SISTEMA DE ANÁLISIS PITCH CLASS

DESCRIPCIN DEL MTODO ANALTICO DE PITCH CLASSO SET THEORY

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Trabajo sobre uno de los mtodos de anlisis de la msica del siglo XX de mayor difusin y uso, especialmente en los libros y anlisis anglosajones.

2002, Agustn Charles Soler

Todos los derechos son propiedad del autor

1. Introduccin

La msica del siglo XX, y en concreto la msica que aborda el dodecafonismo y sus

sistemas derivados, serialismo y serialismo integral, precisa hoy de nuevas formas de

anlisis para poder observar la obra de modo coherente, ya que buena parte de los

procedimientos tradicionales no encajan bien, o bien no son realmente tiles para su

anlisis. A este respecto en los paises anglosajones se utiliza un procedimiento que poco a

poco se ha ido imponiendo en el campo analtico, es el procedimiento llamado Pitch

Classo Set Theory. Si bien en un principio el anlisis basado en las teoras de Schenker

fue enormemente desarrollado, ste no tena utilidad al aplicarlo a un sistema que careca

de jerarquizacin musical, y en los casos que as era no se articulaba de forma lo

suficientemente clara como para poder ser abordado por aqul. El propio Allen Forte, una

personalidad notable en el campo del anlisis musical, autor del libro The structure of atonal

Music[1] hace un anlisis del sistema serial que poco o nada tiene que ver con el sistema

Schenkeriano, abordado en su libro Introduccin al anlisis schenkeriano[2] .

Este sistema, hoy tan necesario para la lectura de cualquier trabajo analtico en

lengua anglosajona es prcticamente desconocido en nuestro pas, lo cual nos imposibilita

Pgina 1 de 28Pitch Class

06/08/2009http://personales.ya.com/agcharles//analisis/pitchclass/pitch.html

abordar dichos trabajos. Evidentemente, uno de los principales problemas a la hora de

traducir los trminos es el de su semejanza con una terminologa en espaol, ya que la

anglosajona es breve y concisa, mientras que en Espaa poseemos un vocabulario musical

limitado y falto de terminologa. Por esa razn hemos procurado aadir a cada definicin el

nombre de su equivalente ingls, ya que en muchos casos resulta poco claro.

En la msica del siglo XX se han abordado temticas compositivas que a menudo

surgen de la adopcin medios puramente contrapuntsticos que, en no pocos casos, tienen

ms que ver con cierta msica renacentista que con los procedimientos compositivos

directamente antecesores a aquella. Estos procedimientos compositivos, que en su mayora

tienen relacin directa con el dodecafonismo se basan, en su mayor parte, en una serie de

combinaciones intervlicas que constituyen el eje principal de su lenguaje expresivo. Estos

han dado lugar con posterioridad a una serie de tendencias concretas en lo referente al

lenguaje sonoro entre las que el serialismo integral ha sido una de las ms significativas.

Para tales procedimientos compositivos, por otra parte completamente diferenciados de los

utilizados en el lenguaje musical comn, se hace necesaria una nueva forma de anlisis

que aglutine de modo coherente dicho lenguaje y pueda, a la vez, abrir posibilidades para

una mayor clarificacin de su desarrollo musical.

El procedimiento de anlisis de altura de sonido (Pitch Class), fue utilizado en

primera instancia por uno de los compositores americanos dodecafnicos de mayor relieve:

Milton Babbitt, el cual defini buena parte de su nomenclatura, ampliada posteriormente

por Allen Forte, Benjamin Boretz, Paul Henry Lang, George Perle y John Rahn entre otros.

La mayora de ellos han sido colaboradores asiduos de la revista americana Perspectives

in new Music, revista especializada en el anlisis de la msica del siglo XX.

