SIST-TELE- MECAN ORD 1ERA PARTE.docx

CICLO PRE UNIVERSITARIO

MDULO DE RAZONAMIENTO MATEMTICO

CENTRO PRE-ORD-UPB

BAGUA GRANDE PER

12015

NMEROS RACIONALES: FRACCIONES

101. FRACCIONES

1.1. CONCEPTO

Son aquellos nmeros que pueden

2.2. CLASIFICACIN

DECIMAL

fraccin entre dos enteros no nulos, es decir:

DecimalExacto

DecimalInexacto

b denomin ador

PeridicoPuro

PeridicoMixto

bDnde: a Z 0,b Z ,a

3. GENERATRIZ DE UNA FRACCIN1.2. CLASIFICACIN

Por la comparacin entre sus trminos.

Si:El cociente es:Se conoce como:

abMayor que unoFraccin impropia

Otra clasificaciones pueden ser por la comparacin entre fracciones homogneas, heterognea, equivalentes, ordinarias, decimales, etc.

2. NMEROS DECIMALES

2.1. CONCEPTOUn nmero decimal es la representacin lineal de una fraccin. Se obtiene al dividir los trminos de dicha fraccin.Ejemplos:

3.1. Generatriz de una fraccin, conociendo al decimal:

Nmero decimalFraccin generatriza) DecimalExacto 0. ab = ab 1000.064 = 64 1000Numerador: Se coloca la parte decimal. Denominador: Se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el nmero dado.b) Decimal Inexactob.1) PeridicoPuro0, a = a96Numerador:Se coloca el periodo.Denominador:Se coloca tantos nueves como cifras tenga el periodo.b.2) PeridicoMixto0, ab = ab a900,34 = 34 390Numerador:Se coloca la parte decimal y se resta la parte no peridica. Denominador:Se coloca tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras no peridicas tenga el nmero.0.666... =91 =0.25;4

23 =0.479166648

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Timo tiene cierto nmero de gallinas.Al ser vctima de un robo pierde 2/9 del total, menos 5 gallinas. Por otrolado compra 37 gallinas y se percataque el nmero primitivo qued aumentado en 1/6. Cuntasgallinas le robaron?

A) 18B) 24

5. Qu fraccin del rea del cuadrado es el rea de la regin sombreada?1A) 20 B C 1 B) 12 2 C) 25 4 D) 25 1 A DE) 30C) 16D) 17E) 19

2. Halla a:

A) 7B) 2C) 6D) 4E) 5

3. Halla:

6. Los 2/3 de los profesores de un colegio son mujeres, 12 de los varones son solteros, mientras que los 3/5 de los profesores hombres, son casados. El nmero total de profesores de ese colegio es:

A) 90B) 60C) 129D) 80E) 100

7. Para una funcin de cine se venden 3 5 3 5 3 5 ...

2/3 de los asientos de mezzanine yS= 10

8A)108B)9

10 100

100

1000

1000

4/5 de los asientos de platea. Si hay tantos asientos de mezzanine como de platea. Qu fraccin del total de asientos del cine no se vendieron en esa funcin? 4 C) 0.9D) 0.47E) 0.37

4. Sarita tena cierta cantidad de dinero, luego gast de lo que no gast, despus no regal 1/3 de lo que regal, finalmente pag una deuda de S/.50 y le quedo S/.30.Cunto tenia al inicio?

A) 80B) 420C) 810D) 480E) 920

A) 154B) 137C) 137D) 2014E) 20

8. Una pelota de jebe cada vez que rebota se eleva los de la altura de donde cay, despus de 5 rebotes la pelota se ha elevado 4.86m. A qu altura cayo?

A) 2016 cm B) 2048 cm C) 4860 cm D) 4680 cm E) 2118 cm

9.Un nio compra limones a 6 por S/.4 y los vende a 8 por S/.6, para ganar S/.10 debe vender:

A) 120 limonesB) 150C) 100D) 180E) 200

10. Con 5/8 de litro se puede llenar los5/18 de una botella, cuando falte5/3 de litro para llenarla botella.Qu parte de la botella estar llena?A) 78

14. Halla la suma de 2 fracciones que tengan por numerador 1, por denominador dos nmeros consecutivos y que comprendan entre ellos a 7/41.11A) 2013B) 40 9 C) 3011D) 1811E) 3013

B) 9

C)717D) 1737

15. Si: a + b = 20 aHalla: b

A) 5/8B) 8/5

ab = 0.1; a < bE) 727

11. Calcular el valor de a:

C) 7/9D) 13/4

B)10200C)10110D)9950E)9900E) 8/13

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6

0,00a 2(0,0a ) 0, a = 0,73

16. Un jugador pierde en cada uno de los tres juegos sucesivos 1/3 de lo que le queda y en el cuarto juego gana el doble de lo que le quedaba despus del tercero, resultando con S/.8 800. Cunto tenia al inicio?12. Halla (a + b)

0,A) 10B) 11C) 12D) 13E) 14

ab 0, ba

1,4

A) 9800

17. He gastado 7/8 de mi dinero, pero

13. Efecta:E (21A) 431B) 423C) 426D) 527E) 4

2,3

0,583 )x2

si en lugar de haber gastado los7/8 hubiera gastado los 3/5 ahora tendra S/.5687 ms. Cuntotenia?

B)20980C)21760D)21840E)20680A) 20490

18. Se reparte una cierta cantidad de dinero entre cierto nmero de personas. La primera recibe S/.100 y 1/12 del resto, la segunda S/. 200 y 1/12 del resto, la tercera S/.300 y1/12 del resto y as sucesivamente. De esta manera todas ellas hanrecibido lo mismo y se ha repartidola cantidad ntegra. Halla el nmero de personas.

A) 11B) 12C) 13D) 14E) 15

19. Pocho compra vasos: la tercera parte a 4 por S/.6, la mitad a 6 por S/.7 y el resto a 3 por S/. 4. Vende los 2/3 a 3 por S/.5 y las dems a 6 por S/.9. Si gana en total S/.143.Qu nmero de vasos vendi?

A) 468B) 452C) 484D) 437E) 428

20. El agua contenida en un pozo, se agota en 3 horas; cada hora el nivel de agua desciende la mitad de la altura ms 1m. Determina en metros la profundidad del pozo.

A) 12m B) 16m C) 10m D) 14m E) 8m

REGLA DE TRES

La regla de tres, es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o ms valores conocidos y una incgnita. En ella se establece una relacin de linealidad (proporcionalidad), entre los valores involucrados.

REGLA DE TRES SIMPLE:

Existen dos tipos de regla de tres simple, lo cual depender de acuerdo a la relacin que tengan las magnitudes que intervengan en el problema.

I. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA:La regla de tres simple directaresulta de comparar dos magnitudes

producto en lnea de sus valores son iguales.

Ejemplo:Si 45 obreros pueden hacer un edificio en 20 das; en cunto tiempo harn 60 obreros la misma obra.

Solucin:A ms obreros se terminar en menos tiempo la obra; entonces son magnitudes inversamente proporcionales: OBREROS TIEMPO

45 obreros 20 da s60 obrreros X das

60 X 45 204 5 2 0directamente proporcionales, por lo tanto el producto en aspa de sus valores son iguales.

Ejemplo:

Ejemplo:

X 60X 15Si 40 obreros hacen 100 m. de carretera por da, cuntos metros por da harn 70 obreros.

Solucin:A ms obreros obviamente se harn ms metros de carretera, entonces son magnitudes directamente proporcionales:

OBREROS METROS 40 obreros 100 m.70 obreros X m .

40 X 70 1007 0 1 0 0

Carlos es el doble de hbil que Luis,pero la cuarta parte de Pedro. Si Luis y Pedro hacen un trabajo en 33 das. En cuntos das harn el mismo trabajo los tres juntos?

Solucin:Del enunciado:ProporcionalHabilidad de Luis: 1Habilidad de Carlos: 2Habilidad de Pedro: 8

Luego: Hab ilid a d d a s X 40 Luis y Pe d ro : (1+ 8)

33X 175 m.

II. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA:

Lo s 3: (1 2 8) x

Se debe observar que: Ha bilid a d I.P. # d a s

Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales, por lo tanto, el

9 . 33= 11x

x=

27 das


1. Si medio kilogramo de caramelos vale 80 cntimos, qu peso valdr60 cntimos?

A) 325 g B) 375 g C) 400 g D) 300 g E) 350 g

2. Un barco tiene vveres para 78 tripulantes durante 22 das, pero solamente viajan 66 personas.Qu tiempo durarn los vveres?

A) 13 das B) 39 das C) 30 das D) 26 das E) 234 das

3. Si A es 20% ms eficiente que B y, adems B puede hacer una obra en18 das, en cuntos das podrnhacer A y B juntos la obra?

A) 40,5B) 8C) 9D) 15E) 16

4. Se han disuelto 330 gramos de azcar en 7 litros de agua.Cuntos litros de agua hay que aadir para que el litro de mezcla contenga slo 11 gramos de azcar?

A) 28B) 25C) 32D) 23E) 30

5. Seis obreros pueden terminar un trabajo en 24 das. Despus de 8 das de trabajo se les juntan 2 obreros ms. En cunto tiempo terminarn la obra?


6. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3m de largo tarda 5 das en comerse todo el pasto a su alcance, cunto tardara si la cuerda fuera de 6 m?


7. La habilidad de 2 obreros es como7 es a 12. Cuando el primero haya hecho 350 metros de una obra,cunto habr hecho el otro?

A) 600 m B) 700 m C) 800 m D) 500 m E) 400 m

8. Si en 80 litros de agua de mar hay 2 libras de sal, cunta agua hay que agregar a esos 80 litros, para que en cada 10 litros de mezcla haya1/6 de libra de sal?

A) 120 litros B) 20 litros C) 30 litros D) 80 litros E) 40 litros

9. Para pintar un cubo de 10 cm de lado se gasta 240 soles. Cunto se gastar para pintar un cubo de15 cm de lado?

A) s/. 360B) s/. 620C) s/. 460D) s/. 480E) s/. 540

10. N hombres tienen alimentos para D das; si se quiere que estos alimentos duren 3D das,cuntos hombres deben dejar de alimentarse?

A) 2N/3B) 3N/2C) 3N/4D) 3N/3E) 4N/5

11. 300 hombres tienen alimentos para51 das. Si estos alimentos deben alcanzar para 153 das, cuntos hombres deben disminuirse?

A)100

B)205

C)210

D)180

E)200

12. Cierto nmero de obreros hacen una obra en 20 das, pero si se contratan 6 obreros ms, haran la obra en 15 das. Hallar el nmero de obreros.

A) 18B) 15C) 20D) 16E) 12

13. En un campamento, 13 hombres tienen vveres para un viaje de 4 meses. Si se quiere que los vveres

duren 10 das ms, cuntos hombres no podrn viajar?

A) 5B) 4C) 3D) 2E) 1

14. Pens pintar un rtulo comercial en una semana, pero al final demor 3 das ms por trabajar 3 horas menos cada da. Cuntas horas trabaj diariamente?

A) 7B) 6C) 10D) 9E) 8

15. Una guarnicin de 2250 hombres tiene provisiones para 70 das. Al terminar el da 29 salen 200 hombres. Cunto tiempo podrn durar las provisiones que quedan al resto de la guarnicin?


16. Una cuadrilla de 35 obreros pueden terminar una obra en 27 das. Al cabo de 6 das se le junta cierto nmero de obreros de otro grupo, de modo que en 15 das terminar la obra. Cuntos obreros eran del segundo grupo?

A) 11B) 13C) 14D) 15E) 16

17. Manuel es el triple de rpido queJuan y juntos realizan una obra en12 das. Si la obra la hiciera solamente Manuel, cuntos das demorara?

A) 20B) 16C) 18D) 14E) 48

18. m obreros pueden hacer una obra en a das. Cuntos obreros ms seran necesarios para poder hacerdicha obra b das menos?

20. Un ladrillo de los usados en construccin de hornos pesa 3 kg.Cunto pesar un ladrillo hecho del mismo material si las dimensiones se reducen a la mitad?

A) 3kg B) 3/2kg C) 1/3kg D) 3/8kg E) 2/3kg

m bA) a b m bB) am bC) b a m aD) ba bE) mb

19. Una familia compuesta por 10 miembros tienen alimentos para 36 das. Luego de 12 das, 2 de los hijos salieron de viaje y volvieron luego de algunos das, cada uno con 3 amigas. Si los vveres alcanzaron para el tiempo previsto.Cuntos das estuvieron de viaje los 2 hijos?

A) 20B) 15C) 22D) 18E) 25

REGLA DE TRES COMPUESTA:

Resulta de comparar ms de dos magnitudes directamente proporcionales (DP) o inversamente proporcional (IP).

MTODO DE LAS RAYASLas magnitudes que participan se clasifican en tres grupos perfectamente definidos:

1. CAUSASon aquellas magnitudes que

Ejemplo:Sabiendo que 20 obreros, trabajando 6 horas diarias pueden hacer una obra en 10 das; determinar en cuntos das,30 obreros doblemente hbiles, trabajando 8 horas diarias pueden hacer una obra cuya dificultad es dos veces la anterior.

Solucin:

Extraemos los datos y los separamos en grupos de causa, tiempo y efecto:Causa Tiempo Efectopermiten la realizacin de la obra y estn conformadas por lascondiciones que se tienen para

1 serie 20obr. 1 hab.2 serie 30obr. 2 hab.

6 hr. 10 das8 hr. M das

1 obra 1 dificultad1 obra 2 dificultadejecutarla, as por ejemplo:

Luego, multiplicamos todos los valores- Obreros- Rendimientoque encontremos al seguir una raya y

- Capital- Animaleslo igualamos al resultado de la

- Habilidad- Capacidadmultiplicacin de todos los valores que

- Mquinas-Esfuerzose encuentren al seguir otra de las

- etc.rayas; as:

2. TIEMPOSon aquellas magnitudes de tiempo en la que se realiza la obra:- Meses - Aos - Das- Horas por da - Raciones diarias de comida

3. EFECTOSon aquellas magnitudes que representan a la obra en s y los inconvenientes que estas tienen para ser realizadas:- Las medidas de la obra (largo, ancho, alto, profundidad, espesor, rea, volumen, etc.)- Dificultad de la obra.- Resistencia del medio.

Aplicacin del Mtodo:

Causa Tiempo

20 6 10 1 2 30 2 8 M 1 15 M

PRACTICA DE CLASE

1. Para plantar grass en un terrenode 500 m2, 10 personas demoran15 das de 7 horas de trabajo.Cuntos das de 8 horas de trabajo demorarn en plantar 800 m2; 15 personas doblemente giles?

A) 6B) 6,5C) 7D) 7,5E) 8

2. Siete autos necesitan 7 das para consumir 70 galones de gasolina.Cuntos galones consumir un

1 serie

xxxxxx

xxxxxx xxxxxx

auto en 7 das?2 serie

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

A) 7B) 9

Se igualan los dos productos que resultan de multiplicar todos los valores que siguen a una misma raya.

C) 10D) 17E) 7

3. Una obra puede ser terminada por27 obreros en cierto tiempo.Cuntos obreros 50% ms eficientes son necesarios aumentar para hacer la tercera parte de la obra en un tiempo 3/7 del anterior, trabajando la mitad de horas diarias?

A) 10B) 4C) 3D) 8E) 2

4. Ocho hombres construyen 8 casas en un tiempo de 8 aos trabajando con cierto esfuerzo. Cuntos hombres de la misma habilidad que los anteriores pero que trabajen con el doble de esfuerzo se necesitarn para construir el doble de casas en un tiempo 50% menor que el anterior?

