonces 6 6 6 61 0,9991 0,0009 0,99911,6 1,6 1,6 1,6

a a a aP Z P Z− − − − − < = ⇒ Φ = < = ⇒ Φ − =

De donde 6 3,12 10,9921,6

a a−= ⇒ =

d) ( ) 3 3 3 33 3 2 10,8 0,8 0,8a a aP a X a P Z− − + − − < < + = < < = Φ −

Entonces 2 1 0,7888 0,8944 1,25 10,8 0,8 0,8a a a a Φ − = ⇒ Φ = ⇒ = ⇒ =


Síntesis

51. Sea X una variable aleatoria con distribución normal de media 5 y desviación típica 2. Calcula las probabilidades siguientes.

a) ( )3P X < c) ( )2 4 2 P X− ≤ − < e) ( )1 9 P X≤ <

b) ( )2 P X > d) ( )2 1P X ≤ f) ( )2 | 1P X X≤ ≥

En todos los casos, se tipifica previamente para poder usar las tablas de la normal estándar.

a) ( ) ( ) ( )3 53 1 1 1 1 0,8413 0,15872

P X P Z P Z− < = < = < − = −Φ = − =

b) ( ) ( ) ( )2 52 1,5 1,5 0,9332 2

P X P Z P Z− > = > = > − = Φ =

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 5 6 52 4 2 2 6 1,5 0,5 0,5 1,52 2

0,5 1 1,5 0,6915 1 0,9332 0,6247

P X P X P Z P Z− − − ≤ − < = ≤ < = ≤ < = − ≤ < = Φ −Φ − =

= Φ − +Φ = − + =

d) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0,5 5 0,5 52 1 1 2 1 0,5 0,5 2,75 2,25 2 2

2,25 2,75 1 2,25 1 2,75 1 0,9878 1 0,9970 0,0092

P X P X P X P Z P Z− − − ≤ = − ≤ ≤ = − ≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤ − =

= Φ − −Φ − = −Φ − +Φ = − − + =

e) ( ) ( ) ( )1 5 9 51 9 2 2 2 2 1 2 0,97725 1 0,9545 2 2

P X P Z P Z− − ≤ < = ≤ < = − ≤ < = Φ − = ⋅ − =

f) Se pide una probabilidad condicionada, entonces:

( ) ( )( )

( )( )

2 1 1 22 | 1

1 1P X X P X

P X XP X P X≤ ∩ ≥ ≤ ≤

≤ ≥ = =≥ ≥

Calculando numerador y denominador, por separado, resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 5 2 51 2 2 1,5 1,5 2 2 1,5 0,9772 0,9332 0,0442 2

P X P Z P Z− − ≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤ − = Φ − −Φ − = Φ −Φ = − =

( ) ( ) ( )1 51 2 0,97722

2P X P Z P Z− ≥ = > = > − = Φ =

Luego ( ) 0,0442 | 1 0,04500,9772

P X X≤ ≥ = =


52. El tiempo en minutos transcurrido hasta que una persona es atendida en la sucursal A de un banco sigue una distribución ( )µ = σ =9, 0,1N , mientras que el tiempo, también en minutos, transcurrido hasta que es atendido en la sucursal B sigue una distribución ( )µ = σ =8,5; 2N .

a) Si un cliente tiene que hacer una gestión y solo dispone de 10 minutos, ¿en qué sucursal será más fácil que le hayan atendido en el tiempo que dispone?

b) Un cliente, teniendo en cuenta la proximidad de estas dos sucursales a su casa, elige ir a la sucursal A con probabilidad 0,3, y a la sucursal B, con probabilidad 0,7. Eligiendo una de las visitas al banco de este cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el cliente haya tenido que esperar más de 10 minutos?

Considera las variables X: “tiempo de espera en la sucursal A” e Y: “tiempo de espera en la sucursal B”. La variable X sigue una distribución ( )~ 9; 0,1X N µ = σ = y la variable Y ( )~ 8,5; 2Y N µ = σ = .

a) La probabilidad de que sea atendido en la sucursal A, en los 10 minutos de que dispone es:

( ) ( )10 910 10 10,1

P X P Z − ≤ = ≤ = Φ =

Mientras que la probabilidad de que sea atendido en la sucursal B en los 10 minutos disponibles es:

( ) ( )10 8,510 0,75 0,77342

P Y P Z − ≤ = ≤ = Φ =

Luego, en los 10 minutos disponibles, es más probable que le hayan atendido en la sucursal A que en la B.

b) Considera los sucesos A = “el cliente elige la sucursal A” y B = “el cliente elige la sucursal B”. Las probabilidades son ( ) 0,3P A = y ( ) 0,7P B = .

Sea T = “tiempo de espera del cliente hasta ser atendido” (observa que T X= , si elige la sucursal A y T Y= si elige la sucursal B)

Si el cliente elige la sucursal A, la probabilidad de que tarden más de 10 minutos en atenderle es:

( ) ( )10 | 1 10 | 1 1 0P T A P T A≥ = − ≤ = − =

Si el cliente elige la sucursal B, la probabilidad de que tarden más de 10 minutos en atenderle es:

( ) ( )10 | 1 10 | 1 0,7734 0,2266P T B P T B≥ = − ≤ = − =


( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 10 | 10 | 0,3 0 0,7 0,2266 0,15862P T P A P X A P B P Y B≥ = ≥ + ≥ = ⋅ + ⋅ =


CUESTIONES

53. Sean las variables aleatorias ( )~ Bin ; X n p e

~B in 2 , 2pY n .

a) Comprueba que tienen la misma media.

b) ¿Cuál de las dos distribuciones tiene los datos menos dispersos respecto a su media?

a) [ ]E X n p= ⋅ y [ ] 22pE Y n n p= ⋅ = ⋅

Luego tienen la misma media o esperanza.

b) Para ver cuál de las dos variables tiene los datos menos dispersos, se debe calcular la varianza de ambas variables y compararlas. Se supone que 0 y 1p p≠ ≠ .

( ) ( )Var 1X n p p= ⋅ ⋅ − y ( )Var 2 1 12 2 2p p pY n n p = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −

Como ( ) ( )1 1 Var Var2pp X Y− < − ⇒ < la variable X tiene los valores menos dispersos que la variable Y.

54. Sea X una variable aleatoria que tiene una distribución continua. ¿Cuál es la media y la varianza de la distribución 2X? ¿Y la de + 2X ?

Sea ( )f x la función de densidad de la variable X, entonces, la esperanza de 2X, es:

[ ] ( ) [ ]2 2 2 2 E X xf x dx xdx E X+∞ +∞

−∞ −∞= = =∫ ∫

Para la varianza de 2X, se debe calcular antes ( )22E X . Pero, teniendo en cuenta que ( ) ( ) E kg X kE g X=

entonces ( )2 2 22 4 4 E X E X E X = = .

Y, por tanto, la varianza de 2X es:

( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( )2 22 22 2Var 2 2 2 4 2 4 4 VarX E X E X E X E X E X E X X = − = − = − =

Luego, la esperanza de 2X es el doble que la esperanza de X y la varianza de 2X es cuatro veces la varianza de X”

En cuanto a la esperanza y la varianza de 2X + , se tiene que [ ] [ ]2 2E X E X+ = + y ( ) ( )Var 2 VarX X+ = .


