Sistemas, modelos y simulacin

Introduccin I

Un SISTEMA es una coleccin de entidades (seres o mquinas) que actan y se relacionan hacia un fin lgico. Ejemplo: Un banco con:

Cajeros [comerciales] [cajas de seguridad] Productos

Seguros Fondos Planes, etc.

Introduccin II Un MODELO es una representacin simplificada

de un sistema elaborada para comprender, predecir y controlar el comportamiento de dicho sistema.

La representacin de modelos puede adoptar distintas formas: Mentales: visin personal de un pas o ideologa Fsicas: de una casa, un puente, un ordenador Simblicas:

2H O

F m a=

Introduccin III

Un ESTADO del sistema es el conjunto de variables necesarias para describir el mismo en un instante concreto Ejemplo: En el banco:

El nmero de clientes El nmero de agentes desocupados El tiempo de llegada de cada cliente al banco, etc.

Introduccin IV

CLASIFICACIN DE SISTEMAS DISCRETOS

Son aquellos en los que las variables de estado cambian instantneamente en instantes separados de tiempo

Ejemplo: nmero de clientes en el banco.

CONTNUOS Son aquellos en los que las variables de estado

cambian de forma continua con el paso del tiempo Ejemplo: avin en vuelo (posicin, velocidad, etc.)

Formas de estudio

Solucin Analtica(exacta)

SIMULACIN

Modelo fsico

Maquetas,Simuladores,Etc.

Modelo matemticos,Simblicos o lgicos

Relaciones lgicas y cuantitativas.

S = vt

SISTEMA

Experimentacin con

el sistema real

Experimentacincon un

modelo del sistema

Costoso,Complejo,Peligroso,...

Cundo simular? La simulacin es una tcnica experimental de resolucin de

problemas lenta e iterativa. Debemos usarla cuando: No exista un sistema real, sea caro o peligroso o sea imposible

construir y manipular un prototipo La experimentacin con el sistema real sea peligrosa, costosa o pueda

causar incomodidades Existe la necesidad de estudiar el pasado, presente y futuro de un

sistema en tiempo real, expandido o contrado (control de sistemas en tiempo-real, cmara lenta, crecimiento de poblaciones, efectos colaterales de frmacos, etc.)

La modelacin matemtica del sistema es imposible (meteorologa,sismologa, conflictos internacionales, etc.)

Los modelos matemticos carecen de soluciones analticas o numricas (ED No lineales, problemas estocsticos, etc.)

Cuando sea posible validar los modelos y sus soluciones de una forma satisfactoria

Cuando la precisin esperada por la simulacin sea consistente con los requisitos de un problema concreto (por ejemplo la dosis de radiacin en el tratamiento del cncer requiere una precisin extrema-, prediccin de la poblacin mundial de tigres es relativamente relevante su exactitud-)

Limitaciones de la simulacin No es ciencia ni arte, es una combinacin de ambas Es el ltimo cartucho Experimental e iterativa Cara en trminos de mano de obra y tiempo de

computacin Generalmente proporciona soluciones subptimas Validacin compleja La recopilacin, anlisis e interpretacin de resultados

requiere buenos conocimientos de probabilidad y estadstica

Meelamkavil, 1987

Ejemplo (1)

Un granjero posee 100 Has. de terreno en las que slo puede plantar cereales o caa de azcar. El problema es determinar cul debe ser su poltica de explotacin ptima, es decir, qu plantar y cunto plantar teniendo en cuenta los recursos disponibles.

Ejemplo, aproximacin (2) Fines

maximizar el beneficio Caractersticas

Variables que describen los costes de produccin, personal, maquinaria, precios de materias primas y de venta de productos,

Procesos que tienen lugar en el proceso de cosecha Hiptesis

El coste del gasleo se mantendr K en el periodo Los trabajadores no harn huelgas,

Puntos fuertes y dbiles del modelo Fuertes: modelo matemtico Dbiles: experiencia, semillas, etc.

Posibles mejoras Funcin de medida del beneficio

Proceso de modelado

Modelado: es el proceso de establecer relaciones entre entidades importantes de un sistema.

Los modelos se denotan en trminos de objetivos, criterios de desempeo, y restricciones.