A) 13B) 14C) 15D) 16E) 17

5. Se contrat una obra para ser terminada en 30 das empleando 15 obreros y trabajando 10 horas diarias. Despus de 8 das de trabajo, se acord que la obra quedase terminada 12 das antes del plazo estipulado y as se hizo.Cuntos obreros ms debieron

6. Ocho obreros, trabajando 40 das a razn de 10 horas diarias deban completar una obra. Seis das despus de empezada la obra, el capataz recibe la orden de trabajar dos horas al da menos debiendo completar la obra en 14 das antes del plazo fijado. Cuntos obreros se tuvo que contratar?

A) 9B) 8C) 12D) 13E) 15

7. Para hacer una obra que demorara8 das trabajando 6 horas diarias, se contrataron cierto nmero de albailes. Al cabo de 3 das comenzada la obra, se retiran 10 albailes adicionndoles 3 horas ms al trabajo diario al resto de los albailes; de esta manera la obra queda retrasada en 5 das. Hallar el nmero de albailes que haba al principio.

A) 30B) 15C) 5D) 20E) 18

8. Si 6 leadores pueden talar 8 rboles en 8 das En cuntos das talarn 16 leadores, 16 rboles si estos ltimos son 1/4 menos rendidores que los anteriores?

emplearse, teniendo en cuenta quese aument en 1 hora el trabajo diario?A)10 das

B)8 das

C)9 das

A)30D)12 das

B)15E)16 das

C)12

D)10

E)5

9. Si 8 obreros hacen 1 obra en 30 das En cuntos das harn la misma obra 12 obreros?

A) 20

C) 24D) 40E) 35

10. Si 6 obreros durante 7 das hacen2/7 de una obra Cuntos das demorarn 14 obreros para concluir la obra?

A) 6 das B) 7 das C) 7,5 das D) 6,5 das E) 8 das

11. 15 obreros se comprometen a terminar una obra en 21 das, pero

los 4/9 de la obra Cuntos obreros ms se debe contratar para terminar la obra en el plazo establecido?

A) 5B) 8C) 10D) 12E) 14

12. S a obreros realizan los 5/9 de una obra en 11 das; en cuntos das realizan el resto de la obra otros a obreros sabiendo que estos son 10% ms eficientes que los anteriores

A) 8B) 3C) 14D) 10E) 12

13. 500 sastres, trabajando 10 horas diarias han hecho 2300 polos trabajando todos los das del mes de febrero del 2001, 425 sastres

Cuntos polos harn en 42 das? A) 2500B) 4200C) 2346D) 2400E) 2040

14. Dos secretarias copian 350 problemas en una semana:Cuntas secretarias seran necesarias para copiar 600 problemas en 4 das?

A) 4B) 8C) 7D) 6E) 5

15. Una cuadrilla de 15 obreros se compromete a terminar una obra en14 das. Al cabo de 9 das. slo han hecho los 3/7 de la obra; Con cuntos obreros tendrn que ser reforzados para terminar la obra en el plazo fijado?

A) 18B) 20C) 21D) 26E) 22

16. Trabajando 8 h/d durante 5 das 3 panaderos pueden fabricar 600 panes 200 bizcochos. En cuntas horas 4 panaderos fabricarn 500 panes y 500 bizcochos?

A) 75B) 25C) 45D) 50E) 100

17. En 16 das, 9 obreros han hecho los2/5 de una obra. Si se retiran 3 obreros. Cuntos das demorarn los obreros restantes para terminar la obra?

A) 34B) 36C) 38D) 40E) 42

18. 8 agricultores trabajando 10 horas por da durante 5 das pueden arar un terreno cuadrado de 400 m. de lado. Cuntos agricultores de doble rendimiento ser necesario para que en 6 das de 8 horas por da aren otro terreno de 480 m por lado?

A) 6B) 8C) 10D) 12E) 9

19. Se sabe que 15 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 Ha. de trigo en 40 das. Despus de 10 das de trabajo se retiran 5 hombres y 5 mujeres. Determinar con cuntos das de retraso se terminar la cosecha si el trabajo que hace 1 hombre equivale al de 2 mujeres.


20. Si 10 obreros pueden realizar una obra en 24 das trabajando 6 horas diarias. Cuntos obreros del doble de eficiencia que los primeros; se necesitarn para realizar un trabajo del triple de dificultad que el primero en 20 das de 12 horas diarias?

A) 6B) 7C) 8D) 9E) 10

14CICLO PRE UNIVERSITARIO

MDULO DE RAZONAMIENTO LGICO

CENTRO PRE-ORD-UPB

BAGUA GRANDE PER

2015

CUANTIFICADORES

15Enunciado abierto.- Es el tipo de enunciado en el que se hace referencia a un objeto sin precisar su valor o condicin.

Ejemplos

Las rosas del jardn. x >5 La hipotenusa del tringulo es menor que diez metros.

Funcin proposicional.- Es un enunciado abierto en el que se hace referencia a la cualidad, caracterstica o valor, de un objeto, que no se conoce y que se representa por una variable.

Sea A un conjunto dado. Una funcin proposicional, o funcin lgica, de variable x definida sobre A es una expresin que se denota por: p(x).

Ejemplo.

r(x): x+12>6 p(x): x fue un poeta peruano.

Definicin de Cuantificadores. - Son expresiones que demuestran cantidad y que al ligarse con los enunciados abiertos o funciones proposicionales forman una proposicin.

Son cuantificadores las expresiones: todo, todos, algn, algunos, ningn, etc.

En matemtica, los cuantificadores se simbolizan para indicar la cantidad de valores de un conjunto numrico de referencia, que se puede asignar a la variable. Estos conjuntos pueden ser: los naturales(N), los enteros (Z), los racionales (Q), los reales (IR).

Cuantificador Universal. - Es el tipo de cuantificador que se utiliza para referir que la variable de la funcin proposicional puede asumir todos los valores de un conjunto dado.

El cuantificador universal se simboliza con , que se lee: para todo o para cualquier elemento de.

Este smbolo viene de la palabra alemana Allzeicher que significa totalidad.

Esquema: ,se lee para todo x que pertenece a A se cumple p(x).

Ejemplo

Para todo nmero x perteneciente al conjunto de los nmeros naturales, se cumple que si se le agrega 3 es mayor o igual que 7.

es un nmero impar.

Para todo nmero x, perteneciente al conjunto de los nmeros enteros, se cumple que si se le agrega 1 es un nmero impar.

Cuantificador Existencial.- Es el tipo de cuantificador que se utiliza para referir que la variable de la funcin proposicin puede asumir al menos uno de los valores de un conjunto dado.

El cuantificador existencial se simboliza con o existe al menos un o Existe algn .

Esquema: Existe un x que pertenece a A que cumple p(x).

Ejemplos.- Traduzcamos, al lenguaje verbal, las siguientes expresiones simblicas:

Existe al menos un x, perteneciente al conjunto de los nmeros naturales, se cumple, que si se le agrega 3, es mayor o igual que 7.

Existe al menos un x, perteneciente al conjunto de los nmeros enteros, se cumple, que si se le agrega 1 es un nmero impar.

.

Existe al menos un x, perteneciente al conjunto de los nmeros racionales, se cumple, que si se le disminuye 7y se le divide entre s mismo es un nmero entero. Existe al menos un x,perteneciente al conjunto de los nmeros reales, se cumple que su raz cuadrada es un nmero positivo.

Al igual que en el caso del cuantificador universal , desde un punto de vista de la lgica proposicional, ninguna de las expresiones dadas sin cuantificador existencial no puede ser calificada como verdadera o falsa.Queda claro que tienen aplicaciones opuestas.

Propiedad fundamental

Toda funcin proposicional se convierte en una proposicion si se determina a su

variable por cualquiera de las siguientes formas:

a. Se asigna un valor a su variable.b. Se utiliza un cuantificador aplicado sobre un conjunto dado.

