Sistemas no Lineales de Ecuaciones Diferenciales - Estabilidad de Sistemas de EDO

Sistemas no Lineales de Ecuaciones Diferenciales -

Estabilidad de Sistemas de EDO

Tema V

Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales

ProblemaDifícil o aún imposible resolver una

E.D. en especial si es “no lineal”

Problemática


Que hacer?

Encontrar información cualitativa acerca de las soluciones

Puntos Críticos y Retrato de Fase


Fluido circulando a lo largo de la línea real, con velocidad local: ( )f x

( )x f x dxx

dt(1)

Trayectorias0(0)

( )

x x

x x t

x

x

( )f x

Retrato de Fase

EDO Autónoma

Puntos Críticos y Estabilidad


Fluido Circulando a lo largo de la línea real, con velocidad local: ( )f x

*( ) 0f x

Puntos Críticos representan Equilibrio

Si luego0 *x x *( )x t x

*( )tx x es solución de la EDO original (1)

Un punto crítico es estable si para pequeñas perturbaciones alrededor de él la solución permanece cerca del punto para todo 0t

A esta solución se la denomina Solución de Equilibrio

Puntos Críticosx

x

( )f x

Los valores de x que anulan la EDO se denominan Puntos Críticos

x

x

( )f x

Ejemplo


Consideremos una ecuación diferencial para un modelo poblacional:

Con y constantes reales

Tomemos: y4 1

00

( )dx

x xdtx x

(2)

Un punto crítico de una ecuación diferencial autónoma se dice estable si partiendo de un punto x0 cercano a x*, la solución x(t) permanece cercana x*,

para todo t > 0.

Un punto crítico de una ecuación diferencial autónoma se dice estable si partiendo de un punto x0 cercano a x*, la solución x(t) permanece cercana x*,

para todo t > 0.

Ejemplo


0 04 4 4

0 0 0

4 4( )

(1 ) 4 (4 )t t t

x xx t

x e e x x e

La Solución de la E.D. (2)

t

x

Estabilidad en un Sistema EDO


F(x,y) y G(x,y) son clase C 1 en alguna región R del plano xy. Esta Región se denomina Plano de Fase

Además, como la variable t no aparece explícitamente en las funciones F(x,y) y G(x,y), el sistema se dice que es autónomo.

Del teorema de existencia y unicidad se sigue que si t0 es cualquier número y

(x0 , y0) es cualquier punto del plano de las fases, existe una única solución del

sistema de EDO (3):

Estudiaremos el sistema:

( , )

( , )

dxF x y

dtdy

G x ydt

(3)

( )

( )

x x t

y y t

0 0( )x t x

0 0( )y t y

Solución de Equilibrio


Las funciones: e son las trayectorias. Describen una curva solución.

( )y y t( )x x t

* * * *( , ) ( , ) 0F x y G x y * *

( , )x y es un punto crítico si:

,*( )x t x *

( )y t y satisfacen (3)

Una solución tal de valor constante se denomina:

Solución de Equilibrio

Punto Crítico:

En lo que sigue supondremos que todo punto crítico es aislado, en el sentido que existe un entorno centrado en (x0,y0) que no contiene ningún otro punto crítico.

Trayectorias y Plano de Fase


Si (x0,y0) no es un punto crítico:

Trayectoria: curva en el plano xy

(x(t) , y(t)) se moverá por esa curva a medida que t aumente

Trayectorias: curvas no degeneradas, no se intersectan a si mismas

Plano de fase: muestra cualitativamente el comportamiento de las soluciones

El comportamiento cerca de los puntos críticos es de especial interés

Ejemplo


Consideremos el sistema autónomo:

dxx

dtdy

kydt

con k constante

Punto crítico: (0,0)

0( ) tx t x e 0( ) kty t y e

00 0

0

( ) ,kt t k kk

yy y e x e bx

x 0

0k

yb

x

Si 0 0x

Nodos


,ky b x 0

0k

yb

x

x

y

Nodo propio Nodo impropio

1k 2k

x

y

Estabilidad


Si (x0,y0) está suficientemente cercano a (x*,y*)

x=x(t), y=y(t) permanece cerca de (x*,y*) 0t

0 0 * * ( ) ( ) * *, , , , , 0t tx y x y x y x y t

x

y

* *,x y

0 0,x y

Entonces (x*,y*) es un punto crítico estable

Centros Estables


Consideremos una masa que oscila sin amortiguamiento:

2

dxy

dtdy

xdt

Punto crítico: (0,0)

2" 0x x 2 /k m dxydt

Si introducimos:

2 2

2 2 21

x y

C C

Trayectorias:

centro estable

x

y

0 0,x y

Estabilidad Asintótica


Si además de ser estable cada trayectoria que comienza suficientemente cercana a (x*,y*) , se aproxima a él cuando , el punto crítico se llama asintóticamente estable

t

0 0 * * ( ) ( ) * *, , lim , ,t tt

x y x y x y x y

* *,x y

x

y

Hacer Ej. 1 y 2


1 1

2 2

dxa x b y

dtdy

a x b ydt

1 1

2 2

0a b

a b (0,0) es el único punto crítico

tx Ae

y B

solución no trivial del sistema

son los valores propios de la matriz de coeficientes A de (1), los que se calculan a partir de: det (A - I ) = 0

(1)

1 11 2 2 1

2 2

21 2 1

2

2 2 1

det 0A A

a ba b a b

a b

a b a b a

tr

b

(2)

Sistema EDO lineal de 1° orden

Det. de la matriz de coeficientes, A

Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales


1 2Sean y las raíces de (2) . Distinguiremos 5 casos:

( )Igual signo Nodo impropio

Distinto signo Punto silla

1 2 Si: y reales y distintos

Casos Principales

Casos Frontera

1 2 Si: y complejos conjugados (parte real distinta de cero)

Espiral o Foco

1 2 Si: y reales e iguales

1 2 Si: y imaginarias puras

( )Nodo propiooimpropio

Centro


1 21 21 2

1 2

t tA Axc e c e

B By

Solución de (1)

1 2 y reales y distintos (igual signo)

1 < 2 < 0

Si , entonces 1 0c 2 2

2 2

( );A Bx

y x semirrectasy B A

Si , entonces2 0c 1 1

1 1

; ( )A Bx

y x semirrectasy B A

Si , entonces (3)1 2

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

t t

t t

c B e c B ey

x c A e c A e1 2 0c c

2

2

A

BCuando t→, la solución tiende al origen con la dirección del vector propio

1

1

A

BCuando t→, la solución tiende al origen con la dirección del vector propio



1 2

1 2

1 12

2

1 12

2

t

t

c Be B

cy

x c Ae A

c

Considerando que 1 - 2 < 0 cuando t→ : y la solución tiende al origen

con esta dirección.

2

2

By

x A

2 1

2 1

2 21

1

2 21

1

t

t

c Be B

cy

x c Ae A

c

Considerando que 2 - 1 > 0, entonces cuando t→ - : y la solución tiende

al infinito con esta dirección.

1

1

By

x A

Sacando factor común de la ecuación anterior, obtenemos22

tc e

Ahora sacando factor común de la ec. (3), obtenemos11

tc e


b) 0 < 1 < 2

El tratamiento matemático es similar al anterior pero el punto crítico es inestable,

es decir, las trayectorias se alejan del punto crítico cuando t→ .


Esto es, las curvas convergen al punto crítico (0,0) con una dirección paralela a una

de las asíntotas, , cuando t→ y se hace paralela a la otra cuando t→ -.

Como las soluciones se acercan al punto crítico, cuando t→ , decimos entonces que el punto crítico es un nodo impropio asintóticamente estable (Figura 1).

2

2

B

y xA

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

1

1

B

y xA

2

2

B

y xA

Figura 1 Nodo impropio


1 2 y reales y distintas (distinto signo)

Considerando 1 < 0 y 2 > 0

Valen las mismas deducciones que para el caso anterior.

1 21 21 2

1 2

t tA Axc e c e

B By

El punto crítico (0,0) es inestable, cuando t→ , las soluciones se alejan del punto crítico. (Figura 2)

Un punto crítico con estas características se denomi-na punto silla y es siempre inestable.



