MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 1 MTODO DE LAS SERIES DE TAYLOR PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALESProfesor: Jos Albeiro Snchez Cano Departamento de Ciencias Bsicas Universidad EAFIT. Medelln-Colombia josanche@eafit.edu.co Objetivo:AplicarelmtododeTaylorpararesolverecuacionesdiferenciales, quecomosevereslamismasolucinqueproporcionalasolucinenseries depotencias(odecoeficientesindeterminados).Estoes,silasolucinen seriesdepotenciasarrojalasolucinenunaformulacerrada,setendr entonces que lasolucin dada por los polinomios de Taylor tambin entregar dicha solucin en forma cerrada. Por lo tanto, en el caso de solucin en puntos ordinarios, debera de ensearse elmtodo dedesarrollode Taylor,puesvieneasermuchomscmodopara un estudiante de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solucin medianteseriesdepotencias,elacomododelosndicesdelasumatoria siempreesunpococonfusoparaellos.Sinembargoambosmtodossonen esencia los mismos.Veamos en que consiste cada mtodo. ElmtododelasseriesdeTaylor para obtener soluciones numricas de las ecuacionesdiferenciales,consisteencalcularlasderivadassucesivasdela ecuacindiferencialdada,evaluandolasderivadasenelpuntoinicial 0xy reemplazandoelresultadoenla seriedeTaylor.Laprincipaldificultadde este mtodo es el clculo recurrente de las derivadas de orden superior. Elmtododelasseriesdepotenciasocoeficientesindeterminados consiste en suponer una solucin en la forma P S x x a x ynnn.00 == . Esta ecuacin se deriva tantas veces como sea necesario para obtener expresiones enseriedetodaslasderivadasqueaparecenenlaecuacindiferencialyse MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 2 reemplazanenlaecuacindiferencialdadaparaobtenerloscoeficientes.naLadificultaddeestemtodoeslamanipulacindelasseriesquesepuedan necesitar y la obtencin de los coeficientes de las series. Perolosmtodossonesencialmentelosmismos.Enefecto,loscoeficientes que aparecen en la serie de potencias,na ylos coeficientes en el mtodo de Taylor , !0nx yn vienenrelacionados por la formula !0nx yann=. La solucin por el mtodo de Taylor viene dada por = =000. .!) (nnT S x xnx yx y

Enellibrodeecuacionesdiferenciales[1] 1 utilizanambosmtodospara resolver el siguiente problema de valor inicial: Ejemplo 1. Resolver el problema de valor inicial 1 . 1 1 ) 0 ( ,2= =

y edxdyx Solucin. Observar que la solucin de (1.1) se puede escribir como . 102dt e x yxt

+ = Yaquenohayfuncioneselementalesparacalcularlaintegralanterior,porlo tantonosepodraescribirlasolucinenformacerradayporconsiguiente tendramos que conformarnos con alguna aproximacin numrica. ApliquemosinicialmenteelmtododeTaylor.Paraestodebemoscalcular las derivadas sucesivas y evalundolas en0 = xpara obtener:

12 0 ; 12 48 160 0 ; 12 82 0 ; 2 40 0 ; 222222 432= +== += = ' ' '= ' ' '= ' '= ' '

v x viv x ivxxy e x x x yy e x x x yy e x x yy xe x y

1 1[1] Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Un enfoque al clculo numrico. Charles E. Roberts Jr., MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 3 Notandoque 1 0 ) 0 (0= = y yy1 ) 0 ( = ' yyreemplazandoenlaecuacin(S.T) se obtiene la solucin 2 . 110 31 ) (5 3.++ =x xx x yAhorasupongamosquelaecuacin(1.1)tieneunasolucinenseriede potencias 3 . 1 .0nnnx a x y== haciendo 0 = x enlaecuacin(1.3)eimponiendolacondicininicialseob-tiene 01 ) 0 ( a y = = . Diferenciando la ecuacin (1.3), obtenemos 4 . 1 . 10111nnnnnnx a n x na x y =+

=+ = = ' Ya que ==0! /nn xn x e , 5 . 1!1022=

=nn nxnxeReemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos

.!10211 =

=

= = 'nn nnnnnxx na x y o en forma equivalente . . + + += + + + + +6 21 5 4 3 26 42 453423 2 1x xx x a x a x a x a a Igualando los coeficientes de potencias iguales, encontramos. , 0 ,101, 0 ,31, 0 , 16 5 4 3 2 1= = == = = a a a a a a En general, se tiene

. , 3 , 2 , 1! 1 1 2101 21 22=

==

nn naannn MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 4 Deacuerdoconloanterior,setienequelasolucinenseriesdepotencias viene dada por =++

