“SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE CLASIFICACIÓN ORDINAL ...
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN “SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE CLASIFICACIÓN ORDINAL MULTICRITERIO CON RESTRICCIONES AL TAMAÑO DE LAS CATEGORÍAS UTILIZANDO RELACIONES DE NO-INFERIORIDAD Y ALGORITMOS EVOLUTIVOS MULTIOBJETIVO” TESIS como requisito para obtener el grado de DOCTOR EN CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN Presentada Por: Omar Ivan Gaxiola Sánchez Directores de tesis: Dr. Eduardo René Fernández González Dr. Jorge Adalberto Navarro Castillo Culiacán, Sinaloa a 13 de febrero de 2019.
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN
“SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE CLASIFICACIÓN ORDINAL MULTICRITERIO CON RESTRICCIONES AL TAMAÑO DE LAS CATEGORÍAS UTILIZANDO
RELACIONES DE NO-INFERIORIDAD Y ALGORITMOS EVOLUTIVOS MULTIOBJETIVO”
TESIS
como requisito para obtener el grado de
DOCTOR EN CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN
Presentada Por:
Omar Ivan Gaxiola Sánchez
Directores de tesis:
Dr. Eduardo René Fernández González Dr. Jorge Adalberto Navarro Castillo
Culiacán, Sinaloa a 13 de febrero de 2019.
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Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-No
Comercial-Compartir Igual, 4.0 Internacional.
Agradecimientos La concepción, desarrollo y conclusión de este trabajo de tesis, no hubiese sido posible sin
el apoyo de una serie de personas e instituciones. Mi agradecimiento a todos los que
formaron parte de este proyecto.
Mi reconocimiento y gratitud a mis directores de tesis, Dr. Eduardo René Fernández
González y Dr. Jorge Adalberto Navarro Castillo, por su paciencia, enseñanza, dedicación y
recomendaciones académicas y personales durante el desarrollo de este trabajo.
Agradezco al Tecnológico Nacional de México y al Instituto Tecnológico de Culiacán por
el apoyo académico, y laboral, para dedicarme de manera exclusiva a este doctorado. Al
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología y al Programa de Mejoramiento del Profesorado
por su soporte económico.
Agradezco a la Universidad Autónoma de Sinaloa y a la Facultad de Informática por
adoptarme como estudiante del programa de Doctorado en Ciencias de la Información.
A mis amigos y compañeros del programa de doctorado y maestría, Universidad Autónoma
de Sinaloa, Facultad de Informática Culiacán UAS. Gracias a todos ustedes.
A mis padres por darme la vida, amor, cariño y consejos. Por apoyarme y motivarme
siempre en los proyectos que emprendo.
A mis hermanos y toda mi familia por su apoyo incondicional.
Un especial agradecimiento para mi esposa Julieta y a nuestros hijos Isaac, Izan e Irvin.
Muchos fueron los momentos que no estuve con ellos, sin embargo, estuvieron siempre
apoyándome y motivándome para continuar con este compromiso.
Gracias.
Siempre CJOI.
Índice
Lista de tablas …………………………………………………………….
Lista de figuras………………………………………………………….....
Lista de símbolos y acrónimos……………………………………………
Resumen……………………………………………………………………
Abstract……………………………………………………………………
1. Introducción…………………………………………………………..
1.1. Generalidades……………………………………..…………………
1.1.1. Enfoques principales del análisis de la decisión………………..
1.2. Antecedentes………………………………………………………...
1.3. Descripción del problema.…......………………...………………….
1.4. Preguntas de investigación ……...…………………………………..
1.5. Alcance y limitaciones del trabajo de investigación………………...
1.6. Objetivos…………………………………………………………….
1.6.1. Objetivo General…..………………………………………...….
1.6.2. Objetivos Específicos……………………………………...……
1.7. Estructura de la tesis…………..……………………………………….
2. Fundamentos teóricos…………………………………………………
2.1. Definiciones y conceptos básicos……………………………………
2.2. Tipo de problema a tratar……………………………………………
2.3. Problemas continuos………………………………………………...
2.3.1. Optimización de un objetivo……………………………………
2.3.2. Optimización multiobjetivo…………………………………….
2.4. Problemas discretos……………………………………………………
2.4.1. Clasificación con restricción en el tamaño de las categorías…...
2.4.2. Definición de un problema CSP………………………………...
2.5. ELECTRE TRI-B……………………………………………………
2.5.1. Construcción de la relación de no-inferioridad S…….…………
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2.5.2. Procedimiento de construcción…………………………………
2.5.3. Procedimiento de explotación. …………………………………
2.6. Análisis de Desagregación de Preferencias (PDA)………………........
2.7. Metaheurísticas………………………………………………………..
2.7.1. Algoritmo genético……………………………………………...
2.7.1.1. Algoritmo……………………………………………….
2.7.1.2. Selección………………………………………………..
2.7.1.2.1. Selección por ruleta……………………………..
2.7.1.2.2. Selección por torneo…………………………….
2.7.1.3. Cruce……………………………………………………
2.7.1.4. Mutación………………………………………………..
2.7.1.5. Elitismo…………………………………………………
2.7.1.6. Algoritmos genéticos vs otras técnicas evolutivas……...
2.7.1.7. Aplicaciones…………………………………………….
2.7.2. Algoritmo Evolutivo diferencial………………………………..
2.7.2.1. Algoritmo……………………………………………….
2.7.2.2. Aplicaciones…………………………………………….
2.7.3. Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo basado en Descomposición
(MOEA/D)………..………………………………………………
2.7.3.1. Algoritmo…………………………………………….…
3. Implementación del Análisis de Desagregación de Preferencias PDA...
3.1. Parámetros a extraer con el método PDA……………... ……………...
3.2. Implementación del método PDA mediante un algoritmo genético….
3.2.1. Generación de una población semilla…………………………..
3.2.2. Experimentación del algoritmo genético con diferente técnica
de selección y reemplazo………………………………………….
3.3. Evolución diferencial…………………………………………………..
3.3.1. Esquema de transformación…………………………………….
3.3.2. Implementación del método PDA mediante un algoritmo
evolutivo diferencial………………………………………………
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3.3.3. Generación de una población semilla…………………………..
3.3.4. Experimentación………………………………………………..
3.4 Comparación de resultados de los dos métodos PDA ………………....
4. Enfoque multiobjetivo propuesto para el problema de clasificación
ordinal multicriterio con restricciones sobre los tamaños de las
categorías………………………………………………………………......
4.1. Formulación del problema CSP como un problema de optimización
multiobjetivo…………………………………………………………...
4.2. Implementación del algoritmo multiobjetivo MOEA/D………………
4.2.1. Implementación del algoritmo multiobjetivo MOEA/D sin
utilizar el método PDA……………………………………………
4.2.2. Implementación del algoritmo MOEA/D utilizando el método
PDA……………………………………………………………….
4.2.2.1. Utilización de la población semilla……………………..
4.3. Generador de instancias………………………………………………..
4.4. Experimentación……………………………………………………….
4.5. Resultados……………………………………………………………..
4.5.1. Sin utilizar el método PDA……………………………………..
4.5.2. Utilizando el método PDA……………………………………...
4.6. Comparación de resultados ……………………………………………
4.7. Ordenamiento de los objetos al interior de las categorías……………..
5. Conclusiones…………………………………………………………...
5.1. Análisis del cumplimiento de objetivos y de las respuestas a las
preguntas de investigación…………………………………………….
5.2. Conclusiones…………………………………………………………..
5.3. Trabajo futuro………………………………………………………….
Anexo 1. Conjunto de entrenamiento………...…………………...…………...
Anexo 2. Resultados de la experimentación sin utilizar el método PDA……...
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Anexo 3. Resultados de la experimentación utilizando el método PDA………
Anexo 4. Prueba no paramétrica de Mann-Whitney a los resultados del
método PDA implementado con un algoritmo genético y con un
algoritmo evolutivo diferencial……………………………………...
Anexo 5. Prueba no paramétrica de Mann-Whitney a los resultados del
método PDA implementado con un algoritmo genético y con un
algoritmo evolutivo diferencial.……………………………………..
Referencias……………………………………………………………….........
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i
Lista de tablas Número Título Pág. Tabla 1.1. Ejemplo de alternativas no dominadas………………………..……. 2
Tabla 1.2. Publicaciones asociadas a los problemas CSP …………………….. 11
Tabla 3.1. Ejemplos de longitud, puntos de cruce y puntos de mutación para
individuos …………………………………………………………..
59
Tabla 3.2. Resultados de los experimentos para las tres configuraciones
implementadas………………………………………………………
63
Tabla 3.3. Resultados de los experimentos con la misma población inicial…... 64
Tabla 3.4. Comparativa de los resultados de los experimentos………………... 75
Tabla 4.1. Valores utilizados en la experimentación…………………………... 86
Tabla 4.2. EfectividadporcategoríasinmétodoPDA………………………………. 87
Tabla 4.3. Efectividad por criterio sin método PDA…………………………... 87
Tabla 4.4. Efectividad por tamaño del conjunto A sin método PDA………….. 88
Tabla 4.5. Efectividad por número de objetos en cada categoría del conjunto T
sin método PDA…………………………………………………….
88
Tabla 4.6. Tiempos de ejecución sin método PDA……………………………. 89
Tabla 4.7. Efectividad por categoría con método PDA………………………... 89
Tabla 4.8. Efectividad por criterio con método PDA………………………….. 90
Tabla 4.9. Efectividad por tamaño del conjunto A con método PDA…………. 90
Tabla 4.10. Efectividad por número de objetos en cada categoría del conjunto T
con método PDA……………………………………………………
91
Tabla 4.11. Tiempos de ejecución con método PDA…………………………… 91
ii
Lista de figuras Número Título Pág. Figura 1.1. Problemas de la toma de decisiones………….…………………….. 3
Figura 1.2. Problemática planteada……………………………………………... 14
Figura 1.3. Propuesta de solución al problema ……………………………... 15
Figura 2.1. Ejemplo de problemas discretos y continuos………………………. 20
Figura 2.2. Frontera de Pareto para Max T(x) y Max
Q(x)……………………………
24
Figura 2.3. Definición de las categorías usando perfiles como límites………… 30
Figura 2.4. Paradigmas de agregación y desagregación en MCDA……………. 35
Figura 2.5. Ejemplo de la codificación (mediante cadenas binarias) usada
tradicionalmente con los algoritmos genéticos……………………...
41
Figura 2.6. Cruce de un punto aleatorio……………..………………………….. 45
Figura 2.7. Operador de cruce exponencial del algoritmo DE…………………. 49
Figura 3.1. Método de análisis de desagregación de preferencias……………… 54
Figura 3.2. Algoritmo genético implementado…………………………………. 57
Figura 3.3. Codificación y puntos de cruce de un individuo…………………… 59
Figura 3.4. Ilustración del esquema de representación Doumpos et. Al 2009….. 66
Figura 3.5. Ilustración del esquema de representación modificado…………….. 68
Figura 3.6. Algoritmo evolutivo diferencial……………………………………. 70
6 Figura 3.7. Diagrama a bloques del algoritmo evolutivo diferencial
implementado…………………………………………………….....
71
Figura 3.8. Codificación del individuo en el algoritmo evolutivo diferencial …. 72
Figura 3.9. Generador de instancias para experimentación del método PDA…. 74
Figura 4.1. Implementación del algoritmo multiobjetivo MOEA/D sin el método PDA………………………………………………………...
81 Figura 4.2. Inserción de la población semilla en la población inicial de
MOEA/D…………………………………………………………….
84
Figura 4.3. Generador de instancias para experimentación del algoritmo
MOEA/D……………………………………………………………..
85
70
iii
Lista de símbolos y acrónimos
A Conjunto de objetos a clasificar AG Algoritmo Genético
AHP Proceso Analítico Jerárquico
B Conjunto de perfiles frontera
CSP Problema de Clasificación con Restricciones
DIS-CARD Tamaños Deseados de Clases
DM Decisor
ED Evolución Diferencial
ELECTRE Eliminación y Elección Expresando la Realidad
EP Población Externa
G Familia coherente de criterios
h Número de objetos de referencia, donde ! = ℎ
m Número de criterios, donde ! = !
M Número de categorías
MAUT Teoría de Utilidad Multi-Atributo
MCDA Análisis Multicriterio para la Toma de Decisiones
MILP ProgramaciónLinealEnteraMixta
MOEA Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo
MOEA/D Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo basado en Descomposición
MOGA Algoritmo Genético Multiobjetivo
MOP Problema Multiobjetivo
n Número de objetos a clasificar, donde ! = !
NPGA Algoritmo Genético de Nicho de Pareto
NSGA Algoritmo Genético de Ordenamiento No Dominado
OC Objetos Correctos
OD1 Objetos con Diferencia de 1 categoría
p Número de perfiles frontera, ! = !
P Umbral de Preferencia
PDA Análisis de Desagregación de Preferencias
PROMETHEEE Método de Organización de Ordenamientos de Preferencias para el
Enriquecimiento de las Evaluaciones
iv
Q Umbral de Indiferencia
SMART Técnica de Clasificación de Múltiples Atributos Simples
T Conjunto de objetos de referencia
U Umbral de Pre-veto
V Umbral de Veto
!! Violaciones al conjunto de referencia
!!! …!!! Violaciones al tamaño de cada una de las M categorías
VEGA Algoritmo Genético para el Vector Evaluado
W Pesos de los criterios
! Lambda, umbral de credibilidad
v
Resumen Este trabajo aborda un problema de clasificación ordinal en el que los objetos son
evaluados por múltiples criterios. La investigación se centra en el problema de
clasificación con restricciones al tamaño de las categorías (clases), cuando el encargado de
la decisión (decision-maker, DM) siente la necesidad o la conveniencia de establecer
restricciones sobre el número de objetos que deben ser asignados a las diferentes
categorías. La propuesta utiliza un conjunto de ejemplos de entrenamiento (ejemplos de
asignación) que contiene información implícita de la política de asignación del DM. Se
aplica un Análisis de Desagregación de Preferencias (PDA) (obtención indirecta de los
parámetros del modelo de preferencias) al conjunto de referencia, para inferir un conjunto
de parámetros preferenciales completo (pesos de los criterios, umbrales de discriminación
y de veto, perfiles frontera y umbral de credibilidad) de un modelo ELECTRE TRI-B. Con
esta información preferencial (modelo) y resolviendo un problema de optimización
multiobjetivo con el algoritmo MOEA/D, se logra encontrar la mejor forma de asignar las
acciones del conjunto A entre las categorías. El modelo preferencial obtenido reproduce la
política de asignación del DM implícita en el conjunto de referencia, considerando las
restricciones sobre los tamaños de las categorías
Palabras clave: Análisis multicriterio para la toma de decisiones, clasificación ordinal,
restricción al tamaño de las categorías, relaciones de sobreclasificación valuada, algoritmos
evolutivos multiobjetivos, MOEA/D.
vi
Abstract This work addresses the ordinal classification (sorting) problem in which the objects
(actions) are evaluated with multiple criteria. In this kind of problem the classes
(categories) are ordered. This research focuses on problems with category size restrictions,
in which the decision maker (DM) wants to fulfill some constraints on the number of
objects that should be assigned to certain categories. The proposal uses a set of training
examples (assignment examples), that contains implicit information about the DM’s
assignment policy. A Preference Disaggregation Analysis (PDA) (indirect parameter
elicitation) is performed on the set of training examples and plausible ELECTRE TRI-B
complete model’s parameters (weights of criteria, discrimination and veto thresholds,
reference profile and credibility threshold) are inferred. Using this preferential information
and solving a multiobjective optimization problem with the MOEA/D algorithm, it is
possible to achieve the best way to assign the actions from set A between categories. The
model is consistent with the assignment policy and the size restrictions from the DM.
Keywords: Multiple criteria decision analysis, ordinal classification, category size
constraints, Valued outranking relations, Multiobjective evolutionary algorithms,
MOEA/D.
1
Capítulo 1. Introducción 1.1. Generalidades.
La toma de decisiones es un proceso mental, llevado a cabo para la selección de un curso de
acción (alternativa, acción potencial), de un conjunto de alternativas de decisión. Este es un
proceso mental llevado a cabo por un tomador de decisiones (DM, Decision Maker).
Tomamos decisiones en casa, trabajo, deporte, en todas las esferas de la vida. Ante algún
cuestionamiento, elegimos: sí, no; opción uno, opción dos; azul, rojo; etc., la mayor parte
de las veces tomando en cuenta uno, varios, incluso muchos criterios, basándonos en
nuestras preferencias, experiencias o instintos. Sin embargo, en los campos de la ingeniería,
negocios, política y ciencias, las decisiones pueden involucrar grandes cantidades de dinero
y/o tener impacto directo en el bienestar de la sociedad. Además, la toma de decisiones en
estos campos suele ser compleja ya que se cuenta con una buena cantidad de opciones y
criterios a considerar que normalmente se encuentran en conflicto entre sí.
Habitualmente se considera un conjunto A de opciones potenciales, que se puede presentar
en distintas formas, y que constituye el objeto del problema de decisión en cuestión.
Los desempeños de cada uno de los objetos del conjunto ! = !!,!!,… ,!! , pueden ser
caracterizados tomando en cuenta un solo criterio o múltiples criterios. Cuando se utiliza un
solo criterio definido por ! = !! , es relativamente fácil para el DM decidir cuál o cuáles
alternativas son elegidas al considerar un problema del tipo
!"#$!"#$% !! ! ! ∈ !
Por otro lado, cuando se consideran simultáneamente un conjunto de criterios de evaluación
! = !!,!!,… ,!! , el DM se enfrenta a una situación de mayor complejidad (Figueira et
al., 2005), que se puede representar como
!"#$%$&'( !! ! ,!! ! ,… ,!! ! ! ∈ !
2
expresión que refleja el carácter conflictivo del conjunto de criterios de evaluación, ya que
es posible que exista una alternativa cuyo desempeño en ciertos criterios supere a otras
alternativas, pero al mismo tiempo esta alternativa sea superada en otros criterios por otras
alternativas. La tabla 1.1 muestra cuatro alternativas evaluadas en 4 criterios, en ella se
puede observar que la alternativa 1 supera a las alternativas 2, 3 y 4 en el criterio 3 ; pero es
superada por las alternativas 2,3 y 4 en el criterio 1. La selección de la mejor alternativa no
es un proceso obvio en lo absoluto, ni siquiera está bien definido matemáticamente;
depende del sistema de preferencias y prioridades del decisor. Para que una alternativa
domine a otra, (solo en este caso la selección es independiente de las preferencias del
decisor), se requiere que sea mejor o igual en todos los criterios y mejor en al menos uno
de los criterios. En el ejemplo de la tabla 1.1 no hay ninguna alternativa que domine al
resto, las 4 alternativas son no dominadas.
Usualmente no existe una alternativa que optimice todos los criterios al mismo tiempo, en
esos casos se debe elegir la alternativa con el mejor compromiso de solución de acuerdo a
las preferencias del decisor. La mayoría de los problemas de decisión tienen esta naturaleza
multicriterio.
Tabla 1.1 Ejemplo de alternativas no dominadas
Los problemas de decisión considerados en el Análisis Multicriterio para la Toma de
Decisiones (MCDA) tratan un conjunto finito de alternativas evaluadas sobre una familia
de criterios coherentes. MCDA da al DM herramientas y métodos para estructurar el
problema, comparar y evaluar alternativas, para apoyar en el proceso de tomar una
decisión.
Según la escuela Europea de decisión multicriterio, al considerar un problema de toma de
decisiones discreto, hay cuatro tipos de análisis que pueden llevarse a cabo para
proporcionar apoyo significativo al DM (Roy, 1985). Estos tipos de análisis se muestran en
Criterio 1 Criterio 2 Criterio 3 Criterio 4
Alternativa 1 0.8 1.5 2.4 1.0
Alternativa 2 1.3 1.2 2.2 2.7
Alternativa 3 1.2 2.1 1.9 2.1
Alternativa 4 1.6 1.9 2.1 1.4
3
Características de alternativas
X2 !! !!
!!
!!
!! !!
!!
1. X2 2. X1 3. X6 4. X5 5. X4 6. X7 7. X3
Ordenamiento
Alternativa más preferida
Alternativa menos preferida
Selección
Descripción
Grupo 1
X1, X2, X6
Grupo 2
X3 ,X4, X5,X7
Clasificación
la figura 1.1 (cf. Doumpos y Zopounidis, 2004) ellos son:
1. La descripción. Este análisis consiste en identificar las características más notables
de las alternativas y realizar una descripción de ellas basándose en sus
características.
2. Problema de selección (P.α). Identificar la mejor alternativa o seleccionar un
conjunto limitado de las mejores alternativas.
3. Problema de clasificación (P.β). Consiste en asignar cada alternativa en categorías
predefinidas. Estas categorías corresponden a un conjunto de M clases, donde M es
un conjunto de etiquetas.
4. Problema de ordenamiento (P.γ). Construir un ordenamiento (ranking) de las
alternativas de la mejor a la peor. La prescripción resultante puede ser dada en
términos de un orden parcial o de un orden completo.
Figura 1.1. Problemas de la toma de decisiones
4
Un problema de clasificación (P.β) surge cuando se tienen que asignar acciones de un conjunto A, en categorías que son definidas en términos del destino final o el propósito de las acciones. Se admite que el conjunto A puede evolucionar (agregando o quitando acciones).
Esta problemática lleva a recomendaciones de asignación de acciones en las categorías, por medio de una metodología de asignación automática, que puede ser utilizada repetidamente.
El conjunto de categorías debe ser definido a priori. La definición de cada categoría es basada en el hecho de que ésta debe ser concebida antes de que se asignen las acciones. En los problemas de clasificación, cada acción es considerada de manera independiente con respecto a las demás acciones para determinar a cuál categoría debe ser asignada. La asignación se realiza por medio de comparaciones con perfiles (fronteras, límites), normas o referencias. El resultado de la asignación es expresado en términos de noción absoluta de “asignado” o “no asignado” a una categoría, “similar” o “no similar” a un perfil de referencia, “adecuado” o “no adecuado” a alguna norma.
El problema de clasificación trata de juicios absolutos, consiste en asignar cada acción a una de las categorías predefinidas. La asignación de una acción a resulta de la evaluación intrínseca de a en todos los criterios de evaluación. La asignación de a a una categoría específica, no influencia la categoría a la cual otra acción b debería ser asignada.
Un caso especial de los problemas de clasificación son los problemas de clasificación con
restricciones en el tamaño de las categorías. Un Problema de Clasificación con
Restricciones surge de situaciones de decisión formuladas en un problema de clasificación
en el cual es necesario introducir especificaciones en los tamaños de las categorías. Estas
especificaciones son las restricciones sobre el tamaño de las categorías.
1.1.1. Enfoques principales del análisis de la decisión
El análisis matemático en la teoría de la decisión proporciona dos enfoques principales para construir un modelo global de preferencia de un actor envuelto en el proceso de decisión:
1) El enfoque normativo - funcional basado en el axioma normativo de comparabilidad
perfectamente transitiva (Fishburn, 1970). En 1944 Von Neumann y Morganstern
5
axiomatizaron la teoría de utilidad esperada y así asentó las bases de la Teoría de la
Utilidad Multi-atributo (MAUT), con gran aplicación en econometría (Von Neumann y
Morganstern, 1944). Estos métodos parten del supuesto de que el decisor trata de
maximizar una función de utilidad que agrega los distintos criterios que intervienen en el
problema. Cuando el problema es discreto y no existe una situación de incertidumbre, esta
función se denomina función de valor.
MAUT (Multiple Attribute Utility Theory) asume que un problema de decisión puede
modelarse mediante funciones de valor reales que pueden ser maximizadas. Los métodos
basados en la función de valor consisten en construir una función ! que asocia un número
real a cada una de las alternativas posibles. Este número refleja el valor o la utilidad que
cada alternativa tiene para el decisor. La principal dificultad de estos métodos consiste
precisamente en encontrar dicha función de valor, pero una vez obtenida, el problema de
decidir la mejor de las alternativas se reduce a obtener el máximo/mínimo de todos los
valores calculados (French, 1986).
Basándose en la existencia de la función valor la escuela americana propone varios
métodos prácticos, siendo los métodos más importantes: la suma ponderada (French, 1986),
el método de las Jerarquías Analíticas o Proceso Analítico Jerárquico (AHP) (Saaty, 1980),
y el método SMART (Edwards y Barron, 1994) (The Simple Multi-attibute Rating
Technique). El método de clasificación multicriterio UTADIS (UTilités Additives
DIScriminantes) propuesto por Devaud (1980) es el enfoque principal de la escuela
americana para resolver problemas de clasificación multicriterio. Es un método que asigna
alternativas a una de las categorías ordenadas y predefinidas. UTADIS requiere la
disponibilidad de algunos ejemplos de asignación de acciones en las categorías, hechas por
el decisor. A partir de esa información, se crea un modelo de función lineal por tramos
sobre la base del cual se asignan las acciones.
Los métodos de funciones de valor de la escuela americana se destacan por una teoría
axiomática sólida, que modela la racionalidad, basada en relaciones de preferencia y un
grupo de axiomas en el que se destaca el de “comparabilidad transitiva”. Una desventaja de
6
estos métodos es que el modelo de agregación es compensatorio, es decir, la pérdida en un
criterio puede ser compensada por una ganancia en otro criterio.
2) El enfoque relacional con el trabajo de Bernard Roy en los años 70 (Roy, 1991) y la
contribución de varios científicos europeos, fue el fundamento de la metodología de Ayuda
a la Decisión Multicriterio por reflejar una actitud dentro de la línea del pensamiento
constructivista. Esta familia de métodos persigue ayudar al decisor a resolver el problema
teniendo en cuenta las dificultades para la construcción de la función de valor del enfoque
de la escuela americana. Se distinguen por su importancia los métodos ELECTRE (Roy,
1985)(The ELimination Et Choix Traduisant la REalité) y los métodos PROMETHEE
(Brans y Vincke, 1985)( (Preference Ranking Organization Methods for Enrichement
Evaluations), métodos también llamados de no-inferioridad. Estos métodos constituyen el
núcleo de lo que se conoce en la literatura como el enfoque de “outranking”.
El método PROMETHEE desarrollado por Brans y Vincke en 1985 consiste en la
construcción de relaciones de preferencia “borrosas”, incorporando conceptos y parámetros
que poseen alguna interpretación física o económica fácilmente comprensibles por el
decisor. PROMETHEE hace uso del concepto de pseudocriterio ya que construye el grado
de preferencia entre cada par de acciones ordenadas, tomando en cuenta la diferencia de
comportamiento de esas acciones respecto a cada atributo. La evaluación de esas
diferencias se realiza mediante ciertas funciones de preferencia escogidas por el decisor,
quién además debe proporcionar los umbrales de indiferencia y de preferencia asociados a
estos pseudocriterios
Otras variantes del método abordan situaciones más sofisticadas de decisión, en particular
problemas con un componente estocástico. Así se han desarrollado las versiones
PROMETHEE II, PROMETHEE III, PROMETHEE IV y PROMETHEE V. En
PROMETHEE V, Brans y Mareschal (1990) incorporan una filosofía de optimización
entera a efectos de abordar problemas de selección de inversiones con restricciones
presupuestarias.
Los métodos ELECTRE construyen relaciones de “outranking” entre pares de acciones,
que, al ser convenientemente explotadas, permiten resolver problemas de clasificación
7
ordinal, selección y ranking. En la actualidad han sido desarrollados los procedimientos
ELECTRE I, II, III, IV, IS, ELECTRE TRI-B, ELECTRE TRI-nC y ELECTRE TRI-nB,
los que brindan procedimientos para resolver diferentes tipos de problemas suscitados en el
tratamiento de la teoría de la decisión.
