Solocionari Mates Edebe Segon Batxiilerat 1-6

BATXILLERAT

Matemàtiques IIOrientacions i solucionari

BATXILLERAT

Matemàtiques II Orientacions i solucionari

C M

Y K

Matemàtiques IIBATXILLERAT

Matèria de

Projecte i edició: grup edebé

Direcció general: Antoni Garrido González

Direcció editorial: Josep Lluís Gómez Cutillas

Direcció d’edició de text: Maria Banal Martínez

Direcció de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Rosa Comabella Bernat

Direcció pedagògica: Santiago Centelles Cervera

Direcció de producció: Joan López Navarro

Equip d’edició d’edebé:

Edició: Josep Estela Herrero, Núria Lorente Pla, Pau Barberá Fábregas i Ferran Monsó Ferré

Pedagogia: Elsa Escolano Lumbreras

Il·lustració: Robert Maas Olives

Correccions: Núria Casals Campmany i Rosana Rodríguez Marzo

Coberta: Lluís Vilardell Panicot

Col·laboradors:

Text: Carolina Estudillo Pérez, Raquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierra

Dibuixos: Luis Bogajo Peñarroya

Preimpressió: Tecfa

Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública otransformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorit-zació dels seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei.Adreceu-vos a CEDRO (www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar oescanejar cap fragment d’aquesta obra.

És propietat de grup edebé

© grup edebé, 2009

Passeig Sant Joan Bosco, 62

08017 Barcelona

www.edebe.com

ISBN 978-84-236-9522-5

Dipòsit Legal. B. 28.753-2009Imprès a Espanya

Printed in Spain

Tecfoto, S.L. Tecfoto, S.L.

Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons les disposicions inormes curriculars que desenvolupen la Llei Orgànica d’Educació (LOE) de 3 de maig de 2006.

Modalitat de Ciències i TecnologiaSegon curs de Batxillerat

Orientacions i solucionari

ÍNDEX

Orientacions didàctiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Solucionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Àlgebra lineal

Unitat 1. Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Unitat 2. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Unitat 3. Sistemes d'equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Geometria

Unitat 4. Vectors en l'espai (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Unitat 5. Vectors en l'espai (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Unitat 6. Geometria afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Unitat 7. Geometria mètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Anàlisi

Unitat 8. Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Unitat 9. Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Unitat 10. Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Unitat 11. Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Unitat 12. Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3ÍNDEX

Orientacions didàctiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Solucionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Àlgebra lineal

Unitat 1.Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Unitat 2.Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Unitat 3.Sistemes d'equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Geometria

Unitat 4.Vectors en l'espai (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

Unitat 5.Vectors en l'espai (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

Unitat 6.Geometria afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

Unitat 7.Geometria mètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

Anàlisi

Unitat 8.Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

Unitat 9.Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

Unitat 10.Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

Unitat 11.Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

Unitat 12.Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230

Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250

Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285

3

C M

Y K

CM

YK

11

1. Matrius

Hem transformat B en una matriu esglaonada amb unaúnica fila no nul.la. Aleshores, rang (B) � 1.

C no és esglaonada i, per tant, hem de transformar-laen esglaonada:

— L’element a11 ja és igual a 1.

— Fem 0 els altres elements de la primera columna su-mant a cada fila la primera multiplicada pel nom-bre real apropiat:

— Posem les files nul.les al final perquè la matriu pu-gui ser esglaonada:

Com que hem obtingut una matriu esglaonada ambdues files no nul.les, rang (C) � 2.

2. OPERACIONS AMB MATRIUS

4. a)

b) A B C A B C+ + = + + =

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

( )

6 11 8

3 18 7

1 3 0

1 2 1==

=− + ++ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠

6 1 11 3 8 0

3 1 18 2 7 1

5 14 8

4 20 8⎟⎟

A B+ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=+ + ++

2 5 1

3 9 0

4 6 7

0 9 7

2 4 5 6 1 7

3 0 99 9 0 7

6 11 8

3 18 7+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1 2 3

0 8 10 17

0 0 0 0

0 0 0 0

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2 ↔ F4

———�

1 1 2 3

0 0 0 0

0 0 0 0

0 8 10 17

−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 1 2 3

0 0 0 0

0 0 0 0

0 8 10 17

−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2 → F2 − 2 F1

F3 → F3 + F1

F4 → F4 − 5 F1

——————�

1 1 2 3

2 2 4 6

1 1 2 3

5 3 0 2

−−

− − −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1. MATRIUS NUMÈRIQUES

1. La matriu A té 3 files i 4 columnes. Per tant, la seva di-mensió és 3 � 4.

L’element aij és el que ocupa la fila i-èsima i la colum-na j-èsima, d’on:

2. Resposta suggerida:

a)

b)

c)

d)

3. A és una matriu esglaonada i té 3 files no nul.les. Ales-hores, rang (A) � 3.

B no és esglaonada i, per tant, hem d’aplicar-li trans-formacions elementals fins a convertir-la en esglaonada.

— L’element a11 ja és igual a 1.

— Sumem a cada fila k-èsima, k � 1, i multipliquem laprimera per �ak1 perquè els elements de la prime-ra columna, excepte a11, siguin 0:

1 1 4 3

0 0 0 0

0 0 0 0

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 + (−a21 F1) = F2 − 2 F1

F3 → F3 + (−a31 F1) = F3 + F1

——————————————�

1 1 4 3

2 2 8 6

1 1 4 3

−−

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0 0 0 0

0 0 0 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 0 0 0

0 5 0 0

0 0 0 0

0 0 0 6

0 0 0 0

0

0

0

0

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜ −

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2 0 0 0

0 1 0 0

312

1 0

1 0 2 3

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1 3 2

0 1 0

0 0 3

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

a a a13 34 23023

2= = =; ;

Matrius1

11

1. M

atriu

s

Hem transformat B en una matriu esglaonada amb unaúnica fila no nul.la. Aleshores, rang (B) �1.

C no és esglaonada i, per tant, hem de transformar-laen esglaonada:

—L’element a11ja és igual a 1.

—Fem 0 els altres elements de la primera columna su-mant a cada fila la primera multiplicada pel nom-bre real apropiat:

—Posem les files nul.les al final perquè la matriu pu-gui ser esglaonada:

Com que hem obtingut una matriu esglaonada ambdues files no nul.les, rang (C) �2.

2.OPERACIONS AMB MATRIUS

4.a)

b)ABCABC ++=++=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

()

6118

3187

130

121==

=−+++++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠

6111380

3118271

5148

4208⎟⎟

AB +=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=++++

251

390

467

097

245617

3099907

6118

3187 ++⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1123

081017

0000

0000

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2↔F4

———�

1123

0000

0000

081017

−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1123

0000

0000

081017

−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2→F2−2 F1

F3→F3+F1

F4→F4−5 F1

——————�

1123

2246

1123

5302

−−

−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1.MATRIUS NUMÈRIQUES

1.La matriu A té 3 files i 4 columnes. Per tant, la seva di-mensió és 3 �4.

L’element aijés el que ocupa la fila i-èsima i la colum-na j-èsima, d’on:

2.Resposta suggerida:

a)

b)

c)

d)

3.A és una matriu esglaonada i té 3 files no nul.les. Ales-hores, rang (A) �3.

B no és esglaonada i, per tant, hem d’aplicar-li trans-formacions elementals fins a convertir-la en esglaonada.

—L’element a11ja és igual a 1.

—Sumem a cada fila k-èsima, k �1, i multipliquem laprimera per �ak1perquè els elements de la prime-ra columna, excepte a11, siguin 0:

1143

0000

0000

− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2+(−a21F1) =F2−2 F1

F3→F3+(−a31F1) =F3+F1

——————————————�

1143

2286

1143

−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0000

0000⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2000

0500

0000

0006

0000

0

0

0

0

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜−

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2000

0100

312

10

1023

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

132

010

003

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

aaa 133423 023

2 === ;;

Matrius 1

C M

Y K

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)BACBAC −−=−−=

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

−66

216

3076

130

1

()

221

216

307

6180

6126

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

==−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

8176

9121 –

545251

3904

467

097

10255

1

AB +=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=55450

162428

03628

264933

158128⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎝⎜

⎞⎠⎟

()()

()

−=−−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−⋅−−⋅−⋅

−

44130

121

414340

4

C

⋅⋅−⋅−⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−

−−−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

14241

4120

484

33467

097

343637

303937B=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

==⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

121821

02721

22251

390

222521

232920A=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

==⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4102

6180

BCCB −=−−=

=−−−−

−−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

−⎛

⎝⎜

()

537

176

537

176

⎞⎞

⎠⎟

CBCB −=+−=

=−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

−−−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

()

130

121

467

097==

=−−−−

+−−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

−−−−−

⎛

⎝⎜

143607

102917

537

176

⎞⎞

⎠⎟

BABA −=+−=

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

−−−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

()

467

097

251

390

==−−−−−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

426571

039970

216

307

ABAB −=+−=

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

−−−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

()

251

390

467

097

==−−−+−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

−−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

245617

309907

216

307

l)

5.a)

b)

c)

d)

6.és la matriu identitat d’ordre 3,

A = I; per tant, per a tota matriu B d’ordre 3 es com-pleix:

A ⋅B =B ⋅A =B

En particular, per a B = I (= A) es compleix:

A ⋅I =I ⋅A =I

Per tant: A−1=I =A

A=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

100

010

001

2

250

23

34

76

98

21

() BAC +⋅=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

250

23

39423841

796227861

250

23

3528

756

⋅+⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

22

2535028

2753622

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

=++++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

44028

7565

240228

277265

805

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=⋅⋅⋅⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

66

154130⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ABCABC ⋅⋅=⋅⋅=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=

()34

76

4540

2419

3345424340419

745624740619

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟==

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

231196

459394

BC⋅=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=⋅+⋅⋅+⋅⋅

50

23

98

21

59025801

299322831

4540

2419 +⋅⋅+⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

AB⋅=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=⋅+⋅⋅+⋅⋅

34

76

50

23

35423043

755627063

2312

4718 +⋅⋅+⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

523

55223

782

()() CBCAB

CBCAB

CBA

−+−−==−+−−=

=−−=77130

121

8467

0972

251

3–

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

990

7210

7147

324856

07256

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜

⎞⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−−−−−−−

4102

6180

732421481005622

7061472187560

433758

176

−−−−−−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−−−

−−449

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

1. Matrius

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k) B A C B A C− − = − − =

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

−6 6

2 1 6

3 0 76

1 3 0

1

( )

22 1

2 1 6

3 0 7

6 18 0

6 12 6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

==−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

8 17 6

9 12 1–

5 4 52 5 1

3 9 04

4 6 7

0 9 7

10 25 5

1

A B+ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=55 45 0

16 24 28

0 36 28

26 49 33

15 81 28⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎝⎜

⎞⎠⎟

( ) ( )

( )

− = −−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=− ⋅ − − ⋅ − ⋅

−

4 41 3 0

1 2 1

4 1 4 3 4 0

4

C

⋅⋅ − ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=−

− − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 4 2 4 1

4 12 0

4 8 4

3 34 6 7

0 9 7

3 4 3 6 3 7

3 0 3 9 3 7B =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

==⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 18 21

0 27 21

2 22 5 1

3 9 0

2 2 2 5 2 1

2 3 2 9 2 0A =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

==⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 10 2

6 18 0

B C C B− = − − =

= −− − −

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−⎛

⎝⎜

( )

5 3 7

1 7 6

5 3 7

1 7 6

⎞⎞

⎠⎟

C B C B− = + − =

=−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

− − −− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( )

1 3 0

1 2 1

4 6 7

0 9 7==

=− − − −

+ − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

− − −− −

⎛

⎝⎜

1 4 3 6 0 7

1 0 2 9 1 7

5 3 7

1 7 6

⎞⎞

⎠⎟

B A B A− = + − =

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

− − −− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

( )

4 6 7

0 9 7

2 5 1

3 9 0

==− − −− − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4 2 6 5 7 1

0 3 9 9 7 0

2 1 6

3 0 7

A B A B− = + − =

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

− − −− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

( )

2 5 1

3 9 0

4 6 7

0 9 7

==− − −+ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

− − −−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 4 5 6 1 7

3 0 9 9 0 7

2 1 6

3 0 7

l )

5. a)

b)

c)

d)

6. és la matriu identitat d’ordre 3,

A = I; per tant, per a tota matriu B d’ordre 3 es com-pleix:

A ⋅ B = B ⋅ A = B

En particular, per a B = I (= A) es compleix:

A ⋅ I = I ⋅ A = I

Per tant: A−1 = I = A

A =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2

25 0

2 3

3 4

7 6

9 8

2 1

( )B A C+ ⋅ =

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅

25 0

2 3

3 9 4 2 3 8 4 1

7 9 6 22 7 8 6 1

25 0

2 3

35 28

75 6

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+22

25 35 0 28

2 75 3 622

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

=+ ++ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=440 28

75 65

2 40 2 28

2 77 2 65

80 5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=⋅ ⋅⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=66

154 130⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=

( )3 4

7 6

45 40

24 19

33 45 4 24 3 40 4 19

7 45 6 24 7 40 6 19

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

==

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

231 196

459 394

B C⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅

5 0

2 3

9 8

2 1

5 9 0 2 5 8 0 1

2 99 3 2 2 8 3 1

45 40

24 19+ ⋅ ⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A B⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅

3 4

7 6

5 0

2 3

3 5 4 2 3 0 4 3

7 55 6 2 7 0 6 3

23 12

47 18+ ⋅ ⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 2 3

5 5 2 2 3

7 8 2

( ) ( )C B C A B

C B C A B

C B A

− + − − == − + − − =

= − − = 771 3 0

1 2 1

84 6 7

0 9 72

2 5 1

3–

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

99 0

7 21 0

7 14 7

32 48 56

0 72 56

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=− − − − − − −

4 10 2

6 18 0

7 32 4 21 48 10 0 56 22

7 0 6 14 72 18 7 56 0

43 37 58

1 76

− − − − − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=− − −

− −449

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

1. M

atriu

s

CM

YK

Hem de resoldre, doncs, tres sistemes d’equacions:

La solució és:

La inversa de B és:

Calculem C�1 pel mètode de Gauss-Jordan.

La matriu ampliada és:

L’element a11 ja és igual a 1.

Anul.lem els altres elements de la primera colum-na:

Transformem en 1 l’element a22:

1 0 3 3

0 1 2 2

0 1 1 1

0 1 9 14

1 0 0 0

12

12

0 0

1 0 1 0

3 0 0 1

− − − −

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F F2 212

→

1 0 3 3

0 2 4 4

0 1 1 1

0 1 9 14

1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

3 0 0 1

− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2 → F2 + F1

F3 → F3 − F1

F4 → F4 + 3 F1

——————�

1 0 3 3

1 2 1 1

1 1 2 2

3 1 0 5

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

B− =

− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1

38

118

12

032

12

18

98

12

c f i= − = =12

12

12

b e h= − = =118

32

98

a d g= = = −38

018

g h i

g h i

− + =+ − =

3 3 0

2 2 4 0

gg h i− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪3 9 1

3 3 1

2 2 4 0

3 9 0

3 3 0

2

a b c

a b c

a b c

d e f− + =+ − =

− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

− + =dd e f

d e f

+ − =− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 4 1

3 9 0

Calculem B�1 a partir de la definició:

= a ⋅ 3 + b ⋅ (−1) + c ⋅ 3 = 1

= a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c ⋅ (−4) = 0

= a ⋅ 1 + b ⋅ (−3) + c ⋅ 9 = 0

= d ⋅ 3 + e ⋅ (−1) + f ⋅ 3 = 0

= d ⋅ 2 + e ⋅ 2 + f ⋅ (−4) = 1

= d ⋅ 1 + e ⋅ (−3) + f ⋅ 9 = 0

= g ⋅ 3 + h ⋅ (−1) + i ⋅ 3 = 0

= g ⋅ 2 + h ⋅ 2 + i ⋅ (−4) = 0

= g ⋅ 1 + h ⋅ (−3) + i ⋅ 9 = 1

F C g h i3 3

1

3

9

⋅ = ⋅ −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

F C g h i3 2

2

2

4

⋅ = ⋅−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

F C g h i3 1

3

1

3

⋅ = ⋅ −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

F C d e f2 3

1

3

9

⋅ = ⋅ −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

F C d e f2 2

2

2

4

⋅ = ⋅−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

F C d e f2 1

3

1

3

⋅ = ⋅ −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

F C a b c1 3

1

3

9

⋅ = ⋅ −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

F C a b c1 2

2

2

4

⋅ = ⋅−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

F C a b c1 1

3

1

3

⋅ = ⋅ −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

, és a dir:=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B B B B

a b c

d e f

g h i

⋅ = ⋅ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

− −−

− −1 1

3 2 1

1 2 3

3 44 9

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

és la matriu que compleix:B

a b c

d e f

g h i

− =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

13

1. Matrius

————�

Hem de resoldre, doncs, tres sistemes d’equacions:

La solució és:

La inversa de B és:

Calculem C�1pel mètode de Gauss-Jordan.

La matriu ampliada és:

L’element a11ja és igual a 1.

Anul.lem els altres elements de la primera colum-na:

Transformem en 1 l’element a22:

1033

0122

0111

01914

1000

12

12

00

1010

3001

−−−−

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

FF 2212

→

1033

0244

0111

01914

1000

1100

1010

3001

−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2→F2+F1

F3→F3−F1

F4→F4+3 F1

——————�

1033

1211

1122

3105

1000

0100

0010

0001

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

B−=

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1

38

118

12

032

12

18

98

12

cfi =−==12

12

12

beh =−==118

32

98

adg ===−38

018

ghi

ghi

−+=+−=

330

2240

gghi −+=

⎫

⎬⎪

⎭⎪ 391

331

2240

390

330

2

abc

abc

abc

def −+=+−=

−+=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

−+=ddef

def

+−=−+=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

241

390

Calculem B�1a partir de la definició:

=a⋅3 +b ⋅(−1) +c⋅3 =1

=a ⋅2 +b ⋅2 +c ⋅(−4) =0

=a ⋅1 +b ⋅(−3) +c ⋅9 =0

=d ⋅3 +e ⋅(−1) +f ⋅3 =0

=d ⋅2 +e ⋅2 +f ⋅(−4) =1

=d ⋅1 +e ⋅(−3) +f ⋅9 =0

=g ⋅3 +h ⋅(−1) +i ⋅3 =0

=g ⋅2 +h ⋅2 +i ⋅(−4) =0

=g ⋅1 +h ⋅(−3) +i ⋅9 =1

FCghi 33

1

3

9

⋅=⋅−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ()

FCghi 32

2

2

4

⋅=⋅−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ()

FCghi 31

3

1

3

⋅=⋅−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ()

FCdef 23

1

3

9

⋅=⋅−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ()

FCdef 22

2

2

4

⋅=⋅−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ()

FCdef 21

3

1

3

⋅=⋅−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ()

FCabc 13

1

3

9

⋅=⋅−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ()

FCabc 12

2

2

4

⋅=⋅−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ()

FCabc 11

3

1

3

⋅=⋅−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ()

, és a dir: =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

100

010

001

BBBB

abc

def

ghi

⋅=⋅=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−−−

−− 11

321

123

3449

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

és la matriu que compleix: B

abc

def

ghi

−=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

13

1. M

atriu

s

————�

C M

Y K

Anul.lem els altres elements de la segona columna:

L’element a33ja és 1.

Anul.lem els altres elements de la tercera columna:

Fem que l’element a44sigui 1:

Anul.lem els altres elements de la quarta columna:

La inversa de C és:

C−=

−−

−−

−−

−−

1

52

32

30

32

12

20

1710

1310

125

15

65

45

75

115

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

100052

32

30

010032

12

20

00101710

1310

125

15

−−

−−

−−

0000165

45

75

15

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F3→F3−F4

——————�

100052

32

30

010032

12

20

001112

12

10

000165

4

−−

−−

−

−55

75

15

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

FF 4415

→

100052

32

30

010032

12

20

001112

12

10

000564

−−

−−

−

−−771

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F1→F1−3 F3

F2→F2−2 F3

F4→F4−7 F3

——————�

10331000

012212

12

00

001112

12

10

0071252

−

−112

01

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F3→F3+F2

F4→F4−F2

—————�

7.

8.Per veure que (At)�1�(A�1)t, calcularem (At)�1i(A�1)t, i veurem que són iguals.

•Càlcul de (At)�1:

Calculem (At)�1usant el mètode de Gauss-Jordan:

•Càlcul de (A�1)t:

Calculem A�1a partir de la definició:

,

és a dir:

La solució d’aquest sistema és:

. A−=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

12

0

14

12

Per tant:

abcd ===−=12

014

12

;;;

21

20

20

21

ab

b

cd

d

+==

⎫⎬⎭

+==

⎫⎬⎭

,

AAab

cd

ab

−⋅=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=⋅+⋅

120

12

21102

2102

1 ab

cdcd

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

00

01⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ha de complir: Aab

cd−=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

() At−=

− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

12

14

012

Aleshores,

1012

14

01012

− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FFF 11212

→−

112

12

0

01012

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

112

12

0

01012

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FF

FF

11

22

1212

→

→2110

0201⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

At

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

21

02és A=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

20

12La transposada de

At

t

=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

200

122

351

213

025

021

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ B

tt

240

131

21

43

01⎟⎟

=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ C

t

t10

12

11

111

021

14

1. Matrius

————�

——————�————�

Anul.lem els altres elements de la segona columna:

L’element a33 ja és 1.

Anul.lem els altres elements de la tercera columna:

Fem que l’element a44 sigui 1:

Anul.lem els altres elements de la quarta columna:

La inversa de C és:

C− =

− −

− −

− −

− −

1

52

32

3 0

32

12

2 0

1710

1310

125

15

65

45

75

115

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 0 0 052

32

3 0

0 1 0 032

12

2 0

0 0 1 01710

1310

125

15

− −

− −

− −

00 0 0 165

45

75

15

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F3 → F3 − F4

——————�

1 0 0 052

32

3 0

0 1 0 032

12

2 0

0 0 1 112

12

1 0

0 0 0 165

4

− −

− −

−

−55

75

15

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F F4 415

→

1 0 0 052

32

3 0

0 1 0 032

12

2 0

0 0 1 112

12

1 0

0 0 0 5 6 4

− −

− −

−

− −77 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F1 → F1 − 3 F3

F2 → F2 − 2 F3

F4 → F4 − 7 F3

——————�

1 0 3 3 1 0 0 0

0 1 2 212

12

0 0

0 0 1 112

12

1 0

0 0 7 1252

−

− 112

0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F3 → F3 + F2

F4 → F4 − F2

—————�

7.

8. Per veure que (At)�1 � (A�1)t, calcularem (At)�1 i(A�1)t, i veurem que són iguals.

• Càlcul de (At)�1:

Calculem (At)�1 usant el mètode de Gauss-Jordan:

• Càlcul de (A�1)t:

Calculem A�1 a partir de la definició:

,

és a dir:

La solució d’aquest sistema és:

.A − =−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

12

0

14

12

Per tant:

a b c d= = = − =12

014

12

; ; ;

2 1

2 0

2 0

2 1

a b

b

c d

d

+ ==

⎫⎬⎭

+ ==

⎫⎬⎭

,

A Aa b

c d

a b

− ⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=⋅ + ⋅

1 2 0

1 2

2 11 0 2

2 1 0 2

1a b

c d c d

⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=00

0 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ha de complir:Aa b

c d− =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

( )At − =−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

12

14

012

Aleshores,

1 012

14

0 1 012

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F F1 1 212

→ −

112

12

0

0 1 012

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

112

12

0

0 1 012

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F

F F

1 1

2 2

1212

→

→2 1 1 0

0 2 0 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

At =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 1

0 2és A =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 0

1 2La transposada de

At

t

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

2 0 0

1 2 2

3 5 1

2 1 3

0 2 5

0 2 1

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟Bt

t2 4 0

1 3 1

2 1

4 3

0 1⎟⎟

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ct

t1 0

1 2

1 1

1 1 1

0 2 1

14

1. M

atriu

s

————�

——————�————�

CM

YK

b ) El producte de la matriu associada al graf per ellamateixa és tal que cada component aij ens indica elnombre de connexions que hi ha entre l’antena cor-responent a la fila i i la corresponent a la j passantper una altra antena, que és el que ens demanen:

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

11. Ho resoldrem a partir de les definicions de les opera-cions:

tal que A2 ⋅ X − B = C.

Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:

Efectuem les operacions:

1 2

0 1

1 2

0 1

1 2

0 1

1 4

0 1

2−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠

1 2

0 1

1 4

0 1

2a b

c d⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a b

c d

a c b d

c d

4 4

1 2

0 1

2

⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=− − − +

−

a b

c d

a c b d

c

2 1

1 1

4 2 4 1

1 dd −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

1 2

0 1

2 1

1 1

3 12

0

2−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−a b

c d 55

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Xa b

c d=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Busquem la matriu

A2

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 0

1 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅00 0 0

1 1 0 0

3 1 0 1

1 2 1 1

0 1 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=

A B C D

11 1 1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

B

C

D

A B C D

A⇒ =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 0

1 1 0 0⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

B

C

D

⇒

Nombre de connexions

A → A (0) A → B (1) A → C (1) A → D (1)B → A (1) B → B (0) B → C (0) B → D (1)C → A (1) C → B (0) C → C (0) C → D (0)D → A (1) D → B (1) D → C (0) D → D (0)

.

Finalment, comprovem que

Nota: La igualtat (At)�1 � (A�1)t és certa per a tota ma-triu invertible.

3. APLICACIONS

9. En un graf, els elements es representen amb punts, i larelació d’un element amb un altre, mitjançant una cor-ba del primer al segon. Per tant, un graf associat a aques-ta relació és:

La matriu associada a un graf té tantes files i tantescolumnes com punts tingui el graf, cadascuna associa-da a un dels punts. L’element aij de la matriu és:

— 1 si l’element (del conjunt) corresponent a la fi-la i està relacionat amb el corresponent a la columnaj.

— 0 en cas contrari.

La matriu associada al nostre graf és:

10. a) Al graf de la figura podem associar-li una matriu A en què cada element indica el nombre de con-nexions entre dos elements que formen un sistemade radiocomunicació.

−− ⎛

⎝

10 0 4 9

10

0

4

9

0 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

–10 9

40

( ) ( )A At t− −=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=1 1

12

14

012

( )A t− =−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

12

14

012

La transposada de A−1 és

15

1. Matrius

b)El producte de la matriu associada al graf per ellamateixa és tal que cada component aijens indica elnombre de connexions que hi ha entre l’antena cor-responent a la fila i i la corresponent a la j passantper una altra antena, que és el que ens demanen:


11.Ho resoldrem a partir de les definicions de les opera-cions:

tal que A2⋅X −B =C.


Efectuem les operacions:

12

01

12

01

12

01

14

01

2− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

− ⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠

12

01

14

01

2ab

cd⎟⎟⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ab

cd

acbd

cd

44

12

01

2

⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−−−+

−

ab

cd

acbd

c

21

11

4241

1dd−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

12

01

21

11

312

0

2− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

− ab

cd55

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Xab

cd=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ Busquem la matriu

A2

0111

1001

1000

1100

0111

1001

1=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅0000

1100

3101

1211

0111

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=

ABCD

11112

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

B

C

D

ABCD

A ⇒=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

0111

1001

1000

1100 ⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

B

C

D

⇒

Nombre de connexions

A →A (0)A →B (1)A →C (1)A →D (1)B →A (1)B →B (0)B →C (0)B →D (1)C →A (1)C →B (0)C →C (0)C →D (0)D →A (1)D →B (1)D →C (0)D →D (0)

.

Finalment, comprovem que

Nota:La igualtat (At)�1�(A�1)tés certa per a tota ma-triu invertible.

3.APLICACIONS

9.En un graf, els elements es representen amb punts, i larelació d’un element amb un altre, mitjançant una cor-ba del primer al segon. Per tant, un graf associat a aques-ta relació és:

La matriu associada a un graf té tantes files i tantescolumnes com punts tingui el graf, cadascuna associa-da a un dels punts. L’element aij de la matriu és:

—1 si l’element (del conjunt) corresponent a la fi-la i està relacionat amb el corresponent a la columnaj.

—0 en cas contrari.

La matriu associada al nostre graf és:

10.a)Al graf de la figura podem associar-li una matriu A en què cada element indica el nombre de con-nexions entre dos elements que formen un sistemade radiocomunicació.

−−⎛

⎝

10049

10

0

4

9

0000

1000

1100

1110

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

–109

4 0

()() AAtt −− =

− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=11

12

14

012

() At −=

− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

12

14

012

La transposada de A−1és

15

1. M

atriu

s

C M

Y K

Hem de trobar els nombres reals a, b, c, d tals que:

Per definició d’igualtat de matrius:

Els sistemes tenen com a solució:

a =9 b =11 c =1 d =6

12.Usarem les definicions de les operacions entre matrius.

que compleixi A2⋅X +B =0.


Si operem el membre de l’esquerra:

Hem de resoldre, doncs:

Per definició d’igualtat entre matrius:


a =2 b =−1 c =−2 d =2

La matriu buscada és, doncs:

Xab

cd=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

21

22

a

ac

b

bd

−=+−=

⎫⎬⎭

+=++=

⎫⎬⎭

20

6100

10

640

ab

acbd

−++−++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

21

61064

00

00

10

31

10

31

10

31

10

61

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

10

31

10

61

2ab

cd

abb

cd

ab

acbd

a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

66

10

31

2bb

cd

ab

acbd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=−+

+−+

21

104

21

6106++⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 4

10

31

21

104

00

0

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

ab

cd00

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Xab

cd=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ Busquem una matriu

Xab

cd=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

911

16La matriu buscada és

ac

c

bd

d

−−=−=

⎫⎬⎭

−+=−−=

⎫⎬⎭

423

10

4112

15

acbd

cd

−−−+−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4241

11

312

05

13.Usarem les propietats de les operacions entre ma-trius.

Si A té inversa, A�1, i multipliquem per l’esquerra perA�1els dos membres de la igualtat, obtenim:

Per l’associativitat entre el producte d’escalars i matrius,A�1�4 C �4 A�1�C; aleshores, queda l’equa-ció:

X ⋅B =4 A−1⋅C

Si B és invertible, podem multiplicar per la dreta elsdos membres de la igualtat anterior per la inversa deB, B�1:

Per tant, la matriu buscada és X �4 A�1�C �B�1.

Per efectuar aquestes operacions, calculem A�1i B�1

pel mètode de Gauss-Jordan:

1014

18

0114

38

− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

− IB�

11�

FFF 11213

→−

113

13

0

0114

38

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FF 2238

→

113

13

0

083

23

1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2+2 F1

——————�

113

13

0

2201 −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FF 1113

→

BI ��3110

2201 −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1012

14

01012

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

− IA�

11�

FFF 11212

→−

112

12

0

01012

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FF

FF

11

22

1212

→

→−

2110

0201 −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

AI��

XBBI

ACB ⋅⋅=⋅⋅ −−− 1114 ��

AAI

XBAC −− ⋅⋅⋅=⋅11

4 ��

16

1. Matrius

—————�

——————�

————�

——————�

————�

Hem de trobar els nombres reals a, b, c, d tals que:



a = 9 b = 11 c = 1 d = 6

12. Usarem les definicions de les operacions entre matrius.

que compleixi A2 ⋅ X + B = 0.


Si operem el membre de l’esquerra:

Hem de resoldre, doncs:

Per definició d’igualtat entre matrius:


a = 2 b = −1 c = −2 d = 2

La matriu buscada és, doncs:

Xa b

c d=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 1

2 2

a

a c

b

b d

− =+ − =

⎫⎬⎭

+ =+ + =

⎫⎬⎭

2 0

6 10 0

1 0

6 4 0

a b

a c b d

− ++ − + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 1

6 10 6 4

0 0

0 0

1 0

3 1

1 0

3 1

1 0

3 1

1 0

6 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅1 0

3 1

1 0

6 1

2 a b

c d

a bb

c d

a b

a c b d

a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅

6 6

1 0

3 1

2 bb

c d

a b

a c b d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=− +

+ − +

2 1

10 4

2 1

6 10 6 ++⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

1 0

3 1

2 1

10 4

0 0

0

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a b

c d 00

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Xa b

c d=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Busquem una matriu

Xa b

c d=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

9 11

1 6La matriu buscada és

a c

c

b d

d

− − =− =

⎫⎬⎭

− + = −− =

⎫⎬⎭

4 2 3

1 0

4 1 12

1 5

a c b d

c d

− − − +− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

4 2 4 1

1 1

3 12

0 5

13. Usarem les propietats de les operacions entre ma-trius.

Si A té inversa, A�1, i multipliquem per l’esquerra perA�1 els dos membres de la igualtat, obtenim:

Per l’associativitat entre el producte d’escalars i matrius,A�1 � 4 C � 4 A�1 � C; aleshores, queda l’equa-ció:

X ⋅ B = 4 A−1 ⋅ C

Si B és invertible, podem multiplicar per la dreta elsdos membres de la igualtat anterior per la inversa deB, B�1:

Per tant, la matriu buscada és X � 4 A�1 � C � B�1.

Per efectuar aquestes operacions, calculem A�1 i B�1

pel mètode de Gauss-Jordan:

1 014

18

0 114

38

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−I B�

11�

F F F1 1 213

→ −

113

13

0

0 114

38

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F2 238

→

113

13

0

083

23

1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 + 2 F1

——————�

113

13

0

2 2 0 1−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F1 113

→

B I� �3 1 1 0

2 2 0 1−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 012

14

0 1 012

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−I A�

11�

F F F1 1 212

→ −

112

12

0

0 1 012

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F

F F

1 1

2 2

1212

→

→ −

2 1 1 0

0 2 0 1−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

A I� �

X B BI

A C B⋅ ⋅ = ⋅ ⋅− − −1 1 14��

A AI

X B A C− −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 1 4��

16

1. M

atriu

s

—————�

——————�

————�

——————�

————�

CM

YK

A3 = A ⋅ A ⋅ A = A2 ⋅ A =

.

Comprovem-ho amb el mètode d’inducció completa.

— Demostrem que és certa per a n � 1:

Això, efectivament, es compleix.

— Suposem que és certa per a n � k (hipòtesi d’in-ducció):

— Comprovem que, si és certa per a n � k, és certa pera n � k � 1:

Ak + 1 = Ak ⋅ A =

Efectivament, hem obtingut el resultat que prete-níem demostrar.

16. Si I és la matriu identitat d’ordre 3,

podem expressar A = k I.

Busquem una candidata a expressió general de An temp-tejant:

A2 = A ⋅ A = (k I) ⋅ (k I) = k ⋅ k I ⋅ I = k2 I

A3 = A2 ⋅ A = (k2 I) ⋅ (k I) = k2 ⋅ k I ⋅ I = k3 I

Proposem que l’expressió general de An és

An = kn I

Demostrem que aquesta identitat és certa per inducciósobre n:

— És certa per a n = 1:

A1 = A = k I = k1 I

I =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=1 0 0

0 1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

1 0

k

00

0 1 0

1 0 1k +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

k

k =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 1 0

0 1

A A1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

A

n

n =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 1 0

0 1Així, proposem com a solució

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=1 0 0

0 1 0

2 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

1 0 00

0 1 0

3 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A A A2

1 0 0

0 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

= ⋅ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 1 0

2 0 1

Ja podem efectuar els càlculs que ens donaran la ma-triu X:

X = 4 �−1 ⋅ C ⋅ B−1 =

14. Usarem les propietats de les operacions amb matrius.

Si A és invertible, podem multiplicar la igual-tat A � X � A � I per la inversa de A, A�1, per tots doscostats:

X = A−1 ⋅ A−1 = (A−1)2

Per tant, per a calcular X n’hi ha prou de calcular la in-versa de A, per exemple amb el mètode de Gauss-Jor-dan, i multiplicar-la per ella mateixa:

Així, X = A−1 ⋅ A−1 =

15. Calculem les tres primeres potències de A:

A A1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

= =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 0 2

0 0 1

0 1 0

1 0 2

0 0 1

0 1 0⎟⎟=

− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 2

0 1 0

0 0 1

1 0 0 1 0 2

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

I��

A−1

F1 → F1 − 2 F2

——————�

1 2 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 ↔ F3

———�

A I�� 1 2 0 1 0 0

00 0 1 0 1 0

0 1 0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A AI

X A AI

A I− − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅1 1 1�� A −1

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

−4

12

14

012

1 1

0 4

14

188

14

38

4

12

14

012

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=−

12

14

132

40

14

122

34

0 1

2 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

17

1. Matrius

A3=A ⋅A ⋅A =A2⋅A =

.

Comprovem-ho amb el mètode d’inducció completa.

—Demostrem que és certa per a n �1:

Això, efectivament, es compleix.

—Suposem que és certa per a n �k (hipòtesi d’in-ducció):

—Comprovem que, si és certa per a n �k, és certa pera n �k �1:

Ak +1=Ak⋅A =

Efectivament, hem obtingut el resultat que prete-níem demostrar.

16.Si I és la matriu identitat d’ordre 3,

podem expressar A =k I.

Busquem una candidata a expressió general de Antemp-tejant:

A2=A ⋅A =(k I) ⋅(k I) =k ⋅k I ⋅I =k2I

A3=A2⋅A =(k2I) ⋅(k I) =k2⋅k I ⋅I =k3I

Proposem que l’expressió general de Anés

An=knI

Demostrem que aquesta identitat és certa per inducciósobre n:

—És certa per a n =1:

A1=A =k I =k1I

I=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

100

010

001

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=100

010

01

100

010

101

10

k

00

010

101 k+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

k

k=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

100

010

01

AA1

100

010

101

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

A

n

n=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

100

010

01Així, proposem com a solució

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=100

010

201

100

010

101

1000

010

301

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

AAA2

100

010

101

100

010

101

=⋅=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

100

010

201

Ja podem efectuar els càlculs que ens donaran la ma-triu X:

X =4 �−1⋅C ⋅B−1=

14.Usarem les propietats de les operacions amb matrius.

Si A és invertible, podem multiplicar la igual-tat A �X �A �I per la inversa de A, A�1, per tots doscostats:

X =A−1⋅A−1=(A−1)2

Per tant, per a calcular X n’hi ha prou de calcular la in-versa de A, per exemple amb el mètode de Gauss-Jor-dan, i multiplicar-la per ella mateixa:

Així, X =A−1⋅A−1=

15.Calculem les tres primeres potències de A:

AA1

100

010

101

==⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

102

001

010

102

001

010⎟⎟=

−− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

122

010

001

100102

010001

001010

− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

I��

A−1

F1→F1−2 F2

——————�

120100

010001

001010

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2↔F3

———�

AI ��120100

0001010

010001

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

AAI

XAAI

AI −−− ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅111

��A−1

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

−4

12

14

012

11

04

14

188

14

38

4

12

14

012

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=−

12

14

132

40

14

122

34

01

23

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

17

1. M

atriu

s

C M

Y K

—Suposem que és certa per a n �m, Am�kmA,(hipò-tesi d’inducció), i vegem que ho és per a n �m �1:

Am+1=Am⋅A =(kmI) ⋅(k I) =↑

Hipòtesi d’inducció

=km⋅k I ⋅I =km+1I

Queda provat el que volíem demostrar.

ACTIVITATS

Abans de començar

•Matriu de dimensió m �n (pàg. 8); rang d’una matriu(pàg. 11); matriu inversa (pàg. 16); matriu transposada(pàg. 18).

•Transformacions elementals (pàg. 10).

•Addició de matrius (pàg. 12); multiplicació d’una matriuper un nombre real (pàg. 13).

Qüestions

17.No, ja que no està definida la diagonal principal d’unamatriu que no sigui quadrada.

18.En fer transformacions elementals per esglaonar-la, ladimensió no canvia i, per tant, obtindrem una matriuesglaonada de dimensió 3 �5.

Aquesta matriu esglaonada pot tenir 3, 2, 1 o 0 files nonul.les.

Com que el rang de la matriu de partença és per defi-nició el nombre de files no nul.les de la matriu obtin-guda en esglaonar-la, aquest rang pot ser 3, 2, 1 o 0.

19.Dues matrius es poden sumar si i només si tenen la ma-teixa dimensió, m �n.

Dues matrius es poden multiplicar l’una per l’altra sii només si la primera té tantes columnes com files té lasegona, és a dir, si tenen dimensions m �h i h �n, res-pectivament.

20.No. Considerem el contraexemple següent:

Sigui A �(0). Si A es pot invertir, existiria una matriuB tal que B �A �A �B �I però B �A �(0) �A �B;així, I �(0). Però això no és cert i, per tant, A �(0)no es pot invertir.

21.Que una matriu tingui dimensió m �n significa queté m files i n columnes.

Com que transposar consisteix a intercanviar files i columnes, la matriu transposada tindrà n files i m co-lumnes, és a dir, tindrà dimensió n �m.

Per tant, la matriu transposada d’una matriu de di-mensió 3 �5 tindrà dimensió 5 �3.

22.Si tenim una equació A �X �B i A és invertible, po-dem multiplicar els dos membres de la igualtat per la inversa de A, A�1, però com que el producte de matriusno és commutatiu, hem de fer-ho pel mateix costat.

En aquest cas, és útil de multiplicar per A�1per l’es-querra:

L’error és, doncs, el pas deA ⋅X =B a A−1⋅A ⋅X ==B ⋅A−1.

EXERCICIS I PROBLEMES

23.Diem que una matriu té dimensió m �n si té m files in columnes.

La matriu A té 2 files i 4 columnes. Aleshores, la sevadimensió és 2 �4.

La matriu B té 4 files i 4 columnes. Aleshores, la sevadimensió és 4 �4 (és a dir, és una matriu quadradad’ordre 4).

24.a)

b)

c)

d)

25.

,

amb a11=a22=a33=0.

26.Per calcular el rang d’una matriu, hem d’aplicar-hi trans-formacions elementals fins a obtenir-ne una d’esglao-nada i comptar el nombre de files no nul.les de la ma-triu ja esglaonada.

•Esglaonem la matriu A:

—Fem 1 l’element a11:

1243

3521

2035

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1↔F2

———�A=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3521

1243

2035

a

a

a

11

22

33

00

00

00

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ Sí, ja que és de la forma

1000

0100

0010

0001

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

És la matriu I4�

1000

0100

0010

0001

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

La resposta suggerida és:

1000

1100

1110

1111

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


1111

0111

0011

0001

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


AXBAAI

XABXA , ⋅=⇒⋅⋅=⋅=⋅ −−− 111��B

18

1. Matrius

— Suposem que és certa per a n � m, Am � km A, (hipò-tesi d’inducció), i vegem que ho és per a n � m � 1:

Am + 1 = Am ⋅ A = (km I) ⋅ (k I) =↑


= km ⋅ k I ⋅ I = km + 1 I

Queda provat el que volíem demostrar.

ACTIVITATS

Abans de començar

• Matriu de dimensió m � n (pàg. 8); rang d’una matriu(pàg. 11); matriu inversa (pàg. 16); matriu transposada(pàg. 18).

• Transformacions elementals (pàg. 10).

• Addició de matrius (pàg. 12); multiplicació d’una matriuper un nombre real (pàg. 13).

Qüestions

17. No, ja que no està definida la diagonal principal d’unamatriu que no sigui quadrada.

18. En fer transformacions elementals per esglaonar-la, ladimensió no canvia i, per tant, obtindrem una matriuesglaonada de dimensió 3 � 5.

Aquesta matriu esglaonada pot tenir 3, 2, 1 o 0 files nonul.les.

Com que el rang de la matriu de partença és per defi-nició el nombre de files no nul.les de la matriu obtin-guda en esglaonar-la, aquest rang pot ser 3, 2, 1 o 0.

19. Dues matrius es poden sumar si i només si tenen la ma-teixa dimensió, m � n.

Dues matrius es poden multiplicar l’una per l’altra sii només si la primera té tantes columnes com files té lasegona, és a dir, si tenen dimensions m � h i h � n, res-pectivament.

20. No. Considerem el contraexemple següent:

Sigui A � (0). Si A es pot invertir, existiria una matriuB tal que B � A � A � B � I però B � A � (0) � A � B;així, I � (0). Però això no és cert i, per tant, A � (0)no es pot invertir.

21. Que una matriu tingui dimensió m � n significa queté m files i n columnes.

Com que transposar consisteix a intercanviar files i columnes, la matriu transposada tindrà n files i m co-lumnes, és a dir, tindrà dimensió n � m.

Per tant, la matriu transposada d’una matriu de di-mensió 3 � 5 tindrà dimensió 5 � 3.

22. Si tenim una equació A � X � B i A és invertible, po-dem multiplicar els dos membres de la igualtat per la inversa de A, A�1, però com que el producte de matriusno és commutatiu, hem de fer-ho pel mateix costat.

En aquest cas, és útil de multiplicar per A�1 per l’es-querra:

L’error és, doncs, el pas de A ⋅ X = B a A−1 ⋅ A ⋅ X == B ⋅ A−1.


23. Diem que una matriu té dimensió m � n si té m files in columnes.

La matriu A té 2 files i 4 columnes. Aleshores, la sevadimensió és 2 � 4.

La matriu B té 4 files i 4 columnes. Aleshores, la sevadimensió és 4 � 4 (és a dir, és una matriu quadradad’ordre 4).

24. a)

b)

c)

d)

25.

,

amb a11 = a22 = a33 = 0.

26. Per calcular el rang d’una matriu, hem d’aplicar-hi trans-formacions elementals fins a obtenir-ne una d’esglao-nada i comptar el nombre de files no nul.les de la ma-triu ja esglaonada.

• Esglaonem la matriu A:

— Fem 1 l’element a11:

1 2 4 3

3 5 2 1

2 0 3 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1 ↔ F2

———�A =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 5 2 1

1 2 4 3

2 0 3 5

a

a

a

11

22

33

0 0

0 0

0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Sí, ja que és de la forma

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

És la matriu I4 �

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


A X B A AI

X A B X A,⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅− − −1 1 1�� B

18

1. M

atriu

s

CM

YK

— Simplifiquem adequadament les files 2, 3 i 4:

— Fem 0 els elements de la segona columna persota de a22 (és a dir, esglaonem la segona co-lumna):

— Esglaonem la tercera columna:

Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres fi-les no nul.les. Aleshores, rang (B) � 3.

• Esglaonem la matriu C:


1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

3 3 7 11 1

2 2 4 8 1

5 5 21 9 3

− − −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F1 ↔ F2

———�

C = − − −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞0 1 5 1 1

1 1 5 1 2

3 3 7 11 1

2 2 4 8 1

5 5 21 9 3⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 2 3 1 7

0 2 5 1 8

0 0 6 0 6

0 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F F F4 4 316

→ −

1 2 3 1 7

0 2 5 1 8

0 0 6 0 6

0 0 1 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 2 3 1 7

0 2 5 1 8

0 0 6 0 6

0 0 1 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F3 → F3 + F2

F4 → F4 + F2

—————�

1 2 3 1 7

0 2 5 1 8

0 2 1 1 2

0 2 4 1 7

− − −− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1 2 3 1 7

0 2 5 1 8

0 2 1 1 2

0 2 4 1 7

− − −− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F F

F F

2 2

4 4

12

14

→ −

→

1 2 3 1 7

0 4 10 2 16

0 2 1 1 2

0 8 16 4 28

− − − −− − −− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

— Fem 0 els altres elements de la primera colum-na, a21 i a31:


— Fem 0 els elements de la segona columna persota de a22:

Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres fi-les no nul.les. Aleshores, rang (A) � 3.

• Esglaonem la matriu B:


— Fem 0 els altres elements de la primera colum-na per sota de a11:

1 2 3 1 7

0 4 10 2 16

0 2 1 1 2

0 8 16 4 28

− − − −− − −− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F2 → F2 − 4 F1

F4 → F4 − 7 F1

——————�

1 2 3 1 7

4 4 2 2 12

0 2 1 1 2

7 6 5 3 21

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1 2 3 1 7

4 4 2 2 12

0 2 1 1 2

7 6 5 3 21

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F1 ↔ F4

———�

B =− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

7 6 5 3 21

4 4 2 2 12

0 2 1 1 2

1 2 3 1 7

1 2 4 3

0 1 10 8

0 0 35 31

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → F3 + 4 F2

——————�

1 2 4 3

0 1 10 8

0 4 5 1− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 4 3

0 1 10 8

0 4 5 1− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → −F2

————�

1 2 4 3

0 1 10 8

0 4 5 1

− − −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 4 3

0 1 10 8

0 4 5 1

− − −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − 3 F1

F3 → F3 − 2 F1

——————�

1 2 4 3

3 5 2 1

2 0 3 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

19

1. Matrius

—————�

——————�

—Simplifiquem adequadament les files 2, 3 i 4:

—Fem 0 els elements de la segona columna persota de a22(és a dir, esglaonem la segona co-lumna):

—Esglaonem la tercera columna:

Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres fi-les no nul.les. Aleshores, rang (B) �3.

•Esglaonem la matriu C:


11512

01511

337111

22481

552193

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F1↔F2

———�

C=−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞ 01511

11512

337111

22481

552193⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

12317

02518

00606

00000

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

FFF 44316

→−

12317

02518

00606

00101

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

12317

02518

00606

00101

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F3→F3+F2

F4→F4+F2

—————�

12317

02518

02112

02417

−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

12317

02518

02112

02417

−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

FF

FF

22

44

12

14

→−

→

12317

0410216

02112

0816428

−−−−−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

—Fem 0 els altres elements de la primera colum-na, a21i a31:


—Fem 0 els elements de la segona columna persota de a22:

Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres fi-les no nul.les. Aleshores, rang (A) �3.

•Esglaonem la matriu B:


—Fem 0 els altres elements de la primera colum-na per sota de a11:

12317

0410216

02112

0816428

−−−−−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F2→F2−4 F1

F4→F4−7 F1

——————�

12317

442212

02112

765321

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

12317

442212

02112

765321

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F1↔F4

———�

B=−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

765321

442212

02112

12317

1243

01108

003531

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→F3+4 F2

——————�

1243

01108

0451 −−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1243

01108

0451 −−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→−F2

————�

1243

01108

0451

−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1243

01108

0451

−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−3 F1

F3→F3−2 F1

——————�

1243

3521

2035

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

19

1. M

atriu

s

—————�

——————�

C M

Y K

—Esglaonem la primera columna:

—Esglaonem la segona columna:

—Esglaonem la tercera columna:

—Esglaonem la cinquena columna:

Hem obtingut una matriu esglaonada amb 4 filesno nul.les. Aleshores, rang (C) �4.

11512

01511

00881

000014

00000

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F5→F5−26 F4

——————�

11512

01511

00881

000014

0000132

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

11512

01511

00881

000014

0000132

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

FFF

FFF

443

553

3412

→+

→+

11512

01511

00881

00661

00447

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

11512

01511

00881

00661

00447

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F3→F3+6 F2

F4→F4−4 F2

——————�

11512

01511

0622145

0414103

00447

−−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

11512

01511

0622145

0414103

00447

−−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F3→F3−3 F1

F4→F4+2 F1

F5→F5−5 F1

——————�

11512

01511

337111

22481

552193

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

27.N’hi ha prou d’aplicar la definició de cada operació:

a)A �B �

b)A −B =A +(−B) =

c)B −A =−(A −B) =

d)55

0232

2154

4110

50525

⋅=−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=⋅⋅

A

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅−⋅−⋅()

()()

352

52515554

54515150

0101510

1052520

20550

⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−−−

3224

3155

1515

3224

31−−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

55

1515

=−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+

+−−−−−

−

0232

2154

4110

3012

5201

34425

03203122

251

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=+−++−++−

()()

()++−+−+−−+−+−+−+−

⎛

⎝

⎜⎜()()

()()()

25041

43141205 ⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3224

3155

1515

=−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−

−

⎛

⎝

0232

2154

4110

3012

5201

3425

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=++++−+++−+

−+

03203122

25125041

4

()

(−−−+++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−−

⎛

⎝

⎜

3141205

3240

7353

7335

)

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

20

1. Matrius

——————�

— Esglaonem la primera columna:

— Esglaonem la segona columna:

— Esglaonem la tercera columna:

— Esglaonem la cinquena columna:

Hem obtingut una matriu esglaonada amb 4 filesno nul.les. Aleshores, rang (C) � 4.

1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

0 0 8 8 1

0 0 0 014

0 0 0 0 0

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F5 → F5 − 26 F4

——————�

1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

0 0 8 8 1

0 0 0 014

0 0 0 0132

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

0 0 8 8 1

0 0 0 014

0 0 0 0132

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F F F

F F F

4 4 3

5 5 3

3412

→ +

→ +

1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

0 0 8 8 1

0 0 6 6 1

0 0 4 4 7

−− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

0 0 8 8 1

0 0 6 6 1

0 0 4 4 7

−− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F3 → F3 + 6 F2

F4 → F4 − 4 F2

——————�

1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

0 6 22 14 5

0 4 14 10 3

0 0 4 4 7

− − − −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

0 6 22 14 5

0 4 14 10 3

0 0 4 4 7

− − − −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F3 → F3 − 3 F1

F4 → F4 + 2 F1

F5 → F5 − 5 F1

——————�

1 1 5 1 2

0 1 5 1 1

3 3 7 11 1

2 2 4 8 1

5 5 21 9 3

− − −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

27. N’hi ha prou d’aplicar la definició de cada operació:

a) A � B �

b) A − B = A + (−B) =

c) B − A = −(A − B) =

d) 5 5

0 2 3 2

2 1 5 4

4 1 1 0

5 0 5 2 5

⋅ = −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=⋅ ⋅

A

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ − ⋅ − ⋅( )

( ) ( )

3 5 2

5 2 5 1 5 5 5 4

5 4 5 1 5 1 5 0

0 10 15 10

10 5 25 20

20 5 5 0

⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

= −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −−− − −− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=− − −

3 2 2 4

3 1 5 5

1 5 1 5

3 2 2 4

3 1 −−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

5 5

1 5 1 5

= −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+

+− −− − −

−

0 2 3 2

2 1 5 4

4 1 1 0

3 0 1 2

5 2 0 1

3 44 2 5

0 3 2 0 3 1 2 2

2 5 1

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=+ − + + − ++ −

( ) ( )

( ) ++ − + − + −− + − + − + − + −

⎛

⎝

⎜⎜ ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 5 0 4 1

4 3 1 4 1 2 0 5⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−− − −− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 2 2 4

3 1 5 5

1 5 1 5

= −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−

−

⎛

⎝

0 2 3 2

2 1 5 4

4 1 1 0

3 0 1 2

5 2 0 1

3 4 2 5

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=+ + + + −+ + + − +

− +

0 3 2 0 3 1 2 2

2 5 1 2 5 0 4 1

4

( )

(−− − + + +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

= −−

⎛

⎝

⎜

3 1 4 1 2 0 5

3 2 4 0

7 3 5 3

7 3 3 5

)

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

20

1. M

atriu

s

——————�

CM

YK

30. Per veure que es compleix la identitat de l’enunciat,desenvoluparem el membre de l’esquerra usant les definicions i propietats de les operacions amb ma-trius i veurem que, si es compleix la hipòtesi (M � N �� N � M), obtenim el membre de la dreta:

(M + N)3 = (M + N) ⋅ (M + N) ⋅ (M + N) =

= [(M + N) ⋅ (M + N)] ⋅ (M + N) =

= [M ⋅ (M + N) + N ⋅ (M + N)] ⋅ (M + N) =

= [M2 + M ⋅ N + N ⋅ M + N2] ⋅ (M + N) =

= [M2 + M ⋅ N + N ⋅ M + N2] ⋅ M +

+ [M2 + M ⋅ N + N ⋅ M + N2] ⋅ N =

= M3 + M ⋅ N ⋅ M + N ⋅ M2 + N2 ⋅ M + M2 ⋅ N +

+ M ⋅ N2 + N ⋅ M ⋅ N + N3 =

= M3 + M2 ⋅ N + M ⋅ N ⋅ M + N ⋅ M2 + M ⋅ N2 +

+ N ⋅ M ⋅ N + N2 ⋅ M + N3

Ara bé, si M i N commuten, es compleix:

N ⋅ M2 = (N ⋅ M) ⋅ M = (M ⋅ N) ⋅ M = M ⋅ N ⋅ M =

= M ⋅ (N ⋅ M) = M ⋅ (M ⋅ N) = M2 ⋅ N

Canviant les lletres:

N2 ⋅ M = N ⋅ M ⋅ N = M ⋅ N2

Per tant, la igualtat anterior equival a:

(M + N)3 = M3 + M2 ⋅ N + M2 ⋅ N + M2 ⋅ N +

+ M ⋅ N2 + M ⋅ N2 + M ⋅ N2 + N3 =

= M3 + 3 M2 ⋅ N + 3 M ⋅ N2 + N3

que és el que volíem demostrar.

29. Abans d’operar, simplificarem les expressions usant lespropietats de les operacions amb matrius:

a) A = M + N − (2 M − 3 N) =

= M + N − 2 M + 3 N =

= (M − 2 M) + (N + 3 N) = −M + 4 N =

b) B M N M I N I

M N M N I I

= ⋅ + ⋅ − == ⋅ ⋅ − + ⋅

– ( ) ( )

– ( ( ) (( ))

– ( )

N I

M N M N M I N IN I

− =

= ⋅ ⋅ − ⋅ + − ==

−�

� ��

MM N M N M I N I

M N

M

(

⋅ − ⋅ + ⋅ − + =

= + − +

� ��

0

0 II M N I M N I) ( )= − + = − + =

= −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−−1 0 4

2 4 3

2 1 6

0 1 33

2 3 0

5 3 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+

+⎛

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+1 1 1

4 1 3

7 4 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

= −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 1

4 2 3

7 4 5

=− −− −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−

−−

1 0 4

2 4 3

2 1 6

0 4 12

8 12 0

220 12 8

1 4 8

10 8 3

22 13 2

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=− −

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

e)

f)

28. N’hi ha prou d’usar la definició:

— No és possible calcular el producte B � A, ja que el nombre de columnes de la primera, B, que és 3, és diferent delnombre de files de la segona, A, que és 2.

A B⋅ =−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=1 3 2

2 0 1

3 0 1

5 2 0

3 4 2

11 3 3 5 2 3 1 0 3 2 2 4 1 1 3( )⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅− ⋅ + ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ +( )

0 2 2

2 3 0 5 1 3 2 0 0 2 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=−

⎛

⎝⎜

⎞

4 2 1 0 0 1 2

12 14 5

9 4 0⎠⎠⎟

( ) ( )− = − −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

3 3

0 2 3 2

2 1 5 4

4 1 1 0

0 6

A

−− −− − −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

9 6

6 3 15 12

12 3 3 0

4 4

3 0 1 2

5 2 0 1

3 4 2 5

4 3 4 0 4

B =−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⋅ ⋅ ⋅ ( )

( )

1 4 2

4 5 4 2 4 0 4 1

4 3 4

⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ 44 4 2 4 5

12 0 4 8

20 8 0 4

12 16 8 20⋅ ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−

⎛

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

21

1. Matrius

30.Per veure que es compleix la identitat de l’enunciat,desenvoluparem el membre de l’esquerra usant les definicions i propietats de les operacions amb ma-trius i veurem que, si es compleix la hipòtesi (M �N ��N �M), obtenim el membre de la dreta:

(M +N)3=(M +N) ⋅(M +N) ⋅(M +N) =

=[(M +N) ⋅(M +N)] ⋅(M +N) =

=[M ⋅(M +N) +N ⋅(M +N)] ⋅(M +N) =

=[M2+M ⋅N +N ⋅M +N2] ⋅(M +N) =

=[M2+M ⋅N +N ⋅M +N2] ⋅M +

+[M2+M ⋅N +N ⋅M +N2] ⋅N =

=M3+M ⋅N ⋅M +N ⋅M2+N2⋅M +M2⋅N +

+M ⋅N2+N ⋅M ⋅N +N3=

=M3+M2⋅N +M ⋅N ⋅M +N ⋅M2+M ⋅N2+

+N ⋅M ⋅N +N2⋅M +N3

Ara bé, si M i N commuten, es compleix:

N ⋅M2=(N ⋅M) ⋅M =(M ⋅N) ⋅M =M ⋅N ⋅M =

=M ⋅(N ⋅M) =M ⋅(M ⋅N) =M2⋅N

Canviant les lletres:

N2⋅M =N ⋅M ⋅N =M ⋅N2

Per tant, la igualtat anterior equival a:

(M +N)3=M3+M2⋅N +M2⋅N +M2⋅N +

+M ⋅N2+M ⋅N2+M ⋅N2+N3=

=M3+3M2⋅N +3M ⋅N2+N3

que és el que volíem demostrar.

29.Abans d’operar, simplificarem les expressions usant lespropietats de les operacions amb matrius:

a)A =M +N −(2M −3N) =

=M +N −2M +3N =

=(M −2M) +(N +3N) =−M +4N =

b)BMNMINI

MNMNII

=⋅+⋅−==⋅⋅−+⋅

–()()

–(()(())

–()

NI

MNMNMININI

−=

=⋅⋅−⋅+−==

−�

��

MMNMNMINI

MN

M

(

⋅−⋅+⋅−+=

=+−+

��

0

0IIMNIMNI )() =−+=−+=

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−− 104

243

216

0133

230

532

100

010

001

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+

+⎛

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+111

413

744

100

010

001

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

211

423

745

=−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−

−−

104

243

216

0412

8120

220128

148

1083

22132

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

e)

f)

28.N’hi ha prou d’usar la definició:

— No és possible calcular el producte B �A, ja que el nombre de columnes de la primera, B, que és 3, és diferent delnombre de files de la segona, A, que és 2.

AB⋅=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=132

201

301

520

342

1133523103224113 () ⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−−⋅+⋅+ ()

022

23051320021⋅−⋅+⋅+⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−

⎛

⎝⎜

⎞

4210012

12145

940⎠⎠⎟

()() −=−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

33

0232

2154

4110

06

A

−−−−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

96

631512

12330

44

3012

5201

3425

43404

B=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⋅⋅⋅()

()

142

45424041

434

⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅444245

12048

20804

1216820 ⋅⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−

⎛

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

21

1. M

atriu

s

C M

Y K

32.a)Hem de veure si es compleix la igualtat M �N �N �M:

Intercanviant i :

Comprovem que el producte de M per N és commutatiu.

b)La inversa de N és una matriu N�1tal que N �N�1�N�1�N �I.

Observem que si considerem ��en l’apartat a,tenim:

Per tant, N−1=Nt.

N−=−−

−−−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

1cossin

sincos

cos ()()

()()

ββββ

βββββ

ββββ

−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

− sin

sincos

cossin

sincos ()

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=N

taleshores

MNNM()()

()⋅=⋅=

−+−+−−+cossin

sincos

ββββββ(() −+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

⎛ββ

cossin

sincos

00

00

10

01 ⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟=I

NMsin

⋅=−+ coscossincossinsincos βαβαβαβαα

βαβαβαβα −−−+⎛

sincoscossinsinsincoscos ⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟=

++−++

⎛

⎝⎜

cossin

sincos

()()

()()

βαβαβαβα

⎞⎞

⎠⎟

MN⋅=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

−cossin

sincos

cossin

si

αααα

ββnncos

coscossincossin

ββ

αβαβαβ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−sin++

−−−+sincos

sincoscossinsinsinc

αβαβαβαβooscos

cossin

sinco αβαβαβαβ

()()

()

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

++−+ss() αβ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

31.Hem de calcular M �N, (M �N)�1, T�1i (T �M �N)�1:

Calculem les inverses pel mètode de Gauss-Jordan:

IT ��−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

10012

01112

F1→F1+F2

—————�

1110

01112

−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

FF 2212

→

1110

0221

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ F2→F2−2 F1

——————�

TI ��1110

2001

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ •T−1:

MN⋅=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

=

123

211

10

22

11

1⋅⋅−+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅−+⋅+()()()

()

12231102231

21121⋅⋅−⋅+⋅+⋅−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

()() 1201211

01

11

TM⋅⋅=− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ N

11

20

01

11

10

11

Finalment:

per tant, la igualtat no es compleix.

TMN −− +⋅=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

110

12

112

11

10()==

=− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

≠−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=+⋅−

112

012

10

11() TMN

11

1010

0111 −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⋅−

() ITMN�11 �

F2→F2−F1

—————�

1010

1101⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⋅ TMNI��

•(T +M ⋅N)−1:

() IMN ��⋅−

− ⎛⎝⎜

⎞⎠

1

1011

0110⎟⎟F1→F1+F2

—————�

1101

0110

−− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F1→−F1

————�

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1101

0110F1↔F2

———�

MNI ⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

��0110

1101•(M ⋅N)−1:

22

1. Matrius

————�

32. a) Hem de veure si es compleix la igualtat M � N � N � M:

Intercanviant i :

Comprovem que el producte de M per N és commutatiu.

b) La inversa de N és una matriu N�1 tal que N � N�1 � N�1 � N � I.

Observem que si considerem � � en l’apartat a, tenim:

Per tant, N−1 = Nt.

N− =− −

− − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =1 cos sin

sin cos

cos( ) ( )

( ) ( )

β ββ β

ββ ββ β

β ββ β

−− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−sin

sin cos

cos sin

sin cos( )

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = Ntaleshores

M N N M( ) ( )

( )⋅ = ⋅ =

− + − +− − +cos sin

sin cos

β β β ββ β (( )− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛β β

cos sin

sin cos

0 0

0 0

1 0

0 1⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟ = I

N Msin

⋅ =− +cos cos sin cos sin sin cosβ α β α β α β αα

β α β α β α β α− − − +⎛

sin cos cos sin sin sin cos cos⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+ +− + +

⎛

⎝⎜

cos sin

sin cos

( ) ( )

( ) ( )

β α β αβ α β α

⎞⎞

⎠⎟

M N⋅ =−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

−cos sin

sin cos

cos sin

si

α αα α

β βnn cos

cos cos sin cos sin

β β

α β α β α β

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=− sin ++

− − − +sin cos

sin cos cos sin sin sin c

α βα β α β α β oos cos

cos sin

sin coα βα β α βα β

( ) ( )

( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+ +− + ss( )α β+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

31. Hem de calcular M � N, (M � N)�1, T�1 i (T � M � N)�1:

Calculem les inverses pel mètode de Gauss-Jordan:

I T� �−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1 0 012

0 1 112

F1 → F1 + F2

—————�

1 1 1 0

0 1 112

−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

F F2 212

→

1 1 1 0

0 2 2 1

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟F2 → F2 − 2 F1

——————�

T I� �1 1 1 0

2 0 0 1

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

• T−1:

M N⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

1 2 3

2 1 1

1 0

2 2

1 1

1 ⋅⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −⋅ − + ⋅ +( ) ( ) ( )

( )

1 2 2 3 1 1 0 2 2 3 1

2 1 1 2 1 ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

( ) ( )1 2 0 1 2 1 1

0 1

1 1

T M ⋅⋅ =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

N1 1

2 0

0 1

1 1

1 0

1 1

Finalment:

per tant, la igualtat no es compleix.

T M N− −+ ⋅ =−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 10

12

112

1 1

1 0( ) ==

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

≠−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + ⋅ −1

12

012

1 0

1 1( )T M N 11

1 0 1 0

0 1 1 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ −( )I T M N�

11�

F2 → F2 − F1

—————�

1 0 1 0

1 1 0 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅T M N I� �

• (T + M ⋅ N)−1:

( )I M N��⋅ −

−⎛⎝⎜

⎞⎠

1

1 0 1 1

0 1 1 0⎟⎟F1 → F1 + F2

—————�

1 1 0 1

0 1 1 0

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F1 → −F1

————�

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1 0 1

0 1 1 0F1 ↔ F2

———�

M N I⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

� �0 1 1 0

1 1 0 1• (M ⋅ N)−1:

22

1. M

atriu

s

————�

CM

YK

Imposant que es compleixi A � S � T:


a11 = s11 a12 = s12 + t12 a13 = s13 + t13

a21 = s12 − t12 a22 = s22 a23 = s23 + t23

a31 = s13 − t13 a23 = s23 − t23 a33 = s33

Resolent aquest sistema, obtenim:

s11 = a11

s22 = a22 s33 = a33

Així, les matrius buscades són:

35. Calculem At i A−1:

A I

A

� �

− =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1 2 1 0

1 4 0 1

Att

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

1 4

1 1

2 4

T

a a a a

a a a a

a a

=

− −

− −

−

02 2

20

2

12 21 13 31

21 12 23 32

31 13

22 20

2

32 23a a

A At

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

= −

S

aa a a a

a aa

a a

a

=

+ +

+ +

1112 21 13 31

12 2122

23 32

13

2 2

2 2++ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

= +

a a aa

A At

31 23 32332 2

2

ta a

2323 32

2=

−t

a a13

13 31

2=

−t

a a12

12 21

2=

−

sa a

2323 32

2=

+

sa a

1313 31

2=

+sa a

1212 21

2=

+

a a a

a a a

a a a

s s

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=112 13

12 22 23

13 23 33

12 130s

s s s

s s s

t t⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+ −tt t

t t

s s t s

12 23

13 23

11 12 12 13

0

0− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=+ + tt

s t s s t

s t s t s

13

12 12 22 23 23

13 13 23 23 33

− +− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

33. Busquem una matriu simètrica S i una matriu anti-simètrica T, d’ordre 3, tals que A � S � T.

Com que S és simètrica, serà de la forma:

Com que T és antisimètrica, serà de la forma:

Imposant la igualtat A � S � T:

Per definició d’igualtat de matrius, això significa que:

a = 9 b + g = 8 c + h = 7

b − g = 6 d = 5 e + i = 4

c − h = 3 e − i = 2 f = 1

i, resolent aquest sistema, obtenim:

a = 9 ; b = 7 ; c = 5 ; d = 5 ; e = 3

f = 1 ; g = 1 ; h = 2 ; i = 1

Les matrius buscades són:

34. Considerem una matriu 3 � 3 genèrica:

Volem expressar-la de la forma A � S � T, en què S ésuna matriu simètrica 3 � 3 i T una matriu antisimètri-ca 3 � 3.



T

t t

t t

t t

= −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0

0

0

12 13

12 23

13 23

S

s s s

s s s

s s s

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

11 12 13

12 22 23

13 23 33

A

a a a

a a a

a a a

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

11 12 13

21 22 23

31 32 33

S y T=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −− −

⎛

⎝

⎜9 7 5

7 5 3

5 3 1

0 1 2

1 0 1

2 1 0⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

9 8 7

6 5 4

3 2 1

0⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+a b c

b d e

c e f

g h

−−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

+ +− +− −

⎛

g i

h i

a b g c h

b g d e i

c h e i f

0

0

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

T

g h

g i

h i

= −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0

0

0

S

a b c

b d e

c e f

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

23

1. Matrius

Imposant que es compleixi A �S �T:


a11=s11a12=s12+t12a13=s13+t13

a21=s12−t12a22=s22a23=s23+t23

a31=s13−t13a23=s23−t23a33=s33

Resolent aquest sistema, obtenim:

s11=a11

s22=a22s33=a33

Així, les matrius buscades són:

35.Calculem Ati A−1:

AI

A

��

−=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11210

1401

At

t

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

14

11

24

T

aaaa

aaaa

aa

=

−−

−−

−

022

20

2

12211331

21122332

3113

2220

2

3223 aa

AAt

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=−

S

aaaaa

aaa

aa

a

=

++

++

1112211331

122122

2332

13

22

22+++

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=+

aaaa

AAt

31233233

22

2

taa

232332

2=

−t

aa13

1331

2=

− taa

121221

2=

−

saa

232332

2=

+

saa

131331

2=

+ saa

121221

2=

+

aaa

aaa

aaa

ss

111213

212223

313233

11

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=11213

122223

132333

1213 0 s

sss

sss

tt ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−ttt

tt

ssts

1223

1323

11121213

0

0 −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=++tt

stsst

ststs

13

1212222323

1313232333

−+−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

33.Busquem una matriu simètrica S i una matriu anti-simètrica T, d’ordre 3, tals que A �S �T.



Imposant la igualtat A �S �T:

Per definició d’igualtat de matrius, això significa que:

a =9b +g =8c +h =7

b −g =6d =5e +i =4

c −h =3e −i =2f =1

i, resolent aquest sistema, obtenim:

a =9 ; b =7 ; c =5 ; d =5 ; e =3

f =1 ; g =1 ; h =2 ; i =1

Les matrius buscades són:

34.Considerem una matriu 3 �3 genèrica:

Volem expressar-la de la forma A �S �T, en què S ésuna matriu simètrica 3 �3 i T una matriu antisimètri-ca 3 �3.



T

tt

tt

tt

=−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0

0

0

1213

1223

1323

S

sss

sss

sss

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

111213

122223

132333

A

aaa

aaa

aaa

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

111213

212223

313233

SyT =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−−

⎛

⎝

⎜975

753

531

012

101

210⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

987

654

321

0 ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+

abc

bde

cef

gh

−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

++−+−−

⎛

gi

hi

abgch

bgdei

cheif

0

0

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

T

gh

gi

hi

=−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0

0

0

S

abc

bde

cef

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

23

1. M

atriu

s

C M

Y K

Calculem At�A�1:

Finalment, calculem (At�A�1)2:

36.Sigui la matriu buscada.

Si imposem que compleixi la igualtat:

Per la definició d’igualtat de matrius:

La solució d’aquests sistemes és:

a =16 c =−6 b =−32 d =13

Per tant, la matriu M és:

M=−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1632

613

42

225

62

125

=+=+

⎫⎬⎭

−=+=+

⎫⎬⎭

ac

ac

bd

bd

46

21

12

25

22 − ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

++ ab

cd

acbdd

acbd 2525 ++⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Mab

cd=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

() AAt

⋅=− ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⋅− ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠

−1232

12

20

32

12

20

⎟⎟⎟

=

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅⋅−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+

32

12

232

12

2

−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⋅+⋅⋅−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛12

0

232

02212

02

⎝⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

54

34

31

AAt

⋅=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

=⋅

−111

24

21

12

12

1() 2112

11112

224

+⋅−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅−+⋅

⋅+⋅−112

21412

32

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅−+⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=−

()

220

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

IA ��−

−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1

1021

0112

12

F1→F1−2 F2

——————�

1210

0112

12

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

FF 2212

→

1210

0211 −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F2→F2−F1

—————�37.Si A�1és la matriu inversa de, multi-

plicant la igualtat que volem demostrar per la ma-triu A�1per l’esquerra, obtenim la igualtat equiva-lent:

Calculem la matriu A�1pel mètode de Gauss-Jor-dan:

Operant, podem obtenir X:

X=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⋅

100

012

0

13

013

3

111

230

3455

012

230

418

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−−

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

100

012

0

13

013

333

6690

91215

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+

100100

010012

0

00113

013

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

IA��−1

FF 3313

→

100100

010012

0

003101 −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

FF 2212

→

100100

020010

003101 −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→F3−F1

——————�

AI ��100100

0020010

103001

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

AX

A

I

−

−

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅=

=

1

1

100

020

103

3

��

1111

230

345

012

230

418

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−−

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

A=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

100

020

103

24

1. Matrius

————�

————�

————�

Calculem At � A�1:

Finalment, calculem (At � A�1)2:

36. Sigui la matriu buscada .

Si imposem que compleixi la igualtat:

Per la definició d’igualtat de matrius:

La solució d’aquests sistemes és:

a = 16 c = −6 b = −32 d = 13

Per tant, la matriu M és:

M =−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

16 32

6 13

4 2

2 2 5

6 2

1 2 5

= += +

⎫⎬⎭

− = += +

⎫⎬⎭

a c

a c

b d

b d

4 6

2 1

1 2

2 5

2 2−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+ +a b

c d

a c b dd

a c b d2 5 2 5+ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Ma b

c d=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )A At ⋅ =−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⋅−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠

−1 232

12

2 0

32

12

2 0

⎟⎟⎟

=

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+32

12

232

12

2

−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅

⋅ + ⋅ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⎛ 12

0

232

0 2 212

02

⎝⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

54

34

3 1

A At ⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

=⋅

−1 1 1

2 4

2 1

12

12

1 ( )2 112

1 1 112

2 2 4

+ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ − + ⋅

⋅ + ⋅ − 112

2 1 412

32

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ − + ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=−

( )

22 0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

I A� �−

−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1

1 0 2 1

0 112

12

F1 → F1 − 2 F2

——————�

1 2 1 0

0 112

12

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

F F2 212

→

1 2 1 0

0 2 1 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F2 → F2 − F1

—————� 37. Si A�1 és la matriu inversa de , multi-

plicant la igualtat que volem demostrar per la ma-triu A�1 per l’esquerra, obtenim la igualtat equiva-lent:

Calculem la matriu A�1 pel mètode de Gauss-Jor-dan:

Operant, podem obtenir X:

X =

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⋅

1 0 0

012

0

13

013

3

1 1 1

2 3 0

3 4 55

0 1 2

2 3 0

4 1 8

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+− −

− −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 0 0

012

0

13

013

3 3 3

66 9 0

9 12 15

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+

1 0 0 1 0 0

0 1 0 012

0

0 0 113

013

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

I A��

−1

F F3 313

→

1 0 0 1 0 0

0 1 0 012

0

0 0 3 1 0 1−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F F2 212

→

1 0 0 1 0 0

0 2 0 0 1 0

0 0 3 1 0 1−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → F3 − F1

——————�

A I�� 1 0 0 1 0 0

00 2 0 0 1 0

1 0 3 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A X

A

I

−

−

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅ =

=

1

1

1 0 0

0 2 0

1 0 3

3

� ��

11 1 1

2 3 0

3 4 5

0 1 2

2 3 0

4 1 8

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+− −

− −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

A =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 2 0

1 0 3

24

1. M

atriu

s

————�

————�

————�

CM

YK

Aleshores, la fórmula és vàlida.

• Calculem les primeres potències de B:

Proposem l’expressió general:

Demostrem-la per inducció sobre n:

— És certa per a n � 1:

— Suposem que és certa per a n � m i vegem queho és per a n � m � 1:

↑Hipòtesi d’inducció

Queda demostrada la validesa de la fórmula.

39. a) N’hi ha prou de representar cada localitat amb unpunt i cada carretera amb una línia:

La matriu associada indica si la localitat correspo-nent a cada fila està relacionada amb la corres-ponent a cada columna:

A B C D E

M =

⎛

⎝

⎜⎜

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0 0 1 1 0

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

A

B

C

D

E

A B

E

C

D

=+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 0

1

1 0

1 1m k k m k( )

B B Bm k k

m m+ = ⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1 1 0

1

1 0

1

B Bk k

1 1 0

1

1 0

1 1= =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Bn k

n =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 0

1

B B Bk k k

2 1 0

1

1 0

1

1 0

2 1= ⋅ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎟

= ⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛

B B Bk k k

3 2 1 0

2 1

1 0

1

1 0

3 1⎝⎝⎜⎞⎠⎟

= +

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−

1 0 0

1 1 0

1 0 1

1

1

( )

( )

m k

m k

38. • Calculem les primeres potències de A per proposaruna expressió general de An:

Proposem que:

Vegem per inducció sobre n que aquesta fórmulaés vàlida:

— És certa per a n � 1:

— Suposem que és certa per a n � m i vegemque ho és per a n � m � 1:

Am + 1 = Am ⋅ A =↑


=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅

⎛−

−

−

−

1 0 0

1 0

0 1

1 0 0

1 0

0 1

1

1

1

1

m k

m k

k

k⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

= +

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟− −

− −

1 0 0

1 0

0 1

1 1

1 1

m k k

m k k⎟⎟⎟

=

A A k

k

k1 1

1

1

1 0 0

1 0

0 1

1 0 0

1 1 0

1

= =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⋅−

−

−

⋅⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟−k 1 0 1

A n k

n k

n =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−

1 0 0

1 0

0 1

1

1

A A A k

k

k

k

2 1

1

1

1 0 0

1 0

0 1

1 0 0

1 0= ⋅ =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅−

−

−

−11

1

1

3

0 1

1 0 0

2 1 0

2 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−

k

k

A == ⋅ =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅−

−

−A A k

k

k2 1

1

1

1 0 0

2 1 0

2 0 1

1 0 0

1 0

kk

k

k

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1

1

0 1

1 0 0

3 1 0

3 0 1

+− −

− −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

−

0 1 2

2 3 0

4 1 8

1 0 0

012

0

13

0013

3 2 1

4 6 0

5 11 7

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=33 2 1

2 3 0

23

3 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

25

1. Matrius

Aleshores, la fórmula és vàlida.

•Calculem les primeres potències de B:

Proposem l’expressió general:

Demostrem-la per inducció sobre n:

—És certa per a n �1:

—Suposem que és certa per a n �m i vegem queho és per a n �m �1:

↑Hipòtesi d’inducció

Queda demostrada la validesa de la fórmula.

39.a)N’hi ha prou de representar cada localitat amb unpunt i cada carretera amb una línia:

La matriu associada indica si la localitat correspo-nent a cada fila està relacionada amb la corres-ponent a cada columna:

ABCDE

M=

⎛

⎝

⎜⎜

00100

00010

10011

01101

00110

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

A

B

C

D

E

AB

E

C

D

=+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

10

1

10

11 mkkmk ()

BBBmkk

mm +=⋅=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

110

1

10

1

BBkk

110

1

10

11==

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Bnk

n=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

10

1

BBBkkk

210

1

10

1

10

21=⋅=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎟

=⋅=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛BBB

kkk3210

21

10

1

10

31 ⎝⎝⎜⎞⎠⎟

=+

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−

100

110

101

1

1

()

()

mk

mk

38.•Calculem les primeres potències de A per proposaruna expressió general de An:

Proposem que:

Vegem per inducció sobre n que aquesta fórmulaés vàlida:

—És certa per a n �1:

—Suposem que és certa per a n �m i vegemque ho és per a n �m �1:

Am+1=Am⋅A =↑


=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅

⎛−

−

−

−

100

10

01

100

10

01

1

1

1

1

mk

mk

k

k⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=+

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟ −−

−−

100

10

01

11

11

mkk

mkk⎟⎟⎟

=

AAk

k

k11

1

1

100

10

01

100

110

1

==

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⋅ −

−

−

⋅⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ − k

101

Ank

nk

n=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−

100

10

01

1

1

AAAk

k

k

k

21

1

1

100

10

01

100

10 =⋅=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅ −

−

−

−11

1

1

3

01

100

210

201

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−

k

k

A==⋅=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅ −

−

− AAk

k

k21

1

1

100

210

201

100

10

kk

k

k

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1

1

01

100

310

301

+−−

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

−

012

230

418

100

012

0

13

0013

321

460

5117

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=3321

230

23

32

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

25

1. M

atriu

s

C M

Y K

b)Sabem que l’element aijde Mnens dóna el nombrede camins en n etapes entre la localitat corresponenta la fila i i la corresponent a la columna j.

Per obtenir els camins en dues etapes entre A i B,calculem M2i mirem quin és l’element a12:

Entre A i B hi ha a12�0 camins en dues etapes.

Per obtenir els camins en tres etapes entre A i B,n’hi ha prou de calcular l’element a12de M3, queés:

a12=(M3)12=(M2⋅M)12=

=⋅=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= FC 1210011

0

0

0

1

0

()11

MMM2

00100

00010

10011

01101

00110

=⋅=

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

00100

00010

10011

01101

00110⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

10011

01101

01311

10131

11112

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Entre A i B hi ha a12�1 camí en tres etapes.

40.La matriu que busquem ha de tenir 3 entrades per alsanys i 2 per als països, i cada element ha d’indicar lesvendes brutes corresponents a l’any i al país que el lo-calitzen en la matriu.

D’altra banda, les vendes brutes s’obtenen multiplicantel nombre d’unitats exportades de cada electro-domèstic, corresponents a l’any i al país considerats,pel seu preu i sumant per als diversos electrodomèstics.

De tot això, se’n desprèn que la matriu que ens inte-ressa és l’obtinguda en multiplicar A per C, que ens do-narà les vendes brutes de cada any a cada país, en mi-lions d’unitats monetàries (ja que els elements de A iC indiquen milers).

El valor del que s’ha exportat l’últim any a cada país vedonat per l’última columna de la matriu A �C.

Com que 39990 �41175, en concloem que el valordel que s’ha exportat al segon país l’últim any és mésgran que el valor del que s’ha exportat al primer.

41.Activitat TIC.

42.Activitat TIC.

AC⋅=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

125275230

250104375

354039

7075775

606263

374253988539990

3853041

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=005041175

1

2

200620072008

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P

P

26

1. Matrius

b) Sabem que l’element aij de Mn ens dóna el nombrede camins en n etapes entre la localitat corresponenta la fila i i la corresponent a la columna j.

Per obtenir els camins en dues etapes entre A i B,calculem M2 i mirem quin és l’element a12:

Entre A i B hi ha a12 � 0 camins en dues etapes.

Per obtenir els camins en tres etapes entre A i B,n’hi ha prou de calcular l’element a12 de M3, queés:

a12 = (M3)12 = (M2 ⋅ M)12 =

= ⋅ =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=F C1 2 1 0 0 1 1

0

0

0

1

0

( ) 11

M M M2

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0 0 1 1 0

= ⋅ =

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0 0 1 1 0⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 3 1 1

1 0 1 3 1

1 1 1 1 2

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Entre A i B hi ha a12 � 1 camí en tres etapes.

40. La matriu que busquem ha de tenir 3 entrades per alsanys i 2 per als països, i cada element ha d’indicar lesvendes brutes corresponents a l’any i al país que el lo-calitzen en la matriu.

D’altra banda, les vendes brutes s’obtenen multiplicantel nombre d’unitats exportades de cada electro-domèstic, corresponents a l’any i al país considerats,pel seu preu i sumant per als diversos electrodomèstics.

De tot això, se’n desprèn que la matriu que ens inte-ressa és l’obtinguda en multiplicar A per C, que ens do-narà les vendes brutes de cada any a cada país, en mi-lions d’unitats monetàries (ja que els elements de A iC indiquen milers).

El valor del que s’ha exportat l’últim any a cada país vedonat per l’última columna de la matriu A � C.

Com que 39 990 � 41 175, en concloem que el valordel que s’ha exportat al segon país l’últim any és mésgran que el valor del que s’ha exportat al primer.

41. Activitat TIC.

42. Activitat TIC.

A C⋅ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

125 275 230

250 104 375

35 40 39

70 75 775

60 62 63

37 425 39 885 39 990

38 530 41

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=0050 41175

1

2

2006 2007 2008

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P

P

26

1. M

atriu

s

CM

YK

27

2. Determ

inants

1. DETERMINANTS D’ORDRE U, DOS I TRES

1.

+ 7 ⋅ 7 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−2) ⋅ (−4) − [(−1) ⋅ 9 ⋅ 2 ++ (−4) ⋅ 7 ⋅ (−5) + (−5) ⋅ (−2) ⋅ 7] = 0 ;

+ 0 ⋅ (−7) ⋅ (−4) − [2 ⋅ 2 ⋅ 0 + (−4) ⋅ 0 ⋅ 5 ++ 9 ⋅ (−7) ⋅ 0] = 90 ;

⋅ 5 + 5 ⋅ (−1) ⋅ (−2) − [5 ⋅ 3 ⋅ 5 ++ (−2) ⋅ (−2) ⋅ 3 + 4 ⋅ (−1) ⋅ (−1)] = −35 ;

+ (−2) ⋅ (−4) ⋅ (−1) − [2 ⋅ 2 ⋅ (−2) ++ (−1) ⋅ 3 ⋅ 0 + 6 ⋅ (−4) ⋅ 1] = 30

2. DETERMINANTS D’ORDRE N

2. • Desenvolupant per la primera fila:

A =− −

− −

=−

− −−

1 2 1 0

1 3 2 3

1 1 4 2

5 1 1 2

1

3 2 3

1 4 2

1 1 2

I =−

−−

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +0 4 2

1 2 1

2 3 6

0 2 6 1 3 2

H =−

− −−

= ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅3 1 5

1 3 2

5 2 4

3 3 4 1 2( ) ( )

G =−

− = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +5 7 2

0 2 4

0 0 9

5 2 9 0 0 2

5 2 1

7 9 4

2 7 5

5( )=− − −

−−

= −F ⋅⋅ ⋅ − +( )9 5

5 1

2 3(E =

−−

= −55 3 1 2 13) ( ) ;⋅ − − ⋅ =

2 0

1 52 5 0 1 10( ) ;D =

−= ⋅ − − ⋅ = −

C =−

= ⋅ − ⋅ − =3 4

2 33 3 4 2 1( ) 77 ;

A B= = = − = −5 5 3 3; ;

= 1 ⋅ 47 − 2 ⋅ (−89) + 1 ⋅ 2 − 0 = 227

• Desenvolupant per la primera columna:

= 5 ⋅ (−64) − 0 + 0 + 7 ⋅ 36 = −68

• Desenvolupant per la tercera columna:

= 3 ⋅ 53 + 1 ⋅ 9 + 0 − 1 ⋅ 55 = 113

C =−

−−

= −−

−

1 0 3 4

2 5 1 3

2 1 0 2

3 2 1 1

3

2 5 3

2 1 2

3 2 1

1

–

– ( )

11 0 4

2 1 2

3 2 1

0

1 0 4

2 5 3

3 2 1

1

1 0 4

2 5 3

2 1 2

−−

+−

−

− ⋅−

=

B =

−−

− −

5 2 2 3

0 0 4 6

0 2 1 3

7 4 0 −−

=

=−

− −−

−−

1

5

0 4 6

2 1 3

4 0 1

0

2 2 3

2 11 3

4 0 1

0

2 2 3

0 4 6

4 0 1

(

− −+

−−

− −−

− −77

2 2 3

0 4 6

2 1 3

)

−− =

−− −

−+

−

−−

−− −

2

1 2 3

1 4 2

5 1 2

1

1 3 3

1 1 2

5 1 2

0

1 3 2

1 1 4

55 1 1− −=

Determinants2

27

2. D

eter

min

ants

1.DETERMINANTS D’ORDRE U, DOS I TRES

1.

+7 ⋅7 ⋅(−1) +2 ⋅(−2) ⋅(−4) −[(−1) ⋅9 ⋅2 ++(−4) ⋅7 ⋅(−5) +(−5) ⋅(−2) ⋅7] =0 ;

+0 ⋅(−7) ⋅(−4) −[2 ⋅2 ⋅0 +(−4) ⋅0 ⋅5 ++9 ⋅(−7) ⋅0] =90 ;

⋅5 +5 ⋅(−1) ⋅(−2) −[5 ⋅3 ⋅5 ++(−2) ⋅(−2) ⋅3 +4 ⋅(−1) ⋅(−1)] =−35 ;

+(−2) ⋅(−4) ⋅(−1) −[2 ⋅2 ⋅(−2) ++(−1) ⋅3 ⋅0 +6 ⋅(−4) ⋅1] =30

2.DETERMINANTS D’ORDRE N

2.•Desenvolupant per la primera fila:

A=−−

−−

=−

−−−

1210

1323

1142

5112

1

323

142

112

I=−

−−

=⋅⋅+⋅⋅+042

121

236

026132

H=−

−−−

=⋅⋅+−⋅−⋅315

132

524

33412 ()()

G=−

−=⋅⋅+⋅⋅+572

024

009

529002

521

794

275

5 () =−−−

−−

=− F⋅⋅⋅−+ () 95

51

23( E=

−−

=−5531213 )(); ⋅−−⋅=

20

15250110 (); D=

−=⋅−−⋅=−

C=−

=⋅−⋅−=34

2333421 ()77;

AB ===−=− 5533 ;;

=1 ⋅47 −2 ⋅(−89) +1 ⋅2 −0 =227

•Desenvolupant per la primera columna:

=5 ⋅(−64) −0 +0 +7 ⋅36 =−68

•Desenvolupant per la tercera columna:

=3 ⋅53 +1 ⋅9 +0 −1 ⋅55 =113

C=−

−−

=−−

−

1034

2513

2102

3211

3

253

212

321

1

–

–()

1104

212

321

0

104

253

321

1

104

253

212

−−

+−

−

−⋅−

=

B=

−−

−−

5223

0046

0213

740−−

=

=−

−−−

−−

1

5

046

213

401

0

223

2113

401

0

223

046

401

(

−−+

−−

−−−

−−77

223

046

213

)

−−=

−−−

−+

−

−−

−−−

2

123

142

512

1

133

112

512

0

132

114

5511 −−=

Determinants 2

C M

Y K

28

2. Determ

inants

��

�

��

��

�

��

�

�

3.PROPIETATS DELS DETERMINANTS I APLICACIONS

3.a)Si multipliquem la tercera columna per xyz, el de-terminant quedarà multiplicat per xyz. Així:

D2D6

b)Suposem que x �0:

=y2z3y3z2

=yz (yz2y2z) =y2z3y3z2

Anàlogament, la igualtat es compleix si y �0 o siz �0.En el cas restant, (x �0, y �0 i z �0):

Considerem la matriu:

Si multipliquem la primera fila per x, la segona fi-la per y i la tercera fila per z, el determinant que-darà multiplicat per totes tres, és a dir, per xyz; ales-hores:

D2

D2D1

4.Utilitzarem el mètode de Gauss:

a)2314

5623

4252

2423

2314

0272

92

7

08310

01

=

111

=

FFF

FFF

332

442

16272

27

+

+

FFF

FFF

FFF

221

331

441

522 +

===xyzxyz

xx

yy

zz

xyz

xyz

1

1

1

11123

23

23

222

333

yzxx

xzyy

xyzzxyz

xyzxx

yxzyy

zxyzz

2

2

2

23

23

23

1==

yzxx

xzyy

xyzz

2

2

2

yzxx

xzyy

xyzz

yz

yy

zz

yzyy

zz

2

2

2

2

2

2

2

00

0

0

===

111111

0

0

222

333

22

33

22

33 xyz

xyz

yz

yz

yz

yz===

yzxx

xzyy

xyzzxyz

yzxyz

xzyxz

xyzxy

==

1

1

1

10

b)

=x (y x) (z y) (t z)

c)

F2F2+2 F1F3F33 F1F4F4+4 F1F5F55 F1

11022

22133

33244

44355

55466

=

==

tz

zyzy

yxyxyx

xxxx

000

00

0

F1F1F2

==

tyzy

zyzy

yxyxyx

xxxx

00

00

0

F1F1F3F2F2F3

F1F1F4F2F2F4F3F3F4

tzyx

zzyx

yyyx

xxxx

txzxyx

zxzxyx

yxyx=

0

0

yyx

xxxx

=0

== 2272

173

381459

127

==

2314

0272

92

7

00173

15827

000381459

==

2314

0272

92

7

00173

15827

0023

4127

FFF 4432

17+

28

2. D

eter

min

ants

� �

�

� �

� �

�

� �

�

�

3. PROPIETATS DELS DETERMINANTS I APLICACIONS

3. a) Si multipliquem la tercera columna per xyz, el de-terminant quedarà multiplicat per xyz. Així:

D2 D6

b) Suposem que x � 0:

= y2z3 y3z2

= yz (yz2 y2 z) = y2z3 y3z2

Anàlogament, la igualtat es compleix si y � 0 o siz � 0.En el cas restant, (x � 0, y � 0 i z � 0):

Considerem la matriu:

Si multipliquem la primera fila per x, la segona fi-la per y i la tercera fila per z, el determinant que-darà multiplicat per totes tres, és a dir, per xyz; ales-hores:

D2

D2 D1

4. Utilitzarem el mètode de Gauss:

a) 2 3 1 4

5 6 2 3

4 2 5 2

2 4 2 3

2 3 1 4

0272

92

7

0 8 3 10

0 1

=

11 1

=

F F F

F F F

3 3 2

4 4 2

16272

27

+

+

F F F

F F F

F F F

2 2 1

3 3 1

4 4 1

522+

== =xyzxyz

x x

y y

z z

x y z

x y z

1

1

1

1 1 12 3

2 3

2 3

2 2 2

3 3 3

yz x x

xz y y

xy z zxyz

xyz x x

yxz y y

zxy z z

2

2

2

2 3

2 3

2 3

1= =

yz x x

xz y y

xy z z

2

2

2

yz x x

xz y y

xy z z

yz

y y

z z

yzy y

z z

2

2

2

2

2

2

2

0 0

0

0

= = =

1 1 1 1 1 1

0

0

2 2 2

3 3 3

2 2

3 3

2 2

3 3x y z

x y z

y z

y z

y z

y z= = =

yz x x

xz y y

xy z zxyz

yz x yz

xz y xz

xy z xy

= =

1

1

1

10

b)

= x (y x) (z y) (t z)

c)

F2 F2 + 2 F1F3 F3 3 F1F4 F4 + 4 F1F5 F5 5 F1

1 1 0 2 2

2 2 1 3 3

3 3 2 4 4

4 4 3 5 5

5 5 4 6 6

=

= =

t z

z y z y

y x y x y x

x x x x

0 0 0

0 0

0

F1 F1 F2

= =

t y z y

z y z y

y x y x y x

x x x x

0 0

0 0

0

F1 F1 F3F2 F2 F3

F1 F1 F4F2 F2 F4F3 F3 F4

t z y x

z z y x

y y y x

x x x x

t x z x y x

z x z x y x

y x y x=

0

0

yy x

x x x x

=0

= =2272

173

381459

127

= =

2 3 1 4

0272

92

7

0 0173

15827

0 0 0381459

= =

2 3 1 4

0272

92

7

0 0173

15827

0 023

4127

F F F4 4 32

17+

CM

YK

29

2. Determ

inants

D7

4. CÀLCULS AMB DETERMINANTS

5. •

= 15 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3

Com que la matriu té dimensió 4 � 3, rang (A) � 3.

