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Instituto Profesional Dr. Virginio Gmez Departamento de Ciencias Bsicas

Solucin a los ejercicios propuestos en el mdulo H - 1


1.-Un bloque sujeto a un resorte oscila (sin friccin ) entre los puntos B y B que se muestran en la figura de este ejercicio. El punto O representa la posicin de equilibrio del cuerpo. Para el instante en que pasa por la posicin indicada en la figura, desplazndose hacia la derecha, responda :

a)Cul es el sentido de la fuerza restauradora que el resorte ejerce sobre el bloque? Resp.: hacia la izquierda (hacia la posicin de equilibrio O) b)Entonces, cul es el sentido de la aceleracin que posee dicho cuerpo? Resp.: hacia la izquierda, en el mismo sentido de la fuerza restauradora c)El movimiento del bloque es acelerado o retardado? Resp.: el movimiento del bloque es retardado (la fuerza restauradora acta opuesta al sentido de movimiento). d)En que punto o puntos : -la magnitud de la fuerza que acta sobre el bloque es mxima Resp.: En los extremos porque all es mxima la deformacin ( B , B ) -la fuerza que acta sobre el bloque es nula Resp.: en la posicin O, porque all el resorte no est deformado -la magnitud de la velocidad del bloque es mxima Resp.: En el punto O -la velocidad del bloque es nula

Resp.: en los extremos ( el bloque se detiene) -la fuerza que acta sobre el bloque cambia de sentido

Resp.: cuando pasa por la posicin O

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e)Suponga que el bloque en un instante determinado pasara por O dirigindose hacia B , regresara a B y volviera a O. Podramos decir que el bloque efectu una oscilacin completa (un ciclo)? Resp.: Si f)Un estudiante al observar el movimiento del bloque encontr que despus de pasar por el punto O en un instante dado, volvi a pasar 100 veces consecutivas por este mismo punto. Cuantos ciclos complet el cuerpo? Resp.: 50 ciclos g)Considerando que el bloque hubiese tardado 100 seg en efectuar los ciclos mencionados en la pregunta anterior, cual sera la frecuencia de este movimiento? Resp.: frecuencia = ciclos / tiempo = 50 / 100 = 0,5 ciclos/s = 0,5 Hz h)As pues, cul seria el valor del perodo del movimiento del bloque Resp.: El perodo ( T ) es recproco de la frecuencia ( f ) , es decir T = 1 / f = 1/0,5 = 2 seg

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1.-La ecuacin que proporciona la posicin de una partcula en M.A.S. es x = 0,3 cos t , con x en metros , t en segundos , y el ngulo en radianes. Determine para este movimiento: a)la amplitud b)la frecuencia c)la velocidad de la partcula en t = 1/6 seg.

SOLUCION a)amplitud: A = 0,3 m b)frecuencia : De la expresin w = 2 f , se tiene f = w / 2 En la expresin x = 0,3 cos t , w = rad/s, luego: f = w / 2 = / 2 = 0,5 Hz c) La velocidad de la partcula es: v = d( x ) / dt = d ( 0,3 cos t ) / dt v = - 0,3 sen t , para t = 1,6 s v = - 0,3 3,14 sen ( 1,6 ) v = + 0,89 m/s (en ese instante el bloque se mueve a la derecha)

SOLUCION La expresin de la posicin tiene la forma: x = A cos wt A = 2 cm = 0,02 m El tiempo en efectuar un ciclo ( el perodo T ) es 4 s

2.-En la figura de este problema se muestra la grfica x / t para un cuerpo en M.A.S.. escriba (con valores numricos ) la ecuacin que proporciona la posicin , la velocidad y la aceleracin en funcin del tiempo para este movimiento.

