III-Cinemática Del Sólido Rígido

7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido

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1. MOVIMIENTO DE TRASLACIN

2. MOVIMIENTO DE ROTACIN

3. MOVIMIENTO PLANO GENERAL

CINEMTICA DEL SLIDO RGIDO


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Objetivos Apartados .

Definir el concepto de slido rgidoMotivacinDefinir la traslacin, la rotacin y el movimiento

plano general de un slido rgido.................1,2, 3 Obtener la expresin de la velocidad y aceleracin de lospuntos de un slido rgido en el movimiento de traslacin,en el de rotacin y en el movimiento plano general........................1,2, 3Comprobar que la velocidad angular en el movimientoplano general de un slido es la misma independientemente

del punto del slido elegido como origen del sistema mvil..............3Resolver ejercicios sobre los distintos tipos de movimientotratados en el captulo.........................................................................1,2,3


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PROBLEMASy TEORA QUE HAN DE SERTRABAJADOS

- FSICA : 200 PROBLEMAS TILES

- Problemas del 47-48, 50, 51(slo velocidad angular)

- FUNDAMENTOS FSICOS DE LA INGENIERA (I):

- Captulo 7. Apartados: 7.1.1-7.1.2-7.1.3


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Motivacin

En muchos de los fenmenos en que intervienen,los objetos realesno pueden ser consideradoscomo masas puntuales o partculas.

No obstante, siempre que las deformaciones

que sufran sean despreciables, se puedenconsiderar como un conjunto casi infinito departculas infinitesimales en el que la distanciaentre ellas permanece constante. Esto es lo que

se conoce como slido rgido. Es por tanto de sumo inters saber describir el

movimiento de un slido rgido, esto es, estudiarsu cinemtica.


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Cinemtica del slido rgido

1. Traslacin: Se dice que un slido rgido tiene movimiento de traslacin cuandopara cualquier par de puntos del slido, A y B, lalnea recta que los une

permanece en todo instante paralela a s misma.Esto es equivalente a decir que:

Las componentes delvector ABpermanecenconstantes durante elmovimiento.

Por lo tanto se cumplir que: (1)

Volviendo a derivar obtenemos que:(2)

Es decir, en el movimiento de traslacin pura, todos los puntos del slido tienen lamisma velocidad, la misma aceleracin y trayectorias paralelas.

- Si la trayectoria de los puntos del slido es una recta, la traslacin es rectilnea.- La traslacin es curvilnea si la trayectoria descrita por sus puntos es una curva.

0ABdt

d

A

r

X

Z

Y

A

''B

''A

'B

'A

B

Br

0dt

rd

dt

rdAB

dt

drrAB

AB

AB

dt

vd

dt

vdAB

AB

vv

AB aa


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2. Rotacin en torno a un eje fijo

Para que un slido rgido tenga movimiento de rotacin ha de tener dos puntos fijos, Ay B, y, por tanto, todos los de la recta que los une. Dicha recta es el eje de rotacin,que ennuestro caso consideraremos fijo en el espacio.

Los puntos del slido no pertenecientes al ejederotacin describen circunferencias situadas en planosperpendiculares a dicho eje y con centro en l.Como vimos , al estudiar el movimiento circular, la

velocidad de un punto P cualquiera del slido ser, entonces:

(3)

Derivando respecto de t, obtendremos la aceleracin del punto P:

(4)

Siendo, de nuevo, como vimos al estudiar el movimiento circular:

- La componente tangencialde la aceleracin (5)

- La componente normal (6)

Pr

X

Z

Y

P

P

P rOP

dtrdv

)()(

PP

P

PP

P

P

rr

dt

rdr

dt

dr

dt

d

dt

vda

:

Pr

)(

Pr

B

A

O

PvP


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Ejemplo 1

Una estacin espacial tiene una forma toroidal de radio R = 500m y gira con velocidadangular constante en torno al eje Z. Calcular:a)El nmero de revoluciones por minuto que debedar para que la aceleracin en A sea igual a g.b) El mdulo de la velocidad de A.

X

Z

Y

A

O

O

A


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3. Movimiento plano general. Este es un caso particular del movimiento general

del slido de especial inters. Movimiento plano: es aquel movimiento en el cada partcula del slido se

mueve en un plano. No necesariamente el mismo para todas.Movimiento plano general: es aquel movimiento plano que no es ni una

traslacin pura ni una rotacin pura pero que, como veremos, se puedeconsiderar conceptualmente como la suma de una traslacin ms una rotacin.Ejemplos:

= +

Movimiento completo Traslacin Rotacin

= +

Movimiento completo Traslacin Rotacin

1A

2B

1A

1B'

1B

2A

'

1B

2B

'

1A

1A 2A

1B

2B

1A 2

A

'

1B

1B

'

1B

2B

2A

2A

2

A

1B


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Para estudiar analticamente este movimiento, consideremos un slido rgido conun movimiento plano cualquiera y dos puntosA y B del slido cualesquiera.

Tomemos dos sistemas de referencia:- El OXYZ inercial y fijo en el espacio- El AXYZ fijo en el slido y por lo tanto mvil respecto al sistema fijo OXYZ.

Siguiendo los pasos del captulo anterior, escribimos previamente los vectores deposicin y su dependencia o no con el tiempo.