•

= 69 ≠ 0 ⇒ rang (B) ≥ 3

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 443 44

1 2 5 10

0 2 1 5

4 3 9 15

2 8 1 21

1

2 1 5

3 9 15

8

a

=

−

−−

=

= −−11 21

0

2 5 10

3 9 15

8 1 21

−−

−−

+

a B

a a

a a

11

11 12

21 22

1 1 0 1

1 2

0 22 0

= = ≠ ⇒ ≥

= = ≠ ⇒

rang

ra

( )

nng ( )B

a a a

a a a

a a a

≥

=−

2

1 2 5

0 2 111 12 13

21 22 23

31 32 33 44 3 9−=

a A

a a

a a

11

11 12

21 22

2 2 0 1

2 1

1 25 0

= = ≠ ⇒ ≥

=−

= ≠ ⇒

rang

r

( )

aang ( )A

a a a

a a a

a a a

≥

=−

2

2 1 4

1 211 12 13

21 22 23

31 32 33

33

1 2 0− −=

=−

− −−

=

1 1 0 2 2

0 4 1 1 7

0 0 2 2 2

0 0 0 0 2

0 0 0 0 0

0

F F F

F F F

4 4 3

5 5 3

122

→ +

→ −

=−

− −− −

− −

=

1 1 0 2 2

0 4 1 1 7

0 0 2 2 2

0 0 1 1 1

0 0 4 4 4

F4 → F4 − 2 F2

=−

− −−

− −

=

1 1 0 2 2

0 4 1 1 7

0 0 2 2 2

0 8 3 3 13

0 0 4 4 4

D2

= 3 ⋅ 82 + 8 ⋅ (−19) − 30 ⋅ 25 = −656 ≠ 0 ⇒⇒ rang (B) ≥ 4

Com que la matriu té dimensió 4 � 4, rang (B) � 4.

•

= −1 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 3

= 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0 + 0 = 2 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 4

Com que C té dimensió 4 � 5, rang (C) � 4.

6. Observem que quan una matriu té dimensió 1, no estàdefinida la seva matriu d’adjunts i, per tant, no

podem usar la fórmula .

Però les matrius de dimensió 1 es multipliquen com anombres reals; aleshores:

• A − −= = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1515

( )

AA

At− = ⋅1 1Adj ( )

=−

−−

−−

+− −

=13 8

2 61

4 8

3 60

4 3

3 2

F2 → F2 − F1F3 → F3 + 3 F1F4 → F4 − 2 F1

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 443 44

1 1 0 1

1 2 1 1

3 1 3 11

2 1 2 8

1 1 0 1

0 1 1 0

0 4 3

a

=− −

− −

=

=−88

0 3 2 6

1

1 1 0

4 3 8

3 2 6− −

= −− −

=

a C

a a

a a

11

11 12

21 22

1 1 0 1

1 1

1 21 0

= = ≠ ⇒ ≥

= = ≠ ⇒

rang

ra

( )

nng ( )C

a a a

a a a

a a a

≥

=−

2

1 1 0

1 2 111 12 13

21 22 23

31 32 33 33 1 3

=

+−

−−

−

−=

= −

4

2 5 10

2 1 5

8 1 21

2

2 5 10

2 1 5

3 9 15

3

2 1 5

1 33 5

8 1 21

0 4 2

1 5 10

1 1 5

4 1 21

2 5 3

−− + ⋅

−

−−

− ⋅ ⋅2 5 2

2 1 1

1 3 1

−

−=

�

�

�

�

�

29

2. D

eter

min

ants

D7

4.CÀLCULS AMB DETERMINANTS

5.•

=15 ≠0 ⇒rang (A) ≥3

Com que la matriu té dimensió 4 �3, rang (A) �3.

•

=69 ≠0 ⇒rang (B) ≥3

aaaa

aaaa

aaaa

aaa

11121314

21222324

31323334

414244344

12510

0215

43915

28121

1

215

3915

8

a

=

−

−−

=

=−−1121

0

2510

3915

8121

−−

−−

+

aB

aa

aa

11

1112

2122

1101

12

0220

==≠⇒≥

==≠⇒

rang

ra

()

nng() B

aaa

aaa

aaa

≥

=−

2

125

021111213

212223

3132334439 −=

aA

aa

aa

11

1112

2122

2201

21

1250

==≠⇒≥

=−

=≠⇒

rang

r

()

aang() A

aaa

aaa

aaa

≥

=−

2

214

12111213

212223

313233

33

120 −−=

=−

−−−

=

11022

04117

00222

00002

00000

0

FFF

FFF

443

553

122

→+

→−

=−

−−−−

−−

=

11022

04117

00222

00111

00444

F4→F4−2 F2

=−

−−−

−−

=

11022

04117

00222

083313

00444

D2

=3 ⋅82 +8 ⋅(−19) −30 ⋅25 =−656 ≠0 ⇒⇒rang (B) ≥4

Com que la matriu té dimensió 4 �4, rang (B) �4.

•

=−1 ≠0 ⇒rang (C) ≥3

=1 ⋅2 −1 ⋅0 +0 =2 ≠0 ⇒rang (C) ≥4

Com que C té dimensió 4 �5, rang (C) �4.

6.Observem que quan una matriu té dimensió 1, no estàdefinida la seva matriu d’adjunts i, per tant, no

podem usar la fórmula .

Però les matrius de dimensió 1 es multipliquen com anombres reals; aleshores:

•A−− ==⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

115

15

()

AA

At −=⋅

11Adj()

=−

−−

−−

+−−

= 138

261

48

360

43

32

F2→F2−F1F3→F3+3 F1F4→F4−2 F1

aaaa

aaaa

aaaa

aaa

11121314

21222324

31323334

414244344

1101

1211

31311

2128

1101

0110

043

a

=−−

−−

=

=−88

0326

1

110

438

326−−

=−−−

=

aC

aa

aa

11

1112

2122

1101

11

1210

==≠⇒≥

==≠⇒

rang

ra

()

nng() C

aaa

aaa

aaa

≥

=−

2

110

121111213

212223

3132333313

=

+−

−−

−

−=

=−

4

2510

215

8121

2

2510

215

3915

3

215

1335

8121

042

1510

115

4121

253

−−+⋅

−

−−

−⋅⋅252

211

131

−

−=

�

�

�

�

�

C M

Y K

30

2. Determ

inants

•

•

—Determinant de C: �C�=17

—Transposada de C:

—Adjunta de Ct:

—Inversa de C:

•

—Determinant de D: �D�=−10

—Transposada de D:

—Adjunta de Dt:

—Inversa de D:

•

—Determinant de E: �E�=13

—Transposada de E:

Et

t

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

51

23

52

13

E−−

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

51

23

DD

Dt −==

−−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=−

⎛

11110

50

12

12

0

110

15

Adj()

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Adj() Dt

=−−

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

50

12

50

12

Dt

t

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

20

15

21

05

D−−

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

20

15

CC

Ct −==

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−

11117

34

23

317

417

217

3

() Adj

117

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Adj() Ct

=−

−−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

34

23

34

23

Ct

t

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

34

23

32

43

C−−

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

34

23

B−− =−=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

113

13

()—Adjunta de Et:

—Inversa de E:

•

—Determinant de F: �F��0 ⇒F no és inverti-ble.

•

—Determinant de G: �G�=90

—Transposada de G:

—Adjunta de (Gt):

—Inversa de G:

GG

Gt −==

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

11190

186324

04520

0010

Adj()==

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

15

710

415

012

29

0019

Adj() Gt

=−

−−

−−−

−−

−

20

49

70

29

72

24

00

49

50

29

50

24

000

20

50

70

50

72

186324

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=004520

0010

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Gt

t

=−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

572

024

009

500

720

249

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

G−

−

=−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1572

024

009

F−

−

=−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1521

794

275

EE

Et −==

−−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=

−−

−

11113

31

25

313

113

Adj()

2213

513−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Adj() Et

=−−

−−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

31

25

31

25

30

2. D

eter

min

ants

•

•

— Determinant de C: �C � = 17

— Transposada de C:

— Adjunta de Ct:

— Inversa de C:

•

— Determinant de D: �D� = −10

— Transposada de D:

— Adjunta de Dt:

— Inversa de D:

•

— Determinant de E: �E� = 13

— Transposada de E:

Ett

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 1

2 3

5 2

1 3

E−−

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

115 1

2 3

DD

Dt− = =−

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=−

⎛

1 1 110

5 0

1 2

12

0

110

15

Adj ( )

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Adj ( )Dt =− −

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 0

1 2

5 0

1 2

Dtt

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 0

1 5

2 1

0 5

D−−

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

112 0

1 5

CC

Ct− = =−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=−

1 1 117

3 4

2 3

317

417

217

3

( )Adj

117

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Adj ( )Ct =−

− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 4

2 3

3 4

2 3

Ctt

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 4

2 3

3 2

4 3

C−−

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

13 4

2 3

B− −= − =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1313

( )— Adjunta de Et:

— Inversa de E:

•

— Determinant de F: �F � � 0 ⇒ F no és inverti-ble.

•

— Determinant de G: �G � = 90

— Transposada de G:

— Adjunta de (Gt):

— Inversa de G:

GG

Gt− = =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 190

18 63 24

0 45 20

0 0 10

Adj ( ) ==

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

15

710

415

012

29

0 019

Adj ( )Gt = −

−−

− −−

−−

−

2 0

4 9

7 0

2 9

7 2

2 4

0 0

4 9

5 0

2 9

5 0

2 4

0 00

2 0

5 0

7 0

5 0

7 2

18 63 24

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

= 00 45 20

0 0 10

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Gt

t

=−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

5 7 2

0 2 4

0 0 9

5 0 0

7 2 0

2 4 9

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

G−

−

=−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

15 7 2

0 2 4

0 0 9

F−

−

=− − −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

15 2 1

7 9 4

2 7 5

EE

Et− = =− −− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=

− −

−

1 1 113

3 1

2 5

313

113

Adj ( )

2213

513−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Adj ( )Et =− −

− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

− −− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 1

2 5

3 1

2 5

CM

YK

31

2. Determ

inants

•

— Determinant de H: �H � = −35

— Transposada de H:

— Adjunta de Ht:

— Inversa de H:

•

— Determinant de I: �I � = 30

— Transposada de I:

— Adjunta de It:

Adj ( )It =

= −

−−

− −−

−−

−−

2 3

1 6

4 3

2 6

4 2

2 1

1 2

1 6

0 2

2 6

0 1

2 −−

−−

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=1

1 2

2 3

0 2

4 3

0 1

4 2

It

t

=−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−−

⎛

⎝

⎜0 4 2

1 2 1

2 3 6

0 1 2

4 2 3

2 1 6⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

I−

−

=−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

10 4 2

1 2 1

2 3 6

HH

Ht− = =−

− −− −

−

⎛

⎝

⎜1 1 135

8 6 13

6 13 1

13 1 8

Adj ( ) ⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

−

−

− −

835

635

1335

635

1335

135

1335

135

8355

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Adj ( )Ht = −

−−

−− − −

−

−−

3 2

2 4

1 2

5 4

1 3

5 2

1 5

2 4

3 55

5 4

3 1

5 2

1 5

3 2

3 5

1 2

3 1

1 3

−−−

−−

−− −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=− −

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟8 6 13

6 13 1

13 1 8⎟⎟⎟

Ht

t

=−

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

− −−

⎛3 1 5

1 3 2

5 2 4

3 1 5

1 3 2

5 2 4⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

H−

−

=−

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

13 1 5

1 3 2

5 2 4

— Inversa de I:


7. Els elements de totes les files de la matriu sumen el mateix.

Per tant, procedirem com en l’exercici resolt:

— Sumem a la primera columna les altres:

— Traiem el factor (k � 1) k � 1 � k2 � k � 1 fora deldeterminant:

— Restem l’última fila a totes les altres:

�A� =

= (k2 − k + 1) (1 − k)k − 1

8. El menor és d’ordre 2. Aleshores

rang (A) ≥ 2.

Com que la matriu A té dimensió 3 � 4, rang (A) �� 3 ⇔ algun orlat del menor anterior és no nul.

− −= − ≠

1 1

1 21 0

= − +

−−

−=( )k k

k

k

k

k k k

2 1

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1

��

� ��

A k k

k k

k k

k k

= − +( )2 1

1 1

1 1

1 1

1

��

� �

k k k�

A

k k k k

k k k k

k

=

− +− +

−

( )

( )

(

1 1 1

1 1 1

1

��

� ))

( )

k k k

k k k k k

+− +

1 1

1 1

��

II

It− = = −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

1 1 130

15 30 0

4 4 2

7 8 4

1

Adj ( )

221 0

215

215

115

730

415

215

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

15 30 0

4 4 2

7 8 4

31

2. D

eter

min

ants

•

—Determinant de H: �H�=−35

—Transposada de H:

—Adjunta de Ht:

—Inversa de H:

•

—Determinant de I: �I�=30

—Transposada de I:

—Adjunta de It:

Adj() It

=

=−

−−

−−−

−−

−−

23

16

43

26

42

21

12

16

02

26

01

2−−

−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=1

12

23

02

43

01

42

It

t

=−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−−

⎛

⎝

⎜042

121

236

012

423

216⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

I−

−

=−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1042

121

236

HH

Ht −==

−

−−−−

−

⎛

⎝

⎜ 11135

8613

6131

1318

Adj()⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

=

−

−

−−

835

635

1335

635

1335

135

1335

135

8355

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Adj() Ht

=−

−−

−−−−

−

−−

32

24

12

54

13

52

15

24

355

54

31

52

15

32

35

12

31

13

−−−

−−

−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟8613

6131

1318⎟⎟⎟

Ht

t

=−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−−−

⎛ 315

132

524

315

132

524 ⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

H−

−

=−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1315

132

524

—Inversa de I:


7.Els elements de totes les files de la matriu sumen el mateix.

Per tant, procedirem com en l’exercici resolt:

—Sumem a la primera columna les altres:

—Traiem el factor (k �1) k �1 �k2�k �1 fora deldeterminant:

—Restem l’última fila a totes les altres:

�A�=

=(k2−k +1) (1 −k)k−1

8.El menor és d’ordre 2. Aleshores

rang (A) ≥2.

Com que la matriu A té dimensió 3 �4, rang (A) ��3 ⇔algun orlat del menor anterior és no nul.

−−=−≠

11

1210

=−+

−−

−= () kk

k

k

k

kkk

21

0001

0010

0100

1

��

� ��

Akk

kk

kk

kk

=−+ ()2

1

11

11

11

1

��

� �

kkk �

A

kkkk

kkkk

k

=

−+−+

−

()

()

(

111

111

1

��

� ))

()

kkk

kkkkk

+−+

11

11

��

II

It −==−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

11130

15300

442

784

1

Adj()

2210

215

215

115

730

415

215

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

15300

442

784

C M

Y K

32

2. Determ

inants

Calculem tots els orlats del menor anterior:

=1 +a2−2 −(−1 +2a +a) =a2−3a

=a −a −2 −(−1 +2a2−1) =−2a2

Els valors de a que anul.len els orlats anteriors són:

a2−3a =0 , a(a −3) =0 ⇒⇒a =0 o a =3 , −2a2=0 ⇒a =0

Com que n’hi ha prou que un dels orlats sigui no nulperquè el rang de la matriu no sigui 2 sinó 3:

a =0 ⇒rang (A) =2

a ≠0 ⇒rang (A) =3

9.•�a11�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

=−11 ≠0 ⇒ rang (A) ≥3

Com que l’únic menor d’ordre 4 de la matriu a ésel determinant de la mateixa matriu, el rang de Aserà 4, si �A��0, i 3, si �A��0.

Calculem, doncs, �A�:

D4

=−1 ⋅1 ⋅11 ⋅(k −10) =−11k +110

Finalment, 0 ��A��11 k �110 ⇔k �10,alesho-res:

k =10 ⇒rang (A) =3

k ≠10 ⇒rang (A) =4

=

−

−−−

=−

−

–

1113

0144

0231

0146

1113

0144

00117

00 k0010 k−

=

F3→F3+2 F2F4→F4−F2

A

kk

=

−−

=

−−−

−

=

1113

1122

0144

232

1113

0231

0144

0146

F2→F2−F1F4→F4−2 F1

aa

aa1112

2122

11

1120 =

−=−≠⇒rrang() A

aaa

aaa

aaa

≥

=−

2

111

1111213

212223

313233

−−= 12

014

a

a

1

11

12

11

−−=

111

12

11

−−−

= a

a

•Estudiem primerament els casos en què rang (B) ��4, és a dir, �B��0:

D4

=1 ⋅1 ⋅(2 −k) ⋅(4 −2k) =2 ⋅(2 −k)2

Ara, 0 =�B�=2 ⋅(2 −k)2⇔k =2

Per tant, k ≠2 ⇒rang (B) =4

Estudiem el cas particular de k =2:

Calculem els menors d’ordre 3 que s’ obtenen or-

lant el menor no nul d’ordre 2,, i veiemsi n’hi ha algun de no nul:

Com que tots els orlats són nuls, rang (B) �2.

En resum, hem obtingut:

k ≠2 ⇒rang (B) =4

k =2 ⇒rang (B) =2

ACTIVITATS

Abans de començar

•Menor complementari (pàg. 30); adjunt d’un element d’u-na matriu (pàg. 30).

•Mètode de Gauss (pàg. 37).

•Rang d’una matriu per determinants (pàg. 39); matriu in-versa d’una matriu per determinants (pàg. 40).

10

21

2

5

324

0;

−−=

10

21

1

3

321

0;

−−=

10

21

2

5

011

0 =;

10

21

1

3

011

0 =;

10

21

B=

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1012

2135

0111

3214

F3→F3−k F2F4→F4−F2

=−

−

=−−

101

0111

0234

01152

101

0111

00224

00

k

kk

k

k

kk

0042 −

=

k

F2→F2−2 F1F4→F4+3 F1

B

k

k

k

k

kk

=

−−−

=−

−

101

2135

0111

314

101

01152

0111

02344

=

��

�

��

�

32

2. D

eter

min

ants

Calculem tots els orlats del menor anterior:

= 1 + a2 − 2 − (−1 + 2 a + a) = a2 − 3 a

= a − a − 2 − (−1 + 2 a2 − 1) = −2 a2

Els valors de a que anul.len els orlats anteriors són:

a2 − 3 a = 0 , a (a − 3) = 0 ⇒⇒ a = 0 o a = 3 , −2 a2 = 0 ⇒ a = 0

Com que n’hi ha prou que un dels orlats sigui no nulperquè el rang de la matriu no sigui 2 sinó 3:

a = 0 ⇒ rang (A) = 2

a ≠ 0 ⇒ rang (A) = 3

9. • �a11 � = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

= −11 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3

Com que l’únic menor d’ordre 4 de la matriu a ésel determinant de la mateixa matriu, el rang de Aserà 4, si �A � � 0, i 3, si �A � � 0.

Calculem, doncs, �A �:

D4

= −1 ⋅ 1 ⋅ 11 ⋅ (k − 10) = −11 k + 110

Finalment, 0 � �A� � �11 k � 110 ⇔ k � 10, alesho-res:

k = 10 ⇒ rang (A) = 3

k ≠ 10 ⇒ rang (A) = 4

=

−

− −−

= −

−

–

1 1 1 3

0 1 4 4

0 2 3 1

0 1 4 6

1 1 1 3

0 1 4 4

0 0 11 7

0 0k 00 10k −

=

F3 → F3 + 2 F2F4 → F4 − F2

A

k k

=

−−

=

−− −

−

=

1 1 1 3

1 1 2 2

0 1 4 4

2 3 2

1 1 1 3

0 2 3 1

0 1 4 4

0 1 4 6

F2 → F2 − F1F4 → F4 − 2 F1

a a

a a11 12

21 22

1 1

1 12 0=

−= − ≠ ⇒ rrang ( )A

a a a

a a a

a a a

≥

=−

2

1 1 1

111 12 13

21 22 23

31 32 33

−− =1 2

0 1 4

a

a

1

1 1

1 2

1 1

− −=

1 1 1

1 2

1 1

−− −

=a

a

• Estudiem primerament els casos en què rang (B) �� 4, és a dir, �B � � 0:

D4

= 1 ⋅ 1 ⋅ (2 − k) ⋅ (4 − 2 k) = 2 ⋅ (2 − k)2

Ara, 0 = �B � = 2 ⋅ (2 − k)2 ⇔ k = 2

Per tant, k ≠ 2 ⇒ rang (B) = 4

Estudiem el cas particular de k = 2:

Calculem els menors d’ordre 3 que s’ obtenen or-

lant el menor no nul d’ordre 2, , i veiemsi n’hi ha algun de no nul:

Com que tots els orlats són nuls, rang (B) � 2.

En resum, hem obtingut:

k ≠ 2 ⇒ rang (B) = 4

k = 2 ⇒ rang (B) = 2

ACTIVITATS

Abans de començar

• Menor complementari (pàg. 30); adjunt d’un element d’u-na matriu (pàg. 30).

• Mètode de Gauss (pàg. 37).

• Rang d’una matriu per determinants (pàg. 39); matriu in-versa d’una matriu per determinants (pàg. 40).

1 0

2 1

2

5

3 2 4

0 ;

− −=

1 0

2 1

1

3

3 2 1

0 ;

− −=

1 0

2 1

2

5

0 1 1

0= ;

1 0

2 1

1

3

0 1 1

0= ;

1 0

2 1

B =

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1 0 1 2

2 1 3 5

0 1 1 1

3 2 1 4

F3 → F3 − k F2F4 → F4 − F2

=−

−

=− −

1 0 1

0 1 1 1

0 2 3 4

0 1 1 5 2

1 0 1

0 1 1 1

0 0 2 2 4

0 0

k

k k

k

k

k k

00 4 2−

=

k

F2 → F2 − 2 F1F4 → F4 + 3 F1

B

k

k

k

k

k k

=

− − −

=−

−

1 0 1

2 1 3 5

0 1 1 1

3 1 4

1 0 1

0 1 1 5 2

0 1 1 1

0 2 3 44

=

� �

�

� �

�

CM

YK

33

2. Determ

inantsQüestions

10. Efectuem el producte A � B:

Calculem els determinants de les matrius que ens in-teressen:

En efecte, �A��B � = −2 ⋅ 13 = −26 = �A ⋅ B �.

11. Utilitzarem que:

Per a tot parell de matrius quadrades del mateix ordre,A i B, es compleix:

�A ⋅ B � = �A� �B �

a) Suposem que es compleix C2 = C.

Si prenem determinants: �C2 � = �C �

Ara bé, �C2 � = �C ⋅ C � = �C � �C � = �C �2

Així, substituint en la igualtat anterior:

�C �2 = �C � ⇒ �C � (�C � − 1) = 0 ⇒

⇒ �C � = 0 o �C � = 1

Per tant, l’afirmació és certa.

b) Suposem que C ⋅ Ct = I.

Si prenem determinants: �C ⋅ Ct � = �I �

Ara bé,

�C ⋅ Ct � = �C � �Ct � = �C � �C � = �C �2 y �I � = 1.↑D1

Aleshores:

�C �2 = 1 ⇒ �C � = 1 o �C � = −1


c) Per definició d’inversa, C ⋅ C−1 = I.

Prenent determinants: �C ⋅ C −1 � = �I �

Ara bé, �C ⋅ C −1� = �C � �C −1� i �I � = 1, aleshores:

12. Per la propietat D4, en permutar les files F1 i F3, el de-terminant canvia de signe.

En multiplicar la segona fila per 3, el determinant que-da multiplicat per 3.

C C CC

− −= ⇒ =1 111

A B

A B

=−

= − =−

=

⋅ =−

= −

1 3

0 22

4 5

1 213

1 11

2 426

;

A B⋅ =−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=⋅ + ⋅

1 3

0 2

4 5

1 2

1 4 3 (( )

(– ) ( ) (–

− ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ − ⋅ +

1 1 5 3 2

0 4 2 1 0 5 2)) ( )⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

1 11

2 4

Finalment, en sumar a la tercera fila una combinaciólineal de les anteriors, el determinant no canvia.

Així:

�A� −�A� −3 �A� −3 �A�

Per tant, el determinat de la nova matriu és −3 �A�.

13. És vertadera, ja que:

A és invertible ⇔ �A� � 0 ⇔ A té un menor no nuld’ordre màxim, n (que és �A�) ⇔ rang A � n.


14. a)

b)

c)

d)

e)

f )

15. a)

b)

c)

d)

1 2 0

1 3 2

0 4 1

1 3 1 1 4 0

0

− − − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ +

+

( ) ( )

⋅⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ++

( ) [ ( ) ( )2 2 0 3 0 4 2 1

1 ⋅⋅ ⋅ − =( )]2 1 7

4 1 2

3 0 1

2 1 4

4 0 4 3 1 2

2 1

−= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ +

+ ⋅ ⋅

( )

[ ( )

]

1 2 0 2 1 1 4

4 1 3 1

− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ++ ⋅ ⋅ = − 22

−− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅

1 2 0

0 1 2

3 5 3

1 1 3 0 5 0

3 2 (( ) [ ( ) ( )− − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ++ ⋅ ⋅

2 0 1 3 2 5 1

3 2 00 25] = −

3 2 1

5 2 3

2 4 4

3 2 4 5 4 1

2

− −−

= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ −

( )

( ) ⋅⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ++ − ⋅ ⋅

( ) [ ( ) ( )

( )

2 3 1 2 2

3 4 3 ++ ⋅ ⋅ =4 2 5 0]

−= − ⋅ − ⋅ = −

4 3

2 14 1 3 2 10

0 5

11 40 4 5 11 55

−= ⋅ − ⋅ − =( )

2 1

6 32 3 1 6 12

−= ⋅ − − ⋅ =( )

5 2

7 35 3 2 7 29

−= ⋅ − ⋅ − =( )

−−

= − ⋅ − − ⋅ =4 2

1 24 2 2 1 6( ) ( )

1 0

3 21 2 0 3 2

−= ⋅ − ⋅ − =( )

F3 → F3 + 2 F1——————�

F2 → 3 F2————�

F1 ↔ F3———�

33

2. D

eter

min

ants

Qüestions

10.Efectuem el producte A �B:

Calculem els determinants de les matrius que ens in-teressen:

En efecte, �A��B�=−2 ⋅13 =−26 =�A⋅B�.

11.Utilitzarem que:

Per a tot parell de matrius quadrades del mateix ordre,A i B, es compleix:

�A⋅B�=�A��B�

a)Suposem que es compleix C2=C.

Si prenem determinants: �C2�=�C�

Ara bé, �C2�=�C ⋅C�=�C��C�=�C�2

Així, substituint en la igualtat anterior:

�C�2=�C�⇒�C�(�C�−1) =0 ⇒

⇒�C�=0 o �C�=1


b)Suposem que C ⋅Ct=I.

Si prenem determinants: �C ⋅Ct�=�I�

Ara bé,

�C ⋅Ct�=�C��Ct�=�C��C�=�C�2y �I�=1.↑D1

Aleshores:

�C�2=1 ⇒�C�=1 o �C�=−1


c)Per definició d’inversa, C ⋅C−1=I.

Prenent determinants: �C ⋅C−1�=�I�

Ara bé, �C ⋅C−1�=�C��C−1�i �I�=1, aleshores:

12.Per la propietat D4, en permutar les files F1i F3, el de-terminant canvia de signe.

En multiplicar la segona fila per 3, el determinant que-da multiplicat per 3.

CCCC

−− =⇒=11

11

AB

AB

=−

=−=−

=

⋅=−

=−

13

022

45

1213

111

2426

;

AB⋅=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=⋅+⋅

13

02

45

12

143(()

(–)()(–

−⋅+⋅⋅+⋅−⋅+

11532

0421052))() ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

111

24

Finalment, en sumar a la tercera fila una combinaciólineal de les anteriors, el determinant no canvia.

Així:

�A�−�A�−3 �A�−3 �A�

Per tant, el determinat de la nova matriu és −3 �A�.

13.És vertadera, ja que:

A és invertible ⇔�A��0 ⇔A té un menor no nuld’ordre màxim, n (que és�A�) ⇔rang A �n.


14.a)

b)

c)

d)

e)

f)

15.a)

b)

c)

d)

120

132

041

131140

0

−−−=⋅−⋅+−⋅⋅+

+

()()

⋅⋅⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅++

()[()() 22030421

1⋅⋅⋅−= ()] 217

412

301

214

404312

21

−=⋅⋅+⋅−⋅+

+⋅⋅

()

[()

]

1202114

4131

−⋅⋅+⋅−⋅++⋅⋅=−22

−−=−⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅

120

012

353

113050

32(()[()() −−⋅⋅+−⋅⋅−++⋅⋅

2013251

320025 ]=−

321

523

244

324541

2

−−−

=⋅−⋅+⋅⋅+

+−

()

()⋅⋅⋅−−⋅−⋅−++−⋅⋅

()[()()

()

23122

343++⋅⋅= 4250 ]

−=−⋅−⋅=−

43

21413210

05

1140451155

−=⋅−⋅−= ()

21

63231612

−=⋅−−⋅= ()

52

73532729

−=⋅−⋅−= ()

−−

=−⋅−−⋅=42

1242216 ()()

10

3212032

−=⋅−⋅−= ()

F3→F3+2 F1——————�

F2→3 F2————�

F1↔F3———�

C M

Y K

34

2. Determ

inants

16.a)Desenvolupem per la primera fila:

b)Desenvolupem per la primera fila:

17.a)

D1D4

b)

D3

D6 i D4D2

c)

D2D4

bac

edf

hgi

bac

edf

hgi

23

23

23

23

−−−

=⋅−= ()

abac

dedf

ghgi

aac

ddf

ggi

bac

edf

h

+−+−+−

=−−−

+

+−−

ggi

abc

def

ghi

abc

def

ghi

k

−=−

−−−

=

==

0

dag

ebh

fci

def

abc

ghi

abc

def

ghi

k ==−=−

5320

3213

1113

1224

5

213

113

224

3

31

−−−−−

=−−

−−−

−−−−−

−+−−

−−

−−−

−−=

=

3

113

124

2

323

113

124

0

321

111

122

5() ⋅−−⋅+⋅−=− 303222190178

1111

2211

3221

1141

1

211

221

141

1

211

3

−−

−−

=−−

−−−

−−−−

−+

−−−

−−−

−=

=⋅

21

141

1

221

321

111

1

221

322

114

11−−⋅+⋅−⋅−= 16111117 ()

D3

d)

D4 i D5D2

18.Les propietats dels determinants són:

D1.El determinant d’una matriu i el de la seva trans-posada coincideixen.

D2.Si es multipliquen per un nombre tots els elementsd’una línia d’una matriu, el seu determinant que-da multiplicat per aquest nombre.

D3.Si els elements d’una línia d’una matriu es des-componen en dos sumands, el seu determinant ésigual a la suma dels dos determinants obtinguts enconsiderar separadament cada sumand d’aquestalínia, i la resta de les línies, iguals a les del deter-minant inicial.

D4.Si s’intercanvien dues línies paral.leles d’una ma-triu, el seu determinant canvia de signe.

D5.Si una matriu té dues línies paral.leles proporcio-nals, el seu determinant és igual a zero.

D6.Si una matriu té dues línies paral.leles iguals, el seudeterminant és igual a zero.

D7.Si una matriu té una línia amb tots els elementsnuls, el seu determinant és igual a zero.

D8.Si una de les línies d’una matriu és combinació li-neal d’unes altres línies paral.leles, el seu deter-minant és igual a zero.

D9.Si a una línia de la matriu se li suma una combi-nació lineal d’unes altres línies paral.leles, el seudeterminant no varia.

—

C1→C1+C3−C2

D3

D2 i D5

+=+=2

2

2

202

aba

ded

ghg

abc

def

ghi

abc

def

ghi

abca

defd

ghig

abc

def

ghi

2

2

2

2

2

2

=+++

=++

CCCC 223112

→−+

abbcca

deeffd

ghhiig

abcca

deff

+++++++++

=++++

2

2dd

ghiig 2++=

caab

fdde

iggh

cab

fde

igh

aab

+−+−+−

=−−−

+

+−

2

2

2

2

2ddde

ggh

abc

def

ghi

abc

def

ghi

k

−−

=−−−

+=

=−=−

2

0

=−⋅−= 236 ()

abc

def

ghi

k

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

34

2. D

eter

min

ants

16. a) Desenvolupem per la primera fila:

b) Desenvolupem per la primera fila:

17. a)

D1 D4

b)

D3

D6 i D4 D2

c)

D2 D4

b a c

e d f

h g i

b a c

e d f

h g i

2 3

2 3

2 3

2 3

−−−

= ⋅ − =( )

a b a c

d e d f

g h g i

a a c

d d f

g g i

b a c

e d f

h

+ −+ −+ −

=−−−

+

+−−

gg i

a b c

d e f

g h i

a b c

d e f

g h i

k

−= −

−−−

=

= =

0

d a g

e b h

f c i

d e f

a b c

g h i

a b c

d e f

g h i

k= = − = −

5 3 2 0

3 2 1 3

1 1 1 3

1 2 2 4

5

2 1 3

1 1 3

2 2 4

3

3 1

− − −− −

=− −

− − −

−− − −−

− +− −

− −

−− −

− − =

=

3

1 1 3

1 2 4

2

3 2 3

1 1 3

1 2 4

0

3 2 1

1 1 1

1 2 2

5 ( )⋅ − − ⋅ + ⋅ − = −30 3 22 2 19 0 178

1 1 1 1

2 2 1 1

3 2 2 1

1 1 4 1

1

2 1 1

2 2 1

1 4 1

1

2 1 1

3

−−

− −

=−−

− −−

−−−−

−+

− −−

−−−

−=

= ⋅

2 1

1 4 1

1

2 2 1

3 2 1

1 1 1

1

2 2 1

3 2 2

1 1 4

1 1 −− ⋅ + ⋅ − ⋅ − =1 6 1 1 1 11 7( )

D3

d)

D4 i D5 D2

18. Les propietats dels determinants són:

D1. El determinant d’una matriu i el de la seva trans-posada coincideixen.

D2. Si es multipliquen per un nombre tots els elementsd’una línia d’una matriu, el seu determinant que-da multiplicat per aquest nombre.

D3. Si els elements d’una línia d’una matriu es des-componen en dos sumands, el seu determinant ésigual a la suma dels dos determinants obtinguts enconsiderar separadament cada sumand d’aquestalínia, i la resta de les línies, iguals a les del deter-minant inicial.

D4. Si s’intercanvien dues línies paral.leles d’una ma-triu, el seu determinant canvia de signe.

D5. Si una matriu té dues línies paral.leles proporcio-nals, el seu determinant és igual a zero.

D6. Si una matriu té dues línies paral.leles iguals, el seudeterminant és igual a zero.

D7. Si una matriu té una línia amb tots els elementsnuls, el seu determinant és igual a zero.

D8. Si una de les línies d’una matriu és combinació li-neal d’unes altres línies paral.leles, el seu deter-minant és igual a zero.

D9. Si a una línia de la matriu se li suma una combi-nació lineal d’unes altres línies paral.leles, el seudeterminant no varia.

—

C1 → C1 + C3 − C2

D3

D2 i D5

+ = + =2

2

2

2 0 2

a b a

d e d

g h g

a b c

d e f

g h i

a b c

d e f

g h i

a b c a

d e f d

g h i g

a b c

d e f

g h i

2

2

2

2

2

2

=+++

= ++

C C C C2 2 3 112

→ − +

a b b c c a

d e e f f d

g h h i i g

a b c c a

d e f f

+ + ++ + ++ + +

=+ ++ +

2

2 dd

g h i i g2 + +=

c a a b

f d d e

i g g h

c a b

f d e

i g h

a a b

+ −+ −+ −

=−−−

+

+−

2

2

2

2

2 dd d e

g g h

a b c

d e f

g h i

a b c

d e f

g h i

k

−−

=−−−

+ =

= − = −

2

0

= − ⋅ − =2 3 6( )

a b c

d e f

g h i

k

� �

�

�

� �

�

�

� �

� �

�

�

CM

YK

35

2. Determ

inants

19. a)

b)

D3

20. a)

Si calculem el valor de cada sumand:

= 1 ⋅ b ⋅ c = b ⋅ cD3

F2 → F2 − F1

= a [1 ⋅ c + b + bc] =

= ac + ab + abc

a

b

c

ab

c

ac

b

c

1 1

0 1 1

0 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

0 1

++

=+

+=

=+

++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎦⎥ =

=+

+ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ac

b c

ac

b bc

1 1

1 11

1 1

0

( )

==

F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0 0

0 0

++

= =b

c

b

c

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

0 1 1

0 1 1

++

+=

= ++

+ ++

a

b

c

b

c

a

b

cc

=− −

= ⋅ − ⋅ ⋅ =

1 2 4 2

0 3 0 3

0 0 0 0

0 0 0 0

1 3 0 0 0( )

F3 → F3 − 2 F2F4 → F4 − F2

F2 → F2 − 3 F1F3 → F3 − F1

F4 → F4 + 2 F1

1 2 4 2

3 3 12 3

1 4 4 4

2 7 8 7

1 2 4 2

0 3 0 3

0 6 0 6

0 3

− −− − − −

=− −− −− 00 3−

=

1 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

1 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

1 1 0 0

0 1

=−

=

=− 00 1

0 0 1 1

0 0 0 2

1 1 1 2 2= ⋅ − ⋅ ⋅ = −( )

F3 → F3 + F2F4 → F4 + F2F2 → F2 − F1

Finalment:

= (bc) + (ac + ab + abc) = abc + ab + ac + bc

b)

= 1 ⋅ (a − 1) ⋅ (a − 1) ⋅ (a − 1) = (a − 1)3

D2

21. a)

D6

b)

C1 → C1 + C2 + C3 D2D6

22. Desenvolupem el determinant:

F1 → F1 − x F4 D2

F2 → F2 + F4

F1 → F1 + F3 D2

F2 → F2 − F3

=

− −

−−

=

−−

−x

x x

x

x

x

x x

x

x

0 1 1

0 1 0 1

0 1 1

1 0 1

0 0 2

0 0 2

0 1 1

2 2

11 0 1−

=

x

x

x

x

x

x x

x x

x

x

−−

−−

=

− −

−−

1 0 1

1 1 0

0 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0

0 1 1

1 0 1

2

==

a b c

b c a

a c b

a b c c

a b c a

a b c b

+++

=+ + ++ + ++ + +

1

1

1

1 1

1 1

1 1

==

= + + + =( )1

1 1

1 1

1 1

0a b c

c

a

b

a bc a

b ca b

c ab ca b c

a abc

b bca

−

−

−

= ⋅ ⋅

1

1

1

2

21 1 11

1

cc cab

abcabc

a

b

c

2

2

2

2

1

11 1

1 1

1 1

0

=

= ⋅ =

F1 → a F1F2 → b F2F3 → c F3

F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1F4 → F4 − F1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

a

a

a

a

a

a

=−

−−

=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

++

+=

a

b

c

� �

��

�

�

�

�

�

� �

�

� �

�

� �

� �

35

2. D

eter

min

ants

19.a)

b)

D3

20.a)

Si calculem el valor de cada sumand:

=1 ⋅b ⋅c =b ⋅cD3

F2→F2−F1

=a [1 ⋅c +b +bc] =

=ac +ab +abc

a

b

c

ab

c

ac

b

c

11

011

011

11

11

11

11

1

01

++

=+

+=

=+

++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎦⎥=

=+

++⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

=++⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ac

bc

ac

bbc

11

111

11

0

()

==

F2→F2−F1F3→F3−F1

111

111

111

111

00

00

++

== b

c

b

c

111

111

111

111

111

111

11

011

011

++

+=

=++

+++

a

b

c

b

c

a

b

cc

=−−

=⋅−⋅⋅=

1242

0303

0000

0000

13000 ()

F3→F3−2 F2F4→F4−F2

F2→F2−3 F1F3→F3−F1

F4→F4+2 F1

1242

33123

1444

2787

1242

0303

0606

03

−−−−−−

=−−−−−003−

=

1100

1001

0110

0101

1100

0101

0110

0101

1100

01

=−

=

=−001

0011

0002

11122 =⋅−⋅⋅=− ()

F3→F3+F2F4→F4+F2 F2→F2−F1

Finalment:

=(bc) +(ac +ab +abc) =abc +ab +ac +bc

b)

=1 ⋅(a −1) ⋅(a −1) ⋅(a −1) =(a −1)3

D2

21.a)

D6

b)

C1→C1+C2+C3D2D6

22.Desenvolupem el determinant:

F1→F1−x F4D2

F2→F2+F4

F1→F1+F3D2

F2→F2−F3

=

−−

−−

=

−−

−x

xx

x

x

x

xx

x

x

011

0101

011

101

002

002

011

22

1101−

=

x

x

x

x

x

xx

xx

x

x

−−

−−

=

−−

−−

101

110

011

101

011

00

011

101

2

==

abc

bca

acb

abcc

abca

abcb

+++

=+++++++++

1

1

1

11

11

11

==

=+++= () 1

11

11

11

0 abc

c

a

b

abca

bcab

cabcabc

aabc

bbca

−

−

−

=⋅⋅

1

1

1

2

2 1111

1

cccab

abcabc

a

b

c

2

2

2

2

1

111

11

11

0

=

=⋅=

F1→a F1F2→b F2F3→c F3

F2→F2−F1F3→F3−F1F4→F4−F1

1111

111

111

111

1111

0100

0010

0001

a

a

a

a

a

a

=−

−−

=

111

111

111

++

+=

a

b

c

��

��

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

��

C M

Y K

36

2. Determ

inants

�

�

Per tant, hem de resoldre l’equació x2�(4 �x2) �0, lessolucions de la qual són:

Vegem que els valors x �0, x �2 i x ��2 són solucióde l’equació:

x =0:F4→F4+F2

D7

x =2:

F1→F1+F3

x =−2:

F1→F1+F3

=−−

−−−−

−+

+−−−

−−

−=

=−

2

210

121

012

0

2

120

011

102

0 ()

224240 ()() ⋅−+−⋅=

−−−−

−−−−

=

−−−−

−−

2101

1210

0121

1012

2020

1210

0121

11012 −−

=−−

−+−

−−=

=⋅+⋅

2

210

121

012

02

120

011

102

0

242(−−= 40 )

2101

1210

0121

1012

2020

1210

0121

1012

−−

−−

=−

−−

=

=

−−

−=

0101

1010

0101

0000

0

0101

1010

0101

1010

−−

−−

=

xxxx

xx22

2

2 4000

402() ⋅−=⇔

=⇔=

−=⇔=±

⎧⎨⎪

⎩⎪

=⋅

−−

−−

=

=⋅⋅−

−

xx

x

x

x

x

xx

x

002

002

011

101

112 2

224

22=− xx ()

C2→C2+C1�

Cn→Cn+C1

23.a)

b)

C2→C2−C1�

Cn→Cn−C1

=n ⋅1 ⋅2 ⋅3 ⋅... ⋅(n −1) =n!

24.Calcularem el rang per determinants:

a)�a11�=�3�=3 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

i com que l’únic menor d’ordre 2 és �A�, això sig-nifica que rang (A) �1.

b)�a11�=�−3�=−3 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

=−5 ≠0 ⇒rang (A) ≥2

Com que l’únic menor d’ordre 3 és �A��0, rang (A) �2.

A=−−−−=

324

112

324

0

aa

aa1112

2122

32

11=

−−−

=

A=−

−=

31

223

0

=

………………………………

n0000

11000

10200

1

1

0

0

0

0

330

01

…………

……−

=

n

=

……………………

nnnnn

12111

11311

1

1

1

1

1

1

41 1……

=

n

=

……………………

10000

11000

12100

1

1

2

2

2

2

10 21

1111

……

=⋅⋅== …..n

11111

10111

11011

1

1

1

−−−……−−−……−

−……−

.

.

.

11

1

1

01

10

……−

………

=.

�

�

�

�

36

2. D

eter

min

ants

�

�

Per tant, hem de resoldre l’equació x2 � (4 � x2) � 0, lessolucions de la qual són:

Vegem que els valors x � 0, x � 2 i x � �2 són solucióde l’equació:

x = 0:F4 → F4 + F2

D7

x = 2:

F1 → F1 + F3

x = −2:

F1 → F1 + F3

= −−

− −− −

− +

+ −− −

−−

− =

= −

2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

0

2

1 2 0

0 1 1

1 0 2

0( )

22 4 2 4 0( ) ( )⋅ − + − ⋅ =

− −− −

− −− −

=

− −− −

− −

2 1 0 1

1 2 1 0

0 1 2 1

1 0 1 2

2 0 2 0

1 2 1 0

0 1 2 1

11 0 1 2− −

= −−

− +−

− − =

= ⋅ + ⋅

2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

0 2

1 2 0

0 1 1

1 0 2

0

2 4 2 (−− =4 0)

2 1 0 1

1 2 1 0

0 1 2 1

1 0 1 2

2 0 2 0

1 2 1 0

0 1 2 1

1 0 1 2

−−

−−

=−

−−

=

=

−−

−=

0 1 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0

0 1 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

−−

−−

=

x xx x

x x2 2

2

24 0

0 0

4 0 2( )⋅ − = ⇔

= ⇔ =

− = ⇔ = ±

⎧⎨⎪

⎩⎪

= ⋅

−−

−−

=

= ⋅ ⋅−

−

x x

x

x

x

x

xx

x

0 0 2

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 122

2242 2= −x x( )

C2 → C2 + C1�

Cn → Cn + C1

23. a)

b)

C2 → C2 − C1�

Cn → Cn − C1

= n ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n − 1) = n!

24. Calcularem el rang per determinants:

a) �a11� = �3 � = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

i com que l’únic menor d’ordre 2 és �A �, això sig-nifica que rang (A) � 1.

b) �a11� = �−3 � = −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

= −5 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

Com que l’únic menor d’ordre 3 és �A � � 0, rang (A) � 2.

A =− − −− =

3 2 4

1 1 2

3 2 4

0

a a

a a11 12

21 22

3 2

1 1=

− −−

=

A =−

−=

3 1

223

0

=

………………………………

n 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 0 2 0 0

1

1

0

0

0

0

33 0

0 1

…………

…… −

=

n

=

……………………

n n n n n

1 2 1 1 1

1 1 3 1 1

1

1

1

1

1

1

4 1 1……

=

n

=

……………………

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 2 1 0 0

1

1

2

2

2

2

1 0 2 1

1 1 1 1

……

= ⋅ ⋅ = =…. .n

1 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1

1

1

− − − …… −− − …… −

− …… −

.

.

.

11

1

1

0 1

1 0

…… −

………

=.

�

�

�

�

CM

YK

37

2. Determ

inantsc) �a11� = �3 � = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

= −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

Com que la matriu A és d’ordre 4, rang (A) 4.

A més, com que és quadrada, l’únic menor d’ordre4 és �A �.

Per tant, rang (A) � 4 ⇔ �A� � 0.

Vegem, doncs, si rang (A) � 4:

D4

d) �a21� = �1� = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

= −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

Com que la dimensió de A és 2 � 3, rang (A) � 2.

e) �a11� = �5� = 5 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

= 22 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

Si calculem els dos menors obtinguts en orlar el me-nor anterior:

Per tant, rang (A) � 2.

5 2

1 4

9

1

2 8 2

0

−

− − −=

5 2

1 4

9

1

3 10 7

0

−

−=

a a

a a11 12

21 22

5 2

1 4=

−=

a a

a a11 12

21 22

0 3

1 6= =

= − −− −

= ≠ ⇒ =1

3 1 4

2 2 0

5 3 3

8 0 4rang ( )A

= −−− −

=

1 3 2 6

0 3 1 4

0 2 2 0

0 5 3 3

F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1F4 → F4 − F1

= −

−

=

1 3 2 6

1 6 3 10

1 1 4 6

1 2 5 3

A =

−

=

3 1 2 6

6 1 3 10

1 1 4 6

2 1 5 3

a a

a a11 12

21 22

3 1

6 1= =

f ) �a11� = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

= −2 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

= −12 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3

Si calculem els dos menors que es poden obtenirorlant el menor anterior:

D2

D5


g) El mètode que estem utilitzant és massa llarg i, pertant, calcularem el rang per Gauss:

− − −− − −− − −− − −− − −

⎛

⎝

⎜1 0 4 4 1

0 2 2 6 6

0 1 1 3 3

0 1 1 1 1

0 3 3 9 9

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1

F5 → F5 − 2 F1

——————�

− − −− − − − −− − − −

− − −− −

1 0 4 4 1

1 2 2 2 7

1 1 3 1 4

0 1 1 1 1

2 3 −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟5 1 11

F2 → F2 − 7 F1F3 → F3 − F1

F4 → F4 − 3 F1

1 0 4

7 2 12

1 1 2

7

21

3

3 3 6 9

1 0 4 7

0 2 16 28

0 1 2

−−

−

=− − −− − −−− − −

=4

0 3 6 12

0

=− −

=− −

=

= ⋅

2

1 8 14

1 2 4

1 10 16

2

0 18 30

0 12 20

1 10 16

2 1188 30

12 200=

F1 → F1 − F3F2 → F2 − F3

=− − −− − −

− −=1

2 16 28

1 2 4

1 10 16

F2 → F2 − 7 F1F3 → F3 − F1

F4 → F4 − 3 F1

1 0 4

7 2 12

1 1 2

7

21

3

3 1 2 5

1 0 4 7

0 2 16 28

0 1 2

−−

=− − −− − −−

− −

=4

0 1 10 16

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 4

7 2 12

1 1 2

= −−

=

a a

a a11 12

21 22

1 0

7 2=

−=

� �

�

�

�

�

�

37

2. D

eter

min

ants

c)�a11�=�3�=3 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

=−3 ≠0 ⇒rang (A) ≥2

Com que la matriu A és d’ordre 4, rang (A) 4.

A més, com que és quadrada, l’únic menor d’ordre4 és �A�.

Per tant, rang (A) �4 ⇔�A��0.

Vegem, doncs, si rang (A) �4:

D4

d)�a21�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

=−3 ≠0 ⇒rang (A) ≥2

Com que la dimensió de A és 2 �3, rang (A) �2.

e)�a11�=�5�=5 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

=22 ≠0 ⇒rang (A) ≥2

Si calculem els dos menors obtinguts en orlar el me-nor anterior:

Per tant, rang (A) �2.

52

14

9

1

282

0

−

−−−=

52

14

9

1

3107

0

−

−=

aa

aa1112

2122

52

14=

−=

aa

aa1112

2122

03

16==

=−−−−

=≠⇒= 1

314

220

533

804 rang() A

=−−−−

=

1326

0314

0220

0533

F2→F2−F1F3→F3−F1F4→F4−F1

=−

−

=

1326

16310

1146

1253

A=

−

=

3126

61310

1146

2153

aa

aa1112

2122

31

61==

f)�a11�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

=−2 ≠0 ⇒rang (A) ≥2

=−12 ≠0 ⇒rang (A) ≥3

Si calculem els dos menors que es poden obtenirorlant el menor anterior:

D2

D5


g)El mètode que estem utilitzant és massa llarg i, pertant, calcularem el rang per Gauss:

−−−−−−−−−−−−−−−

⎛

⎝

⎜10441

02266

01133

01111

03399

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F2→F2−F1F3→F3−F1

F5→F5−2 F1

——————�

−−−−−−−−−−−−

−−−−−

10441

12227

11314

01111

23−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟ 5111

F2→F2−7 F1F3→F3−F1

F4→F4−3 F1

104

7212

112

7

21

3

3369

1047

021628

012

−−

−

=−−−−−−−−−−

=4

03612

0

=−−

=−−

=

=⋅

2

1814

124

11016

2

01830

01220

11016

2118830

12200 =

F1→F1−F3F2→F2−F3

=−−−−−−

−−= 1

21628

124

11016

F2→F2−7 F1F3→F3−F1

F4→F4−3 F1

104

7212

112

7

21

3

3125

1047

021628

012

−−

=−−−−−−−

−−

=4

011016

aaa

aaa

aaa

111213

212223

313233

104

7212

112

=−−

=

aa

aa1112

2122

10

72=

−=

��

�

�

�

�

�

C M

Y K

38

2. Determ

inants

Així, rang (A) �3.

25.•—Determinant de A:

—Transposada de A:

—Adjunta de At:

—Inversa de A:

•—Determinant de B:

—Transposada de B:

—Adjunta de Bt:

AdjBt

()=

=

−−

−−−

−−−−

−−

33

02

13

32

13

30

25

02

05

32

02

300

25

33

05

13

02

13

−−−

−−

−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

==

Bt

t

=−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−

−−⎛ 013

230

532

025

133

302 ⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

B=−

−−−

=013

230

532

59

AA

AdjAt −==

−−−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

=

⎛

⎝

1114

13

22

14

34

12

12

()

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

AdjAt

()=−−

−−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−−−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

13

22

13

22

At

t

=−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

23

21

22

31

A=−

−=−

23

214

−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

10441

02266

00022

00000

00000

⎟⎟⎟⎟⎟

F4↔F3

———�

−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

10441

02266

00000

00022

00000

⎟⎟⎟⎟⎟

FFF

FFF

FFF

332

442

552

121232

→−

→−

→−—Inversa de B:

•—Determinant de C:

=cos2+sin2=1

Teorema fonamental de la trigonometria

—Transposada de C:

—Adjunta de Ct:

—Inversa de C:

•—Determinant de D:

—Transposada de D:

Dt

t

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

1100

0100

1111

0001

1010

1110

00110

0011

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

D===

==

1100

0100

1111

0001

1

110

010

111

110

111

CC

AdjCCtt −==

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

11()

cossin

sincos

αααα

AdjCt

()=−

−−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

=−

cossin

sincos

coss

αααα

αiin

sincos

ααα

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Ct

t

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

− cossin

sincos

cossin

sinc

αααα

αααoosα

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C=−

=cossin

sincos

αααα

BB

AdjBt −==

−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=111

59

679

4156

2152

()

==

−−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

659

759

959

459

1559

659

2159

559

259

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎝⎠

=−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

679

4156

2152

——————�

�

38

2. D

eter

min

ants

Així, rang (A) � 3.

25. • — Determinant de A:

— Transposada de A:

— Adjunta de At:

—Inversa de A:

• — Determinant de B:

— Transposada de B:

— Adjunta de Bt:

Adj Bt( ) =

=

−−

− − −

−− − −

−−

3 3

0 2

1 3

3 2

1 3

3 0

2 5

0 2

0 5

3 2

0 2

3 00

2 5

3 3

0 5

1 3

0 2

1 3

− −−

−−

− −−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

==

Bt

t

=−

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− −

− −⎛0 1 3

2 3 0

5 3 2

0 2 5

1 3 3

3 0 2⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

B =−

−− −

=0 1 3

2 3 0

5 3 2

59

AA

Adj At− = =−

− −− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=

⎛

⎝

1 1 14

1 3

2 2

14

34

12

12

( )

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Adj At( ) =− −

− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

− −− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 3

2 2

1 3

2 2

Att

=−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 3

2 1

2 2

3 1

A =−

−= −

2 3

2 14

− − −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 0 4 4 1

0 2 2 6 6

0 0 0 2 2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

⎟⎟⎟⎟⎟

F4 ↔ F3

———�

− − −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 0 4 4 1

0 2 2 6 6

0 0 0 0 0

0 0 0 2 2

0 0 0 0 0

⎟⎟⎟⎟⎟

F F F

F F F

F F F

3 3 2

4 4 2

5 5 2

121232

→ −

→ −

→ − — Inversa de B:

• — Determinant de C:

= cos2 + sin2 = 1

Teorema fonamental de la trigonometria

— Transposada de C:

— Adjunta de Ct:

— Inversa de C:

• — Determinant de D:

— Transposada de D:

Dt

t

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

1 1 0 0

0 1 0 0

1 1 1 1

0 0 0 1

1 0 1 0

1 1 1 0

0 0 11 0

0 0 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

D = = =

= =

1 1 0 0

0 1 0 0

1 1 1 1

0 0 0 1

1

1 1 0

0 1 0

1 1 1

11 0

1 11

CC

Adj C Ct t− = =−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =1 1

( )cos sin

sin cos

α αα α

Adj Ct( ) =−

− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=−

cos sin

sin cos

cos s

α αα α

α iin

sin cos

αα α

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Ctt

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−cos sin

sin cos

cos sin

sin c

α αα α

α αα oos α

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C =−

=cos sin

sin cos

α αα α

BB

Adj Bt− = =− −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=1 1 159

6 7 9

4 15 6

21 5 2

( )

==

− −

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

659

759

959

459

1559

659

2159

559

259

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎝ ⎠

=− −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

6 7 9

4 15 6

21 5 2

——————�

�

CM

YK

39

2. Determ

inants— Adjunta de Dt:

— Inversa de D:

26. a) �a21� = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

Com que la matriu A és quadrada d’ordre 2, noméshi ha un menor d’ordre 2, �A �; aleshores:

rang (A) � 2 ⇔ �A � � 0

Si calculem el determinant:

Per tant:

m = ± 1 ⇒ rang (A) = 1

m ≠ ± 1 ⇒ rang (A) = 2

b) �a21� = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

Els menors d’ordre 2 que s’obtenen orlant aquestmenor són:

L’únic valor de m que anul.la tots aquests orlats ésm � 1. Aleshores, en aquest cas, rang (A) � 1.

Si m � 1, podem considerar el menor:

= 1 − m ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

L’únic menor d’ordre tres de A és �A �:

a a

a a

m21 22

31 32

1

1 1= =

m

mm

mm

mm

mm

1

11

1

1 11

1

1 11

1 1

11

2= − = −

= − = −

Am

mm m= = − = ⇔ = ±

1

11 0 12

DD

Adj Dt− = =

=

−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

1 1

11

1 1 0 0

0 1 0 0

1 0 1 1

0 0 0 1

( )

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=

−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 1 0 0

0 1 0 0

1 0 1 1

0 0 0 1

Adj Dt( ) =

−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 1 0 0

0 1 0 0

1 0 1 1

0 0 0 1

= m3 + 1 + 1 − [m + m + m] = m3 − 3 m + 2

Així, �A � = m3 − 3 m + 2 =

Com que rang (A) � 3 ⇔ �A � � 0, podem resumir:

m = 1 ⇒ rang (A) = 1

m = −2 ⇒ rang (A) = 2

m ≠ 1, −2 ⇒ rang (A) = 3

c) Com que la matriu A és quadrada d’ordre 4, rang (A) 4 i rang (A) � 4 ⇔ �A � � 0.

Vegem per a quins valors de m el rang de A és 4:

C1 → C1 + C2 + C3 + C4 D2

F2 → F2 − F1

F3 → F3 − F1

F4 → F4 − F1

= (m + 3) ⋅ (m − 1)3

Així, �A � = 0 ⇔ m = −3 o m = 1.

Calculem el rang de A per a aquests valors de m:

m � 1: Utilitzant el mètode de Gauss per a deter-minar el rang:

⇒ rang (A) = 1

m = −3:

A =

−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

,

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1F4 → F4 − F1

—————�

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= +−

−−

=( )mm

m

m

3

1 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

= + =( )mm

m

m

3

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

m

m

m

m

m

m m

m m

m m

= =

++++

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

3 1 1 1

3 1 1

3 1 1

3 1 1

==

= − ⋅ + = ⇔== −

⎧⎨⎩

( ) ( )m mm

m1 2 0

1

22

A

m

m

m

= =1 1

1 1

1 1

� �

�

39

2. D

eter

min

ants

—Adjunta de Dt:

—Inversa de D:

26.a)�a21�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

Com que la matriu A és quadrada d’ordre 2, noméshi ha un menor d’ordre 2, �A�; aleshores:

rang (A) �2 ⇔�A��0

Si calculem el determinant:

Per tant:

m =±1 ⇒rang (A) =1

m ≠±1 ⇒rang (A) =2

b)�a21�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

Els menors d’ordre 2 que s’obtenen orlant aquestmenor són:

L’únic valor de m que anul.la tots aquests orlats ésm �1. Aleshores, en aquest cas, rang (A) �1.

Si m �1, podem considerar el menor:

=1 −m ≠0 ⇒rang (A) ≥2

L’únic menor d’ordre tres de A és �A�:

aa

aa

m 2122

3132

1

11==

m

mm

mm

mm

mm

1

11

1

111

1

111

11

11

2=−=−

=−=−

Am

mmm ==−=⇔=±

1

1101

2

DD

AdjDt −==

=

−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

11

11

1100

0100

1011

0001

()

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟

=

=

−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1100

0100

1011

0001

AdjDt

()=

−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1100

0100

1011

0001

=m3+1 +1 −[m +m +m] =m3−3m +2

Així, �A�=m3−3m +2 =

Com que rang (A) �3 ⇔�A��0, podem resumir:

m =1 ⇒rang (A) =1

m =−2 ⇒rang (A) =2

m ≠1, −2 ⇒rang (A) =3

c)Com que la matriu A és quadrada d’ordre 4, rang (A) 4 i rang (A) �4 ⇔�A��0.

Vegem per a quins valors de m el rang de A és 4:

C1→C1+C2+C3+C4D2

F2→F2−F1

F3→F3−F1

F4→F4−F1

=(m +3) ⋅(m −1)3

Així, �A�=0 ⇔m =−3 o m =1.

Calculem el rang de A per a aquests valors de m:

m �1: Utilitzant el mètode de Gauss per a deter-minar el rang:

⇒rang (A) =1

m =−3:

A=

−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

3111

1311

1131

1113

,

1111

0000

0000

0000

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒F2→F2−F1F3→F3−F1F4→F4−F1

—————�

1111

1111

1111

1111

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=+−

−−

= () mm

m

m

3

1111

0100

0010

0001

=+= () mm

m

m

3

1111

111

111

111

A

m

m

m

m

m

mm

mm

mm

==

++++

111

111

111

111

3111

311

311

311

==

=−⋅+=⇔==−

⎧⎨⎩

()() mmm

m120

1

22

A

m

m

m

==11

11

11

��

�

C M

Y K

40

2. Determ

inants

i com que:

Apartat b)

⇒rang (A) �3, i com que rang (A) �4, ha de serrang (A) �3.

Resumint:

m =1 ⇒rang (A) =1

m =−3 ⇒rang (A) =3

m ≠1, −3 ⇒rang (A) =4

d)�a14�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

=21 ≠0 ⇒rang (A) ≥2

Calculem els dos orlats del menor anterior:

Perquè els dos menors siguin nuls:

−m2−2m +15 =0 ⇒m =3 o m =−5

3m −9 =0 ⇒m =3

Així, com que A té dimensió 3 �4, rang (A) 3;i com que sabem que rang (A) �2, en concloemque rang (A) �2 o rang (A) �3.

Concretament, en funció de m:

m =3 ⇒rang (A) =2

m ≠3 ⇒rang (A) =3

27.Una matriu quadrada A té inversa si i només si �A��0.

Determinarem, doncs, per a quins valors de m és �A��0:

=−8 −m2+0 −[6m +0 +0] =−m2−6m −8

aleshores, �A�=0 ⇔−m2−6m −8 =0 ⇔m =−2 o m =−4.

Per tant, A té inversa si i només si m ��2, �4.

Calculem A�1en el cas particular m �2.

Am

m

=−−

=113

02

04

1

5

101

12

21

39 −=−m

m

6101

12

11

2152 −−=−−+ m

m

mm

aa

aa1314

2324

101

12=

−=

aaa

aaa

aaa

111213

212223

313233

311

131

113

=−

−−

≠

—Determinant de A:

�A�=−22−6 ⋅2 −8 =−24

—Transposada de A:

—Adjunta de At:

—Inversa de A:

28.Primerament efectuem les operacions del membre dela dreta:

Calculem ara la inversa de la matriu que multipli-ca X:

102

213

111

2

110

012

311

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅=

=− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

X

⎠⎠

⎟⎟⎟

−−−

−−−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−−

172

461

713

152

485

111

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

AA

AdjAt −==

−

−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

11124

848

4102

422

()⎟⎟

=

=

−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

13

16

13

16

512

112

16

112

112

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

AdjtAt

()=

=

−−−

−−

−−

20

24

10

34

12

32

02

24

12

34

10

32

02

220

12

10

10

12

848

4

−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=−

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

102

422

At

t

=−− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞ 113

022

204

102

120

324⎠⎠

⎟⎟⎟

�

40

2. D

eter

min

ants

i com que:

Apartat b)

⇒ rang (A) � 3, i com que rang (A) � 4, ha de serrang (A) � 3.

Resumint:

m = 1 ⇒ rang (A) = 1

m = −3 ⇒ rang (A) = 3

m ≠ 1, −3 ⇒ rang (A) = 4

d) �a14 � = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

= 21 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

Calculem els dos orlats del menor anterior:

Perquè els dos menors siguin nuls:

−m2 − 2 m + 15 = 0 ⇒ m = 3 o m = −5

3 m − 9 = 0 ⇒ m = 3

Així, com que A té dimensió 3 � 4, rang (A) 3;i com que sabem que rang (A) � 2, en concloemque rang (A) � 2 o rang (A) � 3.

Concretament, en funció de m:

m = 3 ⇒ rang (A) = 2

m ≠ 3 ⇒ rang (A) = 3

27. Una matriu quadrada A té inversa si i només si �A� � 0.

Determinarem, doncs, per a quins valors de m és �A� � 0:

= −8 − m2 + 0 − [6 m + 0 + 0] = −m2 − 6 m − 8

aleshores, �A � = 0 ⇔ −m2 − 6 m − 8 = 0 ⇔ m = −2 o m = −4.

Per tant, A té inversa si i només si m � �2, �4.

Calculem A�1 en el cas particular m � 2.

A m

m

=− −

=1 1 3

0 2

0 4

1

5

10 1

1 2

2 1

3 9− = −m

m

6 10 1

1 2

1 1

2 152− − = − − +m

m

m m

a a

a a13 14

23 24

10 1

1 2=

−=

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 1 1

1 3 1

1 1 3

=−

−−

≠

— Determinant de A:

�A� = −22 − 6 ⋅ 2 − 8 = −24

— Transposada de A:

— Adjunta de At:

— Inversa de A:

28. Primerament efectuem les operacions del membre dela dreta:

Calculem ara la inversa de la matriu que multipli-ca X:

1 0 2

2 1 3

1 1 1

2

1 1 0

0 1 2

3 1 1

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅ =

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

X

⎠⎠

⎟⎟⎟

−− −

− − −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=− −

1 7 2

4 6 1

7 1 3

1 5 2

4 8 5

1 1 1

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

AA

Adj At− = =−

−−

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 1 124

8 4 8

4 10 2

4 2 2

( )⎟⎟

=

=

− −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

13

16

13

16

512

112

16

112

112

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Adjt At( ) =

=

−− −

−−

−−

2 0

2 4

1 0

3 4

1 2

3 2

0 2

2 4

1 2

3 4

1 0

3 2

0 2

22 0

1 2

1 0

1 0

1 2

8 4 8

4

−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=−

−−− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

10 2

4 2 2

At

t

=− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞1 1 3

0 2 2

2 0 4

1 0 2

1 2 0

3 2 4⎠⎠

⎟⎟⎟

�

CM

YK

41

2. Determ

inants— Determinant:

— Transposada:

— Adjunta de la transposada:

1 1

3 1

0 1

2 1

0 1

2 3

2 1

3 1

1 1

2 1

1 2

2 3

2 1

1 1

1 1

0 1

1 2

0

−−

−

− −

−−

− 11

4 2 2

1 1 1

3 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=− −−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟

1 0 2

2 1 3

1 1 1

1 2 1

0 1 1

2 3 1−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

t

1 0 2

2 1 3

1 1 1

2

−= −

— Inversa:

Multiplicant per l’esquerra els dos membres de la igual-tat per aquesta inversa, obtenim la matriu X:

29. Activitat TIC.

30. Activitat TIC.

X =

−

− −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⋅

2 1 1

12

12

12

32

12

12

1 5 2

4 8 5

1 1 1

1 1 0

2 1 2

0 3 1

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 0 2

2 1 3

1 1 1

12

4 2 2

1 1 1

3 1 1

1

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

− −−

−

⎛

⎝

⎜⎜

−

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

−

− −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 1

12

12

12

32

12

12

⎟⎟⎟⎟

41

2. D

eter

min

ants

—Determinant:

—Transposada:

—Adjunta de la transposada:

11

31

01

21

01

23

21

31

11

21

12

23

21

11

11

01

12

0

−−

−

−−

−−

−11

422

111

311

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟

102

213

111

121

011

231 −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

t

102

213

111

2

−=−

—Inversa:

Multiplicant per l’esquerra els dos membres de la igual-tat per aquesta inversa, obtenim la matriu X:

29.Activitat TIC.

30.Activitat TIC.

X=

−

−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⋅

211

12

12

12

32

12

12

152

485

111

110

212

031

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

102

213

111

12

422

111

311

1

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−

−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜

−

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

=

−

−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

211

12

12

12

32

12

12

⎟⎟⎟⎟

C M

Y K

42

3. Sistem

es d’equacions lineals

1.EQUACIONS LINEALS

1.a)

•Els coeficients són 3, 5, −1, .

•El terme independent és 2.

b)

•Els coeficients són 2, −1, 7, 1, .

•El terme independent és −3.

c)x +y +z =0

•Els coeficients són 1, 1, 1.

•El terme independent és 0.

2.Una terna (a, b, c) és solució de 3 x �y �2 z �0 sies compleix la igualtat 3 a �b �2 c �0; aleshores:

a)3 ⋅1 −(−1) +2 ⋅3 =10 ≠0 ⇒(1, −1, 3) no és so-lució.

b)3 ⋅(−4) −8 +2 ⋅10 =0 ⇒(−4, 8, 10) és solució.

c)3 ⋅7 −0 +2 ⋅(−8) =5 ≠0 ⇒(7, 0, −8) no és solu-ció.

3.Una equació lineal amb 4 incògnites és del tipus

a1x +a2y +a3z +a4t =b

Perquè (3, 1, �2, 0) sigui solució, s’ha de complir:

a1⋅3 +a2⋅1 +a3⋅(−2) +a4⋅0 ==3a1+a2−2a3=b

Si fixem, per exemple, a1�a2�a3�a4�1, el valorde b que fa certa la igualtat anterior és:

b =3 ⋅1 +1 −2 ⋅1 =2

La resposta suggerida és x �y �z �t �2.

2.SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

4.a)Representem gràficament les rectes a partir delspunts de pas:

−2

2723 12345 xxxxx −++−=−

12

3512

2 xyzt +−+=

•Recta 2x −3y =1:

•Recta 3x +5y =0:

Tot i que el punt de tall no es veu de manera exac-ta, està clar que n’hi ha un i és únic. Aleshores, estracta d’un sistema compatible determinat.

b)Representem gràficament les rectes a partir delspunts de pas:

•Recta −5x +2y =3:

•Recta 5x −2y =8:x

y

02

41 −

x

y

−−

11

14

x

y

05

03 −

x

y

−−

12

11

123 –2

1

2

3

–2

X

Y2x – 3y = 1

–1 –34

–33x + 5y = 0

–1

123 –2

1

2

3

–2

X

Y

–1 –34

–3

–4

–5x + 2y = 3

5x – 2y = 8

–1

Sistemesd’equacions lineals 3

42

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

1. EQUACIONS LINEALS

1. a)

• Els coeficients són 3, 5, −1, .

• El terme independent és 2.

b)

• Els coeficients són 2, −1, 7, 1, .

• El terme independent és −3.

c) x + y + z = 0

• Els coeficients són 1, 1, 1.

• El terme independent és 0.

2. Una terna (a, b, c) és solució de 3 x � y � 2 z � 0 sies compleix la igualtat 3 a � b � 2 c � 0; aleshores:

a) 3 ⋅ 1 − (−1) + 2 ⋅ 3 = 10 ≠ 0 ⇒ (1, −1, 3) no és so-lució.

b) 3 ⋅ (−4) − 8 + 2 ⋅ 10 = 0 ⇒ (−4, 8, 10) és solució.

c) 3 ⋅ 7 − 0 + 2 ⋅ (−8) = 5 ≠ 0 ⇒ (7, 0, −8) no és solu-ció.

3. Una equació lineal amb 4 incògnites és del tipus

a1x + a2y + a3z + a4t = b

Perquè (3, 1, �2, 0) sigui solució, s’ha de complir:

a1 ⋅ 3 + a2 ⋅ 1 + a3 ⋅ (−2) + a4 ⋅ 0 == 3 a1 + a2 − 2 a3 = b

Si fixem, per exemple, a1 � a2 � a3 � a4 � 1, el valorde b que fa certa la igualtat anterior és:

b = 3 ⋅ 1 + 1 − 2 ⋅ 1 = 2

La resposta suggerida és x � y � z � t � 2.

2. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

4. a) Representem gràficament les rectes a partir delspunts de pas:

− 2

2 7 2 31 2 3 4 5x x x x x− + + − = −

12

3 512

2x y z t+ − + =

• Recta 2 x − 3 y = 1:

• Recta 3 x + 5 y = 0:

Tot i que el punt de tall no es veu de manera exac-ta, està clar que n’hi ha un i és únic. Aleshores, estracta d’un sistema compatible determinat.

b) Representem gràficament les rectes a partir delspunts de pas:

• Recta −5 x + 2 y = 3:

• Recta 5 x − 2 y = 8: x

y

0 2

4 1−

x

y

−−

1 1

1 4

x

y

0 5

0 3−

x

y

−−

1 2

1 1

1 2 3–2

1

2

3

–2

X

Y2x – 3y = 1

–1–3 4

–33x + 5y = 0

–1

1 2 3–2

1

2

3

–2

X

Y

–1–3 4

–3

–4

–5x + 2y = 3

5x – 2y = 8

–1

Sistemesd’equacions lineals3

CM

YK

43

3. Sistem

es d’equacions linealsEs tracta de dues rectes paral.leles, i això compor-ta que el sistema no té solució. Aleshores, és un sis-tema incompatible.

c) Representem gràficament les rectes:

• Recta 3 x + 3 y = 3:

• Recta 2 x + 2 y = 2:

Resulten ser dues rectes coincidents i, per tant, elsistema té infinites solucions. Aleshores, es tractad’un sistema compatible indeterminat.

3. RESOLUCIÓ I CLASSIFICACIÓ DE SISTEMES

5. a) Es tracta d’un sistema esglaonat que podem resol-dre per substitució regressiva:

— Resolem la tercera equació, que ens dóna el va-lor de z:

— Substituïm el valor de z en la segona equació iobtenim el valor de y:

— Substituïm els valors de z i y en la primera equa-ció i obtenim el valor de x:

Per tant, la solució del sistema és .

b) — Sumem a la segona equació la primera multi-plicada per –3, i sumem a la tercera la primeramultiplicada per �4:

13

1 0, ,−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

131

0

x

y

z

=

= −=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎭⎪⎪

→3 1 5 0 2

1

0

x

y

z

− − + ⋅ == −=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

( )

3 5 2

7 0 7

0

3 5 2

1

0

x y z

y

z

x y z

y

z

− + =− + =

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→− + =

= −=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪

3 5 2

7 7

2 0

3 5 2

7 7

x y z

y z

z

x y z

y z

z

− + =− + =

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→− + =

− + ===

⎫

⎬⎪

⎭⎪0

x

y

0 1

1 0

x

y

0 1

1 0— Multipliquem la segona equació per

perquè el coeficient de y sigui l:

— Sumem a la tercera equació la segona multipli-cada per 8:

— Resolem el sistema esglaonat, equivalent al departida, per substitució regressiva:

La solució del sistema és (2, 0, �1).

6. La matriu ampliada associada al sistema és:

Si apliquem el mètode de Gauss amb notació matricial:

Resolent per substitució regressiva:

La solució és .−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

53

53

23

, ,

z

y z

x y z

= =

= + = + =

= − + + = − ⋅ + + =

69

23

123

153

2 1 253

23

1 −− 53

− − + = −− + = −

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y z

y z

z

2 1

1

9 6

———�

− − −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 1 1

0 1 1 1

0 0 9 6

F3 → F3 − 3 F2

——————�

− − −− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 1 1

0 1 1 1

0 3 12 3

F2 → F2 + 2 F1F3 → F3 + 3 F1

——————�

− − −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 1 1

2 3 1 1

3 3 9 6

′ =− − −

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

1 2 1 1

2 3 1 1

3 3 9 6

z

y z

x y z

= −= + = + − == − + = − ⋅ + − =

1

1 1 1 0

4 3 2 4 3 0 2 1

( )

( ) 22

x y z

y z

y z

x y z

y z

+ − =− =

− + = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→+ − =

−3 2 4

1

8 10 10

3 2 4

=== −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1

2 2z

x y z

y z

y z

x y z+ − =− + = −

− + = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→+ − =3 2 4

7 7 7

8 10 10

3 2 44

1

8 10 10

y z

y z

− =− + = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

− 17

x y z

x y z

x y z

x y z+ − =+ + =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→+ − =3 2 4

3 2 5

4 4 2 6

3 2 4

−− + = −− + = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

7 7 7

8 10 10

y z

y z

1 2 3–2

1

2

3

–2

X

Y

3x + 3y = 3

–1–3 4

–3

–1

2x + 2y = 2

43

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

Es tracta de dues rectes paral.leles, i això compor-ta que el sistema no té solució. Aleshores, és un sis-tema incompatible.

c)Representem gràficament les rectes:

•Recta 3x +3y =3:

•Recta 2x +2y =2:

Resulten ser dues rectes coincidents i, per tant, elsistema té infinites solucions. Aleshores, es tractad’un sistema compatible indeterminat.

3.RESOLUCIÓ I CLASSIFICACIÓ DE SISTEMES

5.a)Es tracta d’un sistema esglaonat que podem resol-dre per substitució regressiva:

—Resolem la tercera equació, que ens dóna el va-lor de z:

—Substituïm el valor de z en la segona equació iobtenim el valor de y:

—Substituïm els valors de z i y en la primera equa-ció i obtenim el valor de x:

Per tant, la solució del sistema és .

b)—Sumem a la segona equació la primera multi-plicada per –3, i sumem a la tercera la primeramultiplicada per �4:

13

10 ,, − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

131

0

x

y

z

=

=−=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎭⎪⎪

→31502

1

0

x

y

z

−−+⋅==−=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

()

352

707

0

352

1

0

xyz

y

z

xyz

y

z

−+=−+=

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→−+=

=−=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪

352

77

20

352

77

xyz

yz

z

xyz

yz

z

−+=−+=

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→−+=

−+===

⎫

⎬⎪

⎭⎪ 0

x

y

01

10

x

y

01

10—Multipliquem la segona equació per

perquè el coeficient de y sigui l:

—Sumem a la tercera equació la segona multipli-cada per 8:

—Resolem el sistema esglaonat, equivalent al departida, per substitució regressiva:

La solució del sistema és (2, 0, �1).

6.La matriu ampliada associada al sistema és:

Si apliquem el mètode de Gauss amb notació matricial:

Resolent per substitució regressiva:

La solució és . −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

53

53

23

,,

z

yz

xyz

==

=+=+=

=−++=−⋅++=

69

23

123

153

21253

23

1−−53

−−+=−−+=−

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

xyz

yz

z

21

1

96

———�

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1211

0111

0096

F3→F3−3 F2

——————�

−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1211

0111

03123

F2→F2+2 F1F3→F3+3 F1

——————�

−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1211

2311

3396

′=−−−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

1211

2311

3396

z

yz

xyz

=−=+=+−==−+=−⋅+−=

1

1110

43243021

()

()22

xyz

yz

yz

xyz

yz

+−=−=

−+=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→+−=

−324

1

81010

324

===−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1

22 z

xyz

yz

yz

xyz +−=−+=−

−+=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→+−= 324

777

81010

3244

1

81010

yz

yz

−=−+=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

−17

xyz

xyz

xyz

xyz +−=++=

++=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

→+−= 324

325

4426

324

−−+=−−+=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

777

81010

yz

yz

123 –2

1

2

3

–2

X

Y

3x + 3y = 3

–1 –34

–3

–1

2x + 2y = 2

C M

Y K

44

3. Sistem


7.a)La matriu ampliada associada a aquest sistema d’equacions és:

Aplicant el mètode de Gauss:

Aquesta matriu està associada a un sistema amb elmateix nombre d’equacions que d’incògnites:

Així, tenim un sistema compatible determinat.

Per substitució regressiva:

La solució és (�1, 4).

b)La matriu associada al sistema és:

Si apliquem el mètode de Gauss:

23115

04218

0015

−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FF 3343

→−

23115

04218

003

4154

−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

FFF 33258

→−

23115

04218

05

212

152

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2→F2−F1

——————�

′=−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

23115

2113

1100

y

x

=⋅=

=−+⋅=−

22211

4

732

41

xy

y

−=−

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

32

7

112

22

132

7

0112

22

−− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−5 F1

——————�

132

7

5213

−−

−−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

FF 1114

→

′=−−−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ A

4628

5213

Obtenim la matriu associada a un sistema amb lesmateixes equacions que incògnites:

El sistema és compatible determinat i, fent substi-tució regressiva, obtenim:

Així, la solució és (2, 2, �5).

c)La matriu ampliada associada al sistema és:


Aquesta és la matriu associada a un sistema amb mésincògnites que equacions:

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeter-minat dependent de 3 �2 �1 paràmetre.

Prenent com a paràmetre la variable z, tenim:

Les solucions són , λ∈�.

d)La matriu ampliada associada a aquest sistema és:


La segona fila correspon a l’equació

0x +0y =−7

−−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

242

007F2→F2−4 F1

——————�

′=−−−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ A

242

8161

152

52

,, + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ λλ

z

y

x

=

=+=+

=−+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+=

λ

λλ

λλ

12

2552

1052

152

[]

xyz

yz

+−=−+=−

⎫⎬⎭

10

225

11110

0225

−−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F2→F2−F1

—————�

′=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ A

11110

1115

z

y

x

=−

=⋅⋅−+=

=−⋅+−

5

14

25182

12

15325

(())

(()))=2

2315

4218

5

xyz

yz

z

+−=−+=−

=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

——————�

————�

————�

FFF 33112

→−

44

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

7. a) La matriu ampliada associada a aquest sistema d’equacions és:


Aquesta matriu està associada a un sistema amb elmateix nombre d’equacions que d’incògnites:

Així, tenim un sistema compatible determinat.

Per substitució regressiva:


b) La matriu associada al sistema és:


2 3 1 15

0 4 2 18

0 0 1 5

−− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F3 343

→ −

2 3 1 15

0 4 2 18

0 03

4154

−− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F F F3 3 258

→ −

2 3 1 15

0 4 2 18

05

212

152

−− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2 → F2 − F1

——————�

′ =−

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

2 3 1 15

2 1 1 3

1 1 0 0

y

x

= ⋅ =

= − + ⋅ = −

22211

4

732

4 1

x y

y

− = −

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

32

7

112

22

132

7

0112

22

− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − 5 F1

——————�

132

7

5 2 13

− −

− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

F F1 114

→

′ =− −− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A4 6 28

5 2 13

Obtenim la matriu associada a un sistema amb lesmateixes equacions que incògnites:

El sistema és compatible determinat i, fent substi-tució regressiva, obtenim:

Així, la solució és (2, 2, �5).

c) La matriu ampliada associada al sistema és:


Aquesta és la matriu associada a un sistema amb mésincògnites que equacions:

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeter-minat dependent de 3 � 2 � 1 paràmetre.

Prenent com a paràmetre la variable z, tenim:

Les solucions són , λ ∈ � .

d) La matriu ampliada associada a aquest sistema és:


La segona fila correspon a l’equació

0 x + 0 y = −7

− −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 4 2

0 0 7F2 → F2 − 4 F1

——————�

′ =− −− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A2 4 2

8 16 1

152

52

, ,+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

λ λ

z

y

x

=

= + = +

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =

λ

λ λ

λ λ

12

2 552

1052

152

[ ]

x y z

y z

+ − =− + = −

⎫⎬⎭

10

2 2 5

1 1 1 10

0 2 2 5

−− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F2 → F2 − F1

—————�

′ =−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A1 1 1 10

1 1 1 5

z

y

x

= −

= ⋅ ⋅ − + =

= − ⋅ + −

5

14

2 5 18 2

12

15 3 2 5

( ( ) )

( ( ))) = 2

2 3 15

4 2 18

5

x y z

y z

z

+ − =− + = −

= −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

——————�

————�

————�

F F F3 3 112

→ −

CM

YK

45

3. Sistem

es d’equacions linealsque no té solucions. Per tant, el sistema és incom-patible.

e) La matriu ampliada associada al sistema és:

Hi apliquem el mètode de Gauss:

Aquesta és la matriu associada a un sistema esglao-nat amb el mateix nombre d’equacions que d’incòg-nites:

Es tracta d’un sistema compatible determinat.

Podem obtenir la solució per substitució regressi-va:

La solució és .

f ) La matriu ampliada associada a aquest sistema és:


L’última fila correspon a l’equació

0 x + 0 y = 0

que és redundant, ja que es compleix per a tot va-lor de x i y.

1 4 5

0 1 1

0 0 0

− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F2 219

→

1 4 5

0 9 9

0 0 0

− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 − 2 F1

——————�

′ =− −

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

1 4 5

2 1 1

2 8 10

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1918

209

0, ,

z

y

x

=

= ⋅ − = −

= + ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

19

26 0 20209

12

9 5209

[ ]

−− ⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −12 0

1918

2 5 12 9

9 26 20

24 0

x y z

y z

z

− + =− = −

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 5 12 9

0 9 26 20

0 0 24 0

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → F3 − F2

—————�

2 5 12 9

0 9 26 20

0 9 2 20

−− −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 − F1

——————�

′ =−− − −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

2 5 12 9

4 1 2 2

2 4 10 11

Per tant, el sistema de partida és equivalent al se-güent sistema esglaonat amb 2 equacions i 2 in-cògnites:

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible deter-minat.

Podem obtenir-ne la solució per substitució re-gressiva:


8. a) Podem escriure el sistema matricialment:

Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular; és a dir, �A� � 0:

Per tant, podem resoldre el sistema pel mètode dela matriu inversa:

La solució del sistema és x � 2, y � �2, z � 1.

b) Escrivim el sistema en notació matricial:

Comprovem que la matriu de coeficients és re-gular:

Multipliquem per l’esquerra els dos membres del’equació matricial anterior per la inversa de la ma-triu de coeficients:

1 1 1

1 2 3

2 2 2

16 0−−

= − ≠

1 1 1

1 2 3

2 2 2

2

8

4

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

⎛x

y

z ⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

x

y

z

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅ −⎛−

2 4 5

1 3 3

3 3 2

1

1

2

1

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−

⋅− −

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

18

3 7 3

7 11 1

6 6 2

⋅ −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1

2

2

2

1

A = = − ≠2 4 5

1 3 3

3 3 2

8 0

2 4 5

1 3 3

3 3 2

1

1

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −⎛

⎝

⎜x

y

z⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

y

x

== − + ⋅ = −

1

5 4 1 1

x y

y

− = −=

⎫⎬⎭

4 5

1

45

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

que no té solucions. Per tant, el sistema és incom-patible.

e)La matriu ampliada associada al sistema és:

Hi apliquem el mètode de Gauss:

Aquesta és la matriu associada a un sistema esglao-nat amb el mateix nombre d’equacions que d’incòg-nites:

Es tracta d’un sistema compatible determinat.

Podem obtenir la solució per substitució regressi-va:

La solució és .

f)La matriu ampliada associada a aquest sistema és:



0x +0y =0

que és redundant, ja que es compleix per a tot va-lor de x i y.

145

011

000

−− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FF 2219

→

145

099

000

−− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−2 F1F3→F3−2 F1

——————�

′=−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

145

211

2810

−− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1918

209

0 ,,

z

y

x

=

=⋅−=−

=+⋅−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

19

26020209

12

95209

[]

−−⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=− 120

1918

25129

92620

240

xyz

yz

z

−+=−=−

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

25129

092620

00240

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→F3−F2

—————�

25129

092620

09220

−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−2 F1F3→F3−F1

——————�

′=−−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

25129

4122

241011

Per tant, el sistema de partida és equivalent al se-güent sistema esglaonat amb 2 equacions i 2 in-cògnites:

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible deter-minat.

Podem obtenir-ne la solució per substitució re-gressiva:


8.a)Podem escriure el sistema matricialment:

Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular; és a dir, �A��0:

Per tant, podem resoldre el sistema pel mètode dela matriu inversa:

La solució del sistema és x �2, y ��2, z �1.

b)Escrivim el sistema en notació matricial:

Comprovem que la matriu de coeficients és re-gular:

Multipliquem per l’esquerra els dos membres del’equació matricial anterior per la inversa de la ma-triu de coeficients:

111

123

222

160 −−

=−≠

111

123

222

2

8

4

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−

⎛ x

y

z⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

x

y

z

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅−

⎛−

245

133

332

1

1

2

1

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

=−

⋅−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

18

373

7111

662

⋅−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

1

2

2

2

1

A==−≠245

133

332

80

245

133

332

1

1

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=−

⎛

⎝

⎜x

y

z⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

y

x

==−+⋅=−

1

5411

xy

y

−=−=

⎫⎬⎭

45

1

C M

Y K

46

3. Sistem


La solució del sistema és x �1, y �2, z ��1.

9.a)Les matrius associades al sistema són:

El rang de A és 2, ja que:

•La dimensió de A és 2 �2 ⇒rang (A) 2.

•

Per tant, el rang de A�també és 2, ja que:

•rang (A�) �rang (A) �2

•La dimensió de A�es 2 �3 ⇒rang (A�) 2.

Per tant:

rang (A) �rang (A�) �2 ⇒Sistema compatible

i, com que n �2, és un sistema compatible deter-minat.

b)Les matrius associades al sistema són:


•�a11�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1

•L’únic menor d’ordre 2 de A és

El rang de A�és també 1, ja que:

•rang (A�) �rang (A) �1.

•Els únics orlats de �a11�són:

Per tant:

rang (A) �rang (A�) �1 ⇒Sistema compatible

i, com que n �2 �1, és indeterminat.

, aleshores, rang (A�) <211

110

−−= �A�=0 i

AA =−

−=⇒<

11

1102 rang()

′=−

−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ A

111

111A=

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

11

AA =−

=−≠⇒≥12

11302 rang()

′=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ A

121

112A=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

11

x

y

z

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅

−

−111

123

222

2

8

1

44

116

245

804

641

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

=−

⋅−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⋅

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2

8

4

1

2

1

c)Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de A:

•

•


Calculem el rang de A�:

•

⇒rang (A�) �2

•Els únics orlats del menor anterior són:

Aleshores, rang (A�) �3.

Per tant, rang (A�) �2.

Així, rang (A)�2�rang (A�)⇒Sistema compatible

i, com que n �3 �2, és un sistema indeterminat.

d)Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de cadascuna:

•

•


•

⇒rang (A�) �2

és un menor no nul de A�⇒−11

51

aa

aa

A

1112

2122

11

5160

2

=−

=−≠⇒

⇒≥ rang()

AA =−−

=⇒<111

512

421

03 rang()

′=−−−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

1111

5123

4210

A=−− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

111

512

421

A=−−

= 0

21

11

3

0

253

0

també és un menor no nul de A�⇒21

11

−

aa

aaA

1112

2122

21

11302 =

−=≠⇒≥ rang()

AA =−

=⇒<213

111

251

03 rang()

′=−− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

2133

1110

2513A=

− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

213

111

251

46

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

La solució del sistema és x � 1, y � 2, z � �1.

9. a) Les matrius associades al sistema són:


• La dimensió de A és 2 � 2 ⇒ rang (A) 2.

•

Per tant, el rang de A� també és 2, ja que:

• rang (A�) � rang (A) � 2

• La dimensió de A� es 2 � 3 ⇒ rang (A�) 2.