Luego, w = 2 / T = 2 / 4 = 0,5 rad/s x = A cos wt x = 0,02 cos 0,5 t (en unidades SI) Lvv Laa

a velocidad v = d ( x ) / dt = d ( 0,02 cos 0,5 t ) / dt = - 0,02 0,5 sen 0,5 t = - 0,01 sen 0,5 t

a aceleracin a = d ( v ) / dt = d ( - 0,01 sen 0,5 t ) / dt = - 0,01 0,5 cos 0,5 t = - 0,005 cos 0,5 t 5


3.-En un motor, un pistn oscila con movimiento armnico simple de tal forma que su desplazamiento vara de acuerdo a la expresin x = 5,0 cm cos ( 2t + /6 ) con x en centmetros y t en segundos. En t = 0, determine: a)El desplazamiento ( x ) de la partcula b)La velocidad de la partcula c)La aceleracin de la partcula d)El perodo y la amplitud del movimiento

SOLUCION a)En la ecuacin x = 5,0 cm cos ( 2t + /6 ) , se reemplaza t = 0: x = 5,0 cm cos ( 2t + /6 ) = 5,0 cm cos ( 2 0t + /6 ) = 5,0 cm cos ( /6 ) = 4,33 cm b) Para obtener la velocidad de la partcula, derivamos x respecto a t: x = 5,0 cm cos ( 2t + /6 ) v = d (x ) / dt = d / dt (5,0 cm cos ( 2t + /6 ) ) v = - 5,0 cm sen ( 2t + /6 ) 2 = - 10,0 cm sen ( 2t + /6 ) en t = 0 v = - 10,0 cm sen ( 2 0 + /6 ) = - 10,0 cm sen ( /6 ) = - 5,0 cm/s c) Para obtener la aceleracin de la partcula, derivamos v respecto a t: v = - 10,0 cm sen ( 2t + /6 ) a = d (v ) / dt = d / dt ( - 10,0 cm sen ( 2t + /6 ) ) a = - 10,0 cm cos ( 2t + /6 ) 2 = - 20,0 cm cos ( 2t + /6 ) en t = 0 v = - 10,0 cm cos ( 2 0 + /6 ) = - 10,0 cm cos ( /6 ) = - 8,66 cm/s d)La amplitud de movimiento, es el mayor valor de x, luego: x = 5,0 cm cos ( 2t + /6 ) A = 5,0 cm La frecuencia angular ( w ) es el trmino que acompaa a t, es decir w = 2 rad/seg w = 2 / T T = 2 / w T = 2 / 2 T = seg

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4.-Una masa de 0,5 kg unida a un resorte de constante k = 8,0 N/m vibra describiendo un M.A.S. con una amplitud de 10 cm. Determine: a)El valor mximo de la velocidad y aceleracin b)La velocidad y aceleracin cuando la masa est a 6,0 cm de la posicin de equilibrio c)El tiempo que tarda la masa en moverse de x = 0 cm hasta x = 8,0 cm

SOLUCION En general las ecuaciones para la posicin ( x ), velocidad ( v ) y aceleracin ( a ) son: x = A cos wt v = - w A sen wt a = - w2 A cos wt tambin a = - ( k / m ) x La amplitud A = 10 cm = 0,1 m, podemos obtener el valor de w con la expresin: w = k / m w = k / m w = 8 / 0,5 w = 4 rad/s La velocidad mxima (magnitud ) est dada por : vmax = w A = 4 0,1 = 0,4 m/s La aceleracin mxima (magnitud ) est dada por : amax = w2 A = ( 4)2 0,1 = 1,6 m/s2 b) Para obtener la velocidad en x = 6 cm primero determinamos el tiempo en alcanzar la posicin x = 6 cm y luego este tiempo lo reemplazamos en la ecuacin de la velocidad: x = A cos wt 6 = 10 cos 4t 0,6 = cos 4t t = 0,232 s La velocidad es entonces ( magnitud ): v = - w A sen wt v = - 4 0,1 sen (4 0,232 ) v = 0,32 m/s La aceleracin cuando x = 6 cm, la obtenemos a partir de : a = - ( k / m ) x a = - ( k / m ) x a = - ( 8 / 0,5 ) 0,06 a = - 0,96 m/s2 c)El tiempo para ir desde x = 0 hasta x = 8 cm es: Calculemos el tiempo en la posicin x = 0 , luego el tiempo en la posicin x = 8 cm para luego restar estos valores: x = A cos wt 0 = 10 cos 4t 0 = cos 4t t = 0,392 s x = A cos wt 8 = 10 cos 4t 0,8 = cos 4t t = 0,160 s Luego el tiempo para ir desde 0 cm hasta 8 cm es: 0,232 s