+ =01 2! 1 211 ) (nn nn nxx y La serie converge para todo xreal. (criterio de la razn). Segn el autor, debe ser obvio que es ms fcil obtener valores adicionales de los coeficientes de la serie utilizando el mtodo de los coeficientes indetermina-dos, que utilizando el mtodo de las series de Taylor. En consecuencia, dice el autor,usualmenteseemplearelmtododeloscoeficientesindeterminados, descartando entonces el mtodo de las series de Taylor. Pero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el mtodo de series de Taylor, tenemos ! 3! 666 * 12120 0 ; 64 480 720 1200 0 ; 32 160 120! 2! 422 * 1212 0 ; 12 48 160 0 ; 12 8! 1! 22 0 ; 2 40 0 ; 22222226 4 25 32 432 === ++==+== = = +== += == ' ' '= ' ' '= ' '= ' '

vii x viivi x viv x viv x ivxxy e x x x x yy e x x x x yy e x x x yy e x x x yy e x x yy xe x y Se observa la siguiente ley de formacin: . , 3 , 2 , 1! 1! 1 21, 01 1 22=

== nnnyyn nn En consecuencia, se tiene los coeficientes . , 3 , 2 , 1! 1 ! 1 2! 1 21! 1 2, 0! 211 21 222=

=

== =

nn nnnyanyannnnn MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 5 O bien,

! 1 ! 1 211! 1 ! 2 2 1 2! 2 21! 1 ! 1 2! 1 21, 011 11 22 =

=

==

n nn n nnn nnaann nnn Nuevamentese obtiene la solucin encontrada por series de potencias: .! 1 211 ) (01 2=++

+ =nn nn nxx y En conclusin, el ejemplo para mostrar que el mtodo de la series de Taylor no produce la misma calidad de las soluciones, no es vlido. Es ms, el autor dice queelmtododeTaylorseadaptafcilmenteaproblemasdevalorinicial,lo cual,comoveremosmsadelante,elmtodofuncionasiloquesequiere resolveresunaecuacindiferencialsincondicionesiniciales,conlamisma calidad de las soluciones que el mtodo de las series de potencias. 1.Solucin en series de Tayloralrededor de un punto ordinario Las ecuaciones diferenciales homogneas lineales de segundo orden de la forma 1 , 02 1220= + + y x Pdxdyx Pdxy dx Pdonde 1 0, P P

y 2Psonpolinomios.Dichasecuacionesaparecenenmuchas aplicaciones fsicas. Algunos ejemplos de estas ecuaciones son: MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 6 Ecuacin de Legendre: 2 2 , 0 1 2 1222= + + ydxdyxdxy dx E EEcuacin de Airy:3 , 022=xydxy d Ecuacin de Chebyshev: 4 , 0 12222= + ydxdyxdxy dx E Ecuacin de Hermite: 5 , 0 2 222= +ydxdyxdxy dE Lasolucindeesasecuaciones,engeneral,nopuedenexpresarseen trminosdefuncioneselementalesfamiliares.Porlocualutilizaremoslos polinomios de Taylor. Definicin (puntoordinario) Supongamos que 1 0, P P

y 2P no tienen factores comunes.Decimos que 0xes un puntoordinario de (1)si00 0{ x P, o es un punto singularsi00 0= x P . ParalaecuacindeLegendre(2),10 = x y10 = xsonpuntossingularesy todos los otros puntos son puntos ordinarios. Para la ecuacin de Airy (3), todo punto es ordinario. Necesitaremos el prximo teorema. Teorema (existencia de soluciones en series de Taylor)Si0x x =es un punto ordinario de la ecuacin diferencial 02 1= + ' + ' ' y x P y x P x y

MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 7 Se pueden encontrar siempre dos soluciones linealmente independientes en la forma de series de Taylor centradas en 0x x =

= =00!0nnx xnyx y Una solucin en series de Taylor converge al menos paraR x x0, donde R es la distancia de 0xal punto singular ms cercano (real o complejo), en tal ca-so se dice que la solucin x yes una solucin alrededor del punto ordinario0x Problema: Encontrar las soluciones en serie de potencias en 0x x para ecuaciones de la forma6 . 0 102220= +++ ydxdyx xdxy dx x K F E Muchasecuacionesimportantesqueaparecenenaplicacionessondeesta forma con00 = x , incluso la ecuacin de Legendre (2) , la ecuacin de Ayry (3), la ecuacin de Chebyshev (3), y la ecuacin de Hermite (5 ). En el ejemplo siguiente se dar la solucin en series de Taylor para la ecuacin (6), la cual la haremos,sin prdida de generalidad para el caso00 = x . Elejemploresultarilustrativo,yaquemostrarcomotrabajarentodoslos casos. Ejemplo 2. Encuentre la serie de potencias en x para la solucin general de1 . 2 0 1222= + + + ydxdyxdxy dx K F E Solucin: Buscamos la solucin general de la forma MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 8 2 . 20nnnx a x y==donde

- , 1 , 0 ,!0= = nnyanny 1 1 0 00 , 0 c y a c y a = ' = = = . Para encontrar el coeficiente 2a, hacemos0 = xen (2.1) y reemplazamos los valores de : ,1 1 0 0c a c a = =esto es,

0) 0 ( 0 0 ) 0 ( 0 c y y y y K K K== ' ' = + ' 'luego se tiene que

.! 2 ! 200 2cyaK =' '=Ahoraparaobtenerloscoeficientes- , 4 , 3 , = i ai,deberemosderivar implcitamenteconrespectoaxlaecuacin(2.1)nveces,ysustituirlos valores encontrados de los ia anteriores.Al derivar la ecuacin (2.1) implcitamente con respecto a x, se obtiene: 3 . 2 0 2 122332= + + + + +dxdydxy dxdxy dx K F F E EHaciendo0 = xy reemplazando los valores de 0 , 0 , 0 y y y ' ' 'en (3) se tiene: 1) 0 ( 0 0 ) 0 ( 0 c y y y y K F K F K F += ' += ' ' ' = ' + + ' ' 'Luego se encuentra que