1 2 y complejos conjugados


1 11 2

2 2

cos

cost

A t A sen txe c c

B sen t B ty

1

2

( cos cos )

( cos cost A C sen t C sen tx

eB C sen sen t C ty

1

2

( )

cos( )t Ax C sen t

eBy C t

2 2

1 2C c c

1c C sen

2 cosc C

c1

c2

En este caso los valores propios son 1,2 = i, con 0.

La expresión de la solución ya fue tratada en el capítulo anterior. Tomando 1 = + i

1 1

2 21,2

(cos )t A B ixe t i sen t

A B iy

Si A2 = B1 = 0, La solución es: 1

21,2

(cos )t Axe t i sen t

B iy



Las ecuaciones corresponden a trayectorias que giran en forma de espirales (por ser 0).

Queda por determinar el sentido de giro de estas trayectorias y la estabilidad del punto crítico.

Para determinar el sentido de giro debemos hacer cambio de coordenadas:

x y

rt

r

Reemplazando:

2 2

22 2

1 2

tx y eAC B C

La cual puede reescribirse como: 2 2 2 2

22 2 2 2 2 21 2 1 2

1tt tK K K K

x y x yee e



Luego de un desarrollo que pueden ver en el apunte, llegamos a la siguiente conclusión:

Si 2 0a 0d

dt

, las trayectorias giran

en espiral en sentido horario.

Si 2 0a 0

d

dt, las trayectorias giran

en espiral en sentido antihorario. En cuanto a la estabilidad del punto crítico:

si 1 2( ) 0a b es inestable.

si 1 2( ) 0a b se dice

asintóticamente estable (Figura 3). Siendo 1 2( ) Aa b tr

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

Figura 3 Espiral o Foco


1 2 y reales e iguales


1 2 0a b

2 1 0a b

1 2

1 0

0 1t t

dxax

xdt c e c edy y

aydt

1 2a b a

20( ) 0

0a

aa

a

es un valor propio múltiple completo. Luego despejando

Las trayectorias son semirrectas

Si < 0 es asintóticamente estable.

Si > 0 es inestable (Fig. 4).

a1 2

: x ytc c

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

Figura 4: nodo propio



1 2t tx A C Atc e c ey B D Bt

(*)

= a es un valor propio múltiple defectuoso. Ya vimos que la expresión de la solución es:

1 2t t tA A C

e te eB B D

Si c2 = 0:

, las trayectorias son semirrectas.

Cuando t→, de (*), (x,y) → (0,0) con pendiente y Bx A

yxBA

Supongamos < 0.

Si c2 0

Las soluciones son curvas y como < 0, las trayectorias tienden a (0,0) cuando t→. Esto es:

Cuando t→-, haciendo el mismo análisis, la trayectoria (y la solución) tiende a infinito en la

dirección .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

Figura 5. Nodo impropio

By x

A

1

2

1

2

B

A

cD Btc

cC Atc

yx

1

2

c BD B t

c

y cuando t→,



y B

x A

Entonces, la trayectoria tiende al

origen en la dirección .

(lo mismo para el denominador)

y B

x A

1 2 y imaginarios puros

1 2 y imaginarios puros

En este caso los valores propios son 1,2 = i, con = 0.

Siguiendo el procedimiento visto para valores propios complejos conjugados, pero teniendo en cuenta que = 0, se llega a:

1 1

2 2

C sen t sen tA kxB ky C cos t cos t

Se cumple , entonces

las trayectorias son elipses (figura 6).

2 2

2 21 2

1x y

k k

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

Figura 6. Centro


A los fines de analizar el sentido, vale lo visto para el caso C, con = 0.


p2-4q=0

q=detAInestable Asintóticamente

Estable

Espirales

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1

x2

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

x1

x2

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

x1

x2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 107

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

8

x1

x2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1

x2

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

x1

x2

p=-trA

Estable

Puntos Silla

Espirales

Nodos Impropios Nodos Impropios

Nodos límite (Propios)

Inestable

Centros

Estabilidad y trayectorias para puntos críticos de sistemas de EDO de primer orden lineales

21 2 0p q Sistema EDOL Autónomo:

1 1

2 2

x a x b y

y a x b y

Resolver Ej. 3

1 2 1 2 detA Atr yp q

Puntos Críticos Simples de Sistemas no Lineales


( , )

( , )

dxF x y

dtdy

G x ydt

2 21 1 1 1 1

2 22 2 2 2 2

...