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5.-Una masa de 1,0 kg unida a un resorte de constante k = 25 N/m oscila sobre una pista horizontal sin friccin. En t = 0 la masa se suelta desde el reposo en x = - 3,0 cm (es decir el resorte se comprime 3,0 cm). Determine: a)El perodo de su movimiento b)Los valores mximos de la velocidad y aceleracin c)La posicin, velocidad, aceleracin como funcin del tiempo

SOLUCION Calculamos w = k / m w = 25 / 1 w = 5 rad/s Luego w = 2 / T T = 2 / w T = 2 / 5 T = 0,4 seg La amplitud del movimiento es el mximo desplazamiento respecto a la posicin de equilibrio, en este caso la magnitud de la amplitud es 3 cm, es decir A = 3 cm La velocidad mxima es: vmax = w A vmax = 5 0,03 = 0,15 m/s La aceleracin mxima es: amax = w2 A vmax = ( 5 )2 0,03 = 0,75 m/s2 Las ecuaciones de la posicin ( x ) , velocidad ( v ), aceleracin ( a ): x = - A cos wt x = - 0,03 m cos ( 5 t ) porque en t = 0, la posicin es x = 0,03 m v = wA sen wt v = 5 0,03 m sen ( 5 t ) v = 0,15 m/s sen (5 t ) a = w 2 A cos wt a = ( 5 )2 0,03 cos ( 5 t ) a = 0,75 m/s2 cos (5 t )

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1.-Un bloque de masa 180 gr realiza un movimiento armnico simple , sobre una superficie horizontal sin friccin, sujeto a un resorte tambin horizontal de constante k = 50 N/m . Si la energa total del bloque vale E = 0,36 J , calcule : a)La amplitud del movimiento armnico simple realizado por el bloque b)La velocidad mxima del bloque y en donde ocurre. SOLUCION La energa total de un sistema masa resorte sin friccin est dada por: ETOTAL = k A2 / 2 0,36 = 50 A2 / 2 A = 0,12 m La energa total es igual a la suma de la ECINETICA ms la EELASTICA. ETOTAL = ECINETICA + EELASTICA. La velocidad mxima del bloque ocurre cuando la energa total es puramente cintica y esto ocurre cuando la energa elstica es cero, es decir cuando pasa por la posicin de equilibrio. ETOTAL = ECINETICA (cuando pasa por la posicin de equilibrio ) 0,36 = m v2 / 2 0,36 = 0,18 v2 / 2 v = 2 m/s 2.-Un resorte con una longitud de 10 cm est suspendido verticalmente en un punto fijo por uno de sus extremos. En el extremo libre cuelga un cuerpo de 100 gr y se comprueba que en la posicin de equilibrio su longitud alcanza 15 cm. Despus se tira del cuerpo hasta que la longitud del resorte sea 20 cm y al soltarlo realiza un M.A.S.. Considerando g = 10 m/s2 , determine : a)La constante elstica del resorte b)La amplitud del movimiento efectuado por el cuerpo c)El perodo y la frecuencia de este movimiento SOLUCION La masa el objeto es m = 100 gr = 0,1 kg Cuando el objeto se encuentra en equilibrio el peso es igual a la fuerza elstica: k x = P k 0,05 = 1,0 k = 20 N/m Luego el resorte se deforma respecto de la posicin de equilibrio 5 cm ms, por lo tanto al soltar el objeto ejecuta un movimiento de amplitud A = 5 cm. La velocidad angular: w = k / m = 20 / 0,1 = 14,14 rad/s De la expresin w = 2 / T T = 2 / w = 2 / 14,14 T = 0,44 s La frecuencia es el recproco del perodo: f = 1 / T = 1 / 0,44 = 2,27 Hz

