Sólido rígido - Dinámica de Rotación.ppt

Dinámica del Cuerpo Rígido

Momento de inerciaMomento de inercia de una partícula

eje

r

m

El momento de inercia se define como el “segundo momento” de la masa m en torno a un eje.

2r mI

r es la distancia perpendicular al eje medida desde la masa m.


Momento de inerciaMomento de inercia de un sistema de partículas

eje

r1

m1

m3

m2

r3

r2

233

222

211 r mr mr mI

n

1i

2ii r mI


Momento de inerciaMomento de inercia de un cuerpo rígido

r

dm

z

m

2 dm r I

El momento de inercia es una forma de medir la resistencia opuesta por un cuerpo a la aceleración angular.


Momento de inerciaTeorema de Steiner

y’

rdm

r’x’

z’z

d x’

y’A G

Se conoce IG con respecto a z’. Se calculará I con respecto a un eje paralelo z situado a una distancia d. dm y'x'ddm r I

m

2

m

2 2

m

2

mm

22 dm ddm x' 2ddm y'x' I 222 y'x'r'

0dm xdm x' mm

entonces: 2G mdII


Momento de inerciaMomento de inercia de una varilla

Varilla de masa M y longitud L. Se calculará el Mto. de Inercia con respecto a un eje perpendicular a la varilla que pasa por su centro de masa.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es:

El momento de inercia de la varilla es:


Momento de inerciaMomento de inercia de una varilla

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.


Momento de inerciaMomento de inercia de un disco



Tomamos un elemento de masa dm que dista una distancia x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2πx y anchura dx, cuya masa es:

El momento de inercia será:


Momento de inerciaMomento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa dm que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es:


Momento de inerciaMomento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.Tomamos un elemento de masa dm que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo será:




Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo será:



El momento de inercia del disco es:

haciendo el cambio de variablex=R · cosθy=R · senθllegamos a la integral:


Momento de inerciaMomento de inercia de una esfera

Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros.

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz.



El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es:

La masa de cada uno de los discos es:

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.



Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2

Dinámica del Cuerpo RígidoMomento de inerciaMomento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es:



Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro será:


Momento de inerciaMomento de inercia de un paralelepípedo

Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.


Momento de inerciaMomento de inercia de un paralelepípedo

El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es:

Aplicando el teorema de Steiner, el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x será:

El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo será:

Dinámica del Cuerpo RígidoRadio de Giro (k)

z

k

M

M

Es la distancia desde el eje hasta un punto donde se concentra la masa M, para obtener el mismo momento de inercia sin cambiar sus propiedades.

2k MI

MI

k

Momento angular de una partícula

Se define el momento angular de una partícula como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal (mv).


prvrL

m

Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=ω ·ri

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.

El módulo del vector momento angular vale:

Li=ri mi vi


Momento angular de un sólido rígido

Momento angular de un sólido rígidoSu proyección sobre el eje de rotación Z es


iiiiiiiiiz senθrvm)θcos(90rvmL

donde: ii ωRv iii Rsenθr

luego: ωRmL 2iiiz

El momento angular de todas las partículas del sólido es: iLL

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación será: ω RmLL 2

iiizz

Momento angular de un sólido rígido


donde: inercia) de (momento I Rm 2ii En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo

largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia. Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación.

IL

Momento o Torque de una Fuerza


El momento o torque de una fuerza se define como el efecto de giro que produce ésta sobre un cuerpo alrededor de un punto, y es igual al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

FrMO

d F sen r FMO

d = brazo de palanca ┴F d

Ecuación del Movimiento de Rotación


De la segunda ley de Newton:

aF

m arFr

m

dt

d m

dtd

m mv

rv

rarM

pero: vrv

r

dtd

dtd

prvrvrM

dtd

m dtd

dtd

m

luego:

Ecuación del Movimiento de Rotación


dtdL

M

dt Id

dtd

LM

IM

Si el momento de inercia I es constante, como ocurre en los cuerpos rígidos, entonces:

dtd

I

M

Ecuación del Movimiento de Rotación de un cuerpo rígido.

Ecuaciones del Movimiento: traslación


G

F1

F2

F3

F4

W

M1

M2

G

maG

=

Traslación rectilínea

Ecuaciones de Movimiento: traslación


Traslación rectilíneaCuando un cuerpo experimenta una traslación rectilínea, todas sus partículas viajan con trayectorias rectilíneas paralelas.

0 M

)(a m F

)(a m F

G

yGy

xGx

Los diagramas de cuerpo libre y cinético se muestran en la figura anterior. Las ecuaciones de movimiento correspondientes serán:

Si la sumatoria de momentos se calcula en torno a un punto distinto al centro de gravedad, entonces se debe considerar el momento de maG.