PROBLEMAS 55. Sea X la variable aleatoria que consiste en sumar las puntuaciones obtenidas al lanzar conjuntamente un

dado y una moneda equilibrados. Las puntuaciones que se consideran de la moneda son 0 para cara y 1 para cruz. a) Escribe su función de masa de probabilidad y dibuja su gráfica. b) Calcula la probabilidad de que la variable X tome como valor un número primo. c) Calcula la esperanza y la varianza de X. a) En el lanzamiento conjunto de una moneda y un dado, el espacio muestral está formado por los siguientes

resultados equiprobables { }1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6E C C C C C C X X X X X X= y al ser sumados, con 0C = y 1X = resulta que la variable aleatoria X: “suma de las puntuaciones del dado y la moneda” toma los valores enteros del 1 al 7, con las probabilidades que se muestran en la tabla siguiente:

X 1 2 3 4 5 6 7

( )=P X x 112

16

16

16

16

16

112

Donde, por ejemplo ( ) ( ) ( ) 1 1 12 2 112 12 6

P X P C P X= = + = + =

Su gráfica se puede representar mediante un diagrama de barras:

b) La probabilidad de que la suma sea un número primo (3, 5 o 7), se obtiene sumando las probabilidades de

individuales de 3, 5 y 7.

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 5número primo 3 5 76 6 12 12

P X P P P= = + + == + + =

c) Para calcular la esperanza y la varianza de la variable X, se construye la tabla siguiente:

X ( )=P X x ( )=xP X x ( )=2x P X x

1 1

12 1

12 1

12

2 16

13

23

3 16

12

32

4 16

23

83

5 16

56

256

6 16

1 6

7 1

12 7

12 49

12

1 4 115

6

La esperanza es [ ]7

1

4j jj

E X x p=

= =∑ .

La varianza es ( ) [ ]7

22 2 2 2

1

115 115 19 Var 4 6 6 6j j

j

E X x p X E X E X=

= = ⇒ = − = − = ∑ .


56. De una urna que contiene 4 bolas verdes y 6 rojas se extraen sucesivamente y con reemplazamiento 6 bolas. Calcula la probabilidad de obtener:

a) Exactamente 3 bolas verdes.

b) Más de 4 bolas verdes.

c) Más de 2 pero menos de 5 bolas verdes.

Cada extracción puede considerarse como un ensayo de Bernoulli en el que la probabilidad del suceso A = “obtener bola verde” es ( ) 0,4 p A = .

Considera la variable aleatoria X: “número de bolas verdes extraídas en los 6 intentos”. La distribución de la variable X es ( )Bin 6; 0,4n p= = . Las probabilidades que se piden se pueden obtener directamente de la tabla de la binomial.

a) ( )3 0,2765P X = =

b) ( ) ( ) ( )4 5 6 0,0369 0,0041 0,041P X P X P X> = = + = = + =

c) ( ) ( ) ( )2 5 3 4 0,2765 0,1382 0,4147P X P X P X< < = = + = = + =

57. El encargado de una plantación de chopos asegura que, en este momento, el diámetro de los árboles sigue una distribución normal de media 20 cm y que el 90 % de ellos tiene un diámetro inferior a 25 cm.

a) Calcula la desviación típica de la distribución.

b) Calcula la probabilidad de que un árbol elegido al azar tenga más de 22 cm de diámetro.

Sea X: “diámetro, en cm, de los árboles de la plantación”. Se sabe que X sigue una distribución ( )20; N µ = σ .

a) Como ( 25) 0,9P X < = , entonces, tipificando y buscando en las tablas de la normal:

( ) 25 20 55 0,9 1,282 3,9 cmP X P Z − < = < = ⇒ = ⇒ σ = σ σ

b) Con la desviación típica calculada en el apartado anterior:

( ) ( ) ( )22 2022 0,51 1 0,51 1 0,6950 0,30503,9

P X P Z P Z− > = > = > = −Φ = − =

58. Un test específico para determinar el estado de salud de los trabajadores de una empresa tiene una distribución normal de media µ = 100 y desviación típica σ = 8 . El protocolo de la revisión establece que si un trabajador supera los 115 puntos debe ser objeto de una segunda revisión en profundidad.

¿Cuál es el porcentaje de trabajadores que necesitará una segunda revisión?

Sea X: “puntuación del test de salud de los trabajadores”, con distribución ( )100, 8N µ = σ = .

Para estimar el porcentaje de trabajadores que necesitará una segunda revisión, debe calcularse:

( ) ( ) ( )115 100115 1,875 1 1,875 1 0,9696 0,03048

P X P Z P Z− > = > = > = −Φ = − =

Luego, se estima que alrededor del 3 % de los trabajadores necesitará una segunda revisión.


59. La edad de los trabajadores de una piscifactoría sigue una distribución normal de media 44 años y desviación típica 8,2 años.

Si al 10 % de los trabajadores con más edad se les va a reducir la jornada laboral, ¿cuántos años tiene el menor trabajador afectado por esta medida?

Se considera la variable X: “edad de los trabajadores”. Su distribución es ( )~ 44; 8,2X N µ = σ = .

Sea a la edad del menor de los trabajadores afectados por la reducción de la jornada laboral, se tiene que ( ) 0,1P X a> = .

Entonces, buscando la función de distribución de X y tipificando:

( ) ( ) 441 0,1 0,9 0,98,2

aP X a P X a P Z − − < = ⇒ < = ⇒ < =

Y, de las tablas de la distribución normal estándar, se tiene que 44 1,282 54,5 años8,2

a a−= ⇒ =

60. El 70 % de los habitantes de una localidad se oponen a que en su municipio se construya un cementerio nuclear.

a) Si se escoge una muestra de 50 personas, calcula la esperanza y la desviación típica de la variable X: “número de personas que se oponen a la construcción del cementerio nuclear”.

b) Si la muestra es de 100 personas, calcula la probabilidad de que más de 80 se opongan al proyecto.

a) Sea la variable aleatoria X: “número de personas, de las 50, que se opone a la construcción del cementerio nuclear”. La variable aleatoria es ( )~ Bin 50; 0,7X n p= = , cuya esperanza y varianza son, respectivamente,

[ ] 50 0,7 35E X n p= ⋅ = ⋅ = y ( ) ( )Var 1 50 0,7 0,3 10,5X n p p= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = .

b) En este caso, la variable Y: “número de personas, de las 100, que se opone a la construcción del cementerio nuclear” tiene una distribución ( )~ Bin 100, 0,7Y n p= = .

Como [ ] 100 0,7 70E Y = ⋅ = y ( )Var 100 0,7 0,3 21Y = ⋅ ⋅ = :

La distribución de Y se puede aproximar por una variable ( )2~ 70; 21T N µ = σ = .

Entonces, aproximado por la normal y tipificando:

( ) ( ) ( ) ( )80,5 7080 80,5 2,29 1 2,29 1 0,9890 0,010921

P Y P T P Z P Z− > > = > = > = −Φ = − =

61. Una fábrica de azúcar envasa el producto en paquetes de un kilo. En un control de calidad se han pesado, con una báscula de precisión, 100 paquetes y se ha obtenido que la media es 1000,8 g con una desviación típica de 16,18 g.

Suponiendo que la cantidad de azúcar envasada sigue una distribución normal, y que no son admisibles paquetes con menos de 980 g o más de 1020 g, calcula el porcentaje de paquetes que deben ser desechados.

Sea la variable aleatoria X: “cantidad envasada en cada paquete, en gramos”. Su distribución es ( )1000,8; 16,18N µ = σ = .

Se calcula la probabilidad de que un paquete elegido al azar sea aceptado; es decir, que su peso esté comprendido entre 980 y 1020 gramos:

( ) ( )

( ) ( )

980 1000,8 1020 1000,8980 1020 1,29 1,1916,18 16,18

1,19 1 1,29 0,8830 1 0,9015 0,7845

P X P Z P z− − < < = < < = − < < =

= Φ − +Φ = − + =

De manera que el 78,45 % de los paquetes serán aceptados y, por tanto 21,55 % serán desechados.