Per tant:

rang (A) � rang (A�) � 2 ⇒ Sistema compatible

i, com que n � 2, és un sistema compatible deter-minat.

b) Les matrius associades al sistema són:


• �a11� = �1� = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

• L’únic menor d’ordre 2 de A és

El rang de A� és també 1, ja que:

• rang (A�) � rang (A) � 1.

• Els únics orlats de �a11� són:

Per tant:

rang (A) � rang (A�) � 1 ⇒ Sistema compatible

i, com que n � 2 � 1, és indeterminat.

, aleshores, rang (A�) < 21 1

1 10

− −=�A� = 0 i

A A=−

−= ⇒ <

1 1

1 10 2rang ( )

′ =−

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A1 1 1

1 1 1A =

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

1 1

A A=−

= − ≠ ⇒ ≥1 2

1 13 0 2rang ( )

′ =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A1 2 1

1 1 2A =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

1 1

x

y

z

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅−

−1 1 1

1 2 3

2 2 2

2

8

1

44

116

2 4 5

8 0 4

6 4 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=−

⋅− − −−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2

8

4

1

2

1

c) Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de A:

•

•


Calculem el rang de A�:

•

⇒ rang (A�) � 2

• Els únics orlats del menor anterior són:

Aleshores, rang (A�) � 3.

Per tant, rang (A�) � 2.

Així, rang (A)�2� rang (A�) ⇒ Sistema compatible

i, com que n � 3 � 2, és un sistema indeterminat.

d) Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de cadascuna:

•

•


•

⇒ rang (A�) � 2

és un menor no nul de A� ⇒−1 1

5 1

a a

a a

A

11 12

21 22

1 1

5 16 0

2

=−

= − ≠ ⇒

⇒ ≥rang ( )

A A=− −

= ⇒ <1 1 1

5 1 2

4 2 1

0 3rang ( )

′ =− − −

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

1 1 1 1

5 1 2 3

4 2 1 0

A =− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1

5 1 2

4 2 1

A =− −

=0

2 1

1 1

3

0

2 5 3

0

també és un menor no nul de A� ⇒2 1

1 1

−

a a

a aA11 12

21 22

2 1

1 13 0 2=

−= ≠ ⇒ ≥rang ( )

A A=−

= ⇒ <2 1 3

1 1 1

2 5 1

0 3rang ( )

′ =− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

2 1 3 3

1 1 1 0

2 5 1 3A =

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 3

1 1 1

2 5 1

CM

YK

47

3. Sistem

es d’equacions lineals• Els únics orlats d’aquest menor en A� són:

Aleshores, rang (A�) � 3.

• La dimensió de A� és 3 � 4 ⇒ rang (A�) 3

Per tant, rang (A�) � 3.

Així, rang (A) � 2 � 3 � rang (A�) ⇒ Sistema in-compatible

e) Aquest sistema s’obté afegint al de l’apartat ante-rior una equació (l’última, 3 x � 3 y � �1).

Aquell sistema era incompatible, i això comportaque cap terna de valors no satisfà simultàniamentles tres primeres equacions.

Per tant, cap terna de valors no satisfarà les quatreequacions d’aquest sistema.

Així, el sistema és incompatible.

10. a) La matriu de coeficients i el seu determinant són:

És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites ambla matriu de coeficients regular. Aleshores, és reso-luble per Cramer:

b) La matriu de coeficients i el seu determinant són:

És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites lamatriu de coeficients del qual és regular. Aleshores,és resoluble per Cramer:

A

A

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −−

= − ≠

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 1 1

1 2 3

2 2 2

16 0

zA

= =−

− =1 18

2 4 1

1 3 1

3 3 2

13Δ

yA

= =−

− = −1 18

2 1 5

1 1 3

3 2 2

22Δ

xA

= =−

− =1 18

1 4 5

1 3 3

2 3 2

21Δ

A A=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= = − ≠2 4 5

1 3 3

3 3 2

2 4 5

1 3 3

3 3 2

8 0,

A =− −

− = − ≠0

1 1

5 1

1

3

4 2 0

24 0

11. a) Segons la classificació de l’exercici 9 de la pàgina58, els sistemes compatibles indeterminats que cal re-soldre corresponen als apartats b i c.b) Tenim el sistema

Que té associada una matriu de rang 1, prenent el me-nor M11, amb determinant diferent de zero. Per tant,el sistema es redueix a l’equació:

D’on, considerant la columna 1 del sistema, prenem laincògnita y com a paràmetre λ. D’on

La solució del sistema és, doncs:

c) Tenim el sistema

Amb la matriu associada

Amb

Sabem que és compatible indeterminat per l’exercici9, i el menor que hem utilitzat per a classificar-lo ha es-tat:

De determinant diferent de zero.Considerem la incògnita z com a paràmetre λ, i rees-crivim el sistema com:

2 3 3x y

x y

− = − −+ = −

⎫⎬⎭

λλ

2 1

1 1

−

A = 0

A =−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 3

1 1 1

2 5 1

2 3 3

0

2 5 3

x y z

x y z

x y z

− + = −+ + =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x

y

= +=

1 λλ

x

x

− == +

λλ

1

1

x y− = 1

x y

x y

− =− + =

⎫⎬⎭

1

1

zA

= =−

− −= −1 1

16

1 1 2

1 2 8

2 2 4

13Δ

yA

= =−

−−

=1 116

1 2 1

1 8 3

2 4 2

22Δ

xA

= =−

−− −

=1 116

2 1 1

8 2 3

4 2 2

11Δ

47

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

•Els únics orlats d’aquest menor en A�són:

Aleshores, rang (A�) �3.

•La dimensió de A�és 3 �4 ⇒rang (A�) 3

Per tant, rang (A�) �3.

Així, rang (A) �2 �3 �rang (A�) ⇒Sistema in-compatible

e)Aquest sistema s’obté afegint al de l’apartat ante-rior una equació (l’última, 3 x �3 y ��1).

Aquell sistema era incompatible, i això comportaque cap terna de valors no satisfà simultàniamentles tres primeres equacions.

Per tant, cap terna de valors no satisfarà les quatreequacions d’aquest sistema.

Així, el sistema és incompatible.

10.a)La matriu de coeficients i el seu determinant són:

És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites ambla matriu de coeficients regular. Aleshores, és reso-luble per Cramer:

b)La matriu de coeficients i el seu determinant són:

És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites lamatriu de coeficients del qual és regular. Aleshores,és resoluble per Cramer:

A

A

=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−

=−≠

111

123

222

111

123

222

160

zA

==−

−=11

8

241

131

332

1 3 Δ

yA

==−

−=−11

8

215

113

322

2 2 Δ

xA

==−

−=11

8

145

133

232

2 1 Δ

AA =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟==−≠

245

133

332

245

133

332

80 ,

A=−−

−=−≠ 0

11

51

1

3

420

240

11.a)Segons la classificació de l’exercici 9 de la pàgina58, els sistemes compatibles indeterminats que cal re-soldre corresponen als apartats b i c.b)Tenim el sistema

Que té associada una matriu de rang 1, prenent el me-nor M11, amb determinant diferent de zero. Per tant,el sistema es redueix a l’equació:

D’on, considerant la columna 1 del sistema, prenem laincògnita y com a paràmetre λ. D’on

La solució del sistema és, doncs:

c)Tenim el sistema

Amb la matriu associada

Amb

Sabem que és compatible indeterminat per l’exercici9, i el menor que hem utilitzat per a classificar-lo ha es-tat:

De determinant diferent de zero.Considerem la incògnita z com a paràmetre λ, i rees-crivim el sistema com:

233 xy

xy

−=−−+=−

⎫⎬⎭

λλ

21

11

−

A=0

A=− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

213

111

251

233

0

253

xyz

xyz

xyz

−+=−++=

++=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x

y

=+=

1λλ

x

x

−==+

λλ

1

1

xy −=1

xy

xy

−=−+=

⎫⎬⎭

1

1

zA

==−

−−=−

1116

112

128

224

1 3 Δ

yA

==−

−−

=11

16

121

183

242

2 2 Δ

xA

==−

−−−

=11

16

211

823

422

1 1 Δ

C M

Y K

48

3. Sistem


El determinant de la matriu associada al nou sistemaés no nul:

Per tant, el podem resoldre per Cramer:

La solució del sistema és:


12.a)

————————�

Si 9 (k �3) �0, és a dir, k ��3, el sistema és com-patible determinat.

1122

0594

009348 ()() kk ++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→−5 F3

—————�

1122

0594

0095

345

8 −+−+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ ()() kk

FFk

F 3322

5→−

−

1122

0594

0298 k−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2↔F3

———�

1122

0298

0594

k−−−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−2 F1F3→F3+3 F1

——————�

1122

254

3232

k−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1↔F3

———�

′=−−

−−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ Ak

3232

254

1122

z=λ

y=+ 113

λ

x=−− 143

λ

y=+=+13

3113

() λλ

yA

=Δ=−−

−11

3

233

12

λλ

x=−−=−−13

34143

() λλ

xA

=Δ=−−−

−11

3

31

11

λλ

A=−

=≠21

1130

Si k ��3, la forma esglaonada de la matriu am-pliada és:

L’última fila correspon a l’equació 0 x �0 y ��0 z �20, que no té solució. Aleshores, el sistemaés incompatible.

En resum:

k ��3 ⇒Sistema compatible determinat

k ��3 ⇒Sistema incompatible

b)

El determinant de la matriu de coeficients esglao-nada és:

=1 (k −1)(−k2−k +2)

Si aquest determinant és no nul, el sistema és com-patible determinat. Vegem per a quins valors de kno succeeix això:

0 =(k −1) (−k2−k +2) ⇔

Així, si k �1 i k ��2, el sistema és compatible de-terminat.

Classifiquem els sistemes obtinguts per als dos va-lors de k descartats:

•k �1.La forma esglaonada de la matriu ampliadaés:

1111

0000

0000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⇔−=⇔=

−−+=⇔==−

⎧⎨⎪

⎩⎪

kk

kkkok

101

20122

11

011

0022

k

kk

kk

−−

−−+

=

11

0110

00212

kk

kk

kkkk

−−

−−+−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ ()

F3→F3+F2

—————�

11

0110

01122

kk

kk

kkkk

−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−F1F3→F3−k F1

——————�

11

11

11

kk

kk

kk

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1↔F3

———�

′=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

kk

kk

kk

11

11

11

1122

0594

00020

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

48

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

El determinant de la matriu associada al nou sistemaés no nul:

Per tant, el podem resoldre per Cramer:



12. a)

————————�

Si 9 (k � 3) � 0, és a dir, k � �3, el sistema és com-patible determinat.

1 1 2 2

0 5 9 4

0 0 9 3 4 8( ) ( )k k+ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → −5 F3

—————�

1 1 2 2

0 5 9 4

0 095

345

8− + − +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟( ) ( )k k

F Fk

F3 3 22

5→ −

−

1 1 2 2

0 5 9 4

0 2 9 8k − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 ↔ F3

———�

1 1 2 2

0 2 9 8

0 5 9 4

k − − −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 + 3 F1

——————�

1 1 2 2

2 5 4

3 2 3 2

k − −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1 ↔ F3

———�

′ =− −

− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A k

3 2 3 2

2 5 4

1 1 2 2

z = λ

y = +113

λ

x = − −143

λ

y = + = +13

3 113

( )λ λ

yA

= Δ =− −

−1 1

3

2 3 3

12λ

λ

x = − − = − −13

3 4 143

( )λ λ

xA

= Δ =− − −

−1 1

3

3 1

11λ

λ

A =−

= ≠2 1

1 13 0

Si k � �3, la forma esglaonada de la matriu am-pliada és:

L’última fila correspon a l’equació 0 x � 0 y �� 0 z � 20, que no té solució. Aleshores, el sistemaés incompatible.

En resum:

k � �3 ⇒ Sistema compatible determinat

k � �3 ⇒ Sistema incompatible

b)

El determinant de la matriu de coeficients esglao-nada és:

= 1 (k − 1)(−k2 − k + 2)

Si aquest determinant és no nul, el sistema és com-patible determinat. Vegem per a quins valors de kno succeeix això:

0 = (k − 1) (−k2 − k + 2) ⇔

Així, si k � 1 i k � �2, el sistema és compatible de-terminat.

Classifiquem els sistemes obtinguts per als dos va-lors de k descartats:

• k � 1. La forma esglaonada de la matriu ampliadaés:

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⇔− = ⇔ =

− − + = ⇔ = = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

k k

k k k o k

1 0 1

2 0 1 22

1 1

0 1 1

0 0 22

k

k k

k k

− −

− − +

=

1 1

0 1 1 0

0 0 2 12

k k

k k

k k k k

− −

− − + −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟( )

F3 → F3 + F2

—————�

1 1

0 1 1 0

0 1 1 2 2

k k

k k

k k k k

− −

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − F1F3 → F3 − k F1

——————�

1 1

1 1

1 1

k k

k k

k k

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1 ↔ F3

———�

′ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

k k

k k

k k

1 1

1 1

1 1

1 1 2 2

0 5 9 4

0 0 0 20

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

CM

YK

49

3. Sistem

es d’equacions linealsLes dues últimes files són redundants i l’equaciórestant és:

x + y + z = 1

Obtenim un sistema d’una equació amb 3 incòg-nites. Aleshores, el sistema inicial és compatibleindeterminat (dependent de 3 � 1 � 2 paràme-tres).

• k � �2. La forma esglaonada de la matriu am-pliada és:

L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y ++ 0 z = −6, que no té solució. Aleshores, el sistemaés incompatible.

En resum:

k � 1, �2 ⇒ Sistema compatible determinat

k � 1 ⇒ Sistema compatible indeterminat

k � �2 ⇒ Sistema incompatible

c)

Per continuar, hem de distingir dos casos:

• Si �k � 1 � 0, és a dir, k � �1, podem dividirla segona fila per �k � 1:

——————�

Si observem l’última fila, veurem que si 1 � k �� 0, és a dir, si k � 1, tenim un sistema compati-ble determinat.

1 1 1 2

0 1 0 1

0 0 1 32

k

k k k

+

− − − +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → F3 − (1 − k) F2

—————————�

1 1 1 2

0 1 0 1

0 1 1 2 42

k

k k k k

+

− − − − +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Fk

F2 21

1→

− −

1 1 1 2

0 1 0 1

0 1 1 2 42

k

k k

k k k k

+− − − −

− − − − +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1 2

0 1 0 1

0 1 1 2 42

k

k k

k k k k

+− − − −

− − − − +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − F1F3 → F3 − k F1

——————�

′ =+

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

k

k

k

1 1 1 2

1 1 1

1 1 4

1 1 2 2

0 3 3 0

0 0 0 6

− −−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Si no és així, és a dir, si k � 1, la forma esglaona-da de la matriu ampliada és:

L’última fila correspon a l’equació 0 x � 0 y �� 0 z � 1, que no té solució. Aleshores, el siste-ma és incompatible.

• Si �k � 1 � 0, el paràmetre és k � �1, per tant:

La segona fila correspon a una equació redun-dant i, per tant, el sistema inicial és equivalent aun sistema esglaonat de dues equacions amb 3incògnites.

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible inde-terminat (dependent de 3 � 2 � 1 paràmetre).

En resum:

k � 1, �1 ⇒ Sistema compatible determinat

k � 1 ⇒ Sistema incompatible

k � �1 ⇒ Sistema compatible indeterminat

13. — Que el nombre buscat estigui comprès entre 100 i999 significa que té exactament tres xifres.

Sigui x la xifra de les centenes, y la de les desenes iz la de les unitats.

D’aquesta manera, el nombre buscat és:

100 x + 10 y + z

— Per determinar els valors x, y, z, imposarem les con-dicions de l’enunciat:

• La suma de les seves xifres és 6:

x � y � z � 6

• El triple de la xifra de les desenes és igual a la deles unitats:

3 y � z

• Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre aug-menta en 99:

100 z � 10 y � x � 100 x � 10 y � z � 99

Hem de resoldre, doncs, el sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:

x y z

y z

z y x x y z

+ + ==

+ + = + + +

⎫

⎬⎪

⎭⎪

6

3

100 10 100 10 99

1 1 1 2

0 1 0 1

0 1 1 2 42

k

k k

k k k k

+− − − −

− − − − +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=11 1 1 1

0 0 0 0

0 2 2 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1 3

0 1 0 1

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

49

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

Les dues últimes files són redundants i l’equaciórestant és:

x +y +z =1

Obtenim un sistema d’una equació amb 3 incòg-nites. Aleshores, el sistema inicial és compatibleindeterminat (dependent de 3 �1 �2 paràme-tres).

•k ��2.La forma esglaonada de la matriu am-pliada és:

L’última fila correspon a l’equació 0x +0y ++ 0z =−6, que no té solució. Aleshores, el sistemaés incompatible.

En resum:

k �1, �2 ⇒Sistema compatible determinat

k �1 ⇒Sistema compatible indeterminat

k ��2 ⇒Sistema incompatible

c)

Per continuar, hem de distingir dos casos:

•Si �k �1 �0, és a dir, k ��1, podem dividirla segona fila per �k �1:

——————�

Si observem l’última fila, veurem que si 1 �k ��0, és a dir, si k �1, tenim un sistema compati-ble determinat.

1112

0101

00132

k

kkk

+

−−−+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→F3−(1 −k) F2

—————————�

1112

0101

011242

k

kkkk

+

−−−−+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Fk

F 221

1→

−−

1112

0101

011242

k

kk

kkkk

+−−−−

−−−−+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1112

0101

011242

k

kk

kkkk

+−−−−

−−−−+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−F1F3→F3−k F1

——————�

′=+

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

k

k

k

1112

111

114

1122

0330

0006

−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Si no és així, és a dir, si k �1, la forma esglaona-da de la matriu ampliada és:

L’última fila correspon a l’equació 0 x �0 y ��0 z �1, que no té solució. Aleshores, el siste-ma és incompatible.

•Si �k �1 �0, el paràmetre és k ��1, per tant:

La segona fila correspon a una equació redun-dant i, per tant, el sistema inicial és equivalent aun sistema esglaonat de dues equacions amb 3incògnites.

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible inde-terminat (dependent de 3 �2 �1 paràmetre).

En resum:

k �1, �1 ⇒Sistema compatible determinat

k �1 ⇒Sistema incompatible

k ��1 ⇒Sistema compatible indeterminat

13.—Que el nombre buscat estigui comprès entre 100 i999 significa que té exactament tres xifres.

Sigui x la xifra de les centenes, y la de les desenes iz la de les unitats.

D’aquesta manera, el nombre buscat és:

100x +10y +z

—Per determinar els valors x, y, z, imposarem les con-dicions de l’enunciat:

•La suma de les seves xifres és 6:

x �y �z �6

•El triple de la xifra de les desenes és igual a la deles unitats:

3 y �z

•Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre aug-menta en 99:

100 z �10 y �x �100 x �10 y �z �99

Hem de resoldre, doncs, el sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:

xyz

yz

zyxxyz

++==

++=+++

⎫

⎬⎪

⎭⎪

6

3

100101001099

1112

0101

011242

k

kk

kkkk

+−−−−

−−−−+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=11111

0000

0225

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1113

0101

0001

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

C M

Y K

50

3. Sistem


que podem expressar de la manera habitual:

i si dividim l’última equació per 99:

—La matriu de coeficients és:

Es tracta, doncs, d’un sistema que podem resoldreamb la regla de Cramer:

—El nombre buscat és 213.

Comprovem que compleix les condicions:

•La suma de les seves xifres és 2 �1 �3 �6.

•El triple de la xifra de les desenes, 3 �1, és igual ala xifra de les unitats, 3.

•Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre aug-menta en 312 �213 �99.

14.—Sigui x el preu d’uns pantalons, y el d’una brusa iz el d’un barret.

—Hem de determinar el valor de x, y, z imposant leshipòtesis de l’enunciat:

•L’Anna paga 135 €per 3 pantalons, 2 bruses i1 barret:

3x +2y +z =135

•La Roser compra uns pantalons, 3 bruses i 1 bar-ret per 100 €:

x +3y +z =100

•La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 bar-rets per 155 €:

2x +3y +2z =155

zA

==−

=11

7

116

030

101

3 3 Δ

yA

==−−

=11

7

161

001

111

1 2 Δ

xA

==−=11

7

611

031

101

2 1 Δ

A=−−

=≠111

031

101

70

, i el seu determinant és: A=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

111

031

101

xyz

yz

xz

++=−=

−+=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

6

30

1

xyz

yz

xz

++=−=

−+=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

6

30

999999

Hem de resoldre el següent sistema d’equacionsamb tres incògnites:

—La matriu de coeficients del sistema és quadrada:

Es tracta d’un sistema que es pot resoldre per Cra-mer:

—Per tant, el preu d’uns pantalons és de 25 €; el d’una brusa, de 15 €; el d’un barret, de 30 €.

Comprovem que se satisfan les hipòtesis de l’enun-ciat:

•L’Anna compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barretper:

3 �25 �2 �15 �1 �30 �135 €

•La Roser compra uns pantalons, 3 bruses i 1 bar-ret per:

1 �25 �3 �15 �1 �30 �100 €

•La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 bar-rets per:

2 �25 �3 �15 �2 �30 �155 €

ACTIVITATS

Abans de començar

•Equació lineal (pàg. 48); sistema d’equacions lineals (pàg.49).

•Mètode de Gauss (pàg. 50).

•Teorema de Rouché-Frobenius (pàg. 57).

Qüestions

15.Sí. Per exemple:

zA

===11

6

32135

13100

23155

30 3 Δ

yA

===11

6

31351

11001

21552

15 2 Δ

xA

===11

6

13521

10031

15532

25 1 Δ

A==≠321

131

232

60

,i el seu determinant és: A=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

321

131

232

32135

3100

232155

xyz

xyz

xyz

++=++=

++=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

50

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

que podem expressar de la manera habitual:

i si dividim l’última equació per 99:

— La matriu de coeficients és:

Es tracta, doncs, d’un sistema que podem resoldreamb la regla de Cramer:

— El nombre buscat és 213.

Comprovem que compleix les condicions:

• La suma de les seves xifres és 2 � 1 � 3 � 6.

• El triple de la xifra de les desenes, 3 � 1, és igual ala xifra de les unitats, 3.

• Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre aug-menta en 312 � 213 � 99.

14. — Sigui x el preu d’uns pantalons, y el d’una brusa iz el d’un barret.

— Hem de determinar el valor de x, y, z imposant leshipòtesis de l’enunciat:

• L’Anna paga 135 € per 3 pantalons, 2 bruses i1 barret:

3 x + 2 y + z = 135

• La Roser compra uns pantalons, 3 bruses i 1 bar-ret per 100 €:

x + 3 y + z = 100

• La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 bar-rets per 155 €:

2 x + 3 y + 2 z = 155

zA

= =−

=1 17

1 1 6

0 3 0

1 0 1

33Δ

yA

= = −−

=1 17

1 6 1

0 0 1

1 1 1

12Δ

xA

= = − =1 17

6 1 1

0 3 1

1 0 1

21Δ

A = −−

= ≠1 1 1

0 3 1

1 0 1

7 0

, i el seu determinant és:A = −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1

0 3 1

1 0 1

x y z

y z

x z

+ + =− =

− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

6

3 0

1

x y z

y z

x z

+ + =− =

− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

6

3 0

99 99 99

Hem de resoldre el següent sistema d’equacionsamb tres incògnites:

— La matriu de coeficients del sistema és quadrada:

Es tracta d’un sistema que es pot resoldre per Cra-mer:

— Per tant, el preu d’uns pantalons és de 25 €; el d’una brusa, de 15 €; el d’un barret, de 30 €.

Comprovem que se satisfan les hipòtesis de l’enun-ciat:

• L’Anna compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barretper:

3 � 25 � 2 � 15 � 1 � 30 � 135 €

• La Roser compra uns pantalons, 3 bruses i 1 bar-ret per:

1 � 25 � 3 � 15 � 1 � 30 � 100 €

• La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 bar-rets per:

2 � 25 � 3 � 15 � 2 � 30 � 155 €

ACTIVITATS

Abans de començar

• Equació lineal (pàg. 48); sistema d’equacions lineals (pàg.49).

• Mètode de Gauss (pàg. 50).

• Teorema de Rouché-Frobenius (pàg. 57).

Qüestions

15. Sí. Per exemple:

zA

= = =1 16

3 2 135

1 3 100

2 3 155

303Δ

yA

= = =1 16

3 135 1

1 100 1

2 155 2

152Δ

xA

= = =1 16

135 2 1

100 3 1

155 3 2

251Δ

A = = ≠3 2 1

1 3 1

2 3 2

6 0

, i el seu determinant és:A =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 2 1

1 3 1

2 3 2

3 2 135

3 100

2 3 2 155

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

CM

YK

51

3. Sistem


té solució:

16. No, ja que x1 � 0, x2 � 0, …, xn � 0 sempre és solu-ció (és l’anomenada solució trivial).

17. No, ja que si un sistema té n incògnites, la matriu delsistema solament tindrà n columnes i, per tant, el seurang serà menor o igual que n.

18. Pel teorema de Rouché-Frobenius, perquè el sistemasigui compatible determinat, s’ha de complir:

rang (A) � rang (A�) � n � 3

en què n � 3 és el nombre d’incògnites.

Ara bé, la matriu A és 3 � 3, ja que el sistema té 3 equa-cions i 3 incògnites; aleshores:

rang (A) � 3 ⇔ �A� � 0

En aquest cas, com que rang (A�) � rang (A) � 3 i A� no-més té 3 files, s’ha de complir rang (A�) � rang (A) �� 3.

Per tant, és condició necessària i suficient perquè el sis-tema sigui compatible determinat que �A� � 0.


19. Una terna és solució d’un sistema si i només si és so-lució de totes i cadascuna de les equacions del sistema:

a) 3 ⋅ 4 − 0 + 2 ⋅ 3 = 18 ≠ 1 ⇒ (4, 0, 3) no és solució.

b) 3 ⋅ 1 − (−1) + 2 ⋅ 2 = 8 ≠ 1 ⇒ (1, −1, 2) no és solució.

c)

⇒ (1, 2, 0) és solució.

20. Usarem la notació matricial:

a)

———–——�

Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema:

La solució del sistema és (1, 1, 1).

x y z

y

z

x

y

z

+ + ===

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒= − ⋅ − ===

2 4

1

1

4 2 1 1 1

1

1

1 2 1 4

0 1 0 1

0 0 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F

F F

1 1

3 312

→ −

→ −

− − − −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 1 4

0 1 0 1

0 0 2 2

F3 → F3 + 6 F2

——–————�

− − − −

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 1 4

0 1 0 1

0 6 2 8

F2 → F2 + F1F3 → F3 + 4 F1

——–————�

′ =− − − −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

1 2 1 4

1 3 1 5

4 2 2 8

3 1 2 2 0 1

1 2 0 3

2 1 2 2 3 0 2

⋅ − + ⋅ =+ + =⋅ − ⋅ − ⋅ = −

⎫

⎬⎬⎪

⎭⎪

x y= =1 1,

x y

x y

y x

+ =− =− =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2

0

0

b)

——–———�



21. — Si hi afegim una equació que sigui incompatibleamb qualsevol de les equacions donades del siste-ma, tindrem un sistema incompatible.

Per tant, la resposta suggerida és:

— Observem que si z � 0 el sistema queda:

que és compatible determinat. Així, si hi afegim l’e-quació z � 0, obtenim el sistema:

que és compatible determinat.

— Com que el sistema de partida és compatible inde-terminat, si hi afegim una equació que sigui redundant, el sistema que obtindrem serà equiva-lent al de partida i, per tant, compatible indeter-minat.

Així, la resposta suggerida és:

22. Utilitzarem la notació matricial:

a) ′ =− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

3 2 1 3

1 1 1 1

2 3 1 1

3 2 0

5 1

5 1

x y z

x y z

x y z

+ + =+ − =+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

3 2 0

5 1

0

x y z

x y z

z

+ + =+ − =

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

3 0

5 1

x y

x y

+ =+ =

⎫⎬⎭

3 2 0

5 1

5 0

x y z

x y z

x y z

+ + =+ − =+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y z

y

z

x

y

z

+ + ===

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒= − − ===

3

2

1

3 2 1 0

2

1

1 1 1 3

0 1 0 2

0 0 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → F3 + 2 F2

——–————�

1 1 1 3

0 1 0 2

0 2 1 3− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F F2 213

→ −

1 1 1 3

0 3 0 6

0 2 1 3

− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 − 2 F1

———––——�

′ = −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

1 1 1 3

2 1 2 0

2 0 3 3

51

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

té solució:

16.No, ja que x1�0, x2�0, …, xn�0 sempre és solu-ció (és l’anomenada solució trivial).

17.No, ja que si un sistema té n incògnites, la matriu delsistema solament tindrà n columnes i, per tant, el seurang serà menor o igual que n.

18.Pel teorema de Rouché-Frobenius, perquè el sistemasigui compatible determinat, s’ha de complir:

rang (A) �rang (A�) �n �3

en què n �3 és el nombre d’incògnites.

Ara bé, la matriu A és 3 �3, ja que el sistema té 3 equa-cions i 3 incògnites; aleshores:

rang (A) �3 ⇔�A��0

En aquest cas, com que rang (A�) �rang (A) �3 i A�no-més té 3 files, s’ha de complir rang (A�) �rang (A) ��3.

Per tant, és condició necessària i suficient perquè el sis-tema sigui compatible determinat que �A��0.


19.Una terna és solució d’un sistema si i només si és so-lució de totes i cadascuna de les equacions del sistema:

a)3 ⋅4 −0 +2 ⋅3 =18 ≠1 ⇒(4, 0, 3) no és solució.

b)3 ⋅1 −(−1) +2 ⋅2 =8 ≠1 ⇒(1, −1, 2) no és solució.

c)

⇒(1, 2, 0) és solució.

20.Usarem la notació matricial:

a)

———–——�



xyz

y

z

x

y

z

++===

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=−⋅−===

24

1

1

42111

1

1

1214

0101

0011

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FF

FF

11

3312

→−

→−

−−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1214

0101

0022

F3→F3+6 F2

——–————�

−−−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1214

0101

0628

F2→F2+F1F3→F3+4 F1

——–————�

′=−−−− ⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

1214

1315

4228

312201

1203

2122302

⋅−+⋅=++=⋅−⋅−⋅=−

⎫

⎬⎬⎪

⎭⎪

xy == 11 ,

xy

xy

yx

+=−=−=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2

0

0

b)

——–———�



21.—Si hi afegim una equació que sigui incompatibleamb qualsevol de les equacions donades del siste-ma, tindrem un sistema incompatible.

Per tant, la resposta suggerida és:

—Observem que si z �0 el sistema queda:

que és compatible determinat. Així, si hi afegim l’e-quació z �0, obtenim el sistema:

que és compatible determinat.

—Com que el sistema de partida és compatible inde-terminat, si hi afegim una equació que sigui redundant, el sistema que obtindrem serà equiva-lent al de partida i, per tant, compatible indeter-minat.

Així, la resposta suggerida és:

22.Utilitzarem la notació matricial:

a)′=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

3213

1111

2311

320

51

51

xyz

xyz

xyz

++=+−=+−=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

320

51

0

xyz

xyz

z

++=+−=

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

30

51

xy

xy

+=+=

⎫⎬⎭

320

51

50

xyz

xyz

xyz

++=+−=+−=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

xyz

y

z

x

y

z

++===

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=−−===

3

2

1

3210

2

1

1113

0102

0011

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→F3+2 F2

——–————�

1113

0102

0213 −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FF 2213

→−

1113

0306

0213

−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−2 F1F3→F3−2 F1

———––——�

′=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

1113

2120

2033

C M

Y K

52

3. Sistem


La matriu ampliada esglaonada correspon al siste-ma:

que té tantes equacions com incògnites. Aleshores,és un sistema compatible determinat.

Resolem per substitució regressiva i obtenim la so-

lució: .

b)

La matriu ampliada esglaonada correspon al sis-tema:

que té 3 equacions i 2 incògnites. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat dependent de 3 �2 �1 paràmetre.

Prenent la variable z com a paràmetre, tenim quela solució del sistema és (1, �, �), �� .

1111

0206

0000

0000

0206

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F2→F2−2 F1F3→F3−3 F1F4→F4−4 F1F5→F5−5 F1

——————�

1111

2424

3333

4444

5751

−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F1↔F2

———�

′=

−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

2424

1111

3333

4444

5751

⎟⎟⎟⎟

c)

xyz

yz

−+=−=

⎫⎬⎭

221

330

1221

0330

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F2→F2−F1

—————�

′=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ A

1221

1111

23

23

13

,,− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

xyz

yz

z

++=−−=

=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1

20

93

1111

0120

0093

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→F3−5 F2

——————�

1111

0120

0513

−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−3 F1F3→F3−2 F1

——————�

1111

3213

2311 −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1↔F2

———�

Les tres últimes files corresponen a les equacionsredundants 0 x �0 y �0 z �0; aleshores, podemconsiderar com a sistema equivalent al de partida:

Aquest sistema té 2 equacions i 3 incògnites. Ales-hores, és un sistema compatible indeterminat quedepèn de 3 �2 �1 paràmetre.

Prenent z com a paràmetre, tenim que la soluciódel sistema és (4 ��, �3, �).

d)

L’última fila correspon a l’equació redundant 0 x �0 y �0 z �0; aleshores, el sistema de parti-da és equivalent a:

que té 2 equacions i 3 incògnites. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat que depèn de 3 �2 �1 paràmetre.

Prenent la variable z com a paràmetre, tenim quela solució del sistema és:

e)

1105

0023

0111

0117

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2→F2−F1F3→F3−2 F1

——————�

′=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

1105

1122

21111

0117

−−−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3113

111313

2313

λλλ ,,

xyz

yz

−+=+=−

⎫⎬⎭

528

1323

1528

013123

0000

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−3 F1F3→F3+2 F1

——————�

1528

3271

210416

−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1↔F2

———�

′=−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

3271

1528

210416

xyz

y

+−==−

⎫⎬⎭

1

26

1111

0206

0000

0000

0000

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F5→F5−F2

—————�

52

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

La matriu ampliada esglaonada correspon al siste-ma:

que té tantes equacions com incògnites. Aleshores,és un sistema compatible determinat.

Resolem per substitució regressiva i obtenim la so-

lució: .

b)

La matriu ampliada esglaonada correspon al sis-tema:

que té 3 equacions i 2 incògnites. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat dependent de 3 � 2 � 1 paràmetre.

Prenent la variable z com a paràmetre, tenim quela solució del sistema és (1, �, �), � � � .

1 1 1 1

0 2 0 6

0 0 0 0

0 0 0 0

0 2 0 6

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 − 3 F1F4 → F4 − 4 F1F5 → F5 − 5 F1

——————�

1 1 1 1

2 4 2 4

3 3 3 3

4 4 4 4

5 7 5 1

−− −−−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F1 ↔ F2

———�

′ =

− −−−−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟A

2 4 2 4

1 1 1 1

3 3 3 3

4 4 4 4

5 7 5 1

⎟⎟⎟⎟

c)

x y z

y z

− + =− =

⎫⎬⎭

2 2 1

3 3 0

1 2 2 1

0 3 3 0

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F2 → F2 − F1

—————�

′ =−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A1 2 2 1

1 1 1 1

23

23

13

, , −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x y z

y z

z

+ + =− − =

= −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1

2 0

9 3

1 1 1 1

0 1 2 0

0 0 9 3

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → F3 − 5 F2

——————�

1 1 1 1

0 1 2 0

0 5 1 3

− −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − 3 F1F3 → F3 − 2 F1

——————�

1 1 1 1

3 2 1 3

2 3 1 1− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1 ↔ F2

———�

Les tres últimes files corresponen a les equacionsredundants 0 x � 0 y � 0 z � 0; aleshores, podemconsiderar com a sistema equivalent al de partida:

Aquest sistema té 2 equacions i 3 incògnites. Ales-hores, és un sistema compatible indeterminat quedepèn de 3 � 2 � 1 paràmetre.

Prenent z com a paràmetre, tenim que la soluciódel sistema és (4 � �, �3, �).

d)

L’última fila correspon a l’equació redundant 0 x � 0 y � 0 z � 0; aleshores, el sistema de parti-da és equivalent a:

que té 2 equacions i 3 incògnites. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat que depèn de 3 � 2 � 1 paràmetre.

Prenent la variable z com a paràmetre, tenim quela solució del sistema és:

e)

1 1 0 5

0 0 2 3

0 1 1 1

0 1 1 7

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2 → F2 − F1F3 → F3 − 2 F1

——————�

′ =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

1 1 0 5

1 1 2 2

2 1 1 11

0 1 1 7

− − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3113

1113 13

2313

λ λ λ, ,

x y z

y z

− + =+ = −

⎫⎬⎭

5 2 8

13 23

1 5 2 8

0 13 1 23

0 0 0 0

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − 3 F1F3 → F3 + 2 F1

——————�

1 5 2 8

3 2 7 1

2 10 4 16

−−

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F1 ↔ F2

———�

′ =−−

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

3 2 7 1

1 5 2 8

2 10 4 16

x y z

y

+ − == −

⎫⎬⎭

1

2 6

1 1 1 1

0 2 0 6

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

F5 → F5 − F2

—————�

CM

YK

53

3. Sistem



0 x � 0 y � 0 z � �11

que no té solució. Aleshores, el sistema és incom-patible.

23. a) Les matrius associades al sistema són:

En calculem els rangs:

•

i �A� � 0, tenim que 2 rang (A) � 3; per tant,rang (A) � 2.

•

i els orlats d’aquest en A� són nuls, tenim que rang (A�) � 2.

Pel teorema de Rouché-Frobenius, el sistema éscompatible, ja que rang (A) � 2 � rang (A�).

A més, com que n � 3 � 2, el sistema és indeter-minat.

b) La matriu de coeficients i l’ampliada són:

A

A

=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

′ =−

3 2 1

2 3 2

1 5 3

4 6 4

3 2 1 4

2 3 2 0

1 5 3 11

4 6 4 3− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 2

2 10≠Com que

a a

a a11 12

21 22

1 2

2 13 0= = − ≠Com que

′ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

1 2 1 0

2 1 2 1

5 7 5 1A =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 1

2 1 2

5 7 5

1 1 0 5

0 1 1 7

0 0 2 8

0 0 0 11−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F4 → F4 − F3

—————�

1 1 0 5

0 1 1 7

0 0 2 8

0 0 2 3−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F3 → F3 + F2

—————�

1 1 0 5

0 1 1 7

0 1 1 1

0 0 2 3

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2 ↔ F4

———�


•

i els seus orlats en A són 0, tenim que rang (A) � 2.

•

� �39 � 0, tenim que rang (A�) � 3.

Pel teorema de Rouché-Frobenius:

rang (A�) � 3 � 2 � rang (A) ⇒⇒ Sistema incompatible

c) Les matrius associades al sistema són:

•

• Com que �A�� = − 64 ≠ 0, rang (A�) = 4.


rang (A) � 3 � 4 � rang (A�) ⇒ Sistema incom-patible

24. a) La matriu de coeficients i el seu determinant són:

Com que aquesta matriu és regular, el sistema és re-soluble per Cramer:

A

A

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

= − ≠

2 4 6

4 5 5

3 1 2

2 4 6

4 5 5

3 1 2

4 0

, tenim que rang (A) � 3.

1 2

3 2

3

2

1 1 4

25 0

−= − ≠

i a a

a a11 12

21 22

1 2

3 24 0= = − ≠Com que

A

A

=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

′ =−

1 2 3

3 2 2

1 1 4

2 1 1

1 2 3 2

3 2 2 2

1 1 4 11

2 1 1 3−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

3 2

2 3

4

0

1 5 1

− =i a a

a a11 12

21 220≠Com que

a a

a a11 12

21 22

3 2

2 313 0=

−= ≠Com que

53

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als


0 x �0 y �0 z ��11

que no té solució. Aleshores, el sistema és incom-patible.

23.a)Les matrius associades al sistema són:


•

i �A��0, tenim que 2 rang (A) �3; per tant,rang (A) �2.

•

i els orlats d’aquest en A�són nuls, tenim que rang (A�) �2.

Pel teorema de Rouché-Frobenius, el sistema éscompatible, ja que rang (A) �2 �rang (A�).

A més, com que n �3 �2, el sistema és indeter-minat.

b)La matriu de coeficients i l’ampliada són:

A

A

=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

′=−

321

232

153

464

3214

2320

15311

4643 −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

12

210 ≠ Com que

aa

aa1112

2122

12

2130 ==−≠ Com que

′=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

1210

2121

5751A=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

121

212

575

1105

0117

0028

00011 −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F4→F4−F3

—————�

1105

0117

0028

0023−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F3→F3+F2

—————�

1105

0117

0111

0023

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2↔F4

———�


•

i els seus orlats en A són 0, tenim que rang (A) �2.

•

��39 �0, tenim que rang (A�) �3.


rang (A�)�3 �2 �rang (A) ⇒⇒Sistema incompatible

c)Les matrius associades al sistema són:

•

•Com que �A��=−64 ≠0, rang (A�) =4.


rang (A) �3 �4 �rang (A�) ⇒Sistema incom-patible

24.a)La matriu de coeficients i el seu determinant són:


A

A

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

=−≠

246

455

312

246

455

312

40

, tenim que rang (A) �3.

12

32

3

2

114

250

−=−≠

i aa

aa1112

2122

12

3240 ==−≠ Com que

A

A

=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

′=−

123

322

114

211

1232

3222

11411

2113 −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

32

23

4

0

151

−= i aa

aa1112

21220 ≠ Com que

aa

aa1112

2122

32

23130 =

−=≠ Com que

C M

Y K

54

3. Sistem


b)La matriu de coeficients i el seu determinant són:


c)La matriu del sistema i el seu determinant són:


xA

yA

==−

−−−

=

==−

−−

116

111

813

120

3

116

011

183

1

1

2

Δ

Δ110

2

116

011

118

121

1 3

=

==−

−−=− z

AΔ

A

A

=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−

=−

011

113

120

011

113

120

6

xA

yA

==−−

−−−

=−

==−−

1164

137

546

724

1

1164

217

3

1

2

Δ

Δ556

574

5

1164

231

345

527

2 3

−−

=

==−

−−= z

AΔ

A

A

=−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−

−=≠

237

346

524

237

346

524

640

xA

yA

==−

−=

==−

114

1846

2155

412

4

114

2186

4215

3

1

2

Δ

Δ442

2

114

2418

4521

314

3 3

−=−

==−

= zA

Δ

25.a)Classifiquem el sistema usant el teorema de Rou-ché-Fröbenius:

Les matrius associades al sistema són:

En calculem el rang:

•

i l’únic menor d’ordre tres de A és �A��0, tenimrang (A) �2.

•

menor en A�són nuls, es compleix que rang (A�)�2.


rang (A) �2 �rang (A�) ⇒Sistema compatible

i, com que n �3 �2, el sistema és indeterminat.

Fent x ��i resolent el sistema per Cramer:

tenim que:

Així, la solució és (�, 0, 1 �2 �).

b)Classifiquem el sistema per Gauss:

1322

0455

0512

0455

−−−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2→F2−3 F1F3→F3−2 F1F4→F4−2 F1

——————�

1322

3511

2152

2211 −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F1↔F3

———�

′=

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

2152

3511

1322

2211

y

z

=−−

=

=−−

=−

131

21

121

1210

131

21

312

21212

λλ

λλ

λ

312

212

yz

yz

+=−+=−

⎫⎬⎭

λλ

ielsorlatsd’aquest31

210 ≠ Com que

aa

aa1213

2223

31

2110 ==≠ Com que

AA =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟′=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞ 231

221

452

2311

2211

4522

,

⎠⎠

⎟⎟⎟

54

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

b) La matriu de coeficients i el seu determinant són:


c) La matriu del sistema i el seu determinant són:


xA

yA

= =−

−− −

=

= =−

−−

1 16

1 1 1

8 1 3

1 2 0

3

1 16

0 1 1

1 8 3

1

1

2

Δ

Δ11 0

2

1 16

0 1 1

1 1 8

1 2 1

13

=

= =−

− −= −z

AΔ

A

A

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −−

= −

0 1 1

1 1 3

1 2 0

0 1 1

1 1 3

1 2 0

6

xA

yA

= =− −

−− −

= −

= =− −

1 164

1 3 7

5 4 6

7 2 4

1

1 164

2 1 7

3

1

2

Δ

Δ 55 6

5 7 4

5

1 164

2 3 1

3 4 5

5 2 7

23

−−

=

= =−

− −=z

AΔ

A

A

=−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−−

−= ≠

2 3 7

3 4 6

5 2 4

2 3 7

3 4 6

5 2 4

64 0

xA

yA

= =−

−=

= =−

1 14

18 4 6

21 5 5

4 1 2

4

1 14

2 18 6

4 21 5

3

1

2

Δ

Δ44 2

2

1 14

2 4 18

4 5 21

3 1 4

33

−= −

= =−

=zA

Δ

25. a) Classifiquem el sistema usant el teorema de Rou-ché-Fröbenius:

Les matrius associades al sistema són:

En calculem el rang:

•

i l’únic menor d’ordre tres de A és �A� � 0, tenimrang (A) � 2.

•

menor en A� són nuls, es compleix que rang (A�) � 2.


rang (A) � 2 � rang (A�) ⇒ Sistema compatible

i, com que n � 3 � 2, el sistema és indeterminat.

Fent x � � i resolent el sistema per Cramer:

tenim que:

Així, la solució és (�, 0, 1 � 2 �).

b) Classifiquem el sistema per Gauss:

1 3 2 2

0 4 5 5

0 5 1 2

0 4 5 5

− − −− −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2 → F2 − 3 F1F3 → F3 − 2 F1F4 → F4 − 2 F1

——————�

1 3 2 2

3 5 1 1

2 1 5 2

2 2 1 1− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F1 ↔ F3

———�

′ =

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

2 1 5 2

3 5 1 1

1 3 2 2

2 2 1 1

y

z

=−−

=

=−−

= −

13 1

2 1

1 2 1

1 2 10

13 1

2 1

3 1 2

2 1 21 2

λλ

λλ

λ

3 1 2

2 1 2

y z

y z

+ = −+ = −

⎫⎬⎭

λλ

i els orlats d’aquest3 1

2 10≠Com que

a a

a a12 13

22 23

3 1

2 11 0= = ≠Com que

A A=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

′ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞2 3 1

2 2 1

4 5 2

2 3 1 1

2 2 1 1

4 5 2 2

,

⎠⎠

⎟⎟⎟

CM

YK

55

3. Sistem


——————�

Aquesta és la matriu ampliada esglaonada associa-da al sistema:

Aquest sistema esglaonat té 3 equacions i 3 incòg-nites. Aleshores, és un sistema compatible deter-minat.

x y z

y z

z

+ + =+ =

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

3 2 2

4 5 5

29 17

1 3 2 2

0 4 5 5

0 0 29 17

0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2 → −F2F3 → 4 F3

———�

1 3 2 2

0 4 5 5

0 0294

174

0 0 0 0

− − −⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F F F

F F F

3 3 2

4 4 2

54

→ −

→ −

La matriu de coeficients és regular, ja que:

Aleshores, és un sistema resoluble per Cramer:

xA

yA

= = = −

= =

1 1116

2 3 2

5 4 5

17 0 29

2129

1 1116

1 2 2

0

1

2

Δ

Δ 55 5

0 17 29

1529

1 1116

1 3 2

0 4 5

0 0 17

17293

=

= = =zA

Δ

A = = ⋅ ⋅ = ≠1 3 2

0 4 5

0 0 29

1 4 29 116 0

26. a) Apliquem el mètode de Gauss:

—

• rang (A) = 3

•

Per tant, en aquest cas, pel teorema de Rouché-Frobenius:

rang (A) � 3 � rang (A�) ⇒ Sistema compatible

i, com que n � 3, el sistema és determinat.

Resolem per substitució regressiva i tenim que la solució és:

(−k2 + 2, 2 k − 1, k3 + 2 k2 − k − 1)

— Si �A� = −k2 (k + 3) = 0, pot ser:

rang rang

.rang

nom s t 3 files

( ) ( )(

′ ≥ =′

⎫⎬⎭

⇒ ′A A

A é é

3AA ) = 3

= 1 ⋅ k (−k2 − 3 k) = −k2 (k + 3) ≠ 0, és a dir, k ≠ 0 y k ≠ −3:A

k

k k

k k

=+

−

− −

1 1 1

0

0 0 32

Si

1 1 1 3

0 2 3

0 0 3 5 5

4 3

4 3 2

2 5 4

k k k

k k k k k

k k k k

+ +

− − − +

− − − − − kk k k3 24 3+ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → F3 + F2

—————�

1 1 1 3

0 2 3

0 2 4

4 3

4 3 2

2 5 4

k k k

k k k k k

k k k k k

+ +

− − − +

− − − − − − 33 33 2k k k+ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − F1F3 → F3 − (k + 1) F1

—————————�

′ =

+ +

+ +

+ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟A

k k k

k k k

k k k

1 1 1 3

1 1 1 3

1 1 1 3

4 3

3 2

2

⎟⎟⎟

55

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

——————�

Aquesta és la matriu ampliada esglaonada associa-da al sistema:

Aquest sistema esglaonat té 3 equacions i 3 incòg-nites. Aleshores, és un sistema compatible deter-minat.

xyz

yz

z

++=+=

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

322

455

2917

1322

0455

002917

0000

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

F2→−F2F3→4 F3

———�

1322

0455

00294

174

0000

−−−⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

FFF

FFF

332

442

54

→−

→−

La matriu de coeficients és regular, ja que:

Aleshores, és un sistema resoluble per Cramer:

xA

yA

===−

==

11116

232

545

17029

2129

11116

122

0

1

2

Δ

Δ555

01729

1529

11116

132

045

0017

1729

3

=

=== zA

Δ

A==⋅⋅=≠132

045

0029

14291160

26.a)Apliquem el mètode de Gauss:

—

•rang (A) =3

•

Per tant, en aquest cas, pel teorema de Rouché-Frobenius:

rang (A) �3 �rang (A�) ⇒Sistema compatible

i, com que n �3, el sistema és determinat.

Resolem per substitució regressiva i tenim que la solució és:

(−k2+2, 2k −1, k3+2k2−k −1)

—Si �A�=−k2(k +3) =0, pot ser:

rangrang

.rang

nomst3files

()()(

′≥=′

⎫⎬⎭

⇒′AA

Aéé

3AA)=3

=1 ⋅k (−k2−3 k) =−k2(k +3) ≠0, és a dir, k ≠0 y k ≠−3: A

k

kk

kk

=+

−

−−

111

0

0032

Si

1113

023

00355

43

432

254

kkk

kkkkk

kkkk

++

−−−+

−−−−−kkkk32

43 ++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→F3+F2

—————�

1113

023

024

43

432

254

kkk

kkkkk

kkkkk

++

−−−+

−−−−−−33332

kkk ++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−F1F3→F3−(k +1) F1

—————————�

′=

++

++

++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟A

kkk

kkk

kkk

1113

1113

1113

43

32

2

⎟⎟⎟

C M

Y K

56

3. Sistem


•k �0.La matriu ampliada esglaonada és:

associada a un sistema d’una equació amb 3incògnites: x �y �z �0

És, doncs, un sistema compatible indetermi-nat, dependent de 3 �1 �2 paràmetres.

Per resoldre’l, prenem dues de les incògni-tes com a paràmetres (per exemple, y i z) i aï-llem la tercera en funció d’aquelles:

x =−τ −λ, y =τ, z =λ

•k ��3.La matriu ampliada esglaonada és:

que està associada al sistema:

Com que és un sistema amb 2 equacions i 3incògnites, és compatible indeterminat, de-pendent de 3 �2 �1 paràmetre.

Per resoldre’l, prenem una incògnita com aparàmetre (per exemple, z) i aïllem les altresen funció d’aquesta:

Resumint:

k �0, �3 ⇒Sistema compatible determinat, desolució:

(−k2+2, 2k −1, k3+2k2−k −1)

k �0 ⇒Sistema compatible indeterminat, de so-lució:

(−τ− λ, τ, λ) , τ, λ ∈�

k ��3 ⇒Sistema compatible indeterminat, desolució:

(λ, λ, λ) , λ∈�

b)Apliquem el mètode de Gauss:

′=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

A

kkkk

kkk

kk

k

23

22

3

4

1

11

111

z

y

x

=

=⋅=

=−+=

⎫

⎭

λ

λλ

λλλ

13

3

2

xyz

yz

+−=−+=

⎫⎬⎭

20

330

1120

0330

0000

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1110

0000

0000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

—Si k �k3�0, l’última fila té tots els elementsnuls menys el terme independent. Aleshores, elsistema és incompatible.

Això té lloc per a tot valor de k, excepte:

k −k3=k (1 −k2) =0 ⇔k =0 o k =±1

—Si k �k3�0, és a dir, k �0 o k �1 o k ��1,l’última fila és redundant i, per tant, podem eli-minar-la.

Estudiem cada cas separadament:


que correspon a un sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:

Aleshores, és compatible determinat.

Com que té solució única i és homogeni, la so-lució és la trivial:x �y �z �0.


que correspon a un sistema d’una equació amb3 incògnites: x �y �z �1. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat, dependentde 3 �1 �2 paràmetres.

Per resoldre’l, prenem com a paràmetres duesincògnites i aïllem l’altra en funció d’aquelles:

x = 1−τ −λ, y =τ, z =λ

1111

0000

0000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

xyz

yz

z

++=−−=

−=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

0

0

0

1110

0110

0010

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

111

011

001

000

4

224

34

3

k

kkkk

kkk

kk

−−−

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F4→F4−k F2

——————�

111

011

001

1

4

224

34

235

k

kkkk

kkk

kkkkkk

−−−

−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F1↔F4

———�

0

011

001

111

235

224

34

4

kkkkkk

kkkk

kkk

k

−−−

−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F1→F1−k F4F2→F2−F4F3→F3−F4

——————�

56

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

• k � 0. La matriu ampliada esglaonada és:

associada a un sistema d’una equació amb 3incògnites: x � y � z � 0

És, doncs, un sistema compatible indetermi-nat, dependent de 3 � 1 � 2 paràmetres.

Per resoldre’l, prenem dues de les incògni-tes com a paràmetres (per exemple, y i z) i aï-llem la tercera en funció d’aquelles:

x = −τ − λ, y = τ, z = λ

• k � �3. La matriu ampliada esglaonada és:

que està associada al sistema:

Com que és un sistema amb 2 equacions i 3incògnites, és compatible indeterminat, de-pendent de 3 � 2 � 1 paràmetre.

Per resoldre’l, prenem una incògnita com aparàmetre (per exemple, z) i aïllem les altresen funció d’aquesta:

Resumint:

k � 0, �3 ⇒ Sistema compatible determinat, desolució:

(−k2 + 2, 2 k − 1, k3 + 2 k2 − k − 1)

k � 0 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de so-lució:

(−τ − λ, τ, λ) , τ, λ ∈ �

k � �3 ⇒ Sistema compatible indeterminat, desolució:

(λ, λ, λ) , λ ∈ �

b) Apliquem el mètode de Gauss:

′ =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

A

k k k k

k k k

k k

k

2 3

2 2

3

4

1

1 1

1 1 1

z

y

x

=

= ⋅ =

= − + =

⎫

⎭

λ

λ λ

λ λ λ

13

3

2

x y z

y z

+ − =− + =

⎫⎬⎭

2 0

3 3 0

1 1 2 0

0 3 3 0

0 0 0 0

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

— Si k � k3 � 0, l’última fila té tots els elementsnuls menys el terme independent. Aleshores, elsistema és incompatible.

Això té lloc per a tot valor de k, excepte:

k − k3 = k (1 − k2) = 0 ⇔ k = 0 o k = ±1

— Si k � k3 � 0, és a dir, k � 0 o k � 1 o k � �1,l’última fila és redundant i, per tant, podem eli-minar-la.

Estudiem cada cas separadament:




Com que té solució única i és homogeni, la so-lució és la trivial: x � y � z � 0.


que correspon a un sistema d’una equació amb3 incògnites: x � y � z � 1. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat, dependentde 3 � 1 � 2 paràmetres.

Per resoldre’l, prenem com a paràmetres duesincògnites i aïllem l’altra en funció d’aquelles:

x = 1 −τ − λ, y = τ, z = λ

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

x y z

y z

z

+ + =− − =

− =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

0

0

0

1 1 1 0

0 1 1 0

0 0 1 0

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1

0 1 1

0 0 1

0 0 0

4

2 2 4

3 4

3

k

k k k k

k k k

k k

− − −

− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F4 → F4 − k F2

——————�

1 1 1

0 1 1

0 0 1

1

4

2 2 4

3 4

2 3 5

k

k k k k

k k k

k k k k k k

− − −

− −

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F1 ↔ F4

———�

0

0 1 1

0 0 1

1 1 1

2 3 5

2 2 4

3 4

4

k k k k k k

k k k k

k k k

k

− − −

− − −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

F1 → F1 − k F4F2 → F2 − F4F3 → F3 − F4

——————�

CM

YK

57

3. Sistem

es d’equacions lineals• k � �1. La matriu ampliada esglaonada és:



Si el resolem per substitució regressiva:

En resum:

k � 0, 1, �1 ⇒ Sistema incompatible

k � 0 ⇒ Sistema compatible determinat, de solu-ció: (0, 0, 0)

k � 1 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de so-lució: (1 − τ − λ, τ, λ) , τ, λ ∈ �

k � �1 ⇒ Sistema compatible determinat, de so-lució: (0, 0, 1)

27. — Sigui x el nombre de pomeres del tipus A plantadesactualment, y el nombre de pomeres del tipus B, iz el nombre de pomeres del tipus C.

— Hem d’obtenir x, y, z de manera que se satisfacin lesdades de l’enunciat:

• S’obtenen 230 t � 230 000 kg de pomes per colli-ta:

50 x + 30 y + 40 z = 230 000

• Si les pomeres del tipus B fossin del tipus A, es co-llirien 250 t � 250 000 kg de pomes:

50 (x + y) + 40 z = 250 000

• Si les pomeres del tipus C fossin del tipus B, es co-llirien 200 t � 200 000 kg de pomes:

50 x + 30 (y + z) = 200 000

— Hem de resoldre, doncs, el sistema d’equacions li-neals:

50 30 40 230 000

50 40 250 000

50 30

x y z

x y z

x

+ + =+ + =

+( )

(yy z+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪) 200 000

z

y

x

= −−

=

=−

=

= − − =

22

1

02

0

1 0 1 0

x y z

y

z

+ + =− =− = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1

2 0

2 2

1 1 1 1

0 2 0 0

0 0 2 2

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Si desenvolupem i dividim per 10 les tres equa-cions:

Resolem aquest sistema pel mètode de Gauss:

Fent substitució regressiva, obtenim la solució:

x � 1 600 , y � 1 000 , z � 3 000

— El pagès té plantades:

1 600 pomeres del tipus A, 1 000 del tipus B i 3 000del tipus C.

30. Els nombres d’exemplars de cada espècie (p, q, r) hande ser tals que la massa consumida, en una setmana, decada tipus d’aliment coincideixi exactament amb la ques’ha abocat:

• S’han de consumir 25 t de J:

1 p � 3 q � 2 r � 25

• S’han de consumir 20 t de K:

1 p � 4 q � 1 r � 20

• S’han de consumir 55 t de L:

2 p � 5 q � 5 r � 55

Els nombres d’exemplars de cada espècie han de ser,doncs, solució del sistema:

N’obtenim les solucions pel mètode de Gauss:

1 3 2 25

0 1 1 5

0 0 0 0

− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3 → F3 + F2

—————�

1 3 2 25

1 1 1 5

0 1 1 5

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − F1F3 → F3 − 2 F1

——————�

′ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

1 3 2 25

1 4 1 20

2 5 5 55

p q r

p q r

p q r

+ + =+ + =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

3 2 25

4 20

2 5 5 55

5 3 4 23 000

0 2 0 2 000

0 0 1 3 000− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1

—————�

′ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

5 3 4 23 000

5 5 4 25 000

5 3 3 20 000

5 3 4 23 000

5 5 4 25 000

5 3 3 20 000

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

⎫

⎬⎬⎪

⎭⎪

57

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

•k ��1.La matriu ampliada esglaonada és:



Si el resolem per substitució regressiva:

En resum:

k �0, 1, �1 ⇒Sistema incompatible

k �0 ⇒Sistema compatible determinat, de solu-ció:(0, 0, 0)

k �1 ⇒Sistema compatible indeterminat, de so-lució:(1 −τ− λ, τ, λ) , τ, λ ∈�

k ��1 ⇒Sistema compatible determinat, de so-lució:(0, 0, 1)

27.—Sigui x el nombre de pomeres del tipus A plantadesactualment, y el nombre de pomeres del tipus B, iz el nombre de pomeres del tipus C.

—Hem d’obtenir x, y, z de manera que se satisfacin lesdades de l’enunciat:

•S’obtenen 230 t �230000 kg de pomes per colli-ta:

50x +30y +40z =230000

•Si les pomeres del tipus B fossin del tipus A, es co-llirien 250 t �250000 kg de pomes:

50 (x +y) +40z =250000

•Si les pomeres del tipus C fossin del tipus B, es co-llirien 200 t �200000 kg de pomes:

50x +30 (y +z) =200000

—Hem de resoldre, doncs, el sistema d’equacions li-neals:

503040230000

5040250000

5030

xyz

xyz

x

++=++=

+()

(yyz +=

⎫

⎬⎪

⎭⎪ )200000

z

y

x

=−−

=

=−

=

=−−=

22

1

02

0

1010

xyz

y

z

++=−=−=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1

20

22

1111

0200

0022

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Si desenvolupem i dividim per 10 les tres equa-cions:

Resolem aquest sistema pel mètode de Gauss:

Fent substitució regressiva, obtenim la solució:

x �1600 , y �1000 , z �3000

—El pagès té plantades:

1600 pomeres del tipus A, 1000 del tipus B i 3000del tipus C.

30.Els nombres d’exemplars de cada espècie (p, q, r) hande ser tals que la massa consumida, en una setmana, decada tipus d’aliment coincideixi exactament amb la ques’ha abocat:

•S’han de consumir 25 t de J:

1 p �3 q �2 r �25

•S’han de consumir 20 t de K:

1 p �4 q �1 r �20

•S’han de consumir 55 t de L:

2 p �5 q �5 r �55

Els nombres d’exemplars de cada espècie han de ser,doncs, solució del sistema:

N’obtenim les solucions pel mètode de Gauss:

13225

0115

0000

−−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F3→F3+F2

—————�

13225

1115

0115

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−F1F3→F3−2 F1

——————�

′=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

13225

14120

25555

pqr

pqr

pqr

++=++=

++=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

3225

420

25555

53423000

0202000

0013000 −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

F2→F2−F1F3→F3−F1

—————�

′=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ A

53423000

55425000

53320000

53423000

55425000

53320000

xyz

xyz

xyz

++=++=++=

⎫

⎬⎬⎪

⎭⎪

C M

Y K

58

3. Sistem


L’última fila és redundant i, per tant, la matriu es-glaonada és l’associada al sistema:

Com que té 2 equacions i 3 incògnites, és un siste-ma compatible indeterminat, dependent de 3 �2 ��1 paràmetre.

Si prenem la variable r com a paràmetre, la soluciódel sistema és:

, λ∈�

r

q

p

==−+=−=−−−=−+

λλλ

λλλ55

25352540 ()

pqr

qr

++=−=−

⎫⎬⎭

3225

5

—Com que p, q, r han de ser nombres naturals, s’hade complir:

Per tant, perquè es verifiquin les tres condicions,el paràmetre ha de ser 6 o 7.

Així, les possibles solucions són:

(10, 1, 6) i (5, 2, 7).

29.Activitat TIC.

30.Activitat TIC.

r

q

p

=∈=−∈=−+∈

⇒=…⇒=

λλ

λ

λλ

�

�

�

5

540

1234

6

,,,,

,,,,

,,,,

789

4567

…⇒=… λ

58

3. S

iste

mes

d’e

quac

ions

line

als

L’última fila és redundant i, per tant, la matriu es-glaonada és l’associada al sistema:

Com que té 2 equacions i 3 incògnites, és un siste-ma compatible indeterminat, dependent de 3 � 2 �� 1 paràmetre.

Si prenem la variable r com a paràmetre, la soluciódel sistema és:

, λ ∈ �

r

q

p

== − + = −= − − − = − +

λλ λ

λ λ λ5 5

25 3 5 2 5 40( )

p q r

q r

+ + =− = −

⎫⎬⎭

3 2 25

5

— Com que p, q, r han de ser nombres naturals, s’hade complir:

Per tant, perquè es verifiquin les tres condicions,el paràmetre ha de ser 6 o 7.

Així, les possibles solucions són:

(10, 1, 6) i (5, 2, 7).

29. Activitat TIC.

30. Activitat TIC.

r

q

p

= ∈= − ∈= − + ∈

⇒ = …⇒ =

λλ

λ

λλ

�

�

�

5

5 40

1 2 3 4

6

, , , ,

, , , ,

, , , ,

7 8 9

4 5 6 7

…⇒ = …λ

CM

YK

3. Els vectors fixos són els parells ordenats de punts:

Hem agrupat els vectors fixos equipol.lents en llistarels vectors fixos i, per tant, tenim 21 vectors lliures di-ferents.

4. Tenim tants vectors fixos com parells ordenats depunts; és a dir:

VR4, 2 = 42 = 16

D’aquests, solament són equipol.lents els nuls, ,, i , ja que tots els altres difereixen en

la direcció o en el sentit.

Així, hi ha 16 � (4 � 1) � 13 vectors lliures diferents.

2. OPERACIONS AMB VECTORS LLIURES

5. a) Per la regla del paral.lelogram:

F

A

w

u

u + w

� � � ��u w AF+ = [ ]

DD� ��

CC� ��

BB� �� AA

� ��

B

D

C

A

AA BB CC DD EE FF

A

� �� , , , , , ;

BB DE BA ED

AC DF C

� ��

� �� , ; , ;

, ; AA FD

BC EF CB FE

AD

� ��

� ��

�

, ;

, ; , ;��

�, , ; , , ;BE CF DA EB FC

AE��

� �� ; ; ; ;

; ;

EA BD DB

AF FA CD��

� �� ; ;

; ; ; .

DC

BF FB CE EC

1. VECTORS

1. Són vectors fixos equipol.lents els que tenen el mateixmòdul, direcció i sentit; aleshores:

, , són equipol.lents. , són equipol-lents. , són equipol.lents. , són equi-pol·lents. no és equipol.lent a cap altre.

2. Un vector fix és un parell ordenat de punts. Per tant,tindrem tants vectors fixos com parells ordenats pu-guem formar amb els quatre vèrtexs, que són varia-cions amb repetició de 4 elements presos de 2 en 2:

VR4, 2 = 42 = 16

Els vectors fixos equipol.lents defineixen el mateix vectorlliure i, per tant, hi haurà com a màxim 16 vectors lliures.

Per cada vector fix que forma un costat del rectangle,n’hi ha un d’equipol.lent que forma el costat oposat.

Aleshores, n’hem de restar vectors.

Els vectors fixos que formen la diagonal no són equi-pol.lents a cap altre. Aleshores, cadascun dóna lloc aun vector lliure.

Els vectors fixos que formen els extrems són tots equi-pol.lents. Aleshores, n’hem de restar 4 � 1 � 3 vectors.

Tenim, doncs, 16 � 4 � 3 � 9 vectors lliures.

82

4=

D C

BA

AE� �� CG

� ��AE� ��

GF� ��

CB� �� EH

� ��AD� ��

HG� ��

DC� ��

AB� ��

59

4. Vectors en l’espai (I)

Vectors en l’espai (I)43.Els vectors fixos són els parells ordenats de punts:

Hem agrupat els vectors fixos equipol.lents en llistarels vectors fixos i, per tant, tenim 21 vectors lliures di-ferents.

4.Tenim tants vectors fixos com parells ordenats depunts; és a dir:

VR4, 2=42=16

D’aquests, solament són equipol.lents els nuls,,, i , ja que tots els altres difereixen en

la direcció o en el sentit.

Així, hi ha 16 �(4 �1) �13 vectors lliures diferents.

2.OPERACIONS AMB VECTORS LLIURES

5.a)Per la regla del paral.lelogram:

F

A

w

u

u + w

��uwAF +=[]

DD��

CC��

BB��AA

��

B

D

C

A

AABBCCDDEEFF

A

�� ,,,,,;

BBDEBAED

ACDFC

��

��,;,;

,;AAFD

BCEFCBFE

AD

��

��

�

,;

,;,;��

�,,;,,; BECFDAEBFC

AE��

��;;;;

;;

EABDDB

AFFACD��

��;;

;;;.

DC

BFFBCEEC

1.VECTORS

1.Són vectors fixos equipol.lents els que tenen el mateixmòdul, direcció i sentit; aleshores:

, , sónequipol.lents. , són equipol-lents. , són equipol.lents. , són equi-pol·lents. no és equipol.lent a cap altre.

2.Un vector fix és un parell ordenat de punts. Per tant,tindrem tants vectors fixos com parells ordenats pu-guem formar amb els quatre vèrtexs, que són varia-cions amb repetició de 4 elements presos de 2 en 2:

VR4, 2=42=16

Els vectors fixos equipol.lents defineixen el mateix vectorlliure i, per tant, hi haurà com a màxim 16 vectors lliures.

Per cada vector fix que forma un costat del rectangle,n’hi ha un d’equipol.lent que forma el costat oposat.

Aleshores, n’hem de restar vectors.

Els vectors fixos que formen la diagonal no són equi-pol.lents a cap altre. Aleshores, cadascun dóna lloc aun vector lliure.

Els vectors fixos que formen els extrems són tots equi-pol.lents. Aleshores, n’hem de restar4 �1 �3 vectors.

Tenim, doncs, 16 �4 �3 �9 vectors lliures.

82

4 =

DC

B A

AE��CG

�� AE��

GF��

CB��EH

�� AD��

HG��

DC��

AB��

59

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

Vectors en l’espai (I) 4

C M

Y K

b)Si I és el punt mitjà del costat DH, és un re-

presentant deamb origen en l’extrem,

representant de .

Per tant,és un representant de :

c)

és un representant de i de . Per laregla del paral.lelogram, és un representant dela suma:

d)Com que i ,

e)Si anomenem J el punt mitjà de l’aresta BF, tenim

que , aleshores:

��uwEFFJEJ =+=

12

[][][]

=12��wFJ []

H

E

D

v

–w

v – w

�� vwEHHDED == [][][]

= �� wHD [] ��

vEH =[]

A

G

u + w

v

u + v + w

B

F

�� uvwAG ++=[]

AG��

�v AB�� uw + AF

�� uvwuwvuwv ++=++=++ ()

A

D

I

H

w12

v

v+w 12

�� vwADDIAI +=+=

12

[][][]

�� vw +12

AI��

�v

AD�� 1

2�w

DI��

f)

Com que i ,

g)

Hem vist que .

Si K és el punt mitjà de l’aresta CG, és un re-presentant de , aleshores:

h)

Per la regla del paral.lelogram:

�� uvABADAC +=+= [][][]

12

12

12

12

12

��

��

uvwuvw

uv

++=++=

=++ ()��w

A

u

u + v +

IK

w12 v +w 1

2

�� uvwAIIKAK ++=+=

12

[][][]

�uIK��

��vwAI +=

12

[]

�� uvwuvwvw ++=++=++12

12

12

uu

E

DC u

u + v – w

v – w

�� uvwEDDCEC +=+= [][][]

�� uDC =[] ��

vwED =[]

�� uvwuvwvwu +=+=+ ()()

EF

J

u

u – w 12

– w 12

60


b) Si I és el punt mitjà del costat DH, és un re-

presentant de amb origen en l’extrem ,

representant de .

Per tant, és un representant de :

c)

és un representant de i de . Per laregla del paral.lelogram, és un representant dela suma:

d) Com que i ,

e) Si anomenem J el punt mitjà de l’aresta BF, tenim

que , aleshores:

� � � �� u w EF FJ EJ= + =

12

[ ] [ ] [ ]

=12� ��w FJ[ ]

H

E

D

v

–w

v – w

� � � �� v w EH HD ED= =[ ] [ ] [ ]

=� � ��w HD[ ]� � ��

v EH= [ ]

A

G

u + w

v

u + v + w

B

F

� � � � ��u v w AG+ + = [ ]

AG� ��

�vAB� �� u w+AF

� �� u v w u w v u w v+ + = + + = + +( )

A

D

I

H

w12

v

v + w12

� � � �� v w AD DI AI+ = + =

12

[ ] [ ] [ ]

� �v w+12

AI� ��

�v

AD� ��1

2�w

DI� ��

f )

Com que i ,

g)

Hem vist que .

Si K és el punt mitjà de l’aresta CG, és un re-presentant de , aleshores:

h)

Per la regla del paral.lelogram:

� � � �� u v AB AD AC+ = + =[ ] [ ] [ ]

12

12

12

12

12

� � � � � �

� �

u v w u v w

u v

+ + = + + =

= + +( ) ��w

A

u

u + v +

I K

w12v + w1

2

� � � � �� u v w AI IK AK+ + = + =

12

[ ] [ ] [ ]

�uIK� ��

� � � ��v w AI+ =

12

[ ]

� � � � � � � � �u v w u v w v w+ + = + + = + +12

12

12

uu

E

D Cu

u + v – w

v – w

� � � � �� u v w ED DC EC+ = + =[ ] [ ] [ ]

� � ��u DC= [ ]� � � ��

v w ED= [ ]

� � � � � � � � �u v w u v w v w u+ = + = +( ) ( )

E F

J

u

u – w12

– w12

60

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

CM

YK

aleshores, , essent L el punt mit-

jà de la cara ABCD.

Si M és el punt mitjà de la cara EFGH, és unrepresentant de amb origen en l’extrem de

; aleshores:

i)

Com que i EC és una diagonal,si N denota el centre del prisma:

6. Escollim com a representants de , i els de la fi-gura, que tenen origen comú en el punt A.

Vector :

El representant de amb origen en A és .

La recta que passa per l’extrem de , C, i té la di-recció del vector talla la cara de l’ortoedre generadaper i en el punt Q � C.

Per tant:

i com que

resulta: [ ]AC u v w u v� ��

= + + = +2 0 2

[ ] [ ]

[ ] [ ]

AQ AC u v

QC CC

� ��

= = +

= =

2�� 0 0= w

[ ] [ ] [ ]AC AQ QC� ��

= +

�v�u

�wAC� ��

AC� ��

[ ]AC� ��

[ ]AC� ��

�w�v�u

E

C

u +12

12

v w12

–

u + v – wN

12

12

12

� � � � ��u v w EN+ = [ ]

� � � � ��u v w EC+ = [ ]

12

12

12

12

� � � � � �u v w u v w+ = +( )

M

A

u + v + w12

12

u

L

u + v12

12

12

12

� � � � �� u v w AL LM AM+ + = + =[ ] [ ] [ ]

AL� ��

�wLM� ��

12

( ) [ ]� � � ��u v AL+ =

Vector :


La recta que passa pel seu extrem, I, i té la direcció detalla la base de l’ortoedre, generada per i , en el

punt mitjà, que anomenem Q.

Tenim:

i com que Q és el punt mitjà de la base:

aleshores:

Vector :


La recta que passa pel seu extrem, J, i té la direcció de talla la base de l’ortoedre en el seu punt mit-jà, Q.

Per tant:


aleshores:

— El vector no es pot expressar com a combinaciólineal de i perquè , i són no coplanarisi, per tant, linealment independents.

7. a) , són linealment independents, ja que no estanalineats.

Per tant, rang .

b) , són linealment dependents, ja que estan ali-neats.

Així, rang , ja que .

c) , , són linealment dependents, ja que són co-planaris.

D’altra banda, i són independents; per tant,rang .

d) , , són linealment independents, ja que no sóncoplanaris.

Així, doncs, rang .

e) , , són linealment dependents, ja que són co-planaris.

No obstant això, els vectors , , per exemple, són linealment independents. I això vol dir que,rang = 2.

f) , , , són linealment dependents, ja que sónmés de tres vectors de V3.

Ara bé, com que , , són linealment indepen-dents, tenim que rang = 3.{ , , , }

� � � �a b c d

�d

�b

�a

�d

�c

�b

�a

{ , , }� � �a c e

�c

�a

�e

�c

�a

{ , , }� � �a b d = 3

�d

�b�a

{ , , }� � �a b c = 2

�b

�a

�c

�b

�a

{ , } { }� � �a e 0{ , }

� �a e = 1

�e

�a

{ , }� �a b = 2

�b

�a

�w�v�u�w�v

�u

[ ]AJ u v w� ��

= + +12

2

[ ]

[ ]

AQ u v

QJ w

� ��

� ��

= +

=

12

2

[ ] [ ] [ ]AJ AQ QJ� ��

= +

�w

AJ� ��

[ ]AJ� ��

[ ]AJ� ��

[ ]AI u v w� ��

= + +12

[ ]

[ ]

AQ u v

QI w

� ��

� ��

= +

=

12

[ ] [ ] [ ]AI AQ QI� ��

= +

�v�u�w

AI� ��

[ ]AI� ��

[ ]AI� ��

61

4. Vectors en l’espai (I)aleshores, , essent L el punt mit-

jà de la cara ABCD.

Si M és el punt mitjà de la cara EFGH, és unrepresentant de amb origen en l’extrem de

; aleshores:

i)

Com que i EC és una diagonal,si N denota el centre del prisma:

6.Escollim com a representants de , i els de la fi-gura, que tenen origen comú en el punt A.

Vector :


La recta que passa per l’extrem de , C, i té la di-recció del vector talla la cara de l’ortoedre generadaper i en el punt Q �C.

Per tant:

i com que

resulta:[] ACuvwuv�� =++=+ 202

[][]

[][]

AQACuv

QCCC

��

==+

==

2�� 00 =w

[][][] ACAQQC��

=+

�v �u

�wAC��

AC��

[] AC��

[] AC��

�w �v �u

E

C

u + 12

12

vw 12

–

u + v – w N

12

12

12

��uvwEN +=[]

��uvwEC +=[]

12

12

12

12

�� uvwuvw +=+ ()

M

A

u + v + w 12

12

u

L

u + v 12

12

12

12

�� uvwALLMAM ++=+= [][][]

AL��

�wLM��

12

()[] ��uvAL +=Vector :


La recta que passa pel seu extrem, I, i té la direcció detalla la base de l’ortoedre, generada per i , en el

punt mitjà, que anomenem Q.

Tenim:


aleshores:

Vector :

El representant de amb origen en A és.

La recta que passa pel seu extrem, J, i té la direcció de talla la base de l’ortoedre en el seu punt mit-jà, Q.

Per tant:


aleshores:

—El vector no es pot expressar com a combinaciólineal de i perquè , i són no coplanarisi, per tant, linealment independents.

7.a), són linealment independents, ja que no estanalineats.

Per tant, rang .

b), són linealment dependents, ja que estan ali-neats.

Així, rang , ja que .

c), , són linealment dependents, ja que són co-planaris.

D’altra banda, i són independents; per tant,rang .

d), , són linealment independents, ja que no sóncoplanaris.

Així, doncs, rang .

e), , són linealment dependents, ja que són co-planaris.

No obstant això, els vectors , , per exemple, són linealment independents. I això vol dir que,rang =2.

f), , , són linealment dependents, ja que sónmés de tres vectors de V3.

Ara bé, com que , , són linealment indepen-dents, tenim que rang =3. {,,,} ��

abcd

�d

�b

�a

�d

�c �b

�a

{,,} �� ace

�c �a

�e �c �a

{,,} ��abd=3

�d

�b�a

{,,} ��abc=2

�b

�a

�c �b

�a

{,}{} ��ae0 {,} �� ae=1

�e �a

{,} ��ab=2

�b

�a

�w �v �u �w �v

�u

[] AJuvw�� =++

12

2

[]

[]

AQuv

QJw

��

��

=+

=

12

2

[][][] AJAQQJ��

=+

�w

AJ��

[] AJ��

[] AJ��

[] AIuvw�� =++

12

[]

[]

AQuv

QIw

��

��

=+

=

12

[][][] AIAQQI��

=+

�v �u �w

AI��

[] AI��

[] AI��

61

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

C M

Y K

8.Hem d’expressar cadascun dels vectors com una com-binació lineal de cada base i quedar-nos els coeficients.

•

aleshores en les dues bases.

•


•


•


•, aleshores:

en la base B1.

en la base B2.

•, aleshores:

en la base B1.

en la base B2.

•, aleshores:

en la base B1.

en la base B2.

•, aleshores:

en la base B1.

en la base B2.

9.a)

b)

c)213

220131213

4

�� uvw −+=

=−−−+− (,,)(,,)(,227

222021312

,)

(,,())(,,)

=

=⋅⋅⋅−−−++

+⋅⋅−⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=

13

413

213

7

40

,(),

(,,−−−−+− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=−−+

231243

23

73

434

)(,,),,

()33

0123

2273

253

53

53

,,

,,

−−−−+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=−− ⎛⎝⎜

⎞⎞⎠⎟

�� uvw +−=−+−−−==

(,,)(,,)(,,) 201312427

(((),(),)

(,,)

234012127

536

+−−+−−−+−==−−

5652016312

525

�� uv +=−+−==⋅

(,,)(,,)

(,⋅⋅⋅−+⋅−⋅⋅==

,())((),,)

(

051636162

1100518612

101806

,,)(,,)

((),,

−+−==+−+−5512867 +=− )(,,)

[](,,) AH��

=001

[](,,) AH��

=− 012

[] AHxyzxyt��

=+−=++ 012001

[](,,) AG��

=101

[](,,) AG��

=− 112

[] AGxyzxyt��

=+−=++ 112101

[](,,) AF��

=− 111

[](,,) AF��

=− 102

[] AFxyzxyt��

=+−=−+ 102111

[](,,) AE��

=− 011

[](,,) AE��

=− 002

[] AExyzxyt��

=+−=−+ 00201

[](,,) AD��

=010

[] ADyxyzxyt��

==++=++ 010010

[](,,) AC��

=110

[] ACxyzxyt��

=++=++ 110110

[](,,) AB��

=100

[] ABxxyzxyt��

==++=++ 100100

[](,,) AA��

=000

[] AAxyzxyt��

==++=++ 0000000

10.Hem de trobar tres nombres reals a, b, c tals que.

Prenent components:

(−2, −1, −2) ==a (1, 2, 3) +b (−4, 1, 7) +c (0, −2, −5) ==(a, 2a, 3a) +(−4b, b, 7b) +(0, −2c, −5c) ==(a −4b, 2a +b −2c, 3a +7b −5c) ⇔

L’expressió decom a combinació lineal de, ,és.

11.a)1.Escrivim l’equació:

k1(4, 1, −5) +k2(2, 3, −8) ++k3(10, 0, −7) =(0, 0, 0)

2.Igualem component a component i resolem:

3.Com que el sistema té solucions no trivials, elsvectors , i són linealment dependents.

b)1.Hem de resoldre l’equació:

k1(2, 0, 9) +k2(3, −1, 2) +k3(5, −1, 4) ==(0, 0, 0)

2.Igualem component a component i obtenimun sistema:

3.Com que l’única solució és la trivial, els vectors, , són linealment independents.

c)1.Considerem l’equació:

k1(3, −2, 5) +k2(−3, 5, 2) +k3(1, 1, 6) ==(0, 0, 0)

2.Igualant component a component i resolent elsistema:

3.L’única solució del sistema anterior és la trivial.Aleshores, , , són linealment indepen-dents.

d)1.Plantegem l’equació:

k1(1, −2, −3) +k2(−2, 4, 4) +k3(−6, 3, 0) ==(0, 0, 0)

�w �v �u

330

250

5260

123

123

123

kkk

kkk

kkk

−+=−++=

++=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔⇔=== kkk 1230

�w �v �u

2350

0

9240

123

23

123

1

kkk

kk

kkk

k

++=−−=

++=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔=kkk 230 ==

�w �v �u

42100

30

5870

123

12

123

kkk

kk

kkk

k ++=+=

−−−=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔11

2

3

3 =−==

λλλ

k

k

�� suvw =++ 23

�w �v �u �s

⇔−=−−=+−−=+−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔==24

122

2375

21

ab

abc

abc

ab,,,c=3

�� saubvcw =++

62


8. Hem d’expressar cadascun dels vectors com una com-binació lineal de cada base i quedar-nos els coeficients.

•


•


•


•


• , aleshores:

en la base B1.

en la base B2.

• , aleshores:

en la base B1.

en la base B2.

• , aleshores:

en la base B1.

en la base B2.

• , aleshores:

en la base B1.

en la base B2.

9. a)

b)

c) 213

2 2 0 1 3 1 213

4

� � �u v w− + =

= − − − + −( , , ) ( , , ) ( , 22 7

2 2 2 0 2 1 3 1 2

, )

( , , ( )) ( , , )

=

= ⋅ ⋅ ⋅ − − − ++

+ ⋅ ⋅ − ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=

13

413

213

7

4 0

, ( ),

( , , −− − − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= − − +

2 3 1 243

23

73

4 34

) ( , , ) , ,

( )33

0 123

2 273

253

53

53

, ,

, ,

− − − − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= − −⎛⎝⎜

⎞⎞⎠⎟

� � �u v w+ − = − + − − − ==

( , , ) ( , , ) ( , , )2 0 1 3 1 2 4 2 7

(( ( ) , ( ), )

( , , )

2 3 4 0 1 2 1 2 7

5 3 6

+ − − + − − − + − == − −

5 6 5 2 0 1 6 3 1 2

5 2 5

� �u v+ = − + − == ⋅

( , , ) ( , , )

( , ⋅⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ ==

, ( )) ( ( ), , )

(

0 5 1 6 3 6 1 6 2

110 0 5 18 6 12

10 18 0 6

, , ) ( , , )

( ( ), ,

− + − == + − + − 55 12 8 6 7+ = −) ( , , )

[ ] ( , , )AH� ��

= 0 0 1

[ ] ( , , )AH� ��

= −0 1 2

[ ]AH x y z x y t� ��

= + − = + +0 1 2 0 0 1

[ ] ( , , )AG� ��

= 1 0 1

[ ] ( , , )AG� ��

= −1 1 2

[ ]AG x y z x y t� ��

= + − = + +1 1 2 1 0 1

[ ] ( , , )AF� ��

= −1 1 1

[ ] ( , , )AF� ��

= −1 0 2

[ ]AF x y z x y t� ��

= + − = − +1 0 2 1 1 1

[ ] ( , , )AE� ��

= −0 1 1

[ ] ( , , )AE� ��

= −0 0 2

[ ]AE x y z x y t� ��

= + − = − +0 0 2 0 1

[ ] ( , , )AD� ��

= 0 1 0

[ ]AD y x y z x y t� ��

= = + + = + +0 1 0 0 1 0

[ ] ( , , )AC� ��

= 1 1 0

[ ]AC x y z x y t� ��

= + + = + +1 1 0 1 1 0

[ ] ( , , )AB� ��

= 1 0 0

[ ]AB x x y z x y t� ��

= = + + = + +1 0 0 1 0 0

[ ] ( , , )AA� ��

= 0 0 0

[ ]AA x y z x y t� ��

= = + + = + +0 0 0 0 0 0 0

10. Hem de trobar tres nombres reals a, b, c tals que.

Prenent components:

(−2, −1, −2) == a (1, 2, 3) + b (−4, 1, 7) + c (0, −2, −5) == (a, 2 a, 3 a) + (−4 b, b, 7 b) + (0, −2 c, −5 c) == (a − 4 b, 2 a + b − 2 c, 3 a + 7 b − 5 c) ⇔

L’expressió de com a combinació lineal de , , és.

11. a) 1. Escrivim l’equació:

k1 (4, 1, −5) + k2 (2, 3, −8) ++ k3 (10, 0, −7) = (0, 0, 0)

2. Igualem component a component i resolem:

3. Com que el sistema té solucions no trivials, elsvectors , i són linealment dependents.

b) 1. Hem de resoldre l’equació:

k1 (2, 0, 9) + k2 (3, −1, 2) + k3 (5, −1, 4) == (0, 0, 0)

2. Igualem component a component i obtenimun sistema:

3. Com que l’única solució és la trivial, els vectors, , són linealment independents.

c) 1. Considerem l’equació:

k1 (3, −2, 5) + k2 (−3, 5, 2) + k3 (1, 1, 6) == (0, 0, 0)

2. Igualant component a component i resolent elsistema:

3. L’única solució del sistema anterior és la trivial.Aleshores, , , són linealment indepen-dents.

d) 1. Plantegem l’equació:

k1 (1, −2, −3) + k2 (−2, 4, 4) + k3 (−6, 3, 0) == (0, 0, 0)

�w�v�u

3 3 0

2 5 0

5 2 6 0

1 2 3

1 2 3

1 2 3

k k k

k k k

k k k

− + =− + + =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔⇔ = = =k k k1 2 3 0

�w�v�u

2 3 5 0

0

9 2 4 0

1 2 3

2 3

1 2 3

1

k k k

k k

k k k

k

+ + =− − =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔ = kk k2 3 0= =

�w�v�u

4 2 10 0

3 0

5 8 7 0

1 2 3

1 2

1 2 3

k k k

k k

k k k

k+ + =+ =

− − − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔11

2

3

3= −==

λλλ

k

k

� � � �s u v w= + +2 3

�w�v�u

�s

⇔− = −− = + −− = + −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔ = =2 4

1 2 2

2 3 7 5

2 1

a b

a b c

a b c

a b, ,, c = 3

� � � �s a u b v c w= + +

62

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

CM

YK

2. Hem d’igualar component a component i re-soldre:

3. Com que l’única solució és la trivial, els vectors, , són linealment independents.

12. a) 1. La matriu formada per les components delsvectors , , , col.locades verticalment és:

2.

dre 3, i no hi ha menors d’ordre més gran; ales-hores:

3. Un subconjunt de que tingui el mà-xim nombre de vectors linealment indepen-dents és , ja que els corresponen les co-lumnes del menor no nul d’ordre màxim quehem trobat.

b) 1. La matriu formada per les components delsvectors , , , disposades verticalment és:

2. El menor � �3 és no nul, i tots els me-

nors d’ordre 3 que el contenen són nuls.

Així, .

3. Podem trobar com a màxim 2 vectors lineal-ment independents entre , , , ; per exem-ple , ja que la matriu de les seves compo-nents té un menor no nul d’ordre màxim.

3. COORDENADES D’UN PUNT DE L’ESPAI

13. • Punt I:

En el sistema de referència R1:

[ ] , ,AI x y I� �� = + ⇒ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

112

0

{ , }� �u v

�s�w

�v�u

rang rang{ , , , } ( )� � � �u v w s A= = 2

1 2

4 5

A =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 3 1

4 5 6 3

7 8 9 5

�s�w

�v�u

{ , , }� � �u v w

{ , , , }� � � �u v w s

rang rang{ , , , } ( )� � � �u v w s A= = 3

� 17 és un menor no nul d’or-

2 3 4

5 2 1

3 2 4

−

A =−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 3 4 1

5 2 1 6

3 2 4 2

�s�w

�v�u

�w�v�u

k k k

k k k

k k

k1 2 3

1 2 3

1 2

2 6 0

2 4 3 0

3 4 0

− − =− + + =

− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔ 11 2 3 0= = =k k


• Punt J:



• Punt K:



A

AK

FK

F

[ ] , ,FK u v w K� �� = + + ⇒ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

12

12

112

[ ] , ,AK x y z K� �� = + + ⇒ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

112

1

A

AJ FJ

F

J

[ ] , ,FJ u v w J�� = + + ⇒ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

212

12

212

[ ] , ,AJ y z J� �� = + ⇒ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

012

1

A

AI I

FI

F

[ ] , ,FI u v w I�� = + + ⇒ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

12

1 1

63

4. Vectors en l’espai (I)2.Hem d’igualar component a component i re-

soldre:

3.Com que l’única solució és la trivial, els vectors, , són linealment independents.

12.a)1.La matriu formada per les components delsvectors , , , col.locades verticalment és:

2.

dre 3, i no hi ha menors d’ordre més gran; ales-hores:

3.Un subconjunt de que tingui el mà-xim nombre de vectors linealment indepen-dents és, ja que els corresponen les co-lumnes del menor no nul d’ordre màxim quehem trobat.

b)1.La matriu formada per les components delsvectors, , , disposades verticalment és:

2.El menor ��3 és no nul, i tots els me-

nors d’ordre 3 que el contenen són nuls.

Així, .

3.Podem trobar com a màxim 2 vectors lineal-ment independents entre , , , ; per exem-ple , ja que la matriu de les seves compo-nents té un menor no nul d’ordre màxim.

3.COORDENADES D’UN PUNT DE L’ESPAI

13.•Punt I:


[],, AIxyI�� =+⇒=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

112

0

{,} �� uv

�s �w �v �u

rangrang {,,,}() �� uvwsA ==2

12

45

A=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1231

4563

7895

�s �w �v �u

{,,} �� uvw

{,,,} �� uvws

rangrang {,,,}() �� uvwsA ==3

�17 és un menor no nul d’or-

234

521

324

−

A=−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2341

5216

3242

�s �w �v �u

�w �v �u

kkk

kkk

kk

k123

123

12

260

2430

340

−−=−++=

−+=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔11230 === kk


•Punt J:



•Punt K:



A

AK

FK

F

[],, FKuvwK�� =++⇒=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

12

12

112

[],, AKxyzK�� =++⇒=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

112

1

A

AJFJ

F

J

[],, FJuvwJ�� =++⇒=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

212

12

212

[],, AJyzJ�� =+⇒=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

012

1

A

AII

FI

F

[],, FIuvwI�� =++⇒=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

12

11

63

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

C M

Y K

14.

Per obtenir l’extrem D d’un representant de l’o-rigen del qual sigui el punt C, imposem que:

, és a dir:

Igualant component a component:

−6 =d1−3 ⇒d1=−3

4 =d2−4 ⇒d2=8

−2 =d3+5 ⇒d3=−7

L’extrem d’aquest vector és D =(−3, 8, −7).

