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REDISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS

UN EJEMPLO DE APLICACIÓN PRÁCTICA

Javier Alonso García 1 y Manuel García Alvarez1

RESUMEN

Se presenta mediante un caso práctico, la aplicación de la redistribución de momentos para el diseño de las

trabes principales de un edificio alto ubicado en el poniente de la Ciudad de México, de acuerdo a lo

establecido en las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento del DF. El ejemplo ilustra el proceso

seguido y las ventajas que se obtienen al diseñar los elementos a flexión considerando la redistribución

permitida. Se ilustra además, la ventaja de redistribuir el acero de refuerzo en el peralte de la sección de la

trabe.

ABSTRACT

This paper presents a real design case where moment redistribution has been considered according with

Concrete Design DF Code. The case presented corresponds to a tall building located in the Santa Fe zone,

west to Mexico City. The example intends to show the process for design using moment redistribution, and

illustrates the advantages when this concept is considered. This example also shows advantages when flexural

reinforcement is distributed along beam depth.

INTRODUCCIÓN

En el inciso 1.4.1 de las Normas Técnicas Complementarias “Diseño y Construcción de Estructuras de

Concreto” del Reglamento de Construcciones del D. F. (NTC 2004), se establece que en el diseño de

estructuras continuas se admite una redistribución de los momentos flexionantes obtenidos en análisis

elásticos, siempre y cuando se satisfagan las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en vigas, nudos

y entrepisos. El valor máximo de la reducción en vigas no debe exceder el 20% del obtenido en el análisis.

Muchos códigos modernos aceptan redistribuciones similares, debido a las ventajas que implica la

redistribución de momentos en el diseño de elementos a flexión, aunque el porcentaje de momento a

redistribuir puede variar en diferentes normas. En el caso del ACI 318 (ACI, 2005) el porcentaje de

distribución es el 20%, pero para el Código Neocelandés NZS 4203:1992 (Standards New Zealand, 1992) la

distribución permitida llega al 30%.

El propósito de la redistribución de momentos en las trabes de un marco sismo-resistente es que resulten

diseños más eficientes manteniendo el equilibrio de fuerzas tanto verticales como horizontales. Según Paulay

y Priestley (Paulay y Priestley, 1992) las ventajas de la redistribución de momentos son:

1 Reducir el máximo momento absoluto mediante el incremento en la demanda de momentos en

regiones no críticas. De ser posible, el momento positivo y negativo en los extremos de las trabes se

igualará para que el resultado sea un armado simétrico del acero de refuerzo longitudinal.

1 Alonso y Asociados, S. C., Proyecto Estructural, Carretera México-Toluca 1725 – C5; Lomas de

Palo Alto; 05110 México, D. F. Teléfono: (55)2167-0070; javier@alonsoasociados.com.mx;

manuel@alonsoasociados.com.mx

XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008

2

2 Igualar los requerimientos de momento en las trabes que se encuentran en las caras opuestas de

columnas interiores para evitar la necesidad de recortar acero de refuerzo longitudinal en las uniones

viga-columna.

3 Si se utiliza la capacidad mínima a momento para el diseño, se facilita la posibilidad de que el acero

de refuerzo para momento negativo y positivo no difieran en su cuantía por más del 50% siendo este

uno de los requisitos para asegurar que el elemento en estudio pueda desarrollar la ductilidad de

diseño.

4 Si se siguen los principios para el diseño por capacidad, al reducir la resistencia a momento de las

trabes debido a la redistribución, se asegura que la cantidad de acero de refuerzo en las columnas no

sea excesiva

Aunque la metodología que se sigue en el proceso de la redistribución se puede encontrar en varias

referencias, los autores han considerado oportuno mostrar un ejemplo de aplicación práctica que enfatiza las

ventajas y supone podrá motivar a otros diseñadores a seguir procesos similares en el diseño de estructuras.

DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA

La estructura en estudio es un edificio ubicado en la zona poniente de la Ciudad de México, con condiciones

de suelo firme. El edificio será de uso mixto (comercial y vivienda) y contempla 7 sótanos de

estacionamiento, 3 niveles de área comercial, 26 niveles de vivienda y cubierta, con un área total de

construcción aproximadamente igual a 50,000 m2.

