Sistemas de Espectro Esparcido empleando caos Ideas ... · 1 3/24/2008 Larrondo - La Falda 2007 1...
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Sistemas de Espectro Sistemas de Espectro
Esparcido empleando caosEsparcido empleando caos
L. De MiccoL. De Micco
R. A. PetrocelliR. A. Petrocelli
C. M. ArizmendiC. M. Arizmendi
H. A. LarrondoH. A. Larrondo
FacultadFacultad de de IngenierIngenierííaa –– UNMDPUNMDP
C. M. GonzC. M. Gonzáálezlez
M. T. MartM. T. Martíínn
A. A. PlastinoPlastino
O. A. O. A. RossoRosso
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 22
Ideas PrincipalesIdeas Principales�� Una seUna seññal de espectro esparcido se produce por al de espectro esparcido se produce por
modulacimodulacióón.n.
�� CommunicacionesCommunicaciones (CDMA (CDMA SystemsSystems))
�� Mejora de la Compatibilidad Mejora de la Compatibilidad ElectromagnElectromagnéética tica (EMC)(EMC)
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 33
Ideas PrincipalesIdeas Principales�� Una seUna seññal de espectro esparcido se produce por al de espectro esparcido se produce por
modulacimodulacióón.n.
�� CommunicacionesCommunicaciones (CDMA (CDMA SystemsSystems))
�� Mejora de la Compatibilidad Mejora de la Compatibilidad ElectromagnElectromagnéética tica (EMC)(EMC)
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PS de un PS de un ““clockclock”” idealideal
0f
2 f∆
0f
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0f
2 f∆
0f
SeSeññales de banda ancha de ales de banda ancha de
envolvente constante (CEW)envolvente constante (CEW)
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SeSeññal de un al de un clockclock modulado en FMmodulado en FM
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 T
2
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SeSeññal no estacionaria: al no estacionaria: estacionariaestacionaria si la si la
modulacimodulacióón es muy lenta (n es muy lenta (TT=1s=1s))
PS
0f
f
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PreguntasPreguntas
�� Influye la secuencia elegida?Influye la secuencia elegida?
�� Pueden usarse tanto secuencias aleatorias Pueden usarse tanto secuencias aleatorias
como pericomo perióódicas?dicas?
�� Es importante el valor de Es importante el valor de TT??
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 99
RespuestasRespuestas
�� El PS es diferente para diferentes El PS es diferente para diferentes
secuencias secuencias
�� El PS es diferente si cambiamos El PS es diferente si cambiamos T.T.
j jm T f= ⋅∆
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1010
RemarksRemarks
�� El estudio del PS de una seEl estudio del PS de una seññal modulada al modulada
en frecuencia con un en frecuencia con un mmjj arbitrario es un arbitrario es un
tema abierto.tema abierto.
�� El caso particular El caso particular TTjj==TT fue resuelto por fue resuelto por
CallegariCallegari et et alsals. para secuencias . para secuencias
aleatorias.aleatorias.
S. Callegari, R. Rovatti, G. Setti, IEEE Transactions on Circuitsand Systems, 50 (1) (2003)
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1111
La seLa seññal moduladoraal moduladora
( ) ( )∑∞
−∞=
−∆=k
k kTtgxftξ
adjustable
m f T= ∆ ⋅
[ ]1, 1k
x ∈ −3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1212
( )( )02
Re
t
i f t f d
s t e
π ξ τ τ
−∞
+∆
∫ =
CEW signal
La seLa seññal modulada en FM al modulada en FM
((““clock imperfectoclock imperfecto””) )
3
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1313
( ) ( )( )[ ]
( )[ ]
−+=Φ
fxx
x
xssKE
fxKEfxKEf
,3
2
2
11
,Re,
Teorema de Teorema de CalegariCalegari para el caso para el caso
aleatorioaleatorio
�� Sea Sea
una secuencia aleatoria con PDF una secuencia aleatoria con PDF ρρ((xx). ).