15.Es compleix que:

(1)

(2)

Si imposem la igualtat (1), component a component:

4 (m1−a1, m2−a2, m3−a3) ==(b1−a1, b2−a2, b3−a3)

Així,

Per tant,

Finalment, si apliquem (2):

[][][][][ ONOMMNOMAM��

=+=+�� ]

,,,,

=

=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+−− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

112

332

32

112

==− (,,) 442

[](,,)

,

AMmamama��

=−−−=

=−−

112233

112

732,,(),, −−− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=−− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

32

132

112

Mbababa

=+++ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

=+⋅

112233 34

3

43

4

1374

,,

,,,()

,,

6324

3314

112

33

+⋅−+⋅− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=−22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

4

4

1111

2222

3333

()

()

()

maba

maba

maba

−=−

−=−

−=−

⎫

⎬⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇒

=+

=+

=+

mba

mba

mba

111

222

333

34

343

4

A

M

N

P

B

[][][][] AMMNNPPB��

===

4[][] AMAB��

=

(,,)[][]

(,

−−===−==

642

1

ABCDdc

dd

��

223123 345345 ,)(,,)(,,()) dddd −−=−−−−

[][] CDAB��

=

[] AB��

[](,,)(,,)(, ABba�� =−=−−−=− 16372164,,) −2

Les coordenades dels punts M, N, P són:


16.La força resultant que actua sobre la partícula és lasuma vectorial de les forces que s’hi exerceixen:

Efectuem la suma geomètricament, amb la regla delparal.lelogram:

17.Sigui B =una base de V2i un vectorqualsevol.

Com que B és base, és un sistema de generadors.Aleshores, ∃k1, k2reals tals que:

Vegem que k1, k2són únics:

Suposem que ∃h1, h2∈�, tals que:

En aquest cas:

L’altra condició perquè sigui base és que, són linealment independents i, per tant, l’única

possibilitat perquè es doni la igualtat anterior és que:

k1−h1=k2−h2=0, és a dir: h1=k1, h2=k2

�y �xBxy ={,} ��

��

01212

11

=−=+−+==−

uukxkyhxhy

khx

()()

()++− () khy 22�

�� uhxhy =+ 12

�� ukxky =+ 12

{,} �� xy

�uV ∈2 {,} �� xy

F212

–2F1

FR3F3

F212

+ 3F3

��FFFF R=−++ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 2

12

3 123

��FFFF R=−++ 2

12

3 123

MNP =− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=−=−

112

332

44252

5 ,,,(,,),,,552

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

[][][][][ OPONNPONAM��

=+=+��

]

(,,),,,,

=

=−+−− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=− 442

32

112

52

5522

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

64


14.

Per obtenir l’extrem D d’un representant de l’o-rigen del qual sigui el punt C, imposem que:

, és a dir:


−6 = d1 − 3 ⇒ d1 = −3

4 = d2 − 4 ⇒ d2 = 8

−2 = d3 + 5 ⇒ d3 = −7

L’extrem d’aquest vector és D = (−3, 8, −7).

15. Es compleix que:

(1)

(2)

Si imposem la igualtat (1), component a component:

4 (m1 − a1, m2 − a2, m3 − a3) == (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)

Així,

Per tant,

Finalment, si apliquem (2):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ON OM MN OM AM� ��

= + = +��]

, , , ,

=

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

112

332

32

112

== −( , , )4 4 2

[ ] ( , , )

,

AM m a m a m a� ��

= − − − =

= − −

1 1 2 2 3 3

112

7 3 2,, ( ) , ,− − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

132

112

Mb a b a b a

=+ + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=

= + ⋅

1 1 2 2 3 334

3

43

4

1 3 74

, ,

,, ,( )

, ,

6 3 24

3 3 14

112

33

+ ⋅ − + ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= −22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

4

4

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

( )

( )

( )

m a b a

m a b a

m a b a

− = −

− = −

− = −

⎫

⎬⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇒

= +

=+

= +

mb a

mb a

mb a

11 1

22 2

33 3

34

343

4

A

M

N

P

B

[ ] [ ] [ ] [ ]AM MN NP PB� ��

= = =

4[ ] [ ]AM AB� ��

=

( , , ) [ ] [ ]

( ,

− − = = = − ==

6 4 2

1

AB CD d c

d d

� ��

22 3 1 2 33 4 5 3 4 5, ) ( , , ) ( , , ( ))d d d d− − = − − − −

[ ] [ ]CD AB� ��

=

[ ]AB� ��

[ ] ( , , ) ( , , ) ( ,AB b a� �� = − = − − − = −1 6 3 7 2 1 6 4,, )− 2

Les coordenades dels punts M, N, P són:


16. La força resultant que actua sobre la partícula és lasuma vectorial de les forces que s’hi exerceixen:

Efectuem la suma geomètricament, amb la regla delparal.lelogram:

17. Sigui B = una base de V2 i un vectorqualsevol.

Com que B és base, és un sistema de generadors.Aleshores, ∃ k1, k2 reals tals que:

Vegem que k1, k2 són únics:

Suposem que ∃ h1, h2 ∈ �, tals que:

En aquest cas:

L’altra condició perquè sigui base és que, són linealment independents i, per tant, l’única

possibilitat perquè es doni la igualtat anterior és que:

k1 − h1 = k2 − h2 = 0, és a dir: h1 = k1, h2 = k2

�y�xB x y= { , }� �

� � � � � � ��

0 1 2 1 2

1 1

= − = + − + == −

u u k x k y h x h y

k h x

( ) ( )

( ) ++ −( )k h y2 2�

� � �u h x h y= +1 2

� � �u k x k y= +1 2

{ , }� �x y

�u V∈ 2{ , }� �x y

F212

–2F1

FR 3F3

F212

+ 3F3

� � � �F F F FR = − + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

212

31 2 3

� � � �F F F FR = − + +2

12

31 2 3

M N P= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = −112

332

4 4 252

5, , , ( , , ) , , ,552

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

[ ] [ ] [ ] [ ] [OP ON NP ON AM� ��

= + = +��

]

( , , ) , , , ,

=

= − + − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −4 4 232

112

52

5522

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

64

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

CM

YK

18. a) Sigui

són linealment dependents

rang (A) < 3 �A� = 0

0 = �A� = 4 k + 3 k 1 = k 1 k = 1

Així, , , són linealment dependents si i noméssi k � �1.

b)

Desenvolupant el determinant:

0 = �A� = k + 2 k2 + k k k3 2 =

= k3 + 2 k2 + k 2

Si desenvolupem aquest polinomi per Ruffini:

0 = (k 1) (k + 1)(2 k)

k = 1 , k = 1 o k = 2

Així, els vectors , , són linealment depen-dents si i només si k � 1, k � �1 o k � 2.

19.

Com que �A� = 24 + 3 20 = 7 0, rang (A) = 3, Ales-hores, rang = rang (A) = 3, i per tant, , , són linealment independents.

Com que , , són base de V3, podem expressar de manera única com a combinació lineal de

, , , és a dir:

k1, k2, k3 � únics tals que:

Si expressem cada valor en la base de l’enunciat, i ope-rem i igualem component a component, obtenim:

Les components de en la base , , són, doncs, = ( 2, 5, 1).

20. Com que M i N divideixen el segment AB en tres partsiguals, s’ha de complir:

[ ] [ ] , [ ] [ ]AM AB AN AB� ��

= =13

23

�d

�c

�b�a

�d

k k

k k

k k k

k

k2 3

1 2

1 2 3

1

2

3 2

4 13

2 5 3

2+ =

=

+ + =

=

==

=

5

13k

� � � �d k a k b k c= + +1 2 3

�c

�b�a

�d V3

�c

�b�a

�c

�b�a{ , , }

� � �a b c

0 1 3

4 1 0

1 2 5

Sigui A =

�w�v�u

; aleshores, rang (A) < 3 �A� = 0.A

k

k

k k

=

1 1

1 2

1

�w�v�u

{ , , }� � �u v w

A k k

k

=

2 0 1

1

1 3

Si M � (m1, m2, m3) i N � (n1, n2, n3), les componentsdels vectors que intervenen en les igualtats anteriorssón:

Substituint en les igualtats anteriors:

Per tant, i .

21. Si M, N, P, Q divideixen el segment AB en cinc partsiguals, s’ha de complir:

[ ] [ ] ; [ ] [ ]

[

AM AB AN AB

AP

� �� = =

15

25

�� ] [ ] ; [ ] [ ]= =

35

45

AB AQ AB

N =113

253

, ,M =163

073

, ,

n n

n n

n n

1 1

2 2

3 3

7103

113

2 4 2

343

53

= =

+ = =

= =

[ ] [ ]

( , , ) (

AN AB

n n n

� �� =

+ =

23

7 2 3231 2 3 5 6 2, , )

m m

m m

m m

1 1

2 2

3 3

753

163

2 2 0

323

73

= =

+ = =

= =

[ ] [ ]

( , , )

AM AB

m m m

� �� =

+ =

13

7 2 3131 2 3 (( , , )5 6 2

[ ] ( , ( ), ) ( , , )AB� ��

= =2 7 4 2 1 3 5 6 2

[ ] ( , ( ), )

( ,

AN n n n

n n

� ��= =

= +

1 2 3

1 2

7 2 3

7 2,, )n3 3

[ ] ( , ( ), )

( ,

AM m m m

m m

� ��= =

= +

1 2 3

1 2

7 2 3

7 22 33, )m

5 10

5

A = (7, –2, 3)B = (2, 4, 1)

M N

X

Z

Y

5

65


18.a)Sigui

són linealment dependents

rang (A) <3 �A�=0

0 =�A�=4k +3k 1 =k 1 k =1

Així,, , són linealment dependents si i noméssi k ��1.

b)

Desenvolupant el determinant:

0 =�A�=k +2k2+k k k32 =

=k3+2k2+k 2

Si desenvolupem aquest polinomi per Ruffini:

0 =(k 1) (k +1)(2 k)

k =1 , k =1 o k =2

Així, els vectors , , són linealment depen-dents si i només si k �1, k ��1 o k �2.

19.

Com que �A�=24 +3 20 =7 0, rang (A) =3, Ales-hores, rang =rang (A) =3, i per tant, , , són linealment independents.

Com que , , són base de V3, podem expressar de manera única com a combinació lineal de

, , , és a dir:

k1, k2, k3�únics tals que:

Si expressem cada valor en la base de l’enunciat, i ope-rem i igualem component a component, obtenim:

Les components de en la base , , són, doncs, =(2, 5, 1).

20.Com que M i N divideixen el segment AB en tres partsiguals, s’ha de complir:

[][],[][] AMABANAB��

==13

23

�d

�c �b �a �

d

kk

kk

kkk

k

k23

12

123

1

2

32

413

253

2 +=

=

++=

=

==

=

5

1 3 k

�� dkakbkc =++ 123

�c �b �a

�dV3

�c �b �a

�c �b �a {,,} ��

abc

013

410

125

Sigui A =

�w �v �u

; aleshores, rang (A) <3 �A�=0. A

k

k

kk

=

11

12

1

�w �v �u

{,,} �� uvw

Akk

k

=

201

1

13

Si M �(m1, m2, m3) i N �(n1, n2, n3), les componentsdels vectors que intervenen en les igualtats anteriorssón:

Substituint en les igualtats anteriors:

Per tant, i .

21.Si M, N, P, Q divideixen el segment AB en cinc partsiguals, s’ha de complir:

[][];[][]

[

AMABANAB

AP

�� ==

15

25

�� ][];[][] ==

35

45

ABAQAB

N=113

253

,, M=163

073

,,

nn

nn

nn

11

22

33

7103

113

242

343

53

==

+==

==

[][]

(,,)(

ANAB

nnn

�� =

+=

23

72323

123562 ,,)

mm

mm

mm

11

22

33

753

163

220

323

73

==

+==

==

[][]

(,,)

AMAB

mmm

�� =

+=

13

72313

123((,,) 562

[](,(),)(,,) AB��

== 274213562

[](,(),)

(,

ANnnn

nn

�� ==

=+

123

12

723

72,,) n33

[](,(),)

(,

AMmmm

mm

�� ==

=+

123

12

723

7223 3 ,) m

510

5

A = (7, –2, 3)B = (2, 4, 1)

MN

X

Z

Y

5

65

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

C M

Y K

Si M �(m1, m2, m3), N �(n1, n2, n3), P �(p1, p2, p3),Q �(q1, q2, q3) són les coordenades dels punts quebusquem, les components dels vectors que intervenenen les igualtats anteriors són:

Substituint en les igualtats anteriors i igualant compo-nent a component, obtenim:

[][]

(,,)(

APAB

ppp

��=⇔

⇔+−−=

35

14135

1233352 ,,)

nn

nn

nn

11

22

33

165

15

426

145

95

+=⇒=

−=⇒=

−=⇒=

[][]

(,,)(

ANAB

nnn

�� =⇔

⇔+−−=

25

14125

1233352 ,,)

mm

mm

mm

11

22

33

135

25

415

125

75

+=⇒=−

−=⇒=

−=⇒=

[][]

(,,)

AMAB

mmm

�� =⇔

⇔+−−=

15

14115

123((,,) 352

[]((),,)(,,) AB��

=−−−−= 219431352

[](,,) AQqqq��

=+−− 123 141

[](,,) APppp��

=+−− 123 141

[](,,) ANnnn��

=+−− 123 141

[]((),,)

(,

AMmmm

mm

�� =−−−−==+−

123

12

141

1441 3 ,) m−

510

5

2

A = (–1, 4, 1)

B = (2, 9, 3) MNPQ

X

Y

Z

Per tant,

i .

22.Hem d’obtenir les components dels vectors , queverifiquen el sistema:

Podem resoldre el sistema vectorial per reducció:

Sumant les dues equacions, obtenim,ales-hores:

Si ara considerem la segona equació, prenent compo-nents per a operar:

Les components dels vectors , buscades són:

23.Resolem per substitució el sistema vectorial:

Aïllant �y en la primera equació i substituint en la se-gona, obtenim:

i efectuant aquesta operació en components:

�x=−+−−=−17

373514513124 [(,,)(,,)](,,))

�� xuxvxuv −−==+ 3217

3 (),()

2

3

��

xyu

xyv

+=−=

⎫⎬⎭

�� xy == (,,),(,,) 102111

�y �x

�� xyvxvy +=⇒=−==−=

22

3242111 (,,)(,,)(1102 ,,)

�� yuv =+=+=

=

15

15

231324

15

5

()[(,,)(,,)]

(,,)(,,) 55111 =

5�� yuv =+

3

2

��

yxu

xyv

−=+=

⎫⎬⎭

�y �x

Q=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

75

8135

,, P=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

45

7115

,,

MN =−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

25

575

15

695

,,,,,,

qq

qq

qq

11

22

33

1125

75

448

185

135

+=⇒=

−=⇒=

−=⇒=

[][]

(,,)

AQAB

qqq

�� =⇔

⇔+−−=

45

14145

123((,,) 352

pp

pp

pp

11

22

33

195

45

437

165

115

+=⇒=

−=⇒=

−=⇒=

66


Si M � (m1, m2, m3), N � (n1, n2, n3), P � (p1, p2, p3),Q � (q1, q2, q3) són les coordenades dels punts quebusquem, les components dels vectors que intervenenen les igualtats anteriors són:

Substituint en les igualtats anteriors i igualant compo-nent a component, obtenim:

[ ] [ ]

( , , ) (

AP AB

p p p

� �� = ⇔

⇔ + − − =

35

1 4 1351 2 3 33 5 2, , )

n n

n n

n n

1 1

2 2

3 3

165

15

4 2 6

145

95

+ = ⇒ =

− = ⇒ =

− = ⇒ =

[ ] [ ]

( , , ) (

AN AB

n n n

� �� = ⇔

⇔ + − − =

25

1 4 1251 2 3 33 5 2, , )

m m

m m

m m

1 1

2 2

3 3

135

25

4 1 5

125

75

+ = ⇒ = −

− = ⇒ =

− = ⇒ =

[ ] [ ]

( , , )

AM AB

m m m

� �� = ⇔

⇔ + − − =

15

1 4 1151 2 3 (( , , )3 5 2

[ ] ( ( ), , ) ( , , )AB� ��

= − − − − =2 1 9 4 3 1 3 5 2

[ ] ( , , )AQ q q q� ��

= + − −1 2 31 4 1

[ ] ( , , )AP p p p� ��

= + − −1 2 31 4 1

[ ] ( , , )AN n n n� ��

= + − −1 2 31 4 1

[ ] ( ( ), , )

( ,

AM m m m

m m

� ��= − − − − == + −

1 2 3

1 2

1 4 1

1 44 13, )m −

5 10

5

2

A = (–1, 4, 1)

B = (2, 9, 3)M N P Q

X

Y

Z

Per tant,

i .

22. Hem d’obtenir les components dels vectors , queverifiquen el sistema:

Podem resoldre el sistema vectorial per reducció:

Sumant les dues equacions, obtenim , ales-hores:

Si ara considerem la segona equació, prenent compo-nents per a operar:

Les components dels vectors , buscades són:

23. Resolem per substitució el sistema vectorial:

Aïllant �y en la primera equació i substituint en la se-gona, obtenim:

i efectuant aquesta operació en components:

�x = − + − − = −17

3 7 3 5 14 5 13 1 2 4[ ( , , ) ( , , )] ( , , ))

� � � � � �x u x v x u v− − = = +3 217

3( ) , ( )

2

3

� � ��

x y u

x y v

+ =− =

⎫⎬⎭

� �x y= =( , , ) , ( , , )1 0 2 1 1 1

�y�x

� � � � � �x y v x v y+ = ⇒ = − == − =

2 2

3 2 4 2 1 1 1( , , ) ( , , ) (11 0 2, , )

� � �y u v= + = + =

=

15

15

2 3 1 3 2 4

15

5

( ) [( , , ) ( , , )]

( , , ) ( , , )5 5 1 1 1=

5 � � �y u v= +

3

2

� � ��

y x u

x y v

− =+ =

⎫⎬⎭

�y�x

Q = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

75

8135

, ,P = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

45

7115

, ,

M N= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

575

15

695

, , , , , ,

q q

q q

q q

1 1

2 2

3 3

1125

75

4 4 8

185

135

+ = ⇒ =

− = ⇒ =

− = ⇒ =

[ ] [ ]

( , , )

AQ AB

q q q

� �� = ⇔

⇔ + − − =

45

1 4 1451 2 3 (( , , )3 5 2

p p

p p

p p

1 1

2 2

3 3

195

45

4 3 7

165

115

+ = ⇒ =

− = ⇒ =

− = ⇒ =

66

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

CM

YK

Per tant:


24. D’acord amb l’exercici resolt, el baricentre del tetrae-dre és el punt H que verifica:

essent G el baricentre de la cara oposada al vèrtex A,és a dir, del triangle BCD.

Les coordenades del baricentre H són les incògnites:

H = (h1, h2, h3)

Les coordenades del baricentre G del triangle BCDsón:

Per tant, les components dels vectors i són:

Ja podem expressar la igualtat vectorial en compo-nents:

El baricentre del tetraedre és el punt H � (1, 3, 2).

25. Sabem que el baricentre del tetraedre és el punt H queverifica:

essent G el baricentre del triangle BCD, oposat al vèr-tex A.


Per tant, si H � (h1, h2, h3) són les coordenades quebusquem, les components dels vectors que intervenenen l’equació inicial són:

[ ] ( , , )

[ ] ( ,

AH h h h

HG h

� ��

� ��= − − −

= −1 2 3

1

1 5 1

1 , )1 12 3− −h h

G = − + + + + − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=

1 4 03

2 2 13

1 1 13

1 1

,( )

,

( , , 11)

[ ] [ ]AH HG� ��

= 3

h h h

h h h

h h h

1 1 1

2 2 2

3 3 3

3 1 3 1

5 7 3 3

2 6 3

− = − ⇒ =− = − ⇒ =− = − ⇒ == 2

( , , )

, ,

h h h

h h h

1 2 3

1 2 3

3 5 2

313

73

2

− − − =

= − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎠⎟

[ ] ( , , )

[ ] ,

AH h h h

HG h

� ��

� ��

= − − −

= −

1 2 3

1

3 5 2

13

,73

22 3− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

h h

[ ]HG� �� [ ]AH

� ��

G = + − + − + + + − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=

1 2 23

1 7 13

6 4 43

13

( ), ,

( )

,773

2,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

[ ] [ ]AH HG� ��

= 3

� �x y= − = −( , , ) , ( , , )1 2 4 5 1 3

� � �y u x= − = − − − = −2 7 3 5 2 1 2 4 5 1 3( , , ) ( , , ) ( , , )Si expressem aquesta equació en components:

(h1 − 1, h2 − 5, h3 − 1) = 3 (1 − h1, 1 − h2, 1 − h3) == (3 − 3 h1, 3 − 3 h2, 3 − 3 h3)


Les coordenades del baricentre del tetraedre són:

H = (1, 2, 1)

ACTIVITATS

Abans de començar

• Vector fix (pàg. 72); vector lliure (pàg. 73); combinació li-neal de vectors (pàg. 76); vectors linealment dependents ivectors linealment independents (pàg. 77); rang d’un con-junt de vectors (pàg. 77); base de V3 (pàg. 78); componentsd’un vector en una base (pàg. 78); sistema de referència(pàg. 82).

• Suma de dos vectors i producte d’un vector per un nom-bre real, gràficament (pàg. 74) o amb components (pàg.79).

• Dependència o independència lineal d’un conjunt de vec-tors (pàg. 80); rang d’un conjunt de vectors (pàg. 81).

Qüestions

26. El mòdul, la direcció i el sentit no determinen com-pletament un vector fix, ja que per a això hem deconèixer-ne a més l’origen o l’extrem.

En canvi, sí que determinen completament un vectorlliure, ja que aquest està format pels vectors fixos quetenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateixsentit.

27. Que , , siguin linealment dependents significaque algun d’aquests es pot expressar com una combi-nació lineal dels altres o, de manera equivalent, que ∃ k1, k2, k3, ∈ � tal que:

essent algun dels coeficients diferent de 0.

Si ara considerem els vectors , , , , tenim que:

i algun dels coeficients és diferent de 0, la qual cosa sig-nifica que , , i són linealment dependents.

28. Sigui un conjunt de vectors.

Sabem que són linealment dependents si i només si al-gun es pot expressar com a combinació lineal dels al-tres.

Ara bé, el vector nul sempre es pot expressar com acombinació lineal de qualsevol conjunt de vectors:

Aleshores, són linealment dependents.� � �0 1, , ...,u un

� � � �0 0 0 01 2= + + +u u un...

� � �0 1, , ...,u un

�d

�c

�b�a

k a k b k c d1 2 3 0 0� � � � �

+ + + =

�d

�c

�b�a

k a k b k c1 2 3 0� � � �

+ + =

�c

�b�a

h h h

h h h

h h h

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 3 3 1

5 3 3 2

1 3 3

− = − ⇒ =− = − ⇒ =− = − ⇒ == 1

67

4. Vectors en l’espai (I)Per tant:


24.D’acord amb l’exercici resolt, el baricentre del tetrae-dre és el punt H que verifica:

essent G el baricentre de la cara oposada al vèrtex A,és a dir, del triangle BCD.

Les coordenades del baricentre H són les incògnites:

H =(h1, h2, h3)


Per tant, les components dels vectors i són:

Ja podem expressar la igualtat vectorial en compo-nents:

El baricentre del tetraedre és el punt H �(1, 3, 2).

25.Sabem que el baricentre del tetraedre és el punt H queverifica:

essent G el baricentre del triangle BCD, oposat al vèr-tex A.


Per tant, si H �(h1, h2, h3) són les coordenades quebusquem, les components dels vectors que intervenenen l’equació inicial són:

[](,,)

[](,

AHhhh

HGh

��

�� =−−−

=−123

1

151

1,) 11 23 −− hh

G=−++++−++ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=

1403

2213

1113

11

,()

,

(,,11)

[][] AHHG��

=3

hhh

hhh

hhh

111

222

333

3131

5733

263

−=−⇒=−=−⇒=−=−⇒==2

(,,)

,,

hhh

hhh

123

123

352

313

73

2

−−−=

=−−− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎠⎟

[](,,)

[],

AHhhh

HGh

��

��

=−−−

=−

123

1

352

13

,73

2 23 −− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ hh

[] HG�� [] AH

��

G=+−+−+++−+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=

1223

1713

6443

13

(),,

()

,773

2, ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

[][] AHHG��

=3

�� xy =−=− (,,),(,,) 124513

�� yux =−=−−−=− 27352124513 (,,)(,,)(,,)Si expressem aquesta equació en components:

(h1−1, h2−5, h3−1) =3 (1 −h1, 1 −h2, 1 −h3) ==(3 −3h1, 3 −3h2, 3 −3h3)


Les coordenades del baricentre del tetraedre són:

H=(1, 2, 1)

ACTIVITATS

Abans de començar

•Vector fix (pàg. 72); vector lliure (pàg. 73); combinació li-neal de vectors (pàg. 76); vectors linealment dependents ivectors linealment independents (pàg. 77); rang d’un con-junt de vectors (pàg. 77); base de V3(pàg. 78); componentsd’un vector en una base (pàg. 78); sistema de referència(pàg. 82).

•Suma de dos vectors i producte d’un vector per un nom-bre real, gràficament (pàg. 74) o amb components (pàg.79).

•Dependència o independència lineal d’un conjunt de vec-tors (pàg. 80); rang d’un conjunt de vectors (pàg. 81).

Qüestions

26.El mòdul, la direcció i el sentit no determinen com-pletament un vector fix, ja que per a això hem deconèixer-ne a més l’origen o l’extrem.

En canvi, sí que determinen completament un vectorlliure, ja que aquest està format pels vectors fixos quetenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateixsentit.

27.Que , , siguin linealment dependents significaque algun d’aquests es pot expressar com una combi-nació lineal dels altres o, de manera equivalent, que ∃k1, k2, k3, ∈�tal que:

essent algun dels coeficients diferent de 0.

Si ara considerem els vectors , , , , tenim que:

i algun dels coeficients és diferent de 0, la qual cosa sig-nifica que, , i són linealment dependents.

28.Siguiun conjunt de vectors.

Sabem que són linealment dependents si i només si al-gun es pot expressar com a combinació lineal dels al-tres.

Ara bé, el vector nul sempre es pot expressar com acombinació lineal de qualsevol conjunt de vectors:

Aleshores, són linealment dependents.�� 01 ,,..., uun

�� 0000 12 =+++ uuun ...

�� 01 ,,..., uun

�d �c �

b �a

kakbkcd 12300 ��+++=

�d �c �

b �a

kakbkc 1230 ��++=

�c �b �a

hhh

hhh

hhh

111

222

333

1331

5332

133

−=−⇒=−=−⇒=−=−⇒==1

67

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

C M

Y K

29.Sí. Per exemple, un punt qualsevol P té les mateixes co-ordenades en els dos sistemes de referència

i , que són diferents

si , o .Les coordenades de P són:

P =(0, 0, 0)


30.a)

b)

c)

d)

e)

A12

u

12

u + v

12

u + v + w 12

12

w

v

12

u + 2v + w12

u + 2v

2v

w

u A

A

12

u + v

12

u + v + w

12uv

w

Av

wu + v + w

u + v

u

A

u + vv

u

�� wz �� vy �� ux

RPuvw 2={;,,} �� RPxyz 1={;,,} ��

31.a)

b)

c)

d)

A

Q

u

vuv +

12w

[] APuvw�� =++

A

P

uvuv +

w

[] ANuv�� =+

A

N

v

u

[] AMuw�� =+

12

12

A

M 12w

12u

68


29. Sí. Per exemple, un punt qualsevol P té les mateixes co-ordenades en els dos sistemes de referència

i , que són diferents

si , o . Les coordenades de P són:

P = (0, 0, 0)


30. a)

b)

c)

d)

e)

A 12

u

12

u + v

12

u + v + w12

12

w

v

12

u + 2v + w12

u + 2v

2v

w

uA

A

12

u + v

12

u + v + w

12 u v

w

A v

wu + v + w

u + v

u

A

u + vv

u

� �w z� �v y� �u x

R P u v w2 = { ; , , }� � �R P x y z1 = { ; , , }� � �

31. a)

b)

c)

d)

A

Q

u

v u v+

12 w

[ ]AP u v w� ��

= + +

A

P

uv u v+

w

[ ]AN u v� ��

= +

A

N

v

u

[ ]AM u w� ��

= +12

12

A

M12 w

12 u

68

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

CM

YK

e)

32. Els vectors , , són base, ja que són tres vectors deV3 no coplanaris.

Per obtenir les components de qualsevol vector en labase , hem d’expressar aquest vector coma combinació lineal dels vectors de la base:

, aleshores: en labase B.

, aleshores: en la base B.

G

vE

u

[ ] ( , , )EG� ��

= 1 1 0[ ]EG u v� �� = +

A u v

G

2w

[ ] ( , , )AG� ��

= 1 1 2[ ]AG u v w� �� = + + 2

B u v w= { , , }� � �

�w�v�u

[ ] ( )GJ u v u v� �� = + = +2 2 2

G u

vu v+

J

[ ]AQ u v w� �� = + + 1

2, aleshores: en la base B.

33. a)

b)

c)

34. Resolem aquest sistema vectorial per reducció:

Restem la segona equació de la primera i tenim:

Prenent components:

Aïllant en la segona equació i prenent components:

Per tant, .

35. a) Busquem una expressió del tipus:� � � �x a u b v c w a b c= + + ∈, , , .�

� �x y= =( , , ), ( , , )1 1 1 4 3 2

� � �y v x= + = + =( , , ) ( , , ) ( , , )3 2 1 1 1 1 4 3 2

�y

�x = − =14

7 6 5 3 2 1 1 1 1[( , , ) ( , , )] ( , , )

44

� � � ��

x u v xu v= − = −

;

� � � �z u v w= − − =

= − − − −

212

15

2 1 3 212

1 2 5( , , ) ( , , )115

0 4 3

2 6 412

152

( , , )

( , , ) , ,

− =

= − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 0045

35

52

215

5910

, ,

, ,

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

� � �y u v= + = − + − =

=

12

13

12

1 3 213

1 2 5

12

( , , ) ( , , )

, , , , , ,32

113

23

53

16

136

2−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=33

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

� � � �x u v w= + − == − + − −

2 3

1 3 2 2 1 2 5 3 0( , , ) ( , , ) ( , 44 3

1 3 2 2 4 10 0 12 9

, )

( , , ) ( , , ) ( , , )

− == − + − − − === − −( , , )1 5 17

F

w

B

[ ] ( , , )BF� ��

= 0 0 2[ ]BF w� �� = 2

69


e)

32.Els vectors , , són base, ja que són tres vectors deV3no coplanaris.

Per obtenir les components de qualsevol vector en labase , hem d’expressar aquest vector coma combinació lineal dels vectors de la base:

, aleshores: en labase B.


G

vE

u

[](,,) EG��

=110 [] EGuv�� =+

Auv

G

2w

[](,,) AG��

=112 [] AGuvw�� =++2

Buvw ={,,} ��

�w �v �u

[]() GJuvuv�� =+=+ 222

Gu

vuv +

J

[] AQuvw�� =++

12


33.a)

b)

c)

34.Resolem aquest sistema vectorial per reducció:

Restem la segona equació de la primera i tenim:

Prenent components:

Aïllant en la segona equació i prenent components:

Per tant, .

35.a)Busquem una expressió del tipus:�� xaubvcwabc =++∈ ,,,. �

�� xy == (,,),(,,) 111432

�� yvx =+=+= (,,)(,,)(,,) 321111432

�y

�x=−=14

765321111 [(,,)(,,)](,,)

44

��

xuvxuv

=−=− ;

�� zuvw =−−=

=−−−−

212

15

213212

125 (,,)(,,)115

043

26412

152

(,,)

(,,),,

−=

=−−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−00

45

35

52

215

5910

,,

,,

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�� yuv =+=−+−=

=

12

13

12

13213

125

12

(,,)(,,)

,,,,,,32

113

23

53

16

136

2− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

33⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�� xuvw =+−==−+−−

23

132212530 (,,)(,,)(,443

13224100129

,)

(,,)(,,)(,,)

−==−+−−−===−− (,,) 1517

F

w

B

[](,,) BF��

=002 [] BFw�� =2

69

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

C M

Y K

Prenent components:

(13, 3, −17) =a (1, 5, −2) +b(4, 0, −9) ++c (0, −1, 6) =(a, 5a, −2a) ++(4b, 0, −9b) +(0, −c, 6c) =

=(a +4b, 5a −c, −2a −9b +6c)

Así,

b)Volem obtenir dos nombres reals, a i b, tals que:

Prenent components:

(2, −10, −5) =a (1, 5, −2) +b (4, 0, −9) ==(a, 5 a, −2 a) +(4 b, 0, −9 b) ==(a +4 b, 5 a, −2 a −9 b)

Així,

c)Hem de resoldre l’equació vectorial:

en les incògnites a, b, ∈�.

Expressem els vectors en la base de l’enunciat ioperem:

(0, −1, 6) =a (1, 5, −2) +b (4, 0, −9) ==(a, 5a, −2a) +(4b, 0, −9b) ==(a +4b, 5a, −2a−9b)

Dos vectors són iguals si i només si les seves com-ponents homòlogues coincideixen. Aleshores,això equival al sistema:

que és incompatible. Per tant, no es pot expres-sar com a combinació lineal de i .

36., , sónlinealment dependents si i només si:

En el nostre cas:

Aleshores, , , sí que són linealment dependents. �w �v �u

822

5311

411

42898140

−−

−=⋅−++= ()

uvw

uvw

uvw

111

222

333

0 =

�wwww =(,,) 123�vvvv =(,,) 123

�uuuu =(,,) 123

�v �u

�w

04

15

629

=+−=

=−−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

ab

a

ab

�� waubv =+

�� yuv =−+ 21

24

105

529

2

1

=+−=

−=−−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=−=

ab

a

ab

a

b

�� yaubv =+

�� xuvw =++ 132

134

35

17296

1

3

2

=+=−

−=−−+

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒===

ab

ac

abc

a

b

c

37.Vegem que, i són linealment independents.

Així, són independents i, per tant, no pot ser com-binació lineal de i .

38.Sabem que tres vectors de V3són linealment depen-dents si i només si el determinant de la matriu que técom a columnes les components d’aquests vectors enuna certa base és 0.

En el nostre cas:

0 =k3+2k2−5k −6 =(k +1) (k −2) (k +3) ⇔⇔k =−1, k =2 o k =−3

Per expressar com una combinació lineal de , hem d’obtenir dos nombres reals a i b, tals que:

Prenent components:

(3, 5, k) =a (k, −2, 0) +b(k, k, 1) ==(ka, −2a, 0) +(kb, kb, b) ==(ka +kb, −2a +kb, b)

,

Si k =−1, la solució és a =−2, b =−1, aleshores:

Si k =2, la solució és , b =2, aleshores:

Si k =−3, la solució és a =2, b =−3, aleshores:

39.Els vectors , , sónlinealment dependents si i només si:

0 =3 k2−7 k +2 ; k =2 o . k=13

0

22

133

11

3646 ==−−+−k

k

kkk ()(),

�c=(,,) 231�bk =(,,) 31 �ak =(,,) 21

�� wuv =− 23

�� wuv =−+12

2

a=−12

�� wuv =−− 2

3

52

2

2

=

=−

=−

bk

kak

ak

⎫⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

3

52

=+

=−+

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

kakb

akb

kb

�� waubv =+

�v �u �w

0

3

25

01

05622

=−=−+++kk

k

k

kkkk ()(),

�v �u

�w

124

112

124

48448200

−−−=+−++=≠

�w �v �u

70


Prenent components:

(13, 3, −17) = a (1, 5, −2) + b (4, 0, −9) ++ c (0, −1, 6) = (a, 5 a, −2 a) ++ (4 b, 0, −9 b) + (0, −c, 6 c) =

= (a + 4b, 5a − c, −2a − 9b + 6c)

Así,

b) Volem obtenir dos nombres reals, a i b, tals que:

Prenent components:

(2, −10, −5) = a (1, 5, −2) + b (4, 0, −9) == (a, 5 a, −2 a) + (4 b, 0, −9 b) == (a + 4 b, 5 a, − 2 a − 9 b)

Així,

c) Hem de resoldre l’equació vectorial:

en les incògnites a, b, ∈ �.

Expressem els vectors en la base de l’enunciat ioperem:

(0, −1, 6) = a (1, 5, −2) + b (4, 0, −9) == (a, 5 a, −2 a) + (4 b, 0, −9 b) == (a + 4 b, 5 a, −2 a − 9 b)

Dos vectors són iguals si i només si les seves com-ponents homòlogues coincideixen. Aleshores,això equival al sistema:

que és incompatible. Per tant, no es pot expres-sar com a combinació lineal de i .

36. , , sónlinealment dependents si i només si:

En el nostre cas:

Aleshores, , , sí que són linealment dependents.�w�v�u

8 2 2

5 3 11

4 1 1

4 28 98 14 0

−−

−= ⋅ − + + =( )

u v w

u v w

u v w

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0=

�w w w w= ( , , )1 2 3�v v v v= ( , , )1 2 3

�u u u u= ( , , )1 2 3

�v�u

�w

0 4

1 5

6 2 9

= +− =

= − −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

a b

a

a b

� � �w a u b v= +

� � �y u v= − +2 1

2 4

10 5

5 2 9

2

1

= +− =

− = − −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒= −=

a b

a

a b

a

b

� � �y a u b v= +

� � � �x u v w= + +1 3 2

13 4

3 5

17 2 9 6

1

3

2

= += −

− = − − +

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒===

a b

a c

a b c

a

b

c

37. Vegem que , i són linealment independents.

Així, són independents i, per tant, no pot ser com-binació lineal de i .

38. Sabem que tres vectors de V3 són linealment depen-dents si i només si el determinant de la matriu que técom a columnes les components d’aquests vectors enuna certa base és 0.

En el nostre cas:

0 = k3 + 2k2 − 5k − 6 = (k + 1) (k − 2) (k + 3) ⇔⇔ k = −1, k = 2 o k = −3

Per expressar com una combinació lineal de , hem d’obtenir dos nombres reals a i b, tals que:

Prenent components:

(3, 5, k) = a (k, −2, 0) + b (k, k, 1) == (k a, −2 a, 0) + (k b, k b, b) == (k a + k b, −2 a + k b, b)

,

Si k = −1, la solució és a = −2, b = −1, aleshores:

Si k = 2, la solució és , b = 2, aleshores:

Si k = −3, la solució és a = 2, b = −3, aleshores:

39. Els vectors , , sónlinealment dependents si i només si:

0 = 3 k2 − 7 k + 2 ; k = 2 o .k = 13

0

2 2

1 3 3

1 1

3 6 4 6= = − − + −k

k

k k k( ) ( ),

�c = ( , , )2 3 1

�b k= ( , , )3 1

�a k= ( , , )2 1

� � �w u v= −2 3

� � �w u v= − +12

2

a = − 12

� � �w u v= − −2

3

52

2

2

=

= −

= −

b k

k a k

ak

⎫⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

3

5 2

= +

= − +

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

k a k b

a k b

k b

� � �w a u b v= +

�v�u�w

0

3

2 5

0 1

0 5 6 22= − = − + + +k k

k

k

k k k k( ) ( ),

�v�u

�w

1 2 4

1 1 2

1 2 4

4 8 4 4 8 20 0

−− − = + − + + = ≠

�w�v�u

70

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

CM

YK

Així, són linealment dependents k = 2 o

.

40. Els vectors , , són linealment dependents si i només si:

= (k2 + 6) (2 k 9) ( 4 3 k),

0 = k2 + k + 19 �, aleshores:

no són linealment dependents per a cap valorde k, és a dir, són linealment independents per a tot va-lor de k �.

41. Els vectors , i són linealment dependents si i només si:

i com que aquesta igualtat és sempre falsa, indepen-dentment del valor de a, b, c, en concloem que , i

són sempre linealment independents.

42. a) Considerem la matriu que té com a columnes lescomponents dels vectors :

Sabem que rang = rang (A).

La matriu A, per la seva banda, té un menor no nul

d’ordre 2, per exemple i tots

els menors d’ordre 3 que el contenen són nuls.Aleshores, rang (A) = 2.

Així, rang = 2.

b) Com que les components de i donen lloc a unmenor no nul d’ordre màxim de la matriu A, elsvectors , són linealment independents i el sub-conjunt conté el màxim nombre de vectorslinealment independents entre ells que es pot tro-bar en .

43. Com que la dimensió de V3 és 3, , , formen basesi i només si són linealment independents.

Per veure si , , són linealment independents:

= 3 + 14 + 60 ( 2 36 + 35) = 80 0

1 6 1

2 1 5

2 7 3

=

�w�v�u

�w�v�u

{ , , , }� � � �a b c d

{ , }� �a b

�b

�a

�b

�a

{ , , , }� � � �a b c d

3 2

4 15 0=

{ , , , }� � � �a b c d

A =

3 2 1 5

4 1 3 5

3 5 2 8

� � � �a b c d, , ,

�w

�v�u

0

1 0 0

2 0

3

6= =a

b c

�w = ( , , )0 0 3�v c= ( , , )0 2�u a b= ( , , )1

� � �x y z, ,

k =±1 75

2

0

2 3 1

2 1

3 1

= =k

k

�z = ( , , )1 1 1�y k= ( , , )3 2�x k= ( , , )2 3

k =13

� � �a b c, , per la qual cosa concloem que formen base.

— Busquem els coeficients a, b, c � � tals que:

Expressem els vectors en la base implícita en l’e-nunciat:

( 3, 1, 9) =

= a (1, 2, 2) + b ( 6, 1, 7) + c (1, 5, 3) =

= (a, 2 a, 2 a) + ( 6 b, b, 7 b) + (c, 5 c, 3 c) =

= (a 6 b + c, 2 a + b + 5 c, 2 a + 7 b + 3 c)

Les components del vector en la base són = (5, 1 2).

44. a) Tres vectors de V3 formen base si i només si són li-nealment independents.

Els vectors , , són linealment independents rang = 3 �A� 0, essent A la matriu lescolumnes de la qual són les components dels vec-tors , , .Com que

tenim que , , són base.

b) Busquem les components (a, b, c) de en la base, , , és a dir, els nombres reals a, b, c que com-

pleixen:

Si treballem amb aquesta igualtat en components:

(3, 6, 9) = a (1, 4, 7) + b (2, 5, 8) + c (1, 1, 2) =

= (a, 4 a, 7 a) + (2 b, 5 b, 8 b) + (c, c, 2 c) =

= (a + 2 b + c, 4 a + 5 b + c, 7 a + 8 b + 2 c)

Les components del vector en la base són = ( 1, 2, 0).

45. Perquè tres vectors de V3 no formin base, han de ser li-nealment dependents, és a dir, el determinant de lamatriu A les columnes de la qual són les componentsdels vectors ha de ser 0.

En el nostre cas: ; aleshores:A

k

k k

k

=

2 0

0

1 2

�w{ , , }� � �u v t�w

3 2

6 4 5

9 7 8 2

1

2

0

= + +

= + +

= + +

=

=

=

a b c

a b c

a b c

a

b

c

� � � �w a u b v c t= + +

�t�v�u

�w

�t�v�u

A = = + =

=

1 2 1

4 5 1

7 8 2

3 6 2 3

3 0

( ) ( )

�t�v�u

{ , , }� � �u v t

�t�v�u

�x{ , , }� � �u v w�x

= +

= + +

= + +

=

=

3 6

1 2 5

9 2 7 3

5

1

a b c

a b c

a b c

a

b

c == 2

� � � �x a u b v c w= + +

71

4. Vectors en l’espai (I)Així, són linealment dependents k =2 o

.

40.Els vectors , , són linealment dependents si i només si:

=(k2+6) (2k 9) (4 3k),

0 =k2+k +19 �, aleshores:

no són linealment dependents per a cap valorde k, és a dir, són linealment independents per a tot va-lor de k �.

41.Els vectors , i són linealment dependents si i només si:

i com que aquesta igualtat és sempre falsa, indepen-dentment del valor de a, b, c, en concloem que, i

són sempre linealment independents.

42.a)Considerem la matriu que té com a columnes lescomponents dels vectors:

Sabem que rang =rang (A).

La matriu A, per la seva banda, té un menor no nul

d’ordre 2, per exemple i tots

els menors d’ordre 3 que el contenen són nuls.Aleshores, rang (A) =2.

Així, rang =2.

b)Com que les components de i donen lloc a unmenor no nul d’ordre màxim de la matriu A, elsvectors , són linealment independents i el sub-conjunt conté el màxim nombre de vectorslinealment independents entre ells que es pot tro-bar en.

43.Com que la dimensió de V3és 3, , , formen basesi i només si són linealment independents.

Per veure si, , són linealment independents:

=3 +14 +60 (2 36 +35) =80 0

161

215

273

=

�w �v �u

�w �v �u

{,,,} ��abcd

{,} ��ab

�b

�a

�b

�a

{,,,} ��abcd

32

4150 =

{,,,} ��abcd

A=

3215

4135

3528

��abcd ,,,

�w

�v �u

0

100

20

3

6 == a

bc

�w=(,,) 003 �vc =(,,) 02�uab =(,,) 1

�� xyz ,,

k=± 175

2

0

231

21

31

== k

k

�z=(,,) 111 �yk =(,,) 32 �xk =(,,) 23

k=13

��abc ,,per la qual cosa concloem que formen base.

—Busquem els coeficients a, b, c � �tals que:

Expressem els vectors en la base implícita en l’e-nunciat:

(3, 1, 9) =

=a (1, 2, 2) +b (6, 1, 7) +c (1, 5, 3) =

=(a, 2a, 2a) +(6b, b, 7b) +(c, 5c, 3c) =

=(a 6b +c, 2a +b +5c, 2a +7b +3c)

Les components del vector en la base són =(5, 1 2).

44.a)Tres vectors de V3formen base si i només si són li-nealment independents.

Els vectors , , són linealment independents rang =3 �A�0, essent A la matriu lescolumnes de la qual són les components dels vec-tors , , .Com que

tenim que , , són base.

b)Busquem les components (a, b, c) de en la base, , , és a dir, els nombres reals a, b, c que com-

pleixen:

Si treballem amb aquesta igualtat en components:

(3, 6, 9) =a (1, 4, 7) +b (2, 5, 8) +c (1, 1, 2) =

=(a, 4a, 7a) +(2b, 5b, 8b) +(c, c, 2c)=

=(a +2b +c, 4a +5b +c, 7a +8b +2c)

Les components del vector en la base són =(1, 2, 0).

45.Perquè tres vectors de V3no formin base, han de ser li-nealment dependents, és a dir, el determinant de lamatriu A les columnes de la qual són les componentsdels vectors ha de ser 0.

En el nostre cas: ; aleshores: A

k

kk

k

=

20

0

12

�w{,,} ��uvt �w

32

645

9782

1

2

0

=++

=++

=++

=

=

=

abc

abc

abc

a

b

c

��waubvct =++

�t �v �u

�w

�t �v �u

A==+=

=

121

451

782

3623

30

()()

�t �v �u

{,,} ��uvt

�t �v �u

�x{,,} �� uvw �x

=+

=++

=++

=

=

36

125

9273

5

1

abc

abc

abc

a

b

c==2

�� xaubvcw =++

71

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

C M

Y K

Així, �A�=0 ⇔k2(k −2) =0 ⇔k =0 o k =2.

Per tant, , , no són base si i només si k �0 o k �2.

46.Considerem . Perquè, i

siguin linealment independents, hem d’imposar �A�≠0.

Ara,

�A�=0 ⇔2k2−7k +3 =0 ⇔o k =3

Per tant,

�A�≠0 ⇔i k ≠3 ⇔k ∈� −

En concloem que, ,són base∀k ∈� −.

47.L’origen del vector fix és el punt A, i el seu extrem,el punt B.

Si les coordenades d’aquests punts són A =(a1, a2, a3)iB =(b1, b2, b3), sabem que les components del vector

són:

=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)

D’acord amb l’enunciat:

B =(3, 2, −7) i =(5, −4, 1).

Aleshores:

(5, −4, 1) =(3 −a1, 2 −a2, −7 −a3)

L’origen del vector és, doncs, A =(−2, 6, −8).

48.Dos vectors fixos són equipol.lents si i només si són re-presentants del mateix vector lliure.

Així, és equipol.lent a ⇔=.

Si D �(d1, d2, d3), podem expressar i d’a-cord amb les coordenades dels seus orígens i els seusextrems:

=(1 −1, −1 −2, 1 −3) =(0, −3, −2)

=(d1−0, d2−2, d3−(−5)) =

=(d1, d2−2, d3+5)

[] CD��

[] AB��

[] CD��

[] AB��

[] CD��

[] AB��

CD��

AB��

AB��

53

42

17

2

6

8

1

2

3

1

2

3

=−−=−

=−−

⇒=−⇒=⇒=−

a

a

a

a

a

a

[] AB��

[] AB��

[] AB��

AB��

12

3, ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

�w �v �u

12

3, ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

k≠12

k=12

A

k

k

kkk

kk

==−−−+−=

=−+

11

212

23

1624

2732

()()

�w �v �u A

k

k

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

11

212

23

�w �v �u

A

k

kk

k

kk

kkkkk

kk

===−=

=−

20

0

12

22

2

2

2

()

()

Si expressem en components la igualtat =:

(0, −3, −2) =(d1, d2−2, d3+5)

Les coordenades del punt D són D =(0, −1, −7).

49.Com que A, B i C són tres extrems consecutius d’un pa-ral.lelogram, tenim que:

=, on:

=(1 −2, 3 −1, 5 −4) =(−1, 2, 1)

=(d1−(−3), d2−0, d3−1) =

=(d1+3, d2, d3−1)

Substituint en la igualtat vectorial:

(−1, 2, 1) =(d1+3, d2, d3−1)

amb la qual cosa D =(−4, 2, 2).

Si M és el punt mitjà del paral.lelogram, es compleix:

Així:

Per tant:

50.Si anomenem P =(p1, p2, p3) les coordenades de P:

=(p1−1, p2−5, p3−0) =(p1−1, p2−5, p3)

=(1 −1, −4 −5, 9 −0) =(0, −9, 9)

Substituint en l’equació de l’enunciat:

(p1−1, p2−5, p3) =(0, −4, 4)

El punt P buscat és P =(1, 1, 4).

p

p

p

p

p

p

1

2

3

1

2

3

10

54

4

1

1

4

−=−=−

=

⇒=⇒=⇒=

[][] APAB��

=49

[] AB��

[] AP��

M=−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 1

32

3 ,,

m

m

m

m

m

m

1

2

3

1

2

3

12

332

52

1

323

−=−

−=−

−=−

⇒=−

⇒=

⇒=

(,,)(,,) mmm 123 13512

310315 −−−=−−−−

[][] AMAC��

=12

−=+==−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=−==

13

2

11

4

2

2

1

2

3

1

2

3

d

d

d

d

d

d

[] CD��

[] BA��

[] CD��

[] BA��

0

32

25

0

1

7

1

2

3

1

2

3

=−=−−=+

⇒=⇒=−⇒=−

d

d

d

d

d

d

[] CD��

[] AB��

72


Així, �A� = 0 ⇔ k2 (k − 2) = 0 ⇔ k = 0 o k = 2.

Per tant, , , no són base si i només si k � 0 o k � 2.

46. Considerem . Perquè , i

siguin linealment independents, hem d’imposar �A� ≠ 0.

Ara,

�A� = 0 ⇔ 2 k2 − 7 k + 3 = 0 ⇔ o k = 3

Per tant,

�A� ≠ 0 ⇔ i k ≠ 3 ⇔ k ∈ � −

En concloem que , , són base ∀ k ∈ � − .

47. L’origen del vector fix és el punt A, i el seu extrem,el punt B.

Si les coordenades d’aquests punts són A = (a1, a2, a3) iB = (b1, b2, b3), sabem que les components del vector

són:

= (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)

D’acord amb l’enunciat:

B = (3, 2, −7) i = (5, −4, 1).

Aleshores:

(5, −4, 1) = (3 − a1, 2 − a2, −7 − a3)

L’origen del vector és, doncs, A = (−2, 6, −8).

48. Dos vectors fixos són equipol.lents si i només si són re-presentants del mateix vector lliure.

Així, és equipol.lent a ⇔ = .

Si D � (d1, d2, d3), podem expressar i d’a-cord amb les coordenades dels seus orígens i els seusextrems:

= (1 − 1, −1 − 2, 1 − 3) = (0, −3, −2)

= (d1 − 0, d2 − 2, d3 − (−5)) =

= (d1, d2 − 2, d3 + 5)

[ ]CD� ��

[ ]AB� ��

[ ]CD� ��

[ ]AB� ��

[ ]CD� ��

[ ]AB� ��

CD� ��

AB� ��

AB� ��

5 3

4 2

1 7

2

6

8

1

2

3

1

2

3

= −− = −

= − −

⇒ = −⇒ =⇒ = −

a

a

a

a

a

a

[ ]AB� ��

[ ]AB� ��

[ ]AB� ��

AB� ��

12

3,⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

�w�v�u

12

3,⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

k ≠ 12

k = 12

A

k

k

k k k

k k

= = − − − + − =

= − +

1 1

2 1 2

2 3

1 6 2 4

2 7 32

( ) ( )

�w�v�uA

k

k

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1

2 1 2

2 3

�w�v�u

A

k

k k

k

kk

k kk k k

k k

= = = − =

= −

2 0

0

1 2

22

2

2

2

( )

( )

Si expressem en components la igualtat = :

(0, −3, −2) = (d1, d2 − 2, d3 + 5)

Les coordenades del punt D són D = (0, −1, −7).

49. Com que A, B i C són tres extrems consecutius d’un pa-ral.lelogram, tenim que:

= , on:

= (1 − 2, 3 − 1, 5 − 4) = (−1, 2, 1)

= (d1 − (−3), d2 − 0, d3 − 1) =

= (d1 + 3, d2, d3 − 1)

Substituint en la igualtat vectorial:

(−1, 2, 1) = (d1 + 3, d2, d3 − 1)

amb la qual cosa D = (−4, 2, 2).

Si M és el punt mitjà del paral.lelogram, es compleix:

Així:

Per tant:

50. Si anomenem P = (p1, p2, p3) les coordenades de P:

= (p1 − 1, p2 − 5, p3 − 0) = (p1 − 1, p2 − 5, p3)

= (1 − 1, −4 − 5, 9 − 0) = (0, −9, 9)

Substituint en l’equació de l’enunciat:

(p1 − 1, p2 − 5, p3) = (0, −4, 4)

El punt P buscat és P = (1, 1, 4).

p

p

p

p

p

p

1

2

3

1

2

3

1 0

5 4

4

1

1

4

− =− = −

=

⇒ =⇒ =⇒ =

[ ] [ ]AP AB� ��

= 49

[ ]AB� ��

[ ]AP� ��

M = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

132

3, ,

m

m

m

m

m

m

1

2

3

1

2

3

1 2

332

5 2

1

323

− = −

− = −

− = −

⇒ = −

⇒ =

⇒ =

( , , ) ( , , )m m m1 2 31 3 512

3 1 0 3 1 5− − − = − − − −

[ ] [ ]AM AC� ��

= 12

− = +== −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒= −==

1 3

2

1 1

4

2

2

1

2

3

1

2

3

d

d

d

d

d

d

[ ]CD� ��

[ ]BA� ��

[ ]CD� ��

[ ]BA� ��

0

3 2

2 5

0

1

7

1

2

3

1

2

3

=− = −− = +

⇒ =⇒ = −⇒ = −

d

d

d

d

d

d

[ ]CD� ��

[ ]AB� ��

72

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

CM

YK

51.

Com que A, B, C, D divideixen el segment MN en cincparts iguals, s’ha de complir:

Així, doncs:

Així, les coordenades dels punts A, B, C, D són:

A = (2, 1, 4) , B = (3, 0, 5)

C = (4, −1, 6) , D = (5, −2, 7)

52. Com que M, N, P divi-deixen el segment enquatre parts iguals,s’ha de complir:

Si M � (m1, m2, m3), N � (n1, n2, n3), P � (p1, p2, p3),i tenint en compte que:

= (3 − 1, 4 − 2, −1 − 5) = (2, 2, −6)

podem expressar les igualtats anteriors en compo-nents i deduir-ne el valor de les coordenades de M, N, P:

[ ] [ ]

( , , ) (

AM AB

m m m

� �� =

− − − =

14

1 2 514

21 2 3 ,, , )2 6−

[ ]AB� ��

B = (3, 4, -1)

A = (1, 2, 5)

M

N

P

Z

X

Y

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[

AM AB

AN AB

AP

� ��

� ��

�

=

=

14

24

�� ] [ ]= 3

4AB

[ ] [ ] [ ] ( , , ) ( ,OA OM MA� ��

= + = +1 2 3 1 −− ==

= +

1 1

2 1 4

, )

( , , )

[ ] [ ] [OB OA AB� ��

]] ( , , ) ( , , )

( , , )

[ ]

= + − ==

=

2 1 4 1 1 1

3 0 5

OC� ��

(( , , ) ( , , ) ( , , )

[ ] (

3 0 5 1 1 1 4 1 6

4

+ − = −

=OD� ��

,, , ) ( , , ) ( , , )− + − = −1 6 1 1 1 5 2 7

[ ] [ ] [ ] [ ] [MA AB BC CD DN� ��

= = = =��

� ��]

[ ] ( , , ) ( , ,

=

= = − − − − = −15

15

6 1 3 2 8 3 1 1MN )1

M = (1, 2, 3)

N = (6, –3, 8) D C B A

Z

X

YAnàlogament :

Les coordenades dels punts buscats són, doncs:

53. Sabem que el baricentre del tetraedre ABCD és el puntH per al qual es compleix:

, essent G el baricentre del triangleBCD.

Considerem H = (h1, h2, h3).

Les coordenades del punt G són les del baricentre deltriangle BCD:

Per tant, la igualtat inicial expressada en componentsés:

i si igualem component a component:

Les coordenades del baricentre són H = (2, 3, 2).

54. a) Si M � (m1, m2, m3) són les coordenades del puntbuscat, podem expressar en components l’equacióvectorial de l’enunciat:

(−5 − 3, 7 − (−5), 3 − 1) == −2 (m1 − 3, m2 − (−5), m3 − 1),

(−8, 12, 2) = (−2 m1 + 6, −2 m2 − 10, −2 m3 + 2)

− = − += − −= − +

⇒ =⇒ = −⇒ =

8 2 6

12 2 10

2 2 2

7

111

2

3

1

2

3

m

m

m

m

m

m 00

[ ] [ ]AB AM� ��

= −2

h h

h h

h h

h

h

h

1 1

2 2

3 3

1

2

3

4 4 3

6 6 3

2 6 3

2

3

− = −− = −− = −

⇒ =⇒ =⇒ == 2

( , , ) , ,h h h h h h1 2 3 1 2 34 6 2 343

2 2− − − = − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

G = + + − + + − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=

2 3 13

7 0 13

3 2 13

43

2

( ),

( ),

, , 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

[ ] [ ]AH HG� ��

= 3

M N P= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =32

52

72

2 3 252

72

12

, , , ( , , ) , , ,⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( , , ) ( , , )

,

n n n

n n

1 2 3

1 2

1 2 524

2 2 6

2 3

− − − = − ⇒

⇒ = = ,,

( , , ) ( , , )

n

p p p

p

3

1 2 3

1

2

1 2 534

2 2 6

=

− − − = − ⇒

⇒ = 552

72

122 3, ,p p= =

m

m

m

m

m

m

1

2

3

1

2

3

112

212

532

325272

− =

− =

− = −

⇒ =

⇒ =

⇒ =

73

4. Vectors en l’espai (I)51.

Com que A, B, C, D divideixen el segment MN en cincparts iguals, s’ha de complir:

Així, doncs:

Així, les coordenades dels punts A, B, C, D són:

A =(2, 1, 4) , B =(3, 0, 5)

C =(4, −1, 6) , D =(5, −2, 7)

52.Com que M, N, P divi-deixen el segment enquatre parts iguals,s’ha de complir:

Si M �(m1, m2, m3), N �(n1, n2, n3), P �(p1, p2, p3),i tenint en compte que:

=(3 −1, 4 −2, −1 −5) =(2, 2, −6)

podem expressar les igualtats anteriors en compo-nents i deduir-ne el valor de les coordenades de M, N, P:

[][]

(,,)(

AMAB

mmm

�� =

−−−=

14

12514

2 123,,,) 26 −

[] AB��

B = (3, 4, -1)

A = (1, 2, 5)

M

N

P

Z

X

Y

[][]

[][]

[

AMAB

ANAB

AP

��

��

�

=

=

14

24

��][] =

34

AB

[][][](,,)(, OAOMMA��

=+=+ 1231−−==

=+

11

214

,)

(,,)

[][][ OBOAAB��

]](,,)(,,)

(,,)

[]

=+−==

=

214111

305

OC��

((,,)(,,)(,,)

[](

305111416

4

+−=−

= OD��

,,,)(,,)(,,) −+−=− 16111527

[][][][][ MAABBCCDDN��

====��

�� ]

[](,,)(,,

=

==−−−−=−15

15

61328311 MN)1

M = (1, 2, 3)

N = (6, –3, 8)DCBA

Z

X

YAnàlogament :

Les coordenades dels punts buscats són, doncs:

53.Sabem que el baricentre del tetraedre ABCD és el puntH per al qual es compleix:

, essent G el baricentre del triangleBCD.

Considerem H =(h1, h2, h3).

Les coordenades del punt G són les del baricentre deltriangle BCD:

Per tant, la igualtat inicial expressada en componentsés:

i si igualem component a component:

Les coordenades del baricentre són H =(2, 3, 2).

54.a)Si M �(m1, m2, m3) són les coordenades del puntbuscat, podem expressar en components l’equacióvectorial de l’enunciat:

(−5 −3, 7 −(−5), 3 −1) ==−2 (m1−3, m2−(−5), m3−1),

(−8, 12, 2) =(−2m1+6, −2m2−10, −2m3+2)

−=−+=−−=−+

⇒=⇒=−⇒=

826

12210

222

7

111

2

3

1

2

3

m

m

m

m

m

m00

[][] ABAM��

=−2

hh

hh

hh

h

h

h

11

22

33

1

2

3

443

663

263

2

3

−=−−=−−=−

⇒=⇒=⇒==2

(,,),, hhhhhh 123123 462343

22 −−−=−−− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

G=++−++−++ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=

2313

7013

3213

43

2

(),

(),

,,2 ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

[][] AHHG��

=3

MNP =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟==

32

52

72

23252

72

12

,,,(,,),,, ⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(,,)(,,)

,

nnn

nn

123

12

12524

226

23

−−−=−⇒

⇒==,,

(,,)(,,)

n

ppp

p

3

123

1

2

12534

226

=

−−−=−⇒

⇒=552

72

12

23 ,, pp ==

m

m

m

m

m

m

1

2

3

1

2

3

112

212

532

325272

−=

−=

−=−

⇒=

⇒=

⇒=

73

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

C M

Y K

El punt M té per coordenades M =(7, −11, 0).

b)Com que coneixem les coordenades dels punts A, B, M, podem expressar la igualtat en compo-nents:

(3 −7, −5 −(−11), 1 −0) ==k (−5 −7, 7 −(−11), 3 −0)

(−4, 6, 1) =(−12k, 18k, 3k)

i igualant component a component:

55.La situació de l’enunciat correspon a dos casos possi-bles diferents. No obstant això, en cadascun podemtraduir vectorialment la situació sense pèrdua d’infor-mació:

Cas a:A es troba entre B i C.

Cas b:B es troba entre A i C.

Podem expressar les components dels vectors que in-tervenen en aquestes equacions en funció de les coor-denades dels punts A, B, C �(c1, c2, c3):

[](,,)

[](,

BCccc

BA

��

��=−−−

=−123 321

130−−−−=−−− 221223 ,)(,,)

[][] BCBA��

=−2

A

B

C

[][] BCBA��

=2

B

A

C

−=−==

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=412

618

13

13

k

k

k

k

[][] MAkMB��

=

Expressant les equacions en components, podem de-terminar les coordenades de C:

En el cas a:

(c1−3, c2−2, c3−1) =2 (−2, −2, −3)

En el cas b:

(c1−3, c2−2, c3−1) =−2 (−2, −2, −3)

Així, les coordenades del cim C poden ser:

C =(−1, −2, −5) o C =(7, 6, 7)

56.Els punts A, B, C estan alineats si i només si els vec-torsi tenen la mateixa direcció o algun és nul.Ara bé, dos vectors lliures són linealment dependentssi i només si tenen la mateixa direcció o algun és nul.

Per tant, A, B, C estan alineats si i només si els vectorsi són linealment dependents.

Per obtenir un criteri d’alineació en funció de les co-ordenades dels punts, expressem els vectors i

en components:

=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)

=(c1−a1, c2−a2, c3−a3)

Finalment, com que el rang del conjunt {, }coincideix amb el de la matriu les columnes de la qual són les components dels vectors i , podemafirmar:

A, B, C estan alineats si i només si:

—D’acord amb aquest mètode aplicat als punts:

—A =(−2, −3, 1) , B =(−3, −4, 0) , C =(4, 6, −2)

com que

baca

baca

baca

1111

2222

3333

3 −−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−−−−−−−−−−−

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

()()

()()

242

4363

0121

==−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

16

19

13

rang

baca

baca

baca

1111

2222

3333

−−−−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟<2

[] AC��

[] AB��

[] AC��

[] AB��

[] AC��

[] AB��

[] AC��[] AB

��

[] AC��

[] AB��

AC��

AB��

c

c

c

c

c

c

1

2

3

1

2

3

34

24

16

7

6

7

−=−=−=

⇒=⇒=⇒=

[][] BCBA��

=−2

c

c

c

c

c

c

1

2

3

1

2

3

34

24

16

1

2

5

−=−−=−−=−

⇒=−⇒=−⇒=−

[][] BCBA��

=2

74


El punt M té per coordenades M = (7, −11, 0).

b) Com que coneixem les coordenades dels punts A, B, M, podem expressar la igualtat en compo-nents:

(3 − 7, −5 − (−11), 1 − 0) == k (−5 − 7, 7 − (−11), 3 − 0)

(−4, 6, 1) = (−12 k, 18 k, 3 k)

i igualant component a component:

55. La situació de l’enunciat correspon a dos casos possi-bles diferents. No obstant això, en cadascun podemtraduir vectorialment la situació sense pèrdua d’infor-mació:

Cas a: A es troba entre B i C.

Cas b: B es troba entre A i C.

Podem expressar les components dels vectors que in-tervenen en aquestes equacions en funció de les coor-denades dels punts A, B, C � (c1, c2, c3):

[ ] ( , , )

[ ] ( ,

BC c c c

BA

� ��

� ��= − − −

= −1 2 33 2 1

1 3 0 −− − − = − − −2 2 1 2 2 3, ) ( , , )

[ ] [ ]BC BA� ��

= − 2

A

B

C

[ ] [ ]BC BA� ��

= 2

B

A

C

− = −==

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ =4 12

6 18

1 3

13

k

k

k

k

[ ] [ ]MA k MB� ��

=

Expressant les equacions en components, podem de-terminar les coordenades de C:

En el cas a:

(c1 − 3, c2 − 2, c3 − 1) = 2 (−2, −2, −3)

En el cas b:

(c1 − 3, c2 − 2, c3 − 1) = −2 (−2, −2, −3)

Així, les coordenades del cim C poden ser:

C = (−1, −2, −5) o C = (7, 6, 7)

56. Els punts A, B, C estan alineats si i només si els vec-tors i tenen la mateixa direcció o algun és nul.Ara bé, dos vectors lliures són linealment dependentssi i només si tenen la mateixa direcció o algun és nul.

Per tant, A, B, C estan alineats si i només si els vectorsi són linealment dependents.

Per obtenir un criteri d’alineació en funció de les co-ordenades dels punts, expressem els vectors i

en components:

= (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)

= (c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3)

Finalment, com que el rang del conjunt { , }coincideix amb el de la matriu les columnes de la qual són les components dels vectors i , podemafirmar:

A, B, C estan alineats si i només si:

— D’acord amb aquest mètode aplicat als punts:

— A = (−2, −3, 1) , B = (−3, −4, 0) , C = (4, 6, −2)

com que

b a c a

b a c a

b a c a

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

3− −− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− −− − − −− − − − −

− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( ) ( )

( ) ( )

2 4 2

4 3 6 3

0 1 2 1

==−−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 6

1 9

1 3

rang

b a c a

b a c a

b a c a

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

− −− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

< 2

[ ]AC� ��

[ ]AB� ��

[ ]AC� ��

[ ]AB� ��

[ ]AC� ��

[ ]AB� ��

[ ]AC� �� [ ]AB

� ��

[ ]AC� ��

[ ]AB� ��

AC� ��

AB� ��

c

c

c

c

c

c

1

2

3

1

2

3

3 4

2 4

1 6

7

6

7

− =− =− =

⇒ =⇒ =⇒ =

[ ] [ ]BC BA� ��

= − 2

c

c

c

c

c

c

1

2

3

1

2

3

3 4

2 4

1 6

1

2

5

− = −− = −− = −

⇒ = −⇒ = −⇒ = −

[ ] [ ]BC BA� ��

= 2

74

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

CM

YK

té rang 2, ja que, per exemple, ≠ 0

és un menor no nul, en concloem que els punts A, B,C no estan alineats.

57. Com que la base de la piràmide és un paral.lelogram,el seu punt mitjà divideix les diagonals en dues partsiguals.

Així, com que = (4 − 2, 1 − 3, −2 − 4) == (2, −2, −6) és una de les diagonals, el punt O ha decomplir:

que podem expressar en components si indiquem lescoordenades del punt O com a O � (o1, o2, o3):

Les coordenades del punt mitjà de la base sónO � (3, 2, 1).

a) El simètric de A respecte de B és el punt F tal que.[ ] [ ]AB BF

� �� =

o

o

o

o

o

o

1

2

3

1

2

3

2 1

3 1

4 3

3

2

1

− =− = −− = −

⇒ =⇒ =⇒ =

( , , ) ( , , ) ( , ,o o o1 2 32 3 412

2 2 6 1 1 3− − − = − − = − − ))

[ ] [ ],AO AC� ��

= 12

[ ]AC� ��

−−

= −1 6

1 93

Si F � (f1, f2, f3), podem expressar la igualtat ante-rior en components:

(−2 − 2, 1 − 3, 5 − 4) = (f1 − (−2), f2 − 1, f3 − 5)

El simètric de A respecte de B és F � (�6, �1, 6).

b) El simètric de E respecte del centre de la base O és,d’acord amb la definició, el punt G � (g1, g2, g3)per al qual:

Si prenem components:

(3 − 6, 2 − 8, 1 − 0) = (g1 − 3, g2 − 2, g3 − 1)

El simètric de E respecte de O és G � (0, �4, 2).

58. Activitat TIC.

59. Activitat TIC.

− = −− = −

= −

⇒ =⇒ = −⇒ =

3 3

6 2

1 1

0

4

2

1

2

3

1

2

3

g

g

g

g

g

g

[ ] [ ]EO OG� ��

=

− = +− = −

= −

⇒ = −⇒ = −⇒ =

4 2

2 1

1 5

6

1

6

1

2

3

1

2

3

f

f

f

f

f

f

75

4. Vectors en l’espai (I)té rang 2, ja que, per exemple,≠0

és un menor no nul, en concloem que els punts A, B,C no estan alineats.

57.Com que la base de la piràmide és un paral.lelogram,el seu punt mitjà divideix les diagonals en dues partsiguals.

Així, com que =(4 −2, 1 −3, −2 −4) ==(2, −2, −6) és una de les diagonals, el punt O ha decomplir:

que podem expressar en components si indiquem lescoordenades del punt O com a O �(o1, o2, o3):

Les coordenades del punt mitjà de la base sónO �(3, 2, 1).

a)El simètric de A respecte de B és el punt F tal que. [][] ABBF

��=

o

o

o

o

o

o

1

2

3

1

2

3

21

31

43

3

2

1

−=−=−−=−

⇒=⇒=⇒=

(,,)(,,)(,, ooo 123 23412

226113 −−−=−−=−−))

[][], AOAC��

=12

[] AC��

−−

=−16

193

Si F �(f1, f2, f3), podem expressar la igualtat ante-rior en components:

(−2 −2, 1 −3, 5 −4) =(f1−(−2), f2−1, f3−5)

El simètric de A respecte de B és F �(�6, �1, 6).

b)El simètric de E respecte del centre de la base O és,d’acord amb la definició, el punt G �(g1, g2, g3)per al qual:

Si prenem components:

(3 −6, 2 −8, 1 −0) =(g1−3, g2−2, g3−1)

El simètric de E respecte de O és G �(0, �4, 2).

58.Activitat TIC.

59.Activitat TIC.

−=−−=−

=−

⇒=⇒=−⇒=

33

62

11

0

4

2

1

2

3

1

2

3

g

g

g

g

g

g

[][] EOOG��

=

−=+−=−

=−

⇒=−⇒=−⇒=

42

21

15

6

1

6

1

2

3

1

2

3

f

f

f

f

f

f

75

4. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(I)

C M

Y K

76

5. Vectors en l’espai (II)

1.PRODUCTE ESCALAR

1.D’acord amb la definició de producte escalar:

2.Per la definició de producte escalar:

3.Com que la base és ortonormal:

a)

b)

c)

d)

4.a)

=2 ⋅(1, −1, 7) ⋅[(−2, 0, 5) +(3, −3, 2)] =

=2 ⋅(1, −1, 7) ⋅(1, −3, 7) =

=2 ⋅[1 ⋅1 +(−1) ⋅(−3) +7 ⋅7] =106

b)

=(1, −1, 7) ⋅[(3, −3, 2) −(1, −1, 7)] =

=(1, −1, 7) ⋅(2, −2, −5) =

=1 ⋅2 +(−1) ⋅(−2) +7 ⋅(−5) =31

c)

=[(1, −1, 7) +(−2, 0, 5)] ⋅

⋅[(1, −1, 7) −(3, −3, 2)] =

=(−1, −1, 12) ⋅(−2, 2, 5) =

=(−1) ⋅(−2) +(−1) ⋅2 +12 ⋅5 =60

()() �� uvuw +⋅−=

�� uwu () ⋅−=

2�� uvw () ⋅+=

cos(,) �� uvuvuv

=⋅==37

3546

37230690

�v=−−=−+−+=

=

(,,)()() 136136

46

222

�u=−=+−+=

==

(,,)() 254254

4535

222

�� uv(,,)(,,)

()

⋅=−⋅−−==⋅−+

254136

21(()() −⋅−+⋅= 534637

�� uvuvuvvuvu (,)(,) ⋅=== coscosvvu

uovuvvu (,

⋅

==⋅==⋅

�

�� Si000))

�� uvuvuv (,) ⋅==⋅°= coscos 3560152

d)

=[(1, −1, 7) −(−2, 0, 5)] ⋅

⋅[(1, −1, 7) +(−2, 0, 5)] =

=(3, −1, 2) ⋅(−1, −1, 12) =

=3 ⋅(−1) +(−1) ⋅(−1) +2 ⋅12 =22

5.a)

b)

c)

6.Un vector unitari amb la mateixa direcció (i sentit)que , i per tant paral.lel, és:

Per obtenir les components de en la base ortonor-mal:

aleshores,

D’altra banda, si =(3, 2, −1), un vector perpendiculara és =(−2, 3, 0), ja que ⋅�=0.

Perquè sigui unitari, n’hi ha prou de dividir pel seumòdul:

Un vector unitari perpendicular a és:

7.Podem expressar en funció de k:

�′=++=++=

=+

uuuukk

k

12

22

32222

2

12

15

()

�u

11

13230

2

13

3

130 �

�′

′=⋅−=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ u

u(,,),,

�u

�′=−=−++= u(,,)() 23023013222

�′ u

�′ u �u �′ u�u

�u

�′=⋅−=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ v

17

26327

67

37

(,,),,

�v=−=++−= (,,)() 2632637222

�′ v

�� ′= v

vv

1

�v

3231232271

3

�� uv −=⋅−⋅−−=

=

(,,)(,,)

(,66941427811

78122

,)(,,)(,,)

()

−−−=−=

=+−+112343262

==

�� uv −=−−−=

=−=+

(,,)(,,)

(,,)

123271

35432

(() −+== 54505222

�� uv +=+−−=

=−=−

(,,)(,,)

(,,)(

123271

1921))222

9286 ++=

()() �� uvuv −⋅+=

Vectors en l’espai (II) 5

76

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

1. PRODUCTE ESCALAR

1. D’acord amb la definició de producte escalar:

2. Per la definició de producte escalar:

3. Com que la base és ortonormal:

a)

b)

c)

d)

4. a)

= 2 ⋅ (1, −1, 7) ⋅ [(−2, 0, 5) + (3, −3, 2)] =

= 2 ⋅ (1, −1, 7) ⋅ (1, −3, 7) =

= 2 ⋅ [1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−3) + 7 ⋅ 7] = 106

b)

= (1, −1, 7) ⋅ [(3, −3, 2) − (1, −1, 7)] =

= (1, −1, 7) ⋅ (2, −2, −5) =

= 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ (−2) + 7 ⋅ (−5) = 31

c)

= [(1, −1, 7) + (−2, 0, 5)] ⋅

⋅ [(1, −1, 7) − (3, −3, 2)] =

= (−1, −1, 12) ⋅ (−2, 2, 5) =

= (−1) ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 2 + 12 ⋅ 5 = 60

( ) ( )� � � �u v u w+ ⋅ − =

� � �u w u( )⋅ − =

2 � � �u v w( )⋅ + =

cos( , )� �� u vu vu v

= ⋅ = =37

3 5 46

37 230690

�v = − − = − + − + =

=

( , , ) ( ) ( )1 3 6 1 3 6

46

2 2 2

�u = − = + − + =

= =

( , , ) ( )2 5 4 2 5 4

45 3 5

2 2 2

� �u v ( , , ) ( , , )

( )

⋅ = − ⋅ − − == ⋅ − +

2 5 4 1 3 6

2 1 (( ) ( )− ⋅ − + ⋅ =5 3 4 6 37

� � � � � �� u v u v u v v u v u( , ) ( , )⋅ = = =cos cos vv u

u o v u v v u( ,

⋅

= = ⋅ = = ⋅

�

� � � � � � � �Si 0 0 0 ))

� � � � � ��u v u v u v( , )⋅ = = ⋅ ° =cos cos3 5 60152

d)

= [(1, −1, 7) − (−2, 0, 5)] ⋅

⋅ [(1, −1, 7) + (−2, 0, 5)] =

= (3, −1, 2) ⋅ (−1, −1, 12) =

= 3 ⋅ (−1) + (−1) ⋅ (−1) + 2 ⋅ 12 = 22

5. a)

b)

c)

6. Un vector unitari amb la mateixa direcció (i sentit)que , i per tant paral.lel, és:

Per obtenir les components de en la base ortonor-mal:

aleshores,

D’altra banda, si = (3, 2, −1), un vector perpendiculara és = (−2, 3, 0), ja que ⋅ � = 0.

Perquè sigui unitari, n’hi ha prou de dividir pel seumòdul:

Un vector unitari perpendicular a és:

7. Podem expressar en funció de k:

� ′ = + + = + + =

= +

u u u u k k

k

12

22

32 2 2 2

2

1 2

1 5

( )

�u

1 1

132 3 0

2

13

3

130�

�′

′ = ⋅ − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟u

u ( , , ) , ,

�u

� ′ = − = − + + =u ( , , ) ( )2 3 0 2 3 0 132 2 2

� ′u

� ′u�u� ′u�u

�u

�′ = ⋅ − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

v17

2 6 327

67

37

( , , ) , ,

�v = − = + + − =( , , ) ( )2 6 3 2 6 3 72 2 2

�′v

��′ =v

vv

1

�v

3 2 3 1 2 3 2 2 7 1

3

� �u v− = ⋅ − ⋅ − − =

=

( , , ) ( , , )

( , 66 9 4 14 2 7 8 11

7 8 12 2

, ) ( , , ) ( , , )

( )

− − − = − =

= + − + 11 234 3 262 = =

� �u v− = − − − =

= − = +

( , , ) ( , , )

( , , )

1 2 3 2 7 1

3 5 4 32 (( )− + = =5 4 50 5 22 2

� �u v+ = + − − =

= − = −

( , , ) ( , , )

( , , ) (

1 2 3 2 7 1

1 9 2 1))2 2 29 2 86+ + =

( ) ( )� � � �u v u v− ⋅ + =

Vectors en l’espai (II)5

CM

YK

77

5. Vectors en l’espai (II)Perquè el mòdul sigui 9, el valor de k ha de ser:

8. Considerem els vectors:

Està clar que:

i Â

A més:

aleshores:

i, d’acord amb la definició de producte escalar:

= b2 + c2 − 2 b c cos Â

9. Considerem un rombe ABCD com el de la figura.

Definim els vectors:

Com que es tracta d’un rombe:

D’altra banda, les diagonals són els segments que su-porten els vectors i (regla del paral.lelo-gram).

� �u v−� �u v+

� �u v=

B

A

C

u v

D

� � �� u AB v AD= =[ ] , [ ]

a v u v u v u2 2 22= + − =� � � � � ��cos ,

a w w w v u v u

v v

2 2= = ⋅ = − ⋅ − == ⋅ +

� � � � � � �

� � �( ) ( )

uu u v u u v

v u v u

⋅ − ⋅ − ⋅ =

= + − ⋅

� � � � �

� � � �2 22

� � �v u w= +

u v= � ��,a w b v c u= = =� � �, ,

B

AC

a

b

cu

v

w

� � �� u AB v AC w BC= = =[ ] , [ ] , [ ]

9 5 1 5 1 81 42 2= = + ⇔ + = ⇔ = ±�u k k k

Per tant, per veure que les diagonals són perpendicu-lars, n’hi ha prou de veure que , és adir, que :

↑

10. Siguin i dos vectors concurrents que defineixenel paral.lelogram considerat.

Per la regla del paral.lelogram, les diagonals correspo-nen als vectors i .

Volem veure que:

és a dir,

(Identitat del paral.lelogram)

En efecte:

11. Per la definició de treball:

12. Per la definició de treball, si és l’angle format per laforça amb el terra i és el vector desplaçament:

ja que el vector és paral.lel al terra.

En el nostre cas, = 48 N i = 16 m, aleshores:

W = 48 ⋅ 16 cos α = 768 cos α

Segons el valor de :

a) α = 135° ⇒ W = 768 cos 135° = −543, 06 Jb) α = 75° ⇒ W = 768 cos 75° = 198, 77 Jc) α = 45° ⇒ W = 768 cos 45° = 543, 06 J

[ ]AB� ��

F

[ ]AB� ��

W F AB F AB= ⋅ =� � ��

[ ] [ ] cos α

[ ]AB� ��

F

W F AB= ⋅ = ⋅ − − −� � ��

[ ] ( , , ) ( , , )8 4 2 4 3 1 2 0 1 === ⋅ − − == ⋅ + ⋅ − +

( , , ) ( , , )

( )

8 4 2 1 1 1

8 1 4 1 22 1 2( )⋅ − = J

� � � �

� � � � � �u v u v

u v u v u v

+ + − == + ⋅ + + − ⋅

2 2

( ) ( ) ( ) (( )� �

� � � � � � � �u v

u u u v v v u u

− =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −2 22

2 2 2

� � � �

� � � � �u v v v

u u v v u

⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ = ⋅ 22 2+( )�v

� � � � � �u v u v u v+ + − = ⋅ +( )2 2 2 22

� � � � � � � �u v u v u v u v+ + − = + + +2 2 2 2 2 2

u

v

� �u v−� �u v+

�v�u

� �u v=

( ) ( )� � � � � � � � � � �u v u v u u u v v u+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − vv v

u u v u v v

⋅ =

= − ⋅ + ⋅ − =

�

� � � � � �2 20

( ) ( )� � � �u v u v+ ⋅ − = 0( ) ( )� � � �u v u v+ ⊥ −

77

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

Perquè el mòdul sigui 9, el valor de k ha de ser:

8.Considerem els vectors:

Està clar que:

i Â

A més:

aleshores:

i, d’acord amb la definició de producte escalar:

=b2+c2−2bc cosÂ

9.Considerem un rombe ABCD com el de la figura.

Definim els vectors:

Com que es tracta d’un rombe:

D’altra banda, les diagonals són els segments que su-porten els vectors i (regla del paral.lelo-gram).

�� uv − �� uv +

�� uv =

B

A

C

uv

D

�� uABvAD == [],[]

avuvuvu222

2 =+−= �� cos,

awwwvuvu

vv

22==⋅=−⋅−=

=⋅+

��

��()()

uuuvuuv

vuvu

⋅−⋅−⋅=

=+−⋅

��

�� 222

�� vuw =+

uv =�� , awbvcu === �� ,,

B

A C

a

b

c u

v

w

��uABvACwBC === [],[],[]

9515181422

==+⇔+=⇔=± �ukkk

Per tant, per veure que les diagonals són perpendicu-lars, n’hi ha prou de veure que , és adir, que :

↑

10.Siguin idos vectors concurrents que defineixenel paral.lelogram considerat.

Per la regla del paral.lelogram, les diagonals correspo-nen als vectors i .

Volem veure que:

és a dir,

(Identitat del paral.lelogram)

En efecte:

11.Per la definició de treball:

12.Per la definició de treball, si és l’angle format per laforçaamb el terra iés el vector desplaçament:

ja que el vector és paral.lel al terra.

En el nostre cas, =48 N i =16 m, aleshores:

W =48 ⋅16 cosα=768 cos α

Segons el valor de :

a)α=135°⇒W =768 cos135°=−543, 06 Jb)α=75°⇒W =768 cos75°=198, 77 Jc)α=45°⇒W =768 cos45°=543, 06 J

[] AB��

F

[] AB��

WFABFAB =⋅=��

[][]cosα

[] AB��

F

WFAB =⋅=⋅−−−��

[](,,)(,,) 842431201===⋅−−==⋅+⋅−+

(,,)(,,)

()

842111

81412212 () ⋅−=J

��

��uvuv

uvuvuv

++−==+⋅++−⋅

22

()()()(() ��

��uv

uuuvvvuu

−=

=⋅+⋅+⋅+⋅− 222

222

��

��uvvv

uuvvu

⋅+⋅=

=⋅+⋅=⋅222

+ ()�v

�� uvuvuv ++−=⋅+ ()2222

2

�� uvuvuvuv ++−=+++222222

u

v

�� uv − �� uv +

�v �u

�� uv =

()() �� uvuvuuuvvu +⋅−=⋅−⋅+⋅−vvv

uuvuvv

⋅=

=−⋅+⋅−=

�

�� 220

()() �� uvuv +⋅−=0()() �� uvuv +⊥−

C M

Y K

78


2.PRODUCTE VECTORIAL


a)

b)

c)

d)↑

PV.4

14.•Càlcul de :

Primerament calcularem :

��

��

uv

ijk

×=×−=−

= (,,)(,,) 123254123

254

�� uv ×

() �� uvw ××

[(,, =− 21517144214

2151714

214

21714

1

)(,,)] ×−=

=−−

=

=

��ijk

−−−

⎡

⎣⎢

−−

−+

+−⎤

⎦⎥=

=−

4

1514

24

1517

21

282

�

�

�

i

j

k

(��

��

��

ijk

ijk

uv

−−=

=−−−⇒⇒××

3249

1646498

2

)

()��w=−−− (,,) 1646498

()[()] �� uvwuvw ××=⋅××= 22

��ijk

=−− 247

21−−=

=−−

−−−

−+

−=

=−−−

4

47

14

27

24

24

21

922

��

��

ijk

ij110

92210

�

��k

vw

⇒⇒×=−−− (,,)

�� vw ×=−−×−= (,,)(,,) 247214

��

��

uw

ijk

×=×−=−

=

=

(,,)(,,) 312214312

214

122

14

32

24

31

21

616

−−

−+=

=−++⇒×=

��

��

ijk

ijkuw((,,) −6161

��

��

uv

ijk

×=×−−=−−

= (,,)(,,) 312247312

247

==−

−−−

+−

=

=−+−

12

47

32

27

31

24

151714

��

��

ijk

ijk⇒⇒⇒×=− �� uv(,,) 151714

Per tant:

aleshores:

•Càlcul de :


Per tant:

aleshores:

Veiem que els dos resultats no coincideixen:

Això significa que el producte vectorial no compleixla propietat associativa.

15.Sabem que el producte vectorial de dos vectors és per-pendicular a tots dos; aleshores, ×és un vector per-pendicular a i a .

El calculem suposant que les components estan dona-des en una base ortonormal:

��

��

uv

ijk

×=×== (,,)(,,) 810411810

411

�v �u

�v �u

()() �� uvwuvw ××≠××

�� uvw ××=− ()(,,) 246048

��

uvw

ijk

××=×−−=

=

()(,,)(,,) 12319103

1223

19103

23

103

13

193

12

1910

2

−−=

=−−

−−

+−

=

=

��ijk

446048��ijk +−

��

��

vw

ijk

×=−×=−=

=

(,,)(,,) 254113254

113

5−−−

−+=

=−−⇒×

4

13

24

13

25

11

19103

��

��

ijk

ijkvw==−− (,,) 19103

�� vw ×

�� uvw ×× ()

()(,,) �� uvw ××=− 297033

()(,,)(,,) ��

uvw

ijk

××=−×=

=−

23101113

233101

113

101

13

231

13

2310

11

29

=−

−−

+−

=

=+

�

��

�

i

jk

i77033��jk −

=−

−−

+=

=−++⇒×

23

54

13

24

12

25

2310

��

��

ijk

ijkuvv=−(,,) 23101

78

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

2. PRODUCTE VECTORIAL


a)

b)

c)

d)↑

PV.4

14. • Càlcul de :


� �

� � �

u v

i j k

× = × − =−

=( , , ) ( , , )1 2 3 2 5 4 1 2 3

2 5 4

� �u v×

( )� � �u v w× ×

[( , ,= −2 15 17 144 2 1 4

2 15 17 14

2 1 4

217 14

1

) ( , , )]× − =

= −−

=

=

� � �i j k

−−−

⎡

⎣⎢

−−

−+

+− ⎤

⎦⎥ =

= −

4

15 14

2 4

15 17

2 1

2 82

�

�

�

i

j

k

(��

� � �

� �

i j k

i j k

u v

− − =

= − − − ⇒⇒ × ×

32 49

164 64 98

2

)

( ) ��w = − − −( , , )164 64 98

( ) [( ) ]� � � � � �u v w u v w× × = ⋅ × × =2 2

� � �i j k

= − −2 4 7

2 1 −−=

=−−

−− −

−+

−=

= − − −

4

4 7

1 4

2 7

2 4

2 4

2 1

9 22

� � �

� �

i j k

i j 110

9 22 10

�

� �k

v w

⇒⇒ × = − − −( , , )

� �v w× = − − × − =( , , ) ( , , )2 4 7 2 1 4

� �

� � �

u w

i j k

× = × − =−

=

=

( , , ) ( , , )3 1 2 2 1 4 3 1 2

2 1 4

1 22

1 4

3 2

2 4

3 1

2 1

6 16

−−

−+ =

= − + + ⇒ × =

� � �

� � � � �

i j k

i j k u w (( , , )− 6 16 1

� �

� � �

u v

i j k

× = × − − =− −

=( , , ) ( , , )3 1 2 2 4 7 3 1 2

2 4 7

==−

−− −

+−

=

= − + −

1 2

4 7

3 2

2 7

3 1

2 4

15 17 14

� � �

� � �

i j k

i j k ⇒⇒⇒ × = −� �u v ( , , )15 17 14

Per tant:

aleshores:

• Càlcul de :


Per tant:

aleshores:

Veiem que els dos resultats no coincideixen:

Això significa que el producte vectorial no compleixla propietat associativa.

15. Sabem que el producte vectorial de dos vectors és per-pendicular a tots dos; aleshores, × és un vector per-pendicular a i a .

El calculem suposant que les components estan dona-des en una base ortonormal:

� �

� � �

u v

i j k

× = × = =( , , ) ( , , )8 1 0 4 1 1 8 1 0

4 1 1

�v�u

�v�u

( ) ( )� � � � � �u v w u v w× × ≠ × ×

� � �u v w× × = −( ) ( , , )24 60 48

� � ��

u v w

i j k

× × = × − − =

=

( ) ( , , ) ( , , )1 2 3 19 10 3

1 22 3

19 10 3

2 3

10 3

1 3

19 3

1 2

19 10

2

− −=

=− −

−−

+−

=

=

� � �i j k

44 60 48� � �i j k+ −

� �

� � �

v w

i j k

× = − × = − =

=

( , , ) ( , , )2 5 4 1 1 3 2 5 4

1 1 3

5 −−−

−+ =

= − − ⇒ ×

4

1 3

2 4

1 3

2 5

1 1

19 10 3

� � �

� � � � �

i j k

i j k v w == − −( , , )19 10 3

� �v w×

� � �u v w× ×( )

( ) ( , , )� � �u v w× × = −29 70 33

( ) ( , , ) ( , , )� � ��

u v w

i j k

× × = − × =

= −

23 10 1 1 1 3

233 10 1

1 1 3

10 1

1 3

23 1

1 3

23 10

1 1

29

= −

−−

+−

=

= +

�

� �

�

i

j k

i 770 33� �j k−

=−

−−

+ =

= − + + ⇒ ×

2 3

5 4

1 3

2 4

1 2

2 5

23 10

� � �

� � � � �

i j k

i j k u vv = −( , , )23 10 1

CM

YK

79


Per aconseguir que el seu mòdul sigui 2, n’hi ha proude dividir-lo pel seu mòdul, i així serà unitari, i multi-plicar-lo per 2.

Si en calculem el mòdul:

Un vector perpendicular a i a de mòdul 2 és, doncs:

(Podem observar que

també ho és.)

16. Definim els vectors:

que determinen el paral.lelogram ABCD.

La interpretació geomètrica del producte vectorial ensdiu que coincideix amb l’àrea del paral.lelo-gram ABCD, que és el que ens interessa.

Calculem, doncs, :

Finalment, l’àrea del paral.lelogram és:

Sp u v u= × = =� � 2 264 47 58 2,

� � � �� u v BA BC× = × =

= − − − − −[ ] [ ]

( , , ( )1 7 3 2 5 1 ))

( , , ( ))

( , , ) ( ,

×× − − − − − =

= − − × − −3 7 3 2 1 1

6 1 4 4 55 2

6 1 4

4 5 2

1 4

5 2

6 4

4 2

, ) =

= − −− −

=−

−−

− −−

� � ��

i j k

i j ++

+−− −

= − + +

× = − +( )

6 1

4 518 28 34

18 22

� � � �

� �

k i j k

u v 88 34 2 2642 2+ =

� �u v×

� �u v×

u

v

A D

CB

� � �� u BA v BC= =[ ] , [ ]

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

29

169

89

, ,

−×

× =2� �

� �u v

u v

2 29

1 8 429

169

89� �

� �u v

u v×

× = − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( , , ) , ,

�v�u

� �u v× = − = + − + =( , , ) ( )1 8 4 1 8 4 92 2 2

= − + =

= − + ⇒ × =

1 0

1 1

8 0

4 1

8 1

4 1

8 4 1

� � �

� � � � �

i j k

i j k u v ( , , )− 8 4

D’altra banda, com que la diagonal AC divideix el pa-ral.lelogram en dues meitats iguals, l’àrea del triangleABC és la meitat de la del paral.lelogram:

17. Calculem el vector i obtenim els vectors

i .

