Sistemas continuos

Francisco Carlos Calderón

PUJ 2010

Objetivos

Definir las propiedades básicas de los sistemas continuos

Analizar la respuesta en el tiempo de un SLIT continuo

Definición y clasificación

Puede verse un sistema como un proceso que transforma señales de entrada en otras a la salida, mediante la interconexión de componentes, dispositivos o subsistemas.

Sistemas en tiempo continuo Sistemas en tiempo discreto

tx ty ][nx ][nyH H

)(tx )(tyH

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

Sistemas lineales y no lineales:Un sistema lineal es aquel que cumple la

propiedad de superposición.

1. La respuesta a x2(t)+ x1(t) es y1(t)+ y2(t)

2. La respuesta a

Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u Homogeneidad

)( es )( 11 taytax

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

Si el sistema es lineal, una entrada que sea cero todo el tiempo resulta en una salida que sea cero todo el tiempo.

0)(0)(00

)()(

tytx

tytx

Sistemas lineales “deben cumplir”

tx1

tx 2

H

H

a

b

a

b

tx1

tx 2

H ty 3

tx 3

Que sean iguales

ay1 t by 2 t

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Sistemas con y sin memoria Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para

cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.Ej

Si entrada es la salida es: . De donde se aprecia que la salida depende de entradas a tiempos diferentes de t0. Por lo tanto el sistema es Con Memoria.

0tx 00 22 txtx

txtxty 22

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

Invertibilidad y sistemas inversos Sistema Invertible: Si un sistema es invertible

debe existir un sistema inverso, tal que al interconectarlo en cascada con el sistema original produce una salida igual a la entrada del primer sistema.

tx tx ty

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Causalidad Sistema Causal: Si su salida en cualquier

instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).

CAUSAL:

NO-CAUSAL:

txty

txty

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

Estabilidad Sistema Estable: Es aquel que a entradas

acotadas produce salidas que no divergen. ESTABLE: sen(t). NO-ESTABLE: 1/t ,

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

Invariante en el tiempo Sistema Invariante en el tiempo: Si el

comportamiento y características del mismo están fijos en el tiempo.

Sistemas Invariantes “deben cumplir”

tx1 otty 1H

0t

tx1 ty 2H0t

tx 2

ty1

Que sean iguales

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo “continuos y discretos” Este tipo de sistemas son conocidos como

SLIT o LTI(ingles). Muchos fenómenos físicos pueden

modelarse mediante estos sistemas. El análisis matemático del comportamiento

de estos sistemas puede desarrollarse a través de procedimientos directos.

anaxannx

x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados

k

knkxnx

Dada una señal discreta x[n]

SLIT discretos.Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:

...11011... nxnxnxnx

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos

][ kn ][ny

H

H

][nh k ][kx

k

knkxnx

k

k nhkxny

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos

El sistema además de ser lineal también es invariante en el tiempo entonces:

][][ 0 knhnhk

][1 nx][1 kny H

0t][1 nx

][2 nyH0t][2 nx

][1 ny

][ kn H

][nh k

k

k nhkxny

k

knhkxny 0

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos

Este resultado se conoce como la suma de convolución “suma de superposición” También representada como:

nhnxny

Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso unitario.

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuosDe una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.

k

ktkxtx

k

ktkxlímtx 0

dtxtx

La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso

)( tH

),( th

Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:

][][ 0 knhnh k )(),( thth

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos

Este resultado se conoce como la integral de convoluciónTambién representada como:

)()()( thtxty

Un sistema SLIT continuo puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso.

y t =∞

−∞

x h t ,d

y t =∞

−∞

x h t−d

nhnxnhnxny 21 ** nhnhnxny 21*

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Propiedad distributiva

nhnhnxny 21 **

nhnhnxny 21 **

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Propiedad asociativa

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

nhnhnxny 21 ** nhnhnxny 12 **

nhnxny * nxnhny *

Propiedad conmutativa

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

SLIT con y sin memoria.Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.

En el caso discreto esto se cumple si:

0 p a ra 0][ nnh

][][ nK xny

Por lo que la suma de convolución se reduce a:

Donde K= h[0]

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Causalidad para los SLITSi su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).La respuesta impulso de un SLIT causal discreto, basándose en la definición debe ser de la forma:

00 h para n < 0 que a su vez implica:

0

0k

knhkxny

Invertibilidad de los SLITSi el sistema es invertible, posee un sistema inverso, de tal forma que si el sistema es un SLIT se cumple que:

Figura 38. SLIT invertible y su sistema inversoEs decir, para el caso continuo: 

De forma análoga se puede concluir una expresión para el caso discreto.

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

tthth 21

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Estabilidad para los SLITAquel que a entrada limitadas en amplitud produce salidas limitadas en amplitud

Puede encontrarse “ver Oppenheim pag 113” que el sistema es estable si la respuesta al impulso unitario es absolutamente sumable

k

kh

Referencias

Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 2

Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