�� Entonces el PS de la seEntonces el PS de la seññal FM esal FM es
{ }kx
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dondedonde
( ) ( )( )2
1
1, sinc
2K x f T T f f xπ= − ∆ ⋅
( ) ( )( )[ ]
( )[ ]
−+=Φ
fxx
x
xssKE
fxKEfxKEf
,3
2
2
11
,Re,
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1515
dondedonde
( )( )( )
( )
2
2
1,
2
i T f f xe
K x f iT f f x
π
π
− −∆ ⋅−
=− ∆ ⋅
( ) ( )( )[ ]
( )[ ]
−+=Φ
fxx
x
xssKE
fxKEfxKEf
,3
2
2
11
,Re,
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1616
dondedonde
( ) ( )( )2
3 ,i T f f x
K x f eπ− −∆ ⋅
=
( ) ( )( )[ ]
( )[ ]
−+=Φ
fxx
x
xssKE
fxKEfxKEf
,3
2
2
11
,Re,
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1717
En el lEn el líímite de modulacimite de modulacióón lentan lenta
ForFor
( )m or T→ ∞ → ∞
( ) ( )( )[ ]
( )[ ]
−+=Φ
fxx
x
xssKE
fxKEfxKEf
,3
2
2
11
,Re,
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1818
( )1
2ss
ff
f fρ
Φ → ∆ ∆
ForFor
( )m or T→ ∞ → ∞
0f f f→ −
En el lEn el líímite de modulacimite de modulacióón lentan lenta
4
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En palabrasEn palabras
�� En el lEn el líímite de modulacimite de modulacióón lenta el espectro n lenta el espectro (PS) de la se(PS) de la seññal de FM tiene la misma forma al de FM tiene la misma forma que el histograma (PDF) de la secuencia (VALE que el histograma (PDF) de la secuencia (VALE PARA SECUENCIAS ALEATORIAS). PARA SECUENCIAS ALEATORIAS).
Una secuencia RANDOM con PDF Una secuencia RANDOM con PDF constante produce una seconstante produce una seññal al
CEW.CEW.
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2020
QuQuéé ocurre si usamos secuencias ocurre si usamos secuencias
periperióódicas?dicas?
�� Ejemplo Ejemplo
{ }
{ }1, 0.9, 0.8, ...1, 1, 0.9, 0.8, ...1, ...
kx =
− − − − − −
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2121
Es esto lo que ocurre en el dominio Es esto lo que ocurre en el dominio
de la frecuencia?de la frecuencia?
f
PS
0f
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2222
PDF es idealPDF es ideal
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2323
PS PS no no eses adecuadaadecuada parapara nada!nada!!!
2 3 4 5 6 7 8-250
-200
-150
-100
-50
0
f
ΦΦ ΦΦss(d
B)
T= 1.9905, m= 9.9524, f0= 10
/ 5f m T∆ = =
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2424
La La aleatoreidadaleatoreidad parece ser un parece ser un
requisito fundamentalrequisito fundamental
Pero las secuencias Pero las secuencias randomrandomno se pueden generar, al no se pueden generar, al menos menos artificalmenteartificalmente! Y si ! Y si probamos con dispositivos probamos con dispositivos
ffíísicos?sicos?
5
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2525
La La aleatoreidadaleatoreidad parece ser un parece ser un
requisito fundamentalrequisito fundamental
��Y si empleamos Y si empleamos secuencias casecuencias caóóticas?ticas?
��O el determinismo es un O el determinismo es un obstobstááculo?culo?
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Nuestros preconceptos sobre Nuestros preconceptos sobre
sistemas aleatoriossistemas aleatorios
�� Si no conocemos el modelo que genera Si no conocemos el modelo que genera
tendemos a considerar que es un proceso tendemos a considerar que es un proceso
aleatorio. aleatorio.
�� Pero sPero sóólo los lo los teststests estadestadíísticos nos dicen si esto es sticos nos dicen si esto es
asasíí..
�� CuCuááles les teststests estadestadíísticos?sticos?
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2727
Algunos muy conocidosAlgunos muy conocidos
�� MarsagliaMarsaglia Diehard Statistical Tests: Diehard Statistical Tests:
http://stat.fsu.edu/~geo/diehardhttp://stat.fsu.edu/~geo/diehard
�� P. P. LL’’EcuyerEcuyer Statistical Tests: Statistical Tests:
http://iro.umontreal.ca/~lecuyer/http://iro.umontreal.ca/~lecuyer/
�� H. Gustafson CryptH. Gustafson Crypt--XS Tests: XS Tests:
http://www.sci.qut.edu.au/profiles/gustafson/http://www.sci.qut.edu.au/profiles/gustafson/
�� I. I. VattulainenVattulainen, Ala, Ala--NissilaNissila, , KankaalaKankaala
http://http://www.physics.helsinki.fi/~vattulaiwww.physics.helsinki.fi/~vattulai//
freeware
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2828
DieHardDieHard (by (by MarsagliaMarsaglia))
Frases de Frases de MarsagliaMarsaglia::
�� A RNG A RNG isis muchmuch likelike sex: sex: whenwhen itit isis goodgood itit isis
wonderfulwonderful, , andand whenwhen itit isis badbad itit isis stillstill prettypretty
goodgood..