De dichos autores cabe destacar varios trabajos que por su concisin se han

impuesto paulatinamente. La mayora son trabajos que tienen relacin directa con la

enseanza del anlisis, de ah su importancia. Tres destacan principalmente, el ya citado de

Allen Forte The Structure of Atonal Music, el libro de John Rahn Basic Atonal Theory[3] ,

y el de George Perle Serial Composition and Atonality[4]. Existen, adems, multitud de

artculos en otros libros sobre el sistema, si bien la mayora desarrollan los mismos



conceptos, ya sea resumindolos o amplindolos. En este apartado, sin embargo, no

pretendemos hacer un declogo del mtodo, puesto que no es el objeto de nuestro estudio,

sino realizar una exposicin metodolgica mnima, desarrollando nicamente los aspectos

que conciernen a la tesis aqu emprendida.

2 Mtodo de Pitch Class 2.1 Enumeracin de alturas

2.1.1. - ALTURAS (PITCH) E INTERVALOS

2.1.1.1 ALTURAS (PITCH)

En buena parte de los anlisis de la msica del siglo XX se utiliza una nomenclatura

basada en la contabilizacin del numero de semitonos, para de ese modo poder analizar de

forma clara y coherente el discurso musical, junto al lenguaje de un compositor atonal

determinado. De este tipo de nomenclatura ya daba algunas nociones el propio Schoenberg

en su libro el Estilo y la Idea[5] .

Por tanto, la nomenclatura de intervalos que vamos a utilizar a lo largo del trabajo

estar supeditada a la siguiente tabla:

Segunda menor 1 Segunda mayor 2 Tercera menor 3 Tercera mayor 4 Cuarta justa 5 Quinta disminuida 6 ( o Cuarta Aumentada), Tritono Quinta justa 7 Sexta menor 8 Sexta mayor 9 Sptima menor 10 Sptima mayor 11 Octava 12 0)

La ordenacin de sonidos o alturas (Pitch), se realiza en base al numero de

semitonos de la escala y en relacin a la determinacin de nota = 0 , como nota de partida:



Ejemplo 1

As pues, a partir de una nota que determinamos base (como sera en la tonalidad

clsica la tnica) sta puede ser movible dependiendo del centro tonal donde se halle la

composicin, o bien determinada por el analista mediante los procedimientos que a

continuacin describimos.

2.1.1.2 INTERVALO DE ALTURAS ORDENADO (ORDERED PITCH INTERVAL)

Este intervalo es el resultante de la distancia entre dos puntos, atendiendo al

numero de la nota de partida y ordenando su intervalo por el numero total de semitonos. Su

frmula es: ip = y-x, y se anota, por tanto, con corchetes. x se refiere al numero de

la primera nota e y al de la ltima.

O sea, un intervalo (ip) determinado : ip = -11 -2 = -13 . Es por tanto, -13 el

numero de semitonos que hay entre una nota y otra ( los nmeros negativos o positivos nos

indican siempre la direccin del intervalo).

Ejemplo 2



2.1.1.3 INTERVALO DE ALTURAS DESORDENADO (UNORDERED PITCH INTERVAL).

Este tipo de intervalo parte de la misma idea que el anterior , pero en l no

identificamos la direccin del intervalo, sino nicamente la distancia entre las 2 notas. Para

ello se utiliza la misma frmula, pero utilizando el parntesis en substitucin del corchete: ip

(x,y)= |y-x|.

As pues, el intervalo anterior quedara de la siguiente forma: ip = |-11 -2| =

|-13| = 13 , por tanto, sin tener en cuenta su direccin.

2.1.2- ORDENACION DE ALTURAS EN GRUPO CERRADO (PITCH CLASS) E INTERVALOS

La ordenacin en Pitch Class (pc) es la equivalente a enumerar nicamente la

escala de 0 a 11, suprimiendo las altura del cambio de octava ( es decir 13,14,15 etc.):

Ejemplo 3

De es modo el numero base tiene como equivalentes a:

0 = (...-36,-24,-12,0,12,24,36,48 ...)

1 = (...-35,-23,-11,1,13,25,37,49 ...)

2 = (...-34,-22,-10,2,14,26,38,50 ...)

3 = (...-33,-21, - 9,3,15,27,39,51, ...)

4 = (...-32,-20, - 8, 4,16,28,40,52,...)

5 = (...-31,-19, - 7, 5, 17,29,41,53...)

etc..

