Sistemas de Control

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Características de sistemas de control:Estabilidad y Error en estado estacionario

4.1 Introducción

En el capítulo 1 se explicó que existen tres requerimientos en el diseño de un sistema de control: respuesta

transitoria, estabilidad y errores en estado estable. Hasta este punto hemos visto la respuesta transitoria,

que volveremos a ver más adelante. Estamos listos para estudiar el siguiente requerimiento: la estabilidad.

La estabilidad es la especificación más importante de un sistema. Si un sistema es inestable, la respuesta

transitoria y los e errores en estado estale son puntos debatibles. No se puede diseñar un sistema inestable

para un requerimiento específico de respuesta transitoria o de error en estado estable. En esta sección nos

limitaremos a los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Vimos que es posible controlar la salida de

un sistema se la respuesta en estado estable consta de solo la respuesta forzada. Pero la respuesta total de

un sistema es la suma de las respuestas libres y forzada, ósea

() = () + () (4.1)

Con el uso de estos conceptos, presentamos las siguientes definiciones de estabilidad, inestabilidad y esta-

bilidad marginal:

-Un sistema lineal e invariante con el tiempo es estable si la respuesta libre tiende a cero conforme el

tiempo tiende al infinito.

-Un sistema lineal e invariante con el tiempo es inestable si la respuesta libre cree sin límite conforme el

tiempo tiende al infinito.

-Un sistema lineal e invariante con el tiempo es marginalmente estable si la respuesta libre no decae ni

crece, sino que permanece constante o varia a medida que el tiempo tiende al infinito.

Entonces, la definición de estabilidad implica que solo la respuesta forzada permanece a medida que la

respuesta libre tiene a cero. Nuestra definición alterna de estabilidad aquella que considera la respuesta total

e implica la primera definición basada en la respuesta libre, es la siguiente:

-Un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada.

A este enunciado se le da el nombre de definición de estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO

siglas en ingles de bounded-input, bounded-output). Nuestra definición alterna de inestabilidad, aquella que

considera la respuesta total, es la siguiente: Un sistema es inestable si cualquier entrada acotada produce

una salida no acotada. Reduzcamos nuestras definiciones de estabilidad para sistemas lineales e invariantes

con el tiempo. Al usar la respuesta libre:

1. Un sistema es estable si la respuesta libre tiende a cero, a medida que el tiempo tiende al infinito

2. Un sistema es inestable si la respuesta libre tiene al infinito, a medida que el tiempo tiende al

infinito.

3. Un sistema es marginalmente estable si la respuesta libre ni decae ni crece, sino que permanece

constante u oscila.

Al usar la respuesta total (BIBO):

96 CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS DE CONTROL . . .

1. Un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada.

2. Un sistema es inestable si cualquier entrada acotada produce una salida no acotada.

Enfoquemos nuestra atención en las definiciones de estabilidad de respuesta libre. Recordemos, de nuestro

estudio de los polos de sistema, que los polos en el semiplano izquierdo. Estas respuestas libres decaen a cerro

a medida que el tiempo tiende al infinito. Así, los polos de un sistema en lazo cerrado están en el semiplano

izquierdo del plano s y, por lo tanto, tienen una parte real negativa, el sistema es estable. Es decir, los sistemas

estables tienen funciones de transferencia en lazo cerrado con polos solo en el semiplano izquierdo. Los polos

del semiplano derecho producen respuestas libres senoidales exponencialmente crecientes. Estas respuestas

libres tienden al infinito a medida que el tiempo tiende al infinito. Por lo tanto, si los polos del sistema en lazo

cerrado están en el semiplano derecho del plano s y, en consecuencia, tienen una parte real positiva, el sistema

es inestable. Del mismo modo, los polos de multiplicidad mayor que uno sobre el eje imaginario llevan a la

suma de respuesta de la forma cos(+ ), donde n=1,2,. . . , que también tiende al infinito conforme el

tiempo tiende al infinito. Por lo tanto, los sistemas inestables tienen funciones de transferencia en lazo cerrado

con al menos un polo en el semiplano derecho, polos de multiplicidad mayores que uno sobre el eje imaginario

o ambos. Finalmente, un sistema que tiene polos de eje imaginarios de multiplicidad 1, producen oscilaciones

senoidales como respuesta libre. Estas respuestas ni aumentan ni disminuyen en amplitud. Por lo tanto, los

sistemas marginalmente estables tienen funciones de transferencia en lazo cerrado con sólo polos sobre el eje

imaginarios de multiplicidad 1 y polos en el semiplano izquierdo. Como ejemplo, se compara la respuesta a

escalón unitario del sistema estable de la figura 4.1(a) con la del sistema inestable de la figura 4.1(b). Las

respuestas, que también se ilustran en la figura 4.1, muestran que mientras las oscilaciones para el sistema

estable disminuyen, las del sistema inestable aumentan sin límite. También nótese que la respuesta de un

sistema estable en este caso tiende a un valor de estado estable de la unidad. No siempre es fácil determinar si

un sistema de control realimentado es estable. Desafortunadamente, en la figura 4.2 se muestra un problema

típico que aparece. Aun cuando conocemos los polos de la función de transferencia directa en la figura

4.2(a), desconocemos la ubicación de los polos del sistema equivalente en lazo cerrado de la figura 4.2(b) sin

factorizar o despejar de otro modo las raíces. A pesar de todo, bajo ciertas condiciones, podemos sacar algunas

conclusiones acerca de la estabilidad del sistema. Primero, si la función de transferencia en lazo cerrado tiene

solo polos en el semiplano izquierdo, entonces los factores del denominador de la función de transferencia

del sistema de lazo cerrado están formados por productos de términos como son, por ejemplo, (s+ai), donde

ai es real y positiva, o compleja con una parte real positiva. El producto de estos términos es un polinomio

con todos sus coeficientes positivos. Ningún término del polinomio puede faltar, puesto que eso implicaría

cancelación entre los coeficientes positivos y negativos o raíces imaginarias del eje en los factores, que no es

el caso. Entonces una condición suficiente para que un sistema sea inestable es que todos los signos de los

coeficientes del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado no sean iguales. Si faltan potencias

de s, el sistema es ya sea inestable o, en el mejor de los casos, marginalmente estable. Desafortunadamente, si

todos los coeficientes del denominador son positivos y no faltan, no tenemos información definitiva acerca de

las ubicaciones de los polos del sistema.

Si el método descrito en el párrafo inmediato anterior no es suficiente, entonces se puede usar una com-

putadora para determinar la estabilidad si cuando se calculan las ubicaciones de las raíces del polinomio del

denominador de la función de transferencia en lazo cerrado. Hoy en día, incluso con calculadoras de mano

se pueden evaluar las raíces de un polinomio, pero hay otro metodo para probar la estabilidad sin tener que

determinar las raíces del denominador. En la siguiente sección estudiaremos este método.

CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS DE CONTROL . . . 97

FIGURE 4.1. Polos y respuestas en lazo cerrado: b) sistema inestable

4.2 Error en estado estable

Definición y entrada de prueba. El error en estado estable es la diferencia entre la entrada y la salida

para una entrada de prueba prescrita conforme t- ∞. Se resumen las entradas de prueba empleadas parael análisis y diseño del error en estado estable en la tabla de la figura 4.3

Las entradas rampa representan entradas de velocidad constante a un sistema de control de posición

por su amplitud linealmente creciente. Las parábolas, cuyas segundas derivadas son constantes, representan

entradas de aceleración constante a sistemas de control de posición y se pueden usar para representar blancos

que aceleran para determinar el desempeño del error en estado estable.

Aplicación a sistemas estables. Nuestro análisis se limita a sistemas estables, donde la respuesta libre

se aproxima a cero a medida que t−→ ∞∞. Los sistemas inestables representan la pérdida de control enestado estable y no deben usarse en absoluto. Las expresiones que deducimos para calcular el error en estado

estable se pueden aplicar erróneamente a un sistema inestable. Por lo tanto, el ingeniero debe verificar la

estabilidad del sistema cuando realice el análisis y diseño del error en estado estable. Sin embargo, para

concentrarnos en el tema, suponemos que todos los sistemas en los ejemplos y problemas de este capítulo

son estables. Como practica, el estudiante puede probar la estabilidad de algunos de los sistemas.