�� DIEHARD DIEHARD isis a a mixingmixing betweenbetween deterministicdeterministic andand
““physicalphysical”” generators (Johnson Noise or any generators (Johnson Noise or any
other natural phenomena). Why?other natural phenomena). Why?��TheThe p
hysical
physi
caldevices
devices
are
are th
erethere
just
just toto
preven
t
preven
t pred
ictabili
ty
predic
tability
((forfortho
setho
sewh
owh
o feelfeel
badbad).).
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 2929
Trabajos en PRNGTrabajos en PRNG
�� ““Statistical complexity measure of pseudorandom bit Statistical complexity measure of pseudorandom bit
generators.generators.””. C.M.Gonz. C.M.Gonzáález, H.A. Larrondo, O.A.Rosso. lez, H.A. Larrondo, O.A.Rosso.
Physica A 354 (2005) 281Physica A 354 (2005) 281--300.300.
�� ““Intensive Statistical Complexity Measure of Intensive Statistical Complexity Measure of
pseudorandom bit generators.pseudorandom bit generators.”” H.A. Larrondo, H.A. Larrondo,
C.M.GonzC.M.Gonzáález, M.T.Martlez, M.T.Martíín, A. Plastino, O.A.Rosso. n, A. Plastino, O.A.Rosso.
Physica A 356 (2005) 133Physica A 356 (2005) 133––138138
�� ““Random number generators and causalityRandom number generators and causality”” H.AH.A. .
Larrondo, Larrondo, M.TM.T. Mart. Martíín, n, C.MC.M. Gonz. Gonzáález, A. lez, A. PlastinoPlastino andand
O.AO.A. . RossoRosso, , Physics Letters A, Volume 352, Issue 4Physics Letters A, Volume 352, Issue 4--5, 5,
(2006) p. 421(2006) p. 421--425.425.3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3030
Trabajos en PRNGTrabajos en PRNG
�� ““Statistical complexity measure of pseudorandom bit Statistical complexity measure of pseudorandom bit
generators.generators.””. C.M.Gonz. C.M.Gonzáález, H.A. Larrondo, O.A.Rosso. lez, H.A. Larrondo, O.A.Rosso.
Physica A 354 (2005) 281Physica A 354 (2005) 281--300.300.
�� ““Intensive Statistical Complexity Measure of Intensive Statistical Complexity Measure of
pseudorandom bit generators.pseudorandom bit generators.”” H.A. Larrondo, H.A. Larrondo,
C.M.GonzC.M.Gonzáález, M.T.Martlez, M.T.Martíín, A. Plastino, O.A.Rosso. n, A. Plastino, O.A.Rosso.
Physica A 356 (2005) 133Physica A 356 (2005) 133––138138
�� ““Random number generators and causalityRandom number generators and causality”” H.AH.A. .
Larrondo, Larrondo, M.TM.T. Mart. Martíín, n, C.MC.M. Gonz. Gonzáález, A. lez, A. PlastinoPlastino andand
O.AO.A. . RossoRosso, , Physics Letters A, Volume 352, Issue 4Physics Letters A, Volume 352, Issue 4--5, 5,
(2006) p. 421(2006) p. 421--425.425.