La figura 1 presenta una planta arquitectónica tipo de vivienda y la figura 2 un corte arquitectónico

longitudinal. Las plantas tipo de vivienda, son sensiblemente rectangulares y tienen dimensiones máximas en

planta de 54.0 x 14.40 m. Los claros máximos son de 9.0 x 9.0 m y la altura de entrepiso es de 4.0 m.

La estructura se resolvió mediante un sistema de marcos dúctiles de concreto de alta resistencia colado “in

situ”, en combinación con muros de concreto en las zonas de circulaciones verticales. Las trabes principales

tienen una sección rectangular de 40 x 110 cm (b x h)y las columnas en la zona de vivienda tienen una

sección cuadrada de 115 cm de lado. El sistema de piso consiste en una losa reticular de 35 cm de peralte

conformada mediante casetones de fibra de vidrio.

En la figura 3 se presenta la planta de estructuración del Nivel L06, del cual, la trabe del eje G será utilizada

como ejemplo en este artículo. La distribución de cargas gravitacionales implica que la trabe en estudio tenga

una carga uniformemente distribuida igual a 4.5 ton/m incluyendo el peso propio de la trabe.

La estructura fue modelada con el programa ETABS ®. En la figura 4 se presenta el modelo 3D estudiado y

en la figura 5 se muestra la planta correspondiente. Sólo como datos informativos, se presentan en la figura 6

las tres primeras formas modales con los períodos correspondientes, y en la figura 7 se muestran las

distorsiones máximas en las dos direcciones principales, bajo la acción del sismo dinámico de diseño.

Figura 1. Planta tipo arquitectónica

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Figura 2. Corte transversal

Figura 3. Planta estructuración nivel tipo

XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008

4

Figura 4. Modelo 3D de la estructura en estudio

Figura 5. Planta tipo de la estructura en estudio

Figura 6. Formas modales principales

T1= 5.3 seg T2= 4.7 seg T3= 3.0 seg

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Figura 7. Distorsiones de entrepiso

REDISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS En estructuras de concreto, la redistribución de momentos empieza en etapas tempranas cuando se presentan

grietas en los elementos estructurales y por esto, si se hace un detallado para resistir la demanda de ductilidad

a flexión, se pueden permitir porcentajes de redistribución importantes (20% en NTC-RDF y ACI, 30% en

NZS).

En la figura 8 se presenta el diagrama de momentos por cargas gravitacionales y por sismo a lo largo de la

trabe del eje G del nivel L06 del edificio en estudio. En esta misma figura se ha incluido el proceso seguido

para la redistribución de los momentos. El número de renglón representa los diferentes pasos seguidos en el

procedimiento, y a continuación se da una breve explicación de cada paso:

► �otas explicativas a cada uno de los pasos seguidos durante el proceso de distribución de momentos,

según se presenta en la figura 8:

1.- Los valores indicados en esta línea, representan los valores nominales del momento flexionante al centro

de la columna, obtenidos a partir de los resultados del análisis elástico.

2.- Estos valores representan los momentos nominales al centro de la columna, debidos a la acción del sismo

en la dirección paralela al eje G. En este caso se presenta el diagrama de momentos considerando que las

fuerzas sísmicas deforman al marco hacia la derecha de la figura.

3.- Se presenta la suma algebraica de los momentos presentados en las líneas 1 y 2.

4.- Se presenta el máximo valor (20% según NTC-RDF) de la redistribución permitida para cada entre-eje.

5.- Se igualan los momentos M+ y M

- considerando el promedio correspondiente a todo lo largo de la trabe, de

modo que:

M+ prom

= (132+137+129+148+152)/5= +140 ton-m

M- prom

= (-193-203-193-209-218)/5= -203 ton-m

(ddddQ/H)x= 0.007 (ddddQ/H)y= 0.008

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Hay que notar que la suma de los momentos en la trabe, no se ha modificado en los pasos 3 y 5.