62. Antes de poner a la venta un nuevo fármaco, se realizan cuatro controles de calidad independientes. En cada control, si el fármaco es defectuoso se detecta en el 95 % de los casos. Calcula la probabilidad de que un fármaco en malas condiciones:

a) Sea detectado en uno solo de los cuatro controles.

b) Se detecte en al menos dos de los controles.

c) No sea puesto a la venta.

Se considera la variable X: “número de controles, de los 4, en los que se detecta que el fármaco está en malas condiciones”. La distribución es ( ) ~ Bin 4; 0,95X n p= = . Las probabilidades se obtienen de la tabla de la

( ) ~ Bin 4; 0,05Y n p= = .

a) ( ) ( )1 3 0,0005P X P Y= = = =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 0,8145 0,1715 0,0135 0,9995P X P Y P Y P Y P Y≥ = ≤ = = + = + = = + + =

c) El fármaco será puesto a la venta solo si en ninguno de los controles se detecta que está en malas condiciones. Esto es, si 0X = . De esta manera:

( ) ( ) 0 4 0P X P Y= = = =

De modo que con este sistema de control, un fármaco en malas condiciones no será puesto a la venta.

63. Un tribunal debe calificar a los 700 aspirantes para cubrir 25 vacantes en un organismo oficial. Si las calificaciones son de 0 a 10 y su distribución es normal de media µ = 5,7 puntos y desviación típica σ = 1,5 puntos, se pide:

a) ¿Cuántos opositores han obtenido puntuación superior o igual a 5 puntos?

b) ¿Cuál es la nota de corte para ser seleccionado?

Sea la variable aleatoria X: “calificación de las pruebas”. Se tiene que ( ) ~ 5,7; 1,5X N µ = σ = . Entonces:

a) Se calcula la probabilidad de que un opositor elegido al azar obtenga calificación igual o superior a 5:

( ) ( ) ( )5 5,75 0,47 0,47 0,68081,5

P X P Z P Z− ≥ = ≥ = ≥ − = Φ =

Esto es, el 68,08 % de los opositores ha obtenido puntuación superior o igual 5 y, por tanto, 700 0,6808 476,56⋅ = , es decir unos 477 opositores han obtenido nota superior o igual a 5.

b) Para obtener la nota de corte, que llamamos c, debe tenerse en cuenta que 675 opositores no obtendrán plaza, lo que supone el 96,43 % de los 700 aspirantes. Luego debe plantearse:

( ) 5,7 5,70,9643 0,9643 1,802 8,4031,5 1,5

c cP X c P Z c− − < = ⇒ < = ⇒ = ⇒ =


64. Si un dado equilibrado se lanza 600 veces, calcula la probabilidad de obtener:

a) Al menos 350 veces un número par.

b) Más de 120 veces un 6 (máxima puntuación).

a) Sea la variable X: “Número de veces, de las 600, que se obtiene número par”. ( )~ Bin 600; 0,5X n p= = , que

dado que n es suficientemente grande, se puede aproximar por ( )2~ 300, 150W N µ = σ = , ya que:

[ ] 600 0,5 300 E Xµ = = ⋅ = y ( )2 Var 600 0,5 0,5 1 50Xσ = = ⋅ ⋅ =

De forma que, aproximando por la normal y tipificando:

( ) ( ) ( ) ( )349,5 300350 349,5 4,04 1 4,04 1 1 0150

P X P W P Z P Z− ≥ ≅ ≥ = ≥ = ≥ = −Φ = − =

b) Se considera Y: “Número de veces, de las 600, que se obtiene un 6”. 1 ~ Bin 600; 6

Y n p = =

.

Cuya esperanza y varianza son [ ] 1 600 1006

E Y = ⋅ = y ( ) 1 5 500Var 600 83,336 6 6

Y = ⋅ ⋅ = = .

Luego, la distribución de la variable Y se puede aproximar por la de variable ( )2~ 100; 83,33V N µ = σ = . Y, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )120,5 100120 120,5 2,25 1 2,25 1 0,9878 0,012283,33

P Y P V P Z P Z −

> ≅ ≥ = ≥ = ≥ = −Φ = − =

65. La puntuación de un test homologado para determinar el cociente intelectual tiene una distribución normal de media µ = 110 puntos y desviación típica σ = 18. Si se elige una persona al azar para realizar el test, calcula:

a) La probabilidad de que obtenga una puntuación inferior a 100.

b) La probabilidad de que supere los 130 puntos si se sabe que en un test anterior superó los 115 puntos.

Sea X: “puntuación en el test” la variable aleatoria cuya distribución es ( )110, 18N µ = σ = .

a) La probabilidad de que una persona elegida al azar no llegue a los 100 puntos es:

( ) ( ) ( ) ( )100 110100 0,56 0,56 1 0,56 1 0,7123 0,287718

P X P Z P Z− < = < = < − = Φ − = −Φ = − =

b) En este caso, se trata de calcular la probabilidad condicionada siguiente:

( ) ( )( 130 115) ( 130) 0,1335130 | 115 0,3426

115 ( 115) 0,3897P X X P XP X X

P X P X> ∩ > >

> > = = = => >

donde:

( ) ( ) ( )130 110130 1,11 1 1,11 1 0,8665 0,133518

P X P Z P Z− > = > = > = −Φ = − =

( ) ( ) ( )115 110115 0,28 1 0,28 1 0,6103 0,389718

P X P Z P Z− > = > = > = −Φ = − =


66. Según los datos del organismo correspondiente, el 80 % de los incendios que se producen en la época de calor son provocados. Si este verano se han producido 150 incendios en una determinada región, calcula la probabilidad de que:

a) Más de 100 hayan sido provocados.

b) Como mucho 30 hayan sido accidentales.

c) El número de incendios provocados supere el 80 % del total de incendios.

Se considera la variable aleatoria X: “número de incendios provocados, de los 150 producidos”. X sigue una distribución binomial ( )Bin 150, 0,8n p= = .

La esperanza y la varianza de X son [ ] 150 0,8 120 E X = ⋅ = y ( )2 Var 150 0,8 0,2 24Xσ = = ⋅ ⋅ = que se puede

aproximar por la distribución de una variable ( )2~ 120; 24Y N µ = σ = . Entonces:

a) La probabilidad de que más de 100 incendios sea provocados es:

( ) ( ) ( ) ( )100,5 120100 100,5 3,98 3,98 124

P X P Y P Z P Z− > ≅ ≥ = ≥ = ≥ − = Φ =

b) Que como mucho 30 sean accidentales equivale a que al menos 120 sean intencionados.

( ) ( ) ( ) ( )119,5 120120 119,5 0,10 0,10 0,539824

P X P Y P Z P Z− ≥ ≅ ≥ = ≥ = ≥ − = Φ =

c) En este caso se pide que el número de incendios provocados supere el 80 % del total de incendios, es decir, supero los 120 incendios.