6
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Estrategia para Estrategia para ““randomizarrandomizar””
PRNGPRNG
�� SeaSea
La secuencia generada por un mapa caLa secuencia generada por un mapa caóóticotico
{ }ky
( )1k ky M y −=
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3232
Estrategia para Estrategia para ““randomizarrandomizar””
PRNGPRNG
�� DiscretizeDiscretize itit toto N bits (N bits (exampleexample 16 bits) 16 bits)
((symbolicsymbolic dynamicsdynamics))
{ }ky 1− 1+
162 1−0{ }ky�
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3333
Estrategia para Estrategia para ““randomizarrandomizar””
PRNGPRNG
�� DiscardDiscard allall thethe bits bits otherother thanthan thethe lastlast oneone
((thisthis meansmeans symbolicsymbolic dynamicsdynamics ofof parityparity))
162 1−0{ }ky�
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3434
Estrategia para Estrategia para ““randomizarrandomizar””
PRNGPRNG
�� DiscardDiscard allall thethe bits bits otherother thanthan thethe lastlast oneone
((thisthis meansmeans symbolicsymbolic dynamicsdynamics ofof parityparity))
{ } { }0,1,1,0,0,1,0,0,0,...k
z =
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3535
Estrategia para Estrategia para ““randomizarrandomizar””
PRNGPRNG
�� FormForm againagain a Na N--bitbit numbernumber
{ }kx
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3636
Estrategia para Estrategia para ““randomizarrandomizar””
PRNGPRNG
�� TheThe complete complete processprocess isis equivalentequivalent toto
studystudy a particular a particular symbolicsymbolic dynamicsdynamics in a in a
NN--dimdim embeddingembedding spacespace
{ }1 1, ,N
y y x→�
ParityParity sequencesequence
7
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3737
Ahora tenemos una Ahora tenemos una
secuencia con PDF secuencia con PDF
constanteconstante
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3838
PDF de la secuencia LogPDF de la secuencia Logíísticastica
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3939
LogLogíístico stico randomizadorandomizado
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4040
FunciFuncióón n randrand de de MatlabMatlab
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4141
Ahora tenemos una secuencia Ahora tenemos una secuencia
aleatoriaaleatoria
Podemos usarla para obtener la sePodemos usarla para obtener la seññal al
de FMde FM
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4242
PS para la secuencia logPS para la secuencia logíísticastica
PDFPDF
8
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4343
PS para la logPS para la logíística LSBstica LSB
PDFPDF
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4444
PS para funciPS para funcióón n randrand
PDFPDF
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4545
PerronPerron--FrobeniusFrobenius
�� La evoluciLa evolucióón de la PDF de una secuencia n de la PDF de una secuencia generada por un mapa cagenerada por un mapa caóótico tico unidimensional estunidimensional estáá dada por el operador dada por el operador PerronPerron--FrobeniusFrobenius del mapa.del mapa.A. Lasota, M. C. Mackey. “Chaos Fractals and Noise Stochastic Aspects of Dynamics, 2nd Edition, Springer (1994)
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4646
PerronPerron--FrobeniusFrobenius
1 ( )n n n
x x M x+→ =
( )1( ) ( )
n n M nx x P xρ ρ ρ+→ = �
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4747
�� Principales propiedades a evaluar Principales propiedades a evaluar para el caso EMCpara el caso EMC
�� Densidad InvarianteDensidad Invariante
�� τ τ (la constante de tiempo de (la constante de tiempo de mezcla)mezcla)
PerronPerron--FrobeniusFrobenius
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4848
PerronPerron--FrobeniusFrobenius para el mapa para el mapa loglogíísticostico
( )( )
1
1x
x xρ
π=
−
9
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 4949
PerronPerron--FrobeniusFrobenius para el mapa para el mapa loglogíísticostico
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 50500 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
datos
PD
F
iteración= 1
EvoluciEvolucióón temporaln temporal
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 51510 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
datos
PD
F
iteración= 2
EvoluciEvolucióón temporaln temporal
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 52520 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
datos
PD
F
iteración= 3
( )( )
1
1x
x xρ
π=
−
EvoluciEvolucióón temporaln temporal
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 5353
AproximaciAproximacióónn al al operadoroperador PFPF
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 5454
La La matrizmatriz KK
0.5000000000.5
0.5000000000.5
00.50000000.50
00.50000000.50
000.500000.500
000.500000.500
0000.5000.5000
0000.5000.5000
00000.50.50000
00000.50.50000
10
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 5555
MapaMapa loglogíísticostico
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 5656
Autovalores aproximadosAutovalores aproximados
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Logistic Map, div:200, rmix=0.58112
eigenvalue:-0.0053002+0.5811i eigenvalue:-0.0053002+0.5811i
eigenvalue:1+0i
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 5757
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Logistic Map, div:200, rmix=0.58112
eigenvalue:-0.0053002+0.5811i eigenvalue:-0.0053002+0.5811i
eigenvalue:1+0iλλ11=1=1
µ=|λµ=|λιι|=0|=0.58.58
14.22
logτ
µ
−= �
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 5858
RemarksRemarks
�� Un mejor Un mejor mixingmixing corresponde a un menor corresponde a un menor µ.µ.
