7/25/2019 Sol Exmat117 II-05

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Solucin Examen

Problema N1.

(1.1) Si u = 1 2x entonces du = -2 dx y as

1 1

0 1

1(1 2 ) ( )2

f x dx f u du =

=1

1

1( )

2g u

= ( )1

( 1) (1)2

g g

= 0.

(1.2) Sea u = x y dv = f (x) dx, luego du = dx y v = f(x). Por lo tanto,

( ) ( ) ( )f x dx x f x f x dx=

( ) ( ) ,f x g x c= +

donde c es una constante real.

Problema N2.

(2.1) A =1 2

2 2

0 1

1 1(2 ) (3 ) .

4 4

x x dx x x dx +

(2.2) V =1 2

4 2

0 1

1 1(4 ) ((3 ) ) .

16 16

4x x dx x x dx +

(2.3) V =1 2

2 2

0 1

1 13) (2 ) 2 ( 3) (3 )

4 42 ( .x x x dx x x x d + + + x

Problema N3. A =/ 2 / 4

2

/ 6 / 616 ( ) 8 cos(2 )sen d d

= 8/ 2 / 4

/ 6 / 6(1 cos(2 )) 8 cos(2 )d d

=/ 2 / 4

/ 6 / 6

18 (2 ) 4 (2

2sen sen

)

=8

4 3 4.3

+

7/25/2019 Sol Exmat117 II-05

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Problema N4. En primer lugar, note que la serie geomtrica

1

1

2

n

n

=

converge pues1

12

< . Por lo tanto, la serie

1

4

2nn

= converge.

Por otra parte, para todo n , se tiene que 0 1; se sigue del criterio de comparacin

que la serie2

1

2

n n n

= + converge.

En consecuencia, la serie 21

4 2

2nn n n

=

+

converge.

Problema N5.Para todo x, se tiene que

sen(x ) =2 4 2 2 4 2

0 1

( 1) ( 1)

(2 1)! (2 1)!

n nn n

n n

x xn n

+ +

= =

= +

+ + ,

luego, si x 0 entonces ,

2 24

2

1

( ) ( 1)

(2 1)!

nn

n

sen x x

x n

=

=

+ ;

como esta serie se anula en 0 y converge para todo x, se sigue que

4

1

( 1)( )

(2 1)!

nn

n

f xn

=

=

+ x , para todo x .

As, como la serie de MacLaurin de f est dada por 4

1

( 1)

(2 1)!

nn

n n

=

+

entonces para todo n , (4 ) ( 1) (4 ) !

(0)

(2 1)!

nn nf

n

=

+

. En particular, si n = 25

entonces (100) (0)f = 100!

.51!