SM4 algebra2

Álgebra. SM. 4º E.S.O. Opción A

I. Ecuaciones de primer grado1. Simbolización

Los problemas se resuelven estableciendo relaciones entre los datos y los valores desconocidos que queremos hallar.

Hallar tres números consecutivos cuya suma es 180.

Al número menor lo designamos con la letra x.Por tanto, x + 1 será el mediano y x + 2 el mayor.Podremos escribir la siguiente relación: x + (x + 1) + (x + 2) = 180.

Una igualdad de este tipo se llama ecuación.

1 Escribe las relaciones entre los datos y los valores desconocidos en estos problemas:

a) La séptima parte de un número sumada a sus dos terceras partes da 51.

b) Tres niños deciden hacer un regalo por valor de 1 275 pesetas. Se sabe que el mayor paga la cuarta parte de lo que paga el mediano y que éste paga 60 pesetas menos que el menor

c) Descompón el número 16 en dos partes cuyo producto sea 60.

d) La edad de un padre es triple que la de su hijo y hace 6 años era sólo el doble.

e) Suma un mismo número al numerador y denominador de 2/3 para que resulte 5/6.

f) Si quitas 60 unidades al cuadrado de un número resulta lo mismo que si le quitas 4 unidades a dicho número.

g) Se reparten 1 400 pesetas entre tres niños. El mayor recibe 200 pesetas más que el mediano y éste 150 más que el menor.

1


2. Soluciones de una ecuación

Una ecuación es una igualdad entre letras y números relacionados por operaciones aritméticas.x + 3x - 2 = 6, 3x - y = 5 son ecuaciones con una y dos incógnitas, respectivamente.

Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas (si los hay) que hacen cierta la igualdad.

x = 2 es solución de x + 3x - 2 = 6, pues 2 + 3 . 2 - 6 = 6

x = 0, y = 5 es solución de 3x - y = 5, pues 3 . 0 - 5 = 5

2 Completa la tabla para hallar qué valores de x son soluciones de las ecuaciones:

x = 2 x = -2 x = 3 Soluciones2x2 = 8 2 · 22 = 8 2 ·(-2)2 = 8 2 · 9 8 x = 2, x = -23(x - 2) + 1 = 4

3x + 6 = 3xx - (x - 3) = 3

3 Completa la tabla para encontrar qué pares de valores son soluciones de las ecuaciones:

x = 3 y = 2 x = 4 y = -3 Soluciones3x – 2y = 5

4 Escribe dos ecuaciones con una incógnita x que tengan por solución x = 5.

5 Escribe 2 ecuaciones con 2 incógnitas que tengan por solución x = 2, y = -1.

2


3. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnitaPara resolver ecuaciones de primer grado debemos despejar la incógnita, es decir, dejarla sola en un miembro. Para ello se convierte en otra más sencilla con las mismas soluciones:

Resolver la ecuación 6x – 3 = 2x + 5Se resta 2x (regla de la resta) a los dos miembros: 6x - 2x – 3 = 5; 4x – 3 = 5Se suma 3x (regla de la suma) a los dos miembros: 4x = 5 + 3; 4x = 8

Se divide por 4 (regla del producto o división):

Resolver la ecuación

Se reduce a común denominador: m.c.m.(3, 4, 6)=12

Se eliminan denominadores. Multiplicamos por 12: 8x - 3(5x - 1) = 12 + 2xSe quitan paréntesis: 8x - 15x + 3 = 12 + 2xSe simplifica: -7x + 3 = 12 + 2xSe suma 7x: 3 = 12 + 9xSe resta 12: -9 = 9xSe divide por 9: x = -1

6 Resuelve las ecuaciones:

a) 3x - 6 = 4 c) -x + 3 + 6 = 5 - 3x

b) -1 + 2x = 9 - 3x d) 2x = 20 - 3x

7 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) d)

b) e)

c) 4(2x - 1) + 15 = 6 - 2(x - 5)


a) d)

b) e)

c)

3


4. Planteamiento de ecuaciones

Un ciclista recorre en su primera hora de viaje 1/3 de la distancia que separa dos ciudades; en la segunda, las 2/5 partes de la misma distancia, y en la tercera recorre los 32 km restantes. ¿Qué distancia hay entre las dos ciudades? ¿Qué distancia recorre en la primera hora? ¿Y en la segunda?