Evaluación de los errores en estado estable. Examinemos el concepto de errores en estado estable. En

la figura 4.4(a) se ilustran una entrada escalón y dos posibles salidas. La salida 1 tiene un error en estado

estable cero, y la salida 2, un error en estado estable finito, 2(∞). En la figura 4.4(b) se ilustra un ejemplo


FIGURE 4.2. Causa común de los problemas para hallar polos en lazo cerrado: a) sistema original; b) sistema

equivalente

semejante, donde una entrada rampa se compara con la salida 1, que tiene un error en estado estable cero,

y la salida 2, un error en estado estable finito, 2(∞), medidos verticalmente entre la entrada y la salida 2después que los transitorios se han extinguido gradualmente. Para la entrada rampa existe otra posibilidad.

Si la pendiente de salida es diferente de la de la entrada, resulta la salida 3 que se muestra en la figura 4.4(b).

Aquí el error en estado estable es infinito si se mide verticalmente entre la entrada y la salida 3 después que los

transitorios se han extinguido gradualmente y t tiende al infinito. Veamos ahora al error desde la perspectiva

del diagrama de bloques más general. Puesto que el error es la diferencia entre la entrada y la salida de un

sistema, suponemos una función de transferencia en lazo cerrado, T(s), y formamos el error, E(s), al tomar

la diferencia entre la entrada y la salida, como se ve en la figura 4.5(a). Aquí estamos interesados en el valor

de estado estable, o final, de e (t). Para sistemas con realimentación unitaria, E(s) aparece como se ve en la

figura 4.5(b). En este capítulo estudiamos primero y deducimos expresiones para el error en estado estable

para sistemas con realimentación unitaria y luego expandimos a sistemas con realimentación no unitaria.

Antes de empezar nuestro estudio de errores en estado estable para sistemas con realimentación unitaria,

veamos las fuentes de errores con los que trabajaremos.

Fuentes del error en estado estable. Aparecen innumerables errores en estado estable en sistemas de

control de fuentes no lineales; por ejemplo, el juego en engranes o un motor que no se moverá, a menos

que el voltaje de entrada rebase un umbral. El comportamiento no lineal como fuente de errores en estado

estable, aun cuando es un tema viable de estudio, esta fuera del alcance un libro sobre sistemas lineales de

control. Los errores en estado estable que estudiamos aquí son errores que aparecen desde la configuración

del sistema en sí y el tipo de entrada aplicada.

Por ejemplo, veamos al sistema de la figura 4.6(a), donde R(s) es la entrada; C(s), la salida, y () =

()− (), el error. Consideremos una entrada escalón. En el estado estable, si c (t) es igual a r (t), e (t)

será cero, pero, con una ganancia pura, K, el error, e (t), no puede ser cero si c (t), no puede ser cero si c (t)

debe ser finito y diferente de cero. Por lo tanto, por virtud de la configuración del sistema (una ganancia pura

de K en la trayectoria directa), debe existir un error. Si llamamos al valor en estado estable de


FIGURE 4.3. Formas de onda de prueba para evaluar errores en estado estable de sistemas de control de posición [4]

la salida, y al valor en estado estable del error, entonces = , ósea

=1

(4.2)

En esta forma, cuanto mayor sea el valor de K, menor tendría que ser el valor de para obtener

un valor similar de . La conclusión que podemos sacar es que con una ganancia pura en la

trayectoria directa, siempre habrá un error en estado estable para una entrada escalón. Este error se reduce

conforme aumenta el valor de K. Si la ganancia de trayectoria directa se sustituye por un integrador, como se

muestra en la figura 4.6(b), habrá un error en estado estable cero para una entrada escalón. El razonamiento

es como sigue: a medida que c (t) aumenta, e (t) disminuirá, puesto que () = ()− (). Esta disminución

continuara hasta que haya un error cero, pero todavía habrá un valor para c (t), puesto que un integrador

puede tener una salida constante sin ninguna entrada.

4.2.1 Error en estado estable para sistemas de control con realimentación unitaria

Un error en estado estable se puede calcular a partir de una función de transferencia en lazo cerrado de

un sistema, T(s), o de la función de transferencia en lazo abierto, G(s), para sistemas con realimentación

unitaria. A continuación, discernimos los factores que afectan un error en estado estable al usar la función

de transferencia en lazo abierto, G(s), en sistemas con realimentación unitaria para nuestros cálculos.


FIGURE 4.4. Error en estado estable: a) entrada escalón, b) entrada rampa

FIGURE 4.5. Error en un sistema de control en lazo cerrado

Error en estado estable en términos de T(s). Considere la figura 4.5(a). Para hallar E(s), el error

entre la entrada, R(s), y la salida, C(s), escribimos

() = ()− () (4.3)

Pero,

() = () () (4.4)

Al sustituir la ecuación (44) en la (43), al simplificar y despejar E(s) resulta

() = ()[1− ()] (4.5)

Aun cuando la ecuación (45) nos permite despejar e (t) en cualquier tiempo, estamos interesados en el

valor final del error, (∞). Al aplicar el teorema del valor final, que nos permite usar el valor final de e(t)


FIGURE 4.6. sistema con: a) error en estado estable finito para una entrada escalón; b) error en estado estable cero

para entrada escalón.

sin tomar la transformada inversa de Laplace de E(s), y luego haciendo que t tienda al infinito, obtenemos

(∞) = lim−→∞

() = lim−→0

() (4.6)

Al sustituir la ecuación (45) en la (46), resulta

(∞) = lim−→∞

()[1− ()] (4.7)

Ejemplo 4.1 Error en estado estable en términos de T(s). Problema Encuentre el error en estado

estable para el sistema de la figura 4.5(a) si () = 5(2 + 7+ 10) y la entrada es un escalón unitario.

Solución Del enunciado del problema,() = 1 y () = 5(2 + 7 + 10) Al sustituir en la ecuación

(45), resulta

() =2 + 7+ 5

(2 + 7+ 10)(4.8)

Puesto que T(s) es estable, y subsecuentemente, E(s) no tiene polos en el semiplano derecho ni polos sobre

el eje ni en el origen, podemos aplicar el teorema del valor final. Al sustituir la ecuación (48) en la

ecuación (47) resulta (∞) = 12.Error en estado estable en términos de G(s). En numerosas ocasiones tenemos el sistema configurado

como un sistema con realimentación unitaria con una función de transferencia en la trayectoria directa, G(s).

Aun cuando podemos hallar la función de transferencia en lazo cerrado, T(s), y luego proseguir como en

la subsección previa, encontramos más conocimiento para el análisis y diseño al expresar el error en estado

estable en términos de G(s) en lugar de T(s). Considere el sistema de control realimentado que se ilustra en

la figura 4.5(b). Como la realimentación, H(s), es igual a 1, el sistema tiene realimentación unitaria. Esto

implica que E(s) es, en realidad, el error entre la entrada,R(s), y la salida, C(s). Entonces, si despejamos

E(s), tendremos una expresión para el error. Entonces aplicaremos el teorema del valor final, renglón 11 de la

tabla de la figura 2.1, para evaluar el error en estado estable. Al escribir E(s) de la figura 4.5 (b), obtenemos

() = ()− () (4.9)

Pero

() = ()() (4.10)

Por último, al sustituir la ecuación 4.10 en la 4.9 y al despejar E(s) resulta

() =()

1 +()(4.11)


A continuación aplicamos el teorema del valor final, ecuación (46). En ese punto en un cálculo numérico,

debemos asegurarnos que el sistema en lazo cerrado sea estable, al usar, el criterio de Routh-Hurwitz. Por

ahora, sin embargo, suponemos que el sistema en lazo cerrado es estable y sustituimos la ecuación (411) en

la (46), obteniendo

(∞) = lim−→0

()

1 +()(4.12)

La ecuación (412) nos permite calcular el error en estado estable, (∞), dada la entrada, R(s), y el sistema,G(s) y luego sacar conclusiones acerca de las relaciones que existen entre el sistema en lazo abierto, G(s), y

la naturaleza del error en estado estable, (∞). Las tres señales de prueba que empleamos para establecerlas especificaciones para las características de error en estado estable de un sistema de control se ilustran en

la tabla de la figura 4.3. Tomemos cada entrada y evaluemos su efecto sobre el error en estado estable, al

usar para esto la ecuación (412).

