Sistemes d'Equacions Lineals · 3x + 2y + z = 5 Es una ecuación lineal, ... ˝OTA : Solemos tomar...

Sis

tem

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'Equ

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ns L

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ls

Apuntes deTeoría

2 Bachillerato* Definición y Conceptos* Solución de un Sistema* Tipos de Sistemas* Estudio de los Sistemas :

Ë ClasificaciónË Resolución

* Regla de Cramer* Método del Pivote* Sistemas Equivalentes* Ideas Complementarias* Sistemas Parametrizados

X.B.Alacant

XB

Apunts

Sistemes

Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 2

1 2 n

9 9 9

1 6 a11x1% a

12x2% ... %a

1nxn ' b1

2 6 a21x1% a

22x2% ... %a

2nxn ' b2

.... % .... % ... % .... ' ...

m 6 am1x1 % am2x2 % ... %amnxn ' bm

( I )

Sistemas de Ecuaciones LinealesEcuación LinealDadas las incógnitas x1 , x2 , x3 , ..., xn y los coeficientes a1 , a2 , a3 , ..., an , b 0 ú.

Llamamos ECUACIO� LI�EAL CO� COEFICIE�TES REALES a una

ecuación de la forma :

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b

Ejemplo 1.-

3x + 2y + z = 5 Es una ecuación lineal, incógnitas x, y, z.

2x1 + x2 - x3 + x4 = 0 Es una ecuación lineal, incógnitas x1 , x2 , x3 , x4

5x2 + 2xy + 3y = 7 NO es una ecuación lineal (los términos de la ecuación 5x2 y

2xy ‘rompen’ la linealidad de la ecuación).

Sistema de Ecuaciones Lineales

Un SISTEMA DE " m " ECUACIONES LINEALES y " n " INCÓGNITAS con

COEFICIENTES REALES ( en adelante, Sistema de Ecuaciones Lineales, o,

simplemente, en este tema, Sistema de Ecuaciones), es un conjunto de m ecuaciones

lineales que deben cumplirse simultáneamente ( m 0 ù, m $ 1 )

Elementos de un Sistema de Ecuaciones Lineales.

< x1, x2, x3, ..., xn son las Incógnitas.

< a11, a12, a13, ..., amn son los coeficientes.

< b1, b2, b3, ...,bm son los términos independientes.

Ejemplo 2.-

2x + 3y + 5z = 2

4x + 3y - 3z = 3 A Es un Sistema de 2 ecuaciones lineales con tres incógnitas (x,y,z)

�OTA : Solemos tomar como incógnitas las letras 'x, y, z' si el sistema es de dos o

tres incógnitas, a partir de cuatro, empleamos letras con subíndice x1, x2, x3, ..., xn.

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


Un Sistema de Ecuaciones Lineales también podemos escribirlo así :

Expresión Matricial del Sistema :

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2n

.... .... .... ....

am1

am2

... amn

@

x1

x2

...

xn

'

b1

b2

...

bm

O así :

Expresión Vectorial del Sistema :

x1

a11

a21

!

am1

% x2

a12

a22

!

am2

% ··· % xn

a1n

a2n

!

amn

'

b1

b2

!

bm

Dando lugar a nuevos elementos:

< La matriz de COEFICIE�TES, : A '

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2n

.... .... ... ...

am1

am2

... amn

m × n

< La matriz AMPLIADA, : ( A/b ) '

a11

a12

... a1n

b1

a21

a22

... a2n

b2

.... .... .... .... ...

am1

am2

... amn

bm m × (n%1)

De forma que, matricialmente, podemos escribir un Sistema de Ecuaciones Lineales

de la siguiente forma:

A · X = b

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


siendo 'A', la matriz de coeficientes, 'b' la matriz columna de términos independientes, y

la matriz columna de incógnitas. X '

x1

x2

...

xn

Ejemplo : El sistema de ecuaciones lineales se escribe2x % 3y % 5z ' 2

4x & 3y % 3z ' 3

matricialmente 2 3 5

4 &3 3·

x

y

z

'2

3

y vectorialmente x2

4% y

3

&3% z

5

3'

2

3

Ejercicios :

1.- Obtener la expresión matricial y vectorial de los siguientes Sistemas de Ecuaciones

Lineales indicando el número de ecuaciones y las incógnitas, así como la matriz de

coeficientes y la matriz ampliada.