( ) ( ) ( ) ( )120,5 120120 120,5 0,1 1 0,1 1 0,5398 0,460224

P X P Y P Z P Z− > ≅ ≥ = ≥ = ≥ = −Φ = − =


67. En un centro educativo, a pesar de los controles rigurosos, un 12 % de los ordenadores resulta infectado por algún tipo de virus informático.

a) Si en un aula hay 10 ordenadores, calcula la probabilidad de que más de un ordenador tenga virus.

b) Si se quiere que la probabilidad de que haya, como máximo, dos ordenadores infectados sea al menos 0,7 ¿cuál tiene que ser el número máximo de ordenadores en el aula?

c) Si en todo el centro el número de ordenadores es 150, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos el 10 % de ellos tenga virus?

a) Sea X: “número de ordenadores infectados, de los 10”. La variable ( ) ~ Bin 10; 0,12X n p= = , entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 0 1 1 0,2785 0,3798 0,3417 P X P X P X P X> = − ≤ = − = + = = − + =

donde:

( ) 100 0,88 0,2785 P X = = = y ( ) 9101 0,12 0,88 0,3798

1P X = = ⋅ =

b) En este caso, se trata de calcular el mayor valor de n, en la distribución binomial para que ( ) 2 0,7P X ≤ ≥

Para ello se necesitan las probabilidades:

( )0 0,88nP X = = , ( ) 11 0,12 0,88nP X n −= = ⋅ ⋅ y ( ) ( ) 2 212 0,12 0,88

2nn n

P X −−= =

De modo que ( ) ( )1 2 212 0,88 0,12 0,88 0,12 0,88

2n n nn n

P X n − −−≤ = + ⋅ ⋅⋅ +

Se construye la tabla siguiente, con las probabilidades necesarias para obtener ( ) 2P X ≤ :

n P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) ( )≤ 2P X

14 0,16702 0,31885 0,28262 0,76848

15 0,14697 0,30063 0,28696 0,73457

16 0,12934 0,28219 0,28860 0,70013

17 0,11382 0,26385 0,28783 0,66550

18 0,10016 0,24584 0,28496 0,63096

Es decir, como máximo debe haber 16 ordenadores en el aula.

c) Ahora la variable Y: “número de ordenadores infectados, de los 150” es ( ) ~ Bin 150; 0,12Y n p= = .

La esperanza y la varianza de Y son [ ] 150 0,12 18E Y = ⋅ = y ( )Var 150 0,12 0,88 15,84X = ⋅ ⋅ = .

De modo que la distribución de Y se puede aproximar por la de la variable ( )2 ~ 18; 15,84T N µ = σ = . Entonces, como el 10 % de 150 es 15, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )14,5 1815 14,5 0,88 0,88 0,810615,84

P Y P T P Z P Z −

≥ ≅ ≥ = ≥ = ≥ − = Φ =


68. Un sistema eléctrico está formado por 6 componentes independientes. La probabilidad de que falle uno cualquiera de los componentes es 0,15. Calcula la probabilidad de que:

a) Fallen al menos dos componentes.

b) Fallen al menos dos componentes si se sabe que ya ha fallado al menos uno.

c) Ningún componente falle.

Sea la variable aleatoria X: “número de componentes que fallan de las 6”.

La distribución de X es ( )Bin 6; 0,15n p= = . Las probabilidades pueden obtenerse de la tabla de la binomial:

a) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1– 2 1– 0 1 1– 0,3771 0,3993 0,2236P X P X P X P X≥ = < = + = = + ==

b) En este caso se trata de una probabilidad condicionada:

( ) ( )( )

( )( )

2 1 2 0,22362 | 1 0,35901 1 0,6229

P X X P XP X X

P X P X≥ ∩ ≥ ≥

≥ ≥ = = = =≥ ≥

donde ( ) ( ) 1 1 – ( 1) 1 – 0 1 – 0,3771 0,6229P X P X P X≥ = < = = = =

c) En este caso ( )0 0,3771P X = =

69. El tiempo que dura el proceso de montaje final de un artículo es una variable aleatoria con distribución normal N(µ, σ). Si el 30 % de los artículos se monta en menos de 2 horas y en el 5 % se tarda más de 2 horas y media, calcula:

a) La media y la varianza de la distribución.

b) El porcentaje de artículos que se monta en menos de una hora y media.

Sea la variable aleatoria X: “duración del proceso del montaje del artículo, en horas”. Se tiene que ( ) ~ , X N µ σ , ambos parámetros desconocidos.

Se sabe que ( 2) 0,3P X < = y ( 2,5) 0,05P X > = .

a) Tipificando la variable y aproximando con las tablas de la ( )0,1N , se tiene:

( ) 2 22 0,3 0,3 0,525P X P Z −µ −µ < = ⇒ < = ⇒ = − σ σ

( ) 2,5 2,52,5 0,05 0,05 1,645P X P Z −µ −µ > = ⇒ > = ⇒ = σ σ

Que conduce a resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente:

0,525 21,645 2,5

µ − σ =µ + σ =

Cuya solución es 2,121µ = y 0,2304σ = .

b) La probabilidad de que un artículo elegido al azar se monte en menos de una hora y media es:

( ) ( ) ( )1,5 2,1211,5 2,6953 1 2,7 1 0,9965 0,00350,2304

P X P Z P Z− < = < = < − = −Φ = − =

Luego el porcentaje estimado de artículos que se monta en menos de una hora y media es del 0,35 %.


70. En la segunda vuelta de las elecciones presidenciales, el candidato A obtuvo el 52 % de los votos emitidos. El resto votó a otro candidato o lo hizo en blanco. Si de la población que ha participado en la votación se eligen al azar 2000 personas, calcula la probabilidad de que entre estos:

a) Más del 60 % haya votado al candidato A.

b) Menos de la mitad haya votado al candidato A.

c) Más del 60 % haya votado al candidato A si se sabe que por lo menos la mitad le votó.

Sea la variable aleatoria X: “número de personas, de las 2000, que han votado al candidato A”. La distribución de X es ( )Bin 2000; 0,52n p= = .

La esperanza y la varianza de X son [ ] 2000 0,52 1040E X = ⋅ = y 2 2000 0,52 0,48 499,2σ = ⋅ ⋅ = .

De modo que, dado el elevado tamaño de la muestra, la distribución de X puede aproximarse por la distribución de la variable ( )2~ 1040; 499,2W N µ = σ = .

a) ( ) ( ) ( ) ( )1200,5 10401200 1200,5 7,18 1 7,18 1 1 0499,2

P X P W P Z P Z −

> ≅ ≥ = ≥ = ≥ = −Φ = − =

b) ( ) ( ) ( ) ( )999,5 10401000 999,5 1,81 1 1,81 1 0,9649 0,0351499,2

P X P W P Z P Z −

< ≅ < = < = < − = −Φ = − =

c) La probabilidad de que al menos la mitad de las 2000 personas haya votado al candidato A es:

( ) ( )( 1200) 01200 | 1000 0

1000 0,9649P XP X XP X

>> ≥ = = =

≥

donde ( ) 1 000 1 ( 1000) 1 0,0351 0,9649P X P X≥ = − < = − =

71. La producción de trigo por hectárea (ha) de terreno en una comarca sigue una distribución N(µ, σ). Los datos históricos indican que solo en el 10 % de los años la producción supera los 4000 kg/ha, mientras que en el 60 % de los años queda por debajo de los 3200 kg/ha.

a) Calcula la media y la desviación típica de la distribución.

b) Calcula la probabilidad de que la producción supere los 3500 kg/ha en un año elegido al azar.

Se considera la variable aleatoria X: “producción de trigo por hectárea” en la comarca. La variable X sigue una distribución ( )2,N µ σ .

Se sabe que ( )4000 0,1P X > = y que ( )3200 0,6P X < = .

a) Con la información disponible se tiene que:

( ) 4000 40004000 0,1 0,1 1,281P X P Z −µ −µ > = ⇒ > = ⇒ = σ σ

( ) 3200 32003200 0,6 0,6 0,253P X P Z −µ −µ < = ⇒ < = ⇒ = σ σ

El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas queda:

1,281 40000,253 3200

µ + σ =µ + σ =

Cuya solución es 3003,11µ = y 778,21 σ= kilogramos por hectárea.

b) Con los parámetros calculados en el apartado a, se tiene que:

( ) ( ) ( )3500 3003,113500 0,64 1 0,64 1 0,7389 0,2611778,21

P X P Z P Z− > = > = > = −Φ = − =


72. Una empresa fabrica minas de grafito para portaminas cuya longitud sigue una distribución N(µ = 30, σ = 0,5) en milímetros. Solo se aceptan las minas si su largo está entre 29 y 31 mm. Si un control de calidad selecciona al azar 1000 minas, calcula la probabilidad de que sean aceptadas más de 950 minas.