Entrada escalón Al usar la ecuación (412) con R(s)=1/s, hallamos

(∞) = (∞) = lim−→0

(1)

1 +()=

1

1 + lim−→0

()(4.13)

El término

lim−→0

()

Es la ganancia de cd de la función de transferencia de la trayectoria directa, puesto que s, la variable de

frecuencia, tiende a cero. Para tener un error en estado estable cero

lim−→0

() =∞ (4.14)

Por lo tanto, para satisfacer la ecuación (414), G(s) debe tomar la siguiente forma:

() =(+ )(+ 2)

(+ 1)(+ 2)(4.15)

Y para que el límite sea infinito, el denominador debe ser igual a cero a medida que s se vaya a cero.

Entonces, ≥ 1; esto es, por lo menos un polo debe estar en el origen. Como la división entre s en el dominiode la frecuencia es integración en el dominio del tiempo (vea la tabla de la figura 2.1, renglón 10), también

estamos diciendo que por lo menos una integración pura debe estar presente en la trayectoria directa. La

respuesta en estado estable para este caso de error en estado estable cero es semejante a la que se muestra

en la figura 4.4(a), salida 1. Si no hay integraciones, entonces n=0. Al usar la ecuación (415), tenemos

lim−→0

() =12

12(4.16)

Que es finita y produce un error finito a partir de las ecuaciones (413). La figura 4.4 (a), salida 2, es

un ejemplo de este caso de error en estado estable infinito. A continuación repetimos el desarrollo para una

entrada en rampa.

Entrada en rampa Al usar la ecuación (412), con () = 12, obtenemos

(∞) = (∞) = lim−→0

(12)

1 +()= lim

−→01

+ ()=

1

lim−→0

()(4.17)


Para tener error en estado estable cero para una entrada en rampa, debemos tener

lim−→0

() =∞ (4.18)

Para satisfacer la ecuación (418), G(s) debe tomar la misma forma que la ecuación (415), excepto que

≥ 2.En otras palabras, debe haber por lo menos dos integraciones en la trayectoria directa. Un ejemplo deerror en estado estable cero para una entrada de rampa se ilustra en la figura 4.4(b), salida 1. Si existe solo

una integración en la trayectoria directa, entonces, suponiendo la ecuación (415),

lim−→0

() =12

12(4.19)

que es finita en lugar de infinita. Al usar la ecuación (417), encontramos que esta configuración lleva a un

error constante, como se ilustra en la figura 4.4 (b), salida 2. Si no hay integraciones en la trayectoria directa,

entonces

lim−→0

() = 0 (4.20)

Y el error en estado estable seria infinito y lleva a rampas divergentes, como se ve en la figura 4.4(b),

salida 3. Por último, repetimos el desarrollo para una entrada parabólica.

Entrada parabólica. Al usar la ecuación (412), con () = 13, obtenemos

(∞) = (∞) = lim−→0

(13)

1 +()= lim

−→01

2 + 2()=

1

lim−→0 2()(4.21)

Para tener error en estado estable cero para una entrada parabólica, debemos tener

lim−→0

2() =∞ (4.22)

Para satisfacer la ecuación (422), G(s) debe tomar la misma forma que la ecuación (415), excepto que

n≥3. En otras palabras, debe haber por lo menos tres integraciones en la trayectoria directa. Si solo hay dosintegraciones en la trayectoria directa, entonces

lim−→0

2() =12

12(4.23)

es finito en lugar de infinito. Al usar la ecuación (421) encontraremos que esta configuración lleva a un error

constante. Si en la trayectoria directa hay solo una integración, o menos, entonces

lim−→0

2() = 0 (4.24)

Y el error en estado estable es infinito.

Ejemplo 4.2 Errores en estado estable sin integraciones. Problema Encuentre los errores en estado

estable para entradas de 5(),5() y 52() al sistema que se muestra en la figura 4.7. La función u(t) es el

escalón unitario.Solución Primero, verificamos que el sistema en lazo cerrado sea en realidad estable. Para

este ejemplo, omitimos los detalles. A continuación, para la entrada 5(), cuya transformada de Laplace es

5/s, el error en estado estable será cinco veces mayor que el dado por la ecuación (413) , o sea

(∞) = (∞) = 5

1 + lim−→0()=

5

1 + 20=5

21(4.25)


FIGURE 4.7. sistema de control realimentado para el ejemplo 4.2. [4]

que implica una respuesta semejante a la salida 2 de la figura 4.4(a). Para la entrada 5()cuya trans-

formada de Laplace es 52, el error en estado estable será cinco veces mayor que el dado por la ecuación

(417), o sea

(∞) = (∞) =5

lim−→0 ()=5

0=∞ (4.26)

Que implica una respuesta semejante a la salida 3 de la salida 4.4(b). Para la entrada 52(), cuya

transformada de Laplace es 103, el error en estado estable será 10 veces mayor que el dado por la ecuación

(421), o sea

(∞) = (∞) = 10

lim−→0 2()=10

0=∞ (4.27)

4.2.2 Constantes de error estático y tipo de sistema

Continuamos nuestro enfoque sobre sistemas con realimentación negativa unitaria y definimos parámetros

que podemos usar como especificaciones de operación de error en estado estable, igual que como definimos

cociente de amortiguamiento, frecuencia natural no amortiguada, tiempo de asentamiento, sobrepaso en

porcentaje, etc., como especificaciones de desempeño para la respuesta transitoria. Estas especificaciones de

desempeño del error en estado estable se llaman constantes de error estático.

4.2.3 Constantes de error estático

En la sección previa dedujimos las siguientes relaciones para error en estado estable. Para una entrada en

escalón, u(t),

(∞) = (∞) = 1

1 + lim−→0()(4.28)

Para una entrada en rampa,(),

(∞) = (∞) = 1

lim−→0 ()(4.29)

Para una entrada parabólica, 122(),

(∞) = (∞) = 1

lim−→0 2()(4.30)


Los tres términos del denominador que se llevan al límite determinan el error en estado estable. A estos

límites los llamamos constantes de error estático. En forma individual, sus nombres son los siguientes:

Constante de posición, K , donde

= lim−→0

() (4.31)

Constante de velocidad, K , donde

= lim−→0

() (4.32)

Constante de aceleración, K donde

= lim−→0

2() (4.33)

Como hemos visto, estas cantidades, dependiendo de la forma de G(s), pueden tomar valores de cero,

constante finita o infinita. Puesto que la constante de error estático aparece en el denominador del error en

estado estable, ecuaciones de la (428) a la (430), el valor en estado estable disminuye a medida que aumenta

la constante de error estático.

4.2.4 Tipo de sistema

Prosigamos para concentrarnos en un sistema con realimentación negativa unitaria. Los valores de las con-

stantes de error estático, de nuevo, dependen de la forma de G(s), en especial del número de integraciones

puras de la trayectoria directa. Puesto que los errores de estado estable dependen del número de integraciones

de la trayectoria directa, damos un nombre a este atributo del sistema. Dado el sistema de la figura 4.8,

definimos el

FIGURE 4.8. Sistema de control realimentado para definir el tipo de sistema

Tipo de sistema como el valor de n en el denominador, o bien, lo que es equivalente, el numero de

integraciones puras de la trayectoria directa. Por lo tanto, un sistema con n=0 es un sistema tipo 0. Si

n=1 o n=2, el sistema correspondiente es un sistema tipo 1 o tipo 2, respectivamente. La tabla de la figura

4.9 enlaza los conceptos de error en estado estable, constante de error estático y tipo de sistema. La tabla

muestra las constantes de error estático y los errores en estado estable como funciones de la onda de entrada

y tipo de sistema.

4.2.5 Especificaciones del error en estado estable

Las constantes de error estático se pueden usar para especificar las características de error en estado estable

de sistemas de control Así como el cociente de amortiguamiento, , tiempo de asentamiento, Ts, tiempo


FIGURE 4.9. Relaciones entre entrada, tipo de sistema, constantes de error estático y errores en estado estable

pico, Tp, y sobrepaso en porcentaje, %OS, se usan como especificaciones para la respuesta transitoria de un

sistema de control; así, la constante de posición, Kp, constante de velocidad, Kv, y constante de aceleración,

Ka, se pueden usar como especificaciones para los errores en estado estable de un sistema de control. Pronto

veremos que gran cantidad de información está contenida dentro de la especificación de una constante de

error estático. Por ejemplo, si un sistema de control tiene la especificación Kv=1000, podemos sacar varias

conclusiones:

1. El sistema es estable.

2. El sistema es del tipo 1, puesto que los sistemas de tipo 1 tienen las Kv que son constantes finitas.

Recuérdese que Kv=0 para sistemas tipo 0, mientras que =∞ para sistemas tipo 2.