2.1.2.1.- INTERVALO DE ALTURAS ORDENADAS EN GRUPO CERRADO (ORDERED PITCH CLASS INTERVAL)



A este tipo de intervalos Milton Babbitt los enumera intervalos directos (directed

intervals), y es el intervalo resultante del la suma del numero de semitonos total en una

direccin, pero teniendo en cuenta nicamente el numero de la nota (o sea numeracin de 0

a 11). En este tipo de intervalos, y en el caso de sumas negativas se utiliza la suma del

intervalo 12 (mdulo 12), y significa que a un resultado negativo se le debe aadir 12,

siendo numero vlido el resultante. La frmula es la siguiente: i = b-a . b y a son las

notas primera y ltima del intrvalo. Vemoslo en el ejemplo siguiente:

i = 1-5 = (-4) , ((+ mod.12)) = (8)

Ejemplo 4

Como puede observarse, el resultante de la suma de ambos es siempre la escala de

12 semitonos, es decir 4+8 = 12.

2.1.2.2 INTERVALO DE ALTURAS DESORDENADAS EN GRUPO (UNORDERED PITCH CLASS INTERVAL)

ste es el que resulta de la suma por el camino ms corto, quedando siempre las

alturas constreidas a un intervalo el mximo de 6 semitonos (recurdese que todos los

intervalos pueden ser invertidos, manteniendo siempre entre s las mismas notas. De ese

modo puede convertirse, por ejemplo, un intervalo de sexta mayor en uno de tercera menor

(9 = 3). La frmula utilizada para ello, es la siguiente: i(a,b) = la ms pequea de i e

i. Como puede observarse hasta aqu, se utilizan siempre parntesis para los

intervalos desordenados. Si obtenemos el resultado en nmeros negativos deber aadirse

a aquel un numero de 12 semitonos (mod. 12), como en el anterior ejemplo.

Por tanto, su utilizacin ser: i(11,0) = i(0,11) = 1. Esta es, adems, la frmula

abreviada de i(11,0) = 0 -11 = (-11) , ((+ mod.12)) = 1. Vemoslo en el ejemplo siguiente:



Ejemplo 5

Hasta aqu hemos observado todas las posibilidades posibles de combinacin a

partir de una nota base. Conocer una u otra nos ser de gran utilidad para desarrollar toda

la teorizacin siguiente, sin la cual no sera posible abordarla. Para dejar en claro todo este

tipo de combinacin, vamos a analizar con todas las posibilidades expuestas hasta el

momento la serie utilizada por Anton Webern en el Tema de su Sinfona Op. 21.

Ejemplo 6

2.1.3.- ORDENACION EN FORMA DE ESCALA (ESCALISTICA) DE LAS ALTURAS E INTERVALOS.

En el anlisis de un fragmento musical, aparece, en primer lugar, el problema de la

ordenacin de sus notas (alturas) en base a un determinado tipo de escala, para poder



resumir as, y de modo factible, la distribucin de los 12 sonidos. Es evidente que el

compositor a menudo no utiliza una escala determinada, si bien sta se halla subyacente,

aunque sea de modo involuntario. Nuestro trabajo consiste aqu, en dar una visin

ordenada y coherente del discurso musical, convirtindolo as en analticamente

comprensible.

2.1.3.1.- PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA FORMA IDEAL (NORMAL FORM).

El procedimiento bsicamente utilizado en el anlisis de alturas (Pitch Class), es el

de obtener el camino ms corto de su distribucin intervlica, es decir, el elemento de

menor longitud segn la escala cromtica. Para ello la ordenacin de las alturas podra

parecer suficiente, aunque el problema erradica en que no podemos basar siempre las

alturas sobre una nica altura base, por ejemplo Do = 0, ya que en la mayora de casos,

sta puede no ser la altura central de la obra, sino una ms dentro del discurso sonoro.

