3.2 Sistemas de Segundo Orden

Los sistemas de segundo orden responden a funciones de transferencia cuyo denominador es un polinomio de segundo grado. Dentro de estas se verán únicamente los sistemas cumpliendo que:

El término independiente del numerador y denominador coinciden. El numerador no contiene ceros, sino que se limita al término independiente.

La primera restricción no supone una pérdida de generalidad; simplemente fuerza a que la ganancia del sistema sea la unidad. La segunda restricción sí limita el rango de posibilidades de los sistemas de segundo orden a estudiar. El estudio de sistemas de segundo orden con ceros impide el obtener determinados resultados analíticos de gran utilidad al extrapolar el comportamiento de sistemas de segundo orden sin ceros a otros sistemas de orden superior.

Con estas restricciones, un sistema de primer orden tiene la forma:

Originariamente, el sistema típico de segundo orden que se presentaba en los estudios de teoría de control era el servomecanismo de posición, donde por medio de una realimentación se empleaba un controlador proporcional de ganancia K para regular la posición de un motor que presentaba un rozamiento B y una inercia J.

Bucle de control de un Servomecanismo

Aunque otros muchos tipos de dinámicas responden a sistemas de segundo grado, sigue empleándose J y B como identificativos de procesos de inercia y de oposición al movimiento, respectivamente. El primero da lugar a fenómenos conservativos, sin pérdida de energía, y el segundo corresponde a fenómenos disipativos, con pérdida de la misma.

La expresión tendrá polos complejos conjugados si:

Esto permite introducir una serie de definiciones:

Bc Amortiguamiento critico

ωn=√K /J Frecuencia natural no amortiguada

ς=B/B c Factor de amortiguamiento relativo

σ=ς ωn Atenuacion

Se comprueba fácilmente que:

2 ςωn=BJ

De esta forma, la expresión puede expresarse en lo que se llama forma estándar del sistema de segundo orden:

Se pueden estudiar una serie de comportamientos en función del valor del factor de amortiguamiento relativo.

3.2.1 Clasificación

Sistemas subamortiguados 0 < ς < 1.

En ese caso se vio que el sistema tendría polos complejos conjugados, con lo que la forma estándar de la función de transferencia se puede también expresar como

con polos en

Donde ωd=ωn√1−ς 2 es la frecuencia natural amortiguada. Esta es la frecuencia con que pulsan las oscilaciones de la respuesta.

ς ,ωn yωd en función de la posición de los polos complejos conjugados

Ante una entrada en escalón unitario, la respuesta puede descomponerse en:

de donde puede obtenerse que

C = 1

A = -1

B = −ς ωn

Con lo que la respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado a una entrada escalón es:

que tiende a 1 cuando el tiempo tiende a infinito.

Sistema no amortiguado ς = 0.

En estos casos no existe término disipativo B, con lo que el sistema no pierde energía y mantiene su estado de movimiento de forma indefinida.

Al ser nulo el factor de amortiguamiento relativo, ωn=ωdy la respuesta queda:

Sistema críticamente amortiguado ς = 1

Este es el límite en que dejan de aparecer oscilaciones en la respuesta. Los polos complejos conjugados pasan a ser un polo doble, y la frecuencia natural amortiguada es cero.

Haciendo el límite cuando ς→1 en la expresión se llega a:

Sistema sobreamortiguado ς > 1

El sistema tiene dos polos reales negativos por lo que no aparecerá comportamiento oscilatorio en la respuesta. Los polos son:

Si ς es próximo a 1, los polos serían próximos a −ωn y la respuesta será similar a la del caso críticamente amortiguado.

En el caso de que ς sea muy superior a 1, existirá un polo próximo a 0 y otro próximo a −2 ςωn. Puede demostrarse que si un polo p2 es mucho mayor en valor absoluto que otro polo p1, entonces ante una entrada en escalón se tiene que:

En la figura se muestra el efecto del factor de amortiguamiento relativo sobre la respuesta a un escalón unitario. Es interesante mostrar que en la escala horizontal aparece ωnt , lo que visualiza que la variación de ωn determina la rapidez en la respuesta.

Para la respuesta a rampa o al impulso, se pueden integrar o derivar las anteriores respuestas respectivamente.

Respuesta al escalón de un sistema de 2° orden.

Especificaciones de la respuesta transitoria.

Es conveniente definir una serie de conceptos que permiten cuantificar características de la respuesta transitoria de un sistema. Estos conceptos se aplican a sistemas de cualquier orden, aunque se verá que existen relaciones entre dichas especificaciones y los parámetros de un sistema estándar de segundo orden.