La palabra “outranking” es la traducción en inglés de la palabra en francés “surclassement”,
utilizada inicialmente por Bernard Roy en sus trabajos de investigación en la década de los
60. Una relación del tipo “outranking” es una relación binaria que establece la preferencia
entre dos objetos (Roy, 1996). Se lee “es al menos tan bueno como”. En algunos trabajos
de investigación, en la traducción al español de la palabra “outranking” se utiliza la palabra
“sobre-clasificación”. También se utiliza la palabra “superación”, sin embargo, el utilizar
esta palabra infiere que la relación de “outranking” es antisimétrica, cuando no lo es. En
este trabajo utilizaremos el término “no-inferioridad”.
Las preferencias en los métodos ELECTRE son modeladas usando relaciones binarias de
no-inferioridad (outranking relations), S, cuyo significado es “al menos tan bueno como”.
Considerando dos acciones a y b, cuatro situaciones pueden ocurrir:
- !"# y no !"# ⇒ !"#, a es preferido estrictamente a b.
- !"# y no !"# ⇒ !"#, b es preferido estrictamente a a.
- !"# y !"# ⇒ !"#, a es indiferente a b.
- No !"# y no !"# ⇒ !"#, a es incomparable a b.
Cuando se utilizan relaciones de no-inferioridad el modelo de preferencias introduce la
relación de preferencia de incomparabilidad R. Esta relación es muy útil cuando el DM y/o
el analista no son capaces de comparar dos acciones.
La construcción de una relación de no-inferioridad es basada en dos conceptos principales:
1. Concordancia. Para que la aserción !"# sea validada, una mayoría suficiente de
criterios debe estar a favor de esta aserción.
2. Discordancia. Cuando la condición de concordancia se mantiene, ninguno de los
criterios de la minoría debe oponerse muy fuerte a la aserción !"#.
8
Para que la aserción !"# sea validada, se deben cumplir estas dos condiciones.
Los métodos ELECTRE constan de dos procedimientos principales: construcción de una o
varias relaciones de no-inferioridad, seguidas por un procedimiento de explotación.
El procedimiento de construcción ayuda a comparar cada par de acciones en una manera
comprensiva. El procedimiento de explotación es utilizado para elaborar recomendaciones
dependiendo de la problemática a resolver (selección, ordenamiento o clasificación). Cada
método es caracterizado por sus procedimientos de construcción y explotación.
El método ELECTRE TRI-B es el método más importante para resolver problemas de
clasificación ordinal en la familia de métodos ELECTRE. ELECTRE TRI-B es un método
de clasificación multicriterio que asigna acciones a categorías predefinidas, donde las
categorías son separadas por perfiles de frontera. La asignación de una acción resulta de la
comparación de la acción con los perfiles que definen los límites de las categorías.
El método ELECTRE TRI-B es el método de clasificación que más aplicaciones tiene
documentadas en la literatura (eg. Mousseau et al., 1999; Mousseau et al., 1999; Gomes et
al., 2004; Gomes et al., 2007;Doumpos et al., 2009; Lu et al., 2010; Fontana et al., 2013; Norese et
al., 2014) y recientemente han surgido otros métodos que utilizan mas información de
referencia como el método ELECTRE TRI-C (Almeida-Dias et al., 2010), ELECTRE TRI-nC
(Almeida-Dias et al., 2012) y ELECTRE TRI-nB (Fernández et al. 2017).
El método ELECTRE TRI-B, al igual que todos los métodos basados en ELECTRE, tienen
la capacidad de manejar información ordinal, cualitativa y con cierto grado de imprecisión,
además de preferencias intransitivas y situaciones de veto e incomparabilidad. Su capacidad
para manejar información no-cardinal y efectos de veto es una característica muy
importante de ELECTRE que no poseen otros enfoques de ayuda a la decisión.
Este trabajo estará basado en el enfoque de la escuela Europea para la propuesta del modelo
que dará solución al problema de clasificación con restricción en el tamaño de las
categorías. Como parte de la propuesta se utilizará el método ELECTRE TRI-B como
herramienta para sugerir asignaciones de objetos a categorías.
9
1.2. Antecedentes
Este trabajo de investigación aborda un problema de clasificación multicriterio donde las
categorías y los criterios tienen una escala al menos ordinal, es decir, donde se distinguen
las preferencias del decisor para valores distintos en sus dominios. Ejemplos clásicos de
este tipo de problemas son los siguientes: clasificación de países con diferentes niveles de
riesgo basados en sus criterios sociopolíticos y económicos, clasificación de aplicaciones de
crédito bancarios, clasificación de solicitudes de ingreso de estudiantes y la clasificación de
diferentes tipos de fondos de financiamiento. Algunos problemas de clasificación son
mostrados en Doumpos y Zopounidis (2004).
Se presentan situaciones donde se requiere imponer restricciones acerca de cómo deben ser
distribuidos los objetos entre las categorías. Mousseau (2003) define este tipo de problemas
como Problemas de Clasificación con Restricciones (CSP, por sus siglas en inglés
Constrained Sorting Problem) con respecto al tamaño de la categoría. Los problemas CSP
pueden surgir en una gran variedad de situaciones reales, por ejemplo:
1. Una agencia de financiamiento puede tener restricciones acerca del número de
proyectos que puede financiar en un alto nivel.
2. En el proceso de admisión de estudiantes se presentan restricciones similares
cuando el número de estudiantes que pueden ser aceptados es menor al número de
solicitudes de admisión que son recibidas por la universidad.
3. En financiamiento públicos, por ejemplo de proyectos de investigación, donde el
presupuesto solicitado es mayor al presupuesto disponible.
En la tabla 1.2 se listan los escasos estudios en la literatura que consideran la clasificación
con restricciones en los tamaños de las categorías. Mousseau (2003) propone un método
basado en UTADIS para inferir los parámetros preferenciales del modelo de ejemplos de
asignación propuestos por un DM y las especificaciones acerca de los tamaños de las
categorías. Resuelve un problema con un conjunto 100 objetos concernientes a aplicaciones
de crédito. El decisor asigna 8 de los 100 objetos en las 3 categorías, que son utilizados
como ejemplos de asignación. UTADIS ayuda a inferir los parámetros preferenciales que
10
ubiquen mejor a los ejemplos de asignación y respeten los tamaños de las categorías
solicitados. Modelan la información preferencial de los ejemplos de asignación y las
restricciones a los tamaños de las categorías como restricciones mediante programación
lineal entera mixta (MILP).
Cardinal y otros (2011) resuelven un problema de solicitudes de admisión a la especialidad
de Ingeniería Industrial de la Escuela de Ingeniería Ecole Centrale Paris, donde el decano
establece cuantos estudiantes pueden ser admitidos por especialidad en la escuela. Cada año
el número de aplicantes es mayor a esta cantidad. Abordan el problema como un problema
de cartera. Utilizan una versión simplificada del método de no-inferioridad ELECTRE TRI-
B, evitan los umbrales de preferencia e indiferencia. La información preferencial de los 5
ejemplos de asignación, las 3 declaraciones del decisor y las restricciones a los tamaños de
las categorías, es modelada como restricciones mediante programación lineal entera mixta
MILP.
Un problema de selección de cartera con restricción en el tamaño de las categorías fue
resuelto por Zheng y otros (2011). Utilizan el método ELECTRE TRI-B para clasificar las
acciones en las categorías. Consideran una versión simplificada de ELECTRE TRI-B que
ignora los umbrales de preferencia, indiferencia y veto, versión que corresponde al estudio
axiomático de Bouyssou y Marchant (2007a y 2007b). Su metodología se basa en dos
etapas: en una primera etapa realizan un proceso de inferencia de parámetros a 30 ejemplos
de referencia para obtener un modelo de preferencias apropiado. Los parámetros inferidos
son: pesos de los criterios, perfiles frontera y umbral de credibilidad. En la segunda etapa se
ajustan los parámetros inferidos para clasificar a las 100 acciones en las categorías,
respetando los tamaños de las categorías requeridos.
Kadzinski y Słowinski (2013) muestran una propuesta de desagregación de preferencias
para un método llamado DIS-CARD, que aborda el problema de clasificación ordinal con
restricciones a los tamaños de las categorías. El método DIS-CARD utiliza ejemplos de
ordenamiento proporcionados como ejemplos de asignación, y modela esta información
preferencial y las restricciones a los tamaños de las categorías como restricciones mediante
programación MILP. Finalmente adaptan el modelo MILP a dos tipos de modelos
preferenciales: a una función de valor (UTADIS) y a una relación de no-inferioridad
11
(ELECTRE TRI-B). Modelan la información preferencial de los ejemplos de referencia y
los tamaños de las categorías como restricciones y resuelven el modelo mediante
programación entera mixta.
Tabla 1.2 Publicaciones asociadas a los problemas CSP
Publicación Año No. de categorías
No. de Criterios
No. de objetos por clasificar
(A)
No. de Objetos de entrenamiento (T)
Método de clasificación
Técnica de solución
On the notion of category size in multiple criteria sorting models, Mousseau et al., 2003.
2003 3 7 100 8 ejemplos de asignación UTADIS MILP
Constrained multicriteria sorting method applied to portofolio selection, Zheng et al., 2011.
2011 3 6 100 30 ELECTRE TRI-B MILP
An application of constrained multicriteria sorting to student selection, Cardinal et al., 2011.
2011 4 6 76 5 y
3 declaraciones del DM
ELECTRE TRI-B MILP
DIS-CARD: a new method of multiple criteria sorting to classes with desired cardinality, Kadsinski y Słowinski, 2013.
2013 4 3 15 4 DIS-CARD MILP
Parametric evaluation of research units with respect to reference profile, Kadsinski y Słowinski, 2015.
2015 3 4 20 -- PROMETHEE MILP
Multicriteria sorting with category size restrictions, Köksalan et al., 2017.
2017
5 3 81 2,3,5,7
objetos por categoría
UTADIS MILP
5 7 100 2,3
objetos por categoría
An interactive algorithm for multiple criteria constrained sorting problema, Özpeynirci et al., 2017.
2017
4 8 76 6 UTADIS
MR-Sort MILP
2 6 76 3
Metodología propuesta
Un nuevo enfoque para resolver el problema de clasificación ordinal con restricciones al número de objetos en las categorías. Fernández et al, 2018.
2018
3
4
5
3
5
7
50
100
200
1000
3,5,7,10
objetos por categoría
ELECTRE TRI-B MOEA
12
Kadzinski y Słowinski (2015) resuelven un problema de asignación de presupuesto a
unidades de investigación para el Ministerio de Ciencia y Educación Superior de Polonia.
Desarrollan un método que considera clasificación y ordenamiento multicriterio para
generar su modelo de solución y resolverlo mediante un algoritmo MILP. El modelo es
generado mediante un método de no-inferioridad (outranking) inspirado en PROMETHEE.
Özpeynirci y otros (2017) resuelven dos problemas CSP incorporando interactividad con el
DM para ayudar al algoritmo en la búsqueda de la solución. Para resolver los problemas
utilizan los métodos UTADIS y MR-Sort, y resuelven el modelo propuesto con
programación lineal entera mixta (MILP).
Como puede verse en la tabla 1.2, los trabajos antecedentes se dividen en dos grupos: i) los
que emplean UTADIS, basado en información cardinal y en un modelo totalmente
compensatorio, con preferencias transitivas y sin posibilidades de veto; e ii) los que se
apoyan en métodos de no-inferioridad como ELECTRE TRI-B, PROMETHEE y MR-
SORT (una simplificación de ELECTRE TRI-B). Los del segundo tipo prescinden del
poder de veto para evitar la complejidad matemática del problema de optimización que
resuelven, y permitir el empleo de MILP.
Todos los trabajos realizados con anterioridad que infieren los parámetros preferenciales
utilizan la información preferencial de referencia (ejemplos de asignación) como una
verdad absoluta que debe ser respetada. Las modelaciones hechas sólo permiten flexibilidad
sobre las preferencias expresadas sobre las restricciones a los tamaños de las categorías. De
tal manera que las soluciones propuestas tratan de ajustar lo mejor posible los parámetros
preferenciales de los modelos generados, respetando la información preferencial de
entrenamiento y buscando cumplir con las restricciones en los tamaños de las categorías
impuestas.
Esta investigación se centra en resolver el problema de clasificación con restricción en el
tamaño de las categorías como un problema multiobjetivo empleando el método de
clasificación ELECTRE TRI-B y la inferencia de parámetros (Preference Disaggregation
Analysis, PDA) para extraer la política de asignación del DM, implícita en un conjunto de
ejemplos de referencia. Se admite la capacidad de veto y las incomparabilidades que de ella
13
resultan, y la no-linealidad se maneja empleando algoritmos evolutivos. Con el enfoque
multiobjetivo se busca eliminar la consideración de restricción absoluta de las preferencias
implícitas en el conjunto de entrenamiento; es decir, mediante su enfrentamiento a un
problema de optimización multiobjetivo se pretende que el decisor aprenda sobre el
problema, y tenga la posibilidad de reconocer posibles inconsistencias en el conjunto de
entrenamiento. De tal manera que dentro de las soluciones obtenidas puede haber opciones
que asignen algunos objetos de referencia de manera distinta al conjunto de entrenamiento,
permitiendo con esto, cumplir mejor con las restricciones a los tamaños de las categorías.
Por lo anterior, pretendemos que el nuevo método posea ventajas competitivas respecto a
sus antecedentes, derivadas de a) el manejo de situaciones de incomparabilidad y veto, así
como de información ordinal y cualitativa; b) mayor flexibilidad en el tratamiento de las
restricciones al tamaño de las categorías, y al valor no absoluto de la información presente
en el conjunto de objetos de entrenamiento. Al mismo tiempo, y es otro aspecto
diferenciante de los trabajos antecedentes, pretendemos realizar un estudio computacional
exhaustivo, en un rango amplio de las variables que determinan la dimensión del problema
de decisión, de manera que nuestras conclusiones puedan aspirar a ser consideradas
generales.
1.3. Descripción del problema
Considere que se tienen dos conjuntos de objetos: un conjunto T de referencia que contiene
h objetos de los cuales es conocida su clasificación; y un conjunto A de n objetos cuya
clasificación es desconocida. Los objetos de los dos conjuntos están evaluados por un
conjunto G de criterios coherentes. Además el tomador de decisiones impone restricciones
sobre el número de objetos que debe contener cada categoría cuando los objetos del
conjunto A sean clasificados.
Considerando esta información de entrada, el problema consiste en clasificar los n objetos
del conjunto A en M categorías, respetando las restricciones impuestas al número de objetos
que debe tener cada una de ellas y la información preferencial implícita en los objetos del
conjunto T. La figura 1.2 muestra la problemática planteada.
14
Figura 1.2. Problemática planteada
El problema planteado implica la necesidad de satisfacer las preferencias del decisor, las
cuáles están implícitas en el conjunto de referencia y también sus preferencias referentes a
los tamaños de las categorías.
Las preferencias impuestas a los tamaños de las categorías brindan mas información al
tomador de decisiones si son manejadas de manera individual, es decir, saber con certeza el
número de violaciones al tamaño de cada categoría que se tienen con un modelo (conjunto
preferencial). Sin embargo, esto trae la necesidad de manejar como un objetivo el número
de violaciones a cada categoría, y por tanto nos adentra en un escenario de un problema de
optimización multiobjetivo, donde el número de objetivos es M + 1, uno para las
violaciones de cada categoría y otro para manejar las violaciones a la clasificación de los
objetos de referencia.
Restricciones en los tamaños de las
categorías
Objetos clasificados y ordenados, respetando las restricciones
impuestas.
a!", a!" ,… , a!"
a!!, a!",… , a!!! C1
a!",!!! … , a!!!
C2
CM
.
.
Método de
clasificación y ordenamiento
Modelo
U
A
a1
a2
.
.
.
an
T
tMh
15
La propuesta para resolver el problema de clasificación ordinal multicriterio con
restricciones en los tamaños de las categorías formulado como un problema de
optimización multiobjetivo se muestra en la figura 1.3. La propuesta emplea una técnica de
desagregación de preferencias para extraer la información preferencial del DM implícita en
un conjunto de referencia (conjunto T). Para resolver el modelo multiobjetivo se utilizará el
algoritmo multiobjetivo MOEA/D, tomando como entradas la información preferencial
obtenida en el proceso de inferencia de parámetros, las restricciones en los tamaños de las
categorías impuestas por el decisor y el conjunto de objetos a clasificar (conjunto A). El
método de clasificación ordinal a utilizar es ELECTRE TRI-B.
Figura 1.3. Propuesta de solución al problema
Una vez clasificados las n acciones, se aplicará un método de ranking para ordenar las
alternativas de cada categoría, de tal manera que sea posible diferenciar entre alternativas
Restricciones en los tamaños de las
categorías
Objetos clasificados y ordenados, respetando las restricciones
impuestas.
a!", a!",… , a!"
a!!, a!",… , a!!! C1
a!",!!! … , a!!!
C2
CM
.
.
ELECTRE Tri-B
MOEA/D
Modelo
PDA
t!! C1
t!", t!!
t!", t!"
C2
CM
.
.
.
.
U
A
a1
a2
.
.
.
an
T
tMh
Categorías ordenadas
CM es la categoría más preferida
Método de ordenamiento
16
de una misma categoría. La propuesta de solución considera un modelo preferencial
completo (Q, P, U, V, W, perfiles frontera y !) para una mejor caracterización del DM.
1.4. Preguntas de investigación
• ¿Contribuye la optimización multiobjetivo a lograr mejores soluciones desde el
punto de vista de las preferencias integrales del DM?
• ¿Ayudan las heurísticas multiobjetivo a resolver el problema de clasificación
ordinal multicriterio con restricciones en el tamaño de las categorías con la
metodología ELECTRE, utilizando un modelo preferencial completo (Q, P, U, V,
W, perfiles y !) para caracterizar al DM?
• ¿Cuál es la mejor forma de resolver el problema de optimización multiobjetivo?.
Resolver primero el problema de extraer las preferencias del DM implícitas en el
núcleo de referencia (análisis PDA) y posteriormente incorporar las restricciones a
los tamaños de las categorías; o considerar el análisis PDA y las restricciones a los
tamaños de las categorías al mismo tiempo.
1.5. Alcance y limitaciones del trabajo de investigación
El alcance de este trabajo de investigación está delimitado al problema de clasificación ordinal multicriterio con restricciones al tamaño de las categorías y a las consideraciones siguientes:
1. El problema debe ser adecuado a la utilización de métodos de clasificación basados en relaciones de no-inferioridad (outrinking) con ciertas características como: existencia de condiciones de veto, incomparabilidad, falta de transitividad en las preferencias del decisor e información ordinal en algunos criterios.
2. La experimentación en este trabajo esta limitada a problemas que consideran 3, 5, 7 y 10 objetos por categorías en el conjunto de referencia; desempeño de los objetos evaluados en 3, 5 y 7 criterios; 3, 4 y 5 categorías. Otros valores de estos parámetros
17
deberán ser abordados por otros trabajos de investigación. 3. La metodología propuesta no ha sido aplicada a casos reales, solo a datos generados
artificialmente en donde se sabe que existe al menos una solución (modelo de preferencias). �
1.6. Objetivos
En este apartado se presentan los objetivos de este trabajo de investigación, los cuáles tienen como base a las preguntas de investigación planteadas con anterioridad. 1.6.1. Objetivo General
Hacer un aporte original en la modelación y solución de los problemas de clasificación
ordinal multicriterio con restricciones sobre el tamaño de las categorías, que mejore las
propuestas de modelación y solución actuales.
1.6.2. Objetivos específicos
• Diseñar un modelo original de solución no lineal basado en una propuesta de
clasificación-ordenamiento.
• Obtener el modelo de preferencias del conjunto de entrenamiento utilizando una
técnica de desagregación de preferencias.
• Resolver el problema de clasificación ordinal multicriterio con restricciones en el
tamaño de las categorías, como un problema de optimización multiobjetivo.
• Desarrollar, implementar y aplicar un algoritmo que implemente el modelo
propuesto.
1.7. Estructura de la tesis
En el capítulo 2 se presentan los fundamentos teóricos necesarios para el desarrollo de la
18
tesis. En el capítulo 3 se presenta el Análisis de Desagregación de Preferencias (PDA)
implementado con una metaheurística y los resultados experimentales obtenidos. El modelo
de clasificación ordinal multicriterio desarrollado se muestra en el capítulo 4. Por último en
el capítulo 5, las conclusiones y trabajo futuro.
19
Capítulo 2. Fundamentos teóricos
Esta sección contiene la fundamentación teórica necesaria para la realización de este trabajo
de investigación. Para abordar el problema de clasificación ordinal con restricción en el
número de objetos en las categorías, se requiere la comprensión del método de clasificación
ELECTRE TRI-B y se muestra la definición formal de la clasificación con restricción en el
tamaño de las categorías. Se estudia el Análisis de Desagregación de Preferencias (PDA) y
dos metaheurísticas, algoritmos genéticos y evolución diferencial. Adicionalmente, se
muestra el algoritmo de optimización multiobjetivo MOEA/D.
2.1. Definiciones y conceptos básicos
Sea ! = !!,!!,… ,!! el conjunto finito de categorías ordenadas; (M ≥ 2); !! es la
categoría más preferida. El término “preferida” es relativo a cada problema de clasificación
particular ( por ejemplo, más calidad, menos riesgo, más aceptable).
Sea ! = !!, !!,… , !! un conjunto finito de ejemplos de asignación (objetos o acciones de
referencia), donde ! = ℎ.
Sea ! = !!,!!,… ,!! un conjunto finito de decisión con objetos o acciones a clasificar,
donde ! = !.
Sea ! = !!,!!,… ,!! una familia coherente de criterios (Bouyssou et al., 2002), donde
!!(!) es la evaluación en el j-ésimo criterio de la acción a, dónde ! ∈ !, !!(!) ∈ ℜ! y
! = !.
Sea ! = !!,!!,… ,!! el conjunto de pesos, donde !! ∈ (0,1) denota la importancia
del j-ésimo criterio !! , donde !! ∈ ! y !! = 1!!!! .
20
Sea ! = !!, !!,… , !! el conjunto de perfiles frontera, donde ! = !, ! = ! − 1 y bk
separa las categorías Ck y Ck+1.
Los criterios de evaluación deben estar diseñados para capturar la naturaleza
multidimensional del desempeño de las alternativas. Al elegir una familia de criterios para
evaluar un conjunto de alternativas, está debe ser de un número suficientemente pequeño
(legible), debe ser operativa; además, debe contener todos los puntos de vista (exhaustivo),
ser monótona y que cada criterio sea contado sólo una vez (no redundancia). Al cumplirse
estas reglas, se está definiendo una familia coherente de criterios (Bouyssou, 2002).
Figura 2.1. Ejemplo de problemas discretos y continuos Fuente: Elaboración propia con base en (Doumpous y Zopounidis, 2004. p.2).
2.2. Tipo de problema a tratar
Los problemas de toma de decisiones pueden ser clasificados en dos categorías: problemas
de decisión discretos y problemas de decisión continuos. En el primer tipo, los objetos
(acciones) se describen explícitamente, generalmente en forma enumerativa. En la segunda
clase el conjunto de objetos se describe por un conjunto de restricciones; la región factible
está formada por un conjunto de gran cardinal, incluso no numerable. Por ello, sólo se
puede identificar la región donde se encuentran las alternativas de decisión; conocida como
región factible o región solución, en la cual, cada uno de los puntos de dentro de dicha
región, concierne a una acción específica (Doumpos, y Zopounidis, 2004). La Figura 2.1
21
muestra las categorías de los problemas discretos y continuos.
2.3. Problemas continuos
El proceso de optimización de problemas que involucran funciones con restricciones es un
tópico fundamental de estudio, ya que la mayoría de problemas del mundo real presentan
restricciones de algún tipo. Aunque existen muchos métodos para resolver este tipo de
problemas de optimización, es muy difícil encontrar uno que sea siempre eficiente para
cualquier tipo de restricciones.
Muchos problemas del mundo real deben ser resueltos considerando un conjunto de
restricciones. Esas restricciones limitan el espacio de búsqueda de soluciones a una zona
especial que se denomina factible. Dependiendo de las restricciones, la zona factible puede
ser única o estar compuesta de varias zonas dispersas en el espacio de búsqueda, lo cual
dificulta aún más la solución del problema. Contrario a lo que pudiera pensarse, el uso de
restricciones, si bien reduce la región del espacio de búsqueda donde residen las soluciones
de interés, no necesariamente vuelve al problema más fácil de resolver. De hecho, lo suele
hacer más difícil debido a que se complica el proceso de alcanzar la solución de interés (o
sea, el óptimo global). Esto sucede como consecuencia de las irregularidades que las
restricciones introducen en el espacio de búsqueda.
2.3.1. Optimización de un objetivo
Optimizar significa encontrar los valores máximos (maximización) o mínimos
(minimización) de una función entre todas las soluciones factibles del problema. En
problemas con un solo objetivo, existe una única función a optimizar. Aquel individuo
(solución en el espacio del problema) que se corresponde con el valor máximo / mínimo del
problema, es la solución al problema de optimización. Formalmente,
!"#"!"$%& ! ! = ! !!"#$%& ! ! ∈ ! (2.1)
22
donde ! es el espacio de decisión, !:! → ! consiste de una función objetivo real y ! es
llamado el espacio objetivo. El espacio objetivo es definido como el conjunto !(!) ! ∈! .
El algoritmo de búsqueda y optimización que se utilice para abordar el problema deberá́
tener la capacidad de encontrar estos puntos extremos de la función, o al menos soluciones
que se correspondan con valores cercanos al óptimo.
2.3.2. Optimización multiobjetivo
La mayor parte de los problemas de optimización del mundo real son naturalmente
multiobjetivo. Esto es, suelen tener dos o más funciones objetivo que deben satisfacerse
simultáneamente y que posiblemente están en conflicto entre sí. Sin embargo, a fin de
simplificar su solución, muchos de estos problemas tienden a modelarse como mono-
objetivo usando sólo una de las funciones originales y manejando las adicionales como
restricciones. Por ejemplo, con el presupuesto acotado de gastos de supermercado, se
intenta comprar los productos necesarios de mayor calidad al menor precio posible. Cuando
se decide el lugar para vacacionar, seguramente se consideran cuestiones de distancia al
lugar, costos de las diferentes alternativas, opciones de entretenimiento para los diferentes
integrantes del grupo, extensión del período de vacaciones, etc. Estos dos ejemplos del
mundo real permiten entender la naturaleza básica de la optimización multiobjetivo. Se
trata de la búsqueda de opciones considerando la optimización de varios objetivos en
simultáneo y normalmente contrapuestos.
Un problema multiobjetivo difiere de un problema mono-objetivo, dado que los primeros
requieren la optimización simultánea de más de una función objetivo en paralelo.
La noción de óptimo tiene que ser redefinida en este contexto, donde en lugar de buscar una
única solución mejor, se intenta producir un conjunto de buenas soluciones de compromiso.
El desafío principal de los algoritmos de optimización multiobjetivo es encontrar este
conjunto de soluciones para ofrecer al tomador de decisiones las mejores alternativas entre
las disponibles, para que seleccione una de ellas.
23
Un problema de optimización multiobjetivo (MOP), puede ser formulado como sigue
(Zhang et al., 2007):
!"#"!"$%& ! ! = !! ! ,!! ! ,… ,!!"!!"# !!"#$%& ! ! ∈ !