O sea, si tenemos, por ejemplo, el acorde siguiente:

Ejemplo 7

La ordenacin de sus alturas, desde el mbito de octava, sera la siguiente, junto

con todas sus posibles combinaciones:

0 2 6 11 2 6 11 0 6 11 0 2 11 0 2 6



Ejemplo 8

As, tenemos cuatro combinaciones posibles y la pregunta es la siguiente, cul es

la ideal?. Para ello debemos realizar las formulaciones antedichas entre las diferentes

distancias intervlicas determinando, de ese modo, cul de ellas es la que tiene la suma

menor, que ser, a su vez, la ideal.

i + i + = 2 + 4 + 5 = 11

i + i + = 4 + 5 + 1 = 10

i + i

9 10 11 0 3 6 10 11 0 3 6 9 11 0 3 6 9 10

Ejemplo 10

Al realizar la formulacin se observa que hay tres que son iguales en cuanto a su

longitud:

3 6 9 10 11 0

6 9 10 11 0 3

9 10 11 0 3 6

Otra forma de realizarlo rpidamente es la de sumar el numero de intervalos entre

cada una de las alturas (3 + 1 + 1 + 1 + 3 = 9).

Para ordenar esta combinacin y determinar cul es la ideal, debemos ahora

realizar la operacin entre las notas los extremas de cada uno de los grupos, de los cuales,

en esta ocasin tambin obtendremos idnticos resultados. El siguiente paso ser realizar

la operacin sobre el primero y penltimo :

i = 8

i = 6

i = 6

De este modo el primero queda ya eliminado por ser el numero mayor.

Posteriormente lo realizaremos con el antepenltimo numero de los 2 restantes:

i = 5

i = 3



As, determinamos que la combinacin {9, 10 ,11, 0, 3, 6} es la que deber ser

tomada como forma ideal. Esto nos viene a confirmar, sin embargo, algo que ya veamos

desde el inicio, que la forma ideal (normal form), , es siempre la que tiene los intervalos ms

pequeos en general y es, adems, la que principalmente sita dichos intervalos al inicio de

la escala. O sea, en una combinacin de {8,3,7,0,6,9} la ordenacin ser:

a/ 0,3,6,7,8,9, con la que quedaran los intervalos siguientes:

b/ 3 3 1 1 1 3 intervalos

0 3 6 7 8 9 (0) pc ( Pitch Class)

Queda como forma ideal la siguiente:

c/ 6 7 8 9 0 3 pc

1 1 1 3 3 intervalos

2.2.- Operaciones bsicas con modelos de alturas (Pitch Class).

2.2.1.- TRANSPOSICION

2.2.1.1 TRANSPOSICION DE ALTURA (PITCH TRANSPOSITION) ( )

La resolucin de transposicin de altura se realiza aqu en base a la determinacin

de una nota de partida (pitch), hacia una nota de transposicin, o sea: desde una nota x y

un intervalo n. La frmula es la siguiente (x) = x + n. Vemoslo en el siguiente ejemplo:

(-10) = -10 + 20 = 10



Ejemplo 11

La numeracin "p" es lo que diferenciar a la transposicin de alturas (Pitch), de la

de Tn , como transposicin de grupo de alturas (pitch Class). As, podramos transportar

una lnea de alturas con el mismo procedimiento:

Ejemplo 12

2.2.1.2.- TRANSPOSICION DE GRUPOS DE ALTURAS (PITCH CLASS TRANSPOSITION) (Tn ).

El procedimiento para este modelo es similar al anterior, preservando nicamente

las alturas de nmeros entre 0 a 11 (al igual que en el captulo anterior), de tal modo que no

se mantiene el contorno de la lnea del grupo, aunque s la semejanza entre ellos.

La formulacin utilizada sera: por una pc x y un pc intervalo n, Tn (x) = x + n

(mod.12). En ella utilizaremos el mdulo 12 en el caso de los nmeros negativos. De ese

modo, teniendo en cuenta que el numerador de Do es cero podramos aplicar los modelos

de Pc del siguiente modo:

a) T8(7)= 7+8 = 15 = 15-12 = 3

b) T10===



i:1,3 i:1,3

c) T8{11,0,2,4} = {11+8, 0+8, 2+8, 4+8} = {19,8,10,12} = {7,8,10,0}

Ejemplo 13

2.2.2.-INVERSION

La inversin es una operacin relativamente simple, puesto que se trata de convertir

a la altura x en negativa.