Ejemplos.- Convertir en proposiciones las siguientes funciones proposicionales:

p(x): x+5>6- Dando un valor: p (4): 4+5>6- Utilizando un cuantificador:

q(x):- Dando un valor: q(2):- Utilizando un cuantificador:

Valor veritativo de una proposicin con cuantificador Si se emplea el cuantificador universal

Para este caso, la proposicin ser verdadera si la funcin proposicional es verdadera para todos los elementos del conjunto de referencia.

Ejemplo.- Si A={-2; -1; 0;1;2}, determinaremos el valor veritativo de:, se cumple que: Despejando, se tiene: ..(*)Comparando cada uno de loselementos de A con el valor obtenido, concluimos que todos verifcan la relacin (*)

Luego: , se cumple quees VERDADERA , si se emplea el cuantificador existencial .

Para este caso la proposicin ser verdadera, si se encuentra por lo menos un elemento del conjunto de

inferencia que hace verdadera la funcin proposicional.

Ejemplo.- Si B={-3,-1,3,5,7}, determ inemos el valor veritativo de: tal que:

Despejando, se tiene: (**)

Inspeccionando los elementos de B encontramos que, al menos uno de sus elementos s verifica la relacion(**), este es -1.

Luego: esVERDADERA.

Negacin de los Cuantificadores

La negacin de los cuantificadores es como sigue:( ) ( )( ) ( )As queda establecido que la negacinde una proposicin con cuantificador consiste en cambiar el cuantificador existencial por el universal y viceversa. Asimismo, se niega el enunciado abierto sobre el que est aplicado el cuantificador.

Ejemplo.-Determ inar la negacin de:

( )


1. La proposicin Algn no norteo es piurano, es equivalente a la proposicin:I. Hay piuranos que son no norteos.II. Es falso que todo piurano esnorteo.III. Algn piurano no es norteo. IV. Todo piurano es norteo.Son ciertas excepto: A) 1 y 2.B) 2 y 3C) Slo 3D) Slo 4. E) Todas.

2. La proposicin particular negativa es:A) Ningn tigre es ms grande que un gatoB) Algunos obreros no sonasegurados.C) Algunos sacerdotes son izquierdistas.D) Todos los empresarios son capitalistas.E) Pedro es ingeniero.

3. La negacin de: Todo es mortal,es:A) Algo no es no mortal. B) Ninguno es mortal.C) Todo es no mortal. D) Algo no es mortal. E) c y d.

4. La negacin de la expresin:Existe algn nmero entero m, para todo nmero entero n tal que: (m +7) > n > m es:

A) m Z, n Z: m+7 > n > mB) n Z, m Z: m+7 n m

C) m Z, n Z: n 7 + m m nD) n Z, m Z: m n 7 n mE) m Z, n Z: m+7 n m

8.- Cul es el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

Sealar la verdad o falsedad de:

x A : x 3 x > 4

5. Dado el conjunto:

A 1;2;3;4;5,6

x A, (x + 2 < 8) (x 1 > 5)Sealar la verdad o falsedad de:

I. n A : n2 40

x A, (x 3) (x 2)

II. m A : m2 > 40III. n A, m A : m > n - 10A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FFV

6. Dadas las proposiciones:p: x Z / (2x + 4) (3x -7) = 0 q: x Z / (x2 > 0) v (x - 1) < 0 r: x N / (4x + 2)(3x - 7) = 0Seale el valor de verdad de p, q, r y adems:

(p q) (p v r) r

A) VVFF B) VFVF C) VVVV D) FVFV E) FVFF

Donde:

A) FFF B) FVF C) FFV D) VFF E) VFV

A 1;2;3;4

CIRCUITOS LGICOS

Es un circuito conmutador que slo puede estar en dos estados estables: cerrado o abierto, del m ismo modo que una proposicin lgica puede ser verdadero o falso. Por lo tanto podemos representar una proposicion lgica utilzando un circuito logico. Hay dos clases de circuitos: circuito en serie y c icuito en paralelo.

Circuito en serie.- Dos interruptores conectados en serie representan una conjuncin .

Ejemplo : Sea el circuito pqr

~p q r

Circuitoenparalelo. -Dosinterruptoresconectadosenparalelo representan una disyu ncin inclusiva.

Ejemplo: Sea el circuito pvq

p

2. Dado el sigu iente circuito:

p q

p

~q

Su representacin en forma esquemtica del circuito simplificado es:

3. Dado el siguiente circuito:

p p

q

Disear el circuito equivalente:


p ~q~p q

p q

q



p ~p

Su representacin en forma esquemtica del circuito simplificado es:

5. Dar el esquema lgico del circuito simplificado:

q q r

El nmero de variables y llaves es:A) 3 y 5. B) 2 y 5.

A) qB) p

p ~ p

q q q~ p ~ q pC) 4 y 5. D) 3 y 4. E) 3 y 3.

C) p q D) p q E) p q

6. Construir el circuito simplificado del siguiente esquema:

p q p q

A) q B) p ~ q C) ~ p ~ q D) ~ p q E) p q

7. Dar el esquema lgico simplificado que represente al siguiente circuito:

9. El circuito:

p q r q ~ q ~ p p

Equivale a:

A) p B) q C) r D) F E) V

10. El circuito lgico adjunto:

A~ p ~ q A Bp ~ Cq A B Ap C Aq ~ r

~ p

A) f B) r C) q D) p E) v

8. El circuito:

A B ~ CEquivale a: A) A BB) A B C) A B D) A B E) A

11. El circuito lgicoadjunto:p ~ p q ~ q p q

A ~ A~ B

A C

~ p ~ q

Equivale a la proposicin: A) Si trabaja, tiene dinero.B) Trabaja o slo tiene dinero. C) Trabaja o no trabaja.D) Ni trabaja ni tiene dinero. E) Realm ente trabaja.

Equivale a: A) A BB) AC) A BD) BE) A B C

SolucinTengamos sugerenciaspresente importantes,dos queORDEN DE INFORMACIN

En este capitulo se har evidente que para encontrar la solucin de un problema debemos ordenar losdatos que se nos da.

Los problemas consisten en que dado un cojunto de datos no ordenados pero que contienen toda la informacin debemos relacionarlo entre s, recurriendo al ingenio o la deduccin lgica.

En este tema hay una gran diversidad de estos tipos de problemas y para poder estudiarlo lo agruparemos, segn sea la forma de ordenar la informacion en:

a. Ordenam iento lneal(se arregla en fila o columna)

b. Ordenam iento circular (se ordena a alrededor de un objeto)

c. Ordenam iento en tablas de doble entrada

A. ORDENAMIENTO LNEAL.

En este caso el orden de la informacin se realiza ubicando los datos en forma vertical u horizontal segun sea el caso.

Ejemplo

Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que:

- B obtuvo un punto ms que D- D obtuvo un punto ms que c- E obtuvo dos puntos menos que D- D obtuvo dos puntos menosque A

nos perm itan afrontar con xitoesta parte:

1. Tomar una orientacin .

Por ejemplo si dibujamos una lnea , entonces hacia el lado derecho consideramos ms puntaje y hacia el lado izquierdo menos puntaje, as:

menos puntaje(-)

ms puntaje(+)

2. Colocar toda informacin en funcin de esa orientacin.

- B obtuvo un punto ms que D

D B ms

-D obtuvo un punto ms que C

C D B

-E obtuvo dos puntos menos queD

E C D B

-D obtuvo dos puntos menos queA

E C D B A

En el diagrama final podemos observar que quien obtuvo ms puntaje fue A

Ejemplo

De los datos:

El seor Paibar y el seor Castro tienen la m isma cantidad de

Ms dinero

-Prez S/. 4500dinero; Paibar, sin embargo, es ms rico que el seor Ruiz quin es mas rico que el seor Prado. El seor Cornejo,que es ms pobre que Paibar, pero ms rico Prado, no es tan rico como Ruiz. El seor Castro es ms pobre que el seor Prez.Si el ms pobre tiene S/.500, adems, entre lo que tiene cada uno de ellos , hay una diferenc ia de S/.1000 ; Cunto tiene el seor Prez?.

