ACCIONES DE MEDIACIÓN DEL PROFESOR EN LA EVOLUCIÓN DEL SIGNIFICADO DE BISECAR

Viviana Paola Salazar y Leonor Camargo UribeUniversidad Pedagógica Nacional

Grupo Æ•GResumenProponemos un marco de referencia para analizar episodios de clase con el fin de interpretar en detalle la mediación semiótica del profesor, recurriendo a elementos de la teoría del Signo tríadico de Peirce. La propuesta se ejemplifica con cuatro ciclos de interpretación obtenidos de fragmentos de una clase de geometría euclidiana plana de segundo semestre universitario.

Palabras clave: Mediación semiótica, Enseñanza de la geometría, Construcción de significado

Keywords: Semiotic mediation, Teaching geometry, Making meaning

IntroducciónEl grupo Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría (Æ•G), del Departamento de

Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, adelanta el proyecto

Conjeturas y construcción de conocimiento en clase de geometría. Este proyecto

pretende hacer un aporte investigativo a la caracterización de la mediación

semiótica del profesor (Bartolini-Bussi y Mariotti, 2008, citado en Samper y Molina

2013), mediación que éste lleva a cabo cuando procura que las conjeturas de los

estudiantes se constituyan en organizador del contenido matemático en la clase y,

por esa vía, logra su participación relevante. A partir del análisis de diferentes

sesiones de clase del curso Geometría Plana de segundo semestre de

Licenciatura en Matemáticas se pretende llegar a una generalización acerca de las

diferentes acciones que lleva a cabo el profesor, en el curso de la mediación.

Dicha generalización es útil a profesores en formación y en ejercicio, pues puede

servir de referente para su acción futura o presente, en el aula de matemáticas.

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El objetivo de esta ponencia es ejemplificar una de las acciones de mediación

semiótica que se ha visto útil, durante la investigación, para apoyar la participación

de los estudiantes. Sucede cuando el profesor lleva a cabo una interacción

comunicativa, en clase de geometría plana, dirigida a todo el grupo de estudiantes.

El ejemplo es extraído de una clase en la que los estudiantes avanzan en la

construcción de significado de la relación geométrica “bisecarse”. Para dar cuenta

en detalle de la mediación nos valemos de la perspectiva semiótica que

desarrollan Sáenz-Ludlow y Zellweger (2012), con base en la teoría del Signo

tríadico de Peirce. Presentamos primero los aspectos que constituyen el marco de

referencia, luego señalamos la metodología con la que intervenimos

analíticamente en el fragmento de la clase y finalmente presentamos los análisis.

Marco de referenciaEl marco de referencia descansa sobre dos conceptos. El concepto de mediación

semiótica del profesor, que desarrolla el grupo Æ•G, con base en la Teoría de la

Mediación Semiótica (TMS) de Bartolini-Bussi y Mariotti (2008, citado en Samper,

et al., 2013), y el concepto de objeto dinámico didáctico (odd) propuesto por el

grupo Æ•G a partir de la perspectiva semiótica de Sáenz-Ludlow y Zellweger

(2012).

Entendemos por mediación semiótica del profesor el conjunto de acciones que

emprende cuando decide aprovechar los Signos personales producidos por los

estudiantes, derivados del uso de un artefacto, para desarrollar el contenido

matemático en la clase y lograr la apropiación de significados matemáticos de

tales Signos, por parte de los estudiantes. El uso que el profesor hace de los

Signos depende del nexo que él entrevea entre los Signos y las acciones llevadas

a cabo con el uso del artefacto, o entre los Signos y el conocimiento matemático

en juego, en el contexto de una actividad específica. Generalmente, los Signos

personales están asociados a las acciones realizadas y la meta de la mediación

semiótica del profesor es lograr que evolucionen hacia Signos matemáticos,

relacionados con el universo teórico que corporeiza el artefacto.