La variable aleatoria X: “longitud de las minas de grafito” tiene una distribución ( )30; 0,5N µ = σ = , en mm.

Elegida al azar una mina de grafito, la probabilidad de que sea aceptada es:

( ) ( ) ( )29 30 31 3029 31 2 2 2 2 1 2 0,9772 1 0,95440,5 0,5

P X P Z P Z− − ≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤ = Φ − = ⋅ − =

Considera, ahora, la variable Y: “número de minas, de las 1000, que son aceptadas”. La variable Y tiene una distribución ( )Bin 1000; 0,9544n p= = , y, dado el tamaño de la muestra, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal, aunque el valor de la p sea grande.

La variable ( )2~ 1000 0,9544 954,4; 1000 0,9544 0,0456 43,52T N µ = ⋅ = σ = ⋅ ⋅ = . Entonces:

( ) ( ) ( ) ( )950,5 954,4950 950,5 0,59 0,59 0,722443,52

P Y P T P Z P Z −

> ≅ ≥ = ≥ = ≥ − = Φ =

PARA PROFUNDIZAR 73. En España la distribución de la población según su grupo sanguíneo se recoge en la tabla:

Tipo Rh + Rh - O 36 % 9 % A 34 % 8 % B 8 % 2 %

AB 2,5 % 0,5 %

El grupo A- solo puede recibir sangre de personas con los grupos O- y A-, mientras que puede ser donante a personas de los grupos AB+, AB-, A+ y A-.

Un enfermo con el grupo sanguíneo A- precisa sangre para transfusión.

a) En el hospital se presentan 10 voluntarios aleatorios. Calcula la probabilidad de que al menos uno de los donantes sea compatible con el enfermo.

b) ¿Y si se presentan 50 voluntarios?

La probabilidad de que un donante elegido al azar, entre todos los posibles donantes, sea compatible para donar sangre al enfermo con grupo A- es ( ) ( ) 0,09 0,08 0,17P O P A− + − = + = .

a) Si se presentan 10 voluntarios (elegidos al azar), sea la variable aleatoria X: “número de personas, entre las 10, que pueden donar sangre al enfermo”. La variable ( )~ Bin 10; 0,17X n p= = , luego:

( ) ( )1 1 0 1 0,1552 0,8448P X P X≥ = − = = − =

Donde ( ) 100 0,83 0,1552P X = = =

b) En el caso de presentarse 50 voluntarios (al azar), se considera la variable Y: “número de personas, de las 50, que pueden donar sangre al enfermo”. La variable ( )~ Bin 50; 0,17Y n p= = .

Para calcular la probabilidad ( )1P Y ≥ se puede proceder de dos formas:

1.ª Forma. Directamente con la binomial:

( ) ( )1 1 0 1 0,00005993 0,99994007P Y P Y≥ = − = = − =

Donde ( ) 500 0,83 0,00005993P Y = = =

2.ª Forma. Aproximando por una normal ( )2~ 50 0,17 8,5; 50 0,17 0,83 7,055T N µ = ⋅ = σ = ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )0,5 8,51 0,5 3,01 3,01 0,99877,055

P Y P T P Z P Z −

≥ ≅ ≥ = ≥ = ≥ − = Φ =


74. En una población el nivel de colesterol total en sangre sigue una distribución normal de media µ = 180 mg/dL y varianza σ =2 225 . Se considera que los valores del nivel de colesterol mayores de 200 mg/dL son perjudiciales para la salud y que deben corregirse mediante un tratamiento.

a) Elegidas 200 personas al azar, ¿cuál es el número esperado de ellas que necesitarán tratamiento?

b) Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su nivel de colesterol sea inferior a 170 mg/dL, si se sabe que no precisa tratamiento?

c) Si la varianza se mantiene en su actual valor, calcula qué valor medio debe tener el nivel de colesterol para que solo el 5 % de la población deba seguir tratamiento médico.

Sea la variable X: “nivel de colesterol en sangre”, cuya distribución es ( )2180; 225N µ = σ = .

a) La probabilidad de que una persona elegida al azar en esta población deba ponerse en tratamiento es:

( ) ( ) ( )200 180200 1,33 1 1,33 1 0,9082 0,0918225

P X P Z P Z− > = > = > = −Φ = − =

Se considera la variable Y: “número de personas, de las 200, que deben iniciar tratamiento”, que tiene una distribución ( )Bin 200; 0,0918n p= = . Entonces:

El número esperado de las 200 personas que deben ponerse en tratamiento es [ ] 200 0,0918 18,36E Y = ⋅ =

Aproximadamente 18 personas deben ponerse en tratamiento médico.

b) ( 170) 0,2514( 170 | 200) 0,2768( 200) 0,9082

P XP X XP X

<< < = = =

<

170 180( 170) ( 0,67) 1 (0,67) 0,251415

P X P Z P Z− < = < = < − = −Φ =

c) Si la varianza sigue siendo 2 225σ = ; y el límite para iniciar tratamiento es de 200 mg/dL, el nivel medio de colesterol µ de la población debería ser:

200 200 2000,05 0,95 1,645 175,325 mg/dL225 225 225

P Z P Z−µ −µ −µ > = ⇒ < = ⇒ = ⇒ µ =


75. En una central de producción lechera se sospecha que la máquina envasadora de las botellas de 1,2 L se ha desconfigurado y, por ese motivo, se lleva a cabo un control de calidad en el que se comprueba que la cantidad media de las botellas analizadas es de 1180 mL, con una desviación típica de 8 mL.

Las especificaciones de calidad señalan que solo serán admitidas para la venta botellas que contengan entre 1185mL y 1215 mL.

a) Calcula el porcentaje de botellas no admisibles que está produciendo la máquina envasadora.

b) Si la máquina envasadora se ajusta a una media de 1200 mL y se mantiene la desviación típica en 8 mL, ¿cuál es el porcentaje de botellas listas para su distribución?

c) Si la media se ajusta a 1200 mL, ¿cuál debería ser la desviación típica para que el 98 % de las botellas fuera admisible?

La variable aleatoria X: “volumen de llenado de las botellas de 1,2 litros” tiene una distribución de ( )1180; 8N µ = σ = .

a) La probabilidad de que una botella elegida al azar sea admisible es:

( ) ( )

( ) ( )

1185 1180 1215 11801185 1215 0,63 4,388 8

4,38 0,63 1 0,7357 0,2643

P X P Z P Z− − < < = < < = < < =

= Φ −Φ = − =

De modo que la probabilidad de que una botella elegida al azar no sea admisible es 0,7357. Es decir, el 73,57 % de las botellas no es admisible y, en consecuencia se confirma la sospecha de que la máquina envasadora se ha desconfigurado.

b) Ahora, la distribución de X es ( )1200; 8N µ = σ = , de manera que la probabilidad de que una botella elegida al azar sea admisible es:

( ) ( )

( )

1185 1200 1215 12001185 1215 1,88 1,888 8

2 1,88 1 2 0,9699 1 0,9399

P X P Z P Z− − < < = < < = − < < =

= Φ − = ⋅ − =

Y, en consecuencia, el 94 % de las botellas es admisible para su distribución.

c) En este caso, la distribución de X es ( )1200; N µ = σ , con σ desconocida y para que una botella elegida al azar sea admisible con probabilidad 0,98 debe ser:

( ) 1185 1200 1215 1200 15 15 151185 1215 2 1 0,98P X P Z P Z− − − < < = < < = < < = Φ − = σ σ σ σ σ

Luego 15 1,98 150,99 2,33 6,442

Φ = = ⇒ = ⇒ σ = σ σ

Es decir, una vez reconfigurada la máquina de envasar, para incrementar el porcentaje de botellas con nivel admisible es necesario reducir la variabilidad del proceso de embotellado.

