Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XIV (número 2), abril-junio 2013: 249-256

ISSN 1405-7743 FI-UNAM

(artículo arbitrado)

Solución de problemas con incertidumbre y varios objetivos

Troubleshooting with Uncertainty and Several Objectives

Información del artículo: recibido: febrero de 2012, reevaluado: junio de 2012, aceptado: agosto de 2012

Acosta-Flores José Jesús Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoCorreo: jjaf@unam.mx

Descriptores:

• decisionescon incertidumbre• decisiones con objetivos múltiples

• análisisdedecisiones

Resumen

Eningenieríanosenfrentamosconproblemastandiversoscomolaeleccióndelsitiodondedebeconstruirseunacarretera,unapresa,unpuenteounaeropuerto. Las consecuencias de tomar decisiones equivocadas son tangrandesqueesconvenientecontarconunmétodoeficienteparaenfrentardichassituaciones,yaquesiempreexisteincertidumbresobreloquepuedeacontecer.Enesteartículosepresentadichométodoatravésdeunejemplosobreun sistemadeproteccióndehuracanes en el quedos actores seránfundamentales:eldecisoryelanalista.Sehaelegidoesteejemploporquepermitiría tomardecisiones quedisminuyan los daños que ocasionan loshuracanesennuestropaís.

Abstract

In engineering, we face problems as diverse as the choice of the site where we must build a road, a dam, a bridge or an airport. The consequences of wrong decisions are so great that it is useful to have an efficient method to deal with these situations be-cause there is always uncertainty about what can happen. In this article the method is presented through an example about a hurricane protection system in which two actors will be essential: the decision-maker and the analyst. This example has been chosen because it would allow decisions to reduce the damage caused by hurricanes in our country.

Keywords:

• decisions under uncertainty• decisions with multiple objectives• decision analysis.

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Introducción

Enlamayoríadelosproblemasdondetenemosqueto-mar decisiones está presente la incertidumbre. Porejemplo,siconstruimosunpuenteproyectadoparare-sistirunaavenidaendeterminadositiodeunrío,pue-deocurrirque llegueunaavenidaextraordinariay lodestruya,otroejemplopodríaserqueelsitioqueelija-mosparaconstruirunaeropuertoafectetantoalasper-sonasdueñasdelosterrenosdondevaasituarse,quehaganmanifestacionesdegranmagnitud,queobliguenalasuspensióndelaobra.También,casisiemprehayvariosobjetivos,enelcasodelpuentepodríanser:ma-ximizarlaresistenciayminimizarelcosto;enelaero-puerto, maximizar los impactos económicos en laregiónyminimizarelnúmerodepersonasafectadas.Apesardelacomplejidadsedebentomardecisiones,loqueimplicaelegirentrevariasopciones.Paraseleccio-narlamejordecisiónhayqueefectuarunanálisisdeloquehubierasucedidosicadaunadelasposiblesalter-nativassehubierainstrumentado.Latomadedecisio-nes, acto cotidiano enmúltiples actividades, general-mentesehaceportécnicascomolaadivinanza,lareac-ción visceral, la intuición o la experiencia basada enopinionesosucesosmuyparecidos.Estastécnicasresultanpocoeficientesdadoqueno

suelenincorporartodoslosfactoresquepuedenafectarladecisiónysusresultados.Pocasdecisionessetomancon plena certidumbre sobre sus posibles consecuen-cias.Elprocesodetomardecisionespuedesermejora-do utilizando unametodología que combine una es-tructuraexplícitayunatécnicacuantitativadeanálisis.La dificultad para tomar una decisión se relaciona

con tres aspectos: estructurales, personales y políticos(Sánchezet al.,2008)Dentrodelosaspectosestructura-lesestáelgradodeincertidumbre,lacantidaddeopcio-nes disponibles, la diversidad de objetivos, las conse-cuenciasdetomarunadecisiónylafrecuenciaconquesetomandecisionesparecidas.Losaspectospersonalesconsideranlospatronesdepersonalidaddequientomaladecisión.Encuantoalosaspectospolíticospuedesu-cederquelaalternativamásacertada,elegidamedian-te un proceso racional y sistematizado, debe supe-ditarseaconsideracionesdeordenpolíticoqueresul-tenprioritarias.Paraelmanejodeestosaspectossehandesarrollado

métodos multicriterio, como lo señalan Leyva et al.(2008).Ellosmencionan:“Durantelasúltimasdécadas,el desarrollo delAnálisis de Decisiones Multicriterio(MCDA)hacontribuidosignificativamentealaevolu-cióndelcampoteóricoyaplicadodelaInvestigacióndeOperacionesydelaCienciadelaDecisión”.