1.1 x % 3y ' 4

x & y ' 3

1.2

2x1% x

2' 6

x1& x

2' 3

3x1% x

2' 7

1.3 x1& x

2% x

3% x

4' 1

2x1% x

2& x

3% 2x

4' 3

1.4 x · a % 3b % 2c ' 5

3a & 2b ' 4

a % b & 3c ' 0incógnitas: a,b,c

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


1 2 m

9 9 9

1 6 a11x1% a

12x2% ... %a

1nxn

' b1

2 6 a21x1% a

22x2% ... %a

2nxn

' b2

.... % .... % ... % .... ' ...

m 6 am1x1% a

m2x2% ... %a

mnxn

' bm

( I )

1.5 x1

1

2

1

3

% x2

2

1

0

&1

% x3

4

0

1

2

% x4

1

1

&1

0

% x5

0

1

0

1

'

0

0

0

0

<<<< Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales :

Dado el S.E.L.:

"n" valores reales x1*,x2

*,...,xn*, forman U�A SOLUCIÓ� del mismo, si, al sustituir :

se satisfacen las m igualdades del sistema (I)

/0000000000000000000

x1por x (

1

x2por x (

2

......

xnpor x (

n

Ejemplo 3.- Dado el Sistema de Ecuaciones Lineales :

3x % 2y ' 7

2x % y ' 4x ' 1 ; y ' 2 es una solución del mismo,

pues3·1 % 2·2 ' 7 T

2·1 % 2 ' 4 T

Ejercicios:

2.- Comprobar que x = 1, y = 2, z = -1 es una solución del Sistema de Ecuaciones Lineales :

x % y % z ' 2

x % 2y % z ' 4

&x % y % z ' 0

3.- Comprobar que x = 1 - " - $ , y = " , z = $ es solución del Sistema de Ecuaciones

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


3x1% 2x

2% x

3' 4

x1& x

2% 2x

3' 0

Sistema ORDINARIO

x % y % z ' 0

x & y % 2z ' 0

3x % 2y % 3z ' 0Sistema HOMOGÉNEO

Lineales : x % y % z ' 1

x % y % z ' 1

x % y % z ' 1œ α, β 0 ú

4.- Comprobar que x = 2 , y = 3 NO es solución del Sistema de Ecuaciones Lineales :

x % 3y ' 11

3x % 2y ' 10

Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales :

Entendemos por RESOLVER un Sistema de Ecuaciones Lineales al hecho de hallar

todas las soluciones del mismo, si las tiene.

TIPOS DE SISTEMAS DE

ECUACIO�ES LI�EALES

Atendiendo al hecho de que un Sistema de Ecuaciones Lineales tenga o no solución,

y al número de éstas, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales en:

< SISTEMA COMPATIBLE

Un Sistema de Ecuaciones Lineales es COMPATIBLE si posee solución.

a) Si dicha solución es única YYYY COMPATIBLE DETERMINADO ( S.C.D.)

b) Si no es única ( hay infinitas ) YYYY COMPATIBLE INDETERMINADO

(S.C.I.)

<<<< SISTEMA I�COMPATIBLE

Un Sistema de Ecuaciones Lineales es INCOMPATIBLE si no posee solución (S.I.)

Por otro lado, atendiendo a los términos independientes del Sistema de Ecuaciones

Lineales, clasificamos los sistemas en :

< SISTEMA ORDINARIO. Si alguno de los términos independientes es ………… 0

< SISTEMA HOMOGÉNEO. Si todos los términos independientes son ceros

Ejemplo 4.-

Ejercicios:

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


x % 3y & z ' 2

2x % y % z ' 0

x1% x

2' 0

x1& x

2' 0

x1% 3x

2' 0

x1& x

2% x

3' x

4

2x1% x

2' x

3

x1% x

2& 3x

3% x

4' 0

2 1 3

1 1 &1

0 2 &1

x1

x2

x3

'

0

a

0

según valores de a 0 ú

1 2

3 4

5 6

7 8

x

y'

0

0

0

0

5.- Clasifica los siguientes Sistemas en Homogéneos y 2o Homogéneos :