AUTOEVALUACIÓN


1. Si X es una variable aleatoria de media 15 y varianza 3,75 con una distribución ( )Bin ,n p , calcula los valores de n y p.

La media y la varianza de la distribución binomial son, respectivamente, [ ] 15 E X = y ( )Var 3,75X = .

Entonces, se plantea el sistema de ecuaciones:

( ) ( ) 15

1 5 1 3,75 0,75 1 3,75

n pp p

n p p⋅ =

⇒ − = ⇒ = ⋅ ⋅ − =

De la primera ecuación se tiene que 0,75 15 20n n⋅ = ⇒ = .


2. En una comunidad de vecinos, el 60 % de las veces que un vecino llega a su portal no encuentra el ascensor en la planta baja. Si se eligen 7 vecinos al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Exactamente 2 encuentren el ascensor en la planta baja.

b) Por lo menos 3 encuentren el ascensor en la planta baja.

Sea la variable aleatoria X: “número de vecinos, de los 7 elegidos, que se encuentra el ascensor en la planta baja”. La distribución de X es ( )Bin 7; 0,4n p= = . Las probabilidades se pueden calcular o buscar directamente en la tabla de la binomial.

a) La probabilidad de que exactamente 2 vecinos encuentre el ascensor es:

( ) 2 572 0,4 0,6 0,2613

2P X = = =

⋅

b) La probabilidad de que por lo menos 3 encuentren el ascensor es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 1 0 1 2 1 0,0280 0,1306 0,2613 0,5801P X P X P X P X P X≥ = − < = − = − = − = = − − − =

Donde ( )2P X = se ha calculado en el apartado a y ( )0P X = , ( )1P X = vienen dados por:

( ) 70 0,6 0,0280P X = = = , ( ) 671 0,4 0,6 0,1306

1P X = = ⋅ =

3. Una variable aleatoria X toma los valores −2, −1, 1, 3 y 5 con probabilidades respectivas 0,15; 0,25; 0,2; 0,3 y 0,1.

a) Representa gráficamente la distribución de probabilidad.

b) Calcula la esperanza y la varianza de X.

c) Halla ( 1 4)P X− ≤ < .

a) El diagrama de barras que representa la función de masa de probabilidad es:

b) La esperanza de X es [ ] 2 0,15 1 0,25 1 0,2 3 0,3 5 0,1 1,05E X =− ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Para la obtener la varianza se debe calcular antes:

( ) ( )2 22 2 2 2 2 0,15 1 0,25 1 0,2 3 0,3 5 0,1 6,25E X = − + − + + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La varianza es ( ) [ ]22Var 6,25 –1 ,1025 5,1475X E X E X= − = =

c) ( 1 4) P( 1) ( 1) ( 3) 0,25 0,2 0,3 0,75P X X P X P X− ≤ < = = − + = + = = + + =


4. Sea X una variable aleatoria con función de densidad:

( ) ( ){ + ≤ ≤= 1 si 0 4 0 en el restok x xf x

a) Calcula el valor de k y dibuja la gráfica de f(x).

b) Calcula la esperanza y la varianza de X.

c) Halla la probabilidad de que la variable tome un valor superior a 2 sabiendo que ha tomado un valor comprendido entre 1 y 3.

a) Para calcular k se procede imponiendo que el área de la región limitada por la curva, el eje OX y las rectas verticales x = 0 y x = 4 sea 1. Es decir:

( ) ( )424

0 0

11 1 8 4 12 2 12xk x dx k x k k k = + = + = + = ⇒ =

∫

Y su gráfica:

b) La esperanza de X se obtiene de la siguiente manera:

[ ] ( )43 24

0 0

1 1 22 1 12 12 3 2 9

x xE X x x dx = + = + = ∫

Para calcular la varianza se calcula primero 2 E X :

( )44 34

2 2

0 0

1 1 64 112 12 4 3 9

x xE X x x dx = + = + = ∫

La varianza de X es ( ) [ ]2

22 64 22 92Var9 9 81

X E X E X = − = − = .

c) ( )323

2 2

1 1 1 3 1(2 3) 1 012 12 2 12 2 8

xP X x dx x < < = + = − = − = ∫

( )323

1 1

1 1 1(1 3) 112 12 2 12

26

xP X x dx x < < = + = − = = ∫

1(2 3) 38( 2 |1 3) 1(1 3) 4

6

P XP X XP X

< <> < < = = =

< <


5. La duración media de una determinada marca de electrodomésticos es de 10 años con una desviación típica de 0,7 años. Suponiendo que la duración sigue una distribución normal, calcula la probabilidad de que uno de tales electrodomésticos elegido al azar dure:

a) Más de 9 años.

b) Entre 9 y 11 años.

La variable aleatoria X: “vida de un electrodoméstico en años” tiene una distribución normal ( )10; 0,7N µ = σ = .

a) ( ) ( ) ( )9 109 1,43 1,43 0,92360,7

P X P Z P Z− > = > = > − = Φ =

b) ( ) ( ) ( )9 10 11 109 11 1,43 1,43 2 1,43 1 2 0,9236 1 0,84720,7 0,7

P X P Z P Z− − ≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤ = Φ − = ⋅ − =

6. Las calificaciones obtenidas por los estudiantes para acceder a una facultad siguen una distribución µ = σ =9,8;( )1,5N . Si la nota de corte se estableció en 11,5, ¿cuál es el porcentaje de estudiantes que no

pudo acceder a la facultad ese año?

La variable aleatoria X: “calificaciones de los estudiantes” tiene una distribución ( ) 9,8, 1,5N µ= σ = .

Si la nota de corte quedó en 11,5, entonces la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no haya superado el corte es:

( ) ( )11,5 9,811,5 1,13 0,87081,5

P X P Z P Z− < = < = < =

Esto es, el 87,08 % de los estudiantes presentados no superó el corte establecido.

7. En una población la estatura de los bebés al nacer sigue una distribución ,( )N µ σ . El 5 % de los bebés mide más de 52 cm al nacer y el 80 % mide menos de 48 cm.

a) Calcula la media y la desviación típica.

b) Halla la probabilidad de que la estatura de un recién nacido esté comprendida entre 49,5 cm y 51 cm.

La variable X: “estatura de los bebés al nacer” tiene una distribución ( ), N µ σ , ambos parámetros desconocidos.

a) Las condiciones se plantean en forma de ecuaciones, de la siguiente manera.

El 5 % de los bebés mide más de 52 cm al nacer, se traduce en que:

( ) 52 52 5252 0,05 0,05 0,95 1,645P X P Z P Z−µ −µ −µ > = ⇒ > = ⇒ < = ⇒ = σ σ σ

El 80 % de los bebés mide menos de 48 cm al nacer, significa que:

( ) 48 4848 0,8 0,8 0,841P X P Z −µ −µ < = ⇒ < = ⇒ = σ σ

De forma que, para calcular los valores de μ y σ se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

1,645 520,841 48

µ + σ =µ + σ =

Cuya solución es 43,82 y 4,975µ = σ = .

b) Para calcular esta probabilidad, es suficiente con tener en cuenta que ( )~ 43,82; 4,975X N µ = σ = . Entonces:

( ) ( )

( ) ( )

49,5 43,82 51 43,8249,5 51 1,14 1,444,975 4,975

1,44 1,14 0,9251 0,8729 0,0522

P X P Z P Z− − < < = < < = < < =

= Φ −Φ = − =


8. En las últimas elecciones al consejo escolar del centro, Juan obtuvo un 35 % de los votos. Si se eligen 50 alumnos al azar, calcula la probabilidad de que hayan votado a Juan:

a) Más de 20 alumnos de los 50.

b) Entre 25 y 40 alumnos.