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Desde 2007, el grupo Æ•G viene implementando y evaluando una aproximación

metodológica para favorecer el aprendizaje de la demostración en geometría, en la

que la mediación semiótica del profesor tiene gran importancia. Dicha

aproximación guarda relación con el ciclo didáctico propuesto por Bartolini-Bussi y

Mariotti (2008, citado en citado en Samper y Molina, 2013) y se centra en

favorecer la producción de Signos por parte de los estudiantes. Para ello, se

comienza con una situación problema en la que es importante el uso de un

artefacto (en nuestro caso, un programa de geometría dinámica), seguida de un

escrito en el que se informe su actividad (la explicitación del procedimiento de

construcción geométrica que se hace para explorar la situación y la formulación de

conjeturas relacionadas con la exploración) y termina con actividades colectivas

en las que el profesor se responsabiliza de la evolución de los significados

asociados a los Signos, focalizando la discusión en torno a los mismos (en nuestro

caso, se discuten las conjeturas, se verifican, se demuestran y se

institucionalizan). El profesor se apoya en la experiencia vivida por los estudiantes,

en sus observaciones y en las formulaciones que provienen de las experiencias

vividas, para así dar sentido a los enunciados matemáticos que emergen en los

Signos personales que los estudiantes producen. Las acciones del profesor

asociadas con la tarea de hacer evolucionar los Signos personales hacia los

Signos matemáticos hacen parte de la mediación semiótica.

En la investigación Conjeturas y construcción de conocimiento en clase de

geometría se han identificado, hasta el momento, las siguientes dos tipos de

acciones de mediación semiótica que lleva a cabo el profesor para que los

alumnos construyan conocimiento, relacionado con los procesos de conjeturación

y justificación (Samper, Molina, 2013) que se promueven en la clase:

Aprovechar las construcciones hechas por los estudiantes para que ellos

edifiquen significado asociado a las conjeturas producidas, fruto de la

resolución de problemas. Este tipo de acción es muy importante cuando los

estudiantes se enfrentan a un problema que les implica proponer una

construcción geométrica y explorarla para detectar al menos una relación de

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dependencia entre dos hechos geométricos. La conjetura, producto de la

exploración, debe concordar con dicha exploración; es decir, las propiedades

que se imponen por construcción o por arrastre son las que se escriben en el

antecedente, y las que se descubren son las que se escriben en el

consecuente. Acciones específicas como pedir reproducir los pasos de la

construcción, pedir identificar qué cambia, qué no cambia, establecer una

dependencia, etc., hacen parte de este tipo de mediación semiótica del

profesor.

Impulsar una discusión en la que se destaquen las generalidades de una

posible demostración de una conjetura, para construir significado acerca de lo

que es una demostración y cómo se hace. Este tipo de acción es muy

importante, previa a emprender la elaboración de la demostración, pues

permite darse una idea global de camino hacia la misma. Acciones específicas

como preguntar cómo se puede realizar la demostración o pedir hacer

explícitos los antecedentes de los hechos geométricos que podrían intervenir

en un paso de la demostración, que van guiando a los estudiantes en la

construcción de pasos de la demostración, hacen parte de este tipo de

mediación.

Para entrar en detalle sobre la gestión de los Signos producidos por los

estudiantes en los dos tipos de acciones de mediación identificadas hasta el

momento, y fruto de la interacción académica con Saenz-Ludlow, el grupo Æ•G ha comenzado a ampliar su mirada sobre la mediación semiótica del profesor

para incorporar a ella la noción de objeto dinámico didáctico (odd), sugerida por el

grupo (Camargo, Perry, Samper, Molina, 2014), en el marco de la perspectiva

semiótica que propone esta investigadora.

Con la expresión objeto dinámico didáctico (odd) nos referimos a uno de los tres

componentes de los Signos con los que el profesor se comunica o piensa, en un

intercambio en el que, como representante experto de una comunidad, dirige la

construcción de significado de un Objeto Real (OR) por parte de sus estudiantes,

el cual está ligado a una meta didáctica particular. El odd es un aspecto del Objeto

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Real presente en la intervención del profesor, no necesariamente de manera

explícita, con el objetivo de que sus estudiantes avancen en la construcción de

significado matemático. Los otros dos componentes del Signo son el signo-

interpretante, que es aquello que el profesor interpreta acerca de los signos con

los que se comunican sus estudiantes y el signo-vehículo con el que él representa

el aspecto al que alude en la comunicación.