�� Los Los embeddingsembeddings 2D 2D andand 3D de una secuencia 3D de una secuencia generada por el mapa dan una visigenerada por el mapa dan una visióón n cualitativa del cualitativa del mixingmixing del mapa. del mapa. (Una secuencia (Una secuencia randomrandom perfecta produce cobertura de todos los perfecta produce cobertura de todos los espacios de espacios de embeddingembedding de cualquier dimenside cualquier dimensióón)n)
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 5959
3D 3D randrand
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6060
3D mapa log3D mapa logíístico stico FF
11
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6161
Mejora del Mejora del mixingmixing mediante la tmediante la téécnica de cnica de skippingskipping propuesta por propuesta por CalegariCalegari
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6262
3D mapa log3D mapa logíístico stico FF
1τ
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6363
3D log3D logíístico iterado stico iterado FF22
2 1τ τ≤
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6464
3D log3D logíístico doble iterado stico doble iterado FF44
4 2τ τ≤
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6565
3D Log3D Logíístico stico FF88
lim 0n
nτ
→∞→
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6666
Conclusiones acerca del Conclusiones acerca del skippingskipping
�� SkippingSkipping cambia el valor de cambia el valor de τ.τ.
�� SkippingSkipping no cambia la PDF del mapa.no cambia la PDF del mapa.
Para EMC s
Para EMC sóólo sirve para mapas
lo sirve para mapas
con PDF constante
con PDF constante
12
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6767
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
div
r mix
puro
M2
M3
M4
M5
M6
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6868
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
iterado
rmix
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6969 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7070
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7171
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8
i t er ado
drmix/ dn
( 1- H) / C ( D =4 )
( 1- H) / C ( D =5)
( 1- H) / C ( D =6 )
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7272
ConjeturaConjetura
�� H H eses funcifuncióónn de la de la densidaddensidad invarianteinvariante..
�� (1(1--H)/C H)/C dada la la velocidadvelocidad de de variacivariacióónn de la de la
constanteconstante de mixing de mixing rrmixmix con el skipping.con el skipping.
13
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7373
Conclusiones y trabajo en Conclusiones y trabajo en
realizacirealizacióónn
�� ConclusionesConclusiones�� El mEl méétodo de todo de randomizacirandomizacióónn LSB funcionaLSB funciona
�� Se lo puede usar para cualquier mapa caSe lo puede usar para cualquier mapa caóótico. tico.
�� Es mEs máás general que el s general que el skippingskipping propuesto por propuesto por CalegariCalegari et et alsals..
�� El El skippingskipping es una tes una téécnica vcnica váálida si la lida si la pdfpdf es la deseadaes la deseada
�� (1(1--H)/(CH)/(C--0) tiene igual comportamiento que 0) tiene igual comportamiento que ddrrmixmix//ddnn
�� (1(1--H)/(CH)/(C--0) da un criterio de hasta qu0) da un criterio de hasta quéé iteraciiteracióón conviene seguirn conviene seguir
�� En realizaciEn realizacióónn�� Estudio sistemEstudio sistemáático de otras dintico de otras dináámicas simbmicas simbóólicas ademlicas ademáás de s de
LSB.LSB.
�� AnAnáálisis de lisis de PerronPerron--FrobeniusFrobenius para diversos mapas.para diversos mapas.
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7474
GRACIAS !GRACIAS !
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7575
Bonus packBonus pack
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7676
Generador CaGenerador Caóóticotico
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7777
Mejoras
Perturbación
LSB
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7878
( )
( )13440
1282568
232
201601282568
264
,88
1
1
1
+
+
+−
+−
−=
−
−
+
++
−=
−
+=
+
+
+
nnnn
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nn
Yfloor
Xfloor
YXfloor
YXfloor
ZfloorZZ
Zfloor
Xfloor
Zfloor
ZfloorX
YfloorYY
Xfloor
YfloorXX
;512;40;2;24;8;64/1 ====Γ== SBbk δ
14
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7979
11.5
22.5
33.5
x 104
0
1
2
3
4
x 104
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x 104
Xn
Yn
Zn
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8080
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8181 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8282
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8383
La complejidad MPR es muy sensible para detectar la mejora
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8484
15
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8585 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8686
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8787 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8888Larrondo 2004
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8989Larrondo 2004
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9090
CaracterizaciCaracterizacióón de n de prngprng
Larrondo et al., 2005 y 2006
16
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9191 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9292
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9393
ColpittsColpitts allall
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9494
ColpittsColpitts msbmsb
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9595
ColpittsColpitts lsblsb
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9696
PRNG lineales por tramosPRNG lineales por tramos
�� Se utilizan en Se utilizan en comunciacionescomunciaciones de espectro de espectro esparcidoesparcido
�� Presentan estructuras geomPresentan estructuras geoméétricastricas
17
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9797 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9898
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 9999 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 100100
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 101101 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 102102
18
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 103103 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 104104
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 105105 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 106106
3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 107107