1.º Elegir la incógnita: asignamos la letra x a la distancia entre las dos ciudades.2.º Hacer una figura con datos e incógnitas:

| | | | A 1/3 2/5 32 km B

3.º Establecer la relación:

4.º Resolver la ecuación: 5x + 3 . 2x + 15 . 32 = 15x 4x = 480 x = 120 Distancia entre las dos ciudades: 120 km Distancia que recorre en la l.ª hora: 1/3 · 120 = 40 km Distancia que recorre en la 2.ª hora: 2/5 · 120 = 48 km

5.º Comprobar el resultado: 40 + 48 + 32 = 120

9 Repartir 12 000 pesetas entre 3 personas de modo que la segunda reciba 2 000 pesetas más que la primera, y que la tercera reciba el triple de lo que reciben las otras dos juntas.

10 Una niña gasta los 5/7 del dinero que tiene ahorrado en material escolar y los 3/4 del resto en celebrar su cumpleaños, quedándole 1 000 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado? ¿Cuánto gasta en material escolar? ¿Y en celebrar su cumpleaños?

11 Halla dos números consecutivos tales que la suma de la tercera parte del mayor y la quinta parte del menor sea igual a la mitad del menor más uno.

12 El perímetro de un rectángulo es de 60 m. Sabiendo que la base mide 2/3 de la longitud de su altura, calcula la longitud de cada lado y el área del rectángulo.

13 Calcula la edad de una persona sabiendo que si al triple de la edad le quito 2 y divido este resultado por 5 me da la mitad de la edad más 2.

14 Se reparte un lote de discos entre tres alumnos. El primero recibe la tercera parte más 4, el segundo un sexto del resto y el tercero recibe 5 discos. ¿Cuántos discos se han repartido? ¿Cuántos recibe cada uno?

15 Si del contenido de un depósito se extraen sus 2/7 y sus 3/5, quedan 12 litros. Halla el volumen contenido en el depósito.

4


II. Ecuaciones de segundo grado5. Ecuaciones incompletas

Toda ecuación de segundo grado se puede reducir a la forma: ax2+ bx + c = 0 (a>0)La ecuación es incompleta si b = 0 o c = 0 (observa que si a = 0 la ecuación es de primer grado).

Si b = c = 0 ax2 =0. Se despeja x 3x2 = 0 x2 = 0 x = 0

Si b = 0 ax2 + c = 0. Se despeja x 2x2 – 8 = 0 x2 = 4

Si c = 0 ax2 + bx = 0. Se saca x factor común. Se iguala cada factor a cero 2x2 + 5x = 0 x(2x + 5) = 0


a) 3x2 - 27 = 0 d) x(x + 5) - 8x = 0

b) 3x2 + 10 = 1 e) 3(x2 - 1) + 5 = x2 + 2

c) 4x2 - 25 = 0 f) 4x2 + 9x = x2 -3x

6. Ecuaciones completas

Para resolver estas ecuaciones se emplean las siguientes fórmulas:

,

Si b2 - 4ac > 0Tiene dos soluciones

Si b2 - 4ac = 0Tiene una solución

Si b2 - 4ac < 0No tiene solución

x2 - 5x + 6 = 0(a = 1, b = -5, c = 6)

2x2 - 4x + 2 = 0(a = 2, b = -4, c = 2)

x2 + 2x + 3 = 0(a = 1, b = 2, c = 3)

17 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) x2 - 4x + 3 = 0 d) 3x2 - 5x + 2 = 0

b) 3x2 + 3x - 6 = 0 e) 6x2 + 2x + 1 = 0

c) x2 - 6x + 9 = 0 f)

5


7. Ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones bicuadradas: son ecuaciones que se reducen a la forma

ax4 + bx2 + c = 0.