Resolucin:Son seis lo personajes: Paibar,Castro,Ruiz, Prado,Cornejo y Prez

De los datos:

Ms dinero

Castro Paibar S/.3500

- Ruiz S/2500

-Cornejo S/.1500

- Prado s/500

Menos dinero

Segn los datos el ms pobre tiene s/. 500 y que sus cantidades se diferencian en s/.1000; lo que cada uno tendra se indica a la derecha de los apellidos.

Castro - Paibar

- Ruiz

-Cornejo

Castro - Paibar

Castro - Paibar

- Ruiz

- Prado

Cornejo es ms pobre que Paibar y ms rico que Prado, pero no tan rico como Ruiz

- Prado

Menos dinero

Paibar y Castro tienen la misma cantidad de dinero.

Paibar es ms rico que Ruiz y ste, ms rico que prado.

Luego: el seor Prez es mas rico que el resto y posee s/.4500

ORDENAMIENTO CIRCULAR

En algunos problemas se presenta la informacin indicndose que se ubican los datos dados alrededor deun objeto, formando as una lneaFinalmente, como Castro es ms pobre que Prez, la ordenacin final quedara como sigue:

cerrada (circunferenc ia)

Ejemplo 1

Anibal inv ita a cenar a sus am igos: Betty, Celinda, Daniel, Eduardo y Felipe; este ultimo, por razones de fuerza mayor, no pudo asistir . Se sientan alrededor de una misma

23mesa circular con seis asientos distribuidos simtricamente.

Si:-Anibal se sienta junto a Eduardo y Daniel.- Frente a Eduardo se sientaBetty.-Junto a un hombre no se encuentra el asiento vaco.

Entre quines se sienta Eduardo?

Solucin : Anibal se sienta junto aEduardo y Daniel

Frente a Eduardo se sienta Betty

Junto a un Hombre no se encuentra el asiento vaco. Entonces, Dicho asiento esta ubicado entre las dos mujeres; Luego:

Eduardo se sientan entre Anibal yCelinda.

Ordenamiento en tablas de doble entrada

En ocasiones la existencia de una diversidad de datos en algunos problemas, hace necesario la construccin de una tabla, en la cual se relacionen y ubiquen dichos datos. Generalmente en la 1ra entrada se escriben los nombres de personas, animales y cosas y en la 2da entrada las caractersticas de los sujetos, aunque a decir verdad, la ubicacin depende de la persona que construye y emplea el cuadro.

A continuacin se procede a marcar una x o un NO en cada casilla correspondiente a una imposibilidad definida y a colocar (es un v isto bueno) o un S en la casilla que corresponda a un dato confirmado.

Adems, se debe verificar tanto en cada fila horizontal y vertical la existencia de un solo s a menos que las condiciones del problema afirmen lo contrario o sealen caractersticas especiales de los datos.

Ejemplo A una reunin asistieron tres am igos: Marcos, Hugo y Carlos; y tres damas Pilar, Nora, Sara. Term inada la activ idad, cada uno de ellos sali acompaado de una dama. Hugo sali con la am iga de Nora. Pilar, que n o simpatizacon Nora sali antes que Marcos. CelindaQuin acompao a Sara y con quin sali Marcos?

Resolucin

Atencin! Vamos a resolver, de una manera sencilla, un problema de ingenio muy especial.

Analizando las prem isas:

Hugo sali con la amiga deNora

Se deduce que Hugo no sali con Nora, pudo Haber salido con Pilar o Sara.

NoraPilarSara

Marcos

HugoX

Carlos

Pilar no simpatiza con Nora

Se deduce entonces que Pilar no es am iga de Nora, entonces Hugo no sali con Pilar (por el c aso anterior).

Luego, Hugo sali con Sara, lo cual seala que Sara no sali ni con Marcos ni con Carlos.

NoraPilarSara

MarcosX

HugoXX

CarlosX

Pilar sali antes que Marcos

Se deduce que Pilar no sali con Marcos, tampoco con Hugo, pues ste sali con Sara; entonces, ella sali con Carlos. Luego, Hugo sali con Sara, lo cual seala que Sarano sali ni con Marcos ni conCarlos.

NoraPilarSara

MarcosXX

HugoXX

CarlosX

NoraPilarSaraMarcosXXHugoXXCarlosXXFinalmente, Nora sali con Marcos

Luego: Hugo acompaa a Sara yMarcos sali con Nora

EJERCICIOS DE APLIC ACIN

1.Antonio, Eduardo, Julio y Vctor fueron a cenar en compaa de sus esposas. En el restaurante ocuparon una mesa redonda y se sentaron de forma que se cumplan las siguientes condiciones.-Ningn esposo estaba sentado al lado de su esposa.-En frente de Antonio se sentaba Julio.- A la derecha de la esposa deAntonio se sentaba Eduardo.-No haba dos hombres juntos.Quin se sentaba entreAntonio y Vctor?

A) La esposa de Antonio B) La esposa de Vctor C) La esposa de JulioD) La esposa de EduardoE) La esposa de Antonio.

2.Cuatro am igos estudian en la U.P.B. en la misma especialidad en 7mo, 8v o, 9no y 10mo ciclo. Ninguno est en el m ismo ciclo que el otro. Ricardo term ina sus estudios este semestre. A Popy lo jalaron de ciclo y por eso va a estar con Pepe, quien siempre le pide prestado sus libros a Too para el prximo ciclo En qu ciclo est Popy?A) Stimo B) Octavo C) Noveno D) Dcimo E) F.D.

3.Cuatro am igos se sientan alrededor de una mesa circular, Bruno no est sentado frente a Cristbal; Amadeo est a la izquierda de Cristbal. Por lo tanto se puede afirmar:A) Daro est frente a Cristbal B) Bruno est frente a Amadeo C) Cristbal est a la derechade BrunoD) Daro y Bruno no estn juntosE) Ms de una afirmacin es correcta.

4.Tres am igas: Mara, Luca e Irene, estn formando cola para entra al circo. Si se sabe que Luca no est delante de Irene, para determ inar la posicin de cada una respecto a las otras, es necesario saber:

I) Mara no est delante deIreneII) Luca est detrs de Mara.

A) I pero no II B) II pero no I C) I y II a la vezD) I y II indistintamenteE) Faltan datos.

5.Cuatro am igos se sientan alrededor de una mesa, estos son: Luis, Eduardo, Hugo y Sabino. Si Eduardo no est frente a Sabino, adems a la izquierda de Luis est Sabino.Qu afirmacin es cierta?A) Sabino est frente a

6.Los FANS de tres modelos famosas tienen curiosidad por saber su edad; pero deben conformarse con saber que:

Claudia Shiffer es mayor que Valeria Mazza; Noem Campell es menor que Claudia Schiffer y Valeria Mazza es menor que Noem Campell.

La menor, la mayor y la intermedia es ese orden son:

A) Valeria, Noem, Claudia. B) Claudia, Noem, Valeria C) Noem, Valeria, Claudia D) Valeria, Claudia, Noem E) Noem, Claudia, Valeria

7.Santiago de Chile tiene menos habitantes que Lima; Lima tiene ms habitantes que Quito pero menos que Buenos Aires. Cul de las conclusiones es necesariamente cierta?A) Santiago tiene menos habitantes que Quito.B) Santiago tiene ms habitantes que Buenos Aires.C) Santiago tiene ms habitantes que QuitoD) Santiago tiene menoshabitantes que Buenos AiresE) Santiago tiene igual nmero de habitantes que Quito

Eduardo.- Ral no se sent al lado deB)Hugo est frente a Luis.Toms ni de PeterC)Luis est a la izquierda de- Mario no se ubic al lado deEduardoPeter ni de RalD)E)Sabino est frente a Hugo.Hugo est a la derecha deEduardo.- Sergio no se sent al lado deToms ni de Mario8.En el Casino Bingo Monte Carlo Peter, Daniel, Mario, Ral, Sergio y Toms se renen para jugar POCKER en una mesa redonda. Se sabe que:

Quin se sent frente aSergio?