6.- Mcc representa los momentos en la cara de la columna. Estos momentos se pueden encontrar por métodos

gráficos (los programas de análisis pueden dar esta opción), o bien calculando el cambio de momento del

centro de la columna hacia la cara de la misma.

7.- Se igualan los momentos M+ y M

- obtenidos en las caras de las columnas y se calcula el

incremento/decremento en los momentos obtenidos en el paso 6. Para este caso:

M+cc= M

-cc= (122+170)/2= 146 ton-m

y DDDDM= (170-122)/2= 24 ton-m

8.- Se agrega DDDDM a los valores obtenido en el paso 5 para obtener el valor de M resultante en el eje de la

columna. Nuevamente hay que observar que no hay cambio en la suma de los momentos en el entrepiso.

9.- La diferencia entre los valores de momento indicados en las líneas 3 y 8, representan la reducción absoluta

del momento originalmente obtenido del análisis. Esta reducción debe compararse contra la reducción

calculada en la línea 4, que representa la máxima distribución permitida por el código (NTC).

Diseño por flexión De esta forma, se obtiene que el momento nominal que debe ser considerado en la cara de las columnas bajo

la acción de cargas gravitacionales más sismo es igual a 146 ton-m. Así, el momento último de diseño resulta

igual a:

M+u= M

-u= 1.1 (146)= 161 ton-m

Para poder resistir este momento con una sección 40x110 con un concreto f’c= 500 kg/cm2, se requiere un

área de acero longitudinal igual a 44 cm2.

De no haber realizado la redistribución descrita, el momento negativo último en algunas secciones, hubiera

alcanzado valores de 220 ton-m, lo que implica un área de refuerzo longitudinal igual a 62 cm2.

Diseño por cortante El diseño por cortante para la trabe, se realiza considerando los efectos de carga gravitacional más el cortante

derivado de la capacidad a flexión de la trabe. Con este criterio, se obtiene lo siguiente:

- El cortante último de la trabe en la cara de la columna por efectos gravitacionales resulta:

Vu= 1.1(4.5) (9-1.15)/2= 19.4 ton

- El cortante máximo que puede desarrollarse en la trabe durante la acción del sismo,

considerando la capacidad a flexión de la misma con un factor de reducción de resistencia a

flexión ffff= 1.0 y un factor de sobre-resistencia en el acero de refuerzo igual a 1.25, resulta:

Msr= 218 ton-m

Vu cap= (218+218)/(9.00-1.15)= 55.5 ton

Por lo tanto, el cortante de diseño por capacidad resulta: Vu= 19.4 + 55.5= 74.9 ton

Despreciando la resistencia del concreto a cortante, se requiere refuerzo transversal a base de estribos #4

separados a cada 12 cm.

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En la figura 9 se presenta el detalle de refuerzo de la trabe.

Figura 8. Redistribución de momentos de la trabe del eje G �ivel L-06

Figura 9. Refuerzo trabe eje G �ivel L06

XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008

8

Redistribución del refuerzo en el peralte de la trabe

En ocasiones, el congestionamiento del refuerzo en las zonas de los nudos trabe-columna hace prácticamente

imposible colocar el acero de refuerzo de las trabes con el recubrimiento señalado en planos. Es entonces

importante, considerar las ventajas que pueden obtenerse si el refuerzo longitudinal se distribuye a lo largo de

una parte del peralte de la trabe.

En las figuras 10, 11 y 12, se presentan las gráficas momento-curvatura para la trabe que se estudió en el

ejemplo anterior, bajo las tres consideraciones siguientes:

- Caso 1 (figura 10): Se considera que el acero longitudinal se concentra en los extremos de la

trabe generando un recubrimiento efectivo aproximadamente igual a 6.0 cm

- Caso 2 (figura 11): Se considera que el acero longitudinal se distribuye en tres lechos

espaciados 5 cm entre ellos.

- Caso 3 (figura 12): Se considera que el acero longitudinal se distribuye en tres lechos

espaciados 10 cm entre ellos.

