Solucionario CEG Guía Posiciones Relativas de Rectas y Planos en El Espacio OK 2015

1

SOLUCIONARIO Posiciones relativas de

rectas y planos en el

espacio

SG

UIC

EG

035

EM

32-A

15

V1

2

TABLA DE CORRECCIÓN

GUÍA PRÁCTICA

Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

Ítem Alternativa Habilidad

1 E Comprensión

2 A ASE

3 D ASE

4 D ASE

5 E Aplicación

6 A Aplicación

7 D Aplicación

8 B Aplicación

9 D ASE

10 B ASE

11 D Aplicación

12 C Aplicación

13 D Aplicación

14 B Aplicación

15 C Aplicación

16 C Aplicación

17 E ASE

18 E ASE

19 C ASE

20 B ASE

21 E Aplicación

22 E ASE

23 E Aplicación

24 A ASE

25 B ASE

3

1. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Geometría analítica

Habilidad Comprensión

A) Verdadera, ya que la medida de la diagonal de un cuadrado es igual a la medida del

lado multiplicado por la raíz de dos. Como el cubo tiene cada arista de 5 cm,

entonces la diagonal de cada cuadrado que lo forma mide 25 cm.

B) Verdadera, ya que todas las caras del cubo son cuadradas, por lo tanto los segmentos

EH y GH son perpendiculares.

C) Verdadera, ya que la diagonal de un cubo tiene una medida igual a la medida de la

arista multiplicada por raíz de tres. Luego, la diagonal de este cubo mide 35 cm.

D) Verdadera, ya que si estas dos segmentos se extendieran infinitamente, nunca se

intersectarían.

E) Falsa, ya que GH = 5 cm, BG = 25 cm y BH = 35 cm, es decir, el triángulo

BGH es escaleno.

2. La alternativa correcta es A.


Habilidad ASE

La medida de la diagonal del cubo es igual a la medida de la arista multiplicada por 3 .

Entonces CB = AB · 3 . Como DEAC (según el enunciado) y ABAC (por ser

un cubo) entonces AB // DE . Luego, es posible aplicar el teorema de Thales.

Según el teorema de Thales, Δ EDC Δ BAC. Luego, DE es homólogo con AB y

CE es homólogo con CB . Planteando la proporcionalidad de lados homólogos resulta:

CB

CE

AB

DE (Reemplazando)

3

6

ABAB

DE (Despejando DE )

DE = 3

6

AB

AB (Simplificando)

DE = 3

6 (Racionalizando)

4

DE = 3

3

3

6

DE = 3

36 (Simplificando)

DE = 2 3

Por lo tanto, DE mide 2 3 cm.

3. La alternativa correcta es D.


Habilidad ASE

La medida de la diagonal del cubo es igual a la medida de la arista multiplicada por 3 ,

entonces PS = QR = 4 3 cm.

Como dos diagonales del cubo siempre se dimidian, entonces

PA = AS = QA = AR = 2 3 cm.

Por lo tanto, el perímetro del triángulo PAQ mide

(PQ + PA + QA) = (4 + 2 3 + 2 3 ) = (4 + 4 3 ) cm.



Habilidad ASE

El área de un triángulo se calcula como el semiproducto de la

base por la altura. Si se traza la altura TC del triángulo, como

muestra la figura, la medida de esta coincide con la medida de la

diagonal BQ .

Como la medida de la diagonal de una cara es igual a la medida

de la arista multiplicada por 2 , entonces TC = BQ = 210 .

Por lo tanto, el área del triángulo ABC es 2

TCAB =

2

21010 =

2

2100 = 250

A

C

B

P Q

T

5



Habilidad Aplicación

Como la medida de la diagonal de un cubo es igual a la

medida de la arista multiplicada por raíz de tres, entonces

la arista de cada uno de estos cubos, que llamaremos a,

mide la longitud de la diagonal dividida por raíz de tres,

es decir: 323

36

3

6a

Llamaremos C y D a dos de los vértices de este paralelepípedo para definir el triángulo

ACD. Como las caras de un cubo son cuadrados congruentes, entonces el triángulo ACD

es rectángulo en C. Por lo tanto se cumple el teorema de Pitágoras, es decir:

222 ADCDAC

222 )32()34( AD

21248 AD

AD60

AD152

Por otra parte, el triángulo ADB es rectángulo en D, ya que las caras adyacentes de un

cubo son perpendiculares, Por lo tanto se cumple el teorema de Pitágoras, es decir:

222 ABBDAD 222 )32()152( AB

21260 AB

AB72

AB26




Sabemos que la medida de la diagonal de un cubo es igual a la medida de la arista

multiplicada por raíz de tres, entonces la arista de este cubo, que llamaremos m, tiene

por longitud la medida de la diagonal dividida por raíz de tres, es decir:

4163

48

3

48m

A

B

C

D

a a

a

a

6

Llamaremos P y Q a dos de los vértices de este paralelepípedo para definir el triángulo

MPQ. Como las caras de un cubo son cuadrados congruentes, entonces el triángulo

MPQ es rectángulo en Q. Por lo tanto se cumple el teorema de Pitágoras, es decir:222 PMQMPQ

222 24 PM

2416 PM

PM20

PM52

Por otra parte, el triángulo MNP es rectángulo en P, ya que las caras adyacentes de un

cubo son perpendiculares, Por lo tanto se cumple el teorema de Pitágoras, es decir: 222 MNPNPM

222 4)52( MN

21620 MN

MN36

MN6




Como el triángulo ABC está formado con las diagonales de tres

de las caras del cubo, entonces el triángulo ABC es equilátero,

ya que las caras de un cubo son cuadrados congruentes entre sí.

El área de un triángulo equilátero es igual a un cuarto del

cuadrado de la medida del lado, que llamaremos a, multiplicado

por raíz de tres, es decir:

4

32aA ABC (Sustituyendo)

4

339

2a (Multiplicando por 4, dividiendo por 3 )

236 a (Extrayendo raíz cuadrada)

a6

Como las diagonales de cada una de las caras mide 6, y la diagonal de un cuadrado es

igual a la medida del lado multiplicado por raíz de dos, entonces la medida de la arista

del cubo es igual a la medida de la diagonal de las caras divida por raíz de dos, es decir:

M

N

P Q

2

4

4

B

A

C

a

a

a

b

b

7

232

26

2

6b

Por último, la medida de la diagonal de un cubo es igual a la longitud de su arista

multiplicada por raíz de 3. En este caso: 63323

8. La alternativa correcta es B.



Como la medida de la diagonal de un cubo es igual a la medida de la arista por la raíz de

tres, entonces la medida de la arista de cada uno de estos cubos es igual a 6.

Si ubicamos la figura en un sistema de coordenadas en el espacio, entonces:

* R(12, 0, 0), ya que se encuentra sobre el eje X

* S(0, 6, 6), ya que se encuentra en el plano YZ.

222 )()()( RSRSRSRSzzyyxxd

222 )06()06()120( RS

d

3636144 RS

d

216RS

d

66RS

d



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que las caras adyacentes de un cubo son perpendiculares entre sí, por lo

tanto la diagonal de una cara siempre es perpendicular a uno de los lados de las

caras adyacentes a esta, es decir, el ángulo BDE es rectángulo.

II) Verdadera, ya que FC es diagonal de una de las caras de este cubo. Como las caras

son cuadrados, la diagonal de esta es bisectriz del ángulo recto, es decir que el

ángulo FCB mide 45º.

R

S

O 6

6

6

6

X

Y

Z

8

III) Verdadera, ya que al trazar el triángulo ACE, este estará formado por las diagonales

de tres de las caras del cubo, por lo tanto el triángulo ACE es equilátero. Luego el

ángulo CAE mide 60º.

Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.



Habilidad ASE

Cualquier punto (a, b, c) que pertenezca al plano 5x – 2y + 3z – 4 = 0 debe cumplir que

5a – 2b + 3c – 4 = 0.

Luego, reemplazando el punto (2m, – 3, 1 – m) resulta:

5·2m – 2·(– 3) + 3·(1 – m) – 4 = 0

10m + 6 + 3 – 3m – 4 = 0

7m + 5 = 0

7m = – 5

m = 7

5




Si Ax + By + Cz + D = 0, entonces, dividiendo la ecuación del plano por D resulta:

01 zD

Cy

D

Bx

D

A 1 z

D

Cy

D

Bx

D

A

Como el plano pasa por los puntos (2, 1, 1), (– 1, 4, 4) y (3, 2, – 4), debe cumplirse que:

1112 D

C

D

B

D

A ; 144)1(

D

C

D

B

D

A y 1)4(23

D

C

D

B

D

A

Al resolver el sistema de 3x3 que queda planteado resulta 3

1

D

A,

9

2

D

B y

9

1

D

C. Luego, la ecuación del plano es 01

9

1

9

2

3

1 zyx . Al multiplicar por

– 9, resulta 3x + 2y + z – 9 = 0.