Traslacin + rotacin

Como se desprende de la figura, la relacin

entre ellos es:

La velocidad del punto B respecto del sistema fijo,obtenida derivando laexpresin anterior, se podr expresar de la siguiente manera:

A

Y

X

O

'B

B

B

A

'X

'Y

Z

'Z

'X

'Y

'Z)(' tr

ktzjtyitxOBtrB )()()()(

ktzjtyitxOAtr AAAA )()()()(

)('')('')('')(' tkztjytixABtr

)(trB

)(trA

)(')()(: trtrtrtAB

:cuerpoByAyt


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siendo la velocidad angular de giro del slido en torno aleje de rotacin.

Esta ecuacin fundamental define el campo de velocidadesdel slidoy permite decir que:

El movimiento plano ms generalde un slido rgido puede considerarse como una

traslacin, con velocidad igual a la de un punto A del slido, ms una rotacin en torno a unejeque pase por dicho punto

(7)

A

)(trB

)(trA

)(' tr

'X

'Y'Z

O

Z

Y

B

X

)()()()(')()()( tABttvtrttvtvAAB

0 0 0

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxk

dt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

ABd

dt

rd

dt

rd

dt

rd

dt

rdt AAAAAB

':

dt

kd

zdt

jd

ydt

id

xkdt

dz

jdt

dy

idt

dx ''

''

'''

''

''

'

)'('

kz )'('

jy )'('

ix

ABttvtvAB )()()(


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La velocidad angular es la misma para todos los puntos del slido. Esto es sisituamos el origen mvil en otro punto C, la velocidad de rotacin es la misma.

Efectivamente, si previamente expresamos la velocidad del punto C manteniendoel origen mvil en A, podemos hacer uso de (7) y escribir:

Restando (8) de (7), obtenemos:

Expresin que nos dice que tambinpodemos expresar la velocidad del punto

B como suma de la velocidad de traslacinde otro punto C, distinto del A, ms una

rotacin en torno a un eje que pase por dicho punto

y con la misma velocidad angular que en el caso anterior. Si derivamos el vector velocidad de B respecto del tiempo, obtendremos suaceleracin:

A

Y

X

O

BB

A

C

Z

dtABdAB

dtdaa

ABdt

d

dt

vdABv

dt

drv

dt

dv

dt

d

AB

A

AAB

)()()'(

)9(

)8(

ACvv AC

CBACAB

ACvABvvv AACB

)(

CBvv CB

C

)(

ABABaa AB

)(trB


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Puesto que, como acabamos de comprobar:

La expresin (9), que define el llamado campo de aceleraciones del slido rgido, nosdice que:

La aceleracin de un punto B del slido es igual a la de otro punto cualquiera A

ms la aceleracin( normal y tangencial) de B en una rotacin de velocidad angular

y aceleracin en torno a un eje, perpendicular al plano del movimiento, que

pase por A

0 0 0

dt

kdz

dt

jdy

dt

idxk

dt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rd

dt

ABdt

''

''

'''

''

''

'':

)'('

kz )'('

jy )'('

ix


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Ejemplo 2

En el sistema mecnico de la figura, la manivela AB tiene una velocidad angularconstante, en el sentido de las manecillas del reloj, de 2000rpm. Para la posicinde la manivela indicada en la figura, determinar:

a) La velocidad angular de la manivela AB en rad/s.b) La velocidad del pistn P.c) La aceleracin angular de la biela BD y la aceleracin del punto D.

Datos adicionales:

Ejercicios de entrega voluntaria

I) Demostrar, al igual que se ha hecho con la velocidad, que si se sita el origen delsistemamvil en otro punto C, la aceleracin de B viene dada por una expresinsimilar a (9), con las mismas aceleracin y velocidad angulares que en (9).

II) Obtener las expresiones (1), (2), (3), (4), (7) y (9) deducindolas comosituaciones particulares de los casos tratados en los apartados 2, 4 y 5 del captulo

anterior, sobre Movimiento relativo.

A

B

D

40P

cmLcmLBDAB

80;30

X

Y


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Ejemplo 3Una viga AB, de longitud L, ha de introducirse horizontalmente en un corredor de

anchura 0,2L. La maniobra se efectuar desplazando el extremo A sobre una delas paredes del corredor a la vez que la viga desliza sobre la esquina que la otraotra pared forma con la fachada del edificio donde se encuentra la entrada del

corredor. La zona de la calle invadida por la viga durante la maniobra deber seraislada como medida de seguridad. Determinar:

a) La velocidad angular de la viga en funcin de lavelocidad del extremo A y del ngulo .b) La componente Y de la velocidad del extremo B,en funcin, igualmente, de y .

c) El valor de para el cual la componente anteriorse anula.d) La anchura bde la zona de seguridad.

Ejemplo 4Una tuerca es obligada a desplazarse a lo largo del eje del tornillo con velocidadconstante . Si la rosca de ambos tiene el paso p, determinar:a) La velocidad angular de rotacin de la tuerca alrededor del eje del tornillo.b) La velocidad de un punto A de la periferia de la tuerca que dista del eje de girouna distancia d.c) La relacin entre el nmero de vueltas dadas por la tuerca y el avanceconsiguiente a lo largo del eje del tornillo.

b

L

L2,0

AvA

B

Av

0v

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