.! 3 ! 301 3cyaK F + =' ' '=Obtengamos ahora ,4apara lo cual derivamos implcitamente con respecto a x la ecuacin (2.3): 0 2 2 1 222332244233= + + + + + + + +dxy ddxy dxdxy ddxy dxdxy dx K F F E F E E Eo bien, organizando: 4 . 2 0 2 2 4 12233442= + + + + + +dxy ddxy dxdxy dx K F E F E E MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 9 Haciendo0 = xy reemplazando los valores de0 , 0 , 0 , 0 y y y y ' ' ' ' ' 'en (2.4) se tiene:

02 2 ) 0 ( 2 2 0 0 ) 0 ( 2 2 0 c y y y yivK F E K K F E K F E + + = ' ' + += ' ' ' = ' ' + + +Luego se encuentra que

.! 42 2! 400 4cyaivK F E K + + = =Continuandoel proceso, se obtiene la frmula siguiente:

5 . 2 , 2 , 1 , 0 , ) 0 ( 1 02- = + + =+n y n n n yn nK F E Llamando- , 2 , 1 , 0 , 1 = + += n n n n n P K F ESe tiene lo siguiente:

nnnnnan nn Pnyn nn Pynn Pnya) 1 )( 2 ( !) 0 () 1 )( 2 () 0 (! ) 2 ( ! 2022+ + =+ + =+ =+=++

Obtenemos la frmula recursiva de los coeficientes- , 2 , 1 , 0 , = i ai

6 . 2 , 1 , 0 ,1 22- =+ + =+n an nn Pan n La frmula (2.6)coincide con la frmula dada en [1] . As, la solucin general de (2.1) es dada por | |=+

==

=+|

++|

=01 210102100! 1 21 2 1! 22 1 ) (kkkikkkkikkxi P ckxi P c x yEjercicio. Ejemplo 3. Encuentre la serie en series de potencias en x para la solucin general de1 . 3 . 0 2 6 2 1222= + + + ydxdyxdxy dx Solucin: La ecuacin tiene la forma de (3.1), reconocemos 6 , 2 = = F E y2 = K . MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 10 Por un lado encontremos el polinomio) (n P :

21 2 2 6 1 2 + = + += n n n n n P Utilizando la formula recursiva (2.6) , se tiene . , 1 , 0 ,2) 1 (2,,21 10 0=++ ===+n annac ac an n Determinemos los coeficientes de potencias pares de x:

0 0 6 80 0 4 60 0 2 40 0 24 . 3 . 2 . 17 . 5 . 3 . 13 . 2 . 15 . 3 . 147872,3 . 2 . 15 . 3 . 12 . 13 . 135652,2 . 13 . 11123432,11212c c a ac c a ac c a ac a a= '+

'

'+

'

= '+

'

= = '+

'

'+

'

= '+

'

== '+

'

'+

'

= '+

'

= = '+

'

= Observando la ley de formacin de los coeficientes, se tiene en general, ) 2 . 3 ( . , 1 , 0 ,!1 21012. =

=|=k ckiakikk Ahora determinemos los coeficientes de las potencias impares de x:

.9 . 7 . 5 . 34 . 3 . 2 . 147 . 5 . 33 . 2 . 14944982,7 . 5 . 33 . 2 . 145 . 32 . 14734762,5 . 32 . 14314524542,31432214137 9131 125 7121 3 51 1 3c c a ac c c a ac c a ac a a= '+

'

'+

'

= '+

'

= = '+

'

'+

'

= '+

'

=='+

'

'+

'

'+

'

='+

'

='+

'

= '+

'

= En general, ) 3 . 3 ( . , 1 , 0 ,1 2! 41111 2. =+ =|=+k cikakikkk MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 11 A partir de (8) y (9) vemos que ||=+===+ +

=01 21102 101 2! 41!1 21 ) (kkkikkkkkikxikc xkic x y es la solucin usando polinomios de Taylor (observar que es lo mismo de la serie de potencias)en x para la solucin general de (3.1). Ya202 1 x x P + = noseanulaenlosreales,luegolasolucinestdefinidaen todoR.Sinembargo, 0 2 120= + = x x P en2 i x s = estoimplicaquelas solucionesdadaporelmtododeTaylorconvergeenelintervalo , 2 1 , 2 1. Esto ocurre, ya que2 1 = pes la distancia del punto00= xa2 i x s =en el plano complejo). El siguiente ejemplo muestra que, en muchos casos hay que conformarnos con encontrar un nmero finito de trminos, ya que no se tiene una formula cerrada para los coeficientes de las soluciones en series de potencia. Ejemplo 4. Resolver el problema de valor inicial mediante series de potencias 3 0 , 2 ) 0 ( , 0 8 10 2 1222 = ' = = + + + y y ydxdyxdxy dx Solucin: MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 12 La ecuacin tiene la forma de (1), reconocemos 10 , 2 = = F E y8 = Ky las condiciones iniciales: 3 0 , 2 01 0 = ' = = = y a y a