(2.2)
donde ! es el espacio de decisión, !:! → !!"#_!"# consiste de !"#_!"# funciones
objetivo reales y !!"#_!"# es llamado el espacio objetivo. El espacio objetivo es definido
como el conjunto !(!) ! ∈ ! .
En la mayoría de los casos los objetivos en (2.2) se contradicen unos a otros, no hay un
punto en ! que minimiza todos los objetivos simultáneamente, se tiene que encontrar un
balance entre ellos. El balance adecuado depende de las preferencias del tomador de
decisiones, y por tanto no puede definirse rigurosamente en términos de las características
matemáticas del problema.. Sin embargo, las buenas soluciones deben pertenecer a un
conjunto que sí tiene una definición matemática precisa: el conjunto de óptimos de Pareto.
Sea !,! ∈ !!"#_!"# , se dice que ! domina a ! si y solamente si !! ≤ !! para cada
! ∈ !,… ,!"#_!"# y !! < !! para al menos un índice ! ∈ !,… ,!"#_!"# . Un punto
!∗ ∈ ! es óptimo de Pareto de (2.2) si no hay un punto ! ∈ ! tal que !(!) domine a
!(!∗). !(!∗) es llamado vector óptimo de Pareto. La mejora de cualquier objetivo en un
punto óptimo de Pareto lleva al empeoramiento en al menos uno de los otros objetivos. El
conjunto de todos los vectores óptimos de Pareto es llamado el frente de Pareto (PF).
Se dice que una solución a domina a una solución b si, y sólo si (suponiendo
maximización):
∀! ∈ !,!,… ,! !! ! ≥ !! ! ∧ ∃ ! ∈ !,!,… ,! !! ! ≥ !! !
Es decir, una solución domina a otra si es mejor o igual en todos los objetivos y mejor en al
menos uno de ellos.
Una solución es óptimo de Pareto (solución no dominada) si no es dominada por ninguna
otra solución del espacio de soluciones. El conjunto de soluciones no dominadas !∗ ⊂ ! es
24
el conjunto de soluciones óptimas de Pareto y compone la solución óptima del problema
multiobjetivo.
Normalmente no existe una única solución óptima de Pareto a un problema multiobjetivo,
existe un conjunto (en ocasiones infinito) de soluciones no dominadas que forman la
frontera de Pareto, ver figura 2.2.
Se puede demostrar que el mejor compromiso (o sea, la solución más apropiada del
problema de acuerdo con las preferencias del tomador de decisiones) es necesariamente
una solución óptima de Pareto.
Figura 2.2. Frontera de Pareto para Max T(x) y Max Q(x)
Un problema de optimización multiobjetivo puede ser resuelto con métodos convencionales
de programación matemática lineal o no lineal, de acuerdo a las características de las
funciones objetivo y restricciones del problema. Pero para el tratamiento de la fuerte no-
linealidad que conduce a formas inusuales de la frontera de Pareto, los algoritmos
evolutivos se han convertido en una herramienta moderna fundamental, con ventajas claras
sobre la programación matemática convencional (ver por ejemplo, Coello, 1999).
El potencial de los algoritmos evolutivos para resolver problemas de optimización
multiobjetivo se remonta a finales de los 1960s en la tesis doctoral de Rosenberg (1967)
donde se indicó la posibilidad de usar algoritmos genéticos en este dominio. Sin embargo,
el primer intento real por extender un algoritmo evolutivo a problemas multiobjetivo es el
Obj
etiv
o 1
T(x)
Objetivo 2 Q(x)
Soluciones no dominadas (soluciones de la frontera de Pareto)
Soluciones dominadas
Frontera de Pareto
25
Vector Evaluated Genetic Algorithm (VEGA) desarrollado por Schaffer en su tesis doctoral
de 1984 y presentado en la Primera Conferencia Internacional de Algoritmos Genéticos (en
1985).
Históricamente se cuentan tres generaciones de algoritmos evolutivos multiobjetivo:
1. Primera Generación: Caracterizada por el uso de jerarquización de Pareto y nichos.
Algoritmos relativamente simples. También se produjeron enfoques más
rudimentarios (por ejemplo, funciones agregativas lineales). Los MOEAs más
representativos de esta generación son: NSGA, NPGA y MOGA.
2. Segunda Generación: Comenzó cuando el elitismo llegó a ser un mecanismo
estándar. Muchos MOEAs han sido propuestos en la segunda generación, pero muy
pocos han sido considerados como un referente. SPEA2 (Zitzler et al., 2001) y
NSGA-II (Deb et al., 2002) pueden ser los algoritmos más representativos de esta
generación.
3. Tercera Generación: Los algoritmos de primera y segunda generación generan
presión selectiva hacia la frontera de Pareto a partir de explotar el concepto de
dominancia, y pierden efectividad cuando se incrementa la dimensión del espacio
objetivo. En los últimos años con el aumento en la complejidad de los problemas
que requieren una mayor cantidad de funciones objetivo a resolver, resultan de
interés los MOEAs basados en otros paradigmas. Los MOEAS más representativos
de esta generación son los basados en descomposición (MOEA/D y MOEA/D-DE).
Para resolver el problema de optimización multiobjetivo en la sección 4, se utilizará el
algoritmo multiobjetivo basado en descomposición MOEA/D.
2.4. Problemas Discretos
Doumpos, y Zopounidis (2004) y Roy (1985), sustentan que dentro de los problemas
discretos, existen cuatro tipos de análisis o problemas de decisión, que pueden apoyar al
DM en su tarea de realizar su decisión. De esos problemas, Figueira et al. (2010)
consideran como principales, a los tres últimos de la lista siguiente:
· Identificarlas y describirlas por sus características.
26
· Ordenarlas en orden de la mejor a la peor (ranking).
· Seleccionar las mejores (choice).
· Clasificarlas en grupos homogéneos (sorting).
Este trabajo aborda un problema de clasificación ordinal multicriterio donde las categorías
y los criterios tienen una escala al menos ordinal, es decir, donde se distinguen las
preferencias del decisor para valores distintos en sus dominios. Ejemplos típicos de este
tipo de problemas incluyen clasificación de países con diferentes niveles de riesgo basados
en sus criterios sociopolíticos y económicos, clasificación de aplicaciones de crédito
bancarios, clasificación de solicitudes de ingreso de estudiantes y la clasificación de
diferentes tipos de fondos de financiamiento. Algunos problemas de clasificación son
mostrados en Doumpos y Zopounidis (2004).
Se presentan situaciones donde se requiere imponer restricciones al problema de
clasificación acerca de cómo deben ser distribuidos los objetos entre las categorías.
Mousseau (2003) define este tipo de problemas como Problemas de Clasificación con
Restricciones (CSP, por sus siglas en inglés Constrained Sorting Problem) con respecto al
tamaño de la categoría. Los problemas CSP pueden surgir en una gran variedad de
situaciones reales, por ejemplo:
1. Una agencia de financiamiento puede tener restricciones acerca del número de
proyectos que puede financiar en un alto nivel.
2. En el proceso de admisión de estudiantes se presentan restricciones similares
cuando el número de estudiantes que pueden ser aceptados es menor al número de
solicitudes de admisión que son recibidas por la universidad.
3. En financiamiento público, por ejemplo de proyectos de investigación, donde el
presupuesto solicitado es mayor al presupuesto disponible.
2.4.1. Clasificación con restricción en el tamaño de las categorías (CSP)
Un Problema de Clasificación con Restricciones surge de situaciones de decisión
formuladas en un problema de clasificación en el cual es necesario introducir
27
especificaciones en los tamaños de las categorías. Estas especificaciones son las
restricciones sobre el tamaño de las categorías.
Los problemas CSP difieren de los problemas de clasificación usuales. Un problema de
clasificación usual se refiere a una evaluación absoluta de objetos (no se requiere
comparación entre objetos). Sin embrago, las restricciones sobre el tamaño de las categorías
implican cierta evaluación relativa entre objetos.
Para justificar el interés de las restricciones en el tamaño de las categorías para el Análisis
Multicriterio para la Toma de Decisiones, se mostrarán varios problemas de decisión
ilustrativos realistas (Mousseau et al., 2003) en los que esta noción puede jugar un papel
importante en el proceso de modelado.
Ejemplo 1.
Considere un gerente de crédito en una institución financiera que decide si procede o no
conceder créditos a los clientes. Su papel es el de aceptar / rechazar expedientes de crédito
o posiblemente referirse a su superior para los casos difíciles o ambiguos. Su decisión se
basa en los diversos elementos documentados en el expediente. Este problema de decisión
se puede formular a través de una segmentación tricotómica de múltiples criterios ( aceptar
/ consultar superior / rechazar).
Sin embargo, el gerente de crédito no puede enviar muchos archivos ( no más de 10 % en
promedio) a su superior. En tal caso, es natural concebir un modelo de clasificación con
tres categorías en las que la clase central tiene una restricción de tamaño del 10%.
Ejemplo 2.
Cada año, el director de una empresa quiere dividir un presupuesto de bonos entre sus
colaboradores. Considera cuatro niveles de bonos (A: alto, B: mediano, C: pequeño, D:
nada) de acuerdo a varios criterios de desempeño que se discuten en el comienzo del año
con sus colaboradores (los montos de los paquetes de los bonos A, B y C también son
establecidos en el inicio del año).
La política de primas del director es tal que muy pocos colaboradores reciben un bono A,
28
unos pocos más consiguen un bono B, una parte significante logra conseguir un bono C y
una gran parte de ellos no reciben bonificación. En esta situación, la forma de la
distribución del tamaño de categoría puede ser considerado como "creciente" (o
"decreciente" de acuerdo con la forma en que las categorías están numeradas) .
Ejemplo 3.
Cada año, el responsable del programa de formación de la Universidad se enfrenta al
mismo problema en la definición de los cursos de lenguas extranjeras. Él quiere dividir un
grupo de estudiantes (aproximadamente 100) en tres grupos de diferentes niveles
(principiantes, intermedios y avanzados). La asignación de un estudiante a una clase
específica se basa en sus habilidades (expresión oral, comprensión auditiva, expresión
escrita, ...). Sin embargo, con el fin de ser "justo" con los profesores y estudiantes, las tres
clases están destinadas a ser "no muy diferentes" de tamaño. Tal problema de decisión,
obviamente, se puede formular como un problema de clasificación multicriterio. Una de las
particularidades de este problema consiste en el tamaño "uniforme " de las categorías
representando las tres clases.
Algunos CSP pueden formularse como problemas de ranking o selección si las categorías
están ordenadas, y siempre que no haya una definición más o menos absoluta de la
categoría. Si existe una restricción de tamaño que indica que la primera categoría debe
contener k alternativas, esto correspondería a una selección de las mejores k alternativas de
un conjunto, pero solo en caso de que no sea importante verificar que esas alternativas se
apegan a la definición absoluta de la categoría correspondiente. Si existen limitaciones de
tamaño que indican que las primeras k1 alternativas pertenecen a C1, k2 alternativas
pertenecen a C2, etc., esto se puede lograr ordenando las alternativas de la mejor a la peor y
romper el ranking en ncat segmentos (de nuevo asumiendo que el DM no esté interesado en
lograr la correspondencia de la asignación con la definición de la categoría). Hay
situaciones obvias de CPS que no se pueden formular usando una formulación relativa
(elección o ranking). Una situación como el ejemplo 2 no puede ser resuelta por el ranking
de las alternativas, porque no sabríamos qué segmento con un 10% de las alternativas (en el
ranking) se debe seleccionar.
29
Estos tres problemas de decisión ilustran situaciones de clasificación en los que el tamaño
de la categoría interviene de alguna manera en el proceso de modelado. Un analista de
ayuda a la decisión que diseñe un modelo para estas situaciones, debe tener en cuenta en el
proceso de modelado la información concerniente a los tamaños de las categorías, de
acuerdo a como sea requerido por el DM.
2.4.2. Definición de un problema CSP
La definición formal de los problemas de clasificación con restricción en el tamaño de las
categorías fue hecha por (Mousseau et al., 2003). El tamaño de una categoría en un modelo
de clasificación con restricción en el tamaño de las categorías !! se define como la
proporción por la cual un vector de evaluación asigna a un objeto a la categoría !!. Sea
! = 1,2,… ,! ; proponen las siguientes propiedades sobre el tamaño proporcional de la
categoría k-esima, denotado por !(!!):
!(!!) ≥ 0,∀! ∈ !
! !! = 1!!
! ⋃!∈!!!! = !(!!)!∈!! ,∀!! ⊂ !
En un CSP se pueden definir diferentes tipos de limitaciones sobre el tamaño de las
categorías (Köksalan et. Al, 2017):
• Una categoría puede incluir un porcentaje de todos los objetos.
• El número de objetos asignados a una categoría debe ser menor que el número de
objetos asignados a otra categoría.
• El número de objetos asignados a una categoría puede ser definido como un intervalo.
30
2.5. ELECTRE TRI-B
En esta sección se describirá el método de clasificación ELECTRE TRI-B, basado en
relaciones de no inferioridad. Este método es el método insignia del enfoque europeo para
resolver problemas de clasificación.
Figura 2.3. Definición de las categorías usando perfiles como límites
Fuente: (Mousseau et. al, 2000).
ELECTRE TRI-B es un método de clasificación multicriterio que asigna las ! acciones de
un conjunto ! = !!,!!,… ,!! a ! categorías predefinidas. La asignación de una acción !
resulta de la comparación de ! con los perfiles que definen los límites de las categorías. Sea
! = !!,!!,… ,!! el conjunto de índices de los criterios y ! = !!, !!,… , !! el
conjunto de los perfiles que definen ! categorías, siendo b! el límite superior de la
categoría !! y el límite inferior de la categoría !!!!, ℎ = 1,2,… ,! (ver la Figura 2.3,
donde los perfiles !!!! y !! corresponden a los objetos ideal y anti-ideal, respectivamente).
Sin pérdida de generalidad, se considera que la preferencia se incrementa con el valor de
cada criterio.
Esquemáticamente, ELECTRE TRI-B asigna objetos a categorías siguiendo dos pasos
consecutivos:
31
• Construcción de una relación de no-inferioridad (outranking) S que caracteriza
cómo las acciones se comparan con los límites de las categorías.
• Explotación de la relación S para asignar cada acción a una categoría específica.
2.5.1. Construcción de la relación de no-inferioridad S
ELECTRE TRI-B construye una relación de no-inferioridad !, para validar la aserción de
!"!! (y !!!"), cuyo significado es "! es al menos tan buena como !!". Los umbrales de
preferencia e indiferencia (!! !! y !!(!!)) constituyen la información preferencial intra-
criterios. Estos consideran la naturaleza imprecisa de las evaluaciones !!(!). !!(!!) específica la diferencia más grande !! ! − !! !! que preserva la indiferencia entre ! y
!! en el criterio !! ; !! !! representa la diferencia más pequeña !! ! − !! !!
compatible con una preferencia a favor de ! en el criterio !! (Mousseau et. al, 2000).
Dos tipos de parámetros de preferencia inter-criterio intervienen en la construcción de !:
Dos tipos de parámetros de preferencia inter-criterio intervienen en la construcción de !:
• El conjunto de los coeficientes de los pesos (!!,!!,… ,!!) es usado en la prueba
de concordancia cuando se calcula la importancia relativa de las coaliciones de los
criterios a favor de la aserción !"!!.
• El conjunto de umbrales de pre-veto !! !! ,!! !! ,… ,!! !! y veto
!! !! ,!! !! ,… ,!! !! son utilizados en la prueba de discordancia; !! !!
representa la diferencia más pequeña !! !! − !! ! incompatible con la aserción
!"!!.
2.5.2. Procedimiento de construcción
ELECTRE TRI-B construye una relación de no-inferioridad ! usando un índice de
credibilidad ! !, !! ∈ 0,1 y ! !! ,! ∈ 0,1 , que representa el grado de credibilidad de
la aserción de !"!! y !!!" , respectivamente ∀! ∈ !,∀ℎ ∈ !. La relación de no-
32
inferioridad en este trabajo será calculada de acuerdo con Roy (1990) y se utilizará la
simplificación de Mousseau y Dias (2006), que introduce el umbral de pre-veto.
La relación de no-inferioridad proporciona un valor real entre 0 y 1 para indicar la fuerza
preferencial entre el objeto ! y el objeto !! . Se considera que todos los criterios son
favorables. Los símbolos !! , !! , !! , !! ( ! = 1,2,… ,!) denotan los umbrales de
indiferencia, preferencia, pre-veto y veto respectivamente. La evaluación de la alternativa !
en el criterio !! es definida por !!(!).
La relación de no-inferioridad es construida con los índices de concordancia global y de
discordancia como se describe a continuación.
- Índice de concordancia
El índice de concordancia global es definido como sigue:
! !, !! = !! !!(!, !!)!!!! (2.3)
donde el índice de concordancia por criterio !! !, !! es calculado de la manera siguiente:
!! !, !! =01
!" !"#$ !"#$%"
!! !! − !! ! ≥ !!!! !! − !! ! ≤ !!!! ! −!! !ℎ +!!
!!−!!
(2.4)
!! es el peso del criterio !!, y ! !, !! es el índice de concordancia global que soporta la
aserción !"!!, que implica que “a es al menos tan bueno como !!”.
- Índice de discordancia
El índice de discordancia considera el efecto de cualquier criterio discordante en la
validación de !"!! empleando la información preferencial de los umbrales de pre-veto ! y
veto !. Para reflejar la capacidad otorgada por el ! − !"#$% para rechazar la afirmación
!"!! el índice de discordancia se define como:
!" !"#$ !"#$%"
33
!! !, !! =01
!" !"#$ !"#$%"
!! !! − !! ! ≤ !!!! !! − !! ! ≥ !!!! !ℎ −!! ! −!!
!!−!!
(2.5)
- Índice de credibilidad de la relación de no-inferioridad
El índice de credibilidad ! de la relación de no-inferioridad es calculado como sigue:
(2.6)
Observe que cuando !! !, !! = 1, el índice de credibilidad ! !, !! = 0.
La definición del índice de credibilidad es basada en las siguientes premisas (Figueira et. al,
2016):
a) Cuando no hay criterios discordantes, la credibilidad de la relación de no-
inferioridad es igual al índice de concordancia global, ! !, !! = ! !, !! .
b) Cuando un criterio discordante activa el poder de veto, la aserción !"!!no es
creible y el índice de credibilidad ! !, !! = 0.
c) Para las situaciones restantes en las cuales el índice de concordancia global es
estrictamente más bajo que el índice de discordancia sobre el criterio discordante
(! !, !! < !! !, !! ), el índice de credibilidad llega a ser más bajo que el índice
de concordancia global, por el efecto de oposición en ese criterio, ! !, !! <! !, !! .
2.5.3. Procedimiento de explotación
Como la asignación de los objetos a las categorías no se obtiene directamente de la relación
!, una fase de explotación es necesaria; esta requiere que la relación ! utilice un ! − !"#$%:
!" !"#$ !"#$%"
!(!, !!) = !(!, !!) ∙ ! 1− !!(!, !!)1 − !(!, !!)!∈!∶ !!(!,!!) ! !(!,!!)
34
la aserción !"!! es considerada válida si !(!, !!) ≥ ! y ( ! !! ,! ≥ !, respectivamente),
siendo ! un nivel de corte tal que ! ∈ 0.5,1 . Este nivel de corte determina la situación de
preferencia entre ! y !!:
• !(!, !!) ≥ ! y !(!! ,!) ≥ ! ⇒ !"!! y !!!" ⇒ !"!!. ! es indiferente a !!.
• (!, !!) ≥ ! y ! !! ,! < ! ⇒ !"!! y no !!!" ⇒ ! ≻ !! . ! es preferido a !!
(debilemnte o estrictamente).
• !(!, !!) < ! y ! !! ,! ≥ ! ⇒ no !"!! y !!!" ⇒ !! ≻ ! . !! es preferido a !
(debilemnte o estrictamente).
• !(!, !! < ! y ! !! ,! < ! ⇒ no !"!! y no !!!" ⇒ !"#! . ! es incomparable a
!!.
Observe que !! y !!!! son definidos tal que !!!! ≻ ! y !"#!,∀! ∈ ! . El rol del
procedimiento de explotación es analizar la manera en la cual una acción ! es comprada
con los perfiles y cómo determinar la categoría a la cual ! debería ser asignada. Se tienen
dos procedimientos de asignación disponibles:
Procedimiento pesimista (o conjuntivo):
a) Comparar ! sucesivamente con !!, para ! = !,! − 1,… ,0
b) Al encontrar el primer perfil !! tal que !"!! , asignar ! a la categoría !!!!
(! → !!!!).
Procedimiento optimista (o disyunjuntivo):
a) Comparar ! sucesivamente con !!, para ! = !,! − 1,… ,0.
b) Al encontrar el primer perfil !! tal que !"!! , asignar ! a la categoría !!!!
(! → !!!!).
Si !! y !!!! denotan el perfil superior e inferior de la categoría !! , el procedimiento
pesimista asigna ! a la categoría !! más alta tal que ! sobreclasifique a !!!! , !"!!!! .
Cuando se usa este procedimineto con ! = 1, una alternativa ! puede ser asignada a la
categoría !! solamente si !!(!) iguala (supera a un umbral) o excede !!(!!) en cada
criterio (regla conjuntiva) (Mousseau et. al, 2000).
35
El procedimiento optimista asigna ! a la categoría !! más baja para la cual el perfil inferior
!!es preferido a !, !!!! ≻ !. Cuando se usa este procedimineto con ! = 1, una alternativa
! puede ser asignada a la categoría !! cuando !!(!!) excede !!(!) (en algún umbral) en
al menos un criterio (regla disyuntiva) (Mousseau et. al, 2000). Cuando ! decrementa, las
propiedades conjuntiva y disyuntiva de estas reglas se debilitan.
2.6. Análisis de Desagregación de Preferencias (PDA)
Muchas decisiones prácticas pueden ser modeladas usando análisis de decisión
multicriterio. Los métodos multicriterio suponen a un tomador de decisiones con la
capacidad de expresar sus preferencias en una estructura matemática. Por lo tanto, obtener
información preferencial del DM y formalizar dicha información en un conjunto de
parámetros preferenciales es un aspecto crucial en la construcción de un modelo de
decisión multicriterio (Fernández et. al, 2009).
Figura 2.4. Paradigmas de agregación y desagregación en MCDA
El desarrollo de estos modelos puede ser basado en procedimientos de elicitación de
parámetros de preferencia de manera directa o indirecta. En los procedimientos directos el
DM debe especificar los parámetros preferenciales a través de una proceso interactivo
guiado por un analista de decisión. Generalmente el DM muestra dificultad cuando se le
solicita que asigne valores a los parámetros cuyo significados son poco claros para él. Por
otro lado se tienen los procedimientos indirectos, que componen el paradigma del análisis
Criterios Preferencias globales
Modelo de agregación
Agregación
Modelo de desagregación
Desagregación
36
de desagregación de preferencias (PDA), el cual utiliza métodos inspirados en regresión
para inferir un conjunto de parámetros preferenciales de un conjunto de ejemplos de
decisión.
En el paradigma de agregación tradicional, el modelo de agregación es conocido a priori,
mientras que las preferencias globales son desconocidas. Por el contrario, la filosofía de la
desagregación involucra la inferencia del modelo de preferencias dada las preferencias
globales, ver figura 2.4.
El análisis de desagregación provee un marco metodológico para el desarrollo de modelos
de decisión usando ejemplos de decisiones tomadas por un DM (o grupo de DM’s), de tal
manera que el sistema de preferencia es representado en el modelo lo más preciso posible.
La entrada principal usada en este proceso es un conjunto de alternativas de referencia
evaluadas por el DM (ejemplos de decisión). El conjunto de referencia puede consistir de
decisiones pasadas, un subconjunto de alternativas bajo consideración, o un conjunto de
acciones ficticias que pueden ser fácilmente juzgadas por el DM. Dependiendo de la
problemática de decisión la evaluación de las acciones de referencia puede ser expresada
definiendo una estructura de orden (total, débil, parcial, etc.) o en clases clasificadas
(Doumpos y Zopoundis, 2011).
El objetivo del análisis de desagregación de preferencias es inferir los parámetros
preferenciales !∗ que aproximen, con la mayor precisión posible, el sistema preferencial
del DM implícito en el conjunto de acciones de referencia (de entrenamiento). Se espera
que con los parámetros obtenidos, las evaluaciones realizadas con el modelo
correspondiente sean consistentes con las evaluaciones que realizaría el DM. Esta
metodología proporciona una base sólida para el apoyo a la decisión, siguiendo un enfoque
constructivo (Doumpos y Zopoundis, 2011).
El interés de este trabajo se centra en aplicar un método PDA al método ELECTRE TRI-B
para inferir un modelo preferencial completo (pesos de los criterios, umbrales, perfiles
frontera y lambda) de un conjunto de entrenamiento. Dias y otros (2006) mencionan que
inferir todos los parámetros simultáneamente en modelos ELECTRE, requiere de resolver
un problema no lineal con restricciones no convexas, lo que es usualmente difícil.
37
De acuerdo con Doumpos y otros (2009), la forma relacional de estos modelos y las
condiciones de veto pueden hacer imposible inferir el conjunto de parámetros
preferenciales en conjuntos de datos de tamaños reales.
Los enfoques más clásicos para resolver problemas de inferencia de parámetros reducen el
problema a un solo objetivo. Fernández y otros (2009) realizaron el primer trabajo que
plantea la optimización multiobjetivo evolutiva para implementar un método de inferencia
de parámetros para una relación de indiferencia basada en el enfoque de no-inferioridad. En
su trabajo resolvieron el problema multiobjetivo mediante algoritmos genéticos.
Doumpos y otros (2009), utilizaron evolución diferencial para desarrollar un método de
desagregación de preferencias utilizando el método ELECTRE TRI-B. Otras aplicaciones
de la computación evolutiva para inferir parámetros de modelos basados en relaciones de
no-inferioridad pueden verse en (Fernández et al., 2012; Covantes et al., 2016; Cruz et al.,
2017).
2.7. Metaheurísticas
Las metaheurísticas son procedimientos de búsqueda de alto nivel que aplican ciertos tipos
de reglas con base en alguna fuente de conocimiento, a fin de poder realizar una
exploración más eficiente del espacio de búsqueda.
La aplicación de las técnicas metaheurísticas es especialmente interesante en caso de
problemas de optimización combinatoria: problemas en las que las variables de decisión
son enteras (o discretas, al menos) en las que, generalmente, el espacio de soluciones está
formado por ordenaciones de valores de dichas variables. Sin embargo, las técnicas
metaheurísticas se pueden aplicar también a problemas de otro tipo, como con variables
continuas, por ejemplo.
La lógica de las técnicas metaheurísticas es considerar que el punto de partida es una
solución (o conjunto de soluciones) que típicamente no es óptima. A partir de ella se
obtienen otras parecidas, de entre las cuales se elige una que satisface algún criterio, a partir
de la cual comienza de nuevo el proceso. Este proceso se detiene cuando se cumple alguna
38
condición establecida previamente.
Las técnicas metaheurísticas más extendidas son la siguientes: los algoritmos genéticos,
algoritmos evolutivos, la búsqueda tabú, el recocido simulado, la búsqueda “scatter”, las
colonias de hormigas, la técnica conocida por el nombre inglés GRASP y cúmulos de
partículas PSO.
Todas las técnicas metaheurísticas tienen las siguientes características (Siarry y
Michalewicz, 2008):
- Son ciegas, no saben si llegan a la solución óptima. Por lo tanto, se les debe indicar
cuándo deben detenerse.