Sevilla y Escobar (2008) presentan un ejemplo deaplicacióndeunodeestosmétodos,elProméthée-Gaia.Apesardesuampliaaplicación,estosmétodosnoto-manencuentalasincertidumbresinvolucradas,loquedisminuyesuefectividad.Deahílanecesidaddecontarconunmétodoquesí

lasconsidere,comoelquesepresentaacontinuación.

Método de análisis de decisiones con incertidumbre

Lospasosparadeterminarlaestrategiaóptimadesolu-ciónalresolverunproblemadondeexisteincertidum-bre y se tienen varios objetivos (Raiffa, 1968;Acosta,1975,1999)soncincoysedescribecadaunodeellosacontinuación.Enelprimerpasosedefiniránlosobjetivos,susme-

didasdeefectividadoatributos(cadamedidaoatribu-tomide el logro de un objetivo), las opciones que setienen disponibles y los eventos, es decir, las conse-cuenciasposiblesdecadaacción.El resultadosepre-sentaenformadeárbol.Enelsegundopasosedeterminarán lasprobabili-

dadesdetodosloseventos.Eneltercerpasoseestimaránlasconsecuenciasfina-

lesparacadaeventoterminalutilizandolosatributos.Enelcuartopasosedeterminarálamejorestrategia

de solución. Primero se obtendrá la función utilidadquerepresentelaestructuradepreferenciasdeldecisor.Esta funcióndeutilidadevaluará losatributosydarácomoresultadounnúmeroreal.DeberáserválidaenelsentidoVonNeumann-Morgenstern(KeeneyyRaiffa,1976)demaneraquelautilidadesperadaseauncriterioapropiadoparaguiarelprocesodeseleccióndelame-jor estrategia.Después, se escogerán las accionesqueconduzcanalamayorutilidadesperada.Conestasac-ciones se establecerá la mejor estrategia de solución.Estaestrategiaconsistiráenunareglaqueestablezcalamejordecisiónquedebeelegirsecuandosucedaalgúnevento.Enelquintopaso,análisisdesensibilidad,secues-

tionaránlashipótesisconelfindedeterminaraquellasvariablescríticas,osea,aquéllasquepuedenhacerquecambielamejorestrategiadesolución.Enseguida se detallará el método a través de un

ejemplo.

Sistema de protección de huracanes

Seeligióestesistemaporqueademásdeilustrarelmé-todo,puedeservirparamejorarlasdecisionesquede-ben tomarse en este contexto. Se tratadeun ejemplo

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hipotéticoendondehayqueelegirunsistemaquepro-tejadeloshuracanesaunpuertopequeño.Estesistemaconsisteen laconstruccióndeunabarreraprotectora.Seemplearánloscincopasos.

Paso 1.Seconsideraqueelobjetivodelsistemaescon-tarconunsistemadeprotecciónantehuracaneslomásprontoposible,elcualminimice losdañosencasodeteneresoseventosclimáticos.Losatributosquemidenellogrodeesteobjetivoson:x1,laduracióndelacons-trucciónenmesesyx2, eldañoocurridoenunidadesmonetarias.Lasopcionessondosdiseñosalternativosa1ya2.El

primerdiseño,a1,protegerá totalmentealpuertoyeltiempoenquepuedequedarconcluidoesde10,11o12meses.El segundo,a2, restringemuchomenoselpasode

losbarcoshaciadentroyfueradelpuerto,peropermi-tiríaqueentraranolasmásgrandesenelcasodequellegaseunhuracán.Elfuncionamientodeestesegundodiseñodepende,enparte,delaintensidadynúmerodehuracanesqueocurranenlavidaútildelproyectode50años.Loseventosson:H0,ningúnhuracándeintensi-dadfuerteenlospróximos50años;H1,unhuracán;H2,dos o más huracanes. Con este diseño el tiempo deconstruccióndelabarreraprotectorapuedeserde5,6o7meses.Lainformaciónanteriorquedaplasmadaenelárbol

dedecisionesmostradoenlafigura1.