Aleshores, , en unitats del SI.


18. Calculem el vector i obtenim :

Aleshores:

Així, = (−35, −45, 40), en unitats del SI.

� � �� L m OA v= × = ⋅ − − =([ ] ) ( , , )5 7 9 8

[ ] ( , , ) ( , , )OA v

i j k

� ��

� � �× = − × =

= −

5 3 1 1 1 2

5 3 11

1 1 2

3 1

1 2

5 1

1 2

5 3

1 17 9 8

=−

− +

+−

= − − +

� �

� � � �

i j

k i j k

[ ] ( , , ) ( , , )OA m� ��

= − − − − = −7 2 2 1 1 0 5 3 1

[ ]OA v� �� ×[ ]OA

� ��

�M2 19 3 5= −( , , )

� � ��

� �M OA F

i

2 2 2 1 7 1 3 2= × = − × − =

=

[ ] ( , , ) ( , , )

jj k

i j

k

��

� �

2 1 7

1 3 2

1 7

3 2

2 7

1 2

2 1

1 319

−−

=−−

− +

+−−

= ii j k+ −3 5� �

�M1 34 16 12= −( , , )

[ ] ( ( ), , ( )) ( , , )OA

M

� ��

�= − − − − − = −1 1 2 3 3 4 2 1 7

11 1 2 1 7 2 5 1= × = − × − =

=

[ ] ( , , ) ( , , )OA F

i j

� ��

� � ��

� �

k

i j

k i

2 1 7

2 5 1

1 7

5 1

2 7

2 1

2 1

2 534

−−

=−

−−

−+

+−

= − ++ +16 12� �j k

� � �� M OA F2 2= ×[ ]

� � �� M OA F1 1= ×[ ]

[ ]OA� ��

A D

B C

St

S Sp ut = = =12

12

2 264 23 79 2,

79

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

Per aconseguir que el seu mòdul sigui 2, n’hi ha proude dividir-lo pel seu mòdul, i així serà unitari, i multi-plicar-lo per 2.

Si en calculem el mòdul:

Un vector perpendicular ai a de mòdul 2 és, doncs:

(Podem observar que

també ho és.)

16.Definim els vectors:

que determinen el paral.lelogram ABCD.

La interpretació geomètrica del producte vectorial ensdiu que coincideix amb l’àrea del paral.lelo-gram ABCD, que és el que ens interessa.

Calculem, doncs, :

Finalment, l’àrea del paral.lelogram és:

Spuvu =×== ��226447582

,

��uvBABC ×=×=

=−−−−−[][]

(,,() 173251))

(,,())

(,,)(,

××−−−−−=

=−−×−−373211

6144552

614

452

14

52

64

42

,)=

=−−−−

=−

−−

−−−

��

ijk

ij++

+−−−

=−++

×=−+ ()

61

45182834

1822

��

��

kijk

uv8834226422

+=

�� uv ×

�� uv ×

u

v

AD

C B

��uBAvBC == [],[]

=−− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

29

169

89

,,

−×

×=2��

��uv

uv

229

18429

169

89 ��

��uv

uv×

×=−=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (,,),,

�v �u

�� uv ×=−=+−+= (,,)() 1841849222

=−+=

=−+⇒×=

10

11

80

41

81

41

841

��

��

ijk

ijkuv(,,) −84

D’altra banda, com que la diagonal AC divideix el pa-ral.lelogram en dues meitats iguals, l’àrea del triangleABC és la meitat de la del paral.lelogram:

17.Calculem el vector i obtenim els vectors

i .



18.Calculem el vector i obtenim :

Aleshores:

Així, =(−35, −45, 40), en unitats del SI.

�� LmOAv =×=⋅−−= ([])(,,) 5798

[](,,)(,,) OAv

ijk

��

��×=−×=

=−

531112

5311

112

31

12

51

12

53

11798

=−

−+

+−

=−−+

��

��

ij

kijk

[](,,)(,,) OAm��

=−−−−=− 722110531

[] OAv�� × [] OA

��

�M21935 =− (,,)

��

��MOAF

i

22217132 =×=−×−=

=

[](,,)(,,)

jjk

ij

k

��

��

217

132

17

32

27

12

21

1319

−−

=−−

−+

+−−

=iijk +− 35��

�M1341612 =−(,,)

[]((),,())(,,) OA

M

��

�=−−−−−=− 112334217

111217251 =×=−×−=

=

[](,,)(,,) OAF

ij

��

��

��

k

ij

ki

217

251

17

51

27

21

21

2534

−−

=−

−−

−+

+−

=−+++ 1612��jk

�� MOAF 22 =× []

�� MOAF 11 =× []

[] OA��

AD

BC

St

SSpu t===12

12

226423792

,

C M

Y K

80


19.Obtenim :

Per tant:

=10 ⋅(−11, 13, 18) =(−110, 130, 180), enunitats del SI.

3.PRODUCTE MIXT


a)

b)

c)

PM.3↓

d)

e)↑↑

PM.1PM.3

↑PM.4

ja que és perpendicular a i a .

f)↑↑

PM.1PM.3

↑PM.1

↑PM.4

uvtuw [,,][,, =−⋅ 323 ��]�t=

=⋅−⋅= 38862252

3 �� uvt [,,][ =+uuwt ,,] −= 23 ��

[, �v =3323��tuwtu ,][,,] +−=

[,,][,,] ��uvwtvwtu −=−= 2323

�v �u �� uv ×

[,,][, 22 �� uuvv =−��

uv

uuvvuv

,]

()()

==⋅×−⋅⋅×=+ 220000 =

[,, �� uu =][,,] 22 �� vvuv +−=

[,,][,,] �� uvuvuvuv 22 −=−=

[,,][,,][,,] ��uvwtuwtvwt +=+=

=1125

211

321

9

1620154297

−+−=

=−+−−+−=−

()

()

[,,]

()()

��vwt=

−=

=⋅−+−⋅=

405

211

321

4151−−9

[,,] ��uvt=

−−=

=+++=

125

405

321

304010888

[,,] �� uvw=−

−=

=+++=

125

405

211

20208553

��FqvB =× ()

��

vB

ijk

×=−×−=−−

= (,,)(,,) 572153572

153

==−−

−−−

+=

=−++

72

53

52

13

57

15

111318

��

��

ijk

ijk

��vB ×21.El volum del paral.lelepípede definit per tres vectors

coincideix amb el valor absolut del producte mixt delstres vectors:

Aleshores:

Com que el volum del tetraedre definit per tres vectorsés una sisena part del volum del paral.lelepípede defi-nit per aquests vectors:

22.Considerem els vectors següents:

Com que els vectors, , generen el paral.lelepípe-de ABCDEFGH, el seu volum coincideix amb el valorabsolut del producte mixt dels vectors:

Aleshores:

23.Considerem els vectors següents:

Calculem el producte mixt de , i:

Per tant:


24.Calculem .

Així, doncs, els angles són:

cosαα 11

14

137208 ==⇒=°

uu�,

�u=+−+= 412313222

()

VVuvwu TP ====16

16

16

52526

3[,,] ��

[,,]

()()

�� uvw=−−−−−

=

=−⋅−−

341

454

535

313401352 ⋅+=

�w �v �u

��

�uAB

v

==−−−−=− [](,(),)(,,) 252221341

===−−−−−=−− [](,(),)(,,) AC��

�153231454

wwAD ==−−−−−=−− [](,(),)(,,)��

051241535

Vuvwu p=== [,,] ��553

[,,] �� uvw=−−−−−

=⋅=031

021

122

155

�w �v �u

��

�uAB

v

==−−−−=−

=

[](,,)(,,)

[

112132031

AAD

wAE

��

�](,,)(,,)

[

=−−−−=−−

=

111112021��

](,,)(,,) =−−−−=−− 211102122

VVu TP ==⋅=16

16

21216

3

Vuvwu p=== [,,] ��21213

[,,]

()()

�� uvw=−

−−=

=⋅−−−⋅

132

214

251

1213621221 +⋅=

80

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

19. Obtenim :

Per tant:

= 10 ⋅ (−11, 13, 18) = (−110, 130, 180), enunitats del SI.

3. PRODUCTE MIXT


a)

b)

c)

PM.3↓

d)

e)↑ ↑

PM.1 PM.3

↑PM.4

ja que és perpendicular a i a .

f )↑ ↑

PM.1 PM.3

↑PM.1

↑PM.4

u v t u w[ , , ] [ , ,= − ⋅3 2 3� � � � � ]�t =

= ⋅ − ⋅ =3 88 6 2 252

3� � � �u v t[ , , ] [= + uu w t, , ]− =2 3��

[ ,�v= 33 2 3� � � � �t u w t u, ] [ , , ]+ − =

[ , , ] [ , , ]� � � � � � � �u v w t v w t u− = − =2 3 2 3

�v�u� �u v×

[ , , ] [ ,2 2� � � �u u v v= − ��

u v

u u v v u v

, ]

( ) ( )

== ⋅ × − ⋅ ⋅ × = +2 2 0 00 0=

[ , ,� �u u= ] [ , , ]2 2� � � �v v u v+ − =

[ , , ] [ , , ]� � � � � � � �u v u v u v u v2 2− = − =

[ , , ] [ , , ] [ , , ]� � � � � � � � � �u v w t u w t v w t+ = + =

=11 2 5

2 1 1

3 2 1

9

1 6 20 15 4 2 9 7

−+ − =

= − + − − + − = −

( )

( )

[ , , ]

( ) ( )

� � �v w t =−

=

= ⋅ − + − ⋅ =

4 0 5

2 1 1

3 2 1

4 1 5 1 −− 9

[ , , ]� � �u v t =−

− =

= + + + =

1 2 5

4 0 5

3 2 1

30 40 10 8 88

[ , , ]� � �u v w =−

− =

= + + + =

1 2 5

4 0 5

2 1 1

20 20 8 5 53

� � �F q v B= ×( )

� ��

v B

i j k

× = − × − = −−

=( , , ) ( , , )5 7 2 1 5 3 5 7 2

1 5 3

==−−

−−−

+ =

= − + +

7 2

5 3

5 2

1 3

5 7

1 5

11 13 18

� � �

� � �

i j k

i j k

� �v B× 21. El volum del paral.lelepípede definit per tres vectors

coincideix amb el valor absolut del producte mixt delstres vectors:

Aleshores:

Com que el volum del tetraedre definit per tres vectorsés una sisena part del volum del paral.lelepípede defi-nit per aquests vectors:

22. Considerem els vectors següents:

Com que els vectors , , generen el paral.lelepípe-de ABCDEFGH, el seu volum coincideix amb el valorabsolut del producte mixt dels vectors:

Aleshores:

23. Considerem els vectors següents:

Calculem el producte mixt de , i :

Per tant:


24. Calculem .

Així, doncs, els angles són:

cos α α11

14

1372 08= = ⇒ = °

uu�

,

�u = + − + =4 12 3 132 2 2( )

V V u v w uT P= = = =16

16

16

52526

3[ , , ]� � �

[ , , ]

( ) ( )

� � �u v w =−− −− −

=

= − ⋅ − −

3 4 1

4 5 4

5 3 5

3 13 4 0 13 52⋅ + =

�w�v�u

� � ��

�u AB

v

= = − − − − = −[ ] ( , ( ), ) ( , , )2 5 2 2 2 1 3 4 1

== = − − − − − = − −[ ] ( , ( ), ) ( , , )AC� ��

�1 5 3 2 3 1 4 5 4

ww AD= = − − − − − = − −[ ] ( , ( ), ) ( , , )� ��

0 5 1 2 4 1 5 3 5

V u v w up = = =[ , , ]� � � 5 5 3

[ , , ]� � �u v w =−− −− −

= ⋅ =0 3 1

0 2 1

1 2 2

1 5 5

�w�v�u

� � ��

�u AB

v

= = − − − − = −

=

[ ] ( , , ) ( , , )

[

1 1 2 1 3 2 0 3 1

AAD

w AE

� ��

�] ( , , ) ( , , )

[

= − − − − = − −

=

1 1 1 1 1 2 0 2 1��

] ( , , ) ( , , )= − − − − = − −2 1 1 1 0 2 1 2 2

V V uT P= = ⋅ =16

16

21216

3

V u v w up = = =[ , , ]� � � 21 21 3

[ , , ]

( ) ( )

� � �u v w =−

− −=

= ⋅ − − − ⋅

1 3 2

2 1 4

2 5 1

1 21 3 6 2 12 21+ ⋅ =

CM

YK

81


25. a) Per definició de producte escalar:

b)

c)

Anàlogament:

Aleshores: i

d) Per definició de producte escalar:

essent l’angle que busquem (el format per i ).

D’acord amb els apartats b i c:

26. a) El volum del paral.lelepípede determinat per tresvectors coincideix amb el valor absolut del seu pro-ducte mixt.

[ , , ]

( ) (

� � �u v w

k k

k

k k

= =

= ⋅ − + + ⋅

1

0 3

1 1 1

1 3 0 1 2 −− =

= − +

3

4 32

k

k k

)

cos α =− ⋅ −

− −=

⋅( ) ( )� � � ��

u v u v

u v u v

2

218

3 39==

= ⇒ = °6

3916 10α ,

2 � �u v−

� �u v−

( ) ( )� � � � � � � �u v u v u v u v− ⋅ − = − −2 2 cos α

2 39� �u v− =� �u v− = =9 3

2 2 2 2

4 4

2 2 2

2

� � � � � �

� �u v u u v v

u u

− = − ⋅ ⋅ + =

= − ⋅ � �v v+ =

= ⋅( ) − ⋅ + ( ) =

= ⋅ ⋅ − +

2

2 24 2 3 4 3 3

4 4 3 12 33 39=

� � � � � �

� � � �u v u v u v

u u u v

− = − ⋅ − == ⋅ − ⋅

2( ) ( )

−− ⋅ + ⋅ =

= − ⋅ + =

= ( ) −

� � � �

� � � �v u v v

u u v v2 2

2

2

2 3 22 3 3

4 3 6 3 9

2⋅ + ( ) =

= ⋅ − + =

( ) ( )� � � ��

u v u v

u u u v v

− ⋅ − == ⋅ − ⋅ − ⋅

2

2 2 ��

u v v

u u u v u v v

+ ⋅ == ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅2 2 �

� � � �v

u u v v

=

= − ⋅ + =

= ⋅ ( ) − ⋅ + =

2 3

2 2 3 3 3 3

2 2

2

== ⋅ ⋅ − + =2 4 3 9 3 18

� � � �u v u v⋅ = ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ =cos 60 2 3 312

3

cos α α33

33

1376 66= = ⇒ = °

u

u�,

cos α α22

212

13157 38= = − ⇒ = °

u

u�,

Així:

El volum del paral.lelepípede és 15 si i només si k � �2 o k � 6.

b) Sabem que tres vectors de V3 són linealment de-pendents si i només si el seu determinant és 0.

Els vectors són linealment dependents si i només sik � 1 o k � 3.


les components dels quals són:

Determinem els valors de les incògnites x, y imposantles dades de l’enunciat.

Que el triangle ABC sigui equilàter significa que elsseus tres costats tenen la mateixa longitud, és a dir:

Com que = (5 − (y − 3), y − x − (y + x), 5 − 6) == (8 − y, −2 x, −1), el sistema anterior en components és:

( , , ) ( , , )

( , , ) ( ,

y x x

y x y

− = −

− = −

5 5 3 4

5 5 8

2 2

2 −− −

− + + = + +

− +

⎫⎬⎪

⎭⎪2 1

5 25 9 16

5

2

2 2 2

2

x

y x x

y x

, )

( )

( ) 22 2 225 8 4 1+ = − + +

⎫⎬⎪

⎭⎪( )y x

[ ]BC� ��

� �

� � ��

� �

� � ��u v

u BC

u v

u BC

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

=

=

⎧

[ ] [ ]

2 2

2 2⎨⎨⎪

⎩⎪

��

u y y x y y x

v

= − − + − − = −= −

( , , ) ( , , )

( ,

3 2 6 1 5 5

5 2 yy x y x

w y

− − − = −= − − − =

, ) ( , , )

( , , ) (

5 1 3 4

3 2 5 0 1� 11 5 1, , )− −y

A

D

C

B

u

v

w

� � �� u AB v AC w AD= = =[ ] , [ ] , [ ]

0 4 3

1

2= = = − + ⇔⇔ = =

� � � � � �u v w u v w k k

k o k

, , [ , , ]

33

15 4 3

4 3 15

3 2

2

[ , , ]u V u v w k k

k k k

p= = = − + ⇔

⇔

− + = ⇔

� � �

== = −

− + = − ⇔ = ± − ∉

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

6 2

4 3 154 56

22

o k

k k k �

o

81

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

25.a)Per definició de producte escalar:

b)

c)

Anàlogament:

Aleshores:i

d)Per definició de producte escalar:

essent l’angle que busquem (el format per i ).

D’acord amb els apartats bi c:

26.a)El volum del paral.lelepípede determinat per tresvectors coincideix amb el valor absolut del seu pro-ducte mixt.

[,,]

()(

�� uvw

kk

k

kk

==

=⋅−++⋅

1

03

111

13012

−−=

=−+

3

432

k

kk

)

cosα=−⋅−

−−=

⋅()() ��

uvuv

uvuv

2

218

339==

=⇒=°6

391610 α,

2�� uv −

�� uv −

()() �� uvuvuvuv −⋅−=−− 22cosα

239 �� uv −= �� uv −== 93

2222

44

222

2

��

��uvuuvv

uu

−=−⋅⋅+=

=−⋅�� vv +=

=⋅ ()−⋅+()=

=⋅⋅−+

2

22423433

443123339 =

��

��uvuvuv

uuuv

−=−⋅−==⋅−⋅

2()()

−−⋅+⋅=

=−⋅+=

=()−

��

��vuvv

uuvv22

2

2

232233

43639

2⋅+()=

=⋅−+=

()() ��

uvuv

uuuvv

−⋅−==⋅−⋅−⋅

2

22��

uvv

uuuvuvv

+⋅==⋅−⋅−⋅+⋅ 22�

��v

uuvv

=

=−⋅+=

=⋅()−⋅+=

23

223333

22

2

==⋅⋅−+= 2439318

�� uvuv ⋅=⋅⋅°=⋅⋅= cos6023312

3

cosαα 33

33

137666 ==⇒=°

u

u�,

cosαα 22

212

1315738 ==−⇒=°

u

u�,Així:

El volum del paral.lelepípede és 15 si i només si k ��2 o k �6.

b)Sabem que tres vectors de V3són linealment de-pendents si i només si el seu determinant és 0.

Els vectors són linealment dependents si i només sik �1 o k �3.


les components dels quals són:

Determinem els valors de les incògnites x, y imposantles dades de l’enunciat.

Que el triangle ABC sigui equilàter significa que elsseus tres costats tenen la mateixa longitud, és a dir:

Com que=(5 −(y −3), y −x −(y +x), 5 −6) ==(8 −y, −2x, −1), el sistema anterior en components és:

(,,)(,,)

(,,)(,

yxx

yxy

−=−

−=−

5534

558

22

2−−−

−++=++

−+

⎫⎬⎪

⎭⎪ 21

525916

5

2

222

2

x

yxx

yx

,)

()

()2222

25841 +=−++

⎫⎬⎪

⎭⎪ ()yx

[] BC��

��

��

��

��uv

uBC

uv

uBC

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

=

=

⎧

[][]

22

22 ⎨⎨⎪

⎩⎪

��

uyyxyyx

v

=−−+−−=−=−

(,,)(,,)

(,

326155

52yyxyx

wy

−−−=−=−−−=

,)(,,)

(,,)(

5134

32501 �1151 ,,) −− y

A

D

C

B

u

v

w

�� uABvACwAD === [],[],[]

043

1

2===−+⇔

⇔==

�� uvwuvwkk

kok

,,[,,]

33

1543

4315

32

2

[,,] uVuvwkk

kkk

p ===−+⇔

⇔

−+=⇔

��

===−

−+=−⇔=±−∉

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

62

4315456

22

ok

kkk�

o

C M

Y K

82


Com que ens diuen que x �0, en concloem que:

Per tant, els vectors , i són:

El volum del paral.lelogram generat per, i és:

Finalment, el volum del tetraedre generat , i és:

ACTIVITATS

Abans de començar

•Producte escalar (pàg. 90); base ortogonal i base orto-normal (pàg. 90); producte vectorial (pàg. 96); productemixt (pàg. 100).

•Mòdul d’un vector (pàg. 92); angle entre dos vectors(pàg. 92).

•Àrea del paral.lelogram determinat per dos vectors (pàg.96); volum del paral.lelepípede determinat per tres vec-tors (pàg. 100).

Qüestions

28.No, ja que .

Per exemple, en una base ortonormal, els vectors=(1, 0, 0) i =(0, 1, 0) són ortogonals:

però cap no és .

29.

↑

30.No, ja que en podem trobar un contraexemple.

Considerem, en una base ortonormal, els vectors:

Veiem que , perquè són linealmentdependents, però .

31.

ja que �� vuuyvv ×⊥×=0

[,,](())

(

��

uvuvuvuv

uv

+=⋅×+==⋅××+×==⋅×+⋅×=

��

uvv

uvuuvv

)

()(), 0

�� vw ≠

�� uvuw ×==× 0

�� uvw === (,,),(,,),(,,) 100200300

�� uv =

()() �� uvuvuuuvvu +⋅−=⋅−⋅+⋅−vvv

uuvuvv

⋅=

=−⋅+⋅−==

�

�� 22

0

�0

�� uv ⋅=⋅+⋅+⋅= 1001000

�v �u

�� uvuv ⊥⇒⋅=0

VVu TP ===16

16

125253

�w �v �u

Vuvwu P==−−

== [,,] ��055

354

101

1251253

�w �v �u

�� uvw ==−=− (,,),(,,),(,,) 055354101

�w �v �u

xy == 55 ,

()

()()

y

xyy

y

−=

−+−−−+=

⎫⎬⎪

⎭⎪⇔

⇔=

50

358240

2

222

55

30324055 22,

−+−+=

⎫⎬⎪

⎭⎪⇔==±

xyx


32.

D’acord amb els valors de l’enunciat:

33.a)

b)

c)

Aleshores:

Aleshores

d)essent

αl’angle entre i 2.

D’acord amb els apartats bi c:

34.a)

Aleshores:

Aleshores: �y=19

��

��yyyuwuw

uu

222

22

=⋅=+⋅+==⋅+

()()

222

442

��

��uwwuww

uuw(

⋅+⋅+⋅=

=+cos�� uww ,)+=

=⋅+⋅⋅°+=

2

22414136031 cos99

�x=7

��

��xxxuvuv

uuu

2=⋅=+⋅+==⋅+⋅

()()

(,

��

�� vvuvv

uuvuv

+⋅+⋅=

=+2

2cos))+=

=+⋅⋅°+=

�v2

2212126027 cos

3015656

391610 =⋅⇒==° , cosarccos αα

�� uv − �� uv −

()() �� uvuvuvuv −⋅−=−− 22cosα

265 �� uv −=

22222

4

2 ��

�uvuuuvvv

u

−=⋅−⋅⋅+⋅=

=222

22

4

42545565

−⋅+=

=⋅()−⋅+()=

�� uvv

�� uv −=15

��

��uvuvuv

uuuv

−=−⋅−==⋅+⋅−

2()()

())() −⋅−⋅−==⋅−⋅−⋅

��

vuvv

uuuvv��

��uvv

uuvv

+⋅=

=−⋅+=

=()−⋅

22

2

2

2525++()= 5152

()()

()

��

uvuv

uuuvv

−⋅−==⋅+⋅−−

2

2⋅⋅−⋅−==⋅−⋅−⋅

() 2

22

��

uvv

uuuvvuuvv

uuvv

+⋅=

=−⋅+=

=⋅()−

��

�� 23

2253

22

2⋅⋅+()= 5530

2

�� uvuvuv (,) ⋅=⋅=⋅⋅ coscos 25560°°=5

(,) �� uv=−⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=− arccosarccos

12

622

22

⎛⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=° 135

�� uvuvuvuv (,)(,) ⋅=⋅⇒= cosarcccos��uv

uv⋅⋅

82

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

Com que ens diuen que x � 0, en concloem que:

Per tant, els vectors , i són:

El volum del paral.lelogram generat per , i és:

Finalment, el volum del tetraedre generat , i és:

ACTIVITATS

Abans de començar

• Producte escalar (pàg. 90); base ortogonal i base orto-normal (pàg. 90); producte vectorial (pàg. 96); productemixt (pàg. 100).

• Mòdul d’un vector (pàg. 92); angle entre dos vectors(pàg. 92).

• Àrea del paral.lelogram determinat per dos vectors (pàg.96); volum del paral.lelepípede determinat per tres vec-tors (pàg. 100).

Qüestions

28. No, ja que .

Per exemple, en una base ortonormal, els vectors= (1, 0, 0) i = (0, 1, 0) són ortogonals:

però cap no és .

29.

↑

30. No, ja que en podem trobar un contraexemple.

Considerem, en una base ortonormal, els vectors:

Veiem que , perquè són linealmentdependents, però .

31.

ja que � � � � �v u u y v v× ⊥ × = 0

[ , , ] ( ( ))

(

� � � � � � � ��

u v u v u v u v

u v

+ = ⋅ × + == ⋅ ×× + × == ⋅ × + ⋅ × =

� � ��

u v v

u v u u v v

)

( ) ( ) ,0

� �v w≠

� � � � �u v u w× = = ×0

� � �u v w= = =( , , ), ( , , ), ( , , )1 0 0 2 0 0 3 0 0

� �u v=

( ) ( )� � � � � � � � � � �u v u v u u u v v u+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − vv v

u u v u v v

⋅ =

= − ⋅ + ⋅ − ==

�

� � � � � �2 2

0

�0

� �u v⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =1 0 0 1 0 0 0

�v�u

� � � �u v u v⊥ ⇒ ⋅ = 0

V V uT P= = =16

16

12 5 2 5 3

�w�v�u

V u v w uP = = −−

= =[ , , ]� � �0 5 5

3 5 4

1 0 1

12 5 12 5 3

�w�v�u

� � �u v w= = − = −( , , ), ( , , ), ( , , )0 5 5 3 5 4 1 0 1

�w�v�u

x y= =5 5,

( )

( ) ( )

y

x y y

y

− =

− + − − − + =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇔

⇔=

5 0

3 5 8 24 0

2

2 2 2

55

3 0 3 24 05 5

2 2,

− + − + =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇔ = = ±

xy x


32.

D’acord amb els valors de l’enunciat:

33. a)

b)

c)

Aleshores:

Aleshores

d) essent

α l’angle entre i 2 .

D’acord amb els apartats b i c:

34. a)

Aleshores:

Aleshores: �y = 19

� � � � � � �

� �y y y u w u w

u u

22 2

2 2

= ⋅ = + ⋅ + == ⋅ +

( ) ( )

22 2

4 42

� � � � � �

� � �u w w u w w

u u w (

⋅ + ⋅ + ⋅ =

= + cos �� u w w, ) + =

= ⋅ + ⋅ ⋅ ° + =

2

2 24 1 4 1 3 60 3 1cos 99

�x = 7

� � � � � � �

� � �x x x u v u v

u u u

2 = ⋅ = + ⋅ + == ⋅ + ⋅

( ) ( )

( ,

� � � � �

� � � � ��v v u v v

u u v u v

+ ⋅ + ⋅ =

= +22 cos )) + =

= + ⋅ ⋅ ° + =

�v2

2 21 2 1 2 60 2 7cos

30 15 656

3916 10= ⋅ ⇒ = = °,cos arc cosα α

� �u v−� �u v−

( ) ( )� � � � � � � �u v u v u v u v− ⋅ − = − −2 2 cos α

2 65� �u v− =

2 2 2 2 2

4

2� � � � � � � �

�u v u u u v v v

u

− = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

= 22 2

2 2

4

4 2 5 4 5 5 65

− ⋅ + =

= ⋅ ( ) − ⋅ + ( ) =

� � �u v v

� �u v− = 15

� � � � � �

� � � �u v u v u v

u u u v

− = − ⋅ − == ⋅ + ⋅ −

2( ) ( )

( )) ( )− ⋅ − ⋅ − == ⋅ − ⋅ − ⋅

� � � ��

v u v v

u u u v v � � �

� � � �u v v

u u v v

+ ⋅ =

= − ⋅ + =

= ( ) − ⋅

2 2

2

2

2 5 2 5 ++ ( ) =5 152

( ) ( )

( )

� � � ��

u v u v

u u u v v

− ⋅ − == ⋅ + ⋅ − −

2

2 ⋅⋅ − ⋅ − == ⋅ − ⋅ − ⋅

( )2

2 2

� � ��

u v v

u u u v v uu v v

u u v v

+ ⋅ =

= − ⋅ + =

= ⋅ ( ) −

� �

� � � �2 3

2 2 5 3

2 2

2⋅⋅ + ( ) =5 5 30

2

� � � � � ��u v u v u v( , )⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅cos cos2 5 5 60°° = 5

( , )� ��u v = −⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −arc cos arc cos

12

6 2 2

22

⎛⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= °135

� � � � � �� u v u v u v u v( , ) ( , )⋅ = ⋅ ⇒ =cos arc ccos� �� u v

u v⋅⋅

CM

YK

83


b)

i segons els valors obtinguts en l’apartat a:

35. Imposem que :

i perquè aquesta igualtat sigui certa:0 = −4 k + 24 ⇒ k = 6

36. Expressem en funció de :

Aleshores:

Substituint els valors que ens dóna l’enunciat:

Ara, com que , tenim:

37. Relacionem amb i amb :

Per tant:� � � � � � � � � �u v u v u u u v v v+ − − = ⋅ + ⋅ + ⋅ −2 2

2

−− ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅( )� � � � � � � �u u u v v v u v2 4

� � � � � �

� � �u v u v u v

u u u

( ) ( )+ = + ⋅ + == ⋅ +

2

2

( ) (

⋅ + ⋅

− = − ⋅ −

� � �

� � � � � �v v v

u v u v u v2

)) == ⋅ − ⋅ + ⋅� � � � � �u u u v v v2

� �u v−� �u v+� �u v⋅

( , )� �� u vu v

u v= ⋅

⋅=arc cos arc cos

164 ⋅⋅

= °,6

48 19

� � � � � ��u v u v u v( , )⋅ = cos

� �u v ( )⋅ = + −( ) =12

4 6 20 162 2 2

� � � � � �u v u v u v⋅ = + − −( )12

2 2 2

� � � � � �

� � �u v u v u v

u u u

( ) ( )− = − ⋅ − =

= ⋅ −

2

2 ⋅ + ⋅ = + − ⋅� � � � � � �v v v u v u v2 2

2

� �u v−� �u v⋅

0 2 3

2

= ⋅ = + − ⋅ + − ==

� � � � � � � ��

x y u k v k w u v w

u

( ) ( )

⋅⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ++ ⋅

� � � � � � �� u u v u w k v u

k v v

2 6

−− ⋅ − ⋅ −− ⋅ + ⋅ =

=

3

3

k v w k w u

k w v k w w

� � � ��

22 3 2

6

2 2 2� � � �

� �u k v k w k u

v k u

+ + + + ⋅⋅ − + ⋅

( )

( ) �� w k v w

k k

k

− ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ +

4

2 5 2 3 1

2

2 2 2

( )) ( ) ( )⋅ − − + ⋅ − ⋅ =

= + + − − −

4 6 3 4 1

50 4 3 8 4 1

k k

k k k 88 3 4

4 24

− − =

= − +

k k

k

� �x y⊥

( , ) ,� ��x y = = °arc cos

172

7 1942 52

� � � � � �� x y x y x y x y( , ) ( , )⋅ = ⇒ =cos arc cos�� x yx y

⋅

� � � � � ��

x y u v u w

u u u

( ) ( )⋅ = + ⋅ + == ⋅ + ⋅

2

2 ww v u v w

u u w u w

+ ⋅ + ⋅ =

= +

� � � �

� � � � ��( , )

2

22

cos ++

+ + =

=

( , ) ( , )2

2

� � � �� v u v u v w v wcos cos

⋅ + ⋅ ⋅ ° +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ° +

1 1 3 60

2 2 1 60

2 cos

cos 22 3 60172

⋅ ⋅ ° =cos

d’on, substituint les dades de l’enunciat:


a)

b)

c)

d)

39. a) Imposem l’ortogonalitat efectuant les operacionsamb les components:

b) Com que la base és ortonormal:

40. Que un vector sigui paral.lel a significa que i tenen la mateixa direcció.

Per tant, ∃ k ∈ � tal que .

Així, les components de han de ser:

Perquè tingui mòdul 4:

Aleshores: k k= ⇒ ±43

43

4 2 2 9 32 2 2 2= = + − + − = =�v k k k k k( ) ( ) ( )

� �v k u k k k k= = − − = − −( , , ) ( , , )2 2 1 2 2

�v

� �v k u=

�u�v�u�v

�

�u

v

= − = − + + =

= = +

( , , ) ( )

( , , )

2 2 1 2 2 1 3

3 2 2 3 2

2 2

2 22 2

2 2 2

2 17

0 3 3 0 3 3

18 3 2

+ =

= − = + + − =

= =

�

�

w

u

( , , ) ( )

( ,, )�� wu wu w

= ⋅ =

= − ⋅ +

arc cos

arc cos2 0 2 ( )

,⋅ + ⋅ −

⋅= °3 1 3

3 3 276 37

0 2 2 1 3

2 3 2

= ⋅ = − ⋅ == − ⋅ + ⋅

� �u v x x( , , ) ( , , )

xx x x x

v w x x y

+ ⋅ = − + ⇒ =

= ⋅ = ⋅

1 6 3 2

0 3 3( , , ) ( ,� � ,, )

( )

− == ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ⇒ =

3

3 3 3 3 0y x x y y

( ) ( ) [( , , ) ( , , )]� � � �u v v w− ⋅ + = − − −3 1 2 4 3 1 1 ⋅⋅⋅ ⋅ − + − − == − −[ ( , , ) ( , , )]

( , ,

3 3 1 1 1 3 2

2 3 55 8 0 1

2 8 3 0 5 1 21

) ( , , )

( )

⋅ == − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −

( ) [( , , ) ( , , )]

(

� � �u v w+ ⋅ = − + − ⋅⋅ −

1 2 4 3 1 1

1,, , ) ( , , ) ( , , )

(

3 2 4 1 3 1 3 2

4 1

− = − ⋅ − − == ⋅ − )) ( ) ( )+ ⋅ + − ⋅ − =1 3 3 2 5

� � � �u w u w( ) ( ) [( , , ) ( ,⋅ = ⋅ = − ⋅ −2 2 2 1 2 4 1 3,, )]

[ ( ) ( ) ( )]

− == ⋅ ⋅ − + ⋅ + − ⋅ − =

2

2 1 1 2 3 4 2 266

� �u v ( , , ) ( , , )⋅ = − ⋅ − == ⋅ + ⋅

1 2 4 3 1 1

1 3 2 (( ) ( )− + − ⋅ = −1 4 1 3

� � � � � �u v u v u v ( )⋅ = + − −( ) = − =14

14

8 6 72 2 2 2

83

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

b)

i segons els valors obtinguts en l’apartat a:

35.Imposem que :

i perquè aquesta igualtat sigui certa:0 =−4k +24 ⇒k =6

36.Expressem en funció de :

Aleshores:

Substituint els valors que ens dóna l’enunciat:

Ara, com que , tenim:

37.Relacionem amb i amb :

Per tant:�� uvuvuuuvvv +−−=⋅+⋅+⋅−

222

−−⋅−⋅+⋅=⋅ () �� uuuvvvuv 24

��

��uvuvuv

uuu

()() +=+⋅+==⋅+

2

2

()(

⋅+⋅

−=−⋅−

��

��vvv

uvuvuv2

))==⋅−⋅+⋅ �� uuuvvv 2

�� uv − �� uv + �� uv ⋅

(,) �� uvuv

uv=⋅

⋅= arccosarccos

164⋅⋅

=° ,6

4819

�� uvuvuv (,) ⋅=cos

�� uv() ⋅=+− ()=12

462016222

�� uvuvuv ⋅=+−− ()12

222

��

��uvuvuv

uuu

()() −=−⋅−=

=⋅−

2

2⋅+⋅=+−⋅ �� vvvuvuv22

2

�� uv − �� uv ⋅

023

2

=⋅=+−⋅+−==

��

xyukvkwuvw

u

()()

⋅⋅+⋅−⋅+⋅++⋅

��uuvuwkvu

kvv

26

−−⋅−⋅−−⋅+⋅=

=

3

3

kvwkwu

kwvkww

��

2232

6

222 ��

��ukvkwku

vku

++++⋅⋅−+⋅

()

()�� wkvw

kk

k

−⋅=

=⋅+⋅+⋅+++

4

25231

2

222

())()() ⋅−−+⋅−⋅=

=++−−−

46341

5043841

kk

kkk8834

424

−−=

=−+

kk

k

�� xy ⊥

(,), �� xy==° arccos

172

7194252

�� xyxyxyxy (,)(,) ⋅=⇒= cosarccos��xyxy

⋅

��

xyuvuw

uuu

()() ⋅=+⋅+==⋅+⋅

2

2wwvuvw

uuwuw

+⋅+⋅=

=+

��

�� (,)

2

22

cos++

++=

=

(,)(,) 2

2

�� vuvuvwvw coscos

⋅+⋅⋅°+

+⋅⋅⋅°+

11360

22160

2cos

cos22360172

⋅⋅°= cos

d’on, substituint les dades de l’enunciat:


a)

b)

c)

d)

39.a)Imposem l’ortogonalitat efectuant les operacionsamb les components:

b)Com que la base és ortonormal:

40.Que un vector sigui paral.lel a significa que i tenen la mateixa direcció.

Per tant, ∃k ∈�tal que .

Així, les components de han de ser:

Perquè tingui mòdul 4:

Aleshores:kk =⇒±43

43

422932222

==+−+−== �vkkkkk ()()()

�� vkukkkk ==−−=−− (,,)(,,) 22122

�v

�� vku =

�u �v �u �v

�

�u

v

=−=−++=

==+

(,,)()

(,,)

2212213

32232

22

2222

222

217

033033

1832

+=

=−=++−=

==

�

�

w

u

(,,)()

(,,) � �� wuwuw

=⋅=

=−⋅+

arccos

arccos202()

, ⋅+⋅−⋅

=°313

3327637

02213

232

=⋅=−⋅==−⋅+⋅

�� uvxx (,,)(,,)

xxxxx

vwxxy

+⋅=−+⇒=

=⋅=⋅

1632

033 (,,)(, ��,,)

()

−==⋅+⋅+⋅−=⇒=

3

33330 yxxyy

()()[(,,)(,,)] �� uvvw −⋅+=−−− 3124311⋅⋅⋅⋅−+−−==−−[(,,)(,,)]

(,,

3311132

2355801

28305121

)(,,)

()

⋅==−⋅+⋅+−⋅=−

()[(,,)(,,)]

(

�� uvw +⋅=−+−⋅⋅−

124311

1,,,)(,,)(,,)

(

32413132

41

−=−⋅−−==⋅−))()() +⋅+−⋅−= 13325

�� uwuw ()()[(,,)(, ⋅=⋅=−⋅− 22212413,,)]

[()()()]

−==⋅⋅−+⋅+−⋅−=

2

2112342266

�� uv(,,)(,,) ⋅=−⋅−==⋅+⋅

124311

132(()() −+−⋅=− 1413

�� uvuvuv() ⋅=+−− ()=−=14

14

8672222

C M

Y K

84


Per tant, els únics vectors paral.lels a de mòdul 4 són:

41.Imposem que un vector genèric com-pleixi les condicions de l’enunciat:

•Mòdul 4:

•=30°:

•=135°:

Tenim, doncs, un sistema de tres equacions no linealsamb tres incògnites:

Per tant, hi ha dos vectors que compleixen les condi-cions de l’enunciat:

(,,)(,,) 2222222222 +−+−−− i

16

6

4

16

12

22

32

123

12

=++=−+

−=−+

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔

⇔=

www

www

ww

wwww

ww

w

ww

12

22

32

12

3

12

22

4

2

12

++−=−+

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔

⇔=+

−44

2

22222

12

3

123

=−+=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔

⇔=+=−+=

ww

w

www

o

w

,,

1123 22222 =−=−−=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

,, ww

135

22

°=⋅=⋅⇒

⇒−=

() �� vwvwvw

arccos

cos1135110

1104

123

222°=

−⋅+⋅+⋅

−++⋅=

()

www

==−+ ww 12

42

(,) �� vw

30

32

30

°=⋅=⋅⇒

⇒=

() �� uwuwuw

arccos

cos°°=⋅−⋅+⋅

−++⋅=

=−

111

1114

123

222

1

()

www

wwww 23

43

+

(,) �� uw

416 12

22

32

12

22

32

==++⇒=++ �wwwwwww

�wwww =(,,) 123

�

�

v

v

1

2

43

22183

83

43

4

=−−=−− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

(,,),,

33221

83

83

43

(,,),, −−=−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�u42.Imposem les condicions de l’enunciat efectuant lesoperacions amb components:

•:

•:

Així:

Com que ens demanaven dos valors positius, escollim

x =1, .

43.Busquem un vector tal que:

•La seva tercera component és 1:v3�1.

•És perpendicular a (1, −2, 0):

0 =(1, −2, 0) ⋅(v1, v2, 1) ==1 ⋅v1+(−2) ⋅v2+0 ⋅1 =v1−2v2⇒v1=2v2

•És combinació lineal dels vectors (1, 0, 1) i (1, 1, 0).

Això implica que (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2 v2, v2, 1) sónlinealment dependents:

=1 ⋅1 −0 +1 ⋅(v2−2v2) ⇒v2=1

El vector buscat és .

44.Busquem un vector tal que:

•:

•:

0 =(u1, u2, u3) ⋅(1, −1, 4) ==u1⋅1 +u2⋅(−1) +u3⋅4 ⇔u1−u2+4u3=0

•És combinació lineal de (�2, 1, 1) i (�1, 1, 1). Enparticular, són linealment dependents:

�u⊥− (,,) 114

1111 12

22

32

12

22

32

==++⇔++= �uuuuuuu

�u=11

�uuuu =(,,) 123

�v=(,,) 211

0

101

110

21 22

==vv

�vvvv =(,,) 123

y=35

35454911

12

10

52255

222

2

=++==⇒=±

=+

xxxx

yy

,,

,22

225400

35

+=⇒

⇒=± y

60°==⋅⋅

=

=

(,) �� uvuv

uvarccos

arccoss21522

3152222

()

()

⋅+⋅+−⋅

⋅++⇒

⇒

xyxy

yy

112

6010

52252

=°=+

cosy

(,) �� uv=° 60

322542222

==++−=+ �uxxx ()

�u=3

84

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

Per tant, els únics vectors paral.lels a de mòdul 4 són:

41. Imposem que un vector genèric com-pleixi les condicions de l’enunciat:

• Mòdul 4:

• = 30°:

• = 135°:

Tenim, doncs, un sistema de tres equacions no linealsamb tres incògnites:

Per tant, hi ha dos vectors que compleixen les condi-cions de l’enunciat:

( , , ) ( , , )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ − + − − −i

16

6

4

16

12

22

32

1 2 3

1 2

= + += − +

− = − +

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔

⇔=

w w w

w w w

w w

ww w w

w w

w

w w

12

22

32

1 2

3

12

22

4

2

12

+ +− = − +

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔

⇔= +

−44

2

2 2 2 2 2

1 2

3

1 2 3

= − +=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔

⇔= + = − + =

w w

w

w w w

o

w

, ,

11 2 32 2 2 2 2= − = − − =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

, ,w w

135

22

° = ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ − =

( )� �� v wv wv w

arc cos

cos 11351 1 0

1 1 0 4

1 2 3

2 2 2° =

− ⋅ + ⋅ + ⋅

− + + ⋅=

( )

w w w

==− +w w1 2

4 2

( , )� ��v w

30

32

30

° = ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ =

( )� �� u wu wu w

arc cos

cos °° =⋅ − ⋅ + ⋅

− + + ⋅=

=−

1 1 1

1 1 1 4

1 2 3

2 2 2

1

( )

w w w

w ww w2 3

4 3

+

( , )� ��u w

4 1612

22

32

12

22

32= = + + ⇒ = + +�w w w w w w w

�w w w w= ( , , )1 2 3

�

�

v

v

1

2

43

2 2 183

83

43

4

= − − = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

( , , ) , ,

332 2 1

83

83

43

( , , ) , ,− − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�u 42. Imposem les condicions de l’enunciat efectuant lesoperacions amb components:

• :

• :

Així:

Com que ens demanaven dos valors positius, escollim

x = 1, .

43. Busquem un vector tal que:

• La seva tercera component és 1: v3 � 1.

• És perpendicular a (1, −2, 0):

0 = (1, −2, 0) ⋅ (v1, v2, 1) == 1 ⋅ v1 + (−2) ⋅ v2 + 0 ⋅ 1 = v1 − 2 v2 ⇒ v1 = 2 v2

• És combinació lineal dels vectors (1, 0, 1) i (1, 1, 0).

Això implica que (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2 v2, v2, 1) sónlinealment dependents:

= 1 ⋅ 1 − 0 + 1 ⋅ (v2 − 2 v2) ⇒ v2 = 1

El vector buscat és .

44. Busquem un vector tal que:

• :

• :

0 = (u1, u2, u3) ⋅ (1, −1, 4) == u1 ⋅ 1 + u2 ⋅ (−1) + u3 ⋅ 4 ⇔ u1 − u2 + 4 u3 = 0

• És combinació lineal de (�2, 1, 1) i (�1, 1, 1). Enparticular, són linealment dependents:

�u ⊥ −( , , )1 1 4

11 1112

22

32

12

22

32= = + + ⇔ + + =�u u u u u u u

�u = 11

�u u u u= ( , , )1 2 3

�v = ( , , )2 1 1

0

1 0 1

1 1 0

2 12 2

= =v v

�v v v v= ( , , )1 2 3

y = 35

3 5 4 5 4 9 1 1

12

10

5 2255

2 2 2

2

= + + = = ⇒ = ±

=+

x x x x

yy

, ,

, 22 225 400

35

+ = ⇒

⇒ = ±y

60° = = ⋅⋅

=

=

( , )� �� u vu v

u varc cos

arc coss2 15 2 2

3 15 22 2 2

( )

( )

⋅ + ⋅ + − ⋅

⋅ + +⇒

⇒

x y x y

y y

112

6010

5 2252= ° =

+cos

y

( , )� ��u v = °60

3 2 2 5 42 2 2 2= = + + − = +�u x x x( )

�u = 3

CM

YK

85

5. Vectors en l’espai (II)47. D’acord amb la interpretació geomètrica del produc-

te escalar, la projecció ortogonal d’un vector sobre un vector mesura:

En el nostre cas:

Aleshores:

a) La projecció ortogonal de sobre mesura:

b) La projecció ortogonal de sobre mesura:

48. Siguin 1, 2, 3 els angles que forma amb els vectors, respectivament.

Com que es tracta d’una base ortonormal, podem ob-tenir-los a partir de l’expressió analítica.

Per a fer-ho, calculem :

Aleshores:

49. D’acord amb la definició:

a) és un vector caracteritzat per:

• Mòdul:

Com que les arestes del prisma són unitàries, icom que la seva base és un hexàgon regular:

( , )� ��u v = ° + ° = °60 60 120

� � � � � ��u v u v u v× = ( , )sin

� �u v×

cos

cos

α α

α α

11

1

22

2

1

1474 50

3

14

= = ⇒ = °

= = − ⇒ =

uu

u

u

�

�

,

1143 30

2

1457 693

33

,

,

°

= = ⇒ = °cos α αu

u�

�u = + − + =1 3 2 142 2 2( )

�u

� � �i j k, ,

�u

� ��

u vv⋅ = − =7

878

�v�u

� ��

u vu⋅ = − =7

474

�u�v

� �

�u v

u

( ) ( )

( )

⋅ = ⋅ − + ⋅ + − ⋅ = −

= +

1 7 6 3 3 6 7

1 62 22 2

2 2 2

3 4

7 3 6 8

+ − =

= − + + =

( )

( ) ( )�v

� ��

a b

b

⋅

�b�

a

= u1 ⋅ 0 − u2 ⋅ (−1) + u3 ⋅ (− 1) ⇔ u2 − u3 = 0

Les components del vector satisfan, doncs:

Hi ha dos vectors que satisfan les condicions de l’e-nunciat:

45. Observem, en primer lloc, que O = (0, 0, 0) és l’origen;les components dels vectors i són les coor-denades dels punts A i B, respectivament.

Volem trobar dos vectors , tals que:

• (1)

• té la mateixa direcció que (2)

• és perpendicular a (3)

La condició (2) implica que:

per a algun nombre real k.

D’altra banda, la hipòtesi (3) ens diu que:

↑(1)

Així,

i

↑(1)

és a dir:

46. El vector desplaçament del cos és:

Per tant, el treball efectuat per la força és:

W F AB= ⋅ = − ⋅ − − =� � ��

[ ] ( , , ) ( , , )5 35 15 3 1 2

== − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ =5 3 35 1 15 2 10( ) ( ) J

F�

[ ] ( , , ) ( , , )AB� ��

= − − − − = − −2 1 0 1 3 1 3 1 2

[ ] , , , ,OA� ��

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+611

611

1811

511

1711

4111

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

� � �� v OA u= − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

[ ] , ,5

111711

411

�u = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

611

611

1811

, ,

0 = ⋅ = − ⋅ =

=

� � �� v OB OA u OB[ ] ([ ] ) [ ]

[(( , , ) ( , , )] ( , , )

( ,

1 1 2 3 1 1 3

1

− − ⋅ − == −

k k k

k , ) ( , , )1 2 3 1 1 3

1 1 6 96

+ − ⋅ − =

= − − − + − ⇒ =

k k

k k k k111

� � ��u k OB k k k k= ⋅ = ⋅ − = −[ ] ( , , ) ( , , )1 1 3 3

[ ]OB� ��v

[ ]OB� ��u

[ ]OA u v� �� = +

�v�u

[ ]OB� ��

[ ]OA� ��

� �u i u= − = − −( , , ) ( , , )3 1 1 3 1 1

u u u

u u u

u u

u u12

22

32

1 2 3

2 3

3 211

4 0

0

+ + =− + =

− =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=

uu u

u1 2

22

3

1

= −

=

�u

0

2 1 1

1 1 1

1 2 3

=−− =u u u

u

v60° 60°

1

85

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

47.D’acord amb la interpretació geomètrica del produc-te escalar, la projecció ortogonal d’un vector

sobre un vector mesura:

En el nostre cas:

Aleshores:

a)La projecció ortogonal de sobre mesura:

b)La projecció ortogonal de sobre mesura:

48.Siguin 1, 2, 3els angles que forma amb els vectors, respectivament.

Com que es tracta d’una base ortonormal, podem ob-tenir-los a partir de l’expressió analítica.

Per a fer-ho, calculem :

Aleshores:

49.D’acord amb la definició:

a)és un vector caracteritzat per:

•Mòdul:

Com que les arestes del prisma són unitàries, icom que la seva base és un hexàgon regular:

(,) �� uv=°+°=° 6060120

�� uvuvuv ×=(,) sin

�� uv ×

cos

cos

αα

αα

11

1

22

2

1

147450

3

14

==⇒=°

==−⇒=

uu

u

u

�

�

,

114330

2

145769 3

33

,

,

°

==⇒=° cosααu

u�

�u=+−+= 13214222

()

�u

��ijk ,,

�u

��

uvv⋅=−=

78

78

�v �u

��

uvu⋅=−=

74

74

�u �v

��

�uv

u

()()

()

⋅=⋅−+⋅+−⋅=−

=+

1763367

162222

222

34

7368

+−=

=−++=

()

()() �v

��

ab

b

⋅

�b �a

=u1⋅0 −u2⋅(−1) +u3⋅(−1) ⇔u2−u3=0

Les components del vector satisfan, doncs:

Hi ha dos vectors que satisfan les condicions de l’e-nunciat:

45.Observem, en primer lloc, que O =(0, 0, 0) és l’origen;les components dels vectors i són les coor-denades dels punts A i B, respectivament.

Volem trobar dos vectors , tals que:

•(1)

•té la mateixa direcció que (2)

•és perpendicular a (3)

La condició (2) implica que:


D’altra banda, la hipòtesi (3) ens diu que:

↑(1)

Així,

i

↑(1)

és a dir:

46.El vector desplaçament del cos és:

Per tant, el treball efectuat per la força és:

WFAB =⋅=−⋅−−=��

[](,,)(,,) 53515312

==−⋅−+⋅−+⋅= 5335115210 ()()J

F�

[](,,)(,,) AB��

=−−−−=−− 210131312

[],,,, OA��

=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

611

611

1811

511

1711

4111

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�� vOAu =−=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ [],,

511

1711

411

�u=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

611

611

1811

,,

0=⋅=−⋅=

=

�� vOBOAuOB []([])[]

[((,,)(,,)](,,)

(,

1123113

1

−−⋅−==−

kkk

k,)(,,) 123113

11696

+−⋅−=

=−−−+−⇒=

kk

kkkk111

�� ukOBkkkk =⋅=⋅−=− [](,,)(,,) 1133

[] OB�� v

[] OB�� u

[] OAuv�� =+

�v �u

[] OB��

[] OA��

�� uiu =−=−− (,,)(,,) 311311

uuu

uuu

uu

uu 12

22

32

123

23

32 11

40

0

++=−+=

−=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=

uuu

u12

22

3

1

=−

=

�u

0

211

111

123

=−−=uuu

u

v60°60°

1

C M

Y K

86


Així,

•Direcció:

és perpendicular a ia ; aleshores, té ladirecció de .

Per tant, , per a algun k ∈�.

•Sentit:

El sentit de és el de l’avançament d’un lle-vataps en girar de a per l’angle més curt, és adir, en sentit antihorari; aleshores, és cap amunt.

Per tant, el seu sentit coincideix amb el de .

Tenint en compte aquestes tres característiques:amb k ≥0 i

↑�w és una aresta

Per tant,

b)és el vector caracteritzat per:

•Mòdul:

Com que les arestes són unitàries, , i comque, a més, la base és un hexàgon regular:

Així,

•Direcció:

és perpendicular a i a , i, per tant, a labase del prisma.

Així, és paral.lel a , i això significa que


•Sentit:

El de l’avançament d’un llevataps en girar de aper l’angle més curt, és a dir, en sentit ho-

rari; per tant, aquest sentit és cap avall.

Així, el sentit deés l’oposat del de.

Tenint en compte aquestes tres característiques,

�w �� yx ×

�x

�y

�� yxkw ×=⋅

�w �� yx ×

�x �y �� yx ×

�� yx ×=⋅°= 12603 sin

�� xiyx =+==° 11260 (,)

�y=1

�� yxyxyx ×=(,) sin

�� yx ×

kuvw =⇒×=3

23

2��

32

1 =×===⋅= �� uvkwkwkk

�� uvkw ×=

�w

�v �u

�� uv ×

�� uvkw ×=⋅

�w

�v �u �� uv ×

�� uv ×=⋅⋅°= 111203

2sin

podem expressar en funció dels vectors de lafiguraamb k ≤0 i

↑�waresta

Per tant:

50.Com que no se’ns diu el contrari, suposem que la baseen què estan expressats els vectors és ortonor-

mal, i en aquest cas:

a)

b)

c)

=[(3, 0, −2) +(1, 1, −1)] ×[3 ⋅(3, 0, −2) −

−(1, 2, 3)] =(4, 1, −3) ×(8, −2, −9) =

Aleshores:

51.a)Calculem primerament les operacions entre parèn-tesis:

=−−− 885��ijk

=−

−−

−+

−=

48

10

18

10

14

11

��ijk

��

��

uv

ijk

×=−−

= 148

110

()()(,,) �� uvuw +×−=−− 3151216

=−+− 151216��ijk

=−

−−−

−−

+−

=13

29

43

89

41

82

��ijk

=−−−

=

��ijk

413

829

()() �� uvuw +×−= 3

⇒×=− �� uw ()(,,) 3123318

=−+⇒ 123318��ijk

=−

−−

+=02

69

32

39

30

36

��ijk

=−=

��ijk

302

369

�� uw ×=−×= ()(,,)(,,) 3302369

=−−+⇒×= 213213�� ijkuv ()(,,)

−−−

+=32

11

30

11

��jk

�i =

−−

02

11

��

��

uv

ijk

×=−−

= 302

111

��ijk ,,

kyxw =−⇒×=−⋅ 33 ��

31 =×=⋅==⋅= �� yxkwkwkk

�� yxkw ×=⋅

�� yx ×

x

1

y

1 1

60°

86

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

Així,

• Direcció:

és perpendicular a i a ; aleshores, té ladirecció de .

Per tant, , per a algun k ∈ �.

• Sentit:

El sentit de és el de l’avançament d’un lle-vataps en girar de a per l’angle més curt, és adir, en sentit antihorari; aleshores, és cap amunt.

Per tant, el seu sentit coincideix amb el de .

Tenint en compte aquestes tres característiques:amb k ≥ 0 i

↑�w és una aresta

Per tant,

b) és el vector caracteritzat per:

• Mòdul:

Com que les arestes són unitàries, , i comque, a més, la base és un hexàgon regular:

Així,

• Direcció:

és perpendicular a i a , i, per tant, a labase del prisma.

Així, és paral.lel a , i això significa que


• Sentit:

El de l’avançament d’un llevataps en girar de aper l’angle més curt, és a dir, en sentit ho-

rari; per tant, aquest sentit és cap avall.

Així, el sentit de és l’oposat del de .

Tenint en compte aquestes tres característiques,

�w� �y x×

�x

�y

� � �y x k w× = ⋅

�w� �y x×

�x�y� �y x×

� �y x× = ⋅ ° =1 2 60 3sin

� � ��x i y x= + = = °1 1 2 60( , )

�y = 1

� � � � � ��y x y x y x× = ( , )sin

� �y x×

k u v w= ⇒ × =32

32

� � �

32

1= × = = = ⋅ =� � � �u v k w k w k k

� � �u v k w× =

�w

�v�u

� �u v×

� � �u v k w× = ⋅

�w

�v�u� �u v×

� �u v× = ⋅ ⋅ ° =1 1 1203

2sin

podem expressar en funció dels vectors de lafigura amb k ≤ 0 i

↑�w aresta

Per tant:

50. Com que no se’ns diu el contrari, suposem que la baseen què estan expressats els vectors és ortonor-

mal, i en aquest cas:

a)

b)

c)

= [(3, 0, −2) + (1, 1, −1)] × [3 ⋅ (3, 0, −2) −

− (1, 2, 3)] = (4, 1, −3) × (8, −2, −9) =

Aleshores:

51. a) Calculem primerament les operacions entre parèn-tesis:

= − − −8 8 5� � �i j k

=−

−−

−+

−=

4 8

1 0

1 8

1 0

1 4

1 1

� � �i j k

� �

� � �

u v

i j k

× = −−

=1 4 8

1 1 0

( ) ( ) ( , , )� � � �u v u w+ × − = − −3 15 12 16

= − + −15 12 16� � �i j k

=−

− −−

−−

+−

=1 3

2 9

4 3

8 9

4 1

8 2

� � �i j k

= −− −

=

� � �i j k

4 1 3

8 2 9

( ) ( )� � � �u v u w+ × − =3

⇒ × = −� �u w( ) ( , , )3 12 33 18

= − + ⇒12 33 18� � �i j k

=−

−−

+ =0 2

6 9

3 2

3 9

3 0

3 6

� � �i j k

= − =

� � �i j k

3 0 2

3 6 9

� �u w× = − × =( ) ( , , ) ( , , )3 3 0 2 3 6 9

= − − + ⇒ × =2 1 3 2 1 3� � � � �i j k u v( ) ( , , )

−−−

+ =3 2

1 1

3 0

1 1

� �j k

�i=

−−

0 2

1 1

� �

� � �

u v

i j k

× = −−

=3 0 2

1 1 1

� � �i j k, ,

k y x w= − ⇒ × = − ⋅3 3� � �

3 1= × = ⋅ = = ⋅ =� � � �y x k w k w k k

� � �y x k w× = ⋅

� �y x×

x

1

y

11

60°

CM

YK

87

5. Vectors en l’espai (II)D’aquests, els de mòdul 3 són:

Per tant, els vectors perpendiculars a i a de mòdul3 són dos:

53. La interpretació geomètrica del producte vectorial ensdiu que el seu mòdul coincideix amb l’àrea del pa-ral.lelogram definit pels vectors:

Calculem :

Aleshores:

54. Per definició:

= (1 − 2, −1 − 1, 3 − (−4)) × (1, 2, 3) =

, en unitats del SI.55. Per definició:

, en unitats del SI.

56. Per definició de producte mixt:

a)

Com que les arestes del prisma són unitàries:

D’altra banda, és perpendicular a la base i, pertant, al vector :

Calculem, finalment, l’angle :

• és perpendicular a , aleshores, ha d’estarcontingut en el pla de la base del prisma.

• és perpendicular a , és a dir, �v� �v w×

�w� �v w×

α = ×( , )� � ��u v w

( , )� ��v w = °90

�v

�w

� � �u v w= = = 1

= ( ) ×( )� � � � �� u v w sin v w u v w, cos ,

[ , , ] ( ) cos ,� � � � � � � � � � �u v w u v w u v w u v= ⋅ × = × ××( ) =��w

⇒ = −�F ( , , )5 35 15

= ⋅ −−

= ⋅ − + + ⇒5 2 1 3

1 1 2

5 7 3

� � ��

i j k

i j k( )

� � �F q v B= ⋅ × = ⋅ − × − =( ) [( , , ) ( , , )]5 2 1 3 1 1 2

⇒ = −�M ( , , )20 10 0

= − − = − + ⇒

� � ��

i j k

i j1 2 7

1 2 3

20 10

� � �� M OA F= × =[ ]

= − + + − =( ) ( )7 3 5 832 2 2 2u

A u vp = × = − − =� � ( , , )7 3 5

� �

� � ��

u v

i j k

i j k× = −−

= − + −1 1 2

2 3 1

7 3 5

� �u v×

A u vp = ×� �

� �w i w1 213

43

83

13

43

83

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

⎛⎝⎜, , , ,

⎞⎞⎠⎟

�v�u

9 313

13

k k k= ⇒ = ⇒ = ±

+ − + − = ⋅ ⇒k k k k2 2 24 8 9( ) ( )

3 4 8= = − − =�w k k k( , , )

En conjunt:

= −8 ⋅ 1 − 8 ⋅ 1 − 5 ⋅ 3 = −31

b) •

•

• Calculem primerament el doble producte vectorial:

Així:

52. • Un vector perpendicular a i a és el seu produc-te vectorial:

Per tant, els vectors perpendiculars a i a són els dela forma:

, amb k ∈ �� w k u v k k k= × = − −( ) ( , , )4 8

�v�u

= − − ⇒ × = − −� � � � �i j k u v4 8 1 4 8( , , )

=−

−−

− −+

−−

=1 1

0 1

4 1

8 1

4 1

8 0

� � �i j k

� �

� � �

u v

i j k

× = −− −

=4 1 1

8 0 1

�v�u

= − + − + =( ) ( )7 7 11 2192 2 2

( ) ( , , )� � �u w v× × = − − =7 7 11

⇒ × × = − −( ) ( , , )� � �u w v 7 7 11

= − − + ⇒7 7 11� � �i j k

=− −

−−

−+

−−

=15 7

1 0

4 7

1 0

4 15

1 1

� � �i j k

= − −−

=

� � �i j k

4 15 7

1 1 0

( ) ( , , ) ( , , )� � �u w v× × = − − × − =4 15 7 1 1 0

= − − ⇒ × = − −4 15 7 4 15 7� � � � �i j k u w ( , , )

=−−

−−−

+ =4 8

1 1

1 8

2 1

1 4

2 1

� � �i j k

� �

� � �

u w

i j k

× = −−

=1 4 8

2 1 1

� �u w× = = + + =( , , )1 1 3 1 1 3 112 2 2

�u = + + − =1 4 8 92 2 2( )

= − − − ⋅ + + =( ) ( )8 8 5 3� � � � � �i j k i j k

( ) ( )� � � �u v v w× ⋅ × =

= + +� � �i j k3

=−

−−

−+

−=

1 0

1 1

1 0

2 1

1 1

2 1

� � �i j k

� �

� � �

v w

i j k

× = −−

=1 1 0

2 1 1

87

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

D’aquests, els de mòdul 3 són:

Per tant, els vectors perpendiculars a i a de mòdul3 són dos:

53.La interpretació geomètrica del producte vectorial ensdiu que el seu mòdul coincideix amb l’àrea del pa-ral.lelogram definit pels vectors:

Calculem :

Aleshores:

54.Per definició:

=(1 −2, −1 −1, 3 −(−4)) ×(1, 2, 3) =

, en unitats del SI.55.Per definició:

, en unitats del SI.

56.Per definició de producte mixt:

a)

Com que les arestes del prisma són unitàries:

D’altra banda, és perpendicular a la base i, pertant, al vector :

Calculem, finalment, l’angle:

•és perpendicular a , aleshores, ha d’estarcontingut en el pla de la base del prisma.

•és perpendicular a , és a dir, �v �� vw ×

�w �� vw ×

α=× (,) �� uvw

(,) �� vw=° 90

�v

�w

�� uvw ===1

=()× ()�� uvwsinvwuvw ,cos,

[,,]()cos, �� uvwuvwuvwuv =⋅×=××× ()= � �w

⇒=−�F(,,) 53515

=⋅−−

=⋅−++⇒ 5213

112

573

��

ijk

ijk ()

��FqvB =⋅×=⋅−×−= ()[(,,)(,,)] 5213112

⇒=−�M(,,) 20100

=−−=−+⇒

��

ijk

ij 127

123

2010

�� MOAF =×= []

=−++−= ()() 735832222

u

Auv p=×=−−= ��(,,) 735

��

��

uv

ijk

ijk ×=−−

=−+− 112

231

735

�� uv ×

Auv p=× ��

�� wiw 1213

43

83

13

43

83

=−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=−

⎛⎝⎜ ,,,,

⎞⎞⎠⎟

�v �u

9313

13

kkk =⇒=⇒=±

+−+−=⋅⇒ kkkk222

489 ()()

348 ==−−= �wkkk (,,)

En conjunt:

=−8 ⋅1 −8 ⋅1 −5 ⋅3 =−31

b)•

•

•Calculem primerament el doble producte vectorial:

Així:

52.•Un vector perpendicular a i a és el seu produc-te vectorial:

Per tant, els vectors perpendiculars a i a són els dela forma:

, amb k∈�� wkuvkkk =×=−− ()(,,) 48

�v �u

=−−⇒×=−−�� ijkuv 48148 (,,)

=−

−−

−−+

−−

=11

01

41

81

41

80

��ijk

��

��

uv

ijk

×=−−−

= 411

801

�v �u

=−+−+= ()() 7711219222

()(,,) �� uwv ××=−−= 7711

⇒××=−− ()(,,) �� uwv7711

=−−+⇒ 7711��ijk

=−−

−−

−+

−−

=157

10

47

10

415

11

��ijk

=−−−

=

��ijk

4157

110

()(,,)(,,) �� uwv ××=−−×−= 4157110

=−−⇒×=−− 41574157�� ijkuw(,,)

=−−

−−−

+=48

11

18

21

14

21

��ijk

��

��

uw

ijk

×=−−

= 148

211

�� uw ×==++= (,,) 11311311222

�u=++−= 1489222

()

=−−−⋅++= ()() 8853��ijkijk

()() �� uvvw ×⋅×=

=++��ijk 3

=−

−−

−+

−=

10

11

10

21

11

21

��ijk

��

��

vw

ijk

×=−−

= 110

211

C M

Y K

88


•té el sentit de l’avançament d’un llevatapsque gira de a pel camí més curt, és a dir, ensentit horari; aleshores, apunta cap a l’interiorde l’hexàgon.Tenim, doncs, l’equació següent:

Ara bé, com que sabem que l’hexàgon és regular,

determinem que .

Aleshores:

Substituint en l’expressió del producte mixt:

b)

Com que l’hexàgon és regular, és paral.lel a ,aleshores:

Per tant, .


a)

=2 ⋅(−8) −0 +(−5) ⋅(−11) =39

b)↑

PM.4

c)↑

PM.3

↑PM.3 i PM.4

=3 ⋅39 =117

−=−+−= [,,][,,] �� vwwuvw 33000

=−+− [,,][,,][,,] �� uvwuwwvvw 333

=−+−= [,,][,,] �� uvwwvvww 33

[,,] �� uvvww +−= 3

[,,][,,] 22222239156 �� uvwuvw =⋅=⋅⋅=

[,,] �� uvw=−−−

=205

131

413

[,,] �� uvx=0

�� vxxvxuuvx ×⊥⇒×⊥⇒⋅×= ()0

�u �x

[,,]() �� uvxuvx =⋅×

[,,]cos �� uvxsin =⋅⋅°°= 11190303

2

�� uvw ,×==°−°=° α1209030

�� uv ,=° 120

βααβ +=⇒=− (,)(,) �� uvuv

�w �v

�� vw ×

β=×=° (,) �� vvw9058.Els vectors , , són linealment dependents si i no-més si:

=−(x +3) (4x −x) +(x +2) [4(x +1) −

−(x +1)] −0 =−(x +3) ⋅3x +(x +2) ⋅

⋅3(x +1) =6

Com que aquesta igualtat no es produeix per a cap va-lor de x, la resposta és que els vectors , , no són li-nealment dependents per a cap valor de x.


Està clar que els vectors , i generen el paral.lele-pípede, i per això el volum d’aquest últim coincideixamb el valor absolut del producte mixt dels tres pri-mers.

=2 −6 +8 −(4 +4 −6) =2

Aleshores,

60.Si, , i són els vectors corresponents a tres arestesconcurrents del paral.lelepípede, sabem que el seu vo-lum coincideix amb el valor absolut del producte mixtd’aquests vectors.

Considerem les arestes concurrents en A:

AB, AD, AF

Obtenim les components dels vectors corresponents aaquestes arestes:

•��uAB ==−−−−=− [](,,)(,,) 411121321

�w �v �u

Vuvwu p=== [,,] ��223

[,,] �� uvw=−−

−−−

=132

222

121

�w �v �u

��

�uBA

v

==−−−−=−−

=

[](,,)(,,) 211213132

[[](,,)(,,)

[

BC

wB

��

�=−−−−=−−

=

110253222

FF��

](,,)(,,) =−−−=− 214223121

�w �v �u

0

11

3221

14

==+++−+

= �� uvw

xx

xxx

xx

,,

�w �v �u

Z

Y

X

BP

A

O

F

D

uv

w

v

u

vwx

88

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

• té el sentit de l’avançament d’un llevatapsque gira de a pel camí més curt, és a dir, ensentit horari; aleshores, apunta cap a l’interiorde l’hexàgon.Tenim, doncs, l’equació següent:

Ara bé, com que sabem que l’hexàgon és regular,

determinem que .

Aleshores:

Substituint en l’expressió del producte mixt:

b)

Com que l’hexàgon és regular, és paral.lel a ,aleshores:

Per tant, .


a)

= 2 ⋅ (−8) − 0 + (−5) ⋅ (−11) = 39

b)↑

PM.4

c)↑

PM.3

↑PM.3 i PM.4

= 3 ⋅ 39 = 117

− = − + − =[ , , ] [ , , ]� � � � � �v w w u v w3 3 0 0 0

= − + −[ , , ] [ , , ] [ , , ]� � � � � � � � �u v w u w w v v w3 3 3

= − + − =[ , , ] [ , , ]� � � � � � � �u v w w v v w w3 3

[ , , ]� � � � �u v v w w+ − =3

[ , , ] [ , , ]2 2 2 2 2 2 39 156� � � � � �u v w u v w= ⋅ = ⋅ ⋅ =

[ , , ]� � �u v w =−−−

=2 0 5

1 3 1

4 1 3

[ , , ]� � �u v x = 0

� � � � � � � � �v x x v x u u v x× ⊥ ⇒ × ⊥ ⇒ ⋅ × =( ) 0

�u�x

[ , , ] ( )� � � � � �u v x u v x= ⋅ ×

[ , , ] cos� � �u v x sin= ⋅ ⋅ ° ° =1 1 1 90 303

2

� � ��u v w, × = = ° − ° = °α 120 90 30

� ��u v, = °120

β α α β+ = ⇒ = −( , ) ( , )� �� u v u v

�w�v

� �v w×

β = × = °( , )� � ��v v w 90 58. Els vectors , , són linealment dependents si i no-més si:

= −(x + 3) (4 x − x) + (x + 2) [4 (x + 1) −

− (x + 1)] − 0 = −(x + 3) ⋅ 3 x + (x + 2) ⋅

⋅ 3 (x + 1) = 6

Com que aquesta igualtat no es produeix per a cap va-lor de x, la resposta és que els vectors , , no són li-nealment dependents per a cap valor de x.


Està clar que els vectors , i generen el paral.lele-pípede, i per això el volum d’aquest últim coincideixamb el valor absolut del producte mixt dels tres pri-mers.

= 2 − 6 + 8 − (4 + 4 − 6) = 2

Aleshores,

60. Si, , i són els vectors corresponents a tres arestesconcurrents del paral.lelepípede, sabem que el seu vo-lum coincideix amb el valor absolut del producte mixtd’aquests vectors.

Considerem les arestes concurrents en A:

AB, AD, AF

Obtenim les components dels vectors corresponents aaquestes arestes:

•� � ��u AB= = − − − − = −[ ] ( , , ) ( , , )4 1 1 1 2 1 3 2 1

�w�v�u

V u v w up = = =[ , , ]� � � 2 2 3

[ , , ]� � �u v w =− −

− −−

=1 3 2

2 2 2

1 2 1

�w�v�u

� � ��

�u BA

v

= = − − − − = − −

=

[ ] ( , , ) ( , , )2 1 1 2 1 3 1 3 2

[[ ] ( , , ) ( , , )

[

BC

w B

� ��

�= − − − − = − −

=

1 1 0 2 5 3 2 2 2

FF� ��

] ( , , ) ( , , )= − − − = −2 1 4 2 2 3 1 2 1

�w�v�u

0

1 1

3 2 2 1

1 4

= =++ + −+

=� � �u v w

x x

x x x

x x

, ,

�w�v�u

Z

Y

X

BP

A

O

F

D

u v

w

v

u

v wx

CM

YK

89

5. Vectors en l’espai (II)— El volum del tetraedre definit per A, B, C i D és un

sisè del volum del paral.lelepípede que defineixenaquests punts, que es pot calcular a partir del pro-ducte mixt dels vectors .

D’altra banda, l’àrea de la cara ABC és la meitat del’àrea del paral.lelogram determinat per A, B i C,que es pot calcular a partir del producte vectorial

de :

Aleshores:


Com que el tetraedre de vèrtexs A, B, C i D és el gene-rat pels vectors , i , el seu volum és:

Per fer aquests càlculs, hem de determinar els valorsde x i y imposant les hipòtesis de l’enunciat:

• Les arestes AB i BD són perpendiculars.

Això significa que és ortogonal a , ésa dir:

⋅ (y + 1 − 1, −3 − (−1), 2 − 2 y − 2) =

= (1 − x) ⋅ y − 2 ⋅ (−2) + 1 ⋅ (−2 y) = 4 − y (1 + x)

• Les arestes AB i AC formen un angle de 45°. Això sig-nifica que els vectors formenun angle de 45°, és a dir:

Si efectuem els càlculs en components:

45° = = ⋅⋅

( , ) cos� �� u v arcu v

u v

� � �� u AB i v AC= =[ ] [ ]

0 1 2 1= ⋅ = − − ⋅� � ��u BD x[ ] ( , , )

[ ]BD� ��

u AB= [ ]

V V u v wT P= =16

16

[ , , ]� � �

�w�v�u

� � ��

�u AB x x

v

= = − − − − = − −[ ] ( , , ) ( , , )1 1 1 2 1 1 2 1

== = − − − − = −

=

[ ] ( , , ) ( , , )

[

AC x x

w A

� ��

�1 1 3 1 0 2 2

DD y x y� ��

] ( , , )= + − − − − − =1 3 1 2 2 1

( , , )= − + − −y x y1 4 1 2

= + − + − = =12

8 2 412

84 212 2 2 2( ) ( ) u

A A AB ACT P= = × = − −12

12

12

8 2 4[ ] [ ] ( , , )� ��

[ ] [ ]AB AC

i j k

i j� ��

� � ��

× = −−

= − −1 4 4

0 4 2

8 2 4��k

[ ] [ ]AB per AC� ��

= = =16

16

26133

[ ], [ ], [ ]AB AC AD u� ��

33

V V AB AC ADT P= = =16

16

[ ], [ ], [ ]� ��

[ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��

• Com que P és el punt mitjà de la base superior:

Si D = (d1, d2, d3), podem expressar la igualtat ante-rior en components:

(d1 − 4, d2 − (−1), d3 − 2) =

= 2 (2 − 4, 1 − (−1), 0 − 2)

Així:

• Com que O és el punt mitjà del tetraedre i P el de labase superior, es compleix:

Aleshores :

Finalment, calculem :

= 2 ⋅ 4 − 0 + (−4) ⋅ 4 = −8

Per tant,

61. És fàcil de veure que:

A, B, C, D són coplanaris sóncoplanaris.

Ara bé, són coplanaris si i només

si són linealment dependents.

Per tant, per a comprovar que A, B, C i D no són co-

planaris, veurem que són lineal-ment independents.

En efecte, calculem les coordenades d’aquests vectors:

Ara,

= 1 ⋅ 2 − 0 + 3 ⋅ 8 = 26 ≠ 0

Aleshores, els vectors són lineal-ment independents i, per tant, els punts A, B, C, D nosón coplanaris.

[ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��

[ ], [ ], [ ]AB AC AD� ��

=−−−

=1 4 4

0 4 2

3 3 1

[ ] ( , , ) ( , , )

[

AB

AC

� ��

� ��= − − − − = −2 1 1 3 4 0 1 4 4

]] ( , , ) ( , , )

[ ] (

= − − − − = −

= −

1 1 1 3 2 0 0 4 2

4 1AD� ��

,, , ) ( , , )0 3 1 0 3 3 1− − = −

[ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��

[ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��

⇔ [ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��

V u v w up = = =−[ , , ]� � � 8 8 3

[ , , ]� � �u v w =−

− −−

=3 2 1

1 2 3

2 0 4

[ , , ]� � �u v w

� � ��w AF= = − − − − = −[ ] ( , , ) ( , , )2 3 2 1 1 2 0 2 0 4

[ ] [ ]AF PO� ��

= 2

� � ��v AD= = − − − − = − −[ ] ( , , ) ( , , )0 1 3 1 2 1 1 2 3

d

d

d

d

d

d

1

2

3

1

2

3

4 4

1 4

2 4

0

3

− = −+ =− = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ =⇒ =⇒ = −−2

[ ] [ ]BC BP� ��

= 2

89

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

—El volum del tetraedre definit per A, B, C i D és unsisè del volum del paral.lelepípede que defineixenaquests punts, que es pot calcular a partir del pro-ducte mixt dels vectors.

D’altra banda, l’àrea de la cara ABC és la meitat del’àrea del paral.lelogram determinat per A, B i C,que es pot calcular a partir del producte vectorial

de :

Aleshores:


Com que el tetraedre de vèrtexs A, B, C i D és el gene-rat pels vectors , i ,el seu volum és:

Per fer aquests càlculs, hem de determinar els valorsde x i y imposant les hipòtesis de l’enunciat:

•Les arestes AB i BD són perpendiculars.

Això significa que és ortogonal a , ésa dir:

⋅(y +1 −1, −3 −(−1), 2 −2y −2) =

=(1−x)⋅y−2⋅(−2) +1 ⋅(−2y) =4 −y (1 +x)

•Les arestes AB i AC formen un angle de 45°. Això sig-nifica que els vectors formenun angle de 45°, és a dir:

Si efectuem els càlculs en components:

45°==⋅⋅

(,)cos �� uvarcuv

uv

��uABivAC == [][]

0121 =⋅=−−⋅ ��uBDx [](,,)

[] BD��

uAB =[]

VVuvw TP ==16

16

[,,] ��

�w �v �u

��

�uABxx

v

==−−−−=−− [](,,)(,,) 11121121

===−−−−=−

=

[](,,)(,,)

[

ACxx

wA

��

�1131022

DDyxy��

](,,) =+−−−−−= 131221

(,,) =−+−− yxy 1412

=+−+−==12

82412

84212222

()()u

AAABAC TP ==×=−−12

12

12

824 [][](,,)��

[][] ABAC

ijk

ij��

��

×=−−

=−− 144

042

824��k

[][] ABperAC��

===16

16

26133

[],[],[] ABACADu�� 33

VVABACAD TP ===16

16

[],[],[]��

[],[][] ABACiAD��

•Com que P és el punt mitjà de la base superior:

Si D =(d1, d2, d3), podem expressar la igualtat ante-rior en components:

(d1−4, d2−(−1), d3−2) =

=2(2 −4, 1 −(−1), 0 −2)

Així:

•Com que O és el punt mitjà del tetraedre i P el de labase superior, es compleix:

Aleshores :

Finalment, calculem :

=2 ⋅4 −0 +(−4) ⋅4 =−8

Per tant,

61.És fàcil de veure que:

A, B, C, D són coplanaris sóncoplanaris.

Ara bé, són coplanaris si i només

si són linealment dependents.

Per tant, per a comprovar que A, B, C i D no són co-

planaris, veurem que són lineal-ment independents.

En efecte, calculem les coordenades d’aquests vectors:

Ara,

=1 ⋅2 −0 +3 ⋅8 =26 ≠0

Aleshores, els vectorssón lineal-ment independents i, per tant, els punts A, B, C, D nosón coplanaris.


[],[],[] ABACAD��

=−−−

=144

042

331

[](,,)(,,)

[

AB

AC

��

��=−−−−=− 211340144

]](,,)(,,)

[](

=−−−−=−

=−

111320042

41 AD��

,,,)(,,) 0310331 −−=−



⇔[],[][] ABACiAD��

Vuvwu p=== − [,,] ��883

[,,] �� uvw=−

−−−

=321

123

204

[,,] �� uvw

��wAF ==−−−−=− [](,,)(,,) 2321120204

[][] AFPO��

=2

�� vAD ==−−−−=−− [](,,)(,,) 013121123

d

d

d

d

d

d

1

2

3

1

2

3

44

14

24

0

3

−=−+=−=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=⇒=⇒=−−2

[][] BCBP��

=2

C M

Y K

90


Així:

Tenim, doncs, el sistema:

() yx

xxxox

14

23013 2

+=

−−=

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒=−=

xxxx22

263230 −+=−−= ,

22

453

2262 =°=

−+cos

xx

456

26222 °=

−+⋅arc

xxcos

��

�uvx

u

⋅=−−⋅−=++=

=−

(,,)(,,)

(

1210220426

1xxxx

v

)()

()

2222

222

2126

02222

+−+=−+

=+−+= �

D’on obtenim:

x =3, y =1

Finalment:

=−2 ⋅10 −0 −(−2) =−18

Així,

63.Activitat TIC.

64.Activitat TIC.

Vu T=−==16

18186

33

[,,] �� uvw=−−

−−−−

=221

022

141

90

5. V

ecto

rs e

n l’e

spai

(II)

Així:

Tenim, doncs, el sistema:

( )y x

x xx o x

1 4

2 3 01 3

2

+ =

− − =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = − =

x x x x2 22 6 3 2 3 0− + = − − =,

22

453

2 2 62= ° =

− +cos

x x

456

2 6 2 22° =

− + ⋅arc

x xcos

� �

�u v x

u

⋅ = − − ⋅ − = + + =

= −

( , , ) ( , , )

(

1 2 1 0 2 2 0 4 2 6

1 xx x x

v

) ( )

( )

2 2 2 2

2 2 2

2 1 2 6

0 2 2 2 2

+ − + = − +

= + − + =�

D’on obtenim:

x = 3, y = 1

Finalment:

= −2 ⋅ 10 − 0 − (−2) = −18

Així,

63. Activitat TIC.

64. Activitat TIC.

V uT = − = =16

18186

3 3

[ , , ]� � �u v w =− −

−− − −

=2 2 1

0 2 2

1 4 1

CM

YK

91

6. Geom

etria afí

PREPARACIÓ DE LA UNITAT

•

• Per determinar la dependència o independència linealde tres vectors, trobem el determinant de la matriu for-mada per les seves components. Si aquest és igual a zero,els vectors són linealment dependents. Si és diferent dezero, són linealment independents.

Així, tres vectors les components dels quals enuna base siguin:

iseran linealment dependents si i només si:

Per exemple, si prenem la base habitualels vectors

són linealment indepen-dents, perquè:

—El rang màxim de cinc vectors de V3 és 3, perquè lamatriu de les components tindrà com a molt 3 files i,per tant, el seu rang màxim serà 3.

• Com que el sistema té tantes equacions com incògnites,la matriu de coeficients és quadrada i podem calcular-neel determinant:

= [k + k3 + 1 + k2 (1 2 k + k2)] = k3 3 k

= =11 1

1 1 2

k k

k k

F2 F2 F1F3 F3 k F1

= =

1 1

0 1 1

0 1 1 2

k

k k

k k

F1 F3

A

k

k

k

k

k

k

= = =

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0=

= = =( , , ) ( , , )0 1 0 0 0 13i u k� �� u i u j1 21 0 0= = = =( , , ),= =

� � �j e k, ,3

� � �e i e1 2= =,

a a a

b b b

c c c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0=

� � � �u a e b e c e3 3 1 3 2 3 3= + +

� � � �u a e b e c e2 2 1 2 2 2 3= + +

� � � �u a e b e c e1 1 1 1 2 1 3= + + ;� � �

e e e1 2 3, ,{ }

� � �u u u1 2 3, , ,

[ ] ( , , ) ( , , )AB� ��

= =5 1 3 0 0 1 4 3 1

Com que el rang de la matriu ampliada M� serà rang (M�) 3, si rang (M) � 3, tindrem un sistemacompatible determinat.

Ara bé, rang (M) = 3 �M � 0 k3 3 k 0 k 0.

Així, si k � 0, tenim un sistema compatible determi-nat la solució del qual podem trobar aplicant la reglade Cramer:

En el cas k � 0, calculem el rang de la matriu amplia-da, M�:

i rang (M) 2

Els menors d’ordre 3 que s’obtenen orlant el menoranterior són:

�M � = 0, rang (M) = 2

Com que rang (M�) > rang (M) Sistema incompa-tible.

0 1 11 0 41 1 0

5 0 3= =. ( ) .Per tant, rang M

a a

a arang M11 12

21 22

0 1

1 01 0 2= = ( )

=M

0 1 1

1 0 1

1 1 0

1

4

0

=+

+

k k

k k

3

3

4 5

3

z

k

k

k

Mk k

k k= =

+=

1 1

1 4

1 1 4 5

3

3

3

=+

+

3 2 5

3

2

3

k k

k k

y

k

k k

Mk k

k k= =

+=

1 1

1 4 1

1 3 2 5

3

2

3

=+ +

+

2 3 5

3

2

3

k k

k k

x

k

k k

Mk k

k k= = =

1 1 1

4 1

1 2 3 5

3

2

3

Geometria afí6

91

6. G

eom

etria

afí

PREPARACIÓ DE LA UNITAT

•

•Per determinar la dependència o independència linealde tres vectors, trobem el determinant de la matriu for-mada per les seves components. Si aquest és igual a zero,els vectors són linealment dependents. Si és diferent dezero, són linealment independents.

Així, tres vectorsles components dels quals enuna base siguin:

iseran linealment dependents si i només si:

Per exemple, si prenem la base habitualels vectors

són linealment indepen-dents, perquè:

—El rang màxim de cinc vectors de V3és 3, perquè lamatriu de les components tindrà com a molt 3 files i,per tant, el seu rang màxim serà 3.

•Com que el sistema té tantes equacions com incògnites,la matriu de coeficients és quadrada i podem calcular-neel determinant:

=[k +k3+1 +k2(1 2 k +k2)] =k33 k

== 111

112

kk

kk

F2F2F1F3F3k F1

==

11

011

0112

k

kk

kk

F1F3

A

k

k

k

k

k

k

===

11

11

11

11

11

11

100

010

001

10 =

=== (,,)(,,) 010001 3 iuk ��uiuj 12 100 ==== (,,), ==

��jek ,, 3

��eie 12 == ,

aaa

bbb

ccc

123

123

123

0 =

�� uaebece 3313233 =++ �� uaebece 2212223 =++

�� uaebece 1111213 =++; �� eee 123 ,, {}

�� uuu 123 ,,,

[](,,)(,,) AB��

== 513001431

Com que el rang de la matriu ampliada M�serà rang (M�) 3, si rang (M) �3, tindrem un sistemacompatible determinat.

Ara bé, rang (M) =3 �M�0 k33 k 0 k 0.

Així, si k �0, tenim un sistema compatible determi-nat la solució del qual podem trobar aplicant la reglade Cramer:

En el cas k �0, calculem el rang de la matriu amplia-da, M�:

i rang (M) 2

Els menors d’ordre 3 que s’obtenen orlant el menoranterior són:

�M�=0, rang (M) =2

Com que rang (M�) >rang (M) Sistema incompa-tible.

011104110

503 == .(). Pertant,rangM

aa

aarangM

1112

2122

01

10102 ==()

= M

011

101

110

1

4

0

=+

+

kk

kk

3

3

45

3

z

k

k

k

Mkk

kk==

+=

11

14

1145

3

3

3

=+

+

325

3

2

3

kk

kk

y

k

kk

Mkk

kk==

+=

11

141

1325

3

2

3

=++

+

235

3

2

3

kk

kk

x

k

kk

Mkk

kk===

111

41

1235

3

2

3

Geometria afí 6

C M

Y K

92

6. Geom

etria afí

Per tant, una equació vectorial és:

r: (x, y, z) =(3, 0, 5) +k (2, 4, 11)

5.L’equació vectorial d’aquesta recta, escrita en compo-nents, és:

r: (x, y, z) =(7, 2, 3) +k (1, 0, 2)

Obtenim les equacions paramètriques corresponents:

6.De l’equació contínua n’obtenim directament:

•Un punt de la recta, P1=(3, 1, 4).

•Un vector director de la recta, .Per obtenir un altre punt, donem un valor a una de lesvariables i obtenim els valors de les altres dues de ma-nera que se satisfaci l’equació contínua:

Per exemple, si z ��6:

Així, P2�(5, 2, �6) és un altre punt de la recta.

Per a obtenir un altre vector director, n’hi ha prou demultiplicar per un escalar diferent de 0 i d’1:

—El punt P pertany a la recta si i només si verifica laseva equació:

Com que P no satisfà les equacions contínues de larecta, no hi pertany.

7.Que la recta r tingui la mateixa direcció que la indi-cada significa que totes dues tenen els mateixos vec-tors directors; per tant, el vector seràtambé vector director de r.

Les equacions contínues de la recta r, que passa per A�(1,�2,3) i té com a vector directorsón:

és a dir:

—Qualsevol altre vector director de r serà de la for-ma , amb k 0 i k 1.

Per exemple, per a i

per a kw == 1523 ,(,,). �kvu === 331569 ,(,,) ��

ku�

xyz=

+=

15

22

33

xyz==

15

22

33

()

�u=(,,), 523

�u=(,,) 523

132

113

142

++

�� vu == 1232 (,,)

�u

xyxy =

+=

+===

32

13

642

152 ,

�u=(,,) 232

r

xk

y

zk

:

=+

=

=

7

2

32

— Vectorial:(x, y) =(1, 0) +k (3, 2)

— Paramètriques:

— Contínua:

— Punt-pendent:

— General: 2 x 3 y 2 =0

1.RECTES EN L’ESPAI

1.Els vectors directors d’una recta en marquen la direc-ció; per tant, tots han de tenir la mateixa direcció (se-ran linealment dependents però no nuls).

2.a)Per trobar els dos punts de r, donem dos valors di-ferents al paràmetre:

k =1 (x, y, z) =

=(2, 7, 1) +1 (2, 3, 2) =(4, 4, 1)

k =1 (x, y, z) =

(2, 7, 1) +(1) (2, 3, 2) =(0, 10, 3)

Els punts P �(4, �4, �1) i P��(0, �10, 3) són dospunts de r.

b)Trobem el vector i escrivim l’equació de la rec-ta r determinada pel punt P =(4, 4, 1)i el vector

r: (x, y, z) =(4, 4, 1) +k (2, 3, 2)

3.

4.Un punt de la recta és A �(3, 0, �5), i un vector di-rector és:

=(2, 4, 11)

��uAB === [](,,()) 134065

�u=(,,) 232

[](,(),())(,, PP==��

04104314644)

�� ukPP =[].

[] PP��

yx =23

1 ()

xy=

132

xk

ykk

=+

=

13

2,�

Z

Y

X

A = (–1, 2, 3)

v = (3, –1, 4)

92

6. G

eom

etria

afí

Per tant, una equació vectorial és:

r: (x, y, z) = (3, 0, 5) + k ( 2, 4, 11)

5. L’equació vectorial d’aquesta recta, escrita en compo-nents, és:

r: (x, y, z) = (7, 2, 3) + k (1, 0, 2)

Obtenim les equacions paramètriques corresponents:

6. De l’equació contínua n’obtenim directament:

• Un punt de la recta, P1 = (3, 1, 4).

• Un vector director de la recta, .Per obtenir un altre punt, donem un valor a una de lesvariables i obtenim els valors de les altres dues de ma-nera que se satisfaci l’equació contínua:

Per exemple, si z � �6:

Així, P2 � (5, 2, �6) és un altre punt de la recta.

Per a obtenir un altre vector director, n’hi ha prou demultiplicar per un escalar diferent de 0 i d’1:

— El punt P pertany a la recta si i només si verifica laseva equació:

Com que P no satisfà les equacions contínues de larecta, no hi pertany.

7. Que la recta r tingui la mateixa direcció que la indi-cada significa que totes dues tenen els mateixos vec-tors directors; per tant, el vector seràtambé vector director de r.

Les equacions contínues de la recta r, que passa per A � (1, �2, 3) i té com a vector directorsón:

és a dir:

— Qualsevol altre vector director de r serà de la for-ma , amb k 0 i k 1.