2.2.2.1.- INVERSION DE ALTURA

La inversin de altura tiene en cuenta la altura ordenada normalmente (Pitch):

I (x) = - x + n, x-n.

Por ejemplo: I(7) = -7 + 8 = 1. Vemoslo en un ejemplo:

a) = =

b) =



c)

Ejemplo 14

2.2.2.2.- INVERSION DE GRUPO DE ALTURAS

Esta inversin tiene en cuenta a la altura bsica de numeracin entre 0 y 11, de

forma que como se ha realizado anteriormente, en las numeraciones negativas habra que

aadirle el numero complementario 12 (mod. 12). La formulacin sera la siguiente: para un

intervalo x y un intervalo pc n, Tn I(x)= x+n (mod 12).

Por ejemplo, T10 I (11) = -11 + 10 (= -1) +((mod 12 )) = 11. De este modo las

transposiciones resultaran del siguiente modo:

Ejemplo 15



2.2.3.- OPERACIONES COMPUESTAS

Las operaciones compuestas son, por tanto, el producto de 2 ms operaciones, es

decir, la multiplicacin de la operacin X con la Y, primero la operacin X , y posteriormente

la Y, lo cual lo escribimos como Y (X(z)).

La formulacin debe realizarse de derecha a izquierda, en este orden: primero X en

z, despus Y en la imagen de z bajo X. Por ejemplo:

Formulacin Procedimiento

T11 I(T7(T0 I(T2(T5(x))))) = | 5+2 = 7

T11 I (T7(T0 I(T7(x)))) = | 0-7 = -7 (+12)= 5

T11 I(T7 (T5 I(x))) = | 5+7 = 12 (-12)= 0

T11 I(T0I(x)= | -0-11=-11 (+12)=11

T11 (x) = x+ 11

2.2.3.1 OPERACIONES MULTIPLICATIVAS

Cuando el argumento aparece multiplicado, ste es llamado multiplicativo. En el

modelo de 12 notas, el grupo x = -x es idntico al grupo x= 11. x (ej: x=1,1 = -1 =11 y 1 =

11. 1 = 11. De este modo la pc inversin Tn I(x) = -x+n es idntica a la operacin

multiplicativa Tn M11(x) = 11. x+n.

Por ejemplo, en el crculo de cuartas y quintas justas se utiliza el modelo de

multiplicacin siguiente - quedando como el crculo de cuartas y quintas, aunque

transformado (recordemos que a los valores negativos, y que exceden de 12 semitonos, se

le suma o resta el numero 12 respectivamente (mod. 12)):

M5(x) - Crculo de cuartas

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11



5.x 0 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7

M7 (x) - Crculo de quintas

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7.x 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5

Teniendo en cuenta que la operacin Tn (x) = x+n es idntica a la operacin

multiplicativa Tn M11(x) = 11. x+n, tenemos que:

Tn M11(x) = 11. x+n

T5 M7 {1,4,7,10} = {7+5, 4+5, 1+5, 10+5} = {0,9,6,3} = {0,3,6,9}.

2.3.-GRUPOS DE TIPOS (SET TYPES)

2.3.1.- TIPOS

Los grupos y lneas de alturas y pc son normalmente clasificados en diferentes tipos

o formas. Un grupo familiar de pc sera el acorde mayor trada, y un tipo de lnea, la escala

mayor. Para clasificar a ambos vamos a establecer una diferencia entre las propiedades

estructurales de los grupos y el de las lneas.

2.3.1.1 TIPOS CARDINALES

Por lo general se clasifican segn el numero de los miembros que lo integran. La

enumeracin, as como los nombres normalmente utilizados, son los siguientes:

Cardinales Tipo de nombre En ingls

0 Grupo nulo Null set

1 Mnada Monad

2 Dada Dyad



3 Trada Trichord

4 Quatrada Tetrachord

5 Quintada Pentachord

6 Acorde de 6 notas Hexachord

7 Acorde de 7 notas Septachord

8 Acorde de 8 notas Octachord

9 Acorde de 9 notas Nonachord

10 Acorde de 10 notas Dedachord

11 Acorde de 11 notas Undecachord

12 Acorde de 12 notas Aggregate

2.3.1.2 LOS Tn TIPOS

Los Tn tipos son los referentes a la transposicin de un determinado grupo, en los

que n tiene la funcin de denominar, con respecto a la numeracin 0, la altura en que se

encuentra con respecto a la frmula inicial. O sea, que en el supuesto de denominar a Do =

0, la numeracin equivaldra a lo siguiente:

T0 = {0,4,7} ( frmula de partida, es decir, 0 equivale transposicin nula)

T1 = {1,5,8}

T2 = {2,6,9}

T3 = {3,7,10}

T4 = {4,8,11}

etc.