A) Daniel B) Ral C) Peter D) MarioE) Sal o Mario

9.Cinco am igas comentan sobre el color de vestido que llevan a una reunin:- A Susana no le gusta elblanco y a Mara tampoco.- Cecilia va a toda reunin con vestido rojo.- Desde pequea Roco le gustaba llevar ropa color Azul.Quin lleva el vestido blanco? A) CeciliaB) Patricia C) Roco D) Susana E) Mara

10. Seis m iembros de una fam ilia: Jos, Andrs, Julio, Pedro, Sara y Jorge, se renen para desayunar en una mesa de forma circular. De la cual se sabe que:- El padre Jos no se sent al lado de su hijo Andrs ni de su hijo Julio.- Pedro que es nieto de Jos nose ubic al lado de Julio ni de su abuelo- Sara que es madre de Andrs y Julio no se sent al lado de Andrs ni de Pedro.

Quin se sent junto y a la izquierda de Julio?A) JosB) Andrs C) Pedro D) SaraE) Jorge

11. Cinco caballeros comentan sobre el color de su traje que llevan a una fiesta:- A Jos no le gusta el marrny a Pedro tampoco.-Carlos va a toda reunin con traje azul marino- Desde muy nio a Julio legustaba llevar ropa de color plomo.

Quin lleva el traje de color marrn?

A) Carlos B) Arturo C) Julio D) Jos E) Pedro

12. Sabiendo que:- El palto no es ms alto que el nogal.- El manzano no es ms bajo que el nogal- El nogal no es ms alto que el pero.Se concluye vlidamente que: A) El nogal es el ms bajo.B) Se niega que, el palto es ms bajo que el peroC) El ms alto es el manzanoD) El palto es el ms bajoE) No es cierto que, el manzano sea ms alto que el palto.

13. Un edificio tiene 8 departamentos, dos por piso, los cuales estn habitados por las fam ilias: Rodrguez, Castro, Garca, Gonzles, Ramrez, Ros, Mantilla y Bocanegra. Adems se sabe lo siguiente:- Los Gonzles son vecinos delos Garca-La Fam ilia Ramrez, v ive en el tercer piso

- Para ir de l departamento deC) Noem

los Garca al departamentoD) Sofa

de los Mantilla hay que bajarE) Laura

tres pisos.

- El departamento de los16.Tres am igos: Carlos, Luis e

Bocanegra se encuentra msIvn estudian 6 cursos: Algebra,

abajo que el departamentoGeometra, Razonam iento

de los Garca.Matemtico, Biologa, Qumica

- Las fam ilias Rodrguez yCastro viven en el m ismo piso.

Cul de los enunciados siguientes no es verdadero?

A) La fam ilia Ram rez es vecina de la fam ilia Bocanegra.B) Los Rodrguez v iven en el2do. piso.C) La fam ilia ros no vive en el2do pisoD) Los Gonzles no v iven en el tercer pisoE) Los Garca v iven en el primer piso.

14. Una ciudad A est al Sur Oeste de la ciudad de B. La ciudad C est al Sur Oeste de la ciudad B. Luego:A) A queda ms cerca de Cque de BB) A queda al Noroeste de C C) B queda al Noroeste de A D) A queda cerca a BE) A est al sur Oeste de C

15. En cierta prueba, Rosa obtuvo menos puntos que Mara; Laura menos puntos que Luca; Noem el m ismo puntaje que Sara;Rosa ms que Sofa; Laura el m ismo que Mara y Noem ms que Luca. Quin obtuvo el menor puntaje?A) LucaB) Rosa

y Literatura. Habiendo aprobadocada uno 2 cursos. Si se sabe que:- Carlos aprob Algebra pero noRazonam iento Matemtico.- Quien aprob Geometra, aprob tambin Biologa.- Ivn aprob Qum ica.

Quin aprob Literatura?Qu curso aprob Luis?

A) Carlos Razonam ientoMatemticoB) Luis Literatura C) Ivn Geometra D) Carlos BiologaE) Luis Razonam ientoMatemtico

17. Mara, Luca e Irene, v iven en 3 ciudades distintas: Lima, Cuzco, Tacna estudiando una carrera diferente: Educacin, Derecho y Arquitectura. Si se sabe que:- Mara no v ive en Cuzco.- La que v ive en Cuzco no estudia Derecho.- Luca no estudia Educacin- Luca no v ive en Tacna.- Quien v ive en Tacna estudiaArquitectura.Dnde v ive Irene y qu estudia?A) Lima Arquitectura B) Lima Educacin C) Lima DerechoD) Cuzco EducacinE) Cuzco Derecho.

28

Qu es un grafo?

TRAZADO DE FIGURAS(GR AFO)

nmero de lneas que convergen en ella.Con la acepcin que aquconsideremos, es sim plemente una configuracin que consiste en un nmero finito de puntos llamados vrtices y en un nmero finito de arcos. Los vrtices son los puntos extremos de los arcos y dos arcos cualesquiera carecen de puntos comunes, excepto quiz vrtices. Adems segn sea la cantidad de lneas que convergen en un vrtice podemos denom inarlo: punto par o punto impar.

Ejemplo

Figura 1

Qu es un punto par ?

Es aquel punto en el cual convergen un nmero par de lneas.

Ejemplos

Los puntos: P 1 ,P2, P3, P4 ,P5, de la figura1.

Qu es un punto impar(vrtice impar)?

Es aquel punto en el cual converge un nmero impar de lneas.

Ejemplos

Los puntos P 6 y P7 de la figura1.

Observaciones

1. El orden de un punto, ya sea par o im par, est dado por el

2. Para poder concluir la posibilidad o imposibilidad de realizar un grafo de un solo trazo , por muy complicado que este sea, es necesario conocer los teoremas de Euler que enunciaremos a continuacin.

Qu dicen los Teoremas deEuler?

Dado un problema de recorridos Eulerianos, diremos que se recorre un grafo cuando se pasa por todos sus arcos slo una vez; es decir el grfico debe dibujarse de un solo trazo continuo, sin levantar el lpiz del papel, ni pasar por una m isma lnea ms de u na vez.

Euler descubri y enunci las siguientes conclusiones:

TEOREMA I

Toda grfica adm ite un recorrido Euleriano si todos sus puntos son pares: (cualquiera que sea el punto par escogido se com ienza y se termina siempre en el m ismo punto).

Ejemplo:

Cada uno de los siguientes grafos tiene slo puntos pares y pueden realizarse de un solo trazo.

a)

b)

TEOREMA II

Toda grfica adm ite un recorrido Eureliano si presenta2 puntos im pares, debiendoempezar en un punto impar y term inar necesariamente e n el otro punto impar.

Esto nos dice que si la grfica contiene como mximo dos vrtices impares, sin tener en cuenta el nmero de vrtices pares, puede tambin ser recorrida, pero no puede volverse al punto de partida.

Ejemplos

A continuacin podemos apreciar el grafo que tienen a lo ms de 2 puntos impares.

a)

TEOREMA III

Toda grfica no adm ite un recorrido Eureliano si presenta ms 2 puntos impares.

a)

b)


1. Cules de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo?

A B

C D2. Cules de las siguientes figuras, se pueden graficar de un trazo, sin levantar el lpiz, ni pasar dos veces por la misma lnea?

3. Cuntas de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo contino ni pasar dos veces por una misma lnea?

4. Cules de las siguientes figuras se puede dibujar, sin levantar el lpiz del papel, ni pasar dos veces por la misma lnea? (Indicar Si o No).

5. Cuntos puntos de impares presenta la presente grfica?

6. Cuntos puntos impares presenta las siguientes grficas?

30CICLO PRE UNIVERSITARIO

MDULO DE ARITMTICACENTRO PRE-ORD-UPB

BAGUA GRANDE PER

2015

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZN: Es la comparacin de 2 cantidades homogneas. Esta

PROPORCIN GEOMTRICA (P.G):comparacin puede ser por diferencia o por cociente.