Ejemplo: Para resolver x4 - 8x2 - 9 = 0 se sustituye x2 por z: z2 - 8z - 9 = 0

Se resuelve:

Para calcular x se hallan las raíces cuadradas: no da lugar a ninguna solución. Las soluciones de la ecuación x4 - 8x2 - 9 = 0 son x = 3 y x = -3.

. Ecuaciones radicales: son aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.

Resolver la ecuación

Se aísla la raíz:

Se elevan al cuadrado los dos miembros: x + 2 = (x - 4)2

Se resuelve esta ecuación: x + 2 = x2 - 8x + 16; x2 - 9x + 14 = 0

Se comprueban las soluciones en la ecuación radical: x = 7 es solución, pero x = 2 no lo es.


a) x4 - 40x2 + 144 = 0

b) 4x4 + 3x2 - 1 = 0

c) x4 - 18x2 + 32 = 0


a) b)

c) d)

8. Planteamiento de ecuaciones

6


La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4 cm más que el cateto menor, mientras que el otro cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuál es la longitud de cada lado?1.ª Hacer el dibujo:

2.ªIdentificar las cantidades conocidas y las desconocidas: llamamos x al cateto menor.

3.º Buscar relaciones entre los datos y las incógnitas: aplicamos el teorema de Pitágoras:x2 + (x + 2)2 = (x + 4)2 2x2 + 4x + 4 = x2 + 8x + 16 x2 – 4x – 12 = 0

4.º Resolver: x2 – 4x – 12 = 0 x1 = 6, x2 = -2 no válida.

El cateto menor mide 6 cm, el cateto mayor mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm.

20 Luis tiene 6 amigos más que Javier y la suma de los cuadrados del número de amigos de cada uno es 468. ¿Cuántos amigos tiene Luis? ¿Y Javier?

21 Halla un número tal que si a la novena parte de su cuadrado se le resta cuatro se obtiene dicho número.

22 Se reparten 300 pesetas entre varios niños. Si hubiera dos niños menos, cada uno tocaría a 40 pesetas más. ¿Cuántos niños son?

23 La décima parte del producto de números consecutivos coincide con el doble del menor menos 7. ¿Cuáles son tales números?

24 El perímetro de un rectángulo es 54 cm, y su área 180 cm2. Calcula sus dimensiones.

25 Dos pintores pintan una habitación en 2 horas. ¿En cuánto tiempo la pintaría cada uno por separado sabiendo que uno de ellos tarda 3 horas menos que el otro?

III. Sistemas de ecuaciones9. Ecuaciones con dos incógnitas

7

xx + 4

x + 2


5x + 2y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas, la x y la y.Los coeficientes de las incógnitas son 5 y 2; el término independiente es 7.El par de valores x=1, y=1, es una solución de la ecuación porque 5·1 + 2·1 = 7.Para obtener una solución basta dar a una de las incógnitas el valor que se desee y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo: Si x = 0 queda: 2y = 7 y = 7/2. Por tanto el par x = 0, y = 7/2 es solución.

Este proceso se puede repetir las veces que se quiera, por lo que toda ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene tantas soluciones como se desee.

26 Completa la siguiente tabla:

Coeficiente de x Coeficiente de y Término independiente3x + y = 2-x + 2y = 4

27 Comprueba si los siguientes valores de x e y son solución de las ecuaciones:

a) x = 0, y = 2 en la ecuación 3x + 7y = 14

b) x = -1, y = 1 en la ecuación -2x + 5y = 3

28 Halla una solución de la ecuación 2(x + 3) - y = 3 en la que x = 2.

29 Para y = -3, halla x para que el par de valores sea solución de la ecuación5(x - 1) + 2(y - 2) = 5.

30 Obtén dos soluciones distintas para cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 9x - 4y = 1 b)

10. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

8


Resolver el sistema 3x – 2y = -5 2x – y = -2Método de sustitución Método de reducción1.º Se despeja y en la segunda ec.: 3x – 2y = 5 y = 2x + 22.º Se sustituye este valor en la primera: 3x – 2(2x + 2) = -5 -x – 4 = -53.º Se resuelve la ec. que resulta: x = 14.º Se sustituye x = 1 en la segunda ecuación ya despejada: y = 2·1 + 2 y = 4