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

ESTUDIO DE LOS SISTEMAS DE


XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


Dividiremos este importante e interesante estudio en dos bloques :

a) Clasificar el SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ( Averiguar a qué tipo

pertenece )

b) Resolver el SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ( Buscar su/s solución/es

si la/s tiene )

a) Clasificación de un SISTEMA

Para clasificar un Sistema de Ecuaciones Lineales emplearemos el teorema de

Rouché-Fröbenius, según el cual, dado el sistema de ecuaciones lineales A · X = b

con matriz de coeficientes A y matriz Ampliada (A/b) :

Teorema de Rouché-Fröbenius

µµµµ Sistemas

ordinarios

< Rang(A) = Rang(A/b) = nº Incógnitas Y Sistema

Compatible Determinado

( Solución

Unica )

< Rang(A)= Rang(A/b) < nº Incógnitas Y Sistema

Compatible Indeterminado

(Infinitas

soluciones)

< Rang(A) … Rang(A/b) Y Sistema Incompatible ( No posee

solución )

µµµµ Sistemas

homogé-

neos

< Rang(A) = nº Incógnitas Y Sistema Homogéneo Compa-

tible Determinado

( Solución

trivial,

x1=...=xn=0

)

< Rang(A)< nº Incógnitas Y Sistema Homogéneo Compati-

ble Indeterminado

(Infinitas

Soluciones

)

Siendo Rang(A), el rango de la matriz de coeficientes y Rang(A/b) el rango de la

matriz ampliada

Observa varios detalles :

<<<< El Teorema de Rouché Fröbenius nos permite clasificar un Sistema de

Ecuaciones Lineales hallando tan sólo dos rangos

( El rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada. Cuando

ambos rangos coinciden les llamaremos rango del sistema )

<<<< El Rang(A) nunca puede ser mayor que Rang(A/b)

( El Rango de la matriz de coeficientes nunca puede ser mayor que el rango de la

matriz ampliada ) (¡¡¡...!!! Obvio. )

<<<< En un sistema homogéneo, la matriz ampliada (A/0) tiene el mismo rango que

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


la matriz de coeficientes, A.

( Por eso sólo se nombra el Rango de A en el teorema de Rouché Fröbenius).

<<<< En un sistema homogéneo, sólo hay dos opciones, o tiene solución trivial, o

tiene infinitas soluciones.

< El número de Ecuaciones de un Sistema, no "importa" para su clasificación.

Para hallar los rangos de la matriz de coeficientes o de la ampliada, podemos emplear las

técnicas ya conocidas,

< Método del PIVOTE o de Gauss (MdP o MdG)

< Método de Menores Orlados (MMO), según convenga. [ Se estudiaron en

el tema MATRICES ]

ESQUEMA DEL TEOREMA DE

ROUCHÉ-FRÖBE�IUS

µ Sistemas

ORDINARIOS< Si Rang(A) = Rang(A/b) = n YS.C.D.

< Si Rang(A) = Rang(A/b) < n. YS.C.I.

< Si Rang(A) … Rang(A/b) Y S.I.

µ Sistemas

HOMOGÉNEOS< Si Rang(A) = n Y S.H.C.D.

< Si Rang(A) < n Y S.H.C.I.

Veamos, a continuación, a través de unos ejemplos, la forma adecuada de emplear el

teorema.

Ejemplo 5 : Clasificar x % 2y & 3z ' 0

2x % y % 2z ' 5

x & y & z ' &1

[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas ]

Matriz de Coeficientes : A '

1 2 &3

2 1 2

1 &1 &1

Matriz Ampliada : (A/b) '

1 2 &3 0

2 1 2 5

1 &1 &1 &1

XB

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Sistemes

X.B. Apunts


Vamos a hallar sus Rangos mediante el método de Gauss :

Coeficientes : Rang(A) = 3

1 2 &3

2 1 2

1 &1 &1

/000000000

/000000000

1 2 &3

0 &3 8

0 &3 2

/000000000

1 2 &3

0 &3 8

0 0 6

7

7

7

Ampliada : Rang(A/b) = 3

1 2 &3 ! 0

2 1 2 ! 5

1 &1 &1 ! &1

/000000000

/000000000

1 2 &3 ! 0

0 &3 8 ! 5

0 &3 2 ! &1

/000000000

1 2 &3 0

0 &3 8 5

0 0 6 6

7

7

7

nº Incógnitas = 3

En virtud del teorema de Rouché-Fröbenius

Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas :

SISTEMA COMPATIBLE DETERMI�ADO

( El sistema tiene una única solución )

Ejemplo 6 : Clasificar

x1% 3x

2' 5

2x1% 6x

2' 10

&x1& 3x

2' &5



1 3

2 6

&1 &3


1 3 5

2 6 10

&1 &3 &5

Vamos a hallar sus Rangos por el método de Gauss :

Coeficientes : Rang(A) = 1

1 3

2 6

&1 &3

/000000000

/000000000

1 3

0 0

0 0

7

Ampliada : Rang(A/b) = 1

1 3 5

2 6 10

&1 &3 &5

/000000000

/000000000

1 3 5

0 0 0

0 0 0

7

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


nº Incógnitas = 3

Según el teorema de Rouché-Fröbenius

Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas :

SISTEMA COMPATIBLE I�DETERMI�ADO

( El sistema tiene infinitas soluciones )


2x1& x

2% x

3' &1

x1% 3x

2% 2x

3' 2

3x1% 2x

2% 3x

3' 4



2 &1 1

1 3 2

3 2 3


2 &1 1 &1

1 3 2 2

3 2 3 4

Vamos a hallar sus Rangos por el método de MENORES ORLADOS :

Coeficientes : Rang(A) = 2/000000000

/000000000

2 &1 1

1 3 2

3 2 3

' 0 ; /0000/0000

2 &1

1 3… 0

Ampliada :

2 &1 1 &1

1 3 2 2

3 2 3 4

6 /0000/0000

2 &1

1 3… 0

/000000000

/000000000

2 &1 1

1 3 2

3 2 3

' 0

/000000000

/000000000

2 &1 &1

1 3 2

3 2 4

… 0

Rang(A/b) = 3

Rang(A) ………… Rang(A/b)

SISTEMA I�COMPATIBLE

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


( El sistema no tiene solución )

< Hemos fijado el menor no nulo de orden 2, y los dos menores de/0000/0000

2 &1

1 3

orden 3 se han obtenido mediante orlación. Como uno de ellos es … 0 Y Rang

(A/b) = 3


x1% 3x

2% 2x

3% x

4' 0

2x1& x

2% x

3% 2x

4' 0

x1& 4x

2&x

3% x

4' 0

[ Sistema Homogéneo de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas ]


1 3 2 1

2 &1 1 2

1 &4 &1 1

Hallaremos el Rango por el método de Gauss

Coeficientes: Rang(A) = 2/000000000

1 3 2 1

2 &1 1 2

1 &4 &1 1

1 3 2 1

0 &7 &3 0

0 &7 &3 0

/000000000

/000000000

1 3 2 1

0 &7 &3 0

0 0 0 0

7

7

nº incógnitas = 3

Rang(A) < nº INCÓGNITAS

SISTEMA HOMOGÉ�EO COMPATIBLE I�DETERMI�ADO

( El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones ]

Y con este ejemplo, cerramos esta primera toma de contacto con la técnica apropiada

para clasificar un Sistema de Ecuaciones Lineales. ¡¡ Utilízalas como método !!.

RESOLUCIÓ� DE SISTEMAS DE


Naturalmente ¡¡ Sistemas Compatibles !!.

Para resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales vamos a seguir dos métodos :

< Regla de CRAMER

< Método del PIVOTE o Método de Gauss

<<<< REGLA DE CRAMER

XB

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Sistemes

X.B. Apunts


<<<< SISTEMAS COMPATIBLES DETERMI�ADOS

Puesto que en un Sistema Compatible Determinado, el rango de la matriz de coefi-

cientes coincide con el rango de la matriz ampliada y con el nº de incógnitas,

seleccionaremos en primer lugar , tantas ecuaciones Linealmente Independientes

como indique el rango de la matriz de COEFICIENTES.