T0 T1 (0,4,7)

Ejemplo 16

Para poder distinguir entre los diferentes tipos o formas usaremos {0,4,7} como la

forma representativa del tipo de trada, y (0,4,7)Tn, como nombre del trada tipo. La

nomenclatura Tn es necesaria para distinguirlo del Tn/ TnI - tipo.

2.3.1.3 LOS Tn/ TnI - TIPOS

En este caso, la equivalencia {0,4,7} tendr 24 grupos distintos de pc:

T0 = {0,3,7} T0I = {5,9,0} T1= {1,4,8} T1I= {6,10,1} T2= {2,5,9} T2I= {7,11,2}

etc.

Vase la simultaneidad resultante realizada con dicha formulacin en el siguiente

extracto del Octet de Stravinsky:

Ejemplo 17

Vase en el ejemplo siguiente la simultaneidad vertical de aquel y su autorrelacin :



Ejemplo 18

Obsrvese que algunos de los subgrupos (subsets) aparecen en ms de un lugar:

Ejemplo 19

2.3.2.- APLICACIONES

2.3.2.1.- COMO ENCONTRAR EL TIPO DE GRUPO

Vase inicialmente el siguiente ejemplo, el cual nos servir de gua poder seguir la

organizacin general de forma ms clara:



(serie intervlica).

(0,1,6)Tn (0,5,6)Tn Tn- Tipos

[0,1,6] Tn/TnI Tipo

Ejemplo 20

El orden del procedimiento es el siguiente:

a/ Listado del grupo en su forma ideal (escala)

b/ Transportar el grupo para que su primera nota sea 0

* Esta es la "forma representativa" del grupo Tn - tipo

c/ Realizar la TnI en el grupo y repetir los pasos 1 y 2

* Esta es la "forma representativa" del grupo de inversin Tn-tipo

d/ Comparar el Tn-tipo de las formas representativas, y la suma de ambas

ser la forma representativa de Tn/TnI-tipo.

2.3.3.- SIMETRIA

2.3.3.1 PRINCIPIO DE SIMETRIA

El principio de simetra (degree of symmetry), se halla en las posibilidades de

repeticin que ofrece un elemento. Es decir, como ms simtrico sea menos miembros



tendr, teniendo en cuenta que el numero total de posibilidades son 24 (12 normales y 12

invertidas), deberemos dividir el numero de 24 posibilidades por el numero de sus variantes,

que se fundamenten nicamente en los mismos nmeros de altura (pitch)[6]. Vemoslo en

los siguientes ejemplos:

a/ {0,4,8} puede actuar desde T0, T4 y T8 .

T0 lo omitimos, es obvio;

T4 {0,4,8} = {4,8,0} = {0,4,8}; T8 {0,4,8} = {8,0,4} = {0,4,8}

Por lo tanto, este tiene principios de simetra (cada uno de los

nmeros puede actuar como simtrico), y a esto hay que aadirle,

adems, la simetra de la inversin, que como es natura, en este caso

ser la misma, con lo que el numero de grupos es [0,4,8] = 24/6 = 4.

Estas son, efectivamente, las nicas posibilidades transpositivas del

grupo:

[0,4,8] = { {0,4,8},{1,5,9},{2,6,10},{3,7,11}};[0,4,8]

b/ {0,3,7} no admite ninguna otra combinacin que mantenga sus

mismos nmeros de altura, por ejemplo: T3 {1,3,7} = {4,6,10}; por

tanto ser 1 el numero de posibilidades combinatorias, o sea: T0

[0,3,7] = 24/1 = 24, que es el numero total de posibilidades.

