MÉTODOS CERRADOS

MÉTODOS NUMÉRICOS

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES

MÉTODOS CERRADOS

Explotan el hecho de que una función normalmente cambia de signo en la vecindad de una raíz. La efectividad de estos métodos se basan en el teorema de Bolzano, el cual indica lo siguiente:

"Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b], y f(a)f(b)<0, es decir, el signo de f(a) es distinto a f(b), entonces existe por lo menos un valor c que pertenece al intervalo abierto (a, b) tal que f( c )=0”

MÉTODOS CERRADOS

El teorema de Bolzano es realmente un caso particular de un teorema más general , llamado Teorema del Valor Intermedio:

“Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea k cualquier valor entre f(a) y f(b), entonces existe por lo menos y un número c en (a,b) tal que f(c )=k”

Esto garantiza que si se elige una estrategia iterativa que reduzca sistemáticamente un intervalo en donde una función continua , f, cambie de signo, entonces este proceso convergerá a un valor c, en donde f( c)=0.

MÉTODOS CERRADOS

Con base en lo anterior se pueden establecer las condiciones

que garantizan que un método cerrado convergerá:

1. La función f, que aparece en la ecuación f(x)=0, debe ser

continua en el intervalo inicial de iteración, [xl, xu]

2. La función f, debe cambiar de signo en este intervalo, es

decir f(xl)*f(xu)<0.

MÉTODOS CERRADOS

Si no se cumplen estas dos condiciones al tiempo, se presentan casos como los siguientes:

En este caso la función cambia de signo, en el intervalo elegido, [-1,3], pero no es continua, por lo tanto, el cambio de signo no es garantía de la existencia de una raíz.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2 3 4

xl xu

Gráfica de

f(xl)>0

f(xu)<0

A pesar de que de que la función cambia de signo en el

intervalo [-1,2], es decir f(-1)*f(2)<0, no existe una raíz. En

este caso f no es continua en [-1,2]

11

1)(

xxf

MÉTODOS CERRADOS

En este caso, la función es continua en el intervalo [-0.5, 3], pero, f(0.5)*f(3)>0, es decir la función no cambia de signo en los extremos del intervalo. En este caso el análisis gráfico permite establecer que la función en cuestión no posee una raíz en el intervalo considerado. Una análisis más profundo permitirá determinar que esta función tiene dos raíces que no son reales sino complejas.

0

1

2

3

4

5

6

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5xl=-0.5 xu=3

Gráfica de la función f(x)=(x-1)2+1, en el intervalo [-1,3], para ilustrar casos en los que no hay garantía de convergencia de los métodos cerrados

y

x

f(3)>0

f(-0.5)>0

MÉTODOS CERRADOS

En este caso, la función es continua en el intervalo [-0.5, 3], pero, f(0.5)*f(3)>0, es decir, igual que para el caso anterior, la función no cambia de signo en los extremos del intervalo. En este caso el análisis gráfico permite establecer que la función en cuestión posee una raíz en el intervalo considerado, en x=1. Una análisis más profundo permitirá determinar que esta es una raíz de multiplicidad 2.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5xl=-0.5 xu=3

Gráfica de la función f(x)=(x-1)2, en el intervalo [-1,3], para ilustrar casos en los que

no hay garantía de convergencia de los métodos iterativos cerrados

y

x

RAIZ 1

f(-0.5)>0

f(3)>0

MÉTODOS CERRADOS

En este caso, la función es continua en el intervalo [-0.5, 3], pero, f(0.5)*f(3)>0, es decir, igual que para los dos casos anteriores, la función no cambia de signo en los extremos del intervalo. En este caso el análisis gráfico permite establecer que la función en cuestión posee dos raíces en el intervalo considerado, en x=0 y x=2. Aquí se podría utilizar un método iterativo cerrado eligiendo intervalos apropiados para cada raíz. -1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5xl=-0.5 xu=3

Gráfica de la función f(x)=(x-1)2-1, en el intervalo [-1,3], para ilustrar casos en los que no hay garantía de convergencia de los métodos iterativos cerrados

y

x

RAIZ 1 RAIZ 2

f(3)>0

f(-0.5)>0

MÉTODOS CERRADOS Tal como lo indica el teorema del Bolzano, el hecho de que la función continua cambie de signo en un intervalo, indica que posee por lo menos una raíz en él, es decir que puede haber más de una raíz en un intervalo [xl, xu],en donde f(xl)*f(xu)<0, tal como se ilustra a continuación En este caso, la función es continua en el intervalo [-2, 5] y f(-2)*f(5)<0, es decir, la función cambia de signo en los extremos del intervalo. En este caso el análisis gráfico permite establecer que la función en cuestión posee tres raíces en el intervalo considerado, en x=-1, x=2 y x=4. Al aplicar un método iterativo cerrado se deberán identificar intervalos apropiados para cada raíz

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7xl=-2 xu=5

Gráfica de la función f(x)=x3-5x2+2x+8, en el intervalo [-2,6].

y

x

RAIZ 1

RAIZ 2

RAIZ 3

f(5)>0

f(-2)<0

MÉTODOS CERRADOS

En este caso, al igual que para el caso anterior, la función es continua en el intervalo [-2, 5] y f(-2)*f(5)<0, es decir, la función cambia de signo en los extremos del intervalo. En este caso el análisis gráfico permite establecer que la función en cuestión posee dos raíces en el intervalo considerado, en x=-1, x=4. La raíz en x=4 es una raíz de multiplicidad 2

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

xl=-2

xu=5

Gráfica de la función f(x)=x3-7x2+8x+16, en el intervalo [-2,6].

y

x

RAIZ 1 RAIZ 2

f(-2)<0

f(5)>0

MÉTODOS CERRADOS

Los métodos cerrados que se verán en este curso son:

• Método de Bisección

• Método de Regla Falsa

El método gráfico, sirven como soporte para proveer una comprensión visual de las técnicas numéricas iterativas y aportar elementos para elegir los intervalos adecuados de iteración.