- Son algoritmos aproximativos y, por lo tanto, no garantizan la obtención de la
solución óptima.
- Aceptan ocasionalmente malos movimientos (es decir, se trata de procesos de
búsqueda en los que cada nueva solución no es necesariamente mejor –en términos
de la función objetivo– que la inmediatamente anterior). Algunas veces aceptan,
incluso, soluciones no factibles como paso intermedio para acceder a nuevas
regiones no exploradas.
- Son relativamente sencillas; todo lo que se necesita es una representación adecuada
del espacio de soluciones, una solución inicial (o un conjunto de ellas) y un
mecanismo para explorar el campo de soluciones.
- Son generales. Prácticamente se pueden aplicar en la resolución de cualquier
problema de optimización de carácter combinatorio. Sin embargo, la definición de
la técnica será más o menos eficiente en la medida en que las operaciones tengan
relación con el problema considerado.
- La regla de selección depende del instante del proceso y de la historia hasta ese
momento. Si en dos iteraciones determinadas, la solución es la misma, la nueva
solución de la siguiente iteración no tiene por qué ser necesariamente la misma. En
general, no lo será.
39
Aunque las soluciones que ofrecen los técnicas metaheurísticas no son las óptimas y, en
general, ni siquiera es posible conocer la proximidad de las soluciones al óptimo, permiten
estudiar problemas de gran complejidad de una manera sencilla y obtener soluciones
suficientemente buenas en tiempos razonables.
La mayoría de los algoritmos metaheurísticos son inspirados en la naturaleza, han sido
desarrollados basados en alguna abstracción de la naturaleza. La naturaleza ha
evolucionado por millones de años y ha encontrado soluciones perfectas para la mayoría
para casi todos los problemas conocidos. Se puede aprender del éxito de la forma en que la
naturaleza soluciona sus problemas y desarrollar algoritmos heurísticos y/o metaheurísticos
inspirados en la naturaleza.
Los dos mayores componentes de un algoritmo metaheurísticos son: selección de la mejor
solución y aleatoriedad. La selección de los mejores asegura que las soluciones converjan al
óptimo, mientras la aleatoriedad evita que las soluciones se estanquen en óptimos locales e
incrementa la diversidad de las soluciones. Una buena combinación de estos dos
componentes usualmente asegurarían que el optimo global sea alcanzado.
En las secciones siguientes se analizarán dos metaheurísticas: algoritmos genéticos y
algoritmo evolutivo diferencial. Se revisarán sus operadores y su procedimiento básico.
2.7.1. Algoritmo genético
Un algoritmo genético está basado en una metáfora biológica, en el cual un estado sucesor
es generado combinando dos estados padres. Un algoritmo genético inicia con un conjunto
de k individuos generados aleatoriamente, este conjunto es llamado población inicial del
algoritmo genético. Cada individuo es representado como una cadena de datos,
mayormente utilizados 0’s y 1’s.
La idea del algoritmo genético (AG) fue propuesta por John Holland y sus colaboradores en
los 60s y 70s; es un modelo o abstracción basado de evolución biológica basado en la
teoría de la selección natural de Charles Darwin. Holland fue el primero en utilizar los
operadores de cruza, mutación y selección en el estudio de sistemas artificiales y
adaptativos. Estos operadores forman la parte esencial de la parte de un algoritmo genético
40
como parte de la estrategia de solución de un problema.
Muchas variantes de algoritmos genéticos han sido desarrollados y aplicados en un amplio
rango de problemas de optimización, coloreo de grafos, reconocimiento de patrones, en
sistemas discretos como el problema del viajero, en sistemas continuos como el diseño
eficiente de fuselajes en ingeniería aeroespacial, en el mercado financiero y en
optimización multiobjetivo en el área de ingeniería.
Hay muchas ventajas de los algoritmos genéticos sobre los algoritmos tradicionales de
optimización, y las dos ventajas principales son: la habilidad de tratar con problemas
complejos de optimización y el paralelismo. Los algoritmos genéticos pueden tratar con
varios tipos de optimización si la función objetivo es estacionaria o no estacionaria (cambia
en el tiempo), lineal o no lineal, continua o discontinua, o con ruido aleatorio. Los
individuos de la población actúan como agentes independientes que puede explorar en
espacio de búsqueda en múltiples direcciones. Esta característica hace a los algoritmos
genéticos ideales para paralelizarlos en su implementación.
Sin embargo, los algoritmos genéticos también tiene algunas desventajas. La formulación
de la función objetivo, el tamaño de la población inicial que se utilizará, la selección de
parámetros importantes como la tasa de mutación y cruce, el criterio de selección de la
nueva población deben ser cuidadosamente elegidos. Una selección inapropiada causará
problemas de convergencia al algoritmo genético, o simplemente esto producirá resultados
sin sentido. A pesar de estas desventajas, los algoritmos genéticos permanecen como uno
de los algoritmos de optimización más ampliamente usados en optimización no lineal
moderna.
2.7.1.1. Algoritmo
El algoritmo genético enfatiza la importancia de la cruza sexual (operador principal) sobre
el de la mutación (operador secundario), y usa selección probabilística.
El algoritmo básico es el siguiente (Coello, 2017):
• Generar (aleatoriamente) una población inicial.
41
• Calcular aptitud de cada individuo.
• Seleccionar (probabilísticamente) en base a aptitud.
• Aplicar operadores genéticos (cruza y mutación) para generar la siguiente
población.
• Ciclar hasta que cierta condición se satisfaga.
• La representación tradicional es la binaria, tal y como se ejemplifica en la figura
2.5.
A la cadena binaria se le llama “cromosoma”. A cada posición de la cadena se le
denomina “gene” y al valor dentro de esta posición se le llama “alelo”.
Figura 2.5. Ejemplo de la codificación (mediante cadenas binarias) usada tradicionalmente con
los algoritmos genéticos
Para poder aplicar el algoritmo genético se requiere de los 5 componentes básicos
siguientes:
1. Una representación de las soluciones potenciales del problema.
2. Una forma de crear una población inicial de posibles soluciones (normalmente un
proceso aleatorio).
3. Una función de evaluación que juegue el papel del ambiente, clasificando las
soluciones en términos de su “aptitud”.
4. Operadores genéticos (selección, cruce y mutación) que alteren la composición de
los hijos que se producirán para las siguientes generaciones.
5. Valores para los diferentes parámetros que utiliza el algoritmo genético (tamaño de
la población, probabilidad de cruza, probabilidad de mutación, número máximo de
generaciones, etc.) .
0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
Cadena 1 Cadena 2 Cadena 3 Cadena 4
42
2.7.1.2. Selección
Una parte fundamental del funcionamiento de un algoritmo genético es, sin lugar a dudas,
el proceso de selección de candidatos a reproducirse. En el algoritmo genético este proceso
de selección suele realizarse de forma probabilística (es decir, aún los individuos menos
aptos tienen una cierta oportunidad de sobrevivir), a diferencia de las estrategias evolutivas,
en las que la selección es extintiva (los menos aptos tienen cero probabilidades de
sobrevivir).
Las técnicas de selección usadas en algoritmos genéticos pueden clasificarse en tres
grandes grupos:
• Selección proporcional: ruleta, sobrante estocástico, universal estocástica,
muestreo determinístico, escalamiento sigma,, selección por jerarquías,
selección de Boltzmann.
• Selección mediante torneo.
• Selección de estado uniforme.
En este trabajo se emplearán la selección por ruleta y la selección por torneo.
2.7.1.2.1. Selección por ruleta
Esta técnica fue propuesta por De Jong (1975), y ha sido el método más comúnmente usado
desde los orígenes de los algoritmos genéticos. A cada uno de los individuos de la
población se le asigna una parte proporcional a su ajuste de una ruleta, de tal forma que la
suma de todos los porcentajes sea la unidad. Los mejores individuos recibirán una porción
de la ruleta mayor que la recibida por los peores. Generalmente la población está ordenada
en base al ajuste por lo que las porciones más grandes se encuentran al inicio de la ruleta.
Para seleccionar un individuo basta con generar un número aleatorio del intervalo [0..1] y
devolver el individuo situado en esa posición de la ruleta. Esta posición se suele obtener
recorriendo los individuos de la población y acumulando sus proporciones de ruleta hasta
que la suma exceda el valor obtenido.
El algoritmo es simple, pero ineficiente (su complejidad es !(!!). Asimismo, presenta el
43
problema de que el individuo menos apto puede ser seleccionado más de una vez. Sin
embargo, buena parte de su popularidad se debe no sólo a su simplicidad, sino al hecho de
que su implementación se incluye en el libro clásico sobre AGs de David Goldberg (1989).
El algoritmo de la Ruleta (de acuerdo a De Jong, 1975) es el siguiente:
• Calcular la suma de los valores de las aptitudes de los individuos para calcular !
! = !(!"#!)!!!!
!
donde !(!"#!) es la aptitud del individuo ! y ! es el número de individuos en la
población.
• Calcular los valores esperados !!! = !!!
• Calcular la suma de valores esperados !
• Repetir ! veces (! es el tamaño de la población):
- Generar un número aleatorio !, ! ∈ 0.0,!
- Ciclar a través de los individuos de la población sumando los valores esperados
!" hasta que !" ≥ !. �
- El individuo que haga que esta suma exceda el valor de ! es el seleccionado. �
El ejemplo siguiente muestra el funcionamiento de esta técnica de selección.
Individuo Aptitud !" (1) 25 0.35
(2) 81 1.13 (3) 36 0.51
(4) 144 2.01
= 286 = 4.00
! = !"#! = 71.5 ! = 4.0 ! ∈ 0.0,4.0
Se genera un número aleatorio, por ejemplo ! = 1.3
44
Se busca al individuo cuya suma de valores !" ≥ !
Ind 1 suma = 0.35 < !
Ind 2 suma = 1.48 > !
El individuo 2 es seleccionado. Esto se repite hasta tener el tamaño de selección deseado.
Una desventaja de está técnica es que el peor individuo puede ser seleccionado varias veces
y su complejidad es ! !! .
2.7.1.2.2. Selección por torneo
La selección mediante torneo estudiada en la tesis doctoral de Brindle (1981) y fue
propuesta por Wetzel (1983).
La idea básica del método es seleccionar con base en comparaciones directas de los
individuos.
�El algoritmo de la versión determinística es el siguiente:
Ø Barajar los individuos de la población.
Ø Escoger un número p de individuos (típicamente 2, para un torneo binario).
Ø Compararlos con base en su aptitud.
Ø El ganador del “torneo” es el individuo más apto.
Ø Debe barajarse la población hasta seleccionar ! padres (donde ! es el tamaño de la
población).
Algunas ventajas de esta técnica son:
• Su baja complejidad, se requieren “!” competencias de este tipo para completar
una generación, por lo tanto, el algoritmo es !(1). • La técnica eficiente y fácil de implementar. �
• No requiere escalamiento de la función de aptitud (usa comparaciones di-
rectas). �
45
Par de hijos después de la cruza
Punto de cruce
Una desventaja es que puede introducir una presión de selección muy alta, a los individuos
menos aptos no se les da oportunidad de sobrevivir. �
Un ejemplo de su funcionamiento, es el siguiente (Coello, 2017):
Individuo Aptitud Barajar Ganadores (1) 254 (2) (6) (6)
(2) 47 (4) (1) (1)
(3) 457 (1) (3) (3)
(4) 194 (6) (5) (6) (5) 85 (5) (4) (4)
(6) 310 (2) (3) (3)
Padres:
(6) y (1), (3) y (6), (4) y (3)
2.7.1.3. Cruce
En los sistemas biológicos, la cruza es un proceso complejo que ocurre entre parejas de
cromosomas. Estos cromosomas se alinean, luego se fraccionan en ciertas partes y
posteriormente intercambian fragmentos entre sí.
Figura 2.6. Cruce de un punto aleatorio
1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 0 1 1
1 0 1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1 0 1
Par de padres antes de la cruza
46
En la figura 2.6 se ilustra el proceso de cruza de un punto, este esquema de cruza será
utilizado en este trabajo.
2.7.1.4. Mutación
La mutación se considera como un operador secundario en los algoritmos genéticos
canónicos. Es decir, su uso es menos frecuente que el de la cruza.
En la práctica, se suelen recomendar porcentajes de mutación de entre 0.001 y 0.01 para la
representación binaria.
Algunos investigadores, sin embargo, han sugerido que el usar porcentajes altos de
mutación al inicio de la búsqueda, y luego decrementarlos exponencialmente, favorece el
desempeño de un AG (Terence 1989).
Otros autores sugieren que !" = !! (donde ! es la longitud de la cadena cromosómica) es
un límite inferior para el porcentaje óptimo de mutación (Bäck 1993).
El papel que juega la mutación en el proceso evolutivo, así como su comparación con la
cruza, sigue siendo tema frecuente de investigación y debate en la comunidad de
computación evolutiva. En este capítulo estudiaremos diferentes técnicas de mutación que
se han propuesta en la literatura especializada.
2.7.1.5. Elitismo
Se denomina elitismo al mecanismo utilizado en algoritmos genéticos para asegurar que los
cromosomas de los miembros mas aptos de una población se pasen a la siguiente
generación sin ser alterados por ningún operador genético. Ha sido demostrado que el AG
requiere de elitismo (o sea, retener intacto al mejor individuo de cada generación) para
poder converger al óptimo (Gunter, 1994).
Usar elitismo asegura que la aptitud máxima de la población nunca se reducirá de una
generación a la siguiente. Sin embargo, no necesariamente mejora la posibilidad de
localizar el optimo global de una función. No obstante, es importante hacer notar que se ha
47
demostrado que el uso de elitismo es vital para poder demostrar convergencia de un
algoritmo genético (Coello, 2018).
2.7.1.6. Algoritmos genéticos vs otras técnicas evolutivas
• El AG usa selección probabilística al igual que la Programación Evolutiva, y en
contraposición a la selección determinística de las Estrategias Evolutivas.
• El AG usa representación binaria para codificar las soluciones a un problema, por lo
cual se evoluciona el genotipo y no el fenotipo como en la Programación Evolutiva o
las Estrategias Evolutivas.
• El operador principal en el AG es la cruza, y la mutación es un operador secundario. En
la Programación Evolutiva, no hay cruza y en las Estrategias Evolutivas es un operador
secundario.
• Ha sido demostrado que el AG requiere de elitismo (o sea, retener intacto al mejor
individuo de cada generación) para poder converger al óptimo.
2.7.1.7. Aplicaciones
Algunas aplicaciones de los AGs son las siguientes (Goldberg,1989):
• Optimización (estructural, de topologías, numérica, combinatoria, etc.)
• Aprendizaje de máquina (sistemas clasificadores)
• Bases de datos (optimización de consultas)
• Reconocimiento de patrones (por ejemplo, imágenes)
• Generación de gramáticas (regulares, libres de contexto, etc.)
• Planeación de movimientos de robots
• Predicción
2.7.2. Algoritmo evolutivo diferencial
El algoritmo evolutivo diferencial, mejor conocido como evolución diferencial (DE, por sus
48
siglas en inglés “Differential Evolution”), fue propuesto por Prince and Storn (1997). Este
enfoque heurístico fue desarrollado para resolver problemas no lineales o con funciones no
diferenciables. Al igual que un algoritmo genético tradicional, el algoritmo DE implementa
operadores genéticos de mutación, cruce y selección sobre una población inicial hasta que
se cumpla el criterio de terminación establecido. La elección de utilizar DE en este trabajo
se debe a su buen desempeño en problemas de optimización continuos, principalmente con
respecto a clasificación y clustering (Doumpos et. al, 2009).
2.7.2.1. Algoritmo
Asumiendo una generación G de P soluciones en RN, la metodología de la estrategia DE puede ser descrita como sigue:
• Mutación: por cada solución !!!de la generación actual (! = 1,⋯ ,!) una solución
mutada es generada !!!"#. Diferentes esquemas de mutación han sido propuestos
en Storn (1996). En este trabajo será usado el esquema DE/rand-to-best/1, el cual a
dado buenos resultados dentro del contexto específico del problema (Doumpos et.
al, 2009). En este esquema, la solución mutada es obtenida como sigue:
!!!"# = !!! +!!(!!"#$! − !!!)+!!(!!! − !!!)
donde !! > 0 es la constate de mutación, !!"#$! es el mejor individuo de la
generación actual (él de mayor desempeño, para problema de maximización) y
ℎ, ! (ℎ ≠ !) son índices seleccionados aleatoriamente del conjunto 1,⋯ ,! . Si el
desempeño más alto es alcanzado por múltiples soluciones en una misma
generación, !!"#$! es igual al primero de estos (el de índice menor).
• Cruce: Este operador tiene la finalidad de incrementar la diversidad de la
población. El operador de cruce es realizado utilizando el esquema exponencial
(Prince et al., 2005) como se muestra en la figura 2.7. Inicialmente es seleccionado
un índice aleatorio del vector de soluciones ℓ ∈ 1,… ,! y números aleatorios
!ℓ!!,… ,!! son generados con una distribución uniforme 0,1 . La solución cruzada
49
!!!"es definida como sigue:
(2.7)
donde !!"!"#es el !th elemento de la solución mutada !!!"# y !∗es el primer índice tal
que !! > !", con !"# 0,1 siendo !" una probabilidad de cruce definida por el
usuario. Si no hay un índice !∗ tal que !! > !" (!ℓ!!,… ,!! ≤ !"), entonces
!!!" = (!!!! ,!!!! ,… ,!!,ℓ!!! ,!!ℓ!"#$ ,!!,ℓ!!!"#$ ,… ,!!"!"#$) (2.8)
para valores altos de !" (!" ≈ 1) el esquema de cruce exponencial es similar al
cruce de un punto.
Figura 2.7. Operador de cruce exponencial del algoritmo DE
• Selección: después de las operaciones de mutación y cruce, una etapa de selección
es realizada. Para una solución padre dada !!! de la generación actual y la solución
cruzada asociada !!!", el !th miembro de la generación siguiente es especificado
como sigue:
(2.9)
Solución padre
!!!! , !!!! ,… ,!!"!
Solución mutada
!!!! , !!!! ,… ,!!"!
!!!! !!!! !!,ℓ!!! !!ℓ!"# !!,ℓ!!!"# !!,!∗!!!"# !!!∗! !!"! … … …
Solución cruzada
!!!!! = !!!!"
!!! !" !(!!
!") > !!!!!!!" !"#$ !"#$%"
!!!" = !!!"!"#
!!"! !" ℓ ≤ ! ≤ !∗ − 1!" !"#$ !"#$%"
50
donde ! es la función objetivo para un problema de maximización.
Estos operadores de mutación, cruce y selección se estarán realizando hasta que se cumpla
el criterio de terminación establecido.
2.7.2.2. Aplicaciones
Algunas aplicaciones de los algoritmos DE son las siguientes (Prince and Storn, 2005):
• Optimización (industrial, numérica, etc.)
• Procesamiento de imágenes
• Diseño de filtros digitales
2.7.3. Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo basado en Descomposición (MOEA/D)
El Algoritmo Evolutivo Basado en Descomposición (MOEA/D)(Zhang et al.,2007)
explícitamente descompone el problema multiobjetivo (MOP) en N subproblemas de
optimización. Resuelve simultáneamente estos subproblemas considerando una población
de soluciones. En cada generación, la población es compuesta de la mejor solución
encontrada hasta el momento por cada subproblema. Las relaciones de vecindad entre los
subproblemas se basan en las distancias entre sus coeficientes de agregación. Cada
problema en MOEA/D es optimizado utilizando solamente información de sus
subproblemas vecinos. MOEA/D tiene las siguientes características:
1. Provee una manera simple y eficiente de introducir un enfoque de descomposición
en computación evolutiva multiobjetivo.
2. Debido a que MOEA/D optimiza N subproblemas de optimización en lugar de
resolver el MOP como uno solo, cuestiones como la asignación de desempeño y
conservación de diversidad que causan dificultades para algoritmos MOEAs de no
descomposición, pueden ser más sencillas de manejar en el marco de MOEA/D.
51
3. MOEA/D tiene una complejidad computacional más baja en cada generación que
NSGA-II y otros conocidos algoritmos multiobjetivo.
2.7.3.1. Algoritmo
MOEA/D necesita descomponer el MOP en consideración. Cualquier enfoque de
descomposición puede servir para este propósito; en esta implementación se utilizará el
enfoque de Tchebycheff propuesto en Zhang et al., 2007. En este enfoque el problema de
optimización escalar es de la forma
!"#"!"$%& !!" ! !, !∗ = max !! !! ! − !!∗1 ≤ ! ≤ !"#_!"# (2.10)
sujeto a ! ∈ Ω , donde !∗ = (!!∗,… , !!"#_!"#∗ ) es el punto de referencia, !!∗ = !!(!) ! ∈Ω ! para cada ! = 1,… ,!"#_!"#.
Sea !!,…!! un conjunto de vectores de pesos separados uniformemente y sea !∗ el punto
de referencia. El problema de aproximación del frente de Pareto puede ser descompuesto en
N subproblemas escalares usando el enfoque de Tchebycheff, y la función objetivo del j-
ésimo subproblema es
!!" ! !! , !∗ = max !!! !! ! − !!∗1 ≤ ! ≤ !"#_!"# (2.10)
donde !! = (!!! ,… ,!!"#_!"#! ) . MOEA/D minimiza todas estas N funciones objetivo
simultáneamente en una sola corrida.
En la generación t, MOEA/D mantiene:
• Una población de N puntos !!,… , !! ∈ Ω, donde !! es la solución actual del ! - ésimo subproblema.
• !"!,… ,!"! , donde !"! es el desempeño de !! , !"! = ! !! para cada
! = 1,… ,!.
• ! = (!!,… , !!"#_!"#), donde !, es el mejor valor encontrado hasta el momento para
el objetivo !!.
52
• Una población externa EP, la cual es utilizada para almacenar soluciones no
dominadas encontradas durante la búsqueda.
El algoritmo trabaja como sigue:
Entradas:
• MOP
• Un criterio de parada.
• N, número de subproblemas considerados en MOEA/D.
• N vectores de pesos separados uniformemente: !!,… ,!!.
• Tvecinos, el número de vectores de pesos en el vecindario para cada vector de pesos.
Salida:
- EP, población externa.
El algoritmo de MOEA/D se describe a continuación:
Paso1- Inicialización:
1.1 !" = ∅
1.2 Calcular las distancias Euclidianas entre todos los vectores de pesos y encontrar
los Tvecinos de cada vector de pesos. Para cada ! = 1,… ,!, calcular ! ! =!!,… , !!!"#$%&' , donde !!!,… ,!!!!"#$%&' son los Tvecinos vectores de pesos más
cercanos a !!. 1.3 Generar aleatoriamente una población inicial !!,… , !!. Hacer !"! = ! !! .
1.4 Inicializar ! = (!!,… , !!"#_!"#), de acuerdo al problema especifíco a resolver.
Paso 2- Actualización:
!"# ! = 1,… ,!
2.1 Reproducción: seleccionar aleatoriamente dos índices !, ! de ! ! y formar una
nueva solución ! de !! y !! usando operadores genéticos.
53
2.2 Mejora: Aplicar un método de reparación a ! de acuerdo al problema específico
a resolver para producir !′. 2.3 Actualización de ! : por cada ! = 1,… ,!"#_!"# , si !! > !! !! , entonces
!! = !! !! .
2.4 Actualización del vecindario de soluciones: por cada índice ! ∈ ! ! , si
!!" !′ !! , ! ≤ !!" !! !! , ! , entonces !! = !′ y !"! = !(!!). 2.5 Actualizar EP:
Remover de EP todos los vectores dominados por !(!!). Agregar !(!!) a EP si no hay vectores en EP dominados por !(!!).
Paso 3 – Criterio de parada:
Si el criterio de parada se cumple entonces se detiene y EP es la salida; de lo
contrario se va al paso 2.
54
Capítulo 3. Implementación del Análisis de Desagregación de Preferencias PDA En esta sección se muestra la manera en que se implementó el método PDA para la
desagregación de preferencias del conjunto T de entrenamiento. Para ello se utilizaron dos
metaheurísticas, algoritmos genéticos y evolución diferencial. Finalmente se muestran los
resultados comparativos de la implementación del método PDA empleando un algoritmo
genético y utilizando evolución diferencial.
3.1. Parámetros a extraer por el método PDA
Como se describió en la sección 2.7, el objetivo del análisis de desagregación de
preferencias es inferir los parámetros preferenciales que aproximen, lo más precisamente
posible (ver figura 3.1), el sistema preferencial del DM implícito en el conjunto de acciones
de referencia (de entrenamiento).
Figura. 3.1- Método de análisis de desagregación de preferencias
El método PDA implementado en este trabajo extrae del conjunto de referencia T los
parámetros preferenciales siguientes:
• Pesos de los criterios, !! • Umbral de indiferencia, !! • Umbral de preferencia, !! • Umbral de pre-veto, !! • Umbral de veto, !! • Perfiles frontera, !!,! • Umbral de credibilidad, !
Conjunto de entrenamiento
Política preferencial del
decisor
Método de desagregación de preferencias
55
! = 1,2,… ,! − 1. Representa el índice de la frontera
! = 1,2,… ,!. Representa el número de criterio a que corresponde el parámetro
La metodología propuesta infiere del conjunto de entrenamiento un modelo preferencial
completo (Q, P, U, V, W, perfiles frontera y λ) que permite una mejor caracterización de un
DM. El modelo tiene la ventaja de representar de una manera más completa a un DM que
los procedimientos implementados en la literatura para problemas CSP (vea Tabla 1.2),
que, o bien utilizan modelos compensatorios con información cardinal, o no toman en
consideración los efectos de veto.
La inferencia de parámetros preferenciales para este trabajo está restringida a la
implementación de un procedimiento de desagregación de preferencias con el método
ELECTRE TRI-B. Cuando se requiere inferir todos los parámetros preferenciales
simultáneamente en los modelos basados en métodos ELECTRE, es necesario resolver un
problema no lineal con restricciones no convexas, lo cual es usualmente difícil (Mosseau
and Slowinski, 1998; Dias et al., 2002).
Los algoritmos evolutivos han mostrado ser una herramienta poderosa para resolver
problemas difíciles en varios campos de la ciencia, en particular para tratar la no linealidad
y optimización global en tiempo polinomial (Coello et al., 2007).
En la siguientes secciones se mostraran las implementaciones del método PDA empleando
una algoritmo genético (sección 3.2) y mediante la utilización de evolución diferencial
(sección 3.3).
3.2. Implementación del método PDA mediante un algoritmo genético
El problema de la desagregación de preferencias que se requiere implementar implica un
problema no lineal, ya que se busca obtener la información sobre la capacidad de veto en
las preferencias del decisor implícitas en el conjunto de entrenamiento. Para ello se utilizará
un algoritmo genético; el algoritmo genético es una herramienta que ha dado buenos
resultados en este tipo de problemas, muestra de ello son los trabajos de Fernández et al.,
2009, Fernández et al., 2012, Fernández et al., 2014 y Covantes et al., 2016. En estos
56
trabajos se emplean algoritmos genéticos para realizar un procedimiento de desagregación
de preferencias sobre un conjunto de acciones de referencia (conjunto de entrenamiento).
El algoritmo genético es una metaheurística evolutiva que se basa en el principio de la
evolución de Darwin cuyos operadores principales son: selección, cruce y mutación. El
algoritmo genético implementado se muestra en la figura 3.2. La efectividad del algoritmo
genético depende en gran medida de los valores asignados a los parámetros que requiere.
