Solucin a los ejercicios propuestos en mdulo B

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Si p = 3 i - 2 j + k , q = 2 i - 4 j - 3 k , r = - i + 2 j + 2 k , determine: a) La magnitud y direccin de z = p + q + r b) La magnitud y direccin de m = p - q + r c) La magnitud y direccin de h = 2 p - 3 q Para cada caso dibuje el vector SOLUCION: a) Lo primero es hacer la suma vectorial de p , q , r . z = p + q + r = 3i 2j + k + 2i 4j - 3k + - i + 2j + 2k z = p + q + r = 4i - 4j Magnitud A = ( 4 )2 + ( -4 )2 = 5,65 Direccin: tg = 4 / 4 tg = 1 = 45 o El vector z tiene magnitud 5,65 y una direccin de 45 o con el eje x medido en sentido horario. b) m = p - q + r = 3i 2j + k - ( 2i 4j - 3k ) + - i + 2j + 2k m = p - q + r = 4j + 5k Magnitud m = ( 4 )2 + ( 5 )2 = 6,4 Direccin: tg = 5 / 4 tg = 1,25 = 51,3 o El vector m tiene magnitud 6,4 y una direccin de 51,3 o con el eje y.

c) h = 2 p - 3 q = 2 ( 3i 2j + k ) - 3 ( 2i 4j - 3k ) h = 2 p - 3 q = 8j + 11 k Magnitud m = ( 8 )2 + ( 11 )2 = 13,6 Direccin: tg = 11 / 8 tg = 1,375 = 53,9 o El vector h tiene magnitud 13,6 y una direccin de 53,9 o con el eje y. 2.-Un auto viaja 50 km hacia el este, en seguida 30 km hacia el norte y finalmente 25 km en una direccin de 30 o al norte del este. Determine el desplazamiento resultante del auto con respecto al punto de partida. SOLUCION: Para resolver este ejercicio, se dibujan los desplazamientos a partir del mismo origen. Luego cada uno de ellos se debe escribir en la forma i , j. Finalmente se debe ejecutar la suma vectorial para obtener la magnitud , direccin y sentido del desplazamiento resultante. d1 = 50 km i d2 = 30 km j d3 = cos 30 25 i + sen 30 25 j d3 = 20 km i + 12,5 km j R = d1 + d2 + d3 = 50 km i + 30 km j + 20 km i + 12,5 km j R = 70 km i + 42,5 km j Magnitud : ( 70 )2 + ( 42,5 )2 = 82 km Direccin : tg = 42,5 / 70 = 31 o El desplazamiento resultante tiene magnitud 82 km en una direccin de 31 o al este del norte

3.-Un bote a motor se dirige hacia el norte a 15 millas / hora en un lugar donde la corriente es de 5 millas / hora en una direccin de 70 o al sur del este. Encuentre la velocidad resultante del bote SOLUCION: Velocidad del bote : vBOTE = 15 mi/h j Velocidad de la corriente : vCORR = cos 70 5 mi/h i - sen 70 5 mi/h j vCORR = 1, 5 mi/h i - 4, 5 mi/h j VRESULT = 1,5 mi/h i + 10,5 mi/h j Magnitud : (1,5)2 + ( 10,5 )2 = 10,6 mi/h Direccin : tg = 10,5 / 1,5 = 82 o La velocidad resultante tiene magnitud 10,6 mi/h en una direccin 82 o al este del norte. 4.-El rumbo que debe tomar el piloto de un avin para llegar a su destino depende de las velocidades del viento y del avin. Si el avin tiene que volar hacia el Este , y si el viento sopla hacia el Sur , entonces , en que direccin debe estar orientado el avin ? a) Entre el Norte y el Este b)Entre el Norte y el Oeste c)Entre el Sur y el Este d)Entre el Sur y el Oeste e)Siempre hacia el Este SOLUCION: Si el avin debe volar al este, la resultante entre la velocidad del viento y la velocidad del avin debe apuntar al este. Para que ello ocurra , el avin debe dirigirse entre el norte y el este.

5.-Dos remolcadores arrastran una balsa. Si el remolcador A ejerce una accin de 18,5 kN y el remolcador B ejerce una accin de 13,0 kN. Determine la magnitud y direccin de la accin resultante de los remolcadores. SOLUCION

El vector A escrito en forma vectorial es: A = cos 30 18,5 i + sen30 18,5 j A = 16,02 i + 9,25 j El vector B escrito en forma vectorial es: B = cos 45 13,0 i - sen45 13,0 j B = 9,19 i - 9,19 j El vector resultante R es: R = A + B = 16,02 i + 9,25 j + 9,19 i - 9,19 j R = 25,21 i + 0,06 j Magnitud R = (25,21)2 + ( 0,06 )2 = 25,25 kN Direccin: tg = 0,06 / 25,21 = 0,00238 = 0,13 o La accin resultante es de 25,25 kN en una direccin de 0,13 o con el eje x.

6.-Dos vectores a y b tienen magnitudes igual a 12,7 unidades. Estn orientados como muestra la figura y su vector resultante (suma) es r. Determine: a)Las componentes x e y de r b)La magnitud de r c)El ngulo que forma r con el eje x SOLUCION: Expresando cada vector en la forma i , j se tiene: a = ax + ay a = cos 28,2 12,7 i + sen 28,2 12,7 j a = 11,19 i + 6,0 j b = - cos 46,8 12,7 i + sen 46,8 12,7 j b = - 8,69 i + 9,25 j r = a + b r = 11,19 i + 6,0 j + - 8,69 i + 9,25 r = 2,5 i + 15,25 j Magnitud r = ( 2,5 )2 + ( 15,25 )2 r = 15,45 unid. Direccin tg = 15,25 = 80,69o 2,5

EJERCICIOS PROPUESTOS