Los estudiantes, por su parte, producen Signos constituidos a su vez por los

componentes antes señalados, salvo que en lugar de odd intervienen objetos

dinámicos (od) en tanto son aspectos matemáticos del Objeto Real que el

estudiante va incorporando en los significados que le otorga a éste, en el curso de

la comunicación. La mediación semiótica del profesor hace referencia a las

acciones comunicativas deliberadas que realiza el profesor con el propósito de

lograr la convergencia de los objetos dinámicos, como componente de los Signos

de los estudiantes hacia el Objeto Real pretendido. En la presente ponencia

vamos a usar estos elementos conceptuales para caracterizar las acciones de

mediación semiótica del profesor relacionadas con el tipo uno.

MetodologíaEl análisis que nos permite llegar a la ejemplificación de la acción de mediación

semiótica se hizo a partir de las grabaciones y transcripciones que se hicieron, en

el marco de la investigación, a las interacciones comunicativas que sucedieron en

algunos momentos de una clase del curso de geometría. Estaba constituido en

esta oportunidad por 14 estudiantes cuyas edades estaban entre 18 y 24 años. El

curso se ubica en el segundo semestre del programa y tiene como propósito que

los estudiantes aprendan a demostrar, participando en actividad demostrativa

asociada a la resolución de problemas geométricos abiertos (Samper y Molina,

2013), a partir de la cual deben formular conjeturas y validarlas en el sistema

teórico que se va construyendo en el curso. Los estudiantes usan el programa de

geometría dinámica, Cabri para resolver los problemas. El profesor tiene amplia

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experiencia en el respectivo desarrollo curricular y hace parte del equipo de

investigación.

Para efectos del análisis de la mediación semiótica, se hizo un rastreo a los videos

de las clases para encontrar ejemplos que mostraran la acción de mediación y

luego, a partir de la transcripción de las clases correspondientes, inferir los odd y

el efecto producido en los od de los estudiantes. El proceso analítico implicó la

constitución de episodios de interacción en los que se discutía un asunto, una

mirada detallada a cada una de las intervenciones del profesor y una

caracterización de la acción de mediación. A partir de esto, fragmentamos cada

episodio en ciclos de interpretación para referirnos e ilustrar las acciones

puntuales de mediación. El episodio con el que ilustramos los análisis corresponde

a la construcción de significado del objeto geométrico “bisecar”.

Análisis de un episodioLa mediación semiótica del profesor a lo largo del episodio busca que los

estudiantes ganen significado de la relación geométrica “bisecarse”. Por eso

consideramos que ese es el OMR, de la semiosis. A continuación informamos

sobre los 4 ciclos de interpretación que se identificaron en los análisis (i)

propiedades de los objetos que intervienen en el procedimiento de construcción en

el que un objeto geométrico “biseca” a otro; (ii) formulación de conjetura acerca de

la relación “bisecarse”; (iii) discusión sobre la conjetura propuesta por un grupo;

(iv) cercanía al OMR pretendido.

Ciclo 1: Propiedades de los objetos que intervienen en el procedimiento de construcción en el que un objeto geométrico “biseca” a otro.

La siguiente interacción se da después de que los estudiantes han resuelto, con

ayuda de Cabri, el problema: Dados tres puntos A, B y C, ¿Es posible construir un

punto D tal que AB y CD se bisequen?

P: […] Entonces vamos a mirar la propuesta del grupo de Molly. ¿Qué hicieron primero?

Molly: (En el tablero).Bueno, nosotros primero construimos los tres puntos y… (Construye en Cabri tres puntos no colineales y los designa por A, B y C). Ya después hicimos el segmento AB (comienza a hacer la correspondiente construcción).

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P: ¿Esos tres puntos tienen alguna condición en especial, Molly?

Molly: Solo que no sean colineales.

P: Entonces, a medida que vamos diciendo las cosas que se construyen, vamos a ir diciendo, a su vez, las condiciones ¿Listo?

Molly: (Mientras el profesor dice lo anterior, Molly construye el segmento AB.)

P: (Comienza a escribir en el tablero la enumeración de los pasos de la construcción del grupo de Molly) Entonces… puntos A, B, C no colineales. ¿Después qué fue lo que hicieron ¿Molly?

Molly: Eeee, realizamos el segmento AB.

P: Ajá. (Escribe en el tablero el tablero el segundo paso.) Realizamos el segmento AB, listo.

Molly: Después colocamos el punto medio del segmento AB.

P: Ujum. (Escribe en el tablero el tercer paso: “Colocamos el punto medio”.)

