8/19/2019 Solucion Parcial Laplace 2

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Solución del examen de ED - TL

1. Resuelva el problema de valor inicial

ty′′ − ty′ + y  = 2, y(0) = 2, y′(0) = −1.

Solución.

Observe que

L

ty′′

 =  −  ddsL

y′′

 =  −  dds

s2Y  − 2s + 1

 =  −2sY  − s2Y   ′ + 2

y

L

ty′

 =  − d

dsL

y′

 =  − d

ds [sY  − 2] = −Y  − sY   ′.

Por lo anterior, al aplicar transformada de Laplace al pvi se obtiene

−2sY  − s2Y   ′ + 2

−−Y  − sY   ′

+ Y   =

 2

s.

Esta ecuación es equivalente a

s − s

2Y 

  ′

+ (2 − 2s) Y   = 2

s  − 2,

una ecuación diferencial lineal de primer orden, que se puede resolver facilmente

Y   ′ + 2

sY   =

  2 − 2s

s2 (1 − s) =⇒ s2Y   ′ + 2sY   = 2 =⇒ Y   =

 2

s +

  c

s2.

Aplicando transformada de Laplace inversa se obtiene   y (t) = 2 + ct. Utilizando las condicionesiniciales, se tiene que c  =  −1; luego la solución del pvi es

y (t) = 2 − t.

2. La ecuación diferencial

x′′ + 4x = 3 U (t − 5) sen(t − 5), x(0) = 1, x′(0) = 0,

modela el movimiento de un resorte. Encuentre la solución de dicha ecuación.

Solución.

Utilizando la transformada de Laplace se obtiene

s2X  − s + 4X  =  3e−5s

s2 + 1.

Despejando X  se obtiene

X  =  s

s2

+ 4 +

  3e−5s

(s2

+ 1) (s2

+ 4),

después de aplicar fracciones parciales se tiene que X  se puede escribir como

X  =  s

s2 + 4 +

  e−5s

s2 + 1 −

  e−5s

s2 + 4.

Utilizando la transformada de Laplace inversa se obtiene

x (t) = cos 2t + U (t − 5) sen t − 1

2 U (t − 5)sen2t.

Ecuaciones diferenciales Material de ap oyo y complementación GAD-UIS-PS2013–1

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3.   a ) Resuelva la ecuación integrodiferencial

x′(t) + 5

   t

0

cos 2(t − u)x(u) du = 10, x(0) = 2.

Solución.

Aplicando TL a la ecuación se obtiene

sX  − 2 + 5  sX 

s2 + 4 =

 10

s  ,

al despejar X  se tiene

s

s2 + 4

+ 5s

s2 + 4  X  =

 10

s  + 2 =⇒ X  =

 10

s2 + 4

s2 (s2 + 9)  +

 2

s2 + 4

s (s2 + 9).

Pero por el método de fracciones parciales se tiene que

X  =  8

9s +

  40

9s2 +

 10

9

s

s2 + 9 +

 50

9

1

s2 + 9.

Utilizando la transformada de Laplace inversa se obtiene

L−1  89s

 +  40

9s2 +

 10

9

s

s2 + 9 +

 50

9

1

s2 + 9 =  8

9 +

 40

9  t +

 10

9  cos3t +

 50

27 sen3t.

b ) Halle la trasformada de Laplace de la función periódica onda triangular que se muestra a con-tinuación.

1

1 2 3 4 5 6

x =  f (t)

t

x(t)

Solución.La función periódica se puede describir como sigue

f  (t) =

t,   0 ≤  t

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4. Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo:

dx

dt  = x − y + et

dy

dt  = 2x + 3y + e−t

x(0) = 1, y(0) = 0.

Solución.

Usando transformada de Laplace, se tiene

sX  − 1 =   X  − Y   +  1

s − 1,

sY    = 2X  + 3Y   +  1

s + 1.

Este sistema puede reescribirse como

(s − 1) X  +  Y   =  s

s − 1,

−2X  + (s − 3) Y   =

  1

s + 1 ,

de donde se obtiene que

X    =  s2 − 3s − 1

(s + 1)

(s − 2)2 + 1  =   A1

s + 1 +

 A2 (s− 2) + A3

(s − 2)2 + 1,

Y    =  3s − 1

(s + 1)

(s − 2)2 + 1  =   B1

s + 1 +

 B2 (s − 2) + B3

(s − 2)2 + 1.

Usando las técnicas de fracciones parciales se obtiene

A1 =   310

, A2 =   710

, A3 = −1110

, B1 =  −25

, B2 =  25

  y   B3 =  95

.

Es decir,

X    =  1

10

  3

s + 1 +

 7 (s − 2) − 11

(s − 2)2 + 1

,

Y    =  1

5

  −2

s + 1 +

 2 (s − 2) + 9

(s − 2)2 + 1

.

Utilizando transformada de Laplace inversa se obtiene

x   =   110

3e−t + e2t (7cos t − 11 sen t)

,

y   =  1

5

−2e−t + e2t (2cos t + 9 sen t)

.

Ecuaciones diferenciales Material de ap oyo y complementación GAD-UIS-PS2013–3