A continuación, el valor de cada incógnita se obtiene como el COCIE�TE de dos

determinantes :

* �UMERADOR: Determinante obtenido reemplazando en la matriz de coefi-

cientes, la columna correspondiente a la incógnita que estamos hallando, por la

columna de términos independientes, det (Ax, Ay, Az, etc).

* DE�OMI�ADOR: Determinante de la matriz de coeficientes.

Veamos la Regla de Cramer mediante un ejemplo :

Ejemplo 9 : Resolver /000000000

x % y & 3z ' &6

x % 2y % z ' 7

&x & y & z ' &6

[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas ]

* Clasificación

Matriz de Coeficientes: Rang(A) = 3A '

1 1 &3

1 2 1

&1 &1 &1

6 det(A) … 0

Ampliada : Sin necesidad de cálculo, Rang(A/b) = 3

[ Al ser un menor de orden 3 no nulo de la matriz ampliada y no poder serA

el rango de ésta superior a 3 ]

Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas


( El sistema tiene una única solución )

* Resolución

Como Rang(A) = 3 Y seleccionamos tres Ecuaciones Linealmente Independientes ,

en este caso, las tres que hay.

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


9

x '

/000000000

/000000000

&6

7

&6

1 &3

2 1

&1 &1

det(A)'

&8

&4' 2

9

y '

/000000000

/000000000

1

1

&1

&6

7

&6

&3

1

&1

det(A)'

&4

&4' 1

SOLUCIÓN :

/000000000

x ' 2

y ' 1

z ' 3

9

z '

/000000000

/000000000

1 1

1 2

&1 &1

&6

7

&6

det(A)'

&12

&4' 3

Aplicando el teorema de Cramer /000000000

x % y & 3z ' &6

x % 2y % z ' 7

&x & y & z ' &6

[ Observa el "movimiento" de la columna de términos Independientes en los determinantes

del numerador según la incógnita a la que correspondan ]

Comprobación : ( Sustituyendo la Solución en las Ecuaciones del Sistema )

2 % 1 & 3·3 ' &6 T

2 % 2·1 % 3 ' 7 T

&2 & 1 & 3 ' &6 T

Problemas : Resolver mediante la Regla de Cramer , los sistemas :

6.-

x & 2y ' 0

2x % y ' 5

3x & y ' 5

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


(A/b)ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÃ

AÂÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÃ

/00000000000000

1 1 1 1 ! 2

2 1 3 1 ! &1

1 2 1 0 ! 0

1 &1 2 1 ! &1

1 1 1 1 ! 2

0 &1 1 &1 ! &5

0 1 0 &1 ! &2

0 &2 1 0 ! &3

/00000000000000

/00000000000000

1 1 1 1 ! 2

0 &1 1 &1 ! &5

0 0 1 &2 ! &7

0 0 &1 2 ! 7

/00000000000000

1 1 1 1 ! 2

0 &1 1 &1 ! &5

0 0 1 &2 ! &7

0 0 0 0 ! 0

7

7

7

7.-

x1% x

2% x

3' 3

2x1& x

2% x

3' 3

x1& x

2' 0

<<<< SISTEMAS COMPATIBLES I�DETERMI�ADOS

Para resolver un Sistema Compatible Indeterminado mediante la regla de Cramer,

hemos de introducir una pequeña variante que complementa la técnica anterior:

i) Seleccionar tantas ecuaciones independientes como indique el Rango de

A.

ii) Pasar como términos independientes al segundo miembro de cada

ecuación, las mismas n-r incógnitas en cada ecuación, siendo r = Rang(A) y n el nº de

incógnitas

[ Al nº n-r le llamaremos grado de libertad del sistema. ]

iii) Aplicar la regla de Cramer.

Ejemplo 10.- Clasificar y resolver :

/00000000000000

x % y % z % t ' 2

2x % y % 3z % t ' &1

x % 2y % z ' 0

x & y % 2z % t ' &1

[ Sistema de 4 Ecuaciones Lineales con 4 incógnitas ]

6 Clasificación

Coeficientes y Ampliada a la vez, observa esta nueva técnica para hallar simultánea-

mente, por Gauss, el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz

ampliada:(Generando RECURSOS)

6 Rang(A) = 3

6 Rang(A/b) = 3

6 nº incógnitas = 4

Rang(A) = Rang(A/b) < nº INCÓGNITAS


( El sistema tiene infinitas soluciones ]

