Colegio San Carlos de Quilicura MATEMÁTICA/CUARTO MEDIO DIFERENCIADO CSV/2020

SOLUCIONARIO GUÍA DE TRABAJO N°5 Ejercicio 1: El término pedido en cada P.A. según la información entregada es:

a) ?¿,1812 143 aaya == Solución: Como en este caso los términos son consecutivos, no es necesario resolverlos con la utilización de un sistema de ecuaciones, es válido, pero se pierde mucho tiempo siguiendo ese camino. Te recomiendo usar el siguiente: (si usaste la otra forma te darás cuenta que llegas a lo mismo) Ø Primero: utilizaremos la fórmula de la diferencia de dos términos consecutivos en una P.A.

kk aad −= +1 , entonces reemplazamos ,1812 43 == aya nos queda: 6121834 =⇒−=⇒−= ddaad Ø Segundo: Reemplazamos en la fórmula ( ) dnaan 11 −+= cualquiera de los dos valores entregados

( 1812 43 == aya ) y 6=d

( )

012126212

613

1

1

1

13

=⇒

+=

⋅+=

⋅−+=⇒

aaaaa

b) ?¿;123 31110 aaya == Solución: Al igual que el ejercicio anterior, los términos son consecutivos, usaremos el mismo método: Ø Primero: utilizaremos la fórmula de la diferencia de dos términos consecutivos en una P.A.

kk aad −= +1 , entonces reemplazamos 123 1110 == aya , nos queda: 222311011 −=⇒−=⇒−= ddaad

Ø Segundo: Reemplazamos en la fórmula ( ) dnaan 11 −+= cualquiera de los dos valores entregados ( 123 1110 == aya ) y 22−=d

( )

22119823

2292322110

1

1

1

110

=⇒

−=

−⋅+=

−⋅−+=⇒

aaaaa

Ø Tercero: Ahora reemplazamos ,222211 −== dya en la fórmula ( ) dnaan 11 −+= y nos queda: ( )( )

17744221

2222212213221,1

3

3

3

3

1

=

−=

−⋅+=

−⋅−+=

⋅−+=

aaaa

dnaan

c) ?¿,5,35,1 597 aaya == Solución: Según los datos entregados la sucesión es una progresión aritmética, entonces sabemos que la fórmula del término general es: ( ) dnaan 11 −+= , además se tiene que 5,35,1 97 == aya , por lo tanto, en esta ocasión podemos generar dos ecuaciones con dos incógnitas, como se muestra a continuación:

( )

)1(5,16,65,117

1

1

17

ecuacióndatenemosordenandoda

daa

°=+

+=⇒

⋅−+=⇒

( )

)2(5,38,85,319

1

1

19

ecuacióndatenemosordenandoda

daa

°=+

+=⇒

⋅−+=⇒

Lo que nos permite resolver a través de un sistema de ecuaciones de 2x2 y así determinar ,1 dya para

posteriormente obtener 5a . Utilizando el método de reducción, se tiene:

)2(5,38)1(5,16

1

1

ecuacióndaecuaciónda°=+

°=+ , aplicando el método nos queda:

5,485,3

5,385,3185,38

211225,38

)(5,165,38

15,16

1

1

1

1

1

1

1

1

1

−=

−=

=+

=⋅+

=+

°=⇒=

=

=+

+⇓−=−−

=+

−⋅=+

aa

aa

quedanosdaecuaciónlaendvalorelreemplazarald

ddadadada

Luego:

( )( )

5,045,4145,4

1155,4:,15,4,1

5

5

5

5

11

−=

+−=

⋅+−=

⋅−+−=

=−=⋅−+=

aaaa

quedanosdyaquesabemoscomodnaan

Por lo tanto, el quinto término ( 5a ) es: Ejercicio 2: El término general de la siguiente P.A. según la información entregada es: a) Solución: Según los datos, se tiene que 3121 −== dya . Además, la sucesión es una progresión

aritmética. Por lo tanto debemos utilizar la siguiente fórmula ( )dnaan 11 −+= para encontrar el término general, entonces tenemos:

( )( )

nanana

dnaa

n

n

n

n

31533123112

11

−=

+−=

−⋅−+=

−+=

Luego, el término general na es:

Ejercicio 3:

Solución: Según los datos entregados, tenemos que: mgaymgd 908 1 =−= , además debemos utilizar

la siguiente fórmula: ( ) dnaan 11 −+= y considerar que n representa cualquiera de los días del tratamiento, reemplazando, nos queda:

( )

nanana

n

n

n

89888908190

−=

+−=

−⋅−+=

Por lo tanto, la expresión que permite calcular la cantidad de medicamento que se debe ingerir en

cualquiera de los días del tratamiento es:

¡Cuídate mucho, lava constantemente tus manos…protege a tu familia!!!

¡¡¡Éxito y Cariños!!!

988 +−= nan

n315 −

5,0−

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GuíadeGuíadeTrabajoN°6TrabajoN°6MatemáticaMatemática(Desde el 11 al 15 de Mayo)

Nombre Curso Fecha

IVº / 05 / 2020

Trabajaremos el siguientes Aprendizaje Esperado:

Unidad N°1

v AE 4: Conocen las progresiones aritméticas y geométricas; aplican algunas propiedades en la resolución de problemas.

v AE03: Demuestran generalizaciones sencillas.

Contenido: Ø Progresión aritmética.

INSTRUCCIONES:

• El tiempo estimado para el desarrollo de esta guía será de 45 minutos. • Los materiales que necesitarás para el desarrollo de esta guía serán los siguientes: lápiz mina, lápiz pasta, goma,

saca puntas, cuaderno de la asignatura e internet. Este material puedes imprimirlo, desarrollarlo y archivarlo en la carpeta de la asignatura, puesto que será solicitado por el docente más adelante. En el caso que no puedas imprimir esta guía deberás registrar el desarrollo en tu cuaderno.

• El desarrollo de los ejercicios escríbelo con lápiz mina y la respuesta final escríbela con lápiz pasta. • En la Guía de Trabajo N° 7 se anexará la retroalimentación de esta guía.

• Recuerda que puedes hacer todas tus consultas y requerimientos que necesites al correo de tu profesora de la asignatura: profesoracarolsv@gmail.comen el siguiente horario: martes y jueves de 16:00 a 17:00 hrs.

¡¡¡Ánimo y mucho éxito!!!

¡TENER SIEMPRE EN CUENTA!

¡Hola! Un gusto saludarte nuevamente, espero que te encuentres muy bien. Antes de comenzar con esta nueva sesión es necesario que hayas realizado la retroalimentación de la guía anterior (Guía N°5), ya que es la base para lo que trabajaremos hoy. Espero que con ella hayas aclarado tus dudas, en caso contrario recuerda que puedes comunicarte conmigo a través del correo dispuesto para ello (y mencionado en las instrucciones).

En esta guía continuaremos con el tema tratado en la clase anterior, es decir, Progresión Aritmética.

Una Progresión Aritmética (P.A.) es una sucesión, en la que cada uno de sus términos (salvo el primero) se obtiene al sumar o al restar al anterior un número fijo llamado diferencia (d). v Si 0>d , la P.A. es creciente; mientras que si 0<d , esta es

decreciente.

v El término general na de una P.A. se obtiene de:

( )dnaan 11 −+= donde 1a es el primer término y d es la diferencia.

v Si { }na es una P.A., entonces se cumple que:

Es decir, la diferencia entre dos términos consecutivos es d.

kk aad −= +1

ACTIVIDADES RESUELTAS (Ejemplos en relación a la situación propuesto en el recuadro de arriba) 1. Para ayudar a Daniel, explica por qué la cantidad de círculos de las figuras forman una P.A.