9

12. La alternativa correcta es C.



A) Sí pertenece, ya que al evaluar el punto (4, – 12, – 2) en la ecuación del plano P:

3 · 4 + (– 12) – 4 · (– 2) – 8 = 12 – 12 + 8 – 8 = 0

B) Sí pertenece, ya que al evaluar el punto (– 3, 1, – 4) en la ecuación del plano P:

3 · (– 3) + 1 – 4 · (– 4) – 8 = – 9 + 1 + 16 – 8 = 0

C) NO pertenece, ya que al evaluar el punto (– 2, 10, 1) en la ecuación del plano P:

3 · (– 2) + 10 – 4 · 1 – 8 = – 6 + 10 + 4 – 8 = – 8

D) Sí pertenece, ya que al evaluar el punto (6, 2, 3) en la ecuación del plano P:

3 · 6 + 2 – 4 · 3 – 8 = 18 + 2 – 12 – 8 = 0

E) Sí pertenece, ya que al evaluar el punto (2, – 2, – 1) en la ecuación del plano P:

3 · 2 + (– 2) – 4 · (– 1) – 8 = 6 – 2 + 4 – 8 = 0




Como A(3, 4 + a, 7 – 3a) pertenece al plano P: 2x – 2y – 3z + 2 = 0, entonces:

2x – 2y – 3z + 2 = 0 (Sustituyendo)

2 · 3 – 2(4 + a) – 3(7 – 3a) + 2 = 0 (Distribuyendo)

6 – 8 – 2a – 21 + 9a + 2 = 0 (Reuniendo términos semejantes)

7a – 21 = 0 (Despejando)

7a = 21

a = 3

Luego, si la ordenada de A es (4 + a), entonces esta es igual a (4 + 3) = 7.

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Para determinar la ecuación de un plano, basta con conocer como mínimo tres puntos en

el espacio. Sabemos que el punto (5, 2, 3) pertenece al plano P, por lo que nos falta

conocer otros dos puntos que obtendremos a partir de la recta L

Como L pertenece al plano, entonces todos los puntos de esta recta están en este plano.

Tomaremos dos puntos: cuando λ sea cero y cuando λ sea uno.

λ = 0: (x, y, z) = (3, – 2, – 4) + 0(– 2, 6, 8) = (3, – 2, – 4) + (0, 0, 0) = (3, – 2, – 4)

λ = 1: (x, y, z) = (3, – 2, – 4) + 1(– 2, 6, 8) = (3, – 2, – 4) + (– 2, 6, 8) = (1, 4, 4)

Por lo tanto, los puntos (3, – 2, – 4) y (1, 4, 4) pertenecen a la recta L, es decir,

pertenecen al plano P. Luego, al evaluar en cada una de las ecuaciones, la única en la

que los tres puntos la satisfacen es x + 3y – 2z – 5 = 0, ya que al evaluar:

(5, 2, 3): 5 + 6 – 6 – 5 = 0

(3, – 2, – 4): 3 – 6 + 8 – 5 = 0

(1, 4, 4): 1 + 12 – 8 – 5 = 0

Por lo tanto, la respuesta es B) x + 3y – 2z – 5 = 0.




Teniendo tres puntos, podemos tomar uno de ellos (P0) y encontrar los vectores

directores que van desde este punto hacia los otros dos. Notemos que todas las

alternativas tienen como P0 al punto (3, − 2, 5) o (2, 5, 4)

Si P0 = (2, 5, 4):

(x, y, z) = (2, 5, 4) + λ(1 – 2, 3 – 5, – 2 – 4) + μ(3 – 2, – 2 – 5, 5 – 4)

(x, y, z) = (2, 5, 4) + λ(– 1, – 2, – 6) + μ(1, – 7, 1)

Si P0 = (3, − 2, 5):

(x, y, z) = (3, − 2, 5) + λ(2 – 3, 5 – (– 2), 4 − 5) + μ(1 – 3, 3 – (– 2), – 2 – 5)

(x, y, z) = (3, − 2, 5) + λ(− 1, 7, − 1) + μ(− 2, 5, − 7)

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Por lo tanto, solo la ecuación de la alternativa C) corresponde al plano que contiene

estos tres puntos




Para saber si una recta pertenece a un plano, basta con tomar dos puntos que

pertenezcan a la recta y comprobar que también pertenecen al plano

Tomemos dos puntos:

2,1,33

2

2

1

5

3

zyx

zyx. Es decir, (3, 1, 2) pertenece a la recta.

5,3,23

2

2

1

5

3

zyx

zyx. Es decir, (– 2, 3, 5) pertenece a la recta.