Per exemple, per a i

per a k w= =1 5 2 3, ( , , ).�k v u= = =3 3 15 6 9, ( , , )� �

ku�

x y z=

+=

15

22

33

x y z= =

15

22

33

( )

�u = ( , , ),5 2 3

�u = ( , , )5 2 3

1 32

1 13

1 42

+ +

� �v u= =1 2 3 2( , , )

�u

x yx y=

+=

+= = =

32

13

6 42

1 5 2,

�u = ( , , )2 3 2

r

x k

y

z k

:

= +

=

=

7

2

3 2

— Vectorial: (x, y) = (1, 0) + k (3, 2)

— Paramètriques:

— Contínua:

— Punt-pendent:

— General: 2 x 3 y 2 = 0

1. RECTES EN L’ESPAI

1. Els vectors directors d’una recta en marquen la direc-ció; per tant, tots han de tenir la mateixa direcció (se-ran linealment dependents però no nuls).

2. a) Per trobar els dos punts de r, donem dos valors di-ferents al paràmetre:

k = 1 (x, y, z) =

= (2, 7, 1) + 1 (2, 3, 2) = (4, 4, 1)

k = 1 (x, y, z) =

(2, 7, 1) + ( 1) (2, 3, 2) = (0, 10, 3)

Els punts P � (4, �4, �1) i P� � (0, �10, 3) són dospunts de r.

b) Trobem el vector i escrivim l’equació de la rec-ta r determinada pel punt P = (4, 4, 1) i el vector

r: (x, y, z) = (4, 4, 1) + k ( 2, 3, 2)

3.

4. Un punt de la recta és A � (3, 0, �5), i un vector di-rector és:

= ( 2, 4, 11)

� � ��u AB= = =[ ] ( , , ( ))1 3 4 0 6 5

�u = ( , , )2 3 2

[ ] ( , ( ), ( )) ( , ,PP = =� ��

0 4 10 4 3 1 4 6 44)

� � ��u k PP= [ ].

[ ]PP� ��

y x=23

1( )

x y=

13 2

x k

y kk

= +

=

1 3

2, �

Z

Y

X

A = (–1, 2, 3)

v = (3, –1, 4)

CM

YK

93

6. Geom

etria afí8. Un punt de pas és A � (2, 1, 4), i un vector director

serà

Escrivim l’equació vectorial de la recta i trobem les pa-ramètriques i les contínues

r: (x, y, z) = (2, 1, 4) + k (1, 2, 2)

Equacions paramètriques de r:

Equacions contínues de r:

Per saber si el punt C � (1, 3, 7) pertany a r, compro-vem si satisfà les seves equacions contínues:

Com que no verifica les equacions contínues, C nopertany a la recta.

9. De les equacions paramètriques n’obtenim:

• Un punt de la recta, P � (3, 1, 0).

• Un vector director de la recta,

Per obtenir un altre punt, donem un valor arbitrari ak, que no sigui k � 0, i el substituïm en les equacionsparamètriques.

Per exemple, si k � 1:

és un altre punt de la recta r.

Per obtenir un altre vector director, multipliquem per qualsevol escalar no nul i diferent d’1. Per exem-ple, si el multipliquem per �2, obtenim:

Per tant, una equació vectorial de r és:

r: (x, y, z) = (3, 1, 0) + k ( 2, 1, 3)

i una altra és:

r: (x, y, z) = (1, 0, 3) + k (4, 2, 6)

10. Escrivim les equacions contínues i, d’aquestes, n’ob-tenim les implícites:

x y z= =

+35

11

24

� �v u= =2 4 2 6( , , )

�u

x

y

z

P

= =

= =

= =

=

3 2 1 1

1 1 0

3 1 3

1 0 3( , , )

�u = ( , , ).2 1 3

1 23 1

27 4

2=

xy z

= =21

24

2

r

x k

y k

z k

:

= +

=

=

2

1 2

4 2

� � ��u AB= = =[ ] ( , , ) ( , , )3 2 1 1 2 4 1 2 2

[ ]AB� ��

:Considerant la primera i la segona igualtats:

Equacionsimplícites

— Comprovem si és un vector de larecta. Per a fer-ho, determinem si les seves compo-nents són proporcionals amb les del vector

és un

altre vector director de la recta.

11. Resolem el sistema d’equacions. Per a fer-ho, prenemuna de les variables com a paràmetre i expressem lesaltres dues en funció d’aquesta. Així, si escollim z coma paràmetre:

Si expressem les equacions paramètriques en formavectorial i les desenvolupem, obtenim l’equació vec-torial:

(x, y, z) = (2, 1 2 k, k) = (2, 1, 0) + (0 k, 2 k, 1 k)

(x, y, z) = (2, 1, 0) + k (0, 2, 1)

Finalment, com que (2, 1, 0) és un punt de pas i (0, �2, 1) és un vector director, una possible equaciócontínua és:

Observem que apareix un 0 en un denominador. Aixòsignifica que el vector director de la recta té una com-ponent nul·la.

Es tracta, doncs, d’un formalisme per a poder assignarunes equacions contínues a les rectes que tenen vec-tors directors d’aquest tipus.

12. a) Resolem el sistema format per les equacions im-plícites i obtenim les equacions paramètriques, apartir de les quals escrivim l’equació vectorial:

Si prenem z com a paràmetre:

=

= = +

=

r

x

yk

k

z k

:

12

4 76

76

23

5 3 2 1 0

3 2 4 0

x y z

x y z

+ =

+ + =

x y z= =

20

12 1

x

y zr

x

y k

z k

=

+ =

=

=

=

2

2 1 0

2

1 2:

= = = =5

51

144

1 � � �u v u, per tant

�v.

�u = ( , , )5 1 4

rx y

y z:

+ =

+ =

5 2 0

4 2 0

y zy z y z=

++ = + + =

11

24

4 4 2 4 2 0

x yx y x y= = + =

35

11

3 5 5 5 2 0

93

6. G

eom

etria

afí

8.Un punt de pas és A �(2, 1, 4), i un vector directorserà

Escrivim l’equació vectorial de la recta i trobem les pa-ramètriques i les contínues

r: (x, y, z) =(2, 1, 4) +k (1, 2, 2)

Equacions paramètriques de r:

Equacions contínues de r:

Per saber si el punt C �(1, 3, 7) pertany a r, compro-vem si satisfà les seves equacions contínues:

Com que no verifica les equacions contínues, C nopertany a la recta.

9.De les equacions paramètriques n’obtenim:

•Un punt de la recta, P �(3, 1, 0).

•Un vector director de la recta,

Per obtenir un altre punt, donem un valor arbitrari ak, que no sigui k �0, i el substituïm en les equacionsparamètriques.

Per exemple, si k �1:

és un altre punt de la recta r.

Per obtenir un altre vector director, multipliquem per qualsevol escalar no nul i diferent d’1. Per exem-ple, si el multipliquem per �2, obtenim:

Per tant, una equació vectorial de r és:

r: (x, y, z) =(3, 1, 0) +k (2, 1, 3)

i una altra és:

r: (x, y, z) =(1, 0, 3) +k (4, 2, 6)

10.Escrivim les equacions contínues i, d’aquestes, n’ob-tenim les implícites:

xyz==

+ 35

11

24

�� vu == 2426 (,,)

�u

x

y

z

P

==

==

==

=

3211

110

313

103 (,,)

�u=(,,). 213

1231

274

2=

xyz

== 21

24

2

r

xk

yk

zk

:

=+

=

=

2

12

42

��uAB === [](,,)(,,) 321124122

[] AB��

:Considerant la primera i la segona igualtats:

Equacionsimplícites

—Comprovem si és un vector de larecta. Per a fer-ho, determinem si les seves compo-nents són proporcionals amb les del vector

és un

altre vector director de la recta.

11.Resolem el sistema d’equacions. Per a fer-ho, prenemuna de les variables com a paràmetre i expressem lesaltres dues en funció d’aquesta. Així, si escollim z coma paràmetre:

Si expressem les equacions paramètriques en formavectorial i les desenvolupem, obtenim l’equació vec-torial:

(x, y, z) =(2, 1 2 k, k) =(2, 1, 0) +(0 k, 2 k, 1 k)

(x, y, z) =(2, 1, 0) +k (0, 2, 1)

Finalment, com que (2, 1, 0) és un punt de pas i (0, �2, 1) és un vector director, una possible equaciócontínua és:

Observem que apareix un 0 en un denominador. Aixòsignifica que el vector director de la recta té una com-ponent nul·la.

Es tracta, doncs, d’un formalisme per a poder assignarunes equacions contínues a les rectes que tenen vec-tors directors d’aquest tipus.

12.a)Resolem el sistema format per les equacions im-plícites i obtenim les equacions paramètriques, apartir de les quals escrivim l’equació vectorial:

Si prenem z com a paràmetre:

=

==+

=

r

x

yk

k

zk

:

12

476

76

23

53210

3240

xyz

xyz

+=

++=

xyz==

20

121

x

yzr

x

yk

zk

=

+=

=

=

=

2

210

2

12 :

====5

51

144

1�� uvu ,pertant

�v.

�u=(,,) 514

rxy

yz:

+=

+=

520

420

yzyzyz =

++=++=

11

24

442420

xyxyxy ==+=

35

11

355520

C M

Y K

94

6. Geom

etria afí

b)Com que és un vector director de

la recta, els vectors directors de la recta són els de

la forma

Prenent dos valors diferents de k, per exemple k �3 i k ��6, obtenim dos vectors directors di-ferents:

2.PLANS EN L’ESPAI

13.Com que tenim les coordenades d’un punt de pas i lescomponents de dos vectors directors linealment inde-pendents, podem escriure directament l’equació vec-torial:

(x, y, z) =(5, 1, 2) +(1, 3, 4) +(0, 1, 2)

14.El punt A pertany al pla si les seves coordenades veri-fiquen l’equació vectorial del pla, és a dir, si existeixendos nombres reals i tals que:

(8, 1, 6) =(3, 1, 0) +(3, 2, 4) +(1, 1, 1)

Per saber si aquest sistema és compatible, calculem el rang de la seva matriu ampliada M�i tenim encompte que, en ser dos vectors directors lineal-ment independents, el rang de la matriu de coefi-cients M és 2:

Així, com

que rang (M�)�rang (M) �2, el sistema és compa-tible determinat i el punt A pertany al pla.

15.a)Per trobar punts del pla, donem valors a i di-ferents del parell �0, �0.

Per exemple:

=1, =0: B =(x, y, z) =

=(1, 2, 3) +1 (2, 0, 1) +0 (3, 1, 2) =

=(3, 2, 4)

=1, =1: C =(x, y, z) =

=(1, 2, 3) +1 (2, 0,1) +1 (3, 1, 2) =

=(6, 1, 2)

b)Qualsevol vector director de serà de la forma

Per a obtenir dos vectors directors diferentsde n’hi ha prou de donar dos valors a i a ,�u

�� uiv

�� wuv =+,,.

=== MrangM().

315

210

416

02

�� uiv

833

112

604

35 =++

=+

=++

+=

220

46

+=

+=

�� vu 26046 ==(,,)

�� vu 13023 ==(,,)

��

vkuk =,{}. 0

�u=023

1 ,,

(,,),,,, xyzk =+12

76

0023

1

siguin lineal-ment independents), i que siguin diferents delsparells (0, 0), (1, 0) i (0, 1).

Per exemple:

1=1, 1=1:

2=1, 2=1:

c)Tot i que n’hi ha prou de canviar un dels elements(punt de pas o vector director) per a obtenir unaaltra equació vectorial, els canviarem tots:

: (x, y, z) =

=(3, 2, 4) +(5, 1, 1) +(1, 1, 3)

16.Obtenim les equacions paramètriques en desenvolu-par l’equació vectorial i igualar component a compo-nent:

: (x, y, z) =

=(1, 2, 3) +(5, 1, 3) +(1, 3, 4) =

=(1, 2, 3) +(5 , , 3 ) +(, 3 , 4 ) =

=(1 +5 +, 2 +3 , 3 3 +4 )

17.Hem de veure si el sistema obtingut en substituir en lesequacions paramètriques de les coordenades (x, y, z)per (�2, 1, 0) i amb incògnites i té solució, és a dir,si és compatible:

Com que la matriu de coeficients M té rang 2 (perquèsón les components de dos vectors directors lineal-ment independents), el sistema és compatible si i no-més si el rang de la matriu ampliada M�és menor que3, és a dir, si �M��0:

Sistema incom-

patible; per tant, P no pertany al pla .

18.Equació vectorial:

: (x, y, z) =(2, 0, 3) +(3, 2, 1) +(2, 0, 1)

Equacions paramètriques:

:

x

y

z

=++

=

=+

232

2

3

== M

313

111

015

100

=+

=

=

213

1

05

3

,

+=

=

=

3

1

5

:

x

y

z

=++

=+

=+

15

23

334

=== �� vuv(,,)(,,)(,, 201312113))

=+=+= �� uuv(,,)(,,)(,,) 201312511

=+=+ �� uuvivuv 1122

(,)(,),( 112212

12

0 italsqueperquèè

94

6. G

eom

etria

afí

b) Com que és un vector director de

la recta, els vectors directors de la recta són els de

la forma

Prenent dos valors diferents de k, per exemple k � 3 i k � �6, obtenim dos vectors directors di-ferents:

2. PLANS EN L’ESPAI

13. Com que tenim les coordenades d’un punt de pas i lescomponents de dos vectors directors linealment inde-pendents, podem escriure directament l’equació vec-torial:

(x, y, z) = (5, 1, 2) + (1, 3, 4) + (0, 1, 2)

14. El punt A pertany al pla si les seves coordenades veri-fiquen l’equació vectorial del pla, és a dir, si existeixendos nombres reals i tals que:

(8, 1, 6) = (3, 1, 0) + (3, 2, 4) + (1, 1, 1)

Per saber si aquest sistema és compatible, calculem el rang de la seva matriu ampliada M� i tenim encompte que, en ser dos vectors directors lineal-ment independents, el rang de la matriu de coefi-cients M és 2:

Així, com

que rang (M�) � rang (M) � 2, el sistema és compa-tible determinat i el punt A pertany al pla.

15. a) Per trobar punts del pla, donem valors a i di-ferents del parell � 0, � 0.

Per exemple:

= 1, = 0: B = (x, y, z) =

= (1, 2, 3) + 1 (2, 0, 1) + 0 (3, 1, 2) =

= (3, 2, 4)

= 1, = 1: C = (x, y, z) =

= (1, 2, 3) + 1 (2, 0, 1) + 1 (3, 1, 2) =

= (6, 1, 2)

b) Qualsevol vector director de serà de la forma

Per a obtenir dos vectors directors diferentsde n’hi ha prou de donar dos valors a i a ,�u

� �u i v

� � � �w u v= + , , .

= = =M rang M( ) .

3 1 5

2 1 0

4 1 6

0 2

� �u i v

8 3 3

1 1 2

6 0 4

3 5= + +

= +

= + +

+ =

22 0

4 6

+ =

+ =

� �v u2 6 0 4 6= = ( , , )

� �v u1 3 0 2 3= = ( , , )

� � ��

v k u k= , { }.0

�u = 023

1, ,

( , , ) , , , ,x y z k= +12

76

0 023

1

siguin lineal-ment independents), i que siguin diferents delsparells (0, 0), (1, 0) i (0, 1).

Per exemple:

1 = 1, 1 = 1:

2 = 1, 2 = 1:

c) Tot i que n’hi ha prou de canviar un dels elements(punt de pas o vector director) per a obtenir unaaltra equació vectorial, els canviarem tots:

: (x, y, z) =

= (3, 2, 4) + (5, 1, 1) + ( 1, 1, 3)

16. Obtenim les equacions paramètriques en desenvolu-par l’equació vectorial i igualar component a compo-nent:

: (x, y, z) =

= (1, 2, 3) + (5, 1, 3) + (1, 3, 4) =

= (1, 2, 3) + (5 , , 3 ) + ( , 3 , 4 ) =

= (1 + 5 + , 2 + 3 , 3 3 + 4 )

17. Hem de veure si el sistema obtingut en substituir en lesequacions paramètriques de les coordenades (x, y, z)per (�2, 1, 0) i amb incògnites i té solució, és a dir,si és compatible:

Com que la matriu de coeficients M té rang 2 (perquèsón les components de dos vectors directors lineal-ment independents), el sistema és compatible si i no-més si el rang de la matriu ampliada M� és menor que3, és a dir, si �M�� 0:

Sistema incom-

patible; per tant, P no pertany al pla .

18. Equació vectorial:

: (x, y, z) = ( 2, 0, 3) + (3, 2, 1) + (2, 0, 1)


:

x

y

z

= + +

=

= +

2 3 2

2

3

= =M

3 1 3

1 1 1

0 1 5

10 0

= +

=

=

2 1 3

1

0 5

3

,

+ =

=

=

3

1

5

:

x

y

z

= + +

= +

= +

1 5

2 3

3 3 4

= = =� � �v u v ( , , ) ( , , ) ( , ,2 0 1 3 1 2 1 1 3))

= + = + =� � �u u v ( , , ) ( , , ) ( , , )2 0 1 3 1 2 5 1 1

= + = +� � � � � �u u v i v u v1 1 2 2

( , ) ( , ), (1 1 2 21 2

1 2

0i tals que perquèè

CM

YK

95

6. Geom

etria afíEquació general:

= 2 (x + 2) + 2 y + 4 (z 3) + 3 y

: 2 x + 5 y + 4 z 8 = 0

19. Solucionem l’equació general del pla. Per a fer-ho,considerem les incògnites y i z paràmetres de la so-lució:

(x, y, z) = (5 + 3 2 , , )

: (x, y, z) = (5, 0, 0) + (3, 1, 0) + ( 2, 0, 1)

20. Per tal que el punt A pertanyi al pla , les seves coorde-nades han de verificar les equacions paramètriques de , és a dir, han d’existir , tals que:

Perquè això succeeixi, aquest sistema, amb incògni-tes i , ha de ser compatible i per a això és condiciónecessària i suficient que rang (M�) < 3, és a dir, �M�� 0, ja que el rang de la matriu de coeficients és 2:

Per tant, el sistema és compatible si i només si: 4 a 8 == �M�� = 0, és a dir, si a = 2.

El punt A pertany, doncs, al pla si i només si a � 2.

21. Un punt del pla és A = ( 3, 1, 0).

Dos vectors directors són:

Com que aquests vectors són independents, ja que:

els podem usar per a obtenir l’equació general del pla:

: x y z + 4 = 0

0

3 2 5

1 1 0

0 3 5

5 5 5 20= = + + =

x

y

z

x y z

( )

;

52

01

53

� � ��v AC= = =[ ] ( ( ), , ) ( , , )2 3 1 1 5 0 5 0 5

� � ��u AB= = =[ ] ( ( ), , ) ( , , )1 3 0 1 3 0 2 1 3

= =M

a

a

1 2 1

2 0 2

1 1 1

4 8

1 2 2

5 3 2

1

2 1= + +

=

=

+ =

a

, 22 2

1

=

= a

x y z

x

y

z

+ =

= +

=

=

3 2 5 0

5 3 2

:

0

2 3 2

2 0

3 1 1

=

+

=

x

y

z

22. L’equació general del pla és:

3 x + 10 y z 26 = 0

23. a) Els punts del pla són aquells P � (x, y, z) les coor-denades dels quals verifiquen 2 x � y � 5 z � 1 � 0,és a dir, y � 2 x � 5 z � 1.

Així, per a uns valors qualsevol de x i de z, el puntP � (x, 2 x � 5 z � 1, z) serà del pla.

Per tant, per a obtenir dos punts A i B del pla n’hiha prou que donem dos valors a x i a z i determi-nem el valor corresponent de y:

x = 0 , z = 0

A = (0, 2 0 + 5 0 1, 0) = (0, 1, 0)

x = 1 , z = 1

B = ( 1, 2 ( 1) + 5 1 1, 1) =

= ( 1, 2, 1)

b) Les equacions paramètriques de s’obtenen reso-lent el sistema format per la seva equació implícita:

3. POSICIONS RELATIVES

24. a) Com que les dues rectes vénen donades per les se-ves equacions implícites, hem d’estudiar la com-patibilitat del sistema format per les equacions im-plícites de les dues rectes. Per a fer-ho, escrivim lamatriu de coeficients M i l’ampliada M� d’aquestsistema i en calculem els rangs:

5 0, rang (M) 1

�M�� = 300 0 rang (M�) = 4

Com que rang (M�) > rang (M), les dues rectes s’en-creuen.

0 5 3

3 1 0

5 0 2

15 0 3, ( )= =rang M

3 1

5 05 0 2= , ( )rang M

=M

3 1 0

0 5 3

3 1 0

5 0 2

21

3

1

10

M =

3 1 0

0 5 3

3 1 0

5 0 2

2 5 1 0 1 2 5x y z

x

y

z

+ =

=

= + +

=

:

0

1 1 2

3 0 1

7 3 4

3 10 26= = + +

x

y

z

x y z ;

95

6. G

eom

etria

afí

Equació general:

=2 (x +2) +2 y +4 (z 3) +3 y

: 2 x +5 y +4 z 8 =0

19.Solucionem l’equació general del pla. Per a fer-ho,considerem les incògnites y i z paràmetres de la so-lució:

(x, y, z) =(5 +3 2 , , )

: (x, y, z) =(5, 0, 0) +(3, 1, 0) +(2, 0, 1)

20.Per tal que el punt A pertanyi al pla , les seves coorde-nades han de verificar les equacions paramètriques de , és a dir, han d’existir , tals que:

Perquè això succeeixi, aquest sistema, amb incògni-tes i , ha de ser compatible i per a això és condiciónecessària i suficient que rang (M�)<3, és a dir, �M��0, ja que el rang de la matriu de coeficients és 2:

Per tant, el sistema és compatible si i només si: 4 a 8 ==�M��=0, és a dir, si a =2.

El punt A pertany, doncs, al pla si i només si a �2.

21.Un punt del pla és A =(3, 1, 0).

Dos vectors directors són:

Com que aquests vectors són independents, ja que:

els podem usar per a obtenir l’equació general del pla:

: x y z +4 =0

0

325

110

035

55520 ==++=

x

y

z

xyz

()

;

52

01

53

��vAC === []((),,)(,,) 231150505

��uAB === []((),,)(,,) 130130213

== M

a

a

121

202

111

48

122

532

1

21 =++

=

=

+=

a

,222

1

=

=a

xyz

x

y

z

+=

=+

=

=

3250

532

:

0

232

20

311

=

+

=

x

y

z

22.L’equació general del pla és:

3 x +10 y z 26 =0

23.a)Els punts del pla són aquells P �(x, y, z) les coor-denades dels quals verifiquen 2 x �y �5 z �1 �0,és a dir, y �2 x �5 z �1.

Així, per a uns valors qualsevol de x i de z, el puntP �(x, 2 x �5 z �1, z) serà del pla.

Per tant, per a obtenir dos punts A i B del pla n’hiha prou que donem dos valors a x i a z i determi-nem el valor corresponent de y:

x =0 , z =0

A =(0, 2 0 +5 0 1, 0) =(0, 1, 0)

x =1 , z =1

B =(1, 2 (1) +5 1 1, 1) =

=(1, 2, 1)

b)Les equacions paramètriques de s’obtenen reso-lent el sistema format per la seva equació implícita:

3. POSICIONS RELATIVES

24.a)Com que les dues rectes vénen donades per les se-ves equacions implícites, hem d’estudiar la com-patibilitat del sistema format per les equacions im-plícites de les dues rectes. Per a fer-ho, escrivim lamatriu de coeficients M i l’ampliada M�d’aquestsistema i en calculem els rangs:

5 0, rang (M) 1

�M��=300 0 rang (M�) =4

Com querang (M�) >rang (M), les dues rectes s’en-creuen.

053

310

502

1503 ,() == rangM

31

50502 =,() rangM

= M

310

053

310

502

21

3

1

10

M=

310

053

310

502

2510125 xyz

x

y

z

+=

=

=++

=

:

0

112

301

734

31026 ==++

x

y

z

xyz;

C M

Y K

96

6. Geom

etria afí

b)Com que les rectes vénen donades per les sevesequacions contínues i vectorial, per a determinar-nela posició relativa primerament veurem si els seusvectors directors són linealment dependents o no:

Un vector director de r és

Un vector director de r�és

Com que és a

dir, els vectors directors són linealment depen-dents i les rectes són paral.leles o coincidents.

A continuació, prenem un punt d’una recta iveiem si és o no de l’altra:

El punt P �(3, �3, 1) pertany a r i com que:

també a r�. Per tant, les rectes són coincidents.

25.Podem determinar la posició relativa de dos plans es-tudiant la compatibilitat del sistema format per les se-ves equacions generals, que es pot fer directamentcomparant els quocients dels coeficients homòlegs deles equacions generals:

a)

per tant, els plans són paral.lels.

b)

per tant, els plans es tallen en una recta.

c)


d)


26.L’equació d’un pla que contingui la recta r serà unacombinació lineal de les equacions de dos plans dife-rents que continguin r.

Així, l’equació del feix dels plans d’aresta r és:

(x +y +2) +(2 x y +3 z 1) =0 , , �

z

zrangMrangM

=

===

1

112 ,(),(),

52

23

37

71

2 == rangMrangM ()(),

5237

2371

xyz

xyz

+=

+=

21

13

32

41

2 == rangMrangM ()(),

234

321

xyz

xyz

+=

++=

36

12

24

01

12 ===== rangMirangM ()(),

320

6241

xyz

xyz

+=

+=

332

336

114

0 =+

==

====2

163

42

22 ,, �� uu

�= u(,,). 132

�u=(,,). 264

Si, per a simplificar, prescindim del pla:

2 x y +3 z 1 =0

Podem expressar l’equació de la forma:

x +y +2 +(2 x y +3 z 1) =0 , �

(2 1) x +(1 ) y +3 z +2 =0 , �

Per a determinar el pla del feix que conté el punt B � (2, �1, 0), hem de determinar el valor de pertal que les coordenades de B satisfacin l’equació d’unpla del feix:

4 2 1 ++2 =0

El pla del feix que passa per B =(2, 1, 0) és el que

correspon a

: 2 x 3 y 3 z 7 =0

27.Escrivim les equacions implícites de la recta r:

Tres plans que continguin r formaran part del feix deplans d’aresta r:

r: (5 x y 9) +(3 x z +1) =0

Així, els tres plans poden ser:

1: 8 x y z 8 =0

2: 2 x +y z +10 =0

3: 3 x z +1 =0

28.El feix de plans paral.lels al pla:

x2 y +7 z 1 =0

Té per equació:

x 2 y +7 z +K =0 , K �

Determinem el pla d’aquest feix que conté el punt A�(5, 0, 3). Per a fer-ho, hem de determinar el valorque ha de prendre K perquè les coordenades de A ve-rifiquin l’equació d’un pla del feix:

5 2 0 +7 3 +K =0 , K =26

El pla en qüestió és el que té per equació general:

�: x 2 y +7 z 26 =0

xyzr

xy

xz==

=

+=

21

15

73

590

310:

+++=12

34

34

74

0 xyz

=14

:

+== 14014

,

96

6. G

eom

etria

afí

b) Com que les rectes vénen donades per les sevesequacions contínues i vectorial, per a determinar-nela posició relativa primerament veurem si els seusvectors directors són linealment dependents o no:


Un vector director de r� és

Com que és a

dir, els vectors directors són linealment depen-dents i les rectes són paral.leles o coincidents.

A continuació, prenem un punt d’una recta iveiem si és o no de l’altra:

El punt P � (3, �3, 1) pertany a r i com que:

també a r�. Per tant, les rectes són coincidents.

25. Podem determinar la posició relativa de dos plans es-tudiant la compatibilitat del sistema format per les se-ves equacions generals, que es pot fer directamentcomparant els quocients dels coeficients homòlegs deles equacions generals:

a)


b)


c)


d)


26. L’equació d’un pla que contingui la recta r serà unacombinació lineal de les equacions de dos plans dife-rents que continguin r.

Així, l’equació del feix dels plans d’aresta r és:

( x + y + 2) + (2 x y + 3 z 1) = 0 , , �

z

zrang M rang M

=

== =

1

11 2, ( ) , ( ) ,

52

23

37

71

2= =rang M rang M( ) ( ),

5 2 3 7

2 3 7 1

x y z

x y z

+ =

+ =

21

13

32

41

2= =rang M rang M( ) ( ),

2 3 4

3 2 1

x y z

x y z

+ =

+ + =

36

12

24

01

1 2= = = = =rang M i rang M( ) ( ) ,

3 2 0

6 2 4 1

x y z

x y z

+ =

+ =

3 32

3 36

1 14

0=+

= =

= = = =2

163

42

2 2, ,� �u u

�=u ( , , ).1 3 2

�u = ( , , ).2 6 4

Si, per a simplificar, prescindim del pla:

2 x y + 3 z 1 = 0

Podem expressar l’equació de la forma:

x + y + 2 + (2 x y + 3 z 1) = 0 , �

(2 1) x + (1 ) y + 3 z + 2 = 0 , �

Per a determinar el pla del feix que conté el punt B � (2, �1, 0), hem de determinar el valor de pertal que les coordenades de B satisfacin l’equació d’unpla del feix:

4 2 1 + + 2 = 0

El pla del feix que passa per B = (2, 1, 0) és el que

correspon a

: 2 x 3 y 3 z 7 = 0

27. Escrivim les equacions implícites de la recta r:

Tres plans que continguin r formaran part del feix deplans d’aresta r:

r: (5 x y 9) + (3 x z + 1) = 0

Així, els tres plans poden ser:

1: 8 x y z 8 = 0

2: 2 x + y z + 10 = 0

3: 3 x z + 1 = 0

28. El feix de plans paral.lels al pla:

x 2 y + 7 z 1 = 0

Té per equació:

x 2 y + 7 z + K = 0 , K �

Determinem el pla d’aquest feix que conté el punt A � (5, 0, 3). Per a fer-ho, hem de determinar el valorque ha de prendre K perquè les coordenades de A ve-rifiquin l’equació d’un pla del feix:

5 2 0 + 7 3 + K = 0 , K = 26

El pla en qüestió és el que té per equació general:

�: x 2 y + 7 z 26 = 0

x y zr

x y

x z= =

=

+ =

21

15

73

5 9 0

3 1 0:

+ + + =12

34

34

74

0x y z

=14

:

+ = =1 4 014

,

CM

YK

97

6. Geom

etria afí29. Per determinar la posició relativa de tres plans, hem

d’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions generals i, quan calgui, determinar laposició relativa dos a dos dels plans estudiant el siste-ma format per cada parell d’equacions:

a)

Per tant, els tres plans es tallen en una recta.

Vegem si hi ha plans coincidents

Per tant, els tres plans són secants en una recta idiferents dos a dos.

b)

Si esglaonem la matriu ampliada:

observem que rang (M) � 1 i rang (M�) � 2. Amés, com que:

són coincidents.

Per tant, 1 i 2 són coincidents i paral.lels a 3.

c) 4 6 8 14

5 7 1

2 3 4 7

x y z

x y z

x y z

+ =

=

+ =

12

12

36

510 1 2= = = i

1 1 3

0 0 0

0 0 0

5

0

4

F2 F2 + 2 F1F3 F3 + F1

——————�

1 1 3

2 2 6

1 1 3

5

10

9

x y z

x y z

x y z

+ =

+ =

+ =

3 5

2 2 6 10

3 9

15

51 2 3i óno s n coincidents.

25


21


2 3 7

1 5 1

5 1 13

0 2= =( )rang M

2 3

1 513 0 2= =( )rang M

M = =

2 3 5

1 5 2

5 1 8

0 ,

2 3 5 7

5 2 1

5 8 13

x y z

x y z

x y z

+ =

+ =

+ =

Com que rang (M) � 2 � rang (M�), els plans estallen en una recta.

Pot ser que dos dels plans siguin coincidents:

Així, els plans 1 i 3 són coincidents i tallen 2 enuna recta.

d)

rang (M) = 3 rang (M�) = 3

Com que rang (M) � rang (M�) � 3, els plans estallen en un punt.

e)

rang (M) = 3 rang (M�) = 3

Com que rang (M) � rang (M�) � 3, els plans estallen en un punt.

f)

4 0 4

5 2 5

21 6 7

112 0 3= =rang M( )

4 0

5 28 2= =rang M( )

M = =

4 0 1

5 2 3

21 6 0

0

4 4

5 2 3 5

21 6 7

x z

x y z

x y

=

+ =

=

M = =

1 3 1

2 5 1

1 1 5

16 0

x y z

x y z

x y z

+ =

+ + =

=

3 5

2 5 4

5 3

M = =

1 0 1

0 1 3

2 0 4

2 0

x z

y z

x z

+ =

=

+ =

1

3 1

2 4 0

42

63

84

147 1 3= = = i ós n coincidents.

41

65 1 2y óno s n coincidents.

4 6 14

1 5 1

2 3 7

0 2= =( )rang M

4 6

1 514 0 2= =rang M( )

M = =

4 6 8

1 5 7

2 3 4

0,

97

6. G

eom

etria

afí

29.Per determinar la posició relativa de tres plans, hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions generals i, quan calgui, determinar laposició relativa dos a dos dels plans estudiant el siste-ma format per cada parell d’equacions:

a)


Vegem si hi ha plans coincidents

Per tant, els tres plans són secants en una recta idiferents dos a dos.

b)

Si esglaonem la matriu ampliada:

observem que rang (M) �1 i rang (M�) �2. Amés, com que:

són coincidents.

Per tant, 1i 2són coincidents i paral.lels a 3.

c)46814

571

2347

xyz

xyz

xyz

+=

=

+=

12

12

36

510

12 ===i

113

000

000

5

0

4

F2F2+2 F1F3F3+F1

——————�

113

226

113

5

10

9

xyz

xyz

xyz

+=

+=

+=

35

22610

39

15

51

23 ió nosncoincidents.

25

31


21

35


237

151

5113

02 == () rangM

23

151302 == () rangM

M==

235

152

518

0,

2357

521

5813

xyz

xyz

xyz

+=

+=

+=

Com que rang (M) �2 �rang (M�), els plans estallen en una recta.

Pot ser que dos dels plans siguin coincidents:

Així, els plans 1i 3són coincidents i tallen 2enuna recta.

d)

rang (M) =3 rang (M�)=3

Com que rang (M) �rang (M�) �3, els plans estallen en un punt.

e)


Com que rang (M) �rang (M�) �3, els plans estallen en un punt.

f)

404

525

2167

11203 == rangM()

40

5282 == rangM()

M==

401

523

2160

0

44

5235

2167

xz

xyz

xy

=

+=

=

M==

131

251

115

160

xyz

xyz

xyz

+=

++=

=

35

254

53

M==

101

013

204

20

xz

yz

xz

+=

=

+=

1

31

240

42

63

84

147

13 ===iósncoincidents.

41

65

12 yó nosncoincidents.

4614

151

237

02 == () rangM

46

151402 == rangM()

M==

468

157

234

0,

C M

Y K

98

6. Geom

etria afí

De les equacions generals se n’observa que el pla1és paral.lel a l’eix OY i el pla 3és paral.lel a l’eix

OZ. Per tant, no existeixen plans paral.lels i 1, 2i 3es tallen dos a dos.

30.a)Com que la recta ve donada per les seves equa-cions implícites i el pla per la seva equació gene-ral, per determinar la seva posició relativa hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format peraquestes equacions:


Com que rang (M) �3 �rang (M�), la recta i elpla es tallen en un únic punt, és a dir, són secants.

b)Observem que el pla és precisament el que cor-respon a la segona equació que ens defineix im-plícitament la recta r; per tant, la recta r està con-tinguda en el pla .

c)Estudiem la compatibilitat del sistema format perles equacions implícites de la recta i l’equació ge-neral del pla:


Com que rang (M) �rang (M�) �3, la recta i elpla es tallen en un únic punt, és a dir, són secants.

d)Expressem la recta mitjançant les seves equacionsimplícites:

Estudiem la compatibilitat d’aquestes equacions ila general del pla:

però, atesa la senzillesa d’aquest sistema, podemfins i tot resoldre’l directament substituint en latercera equació les dues primeres:

5 x (2) +2 (1) 1 =0

=== xyz15

21 ,,

y

z

xyz

=

=

+=

2

1

5210

ry

z:

=

=

2

1

M==

150

111

312

50

xy

xyz

xyz

xy =

++=

++=

= 50

20

3230

50

2

323

xyz

xyz

++=

+=

M==

310

001

310

60

3110

10

370

311 xy

z

xy

xy

z

+=

=

+=

+=

=1

37 xy=

Per tant, la recta i el pla són secants en el punt

e)Com que tant la recta com el pla vénen donats perla seva equació vectorial, per veure quina és la sevaposició relativa hem de començar esbrinant si elsseus vectors directors són linealment dependentso no.

Analíticament, això correspon a comprovar si lamatriu que té per columnes les components d’unvector director de la recta i dos vectors directorsdel pla (linealment independents) té determinantnul o no.

Utilitzem els vectors directors donats per l’equacióvectorial:

Per tant, el vector director de la recta és combina-ció lineal dels del pla.

Per tant, la recta és paral.lela al pla o hi està con-tinguda.

Per a determinar quina és la situació, veiem si unpunt qualsevol de la recta pertany també al pla. Perexemple, A �(�3, 2, �5):

Com que no es compleix, la recta és paral.lela al pla.

f)Un vector director de r és (1, 0, 3), i dos vectorsdirectors del pla (independents) són(1, 5, 1) i (3, �2, 0).

directors de la recta i del pla són independents, laqual cosa significa que la recta i el pla són secants.

31.a)Com que la recta satisfà l’equació y �2, està con-tinguda en el pla d’equació general y �2, paral.lelal pla XZ.

D’altra banda, el pla x �z �5 �0 no manté caprelació especial amb els eixos OX o OZ; per tant,la recta no és paral.lela a cap eix.

Per tant, la recta és paral.lela al pla XZ.

b)y =0 és el pla coordenat XZ.

c)Com que el pla x �2, paral.lel al pla YZ, i el pla y ��3, paral.lel al pla XZ, contenen la recta,aquesta és paral.lela als plans XZ i YZ; per tant, hade ser paral.lela a l’eix OZ.

Comque

113

052

30

=

1

490,elsvectors

=+

=+

=+

=

=

30

24

512

3

2

514++3

101

110

121

0 =

15

21 ,,.

98

6. G

eom

etria

afí

De les equacions generals se n’observa que el pla1 és paral.lel a l’eix OY i el pla 3 és paral.lel a l’eix

OZ. Per tant, no existeixen plans paral.lels i 1, 2i 3 es tallen dos a dos.

30. a) Com que la recta ve donada per les seves equa-cions implícites i el pla per la seva equació gene-ral, per determinar la seva posició relativa hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format peraquestes equacions:

rang (M) = 3 rang (M�) = 3

Com que rang (M) � 3 � rang (M�), la recta i elpla es tallen en un únic punt, és a dir, són secants.

b) Observem que el pla és precisament el que cor-respon a la segona equació que ens defineix im-plícitament la recta r; per tant, la recta r està con-tinguda en el pla .

c) Estudiem la compatibilitat del sistema format perles equacions implícites de la recta i l’equació ge-neral del pla:

rang (M) = 3 rang (M�) = 3

Com que rang (M) � rang (M�) � 3, la recta i elpla es tallen en un únic punt, és a dir, són secants.

d) Expressem la recta mitjançant les seves equacionsimplícites:

Estudiem la compatibilitat d’aquestes equacions ila general del pla:

però, atesa la senzillesa d’aquest sistema, podemfins i tot resoldre’l directament substituint en latercera equació les dues primeres:

5 x ( 2) + 2 ( 1) 1 = 0

= = =x y z15

2 1, ,

y

z

x y z

=

=

+ =

2

1

5 2 1 0

ry

z:

=

=

2

1

M = =

1 5 0

1 1 1

3 1 2

5 0

x y

x y z

x y z

x y=

+ + =

+ + =

=5 0

2 0

3 2 3 0

5 0

2

3 2 3

x y z

x y z

+ + =

+ =

M = =

3 1 0

0 0 1

3 1 0

6 0

3 11 0

1 0

3 7 0

3 11x y

z

x y

x y

z

+ =

=

+ =

+ =

= 1

3 7x y =

Per tant, la recta i el pla són secants en el punt

e) Com que tant la recta com el pla vénen donats perla seva equació vectorial, per veure quina és la sevaposició relativa hem de començar esbrinant si elsseus vectors directors són linealment dependentso no.

Analíticament, això correspon a comprovar si lamatriu que té per columnes les components d’unvector director de la recta i dos vectors directorsdel pla (linealment independents) té determinantnul o no.

Utilitzem els vectors directors donats per l’equacióvectorial:

Per tant, el vector director de la recta és combina-ció lineal dels del pla.

Per tant, la recta és paral.lela al pla o hi està con-tinguda.

Per a determinar quina és la situació, veiem si unpunt qualsevol de la recta pertany també al pla. Perexemple, A � (�3, 2, �5):

Com que no es compleix, la recta és paral.lela al pla.

f ) Un vector director de r és (1, 0, 3), i dos vectorsdirectors del pla (independents) són (1, 5, 1) i (3, �2, 0).

directors de la recta i del pla són independents, laqual cosa significa que la recta i el pla són secants.

31. a) Com que la recta satisfà l’equació y � 2, està con-tinguda en el pla d’equació general y � 2, paral.lelal pla XZ.

D’altra banda, el pla x � z � 5 � 0 no manté caprelació especial amb els eixos OX o OZ; per tant,la recta no és paral.lela a cap eix.

Per tant, la recta és paral.lela al pla XZ.

b) y = 0 és el pla coordenat XZ.

c) Com que el pla x � 2, paral.lel al pla YZ, i el pla y � �3, paral.lel al pla XZ, contenen la recta,aquesta és paral.lela als plans XZ i YZ; per tant, hade ser paral.lela a l’eix OZ.

Com que

1 1 3

0 5 2

3 0

=

1

49 0, els vectors

= +

= +

= +

=

=

3 0

2 4

5 1 2

3

2

5 1 4 ++ 3

1 0 1

1 1 0

1 2 1

0=

15

2 1, , .

CM

YK

99

6. Geom

etria afíd) x = 3 és un pla paral.lel al pla YZ.

e) Aquesta recta té com a vector directorper tant, és paral.lela a l’eix OY.

D’altra banda, com que no passa pel (0, 0, 0), per-què aquest punt no compleix les equacions pa-ramètriques de la recta per a cap valor del parà-metre, no és l’eix OY.

Així, la recta és paral.lela a l’eix OY.

f) és un pla paral.lel al pla XY.

g) La recta està continguda en el pla YZ, que és el queté com a equació general x � 0, i és paral.lela a l’eixOY, perquè el valor de la tercera coordenada delsseus punts és constant.

La recta està, per tant, continguda en el pla YZ i ésparal.lela a l’eix OY.

h) 5 y � 2 x � 0 és un pla paral.lel a l’eix OZ, i comque passa pel punt (0, 0, 0), conté aquest eix.


32. Com que les dues rectes vénen donades per les sevesequacions implícites, per determinar-ne la posició re-lativa segons el valor del paràmetre, hem de discutir elsistema format per aquestes equacions en funció delparàmetre,

Calculem el rang de M�:

F2 F2 F1F4 F4 F1

F3 F3 F2F4 F4 + 2 F2

Com que �M�� 0 m � �4, tenim que:

= =1 14

10

2

14 16

mm

= =

1 0 2

0 1 3

0 0 4

0 0 10

1

0

2

1m

==

1 0 2

0 1 3

0 1 1

0 2 4

1

0

2

1m

==M

m

1 0 2

1 1 1

0 1 1

1 2 2

1

1

2

x z

x y z

y z

x y z m

=

+ + =

=

+ =

2 1

1

2

2 2

3 553

z z= =

( , , ) ,0 1 0 =�j

• Si m 4, �M�� 0 rang (M�) = 4 rang (M) = 3.

Així, rang (M) � 3 i rang (M�) � 4; per tant, les rec-tes s’encreuen.

• Si m = 4, rang (M�) < 4.

Trobem el rang de M en aquest cas:

Així, rang (M) � rang (M�) � 3; per tant, les recteses tallen en un únic punt.

Per a trobar aquest punt, n’hi ha prou de resoldre elsistema d’equacions equivalent al de partida (ja ques’ha obtingut mitjançant transformacions elemen-tals):

Les dues rectes es tallen en

i s’encreuen si m � �4.

33. Hem de discutir el sistema format per les equacionsimplícites de les dues rectes en funció del paràme-tre m:

Calculem el determinant de la matriu ampliada:

F4 F4 2 F1

F4 F4 F3

Acabem de veure que la quarta equació és combina-ció lineal les altres, per tant, el sistema de partida ésequivalent a:

Calculem el determinant de la nova matriu de coefi-cients:

mx

x z

y z

y z

+

+ =

=

=

3 2

2 0

2 1

1 0 3 2

2m=

1 0

0 1 2 1

0 0 0 0

0==

1 0 3 2

2 1 0

0 1 2 1

0 1 2 1

m

==Mm

1 0 3 2

2 1 0

0 1 2 1

2 1 4 3

x z

mx y z

y z

x y z

+ =

+ =

=

+ + =

3 2

2 0

2 1

2 4 3

032

12

4, , ,=si m

x z

y z

z

x y z

=

+ =

=

= = =

2 1

3 0

4 2

032

12

, ,

1 0 2

0 1 3

0 0 4

4 0 3= =, ( )rang M

99

6. G

eom

etria

afí

d)x =3 és un pla paral.lel al pla YZ.

e)Aquesta recta té com a vector directorper tant, és paral.lela a l’eix OY.

D’altra banda, com que no passa pel (0, 0, 0), per-què aquest punt no compleix les equacions pa-ramètriques de la recta per a cap valor del parà-metre, no és l’eix OY.

Així, la recta és paral.lela a l’eix OY.

f)és un pla paral.lel al pla XY.

g)La recta està continguda en el pla YZ, que és el queté com a equació general x �0, i és paral.lela a l’eixOY, perquè el valor de la tercera coordenada delsseus punts és constant.

La recta està, per tant, continguda en el pla YZ i ésparal.lela a l’eix OY.

h)5 y �2 x �0 és un pla paral.lel a l’eix OZ, i comque passa pel punt (0, 0, 0), conté aquest eix.


32.Com que les dues rectes vénen donades per les sevesequacions implícites, per determinar-ne la posició re-lativa segons el valor del paràmetre, hem de discutir elsistema format per aquestes equacions en funció delparàmetre,


F2F2F1F4F4F1

F3F3F2F4F4+2 F2

Com que �M��0 m ��4, tenim que:

== 114

10

2

1416

mm

==

102

013

004

0010

1

0

2

1 m

= =

102

013

011

024

1

0

2

1 m

= = M

m

102

111

011

122

1

1

2

xz

xyz

yz

xyzm

=

++=

=

+=

21

1

2

22

3553

zz ==

(,,), 010=�j

•Si m 4, �M��0 rang (M�)=4 rang (M) =3.

Així, rang (M) �3 i rang (M�) �4; per tant, les rec-tes s’encreuen.

•Si m =4, rang (M�)<4.

Trobem el rang de M en aquest cas:

Així, rang (M) �rang (M�) �3; per tant, les recteses tallen en un únic punt.

Per a trobar aquest punt, n’hi ha prou de resoldre elsistema d’equacions equivalent al de partida (ja ques’ha obtingut mitjançant transformacions elemen-tals):

Les dues rectes es tallen en

i s’encreuen si m ��4.

33.Hem de discutir el sistema format per les equacionsimplícites de les dues rectes en funció del paràme-tre m:

Calculem el determinant de la matriu ampliada:

F4F42 F1

F4F4F3

Acabem de veure que la quarta equació és combina-ció lineal les altres, per tant, el sistema de partida ésequivalent a:

Calculem el determinant de la nova matriu de coefi-cients:

mx

xz

yz

yz

+

+=

=

=

32

20

21

1032

2 m=

10

0121

0000

0 ==

1032

210

0121

0121

m

= = Mm

1032

210

0121

2143

xz

mxyz

yz

xyz

+=

+=

=

++=

32

20

21

243

032

12

4 ,,, = sim

xz

yz

z

xyz

=

+=

=

===

21

30

42

032

12

,,

102

013

004

403 == ,() rangM

C M

Y K

100

6. Geom

etria afí

Com que �M��0 m �1, tenim que:

•Si m �1, �M��0 rang (M) �3 rang (M�) �3,les dues rectes es tallen en un únic punt, de coorde-nades:

•Si m =1, �M�=0 rang (M) <3.

Com que


Per tant, rang (M) �rang (M�) �2, és a dir, les duesrectes són coincidents.

Si m �1, les dues rectes es tallen en el punt de

coordenadesi si m �1, són coincidents.

34.Com que els dos plans vénen donats per la seva equa-ció general, per determinar-ne la posició relativa se-gons el valor del paràmetre m, hem de discutir el sis-tema format per aquestes equacions en funciód’aquest paràmetre:

Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada associades a aquest sistema:

12

0052

3

10

m

mF2F22 F1

——————�

12

245

3

4

m

xymz

xyz

+=

+=

23

2454

013

23

,,,

102

120

011

02 () == rangM

10

12202 == ,() rangM

z

m

mmm

===

102

20

011

332233

23

y

m

mmm

===

123

01

012

331

3313

xm

==

203

021

112

330

== 121

12

03

1233 mm

Mm ==

103

21

012

Com que tenim:

•Si per tant,

els plans són paral.lels.

•Si per tant, els

dos plans es tallen en una recta.

Si els plans són secants, i si són

paral.lels.

35.a)Com que els tres plans vénen donats per les sevesequacions generals, per determinar-ne la posiciórelativa segons el valor del paràmetre m, hem dediscutir el sistema format per aquestes equacionsen funció del paràmetre:

Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients:

Com que �m2�m �0 m �0 o m �1, tenim:

•Si m 0 y m 1, rang (M) =3 rang (M�) =3.

En aquest cas, doncs, rang (M) �rang (M�) �3;per tant, els tres plans es tallen en un únic punt,de coordenades:

z

m

m

mm

m

mmm=

+=

+=

11

11

0101122

y

m

mm

m

mmm=

+=

+

+=

111

11

0011122

x

m

mm

m

mmm=

+=

+=

11

111

0111122

==+ 111

11

1

112

mm

mm

M

m

m ==

11

11

011

xmyz

mxyz

yz

++=

=

+=

1

1

0

m=52

, m52

,

mrangMrangM ==52

2 ,()(),

mrangMirangM ===52

12 ,()(),

52052

== mm,

100

6. G

eom

etria

afí

Com que �M� � 0 m � 1, tenim que:

• Si m � 1, �M� � 0 rang (M) � 3 rang (M�) � 3,les dues rectes es tallen en un únic punt, de coorde-nades:

• Si m = 1, �M� = 0 rang (M) < 3.

Com que


Per tant, rang (M) � rang (M�) � 2, és a dir, les duesrectes són coincidents.

Si m � 1, les dues rectes es tallen en el punt de

coordenades i si m � 1, són coincidents.

34. Com que els dos plans vénen donats per la seva equa-ció general, per determinar-ne la posició relativa se-gons el valor del paràmetre m, hem de discutir el sis-tema format per aquestes equacions en funciód’aquest paràmetre:

Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada associades a aquest sistema:

1 2

0 0 5 2

3

10

m

mF2 F2 2 F1

——————�

1 2

2 4 5

3

4

m

x y mz

x y z

+ =

+ =

2 3

2 4 5 4

013

23

, , ,

1 0 2

1 2 0

0 1 1

0 2( )= =rang M

1 0

1 22 0 2= =, ( )rang M

z

m

mmm

= = =

1 0 2

2 0

0 1 1

3 32 23 3

23

y

m

mmm

= = =

1 2 3

0 1

0 1 2

3 31

3 313

xm

= =

2 0 3

0 2 1

1 1 2

3 30

= =12 1

1 2

0 3

1 23 3m m

M m= =

1 0 3

2 1

0 1 2

Com que tenim:

• Si per tant,

els plans són paral.lels.

• Si per tant, els

dos plans es tallen en una recta.

Si els plans són secants, i si són

paral.lels.

35. a) Com que els tres plans vénen donats per les sevesequacions generals, per determinar-ne la posiciórelativa segons el valor del paràmetre m, hem dediscutir el sistema format per aquestes equacionsen funció del paràmetre:


Com que �m2 � m � 0 m � 0 o m � 1, tenim:

• Si m 0 y m 1, rang (M) = 3 rang (M�) = 3.

En aquest cas, doncs, rang (M) � rang (M�) � 3;per tant, els tres plans es tallen en un únic punt,de coordenades:

z

m

m

m m

m

m m m=

+=

+=

1 1

1 1

0 1 0 1 12 2

y

m

m m

m

m m m=

+=

+

+=

1 1 1

1 1

0 0 1 1 12 2

x

m

m m

m

m m m=

+=

+=

1 1

1 1 1

0 1 1 1 12 2

= = +11 1

1 1

1

1 12m

mm m

M

m

m= =

1 1

1 1

0 1 1

x my z

mx y z

y z

+ + =

=

+ =

1

1

0

m =52

,m52

,

m rang M rang M= =52

2, ( ) ( ) ,

m rang M i rang M= = =52

1 2, ( ) ( ) ,

5 2 052

= =m m ,

CM

YK

101

6. Geom

etria afí• Si m = 0, tenim el sistema:

Calculem el rang de la matriu de coeficients i dela matriu ampliada:

Com que rang (M) � 2 i rang (M�) � 3, els plansno es tallen.

Hem de determinar si es tallen dos a dos o si hiha plans paral.lels:

paral·lels;

Per tant, 2 i 3 són paral.lels i secants a 1.

• Si m � 1, tenim el sistema:


Com que rang (M) � rang (M�) � 2, els tresplans es tallen en una recta.

Resumint: si m � 0 i m � 1, es tallen en el punt

si m � 0, 2 i 3 són pa-

ral·lels i secants a 1; si m � 1, els tres plans es ta-llen una recta.

1 1 1m m m

, , ;

1 1 1

0 2 2

0 0 0

1

0

0

1F3 F3 + — F22——————�

1 1 1

0 2 2

0 1 1

1

0

0

F2 F2 F1

—————�

1 1 1

1 1 1

0 1 1

1

1

0

x y z

x y z

y z

+ + =

=

+ =

1

1

0

2 i 3 són paral·lels.rang0 1 1

0 1 11=

1 i 3 no són paral·lels;rang1 0 1

0 1 12=

1 i 2 no sónrang1 0 1

0 1 12=

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1

1

1

F3 F3 + F2

—————�

1 0 1

0 1 1

0 1 1

1

1

0

x z

y z

y z

+ =

=

+ =

1

1

0

b) Expressem la recta r mitjançant les seves equa-cions implícites:

(x, y, z) = (0, 0, 1) + k (m, 1, 0)

i substituint la segona equació en la primera:

Ara que tenim la recta i el pla expressats mit-jançant les seves equacions implícites i general,per decidir la posició relativa de r i 1 segons el va-lor del paràmetre, hem de discutir el sistema for-mat per aquestes equacions en funció del pa-ràmetre:

Calculem el rang de la matriu de coeficients i de lamatriu ampliada:

Com que 2 m � 0 m � 0, tenim que:

• Si m � 0, rang (M) � rang (M�) � 3; per tant, larecta i el pla es tallen en un únic punt, de coor-denades:

• Si m � 0, rang (M) � 2 i rang (M�) � 3; per tant,la recta i el pla són paral.lels.

Si m � 0, la recta i el pla es tallen en el punt de

coordenades i si m � 0, són paral-

lels.

36. a) Busquem un pla que contingui r i A.

Escrivim el feix de plans secants en r:

x 3 y + (x + z 1) = 0 , �

Comprovem que les coordenades del punt A noverifiquen l’equació de 2: x � z � 1 � 0.

11

1, ,m

z my

z

my

x ym

z

=

=

=

= = =

0

1

2 2

11

1, ,

1 0

0 0 1

0 2 0

0

1

2

m

m

F3 F3 F2

—————�

1 0

0 0 1

0 2 1

0

1

1

m

m

F3 F3 F1

—————�

1 0

0 0 1

1 1

0

1

1

m

m

x my

z

x my z

=

=

+ + =

0

1

1

x ym

z

x my

z

=

=

=

=1

0

1,

x km

y k

z

=

=

= 1

101

6. G

eom

etria

afí

•Si m =0, tenim el sistema:


Com que rang (M) �2 i rang (M�) �3, els plansno es tallen.

Hem de determinar si es tallen dos a dos o si hiha plans paral.lels:

paral·lels;

Per tant, 2i 3són paral.lels i secants a 1.

•Si m �1, tenim el sistema:


Com que rang (M) �rang (M�) �2, els tresplans es tallen en una recta.

Resumint: si m �0 i m �1, es tallen en el punt

si m�0, 2i 3són pa-

ral·lels i secants a 1; si m �1, els tres plans es ta-llen una recta.

111mmm

,,;

111

022

000

1

0

0

1F3F3+—F2

2——————�

111

022

011

1

0

0

F2F2F1

—————�

111

111

011

1

1

0

xyz

xyz

yz

++=

=

+=

1

1

0

2i 3són paral·lels. rang011

0111 =

1i 3no són paral·lels; rang101

0112 =

1i 2no són rang101

0112 =

101

011

000

1

1

1

F3F3+F2

—————�

101

011

011

1

1

0

xz

yz

yz

+=

=

+=

1

1

0

b)Expressem la recta r mitjançant les seves equa-cions implícites:

(x, y, z) =(0, 0, 1) +k (m, 1, 0)

i substituint la segona equació en la primera:

Ara que tenim la recta i el pla expressats mit-jançant les seves equacions implícites i general,per decidir la posició relativa de r i 1segons el va-lor del paràmetre, hem de discutir el sistema for-mat per aquestes equacions en funció del pa-ràmetre:

Calculem el rang de la matriu de coeficients i de lamatriu ampliada:

Com que 2 m �0 m �0, tenim que:

•Si m �0, rang (M) �rang (M�) �3; per tant, larecta i el pla es tallen en un únic punt, de coor-denades:

•Si m �0, rang (M) �2 i rang (M�) �3; per tant,la recta i el pla són paral.lels.

Si m �0, la recta i el pla es tallen en el punt de

coordenades i si m �0, són paral-

lels.

36.a)Busquem un pla que contingui r i A.

Escrivim el feix de plans secants en r:

x 3 y +(x +z 1) =0 , �

Comprovem que les coordenades del punt A noverifiquen l’equació de 2: x �z �1 �0.

11

1 ,,m

zmy

z

my

xym

z

=

=

=

===

0

1

22

11

1 ,,

10

001

020

0

1

2

m

m

F3F3F2

—————�

10

001

021

0

1

1

m

m

F3F3F1

—————�

10

001

11

0

1

1

m

m

xmy

z

xmyz

=

=

++=

0

1

1

xym

z

xmy

z

=

=

=

= 1

0

1,

xkm

yk

z

=

=

=1

C M

Y K

102

6. Geom

etria afí

Determinarem el valor del paràmetre imposantque passa pel punt A:

2 3 0 +(2 +1 1) =02 +2 =0 , =1

El pla té com a equació general:

x 3 y (x +z 1) =0 , 3 y +z 1 =0

b)L’equació general d’un pla arbitrari diferent de 2que contingui r és:

(1 +) x 3 y +z =0

Per tal que aquest pla sigui paral.lel a la recta s, elrang de la matriu de coeficients del sistema formatper l’equació general del pla i les equacions im-plícites de la recta ha de ser 2 (i el de l’ampliada 3,perquè tinguin punts en comú).

Necessitem calcular, doncs, les equacions implí-cites de s, que obtindrem a partir de dues de lesequacions contínues:

Unes equacions implícites de s són, doncs:

El sistema que hem de considerar és, doncs:

Hem de determinar per tal que rang (M) �2 irang (M�) �3.

120

031

0051

3

7

9

210 +2 1

F3F3————F23

————————�

120

031

021

7

9

87 +

F2F3

———�

120

021

031

7

87

9

+ F2F2(1 +) F1

—————————�

120

13

031

7

9

+ F1F2

———�

13

120

031

7

9

+

() 13

27

39

++=

=

=

xyz

xy

yz

xy

yz

+=

=

270

390

yzyz ==

313

390

xyxy

+=+=

12

31

270

Perquè rang (M) �2, s’ha de complir:

En aquest cas,

per tant, la recta és paral.lela al pla.

El pla buscat és, doncs:

6 x 15 y +z 1 =0

37.Sigui el pla que conté la recta r i el punt A. Obser-vem que està ben definit, ja que A �r.

Com que la recta s ha de passar per A i tallar r, ha detenir dos punts en el pla ; per tant, ha d’estar con-tinguda en aquest pla.

Raonant de manera anàloga amb la recta r�, obtenimun altre pla �, que conté s.

Les equacions implícites de s són el sistema definit perles equacions generals de i �.

—Equació del pla .

Un punt de pas és A �(1, 0, �2), i un vector di-rector és el de la recta r,

Per a obtenir un vector director linealment in-dependent de n’hi ha prou de considerar el vector

en què B és un punt qualsevol de la recta r.

Si prenem, per exemple, B �(0, 1, �1):

=(1, 1, 1)

L’equació general del pla és, doncs:

x +y 1 =0

—Equació del pla �.

Un punt de pas és A �(1, 0, �2), i un vector di-rector és el de r�,

Si B�és el punt de la recta r�de coordenades (1, 0, �1), un vector director de �linealment in-dependent de és:

=(0, 0, 1)

L’equació general del pla �és, doncs:

x 2 y 1 =0

0

120

010

211

21 ==

x

y

z

xy

()

=== �� vAB [](,,()) 110012

�u

= �u(,,). 211

0

111

011

231

222 ==+

x

y

z

xy

()

��vAB === [](,,()) 011012

[], AB��

�u

�v

�u=(,,). 113

115

315

15

0 ++= xyz

215

1003 += rangM(),

513

015

==

102

6. G

eom

etria

afí

Determinarem el valor del paràmetre imposantque passa pel punt A:

2 3 0 + (2 + 1 1) = 02 + 2 = 0 , = 1

El pla té com a equació general:

x 3 y (x + z 1) = 0 , 3 y + z 1 = 0

b) L’equació general d’un pla arbitrari diferent de 2que contingui r és:

(1 + ) x 3 y + z = 0

Per tal que aquest pla sigui paral.lel a la recta s, elrang de la matriu de coeficients del sistema formatper l’equació general del pla i les equacions im-plícites de la recta ha de ser 2 (i el de l’ampliada 3,perquè tinguin punts en comú).

Necessitem calcular, doncs, les equacions implí-cites de s, que obtindrem a partir de dues de lesequacions contínues:

Unes equacions implícites de s són, doncs:


Hem de determinar per tal que rang (M) � 2 irang (M�) � 3.

1 2 0

0 3 1

0 05 1

3

7

9

2 10+2 1

F3 F3 ———— F23————————�

1 2 0

0 3 1

0 2 1

7

9

8 7+

F2 F3

———�

1 2 0

0 2 1

0 3 1

7

8 7

9

+F2 F2 (1 + ) F1

—————————�

1 2 0

1 3

0 3 1

7

9

+F1 F2

———�

1 3

1 2 0

0 3 1

7

9

+

( )1 3

2 7

3 9

+ + =

=

=

x y z

x y

y z

x y

y z

+ =

=

2 7 0

3 9 0

y zy z= =

31 3

3 9 0

x yx y

+= + =

12

31

2 7 0

Perquè rang (M) � 2, s’ha de complir:

En aquest cas,

per tant, la recta és paral.lela al pla.

El pla buscat és, doncs:

6 x 15 y + z 1 = 0

37. Sigui el pla que conté la recta r i el punt A. Obser-vem que està ben definit, ja que A � r.

Com que la recta s ha de passar per A i tallar r, ha detenir dos punts en el pla ; per tant, ha d’estar con-tinguda en aquest pla.

Raonant de manera anàloga amb la recta r�, obtenimun altre pla �, que conté s.

Les equacions implícites de s són el sistema definit perles equacions generals de i �.

— Equació del pla .

Un punt de pas és A � (1, 0, �2), i un vector di-rector és el de la recta r,

Per a obtenir un vector director linealment in-dependent de n’hi ha prou de considerar el vector

en què B és un punt qualsevol de la recta r.

Si prenem, per exemple, B � (0, 1, �1):

= ( 1, 1, 1)

L’equació general del pla és, doncs:

x + y 1 = 0

— Equació del pla �.

Un punt de pas és A � (1, 0, �2), i un vector di-rector és el de r�,

Si B� és el punt de la recta r� de coordenades (1, 0, �1), un vector director de � linealment in-dependent de és:

= (0, 0, 1)

L’equació general del pla � és, doncs:

x 2 y 1 = 0

0

1 2 0

0 1 0

2 1 1

2 1= =

x

y

z

x y

( )

= = =� � ��v AB[ ] ( , , ( ))1 1 0 0 1 2

�u

=�u ( , , ).2 1 1

0

1 1 1

0 1 1

2 3 1

2 2 2= = +

x

y

z

x y

( )

� � ��v AB= = =[ ] ( , , ( ))0 1 1 0 1 2

[ ],AB� ��

�u

�v

�u = ( , , ).1 1 3

115

315

15

0+ + =x y z

215

10 0 3+ =rang M( ) ,

5 13

015

= =

CM

YK

103

6. Geom

etria afíLes equacions implícites de la recta s són, doncs:

38. La recta s estarà continguda en el pla �. Aquest pla per-tany al feix de plans paral.lels a i passa pel punt A.

L’equació general d’un pla qualsevol d’aquest feix és:

x 2 y z + K = 0 , K �

i el valor de K perquè el punt A pertanyi al pla és:

1 2 1 1 + K = 0 K = 2

L’equació general d’aquest pla és, doncs:

�: x 2 y z + 2 = 0

Si la recta talla el pla � en un únic punt, B, la recta sha de passar-hi, ja que r i s no poden ser paral.leles(perquè r no és paral.lela a � ni hi està continguda),sinó que es tallen en un punt, i com que B és l’únicpunt de r que està en �, pla que conté s, s’ha de tallarprecisament en B.

Comprovem si la intersecció de r amb � és un únicpunt, i en determinem les coordenades.

Per determinar la intersecció de r amb �, resolem el sistema format per l’equació general de �, x � 2 y � z � 2 � 0, i per les equacions implícites der, que podem obtenir a partir de les seves equacionscontínues:

El sistema que hem de resoldre és:

Per tant, com que A � (1, 1, 1) és un punt de s i un vector

director és

i, per tant, l’equació vectorial de s és: (x, y, z) = (1, 1, 1) + k (1, 0, 1).

ACTIVITATS

Abans de començar

• Equacions de la recta determinades pel punt A i el vec-tor pàg. 112 i 113.

— Equacions del pla determinat pel punt A i els vectorspàg. 116 i 117.

• Posicions relatives de dues rectes (pàg. 120), de dos plans(pàg. 122), de tres plans (pàg. 124) i de recta i pla (pàg.126).

� �u i v,

�v,

� � ��u AB= =2 1 0 1[ ] ( , , ),

12

012

, ,[ ] , ,AB� ��

= =32

1 1 132

1

x y z

x y

y z

x y

=

=

=

= =

2 2

2 2

3 2 0

32

; 1132

32

132

;

, ,

z

B

=

=

y zy z

2 33 2 0= =

x yx y= =

11 2

2 2 0

x y

x y

+ =

=

1 0

2 1 0

• Feixos de plans secants i feixos de plans paral.lels, pàg. 127.

Qüestions

39. És falsa, perquè els plans han de ser secants.

Així, x � 1 i x � 2 són les equacions generals dels plansrespectius, però:

no són les equacions implícites de cap recta, ja quecap punt P � (x, y, z) no les pot verificar.

40. El vector director de la recta és combinació lineal delsvectors directors del pla.

41. Considerant el sistema format per les equacions gene-rals dels quatre plans, calculant el rang de la seva ma-triu de coeficients M, de la seva matriu ampliada M�, ideterminant, quan calgui, si existeixen plans coinci-dents o paral.lels, d’acord amb la casuística següent:

• rang (M) � rang (M�) � 1: els quatre plans sóncoincidents.

• rang (M) � 1 i rang (M�) � 2: els quatre plans sónparal.lels. Cal determinar si existeixen plans coinci-dents.

• rang (M) � rang (M�) � 2: els quatre plans es tallenen una recta, pel teorema de Rouché-Frobenius. Caldeterminar si existeixen plans coincidents.

• rang (M) � 2 i rang (M�) � 3: els quatre plans noes tallen, però tenen una (i només una) direcció encomú, ja que rang (M) � 2. Cal determinar quinsplans són coincidents, quins plans són paral.lels iquins plans són secants en la mateixa recta.

• rang (M) � rang (M�) � 3: els quatre plans es tallenen un únic punt. Cal determinar quins plans sóncoincidents i quins plans són secants en la mateixarecta.

• rang (M) � 3 i rang (M�) � 4: els quatre plans noes tallen, i no tenen cap direcció en comú. Cal de-terminar quins plans són paral.lels (com a molt hoseran dos) i quins plans tenen una direcció comuna(o sigui, es tallen dos a dos).

— Si els quatre plans es tallen en una recta:

rang (M) = rang (M�) = 2


42. Un punt pertany a la recta r si i només si les seves co-ordenades verifiquen les equacions implícites de r:

3 0 2 2 11 7 0

2 2 3 1 2 1 0

+ =

=B r

3 3 2 1 11 0

2 1 3 0 2 0

+ =

=A r

x

x

=

=

1

2

103

6. G

eom

etria

afí

Les equacions implícites de la recta s són, doncs:

38.La recta s estarà continguda en el pla �. Aquest pla per-tany al feix de plans paral.lels a i passa pel punt A.

L’equació general d’un pla qualsevol d’aquest feix és:

x 2 y z +K =0 , K�

i el valor de K perquè el punt A pertanyi al pla és:

1 2 1 1 +K =0 K =2

L’equació general d’aquest pla és, doncs:

�: x 2 y z +2 =0

Si la recta talla el pla �en un únic punt, B, la recta sha de passar-hi, ja que r i s no poden ser paral.leles(perquè r no és paral.lela a �ni hi està continguda),sinó que es tallen en un punt, i com que B és l’únicpunt de r que està en �, pla que conté s, s’ha de tallarprecisament en B.

Comprovem si la intersecció de r amb �és un únicpunt, i en determinem les coordenades.

Per determinar la intersecció de r amb �, resolem el sistema format per l’equació general de �, x �2 y �z �2 �0, i per les equacions implícites der, que podem obtenir a partir de les seves equacionscontínues:


Per tant, com que A �(1, 1, 1) és un punt de s i un vector

director és

i, per tant, l’equació vectorial de s és: (x, y, z) =(1, 1, 1) +k (1, 0, 1).

ACTIVITATS

Abans de començar

•Equacions de la recta determinades pel punt A i el vec-torpàg. 112 i 113.

—Equacions del pla determinat pel punt A i els vectorspàg. 116 i 117.

•Posicions relatives de dues rectes (pàg. 120), de dos plans(pàg. 122), de tres plans (pàg. 124) i de recta i pla (pàg.126).

�� uiv,

�v,

��uAB == 2101 [](,,),

12

012

,, [],, AB��

==32

11132

1

xyz

xy

yz

xy

=

=

=

==

22

22

320

32

;1132

32

132

;

,,

z

B

=

=

yzyz

23320 ==

xyxy ==

112

220

xy

xy

+=

=

10

210

•Feixos de plans secants i feixos de plans paral.lels, pàg. 127.

Qüestions

39.És falsa, perquè els plans han de ser secants.

Així, x �1 i x �2 són les equacions generals dels plansrespectius, però:

no són les equacions implícites de cap recta, ja quecap punt P �(x, y, z) no les pot verificar.

40.El vector director de la recta és combinació lineal delsvectors directors del pla.

41.Considerant el sistema format per les equacions gene-rals dels quatre plans, calculant el rang de la seva ma-triu de coeficients M, de la seva matriu ampliada M�, ideterminant, quan calgui, si existeixen plans coinci-dents o paral.lels, d’acord amb la casuística següent:

•rang (M) �rang (M�) �1:els quatre plans sóncoincidents.

•rang (M) �1 i rang (M�) �2:els quatre plans sónparal.lels. Cal determinar si existeixen plans coinci-dents.

•rang (M) �rang (M�) �2:els quatre plans es tallenen una recta, pel teorema de Rouché-Frobenius. Caldeterminar si existeixen plans coincidents.

•rang (M) �2 i rang (M�) �3:els quatre plans noes tallen, però tenen una (i només una) direcció encomú, ja que rang (M) �2. Cal determinar quinsplans són coincidents, quins plans són paral.lels iquins plans són secants en la mateixa recta.

•rang (M) �rang (M�) �3:els quatre plans es tallenen un únic punt. Cal determinar quins plans sóncoincidents i quins plans són secants en la mateixarecta.

•rang (M) �3 i rang (M�) �4:els quatre plans noes tallen, i no tenen cap direcció en comú. Cal de-terminar quins plans són paral.lels (com a molt hoseran dos) i quins plans tenen una direcció comuna(o sigui, es tallen dos a dos).

—Si els quatre plans es tallen en una recta:

rang (M) =rang (M�) =2


42.Un punt pertany a la recta r si i només si les seves co-ordenades verifiquen les equacions implícites de r:

30221170

2231210

+=

=Br

3321110

213020

+=

=Ar

x

x

=

=

1

2

C M

Y K

104

6. Geom

etria afí

Un punt pertany a la recta r�si i només si correspon aun valor del paràmetre, és a dir, si és compatible el sis-tema:

en què (x, y, z) són les coordenades del punt.

43.Per tal que r passi per A, ha d’existir un valor de k peral qual:

(3, 2, 4) =(3, m, 1) +k (n, 1, 3) =

=(3 +k n, m +k, 1 3 k)

I si igualem component a component i imposem quees compleixin totes les equacions:

Per tant, per tal que el sistema tingui solució, han de ser:

1 n =0 n =0

1 =2 m m =1

44.Podem prendre com a punt de pas A �(2, 1, 0) i com avector director

o, per a una major comoditat,

amb la qual cosa l’equació vectorial d’aquesta recta és:

r: (x, y, z) =(2, 1, 0) +k (1, 1, 1)

Per a expressar-la com a intersecció de dos plans n’hiha prou d’obtenir-ne les equacions implícites:

xkkx

ykky

zkkz

==

=+=

==

22

1

11==x

yz2

11

��vAB ==

12

[](–1,1,1)

[](,,)(,,) AB��

== 023120222

33

2

413

0

2

33

=+

=+

=

=

=

==

kn

mk

k

kn

km

kk11

3113

422

211

kk

k

k

Cr

==

==

==

300

220

110

kk

k

k

Br

==

==

==

331

121

011

kk

k

k

Ar

==

==

==

3

1

kx

kyz

kz

=

=

=

3124110

243220

+=

=Cr

i desenvolupant la primera i la segona igualtats:

y 1 =z y z 1 =0

Així, l’expressió de la recta com a intersecció de dosplans és:

45.a)Com que coneixem un punt de pas i dos vectors di-rectors, l’equació general és:

2 x 4 y 7 z +15 =0

b)Com que tenim tres punts, en prenem un com apunt de pas, per exemple B �(0, 1, 0), i com avectors directors:

ja que són linealment independents.

Així som en la mateixa situació que en l’apartat an-terior:

c)El punt A �(3, 1, 4) és un punt del pla, i comque aquest ha de contenir la recta r, el punt B � (�2, 1, �3) ha de ser del pla i el vector

ha de ser vector director del pla, per-què ho són de la recta.

Tenim dos punts del pla, A i B, i un vector director,. Per a obtenir un altre vector director, n’hi ha

prou de considerar el que va de A a B:

=(2 3, 1 1, 3 4) =(5, 0, 7) o, per a fer-ho més senzill,

L’equació general del pla serà:

=14 x +13 y 10 z 15

14 x +13 y 10 z 15 =0

d)El feix de plans paral.lels al pla té per equació:

3 x 2 y +5 z +K =0

El valor de K per al qual el pla corresponent con-té el punt A �(2, 4, 0) és:

3 2 2 4 +5 0 +K =0 K =2

0

315

120

447

==

x

y

z

��uAB == [](,,). 507

��AB []

�v

�v=(,,) 124

0

31

100

01

3310 ===

x

y

z

yy ,

[](,,)(,,) BC��

== 101110101

[](,,)(,,) BA��

== 301100300

0

121

114

302

24715 =+=++

x

y

z

xyz

xy

yz

+=

=

30

10

xyxyxy ==+=

21

12130

104

6. G

eom

etria

afí

Un punt pertany a la recta r� si i només si correspon aun valor del paràmetre, és a dir, si és compatible el sis-tema:

en què (x, y, z) són les coordenades del punt.

43. Per tal que r passi per A, ha d’existir un valor de k peral qual:

(3, 2, 4) = (3, m, 1) + k (n, 1, 3) =

= (3 + k n, m + k, 1 3 k)

I si igualem component a component i imposem quees compleixin totes les equacions:

Per tant, per tal que el sistema tingui solució, han de ser:

1 n = 0 n = 0

1 = 2 m m = 1

44. Podem prendre com a punt de pas A � (2, 1, 0) i com avector director

o, per a una major comoditat,

amb la qual cosa l’equació vectorial d’aquesta recta és:

r: (x, y, z) = (2, 1, 0) + k ( 1, 1, 1)

Per a expressar-la com a intersecció de dos plans n’hiha prou d’obtenir-ne les equacions implícites:

x k kx

y k k y

z k k z

= =

= + =

= =

22

1

1 1 = =x

y z2

11

� � ��v AB= =

12

[ ] (–1, 1, 1)

[ ] ( , , ) ( , , )AB� ��

= =0 2 3 1 2 0 2 2 2

3 3

2

4 1 3

0

2

3 3

= +

= +

=

=

=

= =

kn

m k

k

kn

k m

k k 11

3 113

4 2 2

2 1 1

k k

k

k

C r

= =

= =

= =

3 0 0

2 2 0

1 1 0

k k

k

k

B r

= =

= =

= =

3 3 1

1 2 1

0 1 1

k k

k

k

A r

= =

= =

= =

3

1

k x

k y z

k z

=

=

=

3 1 2 4 11 0

2 4 3 2 2 0

+ =

=C r

i desenvolupant la primera i la segona igualtats:

y 1 = z y z 1 = 0

Així, l’expressió de la recta com a intersecció de dosplans és:

45. a) Com que coneixem un punt de pas i dos vectors di-rectors, l’equació general és:

2 x 4 y 7 z + 15 = 0

b) Com que tenim tres punts, en prenem un com apunt de pas, per exemple B � (0, 1, 0), i com avectors directors:

ja que són linealment independents.

Així som en la mateixa situació que en l’apartat an-terior:

c) El punt A � (3, 1, 4) és un punt del pla, i comque aquest ha de contenir la recta r, el punt B � (�2, 1, �3) ha de ser del pla i el vector

ha de ser vector director del pla, per-què ho són de la recta.

Tenim dos punts del pla, A i B, i un vector director,. Per a obtenir un altre vector director, n’hi ha

prou de considerar el que va de A a B:

= ( 2 3, 1 1, 3 4) = ( 5, 0, 7) o, per a fer-ho més senzill,

L’equació general del pla serà:

= 14 x + 13 y 10 z 15

14 x + 13 y 10 z 15 = 0

d) El feix de plans paral.lels al pla té per equació:

3 x 2 y + 5 z + K = 0

El valor de K per al qual el pla corresponent con-té el punt A � (2, 4, 0) és:

3 2 2 4 + 5 0 + K = 0 K = 2

0

3 1 5

1 2 0

4 4 7

= =

x

y

z

� � ��u AB= =[ ] ( , , ).5 0 7

� ��AB[ ]

�v

�v = ( , , )1 2 4

0

3 1

1 0 0

0 1

3 3 1 0= = =

x

y

z

y y,

[ ] ( , , ) ( , , )BC� ��

= =1 0 1 1 1 0 1 0 1

[ ] ( , , ) ( , , )BA� ��

= =3 0 1 1 0 0 3 0 0

0

1 2 1

1 1 4

3 0 2

2 4 7 15= + = + +

x

y

z

x y z

x y

y z

+ =

=

3 0

1 0

xy x y x y= = + =

21

1 2 1 3 0

CM

YK

105

6. Geom

etria afíL’equació general del pla buscat és:

3 x 2 y + 5 z + 2 = 0

46. Determinem el pla definit per tres d’aquests punts iveurem si el quart pertany a aquest pla o no.

Considerem, per exemple, el pla que conté els puntsA, B, D (que són els que tenen les coordenades méssenzilles).

Un punt és B � (0, 1, 2), i dos vectors directors:

Com que aquests dos vectors són linealment indepen-dents, una equació general del pla és:

Com que el punt C � (4, 4, 1) no verifica l’equació d’a-quest pla (ja que 4 � 1 � 3 � 0), que d’altra banda ésl’únic que conté A, B, D, en concloem que els quatrepunts no són coplanaris.

També es poden formar els vectors i de-terminar si són linealment dependents, és a dir, si eldeterminant format per les components dels tres vec-tors és igual a zero. En aquest cas, el determinant seràdiferent de zero perquè els quatre punts no són co-planaris.

47. Si el pla conté la recta, el punt P � (1, 1, 1) ha de serun punt del pla, i el vector un vectordirector del pla. Com que és un altrevector director del pla i és linealment independent amb

l’equació vectorial del pla buscat és:

: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (1, 2, 3) + (1, 1, 1)

48. Dues rectes determinen un pla (és a dir, existeix unúnic pla que les conté) si i només si són paral.leles osecants.

Determinarem, doncs, la posició relativa de r i r�. Pera fer-ho, com que vénen donades per les seves equa-cions implícites, estudiarem la compatibilitat del siste-ma que determinen:

Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada:

= = =M

5 1 0 7

0 0 1 0

1 1 1 1

3 1 0 0

5 1 7

1 1 1

3 1 0

5 7

0

1

3 0

x y

z

x y z

x y

+ =

=

+ =

=

�v,

�u = ( , , )1 2 3

�v = ( , , )1 1 1

AB AC i AD� ��

,

0

3 1

1 0 0

2 0 1

3 3 1 0= = =;

x

y

z

y y

[ ] ( , , ) ( , , )BD� ��

= =1 0 1 1 1 2 1 0 1

[ ] ( , , ) ( , , )BA� ��

= =3 0 1 1 2 2 3 0 0

= 22 0 rang (M�) = 4 rang (M) = 3

Com que rang (M�) � 4 i rang (M) � 3, les rectes notenen punts en comú ni són paral.leles (perquè si no,rang (M) � 2); per tant, les rectes s’encreuen. Així,doncs, no determinen un pla.

49. Un vector director de r és i un de r� és

Com que són linealment inde-

pendents; per tant, r i r� o bé s’encreuen o bé es tallen.

Si considerem el punt A � (1, 0, 1) de la recta r i elpunt B � (4, 2, 4) de la recta r�, el vector que deter-minen és:

són linealment dependents; per tant, les dues rectes estallen en un punt.

50. a) Com que les rectes vénen expressades per les sevesequacions vectorial i contínues, per a estudiar-nela posició relativa hem de començar per conèixerla dependència o independència lineal dels seusvectors directors.

Un vector director de r és (2, 3, 1) i un de r� és (2, 3, 1).

Com que són linealment dependents,

les rectes són paral.leles o coincidents.

Per a veure en quin cas estem, n’hi ha prou de veu-re si un punt de r, per exemple (1, 7, 0), compleixles equacions de r�:

Com que no les compleix, no és de r�, les rectes no poden ser coincidents. Així, r i r� són paral.le-les.

b) Expressem la recta r mitjançant les seves equa-cions implícites:

Observem que les equacions implícites de r,

són les mateixes que les de r�; per tant, totes duesrectes són coincidents.

x y

y z

=

+ =

2 3 0

3 3 0

y zy z

+= + =

11 3

3 3 0

x yx y=

+=

12

11

2 3 0

12

7 53

0 11+

32

33

11

= =

3 1 2

2 1 1

3 2 1

0= , [ ],els vectors AB u i v� �� Com que

[ ] ( , , ) ( , , )AB� ��

= =4 1 2 0 4 1 3 2 3

12

11

21

, � �u i v

�v = ( , , ).2 1 1

�u = ( , , ),1 1 2

= = =31 7

1 1

5 7

1 13 8 2( )

105

6. G

eom

etria

afí

L’equació general del pla buscat és:

3 x 2 y +5 z +2 =0

46.Determinem el pla definit per tres d’aquests punts iveurem si el quart pertany a aquest pla o no.

Considerem, per exemple, el pla que conté els puntsA, B, D (que són els que tenen les coordenades méssenzilles).

Un punt és B �(0, 1, 2), i dos vectors directors:

Com que aquests dos vectors són linealment indepen-dents, una equació general del pla és:

Com que el punt C �(4, 4, 1) no verifica l’equació d’a-quest pla (ja que 4 �1 �3 �0), que d’altra banda ésl’únic que conté A, B, D, en concloem que els quatrepunts no són coplanaris.

També es poden formar els vectors i de-terminar si són linealment dependents, és a dir, si eldeterminant format per les components dels tres vec-tors és igual a zero. En aquest cas, el determinant seràdiferent de zero perquè els quatre punts no són co-planaris.

47.Si el pla conté la recta, el punt P �(1, 1, 1) ha de serun punt del pla, i el vector un vectordirector del pla. Com que és un altrevector director del pla i és linealment independent amb

l’equació vectorial del pla buscat és:

: (x, y, z) =(1, 1, 1) +(1, 2, 3) +(1, 1, 1)

48.Dues rectes determinen un pla (és a dir, existeix unúnic pla que les conté) si i només si són paral.leles osecants.

Determinarem, doncs, la posició relativa de r i r�. Pera fer-ho, com que vénen donades per les seves equa-cions implícites, estudiarem la compatibilitat del siste-ma que determinen:


=== M

5107

0010

1111

3100

517

111

310

57

0

1

30

xy

z

xyz

xy

+=

=

+=

=

�v,

�u=(,,) 123

�v=(,,) 111

ABACiAD��

,

0

31

100

201

3310 === ;

x

y

z

yy

[](,,)(,,) BD��

== 101112101

[](,,)(,,) BA��

== 301122300

=22 0 rang (M�) =4 rang (M) =3

Com que rang (M�) �4 i rang (M) �3, les rectes notenen punts en comú ni són paral.leles (perquè si no,rang (M) �2); per tant, les rectes s’encreuen. Així,doncs, no determinen un pla.

49.Un vector director de r és i un de r�és

Com que són linealment inde-

pendents; per tant, r i r�o bé s’encreuen o bé es tallen.

Si considerem el punt A �(1, 0, 1) de la recta r i elpunt B �(4, 2, 4) de la recta r�, el vector que deter-minen és:

són linealment dependents; per tant, les dues rectes estallen en un punt.

50.a)Com que les rectes vénen expressades per les sevesequacions vectorial i contínues, per a estudiar-nela posició relativa hem de començar per conèixerla dependència o independència lineal dels seusvectors directors.

Un vector director de r és (2, 3, 1) i un de r�és (2, 3, 1).

Com quesón linealment dependents,

les rectes són paral.leles o coincidents.

Per a veure en quin cas estem, n’hi ha prou de veu-re si un punt de r, per exemple (1, 7, 0), compleixles equacions de r�:

Com que no les compleix, no és de r�, les rectes no poden ser coincidents. Així, r i r�són paral.le-les.

b)Expressem la recta r mitjançant les seves equa-cions implícites:

Observem que les equacions implícites de r,

són les mateixes que les de r�; per tant, totes duesrectes són coincidents.

xy

yz

=

+=

230

330

yzyz

+=+=

113

330

xyxy =

+=

12

11

230

12

753

011+

32

33

11

==

312

211

321

0 =,[], elsvectorsABuiv�� Com que

[](,,)(,,) AB��

== 412041323

12

11

21

,�� uiv

�v=(,,). 211

�u=(,,), 112

=== 317

11

57

11382 ()

C M

Y K

106

6. Geom

etria afí

c)Un vector director de r és i un vec-

tor director de r�és Vegem quina

relació de dependència lineal mantenen:

són linealment indepen-

dents.

Per tant, les rectes o es tallen o s’encreuen.

Per a veure en quina situació som, hem de veure siel vector que va d’un punt qualsevol de r, perexemple A �(3, �1, 0), a un punt qualsevol de r�,per exemple B �(4, 1, 3), és linealment depen-dent o no amb

Per tant, són linealment indepen-dents, la qual cosa significa que les dues rectess’encreuen.

d)Un vector director de r és i un de

r�ésCom que aquests

vectors són linealment independents i les rectes estallen o s’encreuen.

Per veure quin és el cas, hem de considerar un vec-tor que vagi d’un punt de r a un punt de r�i veuresi és linealment dependent amb

Si prenem A �(0, 1, 2) r i B �(1, 0, �1) r�,

són linealment independents.

Per tant, les dues rectes s’encreuen.

e)Obtenim les equacions implícites de r:

xy

xy

yzyz

==

=+

++=

25

5100

53

445150

xkkx

ykky

zkkz

=+=

==

==+

22

55

343

4

[], ABuiv��

131

153

344

120 =

[](,,)(,,), AB��

== 100112113

�� uv ,.

31

53

44

,�v=(,,). 134

�u=(,,), 354

��uviAB ,[]

== 1111

33660

F2F22 F1

113

225

330

113

0011

33

=

00

=

[](,(),)(,,) AB��

== 431130123

�� uiv:

13

25

30

�� uiv

�v=(,,). 350

�u=(,,), 123Estudiem la compatibilitat del sistema definit perles equacions implícites:

Determinem els rangs de M i M�:

Hem obtingut que rang (M) �rang (M�) �3; pertant, les dues rectes es tallen.

Per trobar les coordenades del punt de tall reso-lem el sistema equivalent a l’inicial:

El punt de tall és, doncs, el de coordenades (2, 0, �3).

51.Perquè dues rectes es tallin, el sistema format per lesseves equacions implícites ha de tenir rang (M)��rang (M�)�3.

xyz

xyz

xyz

xyz

++=

+=

=

+=

2

238

1

2

xz

yz

z

xyz

+=

=

=

===

1

3

3

20 ,,3

101

011

001

000

1

3

3

0

F4F4+4 F3

——————�

101

011

001

004

1

3

3

12

F3F3+4 F2F4F4F2

——————�

101

011

045

015

1

3

15

15

F2F3

———�

101

045

011

015

1

15

3

15

F3F3F1F4F45 F1

——————�

101

045

110

510

1

15

2

10

F1F4

———�

510

045

110

101

10

15

2

1

510

4515

2

1

xy

yz

xy

xz

=

+=

=

+=

106

6. G

eom

etria

afí

c) Un vector director de r és i un vec-

tor director de r� és Vegem quina

relació de dependència lineal mantenen:

són linealment indepen-

dents.

Per tant, les rectes o es tallen o s’encreuen.

Per a veure en quina situació som, hem de veure siel vector que va d’un punt qualsevol de r, perexemple A � (3, �1, 0), a un punt qualsevol de r�,per exemple B � (4, 1, 3), és linealment depen-dent o no amb

Per tant, són linealment indepen-dents, la qual cosa significa que les dues rectess’encreuen.

d) Un vector director de r és i un de

r� és Com que aquests

vectors són linealment independents i les rectes estallen o s’encreuen.

Per veure quin és el cas, hem de considerar un vec-tor que vagi d’un punt de r a un punt de r� i veuresi és linealment dependent amb

Si prenem A � (0, 1, 2) r i B � (1, 0, �1) r�,

són linealment independents.

Per tant, les dues rectes s’encreuen.

e) Obtenim les equacions implícites de r:

xy

x y

y zy z

= =

=+

+ + =

25

5 10 0

53

44 5 15 0

x k k x

y k ky

z k kz

= + =

= =

= =+

2 2

55

3 43

4

[ ],AB u i v� ��

1 3 1

1 5 3

3 4 4

12 0=

[ ] ( , , ) ( , , ),AB� ��

= =1 0 0 1 1 2 1 1 3

� �u v, .

31

53

44

,�v = ( , , ).1 3 4

�u = ( , , ),3 5 4

� � � ��u v i AB, [ ]

= =111 1

3 366 0

F2 F2 2 F1

1 1 3

2 2 5

3 3 0

1 1 3

0 0 11

3 3

=

00

=

[ ] ( , ( ), ) ( , , )AB� ��

= =4 3 1 1 3 0 1 2 3

� �u i v:

13

25

30

� �u i v

�v = ( , , ).3 5 0

�u = ( , , ),1 2 3 Estudiem la compatibilitat del sistema definit perles equacions implícites:

Determinem els rangs de M i M�:

Hem obtingut que rang (M) � rang (M�) � 3; pertant, les dues rectes es tallen.

Per trobar les coordenades del punt de tall reso-lem el sistema equivalent a l’inicial:

El punt de tall és, doncs, el de coordenades (2, 0, �3).

51. Perquè dues rectes es tallin, el sistema format per lesseves equacions implícites ha de tenir rang (M) �� rang (M�) � 3.

x y z

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ =

=

+ =

2

2 3 8

1

2

x z

y z

z

x y z

+ =

=

=

= = =

1

3

3

2 0, , 3

1 0 1

0 1 1

0 0 1

0 0 0

1

3

3

0

F4 F4 + 4 F3

——————�

1 0 1

0 1 1

0 0 1

0 0 4

1

3

3

12

F3 F3 + 4 F2F4 F4 F2

——————�

1 0 1

0 1 1

0 4 5

0 1 5

1

3

15

15

F2 F3

———�

1 0 1

0 4 5

0 1 1

0 1 5

1

15

3

15

F3 F3 F1F4 F4 5 F1

——————�

1 0 1

0 4 5

1 1 0

5 1 0

1

15

2

10

F1 F4

———�

5 1 0

0 4 5

1 1 0

1 0 1

10

15

2

1

5 10

4 5 15

2

1

x y

y z

x y

x z

=

+ =

=

+ =

CM

YK

107

6. Geom

etria afíEsglaonem la matriu M� per determinar el seu rang iel de M en funció del valor de :

Per tant, rang (M) � rang (M�) � 3 2 � � 0 � 2.

En aquest cas, el punt de tall serà la solució del se-güent sistema esglaonat, equivalent a l’inicial:

El punt de tall és P � (1, 2, �1 ).