Para esta implementación los valores de los parámetros utilizados son:
• Población de 50 individuos
• El tamaño de selección es de 20 individuos
• Probabilidad de cruce de 80%
• Probabilidad de Mutación de 0.1%
• Se emplea elitismo
En la implementación se utilizan dos poblaciones de 50 individuos: la población de trabajo
y una población externa. La población de trabajo es la población inicial que es generada
aleatoriamente, sobre la cual se realizan las operaciones de los operadores de cruce y
mutación, y las técnicas de selección y reemplazo utilizadas. La población externa es una
población que es utilizada para guardar los mejores individuos que encuentre el algoritmo
genético en su búsqueda. La población externa no está sujeta a los operadores de cruce y
mutación, ni a la técnica de selección. Solo se le aplica una técnica de reemplazo cuando la
población está llena y se encuentra un individuo nuevo, que es mejor al peor que contiene
hasta ese momento. El nuevo individuo ingresa y sale el peor individuo que contiene la
población externa. Esta población externa es llamada población semilla, y es la población
que será pasada a la siguiente etapa de la implementación del algoritmo multiobjetivo
evolutivo MOEA/D (sección 4.4).
Los pasos que realiza el algoritmo genético son:
1. Generar población inicial de 50 individuos
2. Evalúa desempeño de la población
3. Hace la selección por ruleta de 20 individuos
57
4. Aplica el cruce y la mutación con la probabilidad configurada
5. Evalúa el desempeño de la selección
6. Se aplica una técnica de reemplazo por ruleta a los 70 individuos que se tienen en
este punto (50 de la población inicial y 20 de la selección) para extraer 20
individuos. Los 50 individuos que quedan forman la nueva población.
7. Se asegura elitismo
8. Actualiza la población semilla
9. Si cumple un criterio de parada (vea criterios de parada) termina, si no regresa al
punto 3
Figura 3.2 - Algoritmo genético implementado
El algoritmo genético implementado resuelve el problema mono-objetivo siguiente:
!"#$!$%"& ! ! = !" !! ∈ ! (3.1)
donde OC es el número de objetos bien clasificados del conjunto T.
El algoritmo genético resuelve el problema (3.1), buscando conjuntos de parámetros
preferenciales (Q, P, U, V, W, perfiles frontera y λ) que logren clasificar a la totalidad de los
objetos del conjunto T de manera idéntica al decisor.
Categorías ordenadas
CM es la categoría más preferida
Población
inicial !!! C1
!!" , !!!
!!!, !!!
C2
CM
.
.
.
.
b1
b2
bM-1
Selección
Cruce
Mutación
Nueva
población Técnica de reemplazo
T
58
Inicialmente se genera una población de 50 individuos, la cual es comparada con el
conjunto de referencia para encontrar su función de aptitud (fitness). El desempeño se
evalúa con OC, que representa el número de objetos del conjunto de entrenamiento
clasificados correctamente y, OD1, el número de objetos clasificados una categoría arriba o
debajo de la categoría correcta. Se considera que un individuo tiene mejor desempeño
cuanto mayor es el valor de OC. El valor de OD1 en el desempeño de un individuo es
utilizado para desempate, en caso de que dos o más individuos tenga el mismo valor de OC.
La población inicial cumple las restricciones siguientes:
• 0 < !! < !! < !! < !! < !!(!"#) • !! = 1!
!!! (6)
• !! !"# < !!,! < !!,! < ⋯ < !!!!,! < !!(!"#) • 0.66 ≤ ! ≤ 0.8
!! !"# , !!(!"#) denotan los desempeños máximo y mínimo de cada criterio.
Cada individuo de la población del algoritmo genético contiene un conjunto de parámetros
preferenciales (P, Q, U, V, pesos de los criterios, perfiles frontera y !) que representan las
preferencias de un decisor. La codificación de un individuo se muestra en la figura 3.3. En
las primeras posiciones del arreglo se encuentran los valores de los umbrales Q, P, U y V
por cada criterio; luego los valores de los pesos por criterio; enseguida están ubicados los
perfiles frontera que corresponden a cada criterio en cada categoría y finalmente el umbral
de credibilidad. Con esta codificación se tienen individuos con longitud, puntos de cruce y
puntos de mutación definidos por:
longitud del individuo = (m*5) + m*(M-1) + 1 (3.2)
puntos de cruce = 2m +1 (3.3)
puntos de mutación = longitud del individuo-1 (3.4)
donde m es el número de criterios y M es el número de categorías.
La figura 3.3 también muestra los 2m+1 puntos de cruce posibles para cada individuo. Los
puntos de cruce se hacen a nivel de criterio, con esto cuando se aplica el operador de cruce
59
se asegura que se mantiene la consistencia entre criterios sin la necesidad de hacer pruebas
de consistencia y reparación. Esto con la finalidad de reducir el esfuerzo computacional que
estas operaciones requieren.
Figura 3.3 - Codificación y puntos de cruce de un individuo
A diferencia del operador de cruce que se aplica a nivel de criterio, el operador de mutación
puede ser aplicado a cada posición del individuo. Por esta razón se tienen longitud del
individuo - 1 puntos de mutación. Para realizar la operación de mutación se requiere
implementar operaciones de reparación para mantener la consistencia entre criterios. En la
tabla 3.1 se muestran ejemplos de la longitud, número de puntos de cruce y número de
puntos de mutación para individuos de 3, 4 y 5 categorías con 3, 5 y 7 criterios.
Tabla 3.1 – Ejemplos de longitud, puntos de cruce y puntos de mutación para individuos
Número de categorías
Número de criterios
Longitud del individuo
Puntos de cruce Puntos de mutación
3
3 22 7 21
5 36 11 35
7 50 15 49
4
3 25 7 24
5 41 11 40
7 57 15 56
5
3 28 7 27
5 46 11 45
7 64 15 63
60
3.2.1. Generación de una población semilla con el algoritmo genético
El algoritmo genético empleado para implementar el método de PDA en este trabajo
además de obtener los parámetros preferenciales (P, Q, U, V, pesos de los criterios, perfiles
frontera y !) implícitos en el conjunto de referencia T, genera una población semilla
(población externa) con los 50 mejores individuos distintos que encontró durante su
ejecución. Se define como mejor individuo al conjunto de parámetros que obtiene el
método PDA que puede representar mejor las preferencias del decisor (clasifica
correctamente al mayor número de objetos del conjunto de referencia), incluidos los
individuos que pueden clasificar a la totalidad de objetos del conjunto de referencia T, que
serán llamados individuo solución. La población semilla es distinta a la población de
trabajo del algoritmo genético que se actualiza sistemáticamente durante la ejecución del
procedimiento de inferencia de parámetros.
La población semilla en cualquier momento de la ejecución del método PDA contiene los
mejores individuos que ha podido encontrar hasta ese momento. Para garantizar que la
población tenga los mejores 50 individuos se implementaron tres criterios de parada para el
método de PDA:
1. Cuando la población semilla contiene 50 individuos solución
2. Cuando el método PDA no fue capaz de encontrar 50 individuos solución, se lleva a
cabo un procedimiento de “sacudidas”. Si después de esperar 100,000 iteraciones
sin que se haya encontrado un nuevo individuo para la población semilla, la
“sacudida” consiste en incrementar la probabilidad de mutación a 30% durante 1000
iteraciones y posteriormente restaurarla a 0.1%. Si esta secuencia se repite 3 veces
seguidas se pasa al tercer criterio de parada. Si durante el procedimiento de
sacudidas se introduce un nuevo individuo a la población semilla, la secuencia de
sacudidas inicia de nuevo.
3. Después de 20 reinicios. Se considera un reinicio cuando no se cumplieron los dos
primeros criterios de parada. En cada reinicio se genera una nueva población inicial
y se va actualizando la población semilla.
61
Con esto se logra tener una población semilla que contenga los mejores individuos que
el procedimiento de inferencia de parámetros pudo encontrar; esta población semilla
será utilizada en la población inicial que se genere para el algoritmo MOEA/D del
capítulo 4.
3.2.2. Experimentación del algoritmo genético con diferente técnica de selección y
reemplazo
Una parte fundamental del funcionamiento de un algoritmo genético es, sin lugar a dudas,
el proceso de selección de candidatos a reproducirse. En el algoritmo genético este proceso
de selección suele realizarse de forma probabilística (es decir, aún los individuos menos
aptos tienen una cierta oportunidad de sobrevivir), a diferencia de las estrategias evolutivas,
en las que la selección es extintiva (los menos aptos tienen cero probabilidades de
sobrevivir).
Las técnicas de selección usadas en algoritmos genéticos pueden clasificarse en tres grandes grupo (Coello, 2018):
• Selección proporcional
• Selección mediante torneo
• Selección de estado uniforme
En este trabajo se utilizarán las técnicas de selección por torneo y selección por ruleta. La
selección por ruleta es una técnica de selección proporcional, en la que los individuos
mejores (con mayor aptitud) son los que tienen mayores posibilidades de ser elegidos.
La técnica de selección por ruleta fue propuesta por DeJong (1975), es posiblemente el
método más utilizado desde los orígenes de los Algoritmos Genéticos (Blickle y Thiele,
1995). Es un método muy sencillo, pero ineficiente a medida que aumenta el tamaño de la
población. Presenta además el inconveniente de que el peor individuo puede ser
seleccionado más de una vez (para mas detalle vea sección 2.8.1.2.1).
62
En la selección por torneo la idea principal consiste en realizar la selección en base a
comparaciones directas entre individuos. Existen dos versiones de selección mediante
torneo:
• Determinística
• Probabilística
La versión determinística será empleada en este trabajo, en ella se selecciona al azar un
número p de individuos (se utilizó p=2, torneo binario). De entre los individuos
seleccionados se selecciona el más apto para pasarlo a la siguiente generación.
Elegir uno u otro método de selección determinará la estrategia de búsqueda del algoritmo
genético. Si se opta por un método con una alta presión de selección se centra la búsqueda
de las soluciones en un entorno próximo a las mejores soluciones actuales. Por el contrario,
optando por una presión de selección menor se deja el camino abierto para la exploración
de nuevas regiones del espacio de búsqueda.
Para determinar qué técnica de selección sería la mas adecuada para este trabajo se
realizaron experimentos con tres configuraciones distintas:
1. Selección y reemplazo por torneo
2. Selección por torneo y reemplazo por ruleta
3. Selección y reemplazo por ruleta
Las tablas 3.2 y 3.3 muestran las tres versiones de algoritmos genéticos que se
implementaron y probaron con diferentes configuraciones para selección y reemplazo. Los
resultados que se muestran corresponden a los 400 experimentos realizados por cada una de
las configuraciones, variando la probabilidad de mutación en 1%, 0.5%, 0.3% y 0.1%. Lo
que se midió fue el número de iteraciones que requirió el algoritmo genético para encontrar
un conjunto de parámetros de preferencia (Q, P, U, V, W, perfiles frontera y λ) que
clasificaba correctamente a todos los elementos del conjunto de referencia. Los valores
máximo y mínimo corresponden al número máximo y mínimo de iteraciones que se tuvo en
63
los 400 experimentos para una configuración dada. Para los 400 experimentos el método
PDA implementado logro clasificar a la totalidad de los objetos del conjunto de referencia.
En el anexo 1 se muestran el conjunto de entrenamiento utilizado para los experimentos y
su clasificación correcta. El conjunto de entrenamiento consta de 28 objetos evaluados en
10 criterios y clasificados en 3 categorías.
Inicialmente se planteó un esquema de experimentación que consiste en generar una
población inicial diferente para cada uno de los 400 experimentos de cada configuración y
de cada probabilidad de mutación. Esto hace que el resultado del algoritmo genético sea
muy sensible a los datos de entrada . Los resultados de este esquema de experimentación se
muestran en la tabla 3.2. Las celdas de color verde contienen al los valores menores que se
obtuvieron para la media y la desviación estándar en el número de iteraciones que requirió
cada configuración probada hasta clasificar los 28 objetos del conjunto de entrenamiento.
Estos resultados no permiten ser muy concluyente para decidir cuál de las 3
configuraciones probadas es preferible.
Tabla 3.2. Resultados de los experimentos para las tres configuraciones implementadas
Medidas
(iteraciones)
Probabilidad de mutación
1% 0.50% 0.30% 0.10%
1ra configuración
Selección: Torneo Reemplazo: Torneo
Media 53,714.32 100,260.51 198,109.70 459,915.46
Desviación estándar
113,058.84 193,882.66 394,781.12 909,745.48
Mínimo 2 10 7 0
Máximo 874,537 2,230,534 3,896,181 7,138,067
2da configuración
Selección: Torneo Reemplazo: Ruleta
Media 58,299.33 102,494.51 192,865.79 372,364.60
Desviación estándar
112,667.05 210,437.08 433,885.37 746,587.08
Mínimo 8 11 1 13
Máximo 1,042,448 2,041,115 3,956,156 5,888,381
3ra configuración
Selección: Ruleta Reemplazo: Ruleta
Media 51,082.08 91,308.24 173,751.42 413,399.35
Desviación estándar
105,339.83 162,395.19 278,866.79 758,382.26
Mínimo 18 5 7 12
Máximo 839,781 1,467,721 3,265,345 5,836,092
64
Para mejorar este inconveniente se modificó el esquema de experimentación, se generará
una misma población inicial y se buscará la solución con cada una de las tres
configuraciones. Con esto se tendrá un mismo punto de inicio del algoritmo genético para
cada una de las tres configuraciones y permitirá medir con mayor certeza la eficiencia de
cada configuración.
El objetivo de cada una de las tres configuraciones es encontrar un conjunto de parámetros
preferenciales (Q, P, U, V, W, perfiles frontera y λ) que logren asignar de manera idéntica al
decisor los objetos del conjunto T de entrenamiento. Las tres configuraciones logran
clasificar correctamente a la totalidad de los objetos en todas las 400 pruebas hechas para
cada una. Con estos experimentos se pretende definir cual de las tres configuraciones
requiere de menos iteraciones para encontrar la solución, para decidir cual de las tres
configuraciones se va a utilizar en la implementación del método PDA.
Tabla 3.3. Resultados de los experimentos con la misma población inicial
Medidas
(iteraciones)
Probabilidad de mutación
1% 0.50% 0.30% 0.10%
1ra configuración
Selección: Torneo Reemplazo: Torneo
Media 65,980.53 140,268.92 167,304.57 531,507.00
Desviación estándar
139,119.53 252,931.44 404,694.99 996,730.86
Mínimo 8 7 6 10
Máximo 1,274,159 1,919,752 5,829,422 8,801,938
2da configuración
Selección: Torneo Reemplazo: Ruleta
Media 61,013.10 121,954.44 162,811.38 526,088.67
Desviación estándar
117,301.99 237,739.34 323,545.72 1,078,700.14
Mínimo 12 7 9 10
Máximo 1,147,689 2,070,312 4,167,863 8,074,423
3ra configuración
Selección: Ruleta Reemplazo: Ruleta
Media 49,454.57 100,836.34 157,599.95 509,561.58
Desviación estándar
119,413.64 213,341.41 315,713.64 1,027,438.43
Mínimo 8 7 6 8
Máximo 1,549,393 1,999,831 4,485,121 8,724,590
65
La tabla 3.3 muestra los resultados obtenidos al considerar la misma población inicial para
las tres configuraciones. La 3ra configuración de selección y reemplazo por ruleta, es la que
obtiene la media del número de iteraciones más baja para los cuatro valores de mutación
probados.
Se aplico la prueba no paramétrica de Mann-Whitney con un grado de confianza de 95% a
los resultados obtenidos en la tabla 3.3. El resultado de esta prueba estadística asegura que
la 3ra configuración tiene una media menor que la 1ra configuración para valores de
mutación de 1%, 0.5% y 0.1%; y menor que la 2da configuración cuando se utilizo el
operador de mutación con un valor de 1% y 0.5%. Mientras que en el resto de valores de la
media comparados de las otras configuraciones (mutación de 0.3% para la 1ra
configuración, y 0.3% y 0.1% para la segunda configuración) no resultaron menores que el
obtenido por la 3ra configuración. Por ello, se utilizará la 3ra configuración (selección y
reemplazo por ruleta) para la implementación del método PDA. En el anexo 4 se muestran
las graficas de la prueba de normalización a los datos y los resultados de la prueba no
paramétrica de Mann-Whitney realizada.
El algoritmo genético obtiene un conjunto de soluciones que representan cada una un
conjunto de parámetros preferenciales (umbrales, pesos de los criterios, perfiles frontera y
umbral de indiferencia). Estas soluciones se clasifican en dos tipos: soluciones perfectas y
soluciones imperfectas. Una solución es perfecta cuando el conjunto de parámetros puede
clasificar de manera correcta a la totalidad de los objetos de referencia, de lo contrario es
considerada una solución imperfecta.
El método PDA implementado solo considera los objetos de referencia y no considera las
restricciones al tamaño de las categorías, lo que implica que aún cuando sea una solución
perfecta no necesariamente cumplirá las restricciones impuestas por el DM a los tamaños
en las categorías.
3.3. Evolución diferencial
En esta sección se implementará el método PDA mediante un algoritmo genético que
utiliza evolución diferencial. Este enfoque metaheurístico fue desarrollado para resolver
66
problemas no lineales o con funciones no diferenciables. Al igual que un algoritmo
genético tradicional, el algoritmo DE implementa operadores genéticos de mutación, cruce
y selección sobre una población inicial hasta que se cumpla el criterio de terminación
establecido. Además se mostrará el modelado matemático de un esquema de
transformación para los parámetros preferenciales.
Figura 3.4. Ilustración del esquema de representación (cf. Doumpos et. Al 2009)
3.3.1. Esquema de transformación
Doumpos et. al., (2009) mencionan que la representación directa de los parámetros de
preferencia (umbrales, pesos de los criterios, perfiles frontera y umbral de credibilidad) no
permite una búsqueda eficiente en el espacio de solución. Para mejorar este inconveniente
proponen un esquema de representación como el mostrado en la figura 3.4. Esta figura da
una ilustración gráfica del esquema de representación propuesto y el rol de las variables
!! ,!! , !! , ℎ!" en un caso de cuatro categorías (! = 4). Por simplicicidad los indices (! ! !) no
se han puesto en la figura.
Este esquema de representación tiene las transformaciones siguientes:
Umbrales
!! =!!!!!! (3.5)
!! =!!!!!! (3.6)
! !∗
!(!, !!) !!(!) !!(!) !!(!) 1
!! !! !!
0 !! − ! !! − ! !! − ! !! + ! !! − ! !! − ! !! + ! !! − ! !! − !
!
ℎ!
ℎ!
ℎ!
!
!
!
!
!
67
!! = !!!! − !!∗ + !! (3.7)
Perfiles frontera
!!" = !!∗ + !! + ℎℓ!!!!ℓ!! + ! !!! !!
! (!! + !!) (3.8)
! = 1,… , ! − 1. Representa el número de perfil.
! = 1,2,… ,!. Representa el número de criterio a que corresponde el parámetro.
Estas ecuaciones están sujetas a las restricciones:
!! + ℎ!"!!!!!! + (! − 1) !! + !! ≤ !!∗ − !!∗ (3.9)
! ≥ ! (3.10)
!,!, !, !,! ≥ 0 (3.12)
! ∈ 0,1 (3.13)
Donde:
!!∗ = !"#!"!∗ !!" (3.14)
!!∗ = !"#!"!∗ !!" (3.15)
!,!, !, ! son los vectores de las variables de decisión !! ,!! , !! , !! (! = 1,… ,!).
! es la matriz de las variables de decisión ℎ!" (! = 1,… , ! − 1)(! = 1,… ,!).
! es el vector de la variable de decisión !! para indicar si un criterio posee veto (!! = 1) o no (!! = 0).
Algunas de las ventajas del esquema de representación son que asegura que la separabilidad
entre las fronteras de las categorías y tiene implícito que ! > !.
El esquema de transformación propuesto por Doumpos et al., 2009 no puede ser aplicada
directamente en el problema de este trabajo, ya que no modela el umbral de pre-veto. Para
resolver este inconveniente se realizó el modelado matemático del esquema de
transformación propuesto por Doumpos et. al., 2009 para considerar el umbral de pre-veto.
La figura 3.5 muestra el esquema de transformación que considera ese el umbral y con ello
68
el conjunto preferencial completo (umbrales, pesos de los criterios, perfiles frontera y
umbral de credibilidad). La figura 3.5 da una ilustración gráfica del esquema de
representación propuesto y el rol de las variables !! , !! ,!! , !! , ℎ!" en un caso de cuatro
categorías (! = 4). Por simplicicidad los indices (! ! !) no se han puesto en la figura.
Figura 3.5. Ilustración del esquema de representación modificado
El esquema de representación tiene las transformaciones siguientes:
Umbrales
!! =!!!!!! (3.16)
!! =!!!!!! (3.17)
!! = !!!! + !! (3.18)
!! = !!!! + !! + !! (3.19)
Perfiles frontera
!!" = !!∗ + !! + !! + ℎℓ!!!!ℓ!! + ! !!! !!
! (!! + !!) (3.20)
! = 1,… , ! − 1. Representa el número de perfil.
! = 1,2,… ,!. Representa el número de criterio a que corresponde el parámetro.
!(!, !!)
!
!!(!) !!(!) !!(!)
!∗ 0
1
!! !! !!
!! − ! !! − ! !! − ! !! − ! !! + ! !! − ! !! − ! !! + ! !! − ! !! − !
!
!
ℎ!
ℎ!
ℎ!
!
!
!
!
!
69
Estas ecuaciones están sujetas a las restricciones:
!! + !! + ℎ!"!!!!!! + (! − 1) !! + !! ≤ !!∗ − !!∗ (3.21)
! ≥ ! (3.22)
!, !,!, !, !,! ≥ 0 (3.23)
! ∈ 0,1 (3.24)
Donde:
!!∗ = !"#!"!∗ !!" (3.25)
!!∗ = !"#!"!∗ !!" (3.26)
!, !,!, !, ! son los vectores de las variables de decisión !! , !! ,!! , !! , !! (! = 1,… ,!).
! es la matriz de las variables de decisión ℎ!" (! = 1,… , ! − 1)(! = 1,… ,!).
! es el vector de la variable de decisión !! para indicar si un criterio posee veto (!! = 1) o no (!! = 0).
Este esquema de representación asegura la separabilidad entre las fronteras de las
categorías y tiene implícito que ! < ! < ! < !.
3.3.2. Implementación del método PDA mediante un algoritmo evolutivo diferencial
Rainer Storm y Kenneth Price (1996) desarrollaron una rama de la computación evolutiva
denominada evolución diferencial y la aplicaron para la optimización de espacios
continuos. Un algoritmo de Evolución Diferencial resuelve de manera muy eficiente
problemas no lineales, no diferenciables y multimodales. Este modelo evolutivo enfatiza la
mutación, utiliza un operador de cruce/recombinación a posteriori de la mutación. Es una
técnica no determinista basada en la evolución de una población de vectores (individuos) de
valores reales que representan las soluciones en el espacio de búsqueda. La generación de
nuevos individuos se lleva a cabo mediante operadores diferenciales de mutación y cruce.
La generación inicial se generará de forma aleatoria y los padres son tres individuos
escogidos al azar entre la población inicial. Si el valor que obtenemos de combinarlos es
70
mejor que el inicial nos quedamos con la mejora, en caso contrario mantenemos la opción
anterior (padre principal). La figura 3.6 muestra un esquema general del algoritmo
evolutivo diferencial.
Figura 3.6. Algoritmo evolutivo diferencial
Los operadores de cruce, mutación y selección del algoritmo evolutivo diferencial que se
muestran en la figura 3.6 son distintos a los de un algoritmo genético. Para mas detalle de la
función de cada uno de ellos vea la sección 2.7.2.
El algoritmo evolutivo diferencial implementado se muestra en el diagrama a bloques de la
figura 3.7. Al igual que la implementación del método PDA con un algoritmo genético, esta
implementación utiliza dos poblaciones: población de trabajo y la población externa
(población semilla). Las funciones de cada población son las mismas en ambas
implementaciones.
Los parámetros utilizados son:
• Población de 50 individuos.
• Probabilidad de cruce de 0.8.
• Constante de Mutación de 0.6.
Los pasos que realiza el algoritmo evolutivo diferencial son:
1. Generar población inicial de 50 individuos
2. Evalúa desempeño de la población
3. Realiza la operación de mutación
4. Aplica la operación de cruce
Población inicial aleatoria
Evaluar aptitud Mutación
Cruce Selección
71
5. Realiza la selección
6. Si todos los objetos están clasificados correctamente termina, si no regresa al punto
3
Figura 3.7. Diagrama a bloques del algoritmo evolutivo diferencial implementado
La codificación de cada individuo es mostrada en la figura 3.8, las primeras posiciones
contienen a las variables !, !,!, ! por criterio, luego los pesos también ubicados por criterio.
Los perfiles están ubicados por categoría y por criterio, por último la variable ! por criterio
y !.
La población inicial cumple las restricciones siguientes:
• 0 < !! < !! < !! < !! < !!(!"#) • !! = 1!
!!! .
• !! !"# < !!,! < !!,! < ⋯ < !!,!!! < !!(!"#) • 0.6 ≤ ! ≤ 0.8
!! !"# , !!(!"#) son los desempeños máximo y mínimo de un objeto en cada criterio.
Conjunto de categorías ordenadas
CK es la categoría preferida
Población
inicial
Mutación Cruce
Selección
Nueva
población
!!! C1
!!" , !!!
!!! , !!!
C2
Ck
.
.
.
.
.
.
b1
b2
bk-1
72
Figura 3.8. Codificación del individuo en el algoritmo evolutivo diferencial, utilizando el esquema de representación descrito en las sección anterior
El algoritmo realiza la búsqueda de las variables !, !,!, !, !,! pero al momento de evaluar la aptitud de cada individuo se requieren hacer las transformaciones indicadas en las ecuaciones 3.16 - 3.24 de la sección anterior para encontrar !,!,!,!,!.
El algoritmo evolutivo diferencial resuelve el problema mono-objetivo siguiente:
!"#$!$%"& ! ! = !" !! ∈ ! (3.27)
donde OC es el número de objetos bien clasificados del conjunto T.
Inicialmente se genera una población de 50 individuos, la cual es comparada con el
conjunto de referencia para encontrar su función de aptitud (fitness). El desempeño se
evalúa con OC, representa el número de objetos clasificados correctamente (del conjunto de
referencia) y, OD1, el número de objetos clasificados una categoría arriba o debajo de la
categoría correcta. Se considera que un individuo tiene mejor desempeño cuanto mayor es
el valor de OC. El valor de OD1 en el desempeño de un individuo es utilizado para
desempate en caso de que dos o más individuos tengan el mismo valor de OC.
3.3.3. Generación de una población semilla
Cada individuo de la población del algoritmo evolutivo diferencial representa un conjunto
de variables !, !,!, !, !,! que están asociadas a un conjunto preferencial (P, Q, U, V,
perfiles frontera y !) por medio del esquema de transformación descrito en la sección 3.3.1.
El objetivo del método PDA implementado con el algoritmo evolutivo diferencial es
obtener una población semilla con los 50 mejores individuos distintos que encontró durante
su ejecución. Se define como mejor individuo al conjunto de parámetros obtenido por el
método PDA que puede representar mejor las preferencias del decisor, incluidos los
individuos que pueden clasificar a la totalidad de objetos del conjunto de referencia T, que
serán llamados individuo solución.