La variable X: “número de alumnos, de los 50, que ha votado a Juan” tiene distribución ( )Bin 50; 0,35n p= = .

La esperanza y la varianza de X son [ ] 50 0,35 17,5E X = ⋅ = y ( )Var 50 0,35 0,65 11,375X = ⋅ ⋅ =

Para los cálculos se dan las condiciones para que se pueda aproximar la distribución de X por la de una variable Y con distribución ( )217,5; 11,375N µ = σ = . Entonces:

a) ( ) ( ) ( ) ( )20,5 17,520 20,5 0,89 1 0,89 1 0,8133 0,186711,375

P X P Y P Z P Z −

> ≅ ≥ = ≥ = ≥ = −Φ = − =

b)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

24,5 17,5 40,5 17,525 40 24,5 40,5 2,08 6,8211,375 11,375

6,82 2,08 1 0,9812 0,0188

P X P Y P Z P Z − −

≤ ≤ ≅ ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ =

= Φ −Φ = − =



1. La variable aleatoria discreta X toma los valores 2, 4, 6 y 8 con probabilidades respectivas c, c + 1, c + 2 y + 3c . El valor de c es:

A. 4 B. 1,25 C. −1,25 D. No existe valor para c.

Si todas las probabilidades son mayores o iguales a cero deben sumar 1, pero si c fuese cualquier positivo o cero la suma sería mayor que 1. Luego la respuesta correcta es la D.

2. La variable aleatoria Y tiene una distribución de probabilidad ( )Bin , 0,4n p = y se sabe que su varianza es 2,88. Entonces:

A. n = 10 B. n = 12 C. n = 28 D. n = 29

La varianza es ( )2 Var X n p qσ = = ⋅ ⋅ . Entonces ( ) 2,882,88 0,4 1 0,4 120,24

n n= ⋅ ⋅ − ⇒ = =

Luego la respuesta correcta es la B.

3. Si X sigue una distribución ( )µ σ, N , en el intervalo ( )µ − σ µ + σ, se encuentra aproximadamente:

A. El 90 % de los valores de X.

B. El 65 % de los valores de X.

C. El 68 % de los valores de X.

D. Depende de los valores de σ .

Si X es una variable aleatoria que tiene distribución ( ), N µ σ , la probabilidad del intervalo ( ), k kµ − σ µ + σ con

0k > solo depende del valor de k.

Como 1k = entonces ( ) ( ) 2 1 1 06826P Xµ − σ ≤ ≤µ + σ = Φ − = . Por tanto la respuesta correcta es la C.



4. Sea ( )∼Bin ,X n p . Fijado n, la variabilidad de X:

A. Es más grande si p está próximo a 1.

B. Es más grande si p está próximo a 0.

C. Es máxima si p = 0,5.

D. No está influida por el valor de p.

La respuesta correcta es la C.

5. El porcentaje de observaciones que queda fuera del intervalo (0, 24) si una variable tiene una distribución normal ∼ µ = σ =12, 3( )X N es aproximadamente:

A. 25 % C. 0 %

B. 75 % D. 50 %

( ) ( ) ( ) ( )0 12 24 120 24 4 4 4 4 1 0 13 3

P X P Z P Z P Z P Z− − < < = < < = − < < = < − < − = − =

Por tanto, la respuesta correcta es la C.


6. Sea ( )∼Bin ,X n p e ∼ µ σ( ),Y N con =μ np y σ = −2 (1 )np p . Se consideran las siguientes afirmaciones:

1. “La distribución de la variable Y aproxima la de la variable X”

2. “En la distribución de X, n es grande y p no es muy pequeño”.

A. 1 2⇔

B. 1 2⇒ pero 2 1⇒/

C. 2 1⇒ pero 1 2⇒/

D. 1 y 2 son independientes una de otra.

Por la teoría vista en el tema la respuesta correcta es la A.


7. Para calcular la probabilidad − < <( 1 2)P X siendo ∼ µ σ( ),X N es necesario conocer:

A. Solo μ. C. Tanto μ como σ .

B. Solo σ . D. No hace falta conocer ningún dato.

Para transformar una variable ( , )X N∼ µ σ en una variable aleatoria con distribución estándar , )1(0Z N∼ se tipifica. Para ello se utiliza la siguiente expresión:

XZ −µ=

σ

Por tanto, la respuesta correcta es la C.

338 Bloque IV Estadística


1. El 47 % de las personas de una ciudad son mujeres y el 53 % restante hombres. De entre las mujeres, un 28 % son jóvenes (entre 0 y 25 años), un 38% son adultas (entre 26 y 64 años) y un 34 % son de la tercera edad (65 años o más). De entre los hombres, un 26 % son jóvenes, un 43 % son adultos y un 31 % son de la tercera edad.

a) Si elegimos una persona de la ciudad al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer de la tercera edad?

b) Si elegimos una persona de la ciudad al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la tercera edad?

c) Si elegimos una persona de la ciudad al azar de entre las de la tercera edad, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

d) Si elegimos una mujer de la ciudad al azar de entre las que tienen 26 años o más, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la tercera edad?

Se definen los sucesos M = “mujer”, H = “hombre”, J = “persona joven”, A = “persona adulta” y T = “persona de la tercera edad”

a) Por la probabilidad condicionada se tiene:

P(M ∩ T) = P(M) · P(T|M) = 0,47 · 0,34 = 0,1598

b) Por la probabilidad total se tiene: P(T) = P(M) · P(T|M) + P(H) · P(T|H) = 0,47 · 0,34 + 0,53 · 0,31 = 0,3241

c) Por Bayes: ( ) ( ) ( | ) 0,1598( | ) 0,4931

( ) ( ) 0,3241P M T P M P T MP M T

P T P T∩ ⋅

= = = = .

d) Entre las mujeres, el porcentaje de mayores de 26 años es 38 % + 34 %. De ellas, las de la tercera edad son el 34 %. Por tanto:

P(T | M) = 34 34 0,472238 34 72

= =+

Bloque IV estadística 339

2. Juan, Isabel y Elena son tres estudiantes que deciden presentarse a las pruebas de nivel B2 de inglés que

organiza la universidad. La probabilidad que tienen de superarla es, respectivamente, de 3 2 2, y4 3 5

. Calcula

la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Los tres suspenden la prueba.

b) Sólo la supera uno de ellos.

c) Al menos uno de ellos la supera.

Las probabilidades de superar o no superar la prueba son:

Juan: 3( )4

P J = ⇒ De no superarla: 1( )4

P J =

Isabel: 2( )3

P I = ⇒ De no superarla: 1( )3

P I =

Elena: 2( )5

P E = ⇒ De no superarla: 3( )5

P E =

En todos los casos los sucesos (superar o no superar la prueba) son independientes.

a) P(los tres suspenden) = 1 1 3 1( ) ( ) ( ) ( )4 3 5 20

P J I E P J P I P E∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = .

b) P(solo la supera uno) = [en todos los casos debe aprobar uno y suspender los otros dos] =

= 3 1 3 1 2 3 1 1 2 17( ) ( ) ( )4 3 5 4 3 5 4 3 5 60

P J I E P J I E P J I E∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

c) P(al menos uno la supera) = 1– P(los tres suspenden) = 1 19120 20

− =

3. Una factoría dispone de tres máquinas para fabricar una misma pieza. La más antigua fábrica 1000

unidades al día, de las que el 2 % son defectuosas. La segunda máquina más antigua, 3000 unidades al día, de las que el 1,5 % son defectuosas. La más moderna fabrica 4000 unidades al día, con el 0,5 % defectuosas. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa?

b) Si una pieza elegida al azar es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina más antigua?

c) Sabiendo que una pieza elegida al azar no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la máquina más moderna?