3. Una entrada rampa es la señal de prueba. Puesto que Kv esta especificada como constante finita,

y el error en estado estable para una entrada rampa es inversamente proporcional a Kv, sabemos que la

entrada de prueba es una rampa.

4. El error en estado estable entre la rampa de entrada y la rampa de salida es 1/Kv, por unidad de

pendiente de entrada

Veamos dos ejemplos que demuestran un análisis y diseño que usa constantes de error estático.

Ejemplo 4.3.

Interpretación de la especificación de error en estado estable. Problema ¿Qué información está

contenida en la especificación Kp=1000?

Solución El sistema es estable. El sistema es tipo 0, puesto que solo un sistema de tipo 0 tiene una Kp

finita. Los sistemas de tipo 1 y tipo 2 tienen =∞. La señal de prueba de entrada es un escalón, puestoque Kp está especificada. Por último, el error por escalón unitario es

(∞) = 1

+

=1

1 + 1000=

1

1001(4.34)


4.2.6 Error en estado estable para perturbaciones

Los sistemas de control realimentado se emplean para compensar perturbaciones o entradas no deseadas que

ingresan a un sistema. La ventaja de usar realimentación es que, cualesquiera que sean estas perturbaciones,

el sistema se puede diseñar para seguir la entrada con un error pequeño o error cero, como lo demostramos

a continuación. La figura 4.10 muestra un sistema de control de realimentación con una perturbación, D(s),

inyectada entre el controlador y la planta. A continuación volvemos a deducir la expresión para error en

estado estable con la perturbación incluida. La transformada de la entrada está dada por

() = ()1()2() +()2() (4.35)

Pero

() = ()−() (4.36)

Al sustituir la ecuación (436) en la (435) y al despejar E(s), obtenemos

() =1

1 +1()2()()− 2()

1 +1()2()() (4.37)

donde podemos considerar 1/[1+G1(s)G2(s)]como una función de transferencia que relaciona E(s) con R(s)

y —G2(s)/[1+G1(s)G2(s)] como función de transferencia que relaciona E(s) con D(s).

FIGURE 4.10. sistema de control realimentado mostrando una perturbación

Para hallar el valor del error en estado estable, aplicamos el teorema del valor final al la ecuación (437)

y obtenemos

(∞) = lim−→0

() = lim−→0

1 +1()2()()− lim

−→02()

1 +1()2()() (4.38)

Donde

(∞) = lim−→0

1 +1()2()()

Y

(∞) = − lim−→0

2()

1 +1()2()()

El primer término,(∞), es el error en estado estable debido a R(s), que ya hemos obtenido. El segundotérmino, (∞), es el error en estado estable debido a la perturbación. En este punto debemos hacer algu-nas suposiciones acerca de D(s), el controlador y la planta. Primero, suponemos una perturbación escalón,


D(s)=1/s. Al sustituir este calor en el segundo término, (∞), de la ecuación (438), el componente deerror en estado estable debido a una perturbación escalón se encuentra que es

(∞) = − 1

lim−→0 12()

+ lim−→01()(4.39)

Esta ecuación muestra que el error en estado estable producido por una perturbación escalón se puede

reducir si se aumenta la ganancia de cd de G1(s) o se reduce la ganancia de cd de G2(s). Este concepto se

ilustra en la figura 4.11, donde el sistema de la figura 4.10 se ha reacomodado de modo que la perturbación,

D(s), se describe como la entrada y el error,

FIGURE 4.11. Sistema reacomodado para mostrar una perturbación como entrada y un error como salida, con

R(s)=0.

E(s), como la entrada, con R(s) igualado a cero. Si buscamos minimizar el valor de E(s) en estado estable,

que se ilustra como la salida en la figura 4.11, debemos ya sea aumentar la ganancia en cd de G1(s) para que

el valor inferior de E(s) se realimente, para igualar al valor de D(s) en estado estable, o reducir el valor de

cd de G2(s), que entonces produce un valor menor que (∞) como lo predice la formula de realimentación.Veamos un ejemplo y calculemos el valor numérico del erro en estado estable que resulta por una pertur-

bación.

Ejemplo 4.4 Error en estado estable debido a una perturbación escalón. Problema Encuentre el

componente de error en estado estable debido a una perturbación de escalón para el sistema de la figura 4.12

Solución El sistema es estable. Usando la figura 4.11 y la ecuación (439), encontramos

(∞) = − 1

lim−→0 12()

+ lim−→01()= − 1

0 + 1000= − 1

1000(4.40)

El resultado muestra que el error en estado estable producido por la perturbación de escalón es inversamente

proporcional a la ganancia de cd de G1(s). La ganancia de cd de G2(s) es infinita en este ejemplo.


FIGURE 4.12. Sistema de control realimentado para el ejemplo 4.4 [4]

4.2.7 Error en estado estable para sistemas con realimentación no unitaria

La trayectoria de realimentación puede ser una ganancia pura diferente a la unidad o tener alguna repre-

sentación dinámica. En la figura 4.13(a) se ilustra un sistema general realimentado que muestra el transductor

de entrada, G1(s), controlador y planta, G2(s), y realimentación, H1(s). si se empuja el transductor de la

entrada a la derecha más allá del punto suma, resulta el sistema general con realimentación no unitaria

que se ve en la figura 4.13(b), donde G(s)=G1(s)G2(s) y H(s)=H1(s)/G1(s). Nótese que, a diferencia de un

sistema con realimentación unitaria, donde H(s)=1, el error no es la diferencia entre la entrada y la salida.

Para este caso, la señal de salida del punto suma se llama señal de actuación, ().Si r(t) y c(t) tienen las

mismas unidades, podemos hallar el error en estado estable, (∞) = (∞)−(∞). El primer paso es mostrarexplícitamente E(s)=R(s)-C(s) en el diagrama de bloques.

Error en el lazo de control

Tomamos el sistema de control con realimentación no unitaria que se muestra en la figura 4.13(b), y

formemos un sistema con realimentación unitaria al sumar y restar trayectorias de realimentación unitaria,

como se muestran en la figura 4.13(c). Este paso exige que las unidades de entrada y salida sean las mismas.

A continuación, combinamos H(s) con la realimentación negativa unitaria, como se muestra en la figura

4.13(d). Finalmente, combinamos el sistema con realimentación formado por G(s) y [H(s) -1], dejando una

trayectoria directa equivalente y una realimentación unitaria, como se ve en la figura 4.13(e ). Nótese que la

figura final muestra E(s)=R(s) — C(s) explícitamente.

4.2.8 Sensibilidad

El grado al que cambios en parámetros de sistema afecten funciones de transferencia de sistema, y por lo tanto

el desempeño, se llama sensibilidad. Un sistema con sensibilidad cero(es decir, cambios en los parámetros

del sistema no tienen efecto en la función de transferencia) es ideal. Cuanto mayor sea la sensibilidad, menos


FIGURE 4.13. Formación de un sistema equivalente con realimentación unitaria a partir de un sistema con reali-

mentación no unitaria. [4]

deseable es el efecto de un cambio en parámetros. Por ejemplo, supóngase que la función F=K/(K+a). si

K= 10 y a= 100. Entonces F=0.091. Si el parámetro a se triplica a 300, entonces F=0.032. Vemos que

un cambio fraccionario en el parámetro a de (300-100)/100=2 (es decir, un cambio de 200%), produce un

cambio en la función F de (0.032-0.091)/0.091=0.65 (es decir, -65% de cambio). Por lo tanto, la función F

ha reducido la sensibilidad a cambios en el parámetro a. Conforme avancemos, veremos que otra ventaja de

la realimentación es que, en general, produce una sensibilidad reducida a cambios en los parámetros. Con

base en el análisis previo, formalicemos una definición de sensibilidad: sensibilidad es el cociente entre el

cambio fraccionario de la función y el cambio fraccionario del parámetro cuando el cambio fraccionario del

parámetro se aproxima a cero. Esto es,

: = lim∆−→0

=

= lim∆−→0

∆

∆

= lim∆−→0

∆

∆


que se reduce a

: =

(4.41)

Apliquemos ahora la definición, primero a una función de transferencia en lazo cerrado y luego al error en

estado estable.