73
La población semilla en cualquier momento de la ejecución del método PDA contiene los
mejores individuos que ha podido encontrar hasta ese momento. Para garantizar que la
población tenga los mejores 50 individuos se implementaron tres criterios de parada para el
método PDA:
1. Cuando la población semilla contiene 50 individuos solución.
2. Cuando el método PDA no fue capaz de encontrar 50 individuos solución, se lleva a
acabo un procedimiento de “sacudidas”. Este procedimiento consiste en esperar
100,000 iteraciones sin que se halla encontrado un nuevo individuo para la
población semilla, en ese momento se incrementa la constante de mutación a 0.8 y
la probabilidad de cruce a 0.9 durante 1000 iteraciones y posteriormente regresan a
0.6 y 0.8, respectivamente. Si esta secuencia se repite 3 veces seguidas se detiene el
algoritmo. Si durante el procedimiento de sacudidas se introduce un nuevo
individuo a la población semilla, la secuencia de sacudidas inicia de nuevo.
3. Después de 20 reinicios. Se considera un reinicio cuando no se cumplieron los dos
primeros criterios de parada. En cada reinicio se genera una nueva población inicial
y se actualiza la población semilla.
Con esto se logra tener una población semilla que contenga los mejores individuos que el
procedimiento de inferencia de parámetros pudo encontrar; esta población semilla será
utilizada en la población inicial que se genere para el algoritmo MOEA/D del capítulo 4.
3.3.4. Experimentación
Para la experimentación se consideraron tres casos: utilizar el algoritmo genético
implementado en la sección 3.2, aplicar el esquema de transformación al algoritmo genético
implementado en la sección 3.2 y el algoritmo evolutivo diferencial con el esquema de
transformación. El esquema de transformación utilizado es el mostrado en la sección 3.3.1.
Los experimentos se realizaron a 50 conjuntos de referencia generados artificialmente con
50, 100 y 200 objetos. Cada conjunto de referencia consideraba una evaluación en 7
74
criterios y 3 categorías. A cada conjunto de referencia se le aplicó 20 veces cada algoritmo
del método PDA para descartar el efecto de la casualidad. Para generar los conjuntos de
referencia artificiales se diseñó un generador de objetos, al que se le proporcionan como
datos de entrada una combinación de parámetros (número de categorías, número de
criterios y número de objetos por categoría de conjunto T). Con esto, el generador
proporciona una instancia como dato de salida. La figura 3.9 muestra una ilustración del
generador de instancias diseñado.
Figura 3.9. Generador de instancias para experimentación del método PDA
Cada vez que el generador forma una instancia, primero crea un modelo de un decisor
(umbrales, pesos de los criterios, perfiles frontera y λ) y posteriormente genera objetos
utilizando este modelo hasta llenar el conjunto T con los objetos requeridos. Antes de
asignar un objeto al conjunto de referencia, el generador se asegura que no haya asignado
otro objeto igual. De esta manera se asegura que para la instancia creada existe al menos
una solución ideal, que es el modelo preferencial (DM virtual) que creo el generador. La
instancia que proporciona el generador como salida contiene la clasificación de los objetos
y sus evaluaciones en cada criterio.
- Número de criterios
- Número de categorías
- Número de objetos por categoría en el conjunto T
Entradas
DM virtual Conjunto de parámetros
preferenciales
Pesos de los criterios, wi Umbral de indiferencia, Qi Umbral de preferencia, Pi
Umbral de pre-veto, Ui Umbral de veto, Vi Perfiles frontera, bi
Umbral de credibilidad, λ
Genera objeto
Electre Tri-B
Generador
Salidas
Conjunto T
- Clasificación
- Evaluación de los objetos
75
3.4. Comparación de resultados de los dos métodos PDA implementados
En la tabla 3.4 se muestran la media y la desviación estándar que se obtuvieron del
algoritmo genético utilizando las variables preferenciales Q, P, U , V, pesos de los criterios,
perfiles frontera y umbral de credibilidad; del algoritmo genético y el algoritmo evolutivo
diferencial utilizando las variables !, !,!, !, !,! del esquema de transformación.
Tabla 3.4. Comparativa de los resultados de los experimentos
Medida Número de objetos en el conjunto de referencia
50 100 200
Algoritmo Genético
Media 1.000 0.997 0.995
Desviación estándar 0.000 0.006 0.007
Algoritmo Genético con transformaciones
Media 0.970 0.955 0.943
Desviación estándar 0.027 0.027 0.025
Algoritmo Evolutivo Diferencial con transformaciones
Media 1.000 0.996 0.993
Desviación estándar 0.000 0.008 0.008
Estos experimentos se realizaron a 50 conjuntos de referencia creados con el generador con
50, 100 y 200 objetos, considerando una evaluación en 7 criterios y 3 categorías. A cada
conjunto de referencia se le aplicó 20 veces cada algoritmo del método PDA para descartar
el efecto del azar. Las celdas de color verde indican cual de las tres implementaciones tuvo
la mayor eficiencia para la inferencia de parámetros preferenciales, cuando fueron aplicadas
a conjuntos de referencia de 50, 100 y 200 objetos.
El esquema de transformación propuesto por Doumpos et al., 2009 empeora la efectividad
del algoritmo genético como se puede ver en la tabla 3.4. El esquema de transformación
funciona muy bien en la implementación del método PDA con el algoritmo evolutivo
diferencial, pero su efectividad no supera a la obtenida por al método PDA implementado
con el algoritmo genético. De acuerdo con la prueba no paramétrica de Mann-Whitney
76
realizada con una confianza de 90%, la efectividad el algoritmo genético implementado
supera al algoritmo evolutivo diferencial. Por ello el método PDA que se utilizará será el
implementado con el algoritmo genético desarrollado en la sección 3.2. Los resultados de la
prueba realizada se pueden encontrar en el anexo 5 al final de este trabajo.
77
Capítulo 4. Enfoque multiobjetivo propuesto para el problema de clasificación ordinal multicriterio con restricciones sobre los tamaños de las categorías
La idea principal del modelo propuesto es resolver el problema de clasificación ordinal
multicriterio con restricciones sobre el tamaño de las categorías empleando optimización
multiobjetivo, y utilizando el método de clasificación ELECTRE TRI-B, basado en
relaciones de no-inferioridad que utiliza perfiles como frontera entre las categorías.
Mediante la modelación del problema de clasificación multicriterio como un problema de
optimización multiobjetivo se pretende dar flexibilidad al decisor con las restricciones
preferenciales implícitas en el conjunto de referencia. Con la modelación multiobjetivo se
consideran las preferencias implícitas en el conjunto de referencia y las restricciones en el
tamaño de las categorías (que es también información preferencial) de manera simultánea.
Los objetivos del problema tratarán, por una parte, de satisfacer la clasificación de los
objetos del conjunto de referencia, y por otra, cumplir con las restricciones en el tamaño de
las categorías. Con esto, el DM tendrá posibilidad de aprender sobre el problema, y la
posibilidad de reconocer posibles inconsistencias en el conjunto de entrenamiento.
En esta sección se muestra la manera en que se implementó el algoritmo MOEA/D para
resolver el problema de clasificación multicriterio con restricciones en el tamaño de las
categorías, como un problema multiobjetivo. Además, se explica como se diseñó un
generador para formar las instancias que se utilizaron en la experimentación. Finalmente,
se muestran los resultados obtenidos por el algoritmo multiobjetivo MOEA/D, sin utilizar
el método PDA y utilizando el método PDA.
78
4.1. Formulación del problema CSP como un problema de optimización
multiobjetivo
Al abordar el problema de clasificación multicriterio como un problema de optimización
multiobjetivo se pretende que el decisor aprenda sobre el problema, y tenga la posibilidad
de reconocer posibles inconsistencias en el conjunto de entrenamiento. De tal manera que
dentro de las soluciones obtenidas puede haber opciones que asignen algunos objetos de
referencia de manera distinta al conjunto de entrenamiento, permitiendo con esto, cumplir
mejor con las restricciones a los tamaños de las categorías.
La propuesta para resolver el problema CSP utiliza el algoritmo multiobjetivo basado en
descomposición MOEA/D. El algoritmo multiobjetivo toma como entradas: i) la
información preferencial implícita en el conjunto de referencia; ii) las restricciones en los
tamaños de las categorías impuestas por el decisor; e iii) el conjunto de objetos a clasificar
(conjunto A). El método de clasificación ordinal utilizado con el algoritmo multiobjetivo es
ELECTRE TRI-B.
El problema multiobjetivo a minimizar es el siguiente:
!"#"!"$%& ! !, ! = !! ! ,!!! ! ,!!! ! ,… ,!!!(!)
! ∈ !! ∈ !
(4.1)
donde :
!! representa las inconsistencias relativas al conjunto de entrenamiento T. Se considera una
inconsistencia cuando un objeto de referencia es clasificado en una categoría que no le
corresponde.
!!! ,!!! ,… ,!! representan las violaciones a las restricciones de cada una de las M
categorías cuando se clasifican los objetos del conjunto A. Se considera una violación por
cada objeto del conjunto A, que falta o excede para tener el total de la restricción impuesta
al tamaño de una categoría.
El número de objetivos para esta formulación es dependiente del número de categorías (M)
que considere el problema a resolver, obteniéndose un problema con M+1 objetivos. Para
79
un problema con 3 categorías se tendrán 4 objetivos, para 4 categorías el problema a
resolver será de 5 objetivos, etc.
En las secciones 4.2.1 y 4.2.2 se detallarán dos propuestas distintas acerca de utilizar o no
un método PDA con el algoritmo multiobjetivo. En la sección 4.2.1 se explica la propuesta
de emplear el algoritmo MOEA/D sin utilizar el método PDA. Es decir, el algoritmo
MOEA/D recibe como entrada los objetos del conjunto de referencia, las restricciones en
los tamaños de las categorías impuestas por el decisor, y el conjunto de objetos a clasificar.
La propuesta de utilizar el método PDA implementado en la sección 3.2 con el algoritmo
MOEA/D, se muestra en la sección 4.2.2. Esta propuesta aplica el método PDA al conjunto
de referencia, sin revisar las preferencias al tamaño de las categorías. De tal manera, que los
modelos preferenciales obtenidos por el método PDA están ajustados solamente a las
preferencias implícitas en el conjunto de referencia. En este supuesto, el algoritmo
multiobjetivo MOEA/D utilizará la información preferencial obtenida por le método PDA,
las restricciones en los tamaños de las categorías impuestas por el decisor y el conjunto de
objetos a clasificar (conjunto A).
La implementación de estas dos propuestas permitirá conocer si el método PDA es de
ayuda a la modelación multiobjetivo planteada, para resolver el problema de optimización
multiobjetivo.
4.2. Implementación del algoritmo multiobjetivo MOEA/D
El algoritmo evolutivo MOEA/D implementado resuelve el problema de optimización
(4.1). Busca la mejor solución posible tratando de tener 0 violaciones en cada uno de los
M+1 objetivos (!! ,!!! ,!!! ,… ,!!!). Los parámetros utilizados para el algoritmo son:
Entradas:
- MOP, problema (4.1)
- Un criterio de parada
80
- N, número de subproblemas considerados; 451 para 4 objetivos (3 categorías), 600
para 5 objetivos (4 categorías) y 800 para 6 objetivos (5 categorías)
- Tvecinos = 20, el número de vectores de pesos en el vecindario para cada vector de
pesos
- Cruce y mutación de un punto
- Probabilidad de cruce de 80%
- Probabilidad de mutación de 0.1%
Los criterios de parada utilizados en el algoritmo MOEA/D son similares a los del método
PDA, pero en este caso es la población externa (EP) la que se actualiza. Los tres criterios
de parada para MOEA/D son:
1. Cuando se encuentra una solución al problema (4.1) con 0 violaciones en todos los
objetivos (!! = 0,!!! = 0,!!! = 0,… ,!!! = 0).
2. Cuando el algoritmo multiobjetivo MOEA/D no es capaz de encontrar un individuo
solución (!! = 0,!!! = 0,!!! = 0,… ,!!! = 0) se lleva acabo un procedimiento de
“sacudidas”. Este procedimiento consiste en incrementar la probabilidad de mutación a
30% durante 500 iteraciones, después de realizar 5000 iteraciones. Si esta secuencia se
repite 3 veces seguidas se pasa al criterio de parada 3. Si durante el procedimiento de
sacudidas se encuentra un individuo solución, el algoritmo termina.
3. Después de 20 reinicios. Se considera un reinicio cuando no se cumplieron los dos
primeros criterios de parada. En cada reinicio se genera una nueva población inicial y se
mantiene la población EP.
El algoritmo MOEA/D genera como salida por cada individuo solución en el frente de
Pareto un conjunto de parámetros preferenciales y la clasificación de los objetos del
conjunto A, atendiendo las restricciones impuestas por el DM. La población externa
contiene los individuos del frente de Pareto que logró encontrar el algoritmo multiobjetivo,
si durante su ejecución no encontró ningún individuo solución (!! = 0,!!! = 0,!!! =
81
Objetos evaluados y asignados
atendiendo las restricciones impuestas
ConjuntoTdereferencia ConjuntoA
MOEA/D
Poblacióninicial
Restricciónalostamañosdelascategorías
0,… ,!!! = 0). Si logró encontrar la solución, en EP solo estará el individuo solución con
V! = 0,V!! = 0,V!! = 0,… ,V!! = 0.
Figura 4.1. Implementación del algoritmo multiobjetivo MOEA/D sin el método PDA
4.2.1. Implementación del algoritmo MOEA/D sin utilizar el método PDA
Cuando se modela mediante optimización multiobjetivo el problema de clasificación
ordinal multicriterio sin utilizar un método PDA, el algoritmo multiobjetivo MOEA/D
atiende de manera simultanea las preferencias del decisor implícitas en los objetos del
conjunto de referencia y las preferencias acerca del tamaño de cada una de las categorías.
Utiliza como entrada los objetos del conjunto de referencia, los objetos del conjunto A y las
restricciones sobre el tamaño de las categorías impuestas por el decisor. De los objetos
asignados en el conjunto de referencia se conocen los desempeños en cada criterio y su
clasificación, esta información es suministrada por el DM. Mientras que de los objetos del
conjunto A solo se conocen los desempeños en cada criterio. El problema a resolver es
cómo clasificar a estos objetos respetando las restricciones en el tamaño de las categorías
impuestas por el decisor y las preferencias implícitas en los objetos asignados en el
82
conjunto de referencia T. En la figura 4.1 se muestra como es utilizada esta información por
el algoritmo MOEA/D.
4.2.2. Implementación del algoritmo MOEA/D utilizando el método PDA
Cuando se emplea el método PDA con el algoritmo MOEA/D se realizan dos etapas
principales: un Análisis de Desagregación de Preferencias (PDA) al conjunto T y la
clasificación de los objetos del conjunto A. En la primera fase se realiza la inferencia de
parámetros sobre la base de la información de referencia (conjunto T), para obtener los
parámetros de un modelo ELECTRE TRI-B. En la segunda fase se utiliza al algoritmo
multiobjetivo MOEA/D con el método de clasificación ordinal ELECTRE TRI-B para
clasificar los objetos del conjunto A. La segunda fase emplea la información preferencial
obtenida en la primera etapa y las restricciones sobre el tamaño de las categorías impuestas
por el decisor.
Como se vio en la sección 3.2.1, el objetivo del método PDA es generar una población
semilla con 50 individuos, que representan cada uno a un conjunto de parámetros
preferenciales. Se espera que la información preferencial contenida en la población semilla
sea de utilidad en la búsqueda de soluciones del algoritmo MOEA/D al brindar información
de conjuntos preferenciales que pueden clasificar a la mayoría, incluso a la totalidad de los
objetos del conjunto de referencia. Con esta suposición, el algoritmo MOEA/D recibe
conjuntos preferenciales ajustados en el primer objetivo (violaciones al conjunto de
referencia, VT ) y se tiene la expectativa de que el algoritmo MOEA/D pueda ajustar los
parámetros preferenciales (violaciones al tamaño de las categorías, !!! ,!!! ,… ,!!!) del
modelo con mayor facilidad, que al tratar de resolver todos los objetivos de manera
simultanea como en la sección 4.2.1.
4.2.2.1. Utilización de la población semilla
La población semilla generada por el algoritmo genético que implementa el método PDA
de la sección 3.2 contiene los 50 mejores individuos que encontró el algoritmo genético
durante su búsqueda. Estos 50 individuos pueden ser en el mejor de los casos, 50
individuos solución diferentes o 50 mejores individuos que pudo encontrar el algoritmo
genético. Otra combinación posible para la población semilla es que contenga individuos
83
solución y otros que representen a los mejores individuos que se pudieron encontrar en la
ejecución del algoritmo genético. Se define como mejor individuo al conjunto de
parámetros preferenciales obtenido por el método PDA, que puede representar mejor las
preferencias del decisor (clasifica correctamente al mayor número de objetos del conjunto
de referencia). Un individuo solución es un conjunto de parámetros preferenciales que
pueden clasificar a la totalidad de objetos del conjunto de referencia T de manera idéntica al
decisor.
Cada individuo de la población semilla representa un modelo preferencial (ELECTRE TRI-
B) conformado por (umbrales, pesos de los criterios, perfiles frontera y el umbral de
credibilidad). La población semilla es obtenida considerando solo la información
preferencial del conjunto de referencia (conjunto T). Por este motivo los individuos (que
representan un modelo preferencial) solo están ajustados a las política preferencial del
decisor implícita en el conjunto de referencia (pero no a la información preferencial del
decisor considerada en los tamaños a las categorías). Los individuos solución encontrados y
guardados en la población semilla clasifican de manera idéntica al decisor los objetos de
referencia.
La hipótesis que subyace es que la población semilla tiene individuos que contienen buena
información (buenos modelos preferenciales) que logren clasificar los objetos del conjunto
de referencia como el decisor. Pero estos modelos no consideran la información
preferencial de las restricciones a los tamaños de las categorías. De tal manera que al
utilizar estos individuos semilla en la población inicial de MOEA/D, se debería obtener
ayuda para el algoritmo al proporcionar el primer objetivo (!!) con valores muy bajos de
violaciones, incluso con 0 violaciones para el caso de individuos solución. La figura 4.2
muestra la manera en que la población semilla se inserta en la población inicial del
algoritmo MOEA/D.
Al inicio del algoritmo MOEA/D se genera la población inicial (número de subproblemas;
451 para 4 objetivos, 600 para 5 objetivos y 800 para 6 objetivos) de manera aleatoria,
posteriormente se reemplazan 50 individuos de la población inicial de MOEA/D por los 50
individuos de la población semilla. Como los individuos semilla solo están evaluados en
(!!) se calcula la aptitud de todos los individuos de la población inicial en los objetivos
84
!!! ,!!! ,… ,!!!, para calcular las violaciones a las restricciones en el tamaño de cada una
de las categorías.
Figura 4.2. Inserción de la población semilla en la población inicial de MOEA/D
4.3. Generador de instancias
Para formar las instancias utilizadas en la experimentación se diseñó un generador al que se
le proporcionan como datos de entrada una combinación de parámetros (número de
categorías, número de criterios, objetos por categoría del conjunto T y número de objetos
del conjunto A). Con esto, el generador proporciona una instancia como dato de salida. El
generador crea un DM virtual representado por un conjunto de parámetros preferenciales,
de esta manera se asegura que para la instancia creada existe al menos una solución ideal.
Este conjunto de parámetros clasifica a todos los objetos del conjunto de referencia y a
todos los objetos del conjunto A, respetando el tamaño de las categorías impuesto por el
DM. La figura 4.3 muestra el generador diseñado.
Objetos evaluados y asignados
atendiendo las restricciones impuestas
Poblaciónsemilla
ConjuntodereferenciaT
PDA
ConjuntoA
MOEA/D
Poblacióninicial
Restricciónalostamañosdelascategorías
85
Cada vez que el generador forma una instancia, primero crea un modelo de un decisor
(umbrales, pesos de los criterios, perfiles frontera y el umbral de credibilidad), y
posteriormente genera objetos utilizando este modelo hasta llenar el conjunto T y el
conjunto A con los objetos requeridos. Antes de asignar un objeto al conjunto T o al
conjunto A, el generador se asegura que en los conjuntos no haya ningún objeto idéntico al
que se pretende ingresar.
Figura 4.3. Generador de instancias para experimentación del algoritmo MOEA/D
Las restricciones en los tamaños de las categorías del conjunto A son calculadas por el
generador considerando un ±20% del promedio de objetos para una combinación de
parámetros dada. Con esto se tiene la certeza que para los datos generados existe al menos
una solución ideal, que es el modelo preferencial que creó el generador.
4.4. Experimentación
Para probar la metodología propuesta se realizó una experimentación exhaustiva para
diferentes tamaños de categorías, número de criterios, número de objetos en el conjunto A y
número de objetos por categoría del conjunto T de referencia (vea tabla 4.1).
- Número de criterios
- Número de categorías
- Número de objetos por categoría en el conjunto T
Entradas
DM virtual Conjunto de parámetros
preferenciales
Pesos de los criterios, wi Umbral de indiferencia, Qi Umbral de preferencia, Pi
Umbral de pre-veto, Ui Umbral de veto, Vi Perfiles frontera, bi
Umbral de credibilidad, λ
Genera objeto
ELECTRE TRI-B
Generador
Salidas
Conjunto T
- Clasificación
- Evaluación de los objetos
Conjunto A
- Clasificación
- Evaluación de los objetos
- Restricciones
86
En un primer esquema de experimentación se probó el algoritmo MOEA/D sin utilizar el
método PDA, y en una segunda configuración se utilizó el método PDA. Como se explicó
en la sección 3.1 el método PDA realiza una primera etapa para inferir los parámetros
preferenciales implícitos en un conjunto de referencia. El método PDA proporciona una
población semilla que es utilizada en la población inicial del algoritmo MOEA/D. La
hipótesis es que el método PDA debe ayudar al algoritmo MOEA/D en su búsqueda, ya que
proporciona individuos que pueden clasificar a la mayoría o a la totalidad de los objetos del
conjunto de referencia. Estos individuos probablemente sean mejores que los individuos
generados aleatoriamente por el algoritmo MOEA/D en su población inicial.
Tabla 4.1. Valores utilizados en la experimentación
Número de categorías Número de criterios Objetos por categoría en conjunto T
Tamaño del conjunto A
3 3 3 50
4 5 5 100
5 7 7 200
10 500
1000
Con los datos de la Tabla 4.1 se forman un total de 180 combinaciones diferentes de
parámetros (número de categorías, número de criterios, objetos por categoría del conjunto T
y número de objetos del conjunto A). Para la experimentación se generaron 20 instancias
distintas por cada una de las 180 combinaciones de parámetros posibles. Se considera una
instancia a un conjunto T, un conjunto A y las restricciones a los tamaños de las categorías
en que deben ser clasificados los objetos del conjunto A. En total se generaron 3600
instancias.
4.5. Resultados
En este apartado del trabajo se muestran los resultados obtenidos de la experimentación
planteada en la sección 4.4. Primero se mostrarán y analizarán los resultados obtenidos por
87
el algoritmo MOEA/D sin utilizar el método PDA. Posteriormente expondrán los resultados
obtenidos al utilizar el método PDA combinado con el algoritmo multiobjetivo MOEA/D.
Todos los experimentos fueron realizados en un equipo de cómputo con un procesador Intel
core i7 de 2.6 Ghz con 8 Gb de memoria RAM, 512 GB de disco duro de estado sólido y
sistema operativo macOS High Sierra.
4.5.1. Sin utilizar el método PDA
Las tablas 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 y 4.6 muestran los resultados de los 3600 experimentos
efectuados con el algoritmo MOEA/D sin utilizar el método PDA. La tabla 4.2 muestra la
efectividad por número de categorías. Los valores mostrados corresponden al porcentaje de
veces que el algoritmo clasificó a la totalidad de los objetos del conjunto A, cumpliendo las
restricciones impuestas por el decisor. Los porcentajes de efectividad son calculados del
total de los experimentos realizados por cada número de categorías. El algoritmo MOEA/D
tuvo una efectividad del 100% cuando resolvió instancias con 3 categorías, y su efectividad
muestra una tendencia a disminuir al aumentar el número de ellas.
Tabla 4.2. Efectividad por número de categorías sin método PDA
3 categorías 4 categorías 5 categorías
MOEA/D 100 % 94.66 % 89.08 %
Tabla 4.3. Efectividad por número de criterios sin método PDA
3 criterios 5 criterios 7 criterios
MOEA/D 96.58 % 94.83 % 92.33 %
La tabla 4.3 muestra un análisis del comportamiento de la efectividad por número de
criterios. Para esta tabla los porcentajes de efectividad se calculan del total de los
experimentos realizados por cada número de criterios utilizados para la experimentación.
La efectividad del algoritmo MOEA/D se degrada al incrementar el número de criterios
considerados para los objetos.
88
La tabla 4.4 muestra la efectividad del algoritmo MOEA/D analizando el efecto de
incrementar el número de objetos a clasificar en el conjunto A. Para todos las instancias que
tenían 50 objetos en el conjunto A, el algoritmo MOEA/D logró clasificar a todos los
objetos atendiendo las restricciones en los tamaños de las categorías impuestas por el
decisor. Lo que significa que el algoritmo fue capaz de encontrar la solución al problema
(no necesariamente igual al DM virtual).
Al incrementar el número de objetos del conjunto A, la efectividad del algoritmo MOEA/D
fue disminuyendo. Para esta tabla los porcentajes de efectividad se calculan del total de los
experimentos realizados por cada número de objetos del conjunto A utilizados para la
experimentación.
Tabla 4.4. Efectividad por tamaño del conjunto A sin método PDA
50 objetos 100 objetos 200 objetos 500 objetos 1000 objetos
MOEA/D 99.44 % 98.89 % 97.22% 93.89 % 83.47 %
La efectividad del algoritmo MOEA/D para los diferentes valores en el número de objetos
en cada categoría del conjunto de referencia se muestra en la tabla 4.5. Los valores para la
efectividad mostrada en esta tabla indican el porcentaje de veces que el algoritmo MOEA/D
fue capaz de clasificar a todos los objetos del conjunto T.
Tabla 4.5. Efectividad por número de objetos en cada categoría del conjunto T sin método PDA
3 objetos 5 objetos 7 objetos 10 objetos
MOEA/D 97.33 % 96.22 % 93.89 % 90.33 %
La tabla 4.6 muestra algunos de los tiempos de ejecución que tardó el algoritmo MOEA/D
para encontrar la solución. Los valores de tiempo mostrados son para 3, 4 y 5 categorías, 3
criterios, 50 y 1000 objetos del conjunto A y 3 objetos por cada categoría del conjunto T.
Como se puede apreciar en esta tabla, el incremento del número de objetos del conjunto A y
del número de categorías del problema de clasificación, tiene como consecuencia un
aumento en el tiempo de ejecución del algoritmo MOEA/D. Los tiempos mostrados en la
tabla 4.6 corresponden a la media de tiempos de ejecución de las 20 instancias diferentes
89
creadas por el generador para la misma configuración de parámetros (número de criterios,
número de categorías, número de objetos del conjunto A y número de objetos por categoría
del conjunto T).
Tabla 4.6. Tiempos de ejecución sin método PDA
Número de
categorías
Número de
criterios
Objetos por
categoría en el
conjunto T
Tamaño del
conjunto A Tiempo
3 3 3 50 10.8 s
4 3 3 50 5.38 m
5 3 3 50 8.55 m
3 3 3 1000 29.16 m
4 3 3 1000 93.86 m
5 3 3 1000 146.27 m
4.5.2. Utilizando el método PDA
En esta sección se muestran los resultados obtenidos en la experimentación al emplear la
población semilla generada por el método PDA, como información de entrada para el
algoritmo multiobjetivo MOEA/D.