A C dondeB D

A, D : extremos:B, C : medios

CLASES

3. P.G. continua: Cuando los trminos medios son iguales.

RAZON ARITMETICA RAZON GEOMETRICA

A B ;

B : media proporcional entre A y C

A B

A B CB

C : tercera

proporcional entre A y B

Se lee: A es a B

4. P.G discreta: Cuando todos lostrminos son diferentes

PROPORCIN: Es la igualdad de dos

A C

donde

D : cuarta

proporcionalrazones. B D

PROPORCIN ARITMTICA (P.A):

A, D : extremos

*Cada elemento es cuarta diferencial de los otros tres.A B C D

donde

B, C : medios

Propiedad fundamental:

1. P.A. continua: Cuando los trminos medios son iguales.A B B CB: media diferencial de A y C C: tercera diferencial de A y C

2. P.A discreta: Cuando todos los trminos son diferentes.

*Cada elemento es cuarta diferencial de los otros tres.

Propiedad fundamental:

En toda proporcin aritmtica se cumple que la suma de los trminos extremos es igual a la suma de los trminos medios.

En toda proporcin geomtrica se cumple que el producto de los trminos extremos es igual al producto de los trminos medios.

Propiedades:

1.

2.

3.

4.

A C A B C D B D B DA C A B C D DA CBA C A C A B D B D BA C A B C D B D A B C DA C A C B D B D A C B D5.

31

EJERCICIOS DE APLICACIN1. Hallar la media aritmtica de:

A) 12 y 4B) 15 y 25C) 31 y 512. Hallar la tercera diferencial de:

A) 3 y 8B) 7 y 5C) 21 y 143. Hallar la cuarta proporcional entre: A) 16; 8 y 4B) 5; 8 y 10C) 0,5; 0,1 y 0,15D) 21; 12 y 49E) 0,4; 0,6 y 12

4. Aplicar la propiedad fundamental para calcular el trmino que falta en las siguientes proporciones:

1,3 0,26A) x 2

7. Calcular la cuarta diferencial de los precios de tres artculos que son 50,34 y 29.

A) 12B) 21C) 13D) 18E) 178. La razn geomtrica de dos nmeros vale 4/7 y su razn aritmtica es 45. Determina el menor de los nmeros.

A) 50B) 45C) 60D) 70E) 529. Tres nmeros son entre s como 4; 7 y 11; y la suma del menor con el mayor de dichos nmeros es 105. Determinar el menor de estosnmeros.

32 3 x B) 0,6

0,8

A) 49B) 14xC) 7

1842

C) 24D) 305. Calcular los valores de x e y en la proporcin:x y 6 30Sabiendo que: x + y = 30

A) 61B) 91C) 117D) 120E) 1326. Las edades de Juan y Roco estn en relacin de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Qu edad tiene Juan?

A) 20B) 30C) 40D) 45E) 60

E) 2810. En una proporcin geomtrica se sabe que el producto de extremos es 600. Si los trminos medios son consecutivos. Cul es la suma de los trminos medios?

A) 24B) 49C) 78D) 94E) 2513. La media diferencial de una proporcin es 24. Determinar la razn de la proporcin, si el primer extremo es el doble del segundo.A) 6B) 8C) 10D) 16E) 12

14. El producto de los cuatro trminos de una proporcin geomtrica continua, es 20736. Si la razn de la proporcin es menor que 1 y la suma de los extremos es 30, determinar el segundo extremo.

A) 20B) 28C) 24D) 12E) 32

15. Determinar a, b y c en

18. Las edades de tres hermanos estn en la relacin de los nmeros 4; 9 y7, si dentro de 8 aos las tres edades sumaran 84. Determine la edad del hermano mayor.

A) 19B) 17C) 21D) 27E) 24

19. Si se cumple

4 8

16

A B C D4 5 7 3a b c

Si a + b + c = 35

A) 10; 15; 20B) 5; 10; 20C) 5; 15; 20D) 12; 5; 10E) 4; 8; 116. En la siguiente proporcin:2 3 4x y z

Si se sabe que x + y + z = 36. Entonces el valor de z y + x; es:

A) 8B) 10C) 12D) 16E) 917. La edades de tres hermanos estn en la relacin de 5; 7 y 3, si la diferencia entre el mayor y el menor es 12. Determina la edad del otro hermano.

A) 18B) 15C) 27D) 19E) 20

Adems B D = 108. Determinar C A

A) 162B) 140C) 50D) 200E) 24020. Se tiene 3 nmeros proporcionales a4; 5 y 3; la diferencia entre el mayor y el menor es 222. Hallar el nmero que no es mayor ni menor.

A) 333B) 528C) 507D) 444E) 32421. El producto de los 4 trminos de P.G es 2 025; la diferencia de los medios es 12. Hallar el menor de los medios.

A) 5B) 15C) 12D) 3E) 9

MAGNITUDES PROPORCIONALES

34Es la comparacin entre los valores que adopta un grupo de magnitudes

Ejemplos de MIP:

-Rendimiento(todo aquello que tiende a sufrir algn tipo de variacin proporcional).

Ejemplo: la masa, la longitud y el tiempo; indicando su relacin proporcional.

CLASES:1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (MDP):

Cuando las 2 cantidades sufren la misma variacin proporcional respecto de su valor original un nmero entero de veces.

Notacin:

1. Nmero de obreros -Tiempo-Eficiencia2. Velocidad - Tiempo3. Nmero de objetos costo total.

PROPIEDADES:

1) Si A IP B A D P (1/B)2) Si A DP B A IP (1/B)3) Propiedad Conmutativa: Si A DP B B DP AA IP B B IP A4) Sean 3 magnitudes: A; B; C: Si A DP B (C = cte.) ()A DP C (B = cte.)A

A DP B;A B Si A / B = K A = KB

A DP B C BC

n n

= cte.

(K = constante)

5) Si A DP B A

DP B

(n Z )

Ejemplos de MDP:

1. El nmero de obreros obra2. Velocidad Distancia3. Tiempo dificultad de obra; etc.2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (MIP): Cuando las 2 cantidades sufren la variacin contraria de un valor original, la una de la otra; en una misma proporcin. La variacin de una magnitud inversamente proporcional puede ser un nmero entero de veces respecto de su valor original.

Notacin:

A IP B;A (1/ ) B AB = K A = K (1/B)(K=Potencia de inversin)


1. Si A es DP B2 y cuando A es 16;B=2; calcular A, cuando B=8

A) 64B) 32C) 8D) 512E) 256

2. Si A es IP B y cuando A es 24; B=8; Cunto valdr A, cuando B=16?

A) 14B) 12C) 96D) 54E) 16

3. Sabiendo que la 1 magnitud (M1) esDP a la 2 magnitud (M2); hallar el

C) 63D) 66

M148124M27valor de

10 :

E) 46

A30n2maBn151019. Si las magnitudes A y B son I.P. calcular m + n + a:

4. Sabiendo que la 1 magnitud (M1) esIP a la 2 magnitud (M2); hallar el valor de 3 :

M14816

M2624

cuando A=20;cuando A =12.B=5.CalcularBA) 6B) 2C) 3D) 8E) 95. Las magnitudes A y B son D.P.

6. Las magnitudes A2 y B son D.P. cuando A vale 10, B es 7. Qu valor toma A cuando B vale 28?

A) 26B) 20C) 30D) 28E) 19

7. Sean las magnitudes A y B donde A1/2 es I.P. a B, cuando A =100, B=3. Calcular cuando A=9.

A) 18B) 10C) 23D) 20E) 16

8. Si A es I.P. a (B2-1), siendo A igual a24 cuando B es igual a 10, hallar Acuando B es igual a 5.

A) 88B) 99

A) 65B) 68C) 57D) 60E) 6210. Una propina de s/.40 es repartida entre 2 hermanos directamente proporcional a sus edades que son 3 y 5 aos. Cunto recibe el mayor?