Por un lado encontremos el polinomio) (n P :

22 2 8 10 1 2 + = + += n n n n n PEn vez de utilizar la formula recursiva (6), para obtener los coeficientes - , 4 , 3 , 2 , = i ai, podemos utilizar la formula (5): - , 2 , 1 , 0 , ) 0 ( 2 2 02 2= +=+n y n yn n Encontremos los primeros trminos. Para : 0 = n

8! 2016 ) 2 ( 8 ) 0 ( 8 02 =' '= === ' 'ya y y Para : 1 = n

9! 3054 ) 3 ( 18 ) 0 ( 18 03=' ' '= = = '= ' ' 'ya y y Para : 2 = n

364! 40512 ) 16 ( 32 ) 0 ( 044= = = = ' '=ya y yiv Para : 3 = n

245! 502700 ) 54 ( 50 ) 0 ( 05 = = == ' ' '=vvya y y Luego la solucin del P.V.Iviene dada por

.210552562453649 8 3 27 6 5 4 3 2443322 1 00..+ + + + =+ + + + + ===x x x x x x xx a x a x a x a ax a x ynnn Ms generalmente, sea00{ xun punto ordinario. Por lo tanto la solucion por los polinomios de Taylor ser de la forma MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 13 .00nnnx x a x y== donde - , 1 , 0 ,!0= = nnx yann Es la solucin de* . 0 102220= +++ ydxdyx xdxy dx x K F E Se puede demostrar - , 2 , 1 , 0 , ) ( 10 02= + + =+n x y n n n x yn nK F E Ejemplo 5. Determinar mediante los polinomios de Taylor la solucin general de la ecuacin diferencial 1 . 5 . 0 12 1 12 2 4 2222= + ydxdyxdxy dx x Solucin Lo primero que hay que hacer, es escribir el polinomio202 4 2 x x x P+ =En potencias de . 1x Ahora2 201 2 4 2 4 2 =+ = x x x x P As, la ecuacin (5.1) queda: 0 12 1 12 1 2 4222=ydxdyxdxy dx o bien, en la forma (*): 0 3 1 3 1211222='+

'

ydxdyxdxy dx Reconocemos3 ,21 == F E y3= K . Se tiene entonces el polinomio) (n P : MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 14

- , 2 , 1 , 0 ,23 23 3 121=+ + = = nn nn n n n P En vez de utilizar la formula recursiva (6), para obtener los coeficientes - , 4 , 3 , 2 , = i ai, podemos utilizar la formula (5):

- , 2 , 1 , 0 , ) 1 (23 212=+ +=+n yn nyn n Encontremos los primeros trminos. Para : 0 = n

0 2 023! 213 ) 1 ( 3 1 cya c y y =' '= = = ' ' Para : 1 = n

1 3 1! 316 ) 1 ( 6 1 cya c y y =' ' '= = ' = ' ' ' Para : 2 = n

044 045! 4130 ) 1 ( 10 1 cya c y yiv= = = ' ' = Para : 3 = n

1 5 143! 5190 ) 1 ( 15 1 cya c y yvv= = = ' ' ' = Luego la solucin del P.V.Iviene dada por

.121 21431 1121 214512311 1 1 111 2 5 312 4 20443322 1 00'+

'

+ ++++ + '+

'

+ ++ +++ =+++++ = =+=. .. ..kkkknnnxkx x x cxkx x cx a x a x a x a ax a x y O en forma ms compacta: MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 15

.121 2121 201 21020 =+=

++ +=nkknkkxkc xkc x y Deber observarse que hemos hallado dos series en una forma puramente for-mal, las cuales son convergentes para todo x finito. Para ver que ambas son li-nealmente independientes definimos lo siguiente: , 1 1 , 0 10 1 , 1 12 12 1= ' ='= =y yy y y por lo tanto . 0 1 ,2 1{ y y W Donde 2 1, y y Wdenota el Wronskiano de las soluciones 1yy 2y , en las cuales .. 121 2, 121 201 22021 =+=

+= +=nkknkkxkx y xkx y Ejemplo 6. Resolver el problema de valor inicial 1 . 6 1 1 , 0 ) 1 ( , 0= ' = = + ' + ' ' y y xy y y x Solucin. Mtodo series de potencias: Mediante el cambio de variable1= x u , llevamos el problema al origen. En efecto, ,) 2 . 6 (,2222dxy dduy ddxdydudy== La ecuacin (6.1) toma la forma 1 0 , 0 ) 0 ( , 0 1 122 = ' = = + + + + y y y ududyduy du MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 16 Por lo tanto suponemos que la solucin la buscamos de la forma: ==0) (kkku a u y Que al reemplazar en la ecuacin diferencial, se obtiene , 0 1 1 10 1122= + + ++ ==

=

kkkkkkkkku a u u ka u a k k u Relalizando las multiplicaciones , 0 1 10 01112221= + + ++ ==+=

=

=

k kkkkkkkkkkkkkku a u a u ka u a k k u a k k Escibiendo todo en potencias deku , obtenemos , 0 1 1 2 11 01010211= + + + + + + + + ==