Molly: (Construye el punto medio del segmento AB y lo designa por D.)

P: (Incluye esta información en el tercer paso que ha escrito.) Entonces, colocamos el punto medio D del segmento AB, listo. Y, ¿luego?

Molly: Eeee, trazamos el segmento CD (construye lo mencionado).

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P: (Anota en el tablero el cuarto paso: “Trazamos el segmento CD”.)

Varios: (Murmullos.)

P: Listo. Y, ¿qué pasó?

Molly: Yyyy, pues, según la definición de bisecar, tenemos que el segmento AB y el segmento CD se bisecan.

En este fragmento, Molly expuso frente a todos los estudiantes el procedimiento

que su grupo llevó a cabo para hacer la construcción que les permitió resolver el

interrogante planteado. En síntesis, la construcción consistió en determinar tres

puntos no colineales llamados A, B y C, luego construir el segmento AB,

determinar el punto medio D y luego construir el segmento DC. Por lo tanto, el

principal Signo que evidencia lo que para Molly es bisecarse es la figura que

quedó construida en Cabri:

Las intervenciones del profesor van dirigidas a orientar a Molly la exposición del

proceso de construcción. Con su signo-vehículo: “Esos tres puntos tienen alguna -

condición especial, Molly? […] Entonces, a medida que vamos diciendo las cosas

que se construyen, vamos a ir diciendo, a su vez, las condiciones, ¿listo?” el

profesor da inicio a la mediación semiótica impulsando la explicitación de Signos

que den cuenta de los pasos de la construcción, la construcción hecha y la

justificación de cada uno. Inferimos, como odd1 la necesidad que ve el profesor de

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hacer explícitas las propiedades geométricas que tienen los objetos geométricos

construidos debidas a las condiciones que se impusieron en la construcción.

La exigencia de explicar la construcción y el resultado de la misma lleva a Molly a

sostener que “el segmento AB y el segmento CD se bisecan”. La mediación

permite identificar qué interpretación tienen Molly, y sus compañeros, de la

relación “bisecar”, la cual se hace evidente en la construcción que realizan el

Cabri. De su signo-vehículo interpretamos como od de la estudiante que dos

objetos se bisecan si uno de ellos contiene el punto medio del otro.

Ciclo 2: Formulación de conjetura acerca de la relación “bisecarse”En este ciclo de interpretación, por insinuación del profesor, Molly explora la

construcción, hace referencia a que las longitudes de los segmentos cambian

mientras que la relación entre los dos segmentos permanece invariante y formula

cuál fue la conjetura de su grupo.

P: Y, ¿no hicieron algo en la exploración, o algo así?

Molly: Eeee, sí.

P: ¿Qué hicieron? (…) ¿Qué hicieron en la exploración?

Molly: (Arrastra ligeramente el punto C.) Eeeee, el punto C… pues lo arrastramos y no… había ningún cambio. Simplemente que el segmento se agrandaba o…

A

B

DC

P: ¿Cuál segmento?

Molly: CD

P: El segmento CD… ¿Y, en algún momento arrastraron A o B?

Molly: Sí, pero de igual manera, era lo mismo que el segmento CD, eeee, se agrandaba o se acortaba. Si movíamos el segmento, el punto D pues no tenía ningún… cambio pues era el punto medio del segmento AB.

P: (Asiente con la cabeza.) Listo. ¿Qué conjetura lograron ustedes establecer de ello?

Molly: Eeee, que dado el segmento AB y el segmento CD,

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P:(Escribe en el tablero: “Conjetura Dado el y el ”.) Dado el segmento AB y el segmento CD,

Molly: si D es punto medio del segmento AB

P:(Continúa escribiendo a medida que Molly habla: “si D es punto medio del ”.)

Molly: Entonces, el segmento AB y el segmento CD se bisecan.

P:(Continúa escribiendo a medida que Molly habla: “entonces, el y el se bisecan”) el segmento AB y el segmento CD se bisecan. Listo, esa fue la producción del grupo de Molly, Jenny y Ricardo. Bien, gracias.