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3.-Un cuerpo de masa 2 kg oscila sobre una mesa horizontal, amarrado a un resorte tambin horizontal, cuya constante elstica es 200 N/m. La amplitud de la oscilacin es 10 cm. Marque la alternativa Falsa: a)La energa mecnica total del cuerpo vale 1,0 J b)La velocidad mxima del cuerpo vale 1 m/s c)La aceleracin mxima del cuerpo es 5 m/s2 d)El perodo del cuerpo es igual al de un pndulo simple de 9,8 cm de longitud e)La energa cintica mxima del cuerpo vale 1,0 J SOLUCION a) ETOTAL = k A2 / 2 ETOTAL = 200 ( 0,1 )2 / 2 = 1,0 J ( V ) b) La velocidad mxima del cuerpo ocurre cuando la energa total es igual a la energa cintica: ETOTAL = ECINET. ETOTAL = m v 2 / 2 1,0 = 2 v 2 / 2 v = 1,0 m/s ( V ) c) La aceleracin mxima del cuerpo se obtiene cuando el objeto se encuentra en un extremo, es decir cuando la deformacin es igual a la amplitud A = 10 cm = 0,1 m, se puede obtener por la expresin: f = - k x = m a a = - ( k / m ) x = - ( 200 / 2 ) 0,1 = - 10 m/s2 ( F ) d) El perodo T = 2 / w con w = k / m = 200 / 2 = 10 rad/s T = 2 / w = 2 / 10 = 0,2 s El perodo del pndulo est dado por: T = 2 L / g T = 2 0,098 / 9,8 = 0,2 s ( V ) e) Es verdadero por las respuestas anteriores ( b )

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4.-Se dispone de un resorte de masa despreciable de 1,0 m de longitud y de un cuerpo cuya masa es igual a 2,0 kg. El resorte est apoyado horizontalmente sobre una mesa y tiene un extremo fijo y el otro sujeto a la masa pudiendo esta deslizarse sin friccin sobre la mesa. Se empuja la masa de modo que el resorte tenga 1,2 m de longitud y se comprueba que para mantenerlo en equilibrio en esa situacin, se necesita aplicar una fuerza de 1,6 N. Tiempo despus se suelta la masa que empieza a realizar un movimiento oscilatorio. Con estos datos se puede afirmar que : a)La energa potencial mxima del resorte es 0,32 J b)La energa cintica mxima del sistema es 2,16 J c)No es posible calcular la energa almacenada en el resorte, porque no se sabe cuanto tiempo permanece extendido d)La masa realiza al oscilar un movimiento armnico simple de periodo aproximado T = 3,1 seg e)La energa cintica de la masa es de 0,16 J cuando en oscilacin la masa estuviera a una distancia de 0,8 m del extremo fijo SOLUCION a ) De la expresin f = k x con f = 1,6 N y x = 0,2 m 1,6 N = k 0,2 m k = 1,6 N / 0,2 m = 8 N/m La amplitud es A = 0,2 m, luego la energa elstica mxima es: EELAST. = k ( x )2 / 2 = 8 ( 0,2)2 / 2 = 0,16 J ( F ) b) La energa cintica mxima es igual a al energa total y es igual a la energa elstica mxima: ECINET. = 0,16 J ( F ) c) Falso, la energa elstica no depende del tiempo d) El perodo de la masa es T = 2 / w con w = k / m = 8 / 2 = 2 rad/s T = 2 / 2 = 3,14 s ( V ) e) Si la masa se encuentra a 0,8 m del extremo fijo , la deformacin es 0,2 m luego, la energa elstica es: EELAST. = k ( x )2 / 2 = 8 ( 0,2 )2 / 2 = 0,01 J Como la energa total es 0,16 J , por diferencia la energa cintica es: ECINET. = 0,15 J ( F )

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5.-Un cuerpo ejecuta un M.A.S. ( sin friccin ). La energa mecnica total del oscilador : a)Es mxima en x = 0 b)Es mnima en x = 0 c)Permanece constante d)Es nula en x = 0 e)Es mxima en donde la velocidad es mxima SOLUCION La correcta es ( c ) porque en cualquier punto permanece constante.

6.-Un cubo de 0,5 kg conectado a un resorte ligero de constante elstica k = 20 N/m oscila sobre una pista horizontal sin friccin. Determine: a)La energa total del sistema y la velocidad mxima del cubo si la amplitud del movimiento es de 3,0 cm. b)Cul es la energa cintica y potencial del sistema cuando x = 2,0 cm? c)Cul es la velocidad del cubo cuando el desplazamiento x = 2,0 cm?