Tabla 4.7. Efectividad por número de categorías con método PDA
3 categorías 4 categorías 5 categorías
PDA 100 % 99. 83 % 99.42 % MOEA/D 100 % 99.08 % 98.42 %
Las tablas 4.7, 4.8, 4.9, 4.10 y 4.11 muestran los resultados de los 3600 experimentos
efectuados utilizando el método PDA. La tabla 4.7 muestra la efectividad del algoritmo
MOEA/D por número de categorías. Los valores mostrados para el algoritmo MOEA/D
corresponden al porcentaje de veces que el algoritmo clasificó a la totalidad de los objetos
del conjunto A, cumpliendo las restricciones impuestas por el decisor. Los valores para el
PDA indican el porcentaje de veces cuando el procedimiento de inferencia fue capaz de
90
clasificar a todos los objetos del conjunto T. Los porcentajes de efectividad son calculados
del total de los experimentos realizados por cada tamaño de categoría. Tanto el PDA como
el algoritmo MOEA/D tuvieron una efectividad del 100% cuando resolvieron instancias
con 3 categorías, y su efectividad una tendencia a disminuir al aumentar el número de
categorías.
Tabla 4.8. Efectividad por número de criterios con método PDA
3 criterios 5 criterios 7 criterios
PDA 100 % 99.58 % 99.66 % MOEA/D 99.42 % 99.08 % 99.00 %
La tabla 4.8 muestra un análisis del comportamiento de la efectividad por número de
criterios. Para esta tabla los porcentajes de efectividad se calculan del total de los
experimentos realizados por cada número de criterios utilizados para la experimentación.
La efectividad del método PDA y del algoritmo MOEA/D se degrada al incrementar el
número de criterios considerados para los objetos. Un dato importante es que el método
PDA tuvo una efectividad menor cuando se trabajó con objetos definidos por 5 criterios,
que al considerar objetos con 7 criterios.
La tabla 4.9 muestra la efectividad del algoritmo MOEA/D analizando el efecto de
incrementar el número de objetos a clasificar en el conjunto A. Para todos las instancias que
tenían 50 objetos en el conjunto A, el algoritmo MOEA/D consiguió clasificar a todos los
objetos atendiendo las restricciones en los tamaños de las categorías impuestas por el
decisor. Al incrementar el número de objetos del conjunto A, la efectividad del algoritmo
MOEA/D fue disminuyendo. Para esta tabla los porcentajes de efectividad se calculan del
total de los experimentos realizados por cada número de objetos del conjunto A utilizados
para la experimentación.
Tabla 4.9. Efectividad por tamaño del conjunto A con método PDA
50 objetos 100 objetos 200 objetos 500 objetos 1000 objetos
MOEA/D 100 % 99.31 % 99.44 % 98.75 % 98.33 %
91
La efectividad del método PDA para los diferentes valores del número de objetos en cada
categoría del conjunto de referencia se muestra en la tabla 4.10. Los valores para la
efectividad mostrada en esta tabla indican el porcentaje de veces que el procedimiento PDA
fue capaz de clasificar a todos los objetos del conjunto T.
La efectividad del método PDA implementado fue del 100% cuando se tenían 3 y 5 objetos
por categoría en el conjunto de referencia T y cuando todos los objetos a clasificar eran
evaluados en 3 criterios. La efectividad más baja para el PDA se presentó cuando se tenían
10 objetos por categoría del conjunto T con objetos evaluados en 7 criterios.
Tabla 4.10. Efectividad por número de objetos en cada categoría del conjunto T con método PDA
3 objetos 5 objetos 7 objetos 10 objetos
PDA 100 % 100 % 99.67 % 99.33 %
Tabla 4.11. Tiempos de ejecución con método PDA
Número de
categorías
Número de
criterios
Objetos por
categoría en el
conjunto T
Tamaño del
conjunto A Tiempo
3 3 3 50 8.63 s
4 3 3 50 1.33 m
5 3 3 50 4.21 m
3 3 3 1000 11.56 m
4 3 3 1000 32.25 m
5 3 3 1000 42.21 m
La tabla 4.11 muestra algunos de los tiempos de ejecución que tardaron el método PDA y
el algoritmo MOEA/D para encontrar la solución. Los valores de tiempo mostrados son
para 3, 4 y 5 categorías; 3 criterios; 50 y 1000 objetos del conjunto A y 3 objetos por cada
categoría del conjunto T. Como se puede apreciar en la tabla el incremento del número de
objetos del conjunto A y del número de categorías del problema de clasificación, tiene
como consecuencia un aumento en el tiempo de ejecución del método PDA y del algoritmo
92
MOEA/D. Los tiempos mostrados en la tabla 4.11 corresponden a la media de tiempos de
ejecución de las 20 instancias diferentes creadas por el generador para la misma
configuración de parámetros (número de criterios, número de categorías, número de objetos
del conjunto A y número de objetos por categoría del conjunto T).
Todos los experimentos fueron realizados en un equipo de cómputo con un procesador Intel
core i7 de 2.6 Ghz con 8 Gb de memoria RAM, 512 GB de disco duro de estado sólido y
sistema operativo macOS High Sierra.
4.6. Comparación de resultados
Al inicio de este trabajo de investigación, se tenía la hipótesis de que utilizar un método
PDA sería de ayuda para la efectividad del algoritmo de optimización multiobjetivo. El
método PDA busca un modelo preferencial que clasifique los objetos del conjunto de
referencia de manera idéntica al decisor. Después de la implementación del método PDA y
la experimentación realizada se comprobó que la inferencia de modelos de preferencias del
conjunto de referencia es de gran ayuda para el problema de optimización multiobjetivo.
En los dos casos de experimentación: sin el método PDA y con el método PDA al
incrementar el número de criterios o la cardinalidad del conjunto A, la efectividad del
método disminuye debido a que la complejidad del problema se incrementa.
Otro resultado importante es que el método PDA implementado mejoró la efectividad y la
eficiencia del algoritmo propuesto, como se puede ver en las tablas 4.6 y 4.11. Se tenía la
hipótesis de que el método PDA sería de ayuda para mejorar la efectividad del algoritmo
pero se tenía la incertidumbre de que al dividir el problema en dos etapas (desagregación de
preferencias y optimización multiobjetivo) pudiera tomar más tiempo de ejecución que solo
utilizar el algoritmo MOEA/D para resolver el problema como, un problema de
optimización multiobjetivo.
Es importante mencionar que todos los resultados de las tablas 4.2 – 4.11 consideran
solamente las veces que el algoritmo MOEA/D fue capaz de encontrar la solución, es decir
93
un individuo con 0 violaciones en todos sus objetivos
(!! = !,!!! = !,!!! = !,… ,!!! = !).
4.7. Ordenamiento de los objetos al interior de las categorías
Una vez que el algoritmo multiobjetivo MOEA/D termina su ejecución proporciona un
solución o un conjunto de soluciones del frente de Pareto, que se tratan de cumplir las
preferencias del decisor implícitas en el conjunto de referencia y las preferencias que
expresa en las restricciones al tamaño de las categorías. Los objetos en cada una de las
categorías se consideran iguales, no se diferencian unos de otros. Para dar la posibilidad de
diferenciar entre objetos de una misma categoría, es necesario realizar un procedimiento de
ordenamiento de los objetos al interior de la categoría.
El punto central de este trabajo radica en presentar una propuesta de optimización
multiobjetivo para el problema de clasificación ordinal multicriterio con restricciones al
tamaño de las categorías. El procedimiento de ordenamiento puede ser realizado mediante
métodos de explotación de relaciones de preferencia borrosas como el score del flujo neto
de outranking (Fodor and Roubens, 1992), el método de “destilación” que emplea
ELECTRE III (Ostanello, 1985), o los métodos basados en la solución de problemas de
optimización multiobjetivo de inconsistencias propuestos por Fernández et al., 2008,
Fernández y Leyva, 2004, y Leyva y Fernández, 1999, y más recientemente en la tesis
doctoral de Gastélum Chavira (2014). La elección de método de ordenamiento a utilizar
dependerá básicamente del número de objetos en cada categoría. Un método simple, que a
la vez es escalable cuando aumenta el número de acciones a ordenar, es el conteo de flujo
neto de outranking, utilizado por PROMETHEE (Brans y Vincke, 1985) y por Kadzinski y
Slowinski (2015) en su propuesta de solución al CSP. Este método ha sido criticado porque
no controla las inconsistencias entre la posición de las acciones en el ranking y las
relaciones de preferencia que se derivan de la relación borrosa de no-inferioridad. Quizás la
forma con mejor fundamento para el manejo de esas inconsistencias es la propuesta de
Fernández et al. (2008) y de la tesis doctoral de Olmedo Pérez (2009), basada en el
cumplimiento del llamado Principio de Correspondencia, y en la solución de un problema
de optimización multiobjetivo mediante algoritmos evolutivos. Este método puede reducir
94
las violaciones de preferencias explicitas, identificándolas, controlándolas y
minimizándolas. En los experimentos numéricos de Fernández et al., (2008) la propuesta
mostró un buen rendimiento en el sentido de la calidad de las soluciones, y en el esfuerzo
computacional que requiere. Sin embargo, solo ha sido validado experimentalmente en el
ordenamiento de conjuntos de pequeña cardinalidad, y no está claro cuán bien escala el
algoritmo evolutivo con el aumento del número de acciones a ordenar.
95
Capítulo 5. Conclusiones En este capítulo se presentan las conclusiones del trabajo sobre el problema de clasificación
ordinal multicriterio con restricciones al número de objetos en las categorías, utilizando un
enfoque evolutivo multiobjetivo. También se presenta un análisis de las respuestas a las
preguntas de investigación y el trabajo futuro.
5.1. Análisis del cumplimiento de objetivos y de las respuestas a las preguntas de
investigación
En el capítulo 1 de este documento de tesis se plantearon tres preguntas de investigación.
Estas preguntas son consideradas auxiliares para responder la interrogante central y a partir
de ellas generar las conclusiones. Sobre la base de lo encontrado durante la realización de
este trabajo de investigación, a continuación se presentan cada una de ellas con su
respuesta:
1. ¿Contribuye la optimización multiobjetivo a lograr mejores soluciones desde el punto
de vista de las preferencias integrales del DM?
Este fue uno de los retos principales de este trabajo de investigación, ya que todos los
trabajos previos en el estado del arte (vea tabla 1.2) resuelven este problema como un
problema mono-objetivo (generalizan las violaciones a los tamaños de las categorías, no
las manejan a nivel de categoría). En la sección 4 se muestra la implementación del
problema de clasificación ordinal con restricciones en el tamaño de las categorías, como
un problema multiobjetivo. Esta implementación fue realizada con éxito después de
varios intentos y de utilizar diferentes algoritmos. Fue realizada una implementación
con el algoritmo NSGA-II, como un problema bi-objetivo. En esta implementación se
consideraban de manera global en un objetivo todas las violaciones a los tamaños de las
categorías y otro para las violaciones al conjunto de referencia. Se manejaron dos
objetivos debido a que NSGA-II ha probado su efectividad en dos y tres objetivos, pero
96
no ha mostrado buenos resultados para más de tres objetivos.
La implementación con el algoritmo NSGA-II como un problema bi-objetivo resultó
tener una efectividad muy baja, además tenía el inconveniente de que manejaba las
violaciones a las restricciones de los tamaños de las categorías de manera global. El
manejar las violaciones a los tamaños de esta manera no permite manejar información
preferencial del decisor sobre las restricciones en una categoría. Debido a la falta de
resultados alentadores, esta implementación no está documentada en este trabajo.
Posteriormente se utilizó el algoritmo multiobjetivo MOEA/D, del cual se tienen
buenos resultados en la literatura para problemas de muchos objetivos (más de 3
objetivos). Con el algoritmo MOEA/D se formuló el problema multiobjetivo con un
objetivo por categoría y un objetivo por el conjunto de referencia. Esta formulación
resulta en un problema con M+1 objetivos (ver sección 4). La implementación con el
algoritmo MOEA/D resultó exitosa al resolver el problema multiobjetivo 4.1.
La utilización de la optimización multiobjetivo para resolver el problema de
clasificación ordinal multicriterio con restricciones en el tamaño de las categorías,
contribuye a obtener mejores resultados para este tipo de problemas. La formulación del
problema mediante optimización multiobjetivo permite considerar de una manera más
integral las preferencias del decisor.
Mediante la formulación multiobjetivo del problema se le brinda la posibilidad al DM
de aprender acerca del mismo, y tener la posibilidad de reconocer posibles
inconsistencias en el conjunto de entrenamiento. De tal manera que dentro de las
soluciones obtenidas por el algoritmo multiobjetivo MOEA/D puede haber opciones
que asignen algunos objetos de referencia de manera distinta al conjunto de
entrenamiento, permitiendo con esto cumplir mejor con las restricciones a los tamaños
de las categorías.
2. ¿Ayudan las heurísticas multiobjetivo a resolver el problema de clasificación ordinal
multicriterio con restricciones en el tamaño de las categorías con la metodología
97
ELECTRE, utilizando un modelo preferencial completo (Q, P, U, V, pesos de los
criterios, perfiles frontera y umbral de credibilidad) para caracterizar al DM?
El interés de este trabajo se centra en utilizar el método de clasificación multicriterio
ELECTRE TRI-B con un modelo preferencial completo (pesos de los criterios,
umbrales de discriminación y de veto, perfiles frontera y umbral de credibilidad) para
clasificar los objetos del conjunto A. El DM proporciona sus preferencias a través de
objetos clasificados en el conjunto de entrenamiento T; estas preferencias fueron
obtenidas mediante un procedimiento de inferencia de parámetros. Como se vio en la
sección 2.6, inferir todos los parámetros simultáneamente en modelos ELECTRE,
requiere resolver un problema no lineal con restricciones no convexas, lo que es
usualmente difícil.
Con el enfoque multiobjetivo se maneja la no-linealidad y se admite la capacidad de
veto y las incomparabilidades que de ella resultan. Además, con este enfoque se elimina
la consideración de restricción absoluta de las preferencias, dando flexibilidad al
manejar las preferencias del conjunto de entrenamiento.
El problema multiobjetivo planteado (4.1) es resuelto con éxito mediante el algoritmo
multiobjetivo MOEA/D empleando un modelo preferencial completo, y utilizando el
método ELECTRE TRI-B para la clasificación de los objetos. En la figura 3.3 se
muestra la codificación de cada individuo utilizada en el método PDA y por el
algoritmo multiobjetivo MOEA/D. Cada individuo representa un modelo preferencial
completo (umbrales, pesos de los criterios, perfiles frontera y umbral de credibilidad).
Los resultados obtenidos en la experimentación exhaustiva realizada, plasmados en las
tablas 4.2 - 4.11, dan muestra de la efectividad de la metodología planteada para
resolver el problema de clasificación ordinal multicriterio con restricción en el tamaño
de las categorías.
3. ¿Cuál es la mejor forma de resolver el problema de optimización multiobjetivo?.
Resolver primero el problema de extraer las preferencias del DM implícitas en el núcleo
de referencia (análisis PDA) y posteriormente incorporar las restricciones a los tamaños
de las categorías; o considerar el análisis PDA y las restricciones a los tamaños de las
98
categorías al mismo tiempo.
Al inicio de este trabajo de investigación, se tenía la suposición de que utilizar un
método PDA sería de ayuda para la efectividad del algoritmo de optimización
multiobjetivo. El método PDA busca un modelo preferencial que clasifique los objetos
del conjunto de referencia de manera idéntica (o lo más parecida posible) al decisor.
Después de la implementación del método PDA y la experimentación realizada se
comprobó que la población semilla obtenida por el procedimiento de inferencia de
parámetros del modelo preferencial del conjunto de referencia es de gran ayuda para el
problema de optimización multiobjetivo. Además de mejorar la efectividad del
algoritmo MOEA/D, el método PDA también mejora su eficiencia como se puede ver
en las tablas 4.6 y 4.11.
Al implementar el método PDA para un problema de clasificación ordinal con
restricciones al número de objetos en las categorías, se deben tener en cuenta las
consideraciones siguientes:
• Las inconsistencias del decisor en el conjunto de referencia. Se considera una
inconsistencia cuando un objeto es clasificado por el decisor en una categoría
distinta a la que un modelo general de preferencias del conjunto de referencia la
ubica. Esta situación dificulta o hace imposible al algoritmo genético encontrar un
modelo que clasifique de manera idéntica a la totalidad de los objetos del conjunto
de referencia.
• La incapacidad del algoritmo genético para encontrar un modelo que clasifique a la
totalidad de los objetos del conjunto de referencia como lo hace el decisor. Un
algoritmo genético tiene varios operadores y parámetros que deben ser sintonizados
y utilizados de manera adecuada y acorde al problema que se quiere resolver. Estos
operadores son: operador de cruce, operador de mutación, técnica de selección y
reemplazo.
Adicionalmente a esto, es muy importante elegir una buena codificación del
individuo y el modo de emplear los operadores de cruce, mutación y las técnicas de
selección y remplazo sobre ellos. Una elección inadecuada de estos factores tendrá
un impacto en la capacidad del algoritmo genético, y por ende en su efectividad.
99
• Debilidades del método de clasificación elegido. Todos los métodos de clasificación
multicriterio tienen ventajas, desventajas y debilidades. La elección de método a
elegir debe ser acorde a la metodología que se quiere utilizar par resolver el
problema de clasificación ordinal con restricción en los tamaños de las categorías.
En este trabajo de investigación se decidió utilizar el método ELECTRE TRI-B,
porque tiene la capacidad de manejar información ordinal, cualitativa y con cierto
grado de imprecisión, además de preferencias intransitivas y situaciones de veto e
incomparabilidad.
Estas tres consideraciones son de suma importancia para lograr que el método PDA sea
efectivo y de ayuda para resolver el problema propuesto.
El logro de estos resultados fue resultado de una amplia investigación, muchas pruebas,
varios ajustes de los parámetros del algoritmo genético y numerosas modificaciones al
modelo y a la codificación del individuo. En la sección 3 se pueden ver los detalles de
esta implementación.
5.2. Conclusiones
Esta investigación aporta un enfoque novedoso a la solución de problemas de clasificación
ordinal multicriterio con restricción en el tamaño de las categorías. La propuesta es el
primer trabajo que plantea el problema como un problema de optimización multiobjetivo y
lo resuelve con enfoques metaheurísticos.
Mediante la formulación multiobjetivo del problema el DM tiene la posibilidad de
reconocer posibles inconsistencias en el conjunto de entrenamiento. De manera tal que
dentro de las soluciones obtenidas por el algoritmo multiobjetivo MOEA/D puede haber
opciones que asignen algunos objetos de referencia de manera distinta al conjunto de
entrenamiento, permitiendo con esto, cumplir mejor con las restricciones al tamaño de las
categorías.
La metodología propuesta genera como solución un modelo preferencial completo (Q, P, U,
V, pesos de los criterios, perfiles frontera y umbral de credibilidad) que permite una mejor
100
caracterización de un DM. El modelo tiene la ventaja de representar de una manera más
completa a un DM que los procedimientos implementados en la literatura para problemas
CSP (vea Tabla 1.2), que, o bien utilizan modelos compensatorios con información
cardinal, o eluden la consideración de efectos de veto.
De acuerdo con los resultados obtenidos, la modelación propuesta es una herramienta
efectiva para resolver problemas de clasificación ordinal multicriterio con restricción en el
tamaño de las categorías. Si las preferencias son compatibles con un modelo de outranking,
esta propuesta es capaz de clasificar básicamente a todos los objetos del conjunto A
atendiendo las restricciones de los tamaños de las categorías impuestas por el decisor.
La experimentación exhaustiva realizada en este trabajo, con diferentes valores de criterios,
categorías y tamaños de los conjuntos A y T, permite probar la robustez y la efectividad de
la modelación propuesta. Eso diferencia el presente trabajo de los existentes en la literatura
(vea Tabla 1.2) donde se resuelven una variedad mucho menor de problemas para probar la
metodología que proponen.
Otro resultado importante es que el método PDA implementado mejoró la efectividad y la
eficiencia del algoritmo propuesto. Se tenía la hipótesis de que el método PDA sería de
ayuda para mejorar la efectividad del algoritmo MOEA/D, pero con la incertidumbre de
que al dividir el problema en dos etapas (desagregación de preferencias y optimización
multiobjetivo) pudiera tomar más tiempo de ejecución que solo utilizar el algoritmo
MOEA/D para resolver el problema como un problema de optimización multiobjetivo.
5.3. Trabajo futuro
Esta investigación no concluye el estudio de problemas de clasificación ordinal
multicriterio con restricciones al número de objetos en las categorías. Por el contrario,
brinda un nuevo horizonte de investigación para abordar este tipo de problemas con un
enfoque de optimización multiobjetivo.
101
Queda como trabajo futuro para dar continuidad a esta investigación:
i) Realizar pruebas con el algoritmo evolutivo MOEA/D-DE, que utiliza evolución
diferencial;
ii) La implementación de un procedimiento de interacción con el DM para
incrementar la efectividad del método;
iii) Aplicación a casos prácticos, preferiblemente tomados de la vida real, y el
manejo de las inconsistencias que se deriven de su desarrollo.
102
Anexo 1. Conjunto de entrenamiento
Desempeños de los objetos
Criterios
g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10a1 2.50 1.71 2 3.81 1.46 1.25 1.25 5 0 1a2 4.15 3.94 2 3.93 3.58 4.00 3.75 2 0 1a3 4.25 3.52 1 2.50 1.67 3.00 3.75 2 0 1a4 4.00 3.72 0 3.93 2.42 3.90 3.13 2 0 1a5 3.13 3.33 1 1.79 1.58 0.92 2.50 4 0 1a6 2.45 1.67 0 0.71 0.83 1.00 1.25 6 0 1a7 3.80 2.92 1 2.14 1.33 0.90 1.25 2 0 1a8 4.25 3.50 0 2.50 2.00 2.50 3.75 2 0 1a9 3.65 4.17 3 3.86 0.83 1.00 1.88 7 0 1a10 4.04 3.28 0 4.21 2.08 2.20 4.29 12 0 1a11 2.50 3.00 2 2.71 1.67 2.14 2.14 6 0 1a12 4.50 3.89 0 2.64 1.42 3.00 3.55 12 0 1a13 2.45 1.67 1 1.43 1.17 2.00 2.68 6 0 1a14 3.10 2.22 1 3.57 2.17 1.20 2.50 12 0 1a15 4.10 4.11 0 4.79 3.45 4.00 2.50 8 0 1a16 3.72 4.21 0 4.59 0.00 0.00 3.75 6 0 1a17 4.36 4.44 1 3.88 5.83 4.00 1.61 6 0 1a18 3.00 4.68 4 3.37 1.67 1.00 3.75 12 0 1a19 3.79 4.05 2 4.49 3.69 4.00 3.75 8 0 1a20 2.22 2.94 2 2.96 0.83 2.72 2.15 10 0 1a21 1.00 2.31 0 3.78 2.15 1.00 2.50 4 0 1a22 3.65 4.05 0 3.99 2.38 2.00 3.75 4 0 1a23 1.86 2.22 1 2.91 0.83 2.72 3.04 4 0 1a24 3.00 3.33 1 3.57 2.50 2.50 3.75 8 0 1a25 3.50 4.37 2 2.35 2.86 2.00 3.75 12 0 1a26 3.65 3.33 2 3.78 3.46 2.00 1.25 2 0 1a27 4.36 4.44 2 5.00 3.22 1.00 3.75 10 0 1a28 3.93 3.33 0 5.00 0.83 1.00 3.75 2 0 1
Min 1 1.67 0 0.71 0 0 1.25 2 0 1Max 4.5 4.68 4 5 5.83 4 4.29 12 0 1
103
Categorías
Clasificación
Las celdas de color verde en cada columna indica la categoría en que esta asignado el
objeto. Por ejemplo, el objeto a1 esta asignado a la categoría 1 (C1) y el objeto a18
pertenece a la categoría 3 (C3).
Máspreferida
Menospreferida
b1
CategoríaC3
Categoría C2
Categoría C1
b2
104
Anexo 2. Resultados de la experimentación sin utilizar el método PDA
Las tablas mostradas en este anexo corresponden a los resultados de la experimentación
exhaustiva realizada en la sección 4.5.1. Cada tabla presenta los resultados para el número
de objetos del conjnto A indicado. Las columnas de iteraciones indican la media del
número de iteraciones que tardo el algoritmo multiobjetivo MOEA/D para encontrar la
solución. La información plasmada en estas tablas solo considera las corridas donde el
algoritmo MOEA/D encontro la solución al problema (!! = 0,!!! = 0,!!! = 0,… ,!!! =
0).
Cada tabla incluye los resultados de 240 experimentos, que corresponden a las 20
repeticiones de las 12 combinaciones de los valores de número de categorías, número de
criterios y número de objetos del conjunto T, que se pueden hacer por cada valor de número
de objetos del conjunto A.
Las columnas de reinicios contienen la cantidad de reinicios que requirió el algoritmo
MOEA/D, para encontrar la solución. La tabla de la parte inferior de cada página contiene
los detalles del número de reinicios que realizó el algoritmo MOEA/D, cada vez que utilizó
el procedimiento de reinicios.