Paso 2. Secalcularánlasprobabilidadesdeloseventos.Estas probabilidades dependen de la localización delpuertoqueseestéanalizando.Comoeste ejemploeshipotético supondremosque

yaserealizarondichoscálculosyseestimóquelaproba-bilidaddenotenerningúnhuracánes0.1,ladetenerunhuracánes0.3yladetenerdosomáshuracaneses0.6.También,queeldiseñoa1tardaráenconstruirse10

mesesconprobabilidad0.3,11mesesconprobabilidad0.4y12mesesconprobabilidad0.3;yprotegerátotal-mentealpuerto seacual seaelnúmerodehuracanesqueocurran.Elsegundodiseño,a2,seconstruiráen5mesescon

probabilidad0.2,6mesesconprobabilidad0.6y7me-sesconprobabilidad0.2.Suponiendoqueeltiempoquedurarálaconstruc-

cióndelabarreraprotectoraylaocurrenciadehuraca-nes son eventos probabilísticamente independientes,entonceslaprobabilidaddeleventoconjuntoesigualalproductodelasprobabilidades.

Paso 3.Seestimaránlasconsecuenciasterminales.Coneldiseñoa1,seacualseaelnúmerodehuracanesquesucedan,nose tendráningúndaño,yaque laprotec-ciónestotal.Seestimaqueconeldiseñoa2,sinohayningúnhuracánobviamentenohabrádaños;siocurreunhuracánlosdañosestimadosson600;siacontecendosomáshuracaneslosdañosestimadosson1800.Re-cordandoquex1 es laduraciónde la construcciónen

Figura 1. Árbol de decisión

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mesesyx2eseldañoocurridoenunidadesmonetarias,seformaelvector(x1,x2)quesemuestraenlosnodosterminalesdelafigura2.

Paso 4.Secalcularálaestrategiadesolución,paraellohacefaltadeterminarlafunciónutilidadconatributosmúltiples,x1yx2,dondeelprimerovaríade5a12,yelsegundode0a1800.Sesupondráunafunciónutilidaddetipoaditivo:

u(x1,x2)=k1u1(x1)+k2u2(x2) (1)

dondeu,u1yu2sonfuncionesutilidadconescalasdeceroauno,k1,k2>0yk1+k2=1.Primero,seobtendránlasfuncionesutilidaddeun

sóloatributo,u1(x1)yu2(x2)ydespués,losvaloresdek1yk2.Estasfuncionesdependendelaestructuradepre-ferencias del decisor que puede ser de neutralidad,aversiónopropensiónalriesgo.Paradeterminardichaestructuraselepreguntaaldecisorsuequivalentebajocertezadesituacionesdondeexisteincertidumbre,alasqueselesdenominaloterías.Secomparaelequivalentebajocertezaconelvaloresperadodeunalotería.Sielequivalenteesmenorqueelvaloresperadosetratadeuncasodeaversiónalriesgoporqueeldecisorestádis-puestoacambiarlaloteríaporunvalormenorasuva-loresperado.Siesmayoreldecisortienepropensiónalriesgo, lo que implica que estaría dispuesto a pagaralgoporencimadesuvaloresperado,ysisonigualessetratadeneutralidad,dondeeldecisornotienemiedoniestemerario.Regresando a nuestro ejemplo, la duración de la

construcciónenmeses,x1,puedevariarde5a12.Comose prefiere una duraciónmenor, entoncesu1(5) = 1 yu1(12)=0.