Como conocemos dos puntos por los que pasa la recta dada, entonces:

A) Sí contiene a la recta, ya que al sustituir:

(3, 1, 2) ⟺ 3 + 1 + 2 – 6 = 0

(– 2, 3, 5) ⟺ – 2 + 3 + 5 – 6 = 0

B) Sí contiene a la recta, ya que al sustituir:

(3, 1, 2) ⟺ 3 – 2 · 1 + 3 · 2 – 7 = 3 – 2 + 6 – 7 = 0

(– 2, 3, 5) ⟺ – 2 – 2 · 3 + 3 · 5 – 7 = – 2 – 6 + 15 – 7 = 0

C) NO contiene a la recta, ya que al sustituir:

(3, 1, 2) ⟺ 5 · 3 – 8 · 1 + 3 · 2 – 13 = 15 – 8 + 6 – 13 = 0

(– 2, 3, 5) ⟺ 5 · (– 2) – 8 · 3 + 3 · 5 – 13 = – 10 – 24 + 15 – 7 = – 32

D) Sí contiene a la recta, ya que al sustituir:

(3, 1, 2) ⟺ 2 · 3 + 11 · 1 – 4 · 2 – 9 = 6 + 11 – 8 – 9 = 0

(– 2, 3, 5) ⟺ 2 · (– 2) + 11 · 3 – 4 · 5 – 9 = – 4 + 33 – 20 – 9 = 0

E) Sí contiene a la recta, ya que al sustituir:

(3, 1, 2) ⟺ 3 · 3 + 6 · 1 + 2 – 17 = 9 + 6 + 2 – 17 = 0

(– 2, 3, 5) ⟺ 3 · (– 2) + 6 · 3 + 5 – 17 = – 6 + 18 + 5 – 17 = 0

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Habilidad ASE

Si un punto pertenece a un plano, entonces existe cierto λ y μ en los reales tal que dicho

punto satisface la ecuación vectorial. Luego:

I) Sí pertenece al plano, ya que si λ y μ son iguales a cero, entonces

(x, y, z) = (2, 1, 1) + 0·(3, − 2, 2) + 0·(1, − 1, 3) = (2, 1, 1)

II) Sí pertenece al plano, ya que existen dicho λ y μ en los reales que satisface.

Utilizaremos las ecuaciones paramétricas para comprobar.

3 = 2 + 3 · λ + μ ⟺ 3 λ + μ = 1

1 = 1 + (− 2) λ + (− 1)μ ⟺ 2 λ + μ = 0

Mediante sistemas de ecuaciones se sabe que λ es igual a 1 y μ es igual a – 2. Por

lo tanto, (x, y, z) = (2, 1, 1) + 1·(3, − 2, 2) + − 2·(1, − 1, 3) = (3, 1, − 3)

III) Sí pertenece al plano, ya que existen dicho λ y μ en los reales que satisface.

Utilizaremos las ecuaciones paramétricas para comprobar.

5 = 2 + 3 · λ + μ ⟺ 3 λ + μ = 3

0 = 1 + (− 2) λ + (− 1)μ ⟺ 2 λ + μ = 1

Mediante sistemas de ecuaciones se sabe que λ es igual a 2 y μ es igual a – 3.

Por lo tanto, (x, y, z) = (2, 1, 1) + 2·(3, − 2, 2) + − 3·(1, − 1, 3) = (5, 0, − 4)

Luego, los tres puntos pertenecen al plano P.



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que los puntos A y B difieren solo en la abscisa, de la misma forma que

los puntos C y D difieren solo en la ordenada, por lo cual su longitud es la diferencia

positiva entre ambas, que es 1 unidad. Entonces, AB = CD = 1.

II) Verdadera, ya que los puntos C y D tienen igual cota.

III) Verdadera, ya que los puntos C y B tienen igual abscisa e igual ordenada.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

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Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que los parámetros del plano P son el doble de los parámetros del

plano M, incluyendo el término independiente.

II) Verdadera, ya que los parámetros del plano P son el doble de los parámetros del

plano Q, exceptuando solo el término independiente.

III) Falsa, ya que al reemplazar el punto (3, 1, – 5) en la ecuación del plano NO se

verifica una identidad 2·3 + 6·1 – 4·(– 5) + 8 = 0 6 + 6 + 20 + 8 = 0 40 = 0

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.



Habilidad ASE

Para que dos planos sean paralelos se debe cumplir que cada uno de los coeficientes de

las variables de una de las ecuaciones sea proporcional a los coeficientes de la ecuación

del otro plano, pero sin que se cumpla esta proporcionalidad con el término libre de

variables. Luego:

I) Sí es paralelo a P, ya que 8, 16 y – 12 son el doble de 4, 8 y – 6, respectivamente,

sin cumplirse esta proporcionalidad al comparar 5 con – 3.

