Sol.Prueba_No_1_-_23-09-2014
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Solución Prueba Nº 1 IME056 23-09-2014 Profs: M.T. Alcalde - R. Benavides - C. Burgueño – M. Molina - M. Moraga - R. Rodríguez 1.- Resuelva la siguiente ecuación compleja: ̅ Sol. Sea . Multiplicando por obtenemos ̅ , por tanto, || ( ) es decir, . Utilizando la definición de igualdad de números complejos se tiene y . De donde . De la última ecuación se obtiene √ . Luego las soluciones son: ( √ ) y ( √ ) 2.- Sabiendo que : a) Compruebe que ̅ b) Calcule Sol. a) , es decir, luego de donde se obtiene ̅ . b) ̅ ̅̅ ̅ ̅ || ̅ ̅ ̅ ̅ ( ) ̅ (utilizamos el hecho que ̅ ) ( ̅) () 3.- Encuentre el resto de la división de () por Universidad de La Frontera Depto. de Matemática y Estadística Av. Fco. Salazar 01145 TEMUCO
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Solucion prueba Algebra lineal
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Solucin Prueba N 1 IME056 23-09-2014
Profs: M.T. Alcalde - R. Benavides - C. Burgueo M. Molina - M. Moraga - R. Rodrguez
1.- Resuelva la siguiente ecuacin compleja:
Sol.
Sea . Multiplicando por obtenemos , por tanto, | | ( ) es decir, . Utilizando la definicin de igualdad de nmeros complejos se tiene y . De donde . De la
ltima ecuacin se obtiene
. Luego las soluciones son:
(
) y (
)
2.- Sabiendo que
:
a) Compruebe que b) Calcule
Sol.
a)
, es decir,
luego
de donde se obtiene .
b) | | ( ) (utilizamos el hecho que ) ( ) ( )
3.- Encuentre el resto de la divisin de ( ) por
Universidad de La Frontera
Depto. de Matemtica y Estadstica
Av. Fco. Salazar 01145
TEMUCO
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Sol.
Sabemos que el resto de la divisin de ( ) por ( ) es un polinomio de grado menor o igual a 1. Es decir ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Como sabemos que 1 y -1 son races de ( ), adems como ( ) ( ) , se deben cumplir las ecuaciones siguientes: , de donde se obtiene Por tanto, el resto de la divisin de ( ) por ( ) es ( ) .
4.- Descomponer en fracciones parciales en , la fraccin racional:
( ) ( )
Sol.
La descomposicin tiene la forma
( ) ( )
( )
( )
Multiplicando por ( ) ( ) se obtiene que
( )( ) ( ) ( )( )
Igualando coeficientes, se debe tener:
}
De donde se obtienen las soluciones:
Es decir, la descomposicin es:
( ) ( )
( )
( )
5.- Resuelva, para los diferentes valores del parmetro , la familia de sistemas de ecuaciones lineales siguiente:
( )
}
Sol.
Escalonando el sistema se tiene:
-
(
| )
( )
( )(
|
)
(
)
(
|
) ( )
( )
(
|
) ( )
Ahora estudiamos los casos y .
Si , es decir si
, se tiene que el sistema (*) queda: (
|
),
luego en esta caso el sistema no tiene solucin.
Si , es decir si
entonces en el sistema (*) podemos multiplicar la tercera fila por
y luego restando a las filas primera y segunda la tercera multiplicada por y
respectivamente, obtenemos:
(
|
|
( )
( )
)
Luego si entonces el sistema tiene una nica solucin, a saber:
( )
Resumiendo, si
el sistema no tiene solucin y si
el sistema tiene una nica
solucin.
Puntaje: (12)+(4+8)+(12)+(12)+(12)