2.3.3.2 INVERSION SIMETRICA

Una inversin simtrica del grupo siempre se halla en sentido cannico, y estos

intervalos son sus propios retrgrados (retrgrado-simtrico). Cada ordenacin cannica

est bajo la voluntad de TxI, donde la inversin de x es igual a la suma del primero y ltimo

miembro de esta ordenacin.

En el anterior ejemplo A, {0,4,8}, tiene 3 elementos cannicos, {0,4,8},{4,8,0} y



{8,0,4}, en los que cada uno se mueve con la simetra interna de distancia de 4 semitonos

, con lo que el ndice es 0+8 = 8,4 +0 = 4 y 8+4 = 0. En el ejemplo B {0,1,3,4} tiene el

orden cannico {0,1,3,4}, que es un orden retrgrado simtrico con lo que el ndice

es 0+4 = 4.

Por ejemplo {0,2,4,5,7,9} estn en orden cannico , por lo que frmula es

T9 I. Vemoslo mejor en la siguiente representacin grfica:

7 0 2 7 ndice = 2

0 1 3 4 ndice = 4

0 2 4 5 7 9 ndice = 9

0 4 8 ndice = 8

(4= 1/2 ndice = centro de la inversin simtrica)

7 0 1 2 7 ndice = 2

(1 = 1/2 ndice = centro de la inversin simtrica)

2.3.3.3 TRANSPOSICION SIMETRICA

Este tipo es en realidad muy sencillo, la transposicin simtrica ser pues la lgica



transposicin de un segmento simtrico:

T4{0,1,4,5,8,9} = {4,5,8,9,0,1} etc.

2.3.4.- UNION Y SEPARACION DE LOS GRUPOS DE INVERSION SIMETRICA

Este tipo de unin ser la producida por la unin de 2 grupos de inversin entre s:

{0,2,5} U T2 I {0,2,5} = {0,2,5} U {2,0,9} = {0,2,5,9} = {9,0,2,5} en su forma normal = orden

cannico . Ejemplo: {0,1,3,4} con respecto a T4 I divididos en varias partes de T4I

subgrupos relativos:

{0,1,4} U {0,3,4} = {0,1,4} U T4I {0,1,4}

{0,1,3} U {1,3,4} = {0,1,3} U T4I {0,1,3}

{0,1} U {3,4} = {0,1} U T4I {0,1}

{0,3} U {1,4} = {0,3} U T4I{0,3}

2.4.-TEOREMAS DE ALTURAS COMUNES

Los teoremas de alturas comunes pretenden, ante todo, resumir ciertos pasos

complejos con el fin de acelerar el trabajo analtico y proporcionar, de ese modo, una visin

abreviada de todo el proceso de alturas y su autorrelacin interna.

2.4.1.- MULTIPLICIDAD; CONTENIDO INTERVALICO, VECTOR INTERVALICO

2.4.1.1 MULTIPLICIDAD



La multiplicidad es la cantidad de veces que un intervalo se repite dentro de un

grupo de alturas determinadas. As, en un grupo de alturas {0,2,4,5,7,9,11}, el intervalo 4

es repetido 3 veces:

i(0,4) = 4

i(5,9) = 4

i(7,11)= 4

La multiplicidad de 4 en este grupo es de 3, lo cual se escribira del siguiente modo:

MB(K), o sea: MD(4) = 3, es decir, la multiplicidad en el grupo D del intervalo 4 es 3.

2.4.2.2 CONTENIDO INTERVALICO

El listado de multiplicidades aparecidas en un grupo de pc de cada intervalo

desordenado, de una serie entre 1 y 6, es llamado "contenido de intervalo" de grupo pc. Los

pasos para hallarlo son los siguientes:

Grupo intervlico pc Orden Intervalos posibles i(x,y)