Anlisis del sistema Seleccionar entidades del problema, sus

atributos (parmetros y variables), el entorno del sistema y sus limitaciones

Dos vas de aproximacin: Si el sistema no existe fsicamente

Hacer uso de caractersticas fsicas, qumicas o tericas del sistema

Si el sistema existe Como en el caso anterior + uso de datos histricos

En ambos casos Tratar de aplicar leyes conocidas (p.e. Leyes de Kirchoff,

frmulas del produccin, etc.) Si no es posible recurrir a tcnicas estadsticas de prediccin

Anlisis del sistema granja, I

Tipo, coste, composicin

Fertilizante

Tipo, coste, velocidad, coste de mantenimiento, valor de reventa, flexibilidad

Maquinaria

Das, fecha de comienzo

Tiempo

Hombres, mujeres, salarios, productividad

Trabajadores

Capital, tasa de intersEconoma

Cantidad, coste, productividad, beneficios, precios

Superficie en Has

AtributosEntidades ExteriorColegios, oficinas,

hospitales, teatros, ...Entorno

Clima, maquinaria, trabajadores, suministro de carburante, poltica, bancos, ...

GranjaTierra, trabajo,

maquinas, dinero, tiempo, semillas, edificaciones, informacin ...

Anlisis del sistema granja, II Objetivos

Maximizar el beneficio este ao Maximizar el beneficio en los prximos n aos Maximizar el beneficio y la clientela Minimizar costes Maximizar la superficie de tierra utilizada Maximizar las tasas de beneficios y subvenciones pblicas, ...

Medidas de efectividad ptimo de la funcin de coste o beneficio expresadas en

trminos de variables del negocio Mximo de la funcin que describe el uso de tierra ptimo de la funcin que incorpora los beneficios tangibles

(capital) e intangibles (prestigio) expresados en trminos delasvariables de negocio, ...

Anlisis del sistema granja, III Interrelaciones, restricciones y marco experimental

Importante no importante Continuo discreto Controlable incontrolable Disponibilidad de trabajadores, capital, maquinaria, tiempo Terreno disponible, fertilizantes, etc. Mecanismos de valoracin, rango de las variables, soluciones

enteras o reales, periodo de estudio, limitacin de datos, ... Estrategia de solucin

Mecanismos de recopilacin de datos y estimacin de parmetros

Modelo lineal o no lineal Mtodos computacionales y posibilidades de uso Generalidad, aplicabilidad y flexibilidad de las soluciones Posibles extensiones

Formulacin del modelo

Comenzar haciendo un diagrama de flujo simple Debe hacerse nfasis en la simplicidad, facilidad

de formulacin y comprensin Usar el nmero mnimo de variables necesarias

para describir el sistema La sobresimplificacin hace al modelo intil La inclusin de detalles triviales hace al modelo

excesivamente extenso, complejo e intratable

Formulacin del modelo granja, I

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max 40 20. . 10010 20 1100

4 160, 0

x xs a x x

x xx xx x

++ +

+

100X2=?X1=?Terreno usado

12040B neto

16041Periodo de labrado

11002010Coste de labrado

DisponibleCaaCereal

Produccin (datos por Ha)

Se ignoran muchos datos: fertilizantes, maquinaria, personal, clima, mercados, etc.

El modelo es muy fiable Satisface las necesidades

de informacin del granjero

Verificacin, validacin y certificacin

Validacin: es el proceso que confirma que el modelo es una representacin adecuada del sistema original y es capaz de imitar su comportamiento de una forma razonablemente precisa en el dominio previsto para sus aplicaciones.

Verificacin: es el procedimiento para asegurar la consistencia de la estructura del modelo con respecto a las especificaciones del mismo, es decir, para confirmar que el modelo es una representacin fidedigna del modelo definido.

Certificacin: Por organismos independientes (nacionales o internacionales) para asegurar la credibilidad y aceptabilidad de los modelos. rea de difcil aplicacin.

Validacin vs. Verificacin

2 2

2

1

11 1

10.0

x y

y xx

radiocentro

+ ==

==

Mundo real (sistema)

Sistema visto como un crculo

1

1

0 0

coscos

1; 00 2

10.0

i i i

i i i

x x y seny y x senx y

radiocentro

+

+

= += = =

==

Salida 1 Salida 2

Implementacin y documentacin

Un modelo validado y verificado est disponible para su implementacin y puede usarse para la prediccin, control o explicacin de un sistema

Hay diferentes formas de obtener soluciones, luego debe realizarse un adecuado diseo de experimentospara extraer la mayor cantidad de informacin til del modelo

El proceso de documentacin debe formar parte de la totalidad de la simulacin. Sin documentacin un modelo prcticamente carece de utilidad Anotar los detalles finales del modelo Anotar las experiencias realizadas Documentar el modelo, hiptesis, mtodos matemticos y

computacionales empleados y sus justificaciones, costes, recomendaciones futuras, etc.