Con sus acciones, Molly generó como Signo la representación dinámica de su

construcción, en la que es evidente que el punto medio D del segmento AB es un

invariante en su construcción. Las intervenciones del profesor son de dos tipos. El

primero, consiste en impulsar la exploración para verificar la interpretación que

tiene Molly de bisecarse y quizás promover que la estudiante modifique la

representación y se promueva la modificación en el Signo descrito en el párrafo

anterior. El segundo, consiste en impulsar el desarrollo de la idea de Molly

escribiendo en el tablero el signo verbal que corresponde a la conjetura formulada

por el grupo de Molly. Con sus signos-vehículos: “¿Qué conjetura lograron ustedes

establecer de ello? […] (Escribe en el tablero: “Conjetura Dado el y el ”.)

Dado el segmento AB y el segmento CD, […] Continúa escribiendo a medida que

Molly habla: “si D es punto medio del ”.) […] (Continúa escribiendo a medida

que Molly habla: “entonces, el y el se bisecan”) el segmento AB y el

segmento CD se bisecan.” el profesor avanza en la mediación buscando la

explicitación verbal de lo que le grupo de Molly entiende por bisecar. Su odd2 es la

necesidad de hacer explicita la definición de bisecar a través de la conjetura

formulada por el grupo. El od de la estudiante no cambia con la interacción,

respecto al ciclo anterior. Molly reafirma que si un objeto contiene el punto medio

de otro entonces lo biseca.

Ciclo 3: Discusión sobre la conjetura propuesta por un grupo.

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El profesor pide a los estudiantes opinar sobre la conjetura propuesta por el grupo

de Molly.

41 P: Mmmm ¿qué opinan ustedes de lo que hizo ese grupo? (…)

42 Elisa: Yo tengo una inquietud. En el ejercicio dice que los dos segmentos se bisecan, no dice que uno biseca al otro.

43 P: Ajá.

44 Elisa: Y en este ejemplo, vemos que el segmento… CD biseca al segmento AB.

45 P: Ajá.

46 Elisa: Mi pregunta es si esa construcción está bien hecha o mal, porque yo entiendo que los dos segmentos se bisecan.

47 P: ¿Qué dicen sus compañeros?

48 Varios: (Entre murmullos, se oye la voz de un estudiante.) Yo hice lo mismo.

49 P: Entonces, hay dos posi… hay algo ¿no? y es que Elisa dice: tengo la duda de si acá (señala en el tablero) se está presentando que los dos segmentos se bisecan. Para ella, uno biseca a otro pero no los dos. (Le da la palabra a un estudiante, señalándolo.) ¿De acuerdo? ¿Qué dices?

50 Camilo: ¡No! Se cumplen las condiciones porque es que el punto D es también (no se entiende) el punto D contiene al segmento (no se entiende).

51 Varios: (Murmullos. Una estudiante levanta la mano.)

52 P: ¡Ah! Tal vez, Camilo está pensando igual que aquel grupo (con el índice señala al grupo de Molly) ¿cierto? Y es que, dice Camilo, que D pertenece al segmento AB y eso es suficiente. ¿Qué dicen? ¿Sí o no? ¿Por qué no, Antonio?

53 Antonio: Por la definición de bisecar, tiene que contener el punto medio.

54 P: Sí. ¿Quién? ¿Quién tiene que contener el punto medio?

55 Diana: Es que no dice si exactamente.

56 P: Espera un momento, a ver, Antonio, otra vez.

57 Antonio: Tenemos que AB… CD está bisecando a AB.

58 P: CD está bisecando a AB, bien.

59 Antonio: Según lo que decía en la hoja se bisecaban los dos, entonces tendría que ser el punto medio de los dos.

60 P: Tendría que ser el punto medio de los dos. Sin embargo, en la construcción que ustedes mismos hicieron…

61 Varios: (Risas)

62 P: En la construcción que ustedes hicieron, hicieron esto también, ¿cierto? ¿Por qué lo hicieron, entonces?

63 Antonio: Fue la primera idea que nos surgió, y después hicimos la otra.

64 P: ¡Ah!, ya. Y, con esta primera idea qué les surgió, ¿qué pasó? (…) ¿Se dieron

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cuenta de qué o qué? (…) ¿Por qué hicieron la otra? (… …)

65 Libia: Pues, también puede haber otra posibilidad de que se bisequen, que sea el punto medio de los dos segmentos.

66 P: La pregunta es concreta: las dos cosas que ustedes hicieron, una de ellas es esta (señala el gráfico hecho por Mooly); ¿esto responde al problema, sí o no? Porque ustedes (señala a Camilo) hicieron también esto. (… …) ¿No lo responde? ¿Molly quieres defender tu idea?