Se puede apreciar que la diferencia en el momento resistente para las diferentes distribuciones de acero de

refuerzo, tiene una variación del orden del 10% para los casos extremos, lo que puede resultar en un valor

aceptable, si se consideran todas las ventajas que conlleva esta solución.

CONCLUSIONES

Se ha presentado mediante un caso práctico un procedimiento para lograr la redistribución de momentos que

permiten las NTC (2004) en trabes. Independientemente de la economía que pudiera lograrse con esta

redistribución, se obtienen ventajas importantes al disminuir el máximo momento absoluto en las trabes.

Algunas de estas ventajas son:

- Igualdad en momentos positivo y negativo, lo que redunda en un refuerzo simétrico.

- Igualar momentos en caras opuestas de columnas interiores, lo que mejora las condiciones

de adherencia del refuerzo longitudinal.

- El refuerzo positivo y negativo no difiere en más del 50% lo que mejora la ductilidad del

elemento.

- Mayor facilidad de lograr un comportamiento columna fuerte – trabe débil debido a la

reducción de resistencia en las trabes.

- Mayor facilidad de lograr un comportamiento de falla a flexión en la trabe por la reducción

del momento resistente y el uso de diseño por capacidad.

Debido a la distribución del acero de refuerzo en varios lechos, se mejora la facilidad constructiva en obra en

la zona de nudos columna-trabe densamente reforzados, sin sacrificios importantes en la capacidad resistente.

Se espera que este ejemplo sencillo, motive a otros diseñadores a hacer uso efectivo del concepto de

redistribución de momentos y lograr así una pequeña mejora en el comportamiento sismo-resistente de las

estructuras de concreto.

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Figura 10. Momento-curvatura refuerzo concentrado en extremos (Caso 1)

Figura 11. Momento-curvatura refuerzo con distribución 1 (Caso 2)

Figura 12. Momento-curvatura refuerzo con distribución 2 (Caso 3)

PROYECTO: PROYECTO No.

CLIENTE: SMIE HECHO POR: JAG FECHA: 02/03/2008

Ancho 40 cm 5.00 cm 3 # 8

Peralte 110 cm 15.00 cm 3 # 8

Recubrimiento 7 cm 25.00 cm 3 # 8

35.00 cm # 8

45.00 cm # 8

f'c 500 kg/cm2 P os ición C antidad Del #

Factor para Ec 14,000 45.00 cm # 8

Módulo Elasticidad 313,050 kg/cm2 35.00 cm # 8

εc en f'c 0.002 25.00 cm 3 # 8

εc máxima 0.004 15.00 cm 3 # 8

Material a utilizar 1.00 f'c 5.00 cm 3 # 8

Esf. de fluencia, fy 4,200 kg/cm2

Módulo Elasticidad 2,100,000 kg/cm2

Esf. último, fu 1.35 fy

Def. fluencia, εy 0.002

Def. end por def, εsh 0.008

Def. última, εsu 0.100

Material a utilizar 1.00 fy

0 % As * fy

0.000034 0.000034

0.000674 0.000678

188.33 189.08

19.55 19.70

Curvatura de fluencia φy (1/cm) .

Curvatura última φu (1/cm) .

Momento nominal (ton m) .

Ductilidad en términos de curvatura, µφ .

CARGA AXIAL

Carga axial en la

sección (Compresión

positiva)

#4@10

0.0 TonMomento

positivo

Momento

negativo

ACERO DE REFUERZO

REFUERZO SUPERIOR

REFUERZO INFERIOR

REFUERZO TRANSVERSAL

Ejemplo NTC 2004

DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE TRABES DE CONCRETO

SECCION

CONCRETO

0

50

100

150

200

250

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008

Curvatura (1/cm)

Momento (ton m)

Momento Positivo Momento Negativo

Momento Positivo Bilineal Momento Negativo Bilineal

PROYECTO: PROYECTO No.