Ejemplo 4.5 Sensibilidad de una función de transferencia en lazo cerrado. Problema Dado el

sistema de la figura , calcule la sensibilidad de la función de transferencia en lazo cerrado a cambios en el

parámetro a. ¿Cómo se reduciría la sensibilidad?

FIGURE 4.14. sistema de control realimentado para el ejemplo 4.5 [4]

Solución La función de transferencia en lazo cerrado es

() =

2 + +(4.42)

Al usar la ecuación (441), la sensibilidad está dada por

: =

=

( 2++

)(

−

(2 + +)2) =

−2 + +

(4.43)

Que es, en parte, una función del valor de s. Para cualquier valor de s, sin embargo, un aumento en K

reduce la sensibilidad de la función de transferencia en lazo cerrado a cambios en el parámetro a.

Ejemplo 4.6 Sensibilidad del error en estado estable con entrada rampa

Problema Para el sistema de la figura 4.14, encuentre la sensibilidad del error en estado estable a cambios

en el parámetro K y parámetros a con entradas de rampa.

Solución El error en estado estable para el sistema es

(∞) = 1

=

(4.44)

La sensibilidad de (∞) a cambios en el parámetro a es

: =

=

[1

] = 1 (4.45)

La sensibilidad de e(∞) a cambios en el parámetro K es

: =

=

[−2] = 1 (4.46)


Entonces, cambios ya sea en el parámetro a o en el parámetro K se reflejan directamente en (∞), y no hayreducción ni aumento en la sensibilidad. El signo negativo de la ecuación (446) indica un decremento en

(∞) para un aumento en K. Estos dos resultados podrían haberse obtenido directamente de la ecuación(444), puesto que (∞) es directamente proporcional al parámetro a e inversamente proporcional a K.

4.2.9 Error en estado estable para sistemas en el espacio de estados

En esta sección estudiaremos como evaluar el error en estado estable para sistemas representados en el

espacio de estados. Se verán dos métodos para calcular el error en estado estable: 1) análisis por medio del

teorema del valor final y 2) análisis por medio de sustitución de entrada. Consideraremos estos métodos

individualmente.

Análisis por medio del teorema del valor final. Un sistema de una sola entrada y una sola salida,

representado en el espacio de estados, se puede analizar por si hay un error en estado estable si se usa el

teorema del valor final y la función de transferencia en lazo cerrado, deducida en términos de la representación

en el espacio de estados. Considere el sistema en lazo cerrado representado en el espacio de estados:

x = Ax+Br (4.47)

= Cx (4.48)

La transformada de Laplace del error es

() = ()− () (4.49)

Pero

() = () () (4.50)

Donde T(s) es la función de transferencia en lazo cerrado. Al sustituir la ecuación (450) en la (449),

obtenemos

() = ()[1− ()] (4.51)

Al usar la ecuación () = ()

()= ( −)−1 + por T(s), hallamos

() = ()[1−C(I−A)−1B] (4.52)

Si se aplica el teorema del valor final, tenemos

lim−→0

() = lim−→0

()[1−C(sI−A)−1B] (4.53)

Análisis por medio de sustitución de entrada. Otro método para el análisis en estado estable que evita

tomar la inversa de (sI-A), y puede ser expandido a sistemas de entrada múltiple y salida múltiple, sustituye

la entrada junto con una solución supuesta en las ecuaciones de estado (Hostetter, 1989). Deduciremos los

resultados para entradas de escalón unitario y rampa unitaria.Entradas escalón Dadas las ecuaciones de

estado (447)y (448), si la entrada es un escalón unitario donde r=1, una solución en estado estable, X,


para x, es

x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = V (4.54)

Donde es constante. También

= 0 (4.55)

Al sustituir r=1, un escalón unitario, junto con las ecuaciones (454) y (455), en las ecuaciones (447) y

(448), resulta

0 = + (4.56)

= (4.57)

Donde es la salida en estado estable. Al despejar V resulta

= −−1 (795)

Pero el error en estado estable es la diferencia entre la entrada en estado estable y la salida en estado estable.

El resultado final para el error en estado estable para una entrada escalón unitario en un sistema representado

en el espacio de estados es

(∞) = 1− = 1−CV = 1 +CA−1B (4.58)

Entradas de rampa Para entradas de rampa unitaria, r= t, una solución en estado estable para x es

x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1+1

2+2

+

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = Vt+W (4.59)

Donde y son constantes. Por lo tanto,

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = V (4.60)

Al sustituir r= t junto con las ecuaciones (459) y (460) en las (447) y (448) resulta

= ( + ) + (4.61)

Para balancear la ecuación (461) igualamos los coeficientes de matriz de t, AV=-B, o sea

= −−1 (4.62)


Al igualar los términos constantes en la ecuación (461), tenemos AW=V, o sea

= −1 (4.63)

Al sustituir las ecuaciones (462) y (463) en la (461), resulta

= [−−1+−1(−−1)] = −[−1+ (−1)2] (4.64)

El error en estado estable es, por lo tanto,

(∞) = lim−→∞

(− ) = lim−→∞

[(1 + −1)+ (−1)2] (4.65)

Nótese que para usar este método, −1. Esto es, det A 6= 0.

4.3 Acciones básicas de control

Es interesante señalar que más de la mitad de los controladores industriales que se usan hoy en día utilizan

esquemas de control PID o PID modificado. La utilidad de los controles PID estriba en que se aplican en

forma casi general a la mayoría de los sistemas de control. En particular, cuando el modelo matemático

de la planta no se conoce y, por lo tanto, no se pueden emplear métodos de diseño analíticos, es cuando

los controles PID resultan más útiles. En este capítulo se presenta en primer lugar el diseño de un sistema

controlado por un PID utilizando las reglas de sintonía de Zieggler y Nichols.

El método computacional que se presenta en este capítulo para el diseño de sistemas de control (para

buscar conjuntos óptimos de valores de parámetros que satisfagan determinadas especificaciones de respuesta

transitoria) se puede emplear para diseñar sistemas de control con un único grado de libertad o con múltiples

grados de libertad a condición de que se conozca un modelo de planta bastante preciso.

El controlador PID posee un término proporcional, un término integral y uno derivativo. Entonces la

función de transferencia de un PID está dada por

() = +1

+ (Ec. 9.87)

Si K=0 se tiene un controlador PI

() = +1

(Ec. 9.88)

Si K=0 se tiene un controlador PD

() = + (Ec. 9.89)

Los controladores PID son útiles para reducir el error en estado estacionario y mejorar la respuesta

transitoria cuando () tiene uno o dos polos. Existen otras formas de representar los controladores PID

como son

Proporcional

() =

Proporcional Integral


() = (1 +1

)

Proporcional Derivativo

= (1 +

+ 1)

Proporcional Integral Derivativo

() = (1 +1

+

+ 1)

donde:

=tiempo de reestablecimiento

=tiempo derivativo

= ∈ [005 2]El ajuste de los controladores puede realizarse por tanteo, sin un previo conocimiento del modelo matemático

de la planta. No siempre se utilizan correctamente debido a una pobre sintonización. La razón es la dificultad

para ajustar tres parámetros por prueba y error. Presentan un fenómeno indeseado: “integrator windup”.

4.3.1 Consideraciones de diseño mediante las reglas de Ziegler-Nichols para controladores

PID.

La figura 4.15 muestra un control PID de una planta. Si se puede obtener un modelo matemático de la

planta, es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador

que cumpla las especificaciones del transitorio y del estado estacionario del sistema en lazo cerrado. Sin

embargo, si la planta es tan complicada que no es fácil obtener su modelo matemático, tampoco es posible

un método analítico para el diseño de un controlador PID. En este caso, se debe de recurrir a procedimientos

experimentales para la sintonía de los controladores PID.

Ziegler-Nichols sugirieron reglas para sintonizar los controladores PID(esto significa dar valores a )basándose

en las respuestas escalón experimentales o en el valor de que produce estabilidad marginal cuando sólo

se usa la acción de control proporcional. Las reglas de Ziegler-Nichols son muy convenientes cuando no se

conocen los modelos matemáticos de las plantas.