Si A, B y C designan a las máquinas por orden de antigüedad y D indica el suceso pieza defectuosa:

a) Por el teorema de la probabilidad total

P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) + P(C)·P(C|D) = 0,125 · 0,02 + 0,375 · 0,015 + 0,5 · 0,005 = 0,010625

b) ( ) ( ) ( | ) 0,125 0,02( | ) 0,2353( ) ( ) 0,010625

P A D P A P D AP A DP D P A∩ ⋅ ⋅

= = = =

c) ( ) ( ) ( )( )

0,125 0,98 0,375 0,985( ) | 0,49721 0,010625

P A D P B DP A B DP D

∩ + ∩ ⋅ + ⋅∪ = = =

−

340 Bloque IV Estadística

4. Un control de calidad se supera en cuatro de cada cinco aparejos de pesca. Si están sujetos a ese control un total de 225 artículos:

a) ¿Cuántos artículos se espera que superen el control de calidad?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que superen el control de calidad entre 170 y 187 (incluidos) artículos?

La probabilidad de que un determinado artículo supere el control de calidad es 4 0,85

p = = .

Se considera la variable Y: “número de artículos no defectuosos entre los 225”, Y ∼ Bin(n = 225, p = 0,8)

a) El número esperado de artículos que superen el control de calidad será la media de Y: µ = 225 · 0,8 = 180.

b) Y puede aproximarse por la distribución normal ( ) ( )180, 225 0,8 0,2 180, 6X N Nµ = σ = ⋅ ⋅ = µ = σ =

169,5 180 187,5 180(170 187) (169,5 187,5) ( 1,75 1,25)6 6

P Y P X P Z P Z− − ≤ ≤ < < = < < = − < <

=

= P(Z < 1,25) – P(Z < –1,75) = P(Z < 1,25) – [1 – P(Z < 1,75)] = 0,8944 – 1 + 0,9599 = 0,8543 5. Una conocida cadena comercial tiene unas ventas mensuales que siguen una distribución normal de

media 45 000 € y desviación típica de 3000 €. Calcula las siguientes probabilidades expresando el resultado en porcentajes: a) Probabilidad de que las ventas mensuales sean superiores a 50 000 euros. b) Probabilidad de que las ventas mensuales estén comprendidas entre 42 000 € y 46 000 €. c) Probabilidad de que las ventas mensuales sean inferiores a 39 000 euros.

d) Sabiendo que la probabilidad de que las ventas mensuales sean superiores a una determinada cantidad es del 1 %, ¿cuál es esa cantidad?

Sea X: “Ventas mensuales”, X ∼ N(µ = 45000, σ = 3000)

a) 45000 50000 45000( 50000) ( 1,67) 1 ( 1,67) 1 0,9525 0,04753000 3000

XP X P P Z P Z− − > = > = > = − > = − =

b) 42000 45000 45000 46000 45000(42000 46000) ( 1 0,33)3000 3000 3000

XP X P P Z− − − < < = < < = − < < =

= P(Z < 0,33) – P(Z < –1) = P(Z < 0,33) –[1 – P(Z < 1)] = 0,6293 – 1 + 0,8413 = 0,4706

c) 45000 39000 45000( 39000) ( 2) 1 ( 2) 1 0,9772 0,02283000 3000

XP X P P Z P Z− − < = < = < − = − < = − =

d) 45000( ) 0,01 2,33 2,33 45000 3000 2,33 519903000

XP Z c c X−> = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⋅ = €

Bloque IV estadística 341

PRUEBA II SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Decide cuál de las siguientes afirmaciones son correctas:

A. Todas las variaciones con repetición son permutaciones. B. Todas las variaciones sin repetición son permutaciones. C. Todas las permutaciones son variaciones con repetición. D. Todas las permutaciones son variaciones sin repetición.

Las permutaciones son un caso particular de variaciones sin repetición en donde coinciden el número de elementos y los elementos tomados. Solución: D

2. La solución de la ecuación Vx,3 = 105P2, es: A. x = 1 B. x = 3 C. x = 5 D. x = 7

3 2, 3 2105 ( 1)( 2) 105 2! 3 2 210 0 7xV P x x x x x x x= ⇒ − − = ⋅ ⇒ − + − = ⇒ =

Solución: D

3. Para afirmar que la función <

= ≤ ≤ >

0 si( ) si

si

x af x kx a x b

t x b es una función de densidad, con k, t, a, b ∈ nos

dicen:

1. a = 0 2. b > 0

Analiza si la información es suficiente para contestar la cuestión:

A. 1 es suficiente por sí sola, pero 2 no. B. 2 es suficiente por sí sola, pero 1 no. C. Son necesarias las dos. D. Faltan más datos. t siempre es nulo. Si conocemos a y b la constante k la podemos deducir teniendo en cuenta que el área encerrada por la curva es 1. Por tanto faltan datos para responder. Solución: D

4. Señala las respuestas correctas. Si P(A) es la probabilidad de obtener al menos una cara cuando lanzamos cuatro caras, entonces:

A. El número de casos favorables es 4. C. 5( )6

P A >

B. 1( )16

cP A = D. ( ) ( ) 1cP A P A+ <

Como 15( )16

P A = , los únicos casos ciertos son B y C.

5. Una variable X sigue una distribución binomial de parámetros n = 8 y p = 0,2. La probabilidad de que X = 6

es aproximadamente: A. 0,049 B. 0,0011 C. 0,0041 D. 0,025

( ) ( ) ( )6 286 0,2 0,8 0,0011

6P X = = =

Solución B

6. Se lanza 100 veces al aire una moneda trucada, en la que la probabilidad de obtener cara es de 0,65. La probabilidad de obtener entre 60 y 70 caras es aproximadamente de: A. 0,9558 B. 0,6939 C. 0,7064 D. 0,7448

Se considera la variable Y: “número de caras en los 100 lanzamientos”, Y ∼ Bin(n = 100, p = 0,65)

Y puede aproximarse por la distribución normal ( ) ( )65, 100 0,65 0,35 65, 4,77X N Nµ = σ = ⋅ ⋅ = µ = σ =

59,5 65 70,5 65(60 70) (59,5 70,5) ( 1,15 1,15) 2 (1,15) 1 0,74984,77 4,77

P Y P X P Z P Z− − ≤ ≤ < < = < < = − < < = Φ − =

El solucionario de Matemáticas II de 2.º de Bachillerato forma parte del Proyecto Editorial de Educación de SM. En su realización ha participado el siguiente equipo:

Autoría Fernando Alcaide, Vicente Rivière, Luis Sanz, José Miguel Gómez

Edición Oiana García, Fernando de Blas, Fernando García

Corrección científica Juan Jesús Donaire

Corrección Javier López

Ilustración Juan Antonio Rocafort, Bartolomé Seguí

Diseño de cubierta e interiores Estudio SM

Responsable de proyecto Arturo García

Coordinación editorial de Matemáticas Josefina Arévalo Dirección de Arte del proyecto Mario Dequel

Dirección editorial Aída Moya

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

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