=+=+=+k kkkkkkkkkkkkkku a u a u a k u a k k u a k k Empezando todas las sumatorias desde1 = k , y organizando, se tiene ? A , 0 1 1 2 1 211 1 2 1 0 1 2= + + + + + + + + + + += + + +kkk k k k ku a a a k a k k a k k a a amejor, ? A , 0 1 1 2 211 122 0 1 2= + + + + + + + + += + +kkk k k ku a a a k a k k a a a As pues, 3 . 6 . 1 , 0 1 1 2, 0 21 1220 1 2u = + + + + + += + + + +k a a a k a k ka a ak k k k Usando las condiciones iniciales1 0 , 0 ) 0 (= ' = y y . Con lo que 1 , 01 0 = = a a . Reemplazando en (6.3), se tiene los primeros coeficientes: ,61,61,214 3 2== = a a a De dondeMTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 17 . + ++=6 6 2) (4 3 2u u uu u yY haciendo 1= x u , se tiene finalmente . +

+

+ =6161211 ) (4 3 2x x xx x y Donde la convergencia se tiene en el intervalo2 , 0 por qu? Mtodo series de Taylor: Buscamos soluciones de la forma

. 1!10nnnxnyx y== Para ello derivamos sucesivamente y evaluamos en las derivadas encontradas, esto es, 21! 21, 1 1 , 0 ) 1 ( , 02 1 0=' '== ' = = = = + ' + ' 'ya y a y a xy y y x ! 518! 510 3 4! 44! 410 2 3! 31! 310 2543 = = = ' ' + ' ' ' + += = = ' + ' ' + ' ' ' + =' ' '= = + ' + ' ' + ' ' 'viv vivivya y y x y xyya y y x y xyya y y x y y x Siguiendo el proceso, se obtiene la formula recursiva: . 3 , 0 ) 3 ( 13 2 ) 1 (u =+ ++

n y n xy y n xyn n n n De donde se sigue que la solucin en series de Taylor es dada por . +

+

+ =6161211 ) (4 3 2x x xx x y La misma solucin dada por el mtodo de los coeficientes indeterminados, pero encontrada de una forma ms sencilla como puede verse. En el ejemplo siguiente, encontraremos por el mtodo de Taylor , la solucin de una de las ecuaciones diferenciales importantes que aparecen en la fsica. MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 18 Ejemplo 7. (La ecuacin de Legendre) Encuentre la solucin en series Taylor alrededor de x=0 para la solucin general de1 . 7 0 1 2 1222= + + ydxdyxdxy dx E E Solucin: Buscamos la solucin general de la forma 2 . 70nnnx a x y==donde

- , 1 , 0 ,!0= = nnyanny 1 1 0 00 , 0 c y a c y a = ' = = = . Para encontrar el coeficiente 2a, hacemos0 = xen (7.1) y reemplazamos los valores de : ,1 1 0 0c a c a = =esto es,

01 ) 0 ( 1 0 0 ) 0 ( 1 0 c y y y y += += ' ' = + + ' ' E E E E E Eluego se tiene que

.! 21! 200 2cya+ =' '=E E Ahora para obtener los coeficientes- , 4 , 3 , = i ai, deberemos derivar impl-citamente con respecto a x la ecuacin (7.1)n veces, y sustituir los valores encontrados de los ia anteriores.Al derivar la ecuacin (7.1) implcitamente con respecto a x, se obtiene: 3 . 7 0 2 1 4 122332=+ +dxdydxy dxdxy dx E EHaciendo0 = xy reemplazando los valores de 0 , 0 , 0 y y y ' ' 'en (7.3) se tiene:

1 11 2 2 1 ) 0 ( 2 1 0 c c y y+=+= '+= ' ' ' E E E E E ELuego se encuentra que .2 . 31 2! 301 3cya + =' ' '=E E MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 19 Obtengamos ahora ,4apara lo cual derivamos implcitamente con respecto a xla ecuacin (7.3) , se tiene: 4 . 7 0 6 1 6 12233442=+ +dxy ddxy dxdxy dx E EHaciendo0 = xy reemplazando los valores de0 , 0 , 0 , 0 y y y y ' ' ' ' ' 'en (7.4) se tiene: ? A 0 02 1 3 1 2 3 ) 0 ( 6 1 0 c c y yiv + + = + += ' '+= E E E E E E E E E ELuego se encuentra que

.! 42 1 3! 400 4cyaiv + += =E E E E Derivando la ecuacin (7.4) se tiene 5 . 7 0 12 1 8 13344552=+ +dxy ddxy dxdxy dx E EHaciendo0 = xy reemplazando los valores de0 , 0 , 0 , 0 y y y y ' ' ' ' ' 'en (7.4) se tiene: ? A 1 13 1 2 4 1 2 3 4) 0 ( 12 1 0c cy yv+ + =+ + = ' ' '+=E E E E E E E EE E Encontrando que

.! 53 1 2 4! 401 5cyav+ += =E E E E Continuando el proceso, se obtiene la frmula siguiente para k=1,2,