Sepreguntóaldecisorelequivalentebajocertezadelaloteríadondesetienencomoresultados5y12conlamisma probabilidad de 0.5. Se seleccionó esta loteríaporqueesmásfácilparaeldecisorpensarenella,yaquerepresentaunvoladoconunamonedabalanceadadon-deexistelamismaposibilidaddesaliráguilaquesol.Surespuestafue8.5,quecoincideconelvalorespe-

radode la lotería. Se cambiaron las loterías, tanto enconsecuencias como en probabilidades y siempre losequivalentesbajocertezacoincidieronconelvalores-perado,luegoseconcluyóqueestedecisortieneneutra-lidadalriesgoenesteatributo.Así,sufunciónutilidad,up(x1)=-x1(Acosta,2008)dondeestafunciónesprelimi-nar,yaquenotieneunaescalade0a1.Seconocequesepuedeutilizarunafunciónestraté-

gicamenteequivalenteaup(x1)paraquetengadichaes-cala.Osea,u1(x1)=a+bup(x1),dondebdebesermayorque0.Yaqueu1(5)=1yu1(12)=0,lasecuacionesdeu1(x1)

paradichosvaloresson:

u1(5)=1=a+bup(5)

u1(12)=0=a+bup(12)

sustituyendoup(x1)=-x1,quedanlassiguientesecuacio-nes:

1=a+b(–5)0=a+b(–12)Alresolverestesistema,setienena=12/7yb=1/7;porloqueu1(x1)=12/7–x1/7=(12–x1)/7Secontinúaahoraconeldañoenunidadesmoneta-

rias,x2,quepuedeestarentre0y1800.Comoseprefiereundañomenor,entoncesu2(0)=1yu2(1800)=0.

Figura 2. Árbol de decisión

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Sepreguntóaldecisorelequivalentebajocertezadelaloteríacuyosresultadosson0y1800,cadaunoconuna probabilidad de 0.5 Su respuesta fue 1000, másgrandequeelvaloresperadodelalotería,900.Secam-biaronlasloterías,tantoenconsecuenciascomoenpro-babilidades, y siempre los equivalentes bajo certezafueronmayoresqueelvaloresperado,luegoestecom-portamientoindicaquesetratadeaversiónalriesgoenesteatributo.Secalcularontambiénlasprimasderies-go,comoladiferenciadeequivalentebajocertezame-nossuvaloresperado,PR=EBC–VE,paradiferentesvaloresdecapital.Encadalotería,alvariarelcapitalsemantuvocons-

tantelaprimaderiesgo.Portanto,setratadeaversiónconstantealriesgo.Así,sufunciónutilidad,up(x2)=–e

cx2(Acosta,2008)dondecdebesermayorquecero.Denuevo,estafun-ciónespreliminar,yaquenotieneunaescalade0a1.Se considera que una función es estratégicamente

equivalenteaotracuandoambassonigualesaladicio-narleaunadeellasunaconstanteyselemultiplicaporunaconstantepositiva.Enestecasodeequivalenciaes-tratégicasepuedeusarcualquieradeellasparatomarunadecisión,yaqueambasconducenalmismoresulta-do. Entonces se usará una función estratégicamenteequivalenteaup(x2)quetengalaescalade0a1.Esdecir,u2(x2)=d+fup(x2),dondef>0.Paraobtenerelvalordef,yaqueelequivalentebajo

certezadelalotería[0,1800;0.5,0.5]fue1000,entonces,up(1000)=0.5up(0)+0.5up(1800);esdecir,–e1000c=–0.5e0–0.5e1800c;unaecuaciónconunasolain-cógnita.Resolviendo esta ecuación se obtiene el valor c =

0.00024895.Deestamanera,up(x2)=–e0.00024895x

Comou2(0)=1yu2(1800)=0,lasecuacionesdeu2(x2)paradichosvaloresson

u2(0)=1=d+fup(0)u2(1800)=0=d+fup(1800)

sustituyendoup(x2)=-e0.00024895x,quedan

1=d+f(–e0)0=d+f(–e0.00024895*1800)

Calculandolosvaloresdelaexponencial,seobtiene

1=d–f0=d–1.56535087f

unsistemadedosecuacionescondos incógnitas.Lassolucionesdeestesistemason:d=2.7688yf=1.7688.