CLIENTE: SMIE HECHO POR: JAG FECHA: 01/03/2008

Ancho 40 cm 5.00 cm 3 # 8

Peralte 110 cm 10.00 cm 3 # 8

Recubrimiento 7 cm 15.00 cm 3 # 8

35.00 cm # 8

45.00 cm # 8

f'c 500 kg/cm2 P os ic ión C antidad D el #

Factor para Ec 14,000 45.00 cm # 8

Módulo Elasticidad 313,050 kg/cm2 35.00 cm # 8

εc en f'c 0.002 15.00 cm 3 # 8

εc máxima 0.004 10.00 cm 3 # 8

Material a utilizar 1.00 f'c 5.00 cm 3 # 8

Esf. de fluencia, fy 4,200 kg/cm2

Módulo Elasticidad 2,100,000 kg/cm2

Esf. último, fu 1.35 fy

Def. fluencia, εy 0.002

Def. end por def, εsh 0.008

Def. última, εsu 0.100

Material a utilizar 1.00 fy

0 % As * fy

0.000031 0.000031

0.000650 0.000656

191.26 191.55

21.01 21.26

Ejemplo NTC 2004

DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE TRABES DE CONCRETO

SECCION

CONCRETO

ACERO DE REFUERZO

REFUERZO SUPERIOR

REFUERZO INFERIOR

REFUERZO TRANSVERSAL

CARGA AXIAL

Carga axial en la

sección (Compresión

positiva)

#4@10

0.0 TonMomento

positivo

Momento

negativo

Curvatura de fluencia φy (1/cm) .

Curvatura última φu (1/cm) .

Momento nominal (ton m) .

Ductilidad en términos de curvatura, µφ .

0

50

100

150

200

250

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007

Curvatura (1/cm)

Momento (ton m)

Momento Positivo Momento Negativo

Momento Positivo Bilineal Momento Negativo Bilineal

PROYECTO: PROYECTO No.

CLIENTE: SMIE HECHO POR: JAG FECHA: 01/03/2008

Ancho 40 cm 5.00 cm 3 # 10

Peralte 110 cm 7.00 cm 4 # 8

Recubrimiento 7 cm 25.00 cm # 8

35.00 cm # 8

45.00 cm # 8

f'c 500 kg/cm2 P os ic ión C antidad D el #

Factor para Ec 14,000 45.00 cm # 8

Módulo Elasticidad 313,050 kg/cm2 35.00 cm # 8

εc en f'c 0.002 25.00 cm # 8

εc máxima 0.004 7.00 cm 4 # 8

Material a utilizar 1.00 f'c 5.00 cm 3 # 10

Esf. de fluencia, fy 4,200 kg/cm2

Módulo Elasticidad 2,100,000 kg/cm2

Esf. último, fu 1.35 fy

Def. fluencia, εy 0.002

Def. end por def, εsh 0.008

Def. última, εsu 0.100

Material a utilizar 1.00 fy

0 % As * fy

0.000029 0.000029

0.000610 0.000611

193.46 193.48

21.01 21.11

Ejemplo NTC 2004

DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE TRABES DE CONCRETO

SECCION

CONCRETO

ACERO DE REFUERZO

REFUERZO SUPERIOR

REFUERZO INFERIOR

REFUERZO TRANSVERSAL

CARGA AXIAL

Carga axial en la

sección (Compresión

positiva)

#4@10

0.0 TonMomento

positivo

Momento

negativo

Curvatura de fluencia φy (1/cm) .

Curvatura última φu (1/cm) .

Momento nominal (ton m) .

Ductilidad en términos de curvatura, µφ .

0

50

100

150

200

250

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007

Curvatura (1/cm)

Momento (ton m)

Momento Positivo Momento Negativo

Momento Positivo Bilineal Momento Negativo Bilineal

XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008

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REFERE�CIAS

ACI (2005) “ACI 318, Building Code requirements for structural concrete and commentary”, ACI

Committee

Paulay, T. y Priestley, M. J. N. (1992), “Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings”,

Wiley, New York, N. Y.

NTC (2004) “Reglamento de Construcciones del DF – �ormas Técnicas Complementarias para el

Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto”, Gobierno del Distrito Federal

Standards New Zealand (1995) “Concrete structures standard”, Standards New Zealand, Wellington, N.Z.

Standards New Zealand (2004) “Structural design actions-Earthquake actions”, Standards New Zealand,

Wellington, N.Z.