Traslación curvilínea

G

t

n

m(aG)t

m(aG)n

G

F1

F2

F3

F4

W

M1

M2

t

n

=



Traslación curvilíneaCuando un cuerpo experimenta una traslación curvilínea, todas sus partículas recorren trayectorias curvas paralelas.

0 M

)(a m F

)(a m F

G

tGt

nGn

Conviene utilizar un sistema de coordenadas inerciales cuyo origen coincida con el centro de masa del cuerpo, y que los ejes se orienten en las direcciones normal y tangencial de la trayectoria. La ecuaciones escalares del movimiento serán:

Si la sumatoria de momentos se calcula en torno a un punto distinto al centro de gravedad, entonces se debe considerar el momento de ambas componentes m(aG)t y m(aG)n.

Ecuaciones de Movimiento: rotación en torno de un eje fijo


G

O

F2

F1

FO

F4

F3

W

M1

M2 G

O

r G

IGα

m(aG)n

m(aG)t

=

El cuerpo rígido (placa) está limitado a girar en torno a un eje perpendicular a la diapositiva que pasa por el punto O.

Dinámica del Cuerpo RígidoEcuaciones de Movimiento: rotación en torno de un eje fijoDebido a que el centro de masa del cuerpo, G, recorre una trayectoria circular, su aceleración está representada por sus componentes tangencial y normal.

La figura anterior muestra los diagramas de cuerpo libre y cinético del cuerpo. El peso del cuerpo W y la reacción del eje FO se incluyen en el diagrama de cuerpo libre debido a que son fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.

α I M

r α m )(a m F

r ω m )(a m F

GG

GtGt

G2

nGn

Las ecuaciones escalares de movimiento que corresponden al cuerpo serán:

Dinámica del Cuerpo RígidoEcuaciones de Movimiento: rotación en torno de un eje fijoEn muchos problemas resulta conveniente encontrar la sumatoria de momentos en torno del eje que pasa por O, con el objeto de eliminar la fuerza desconocida FO. En este caso:

α I αmrr α I )(amr M GGGGtGGO α I α )I (mr M OG

2GO

α I M

r α m )(a m F

r ω m )(a m F

OO

GtGt

G2

nGnPor lo tanto, las tres ecuaciones de movimiento para el cuerpo serán:

Dinámica del Cuerpo RígidoEcuaciones de Movimiento: movimiento en el plano general

=G

F2

F1

F4

F3

W

M1

M2

x

y

G

IGαm(aG)x

m(aG)y

maG

Dinámica del Cuerpo RígidoEcuaciones de Movimiento: movimiento en el plano generalEn la figura anterior se muestra un cuerpo (placa) que presenta un movimiento en el plano general, causado por un sistema de fuerzas externas y un par de momentos o torques. Se muestran los diagramas de cuerpo libre y cinético del cuerpo. El vector (maG) tiene la misma dirección que la aceleración del centro de masa del cuerpo.

α I M

)(a m F

)(a m F

GG

yGy

xGxSi se elige el sistema de coordenadas inerciales x y y, las tres ecuaciones escalares del movimiento serán:

Dinámica del Cuerpo RígidoProblemas de rotación por fricción

GP

r

GP

r

W = m g

N

F

x

y

α

aG

Si los cuerpos ruedan sobre una superficie áspera, debido a las cargas que se les aplica, no se sabe si ruedan sin derrapar, o si se desliza a medida que rueda.

Para el disco homogéneo de la figura, las ecuaciones de movimiento serán:

α I r F ;α I M

0 g m- N ;)(a m F

a m F- P ;)(a m F

GGG

yGy

GxGx

Dinámica del Cuerpo RígidoProblemas de rotación por fricciónLas tres ecuaciones anotadas contienen 4 incógnitas, F, N, α, aG, por lo que es necesaria una cuarta ecuación.

Rodadura pura. Si la fuerza de fricción F es lo bastante grande para permitir que el disco gire sin deslizarse, entonces se cumple que:

r α aG

Siendo µs es el coeficiente de fricción estática, no ocurrirá ningún deslizamiento si: N μ F sSin embargo, el disco desliza mientras rueda, y se requiere resolver de nuevo el problema cuando:

N μ F s

Dinámica del Cuerpo RígidoProblemas de rotación por fricciónRodadura y deslizamiento. En el caso de que exista deslizamiento, α y aG son independientes entre sí, de modo que:

r α aG

En lugar de ello, la magnitud de la fuerza de fricción se relaciona con la magnitud de la fuerza normal por medio del coeficiente de fricción cinética µk, es decir:

N μ F k

Dinámica del Cuerpo RígidoEnergía cinética

G

mivi

ri

ω Consideremos el cuerpo rígido de la figura, representado por una placa, rotando con velocidad angular ω con respecto al centro de masa G. Una i-ésima partícula arbitraria del cuerpo, con masa mi, se ubica en ri con respecto del centro de masa G.