0, 11, 5, 9, 4, 2, 7 1 2 3 4 5 6

i(0,11) = 1 0,11,5,9,4,2,7 1

i(0,5) = 5 1

i(0,9) = 3 1

i(0,4) = 4 1

i(0,2) = 2 1

i(0,7) = 5 1

i(11,5) = 6 11,5,9,4,2,7 1

i(11,9) = 2 1

i(11,4) = 5 1

i(11,2) = 3 1



i(11,7) = 4 1

i(5,9) = 4 5,9,4,2,7 1

i(5,4) = 1 1

i(5,2) = 3 1

i(5,7) = 2 1

i(9,4) = 5 9,4,2,7 1

i(9,2) = 5 1

i(9,7) = 2 1

i(4,2) = 2 4,2,7 1

i(2,7) = 5 2,7 1

Total: 2 5 4 3 6 1

Por lo que {0,2,4,5,7,9,11} = D

MD(1) = 2

MD(2) = 5

MD(3) = 4

MD(4) = 3

MD(5) = 6

MD(6) = 1

2.4.2.3 VECTOR INTERVALICO

Una vez asumidas las multiplicidades de los intervalos en orden creciente de 1 a 6,

el numero de intervalos es de 6 , de tal modo que este resultado es llamado

"vector intervlico". O sea, el "Vector intervlico" de un grupo pc es una ordenacin de las

multiplicidades de los intervalos 1,2,3,4,5,6 en ese orden. Vase en el siguiente ejemplo

prctico:



Ejemplo 21

En este grupo intervlico el contenido de vector debera seguir los pasos antedichos:

Grupo intervlico pc Orden Intervalos posibles i(x,y)

0, 7, 4, 11, 8, 3 1 2 3 4 5 6

i(0,7) = 5 0,7,4,11,8,3 1

i(0,4) = 4 1

i(0,11) =1 1

i(0,8) = 4 1

i(0,3) = 3 1

i(7,4) = 3 7,4,11,8,3 1

i(7,11) = 4 1

i(7,8) = 1 1

i(7,3) = 4 1

i(4,11) = 5 4,11,8,3 1

i(4,8) = 4 1

i(4,3) = 1 1

i(11,8) = 3 11,8,3 1



i(11,3) = 4 1

i(8,3) = 5 8,3 1

Total: 3 0 3 6 3 0

El vector intervlico es , o sea, 3 en el intervalo 1, 0 en el intervalo 2, 3

en el intervalo 3, 6 en el intervalo 4, 3 en el intervalo 5 y 0 en el intervalo 6.

2.4.2.4 NO VARIACIONES DEL CONTENIDO INTERVALICO; Z-GRUPOS RELATIVOS (Z-Related sets).

El contenido de intervalo o vector intervlico de los grupos pc son invariables en su

forma Tn y TnI (transportando o invirtiendo se mantiene siempre el mismo tipo de intervalo).

Todos los grupos de un Tn-tipo o Tn/TnI-tipo tienen el mismo contenido intervlico.

Algunos grupos pueden tener el mismo contenido intervlico de un diferente Tn-tipo

y Tn/TnI-tipo. Tales grupos son llamados Z - relativos (Z - related, definicin realizada por

Allen Forte en su libro The Structure of Atonal Music). Por ejemplo: {0,1,4,6} y {0,1,3,7} son

las formas representativas, separadamente, de los Tn/TnI-tipos, pero no son relativas en su

transposicin ni en su inversin, sin embargo, mantienen el mismo vector intervlico

. Esta ltima es la llamadas Z-relativa.

Por lo tanto, los Z - relativos son los intervalos que tienen una relacin de vector

intervlico aunque no guarden entre s un mismo contenido, en cuanto a relacin intervlica

se refiere.



Notas [1] FORTE, Allen., The Structure of Atonal Music, New Haven: Yale University Press, 1973.

[2] FORTE, Allen., Introduction to Schenkerian Analysis, New York: W.W. Norton & Company, Inc., 1982.

[3] RAHN, John., Basic Atonal Theory. New York: Schirmer Books, 1980.

[4] PERLE, George: Serial Composition and Atonality. California: University of California Press, 1991.

[5] SCHOENBERG, Arnold: Style and Idea (edicin de Leonard Stein). New York: Belmont Music Publishers, 1975.

[6]Para poder combinarse entre s, es necesario que cada una de las posibles combinaciones no posea otronmero de altura ms que los que se hallan en la formulacin original.

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