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


x '

/000000000

/000000000

2&λ

&1&λ

0

1 1

1 3

2 1

/000000000

/000000000

1 1 1

2 1 3

1 2 1

'4λ&11

&1' 11&4λ

CONJUNTO DE SOLUCIONES :

/000000000000000

x' 11&4λ

y' λ&2

z' 2λ&7

t' λ

œ λ 0 ú

y '

/000000000

/000000000

1

2

1

2&λ

&1&λ

0

1

3

1

/000000000

/000000000

1 1 1

2 1 3

1 2 1

'&λ%2

&1' λ&2

z '

/000000000

/000000000

1 1

2 1

1 2

2&λ

&1&λ

0

/000000000

/000000000

1 1 1

2 1 3

1 2 1

'&2λ%7

&1' 2λ&7

6 Resolución por Cramer (Variante) :

i) Seleccionamos 3 ecuaciones Linealmente Independientes:

x % y % z % t ' 2

2x % y % 3z % t ' &1

x % 2y % z ' 0

[ Como Rang (A) = 3, hemos elegido las tres primeras ecuaciones que son las

que en la tabla final nos han "marcado" el rango de la matriz ]

ii) Pasamos como parámetros 4 -3 = 1 incógnitas. Por ejemplo "t = 8"

[ Grado de Libertad : 1 ]

x % y % z ' 2&λ

2x % y % 3z ' &1&λ

x % 2y % z ' 0

iii) Resolvemos por Cramer

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


Comprobación :

11&4λ % λ&2 % 2λ&7 % λ ' 2 T

2(11&4λ) % λ&2 % 3(2λ&7) % λ ' &1 T

11&4λ % 2(λ&2) % 2λ&7 % ' 0 T

11&4λ & (λ&2) % 2(2λ&7) % λ ' &1 T

œ λ 0 ú

�OTA : El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas que no

parametrizamos, debe ser distinto de cero. Si es cero, parametrizar otra u

otras incógnitas.

OBSERVA QUE: Para cada valor del parámetro obtenemos una solución diferente del

Sistema

Problemas : Aplica la Regla anterior para resolver los Sistemas siguientes :

8.-

x % y % 3z ' 2

2x % y & z ' 1

3x % 2y % 2z ' 3

9.-

x1% x

2% x

3& x

4' 0

2x1& 2x

2% 2x

3' 0

3x1% x

2% x

4' 0

MÉTODO DEL

PIVOTE

SISTEMAS EQUIVALE�TES:

Dos sistemas de ecuaciones lineales decimos que son EQUIVALENTES si poseen la

misma solución.

Los sistemas que se obtienen multiplicando por constantes y sumando entre sí

ecuaciones de un sistema dado son equivalentes.

Tanto para Sistemas Compatibles Determinados, como para los Sistemas Compati-

bles Indeterminados, el método del PIVOTE o método de Gauss consiste en obtener

un Sistema más sencillo en su estructura, pero con las mismas soluciones que el

original, mediante combinaciones lineales entre sus ecuaciones. Ambos Sistemas

serán, pues, EQUIVALENTES y las soluciones del Sistema más sencillo nos

permitirán conocer las soluciones del original.

Para no arrastrar todas las incógnitas del sistema, estimaremos conveniente operar

solamente con los coeficientes.

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


Ejemplo 10.- Clasificar y resolver : /000000000000

x1% 3x

2% 2x

2' 6

2x1% x

2% x

3' 4

x1& x

2% 2x

3' 2

6 Clasificación

Matriz de Coeficientes : /000000000

/000000000

1 3 2

2 1 1

1 &1 2

'&12 … 0 6 Rang(A) ' 3

Ampliada : es un MENOR no nulo de (A/b) del máximo orden 6A

Rang(A/b) = 3

Nº Incógnitas = 3

Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas


( Una única solución )

6 Resolución .- Tratemos de obtener un Sistema Equivalente mediante Combinacio-

nes Lineales.