.! 1 21 2 3 1 2 2 2 21,! 22 2 2 1 3 2 1 211 1 20 2ckk k kackk k kakkkk++++ + =+ +++ =+E E E E E EE E E E E E. .. . Todos los coeficientes estan determinados en trminos deahora ,0c y ,1cpor lo cual debemos tener ,2 1 1 0x y c x y c x y + =donde MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 20

. + +++ =4 21! 42 1 3! 211 ) ( x x x yE E E E E E O bien,

,! 22 2 2 1 3 2 1 21 1 ) (211kkkxkk k kx y+ +++ + ==E E E E E E . . y . + ++ + =5 32! 53 1 4 4! 31 2) ( x x x x yE E E E E E O bien,

,! 1 21 2 3 1 2 2 2 21 1 ) (1 211+=++++ + + =kkkxkk k kx yE E E E E E . . Ambas, ) (1x y y , ) (2x y son soluciones de la ecuacin de Legendre, al tomar respectivamente , 1 0 , 0 00 0 , 1 01 01 0= == =c cc c Ellas forman una base para las soluciones, ya que

, 1 0 , 0 00 1 ,0 0 , 1 02 12 12 1='='{ = =y yy y Wy y Donde 2 1, y y Wdenota el Wronskiano de las soluciones 1yy 2y . Observar que siE es un entero par no negativo, ) , 2 , 1 , 0 ( , 2 . = = k k nluego continuar MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 21 Ejemplo 8. Resuelva la ecuacin diferencial 1 . 8 . 0 = + ' + ' ' xy y y xSolucin. Por el mtodo de Taylor.Supongamos que las soluciones son de la forma=0 nnnx acon

!0nyann= . Para esto, pongamos 0 000y y c = =y 01y c ' = .Haciendo0 = xy reemplazando los valores anteriores en la ecuacin (8.1), se tiene que. 01 = cDerivando implcitamente con respecto a x la ecuacin (8.1), tenemos 2 . 8 0 2 0 = + ' + ' ' + ' ' ' = + ' + ' ' + ' ' + ' ' ' y y x y y x y y x y y y xHaciendo0 = xy reemplazando los valores anteriores en la ecuacin (8.2), se tiene que 0210210 c y y== ' 'Derivando la ltima ecuacin (8.2), tenemos 3 . 8 0 2 3 0 2 = ' + ' ' + ' ' ' + = ' + ' + ' ' + ' ' ' + ' ' ' + y y x y xy y y y x y y xyiv iv Haciendo0 = xy reemplazando los valores anteriores en la ecuacin (8.3), se tiene que03203201 == '= ' ' ' c y yRepitiendo el proceso anterior, se llega a la siguiente formula de recurrencia: 3 , 0 2 13 2 1u =+ ++

n y n xy y n xyn n n n Que al hacer0 = x , y reemplazar los valores obtenidos, se obtiene

4 . 8 3 , 01203 1u

= n ynnyn n Encontremos varios valoresMTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 22

/,2 . 452 . 43650650 : 7, 0 0540540 : 6,2 . 4321430430 : 5, 0210320 : 4,210210 : 30200 0100c c y y ny y nc c y y nc y y nc y y niv viviv = '+

'

== === ' ' '= == '+

'

= ' '= === '= ' ' ' = == ' ' = Obtengamos ahora los coeficientes na, note que la formula de recurrencia (8.4)junto con01 = cimplica que todos los coeficientes con subndices impares desaparecen, y

,2 . 4 . 6 4 2 . 2 2 211,2 . 4 . 612 . 45! 61! 60,2 . 412 . 43! 41! 402121! 210! 21! 2002 2 2 2 2 220 2 2 2 0 2 602 20 402002cn n nac cyac cyac c yyannviiv./ = = '+

'

= == '+

'

= = = '+

'

= =' '= Entonces

5 . 8 .4!18 6 4 2 6 4 2 4 2 2022082 2 2 20 62 2 20 42 20 2200nnxncxcxcxcxcc x y='+

'

=+ ++= . La serie (8.5) se usa frecuentemente en matemticas aplicadas y recibe el nombre de funcin de Bessel de orden). (0x J MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 23 Deber observarse que el mtodo de Taylor ha producido slo una de las solu-soluciones de la ec. (8.1). Para hallar la otra solucin linealmente independiente, usamos la formula ? A=211 2x y xdxx y x yEntonces la otra solucin ser: ? A=200 2x J xdxx J x y La solucin general viene dada por