SOLUCION a)la energa del sistema est dada por la expresin: ETOTAL = k A2 / 2 ETOTAL = 20 (0,03)2 / 2 = 0,009 J b) EELAST = k ( x )2 / 2 EELAST = 20 ( 0,02 )2 / 2 = 0,004 J Luego, la energa cintica es igual a 0,005 J , porque la suma de la cintica mas la potencial deben dar la energa total. c) La energa total es igual a la suma de la cintica y potencial elstica: ETOTAL = ECINET + EELAST 0,009 J = 0,5 v2 / 2 + 20 ( 0,02 )2 / 2 v = 0,14 m/s

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7.-El oscilador armnico que muestra la figura est constituido por un resorte elstico de k = 100 N/m y un bloque de 4 kg. Determine: a)La frecuencia angular ( w ) b)El perodo de oscilacin

SOLUCION La frecuencia angular w es: w = k / m w = 100 / 4 w = 5 rad/s T = 2 / w T = 2 / 5 T = 0,4 seg SOLUCION Hallamos la constante equivalente del conjunto: kE = k1 + k2 = 250 + 110 = 360 N/m La frecuencia angular w es: w = k / m w = 360 / 10 = 6 rad/s

8.-Determine el perodo de oscilacin de un ladrillo de 10 kg de masa, unido a dos resortes colocados en paralelo, cuyas constantes elsticas son k1 = 250 N/m, k2 =110 N/m.

T = 2 / w T = 2 / 6 T = ( /6 ) seg

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9.-Determine el perodo de oscilacin de una masa de 5 kg, unido a dos resortes colocados en serie, cuyas constantes elsticas son k1 = 60 N/m, k2 =180 N/m.

SOLUCION Encontramos la constante equivalente del conjunto: 1 / kE = 1 / k1 + 1 / k2 1 / kE = 1 / 60 + 1 / 180 kE = 45 N/m La frecuencia angular w es: w = k / m w = 45 / 5 = 3 rad/s T = 2 / w T = 2 / 3 T = ( 2/3 ) seg SOLUCION Primero calculamos la constante equivalente de los dos en paralelo: kE = 60 + 60 = 120 N/m Luego calculamos la constante equivalente, ahora quedan en serie: 1 / kE = 1 / 120 + 1 / 60 kE = 40 N/m La frecuencia angular w es:

10.-Determine el perodo de oscilacin y la frecuencia angular de una masa de 10 kg, unido a los resortes que muestra la figura. Los resortes tiene la misma constante k = 60 N/m.

w = k / m w = 40 / 10 = 2 rad/s T = 2 / w T = 2 / 2 T = seg

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1.-En un experimento con un pndulo simple se hall que el cuerpo suspendido que parte de B , se desplaza hasta B y regresa a B 20 veces en 10 seg. a)Cul es el perodo de este pndulo? b)Cul es la frecuencia de oscilacin del pndulo? c)Si el experimento se realizara con un pndulo de longitud 4 veces mayor , cul sera su perodo?

SOLUCION La frecuencia f = 20 ciclos / 10 s = 2 Hz El perodo T = 1 / f = 1 / 2 = 0,5 s Si la longitud del hilo aumenta 4 veces, el perodo aumenta 2 veces T = 2 L / g

SOLUCION La gravedad en la luna ( g ) es menor que en la Tierra (es cerca de la sexta parte terrestre), luego de la expresin: T = 2 L / g , si g disminuye, T aumenta

2.-Suponga que un astronauta lleva un reloj de pndulo a la Luna : a)El perodo del pndulo aumentara o disminuira? b)Y la frecuencia del pndulo? c)Entonces , El reloj de adelantara o atrasara? d)Para poner a tiempo el reloj, el astronauta tendr que aumentar o disminuir la longitud del pndulo?

