Solucion del examen de matematica iv tema i numeros complejos

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO: INICIAL MUCHOS ÉXITOS

MATEMÁTICA. EVALUACIÓN DEL TEMA III. EXAMEN (Valor 20%)

APELLIDOS Y NOMBRES: _______________________________________________________

CI: ___________ CARRERA: _________FECHA: _________ FIRMA: ___________________

INSTRUCCIONES GENERALES: Este examen es estrictamente individual, cualquier actitud

sospechosa por parte del estudiante es motivo para la anulación del mismo. Por favor responda

únicamente lo que se le está preguntando y de una manera pulcra y muy ordenada.

1. Hallar y representar el valor de ,1z 2z y ,3z donde ,.4612 415302213

1 iiiz

823491502

2 .623 iiiz y ..696 1001467822

3 iiiz Calcular en forma binómica

.231

3

1 zzzz

zz (Valor 4%)

Solución:

Para ,.4612 415302213

1 iiiz realizamos las divisiones:

Tenemos que:

i

ii

ii

ii

iiiiiiz

86

4612

1.4116112

1.4116112

4612

1037553

3103427541534

1

Para ,.623 823491502



Tenemos que:

i

ii

ii

ii

iiiiiiz

43

623

1.612113

1612113

.623

20712350

32074112423754

2

Para ,.696 1001467822


Tenemos que:

i

i

i

i

iiiiiiz

912

6`96

1.6916

11619116

.696

25366205

02543366422054

3

Representados:


Luego:

i

i

i

iii

iii

iii

iii

iii

iiiii

iii

iiiiiiii

iiii

iiiiii

i

i

i

iiii

i

zzzz

zz

3

136147

3

136147

3

121262147

4423

23144

43421443

2

4342144225

150

434214481144

7215072

43724272181144

17215072

43172427281108108144

72965472

4372965472991299121212

9812896126

439812896126912

912

912

86

4391286912

86

2

2

2

231

3

1

2. Hallar las raíces de la ecuación .=x + x 08104 2 (Valor 2%)

Solución:


Sean 10,4 ba y ,8c usemos la resolvente:

a

acbbx

2

42

Luego, sustituyendo los valores:

4

75

8

752

8

7210

8

17410

8

17410

8

2810

8

12810010

42

8441010 2

i

i

i

x

De aquí, Las raíces son:

4

751

i x

Y

4

752

i x


3. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos iyx

z

2

21 y

iyxz 222 sean iguales. (Valor 2%)

Solución:

Para que ,21 zz se debe cumplir que 21 ReRe zz y .ImIm 21 zz

Esto es:

22

yx

y yx 22

De aquí, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

IIyx

Iyx

22

22

Resolviendo por el método de reducción, multipliquemos la ecuación I por 2:

22

42

22

222

2

yx

yx

yx

yx

1

2

222 xxx

Luego, sustituyendo en la ecuación II este valor de tenemos:

2

3

2

3

32

122221

y

y

y

yy


4. Realiza las siguientes operaciones: (Valor 10%)

a)

0

00

125

25

4

60

4

57

b) 9912 i

c) 4

2

2

i

i

Solución:

Parte a)

restas.y cocientes ientescorrespond los Realizando4

12005

polar. formaen complejos números de Cociente 4

12005

suma.y productos ientescorrespond los Realizando 4

12005

polar. formaen complejos números de Producto 4

52401

productos. ientescorrespond los Realizando 4

52401

polar. formaen complejos números de Potencia 4

57

4

57

0

00

0

0

0

00

0

00

0

00

0

00

140

125265

125

265

125

25240

125

25240

125

25460

4

125

25

4

60

Parte b)

Convirtamos al número complejo de forma binómica dado por iz 912 a forma polar:

El módulo es:

1522581144912 22 zr

Y el argumento es:

36,11253612

9 0

arctg

Como el número esta en el segundo cuadrante:


A este ángulo hay que sumarle ,1800 así:

73,48714318036,112536180 0000

Por tanto, la forma polar del número complejo es:

productos. ientescorrespond los Realizando 03844335937

polar. formaen complejos números de Potencia 15

15912

51011288

973,4871439

9

73,487143

9

0

0

0

i

Parte c)

4

2

2

i

i

Convirtamos cada número complejo de forma binómica a forma polar:

El módulo de iz 21 es: 3121222

11 zr

Y el argumento de este número que está en el cuarto cuadrante es:

2.8443243608,5151353602

1 0000

1

arctg


El módulo de iz 22 es: 3121222

22 zr

Y el argumento de este número que está en el primer cuadrante es:

8,5151352

1 0

2

arctg

Así, nos queda que:

s.operacione las Realizando 1

polar. formaen complejos deDivisión 3

3

3

3

2

2

44.692289

4

8,5151352.844324

4

8,515135

2.8443244

0

00

0

0

i

i

Luego, el modulo es .114 r

Y el argumento es:

6,16223423

0

3

6,16222522

0

2

6,16221621

0

1

6,1622720

0

0

000

0

0

0

0

16,16223423

16,16222522

16,16221621

16,1622720

4

3604.692289

rk

rk

rk

rk

k

Y la grafica es:


5. Expresa en función de cos y :sen a5cos y .5asen (Valor 2%)

Solución:

De la FÓRMULA DE MOIVRE: nisennisenn

coscos

Tenemos que:

55coscos5

isenisen

Desarrollando el producto notable del lado izquierdo:

isensensen

sensenisen

isenseniisen

sensenisen

isensen

senisenisenisen

isensen

senisenisenisen

seniseni

seniseniisenisen

isenisen

isenisenisenisen

5324

42355

5324

42355

54

3223455

54

3223455

5544

332223455

54

3223455

cos10cos5

cos5 cos10coscos

cos10cos5

cos5 cos10coscos

cos5

cos10cos10cos5coscos

1cos5


cos5


cos5


Luego, tenemos que:

isensensen

sensenisen

5324

4235

cos10cos5

cos5 cos10cos55cos

De aquí tenemos que estos números complejos son iguales si sus correspondientes partes reales

e imaginarias son iguales:

5324

4235

cos10cos55

cos5 cos10cos5cos

sensensensen

sensen


Opcional:

1. Halla el valor de k para que el cociente ik

ki

2sea: a) Un número imaginario puro.

b) Un número real. (Valor 4%)

Solución:

Realicemos la división de los números complejos, para obtener uno solo numero complejo:

r.denominado igualcon fracciones de sumaPor

1

2

1

32

común.factor sacando o vadistributi propiedadPor 1

232

s.operacione Realizando 1

222

.1 Porque 1

1222

s.operacione Realizando 222

va.distributi propiedadPor 222

r.denominado del conjugado elpor ndoMultiplica 22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

k

ik

k

k

ik

ki

k

ikk

ik

ki

k

kikik

ik

ki

ik

kikik

ik

ki

iikkik

kiikik

ik

ki

iikiikkk

ikikkiik

ik

ki

ik

ik

ik

ki

ik

ki

De aquí tenemos que como , 012 Rkk ocurre que:

El número es imaginario puro si .003 kk

El número es real puro si .2202 22 kkk

2. Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente: (Valor 4%)

Obtener la impedancia total Z si .3,3,4,4 21 LC XXRR


Solución:

En este caso:

;3411 iiXRZ C

;3422 iiXRZ L

Ya que gráficamente:

Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces:

21

111

ZZZ

Esto implica que:

21

21

ZZ

ZZZ

Esto es:

i = =i + i

i iZ 0

8

25

8

916

3434

3434

La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son:

8

25

64

625

64

6250

64

6250

8

25 2

2

Z


.0 = 0arctan =

8

25

0arctan = Zarg = 0

Y nos queda que la impedancia total es:

Gráficamente:

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