SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIN TEMA 3

Ejercicio de Aplicacin 3.1 (Cambio de base en el plano)

Queremos pavimentar una zona de una plaza rectangular que tiene forma de paralelogramo, con dos de sus vrtices situados en la esquina inferior izquierda y la superior derecha de la plaza, respectivamente. Usaremos un lote de adoquines con forma de rombo, todos iguales. Tomando como origen el punto situado en la esquina inferior izquierda de la plaza, el primer adoqun tiene un vrtice en l y los dos adyacentes en los puntos (0.2,0.1) y (0.1,0.2). La disposicin de los adoquines es siempre la misma y el ltimo de ellos tiene uno de sus vrtices en la esquina superior derecha de la plaza, en el punto (41,37). Cuntos adoquines necesitaremos? Nota: Las distancias se miden en metros.

Solucin

Consideramos el vector (41,37) que parte del origen, situado en el extremo inferior izquierdo de la plaza. Si expresamos dicho vector en la base del plano formada por los vectores (0.2,0.1) y (0.1,0.2) que marcan los lados del primer adoqun, tenemos que:

- la primera coordenada es el nmero de adoquines necesario para cubrir el lado mayor del paralelogramo,

- la segunda coordenada es el nmero necesario para cubrir el lado menor del paralelogramo.

El nmero total de adoquines ser entonces el producto de los dos nmeros anteriores.

Para encontrar las coordenadas ),( ba del vector (41,37) en la base {(0.2,0.1), (0.1,0.2)}, resolvemos el sistema de ecuaciones:

+=

+=

2.01.0371.02.041

baba

Multiplicando la 1 ecuacin por dos y restndole la segunda, se obtiene .3.03782 a= Es decir:

150=a , con lo cual 110=b .

Por tanto, necesitaremos: 16500 adoquines.

X

Y (41,37)

(0,0)

Ejercicio de Aplicacin 3.2 (Parbola)

Si se quiere construir un faro parablico de 25 cm de ancho y 15 cm de profundidad (ver figura), a qu distancia del fondo del faro habr que situar la fuente luminosa? En general, qu relacin debe haber entre la profundidad y la anchura del faro para que la fuente luminosa pueda situarse dentro del faro? (es decir, la distancia entre el foco y el vrtice de la parbola sea menor que la profundidad del faro).

Solucin

Si las coordenadas del foco son

=

2p

,0F y la ecuacin de la directriz 2p

y = , la

ecuacin de la parbola ser: p2

xy

2= . La parbola pasar por el punto

15,2

25 lo

que nos permite deducir que 24

125p = . Es decir, el foco distar del fondo del faro

cm. 60'248

125

En general, si la anchura y la profundidad del faro son, respectivamente, A y H, la

parbola pasara por el punto

H,2A

y entonces H8

Ap2

= y la distancia del foco al

fondo del faro sera H16

A2p 2

= . Por tanto deber cumplirse: H4AHH16

A 2

Ejercicio de Aplicacin 3.3 (Hiprbola)

La estacin guardacostas B se encuentra situada 400 km. al este de la estacin A. Un barco navega 100 km al norte de la lnea que une A y B. Desde ambas estaciones se envan seales de radio simultneamente a una velocidad de 290.000 km/s. Si la seal enviada desde A llega al barco 0001 s antes que la enviada desde B, localiza la posicin del barco. A qu distancia est de cada una de las estaciones?

Solucin

Situamos los ejes coordenados como en la figura adjunta.

Llamando tA y tB al tiempo que tardan en llegar al barco las seales enviadas desde A y B respectivamente y DA y DB a las distancias desde el barco a las estaciones A y B, se tiene:

==

=

290000DD

ttt290000D

t290000DBA

BABB

AA.

Es decir,

El barco estar situado en un punto, de ordenada 100, cuya diferencia de distancia a los puntos A y B ser 290 km.

Por tanto el barco estar en la hiprbola con focos A y B, y diferencia de distancias a los focos igual a 2a=290 km.

Por otra parte la distancia focal ser: 2c=400 km.

La ecuacin de la hiprbola buscada ser:

1by

a

x

2

2

2

2= , con 18975145200acb 22222 === .

Es decir: 118975

y21025

x22

=

Como y=100, entonces: km 18'179x

Las coordenadas del barco sern entonces: (-17918,100)

Y las distancias a las estaciones: km 14'10282'20100D 22A +=

km 14'39218'379100D 22B +=

A(200,0) B(200,0)

(x,100) DA DB

. 290001'0290000 kmDD BA ==