7/29/2019 Solucin Taller 1 Primer parcial II Trmino 2012

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Anlisis Numrico Ayudante: Julio Ruano

Encuentre una funcin g y un intervalo [a, b]que asegure la convergencia de la iteracin de punto fijo

para la ecuacin

La grfica de f(x) es aproximadamente:

De la grfica se obtiene que existir cuatro soluciones

posibles al problema, las cuales son simtricas por la

particularidad de tener una funcin par, adems las

mismas se encuentran cerca de los valores 2 y 3.

Se construye la funcin g(x):

Se analiza la convergencia de la misma, su derivada est dada por:

La derivada no cumple la condicin de estar acotada, .

Por lo tanto el mtodo del algoritmo de punto fijo diverge para esta funcin escogida, siendo el mtodo

de Newton un caso particular del mtodo del punto fijo se puede resolver el problema mediante el

mismo.

Regresando a la funcin original, hallamos su derivada para poder analizarla con el mtodo de Newton.

Estas expresiones son las siguientes:

El algoritmo de Newton tiene la forma:

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Anlisis Numrico Ayudante: Julio Ruano

Por lo que para este caso particular, el algoritmo a usar es:

Escogiendo aplicarlo para la raz cercana a 2, usamos el intervalo [1.5 ; 2.5]. Por el teorema del valor

intermedio al cambiar el signo de la funcin en el intervalo, podemos asegurar que existe por lo menos

una raz en el mismo.

Finalmente escogemos como y hacemos iterar al mtodo:

n Xn Xn+1 tolerancia

0 1.7 1.945763624 2.46E-01

1 1.945763624 1.968590121 2.28E-02

2 1.968590121 1.968872893 2.83E-04

3 1.968872893 1.968872938 4.45E-08

En la tercera iteracin se observa una tolerancia lo bastante baja como para considerar que el mtodo

ha convergido, anlogamente se puede escoger un intervalo para las dems races.

Con puntos adecuados para la dems races se presentan las otras respuestas posibles para el problema,

en cada caso elX0 corresponde al valor escogido como aproximacin inicial:

n Xn Xn+1 tolerancia

0 -1.7 -1.94576362 2.46E-01

1 -1.94576362 -1.96859012 2.28E-02

2 -1.96859012 -1.96887289 2.83E-04

3 -1.96887289 -1.96887294 4.45E-08

n Xn Xn+1 tolerancia

0 3 3.196113359 1.96E-01

1 3.196113359 3.162958677 3.32E-02

2 3.162958677 3.161950958 1.01E-03

3 3.161950958 3.161950025 9.33E-07

n Xn Xn+1 tolerancia

0 -3 -3.19611336 1.96E-01

1 -3.19611336 -3.16295868 3.32E-02

2 -3.16295868 -3.16195096 1.01E-03

3 -3.16195096 -3.16195002 9.33E-07

Rubrica utilizada para la calificacin:

Probar convergencia de funcin g(x) 2 puntos

Analizar intervalo de solucin 2 puntos

Generar algoritmo y generar iteraciones 3 puntos

Llegar a respuesta correcta 1 punto