En el instante en que se ilustra, la partícula tiene un velocidad vi, entonces la energía cinética de dicha partícula será:

2iii v m

21

E k

Dinámica del Cuerpo RígidoEnergía cinéticaLa energía cinética de todo el cuerpo será:

n

1i

22ii

n

1i

2ii

n

1iik ω r m

21

v m21

E E K

n

1i

2ii

2k r m ω

21

E donde: G

n

1i

2ii I r m

ω I 21

E 2Gk Energía cinética de rotación del cuerpo rígido

En general: ω I 21

E 2Ok

Energía cinética de rotación de un cuerpo rígido que rota en torno a un eje que atraviesa el punto O.

Dinámica del Cuerpo RígidoEnergía cinética: Traslación

vG = v

v

G

Cuerpo rígido de masa M sometido a una traslación rectilínea o curvilínea.

v M 21

E 2Gk

Dinámica del Cuerpo RígidoEnergía cinética: Rotación en torno de un eje fijo

G

O

vG

rG

ω El cuerpo rígido gira en torno de un eje fijo que atraviesa el punto O, tiene energía cinética de traslación y de rotación.

2G

2Gk ωI

21

v M 21

E

ω r v GG como: entonces:

22GG

2G

22Gk ω r M I

21

ωI21

ωr M 21

E

Por el teorema de Steiner:2

Ok ωI21

E

Dinámica del Cuerpo RígidoEnergía cinética: Movimiento en el plano general

G

vG

ω Cuando un cuerpo rígido está sujeto a un movimiento en el plano general, tiene una velocidad angular ω y su centro de masa tiene una velocidad vG. Por tanto la energía cinética será:

2G

2Gk ωI

21

v M 21

E

Dinámica del Cuerpo RígidoTrabajo de una fuerzaLas ecuaciones para el trabajo de una fuerza variable, el trabajo de una fuerza constante, el trabajo de un peso y el trabajo de la fuerza de un resorte, son las mismas que se aplican a una partícula.

Fuerzas que no realizan trabajo

Las fuerzas externas que no realizan trabajo alguno cuando un cuerpo se desplaza, son las que actúan sobre puntos fijos en el cuerpo o tienen una dirección perpendicular al desplazamiento.

G

W

N

Ff

ωEn la figura se muestran algunas de estas fuerzas como la Normal y el Peso de un cuerpo cuando el centro de gravedad de éste se mueve en un plano horizontal. Si existe rodadura pura la fuerza de fricción tampoco realiza trabajo ya que durante un instante actúa sobre un punto del cuerpo que tiene velocidad cero.

Dinámica del Cuerpo RígidoPrincipio del Trabajo y la EnergíaEn la dinámica de la partícula se analizó el principio del trabajo y la energía para una partícula. Si se aplica este principio a cada una de las partículas de un cuerpo rígido y se suman los resultados en forma algebraica, como la energía es un escalar, puede aplicarse este principio a un cuerpo rígido.

2211 kk EWE

Esta ecuación establece que las energías cinéticas iniciales de rotación y traslación del cuerpo, más el trabajo realizado por todas las fuerzas externas y momentos que actúan sobre el mismo mientras se desplaza de su posición inicial a la final, es igual a las energías cinéticas finales de rotación y traslación. Este principio se emplea para resolver problemas cinéticos que involucran velocidad, fuerza y desplazamiento.

Dinámica del Cuerpo RígidoConservación de la energíaCuando un sistema de fuerzas, que actúa sobre un cuerpo rígido, consta solo de fuerzas conservativas, es posible emplear el teorema de la conservación de la energía para resolver un problema. En el estudio de la dinámica de la partícula se demostró que el trabajo de una fuerza conservativa puede expresarse como la diferencia entre la energía potencial del cuerpo medida a partir de una referencia arbitraria, luego:

2p2k1p1k EEEE

Esta ecuación establece que la suma de las energías potencial y cinética del cuerpo permanece constante cuando este se desplaza de una posición a otra. Se emplea para resolver problemas que involucran velocidad, desplazamiento y sistemas de fuerzas conservativas; incluso fuerzas de fricción sobre cuerpos que se mueven con rodadura pura.

Dinámica del Cuerpo RígidoImpulso y Momento

Dinámica del Cuerpo RígidoConservación del momento angularSabemos que:

dtdL

M

Si la suma de los momentos originados por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual a cero, entonces:

0L

dtd

o lo que es lo mismo: cteL

es decir: 21 LL

(conservación del momento angular)

En el caso de un cuerpo rígido simple: 21 ωIωI GG

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