1.º Se multiplica por –2 la segunda ecuación, para que la incógnita y tenga coeficientes opuestos: 3x –2y = -5 -4x + 2y = 42.º Se suman las dos ecuaciones: -x = -1 x = 13.º Se repite el mismo proceso para la incógnita x o bien se sustituye el valor de x en una de las ecuaciones y = 4

Por cualquiera de los métodos empleados se obtiene la solución x = 1, y = 4

31 Dado el sistema x - 4y = 13 5x + 7y = -16obtén otro equivalente que tenga la y de la primera ecuación despejada.

32 Dado el sistema 3x - 4y = -5 2x + y = 13/2obtén otro equivalente que tenga los coeficientes de x opuestos.

33 Dado el sistema x + y = 11 3x – 5y = 1obtén otro equivalente en cuya segunda ecuación haya desaparecido la x.

34 Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

a) b) c)

d) e)

35 Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de reducción:

a) b) c)

d) e)

11. Planteamiento y resolución de sistemas

En la panadería, Pedro pagó 500 pesetas por 5 barras de pan y 3 ensaimadas. Si Irene pago 190 pesetas por 2 barras y una ensaimada, ¿cuál es el precio de la barra de pan? ¿y el de la ensaimada?

1.º Entender el enunciado y las relaciones que describe:

9


Al comprar diferentes cantidades de los mismos productos, el precio total será también diferente. Conocemos el precio total para dos compras.

2.º Identificar las cantidades desconocidas y asignar una letra a cada una: Debemos calcular el precio de cada barra: x, y de cada ensaimada: y.

3.º Separar las condiciones del problema: a) Pedro pagó 500 pesetas por 5 barras y 3 ensaimadas b) Irene pagó 190 pesetas por 2 barras y una ensaimada.

4.º Transformar las condiciones en ecuaciones: De la primera condición: 5x + 3y = 500 De la segunda condición: 2x + y = 190

5.º Resolver el sistema: x = 70 e y = 50

6.º Comprobar si el resultado tiene sentido y es correcto: El resultado deben ser números enteros, positivos y no excesivamente grandes. Además 5·70 + 3·50 = 500 y 2·70 + 50 = 190

36 En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que el otro lado. ¿Cuánto mide cada lado?

37 Un maestro compra 30 objetos, entre lápices y bolígrafos, con un coste de 1240 pesetas. Si los lápices cuestan 25 pesetas y los bolígrafos 60 pesetas, ¿cuántos bolígrafos compró? ¿Cuántos lápices?

38 Un ramo de flores compuesto de 5 rosas y 8 margaritas cuesta 4 100 pesetas. Si está formado por 2 rosas y 6 margaritas su precio es 2 200 pesetas. ¿Cuál es el precio de una rosa? ¿Y de una margarita?

39 En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de dos y tres brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?

40 Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da 700 pesetas, le sobran 200 pesetas; pero si da a cada uno 800 pesetas, le faltan 200 pesetas. ¿Cuánto dinero lleva en el bolsillo? ¿Cuántos hijos tiene?

41 En el recreo, los alumnos de dos aulas se pasan de una a otra. Si pasan 4 de la primera a la segunda, hay en ésta un alumno más que en la primera. Pero si pasan 4 de la segunda a la primera serán doble en la primera que en la segunda. ¿Cuántos alumnos tiene cada clase?

42 Hoy, la edad de un hijo es un año menos que 1/3 de la edad de su madre. Si dentro de cinco años la edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué edad tienen?