Método del Pivote :

/000000000000000000

x1x2x3

E1

1 3 2 ! 6

E2

2 1 1 ! 4

E3

1 &1 2 ! 2

x1x2

x3

1 3 2 ! 6

E )

2' &2E

1%E

26 0 &5 &3 ! &8

E )

3' &E

1%E

36 0 &4 0 ! &4

/00000000000000000

/00000000000000000

x1x2

x3

1 3 2 ! 6

0 &5 &3 ! &8

E ))

3' 4E )

2&5E )

36 0 0 &12 ! &12

Sistema Equivalente :

/000000000000

x1% 3x

2% 2x

3' 6

& 5x2& 3x

3' &8

&12x3

' &12

))))))))))))>

x1% 3 % 2 ' 6

x1' 1

))))))))>

&5x2& 3 ' &8

x2'1

)))> x3'

&12

&12' 1

SOLUCION :

/000000000

x1' 1

x2' 1

x3' 1

¿ Sencillo, no ?

Comprobación :

1 % 3·1% 2·1 ' 6 T

2·1% 1% 1 ' 4 T

1 & 1% 2 ' 2 T

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


Ejemplo 11.- Clasificar y resolver : /000000000

x % y & z ' 2

2x % 3y % 2z ' 5

x % 2y % 3z ' 3

6 Clasificación

Matriz de Coeficientes : /000000000

/000000000

1 1 &1

2 3 2

1 2 3

'0 6 /0000/0000

1 1

2 3… 0 6 Rang(A) ' 2

Ampliada : 6

1 1 &1 2

2 3 2 5

1 2 3 3

6 /0000/0000

1 1

2 3… 06

/000000000

/000000000

1 1 &1

2 3 2

1 2 3

' 0

/000000000

/000000000

1 1 2

2 3 5

1 2 3

' 0

Rang(A/b) = 2

Rang(A) = 2

Nº incógnitas = 3

Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas



Grado de Libertad 3-2 = 1

6 Resolución: Método del Pivote

/000000000000

E11 1 &1 ! 2

E22 3 2 ! 5

E31 2 3 ! 3

1 1 &1 ! 2

E )

2' &2E

1% E

26 0 1 4 ! 1

E )

3' &E

1% E

36 0 1 4 ! 1

/0000000000

/0000000000

1 1 &1 ! 2

0 1 4 ! 1

E ))

3' &E )

2% E )

36 0 0 0 ! 0

Sistema equivalente : /0000x % y & z ' 2

y % 4z ' 1

6 x%1&4z&z ' 2 6 x ' 1%5z

6 y'1&4z

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


CONJUNTO DE SOLUCIONES :

/000000000000

x ' 1%5zy ' 1&4zz ' z

œ z 0 ú

6 Comprobación :

1%5z % 1&4z & z ' 2 T

2(1%5z) % 3(1&4z) % 2z ' 5 T

1%5z % 2(1&4z) % 3z ' 3 T

6 También podríamos dar un vector solución

x

y

z

'

1

1

0

% z

5

&4

1

�OTA:

* El orden en el que tomemos las ecuaciones de un sistema, no influye

en la solución del mismo. ( Podemos ordenar las ecuaciones en el

orden que nos convenga para operar con mayor sencillez.)

Ejemplo : son Siste-2y % 3x ' 5

&y % x ' 7ó

x & y ' 7

3x % 2y ' 5

mas de Ecuaciones Lineales Equivalentes.

* En ocasiones, puede ser conveniente tomar el orden de las incógnitas

en orden diferente al asignado para operar con mayor facilidad.

¿ Cuándo conviene cambiar el orden ? Generalmente, para agilizar el

proceso en el método del PIVOTE ( Los unos en las esquinas son muy

favorables en los cálculos )

OBSERVA QUE: * Al emplear el método del PIVOTE, no es necesario clasificar

previamente el Sistema, pues con la última tabla obtenida pode-

mos hallar el rango de la matriz de coeficientes y el de la am-

pliada.

* Para cada valor de la variable parametrizada obtenemos una

Solución del Sistema.

DISCUSIÓ� DE SISTEMAS PARA-

METRIZADOS.

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


< Clasificar y resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales en el que alguno de los

coeficientes o algún término independiente no toma un valor específico, sino que es

un parámetro, nos puede enriquecer en nuestra visión del tema, puesto que, de una

vez, clasificamos todos aquellos sistemas que se obtienen para diferentes valores del

( ó los ) parámetros.