Como la frecuencia es recproco del perodo, entonces al aumentar el perodo disminuye la frecuencia. Lp

uego, el reloj se atrasa y para colocarlo a tiempo el reloj el astronauta debe acortar el hilo del ndulo. 17


3.-Considere un pndulo simple que oscila con pequea amplitud. Entre las afirmaciones siguientes seale la correcta: a)Si la longitud del pndulo se duplicara, su perodo tambin se duplicara. b)Si la masa del pndulo se triplicara, su frecuencia quedara multiplicada por c)Si la amplitud del pndulo se redujera a la mitad su perodo no se modificara d)Si el valor de g fuera 4 veces mayor, la frecuencia del pndulo sera 2 veces menor. SOLUCION a) Falso, el perodo es proporcional a la raz cuadrada de la longitud, si la longitud se duplica, el periodo aumenta 2 b) Falso, el perodo no depende de la masa del pndulo c) Falso, el perodo no depende de la amplitud d) Verdadero, el perodo es inversamente proporcional a la raz cuadrada de g, si g aumenta 4 veces, entonces el perodo disminuye 2 veces. 4.-Un pndulo sencillo tiene un perodo de 2,0 seg y una longitud de 1 m. La aceleracin de gravedad en ese lugar es en m/s2 : a)9,36 b)9,80 c)9,81 d)9,86 e)10,0 SOLUCION De la expresin T = 2 L / g g = 4 2 L / T2 = 4 (3,14) 2 ( 1 ) / ( 2 )2 g = 9,86 m/s2

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5.-Se sujeta una masa M en el extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L, la cul se pivotea en la parte superior. Determine las tensiones en la barra en el pivote y en el punto P, cuando la barra se encuentra en reposo. Calcule el perodo de oscilacin para pequeos desplazamientos del equilibrio y determine el perodo para L = 2 m. (Suponga que la masa en el extremo es una masa puntual)

SOLUCION

El pivote sostiene el peso de la barra y el peso de la masa: TP - Mg - Mg = 0

En el punto P, la fuerza sostiene el peso de la masa M y el peso de la masa ( m )porcin de la barra bajo ella: L / M = y / m m = ( M y / L ) TP - Mg - ( M y )g = 0 L TP = Mg ( 1 + y ) L

Para calcular el perodo de oscilacin debemos ocupar la expresin: T = 2 I / ( m g d ) I es el momento de inercia del sistema respecto al punto de oscilacin, en este caso: IP = IBARRA + IMASA = M L2 + M L2 = 4 M L2

3 3 m: es la masa total del sistema, en este caso M + M = 2M d: es la distancia entre el centro de masa del sistema y el punto de oscilacin:

TP = 2Mg

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Calculamos el centro de masa del sistema: El perodo de oscilacin es: T = 2 I / ( m g d ) = 2 ( 4 ML2 / 3) / ( 2M g 3L/4 ) = 4 L / g ) 3

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6.-Una bolita de vidrio se coloca en el interior de una copa con forma esfrica de dimetro D = 12,8 cm . Al alejar ligeramente la bolita de su posicin de equilibrio y soltarla, empieza a oscilar en torno a esta posicin. a)Trace un diagrama que muestre las fuerzas que actan sobre la bolita. Con cul de los sistemas oscilantes analizados es posible identificar el movimiento de la bola? b)Desprecie las fricciones, considerando g = 10 m/s2 determine el perodo de oscilacin de la bola.

SOLUCION La componente del peso mg sen es la fuerza restauradora: - mg sen = m a - g sen = a Para desplazamientos pequeos sen x / R - g x / R = a a = - g x / R La aceleracin es proporcional y opuesta a la posicin, con esto se demuestra que es un M.A.S. De a = - w2 x , se tiene - g x / R = - w2 x

w2 = g / R pero T = 2 / w luego T = 2 R / g pndulo simple

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7.-Considere una barra delgada con masa M = 4 kg y de longitud l = 1,2 m pivoteada en un eje horizontal libre sin friccin en el punto l/4 desde un extremo. a)Encuentre (a partir de la definicin) la expresin para el momento de inercia de la barra respecto al pivote. b)Obtenga una ecuacin que d la aceleracin angular de la barra como funcin de c)Determine el perodo para pequeas amplitudes de oscilacin respecto de la vertical.

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8.-Una masa m se conecta a dos bandas de hule de longitud L , cada una bajo una tensin T. La masa se desplaza una pequea distancia y en forma vertical . Suponiendo que la tensin no cambia significativamente , demuestre que : a)la fuerza de restitucin es - ( 2T / L ) y b)el sistema presenta un M.A.S. con una frecuencia dada por w = 2T / mL

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