Porloanterior,u2(x2)=2.7688–1.7688e0.00024895x.Al

sustituiru1(x1)yu2(x2)enlaecuación(1),queda

u(x1,x2)=k1(12/7–x1/7)+k2(2.7688–1.7688e0.00024895x)

(2)

Paratenertotalmentedefinidau(x1,x2)secalcularánk1yk2.Primero,seformalatabla1concuatrocolumnascu-

yosencabezadosson:opciones,x1,x2yu(x1,x2).Enelsegundorenglónsedejaenblancolaprimera

columnayenlasdossiguientesseescribelopeordelosdosatributos.Lacolumna1conlasopcioneshipotéticasαyβ.Eneltercero,seescribelomejordex1ylopeordex2,

aestaopciónselellamaα.Enelcuarto,seescribelomejordex2ylopeordex1,

aestaopciónseledenominaβ.Enelúltimorenglón,seescribelomejordelosdos.Enlacuartacolumna,empleandolaecuación(2),se

calculalautilidaddecadaunadeestasopciones.

Tabla 1. Utilidades de opciones hipotéticas

Opciones x1 x2 u(x1,x2)

12 1800 0

α 5 1800 k1β 12 0 k2

5 0 k1+k2=1(3)

Sepidealdecisorquecompareαyβ.Surespuestafuequeprefiereβsobreα.Entonces,sedeberácumplirquek2>k1.Segraficaránβyαenlafigura3.

Figura 3. Duración y daños

En lafigura3sehadibujadoelejede lasabscisasdederechaaizquierdayeldelasordenadasdearribaaba-joporqueenamboscasossedeseaminimizartantolosdañoscomoladuración.Deestamaneraelorigenre-presentalapeorsituaciónposible.

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Comoβseprefieresobreα,sepuedeniraumentan-do losdaños en el ejede las ordenadas, hasta que eldecisorseaindiferenteentreesepuntoyα.Seaunacantidaddedañosiguala500laquecumple

conesacondición,(12,500)esindiferenteaα.Comoexisteindiferencia,lautilidaddeambospun-

tosdebeserlamisma,esdecir,u(12,500)=u(α).Usan-do nuevamente la ecuación (1) queda: k1u1(12) +k2u2(500)=k1.Puestoqueu1(12)=0yu2(500)=0.766,setieneque

0.766k2=k1 (4)

Lasecuaciones(3)y(4)constituyenunsistemadedosecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es: k1 =0.566yk2=0.434,deformaquelaecuación(2)queda

u(x1,x2)=(0.566)(12/7–x1/7)+(0.434)(2.7688 –1.7688e0.00024895x)

haciendooperaciones

u(x1,x2)=2.172–0.081x1–0.768e0.00024895x (5)

Conestaecuaciónseevalúanlasconsecuenciastermi-nales,loquesemuestraacontinuación:

u(5,0)=0.999u(5,600)=0.875u(5,1800)=0.565u(6,0)=0.918u(6,600)=0.794u(6,1800)=0.484u(7,0)=0.837

u(7,600)=0.713u(7,1800)=0.403u(10,0)=0.594u(11,0)=0.513u(12,0)=0.432

Sustituyendolasconsecuenciasterminalesporlasuti-lidades correspondientes en lafigura 2 se obtiene lafigura4.Lautilidaddeldiseñoa1secalculócomo

(0.3)(0.594)+(0.4)(0.513)+(0.3)(0.432)=0.513,esdecir,lasumadelosproductosdelautilidadporsuprobabi-lidadcorrespondiente.Deigualmaneraseprocedióenelcálculodelautilidaddeldiseñoa2,quedandoiguala0.620.Como0.620>0.513,serecomiendaempleareldi-señoa2.

Paso 5.Análisisdesensibilidad.Sedeseaconocercuán-todebesereltiempoenquedebeconstruirseeldiseñoa1paraqueseaequivalentealdiseñoa2.Sonequivalentescuando

u(a1)=u(a2).

Enu(a1)sedejarácomovariableelatributox1.Empleandolaecuación(10),u(x1,x2)=2.172–0.081x1

–0.768e0.00024895xseobtieneu(a1)=u(x1,0)=1.404–0.081x1yu(a2)=0.620Igualandoydespejandoax1seobtienex1=(1.404–

0.620)/0.081=9.68meses.Osea,quesiladuracióndelaconstrucciónusando

eldiseñoa1esmenorqueesacantidadladecisiónópti-maenvezdesera2cambiaaa1.