52. Com que la recta ha de passar per l’origen, aquest,O � (0, 0, 0), serà un punt de pas.

Per a trobar un vector director, imposarem que siguiparal.lela, és a dir, que tingui el mateix vector directorque la recta intersecció dels plans 1 i 2, és a dir, d’e-quació implícita:

Per a trobar el vector director d’aquesta recta, expres-sem les coordenades dels punts de la recta en funciód’un paràmetre, i obtenim així unes equacions pa-ramètriques: els coeficients del paràmetre són elscomponents d’un vector director.

i si prenem z com a paràmetre:

x z

x y z

x k

y k

z k

=

+ = +

=

= +

=

1 2

3 2

1 2

13

x z

x y z

+ =

+ =

2 1

3 2

x z

x y z

+ + =

+ + =

2 1 0

3 2 0

x y z

y z

z

x y

+ + =

=

=

= =,

2

4 6

1

1 2 , z = 1

1 1 1

0 1 4

0 0 1

0 0 0

2

6

1

2

F4 F4 + (5 + 5 ) F3

—————————�

1 1 1

0 1 4

0 0 1

0 0 5 5

2

6

+

1

7 4

F4F3 —8

———�

1 1 1

0 1 4

0 0 5 5

0 0 8

2

6

7 4+

8

F3 F3 + (1 + ) F2F4 F4 + 2 F2

—————————�

1 1 1

0 1 4

0 1 1

0 2 0

2

6

1 2

4

F2 F2 F1F3 F3 F1F4 F4 F1

——————�

1 1 1

1 2 3

1 1

1 1 1

2

8

1

2

Un vector director de la recta donada, i per tant de labuscada, és (�2, 1, 1).

Així, l’equació vectorial de la recta buscada és:

r: (x, y, z) = (0, 0, 0) + k ( 2, 1, 1)

i a partir d’aquesta podem obtenir totes les altres.


Equacions contínues:

Equacions implícites:

53. a) els plans són secants.

b) Determinem l’equació general de a partir d’unpunt de pas, P � (0, 3, 0), i de dos vectors direc-tors,

x y z + 3 = 0

Com que els plans són pa-

ral.lels.

c) Determinem l’equació general de tenint encompte que un punt de pas és P � (1, �7, 0) i dosvectors directors linealment independents són

4 x + 8 y + 5 z + 52 = 0

Com que els plans són paral-

lels.

54. L’equació de en funció de � és l’equació del feixde plans secants en la recta r que no inclou el pla a�x � b�y � c�z � d�.

En efecte:

ax � by � cz � d i a�x � b�y � c�z � d� són les equa-cions generals de dos plans que contenen r; per tant,l’equació general de qualsevol pla que conté r és:

(ax + by + cz d) + (a�x + b�y + c�z d�) = 0

i si � 0 (és a dir, si no considerem el pla a�x � � b�y � c�z � d�), podem dividir per i, definint

tenim:= ,

44

88

55

352

= = ,

0

1 1 2

7 3 1

4 0

4 8 5 52= + = + + +

x

y

z

x y z

� �u i v= =( , , ) ( , , )1 3 4 2 1 0 :

11

11

11

33

= = ,

0

1 1

3 0 1

1 2

3= = +

x

y

z

x y z

� �u i v= =( , , ) ( , , )1 0 1 1 1 2 :

31

21

x y

y z

+ =

=

2 0

0

xy z= =

2

x k

y k

z k

=

=

=

2

107

6. G

eom

etria

afí

Esglaonem la matriu M�per determinar el seu rang iel de M en funció del valor de :

Per tant, rang (M) �rang (M�) �3 2 ��0 �2.

En aquest cas, el punt de tall serà la solució del se-güent sistema esglaonat, equivalent a l’inicial:

El punt de tall és P �(1, 2, �1 ).

52.Com que la recta ha de passar per l’origen, aquest,O �(0, 0, 0), serà un punt de pas.

Per a trobar un vector director, imposarem que siguiparal.lela, és a dir, que tingui el mateix vector directorque la recta intersecció dels plans 1i 2, és a dir, d’e-quació implícita:

Per a trobar el vector director d’aquesta recta, expres-sem les coordenades dels punts de la recta en funciód’un paràmetre, i obtenim així unes equacions pa-ramètriques: els coeficients del paràmetre són elscomponents d’un vector director.

i si prenem z com a paràmetre:

xz

xyz

xk

yk

zk

=

+=+

=

=+

=

12

32

12

13

xz

xyz

+=

+=

21

32

xz

xyz

++=

++=

210

320

xyz

yz

z

xy

++=

=

=

== ,

2

46

1

12,z=1

111

014

001

000

2

6

1

2

F4F4+(5 +5 ) F3

—————————�

111

014

001

0055

2

6

+

1

74

F4F3—

8———�

111

014

0055

008

2

6

74 +

8

F3F3+(1 +) F2F4F4+2 F2

—————————�

111

014

011

020

2

6

12

4

F2F2F1F3F3F1F4F4F1

——————�

111

123

11

111

2

8

1

2

Un vector director de la recta donada, i per tant de labuscada, és (�2, 1, 1).


r: (x, y, z) =(0, 0, 0) +k(2, 1, 1)

i a partir d’aquesta podem obtenir totes les altres.


Equacions contínues:

Equacions implícites:

53.a)els plans són secants.

b)Determinem l’equació general de a partir d’unpunt de pas, P �(0, 3, 0), i de dos vectors direc-tors,

x y z +3 =0

Com que els plans són pa-

ral.lels.

c)Determinem l’equació general de tenint encompte que un punt de pas és P �(1, �7, 0) i dosvectors directors linealment independents són

4 x +8 y +5 z +52 =0

Com que els plans són paral-

lels.

54.L’equació de en funció de �és l’equació del feixde plans secants en la recta r que no inclou el pla a�x �b�y �c�z �d�.

En efecte:

ax �by �cz �d i a�x �b�y �c�z �d�són les equa-cions generals de dos plans que contenen r; per tant,l’equació general de qualsevol pla que conté r és:

(ax +by +cz d) +(a�x +b�y +c�z d�) =0

i si �0 (és a dir, si no considerem el pla a�x � �b�y �c�z �d�), podem dividir per i, definint

tenim: =,

44

88

55

352

==,

0

112

731

40

48552 =+=+++

x

y

z

xyz

�� uiv == (,,)(,,) 134210:

11

11

11

33

==,

0

11

301

12

3 ==+

x

y

z

xyz

�� uiv == (,,)(,,) 101112:

31

21

xy

yz

+=

=

20

0

xyz ==

2

xk

yk

zk

=

=

=

2

C M

Y K

108

6. Geom

etria afí

ax +by +cz d +(a�x +b�y +c�z d�) =0

(a +a�) x +(b +b�) y +(c +c�) z =d +d�

Per tant, per a qualsevol valor de , aquest pla con-tindrà r:

—Tal com acabem de veure, l’equació d’un pla qual-sevol que contingui la recta r�, diferent del pla x �y �z �1, és:

(1 +) x +(1) y +(1 ) z =2 +

Determinem el valor de necessari perquè, a més,el pla del feix contingui el punt (0, 1, 2):

(1 +) 0 +(1) 1 +(1 ) 2 =2 +

Per tant, l’equació general del pla buscat és:

55.El pla no és coincident amb el pla x +2 y z +

+1 �0, perquè per tant, n’hi

ha prou de veure si el pla pertany al feix de plans sen-se tenir en compte el valor �0.

Aleshores, podem dividir els dos membres de l’equa-

ció del feix per i, definintn’hi ha prou de

veure si existeix algun valor de per al qual l’equació:

(x +2 y z +1) +2 x y +3 =0

(+2) x +(2 1) y z ++3 =0

és la del pla .

Dit d’una altra manera, volem veure si per a algun va-lor de són coincidents els plans d’equacions:

(+2) x +(2 1) y z ++3 =0

i3 x 4 y +z +5 =0

Perquè això succeeixi, els coeficients han de ser pro-porcionals, és a dir, s’ha de complir:

que és equivalent al sistema:

+=

=

=+

23

214

2141

13

5

+===

+ 23

2141

35

=

31

42

11

51

,

12

32

32

32

3330 xyzxyz +=+= ,

=212

112

12

1112

++ xyz==

+=+= 122212

,

Per tant, aquest sistema té solució, per la qual

cosa el pla pertany al feix de plans (prenent, per

exemple,

56.Com que tots els plans vénen donats per la seva equa-ció general, per estudiar-ne la posició relativa hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions generals. Per a fer-ho, calcularem elrang de les matrius de coeficients, M, i de les matriusampliades, M�, d’aquest sistema:

a)

Així, rang (M) �rang (M�) �2; per tant, els tresplans tenen en comú una recta. Vegem si hi haplans coincidents:

1i 2no són coincidents.




b)

120

314

125

2

5

0

F1F2

———�

314

120

125

5

2

0

345

22

250

xyz

xy

xyz

++=

=

++=

13

13

13

23

11

21

123

034

000

1

5

0

F3F3F2

—————�

123

034

034

1

5

5

F2F2F1F3F33 F1

——————�

123

111

335

1

4

2

xyz

xyz

xyz

+=

+=

+=

231

4

3352

==== 1212

,. ijaque

=12

,

=

=

=+

=

=

486

214

53

1211212

=

108

6. G

eom

etria

afí

ax + by + cz d + (a�x + b�y + c�z d�) = 0

(a + a�) x + (b + b�) y + (c + c�) z = d + d�

Per tant, per a qualsevol valor de , aquest pla con-tindrà r:

— Tal com acabem de veure, l’equació d’un pla qual-sevol que contingui la recta r�, diferent del pla x � y � z � 1, és:

(1 + ) x + ( 1) y + (1 ) z = 2 +

Determinem el valor de necessari perquè, a més,el pla del feix contingui el punt (0, 1, 2):

(1 + ) 0 + ( 1) 1 + (1 ) 2 = 2 +

Per tant, l’equació general del pla buscat és:

55. El pla no és coincident amb el pla x + 2 y z +

+ 1 � 0, perquè per tant, n’hi

ha prou de veure si el pla pertany al feix de plans sen-se tenir en compte el valor � 0.

Aleshores, podem dividir els dos membres de l’equa-

ció del feix per i, definint n’hi ha prou de

veure si existeix algun valor de per al qual l’equació:

(x + 2 y z + 1) + 2 x y + 3 = 0

( + 2) x + (2 1) y z + + 3 = 0

és la del pla .

Dit d’una altra manera, volem veure si per a algun va-lor de són coincidents els plans d’equacions:

( + 2) x + (2 1) y z + + 3 = 0

i3 x 4 y + z + 5 = 0

Perquè això succeeixi, els coeficients han de ser pro-porcionals, és a dir, s’ha de complir:

que és equivalent al sistema:

+=

=

=+

23

2 14

2 14 1

13

5

+= = =

+23

2 14 1

35

=

31

42

11

51

,

12

32

32

32

3 3 3 0x y z x y z+ = + =,

= 212

112

12

1 112

+ +x y z ==

+ = + =1 2 2 212

,

Per tant, aquest sistema té solució, per la qual

cosa el pla pertany al feix de plans (prenent, per

exemple,

56. Com que tots els plans vénen donats per la seva equa-ció general, per estudiar-ne la posició relativa hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions generals. Per a fer-ho, calcularem elrang de les matrius de coeficients, M, i de les matriusampliades, M�, d’aquest sistema:

a)

Així, rang (M) � rang (M�) � 2; per tant, els tresplans tenen en comú una recta. Vegem si hi haplans coincidents:

1 i 2 no són coincidents.




b)

1 2 0

3 1 4

1 2 5

2

5

0

F1 F2

———�

3 1 4

1 2 0

1 2 5

5

2

0

3 4 5

2 2

2 5 0

x y z

x y

x y z

+ + =

=

+ + =

13

13

13

23

11

21

1 2 3

0 3 4

0 0 0

1

5

0

F3 F3 F2

—————�

1 2 3

0 3 4

0 3 4

1

5

5

F2 F2 F1F3 F3 3 F1

——————�

1 2 3

1 1 1

3 3 5

1

4

2

x y z

x y z

x y z

+ =

+ =

+ =

2 3 1

4

3 3 5 2

= = = =1 212

, .i ja que

=12

,

=

=

= +

=

=

4 8 6

2 1 4

5 3

1211212

=

CM

YK

109

6. Geom

etria afí

Com que rang (M) � rang (M�) � 3, els tres planses tallen en un punt.

c)

Com que rang (M) � 2 i rang (M�) � 3, els tresplans no es tallen i només tenen una direcció encomú. Determinem si hi ha paral.lelismes:

1 i 2 no són paral.lels.

1 i 3 són paral.lels.

Per tant, 1 i 3 són paral.lels i secants a 2.

57. Perquè els tres plans es tallin en una recta, el sistemaformat per les seves equacions generals ha de tenirrang (M) � rang (M�) � 2.

Calculem els rangs d’aquestes matrius esglaonant M�:

s’ha de complir:

0

1 1 0

0 1

0 0 1

1 1=

+

= + =( ) ( )

( ) ,M rang=

+

=

1 1 0

0 1

0 0 1

2Perquè el rang

1 1 0

0 1

0 0 1

1

0+

F3 F3 + F2

—————�

1 1 0

0 1

0

1F2 F2 F1F3 F3 F1

——————�

1 1 0

0 1

1 1

1

0

1+ +

12

24

12

= =

11

23

12

1 2 1

0 1 3

0 0 0

1

4

9

F2 F2 F1F3 F3 2 F1

——————�

1 2 1

1 3 2

2 4 2

1

3

7

x y z

x y z

x y z

+ =

+ + =

+ + =

2 1

3 2 3

2 4 2 7

1 2 0

0 7 4

0 0197

2

1

107

4F3 F3 — F27

———————�

1 2 0

0 7 4

0 4 5

2

1

2

F2 F2 3 F1F3 F3 F1

——————�

= ( + 1) = 0 o = 1

En tots dos casos, rang (M�) � 2, ja que:

• Si = 0,

F3 F3 F2

• Si = 1,

Per tant, els tres plans es tallen en una recta si i noméssi � 0 o � �1.

58. Com que les equacions implícites d’una recta són elsistema format per les equacions generals de dos plans(diferents) que la continguin, les equacions implícitesde la recta r � 1 � 2 són:

Les equacions implícites de la recta s � 1 � 3 són:

Per a esbrinar la posició relativa de les rectes r i s, hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions implícites. A més, com que l’equaciógeneral de 1 es troba en tots dos conjunts d’equa-cions implícites, aquest sistema serà equivalent a:

Calculem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:

Com que rang (M) � rang (M�) � 3, les dues rectes estallen en un punt.

1 1 1

0 2 2

0 0 2

1

1

0

F3 F3 F2

—————�

1 1 1

0 2 2

0 2 0

1

1

1

F2 F2 F1F3 F3 F1

—————�

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

0

0

x y z

x y z

x y z

+ + =

=

+ =

1

0

0

x y z

x y z

+ + =

+ =

1

0

x y z

x y z

+ + =

=

1

0

rang M rang( ) = =

1 1 0

0 1 1

0 0 0

1

1

0

2

= =rang

1 1 0

0 0 1

0 0 0

1

0

0

2

rang M rang( ) = =

1 1 0

0 0 1

0 0 1

1

0

0

109

6. G

eom

etria

afí

Com que rang (M) �rang (M�) �3, els tres planses tallen en un punt.

c)

Com que rang (M) �2 i rang (M�) �3, els tresplans no es tallen i només tenen una direcció encomú. Determinem si hi ha paral.lelismes:

1i 2no són paral.lels.

1i 3són paral.lels.

Per tant, 1i 3són paral.lels i secants a 2.

57.Perquè els tres plans es tallin en una recta, el sistemaformat per les seves equacions generals ha de tenirrang (M) �rang (M�) �2.

Calculem els rangs d’aquestes matrius esglaonant M�:

s’ha de complir:

0

110

01

001

11 =

+

=+= ()()

(), Mrang =

+

=

110

01

001

2 Perquè el rang

110

01

001

1

0 +

F3F3+F2

—————�

110

01

0

1F2F2F1F3F3F1

——————�

110

01

11

1

0

1 ++

12

24

12

==

11

23

12

121

013

000

1

4

9

F2F2F1F3F32 F1

——————�

121

132

242

1

3

7

xyz

xyz

xyz

+=

++=

++=

21

323

2427

120

074

00197

2

1

107

4F3F3—F2

7———————�

120

074

045

2

1

2

F2F23 F1F3F3F1

——————�

=(+1) =0 o =1

En tots dos casos, rang (M�) �2, ja que:

•Si =0,

F3F3F2

•Si =1,

Per tant, els tres plans es tallen en una recta si i noméssi �0 o ��1.

58.Com que les equacions implícites d’una recta són elsistema format per les equacions generals de dos plans(diferents) que la continguin, les equacions implícitesde la recta r �1�2són:

Les equacions implícites de la recta s �1�3són:

Per a esbrinar la posició relativa de les rectes r i s, hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions implícites. A més, com que l’equaciógeneral de 1es troba en tots dos conjunts d’equa-cions implícites, aquest sistema serà equivalent a:


Com que rang (M) �rang (M�) �3, les dues rectes estallen en un punt.

111

022

002

1

1

0

F3F3F2

—————�

111

022

020

1

1

1

F2F2F1F3F3F1

—————�

111

111

111

1

0

0

xyz

xyz

xyz

++=

=

+=

1

0

0

xyz

xyz

++=

+=

1

0

xyz

xyz

++=

=

1

0

rangMrang ()==

110

011

000

1

1

0

2

== rang

110

001

000

1

0

0

2

rangMrang ()==

110

001

001

1

0

0

C M

Y K

110

6. Geom

etria afí

El punt és

59.Com que el pla ve donat per la seva equació general ila recta per les seves equacions implícites, per a estu-diar-ne la posició relativa el més senzill és estudiar lacompatibilitat del sistema format per aquestes equa-cions:

a)


Com que rang (M) �rang (M�) �3, la recta i elpla es tallen en un punt.

El punt de tall és

b)

i si esglaonem M�:

Com que rang (M) �rang (M�) �3, la recta és se-cant al pla.

El punt de tall és

60.Determinem en primer lloc les equacions implícitesde r.

Com que A �(1, 0, 1) i B �(3, 1, �4) són punts de

pas, el vector =(2, 1, 5)és un vector director de la recta. Per tant, una equació

[](,,) AB��

=311041

326

1526

0 ,,.

150

0260

001

3

15

0

F2F25 F1

——————�

150

510

001

3

0

0

F1F2

———�

510

150

001

0

3

0

50

53

0

xy

xy

z

+=

=

=

2135

2135

115

,,.

131

071

0057

1

2

117

2F3F3—F2

7——————�

131

071

021

1

2

1

F2F22 F1F3F3F1

——————�

131

211

110

1

4

0

xyz

xyz

xy

++=

+=

+=

31

24

0

12

12

0 ,,.vectorial de r és:

(x, y, z) =(1, 0, 1) +k (2, 1, 5)

A partir d’aquesta, podem obtenir les equacions im-plícites de r:

Trobem ara el valor de m per al qual r és secant a r�, ésa dir, perquè el sistema d’equacions format per lesequacions implícites de r i r�sigui compatible deter-minat.

i si esglaonem la matriu ampliada, M�:

El teorema de Rouché-Frobenius ens diu que el siste-ma d’equacions és compatible determinat si i noméssi rang (M) �rang (M�) �3, i com que:

m 1 =0

rangMrang

m

()=

120

010

001

000

1

0

1

1

=3

120

010

001

000

1

0

1

1 m

F3F4

———�

120

010

000

001

1

0

1

1

mF4F45 F2

——————�

120

010

000

051

1

0

1

1

mF2F4

———�

120

051

000

010

1

1

1

0

m

F3F3F1F4F4F1

—————�

120

051

120

110

1

1

0

m

xy

yz

xym

xy

=

+=

=

=

21

51

2

1

xyxy

yz

yz

==

=+=

12

210

15

510

xk

yk

zk

xy

z=+

=

=

==

12

15

12

15

110

6. G

eom

etria

afí

El punt és

59. Com que el pla ve donat per la seva equació general ila recta per les seves equacions implícites, per a estu-diar-ne la posició relativa el més senzill és estudiar lacompatibilitat del sistema format per aquestes equa-cions:

a)


Com que rang (M) � rang (M�) � 3, la recta i elpla es tallen en un punt.

El punt de tall és

b)

i si esglaonem M�:

Com que rang (M) � rang (M�) � 3, la recta és se-cant al pla.

El punt de tall és

60. Determinem en primer lloc les equacions implícitesde r.

Com que A � (1, 0, 1) i B � (3, 1, �4) són punts de

pas, el vector = (2, 1, 5)és un vector director de la recta. Per tant, una equació

[ ] ( , , )AB� ��

= 3 1 1 0 4 1

326

1526

0, , .

1 5 0

0 26 0

0 0 1

3

15

0

F2 F2 5 F1

——————�

1 5 0

5 1 0

0 0 1

3

0

0

F1 F2

———�

5 1 0

1 5 0

0 0 1

0

3

0

5 0

5 3

0

x y

x y

z

+ =

=

=

2135

2135

115

, , .

1 3 1

0 7 1

0 057

1

2

117

2F3 F3 — F27

——————�

1 3 1

0 7 1

0 2 1

1

2

1

F2 F2 2 F1F3 F3 F1

——————�

1 3 1

2 1 1

1 1 0

1

4

0

x y z

x y z

x y

+ + =

+ =

+ =

3 1

2 4

0

12

12

0, , .vectorial de r és:

(x, y, z) = (1, 0, 1) + k (2, 1, 5)

A partir d’aquesta, podem obtenir les equacions im-plícites de r:

Trobem ara el valor de m per al qual r és secant a r�, ésa dir, perquè el sistema d’equacions format per lesequacions implícites de r i r� sigui compatible deter-minat.

i si esglaonem la matriu ampliada, M�:

El teorema de Rouché-Frobenius ens diu que el siste-ma d’equacions és compatible determinat si i noméssi rang (M) � rang (M�) � 3, i com que:

m 1 = 0

rang M rang

m

( ) =

1 2 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

1

0

1

1

= 3

1 2 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

1

0

1

1m

F3 F4

———�

1 2 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1

1

0

1

1

mF4 F4 5 F2

——————�

1 2 0

0 1 0

0 0 0

0 5 1

1

0

1

1

mF2 F4

———�

1 2 0

0 5 1

0 0 0

0 1 0

1

1

1

0

m

F3 F3 F1F4 F4 F1

—————�

1 2 0

0 5 1

1 2 0

1 1 0

1

1

0

m

x y

y z

x y m

x y

=

+ =

=

=

2 1

5 1

2

1

xy x y

yz

y z

= =

= + =

12

2 1 0

15

5 1 0

x k

y k

z k

xy

z= +

=

=

= =

1 2

1 5

12

15

CM

YK

111

6. Geom

etria afítenim que el valor del paràmetre perquè r i r� es tallinen un punt és m � 1.

Finalment, podem trobar les coordenades del punt detall resolent el sistema d’equacions, equivalent a l’inicial:

El punt de tall és el de coordenades (1, 0, 1).

61. Trobem les equacions paramètriques de s� per poderdeterminar un vector director d’aquesta recta.

Per a fer-ho, resolem el sistema d’equacions constituïtper les equacions implícites de s� prenent com a parà-metre y � k:

Les equacions paramètriques de s� són:

Per tant, o millor encara, el vector

és un vector director de s�.

Com que un vector director de s és i duesrectes són paral.leles si i només si els seus vectors direc-tors són linealment dependents, s’ha de complir:

és a dir:

14

3

32 1

9

1 12

27 2 1

=

=+

=

= +

m

m

m

m

m ==

=

13

13m

14

31

2 19

= =+m m

�v = ( , , )4 1 9

�v m m= +( , , ),1 3 2 1

13

12 1

3

+m m, , ,

xm

k

y k

xm

k

=

=

= ++

13

12 1

3

=+ + +

= ++1 2 2

31

2 13

k mk mk

z

mk

k=

+=

1 1

2 1

1 1

2 1

=+ +

=1 1

31

3mk k m

k

x

mk

k=

+=

1 1

1 1

1 1

2 1

x z my

x z y

x z mk

x z k

=

+ = +

=

+ = +

1

2 1

1

2 1

x y

y

z

x y z

=

=

=

= = =

2 1

0

1

1 0 1, ,

El valor buscat és m � 13.

62. La determinació de la posició relativa d’una recta i unpla es fa a partir de l’estudi dels rangs de les matriusM i M� associades al sistema format per les equacionsimplícites de la recta i l’equació general del pla. En elnostre cas:

I si calculem el determinant de M:

= 9 m 6 + m2 4 = m2 + 9 m 10

Com que 0 = �M� = m2 + 9 m 10 m = 1 o m == 10, tenim que:

• Si m � 1 i m � �10, �M� � 0 rang (M) � 3 rang (M�) � 3; per tant, en aquest cas el pla i la

recta es tallen en un punt.

• Si m � 1, tenim el sistema:

I si calculem els rangs de M i M�:

Per tant, rang (M) � rang (M�) � 2 i en aquest casel pla conté la recta.

• Si m � �10, tenim el sistema:


Per tant, rang (M) � 2 i rang (M�) � 3; així, doncs,en aquest cas la recta és paral.lela al pla.

= 22 0 rang (M�) = 3

10 3 1

3 1 1

2 1 1

= 5 0 rang (M) = 2 i rang (M�) 23 1

2 1

+ =

+ =

=

10 3 2 1

3 1

2 10 1

x y z

x y

x y z

1 3 1

3 1 1

2 1 1

0 3= <( )rang M

= 5 0 rang (M) = 2, rang (M�) 23 1

2 1

x y z

x y

x y z

+ =

+ =

+ =

3 2 1

3 1

2 1

M

m

mm

m

m= = + =

3 2

3 1 0

2 1

33 2

1

2

2

mx y z

x y

x y mz

+ =

+ =

+ =

3 2 1

3 1

2 1

111

6. G

eom

etria

afí

tenim que el valor del paràmetre perquè r i r�es tallinen un punt és m �1.

Finalment, podem trobar les coordenades del punt detall resolent el sistema d’equacions, equivalent a l’inicial:

El punt de tall és el de coordenades (1, 0, 1).

61.Trobem les equacions paramètriques de s�per poderdeterminar un vector director d’aquesta recta.

Per a fer-ho, resolem el sistema d’equacions constituïtper les equacions implícites de s�prenent com a parà-metre y �k:

Les equacions paramètriques de s�són:

Per tant, o millor encara, el vector

és un vector director de s�.

Com que un vector director de s ési duesrectes són paral.leles si i només si els seus vectors direc-tors són linealment dependents, s’ha de complir:

és a dir:

14

3

321

9

112

2721

=

=+

=

=+

m

m

m

m

m==

=

13

13 m

14

31

219

==+ mm

�v=(,,) 419

�vmm =+ (,,), 1321

13

121

3

+ mm,,,

xm

k

yk

xm

k

=

=

=++

13

121

3

=+++

=++ 122

31

213

kmkmk

z

mk

k=

+=

11

21

11

21

=++

=11

31

3mkkm

k

x

mk

k=

+=

11

11

11

21

xzmy

xzy

xzmk

xzk

=

+=+

=

+=+

1

21

1

21

xy

y

z

xyz

=

=

=

===

21

0

1

101 ,,

El valor buscat és m �13.

62.La determinació de la posició relativa d’una recta i unpla es fa a partir de l’estudi dels rangs de les matriusM i M�associades al sistema format per les equacionsimplícites de la recta i l’equació general del pla. En elnostre cas:

I si calculem el determinant de M:

=9 m 6 +m24 =m2+9 m 10

Com que0 =�M�=m2+9 m 10 m =1 o m ==10, tenim que:

•Si m �1 i m ��10, �M��0 rang (M) �3 rang (M�) �3; per tant, en aquest cas el pla i la

recta es tallen en un punt.

•Si m �1, tenim el sistema:


Per tant, rang (M) �rang (M�) �2 i en aquest casel pla conté la recta.

•Si m ��10, tenim el sistema:


Per tant, rang (M) �2 i rang (M�) �3; així, doncs,en aquest cas la recta és paral.lela al pla.

=22 0 rang (M�) =3

1031

311

211

=5 0 rang (M) =2 i rang (M�) 231

21

+=

+=

=

10321

31

2101

xyz

xy

xyz

131

311

211

03 =< () rangM

=5 0 rang (M) =2, rang (M�) 231

21

xyz

xy

xyz

+=

+=

+=

321

31

21

M

m

mm

m

m==+=

32

310

21

332

1

2

2

mxyz

xy

xymz

+=

+=

+=

321

31

21

C M

Y K

112

6. Geom

etria afí

63.Dues rectes estan contingudes en un mateix pla si i no-més si són coincidents, paral.leles o es tallen.

•Les rectes són coincidents o paral.leles si i només si elsseus vectors directors són linealment dependents.Un vector director de r és i un vec-

tor director de s és

Com que aquests vectors no poden ser

linealment dependents; per tant, aquest cas no espot donar.

•Les rectes es tallen si i només sisón li-nealment dependents, i B és un punt de r i C un puntde s.

Si prenem B �(1, 0, m) i C �(0, 0, �1), =

�(0 �1, 0 �0, �1 �m) �(�1, 0, �1 �m), i elstres vectors seran linealment dependents si i noméssi el determinant de la matriu que té per columnesles seves components és 0:

=(4 +m) +(1 m) (3 m 4) =

=3 m2m =0

Les rectes són sobre el mateix pla si m �0.

—Si m �1, les rectes s’encreuen i tenen per equa-cions:

Busquem una recta que passa per A �(1, 1, 2) ité un punt en comú amb r i amb s. En particular,aquesta recta passarà per dos punts del pla , queconté r i passa per A, i per dos punts del pla

�, que conté s i passa per A, la qual cosa signifi-ca que està continguda en aquests plans.

Així, les equacions generals de i de �són unesequacions implícites de la recta buscada.

•Equació general de :

El punt B�(1,0,1) és de r i el vector =(3, 2, �1)és vector director de r; per tant, també ho sónde .Com que A �(1, 1, 2) és un altre punt de , unaltre vector director de és:

Com que són linealment indepen-

dents, una equació general del pla és:

��uiBA []

[](,,)(,,) BA��

== 111021011

�u

rxyz

sxyz

:: ====+ 1

321

1211

2,

=++= 434342

mmmm

=+= ()2

121

32

2

mm

m

0

132

02

112

== m

m

[] BC��

{[],,} BCuv��

32

12

,

�vm =(,,). 22

�u=(,,), 321x y +z 2 =0

•Equació general de �:

El punt C�(0, 0, �1) és de s i el vector =(2, 1, 2)és vector director de s; per tant, també ho sónde �.

Com que A �(1, 1, 2) és un altre punt de �,un altre vector de �és:

Com quesón linealment indepen-dents, una equació general del pla �és:

x 4 y +z +1 =0

Unes equacions implícites de la recta buscada són:

64.Perquè els tres plans es tallin en una recta, s’ha de com-plir rang (M) �rang (M�) �2, en què M és la matriude coeficients i M�la matriu ampliada associades al sis-tema format per les equacions generals dels tres plans.

Determinem els rangs de M i M�esglaonant M�:

Es compleix rang (M) �rang (M�) �2 m �1 �0i n �1 �0; per tant, els paràmetres han de valer m ��1i n �1.

65.La recta buscada, s, talla r�i passa per A; per tant, es-tarà continguda en el pla que conté r�i el punt A.

Per determinar l’equació general de , tindrem encompte:

•C =(3, 0, 0) r �C =(3, 0, 0) és un punt de.

•és un vector director de r�; per tant,

també ho és de .

�u=(,,) 253

121

030

001

2

3

1 + mn

1 2 mF3F3+————F2

3—————————�

121

030

0211

2

3

2 + mmnm

F2F22 F1F3F3m F1

——————�

1212

2121

11 mn

F1F2

———�

2121

1212

11 mn

xyz

xyz

+=

++=

20

410

0

21

11

123

41 =

+

=++

x

y

z

xyz

�� viCA []

[](,,())(,,) CA��

== 101021113

�v

0

130

21

111

3336 ==+

x

y

z

xyz

112

6. G

eom

etria

afí

63. Dues rectes estan contingudes en un mateix pla si i no-més si són coincidents, paral.leles o es tallen.

• Les rectes són coincidents o paral.leles si i només si elsseus vectors directors són linealment dependents.Un vector director de r és i un vec-

tor director de s és

Com que aquests vectors no poden ser

linealment dependents; per tant, aquest cas no espot donar.

• Les rectes es tallen si i només si són li-nealment dependents, i B és un punt de r i C un puntde s.

Si prenem B � (1, 0, m) i C � (0, 0, �1), =

� (0 � 1, 0 � 0, �1 � m) � (�1, 0, �1 � m), i elstres vectors seran linealment dependents si i noméssi el determinant de la matriu que té per columnesles seves components és 0:

= (4 + m) + ( 1 m) (3 m 4) =

= 3 m2 m = 0

Les rectes són sobre el mateix pla si m � 0.

— Si m � 1, les rectes s’encreuen i tenen per equa-cions:

Busquem una recta que passa per A � (1, 1, 2) ité un punt en comú amb r i amb s. En particular,aquesta recta passarà per dos punts del pla , queconté r i passa per A, i per dos punts del pla

�, que conté s i passa per A, la qual cosa signifi-ca que està continguda en aquests plans.

Així, les equacions generals de i de � són unesequacions implícites de la recta buscada.

• Equació general de :

El punt B�(1,0,1) és de r i el vector =(3, 2, �1)és vector director de r; per tant, també ho sónde .Com que A � (1, 1, 2) és un altre punt de , unaltre vector director de és:

Com que són linealment indepen-

dents, una equació general del pla és:

� � ��u i BA[ ]

[ ] ( , , ) ( , , )BA� ��

= =1 1 1 0 2 1 0 1 1

�u

rx y z

sx y z

: := = = =+1

3 21

1 2 11

2,

= + + =4 3 4 3 42m m m m

= + =( )2

1 21

3 2

2

mm

m

0

1 3 2

0 2

1 1 2

= =m

m

[ ]BC� ��

{[ ], , }BC u v� ��

32

12

,

�v m= ( , , ).2 2

�u = ( , , ),3 2 1x y + z 2 = 0

• Equació general de �:

El punt C�(0, 0, �1) és de s i el vector =(2, 1, 2)és vector director de s; per tant, també ho sónde �.

Com que A � (1, 1, 2) és un altre punt de �,un altre vector de � és:

Com que són linealment indepen-dents, una equació general del pla � és:

x 4 y + z + 1 = 0

Unes equacions implícites de la recta buscada són:

64. Perquè els tres plans es tallin en una recta, s’ha de com-plir rang (M) � rang (M�) � 2, en què M és la matriude coeficients i M� la matriu ampliada associades al sis-tema format per les equacions generals dels tres plans.

Determinem els rangs de M i M� esglaonant M�:

Es compleix rang (M) � rang (M�) � 2 m � 1 � 0i n � 1 � 0; per tant, els paràmetres han de valer m � �1 i n � 1.

65. La recta buscada, s, talla r� i passa per A; per tant, es-tarà continguda en el pla que conté r� i el punt A.

Per determinar l’equació general de , tindrem encompte:

• C = (3, 0, 0) r � C = (3, 0, 0) és un punt de.

• és un vector director de r�; per tant,

també ho és de .

�u = ( , , )2 5 3

1 2 1

0 3 0

0 0 1

2

3

1+m n

1 2 mF3 F3 + ———— F23—————————�

1 2 1

0 3 0

0 2 1 1

2

3

2+m m n m

F2 F2 2 F1F3 F3 m F1

——————�

1 2 1 2

2 1 2 1

1 1m n

F1 F2

———�

2 1 2 1

1 2 1 2

1 1m n

x y z

x y z

+ =

+ + =

2 0

4 1 0

0

2 1

1 1

1 2 3

4 1=

+

= + +

x

y

z

x y z

� � ��v i CA[ ]

[ ] ( , , ( )) ( , , )CA� ��

= =1 0 1 0 2 1 1 1 3

�v

0

1 3 0

2 1

1 1 1

3 3 3 6= = +

x

y

z

x y z

CM

YK

113

6. Geom

etria afí• Com que A i C són de i = (3 1, 0 2, 0 4) =

és un vector

director de .

Com que són linealment independents, unaequació general de és:

x y + z 3 = 0

Si el pla talla la recta r en un únic punt, B, la recta sha de passar-hi (perquè si no, no podria tallar r�, jaque r� � ).

Vegem, doncs, si r és secant a . Per a fer-ho, hem decomprovar que el rang de les matrius M i M� associa-des al sistema format per les equacions implícites de ri l’equació general de és 3:

I com que rang (M) � rang (M�) � 3 rang (M) �� 3 �M� � 0:

M é= =

1 0 01 0 11 1 1

1 0 .r s secant a

x

x z

x y z

=

=

+ =

1

2

3

0

3 2 1

5 1

3 2

7 7 7 21= = + +

x

y

z

x y z

� �u i v

= = =( , , ), [ ] ( , , )2 2 412

1 1 2� � ��v AC

[ ]AC� ��

Les coordenades del punt d’intersecció B són la solu-ció del sistema anterior:

Com que A � (1, 2, 4) i B � (1, �3, �1) són dos puntsde s, un vector director d’aquesta recta és:

i per tant,

Unes equacions paramètriques de s són:

Podem simplificar una mica més aquestes equacions si prenem com a punt de pas el corresponent a k � �2, (1, 0, 2), obtenint:

66. Activitat TIC.

67. Activitat TIC.

x

y k

z k

=

=

= +

1

2

x k

y k

z k

x

y k

z

= +

= +

= +

=

= +

= +

1 0

2 1

4 1

1

2

4 kk

� � ��w BA= =

15

0 1 1[ ] ( , , ).

[ ] ( , ( ), ( )) ( , , ),BA� ��

= =1 1 2 3 4 1 0 5 5

x

x z

x y z

x y z

=

=

+ =

= = =

1

2

3

1 3, , 11

1 3 1( , , )=B

113

6. G

eom

etria

afí

•Com que A i C sónde i =(3 1, 0 2, 0 4) =

és un vector

director de .

Com quesón linealment independents, unaequació general de és:

x y +z 3 =0

Si el pla talla la recta r en un únic punt, B, la recta sha de passar-hi (perquè si no, no podria tallar r�, jaque r��).

Vegem, doncs, si r és secant a . Per a fer-ho, hem decomprovar que el rang de les matrius M i M�associa-des al sistema format per les equacions implícites de ri l’equació general de és 3:

I com que rang (M) �rang (M�) �3 rang (M) ��3 �M��0:

Mé ==

100101111

10. rssecanta

x

xz

xyz

=

=

+=

1

2

3

0

321

51

32

77721 ==++

x

y

z

xyz

�� uiv

=== (,,),[](,,) 22412

112 ��vAC

[] AC��

Les coordenades del punt d’intersecció B són la solu-ció del sistema anterior:

Com que A �(1, 2, 4) i B �(1, �3, �1) són dos puntsde s, un vector director d’aquesta recta és:

i per tant,

Unes equacions paramètriques de s són:

Podem simplificar una mica més aquestes equacions si prenem com a punt de pas el corresponent a k ��2, (1, 0, 2), obtenint:

66.Activitat TIC.

67.Activitat TIC.

x

yk

zk

=

=

=+

1

2

xk

yk

zk

x

yk

z

=+

=+

=+

=

=+

=+

10

21

41

1

2

4kk

��wBA ==

15

011 [](,,).

[](,(),())(,,), BA��

== 112341055

x

xz

xyz

xyz

=

=

+=

===

1

2

3

13 ,,11

131 (,,) = B

C M

Y K

114

7. Geom

etria mètrica

1.ANGLES ENTRE ELEMENTS DE L’ESPAI

1.Sabem calcular l’angle format per dues rectes a partirdels respectius vectors directors.

Un vector director de r ésCalculem unvector director de s:

1: x y +z1 =0 té per vector normal =(1, 1, 1).

2: x+3 y =0 té per vector normal

Per tant, un vector director de s és:

D’acord amb la fórmula, l’angle format per r i s és:

Un vector director de rési un de s�és; per tant, l’angle que formen és:

2.L’equació vectorial d’una recta que passa pel punt A �(0, 0, 1) és:

(x, y, z) =(0, 0, 1) +k (v1, v2, v3)(1)

en què (v1, v2, v3) (0, 0, 0).

== arccos,º13

177468499

=++

++++= arccos

430811

16019641

== arcuv

uvcos��

�v=(,,) 381

�u=(,,) 401

== arccos,º2

192684837

=++

++++= arccos

()() 331134

9199116

== arcuv

uvcos��

= �v(,,) 314

��

��

vuu

ijk

ijk =×==++ 12111

130

34

�u2130 =(,,).

�u1=

�u=(,,). 313

Perquè aquesta recta sigui perpendicular a r, el seuvector director ha de ser perpendicular al vector director r, o sigui:

(2) 0 =3 v1v2+2 v3

Si prenem dos vectors,que compleixin això, per exemple i obtenimdues rectes perpendiculars a r que passen per A:

r: (x, y, z) =(0, 0, 1) +k (1, 1, 1)

r: (x, y, z) =(0, 0, 1) +k (0, 2, 1)

—Hi haurà tantes rectes perpendiculars a r que pas-sen per A, d’equació vectorial (1), com vectors di-rectorsperpendiculars ao si-gui, que satisfacin l’equació (2), i que siguinlinealment independents dos a dos, perquè dosvectors directors linealment perpendiculars donenlloc a la mateixa recta.

Com que dos vectors són linealment dependents sii només si les seves components són proporcionals,podem quedar-nos només amb els vectors lineal-ment independents dos a dos que compleixin (2)fixant el valor d’una de les components, per exem-ple v1�1. Així, s’obté el sistema següent:

Només hi ha una recta perpendicular a r el vectordirector de la qual no és solució d’aquest sistema,la que té un vector director amb v1�0. Concreta-ment, la de vector director

Fora d’això, tota solució d’aquest sistema dóna lloca una recta diferent que compleix el que volíem.Com que el conjunt de solucions d’aquest siste-ma depèn, pel teorema de Rouché-Frobenius, de3 �2 �1 paràmetre independent, existeixen tan-tes rectes perpendiculars a r per A com nombresreals.

—El conjunt de rectes perpendiculars a r que passenper A ens defineix un pla , el perpendicular a rque passa per A.

Com que és perpendicular a la recta r, de vector di-rector l’equació general de és dela forma:

3 x y +2 z +D =0

�v=(,,), 312

�v=(,,). 021

320

1123

1

vvv

v

+=

=

�u, �vvvv (,,) =123

�= v(,,), 021 = �v(,,) 111

�� viv,

0312123 == �� uvvvv (,,)(,,)

�u=(,,), 312

�v

Geometria mètrica 7

114

7. G

eom

etria

mèt

rica

1. ANGLES ENTRE ELEMENTS DE L’ESPAI

1. Sabem calcular l’angle format per dues rectes a partirdels respectius vectors directors.

Un vector director de r és Calculem unvector director de s:

1: x y + z 1 = 0 té per vector normal = (1, 1, 1).

2: x + 3 y = 0 té per vector normal

Per tant, un vector director de s és:

D’acord amb la fórmula, l’angle format per r i s és:

Un vector director de r és i un de s� és; per tant, l’angle que formen és:

2. L’equació vectorial d’una recta que passa pel punt A � (0, 0, 1) és:

(x, y, z) = (0, 0, 1) + k (v1, v2, v3) (1)

en què (v1, v2, v3) (0, 0, 0).

= =arc cos , º13

17 7468 499

=+ +

+ + + +=arc cos

4 3 0 8 1 1

16 0 1 9 64 1

= =arcu v

u vcos� ��

�v = ( , , )3 8 1

�u = ( , , )4 0 1

= =arc cos , º2

19 2684 837

=+ +

+ + + +=arc cos

( ) ( )3 3 1 1 3 4

9 1 9 9 1 16

= =arcu v

u vcos� ��

=�v ( , , )3 1 4

� � �

� � ��

v u u

i j k

i j k= × = = + +1 2 1 1 1

1 3 0

3 4

�u2 1 3 0= ( , , ).

�u1 =

�u = ( , , ).3 1 3

Perquè aquesta recta sigui perpendicular a r, el seuvector director ha de ser perpendicular al vector director r, o sigui:

(2)0 = 3 v1 v2 + 2 v3

Si prenem dos vectors, que compleixin això, per exemple i obtenimdues rectes perpendiculars a r que passen per A:

r : (x, y, z) = (0, 0, 1) + k (1, 1, 1)

r : (x, y, z) = (0, 0, 1) + k (0, 2, 1)

— Hi haurà tantes rectes perpendiculars a r que pas-sen per A, d’equació vectorial (1), com vectors di-rectors perpendiculars a o si-gui, que satisfacin l’equació (2), i que siguinlinealment independents dos a dos, perquè dosvectors directors linealment perpendiculars donenlloc a la mateixa recta.

Com que dos vectors són linealment dependents sii només si les seves components són proporcionals,podem quedar-nos només amb els vectors lineal-ment independents dos a dos que compleixin (2)fixant el valor d’una de les components, per exem-ple v1 � 1. Així, s’obté el sistema següent:

Només hi ha una recta perpendicular a r el vectordirector de la qual no és solució d’aquest sistema,la que té un vector director amb v1 � 0. Concreta-ment, la de vector director

Fora d’això, tota solució d’aquest sistema dóna lloca una recta diferent que compleix el que volíem.Com que el conjunt de solucions d’aquest siste-ma depèn, pel teorema de Rouché-Frobenius, de3 � 2 � 1 paràmetre independent, existeixen tan-tes rectes perpendiculars a r per A com nombresreals.

— El conjunt de rectes perpendiculars a r que passenper A ens defineix un pla , el perpendicular a rque passa per A.

Com que és perpendicular a la recta r, de vector di-rector l’equació general de és dela forma:

3 x y + 2 z + D = 0

�v = ( , , ),3 1 2

�v = ( , , ).0 2 1

3 2 0

11 2 3

1

v v v

v

+ =

=

�u,�v v v v( , , )= 1 2 3

�=v ( , , ),0 2 1=

�v ( , , )1 1 1

� �v i v ,

0 3 1 2 1 2 3= =� �u v v v v( , , ) ( , , )

�u = ( , , ),3 1 2

�v

Geometria mètrica7

CM

YK

115

7. Geom

etria mètrica

Pel fet que passa per A � (0, 0, 1), el valor concretde D és:

3 0 0 + 2 1 + D = 0 D = 2

L’equació general de és, doncs,

: 3 x y + 2 z 2 = 0

Vegem quants punts en comú tenen r i resolentel sistema format per les equacions implícites de ri l’equació general de :


Com que:

F3 F3 3 F1

el sistema és compatible determinat

Per tant, i r només tenen un punt en comú; ano-menem-lo B. Ara, tota recta perpendicular a r quepassi per A està continguda en ; per tant, existeixuna única recta que compleix els requisits de l’e-nunciat, la que uneix A i B.

3. a) Un vector perpendicular a és i un

de perpendicular a � és

L’angle format per i � és, doncs:

= =arc cos , º5

50 1479 107

=+ +

+ + + +=arc cos

( )1 2 7 1 0 3

1 49 0 4 1 9

= =arcu u

u ucos� �

� �1 2

1 2

�u2 2 1 3= ( , , ).

�u1 1 7 0= ( , , ),

= =12 1

10 214 0

=

1 3 0

0 2 1

0 10 2

�M =

1 3 0

0 2 1

3 1 2

x y

y z

x y z

+ =

+ =

+ =

3 2

2 6

3 2 2

x y

y z

x y=+

+=

+

+ =5

31

11

14

2

3 2 0

2 6 0y z+ + =

x k

y k

z k

x y= +

=

= +

=+

5 3

1

4 2

53

1=

+

14

2z

b) Com que dos vectors directors de sóni un vector perpen-

dicular a és:

Un vector perpendicular a � és

L’angle format per i � és, doncs:

4. Dos vectors directors de són i

per tant, un vector perpendicular a és:

D’altra banda, el vector és director de r,

per tant, també és director de �. A més, B � (1, 0, 2)és un punt de r, i per tant de �, aleshores un altre vec-tor director de �és:

Com que són linealment independents, un

vector perpendicular a � és el producte vectorial detots dos:

Per simplificar els càlculs, prendrem

� (5, �3, 0) com a vector perpendicular a �.

L’angle format per i � és, finalment:

= =arc cos , º5

2 3452 675

=+ +

+ + + +=arc cos

( ) ( )1 5 0 3 1 0

1 0 1 25 9 0

= =arcu u

u ucos� �

� �1 2

1 2

� �u u2 212

= =

=�u2 10 6 0( , , )

� � �

� � ��

= × = =u u v

i j k

i j2 3 5 1

0 0 2

10 6

� �u i v

� � ��= = =v AB[ ] ( , , ) ( , , )1 1 0 0 2 0 0 0 2

�=u1 3 5 1( , , )

� � �

� � �� u u v

i j k

i k u1 11 1 1

1 0 1

1 0 1= × = = = ( , , )

�v = ( , , ),1 0 1

�u = ( , , )1 1 1

= =arc cos , º89161

56 441

=+ +

+ + + +=arc cos

( )2 2 11 11 6 6

4 121 36 4 121 36

= =arcu u

u ucos� �

� �1 2

1 2

�u2 2 11 6= ( , , ).

=�u1 2 11 6( , , )

� � �

� � ��

u u v

i j k

i j k1 1 2 4

3 0 1

2 11 6= × = = + +

�v = ( , , ),3 0 1�u = ( , , )1 2 4

115

7. G

eom

etria

mèt

rica

Pel fet que passa per A �(0, 0, 1), el valor concretde D és:

3 0 0 +2 1 +D =0 D =2

L’equació general de és, doncs,

: 3 x y +2 z 2 =0

Vegem quants punts en comú tenen r i resolentel sistema format per les equacions implícites de ri l’equació general de :


Com que:

F3F33 F1

el sistema és compatible determinat

Per tant, i r només tenen un punt en comú; ano-menem-lo B. Ara, tota recta perpendicular a r quepassi per A està continguda en ; per tant, existeixuna única recta que compleix els requisits de l’e-nunciat, la que uneix A i B.

3.a)Un vector perpendicular a és i un

de perpendicular a �és

L’angle format per i �és, doncs:

== arccos,º5

501479107

=++

++++= arccos

() 127103

1490419

== arcuu

uucos��

��12

12

�u2213 =(,,).

�u1170 =(,,),

== 121

102140

=

130

021

0102

� M=

130

021

312

xy

yz

xyz

+=

+=

+=

32

26

322

xy

yz

xy =+

+=

+

+=5

31

11

14

2

320

260 yz ++=

xk

yk

zk

xy=+

=

=+

=+

53

1

42

53

1=

+

14

2z

b)Com que dos vectors directors de sóni un vector perpen-

dicular a és:

Un vector perpendicular a �és

L’angle format per i �és, doncs:

4.Dos vectors directors de són i

per tant, un vector perpendicular a és:

D’altra banda, el vector és director de r,

per tant, també és director de �. A més, B �(1, 0, 2)és un punt de r, i per tant de �, aleshores un altre vec-tor director de �és:

Com que són linealment independents, un

vector perpendicular a �és el producte vectorial detots dos:

Per simplificar els càlculs, prendrem

�(5, �3, 0) com a vector perpendicular a �.

L’angle format per i �és, finalment:

== arccos,º5

23452675

=++

++++= arccos

()() 150310

1012590

== arcuu

uucos��

��12

12

�� uu 2212

==

= �u21060 (,,)

��

��

=×== uuv

ijk

ij 2351

002

106

�� uiv

��=== vAB [](,,)(,,) 110020002

�= u1351 (,,)

��

�� uuv

ijk

iku 11 111

101

101 =×===(,,)

�v=(,,), 101

�u=(,,) 111

== arccos,º89

16156441

=++

++++= arccos

() 22111166

412136412136

== arcuu

uucos��

��12

12

�u22116 =(,,).

= �u12116 (,,)

��

��

uuv

ijk

ijk 1124

301

2116 =×==++

�v=(,,), 301 �u=(,,) 124

C M

Y K

116

7. Geom

etria mètrica

5.Un vector normal al pla és de mòdul

•Un vector normal al pla YZ, d’equació general x �0, és per tant, l’angle que forma

amb aquest pla coordenat és:

•Un vector normal al pla XZ, d’equació general y �0, és per tant, l’angle que forma


•Un vector normal XY, d’equació general z �0, ésper tant, l’angle que forma amb

aquest pla coordenat és:

6.Dos plans són perpendiculars si i només si ho són elsseus vectors normals. Calculem, doncs, els vectors nor-mals de i �, i vegem si són perpendiculars:

•Un vector normal a és

•Un vector normal a �és en què

vectors directors de �

linealment independents.

Si els multipliquem escalarment:

per tant, i �són perpendiculars.

7.Un punt de pas és, per exemple, A �(1, 1, 1).

Un vector director és=(2, 1, 2), perquè A i B són punts del pla.

��uAB === [](,,) 310111

�� uuuuvuuv 1211

211

110

211

=×== ()[,,]==0

�� uiv == (,,)(,,) 110211

�� uuv 2=×,

�u1211 =(,,).

== arccos,º2

1760983

=++

++= arccos

() 203021

17001

zz

z

arcuu

uu== cos

��

�uz=(,,); 001

== arccos,º3

1743314

=++

++= arccos

() 203120

17010

yy

y

arcuu

uu== cos

��

��

�uy=(,,); 010

== arccos,º2

1760983

=++

++= arccos

() 213020

17100

xx

x

arcuu

uu== cos

��

��

�ux=(,,); 100

�u=++= 49417.

�u=(,,) 232Com que a més ha de ser perpendicular a , un altrevector director serà un vector perpendicular a ,

=(1, 3, 5).

Com que són linealment independents, l’equació

general del pla buscat és:

8.Com que el pla buscat conté la recta r, un punt de pas és A �(1, �2, 3) i un vector director,

Perquè sigui perpendicular al pla XY, d’equació z� 0, el vector perpendicular al pla XY,

ha de ser vector director del pla bus-cat.

Com que són linealment independents, l’equa-ció general del pla buscat és:

9.Com que l’angle format per una recta i un pla és elcomplementari del format per la recta i qualsevol rec-ta perpendicular al pla, hem de començar per deter-minar un vector director de la recta i un vector nor-mal del pla.

a)és un vector director de r.

és un vector normal de .

Per tant, l’angle entre r i és:

b)Un vector normal de és

Un vector director de r és:

L’angle entre i r és, ja que:

== arcsin,º5

14536699

=++

++++= arcsin

()() 311220

914140

== arcsinvn

vn

��

= �v(,,) 312

��

��

vnn

ijk

ijk =×==+ 12111

112

32

�n=(,,). 120

== arcsin,º5

101424997

=++

++++= arcsin

() 031132

019914

== arcsinvn

vn

��

�n=(,,) 312

�v=(,,) 013

x

y

z

y +==

110

200

331

20

�� uiv

�v=(,,), 001

�u=(,,). 103

x

y

z

xyz =++=

121

113

125

1187260

�� uiv

�v=

116

7. G

eom

etria

mèt

rica

5. Un vector normal al pla és de mòdul

• Un vector normal al pla YZ, d’equació general x � 0, és per tant, l’angle que forma


• Un vector normal al pla XZ, d’equació general y � 0, és per tant, l’angle que forma


• Un vector normal XY, d’equació general z � 0, ésper tant, l’angle que forma amb

aquest pla coordenat és:

6. Dos plans són perpendiculars si i només si ho són elsseus vectors normals. Calculem, doncs, els vectors nor-mals de i �, i vegem si són perpendiculars:

• Un vector normal a és

• Un vector normal a � és en què

vectors directors de �

linealment independents.

Si els multipliquem escalarment:

per tant, i � són perpendiculars.

7. Un punt de pas és, per exemple, A � (1, 1, 1).

Un vector director és= (2, 1, 2), perquè A i B són punts del pla.

� � ��u AB= = =[ ] ( , , )3 1 0 1 1 1

� � � � � � � �u u u u v u u v1 2 1 1

2 1 1

1 1 0

2 1 1

= × = =( ) [ , , ] == 0

� �u i v= =( , , ) ( , , )1 1 0 2 1 1

� � �u u v2 = × ,

�u1 2 1 1= ( , , ).

= =arc cos , º2

1760 983

=+ +

+ +=arc cos

( )2 0 3 0 2 1

17 0 0 1

zz

z

arcu u

u u= =cos

� ��

�uz = ( , , );0 0 1

= =arc cos , º3

1743 314

=+ +

+ +=arc cos

( )2 0 3 1 2 0

17 0 1 0

yy

y

arcu u

u u= =cos

� �

� �

�uy = ( , , );0 1 0

= =arc cos , º2

1760 983

=+ +

+ +=arc cos

( )2 1 3 0 2 0

17 1 0 0

xx

x

arcu u

u u= =cos

� �

� �

�ux = ( , , );1 0 0

�u = + + =4 9 4 17.

�u = ( , , )2 3 2 Com que a més ha de ser perpendicular a , un altrevector director serà un vector perpendicular a ,

= (1, 3, 5).

Com que són linealment independents, l’equació

general del pla buscat és:

8. Com que el pla buscat conté la recta r, un punt de pas és A � (1, �2, 3) i un vector director,

Perquè sigui perpendicular al pla XY, d’equació z � 0, el vector perpendicular al pla XY,

ha de ser vector director del pla bus-cat.

Com que són linealment independents, l’equa-ció general del pla buscat és:

9. Com que l’angle format per una recta i un pla és elcomplementari del format per la recta i qualsevol rec-ta perpendicular al pla, hem de començar per deter-minar un vector director de la recta i un vector nor-mal del pla.

a) és un vector director de r.

és un vector normal de .

Per tant, l’angle entre r i és:

b) Un vector normal de és

Un vector director de r és:

L’angle entre i r és, ja que:

= =arc sin , º5

14 536 699

=+ +

+ + + +=arc sin

( ) ( )3 1 1 2 2 0

9 1 4 1 4 0

= =arc sinv n

v n

� ��

=�v ( , , )3 1 2

� � �

� � ��

v n n

i j k

i j k= × = = +1 2 1 1 1

1 1 2

3 2

�n = ( , , ).1 2 0

= =arc sin , º5

10 1424 997

=+ +

+ + + +=arc sin

( )0 3 1 1 3 2

0 1 9 9 1 4

= =arc sinv n

v n

� ��

�n = ( , , )3 1 2

�v = ( , , )0 1 3

x

y

z

y+ = =

1 1 0

2 0 0

3 3 1

2 0

� �u i v

�v = ( , , ),0 0 1

�u = ( , , ).1 0 3

x

y

z

x y z= + + =

1 2 1

1 1 3

1 2 5

11 8 7 26 0

� �u i v

�v =

CM

YK

117

7. Geom

etria mètrica

c) Un vector director de r és

Un vector perpendicular de serà el producte vec-torial de dos vectors directors linealment inde-pendents:

és vector director de r, i per tant,

de .

B � (�2, �2, 0) és un punt de r, i per tant de , iA � (2, 1, 0) també és un punt de ; per tant, unaltre vector director de és:

Com que són linealment independents,

un vector normal de és:

Per tant, l’angle que formen r i és:

d) Un vector normal a és

Com que A � (1, 2, �1) i B � (3, 0, 0) són dospunts diferents de la recta, un vector director d’a-questa serà:

L’angle format per la recta i el pla és, doncs:

e) Un vector director de r és

Com que A � (1, 1, 2), B � (1, 0, 3) i C � (2, 1, 4)són punts del pla, dos vectors directors d’aquestsón:

Com que són linealment indepen-dents, un vector normal del pla és:

[ ] [ ]AB i AC� ��

[ ] ( , , ) ( , , )AC� ��

= =2 1 1 1 4 2 1 0 2

[ ] ( , , ) ( , , )AB� ��

= =1 1 0 1 3 2 0 1 1

�v = ( , , ).0 1 2

= =arc sin , º5

3 1130 167

=+ +

+ + + +=arc sin

( )2 3 2 1 1 1

4 4 1 9 1 1

= =arc sinv n

v n

� ��

� � ��v AB= = =[ ] ( , , ( )) ( , , )3 1 0 2 0 1 2 2 1

�n = ( , , ).3 1 1

= =arc sin , º13

26 8295 080

=+ +

+ + + +arc sin

( ) ( ) ( )3 6 4 8 1 27

9 16 1 36 64 7729=

= =arc sinv n

v n

� ��

= =6 8 27 6 8 27� � � �i j k n ( , , )

� � � ��

n u BA

i j k

= × = =[ ] 3 9 2

4 3 0

� � ��u i BA[ ]

[ ] ( ( ), ( ), ) ( , , )BA� ��

= =2 2 1 2 0 0 4 3 0

�u = ( , , )3 9 2

�v = ( , , ).3 4 1

L’angle que formen la recta i el pla és, doncs:

10. és el

vector director de r i és el vector normalde .


Un vector normal de és:

Així:

per la qual cosa r és perpendicular a .

11. Un punt de la recta serà A � (1, 3, �2).

Perquè sigui perpendicular a , un vector normal d’a-quest pla, per exemple ha de ser direc-tor de la recta.

Una equació vectorial de la recta buscada serà:

(x, y, z) = ( 1, 3, 2) + k (1, 2, 1)

12. Com que el pla és perpendicular a la recta, el vectordirector d’aquesta, serà un vector nor-mal del pla; per tant, l’equació general d’aquest és dela forma:

x + y 3 z + D = 0

El valor de D perquè el pla passi per A � (�2, 4, 1)és:

2 + 4 3 1 + D = 0 D = 1

L’equació del pla buscat és, doncs:

x + y 3 z + 1 = 0

13. Un punt de la recta és A � (1, 0, 2).

Un vector director será qualsevol vector perpendicu-lar a , que podem obtenir a partir de l’equació gene-ral de .

�v = ( , , ),1 1 3

�n = ( , , ),1 2 1

vA

vB

vC

1 2 344

15

51

11

1= = = = = =; ;

�

� � ��

n

i j k

i j k= = + = ( , , )1 1 1

2 1 3

5 4 4 5 1

�v = ( , , ).4 5 1

�n A B C= ( , , )

rvA

v

B

v

Cv v v v= = =, ( , , )1 2 3

1 2 3en què �

= =arc sin , º1

5 610 520

=+ +

+ + + +=arc sin

( ) ( )0 2 1 1 2 1

0 1 4 4 1 1

= =arc sinv n

v n

� ��

= + + =2 2 1 1� � � �i j k n ( , , )

� � ��

n AB AC

i j k

= × = =[ ] [ ] 0 1 1

1 0 2

117

7. G

eom

etria

mèt

rica

c)Un vector director de r és

Un vector perpendicular de serà el producte vec-torial de dos vectors directors linealment inde-pendents:

és vector director de r, i per tant,

de .

B �(�2, �2, 0) és un punt de r, i per tant de , iA �(2, 1, 0) també és un punt de ; per tant, unaltre vector director de és:

Com que són linealment independents,

un vector normal de és:


d)Un vector normal a és

Com que A �(1, 2, �1) i B �(3, 0, 0) són dospunts diferents de la recta, un vector director d’a-questa serà:

L’angle format per la recta i el pla és, doncs:

e)Un vector director de r és

Com que A �(1, 1, 2), B �(1, 0, 3) i C �(2, 1, 4)són punts del pla, dos vectors directors d’aquestsón:

Com que són linealment indepen-dents,un vector normal del pla és:

[][] ABiAC��

[](,,)(,,) AC��

== 211142102

[](,,)(,,) AB��

== 110132011

�v=(,,). 012

== arcsin,º5

31130167

=++

++++= arcsin

() 232111

441911

== arcsinvn

vn

��

��vAB === [](,,())(,,) 310201221

�n=(,,). 311

== arcsin,º13

268295080

=++

++++arcsin

()()() 3648127

916136647729=

== arcsinvn

vn

��

== 68276827�� ijkn(,,)

��

nuBA

ijk

=×== []392

430

��uiBA []

[]((),(),)(,,) BA��

== 221200430

�u=(,,) 392

�v=(,,). 341

L’angle que formen la recta i el pla és, doncs:

10.és el

vector director de ri és el vector normalde .


Un vector normal de és:

Així:

per la qual cosa r és perpendicular a .

11.Un punt de la recta serà A �(1, 3, �2).

Perquè sigui perpendicular a , un vector normal d’a-quest pla, per exempleha de ser direc-tor de la recta.

Una equació vectorial de la recta buscada serà:

(x, y, z) =( 1, 3, 2) +k (1, 2, 1)

12.Com que el pla és perpendicular a la recta, el vectordirector d’aquesta, serà un vector nor-mal del pla; per tant, l’equació general d’aquest és dela forma:

x +y 3 z +D =0

El valor de D perquè el pla passi per A�(�2,4,1)és:

2 +4 3 1 +D =0 D =1

L’equació del pla buscat és, doncs:

x +y 3 z +1 =0

13.Un punt de la recta és A �(1, 0, 2).

Un vector director será qualsevol vector perpendicu-lar a , que podem obtenir a partir de l’equació gene-ral de .

�v=(,,), 113

�n=(,,), 121

vA

vB

vC

123 44

15

51

11

1 ====== ;;

�

��

n

ijk

ijk ==+=(,,) 111

213

54451

�v=(,,). 451

�nABC =(,,)

rvA

v

B

v

Cvvvv === ,(,,)

123123 enquè�

== arcsin,º1

5610520

=++

++++= arcsin

()() 021121

014411

== arcsinvn

vn

��

=++= 2211�� ijkn(,,)

��

nABAC

ijk

=×== [][]011

102

C M

Y K

118

7. Geom

etria mètrica

El pla conté la recta r; per tant, pertany al feix deplans secants en r, i com que 2: x �y �z �0 no és

(ja que no conté A), el pla vindrà donat per algunvalor de en l’equació d’aquest feix que no conside-ra 2:

2 x +z +(x +y +z) =0

Com que ha de passar per A, s’ha de complir:

L’equació general de és, doncs:

6 x +3 z 4 x 4 y 4 z =0

2 x 4 y z =0

Així, un vector normal de és .

L’equació vectorial de la recta buscada és:

(x, y, z) =(1, 0, 2) +k (2, 4, 1)

2.DISTÀNCIES ENTRE ELEMENTS DE L’ESPAI

14.

15.Un punt B dista 4 unitats de A si:

Com que les coordenades de B són les componentsdel seu vector posició i tenim:

per cada vector lliure de mòdul 4 obtenim un punt

B, de vector posició

Així, existeixen infinits punts que disten 4 unitats de A.

Un d’ells serà, prenent

=(1, 5, 2) +(4, 0, 0) =(5, 5, 2)

és a dir, el punt de coordenades B =(5, 5, 2).

16.El perímetre és la suma de les longituds dels costats,que són les distàncies entre els vèrtexs.

P =d (A, B) +d (B, C) +d (C, A) =

=�(1 3, 2 1, 3 0)�+

=++= [][][] |||||| ABBCCA��

[][] OBOAv�� =+=

�v=(,,) 400:

[][]. OBOAv�� =+

�v

[][][] OBOAAB��

=+

[] OB��

4== dABAB (,)[] ||��

=++= 1163653

==++= (,,)() 146146222

dABAB (,)[](,,) ===��

213160

�n=(,,) 241

243

0 xzxyz +++= ()

212102043

++++== ()

+�(1 1, 0 2, 5 (3))�+

+�(3 1, 1 0, 0 5)�=

=�(2, 1, 3)� +�(0, 2, 8)�+�(2, 1, 5)�=

17.Intuïtivament, sabem que el camí més curt per anar deA a B és la línia recta, la longitud de la qual és el quehem definit com a distància entre A i B, d(A, B). Qual-sevol altre camí que vagi de A a B té una longitud mésgran.

Per tant, per tal que passant per un punt C en anar deA a B recorreguem exactament la distància entre A iB, el punt C ha d’estar sobre el segment AB.

Així, afirmem que:

d (A, B) =d (A, C) +d (C, B) C

Demostrem-ho per contrarecíproc:

Suposem que:C AB

Si C està alineat, és clar que no es dóna la igualtat.

Si C no està alineat amb A i B, podem considerar eltriangle que defineixen i aplicar el teorema del cosi-nus al costat AC:

d (A, C)2=d (A, B)2+d (C, B)2

>d (A, B)2+d (C, B)22 d (A, B)d (C, B) =

=(d (A, B) d (C, B))2

per tant, (A, C) >d (A, B) d (C, B)

d (A, B) <d (A, C) +d (C, B)

Com que la implicació contrària és immediata, hemdemostrat que:

d (A, B) =d (A, C) +d (C, B) C AB

ˆcosˆ BB >< 01

> 2dABdCBB (,)(,)cosˆ

+++=++= (), 21514683017465222

=++++++ ()()() 213028222222

C

A

B

d (A, C)d (A, B)

d (C, B)

d (A, B)

d (C, B) d (A, C)

A

C

B B

C

AB

d (A, C)d (C, B)

d (A, B)

118

7. G

eom

etria

mèt

rica

El pla conté la recta r; per tant, pertany al feix deplans secants en r, i com que 2: x � y � z � 0 no és

(ja que no conté A), el pla vindrà donat per algunvalor de en l’equació d’aquest feix que no conside-ra 2:

2 x + z + (x + y + z) = 0

Com que ha de passar per A, s’ha de complir:

L’equació general de és, doncs:

6 x + 3 z 4 x 4 y 4 z = 0

2 x 4 y z = 0

Així, un vector normal de és .

L’equació vectorial de la recta buscada és:

(x, y, z) = (1, 0, 2) + k (2, 4, 1)

2. DISTÀNCIES ENTRE ELEMENTS DE L’ESPAI

14.

15. Un punt B dista 4 unitats de A si:

Com que les coordenades de B són les componentsdel seu vector posició i tenim:

per cada vector lliure de mòdul 4 obtenim un punt

B, de vector posició

Així, existeixen infinits punts que disten 4 unitats de A.

Un d’ells serà, prenent

= (1, 5, 2) + (4, 0, 0) = (5, 5, 2)

és a dir, el punt de coordenades B = (5, 5, 2).

16. El perímetre és la suma de les longituds dels costats,que són les distàncies entre els vèrtexs.

P = d (A, B) + d (B, C) + d (C, A) =

= �(1 3, 2 1, 3 0)� +

= + + =[ ] [ ] [ ]| | | | | |AB BC CA� ��

[ ] [ ]OB OA v� ��

= + =

�v = ( , , )4 0 0 :

[ ] [ ] .OB OA v� ��

= +

�v

[ ] [ ] [ ]OB OA AB� ��

= +

[ ]OB� ��

4 = =d A B AB( , ) [ ]| |� ��

= + + =1 16 36 53

= = + + =( , , ) ( )1 4 6 1 4 62 2 2

d A B AB( , ) [ ] ( , , )= = =� ��

2 1 3 1 6 0

�n = ( , , )2 4 1

243

0x z x y z+ + + =( )

2 1 2 1 0 2 043

+ + + + = =( )

+ �(1 1, 0 2, 5 ( 3))� +

+ �(3 1, 1 0, 0 5)� =

= �( 2, 1, 3)� + �(0, 2, 8)� + �(2, 1, 5)� =

17. Intuïtivament, sabem que el camí més curt per anar deA a B és la línia recta, la longitud de la qual és el quehem definit com a distància entre A i B, d(A, B). Qual-sevol altre camí que vagi de A a B té una longitud mésgran.

Per tant, per tal que passant per un punt C en anar deA a B recorreguem exactament la distància entre A iB, el punt C ha d’estar sobre el segment AB.

Així, afirmem que:

d (A, B) = d (A, C) + d (C, B) C

Demostrem-ho per contrarecíproc:

Suposem que:C AB

Si C està alineat, és clar que no es dóna la igualtat.

Si C no està alineat amb A i B, podem considerar eltriangle que defineixen i aplicar el teorema del cosi-nus al costat AC:

d (A, C)2 = d (A, B)2 + d (C, B)2

> d (A, B)2 + d (C, B)2 2 d (A, B) d (C, B) =

= (d (A, B) d (C, B))2

per tant, (A, C) > d (A, B) d (C, B)

d (A, B) < d (A, C) + d (C, B)

Com que la implicació contrària és immediata, hemdemostrat que:

d (A, B) = d (A, C) + d (C, B) C AB

ˆ cos ˆB B> <0 1

>2 d A B d C B B( , ) ( , ) cos ˆ

+ + + = + + =( ) ,2 1 5 14 68 30 17 4652 2 2

= + + + + + +( ) ( ) ( )2 1 3 0 2 82 2 2 2 2 2

C

A

B

d (A, C) d (A, B)

d (C, B)

d (A, B)

d (C, B)d (A, C)

A

C

BB

C

A B

d (A, C) d (C, B)

d (A, B)

CM

YK

119

7. Geom

etria mètrica

18. Per calcular la distància d’un punt a una recta, hemd’escollir un punt qualsevol de la recta, per exempleC � (1, 3, �2), i un vector director, per exemple

La distància de A � (2, 3, �1) a r és:

La distància de B � (1, 4, 0) a r és:

19. Un punt de pas de la recta r determinada per A i C ésA � (1, 4, �1), i un vector director és:

Per tant, la distància de B a r és:

El perímetre és la suma de les longituds dels costats,que coincideixen amb la distància entre els seus ex-trems, que són els vèrtexs A, B, C; per tant:

P = d (A, B) + d (B, C) + d (C, A) =

= �(0 1, 0 4, 1 ( 1))� +

+ �(1 0, 3 0, 1 1)� +

+ �(1 1, 4 3, 1 1)� =

= �( 1, 4, 2)� + �(1, 3, 0)� + �(0, 1, 2)� =

= + + =21 10 5 9 981,

= + + + + + + + + =1 16 4 1 9 0 0 1 4

= + + =[ ] [ ] [ ]AB BC CA� ��

=+ +

+ += =

36 4 1

0 1 4

41

5

2055

d B rBA v

v( , )

[ ] ( , , )

( ,=

×=

| || |

� ��

6 2 1

0 1,, )2=

[ ]AB v

i j k

i j k� ��

� � ��

× = = + +1 4 2

0 1 2

6 2

[ ] ( , , ( )) ( , , )AB� ��

= =0 1 0 4 1 1 1 4 2

� � ��v AC= = =[ ] ( , , ( )) ( , , )1 1 3 4 1 1 0 1 2

=+ +

+ += =

1 4 1

1 0 1

6

23

d B rBA v

v( , )

[ ] ( , , )(

=×

=| |

| || |

|

� ��

1 2 11,, , )0 1 |

=

[ ]BA v

i j k

i j� ��

� � ��

× = = +1 1 1

1 0 1

2��k

[ ] ( , , ) ( , , )BA� ��

= =2 1 3 4 1 0 1 1 1

d A rCA v

vOv

A( , )[ ]

(=×

= =| |

| || || |

� ��

��

� 0 r)

[ ]CA v

i j k

O� ��

� � ��

× = =1 0 1

1 0 1

[ ] ( , , ( )) ( , , )CA� ��

= =2 1 3 3 1 2 1 0 1

�v = ( , , ).1 0 1

Finalment, si per calcular l’àrea prenem com a base elcostat AC, tenim:

20. Donat un pla � A x � B y � C z � D � 0, observemque si passa per l’origen de coordenades ha de complir:

21. a)

b) L’equació implícita de , prenent com a punt del pla A � (3, 0, 2) i com a vectors directors

, és:

La distància de P a és, doncs:

22. Un punt del pla de és O � (0, 0, 0), ja que pertanytant a r (per a k � 0) com a s.

Un vector director és ja que ho és de r, i

un altre és ja que ho és de s.

Com que són linealment independents, una

equació general de és:

Per tant, la distància de P � (�2, 5, 0) a és:

23. d P O( , )( )

=+ +

= =17

3 1 5

17

35

17 35352 2 2

= =11

14

11 1414

d P( , )( )

( ) ( )=

+ +=

3 2 5 2 0

3 1 22 2 2

x

y

z

x y z

1 1

3 1

0 1

3 2 0= =

� �u i v

�v = ( , , ),1 1 1

�u = ( , , ),1 3 0

= =52

101

52 101

101

d P( , )( )

=+

+ +=

4 1 6 5 7 0 26

4 6 72 2 2

x

y

z

x y z= + + =

3 1 5

3 1

2 2 2

8 12 14 52 0

� �u i v= =( , , ) ( , , ),1 3 2 5 1 2

d P( , )( )

=+ +

+ += =

1 5 3 0 1

1 1 3

7

11

7 11

112 2 2

0 02 2 2

= =+ +

=d OD

A B CD( , )

= =

541

52

412

Área2

= = =b h d A C d B r

2( , ) ( , )

119

7. G

eom

etria

mèt

rica

18.Per calcular la distància d’un punt a una recta, hemd’escollir un punt qualsevol de la recta, per exempleC �(1, 3, �2), i un vector director, per exemple

La distància de A �(2, 3, �1) a r és:

La distància de B �(1, 4, 0) a r és:

19.Un punt de pas de la recta r determinada per A i C ésA �(1, 4, �1), i un vector director és:

Per tant, la distància de B a r és:

El perímetre és la suma de les longituds dels costats,que coincideixen amb la distància entre els seus ex-trems, que són els vèrtexs A, B, C; per tant:

P =d (A, B) +d (B, C) +d (C, A) =

=�(0 1, 0 4, 1 (1))�+

+�(1 0, 3 0, 1 1)�+

+�(1 1, 4 3, 1 1)�=

=�(1, 4, 2)�+�(1, 3, 0)�+�(0, 1, 2)�=

=++= 211059981 ,

=++++++++= 1164190014

=++= [][][] ABBCCA��

=++

++==

3641

014

41

5

2055

dBrBAv

v(,)

[](,,)

(,=

×=

||||

��

621

01,,)2=

[] ABv

ijk

ijk��

��

×==++ 142

012

62

[](,,())(,,) AB��

== 010411142

��vAC === [](,,())(,,) 113411012

=++

++==

141

101

6

23

dBrBAv

v(,)

[](,,)(

=×

=||

||||

|

��

1211,,,) 01|

=

[] BAv

ijk

ij��

��

×==+ 111

101

2��k

[](,,)(,,) BA��

== 213410111

dArCAv

vOv

A (,)[]

( =×

==||

||||||

��

��

�0r)

[] CAv

ijk

O��

��

×== 101

101

[](,,())(,,) CA��

== 213312101

�v=(,,). 101

Finalment, si per calcular l’àrea prenem com a base elcostat AC, tenim:

20.Donat un pla �A x �B y �C z � D �0, observemque si passa per l’origen de coordenades ha de complir:

21.a)

b)L’equació implícita de , prenent com a punt del pla A �(3, 0, 2) i com a vectors directors

, és:

La distància de P a és, doncs:

22.Un punt del pla de és O �(0, 0, 0), ja que pertanytant a r (per a k �0) com a s.

Un vector director és ja que ho és de r, i

un altre és ja que ho és de s.

Com que són linealment independents, una

equació general de és:

Per tant, la distància de P �(�2, 5, 0) a és:

23.dPO (,)()

=++

==17

315

17

35

173535 222

==11

14

111414

dP(,)()

()()=

++=

32520

312222

x

y

z

xyz

11

31

01

320 ==

�� uiv

�v=(,,), 111

�u=(,,), 130

==52

101

52101

101

dP(,)()

=+

++=

41657026

467222

x

y

z

xyz =++=

315

31

222

81214520

�� uiv == (,,)(,,), 132512

dP(,)()

=++

++==

15301

113

7

11

711

11 222

00222

==++

= dOD

ABCD (,)

==

541

52

412

Área2

===bhdACdBr

2(,)(,)

C M

Y K

120

7. Geom

etria mètrica

—L’equació del feix de plans paral.lels a és:

3 x +y 5 z +K =0

Per tal que un pla �d’aquest feix, és a dir, paral.lela , sigui a una unitat de distància de l’origen, s’hade complir:

Per exemple, si obtenim el pla:

24.Com que la distància d’un punt a un pla coincideixamb la distància del punt a la seva projecció ortogonalsobre el pla, que el punt més pròxim del pla buscat a l’origen O sigui P �(3, �2, 1) significa que P és laprojecció ortogonal de O sobre . Per tant, el vector

és un vector normal al pla.

Així, l’equació general de és de la forma:

3 x 2 y +z+D =0

Si imposem que passi per P, obtindrem el valor de D:

3 3 2 (2) +1 +D =0 D =14

El pla buscat és, per tant, 3 x 2 y +z 14 =0.

25.La distància d’un pla qualsevol del feix, d’equaciógeneral : 2 y �z �K �0, a l’origen de coordenadesés:

Perquè estigui a tres unitats de l’origen de coorde-nades, s’ha de complir:

Existeixen, doncs, dos plans del feix que equidistentres unitats de l’origen:

26.Per determinar la distància entre dues rectes, prime-rament n’estudiarem la posició relativa.

a)Com que és un vector director de r i de r�, les rectes són paral.leles o coincidents, perla qual cosa la seva distància coincidirà amb ladistància d’un punt qualsevol d’una d’elles, perexemple A �(1, 7, 0) r, a l’altra, r�:

d (r, r) =d (A, r)

�v=(,,) 231

12 23502350 :: yzyz ++=+= ,

35

3535 ===±K

KK

dOKK

(,)=++

=0215 222

[](,,) OP��

=321

35350 xyz ++=

K=35

==K

K35

35

1315

222==

++= dO

K(,)

()

Per determinar aquesta distància, prenem un puntqualsevol de r�, per exemple B �(0, 5, �1), i unvector director de r�, per exemple:

Per tant

b)Per determinar la posició relativa de r i s, estudia-rem la compatibilitat del sistema format per les se-ves equacions implícites:


Com que rang (M) �3 i rang (M�) �4, les rectess’encreuen.

Per a calcular la distància que les separa hem d’es-collir un punt i un vector director de cadascu-na.

Per a fer-ho, en determinem les equacions pa-ramètriques, resolent els sistemes formats per les equacions implícites en funció d’un paràmetre.

Si prenem com a paràmetre y �k, les equacionsparamètriques de r són:

310

053

001

000

21

3

26

20

F3F4

———�

310

053

000

001

21

3

20

26

1F4F4�—F2

3——————�

310

053

000

053

2

21

3

20

25

F3F3�F15

F4F4�—F13

——————�

310

053

310

502

21

3

1

10

321

533

31

5210

xy

yz

xy

xz

=

=

=

=

==++

++==

(,,)

(,,)

111

231111

491

3

14

4214

drrdArBAv

v(,)(,)

[]==

×=

��

�

[] BAv

ijk

ijk��

��

×==+ 121

231

[](,,())(,,) BA��

== 107501121

�v=(,,) 231

120

7. G

eom

etria

mèt

rica

— L’equació del feix de plans paral.lels a és:

3 x + y 5 z + K = 0

Per tal que un pla � d’aquest feix, és a dir, paral.lela , sigui a una unitat de distància de l’origen, s’hade complir:

Per exemple, si obtenim el pla:

24. Com que la distància d’un punt a un pla coincideixamb la distància del punt a la seva projecció ortogonalsobre el pla, que el punt més pròxim del pla buscat a l’origen O sigui P � (3, �2, 1) significa que P és laprojecció ortogonal de O sobre . Per tant, el vector

és un vector normal al pla.

Així, l’equació general de és de la forma:

3 x 2 y + z + D = 0

Si imposem que passi per P, obtindrem el valor de D:

3 3 2 ( 2) + 1 + D = 0 D = 14

El pla buscat és, per tant, 3 x 2 y + z 14 = 0.

25. La distància d’un pla qualsevol del feix, d’equaciógeneral : 2 y � z � K � 0, a l’origen de coordenadesés:

Perquè estigui a tres unitats de l’origen de coorde-nades, s’ha de complir:

Existeixen, doncs, dos plans del feix que equidistentres unitats de l’origen:

26. Per determinar la distància entre dues rectes, prime-rament n’estudiarem la posició relativa.

a) Com que és un vector director de r i de r�, les rectes són paral.leles o coincidents, perla qual cosa la seva distància coincidirà amb ladistància d’un punt qualsevol d’una d’elles, perexemple A � (1, 7, 0) r, a l’altra, r�:

d (r, r ) = d (A, r )

�v = ( , , )2 3 1

1 22 3 5 0 2 3 5 0: :y z y z+ + = + =,

35

3 5 3 5= = = ±K

K K

d OK K

( , ) =+ +

=0 2 1 52 2 2

[ ] ( , , )OP� ��

= 3 2 1

3 5 35 0x y z+ + =

K = 35

= =K

K35

35

13 1 52 2 2

= =+ +

=d OK

( , )( )

Per determinar aquesta distància, prenem un puntqualsevol de r�, per exemple B � (0, 5, �1), i unvector director de r�, per exemple :

Per tant

b) Per determinar la posició relativa de r i s, estudia-rem la compatibilitat del sistema format per les se-ves equacions implícites:


Com que rang (M) � 3 i rang (M�) � 4, les rectess’encreuen.

Per a calcular la distància que les separa hem d’es-collir un punt i un vector director de cadascu-na.

Per a fer-ho, en determinem les equacions pa-ramètriques, resolent els sistemes formats per les equacions implícites en funció d’un paràmetre.

Si prenem com a paràmetre y � k, les equacionsparamètriques de r són:

3 1 0

0 5 3

0 0 1

0 0 0

21

3

26

20

F3 F4

———�

3 1 0

0 5 3

0 0 0

0 0 1

21

3

20

26

1F4 F4 � — F23——————�

3 1 0

0 5 3

0 0 0

053

2

21

3

20

25

F3 F3 � F15

F4 F4 � — F13——————�

3 1 0

0 5 3

3 1 0

5 0 2

21

3

1

10

3 21

5 3 3

3 1

5 2 10

x y

y z

x y

x z

=

=

=

=

= =+ +

+ += =

( , , )

( , , )

1 1 1

2 3 11 1 1

4 9 1

3

14

4214

d r r d A rBA v

v( , ) ( , )

[ ]= =

×=

� ��

�

[ ]BA v

i j k

i j k� ��

� � ��

× = = +1 2 1

2 3 1

[ ] ( , , ( )) ( , , )BA� ��

= =1 0 7 5 0 1 1 2 1

�v = ( , , )2 3 1

CM

YK

121

7. Geom

etria mètrica

Així, un punt de pas de r és A � (7, 0, �1) i un

vector director,

Si prenem com a paràmetre x � k, les equacionsparamètriques de r� són:

Així, un punt de r� és A� � (0, �1, �5) i un vec-

tor director,

Finalment, la distància entre r i r� és:

= ( 7, 1, 4)

c) Calculem un vector director de r:

és a dir,

Com que també és vector director de r�, resultaque r i r� són paral.leles o coincidents.

Així, per a determinar la distància entre elles, n’hiha prou d’escollir un punt d’una d’elles, perexemple P � (5, �3, 0) r�, i calcular-ne la distàn-cia a l’altra, r.

Obtenim un punt de r fixant y � 0:

x

z

x

zA r

+ =

+ =

=

==

0 1 0

2 0 0

1

01 0 0( , , )

�v

�v = ( , , ).1 1 2

= = +

� � ��

i j k

i j k1 1 0

0 2 1

2

� � �v u u= × = × =1 2 1 1 0 0 2 1( , , ) ( , , )

d r rAA v v

v v( , )

[[ ], , ]=

×=

� ��

� �100

5 1102 10=

= =250 5 10

× = + + =� �v v ( )15 5 02 2 2

� �

� � ��

v v

i j k

i j× = = +1 3 5

2 6 5

15 5

[[ ], , ]AA v v =� ��

7 1 4

1 3 5

2 6 5

100=

[ ] ( , , ( ))AA = =� ��

0 7 1 0 5 1

�= =v 2 1 3

52

2 6 5, , ( , , ).

y x

z x

x k

y k

z k

= +

= +

=

= +

= +

1 3

2 10 51 3

552

�v = =313

153

1 3 5, , ( , , ).

3 21

3 3 5

713

153

x y

z y

x k

y k

z k

= +

= +

= +

=

= +

Així, la distància entre r i r� és:

d) Un vector director de r és i un vector

director de r� és

Com que són linealment in-

dependents; per tant, les rectes es tallen o s’encreuen.

Per determinar quin és el cas, hem de veure si elvector que va d’un punt d’una recta a un punt del’altra és o no linealment dependent amb els vec-tors directors,

Si prenem:

A = ( 1, 0, 2) r i A = (3, 1, 2) r

són linealment independents; pertant, les rectes s’encreuen.

Calculem la distància entre elles:

e) Un vector director de r és i un der� és


dependents i, per tant, les rectes es tallen o s’en-creuen.

12

23

22

, � �v i v

�=v ( , , ).2 3 2

�v = ( , , )1 2 2

= = =16

25 16 121

16

162

8 29

d r rAA v v

v v( , )

[[ ], , ]=

×=

� ��

� �

� �

� � ��

v v

i j k

i j k× = = + +3 1 1

1 4 1

5 4 11

[[ ], , ] [ ], ,AA v v AA v v=� �� | | == 16

[ ], ,AA v v� ��

[ ], ,AA v v = =� ��

4 1 0

3 1 1

1 4 1

16 0

[ ] ( ( ), , ) ( , , )AA = =� ��

3 1 1 0 2 2 4 1 0

� �v i v .

31

14

11

, � �v i v

�=v ( , , ).1 4 1

�v = ( , , )3 1 1

=+ +

+ += =

36 64 1

1 1 4

101

6

6066

d r r d r PAP v

v( , ) ( , )

[ ]= =

×=

� ��

�

[ ]AP v

i j k

i j k� ��

� � ��

× = =4 3 0

1 1 2

6 8

[ ] ( , , ) ( , , )AP� ��

= =5 1 3 0 0 0 4 3 0

121

7. G

eom

etria

mèt

rica

Així, un punt de pas de r és A �(7, 0, �1) i un

vector director,

Si prenem com a paràmetre x �k, les equacionsparamètriques de r�són:

Així, un punt de r�és A��(0, �1, �5) i un vec-

tor director,

Finalment, la distància entre r i r�és:

=(7, 1, 4)

c)Calculem un vector director de r:

és a dir,

Com que també és vector director de r�, resultaque r i r�són paral.leles o coincidents.

Així, per a determinar la distància entre elles, n’hiha prou d’escollir un punt d’una d’elles, perexemple P �(5, �3, 0) r�, i calcular-ne la distàn-cia a l’altra, r.

Obtenim un punt de r fixant y �0:

x

z

x

zAr

+=

+=

=

==

010

200

1

0100 (,,)

�v

�v=(,,). 112

==+

��

ijk

ijk 110

021

2

�� vuu =×=×= 12110021 (,,)(,,)

drrAAvv

vv(,)

[[],,]=

×=

��

��100

5110210 =

== 250510

×=++= �� vv() 1550222

��

��

vv

ijk

ij ×==+ 135

265

155

[[],,] AAvv=��

714

135

265

100 =

[](,,()) AA==��

071051

�== v21352

265 ,,(,,).

yx

zx

xk

yk

zk

=+

=+

=

=+

=+

13

210513

552

�v== 313

153

135 ,,(,,).

321

335

713

153

xy

zy

xk

yk

zk

=+

=+

=+

=

=+

Així, la distància entre r i r�és:

d)Un vector director de r és i un vector

director de r�és


dependents; per tant, les rectes es tallen o s’encreuen.

Per determinar quin és el cas, hem de veure si elvector que va d’un punt d’una recta a un punt del’altra és o no linealment dependent amb els vec-tors directors,

Si prenem:

A =(1, 0, 2) r i A=(3, 1, 2) r

són linealment independents; pertant, les rectes s’encreuen.

Calculem la distància entre elles:

e)Un vector director de r és i un der�és



12

23

22

,�� viv

�= v(,,). 232

�v=(,,) 122

===16

2516121

16

162

829

drrAAvv

vv(,)

[[],,]=

×=

��

��

��

��

vv

ijk

ijk ×==++ 311

141

5411

[[],,][],, AAvvAAvv =�� ||==16

[],, AAvv��

[],, AAvv==��

410

311

141

160

[]((),,)(,,) AA==��

311022410

�� viv.

31

14

11

,�� viv

�= v(,,). 141

�v=(,,) 311

=++

++==

36641

114

101

6

6066

drrdrPAPv

v(,)(,)

[]==

×=

��

�

[] APv

ijk

ijk��

��

×== 430

112

68

[](,,)(,,) AP��

== 513000430

C M

Y K

122

7. Geom

etria mètrica

Per veure quina és la situació, prenem un punt der, A �(2, 1, 0), un de r�, A��(1, 3, �2), i veiem siel vector que defineixen:

és combinació lineal de

són linealment dependents; pertant, les rectes es tallen.

Aleshores, d (r, r�) �0.

f)Un vector director de r és i un derés

Com que són linealment

dependents; per tant, r i r�són paral.leles o coin-cidents.

Aleshores, la seva distància coincidirà amb ladistància d’un punt qualsevol d’una d’elles, perexemple A �(3, �3, 1) r, a l’altra, r�.

Un punt de r�és A��(3, �3, 1) i com que

d (r, r) =d (A, r) =

g)Un vector director de r és

Un vector director de r�és:

és a dir,

Com que les rectes són paral.leles o coinci-dents.

Així, la distància entre elles coincideix amb ladistància d’un punt qualsevol d’elles, per exempleA �(1, �1, 0) r, a l’altra, r�.

Un punt de r�, corresponent a y �0, és:

A=(3, 0, 3)r

x

z

x

z

=

+=

=

=

2030

3030

3

3

�� vv =,

�= v(,,) 213

==++

��

ijk

ijk 120

031

23

�� =×=×= vuu 12120031 (,,)(,,)

�v=(,,). 213

=×

==[] AAv

vv

��

�

��

�|O|

0

=O��

,

[] AA=��

==2

163

42

,�� viv

�= v(,,). 132

�v=(,,) 264

[],, AAvv��

[],, AAvv=��

122

122

232

==0

�� viv:

[](,,)(,,) AA==��

123120122

La distància entre r i r�és:

Per tant, r i r�són coincidents.