67 Molly: Ja ja ja. Pues… eee, pues a mi modo de ver, la definición de bisecar dice que… o sea, (lee sus notas) si (enfatiza con la voz) el segmento contiene su punto, entonces en el segmento se

68 P: ¿Su punto…?

69 Molly: O sea, biseca a un segmento si contiene su punto

70 Varios: Medio

71 Molly: No, su punto, o (enfatiza con la voz) es su punto medio… o, es o…

72 Varios: (Murmullos.)

73 P: ¿Cómo está en la definición? (…)

En el tercer ciclo, luego de que el profesor puso en discusión la conjetura del

grupo de Molly, se hicieron evidentes dos puntos de vista por parte de los

estudiantes. El primero de estos, que comparten Elisa, Antonio y Diana, es no

mostrarse de acuerdo con la conjetura; se ve cuando Elisa dice “En el ejercicio

dice que los dos segmentos se bisecan, no dice que uno biseca al otro”, cuando

Antonio dice “Según lo que decía en la hoja se bisecaban los dos, entonces

tendría que ser el punto medio de los dos” y también cuando Diana se muestra de

acuerdo, debido a que cuestiona lo que se quiere establecer: “Es que no dice ‘si

exactamente’” refiriéndose a que en el enunciado del problema no hay una

indicación que diga claramente si ‘exactamente’ un segmento debe bisecar al otro

o los dos segmentos se deben bisecar mutuamente. El segundo punto de vista, es

el de Molly y Camilo, quienes defienden la conjetura realizada, teniendo en cuenta

su interpretación de bisecarse. Con estas acciones se generaron, como Signos,

argumentos de los estudiantes con los que se defendió cada punto de vista.

Las intervenciones del profesor van dirigidas a la discusión sobre la conjetura del

grupo de Molly sin tomar partido acerca de cuál está bien o cual está mal; el

profesor guía a los estudiantes en una discusión en donde se tienen en cuenta los

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diferentes puntos de vista y se permite que ellos mismos lleguen a un acuerdo.

Con sus signos vehículos: “¿Quién tiene que contener el punto medio? […] Y es

que dice Camilo que D pertenece al segmento CD y eso es suficiente. ¿Qué

dicen? ¿Sí o no? ¿Por qué no, Antonio? […]¿Quién tiene que contener el punto

medio?” impulsa como odd3: la necesidad de que se exhiban las dos posibles

opciones de bisecarse.

Ciclo 4: Cercanía al OMR pretendido.

En este ciclo, Molly se da cuenta que la conjetura de su grupo no es la adecuada, gracias a la intervención del profesor en donde le solicita a los estudiantes que recuerden cuál es la definición de bisecar.74 Varios: (Murmullos.)

75 P: Si contiene o es su punto medio, ¿cierto? Si lo contiene o es su punto medio.

76 Molly: Ahhh.

77 P: No, pero ¡esperen!

78 Varios: (Risas.)

79 P: ¿Qué dice esa definición? Entonces, en este caso (señala el gráfico en el tablero), ¿cuál segmento biseca a cuál?

80 Juan: CD biseca a AB.

81 P: CD biseca a AB. CD es una figura geométrica y biseca a AD, ¿por qué?

82 Juan: A AB.

83 P: A AB… porque contiene su punto medio, que es D. Hasta ahí, estamos. Pero, ¿será que AB biseca al segmento CD, en este caso?

84 Varios: No.

85 P: No. ¿Y el enunciado qué decía?

86 Varios: (Murmullos.)

87 P: Que se bisequen. Es decir, uno biseca al otro y el otro biseca al uno. ¿Ven? O sea que esta (señala el gráfico hecho por Molly) opción no funciona. ¿Listo? No funciona en tanto que no corresponde con lo que se está solicitando en el problema. Acá solamente se está cumpliendo parcialmente la condición: efectivamente un segmento biseca al otro, pero no los dos entre sí. ¿Listo? Más allá de eso, en medio de la construcción que ellos hicieron, ¿la conjetura es válida o no es válida? (…)