Estas especificaciones son: el tiempo de retardo t r, de subida t d, de pico t py de asentamiento t s, así como la sobreoscilación máxima M p. En la figura se muestran cada uno de ellos.

El tiempo de retardo t r se define como el tiempo necesario para que la respuesta del sistema alcance el valor del 50% del valor de régimen permanente. Esta especificación cobra sentido cuando se quiere evaluar el tiempo muerto en la respuesta de un sistema.

El tiempo de subida t d informa sobre la rapidez de la respuesta, y se define como el tiempo necesario para recorrer por primera vez un determinado intervalo medido como porcentaje del valor de régimen permanente. Este intervalo puede ser del 0% al 100%, del 5% al 95% o del 10% al 90%. Para respuestas con sobreoscilación se suele preferir la primera definición. Para respuestas sin ellas, se suele proporcionar la tercera.

El tiempo de pico t p es el tiempo en que la respuesta alcanza el primer máximo relativo.

La sobreoscilación máxima M p es el valor de la respuesta en ese momento.

El tiempo de asentamiento t s es el tiempo a partir del cual la respuesta se mantiene dentro de un porcentaje alrededor de la posición de régimen permanente. Se puede definir para porcentajes del 2% o del 5%.

Para el caso de sistemas estándar de segundo grado, todos estos parámetros se obtienen a partir de la anterior respuesta del sistema a un escalón unitario.

El tiempo de retardo se puede hallar a partir de la respuesta, aunque no se hará por su menor importancia en sistemas sin tiempo muerto.

Especificaciones de la respuesta transitoria

Tiempo de subida t r

El tiempo de subida (de 0 a 100%) se obtiene hallando el tiempo en que por primera vez llega el sistema al valor unidad.

Lo cual sucede en t→∞ o cuando

Por tanto

Haciendo el cambio ς=cosβse tiene que

La primera vez que se cumple esta igualdad (el primer cruce por y (t) = 1) es para

Tiempo de pico t p

El tiempo de pico es el tiempo en que se produce el primer máximo relativo, es decir, donde la derivada de la respuesta se hace cero por primera vez.

Derivando dicha respuesta e igualando a cero se tiene que la derivada se anula en t→∞ o cuando se anula

La anterior expresión será igual a cero cuando ωd t=ωnEl primer extremo relativo, y que corresponde al tiempo de pico t p, se da por tanto para

t p=π /ωd

Sobreelongación máxima M p

Es la diferencia entre el valor de la respuesta cuando t=t py el valor de régimen permanente, en tanto por ciento respecto a este último valor. Para un sistema de ganancia unitaria, sometido a una entrada en escalón unitario, es

3.2.2 Parámetros de la respuesta subamortiguada ante la entrada escalón.

Un sistema de segundo orden viene descrito por una ecuación diferencial del tipo:

y ´ ´+a1 y ´+a0 y=b0u

con condiciones iniciales y (0 ) , y ´ ´ (0).

La transformada de Laplace aplicada a la ecuación resulta en:

con P (s) debido a las condiciones iniciales.

Ante entrada escalón de amplitud A con U s=A/ s y considerando nula la respuesta de entrada cero, la respuesta sería función de las raíces s1y s2 del polinomio característico de la función de transferencia

La respuesta y (t) será obtenida descomponiendo en fracciones simples Y (s) que viene dada por

Se obtiene cuando las soluciones son complejas (conjugadas, obviamente), para que eso se produzca ζ<1.Lafunciónrespuestaobtenidaes:

La respuesta es oscilatoria y se pueden definir los siguientes parámetros característicos:

• Overshoot (disparo):

El Overshoot aumenta al disminuir el coeficiente de amortiguamiento. Para el caso límite de que el coeficiente de amortiguamiento tienda a 1, el Overshoot también tiende a 1.

• Razón de disminución (decay ratio):

• Período de oscilación:

Si ζ=0, T=2 π τ es el período natural de oscilación.

• Tiempo de respuesta (response time): Un sistema subamortiguado alcanza su valor estacionario d e manera oscilatoria cuando el tiempo se hace infinito. A efectos prácticos se toma como tiempo de respuesta el necesario para que la salida del sistema esté dentro del ±5%de la respuesta estacionaria y permanezca en ese intervalo.

• Rise time: De esta manera se caracteriza la velocidad con la que responde el sistema subamortiguado. Se define como el tiempo que tarda el sistema en alcanzar su valor estacionario por primera vez. Es importante resaltar que cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento, menor es el rise time pero mayor es el Overshoot.