27.Calculem l’equació general de �:

Com que els plans són paral.lels, i com

que els coeficients de x, y, z són idèntics en les equa-cions generals, la distància entre dos plans és:

28.Tot pla paral.lel a : 2 x �3 y �z �1 �0 pertanyeràal feix de plans paral.lels a , d’equació:

2 x 3 y +z +K =0

Determinem el valor de K per al qual la distància delpla corresponent, K, a sigui

Existeixen dos plans que compleixen el que hem de-manat, que són:

29.Determinem la posició relativa entre r i estudiant lacompatibilitat del sistema format per les equacionsimplícites de r i l’equació general de :

xy

xz

xyz

+=

=

+=

3

20

34

1

2

231670

231670

:

:

xyz

xyz

++=

+=

+=±=± KK 167167

+=== K1321432867

321

231

1

14 222==

++=

+d

KKK (,)

()

32:

==8

91

89191

d(,)()

()=

++=

++=

53

391

8

9811 222

33

99

11

==,

x

y

z

xyz =+=

213

01

330

3930

drrAAv

v

O

v(,)

[]=

×==

��

�

�

�0

[] AAv

ijk

O ×==��

��

213

213

[](,(),)(,,) AA==��

310130213

122

7. G

eom

etria

mèt

rica

Per veure quina és la situació, prenem un punt der, A � (2, 1, 0), un de r�, A� � (1, 3, �2), i veiem siel vector que defineixen:

és combinació lineal de

són linealment dependents; pertant, les rectes es tallen.

Aleshores, d (r, r�) � 0.

f) Un vector director de r és i un der és

Com que són linealment

dependents; per tant, r i r� són paral.leles o coin-cidents.

Aleshores, la seva distància coincidirà amb ladistància d’un punt qualsevol d’una d’elles, perexemple A � (3, �3, 1) r, a l’altra, r�.

Un punt de r� és A� � (3, �3, 1) i com que

d (r, r ) = d (A, r ) =

g) Un vector director de r és

Un vector director de r� és:

és a dir,

Com que les rectes són paral.leles o coinci-dents.

Així, la distància entre elles coincideix amb ladistància d’un punt qualsevol d’elles, per exempleA � (1, �1, 0) r, a l’altra, r�.

Un punt de r�, corresponent a y � 0, és:

A = (3, 0, 3) r

x

z

x

z

=

+ =

=

=

2 0 3 0

3 0 3 0

3

3

� �v v= ,

�=v ( , , )2 1 3

= = + +

� � ��

i j k

i j k1 2 0

0 3 1

2 3

� � �= × = × =v u u1 2 1 2 0 0 3 1( , , ) ( , , )

�v = ( , , ).2 1 3

=×

= =[ ]AA v

v v

� ��

�

��

�|O|

0

= O��

,

[ ]AA =� ��

= =2

163

42

, � �v i v

�=v ( , , ).1 3 2

�v = ( , , )2 6 4

[ ], ,AA v v� ��

[ ], ,AA v v =� ��

1 2 2

1 2 2

2 3 2

== 0

� �v i v :

[ ] ( , , ) ( , , )AA = =� ��

1 2 3 1 2 0 1 2 2

La distància entre r i r� és:

Per tant, r i r� són coincidents.

27. Calculem l’equació general de �:

Com que els plans són paral.lels, i com

que els coeficients de x, y, z són idèntics en les equa-cions generals, la distància entre dos plans és:

28. Tot pla paral.lel a : 2 x � 3 y � z � 1 � 0 pertanyeràal feix de plans paral.lels a , d’equació:

2 x 3 y + z + K = 0

Determinem el valor de K per al qual la distància delpla corresponent, K, a sigui

Existeixen dos plans que compleixen el que hem de-manat, que són:

29. Determinem la posició relativa entre r i estudiant lacompatibilitat del sistema format per les equacionsimplícites de r i l’equació general de :

x y

x z

x y z

+ =

=

+ =

3

2 0

3 4

1

2

2 3 1 6 7 0

2 3 1 6 7 0

:

:

x y z

x y z

+ + =

+ =

+ = ± = ±K K1 6 7 1 6 7

+ = = =K 1 3 2 14 3 28 6 7

3 21

2 3 1

1

142 2 2= =

+ +=

+d

K KK( , )

( )

3 2:

= =8

91

8 9191

d ( , )( )

( )=

+ +=

+ +=

5 3

3 9 1

8

9 81 12 2 2

33

99

11

= = ,

x

y

z

x y z= + =

2 1 3

0 1

3 3 0

3 9 3 0

d r rAA v

v

O

v( , )

[ ]=

×= =

� ��

�

�

� 0

[ ]AA v

i j k

O× = =� ��

� � ��

2 1 3

2 1 3

[ ] ( , ( ), ) ( , , )AA = =� ��

3 1 0 1 3 0 2 1 3

CM

YK

123

7. Geom

etria mètrica


Com que rang (M) � 2 i rang (M�) � 3, la recta i elpla són paral.lels.

La distància del pla a la recta coincideix amb la distàn-cia del pla a un punt qualsevol de la recta, per exem-ple al punt P, la primera coordenada del qual és x � 0:

Així:

30. a) Com que ha de contenir r i ser paral.lel a s, escompleix:

A = ( 1, 0, 0)

A més, juntament amb són vectors directors de .

Així, l’equació general de és:

b) Per hipòtesi, és paral.lel a s; per tant, la distànciaentre i s coincidirà amb la distància entre iqualsevol punt s, per exemple P � (0, �1, 0):

d ( , s) = d ( , P) =

= =13

106

13 106106

=+ +

+ +=

9 0 4 1 3 0 9

9 4 32 2 2

( )

( )

x

y

z

x y z

+

= + + =

1 2 1

3 3

2 1

9 4 3 9 0

�v = ( , , )1 3 1�u = ( , , )2 3 2

= =1

11

1111

d r d P( , ) ( , )( )

= =+

+ +=

3 0 3 0 4

3 1 12 2 2

0 3 0

2 0 0

3

00 3 0

+ + =

=

=

==

y

z

y

zP ( , , )

1 1 3

2 0 0

3 1 4

2 0 3= =rang M( )

1 1

2 02 0 2= =rang M( )

M rang M= = <

1 1 0

2 0 1

3 1 1

0 3( )

3. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES MÈTRICS

31. El pla mediador del segment AB és el conjunt depunts P � (x, y, z) que són a la mateixa distància delsextrems del segment, A i B:

�(x 3, y 1, z 1)� = �(x + 1, y 5, z + 1)�

(x 3)2 + (y 1)2 + (z 1)2 =

= (x + 1)2 + (y 5)2 + (z + 1)2

0 = 8 x 8 y + 4 z + 16

2 x 2 y + z + 4 = 0

32. Un punt P � (x, y, z) és d’un pla bisector de 1 i 2 sii només si:

d (P, 1) = d (P, 2)

33. • Trobem l’equació paramètrica de r:

— Considerem P r i Q s, i trobem

P = (3 k1, 4 k1, 2 k1)

Q = (1, 1 + 2 k2, 1 + k2)

— Imposem que els dos productes escalars,

siguin iguals a zero:[ ] [ ]PQ u i PQ v� ��

[ ] ( , , )PQ k k k k k� ��

= + + +1 3 1 2 4 1 21 2 1 2 1

[ ]PQ� ��

:

xk

yk

zk

x k

y k

z k

3

4

2

3

4

2

=

=

=

=

=

=

+ + + =5 23029

2 53029

3 0

5 23

x y z

0029

2 53029

3 0+ + + =x y z

+ + = ± +5 2 33029

2 5x y z x y( )

+ + = +29 5 2 3 30 2 5x y z x y

+ +

+ +=

+

+ +

5 2 3

5 2 1

2 5

2 5 02 2 2 2 2 2

x y z x y

( )

+ + + + + + +x x y y z z2 2 22 1 10 25 2 1

+ + + + + =x x y y z z2 2 26 9 2 1 2 1

= + + + +( ) ( ) ( )x y z1 5 12 2 2

+ + =( ) ( ) ( )x y z3 1 12 2 2

d A P d B P AP BP( , ) ( , ) [ ] [ ]= =� ��

123

7. G

eom

etria

mèt

rica


Com que rang (M) �2 i rang (M�) �3, la recta i elpla són paral.lels.

La distància del pla a la recta coincideix amb la distàn-cia del pla a un punt qualsevol de la recta, per exem-ple al punt P, la primera coordenada del qual és x �0:

Així:

30.a)Com que ha de contenir r i ser paral.lel a s, escompleix:

A =(1, 0, 0)

A més, juntament amb són vectors directors de .


b)Per hipòtesi, és paral.lel a s; per tant, la distànciaentre i s coincidirà amb la distància entre iqualsevol punt s, per exemple P �(0, �1, 0):

d (, s) =d (, P) =

==13

106

13106106

=++

++=

9041309

943222

()

()

x

y

z

xyz

+

=++=

121

33

21

94390

�v=(,,) 131 �u=(,,) 232

==1

11

1111

drdP (,)(,)()

==+

++=

30304

311222

030

200

3

0030

++=

=

=

==

y

z

y

zP(,,)

113

200

314

203 == rangM()

11

20202 == rangM()

MrangM ==<

110

201

311

03 ()

3.RESOLUCIÓ DE PROBLEMES MÈTRICS

31.El pla mediador del segment AB és el conjunt depunts P �(x, y, z) que són a la mateixa distància delsextrems del segment, A i B:

�(x 3, y 1, z 1)�=�(x +1, y 5, z +1)�

(x 3)2+(y 1)2+(z 1)2=

=(x +1)2+(y 5)2+(z +1)2

0 =8 x 8 y +4 z +16

2 x 2 y +z +4 =0

32.Un punt P �(x, y, z) és d’un pla bisector de 1i 2sii només si:

d (P, 1) =d (P, 2)

33.•Trobem l’equació paramètrica de r:

—Considerem P r i Q s, i trobem

P =(3 k1, 4 k1, 2 k1)

Q =(1, 1 +2 k2, 1 +k2)

—Imposem que els dos productes escalars,

siguin iguals a zero: [][] PQuiPQv��

[](,,) PQkkkkk��

=+++ 1312412 12121

[] PQ��

:

xk

yk

zk

xk

yk

zk

3

4

2

3

4

2

=

=

=

=

=

=

+++= 523029

253029

30

523

xyz

0029

253029

30 +++= xyz

++=±+ 5233029

25 xyzxy ()

++=+ 295233025 xyzxy

++

++=

+

++

523

521

25

250222222

xyzxy

()

+++++++ xxyyzz222

21102521

+++++= xxyyzz222

692121

=++++ ()()() xyz 151222

++= ()()() xyz 311222

dAPdBPAPBP (,)(,)[][] ==��

C M

Y K

124

7. Geom

etria mètrica

(1 3 k1, 1 +2 k24 k1, 1 +k2+2 k1)

(3, 4, 2) =0

(1 3 k1, 1 +2 k24 k1, 1 +k2+2 k1)

(0, 2, 1) =0

Obtenim el sistema d’equacions:

Per tant:

—Així, l’equació vectorial de la perpendicular co-muna a r i s és:

•Trobem el vector , perpendicular a r�i s�:

—Determinem l’equació dels plans i �:

—Expressem la recta t�que busquem com a inter-secció de i �:

34.a)Trobem el punt simètric P��(x, y, z) imposant lacondició que Q sigui el punt mitjà del segmentPP�.

P=(4, 5, 2)

b)Per a trobar la projecció Q de P sobre r, deter-minem el pla perpendicular a r que conté P.Com que els vectors directors de r són vectors nor-mals de :

: x y 2 z +D =0

(,,),, 3432

23

24

2=

+++ xyz

+=

+=t

xyz

xyz:

106340

1542360

+

+

=+= :

x

y

z

xyz

220

261

132

1542360

:

x

y

z

xyz =+=

130

141

22

106340

= �w(,,) 012

�� uv(,,)(,,)(,,) ×=×= 3422630510

�w

(,,),,(, xyzk =+21

10928

10914109

836,)

PQ��

=88

10933

10966

109,,

P=21

10928

10914109

,,

++=

++===

29650

65307

10912

1212

kk

kkkk;

57109

Si P , 2 3 2 4 +D =0 D =9

: x y 2 z +9 =0

El punt Q és el punt d’intersecció de i r:

Com que Q ha de ser el punt mitjà del segmentPP�, i P��(x, y, z) és el simètric:

P=(2, 3, 4)

Fixa’t que P��P, la qual cosa significa que P r.

c)Per trobar la projecció Q de P sobre , determi-nem la recta r perpendicular a i que conté P:

(x, y, z) =(2, 3, 4) +k (1, 2, 1)

El punt Q és el punt intersecció de r i :

Q =(3, 1, 3)

Com que Q ha de ser el punt mitjà del segmentPP�, i P��(x, y, z) és el punt simètric:

P=(4, 1, 2)


35.Calculem un vector director, de s:

(2, 1, 1) ×(1, 1, 1) =(0, 3, 3)

Qualsevol pla que tingui com a vector normalserà perpendicular a s, i tindrà una equació de la for-ma:

y +z +k =0

Imposem que B compleixi aquesta equació:

1 +2 +k =0 k =3

L’equació de és, doncs, y +z 3 =0.

Vegem ara la manera de trobar el pla �:

Obtenim dos vectors directors de �,i un punten ’, A:

�� viw,

�u

= �u(,,) 011

�u

(,,),, 3132

23

24

2=

+++ xyz

xyz

xyzkkk

+=

=+

220

2324 (,,)(,,)

(,,),, 2342

23

24

2=

+++ xyz

xyz

xyzkkkQ

+=

==

290

5822

(,,)(,,)(,,) 34

124

7. G

eom

etria

mèt

rica

(1 3 k1, 1 + 2 k2 4 k1, 1 + k2 + 2 k1)

(3, 4, 2) = 0

(1 3 k1, 1 + 2 k2 4 k1, 1 + k2 + 2 k1)

(0, 2, 1) = 0

Obtenim el sistema d’equacions:

Per tant:

— Així, l’equació vectorial de la perpendicular co-muna a r i s és:

• Trobem el vector , perpendicular a r� i s�:

— Determinem l’equació dels plans i �:

— Expressem la recta t� que busquem com a inter-secció de i �:

34. a) Trobem el punt simètric P� � (x, y, z) imposant lacondició que Q sigui el punt mitjà del segmentPP�.

P = (4, 5, 2)

b) Per a trobar la projecció Q de P sobre r, deter-minem el pla perpendicular a r que conté P.Com que els vectors directors de r són vectors nor-mals de :

: x y 2 z + D = 0

( , , ) , ,3 4 32

23

24

2=

+ + +x y z

+ =

+ =t

x y z

x y z:

10 6 3 4 0

15 4 2 36 0

+

+

= + =:

x

y

z

x y z

2 2 0

2 6 1

1 3 2

15 4 2 36 0

:

x

y

z

x y z= + =

1 3 0

1 4 1

2 2

10 6 3 4 0

=�w ( , , )0 1 2

� �u v ( , , ) ( , , ) ( , , )× = × =3 4 2 2 6 3 0 5 10

�w

( , , ) , , ( ,x y z k= +21

10928

10914109

8 3 6, )

PQ� ��

=88

10933

10966

109, ,

P =21

10928

10914109

, ,

+ + =

+ + == =

29 6 5 0

6 5 3 07

1091 2

1 21 2

k k

k kk k;

57109

Si P , 2 3 2 4 + D = 0 D = 9

: x y 2 z + 9 = 0

El punt Q és el punt d’intersecció de i r:

Com que Q ha de ser el punt mitjà del segmentPP�, i P� � (x, y, z) és el simètric:

P = (2, 3, 4)

Fixa’t que P� � P, la qual cosa significa que P r.

c) Per trobar la projecció Q de P sobre , determi-nem la recta r perpendicular a i que conté P:

(x, y, z) = (2, 3, 4) + k (1, 2, 1)

El punt Q és el punt intersecció de r i :

Q = (3, 1, 3)

Com que Q ha de ser el punt mitjà del segmentPP�, i P� � (x, y, z) és el punt simètric:

P = (4, 1, 2)


35. Calculem un vector director, de s:

(2, 1, 1) × (1, 1, 1) = (0, 3, 3)

Qualsevol pla que tingui com a vector normalserà perpendicular a s, i tindrà una equació de la for-ma:

y + z + k = 0

Imposem que B compleixi aquesta equació:

1 + 2 + k = 0 k = 3

L’equació de és, doncs, y + z 3 = 0.

Vegem ara la manera de trobar el pla �:

Obtenim dos vectors directors de � , i un punten ’, A:

� �v i w,

�u

=�u ( , , )0 1 1

�u

( , , ) , ,3 1 32

23

24

2=

+ + +x y z

x y z

x y z k k k

+ =

= +

2 2 0

2 3 2 4( , , ) ( , , )

( , , ) , ,2 3 42

23

24

2=

+ + +x y z

x y z

x y z k k kQ

+ =

==

2 9 0

5 8 22

( , , ) ( , , )( , , )3 4

CM

YK

125

7. Geom

etria mètrica

en què (2, 3, 1) i ( 1, 1, 2) són vectors normals alsplans que defineixen s�.

Per tant, l’equació general de � és:

36. Qualsevol pla que contingui la recta r pertanyerà alfeix de plans secants en r. Busquem l’equació d’aquestfeix:

Així, l’equació del feix és:

(x + 3 y) + (4 y + z) = 0

Si prescindim del pla �: 4 y � z � 0 (corresponent a� 0), podem expressar l’equació del feix en termes

d’un únic paràmetre

x + 3 y + (4 y + z) = 0 x + (3 + 4 ) y + z = 0

Determinem ara els plans que compleixen les condi-cions de cada apartat.

a)

+ + = +149

17 24 10 5 42 2( ) ( )

+ + = +143

17 24 10 5 42

143

5 4

17 24 102= =

+

+ +d P( , )

=+

+ +

5 4

17 24 102

d P( , )( )

( )=

+ + +

+ + +=

1 3 4 1 1

1 3 42 2 2

= :

=

=

+ =

+ =

x y

y z

x y

y z

3 1

1 4

3 0

4 0

x k

y k

z k

x y z=

=

=

= =

3

43 1 4

x

y

z

x y z= + + =

23

0 7

1 3

73

1 5

8 7 7 11 0

= ×s w ( , , ) ( , ,� � 2 3 1 1 1 2)) ( , , ),= 7 3 5

s

A s y =: Considerant

tenim

,0

, ,

( , , )

A

u v

=

= =

23

073

0 1 1� �

= 2

13 2 24 4 = 0

Hi ha, doncs, dos plans que compleixen el que ensdemanen:

1: x + (3 + 4 2) y + 2 z = 0

x + 11 y + 2 z = 0

13 x + 31 y 2 z = 0

Comprovem que el pla que no hem considerat, �,

no dista unitats de P:

b) Si és l’angle format per i l’eix OX, tenint encompte que és un vector normalde , i que és un vector director del’eix OX, es compleix:

Per tant:

17 2 + 24 + 10 = 3

= 1

17 2 + 24 + 7 = 0


1: x + (3 + 4 ( 1)) y + ( 1) z = 0

x y z = 0

=7

17

+ +=

1

17 24 10

332

33

= sin

=+ +

1

17 24 102

=+ + +

+ + + + +=

1 1 0 3 4 0

1 0 0 1 3 4 2 2

( )

( )

sinv u

v u= =

� �

� �

�v = ( , , )1 0 0

�u = +( , , )1 3 4

d P( , ) =+

+ +=

4 1 1

0 4 1

5

17

1432 2 2

143

2 3 42

132

130: x y z+ + + =

=2

13

+ + =139

249

49

02

+ + = + +149

17 24 10 25 40 162 2( )

��

��

125

7. G

eom

etria

mèt

rica

en què (2, 3, 1) i (1, 1, 2) són vectors normals alsplans que defineixen s�.

Per tant, l’equació general de �és:

36.Qualsevol pla que contingui la recta r pertanyerà alfeix de plans secants en r. Busquem l’equació d’aquestfeix:

Així, l’equació del feix és:

(x +3 y) +(4 y +z) =0

Si prescindim del pla �: 4 y �z �0 (corresponent a�0), podem expressar l’equació del feix en termes

d’un únic paràmetre

x +3 y +(4 y +z) =0 x +(3 +4 ) y +z =0

Determinem ara els plans que compleixen les condi-cions de cada apartat.

a)

++=+149

1724105422

()()

++=+143

172410542

143

54

1724102

==+

++dP (,)

=+

++

54

1724102

dP (,)()

()=

+++

+++=

13411

134222

=:

=

=

+=

+=

xy

yz

xy

yz

31

14

30

40

xk

yk

zk

xyz=

=

=

==

3

4314

x

y

z

xyz =++=

23

07

13

73

15

877110

=× sw(,,)(,, ��231112))(,,), =735

s

Asy= :Considerant

tenim

, 0

,,

(,,)

A

uv

=

==

23

073

011 ��

=2

13 224 4 =0


1: x +(3 +4 2) y +2 z =0

x +11 y +2 z =0

13 x +31 y 2 z =0

Comprovem que el pla que no hem considerat, �,

no dista unitats de P:

b)Si és l’angle format per i l’eix OX, tenint encompte queés un vector normalde , i queés un vector director del’eix OX, es compleix:

Per tant:

17 2+24 +10 =3

=1

17 2+24 +7 =0


1: x +(3 +4 (1)) y +(1) z =0

x y z =0

=7

17

++=

1

172410

33 2

33

=sin

=++

1

1724102

=+++

+++++=

110340

10013422

()

()

sinvu

vu==

��

��

�v=(,,) 100

�u=+ (,,) 134

dP(,)=+

++=

411

041

5

17

143 222

143

2342

132

130 :xyz +++=

=2

13

++=139

249

49

02

++=++149

17241025401622

()

��

��

C M

Y K

126

7. Geom

etria mètrica

17 x +23 y 7 z =0

Comprovem que el pla que no hem considerat, �,no compleix la condició d’aquest apartat:

c)Siguin vector normal de , i

de ; aleshores:

0 =1 3 +(3 +4 ) 1 +2 =

=6 +6 =1

El pla buscat és:

1: x +(3 +4 (1)) y +(1) z =0

x y z =0

Comprovem que �no és perpendicular a :

(0, 4, 1) (3, 1, 2) =0 3 +4 1 +1 2 =6 0

37.Imposem les condicions que ha de complir r�per ob-tenir un punt de pas, A, i un vector director,

Com que està continguda en el pla XY, es compleix que

Si imposem que tenim:

Prenem el valor v1�1 i tenim:

Així, hem obtingut dos vectors directors:

Com que, a més, r�ha de passar per l’origen, les solu-cions són:

++

+

rk

rk1

2

0001230

000

:(,,)(,,)

:(,,)(11230 ,,)

�� viv =+= (,,)(,,) 12301230

vvvv

v

v

v12

22

12

1

1

2

40

1

1

23

++=

=

=

=±

+=+++=

vvvvvvvv 1

222

122

12

22

122

40 ()

=+

++=+

122

22

12

12

221

222

12vv

vvvvvv

12

601100

2

12

12

22

==+

cosº(,,)(,,) vv

vv

rrº, = �60

�vvv =(,,). 120

�v:

= �� nnnn0

�u=(,,) 312

�u=+ (,,), 134

=03

3

sinOX (,)=++

++++= �014010

0161100

2347

177

170 :xyz +++=

38.Sigui P =(x, y, z) r �r:

D’altra banda, s’ha de complir que

és un vector director de r i

és un vector director de r�.

Prenem i

Així:

que és un absurd que prové de suposar que r i r�es ta-llen formant un angle de 60°. Per tant, no existeix capvalor de a per al qual es compleixin les hipòtesis del’enunciat.

39.Sigui �un pla tal que r ��i �; aleshores, la pro-jecció ortogonal de r sobre , s és:

s =�

Càlcul de �:

Així, l’equació general de �és:

Per tant, s ve donada per les equacions generals de i�:

40.Sigui �un pla tal que r ��i �; aleshores, la pro-jecció ortogonal de r sobre , s és:

s =�

Càlcul de �:

= �v(,,) 121vectordirectorde

rAr

u�

� =

=

(,,)

(,,)

201

311 �vectorddirectorde

sxy

xyz:

+=

+++=

230

230

x

y

z

xyz +=+++=

121

132

10

230

= �v(,,) 120vectordirectorde

rAr

u�

� =

=

(,,)

(,,)

110

231 �vectordiirectorde

==2

6

12

2

6

12

6001021

114001==

+

++++= cosº

1

�va == (,,)(,,). 01001

�u=×= (,,)(,,)(,,) 110201112

�v

60= cosº,��

� uv

uvu enquè

rrº = �60:

=+

=+==

22

220

ak

ykka

Prx

PrP

Pr

==

2224 (,,)

126

7. G

eom

etria

mèt

rica

17 x + 23 y 7 z = 0

Comprovem que el pla que no hem considerat, �,no compleix la condició d’aquest apartat:

c) Siguin vector normal de , i

de ; aleshores:

0 = 1 3 + (3 + 4 ) 1 + 2 =

= 6 + 6 = 1

El pla buscat és:

1: x + (3 + 4 ( 1)) y + ( 1) z = 0

x y z = 0

Comprovem que � no és perpendicular a :

(0, 4, 1) (3, 1, 2) = 0 3 + 4 1 + 1 2 = 6 0

37. Imposem les condicions que ha de complir r� per ob-tenir un punt de pas, A, i un vector director,

Com que està continguda en el pla XY, es compleix que

Si imposem que tenim:

Prenem el valor v1 � 1 i tenim:

Així, hem obtingut dos vectors directors:

Com que, a més, r� ha de passar per l’origen, les solu-cions són:

+ +

+

r k

r k1

2

0 0 0 1 2 3 0

0 0 0

: ( , , ) ( , , )

: ( , , ) (11 2 3 0, , )

� �v i v= + =( , , ) ( , , )1 2 3 0 1 2 3 0

v v v v

v

v

v12

22

1 2

1

1

2

4 0

1

1

2 3

+ + =

=

=

= ±

+= + + + =

v vv v v v v v1

222

1 22

12

22

1 224 0( )

=+

++ = +

12 2

22

1 2

12

22 1

222

1 2v v

v vv v v v

12

601 1 0 0

2

1 2

12

22

= =+

cos º( , , ) ( , , )v v

v v

r r º ,=� 60

�v v v= ( , , ).1 2 0

�v:

=� � � �n n n n 0

�u = ( , , )3 1 2

�u = +( , , ),1 3 4

= 03

3

sin OX( , ) =+ +

+ + + +=� 0 1 4 0 1 0

0 16 1 1 0 0

2 3 47

177

170: x y z+ + + =

38. Sigui P = (x, y, z) r � r :

D’altra banda, s’ha de complir que

és un vector director de r i

és un vector director de r�.

Prenem i

Així:

que és un absurd que prové de suposar que r i r� es ta-llen formant un angle de 60°. Per tant, no existeix capvalor de a per al qual es compleixin les hipòtesis del’enunciat.

39. Sigui � un pla tal que r � � i � ; aleshores, la pro-jecció ortogonal de r sobre , s és:

s = �

Càlcul de �:

Així, l’equació general de � és:


40. Sigui � un pla tal que r � � i � ; aleshores, la pro-jecció ortogonal de r sobre , s és:

s = �

Càlcul de �:

=�v ( , , )1 2 1 vector director de

rA r

u�

�=

=

( , , )

( , , )

2 0 1

3 1 1� vector ddirector de

sx y

x y z:

+ =

+ + + =

2 3 0

2 3 0

x

y

z

x y z+ = + + + =

1 2 1

1 3 2

1 0

2 3 0

=�v ( , , )1 2 0 vector director de

rA r

u�

�=

=

( , , )

( , , )

1 1 0

2 3 1� vector diirector de

= =2

6

12

2

6

12

600 1 0 2 1

1 1 4 0 0 1= =

+

+ + + +=cos º

1

�v a= =( , , ) ( , , ).0 1 0 0 1

�u = × =( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 0 2 0 1 1 1 2

�v

60 =cos º ,� ��

�u v

u vuen què

r r º=� 60 :

= +

= + ==

2 2

2 20

a k

y k ka

P r x

P rP

P r

==

22 2 4( , , )

CM

YK

127

7. Geom

etria mètrica

Així, l’equació general de � és:


El punt de tall de r amb és la solució del sistema for-mat per les equacions implícites de r i l’equació gene-ral de .

Determinem, doncs, les equacions implícites de r:

El sistema que hem de resoldre és, doncs:

Per tant, r � = (2, 0, 1).

El punt de tall de r amb la seva projecció s sobre seràun punt de r i de , ja que s � �; per tant, és l’únicpunt de r que és en :

r � s = r � = (2, 0, 1)

ACTIVITATS

Abans de començar

• Càlcul de l’angle entre: dues rectes (pàg. 138), dos plans(pàg. 140), recta i pla (pàg. 142).

Exemples numèrics del càlcul de l’angle entre: dues rec-tes (pàg. 139), dos plans (pàg. 140), una recta i un pla(pàg. 142).

• Càlcul de la distància entre: un punt i una recta (pàg.145), un punt i un pla (pàg. 146), dues rectes (pàg. 148),dos plans (pàg. 150), una recta i un pla (pàg. 151).

• Determinació de:

a) Pla mediador d’un segment (pàg. 151).

b) Plans bisectors de dos plans (pàg. 151).

c) Punt simètric d’un punt respecte d’un altre, respected’una recta i respecte d’un pla (pàg. 154).

x y

y z

x y z

x y z

=

+ =

+ + =

= = =

3 2

1

1

2 0 1, ,

= =

=+

+ + =

xy x y

yz

y z

23

3 2 0

11

1 0

x k

y k

z k

xy

z= +

=

=

= =+

2 3

1

23

11

sx y z

x y z:

+ + =

+ =

2 1 0

3 4 5 1 0

x

y

z

x y z

+

= + =

2 3 1

1 2

1 1 1

3 4 5 1 0

Qüestions

41. Un vector normal a és

En efecte, sigui un vector director qualsevol de .

Podem expressar mitjançant dos punts qualsevol de

, P � (p1, p2, p3) i Q � (q1, q2, q3):

Calculem el valor del producte escalar de

= Aq1 + Bq2 + Cq3 Ap1 Bp2 Cp3 =

P, Q : A x + B y + C z = D

= D ( D) = 0

Això significa que és perpendicular a un vector di-

rector qualsevol de ; per tant, és perpendicular a .

42. Busquem la fórmula que ens dóna la distància d’unpunt P � (p1, p2, p3) a un pla

: A x + B y + C z + D = 0

Observem que la distància de P a coincideix amb laprojecció del vector que va de qualsevol punt de ,Q � (q1, q2, q3), al punt P, sobre la direcció per-pendicular a , que és la del vector normal a ,

D’acord amb la interpretació geomètrica del produc-te escalar:

Q

43. Els plans bisectors de dos plans qualssevol 1 i 2 for-men un angle recte, ja que divideixen cadascun delsquatre angles diedres dos a dos formats per aquestsplans, i , en dos angles iguals. Com que aquests

=+ + +

+ +

Ap Bp Cp D

A B C

1 2 3

2 2 2

=+ +

+ +=

Ap Bp Cp Aq Bq Cq

A B C

1 2 3 1 2 3

2 2 2

=+ +

+ +=

A p q B p q C p q

A B C

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3

2 2 2

= =( , , ) ( , , )

( , , )

p q p q p q A B C

A B C1 1 2 2 3 3

d PQP n

n( , )

[ ]= =

� ��

�

�n A B C= ( , , ).

[ ],QP� ��

�v

�n

� �n v A q p B q p C q p= + + =( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3

n per v:

� � ��v PQ q p q p q p= =[ ] ( , , )1 1 2 2 3 3

�v

�v

�n A B C= ( , , ).

P

d (P, �)

�

Q

[QP]

n

127

7. G

eom

etria

mèt

rica

Així, l’equació general de �és:


El punt de tall de r amb és la solució del sistema for-mat per les equacions implícites de r i l’equació gene-ral de .

Determinem, doncs, les equacions implícites de r:

El sistema que hem de resoldre és, doncs:

Per tant, r �=(2, 0, 1).

El punt de tall de r amb la seva projecció s sobre seràun punt de r i de , ja que s ��; per tant, és l’únicpunt de r que és en :

r �s =r �=(2, 0, 1)

ACTIVITATS

Abans de començar

•Càlcul de l’angle entre: dues rectes (pàg. 138), dos plans(pàg. 140), recta i pla (pàg. 142).

Exemples numèrics del càlcul de l’angle entre: dues rec-tes (pàg. 139), dos plans (pàg. 140), una recta i un pla(pàg. 142).

•Càlcul de la distància entre: un punt i una recta (pàg.145), un punt i un pla (pàg. 146), dues rectes (pàg. 148),dos plans (pàg. 150), una recta i un pla (pàg. 151).

•Determinació de:

a)Pla mediador d’un segment (pàg. 151).

b)Plans bisectors de dos plans (pàg. 151).

c)Punt simètric d’un punt respecte d’un altre, respected’una recta i respecte d’un pla (pàg. 154).

xy

yz

xyz

xyz

=

+=

++=

===

32

1

1

201 ,,

==

=+

++=

xyxy

yz

yz

23

320

11

10

xk

yk

zk

xy

z=+

=

=

==+

23

1

23

11

sxyz

xyz:

++=

+=

210

34510

x

y

z

xyz

+

=+=

231

12

111

34510

Qüestions

41.Un vector normal a és

En efecte, sigui un vector director qualsevol de .

Podem expressar mitjançant dos punts qualsevol de

, P �(p1, p2, p3) i Q �(q1, q2, q3):

Calculem el valor del producte escalar de

=Aq1+Bq2+Cq3Ap1Bp2Cp3=

P, Q : A x +B y +C z =D

=D (D) =0

Això significa queés perpendicular a un vector di-

rector qualsevol de ; per tant, és perpendicular a .

42.Busquem la fórmula que ens dóna la distància d’unpunt P �(p1, p2, p3) a un pla

: A x +B y +C z +D =0

Observem que la distància de P a coincideix amb laprojecció del vector que va de qualsevol punt de ,Q �(q1, q2, q3), al punt P, sobre la direcció per-pendicular a , que és la del vector normal a ,

D’acord amb la interpretació geomètrica del produc-te escalar:

Q

43.Els plans bisectors de dos plans qualssevol 1i 2for-men un angle recte, ja que divideixen cadascun delsquatre angles diedres dos a dos formats per aquestsplans, i , en dos angles iguals. Com que aquests

=+++

++

ApBpCpD

ABC

123

222

=++

++=

ApBpCpAqBqCq

ABC

123123

222

=++

++=

ApqBpqCpq

ABC

()()() 112233

222

==(,,)(,,)

(,,)

pqpqpqABC

ABC112233

dPQPn

n(,)

[]==

��

�

�nABC =(,,).

[], QP��

�v

�n

�� nvAqpBqpCqp =++= ()()() 112233

nperv:

�� vPQqpqpqp == [](,,) 112233

�v

�v

�nABC =(,,).

P

d (P, �)

�

Q

[QP]

n

C M

Y K

128

7. Geom

etria mètrica

quatre angles sumen 360�, cada parell d’angles di-ferents sumen 180�,� �180�; per tant, les sevesunitats (angle format entre els plans bisectors) sumen90�.

Per exemple, els plans bisectors de l’exemple 17, : x �22 y �5 z �30 �0 i �: 19 x �2 y �5 z �0,

són perpendiculars, perquè els seus vectors normals, ho són:

44.Primer procediment:

—Escollim un punt A de la recta i un vector directorde la recta.

—Prenem un vector normal del pla,

—El pla buscat és

Segon procediment:

—Determinem l’equació del feix de plans secants enla recta.

—Trobem el pla d’aquest feix el vector normal delqual és perpendicular al vector normal del pla do-nat. Aquest és el pla buscat.

45.Un vector és paral.lel a un pla si i només si és perpen-dicular al vector normal del pla.

Així, un vector és paral.lel als plans i �si i només siés simultàniament perpendicular als vectors normalsd’aquests plans,(1, 1, 2).

Una manera d’obtenir un vector tal és multiplicar vec-torialment aquests vectors normals:


46.a)Un vector director de r és i un de sés

Per tant, l’angle que formen és:

b)Un vector director de r és i un des és Per tant, l’angle que formen és:

== arcuv

uvcos��

�v=(,,). 131

�u=(,,), 211

=== arcarc coscosº0

179090

=++

++++= arccos

()() 322221

944441

== arcuv

uvcos��

�v=(,,). 221

�u=(,,), 322

= �v(,,) 174

��

��

vnn

ijk

ijk =×==++ 311

112

74

�� nin == (,,) 311

(;,). Avn ��

�n.

�v

�� nn=++= 119222550 ()()()

�� nin == (,,)(,,), 12251925c)Un vector director de r és:

Un vector director de s és el producte vectorialdels vectors normals dels plans les equacions delsquals formen les equacions implícites de s:

Per tant, r i s formen un angle:

47.a)Un vector normal de ési un deés per tant, l’angle que formen és:

b)Un vector normal de és el producte vectorial dedos vectors directors:

Un vector normal de és

Per tant, l’angle que formen i és:

48.a)Un vector director de r és i un

vector normal de és �n=(,,). 113

�v=(,,), 124

== arccos,º4

17140

=++

++++= arccos

410010

1601100

�= n(,,). 100

=+= 4401�� ikn(,,)

�

��

n

ijk

=×== (,,)(,,) 134010134

010

== arccos,º1

62732

=++

++++= arccos

() 102111

141011

== arcnn

nncos��

�= n(,,); 011

�n=(,,), 121

== arccos,º2

6353

=++

++++= arccos

() 101021

114001

== arcuv

uvcos��

��vnnk =×=×== 12100010001 (,,)(,,)(,,)

��uAB === [](,,)(,,) 211013112

=== arcarc coscosº0

611090

=++

++++= arccos

() 211311

411191

128

7. G

eom

etria

mèt

rica

quatre angles sumen 360�, cada parell d’angles di-ferents sumen 180�, � � 180�; per tant, les sevesunitats (angle format entre els plans bisectors) sumen90�.

Per exemple, els plans bisectors de l’exemple 17, : x � 22 y � 5 z � 30 � 0 i �: 19 x � 2 y � 5 z � 0,

són perpendiculars, perquè els seus vectors normals, ho són:

44. Primer procediment:

— Escollim un punt A de la recta i un vector directorde la recta.

— Prenem un vector normal del pla,

— El pla buscat és

Segon procediment:

— Determinem l’equació del feix de plans secants enla recta.

— Trobem el pla d’aquest feix el vector normal delqual és perpendicular al vector normal del pla do-nat. Aquest és el pla buscat.

45. Un vector és paral.lel a un pla si i només si és perpen-dicular al vector normal del pla.

Així, un vector és paral.lel als plans i � si i només siés simultàniament perpendicular als vectors normalsd’aquests plans, (1, 1, 2).

Una manera d’obtenir un vector tal és multiplicar vec-torialment aquests vectors normals:


46. a) Un vector director de r és i un de sés

Per tant, l’angle que formen és:

b) Un vector director de r és i un des és Per tant, l’angle que formen és:

= =arcu v

u vcos� ��

�v = ( , , ).1 3 1

�u = ( , , ),2 1 1

= = =arc arccos cos º0

17 90 90

=+ +

+ + + +=arc cos

( ) ( )3 2 2 2 2 1

9 4 4 4 4 1

= =arcu v

u vcos� ��

�v = ( , , ).2 2 1

�u = ( , , ),3 2 2

=�v ( , , )1 7 4

� � �

� � ��

v n n

i j k

i j k= × = = + +3 1 1

1 1 2

7 4

� �n i n= =( , , )3 1 1

( ; , ).A v n� �

�n.

�v

� �n n = + + =1 19 22 2 5 5 0( ) ( ) ( )

� �n i n= =( , , ) ( , , ),1 22 5 19 2 5 c) Un vector director de r és:

Un vector director de s és el producte vectorialdels vectors normals dels plans les equacions delsquals formen les equacions implícites de s:

Per tant, r i s formen un angle:

47. a) Un vector normal de és i un deés per tant, l’angle que formen és:

b) Un vector normal de és el producte vectorial dedos vectors directors:


Per tant, l’angle que formen i és:

48. a) Un vector director de r és i un

vector normal de és �n = ( , , ).1 1 3

�v = ( , , ),1 2 4

= =arc cos , º4

1714 0

=+ +

+ + + +=arc cos

4 1 0 0 1 0

16 0 1 1 0 0

�=n ( , , ).1 0 0

= + =4 4 0 1� � �i k n ( , , )

�

� � �

n

i j k

= × = =( , , ) ( , , )1 3 4 0 1 0 1 3 4

0 1 0

= =arc cos , º1

6 273 2

=+ +

+ + + +=arc cos

( )1 0 2 1 1 1

1 4 1 0 1 1

= =arcn n

n ncos� ��

�=n ( , , );0 1 1

�n = ( , , ),1 2 1

= =arc cos , º2

635 3

=+ +

+ + + +=arc cos

( )1 0 1 0 2 1

1 1 4 0 0 1

= =arcu v

u vcos� ��

� � � �v n n k= × = × = =1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1( , , ) ( , , ) ( , , )

� � ��u AB= = =[ ] ( , , ) ( , , )2 1 1 0 1 3 1 1 2

= = =arc arccos cos º0

6 110 90

=+ +

+ + + +=arc cos

( )2 1 1 3 1 1

4 1 1 1 9 1

CM

YK

129

7. Geom

etria mètrica


b) Un vector director de r és


Per tant, l’angle format per r i és:

c) Un vector director de r és

Un vector normal de és el producte vectorial dedos vectors directors seus:

o també,

L’angle format per r i és:

49. La recta que busquem ha d’estar continguda en el plaperpendicular a la recta r que passa per A.

Com que el vector director de r, és normala , l’equació de és de la forma x � 2 y � 3 z �� D � 0.

�v = ( , , ),1 2 3

= =arc sin , º6

26 1120 8

=+ +

+ + + +=arc sin

( ) ( )1 1 4 1 3 3

1 16 9 1 1 9

= =arc sinv n

v n

� ��

� �n n= =

12

1 1 3( , , ).

= + + =2 2 6 2 2 6� � � �i j k n ( , , )

�

� � �

= × = =n

i j k

( , , ) ( , , )1 2 1 3 0 1 1 2 1

3 0 1

�v = ( , , ).1 4 3

= =arc sin , º5

6 1040 2

=+ +

+ + + +=arc sin

( ) ( ) ( )1 3 1 0 2 1

1 1 4 9 0 1

= =arc sinv n

v n

�n = ( , , ).3 0 1

= =� � � �i j k v2 1 1 2( , , )

� � �

� � �

v n n

i j k

= × = × =1 2 1 1 0 2 0 1 1 1 0

2 0

( , , ) ( , , )

11

=

= =arc sin , º15

21 1180 7

=+ +

+ + + +=arc sin

( ) ( )1 1 2 1 4 3

1 4 16 1 1 9

= =arcv n

v nsin� �

� �

Com que A � (2, 1, 0) és de , s’ha de complir:

2 + 2 1 3 0 + D = 0 D = 4


x + 2 y 3 z 4 = 0

Si � r és un únic punt B (� A), la recta buscada, s,ha de passar per aquest punt.

Calculem la intersecció de i r, que seran els punts der que verifiquin l’equació de :

Imposem, doncs, que un punt qualsevol de r,

(x, y, z) = (2 + k, 3 + 2 k, 5 3 k)

sigui de :

2 + k + 2 (3 + 2 k) 3 ( 5 3 k) 4 = 0

Així, el punt buscat és:

La recta que busquem passa per A � (2, 1, 0) i té coma vector director:

i per tant,

L’equació vectorial de la recta buscada és, doncs:

(x, y, z) = (2, 1, 0) + k (19, 10, 13)

50. Un vector director de l’eix OZ és

Com que el pla buscat ha de ser perpendicular aaquest eix, el vector és un vector normal de , i pertant, la seva equació general serà de la forma:

z + D = 0

Perquè passi per A � (1, 2, 3), les coordenades de Ahan de satisfer l’equació de , la qual cosa ens deter-mina el valor de D:

3 + D = 0 D = 3


: z 3 = 0

�k

�k = ( , , ).0 0 1

� � ��u AB= =14 19 10 13[ ] ( , , ).

=1914

57

1314

, ,

[ ] , ,AB� ��

= =9

142

27

11314

0

B =9

1427

1314

, ,

+ = =14 19 01914

k k

129

7. G

eom

etria

mèt

rica


b)Un vector director de r és


Per tant, l’angle format per r i és:

c)Un vector director de r és

Un vector normal de és el producte vectorial dedos vectors directors seus:

o també,

L’angle format per r i és:

49.La recta que busquem ha d’estar continguda en el plaperpendicular a la recta r que passa per A.

Com que el vector director de r, és normala , l’equació de és de la forma x �2 y �3 z ��D �0.

�v=(,,), 123

== arcsin,º6

2611208

=++

++++= arcsin

()() 114133

1169119

== arcsinvn

vn

��

�� nn ==12

113 (,,).

=++= 226226�� ijkn(,,)

�

��

=×== n

ijk

(,,)(,,) 121301121

301

�v=(,,). 143

== arcsin,º5

610402

=++

++++= arcsin

()()() 131021

114901

== arcsinvn

vn

�n=(,,). 301

==�� ijkv 2112 (,,)

��

��

vnn

ijk

=×=×= 12110201110

20

(,,)(,,)

11

=

== arcsin,º15

2111807

=++

++++= arcsin

()() 112143

1416119

== arcvn

vnsin��

��

Com que A �(2, 1, 0) és de , s’ha de complir:

2 +2 1 3 0 +D =0 D =4


x +2 y 3 z 4 =0

Si �r és un únic punt B (�A), la recta buscada, s,ha de passar per aquest punt.

Calculem la intersecció de i r, que seran els punts der que verifiquin l’equació de :

Imposem, doncs, que un punt qualsevol de r,

(x, y, z) =(2 +k, 3 +2 k, 5 3 k)

sigui de :

2 +k +2 (3 +2 k) 3 (5 3 k) 4 =0

Així, el punt buscat és:

La recta que busquem passa per A �(2, 1, 0) i té coma vector director:

i per tant,

L’equació vectorial de la recta buscada és, doncs:

(x, y, z) =(2, 1, 0) +k (19, 10, 13)

50.Un vector director de l’eix OZ és

Com que el pla buscat ha de ser perpendicular aaquest eix, el vectorés un vector normal de , i pertant, la seva equació general serà de la forma:

z +D =0

Perquè passi per A �(1, 2, 3), les coordenades de Ahan de satisfer l’equació de , la qual cosa ens deter-mina el valor de D:

3 +D =0 D =3


: z 3 =0

�k

�k=(,,). 001

��uAB == 14191013 [](,,).

=1914

57

1314

,,

[],, AB��

==9

142

27

11314

0

B=9

1427

1314

,,

+== 141901914

kk

C M

Y K

130

7. Geom

etria mètrica

51.Com que la longitud d’un costat coincideix amb ladistància entre els seus extrems, que són dos vèrtexsdel triangle, el perímetre és:

P =long (AB) +long (BC) +long (CA) =

=d (A, B) +d (B, C) +d (C, A) =

=�(0 2, 1 1, 3 5)�+

+�(2 0, 1 1, 4 3)�+

+�(2 2, 1 (1), 5 4)�=

=�(2, 0, 2)�+�(2, 2, 1)�+�(0, 2, 1)�=

52.Si escollim el punt de la recta B �(1, 0, 0) i el vectordirector

53.Els punts de la recta són aquells la primera compo-nent dels quals és x �0 i la segona component delsquals és el quàdruple de la tercera. Per exemple, A ��(0, 0, 0) ri B �(0, 4, 1) r.


Per tant, la distància de r a P =(3, 4, 1) és:

El pla tindrà els següents elements característics:

•Punt de pas : A �(0, 0, 0) r.

•Vector director: perquè és vector di-rector de r.

•Vector director:perquè A i Psón punts de .

��uAP == [](,,), 341

�v=(,,), 041

==317

173

dPrAPv

v(,)

[]=

×=

++

++=

��

�09144

0161

[] APv

ijk

jk��

��

×==+ 341

041

312

[](,,) AP��

=341

��vAB == [](,,). 041

=907

u

dArBAv

v(,)

[]=

×=

++

++=

��

�1001664

491

[] BAv

ijk

ijk��

��

×==++ 042

231

1048

[](,,)(,,) BA��

== 114020042

�v=(,,) 231:

=++= 895806 ,unitats

=++++++++= 404441041

=++= ABBCCA��

Com que són linealment independents, l’equa-

ció general de és:

54.Com que el pla ve donat per la seva equació general:

55.Per calcular la distància entre dues rectes, primera-ment hem de determinar-ne la posició relativa:

a)Les equacions implícites de s són:

Per determinar la posició relativa de r i s hem d’es-tudiar, doncs, la compatibilitat del sistema:

Determinem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:

Com que rang (M) �2 i rang (M�) �3, les rectesno es tallen perquè són paral.leles. Per tant, ladistància entre elles coincideix amb la distànciad’un punt qualsevol d’una d’elles a l’altra.

Un punt de r es pot determinar a partir de les se-ves equacions implícites fixant el valor d’una com-ponent, per exemple y �0:

xx

zz

+==

+==

0505

0101

110

011

000

000

5

1

4

0

1F4F4�—F3

4

——————�

110

011

000

000

5

1

4

1

F3F3�F1F4F4�F2

—————�

110

011

110

011

5

1

1

0

xy

yz

xy

yz

=

+=

=

+=

5

1

1

0

xyxy

yzyz

+=+=

=+=

110

0

==8

11

811

11u

d,)()

()(A=

++

++=

33021

311222

0

03

44

11

31240 ===

x

y

z

yzyz

viu

130

7. G

eom

etria

mèt

rica

51. Com que la longitud d’un costat coincideix amb ladistància entre els seus extrems, que són dos vèrtexsdel triangle, el perímetre és:

P = long (AB) + long (BC) + long (CA) =

= d (A, B) + d (B, C) + d (C, A) =

= �(0 2, 1 1, 3 5)� +

+ �(2 0, 1 1, 4 3)� +

+ �(2 2, 1 ( 1), 5 4)� =

= �( 2, 0, 2)� + �(2, 2, 1)� + �(0, 2, 1)� =

52. Si escollim el punt de la recta B � (1, 0, 0) i el vectordirector

53. Els punts de la recta són aquells la primera compo-nent dels quals és x � 0 i la segona component delsquals és el quàdruple de la tercera. Per exemple, A �� (0, 0, 0) r i B � (0, 4, 1) r.


Per tant, la distància de r a P = (3, 4, 1) és:

El pla tindrà els següents elements característics:

• Punt de pas : A � (0, 0, 0) r.

• Vector director: perquè és vector di-rector de r.

• Vector director: perquè A i Psón punts de .

� � ��u AP= =[ ] ( , , ),3 4 1

�v = ( , , ),0 4 1

= =3 17

173

d P rAP v

v( , )

[ ]=

×=

+ +

+ +=

� ��

�0 9 144

0 16 1

[ ]AP v

i j k

j k� ��

� � ��

× = = +3 4 1

0 4 1

3 12

[ ] ( , , )AP� ��

= 3 4 1

� � ��v AB= =[ ] ( , , ).0 4 1

=907

u

d A rBA v

v( , )

[ ]=

×=

+ +

+ +=

� ��

�100 16 64

4 9 1

[ ]BA v

i j k

i j k� ��

� � ��

× = = + +0 4 2

2 3 1

10 4 8

[ ] ( , , ) ( , , )BA� ��

= =1 1 4 0 2 0 0 4 2

�v = ( , , )2 3 1 :

= + + =8 9 5 8 06, unitats

= + + + + + + + + =4 0 4 4 4 1 0 4 1

= + + =AB BC CA� ��

Com que són linealment independents, l’equa-

ció general de és:

54. Com que el pla ve donat per la seva equació general:

55. Per calcular la distància entre dues rectes, primera-ment hem de determinar-ne la posició relativa:

a) Les equacions implícites de s són:

Per determinar la posició relativa de r i s hem d’es-tudiar, doncs, la compatibilitat del sistema:

Determinem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:

Com que rang (M) � 2 i rang (M�) � 3, les rectesno es tallen perquè són paral.leles. Per tant, ladistància entre elles coincideix amb la distànciad’un punt qualsevol d’una d’elles a l’altra.

Un punt de r es pot determinar a partir de les se-ves equacions implícites fixant el valor d’una com-ponent, per exemple y � 0:

x x

z z

+ = =

+ = =

0 5 0 5

0 1 0 1

1 1 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

5

1

4

0

1F4 F4 � — F34

——————�

1 1 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

5

1

4

1

F3 F3 � F1F4 F4 � F2

—————�

1 1 0

0 1 1

1 1 0

0 1 1

5

1

1

0

x y

y z

x y

y z

=

+ =

=

+ =

5

1

1

0

x y x y

y z y z

+ = + =

= + =

1 1 0

0

= =8

11

8 11

11u

d , )( )

( )(A =

+ +

+ +=

3 3 0 2 1

3 1 12 2 2

0

0 3

4 4

1 1

3 12 4 0= = =

x

y

z

y z y z

v i u

CM

YK

131

7. Geom

etria mètrica

Així, un punt de r és A � (�5, 0, 1).

Un punt de s és B � (�1, 0, 0), i un vector direc-tor és

Finalment:

b) Un vector director de r és i un de sés

Com que r i s es tallen o s’encreuen.

Per tal de saber si es tallen o s’encreuen, hem deveure si el vector que va d’un punt qualsevol d’u-na recta a un qualsevol de l’altra és linealment de-pendent o no amb els vectors directors

A = (1, 0, 0) r i B = ( 1, 2, 0) s

Per tant, són linealment independents;així, doncs, les rectes s’encreuen.

Així, la distància entre elles es calcula de la mane-ra següent:

c) Un vector director de r és i un de sés



13

34

22

, � �u i v

�v = ( , , ).3 4 2

�u = ( , , ),1 3 2

=+ +

=20

49 9 1

20 5959

d r sAB u v

u v( , )

[[ ], , ]=

×=

� ��

� �

� �

� � ��

u v

i j k

i j k× = = +2 5 1

1 3 2

7 3

[[ ], , ] [ ], ,AB u v AB u v� ��

= = 20

[ ], ,AB u v� ��

[ ], ,AB u v� ��

= =

2 2 1

2 5 3

0 1 2

20

[ ] ( , , ) ( , , )AB� ��

= =1 1 2 0 0 0 2 2 0

� �u i v:

21

53

12

,

�v = ( , , ).1 3 2

�u = ( , , ),2 5 1

=+ +

+ += =

1 9 16

1 1 1

26

3

783

d r s d A sBA v

v( , ) ( , )

[ ]= =

×=

� ��

�

[ ]BA v

i j k

i j� ��

� � ��

× = =4 0 1

1 1 1

3 44�k

[ ] ( ( ), , ) ( , , )BA� ��

= =5 1 0 0 1 0 4 0 1

�v = ( , , ).1 1 1

Per a determinar quin és el cas, hem de veure si elvector que va d’un punt d’una recta a un altre puntde l’altra és linealment dependent o no amb elsvectors directors:

A = (2, 0, 1) r i B = (2, 5, 3) s

Per tant, les rectes r i s es tallen en un punt, i aixíd (r, s) � 0.

d) Un vector director de r és i un de sés

Com que són linealment independents, lesrectes es tallen o s’encreuen. Vegem quin és el cas:

A = ( 3, 1, 0) r i B = ( 2, 1, 3) s

Per tant, les rectes s’encreuen; així, doncs, la sevadistància és:

56. Per determinar la distància entre dos plans, primera-ment hem de determinar-ne la posició relativa:

a) Com que els plans i són

paral.lels.

A més, com que els coeficients de les variables ensón la meitat que els de �, si multipliquem l’e-

quació general de per 2, obtenim:

: 2 x 10 y + 4 z 2 = 0

: 2 x 10 y + 4 z + 3 = 0

i ara podem aplicar la fórmula:

12

510

24

13

= = ,

=+ +

= =2

1 4 1

2

6

63

d r sAB u v

u v( , )

[[ ], , ]=

×=

� ��

� �

� �

� � ��

u v

i j k

i j k× = = +1 1 1

3 2 1

2

[[ ], , ] [ ], ,AB u v AB u v� ��

= = 2

[ ], ,AB u v� ��

= =

1 1 3

0 1 2

3 1 1

2 0

[ ] ( ( ), , ) ( , , )AB� ��

= =2 3 1 1 3 0 1 0 3

� �u i v

�v = ( , , ).3 2 1

�u = ( , , )1 1 1

[ ], ,AB u v� ��

= =

0 1 3

5 3 4

4 2 2

0

[ ] ( , , ( )) ( , , )AB� ��

= =2 2 5 0 3 1 0 5 4

131

7. G

eom

etria

mèt

rica

Així, un punt de r és A �(�5, 0, 1).

Un punt de s és B �(�1, 0, 0), i un vector direc-tor és

Finalment:

b)Un vector director de r ési un de sés

Com que r i s es tallen o s’encreuen.

Per tal de saber si es tallen o s’encreuen, hem deveure si el vector que va d’un punt qualsevol d’u-na recta a un qualsevol de l’altra és linealment de-pendent o no amb els vectors directors

A =(1, 0, 0) r i B =(1, 2, 0) s

Per tant, són linealment independents;així, doncs, les rectes s’encreuen.

Així, la distància entre elles es calcula de la mane-ra següent:

c)Un vector director de r és i un de sés



13

34

22

,�� uiv

�v=(,,). 342

�u=(,,), 132

=++

=20

4991

205959

drsABuv

uv(,)

[[],,]=

×=

��

��

��

��

uv

ijk

ijk ×==+ 251

132

73

[[],,][],, ABuvABuv�� ==20

[],, ABuv��

[],, ABuv��==

221

253

012

20

[](,,)(,,) AB��

== 112000220

�� uiv:

21

53

12

,

�v=(,,). 132

�u=(,,), 251

=++

++==

1916

111

26

3

783

drsdAsBAv

v(,)(,)

[]==

×=

��

�

[] BAv

ijk

ij��

��

×== 401

111

344�k

[]((),,)(,,) BA��

== 510010401

�v=(,,). 111

Per a determinar quin és el cas, hem de veure si elvector que va d’un punt d’una recta a un altre puntde l’altra és linealment dependent o no amb elsvectors directors:

A =(2, 0, 1) r i B =(2, 5, 3) s

Per tant, les rectes r i s es tallen en un punt, i aixíd (r, s) �0.

d)Un vector director de r és i un de sés

Com que són linealment independents, lesrectes es tallen o s’encreuen. Vegem quin és el cas:

A =(3, 1, 0) r i B =(2, 1, 3) s

Per tant, les rectes s’encreuen; així, doncs, la sevadistància és:

56.Per determinar la distància entre dos plans, primera-ment hem de determinar-ne la posició relativa:

a)Com que els plans i són

paral.lels.

A més, com que els coeficients de les variables ensón la meitat que els de �, si multipliquem l’e-

quació general de per 2, obtenim:

: 2 x 10 y +4 z 2 =0

: 2 x 10 y +4 z +3 =0

i ara podem aplicar la fórmula:

12

510

24

13

==,

=++

==2

141

2

6

63

drsABuv

uv(,)

[[],,]=

×=

��

��

��

��

uv

ijk

ijk ×==+ 111

321

2

[[],,][],, ABuvABuv�� ==2

[],, ABuv��==

113

012

311

20

[]((),,)(,,) AB��

== 231130103

�� uiv

�v=(,,). 321

�u=(,,) 111

[],, ABuv��==

013

534

422

0

[](,,())(,,) AB��

== 225031054

C M

Y K

132

7. Geom

etria mètrica

b)Com que els plans són paral.lels,

i la seva distància ve donada directament per la fór-mula:

57.Per calcular la distància d’una recta a un pla, prime-rament hem de determinar-ne la posició relativa:

a)Vegem si algun punt de r és de , és a dir, si per aalgun valor del paràmetre k, el punt de r que li cor-respon (x, y, z) �(�1 �2 k, 1 �3 k, �1 �2 k)ve-rifica l’equació de :

1 +2 k +2 (1 +3 k) +4 (1 2 k) 5 =0

8 =0

Com que aquesta igualtat és falsa, cap punt de r noés de ; per tant, r i són paral.lels.

Per a calcular la distància entre ells, n’hi ha proude calcular la distància de a un punt qualsevol der, per exemple A �(�1, 1, �1):

d (, r) =d (, A) =

b)Per a determinar la posició relativa de i r, estu-diem la compatibilitat del sistema format per l’e-quació general de i les equacions implícites de r,que són:



231

323

530

xyz

xy

yz

+=

=

=

xyxy

yzyz

==

==

123

3230

35530

==8

21

82121

175 ,

=++

++=

121415

124222

()

==12

11

121111

d(,)()

=++

=57

311222

33

11

11

57

==,

==5

120

3012

d(,)()

=++

=23

2104222

Això significa que la recta no talla el pla en unpunt. Per tant, o bé r està continguda en o bé ésparal.lela a .

Com que A �(1, 0, 0) r i A , r i són pa-ral.lels.

Per tant, la distància de a r coincideix amb ladistància de a un punt qualsevol de r, per exem-ple A:

58Un punt de la recta serà P �(1, 2, 3).

Un vector director serà un vector normal de , per exemple perquè és perpendicularal pla.


(x, y, z) =(1, 2, 3) +k (2, 1, 3)

—La distància de P a es calcula amb la fórmula:

59.Els plans situats a una distància no nul.la d’un pla sóntots els del seu feix de plans paral.lels excepte ell ma-teix:

K: x +2 y 2 z +K =0

D’aquests, els que són a distància 2 són:

Existeixen, doncs, dos plans que disten dues unitats de:

1: x +2 y 2 z +5 =0 , 2: x +2 y 2 z 7 =0

60.L’equació general d’un pla qualsevol del feix és:

: (2 +) x +2 y +z 1 =0

Un vector normal de és, doncs,

Perquè sigui perpendicular a la recta r, el seu vec-

�n=+ (,,). 22

KK

K

K

K+=

+=

+=

=

=16

16

16

5

7

21

122

1

3 222==

+

++=

+d

KK(,)

()

dP(,)()

=++

++==

212335

213

14

1414

222

�v=(,,), 213

=1

14027 ,

drdA (,)(,)()

==+

++=

213001

231222

M==

231

320

053

0

132

7. G

eom

etria

mèt

rica

b) Com que els plans són paral.lels,

i la seva distància ve donada directament per la fór-mula:

57. Per calcular la distància d’una recta a un pla, prime-rament hem de determinar-ne la posició relativa:

a) Vegem si algun punt de r és de , és a dir, si per aalgun valor del paràmetre k, el punt de r que li cor-respon (x, y, z) � (�1 � 2 k, 1 � 3 k, �1 � 2 k) ve-rifica l’equació de :

1 + 2 k + 2 (1 + 3 k) + 4 ( 1 2 k) 5 = 0

8 = 0

Com que aquesta igualtat és falsa, cap punt de r noés de ; per tant, r i són paral.lels.

Per a calcular la distància entre ells, n’hi ha proude calcular la distància de a un punt qualsevol der, per exemple A � (�1, 1, �1):

d ( , r) = d ( , A) =

b) Per a determinar la posició relativa de i r, estu-diem la compatibilitat del sistema format per l’e-quació general de i les equacions implícites de r,que són:



2 3 1

3 2 3

5 3 0

x y z

x y

y z

+ =

=

=

x yx y

y zy z

= =

= =

12 3

3 2 3 0

3 55 3 0

= =8

21

8 2121

1 75,

=+ +

+ +=

1 2 1 4 1 5

1 2 42 2 2

( )

= =12

11

12 1111

d ( , )( )

=+ +

=5 7

3 1 12 2 2

33

11

11

57

= = ,

= =5

120

3012

d ( , )( )

=+ +

=2 3

2 10 42 2 2

Això significa que la recta no talla el pla en unpunt. Per tant, o bé r està continguda en o bé ésparal.lela a .

Com que A � (1, 0, 0) r i A , r i són pa-ral.lels.

Per tant, la distància de a r coincideix amb ladistància de a un punt qualsevol de r, per exem-ple A:

58 Un punt de la recta serà P � (1, 2, 3).

Un vector director serà un vector normal de , per exemple perquè és perpendicularal pla.


(x, y, z) = (1, 2, 3) + k (2, 1, 3)

— La distància de P a es calcula amb la fórmula:

59. Els plans situats a una distància no nul.la d’un pla sóntots els del seu feix de plans paral.lels excepte ell ma-teix:

K: x + 2 y 2 z + K = 0

D’aquests, els que són a distància 2 són:

Existeixen, doncs, dos plans que disten dues unitats de:

1: x + 2 y 2 z + 5 = 0 , 2: x + 2 y 2 z 7 = 0

60. L’equació general d’un pla qualsevol del feix és:

: (2 + ) x + 2 y + z 1 = 0

Un vector normal de és, doncs,

Perquè sigui perpendicular a la recta r, el seu vec-

�n = +( , , ).2 2

KK

K

K

K+ =

+ =

+ =

=

=1 6

1 6

1 6

5

7

21

1 2 2

1

32 2 2= =

+

+ +=

+d

K K( , )

( )

d P( , )( )

=+ +

+ += =

2 1 2 3 3 5

2 1 3

14

1414

2 2 2

�v = ( , , ),2 1 3

=1

140 27,

d r d A( , ) ( , )( )

= =+

+ +=

2 1 3 0 0 1

2 3 12 2 2

M = =

2 3 1

3 2 0

0 5 3

0

CM

YK

133

7. Geom

etria mètrica

tor normal ha de ser paral.lel a S’ha de complir,per tant:

Així, existeix un pla del feix que és perpendicular a r,el corresponent a � �1:

: (2 1) x + 2 y + ( 1) z 1 = 0

x + 2 y z 1 = 0

61. Busquem l’equació del conjunt de punts P � (x, y, z)que equidisten dels plans 1 i 2:

d (P, 1) = d (P, 2), =

x + y z = ± (x y + z)

Els plans bisectors de 1 i 2 són, doncs:

: y z = 0 , : x = 0

62. Imposem que la distància d’un punt Pk qualsevol de larecta r, de coordenades:

Pk = (x, y, z) = ( 3 + 2 k, 5 + 3 k, 4 + 3 k)

al punt A � (3, 2, 1) sigui la mateixa que a l’origen decoordenades O � (0, 0, 0):

�( 3 + 2 k 3, 5 + 3 k 2, 4 + 3 k 1)� =

= �( 3 + 2 k 0, 5 + 3 k 0, 4 + 3 k 0)�

+ + + =4 24 36 9 42 492 2k k k k

= + +( ) ( ) ( )2 3 3 5 3 42 2 2k k k

+ + =( ) ( ) ( )2 6 3 7 3 52 2 2k k k

= + +( ) ( ) ( )2 3 3 5 3 42 2 2k k k

+ + =( ) ( ) ( )2 6 3 7 3 52 2 2k k k

d A P d O P AP OPk k k k( , ) ( , ), [ ] [ ]= =� ��

+ = + =

+ = + =

x y z x y z y z

x y z x y z x

2 2 0

2 0

x y z x y z+=

+

3 3

x y z x y z+

+ +=

+ +1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2( ) ( )

21

22

22 1

2 1 1

1 1

+=

=

+ = =

= =

21

22 1

+= =

�v.�n

30 k = 60 ; k = 2

El punt buscat és el corresponent a k � 2:

P2 = ( 3 + 2 2, 5 + 3 2, 4 + 3 2) = (1, 1, 2)

63. Com que és un vector director de r, iés un vector director de r , un vector di-

rector de la recta perpendicular comuna a r i r que els talla, t, és:

Calculem el pla que passa per A � (2, 3, 0) r i técom a vectors directors

x y + 1 = 0

Calculem el pla � que passa per B � (2, �1, 0) r� ité com a vectors directors

Com que i � no són coincidents

defineixen implícitament la recta buscada:

64. a) El punt P� � (x, y, z) és simètric de P � (3, 2, 1)respecte del punt Q si i només si Q és el punt mitjàdel segment PP�, la qual cosa en coordenades sig-nifica:

P = (1, 0, 11)

b) El punt P� � (x, y, z), simètric de P respecte de larecta r, coincideix amb el simètric de P respectedel punt Q�, projecció ortogonal de P sobre r.

Determinem les coordenades de Q�:

Q� és la intersecció de la recta r amb el pla per-pendicular a r que passa per P.

Com que és vector director de r,serà vector perpendicular de ; per tant l’equació general de és de la forma:

2 x + 2 y + 3 z + D = 0

�v = ( , , )2 2 3

( , , ) , ,2 1 53

22

21

2=

+ + +x y z

tx y

x y zt: : (x, y, z) =

+ =

+ =

1 0

7 8 22 0(( , , ) ( , , )0 1 30 1 1 1+ k

17

18

01

,

x

y

z

x y z+ = + =

2 3 1

1 2 1

5 1

7 8 22 0

� �v i w.

0

2 1 1

3 1 1

2 1

3 3 3= = +

x

y

z

x y

� �u i w.

= × =� � �w u v( ) ( , , )1 1 1

� �

� � ��

u v

i j k

i j k× = =1 1 2

3 2 5

�v = ( , , )3 2 5

�u = ( , , )1 1 2

= + + +4 12 9 9 24 162 2k k k k

133

7. G

eom

etria

mèt

rica

tor normal ha de ser paral.lel a S’ha de complir,per tant:

Així, existeix un pla del feix que és perpendicular a r,el corresponent a ��1:

: (2 1) x +2 y +(1) z 1 =0

x +2 y z 1 =0

61.Busquem l’equació del conjunt de punts P �(x, y, z)que equidisten dels plans 1i 2:

d (P, 1) =d (P, 2), =

x +y z =±(x y +z)

Els plans bisectors de 1i 2són, doncs:

: y z =0 , : x =0

62.Imposem que la distància d’un punt Pkqualsevol de larecta r, de coordenades:

Pk=(x, y, z) =(3 +2 k, 5 +3 k, 4 +3 k)

al punt A �(3, 2, 1) sigui la mateixa que a l’origen decoordenades O �(0, 0, 0):

�(3 +2 k 3, 5 +3 k 2, 4 +3 k 1)�=

=�(3 +2 k 0, 5 +3 k 0, 4 +3 k 0)�

+++= 424369424922

kkkk

=++ ()()() 233534222

kkk

++= ()()() 263735222

kkk

=++ ()()() 233534222

kkk

++= ()()() 263735222

kkk

dAPdOPAPOP kkkk (,)(,),[][] ==��

+=+=

+=+=

xyzxyzyz

xyzxyzx

220

20

xyzxyz +=

+

33

xyzxyz +

++=

++ 111111222222

()()

21

22

221

211

11

+=

=

+==

==

21

221

+==

�v. �n

30 k =60 ; k =2

El punt buscat és el corresponent a k �2:

P2=(3 +2 2, 5 +3 2, 4 +3 2) =(1, 1, 2)

63.Com que és un vector director de r, iés un vector director de r, un vector di-

rector de la recta perpendicular comuna a r i rque els talla, t, és:

Calculem el pla que passa per A �(2, 3, 0) r i técom a vectors directors

x y +1 =0

Calculem el pla �que passa per B �(2, �1, 0) r�ité com a vectors directors

Com que i �no són coincidents

defineixen implícitament la recta buscada:

64.a)El punt P��(x, y, z) és simètric de P �(3, 2, 1)respecte del punt Q si i només si Q és el punt mitjàdel segment PP�, la qual cosa en coordenades sig-nifica:

P=(1, 0, 11)

b)El punt P��(x, y, z), simètric de P respecte de larecta r, coincideix amb el simètric de P respectedel punt Q�, projecció ortogonal de P sobre r.


Q�és la intersecció de la recta r amb el pla per-pendicular a r que passa per P.

Com que és vector director de r,serà vector perpendicular de ; per tant l’equació general de és de la forma:

2 x +2 y +3 z +D =0

�v=(,,) 223

(,,),, 2153

22

21

2=

+++ xyz

txy

xyzt ::(x,y,z)=

+=

+=

10

78220((,,)(,,) 0130111 +k

17

18

01

,

x

y

z

xyz +=+=

231

121

51

78220

�� viw.

0

211

311

21

333 ==+

x

y

z

xy

�� uiw.

=×= �� wuv ()(,,) 111

��

��

uv

ijk

ijk ×== 112

325

�v=(,,) 325

�u=(,,) 112

=+++ 41299241622

kkkk

C M

Y K

134

7. Geom

etria mètrica

Atès que ha de passar per P �(3, 2, 1), s’ha decomplir:

2 3 +2 2 +3 1 +D =0 D =1

El pla és, doncs, �2 x �2 y �3 z �1 �0.

El punt de la recta r corresponent al valor k delparàmetre és Pk�(4 �2 k, �1 �2 k, �2 ��3 k). Perquè aquest punt sigui de , ha de satis-fer la seva equació:

2 (4 2 k) +2 (1 +2 k) +

+3 (2 +3 k) 1 =0

17 k 17 =0 k =1

Per tant, r i es tallen en un únic punt:

Q=P1=(4 2 1, 1 +2 1, 2 +3 1) =

=(2, 1, 1)

El simètric de P respecte de Q�, P�, és tal que Q�ésel punt mitjà del segment PP�. Per tant:

P=(1, 0, 1)

c)El punt P�, simètric de P respecte del pla , coinci-deix amb el simètric de P respecte del punt Q�,projecció ortogonal de P sobre .


Q�és la intersecció del pla amb la recta r per-pendicular a que passa per P.

Com que és un vector normal de , serà vector director de r, i com que P =(3, 2, 1)ha de ser un punt de r, la seva equació vectorial és:

(x, y, z) =(3, 2, 1) +k (1, 2, 1)

El punt de la recta r corresponent al valor k del parà-metre és Pk�(3 �k, 2 �2 k, 1 �k). Perquè aquestpunt sigui de , ha de satisfer la seva equació:

3 +k +2 (2 +2 k) (1 k) =0

6 k +6 =0 k =1

Per tant, i r es tallen en un únic punt:

Q=P1=

=(3 +(1), 2 +2 (1), 1 (1)) =(2, 0, 2)

El simètric de P respecte de Q�, P�, és tal que Q�ésel punt mitjà del segment PP�. Per tant:

P=(1, 2, 3)

(,,),, 2023

22

21

2=

+++ xyz

�n=(,,) 121

(,,),, 2113

22

21

2=

+++ xyz

65.Determinem els elements característics del pla queens permeten de trobar-ne l’equació general:

•Un punt del pla és A =(1, 0, 1).

•Un vector director serà vector nor-mal de .

•Un altre vector director serà un vector director de r,ja que ha de ser paral.lel a aquesta recta:

Com que són linealmentindependents

una equació general del pla

buscat és:

: 2 x 4 y 3 z 5 =0

66.Com que el pla buscat ha de contenir la recta r, per-tanyerà al feix de plans secants en r, d’equació:

(2 x y +3) +(x z 1) =0

Podem considerar l’equació simplificada d’aquest feixsi considerem a part el pla x �z �1 �0:

2 x y +3 +(x z 1) =0,

: (2 +) x y z +3 =0

Determinem el valor de perquè l’angle format

per i tingui com a cosinus

Imposant que aquest cosinus sigui

66

5

142452

==+

++cos

()

66

:

=+

++

5

142452

()

=+++

++++=

32112

1444122

()()()

()

=+

+++++=

(,,)(,,)

()

31221

9142122

cos==

��

��nn

nn

66

:

0

112

11

120

2435 =

+

=

x

y

z

xyz

12

11

20

,

�� niv

�v=(,,) 210

==

��

ijk

ijésadir ,, 120

001

2

�� vnn =×=×= 12120001 (,,)(,,)

�n=(,,), 112

134

7. G

eom

etria

mèt

rica

Atès que ha de passar per P � (3, 2, 1), s’ha decomplir:

2 3 + 2 2 + 3 1 + D = 0 D = 1

El pla és, doncs, �2 x � 2 y � 3 z � 1 � 0.

El punt de la recta r corresponent al valor k delparàmetre és Pk � (4 � 2 k, �1 � 2 k, �2 �� 3 k). Perquè aquest punt sigui de , ha de satis-fer la seva equació:

2 (4 2 k) + 2 ( 1 + 2 k) +

+ 3 ( 2 + 3 k) 1 = 0

17 k 17 = 0 k = 1

Per tant, r i es tallen en un únic punt:

Q = P1 = (4 2 1, 1 + 2 1, 2 + 3 1) =

= (2, 1, 1)

El simètric de P respecte de Q�, P�, és tal que Q� ésel punt mitjà del segment PP�. Per tant:

P = (1, 0, 1)

c) El punt P�, simètric de P respecte del pla , coinci-deix amb el simètric de P respecte del punt Q�,projecció ortogonal de P sobre .


Q� és la intersecció del pla amb la recta r per-pendicular a que passa per P.

Com que és un vector normal de , serà vector director de r, i com que P = (3, 2, 1)ha de ser un punt de r, la seva equació vectorial és:

(x, y, z) = (3, 2, 1) + k (1, 2, 1)

El punt de la recta r corresponent al valor k del parà-metre és Pk � (3 � k, 2 � 2 k, 1 � k). Perquè aquestpunt sigui de , ha de satisfer la seva equació:

3 + k + 2 (2 + 2 k) (1 k) = 0

6 k + 6 = 0 k = 1

Per tant, i r es tallen en un únic punt:

Q = P 1 =

= (3 + ( 1), 2 + 2 ( 1), 1 ( 1)) = (2, 0, 2)

El simètric de P respecte de Q�, P�, és tal que Q� ésel punt mitjà del segment PP�. Per tant:

P = (1, 2, 3)

( , , ) , ,2 0 23

22

21

2=

+ + +x y z

�n = ( , , )1 2 1

( , , ) , ,2 1 13

22

21

2=

+ + +x y z

65. Determinem els elements característics del pla queens permeten de trobar-ne l’equació general:

• Un punt del pla és A = (1, 0, 1).

• Un vector director serà vector nor-mal de .

• Un altre vector director serà un vector director de r,ja que ha de ser paral.lel a aquesta recta:

Com que són linealment independents

una equació general del pla

buscat és:

: 2 x 4 y 3 z 5 = 0

66. Com que el pla buscat ha de contenir la recta r, per-tanyerà al feix de plans secants en r, d’equació:

(2 x y + 3) + (x z 1) = 0

Podem considerar l’equació simplificada d’aquest feixsi considerem a part el pla x � z � 1 � 0:

2 x y + 3 + (x z 1) = 0,

: (2 + ) x y z + 3 = 0

Determinem el valor de perquè l’angle format

per i tingui com a cosinus

Imposant que aquest cosinus sigui

66

5

14 2 4 52= =

+

+ +cos

( )

66

:

=+

+ +

5

14 2 4 52( )

=+ + +

+ + + +=

3 2 1 1 2

14 4 4 12 2

( ) ( ) ( )

( )

=+

+ + + + +=

( , , ) ( , , )

( )

3 1 2 2 1

9 1 4 2 12 2

cos = =

� �

� �n n

n n

66

:

0

1 1 2

1 1

1 2 0

2 4 3 5=

+

=

x

y

z

x y z

12

11

20

,

� �n i v

�v = ( , , )2 1 0

= =

� � ��

i j k

i j és a dir, ,1 2 0

0 0 1

2

� � �v n n= × = × =1 2 1 2 0 0 0 1( , , ) ( , , )

�n = ( , , ),1 1 2

CM

YK

135

7. Geom

etria mètrica

7 (2 2 + 4 + 5) = 3 ( 2 + 10 + 25)

= 2

11 2 2 40 = 0

Vegem si el pla x � z � 1 � 0 compleix o no la condi-ció:

Existeixen, doncs, dos plans que compleixen el quedemanem:

1: (2 + 2) x y 2 z + 3 2 = 0

4 x y 2 z + 1 = 0

2 x 11 y + 20 z + 53 = 0

67. Els elements característics del pla buscat, que ens per-meten de trobar-ne l’equació general, són:

• A � (1, 2, �3) és un punt de pas.

• és un vector director del pla, perquè hoés de r.

• és un altre vector director del pla,

perquè és un vector normal de .

Com que són linealment independents, unaequació general del pla buscat és:

: 2 x + y 3 z 13 = 0

68. Determinem l’equació de la recta aresta del feix a par-tir dels seus elements característics:

• Un punt de pas és A � (3, 0, 0).

• Un vector director és perquè aquestés un vector normal de .

Per tant, l’equació vectorial de l’aresta és:

(x, y, z) = (3, 0, 0) + k (1, 2, 3)

�v = ( , , ),1 2 3

0

1 1 2

2 1 1

3 1 1

2 3 13=

+

= +

x

y

z

x y z

� �v i n

�n = ( , , )2 1 1

�v = ( , , )1 1 1

2 22011

2011

32011

0: + + + =x y z

=+ +

=3 1 1 0 2 1

14 2

1

4 7

66

( )

cos( , , ) ( , , )

=+ + + +

=3 1 2 1 0 1

9 1 4 1 0 1

=2011

=+ +

+ +

16

10 25

14 2 4 5

2

2( )

A partir d’aquesta podem obtenir-ne les equacionsimplícites:

Per tant, dos plans diferents que contenen l’arestasón 2 x � y � 6 � 0 i 3 y � 2 z � 0; per tant, l’equa-ció del feix de plans amb aquesta aresta és:

(2 x y 6) + (3 y + 2 z) = 0

69. Dos plans són perpendiculars si i només si els seus vec-tors normals són perpendiculars.

Per tant, hem de buscar el valor de k pel qual els vectorsnormals de i de �, i siguin perpendiculars:

= 2 3 + ( 6) ( k) + 0 1 =

= 6 + 6 k k = 1

Un vector director de la recta intersecció per a aquestvalor de k serà el producte vectorial dels vectors nor-mals de i �, ja que ha d’estar continguda en tots dosplans:

o també:

70. La projecció ortogonal de r sobre és, per definició,la recta intersecció de amb el pla � que conté r i ésperpendicular a .

Per tant, les equacions generals de i � defineixenunes equacions implícites de la projecció buscada.

Busquem l’equació general de � a partir d’un punt depas i dos vectors linealment independents:

• Un punt del pla és A � (1, 5, 2), perquè és de r i �conté r.

• Un vector director és perquè ho ésde r i � conté r.

• Un altre vector director és perquè

és normal a i � ha de ser perpendicular a .

Com que són linealment independents, l’e-quació general de és:

� �v i n

�n = ( , , ),2 1 1

�v = ( , , ),1 2 1

� �v v= =12

3 1 10( , , )

� � �

� � ��

= × = = +v n n

i j k

i j k2 6 0

3 1 1

6 2 20

� � � �n n n n= =0

�=n k( , , ),3 1

�n = ( , , )2 6 0

xy

x y

y zy z

= =

= + =

32

2 6 0

2 33 2 0

x y z= =

31

02

03

��

135

7. G

eom

etria

mèt

rica

7 (2 2+4 +5) =3 (2+10 +25)

=2

11 22 40 =0

Vegem si el pla x �z �1 �0 compleix o no la condi-ció:

Existeixen, doncs, dos plans que compleixen el quedemanem:

1: (2 +2) x y 2 z +3 2 =0

4 x y 2 z +1 =0

2 x 11 y +20 z +53 =0

67.Els elements característics del pla buscat, que ens per-meten de trobar-ne l’equació general, són:

•A �(1, 2, �3) és un punt de pas.

•és un vector director del pla, perquè hoés de r.

•és un altre vector director del pla,

perquè és un vector normal de .

Com que són linealment independents, unaequació general del pla buscat és:

: 2 x +y 3 z 13 =0

68.Determinem l’equació de la recta aresta del feix a par-tir dels seus elements característics:

•Un punt de pas és A �(3, 0, 0).

•Un vector director és perquè aquestés un vector normal de .

Per tant, l’equació vectorial de l’aresta és:

(x, y, z) =(3, 0, 0) +k (1, 2, 3)

�v=(,,), 123

0

112

211

311

2313 =

+

=+

x

y

z

xyz

�� vin

�n=(,,) 211

�v=(,,) 111

222011

2011

32011

0 :+++= xyz

=++

=311021

142

1

47

66

()

cos(,,)(,,)

=++++

=312101

914101

=2011

=++

++

16

1025

14245

2

2()

A partir d’aquesta podem obtenir-ne les equacionsimplícites:

Per tant, dos plans diferents que contenen l’arestasón 2 x �y �6 �0 i 3 y �2 z �0; per tant, l’equa-ció del feix de plans amb aquesta aresta és:

(2 x y 6) +(3 y +2 z) =0

69.Dos plans són perpendiculars si i només si els seus vec-tors normals són perpendiculars.

Per tant, hem de buscar el valor de k pel qual els vectorsnormals de i de �, i siguin perpendiculars:

=2 3 +(6) (k) +0 1 =

=6 +6 k k =1

Un vector director de la recta intersecció per a aquestvalor de k serà el producte vectorial dels vectors nor-mals de i �, ja que ha d’estar continguda en tots dosplans:

o també:

70.La projecció ortogonal de r sobre és, per definició,la recta intersecció de amb el pla �que conté r i ésperpendicular a .

Per tant, les equacions generals de i �defineixenunes equacions implícites de la projecció buscada.

Busquem l’equació general de �a partir d’un punt depas i dos vectors linealment independents:

•Un punt del pla és A �(1, 5, 2), perquè és de r i �conté r.

•Un vector director és perquè ho ésde r i �conté r.

•Un altre vector director ésperquè

és normal a i �ha de ser perpendicular a .

Com que són linealment independents, l’e-quació general de és:

�� vin

�n=(,,), 211

�v=(,,), 121

�� vv ==12

3110 (,,)

��

��

=×==+ vnn

ijk

ijk 260

311

6220

�� nnnn == 0

�= nk (,,), 31�n=(,,) 260

xy

xy

yzyz

==

=+=

32

260

23320

xyz==

31

02

03

��

C M

Y K

136

7. Geom

etria mètrica

Unes equacions implícites de la projecció són,doncs:

71.Sigui P �(x, y, �z) un punt de l’espai que pertany alpla : x �z �0 i compleix, a més:

•La seva distància a l’origen és d’una unitat:

•La recta que passa per O i P forma un angle de 45°amb el pla �: x �z �0.

Sigui un vector director de la recta i

un vector normal del pla �:

I com que es compleix:

x z =1 o x z =1

Així, s’ha de complir:

Resolent aquests sistemes, obtenim:

72.Observem en la figura que el raig incident prolongatpassa pels punts P i Q�, en què Q�és el punt simètricde Q respecte del pla del mirall, .

Determinem, doncs, les coordenades de Q�.

Q�coincideix amb el simètric de Q respecte de la sevaprojecció ortogonal sobre , Q�. Trobem en primerlloc les coordenades de Q�.

PP 3412

22

12

12

22

12

== ,,,,,

PP 1212

22

12

12

22

12

== ,,,,,

xz

xyz

xz

obé

x +=

++=

=

+ 0

1

1

222

zz

xyz

xz

=

++=

=

0

1

1

222

222

1 ==xz

xz

xyz222

1 ++=,

=++

xz

xyz222

2

=++

++++=

xyz

xyz

101

101222

()

22

45 === sinvn

vnº��

�n=(,,) 101

�vxyz =(,,)

1222

==++ dPOxyz (,)

230

35180

xyz

xyz

+=

++=

x

y

z

xyz =+=

112

521

211

35180

Q�és la intersecció de amb la recta r�perpendiculara que passa per Q.

Un punt de pas d’aquesta recta és Q �(4, �1, �5), iun vector director és ja que és un vec-tor normal de i la recta és perpendicular a .

L‘equació vectorial de la recta és, doncs:

(x, y, z) =(4, 1, 5) +k (3, 2, 2)

Per trobar el punt Q��r��, vegem per a quin va-lor de k el punt corresponent de r�, de coordenadesPk�(4 �3 k, �1 �2 k, �5 �2 k), satisfà l’equacióde :

3 (4 +3 k) +2 (1 +2 k) 2 (5 2 k) +14 =0

17 k +34 =0 , k =2

El punt Qés, doncs:

Q=(4 +3 (2), 1 +2 (2), 5 2 (2)) =

=(2, 5, 1)

El punt que ens interessava era Q�, que, com que coin-cideix amb el simètric de Q respecte de Q�, ha de te-nir unes coordenades Q��(x, y, z) tals que Q�sigui elpunt mitjà del segment QQ�:

Q=(8, 9, 3)

La trajectòria del raig incident és, doncs, sobre unarecta que passa per P �(1, 0, 0) i Q��(�8, �9, 3).

Per tant, un punt de pas és P �(1, 0, 0) i un vector

director és =(1 (8), 0 (9), 0 3) =(9, 9, 3),o també,

Així, l’equació vectorial de r és:

(x, y, z) =(1, 0, 0) +k (3, 3, 1)

D’altra banda, observem que la trajectòria reflectidapassa per Q i pel punt A en què el raig incident canviade direcció, que no és cap altre sinó aquell en què tocael mirall. Dit d’una altra manera, A �r �.

Determinem les coordenades de A:

Les equacions implícites de r es poden obtenir a par-tir de les contínues, immediates a partir de la vecto-rial:

xyxy

yzyz

==

=+=

133

10

3130

xyz==

1331

�� vQP ==

13

331 [](,,).

[] QP��

(,,),, =+

2514

21

25

2xyz

�n=(,,), 322

136

7. G

eom

etria

mèt

rica

Unes equacions implícites de la projecció són,doncs:

71. Sigui P � (x, y, �z) un punt de l’espai que pertany alpla : x � z � 0 i compleix, a més:

• La seva distància a l’origen és d’una unitat:

• La recta que passa per O i P forma un angle de 45°amb el pla �: x � z � 0.

Sigui un vector director de la recta i

un vector normal del pla �:

I com que es compleix:

x z = 1 o x z = 1

Així, s’ha de complir:

Resolent aquests sistemes, obtenim:

72. Observem en la figura que el raig incident prolongatpassa pels punts P i Q�, en què Q� és el punt simètricde Q respecte del pla del mirall, .

Determinem, doncs, les coordenades de Q�.

Q� coincideix amb el simètric de Q respecte de la sevaprojecció ortogonal sobre , Q�. Trobem en primerlloc les coordenades de Q�.

P P3 412

22

12

12

22

12

= =, , , , ,

P P1 212

22

12

12

22

12

= =, , , , ,

x z

x y z

x z

o bé

x+ =

+ + =

=

+0

1

1

2 2 2

zz

x y z

x z

=

+ + =

=

0

1

1

2 2 2

22 2

1= =x z

x z

x y z2 2 2 1+ + = ,

=+ +

x z

x y z2 2 2 2

=+ +

+ + + +=

x y z

x y z

1 0 1

1 0 12 2 2

( )

22

45= = =sinv n

v nº� ��

�n = ( , , )1 0 1

�v x y z= ( , , )

1 2 2 2= = + +d P O x y z( , )

2 3 0

3 5 18 0

x y z

x y z

+ =

+ + =

x

y

z

x y z= + =

1 1 2

5 2 1

2 1 1

3 5 18 0

Q� és la intersecció de amb la recta r� perpendiculara que passa per Q.

Un punt de pas d’aquesta recta és Q � (4, �1, �5), iun vector director és ja que és un vec-tor normal de i la recta és perpendicular a .

L‘equació vectorial de la recta és, doncs:

(x, y, z) = (4, 1, 5) + k (3, 2, 2)

Per trobar el punt Q� � r� � , vegem per a quin va-lor de k el punt corresponent de r�, de coordenadesPk � (4 � 3 k, �1 � 2 k, �5 � 2 k), satisfà l’equacióde :

3 (4 + 3 k) + 2 ( 1 + 2 k) 2 ( 5 2 k) + 14 = 0

17 k + 34 = 0 , k = 2

El punt Q és, doncs:

Q = (4 + 3 ( 2), 1 + 2 ( 2), 5 2 ( 2)) =

= ( 2, 5, 1)

El punt que ens interessava era Q�, que, com que coin-cideix amb el simètric de Q respecte de Q�, ha de te-nir unes coordenades Q� � (x, y, z) tals que Q� sigui elpunt mitjà del segment QQ�:

Q = ( 8, 9, 3)

La trajectòria del raig incident és, doncs, sobre unarecta que passa per P � (1, 0, 0) i Q� � (�8, �9, 3).

Per tant, un punt de pas és P � (1, 0, 0) i un vector

director és = (1 ( 8), 0 ( 9), 0 3) = (9, 9, 3),o també,

Així, l’equació vectorial de r és:

(x, y, z) = (1, 0, 0) + k (3, 3, 1)

D’altra banda, observem que la trajectòria reflectidapassa per Q i pel punt A en què el raig incident canviade direcció, que no és cap altre sinó aquell en què tocael mirall. Dit d’una altra manera, A � r � .

Determinem les coordenades de A:

Les equacions implícites de r es poden obtenir a par-tir de les contínues, immediates a partir de la vecto-rial:

x yx y

y zy z

= =

= + =

13 3

1 0

3 13 0

x y z= =

13 3 1

� � ��v Q P= =

13

3 3 1[ ] ( , , ).

[ ]Q P� ��

( , , ) , ,=+

2 5 14

21

25

2x y z

�n = ( , , ),3 2 2

CM

YK

137

7. Geom

etria mètrica

Hem de resoldre el sistema format per les equacionsimplícites de r i l’equació general de :

Les coordenades de A són, doncs, A � (�2, �3, 1).

La recta s que conté la trajectòria del raig reflectit ésla que passa per Q � (4, �1, �5) i A � (�2, �3, 1).

x y

y z

x y z

x y z

=

+ =

+ =

= = =

1

3 0

3 2 2 14

2 3, , 11

Un punt de pas serà, doncs, Q = (4, 1, 5), i unvector director és = ( 2 4, 3 ( 1), 1

( 5)) = ( 6, 2, 6), o també,

= (3, 1, 3).

Per tant, l’equació vectorial de s és:

(x, y, z) = (4, 1, 5) + k (3, 1, 3)

73. Activitat TIC.

74. Activitat TIC.

� � ��u QA= =

12

[ ]

[ ]QA� ��

137

7. G

eom

etria

mèt

rica

Hem de resoldre el sistema format per les equacionsimplícites de r i l’equació general de :

Les coordenades de A són, doncs, A �(�2, �3, 1).

La recta s que conté la trajectòria del raig reflectit ésla que passa per Q �(4, �1, �5) i A �(�2, �3, 1).

xy

yz

xyz

xyz

=

+=

+=

===

1

30

32214

23 ,,11

Un punt de pas serà, doncs,Q =(4, 1, 5), i unvector director és =(2 4, 3 (1), 1

(5)) =(6, 2, 6), o també,

=(3, 1, 3).

Per tant, l’equació vectorial de s és:

(x, y, z) =(4, 1, 5) +k (3, 1, 3)

73.Activitat TIC.

74.Activitat TIC.

�� uQA ==

12

[]

[] QA��

C M

Y K

Solocionari Mates Edebe Segon Batxiilerat 1-6

Documents

Transcript of Solocionari Mates Edebe Segon Batxiilerat 1-6