? A.200 0+ =x J xdxx BJ x AJ x y En nuestro prximo ejemplo encontraremos una situacin en la cual el mtodo de Taylor no da ninguna solucin (como es el caso cuando se usa series de po-tencias). Ejemplo 9. Considere la ecuacin de Euler 1 . 9 . 02= + ' + ' ' y y x y xSolucin. Ya que este problema no contiene condiciones iniciales, pongamos 0) 0 ( c y =, y 1) 0 ( c y = '. Con lo cual al reemplazar el valor de 0) 0 ( , 0 c y x = =y 1) 0 ( c y = ' en la ecuacin diferencial, tenemos 0 . 0 0 0 0 0 002= = + ' + ' ' c y y y . Al derivar implctamente con respecto a x en la ecuacin diferencial (9.1), se tiene 0 2 3 0 22 2= ' + ' ' ' + ' ' = ' + ' + ' ' + ' ' ' + ' ' y y x y x y y y x y x y xReemplazando los valores de 1) 0 ( , 0 c y x = ' = en la ltima ecuacin diferencial, tenemos 0 0 0 2 0 0 0 0 312= = ' + ' ' ' + ' ' c y y y . MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 24 Como todas las derivadas evaluadas en, 0 = xestarn en trminos de,0c y de ,1centoncestodoslos nadesaparecern,yporlotantoarrojarlasolucin 0 = x y .AsenestecasoelmtododeTaylorfalla para encontrarlasolucin de la ecuacin diferencial de Euler, la cual es . ln sin ln cos x BA x A x y + =Enelprximoejemplo,aplicaremoselmtododeldesarrollodeTaylorpara encontrar la solucin de una ecuacin diferencial, en donde los coeficientes de la ecuacin (1) ya no son polinomios. Ejemplo 10.Resolver el problema de valor inicial 1 . 10 1 0 , 1 ) 0 ( , 0 = ' = =' ' y y y e yx Solucin. Ntese que en la ecuacin diferencialtodos los puntos son ordinarios. Buscamos una solucin de la forma:nnnx a x y==0 donde

. 0 ,!0u = nnyann Para esto, despejamos x y ' 'en la ecuacin, reemplazando los valores 1 0 , 1 01 0= ' = = = y a y apara obteneras2a :

21! 201 0 ) 0 () 2 . 10 ( ) (20=' '= = = ' ' = ' 'ya y e yx y e x yx Derivamos (10.2) y reemplazamos los valores encontrados de losaes.

31! 32! 302 0 0 ) 0 () 3 . 10 ( ) (30= =' ' '= = ' + = ' ' ' ' + = ' + = ' ' 'ya y y e yx y x y e x y e x y e x yx x x Derivamos nuevamente (10.3) y reemplazamos

2 . 31! 44! 404 0 0 2 0 ) 0 () 4 . 10 ( 2 ) (40= =' ' '= = ' ' + ' + = ' ' + ' + = ' ' + ' + ' + =ya y y y e yx y x y x y e x y x y e x y x y e x yivx x x iv Siguiendo el proceso, encontramos la siguiente frmula para x yn 2 +por lo tanto para:2 + naMTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 25

. 0 ,)! 2 (0)! 2 (00 ) 0 () (1 1 0) (0) 2 (200 20) ( 1 2u+'+

'

=+= ='+

'

= '+

'

='+

'

+'+

'

+ + ' ''+

'

+ ''+

'

+ ==++=+= +nnyknnya ykne yx yknex y x ynnx ynx ynx y e x ynkknnnkk nnkk xn n x n. luego la solucin general viene dada por

.31524511516131211)! 2 (2117 6 5 4 3 202022. + + + + + + + + =++ + =+ + ==+=++x x x x x x x xnxx a x x ynnnnnn La serie converge para todo. R x Realicemos este mismo ejemplo, pero ahora usando solucin en series de potencias. Para esto necesitamos del siguiente teorema. MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 26 intervalo. este enxtodo para , para tambinconverge (A), de series las de Cauchyde producto el como conocida ,con serie la Entonces . 0 , intervalo el enes convergent ySean .0 0 0000 0kkkkkkkkkkjj k j kkkkkkkkkkx c x b x ay R xb acx cR R xA x b x a ====

===='+

'

'+

'

=> Teorema Cuando se expresa en trminos de funciones analticas este teorema afirma que el producto de dos funciones analticas en el intervalo I , f y g, es tambin l mismo una funcin analtica en I, y que su expansin en series de potencias alrededor de cualquier punto 0x en I es el producto de Cauchy de las expansiones en serie de potencias de f y g alrededor de 0x . Ahora ya podemos seguir con el ejemplo anterior. Suponemos la solucin de la formakkkx a x y==0) (Al reemplazar en la ecuacin diferencial nos da , 0 ) 1 (022= =

=kkkx kkkx a e x a k ko bien,MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 27 5 . 10 , 0!) 1 (0 022='+

'

'+

'

==

=kkkkkkkkx akxx a k kAhora aplicamos el teorema anterior, para escribir el producto de las dos series en la siguiente forma: .!! 2 ! 3 ! 2! 3 ! 21!0 033 21 0 22 101 0 03 23322 1 00 0kkkjjkkkkkxj kax a aa ax a aax a a ax xx x a x a x a a x akx = ==='+

'

=+ '+

'

+ + + + '+

'

+ + + + + ='+

'

+ + + + + + + + ='+

'

'+

'

.. . Sustituyendo esta expresin en (10.5), obtenemos , 0!) 1 ( 20 02=|

+ + = =+kkkjjkxj kaa k kDe esto ltimo se sigue que . 0 ,! ) 1 ( 2102u + +==+kj kak kakjjk En particular,,12 2 121,6,21 02 1041 0302a aa aaaa aaaa+= '+

'