II) Sí es paralelo a P, ya que 2, 4 y – 3 son la mitad de 4, 8 y – 6, respectivamente, sin

cumplirse esta proporcionalidad al comparar – 3 con – 3.

III) No es paralelo a P, ya que al despejar la ecuación resulta 12x + 24y – 18z – 9 = 0.

Luego, 12, 24 y – 18 son el triple de 4, 8 y – 6, respectivamente, pero se cumple

también que – 9 es el triple de – 3, por lo que los planos son coincidentes.

Por lo tanto, solo I y II son paralelos a P.

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Como P es paralelo al plano x + 3y + 2z – 9 = 0, entonces se debe cumplir que B = 3,

C = 2 y D ≠ − 9. Luego, la ecuación del plano P es x + 3y + 2z – D = 0, con D ≠ − 9.

Sabemos además que el punto (3, 1, 4) se encuentra en el plano P, por lo tanto:

3 + 3·1 + 2·4 + D = 0 (Despejando D)

3 + 3 + 8 + D = 0

14 + D = 0

D = – 14



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que para comprobar que una recta pertenece a un plano, basta con tomar

dos puntos de esta recta y verificar que están también en el plano. Si λ es igual 0,

tenemos que el punto (3, 3, − 1) pertenece a la recta; si λ es igual a 1, entonces el

punto (5, 4, 1) también pertenece a la recta. Veamos si estos puntos satisfacen la

ecuación del plano 2x – 5y – 2z + 7 = 0

(3, 3, − 1): 2 · 3 – 5 · 3 – 2 · (− 1) + 7 = 6 – 15 + 2 + 7 = 0

(5, 4, 1): 2 · 5 – 5 · 4 – 2 · 1 + 7 = 10 – 20 – 2 + 7 = – 5

Por lo tanto, dicha recta no está contenida en el plano, ya que el punto (5, 4, 1)

satisface la ecuación de la recta, pero no a la del plano.

II) Verdadera, ya que 4, – 10 y – 4 son el doble de 2, – 5 y – 2, respectivamente, sin

cumplirse esta proporcionalidad al comparar – 14 con 7.

III) Verdadera, ya que dos planos son perpendiculares si la suma del producto de los

coeficientes de las variables respectivas es 0, es decir, A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0.

2 · 3 + – 5 · 2 + – 2 · – 5 = 6 – 10 + 4 = 0

Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.

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Dos planos son perpendiculares si la suma del producto de los coeficientes las variables

respectivas es cero, es decir, A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0. Luego:

A) Sí es perpendicular, ya que 3 · 1 + 3 · 1 – 2 · 3 = 3 + 3 – 6 = 0

B) Sí es perpendicular, ya que 3 · 1 + 3 · 3 – 2 · 6 = 3 + 9 – 12 = 0

C) Sí es perpendicular, ya que 3 · 2 + 3 · (– 4) – 2 · (– 3) = 6 – 12 + 6 = 0

D) Sí es perpendicular, ya que 3 · 2 + 3 · 4 – 2 · 9 = 6 + 12 – 18 = 0

E) NO es perpendicular, ya que 3 · 3 + 3 · (– 1) – 2 · 4 = 9 – 3 – 8 = – 2



Habilidad ASE

(1) El cuadrilátero PQRS es paralelo con la cara ABCD. Con esta información, se puede

afirmar que PQRS es un cuadrado, ya que implica que los cuatro lados del

cuadrilátero PQRS son congruentes y perpendiculares entre sí, al igual que los cuatro

lados del cuadrado ABCD.

(2) El cuadrilátero ABQP es congruente con el cuadrilátero DCRS. Con esta

información, no se puede afirmar que PQRS es un cuadrado, ya que no

necesariamente implica que ABQP y DCRS sean rectángulos, y si no lo son los

segmentos PQ y QR podrían tener distinta medida.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

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Habilidad ASE

(1) El punto (4, 0, – 1) pertenece a P. Con esta información, no se puede determinar el

valor numérico de (a + b + c), ya que al reemplazar dicho punto en la ecuación del

plano resulta x – ay + bz + c = 0 4 – a·0 + b·(– 1) + c = 4 – b + c = 0, con lo cual

se puede despejar que b – c = 4, pero no se puede determinar (a + b + c).

(2) El punto (3, – 1, 1) pertenece a P. Con esta información, Se puede determinar el

valor numérico de (a + b + c), ya que al reemplazar dicho punto en la ecuación del

plano resulta x – ay + bz + c = 0 3 – a·(– 1) + b·1 + c = 3 + a + b + c = 0, con lo

cual se puede despejar que a + b + c = – 3.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

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