< La técnica a emplear es un uso riguroso del Teorema de Rouché-Fröbenius y un

especial cuidado en el cálculo del Rango de las matrices. ( Es muy recomendable

utilizar el método de MENORES ORLADOS ).

< Eh ! ¡ Un consejo !. Procura hallar los valores de los parámetros mediante el

cálculo del determinante de la matriz de los coeficientes o la ampliada. Luego

fijaremos de uno en uno, cada valor obtenido y lo sustituiremos en las dos matrices (

coeficientes y ampliada ) pasando a estudiar el rango, bien ya sin parámetros, bien

según él o los parámetros que queden.

Ver los problemas del 6 al 13

IDEAS

COMPLEME�TARIA

S

1º.- ¿ Cómo resolver de forma matricial un S.C.D. ?

Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas

Sea A· x = b ( Sistema formado por las Ecuaciones Linealmente Independientes )

6 A es una matriz cuadrada de orden "n" y como Rang(A) = n Y … 0 Y A

A es inversible Y › A-1

A · x = b

[ multiplicando por A-1 izda] A-1 · A · x = A-1 · b

[ A-1 · A = I ] x = A-1 · b 6 permite hallar la solución.

Ejemplo 13.- Resolver matricialmente : /000000000

x % 2y % z ' 4

2x % y % z ' 4

x & y % z ' 1

Podemos expresar matricialmente el sistema anterior :

1 2 1

2 1 1

1 &1 1

·

x

y

z

'

4

4

1

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


1 2 1

2 1 1

1 &1 1

·

x

y

z

'

4

4

1

6

x

y

z

'

1 2 1

2 1 1

1 &1 1

&1

·

4

4

1

x

y

z

'

&2

31 &

1

3

1

30 &

1

3

1 &1 1

·

4

4

1

'

1

1

1

(A/b)ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÃ

AÂÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÃ

/000000000

1 &1 2 ! 0

4 3 5 ! 0

3 4 3 ! 0

1 &1 2 ! 0

0 7 &3 ! 0

0 7 &3 ! 0

/000000000

/000000000

1 &1 2 ! 0

0 7 &3 ! 0

0 0 0 ! 0

y comprobar fácilmente que se trata de un Sistema Compatible Determinado, con det (A)… 0

SOLUCION :

/00000000000

x ' 1

y ' 1

z ' 1

�OTA : La matriz inversa se ha calculado por el procedimiento explicado en el tema

MATRICES.

2º.- ¿ Cómo utilizar el "filtro" de Gauss para resolver un Sistema ?

En temas anteriores, para obtener bases de subespacios vectoriales, resolvíamos de

una forma un poco "artesana" los sistemas homogéneos que aparecían. Veamos

como podemos operar ahora a través de unos ejemplos.

Ejemplo 14.- Resolver: 6666 Resolución :/000000000

x & y % 2z ' 0

4x % 3y % 5z ' 0

3x % 4y % 3z ' 0

Rang(A) = 2

Rang(A/b) = 2

XB

Apunts

Sistemes

X.B. Apunts


Nº Incógnitas = 3

Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas

SISTEMA HOMOGÉ�EO COMPATIBLE I�DETERMI�ADO


Grado de Libertad 3-2 = 1

x & y % 2z ' 0 6 x '&11z

7

7y & 3z ' 0 6 y '3z

7

Tomando las ecuaciones del Sistema Equivalente y parametrizando una incógnita tal

como indica el grado de libertad del sistema.(Una alternativa sería dejar la solución

en función de 'z' tal como hemos hecho en alguna otra solución. La idea es ir

aportando diferentes maneras de expresar una misma idea)

LAS SOLUCIONES DEL S.H.C.I. SON :

/0000000000000000000000000

x '&11α

7

y '3α

7

z ' α

œ α 0 ú

¡ Claro ! El grado de libertad del Sistema Homogéneo nos indica la DIMENSION

del Subespacio Vectorial definido mediante dichas ecuaciones, y nos hace buena la

fórmula dim ( subespacio ) = dim Espacio - nº ecuaciones libres que lo definen.

Sistemes d'Equacions Lineals · 3x + 2y + z = 5 Es una ecuación lineal, ... ˝OTA : Solemos tomar...

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