...

dxa x b y c x d xy e y

dtdy

a x b y c x d xy e ydt

Taylor

(0,0) punto crítico

1 1 ,

2 2 ,

x y

x y

x a x b y f

y a x b y g

f(x,y) y g(x,y) son perturbaciones

( , )

2 2( , ) (0,0)lim 0x y

x y

f

x y

( , )

2 2( , ) (0,0)lim 0x y

x y

g

x y

Punto Crítico Simple

f(x,y) y g(x,y) son continuas y tienen derivadas continuas

Cerca de (0,0) el comportamiento del sistema lineal será similar al no lineal

Si x e y son pequeños, es decir cuando (x,y) está muy cerca del origen


Si (0,0) es un punto crítico simple de un sist. no lineal (cuasi lineal) y consideramos el sist. lineal asociado, se presentan los siguientes casos:

Casos Principales

Casos Frontera


Lineal Asociado No Lineal

Nodo impropio Idem

Punto silla Idem

Espirales Idem

Lineal Asociado No Lineal

Nodo Nodo o Espiral

Centro Espiral o Centro


Si (0,0) es un punto crítico simple de un sist. lineal asociado, asintóticamente estable, entonces el punto crítico del sistema no lineal (cuasi lineal) es también asintóticamente estable. Lo mismo vale para la inestabilidad.


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

Si bien el punto crítico es de la misma especie, las trayectorias pueden ser diferentes.

Punto Silla Sistema No Lineal

Resolver Ej. 4


Que hacer cuando un punto crítico es distinto del (0,0) ?


1- Si * *, ,P x y

0 0 Entonces hacemos la traslación siguiente:

* *

* *

' '

' '

u x x x u x u x

v y y y u y v y

Reemplazamos en el sistema no lineal y nos queda un sistema en las variables u y v, donde el (0,0) es un punto crítico simple del nuevo sistema.

2- Generalizar la teoría.

En este caso si * *,P x y

es un punto crítico del sistema no lineal, no

necesariamente el (0,0), y si ( , )F x y y ( , )G x y se pueden desarrollar en serie

de potencias en x e y (Serie de Taylor) alrededor de * *,P x y

, entonces:

,

,

x y

x y

P P

P P

duF u F v f x y

dtdv

G u G v g x ydt

.

Esta expresión permite linealizar el sistema cuasi lineal para cualquier punto crítico,

incluyendo el 0

.

O

l

Og

mm

Péndulo Simple


sin 0,g

l

sin 0, 0g

l

2

2donde y .

d d

dt dt


Ecuaciones para el Péndulo

1

1 2

2 1 2

21

2 1 2

sin sin

sin

x

x x

g gx x x

l lx

xg

x x xl

Transformación a un sistema EDO


;x F xt t t

Puntos Críticos


SISTEMA AUTÓNOMO

SOLUCIÓN

PUNTOS DE EQUILIBRIO O PUNTOS CRÍTICOS

x F xt t

1 2,xT

t tt x x

x 0 F(x) = 0

2

1 1

0

sin 0

0,1,2,..........

x

gx x n

ln

21

2 1 2sin

xx

gx x x

l

Puntos Críticos


* *( , ) ( ,0)x y n

Péndulo sin amortiguamiento


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-150

-100

-50

0

50

100

150Undamped Pendulum - The full nonlinear case

(t)

d(t

)/dt

5

60

120

170

Péndulo sin amortiguamiento - Trayectorias



0 5 10 15 20 25-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200Undamped Pendulum - The full nonlinear case

(t)

time

5

60

120

170

Péndulo sin amortiguamiento - soluciones

Péndulo con amortiguamiento


-150 -100 -50 0 50 100 150 200-150

-100

-50

0

50

100Damped Pendulum - The full nonlinear case - = 0.05

(t)

d(t

)/dt

5

60

120

179.5

Péndulo con amortiguamiento – Trayectorias



0 5 10 15 20 25-150

-100

-50

0

50

100

150

200Damped Pendulum - The full nonlinear case - = 0.05

(t)

time

5

60

120

179.5

Péndulo con amortiguamiento – Soluciones

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