+ + =+== etc., y en principio todos los kapueden calcularse en trminos de 0a y 1a . Reemplazando los valores de1 , 11 0= = a a se tiene. /,61,31,21432===aaa MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 28 Luego la solucin del problema de valor inicial viene dado por .61312114 3 2. + + + + + = x x x x x yDeber notarse que la solucin obtenida por series de potencias es ms pobre que la obtenida por Taylor. Ejercicio . Encuentre una series de potencias para la solucin general de la ecuacin diferencial0 sin = + ' + ' ' y e y x x yx Los prximos ejemplos tratan con ecuaciones diferenciales no lineales. Ejemplo 11. Encuentre la solucin enseries de potencias y en series de Taylor del problema de valor inicial 1 . 11 . 0 0 ; 12= + = ' y y ySolucin. La ecuacin diferencial (11.1) no es lineal, sin embargo, se conoce su solucin mediante el uso de separacin de variables, a saber, .2,2, tan '+

'

=x xx x x yMtodo series de potencias: Suponemos que la ec. (11.1) tiene como solucin 2 . 11 .0==nnnx a x yDerivando, se tiene 3 . 11 . 10111 =+=

+ = = 'nnnnnnx a n x na x y evaluando la ec. (11.1) en 0 = xe imponiendo la condicin inicial, se encuentra que00 ) 0 ( a y = =. Reemplazando (11.2) , (11.3) en (11.1) vemos que los coeficientes de la serie na , deben satisfacer MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 29 4 . 11 . 1 1 10 020 01 = =

==+'+

'

+ ='+

'

+ = +nnkk n knnnnnna a x a x a nIgualando los coeficientes, obtenemos

.152,322 2 5 : 40 , 0 2 2 4 : 331, 1 2 3 : 20 , 0 2 2 : 11 1 : 0522 3 1 4 0 54 2 1 3 0 4321 2 0 32 1 0 220 1= = + + = == = + = == = + = == = = == + = =a a a a a a a na a a a a a na a a a a na a a a na a n En general, >= + =

= . 1 impar, es nsi ,11 si , 1par es nsi , 010120n a ann a ankk n kn As, estamos en capacidad de calcular en forma recurrentelos coeficientes de la serie pero no somos capaces de expresar fcilmente explcitamente ennacomo funcin de n. Por tanto, no podemos calcular el radio de convergencia directamente. Sin embargo sabemos, que el radio de convergencia es . 2 / x Luego la solucin del problema de valor inicial viene dado por .2,2.152315 3'+

'

+ + + =x xx x x x x y .Mtodo series de Taylor: Supongamos que las soluciones son de la forma=0 nnnx acon

!0nyann= . Se tiene inicialmente que0 ) 0 (0= = y a . Haciendo0 = xy reemplazando el valor de 0 0 = yen la ecuacin (11.1), se tiene que

1! 10, 1 0 1 012='= = + = 'ya y yMTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 30 Derivando implcitamente con respecto a x la ecuacin (11.1), tenemos 5 . 11 2y y y ' = ' 'Haciendo0 = xy reemplazando los valores anteriores1 0 , 0 0 = ' = y yen la ecuacin (11.5), tenemos que

. 0! 20, 0 0 0 2 02=' '= = ' = ' 'ya y y yRepitiendo el proceso una vez

31! 30, 2 ) 1 ( 2 ) 1 )( 0 ( 2 0 2 0 0 2 02 232 22=' ' '= = + = ' + ' ' = ' ' '' + ' ' = ' ' 'ya y y y yy y y y Otra vez,

0! 40, 0 0 ) 1 ( 6 ) 2 )( 0 ( 2 0 0 6 0 0 2 06 2 4 2 24= = = + = ' ' ' + ' ' ' =' ' ' + ' ' ' = ' ' ' + ' ' ' + ' ' ' =ivivivya y y y y yy y y y y y y y y y y Y otra vez..

152! 50,380 631) 1 ( 8 ) 0 )( 0 ( 20 6 0 0 8 0 0 2 06 8 2 6 6 2 25222= = = + '+

'

+ =' ' + ' ' ' ' + =' ' + ' ' ' ' + = ' ' ' ' + ' ' ' ' + ' ' ' ' + =viv viv iv vyay y y y y yy y y yy y y y y y y yy y Hagamslo una vez ms

0! 600 0 0 20 0 0 10 0 0 2 020 10 2 12 8 8 2 26= = = ' ' ' ' ' + ' + =' ' ' ' ' + ' + = ' ' ' ' ' + ' ' ' ' ' + ' + ' + =viiv v viiv v iv iv v viya y y y y y y yy y y y yy y y y y y y y y yy y Por ltima vez MTODO DE SERIES DE TAYLOR JOS ALBEIRO SNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010Pgina 31

.212! 71121122 2038) 1 ( 120 20 0 0 30 0 0 12 0 0 2 020 30 12 220 20 10 10 2 26222= = =+ '+

'

=' ' ' + ' ' + ' + =' ' ' + ' ' + ' + =' ' ' ' ' ' + ' ' + ' ' + ' + ' + =ay y y y y y y yy y y y y yyy y y y y y y y y y yy yiv v vi viiiv v viiv iv v v vi vii Luego la solucin del problema de valor inicial viene dado por .2,2.81023212152319 7 5 3'+

'

+ + + + + =x xx x x x x x x y . Esto es, .2,2.8102321215231tan9 7 5 3'+

'

+ + + + +