FIGURE 4.15. Control PID de una planta


Efectos de la acción de control integral

1. Elimina el error en estado estable o desplazamiento (offset), en la respuesta a una entrada escalón.

2.La señal de control puede tener un valor distinto de cero a pesar de que la señal de error sea cero.

3. Presenta el inconveniente de ser de respuesta lenta y puede llegar a presentar oscilaciones crecientes.

4. Añade un polo en el origen lo cual puede ser complicar el análisis de estabilidad y presenta un fenómedo

indeseable en presencia de saturación en el actuador.

Efectos de la acción de control derivativa

una alta sensibilidad al error y produce una corrección significativa antes de que el error sea exesivo.

Extrapolación mas qu predicción

Añade amortiguamiento y permite un mayor margen de ganacia lo que disminuye el Off Set.

Desventajas: amplificación del error y saturación del actuador

Consideraciones de diseño para un controlador PI

Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso

Incrementa el tiempo de crecimiento

Mejora el Margen de Ganancia, Margen de Fase y el pico de resonancia

Filtra el ruido de alta frecuencia

Consideraciones de diseño para un controlador PD

Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso

Reduce el tiempo de crecimiento y de establecimiento

Mejora el MG, MF y el pico de resonancia

No es efectivo para sistemas inicialmente inestables o ligeramente amortiguados

Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.. Ziegler-Nichols propusieron reglas para de-

terminar los valores de la ganancia proporcional , del tiempo integral y del tiempo derivativo , basándose en las características de respuesta transitoria de una planta dada. Tal determinación de los

parámetros de los controladores PID o sintonía de controladores PID la pueden realizar los ingenieros medi-

ante experimentos sobre la planta.

Hay dos métodos denominados reglas de sintonía de Ziegler-Nichols: el primero y el segundo método.

Primer método. La respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera exper-

imental, tal como se muestra en la figura 4.16 Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes

complejos conjugados, la curva de la respuesta escalón unitario puede tener forma de , como se observa

en la figura 4.17. Este método se puede aplicar si la respuesta muestra una curva con forma de . Tales

curvas de respuesta escalón se pueden generar experimentalmente o a partir de una simulación dinámica de

la planta.

La curva con forma de se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo y la constante de

tiempo . El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el

punto de inflexión de la curva con forma de y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje

de tiempo y con la línea () = .

Las reglas de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la respuesta escalón de la planta ( primer método) se

sintetizan en la siguiente tabla

Para la Figura 4.17 en este caso, la función de transferencia () () se aproxima mediante un sistema

de primer orden con un retardo del modo siguiente:

()

=

−

+ 1


FIGURE 4.16. Respuesta a un escalón unitario de una planta. [3]

FIGURE 4.17. Curva de respuesta en forma de S [3]

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de de acuerdo con la fórmula que se muestra

en la tabla 8_1. Obsérvese que el controlador PID sintonizado mediante el primer método de las reglas de

Ziegler y Nichols produce

FIGURE 4.18.


() =

µ1 +

1

+

¶= 12

µ1 +

1

2+ 05

¶= 06

¡+ 1

¢2

Por tanto, controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en = −1Segundo método. En el segundo método, primero se fija =∞ y = 0 Usando sólo la acción de control

proporcional, se incrementa desde 0 hasta un valor crítico en donde la salida presente oscilaciones

sostenidas.( Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar, entonces

este método no se puede aplicar).Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros

FIGURE 4.19. Sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional [3]

FIGURE 4.20. Oscilacion sostenida con periodo Pcr [3]

y de acuerdo con la fórmula que se muestra en la tabla siguienteObsérvese que el controlador PID


FIGURE 4.21. Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crítica y periodo crítico [3]

sintonizado mediante el segundo método de las reglas de Ziegler-Nichols produce:

() =

µ1 +

1

+

¶= 06

µ1 +

1

05+ 0125

¶

= 0075

³+ 4

´2

Por tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en = −4Conviene darse cuenta de que, si el sistema tiene un modelo matemático conocido(como la función de

transferencia ), entonces se puede emplear el método del lugar de las raíces para encontrar la ganancia

crítica y las frecuencias de las oscilaciones sostenidas, donde 2 = . Estos valores se pueden

determinar a partir de los puntos de cruce de las ramas del lugar de las raíces con el eje .( Obviamente,

si las ramas del lugar de las raíces no cortan al eje esta método no se puede aplicar).

Ejemplo 4.7. Sea el sistema de control que se muestra en la figura 4.22, en el cual se usa un controlador PID

para controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de transferencia.

() =

µ1 +

1

+

¶A continuación, obtenga una curva de respuesta escalón unitario y compruebe si el sistema diseñado presenta

un sobreelongación de aproximadamente el 25%. Si la sobreelongación es excesiva(40% o más), haga una

sintonía fina y reduzca la cantidad de sobreelongación al 25% o menos.

Como la planta tiene un integrador, se utiliza el segundo método de las reglas de sintonía de Ziegler-Nichols.

Fijando =∞ y = 0, se obtiene la función de transferencia en lazo cerrado del modo siguiente:

()

()=

(+ 1) (+ 5) +

El valor de que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilación sostenida se obtiene

mediante el criterio de estabilidad de Routh. Como la ecuación característica para el sistema en lazo cerrado

es:

3 + 62 + 5+ = 0


el arreglo de Routh es:

3 1 5

2 6

130−

6

0

Examinando los coeficientes de la primera columna del array de Routh, se encuentra que ocurrirá una

oscilación sostenida si = 30. Así, la ganancia crítica esCon la ganancia fijada igual a (= 30),

FIGURE 4.22. Sistema de control PID [3]

la ecuación característica es

3 + 62 + 5+ 30 = 0

Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, se sustituye = en la ecuación característica, del

modo siguiente:

()3 + 6()2 + 5() + 30 = 0

o bien

6(5− 2) + (5− 2) = 0

a partir de lo cual se encuentra que la frecuencia de la oscilación sostenida es 2 = 5 o =√5 Así el

periodo de la oscilación sostenida es

=2

=2√5= 28099

Teniendo en cuenta la tabla de diseño, se determinan , y del modo siguiente:

= 06 = 18

= 05 = 1405

= 0125 = 035124


Por lo tanto, la función de transferencia del controlador PID es

() =

µ1 +

1

+

¶= 18

µ1 +

1

1405+ 035124

¶=

63223 (+ 14235)2

El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en = 14235. En la figura 4.23 se muestra

un diagrama de bloques del sistema de control con el controlador PID diseñado. A continuación, se examina

la respuesta escalón unitario del sistema. La función de transferencia en lazo cerrado () () está dada

por ()

()=

632232 + 18+ 12811

4 + 631132232 + 18+ 12811

La respuesta escalón unitario de este sistema se obtiene fácilmente con MATLAB. La figura 4.25 muestra

FIGURE 4.23. Diagrama de bloques del sistema con controlador PID diseñado mediante la regla de sintonía del

segundo método. [3]

la curva de respuesta escalón unitario resultante. La sobreelongación en la respuesta a un escalón unitario

es de aproximadamente 62%. Se pueden reducir mediante una sintonía fina los parámetros del controlador.

Dicha sintonía se puede hacer en la computadora . Se encuentra que manteniendo = 18 y moviendo el

cero doble del controlador PID a = −065, es decir, usando el controlador PID.

() = 18

µ1 +

1

3077+ 07692

¶= 13846

(+ 065)2

La sobreelongación en la respuesta a un escalón unitario se reduce a, aproximadamente, 18%. Si se incrementa

la ganancia proporcional a 3942, sin modificar la localización del cero doble ( = −065), esto es, usandoun controlador PID

() = 3942

µ1 +

1

3077+ 07692

¶= 30322

(+ 065)2

Entonces la velocidad de respuesta se incrementa, pero la sobreelongación también aumenta a, aproximada-

mente, 28%, como se observa en la figura 4.27. Como en este caso, la sobreelongación está bastante cerca del

25% y la respuesta es más rápida que el sistema con ().Es instructivo señalar que, para el caso en el que


FIGURE 4.24. Programa para calcular respuesta al escalón [3]

FIGURE 4.25. Curva de respuesta a un escalón unitario del sistema [3]

cero doble se localice en = −14235, incrementar el valor de aumenta la velocidad de respuesta, pero, en

lo que respecta a la sobreelongación, variar la ganancia tiene un efecto mínimo. La figura 4.28 muestra

el diagrama del lugar de las raíces para el sistema diseñado mediante el segundo método de las reglas.