88 Molly: Ahí tendríamos que cambiar la segunda parte.

89 P: ¿Qué parte Molly?

90 Molly: Sería el segmento CD biseca al segmento AB.

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91 P: (Hace en el tablero la modificación mencionada.) Listo, el segmento CD biseca al segmento AB. Y, ahora sí, la construcción que propone el grupo de Molly, es decir, el grupo A, sí se correspondería con la conjetura. Efectivamente en dos grupos hicieron esta construcción. Vamos a ver ahora la construcción que hicieron los otros grupos, no vi una distinta. Creo que todos hicieron la misma construcción. Vamos a ver esa construcción. Entonces, el grupo de Juan, Elisa y Maira, alguno de ellos tres (pide que alguno pase al tablero).

Con el signo-vehículo; “¡Ah!” de Molly, se puede entrever que ella cae en cuenta

que su conjetura no se refiere la definición de bisecarse. De su signo-vehículo

“Sería el segmento CD biseca al segmento AB” podemos inferir que Molly se da

cuenta que la conjetura no se corresponde con el problema planteado. Mediante

su signo vehículo “CD biseca a AB. [...]” Juan pone en evidencia que su

interpretante se corresponde con el OMR.

Las intervenciones del profesor van encaminadas a que los estudiantes descubran

qué problema tiene la conjetura del grupo planteado. Con sus signos-vehículos

“¿Qué dice esa definición? Entonces, en este caso (señala el gráfico en el

tablero), ¿cuál segmento biseca a cuál?” pone en juego un odd4 porque ve

necesario interpretar la definición para acordar que significa bisecarse.

ConclusionesGracias a la mediación del profesor se puede promover una evolución en los

Signos de los estudiantes. Con su experiencia, el diseño de clases participativas

que promuevan la producción de Signos por parte de los estudiantes y el uso de

artefactos, conduce una discusión en la que el objetivo es que los od de los

estudiantes converjan a un Objeto Matemático Real; esto a partir de la

socialización de resultados a problemas propuestos.

El análisis de este fragmento de clase permite observar las diferentes acciones de

mediación que lleva a cabo el profesor para que los estudiantes evolucionen en el

significado de la relación geométrica “bisecarse”, permitiendo que se percaten de

sus interpretaciones intermedias sin que el profesor las haga explicitas y sin

advertir mediante diferentes signos-vehículos los errores de los estudiantes.

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En síntesis, en este fragmento de clase la mediación centrada en aprovechar las

construcciones hechas por los estudiantes para que ellos edifiquen significado

asociado a las conjeturas producidas, fruto de la resolución de problemas, queda

expresada en los siguientes odd:

- Odd1: necesidad de hacer explícitas las propiedades que tienen los objetos

geométricos construidos, debidas a las condiciones que se impusieron en la

construcción.

- odd2: necesidad de hacer explícita la definición de “bisecarse” y la que se

puso en juego en la conjetura formulada por el grupo.

- odd3: necesidad de que se expliciten las dos posibles opciones de

interpretación de bisecarse.

- Odd4: necesidad de interpretar la definición para acordar qué significa

bisecarse.

Podemos entonces afirmar que la tarea de examinar en detalle la correspondencia

entre conjetura y construcción es un esfuerzo de mediación semiótica muy

importante tanto para la comprensión de un enunciado particular como para

aprender a buscar sentido en la construcción individual y colectiva de

conocimiento en el aula. Así que, es muy importante y productivo encontrar

oportunidades para generar diálogos entre estudiantes y con el profesor.

Bibliografía Camargo, L., Perry, P., Samper, C., Molina O. (2014). Mediación semiótica y

construcción de significado del rayo a través de su uso. Memorias de

SEIEM XVIII, Salamanca.

Sáenz-Ludlow y Zellweger (2012. The teaching-learning of mathematics as a

double process of intra- and inter-interpretation: A Peircean perspective. In:

Pre-Proceedings of the 12th International Congress of Mathematical

Education (ICME12): 3117–3126.

Samper, C., Molina Ó (2013). Geometría plana, un espacio de aprendizaje.

Bogotá: Publicaciones Universidad Pedagógica Nacional.

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Universidad Pedagógica Nacional. (2014). Conjeturas y organización del contenido

matemático en clase. Proyecto de investigación en curso (COL1108-521-

28464)

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