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Conclusiones

Sepresentóunmétodopararesolverproblemasdondeexiste incertidumbre y objetivos múltiples. Se tienendospersonasclave:eldecisoryelanalista.Elanalistahacepreguntasrelativamentesencillasaldecisoryconsusrespuestas,comoinsumo,obtienelamejorestrate-giadesolución.Estemétodopermitedeterminarlaponderaciónde

losatributossinpreguntardemaneradirectaaldecisor,encambio,otrosmétodossípidenaldecisorquedéesaponderación,locualesdifícil.Tambiénsepidealdecisorelequivalentebajocerte-

zadeunvolado,locualessencillo,yconsurespuestacomparándolaconelvaloresperadodelmismo,elana-listadeterminasieldecisortieneaversión,propensiónoneutralidadalriesgo.Otrosmétodos,enlugardeello,pidenaldecisorquedigacuáleslaformadesufunciónutilidad,locualesmuydifícilparaél.El ejemplo tuvo solamentedos atributos, pero se

puedeincrementarelnúmerodeéstossinqueaumen-teladificultaddelmétodo,loqueamplíanotablemen-te su rango de aplicación. Por ejemplo, en la locali-zacióndeunaeropuertosepuedeconsiderarademásdeminimizarelnúmerodepersonasdesplazadasdesushogaresporlaconstrucciónymaximizareldesa-rrolloeconómicodelaregión,minimizarelnúmerodepersonasafectadasporelruido, lacantidaddedañoencasodeunaccidente,tantomaterialcomodeperso-nas,maximizarlacapacidadtantoenelespacioaéreocomoentierra,minimizareltiempodeaccesoalaero-puerto,etcétera.

Porloanteriorpodemosconcluirqueconesteméto-do aún cuando el analista tiene que trabajar (trabajoqueinclusivesepuedeprogramarencomputadora)sefacilitanlasrespuestasdeldecisoryesposiblepropor-cionarle lasmejoresestrategiasdesoluciónasuspro-blemas.

Referencias

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Este artículo se cita:

Citación estilo Chicago

Acosta-Flores, José Jesus. Solución de problemas con incertidum-bre y varios objetivos. Ingeniería Investigación y Tecnología, XIV, 02 (2013): 249-255.

Citación estilo ISO 690

Acosta-Flores J.J. Solución de problemas con incertidumbre y va-rios objetivos. Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XIV (número 2), abril-junio 2013: 249-255.

Semblanza del autor

José Jesús Acosta-Flores.EsegresadodelaFacultaddeIngeniería,UNAM,dondeestudióingenieríacivil.Obtuvolosgradosdemaestroeningeniería(planea-ción)ydoctoreningeniería(investigacióndeoperaciones).CursóelprogramadeestudiosdeingenieríaavanzadaenelInstitutoTecnológicodeMassachus-sets.Esprofesordesde1965enlaUNAM.FuecoordinadordelPlandeDesa-rrollo 1995-2000, subjefe de la División de Estudios de Posgrado, jefe delDepartamento de Ingeniería de Sistemas,miembro del Consejo Interno dePosgrado,delaComisiónDictaminadoradelaDivisióndeIngenieríaMecáni-caeIndustrialdurantedosperíodosydelaComisiónEvaluadoradelasPri-masdeDesempeñoenlaFacultaddeIngeniería.ElconsejotécnicodedichaFacultad,leotorgólaCátedraEspecialJavierBarrosSierraendosocasiones;yen2012laCátedraEspecialCarlosRamírezUlloa.Fuedirectordetesisdemásde 40 alumnos de licenciatura,maestría y doctorado. Es coautor del libro:«Métodosdeoptimización»yautorde“LaTeoríadedecisionesenelsectorpúblicoyen laempresaprivada”,“Cómomejorar suhabilidadpara tomardecisiones”,“Planeaciónintegralprospectivayparticipativa”,“Ingenieríadesistemas,métodosprobabilistas”y“Análisisdedecisiones”,asimismo,coordi-nadordeloslibros:“Ingenieríadesistemas:tópicosyensayos”e“Ingenieríadesistemas:unenfoqueinterdisciplinario”.