En la figura 4.29 se observa que, en el caso en el que el sistema tiene la ganancia = 30322, los polos en

lazo cerrado en = −235±482 funcionan como los polos dominantes. Dos polos adicionales en lazo cerradoestán muy cerca del cero doble en = −065, por lo que estos polos en lazo cerrado y el cero doble casi secancelan uno al otro. El par de polos dominantes en lazo cerrado determina realmente la naturaleza de las

respuestas. Por otra parte, cuando el sistema tiene = 13846, los polos en lazo cerrado en = −235±262no son realmente dominantes, por que los otros dos polos en lazo cerrado cerca del cero doble en = −065tienen un efecto considerable en la respuesta.Los valores de y son:

= 29 = 025

con la sobreelongación máxima igual al 952% y el tiempo de asentamiento igual a 178. otra posible

solución que se puede obtener


FIGURE 4.26. Respuesta a un escalón unitario del sistema PID teniendo parámetros = 18 = 3077 y

= 07692[3]

= 27 = 02

con un 55% de sobreelongación máxima y 289 de tiempo de asentamiento.

4.4 Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

En esta sección aprenderemos un método que da información acerca de la estabilidad sin necesidad de

determinar los polos de un sistema en lazo cerrado. Con el uso de este método, podemos saber cuántos polos

del sistema en lazo cerrado hay en el semiplano izquierdo, en el semiplano derecho y sobre el eje jw. Podemos

hallar el número de polos en cada sección del plano s, pero no es posible encontrar sus coordenadas. El

método recibe el nombre de criterio de Routh-Hurwitz de estabilidad (Routh, 1905). El método requiere dos

pasos: 1) generar una tabla de datos llamada arreglo de Routh y 2) interpretar el arreglo de Routh para

saber cuántos polos del sistema en lazo cerrado hay en el semiplano izquierdo, el semiplano derecho y sobre

el eje En esta sección elaboraremos e interpretaremos un arreglo básico de Routh. En la siguiente sección

consideraremos dos casos especiales que pueden aparecer cuando se genera esta tabla de datos.

Generación de un arreglo básico de Routh. Veamos la función de transferencia equivalente en lazo

cerrado de la figura 4.30. Como estamos interesados en los polos del sistema, concentramos nuestra atención

en el denominador.

Primero creamos el arreglo de Routh que se ilustra en la figura 4.31. Empezamos por marcar los renglones

con potencias de s desde la potencia de orden más alto de s del denominador y hacemos una lista horizontal

en el primer renglón, de un coeficiente sí y otro no. En el segundo renglón se hace una lista horizontal

comenzando con la siguiente potencia de s de orden más alto, de todo coeficiente que se haya saltado en el

primer renglón.

Los términos restantes se llenan como sigue, dividido entre el término de la primera columna directamente

arriba del renglón calculado. La columna de la izquierda del determinante es siempre la primera columna de


FIGURE 4.27. Respuesta a un escalón unitario del sistema mostrado [3]

los dos renglones previos, y la columna de la derecha es de los términos de la columna arriba y a la derecha.

El arreglo esta completo cuando se hayan completado todos los renglones hasta S0. La figura 4.32 es un

arreglo Routh completada. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 4.8. Creación de un arreglo de Routh. Problema Forme un arreglo de Routh para el sistema

que se ilustra en la figura 4.33(a).

Solución El primer paso consiste en hallar el sistema equivalente en lazo cerrado por que buscamos probar

el denominador de esta función, no la función de transferencia directa dada, para la ubicación de polos.

Mediante el uso de la formula de realimentación, obtenemos el sistema equivalente de la figura 4.33 (b). El

criterio de Routh-Hurwitz se aplicara a este denominador.Primero, se marcaran los renglones con potencias

de s de 3 hacia abajo hasta 0 en una columna vertical, como se ve en la figura 4.34. A continuación, se

forma el primer renglón de la tabla, usando los coeficientes del denominador de la función de transferencia

en lazo cerrado. Comenzando con el coeficiente de la potencia de orden mas alto y saltándose una potencia

de s y otra no. Ahora, formamos el segundo renglón con los coeficientes del denominador saltado en el paso

previo. Se forman los renglones subsiguientes con determinantes, como se muestra en la figura 4.32 Para

mayor comodidad, se puede multiplicar cualquier renglón del arreglo de Routh por una constante positiva

sin cambiar los valores de los renglones de abajo. Esto se puede demostrar si se examinan las expresiones de

los términos y se verifica que cualquier constante multiplicativa de un renglón previo se cancela. En el segundo

renglón de la figura 4.34, por ejemplo, se multiplico el renglón por 1/10. Vemos más adelante que debe tenerse

cuidado de no multiplicar el renglón por una constante negativa.

Interpretación del arreglo básico de Routh. Ahora que sabemos cómo generar el arreglo de Routh,

veamos de que manera interpretarlo. Se aplica el arreglo básico de Routh a los sistemas con polos en los

semiplanos izquierdo y derecho. Se estudiaran los sistemas con polos imaginarios y la clase de arreglo de

Routh que resulta en la siguiente sección. Dicho de una manera sencilla, el criterio de Routh-Hurwitz expresa

que el número de raíces del polinomio que están en el semiplano derecho es igual al número de cambios de


FIGURE 4.28. Lugar de las raíces del sistema cuando el controlador PID tiene un cero doble en = −14235. [3]

signo de la primera columna. Si la función de transferencia en lazo cerrado tiene todos los polos en el plano s

izquierdo, el sistema es estable. Por lo tanto, un sistema es estable si no hay cambios de signo en la primera

columna del arreglo de Routh. Por ejemplo, la tabla de la figura 4.34 tiene dos cambios de signo en la primera

columna. El primer cambio de signo se presenta de 1 en el renglón 2 a -72 en el renglón 1. El segundo

se presenta de -72 en el renglón 1 a 103 en el renglón 0. En consecuencia, el sistema de la figura 4.33 es

inestable porque existen dos polos en el semiplano derecho.

4.4.1 Criterio de Routh-Hurwitz: casos especiales

Pueden presentarse en dos casos especiales: 1) el arreglo de Routh tendrá a veces un cero solo en la primera

columna de un renglón, o 2) el arreglo de Routh tendrá a veces todo un renglón formado por ceros. Exam-

inemos el primer caso.

Cero solo en la primera columna. Si el primer término de un renglón es cero, será necesaria una división

entre cero para formar el siguiente renglón. Para evitar este fenómeno, se asigna una épsilon, , para sustituir

el cero en la primera columna. Se deja que el valor se aproxime a cero, ya sea desde el lado positivo o el

negativo, después de lo cual es posible determinar los signos de los términos de la primer columna. Veamos

un ejemplo

Ejemplo 4.9 Estabilidad por el método de épsilon. Problema Determine la estabilidad de la función

de transferencia en lazo cerrado

() =10

5 + 24 + 33 + 62 + 5+ 3(4.66)

Solución La solución aparece en la tabla de la figura 4.35. Formamos el arreglo de Routh usando el

denominador de la ecuación (466). Empezamos por ensamblar el arreglo de Routh bajando hasta el renglón


FIGURE 4.29. Lugar de las raíces del sistema cuando el controlador PID tiene un cero doble en = −065. = 13846

corresponde a () dada por la ecuación (8_1) y = 30322 corresponde a () dada por la ecuación (8_2)

FIGURE 4.30. Función de transferencia equivalente en lazo cerrado. [4]

donde aparece cero solo en la primera columna (el renglón 3), después de lo cual se sustituye el cero por

un pequeño número, , y se completa la tabla. Para empezar la interpretación, debemos suponer un signo,

positivo o negativo, para la cantidad . La tabla de la figura 4.36 muestra la primera columna de la tabla en

la figura 4.35, junto con los signos resultantes para un selección de positiva y negativa.