12. Resolución gráfica de sistemas

Cada una de las ecuaciones de un sistema se puede representar como una recta. Las coordenadas de los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.

10

X

Y

1

5

A

M

B = N = (1,5)

y = 4x + 1

y =-3x + 8


Resolver gráficamente el sistema 3x + y = 8 8x – 2y = -2

Despejamos y en las dos ecuaciones y = -3x + 8 y = 4x + 1

Tomamos dos puntos de y=-3x + 8; A(0,8), B(1,5) y trazamos la recta que los une.Tomamos dos puntos de y= 4x + 1; M(0,1), N(1,5) y trazamos la recta que los une.El punto de intersección de las dos rectas es (1, 5), luego la solución es:

x = 1, y = 5.

43 Resuelve gráficamente el sistema x + 4y = 3 6x - 5y = -11

44 Resuelve gráficamente el sistema 3x – 4y = -8 7x + 6y = 12

45 Indica cuál es la representación gráfica del sistema 3x + y = 4 x - 2y = 6

a) b) c) d)

IV. Desigualdades e inecuaciones13. Desigualdades

11


. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se obtiene otra desigualdad con el mismo sentido:

2 < 6, sumando 3 se tiene: 5 < 9 -6 < -2, sumando 8 se tiene: 2 < 6 2 < 6, restando 3 se tiene: -1 < 3 -6 < -2, restando 8 se tiene: -14 < -10

. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un númeromayor que cero, se obtiene otra desigualdad con el mismo sentido:

2 < 6, multiplicando por 4 se tiene: 8 < 24 -3 < -1, multiplicando por 4 se tiene: -12 < -4

. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un númeromenor que cero, la desigualdad cambia de sentido:

2 < 6, multiplicando por -4 se tiene: -8 > -24 -3 < -1, multiplicando por -4 se tiene: 12 < 4

46 Pon en los recuadros siguientes el símbolo <, =, > que convenga:

a) -4 3 d) -3 0 g) 2/3 4/5

b) -8 -7 e) 0 h) 40 (-1)4

c) 6 -12 f) (-1)3 (-3)3 i) 16/6 8/3

47 Escribe las desigualdades que se obtienen al hacer las siguientes operaciones:

a) Suma 8 en: 3 < 7 e) Resta 6 en: -3 > -7

b) Resta 3 en: 8 > 5 f) Multiplica por (-3) en: 6 < 10

c) Multiplica por 4 en: -2 < 2 g) Multiplica por (-2) en: -5 < -4

d) Suma 7 en: -4 < 1 h) Multiplica por (-5) en: -8 < -5

48 Escribe como intervalos las siguientes desigualdades y represéntalos en la recta real:

a) -3 < x < 4 b) -4 < x 2 c) 4 x < 8

d) -6 x -3 e) x < 5

14. Soluciones de una inecuación

Las soluciones de una inecuación son los números reales tales que al sustituirlos por las incógnitas hacen que la desigualdad sea cierta.

12


x = 2 es solución de 3 - x < 2 porque es cierto que 3 - 2 < 2 x = 0 no es solución de 3 - x < 2 porque es falso que 3 - 0 < 2

Si damos a x otros valores obtenemos:

X -1 0 1 2 2,5 3,7 4 5 63 – x 4 3 2 1 0,5 -0,7 -1 -2 -3¿Es menor que 2? No No No Sí Sí Sí Sí Sí Sí

Las soluciones de esta inecuación son todos los números mayores que 1. Las soluciones forman el intervalo (1, +).Ecuación asociada a una inecuación es la que resulta de sustituir el símbolo de desigualdad por el símbolo de igualdad. Su solución ayuda a resolver la inecuación.Ejemplo: La ecuación asociada a -x + 4 < 6 + x es -x + 4 = 6 + x

49 Averigua para cuáles de los números -4 y 3 son ciertas las siguientes desigualdades:

a) 3x - 7 < 1 + 2x c) x2 + 4 0 e) x2 + x + 1 > 0

b) 2x - 8 > -4x + x2 d) -2x < x + 9 f) x - 3 > 4 + x

50 Indica gráficamente el signo del valor numérico de las siguientes expresiones para los diferentes valores posibles de x.

a) x - 8 b) 5x + 20

51 Escribe y resuelve las ecuaciones asociadas a las siguientes inecuaciones:

a) 9 + x < 3 - 2x b) 2 + 3(x - 1) < x + 5

15. Transformación de inecuaciones. Reglas de la suma y del producto

13


Regla de la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra inecuación con las mismas soluciones.