Ejercicios

Pensar ejemplos de modelos en las siguientes reas Ingeniera Ciencias Negocios Qumica Psicologa

Indicar, en cada caso, brevemente: Fines Caractersticas Hiptesis Puntos fuertes y

dbiles del modelo Posibles mejoras

Clasificacin de modelos, I

Estticos vs. Dinmicos Estticos: Representan el sistema en un

instante determinado. El tiempo no juega ningn papel.

Ej. Clculo de integrales definidas Dinmicos: Sistemas que evolucionan con el

tiempo. Ej. Cinta transportadora en una fbrica

Clasificacin de modelos, II

Deterministas vs. Estocsticos Deterministas: Aquellos modelos que no

contienen elementos aleatorios. Ej. Un sistema de Ecuaciones Diferenciales

modelando una reaccin qumica. Estocsticos: Aquellos modelos que

contienen alguna componente aleatoria. Ej. Banco, centralita telefnica, etc.

Clasificacin de modelos, III

Continuos vs. Discretos Continuos: Son aquellos en los que las variables de

estado cambian de forma continua con el paso del tiempo

Ej. Comportamiento global del trfico de una autopista

Discretos: Son aquellos en los que las variables de estado cambian instantneamente en instantes separados de tiempo.

Ej. Movimiento individual de los coches en una autopista

Clasificacin de modelos, IV

Simulacin vs. Simulacin Monte Carlo En ambos casos hay influencia de sucesos

aleatorios Simulacin Monte Carlo: Determinista

El modelo aproximado es estocstico, el sistema es determinista

Simulacin: Estocstica Tanto el sistema como el modelo son estocsticos

por naturaleza

Modelos de Simulacin de Eventos Discretos (MSED)

Modelos Discretos, Dinmicos y Estocsticos El sistema cambia de estado en una cantidad

numerable de instantes de tiempo (EVENTOS) Los eventos pueden servir para

Planificar el final de una simulacin Planificar una operacin en un instante concreto

Ejemplo: Cola Servidor (libre/ocupado) Cola (vaca/ocupada) Cliente (tiempo llegada/tiempo servicio) Eventos (llegada/servicio cliente)

Modelizacin de una cola con un servidor

2

3

4

5

2

3

4

5

1 1

2

1

2

2

2

3

4

5

3

4

5Servidor

Libre ServidorOcupado

Colavaca

Colaocupada

Cliente

tiempo

Mecanismos de Avance de Tiempo

En los MSED es necesario disponer de un mecanismo de avance del tiempo

Se denomina RELOJ DE SIMULACIN a la variable del modelo que proporciona el valor actualizado del tiempo simulado

No son necesarias unidades de medida (GPLs) Dos formas de avance del tiempo

Por eventos Por incrementos fijos

Avance por EVENTOSDESARROLLO1. Se inicializa el reloj a 02. Se determinan aleatoriamente los

instantes futuros de ocurrencia de eventos

3. Se incrementa el reloj al evento ms inminente (el primero)

i. Se actualiza el estado del sistema

ii. Se actualiza el conocimiento existente sobre los tiempos de los eventos futuros

iii. Repetir 3 hasta que se verifique alguna condicin de parada

Observaciones Los periodos inactivos

son ignorados. En el avance por

incrementos fijos no son ignorados lo cual implica un mayor costo computacional.

Los periodos entre eventos suelen ser de tamao desigual.

0e 1e 2e 3e 4e 5e tiempo

1t 2t 1c 3t 2c

1A 2A 3A

1S 2S

1

i

i i i

i

i

i i i i

i

t tiempo de llegada del i-esimo clienteA t t periodo de tiempo entre llegadasS tiempo en el servidorD tiempo de espera en colac t D S tiempo de servicioe tiempo de ocurrencia del i-esimo evento

=

= + +(reloj)

NOTACIN

REPRESENTACIN

Componentes de un MSED Estado del sistema: variables de estado Reloj del sistema: variable que proporciona el valor actualizado del tiempo

simulado Lista de eventos: lista de instantes de tiempo Contadores estadsticos: Variables Rutina Inicializacin: Subprograma de inicializacin de variables Rutina Temporal

Determina el siguiente evento Actualiza el reloj de simulacin

Rutina de eventos: Subprogramas de actualizacin del estado (uno por cada evento)

Librera de rutinas: Generadores de observaciones con distribuciones conocidas

Generador de Informes Programa Principal: Programa que

Llama a la rutina de inicializacin Llama a la rutina temporal Verifica la terminacin de la simulacin Llama al generador de informes