105
3 categorías y 50 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
3
3
3 819.88 10.8 s 0
5 2951.94 2.41 s 0
7 5691.53 0.19 s 0
5
3 2409.86 0.04 m 1
5 3227.51 1.30 m 2
7 6028.73 4.89 m 1
7
3 4287.23 1.77 m 7
5 4076.40 2.72 m 5
7 6598.34 7.17 m 3
10
3 5727.18 4.16 m 6
5 7863.23 6.38 m 8
7 6507.68 12.43 m 1
34
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
206 26 3 4 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 1 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
106
3 categorías y 100 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
3
3
3 2442.47 5.13 m 1
5 4980.69 5.20 m 0
7 5119.90 6.65 m 0
5
3 2906.92 1.78 m 2
5 5056.39 4.52 m 0
7 8244.35 18.61 m 6
7
3 5719.70 3.40 m 4
5 10616.16 11.63 m 3
7 8351.60 17.01 m 10
10
3 7453.24 8.53 m 7
5 7758.97 13.91 m 5
7 8802.51 22.35 m 10
48
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
192 33 6 5 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 1 0 0 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
107
3 categorías y 200 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
3
3
3 819.88 7.58 m 3
5 2951.94 13.18 m 3
7 5691.53 12.08 m 2
5
3 2409.86 9.61 m 3
5 3227.51 12.17 m 3
7 6028.73 23.83 m 3
7
3 4287.23 10.51 m 6
5 4076.40 16.34 m 6
7 6598.34 21.90 m 4
10
3 5727.18 13.33 m 9
5 7863.23 15.77 m 7
7 6507.68 31.70 m 8
57
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
183 42 7 4 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 2 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
108
3 categorías y 500 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
3
3
3 819.88 16.56 m 3
5 2951.94 35.19 m 2
7 5691.53 34.88 m 4
5
3 2409.86 19.05 m 4
5 3227.51 9.47 m 5
7 6028.73 48.18 m 4
7
3 4287.23 35.99 m 10
5 4076.40 63.30 m 12
7 6598.34 44.97 m 13
10
3 5727.18 32.84 m 6
5 7863.23 47.02 m 11
7 9507.68 16.56 m 14
88
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
152 50 18 9 4 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 1 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
109
3 categorías y 1000 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
3
3
3 6146.04 29.16 m 2
5 7218.43 58.36 m 2
7 7641.31 104.37 m 2
5
3 6385.99 28.27 m 4
5 13455.47 115.84 m 11
7 13769.80 207.13 m 11
7
3 12897.36 85.89 m 13
5 13245.42 120.66 m 7
7 12456.41 178.44 m 10
10
3 10749.48 73.13 m 10
5 16366.31 165.73 m 14
7 16046.61 261.75 m 12
98
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
142 48 22 13 3 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
3 2 0 3 2 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
110
4 categorías y 50 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
4
3
3 7163.30 5.38 m 6
5 6625.05 8.04 m 3
7 10422.91 16.24 m 1
5
3 5516.02 5.15 m 12
5 6087.55 6.50 m 5
7 9778.20 19.63 m 2
7
3 5972.71 7.60 m 9
5 11904.80 17.01 m 2
7 9502.68 20.53 m 1
10
3 15246.10 22.62 m 15
5 13343.07 23.00 m 3
7 14938.64 39.84 m 3
62
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
178 31 16 5 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 4 2 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 1
111
4 categorías y 100 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
4
3
3 6681.99 8.73 m 2
5 7685.70 16.18 m 5
7 7063.80 20.25 m 9
5
3 11034.70 16.91 m 5
5 9685.61 20.15 m 9
7 8693.70 27.68 m 12
7
3 9419.39 14.88 m 9
5 9783.00 23.32 m 7
7 9817.31 26.06 m 10
10
3 11064.37 23.65 m 6
5 12690.13 27.90 m 9
7 14604.47 36.05 m 12
95
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
139 51 23 12 5 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
2 3 0 0 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 2 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 1 0 1
112
4 categorías y 200 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
4
3
3 8848.02 27.62 m 9
5 9339.03 31.67 m 10
7 9704.42 51.19 m 11
5
3 9837.39 23.70 m 7
5 10899.13 39.77 m 10
7 12979.28 53.22 m 11
7
3 11531.73 32.57 m 8
5 10573.39 46.19 m 10
7 14987.35 69.68 m 14
10
3 14057.06 46.60 m 9
5 34593.83 153.43 m 14
7 46376.30 275.51 m 15
128
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
105 62 37 17 9 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 2 0 2 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 1 0 1 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
1 0 0 1 0
113
4 categorías y 500 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
4
3
3 29410.97 57.78 m 17
5 22360.01 163.45 m 16
7 28967.71 352.14 m 18
5
3 18738.23 86.98 m 14
5 24587.04 183.29 m 16
7 19706.01 239.29 m 17
7
3 21059.75 114.39 m 13
5 32494.42 179.25 m 15
7 57556.02 306.93 m 19
10
3 24342.41 190.25 m 11
5 35844.38 380.56 m 15
7 62633.73 484.12 m 20
191
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
35 87 46 22 11 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
7 6 3 2 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 2 3 2 2 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
2 0 1 0 7
114
4 categorías y 1000 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
4
3
3 45440.95 93.86 m 19
5 82723.07 133.38 m 20
7 50895.58 696.52 m 20
5
3 44049.27 243.79 m 20
5 57026.10 414.44 m 19
7 41186.75 886.50 m 20
7
3 51507.14 458.71 m 19
5 125149.98 962.17 m 20
7 253378.32 1598.83 m 20
10
3 65273.48 876.66 m 20
5 112954.77 1344.61 m 20
7 231570.03 2296.89 m 20
237
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
3 118 53 24 11 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
5 4 4 1 2 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 3 2 2 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
4 1 1 0 1
115
5 categorías y 50 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
5
3
3 9134.75 8.55 m 5
5 13621.86 18.70 m 8
7 17618.39 27.70 m 9
5
3 7263.76 16.69 m 4
5 14893.15 29.81 m 5
7 38264.78 38.03 m 9
7
3 17514.59 45.32 m 7
5 31653.64 67.50 m 9
7 58792.74 123.94 m 12
10
3 31593.66 137.41 m 8
5 53770.39 254.28 m 13
7 90720.13 301.60 m 18
107
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
133 46 27 11 5 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
2 3 1 3 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
2 0 3 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
2 1 0 1 0
116
5 categorías y 100 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
5
3
3 6903.84 18.82 m 9
5 9643.72 40.85 m 10
7 10746.61 43.11 m 12
5
3 9157.19 27.59 m 10
5 15821.97 64.30 m 11
7 17160.10 88.29 m 12
7
3 6127.20 40.51 m 9
5 13556.03 71.82 m 12
7 15333.07 202.37 m 10
10
3 11989.58 148.98 m 11
5 23492.57 269.19 m 12
7 39243.34 402.25 m 13
131
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
109 62 31 13 6 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
4 5 2 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 1 0 2 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 1 0 2 1
117
5 categorías y 200 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
5
3
3 10203.01 40.20 m 9
5 8892.08 56.26 m 7
7 13224.46 107.69 m 13
5
3 22991.83 111.04 m 12
5 28359.10 100.72 m 14
7 15854.01 243.73 m 16
7
3 13310.44 99.54 m 14
5 14683.94 200.81 m 12
7 21734.93 307.32 m 17
10
3 11745.82 165.16 m 13
5 36247.57 325.00 m 16
7 87829.05 1274.74 m 18
161
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
77 79 43 17 8 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
3 2 1 2 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 1 0 1 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
2 0 1 0 2
118
5 categorías y 500 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
5
3
3 9916.70 81.65 m 17
5 14042.00 130.34 m 18
7 49427.35 240.06 m 20
5
3 16264.00 108.21 m 14
5 60605.42 177.54 m 19
7 90371.05 314.44 m 20
7
3 29129.67 126.67 m 13
5 64224.54 228.10 m 15
7 32083.15 832.84 m 20
10
3 16878.46 384.54 m 11
5 150255.27 2365.23 m 16
7 246247.12 3665.75 m 20
203
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
37 107 43 21 9 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
3 3 1 3 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
2 2 1 0 1 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
1 1 0 0 4
119
5 categorías y 1000 objetos en el conjunto A
Reinicios
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría
del conjunto T Criterios MOEA/D Tiempo MOEA/D
5
3
3 13010.80 146.27 m 20
5 28126.00 249.04 m 20
7 58037.23 773.61 m 20
5
3 23507.26 153.13 m 20
5 46195.15 588.15 m 20
7 69317.22 1040.59 m 20
7
3 128306.24 789.02 m 20
5 251647.00 1766.22 m 20
7 348009.32 4112.61 m 20
10
3 201205.69 2106.02 m 20
5 271568.77 3260.09 m 20
7 424146.08 5330.24 m 20
240
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
0 110 34 22 15 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
10 6 5 3 5 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 4 1 4 2 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
1 2 3 3 9
120
Anexo 3. Resultados de la experimentación utilizando el método PDA
Las tablas mostradas en este anexo corresponden a los resultados de la experimentación
exhaustiva realizada en la sección 4.5.2. Cada tabla presenta los resultados para el número
de objetos del conjnto A indicado. Las columnas de iteraciones indican la media del
número de iteraciones que tardo el algoritmo genético que implementa el método PDA y, el
número de iteraciones que tardo el algoritmo multiobjetivo MOEA/D para encontrar la
solución. La información plasmada en estas tablas solo considera las corridas de los
algoritmos cuando el algoritmo MOEA/D encontro la solución al problema (!! = 0,!!! =
0,!!! = 0,… ,!!! = 0).
Cada tabla incluye los resultados de 240 experimentos, que corresponden a las 20
repeticiones de las 12 combinaciones de los valores de número de categorías, número de
criterios y número de objetos del conjunto T, que se pueden hacer por cada valor de número
de objetos del conjunto A.
Las columnas de reinicios contienen la cantidad de reinicios que requirieron el algoritmo
genético que implementa el método PDA y el algoritmo MOEA/D, para encontrar la
solución. Las dos tablas de la parte inferior de cada página contienen los detalles del
número de reinicios que realizaron los algoritmos, cada vez que utilizaron el procedimiento
de reinicios.
121
3 categorías y 50 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
215 10 7 3 2 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 2 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
3
3
3 7844.19 13.62 8.63 s 0 0
5 7727.70 30.04 15.13 s 1 0
7 11760.05 99.43 74.92 s 0 0
5
3 16669.96 35.62 1.57 m 0 1
5 25366.95 70.08 1.94 m 0 2
7 37667.91 138.38 2.31 m 1 0
7
3 19653.98 160.00 1.84 m 3 1
5 45263.13 196.16 3.73 m 5 1
7 40451.11 278.14 4.39 m 2 2
10
3 28717.73 235.86 1.71 m 3 2
5 40264.47 853.53 2.64 m 5 0
7 61387.56 1326.04 3.72 m 5 0
25 9
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
231 8 0 1 0 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
122
3 categorías y 100 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
214 15 6 1 3 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 1 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
3
3
3 8542.46 56.16 1.01 m 0 0
5 10325.05 72.05 2.58 m 0 1
7 9131.91 177.76 5.03 m 1 2
5
3 13124.86 65.24 2.02 m 1 1
5 17075.58 91.84 3.77 m 0 1
7 32366.71 118.99 6.93 m 3 1
7
3 13301.05 85.41 0.64 m 1 1
5 34289.39 184.22 2.38 m 3 2
7 42143.94 217.83 10.30 m 4 2
10
3 37966.67 240.52 3.04 m 4 4
5 55471.52 360.17 8.43 m 3 2
7 138837.62 1320.70 9.24 m 6 0
26 17
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
223 12 3 0 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
1 0 0 0 0
123
3 categorías y 200 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
207 16 11 1 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 2 0 2 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
3
3
3 9198.02 416.74 1.68 m 0 0
5 8946.40 861.37 1.53 m 0 1
7 13246.77 1313.47 8.67 m 1 2
5
3 13142.26 455.62 5.08 m 1 2
5 17336.10 971.59 6.42 m 3 4
7 15417.19 1109.09 4.99 m 3 2
7
3 19896.22 744.17 5.65 m 1 4
5 28770.06 951.56 11.76 m 3 1
7 37943.78 1342.27 11.12 m 5 2
10
3 27557.73 917.59 7.61 m 3 5
5 66986.74 1452.02 9.08 m 4 6
7 206987.51 3766.90 16.69 m 9 7
33 36
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
204 24 8 0 4 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
124
3 categorías y 500 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
211 17 8 1 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 0 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
3
3
3 8267.29 657.59 3.84 m 0 1
5 9483.51 955.18 14.53 m 0 4
7 12395.14 1059.98 11.45 m 0 2
5
3 13228.20 942.87 6.22 m 0 2
5 9872.56 1070.94 8.10 m 3 3
7 25025.93 2129.66 19.44 m 6 6
7
3 18002.21 1435.00 13.30 m 1 4
5 41326.21 1623.87 12.43 m 2 4
7 129354.84 2280.17 22.95 m 4 7
10
3 50991.24 1513.48 11.88 m 1 5
5 108855.52 3464.89 15.22 m 5 6
7 138381.01 5090.14 26.59 m 7 11
29 55
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
185 32 15 2 2 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 1 0 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
125
3 categorías y 1000 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
207 24 5 0 2 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 1 0 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
3
3
3 9413.62 467.85 11.56 m 0 5
5 11881.98 388.43 12.67 m 0 3
7 9253.36 641.41 69.41 m 0 2
5
3 19168.47 587.35 19.71 m 5 1
5 20148.94 924.33 33.06 m 4 8
7 33014.15 1317.66 35.58 m 4 7
7
3 13654.49 600.37 21.96 m 1 3
5 37726.43 1442.24 33.26 m 3 4
7 75087.83 1984.08 38.88 m 6 7
10
3 17417.04 219.21 14.26 m 1 3
5 87825.09 951.78 29.21 m 5 8
7 81830.14 1204.32 43.73 m 4 10
33 61
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
179 32 16 3 3 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
2 2 0 0 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
126
4 categorías y 50 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
183 22 15 10 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 2 0 3 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 1 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 1 1 0
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
4
3
3 13752.84 44.14 1.33 m 1 0
5 18754.70 52.60 2.77 m 0 2
7 94802.77 28.19 7.42 m 3 3
5
3 29255.33 97.02 3.57 m 2 6
5 98176.14 143.56 5.62 m 2 0
7 127058.75 217.33 10.37 m 8 3
7
3 33823.95 117.62 4.38 m 5 3
5 66264.25 190.31 14.25 m 6 0
7 146853.89 239.01 17.47 m 9 3
10
3 80849.25 196.25 8.33 m 7 8
5 439925.48 362.74 18.77 m 11 5
7 542724.33 910.10 24.31 m 3 1
57 34
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
206 27 4 1 0 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 1 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
127
4 categorías y 100 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
166 35 15 11 7 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 3 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 2
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
4
3
3 15954.18 770.81 2.61 m 0 1
5 25117.93 935.98 6.33 m 2 3
7 43089.74 1330.19 8.81 m 2 3
5
3 44494.02 1104.69 3.55 m 5 4
5 110315.46 1456.86 7.06 m 9 4
7 60489.83 1916.00 11.27 m 9 3
7
3 111949.31 1213.61 6.28 m 6 2
5 107826.24 1882.48 21.31 m 9 3
7 108111.21 2162.82 32.58 m 9 6
10
3 117284.23 2017.93 16.62 m 10 1
5 189154.76 4860.40 23.95 m 12 5
7 533832.17 2770.54 33.79 m 1 0
74 35
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
205 32 2 0 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
0 0 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 0
128
4 categorías y 200 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
179 27 14 2 5 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
2 3 1 3 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 0 0 1 1 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 1
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
4
3
3 35813.60 119.28 3.90 m 3 5
5 19835.78 561.39 25.26 m 0 9
7 38127.56 1199.25 26.12 m 4 8
5
3 32307.37 507.06 8.16 m 1 8
5 43090.04 949.78 11.33 m 6 4
7 55715.66 1071.39 27.12 m 8 5
7
3 57117.85 1210.11 17.11 m 6 7
5 101677.74 1580.40 31.16 m 7 9
7 197534.70 4276.45 56.53 m 11 10
10
3 92672.65 2336.10 12.24 m 3 3
5 106047.31 4552.31 25.83 m 8 3
7 606570.59 9041.76 110.89 m 4 2
61 73
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
167 48 17 5 0 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 0 0 1 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 2
129
4 categorías y 500 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
179 29 9 5 7 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
4 2 1 1 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 2
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
4
3
3 20205.26 430.92 11.47 m 3 8
5 38596.99 979.48 16.46 m 2 12
7 45898.76 6089.85 72.87 m 3 10
5
3 43149.69 713.61 24.86 m 6 14
5 73995.53 1787.86 26.48 m 5 11
7 141878.13 3060.44 39.63 m 7 13
7
3 119967.44 3816.93 52.77 m 9 13
5 283797.68 4840.78 68.93 m 7 14
7 654359.27 9312.05 94.98 m 10 15
10
3 436202.22 9748.98 29.23 m 9 12
5 1612397.07 13062.46 177.65 m 9 15
7 2462568.30 37397.79 332.76 m 12 17
82 154
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
116 55 21 14 12 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
4 5 3 1 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 2 1 1 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
1 0 0 1 2
130
4 categorías y 1000 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
130 55 24 14 8 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 1 0 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
1 1 1 0 1
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
4
3
3 16391.24 2898.25 32.25 m 7 14
5 20691.19 18023.64 210.32 m 5 17
7 28227.38 34841.18 519.33 m 9 16
5
3 35086.43 5391.25 122.14 m 7 10
5 76579.54 7521.67 79.56 m 9 11
7 101831.57 13318.05 206.63 m 12 14
7
3 432645.89 5708.30 109.43 m 7 12
5 948028.47 17625.07 351.40 m 8 12
7 1213027.18 49780.65 1121.46 m 11 16
10
3 822982.36 61034.23 400.52 m 10 15
5 2130257.78 96442.91 934.29 m 9 18
7 3732609.38 134474.16 2485.13 m 14 22
108 177
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
52 66 47 32 5 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
7 5 3 5 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
3 0 2 0 2 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 1 0 1 8
131
5 categorías y 50 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
162 31 20 12 4 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 0 1 1 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 1 0 0 0
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
5
3
3 27515.41 584.39 4.21 m 3 1
5 30629.32 1489.28 6.44 m 2 3
7 40037.46 5893.71 19.51 m 7 6
5
3 35184.21 302.34 3.16 m 5 1
5 83086.37 667.61 28.86 m 8 3
7 51009.61 3241.26 35.85 m 7 6
7
3 83043.56 834.87 36.89 m 2 3
5 1155400.21 1415.88 45.07 m 4 5
7 282948.04 4524.96 92.81 m 9 7
10
3 193017.21 1114.95 75.67 m 4 3
5 772960.29 3278.22 131.93 m 8 6
7 1064393.48 6122.62 251.21 m 12 8
71 52
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
188 27 12 5 2 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
2 0 0 0 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
1 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 1 0 1 0
132
5 categorías y 100 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
151 37 25 11 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 4
2 1 2 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 1 1 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
1 1 0 1 1
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
5
3
3 20484.17 734.31 7.55 m 4 1
5 190710.33 1067.70 59.62 m 5 3
7 370357.58 2326.15 74.29 m 9 7
5
3 39460.65 823.19 12.03 m 6 1
5 313277.29 1459.50 11.72 m 7 3
7 739722.41 2630.65 29.54 m 9 7
7
3 54375.86 1048.60 22.34 m 4 4
5 465117.99 2497.99 52.57 m 7 6
7 811286.56 12956.89 100.25 m 10 8
10
3 77027.51 2414.96 103.23 m 6 3
5 1367735.50 5116.69 196.92 m 8 8
7 3586926.69 17282.34 349.28 m 11 9
86 60
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
180 27 19 8 1 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
2 0 1 0 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 1 0 1
133
5 categorías y 200 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
135 52 27 12 6 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
2 2 0 1 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 1 1 0 1
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
5
3
3 34958.85 821.47 21.26 m 6 5
5 98355.57 1621.28 30.70 m 7 8
7 231000.72 2513.93 75.23 m 9 9
5
3 46209.69 1484.23 28.23 m 8 5
5 166217.24 2739.22 49.02 m 7 5
7 486352.79 4901.21 191.71 m 9 10
7
3 82014.26 2933.71 69.70 m 6 5
5 313483.26 4971.97 193.15 m 9 7
7 908172.68 7035.07 274.23 m 11 9
10
3 187307.29 4629.91 94.59 m 7 9
5 2563610.07 12654.23 278.82 m 9 10
7 6845017.52 24851.42 1111.23 m 13 14
101 96
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
141 61 18 11 4 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 0 0 1 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 1 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 1 1
134
5 categorías y 500 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
110 63 35 13 5 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
2 3 1 1 1 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 1 1 1 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
1 0 1 0 1
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
5
3
3 46836.86 886.56 33.77 m 7 11
5 67584.00 1927.00 62.54 m 5 13
7 126874.95 2325.93 150.69 m 10 16
5
3 418964.00 2115.00 50.23 m 9 11
5 532574.00 4891.00 89.34 m 11 14
7 977745.00 8441.00 253.13 m 12 18
7
3 843142.00 4967.00 76.49 m 9 13
5 1243205.90 9688.99 131.95 m 12 14
7 1792590.05 18878.87 697.95 m 13 17
10
3 1290088.17 14429.73 210.88 m 11 14
5 2644495.34 78552.67 2067.81 m 12 17
7 3736251.51 111659.15 2825.77 m 15 23
126 181
MOEA/D Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
57 86 37 26 10 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
3 4 2 3 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
2 2 0 1 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 1 1 3 2
135
5 categorías y 1000 objetos en el conjunto A
Reinicios
PDA Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
93 9 0 1 0 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 2 0 2 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
0 0 0 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 0 0 0 2
Iteraciones Reinicios
Categorías Objetos por categoría en el conjunto T
Criterios PDA MOEA/D Tiempo PDA MOEA/D
5
3
3 27484.00 2565.00 42.21 m 9 16
5 54393.14 3231.40 134.23 m 7 19
7 54309.89 5732.91 564.98 m 11 18
5
3 920542.79 3230.37 65.16 m 9 12
5 559254.00 6429.00 486.21 m 12 13
7 559254.00 9429.00 852.49 m 14 16
7
3 559254.00 8329.00 678.23 m 10 14
5 314752.27 27854.34 1143.82 m 12 15
7 8675432.00 51647.00 3609.21 m 15 21
10
3 559254.00 16429.00 1119.21 m 14 17
5 925893.13 99717.28 2729.49 m 14 19
7 1736397.26 218016.89 4242.54 m 18 25
145 205
MOEAD Sin reinicio 1 Reinicio 2 Reinicios 3 Reinicios 4 Reinicios
28 123 51 25 2 5 Reinicios 6 Reinicios 7 Reinicios 8 Reinicios 9 Reinicios
1 2 0 1 0 10 Reinicios 11 Reinicios 12 Reinicios 13 Reinicios 14 Reinicios
2 0 1 0 0 15 Reinicios 16 Reinicios 17 Reinicios 18 Reinicios 19 Reinicios
0 1 0 2 1
136
Anexo 4.
Prueba no paramétrica de Mann-Whitney a las tres configuraciones de selección y reemplazo del método PDA.
Este anexo contiene el detalle de las pruebas realizadas a los resultados de las tres
configuraciones de selección y reemplazo probadas (vea tabla 3.3) en la experimentación.
Las gráficas de las páginas siguientes son la prueba de normalidad realizada a cada
conjunto de resultados, para revisar que los datos no presentan una distribución normal.
Posteriormente, se muestran los resultados obtenidos al realizar la prueba no paramétrica de
Mann-Whitney con el software Minitab.
137
138
139
140
141
142
143
Mann-Whitney: 3ra Configuración 1% < 1ra Configuración 1% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 1%
η₂: mediana de 1ra Configuración 1%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 1% 400 8461.5
1ra Configuración 1% 400 13635.0 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
-1113 -192 95.00% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 153383.00 0.018
Ajustado para empates 153383.00 0.018
144
Mann-Whitney: 3ra Configuración 1% < 2da Configuración 1% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 1%
η₂: mediana de 2da Configuración 1%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 1% 400 8461.5
2da Configuración 1% 400 15210.5 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
-785.5 -25 95.00% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 154501.50 0.041
Ajustado para empates 154501.50 0.041
145
Mann-Whitney: 3ra Configuración 0.5% < 1ra Configuración 0.5% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 0.5%
η₂: mediana de 1ra Configuración 0.5%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 0.5% 400 14562.5
1ra Configuración 0.5% 400 34745.0 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
-3406 -1169 95.00% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 151029.00 0.003
Ajustado para empates 151029.00 0.003
146
Mann-Whitney: 3ra Configuración 0.5% < 2da Configuración 0.5% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 0.5%
η₂: mediana de 2da Configuración 0.5%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 0.5% 400 14562.5
2da Configuración 0.5% 400 27259.0 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
-1539 -3 95.00% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 154803.50 0.049
Ajustado para empates 154803.50 0.049
147
Mann-Whitney: 3ra Configuración 0.5% < 1ra Configuración 0.5% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 0.5%
η₂: mediana de 1ra Configuración 0.5%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 0.5% 400 14562.5
1ra Configuración 0.5% 400 34745.0 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
-3406 -1169 95.00% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 151029.00 0.003
Ajustado para empates 151029.00 0.003
148
Mann-Whitney: 3ra Configuración 0.3% < 2da Configuración 0.3% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 0.3%
η₂: mediana de 2da Configuración 0.3%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 0.3% 400 38251.5
2da Configuración 0.3% 400 27250.0 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
897 3861 95.00% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0 Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0 Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 163033.00 0.807
149
Mann-Whitney: 3ra Configuración 0.3% < 1ra Configuración 0.3% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 0.3%
η₂: mediana de 1ra Configuración 0.3%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 0.3% 400 38251.5
1ra Configuración 0.3% 400 34025.0 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
-812 1744 95.00% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 158395.50 0.290
Ajustado para empates 158395.50 0.290
150
Mann-Whitney: 3ra Configuración 0.1% < 2da Configuración 0.1% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 0.1%
η₂: mediana de 2da Configuración 0.1%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 0.1% 400 94667
2da Configuración 0.1% 400 117612 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
-3210 2149 95.00%
Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0 Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0 Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 157413.00 0.197
Ajustado para empates 157413.00 0.197
151
Mann-Whitney: 3ra Configuración 0.1% < 1ra Configuración 0.1% Método
η₁: mediana de 3ra Configuración 0.1%
η₂: mediana de 1ra Configuración 0.1%
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
3ra Configuración 0.1% 400 94667
1ra Configuración 0.1% 400 123407 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite superior para la
diferencia Confianza
lograda
-9478.5 -747 95.00%
Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0 Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ < 0 Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 154160.50 0.032
Ajustado para empates 154160.50 0.032
152
Anexo 5.
Prueba no paramétrica de Mann-Whitney a los resultados del método PDA implementado con un algoritmo genético y con un algoritmo evolutivo diferencial.
Este anexo contiene el detalle de las pruebas realizadas a los resultados de las tres
implementaciones realizadas para el método PDA (vea tabla 3.4). Las gráficas de las
páginas siguientes son la prueba de normalidad realizada a cada conjunto de resultados,
para revisar que los datos no presentan una distribución normal. Posteriormente, se
muestran los resultados obtenidos al realizar la prueba no paramétrica de Mann-Whitney
con el software Minitab.
La tabla siguiente muestra las abreviaturas que se utilizarán por sencillez para realizar las
pruebas y gráficas en el software Minitab.
Nombre en la tabla 3.4 Nombre utilizado para las pruebas
Algoritmo Genético AG
Algoritmo Genético con transformaciones AG con transformaciones
Algoritmo Evolutivo Diferencial con transformaciones Algoritmo ED
153
154
155
156
Mann-Whitney: AG 100 > Algoritmo ED 100 Método
η₁: mediana de AG 100 η₂: mediana de Algoritmo ED 100 Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
AG 100 50 1
Algoritmo ED 100 50 1 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite inferior para la
diferencia Confianza
lograda
0.0000000 -0.0000000 95.06% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0 Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ > 0 Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 2602.00 0.299
Ajustado para empates 2602.00 0.246
157
Mann-Whitney: AG 200 > Algoritmo ED 200 Método
η₁: mediana de AG 200
η₂: mediana de Algoritmo ED 200
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
AG 200 50 0.9975
Algoritmo ED 200 50 0.9950 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite inferior para la
diferencia Confianza
lograda
0.0000000 -0.0000000 95.06% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ > 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 2716.50 0.094
Ajustado para empates 2716.50 0.083
158
Mann-Whitney: Algoritmo ED 100 > AG 100 Método
η₁: mediana de Algoritmo ED 100
η₂: mediana de AG 100
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
Algoritmo ED 100 50 1
AG 100 50 1 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite inferior para la
diferencia Confianza
lograda
-0.0000000 -0.0000000 95.06% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ > 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 2448.00 0.703
159
Mann-Whitney: Algoritmo ED 200 > AG 200 Método
η₁: mediana de Algoritmo ED 200
η₂: mediana de AG 200
Diferencia: η₁ - η₂ Estadísticas descriptivas
Muestra N Mediana
Algoritmo ED 200 50 0.9950
AG 200 50 0.9975 Estimación de la diferencia
Diferencia
Límite inferior para la
diferencia Confianza
lograda
-0.0000000 -0.0050000 95.06% Prueba
Hipótesis nula H₀: η₁ - η₂ = 0
Hipótesis alterna H₁: η₁ - η₂ > 0
Método Valor W Valor p
No ajustado para empates 2333.50 0.907
160
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