Resolver la inecuación 5x – 3 6x + 5 Se resta 5 a los dos miembros: 5x – 8 6x Se resta 5x a los dos miembros: -8 x La solución de la inecuacion dada es –8 x o el intervalo [-8,+).

Regla del producto: Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número:

- mayor que cero, se obtiene otra inecuación con las mismas soluciones. x/4 < 2 multiplicando por 4 se tiene x < 8 3x < 9 dividiendo por 3 se tiene x < 3

- menor que cero, se cambia el sentido de la desigualdad para que tenga las mismas soluciones. -x/7 < 2 multiplicando por (-7) se tiene x > -14 -5x < 10 dividiendo por (-5) se tiene x > -2

52 Resuelve, paso a paso, las siguientes inecuaciones:

a) 6x - 4 < 5x + 3 b) 4 - 3x -2x – 2 c) 5 + 2x > 3x + 8

53 Representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones:

a) 3x + 4 < 1 + 4x b) 5x + 1 -1 + 4x c) 7x + 14 > 6x + 14


a) 2x + 5 < 4x 3 b) 3x


a) b)

56 Resuelve y representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones:

a) -3x + 4 < -5x + 6 b) (Multiplica por 6)

c) 4 - x < -6x – 11

16. Resolución de inecuaciones de primer grado.

En la resolución de inecuaciones conviene seguir el mismo orden que se sigue en las ecuaciones.

14


Resolver la inecuación

Se quitan denominadores multiplicandopor 12 = m.c.m. (4, 2, 6): 3(x - 3) + 6(1 - x) 2(x + 1)

Se quitan paréntesis : 3x- 9 + 6 - 6x 2x + 2

Se simplifica: -3x- 3 2x + 2

Se trasponen términos: -2 - 3 2x + 3x

Se reducen los términos semejantes: -5 5x

Se despeja la incógnita: -1 x

La solución es -1 x o el intervalo [-1, +).

57 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x - 3 < 5(x - 2) – 1 b) 3x - 2 > x + 3(1 – x)

c) x2 < x·(x - 1) d) (x - 3)(x + 2) < (4 - x)(1 - x)


a) b) c)

d) e)


a) b) c)

d) e)

17. Resolución gráfica de inecuaciones

15


Dada una inecuación de la forma ax + b < 0, o ax + b 0, o ax + b > 0, o ax + b 0, llamamos recta asociada a la inecuación a la gráfica de la función lineal y = ax + b.

Dicha gráfica permite obtener la solución de la inecuación con tal de observar para qué valores de x se verifica: y < 0, o y 0, o y > 0, o y 0, según sea el caso.

Resolver la inecuación 10x + 3 > 2x - 5

Se deja un miembro igual a 0: 10x - 2x + 3 + 5 > 0Al simplificar resulta la inecuación x + 1 > 0Dibujamos su recta asociada: y = x + 1

Buscamos los valores de x que hacenla y positiva (y > 0). Por tanto,la solución es x > -1, igual alintervalo (-1, +).

60 Resuelve las siguientes inecuaciones dibujando su recta asociada:

a) 7x - 3 0 b) 9 - 4x 0

61 Interpretar gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones:

a) 4x - 1 < 2x + 3 b) 4 - 3x > 7 - 4x

16

X

Y

1

1

-1

y < 0 y > 0

y = x + 1

SM4 algebra2

Documents

Transcript of SM4 algebra2