Revolución Industrial, Revolución Cientifica y Revolución Tecnologica
Sólidos de Revolución
21
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Noviembre 2012 VBV
description
Sólidos de Revolución. Noviembre 2012 VBV. Definición. Un sólido de revolución es un sólido generado mediante la rotación de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano. Ejemplos…. Cilindro de Revolución. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Sólidos de Revolución
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Noviembre 2012
VBV
DEFINICIÓN Un sólido de revolución es un sólido
generado mediante la rotación de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano.
EJEMPLOS…
h
altu
ra
rradio
Superficie lateral
bases
CILINDRO DE REVOLUCIÓN Se obtiene al girar una vuelta completa un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
r
h
generatriz
Se obtiene al girar una vuelta completa un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
CONO DE REVOLUCIÓN
R
ESFERA Es el sólido que se obtiene al girar un
semicírculo una vuelta completa alrededor de su diámetro.
MÉTODOS Para calcular el volumen de este tipo de
sólidos veremos por ahora dos métodos:Método de los DiscosMétodo de las Capas Cilíndricas.
MÉTODO DE LOS DISCOS Consideremos la región plana limitada
por y = f(x), el eje X y por las rectas x = a y
x =b Supongamos además que para x [a,b]
se cumple: f(x) 0.
8
f(x)
a bx
Esta región gira alrededor del eje X. f(x)
a bba x
Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al área del círculo: [f(x)]2.
Por tanto,
OBS: Radio: f(x)
EJEMPLOS. Encontrar el volumen, del sólido de
revolución obtenido, por: f(x)= x – x3, 0 x 1, en torno al eje X.
(Resp. 4/15) f(x) =sen x, 0x, en torno a X (resp: 2)
CASO: ARANDELAS Consideremos la región plana limitada
por y = f(x), y= g(x) y por las rectas x = a y
x =b Supongamos además que para x [a,b]
se cumple: 0 f(x) g(x).
12
f(x)
a bx
g(x)
Esta región gira alrededor del eje X
13
a bx
g(x)
f(x)
Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al
(área del círculo mayor) - (área del círculo menor)
El mayor radio corresponde a R (x) = g(x) y el menor a r (x) = f(X) se sigue:
EJEMPLOS. Encontrar el volumen, del sólido de
revolución acotado por la región:y=x2+1, y=0, x=0, x =1, en torno al eje X.
(Resp.)y =x ; y=x2 en torno a X (resp: 3/10)
CASO: ROTACIÓN SOBRE EL EJE Y Es la misma idea! y=f(x) x=g(y)
f(x)
CASO: ROTACIÓN SOBRE UNA RECTA Supongamos que la región rota sobre
una recta x=L.
x=L
L- f(y)
L- g(y)
CASO: ROTACIÓN SOBRE UNA RECTA Supongamos que la región rota sobre
una recta x=L.x=L
f(y) - L
g(y) - L
EJERCICIOS PROPUESTOS. Encontrar el volumen, del sólido de
revolución obtenido: y=x2, y=2x gira alrededor del eje Y (R:
8/3) Y=x, y=1, x=4, alrededor de la recta
y=1 (R: 7/6)
MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS. V=2(radio)(altura) Esto es,
EJERCICIOS PROPUESTOS. Encontrar el volumen, del sólido de
revolución obtenido: y=x3+x+1, y=1, x=1 gira alrededor de
x=2 (R: 29/15) y=x-x3, y=1, x=4, alrededor del eje Y (R:
4/15)