Luego, calcula la cantidad de círculos para formar las seis figuras. Solución: La cantidad de círculos de las figuras 1, 2, 3 y 4 son 3, 5, 7 y 9, respectivamente. Entonces con

231 == dya , la cantidad de círculos de cada figura forma una P.A., donde:

( )( )

12223213

11

+=

−+=

⋅−+=

−+=

nann

dnaa

n

n

DEBO SABER:

v Sea { }na una P.A. La suma ( )nS de los primeros n términos

de { }na se denomina serie aritmética y se calcula como:

( )[ ]dnanaSn

iin 122 1

1

−+==∑=

, donde 1a es el primer

término y d es la diferencia de la progresión.

El signo Σ corresponde a la letra mayúscula sigma, del alfabeto griego. Es equivalente a la letra S, de nuestro alfabeto.

Se denomina sumatoria de una sucesión na , a la forma abreviada

de escribir sus términos expresados como sumandos:

Se denota: ∑=

=++++n

iin aaaaa

1321 ...

v Si { }na una P.A., donde 1a es el primer término y se conoce su

término na , entonces: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

21 n

naanS

48

39

399

Luego, la cantidad de círculos necesarias para formar las figuras 5 y 6 son 1311 65 == aya (estos se

obtuvieron al reemplazar el valor de n en el término general 12 += nan ), por lo tanto, la cantidad de círculos usados en total para construir las primeras seis figuras es:

( ) ( )[ ] [ ] =⋅=⋅+=⋅−+⋅=+=∑=

1632563216322612

6

1in nS

2. ¿Qué cantidad de círculos se necesitas para formar 19 figuras?

Solución: Como 1912 =+= nynan , entonces la cantidad de círculos para construir la figura 19 es:

=+=+⋅= 138119219a

Luego, la cantidad de círculos necesaria para formar las primeras 19 figuras es:

=⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅= 2119

239319

219 191

19aaS

3. Si Sofía ocupó 168 círculos, ¿cuántas figuras formó?

Solución: Como los 168 círculos fueron utilizados para construir n figuras, se tiene:

( )[ ]

( )[ ]

[ ]

[ ]

( )[ ]

[ ]

( ) ( )

NnNnnn

nnordenandonn

nn

ndosimplificann

comúnfactorpordofactorizannn

nn

nn

tenemosdoreemplazandnanSn

/12/14

1214016820

21682168

222

168

""242

168

2262

168

21322

168

122

2

1

2

2

1

∈=

∉−=⇒

−+=

−+=

+=

+=

+=

+=

−+=

⋅−+⋅=

−+=

Las soluciones de la ecuación son 1214 21 =−= nyn . Sin embargo, como Nn /∈ , solo se

considera .2n Así, Sofía formó 12 figuras con los 168 círculos.

Fíjate que en este caso se van a sumar los 6 primeros términos de la sucesión (comenzando desde el primer término i=1 hasta el sexto término).

Actividades propuestas:

v Ejercicio 1: Calcula la suma de los primeros n términos de cada P.A. según la información dada:

a) 410,25 1 === dyan

b) 224,44 1 −=== dyan

v Ejercicio 2: Calcula la suma de todos los términos de laa P.A. entre naya1 .

a) 986 181 == aya

b) 9643 121 −=−= aya

c) 75,0 121 == aya

v Ejercicio 3: Calcula el término pedido según la información de la P.A. dada: a) ?¿,1445 12121 aSya ==

v Ejercicio 3: Resuelve el siguiente problema.

a) En una P.A., 3441 == naya . Si la suma de todos sus términos es 247, ¿Cuántos términos tiene la P.A.?

Espero que hayas entendido este nuevo tema dentro de las Progresiones Aritméticas. Recuerda que en la próxima guía estarán las soluciones de esta actividad. ¡cuídate mucho!

¡Éxito en todo!

¡AHORA TE TOCA HACERLO A TI!

Te invito a poner a prueba tus conocimientos…

Ø Revisa el siguiente video que te servirá de apoyo (en la suma de los n

primeros términos de una sucesión). Para ello debes ingresar a:

https://www.youtube.com/watch?v=urD4CVZnqOc

¡Saludos!