Si se selección positiva, el arreglo en la tabla de la figura 4.36 mostrara un cambio de signo del renglón

3 al renglón de 2, y habrá otro cambio de signo del renglón 2 al renglón 1. Por lo tanto, el sistema es

inestable y tiene dos polos en el semiplano derecho. Alternativamente, podríamos escoger negativa. La

tabla de la figura 4.36 mostrara entonces un cambio de signo del renglón 4 al renglón 3. Ocurrirá otro

cambio de signo del renglón 3 al renglón 2. Nuestro resultado es exactamente igual que el de la selección

positiva de . Por lo tanto, el sistema es inestable, con dos polos en el semiplano derecho. Otro método que

se puede usar, cuando aparece un cero solo en la primera columna de un renglón, se deriva del hecho de

que un polinomio que tiene las raíces reciprocas del polinomio original tiene sus raíces distribuidas iguales,

en el semiplano derecho, semiplano izquierdo o eje imaginario, porque al tomar el reciproco del valor de la

raíz no lo mueve a otra región. Por lo tanto, si podemos hallar el polinomio que tiene las raíces reciprocas

del original, es posible que el arreglo de Routh para el nuevo polinomio no tenga un cero en la primera

columna. Este método suele ser más fácil, desde el punto de vista de cálculo que el método de la épsilon que

acabamos de describir. A continuación mostramos que el polinomio que buscamos, el de las raíces reciprocas,


FIGURE 4.31. Arreglo inicial de Routh [4]

es simplemente el polinomio original con sus coeficientes escritos en orden inverso. Supongamos la ecuación

+ −1−1 + + 1+ 0 = 0 (4.67)

Si s es sustituida por 1/d, entonces d tendrá raíces que son el reciproco de s. Al hacer esta sustitución en

la ecuación (467),

(1

) + −1(

1

)−1 + + 1(

1

) + 0 = 0 (4.68)

Al factorizar (1) ,

(1

)[1 + −1(

1

)−1 + + 1(

1

)(1−) + 0(

1

)−]

= (1

)[1 + −1+ + 1

(−1) + 0] = 0 (4.69)

En consecuencia, el polinomio con raíces reciprocas es un polinomio con los coeficientes escritos en orden

inverso. Volvamos a hacer el ejemplo previo para demostrar la

ventaja de cálculo de este método.

Ejemplo 4.10 Estabilidad por inversión de coeficientes

Problema Determine la estabilidad de la función de transferencia en lazo cerrado,

() =10

5 + 24 + 33 + 62 + 5+ 3(4.70)

Solución Primero escribimos un polinomio que tenga las raíces reciprocas del denominador de la ecuación

(470). De nuestro análisis, se forma este polinomio al escribir el denominador de la ecuación (470) en orden

inverso. Por lo tanto,

() = 35 + 54 + 63 + 32 + 2+ 1 (4.71)

Formamos el arreglo de Routh como se muestra en la tabla de la figura 4.37 usando la ecuación (471).

Como hay dos cambios de signos, el sistema es inestable y tiene dos polos en el semiplano derecho. Nótese

que la tabla de la figura 4.37 no tiene un cero en la primera columna.


FIGURE 4.32. Tabla de Routh completa [4]

Todo un renglón es cero. Veamos ahora el segundo caso especial. A veces, al hacer un arreglo de Routh,

encontramos que todo un renglón está formado por cero porque hay un polinomio par que es un factor del

polinomio original. Debe manejarse este caso de modo diferente respecto al caso de un cero en solo la primera

columna de un renglón. Veamos un ejemplo que demuestra la forma de construir e interpretar el arreglo de

Routh cuando todo un renglón de ceros está presente.

Ejemplo 4.11 Estabilidad con renglón de ceros en el arreglo de Routh

Problema Determine el numero de polos del semiplano derecho de la función de transferencia en lazo

cerrado,

() =10

5 + 74 + 63 + 422 + 8+ 56(4.72)

Solución Comencemos por formar el arreglo de Routh para el denominador de la ecuación (472)figura

4.38. En el segundo renglón, multiplicamos todo por 1/7 para más comodidad. Nos detenemos en el tercer

renglón, puesto que todo el renglón está formado por ceros, y utilizamos el procedimiento siguiente: Primero,

regresamos al renglón situado inmediatamente arriba del renglón de ceros y formamos un polinomio auxiliar,

usando los términos de ese renglón como coeficientes. El polinomio empezara con la potencia de s en la

columna marcada y continuamos al saltarnos una potencia de s y otra no. Entonces el polinomio formado

por este ejemplo es

() = 4 + 62 + 8 (4.73)

A continuación, derivamos el polinomio con respecto a s y obtenemos

()

= 43 + 12+ 0 (4.74)


FIGURE 4.33. a) sistema realimentado para ejemplo 4.8; b) sistema equivalente en lazo cerrado. [4]

Finalmente, usamos los coeficientes de la ecuación (474) para sustituir el renglón de ceros. De nuevo, por

comodidad, se multiplica el tercer renglón por 14después de sustituir los ceros. Se forma el resto del arreglo

de una manera sencilla al seguir la forma estándar que se muestra en la tabla de la figura 4.32 La tabla

de la figura 4.38 muestra que todos los términos de la primera columna son positivos. Por lo tanto, no hay

polos del semiplano derecho. Veamos más del caso que produce todo un renglón de ceros. En el arreglo

de Routh aparecerá todo un renglón de ceros cuando un polinomio puramente par o puramente no sea un

factor del polinomio original. Por ejemplo, 4 + 52 + 7 es un polinomio par; tiene solo potencias pares de

s. Los polinomios pares solo tienen raíces que son simétricas alrededor del origen. Esta simetría se puede

presentar bajo diversas condiciones de posición de raíz: 1) las raíces son simétrica y reales, 2) las raíces son

simétricas e imaginarias, 3) las raíces son cuadrantes. La figura 4.39 muestra ejemplos de estos casos. Cada

caso o combinación de estos casos va a generar un polinomio par.Este polinomio par es el que ocasiona que

aparezca el renglón de ceros. Por lo tanto, el renglón de ceros nos dice de la existencia de un polinomio por

cuyas raíces son simétricas alrededor del origen. Algunas de estas raíces podrían estar sobre el eje . Por

otra parte, como las raíces jw son simétricas alrededor del origen, si no tenemos un renglón de ceros, no

podemos posiblemente tener raíces . Otra característica del arreglo de Routh para el caso en cuestión es

que el renglón precio al renglón de ceros contiene el polinomio par que es un factor del polinomio original.

Finalmente, todo desde el renglón que contenga el polinomio par bajando hasta el final del arreglo de Routh

es una prueba de solo el polinomio par.

4.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz: ejemplos adicionales

En las dos secciones previas se ha introducido el criterio de Routh-Hurwitz. Ahora necesitamos demostrar

la aplicación del método a diversos problemas de análisis y diseño.


FIGURE 4.34. Arreglo de Routh completado para el ejemplo 4.8 [4]

Ejemplo 4.12 Routh-Hurwitz estándar

Problema Encuentre el número de polos del semiplano izquierdo, el semiplano derecho y sobre el eje de

la figura 4.40Solución Primero, encuentre la función de transferencia en lazo cerrado como

() =200

4 + 63 + 112 + 6+ 200(4.75)

Se ilustra el arreglo de Routh para el denominador de la ecuación (475) en la tabla de la figura 4.41 Para

mayor claridad, dejamos en blanco la mayor parte de celdas cero. En el renglon 1 hay un coeficiente negativo,

por lo que existen dos cambios de signo. El sistema es inestable, puesto que tiene dos polos en el semiplano

derecho y dos polos en el semiplano izquierdo. El sistema no puede tener polos , ya que un renglón de

ceros no apareció en el arreglo de Routh.


FIGURE 4.35. Arreglo de Routh completado para el ejemplo 4.9

FIGURE 4.36. Determinación de los signos en la primera columna de un arreglo de Routh con cero como primer

elemento en un renglón [4]


FIGURE 4.37. Arreglo de Routh para el ejemplo 4.9

FIGURE 4.38. Arreglo de Routh para el ejemplo 4.11 [4]


FIGURE 4.39. Posiciones de las raíces para generar polinomios pares: A, B, C o cualquier combinación. [4]

FIGURE 4.40. sistema de control realimentado para el ejemplo 4.12 [4]


FIGURE 4.41. Arreglo de Routh para el ejemplo 4.12

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