A) 15B) 20C) 25D) 30E) 35

11. Si las magnitudes A y B son D.P, calcular a + b +c:A10b405

Ba924c

A) 25B) 24C) 23D) 22E) 21

12. Si las magnitudes A y B son I.P. calcular m + n + p:A30n2ma

Bn15101

A) 75B) 74C) 73D) 72E) 71

13.La magnitud R disminuida en 4 u. esI.P. a la magnitud A aumentada en17.Sean las magnitudes A y B, donde Aes D.P. a (B2+1). Si cuando A=8,

7 u. Si cuando R=14, entonces A=2, hallar R cuando A=8.B=3, Qu valor tomara A cuando B=7?

A) 9B) 10C) 15D) 18E) 12A) 80B) 29C) 40D) 52E) 4

14. Repartir 12 240 en tres partes proporcionales a: 2/3; 1/5 y 5/6. Indicar la menor parte:

A) 1800B) 1440C) 2160D) 3600E) 2880

15. Se reparte 200 D.P. a8, 18 y

50 Hallar la mayorparte:

A) 20B) 60C) 100D) 40E) 80

16. El sueldo de un obrero es D.P. al cuadrado de sus aos de servicio, si uno con 6 aos de servicio percibe un sueldo de s/. 1800. Cul ser el sueldo de uno con 5 aos de servicio?

A) 1250B) 1600C) 1150D) 1520E) 1620

REPARTO PROPORCIONAL

Es la regla en la cual a una cantidad se reparte en otras que son directa o inversamente proporcionales, con otras llamadas ndices o factores de proporcionales, de modo tal que todasformen una serie de razones

constante k por los ndicesproporcionales.

Ejemplo:Repartir 750 en nmeros 3 partesDP a 6; 7; 12equivalentes.

Notacin

(i) (ii)

6 7 12 25k 750 / 25 k 30Repartir N en partes proporcionales aq; r; s; ; z

N = a + b + c + .. () a () q; b () r; c

(iii)

30 (6) 180 ;30 (7) 210 ;30 (12) 360() s; ..; () z a b c

K'

El reparto de 750 es: 180; 210;360q r s z

Donde:N = Cantidad a repartir.a; b; c; = partes de N que intervienen en el reparto.q; r; s; ; z = ndices o factores deproporcionalidad.K = constante de proporcionalidad.

CLASES:

I) Reparto Proporcional Simple(RPS)

1. RPS. directo o RepartoDirectamente Proporcional:

Cuando cada parte del nmero que se reparte es directamente proporcional, respectivamente, con cada ndice de proporcionalidad.

Regla prctica:i. Se suman los ndices de proporcionalidadii. Se halla la constante Kk = nmero a repartir / suma de ndices.

iii. Se hallan las partes proporcionales, multiplicando la

2. R.P.S. Inverso o RepartoInversamente Proporcional:

Cuando cada parte del nmero o cantidad a repartir es inversamente proporcional con cada ndice de inversin (ndice de las magnitudes inversamente proporcionales).

Regla Prctica:Se invierten los ndices de inversin y se procede como el reparto proporcional simple directo.

Ejemplo:Repartir 594 en partes IP a 2; 3; 6;10.(i) Las partes son DP a 1/2; 1/3;1/6; 1/10 DP a 15; 10; 5; 3: suma = 33 (ii) 594 / 33 = 18(iii) 18 (10) = 180;18 ( 3 ) = 54;18 ( 5 ) = 90;18 (15) = 270

El reparto de 594 es: 54; 90;180; 270

II) Reparto Proporcional Compuesto(RPC)Es el tipo de reparto que combina las 2 formas del reparto proporcional simple, por lo tanto, sus pasos de resolucin son los mismos segn cada caso.

Ejemplo:Repartir 128 partes DP a 1 y 4 e IP a5 y 3128(DP) 2; 4; 1/5; 1/3 =30/15; 60/15; 75/15; 45/15

luego 30 + 60 + 75 + 45 = 210

3. Repartir 264 en forma IP a los nmeros 2, 3, 6. Indicar la parte intermedia.A) 44B) 88C) 264D) 300E) 298

4. Repartir 280 en forma IP a los nmeros 1/7, 1/3, 1/4. Dar como respuesta la parte menor.A) 60B) 140C) 80D) 200

(i)

128 64 k

E) 220210

105

5. Por un trabajo de carpintera se pag a tres operarios 5400 soles.(ii)

128 128 256 320 192

Cunto le toca a cada uno de ellos,7 7 7 7

El reparto de 128 es:128/7; 256/7; 320/ 7; 192/7


1. Repartir 640 en forma DP a los nmeros 3, 5, 8. Indica la mayor parte:

A) 120B) 320C) 480D) 200E) 360

2. Repartir 1105 en forma DP a los nmeros 7, 4, 6. Indica la parte menor:

A) 260B) 65C) 455D) 390E) 130

si hicieron, respectivamente 10, 12 y5 mesas? Dar como respuesta la mayor cantidad.A) 1000B) 2000C) 2200D) 2300E) 2400

6. Un padre reparte 60 soles entre sus4 hijos proporcionalmente a sus edades que son 4, 5, 6, 15 aos respectivamente. Cunto le corresponde al menor de ellos?

7. Al dividir 36 partes que sean inversamente proporcionales a los nmeros 6; 3 y 4 (en ese orden); obtenindose 3 nmeros a; b y c; entonces a b c es:A) 1356B) 1536C) 1563D) 1635E) 1653

8. Repartir 480 en 3 partes DP a 3; 4; 5 e IP a 6; 12 y 18. Hallar la menor de las 3 partes.

A) 216B) 144C) 126D) 120E) 210

9. Se reparten S/. 2210 en 4 partes tales que la segunda es a la tercera como 7 es a 11, la 3 es a la cuarta como 4 es a m y la primera es a la segunda como 3 es a 5. Si a la cuarta le toco S/. 1100. Cul es el valor de m?

A) 8B) 11C) 12D) 33E) 44

10. Tres vecinos quieren pintar las fachadas de sus casas siendo el costo total 1369 soles. La extensin de la fachada del primero es los 3/5 de la del tercero y la del 2 es los 7/2 de la del 1. Si el gasto se reparte en forma DP a la extensin de las fachadas. Cunto le toco abonar al3?A) S/. 222B) S/. 228C) S/. 370D) S/. 725E) S/. 777

11. Repartir 594 en forma IP a los nmeros 2, 6 y 10. Indicar la parte mayor.

A) 180B) 270C) 90D) 18E) 54

12. Repartir 962 IP a 3, 5 y 12. Indicar la suma de cifras de la parte menor.A) 22B) 4C) 17D) 13E) 15

13. Si 560 se reparte DP a los nmeros10, 30, 50 y 70, hallar la mayor parte.A) 35B) 105C) 175D) 360E) 245

14. Se reparten 24 centavos en partes proporcionales a las edades de 3 nios de 2; 4; 6 aos; respectivamente. Cunto toca a cada uno?A) 2; 4; 8B) 12; 16; 20C) 40; 18; 30D) 3; 4; 5E) 4; 8; 12

15. Dos obreros ajustan una obra por S/.110. el jornal del 1 es de S/.3 y el segundo, S/. 2,50. Cunto percibir cada uno de la cantidad total?A) 80; 65B) 30; 40C) 100; 75D) 60; 50E) 70; 60

16. Tres hermanos adquieren una propiedad en S/. 85 000 y, algn tiempo despus, la venden en S/.100 000. si las partes queimpusieran son proporcionales a los nmeros 3; 4; 8. Cunto gan cada uno?A) S/. 1000; S/. 2000; S/. 3000B) S/. 7000; S/. 8000; S/. 9000C) S/. 3000; S/. 4000; S/. 8000D) S/. 4000; S/. 6000; S/. 10000E) S/. 10000; S/. 12000; S/. 14000

17. Se ha repartido una cantidad en 3 partes DP a 3 nmeros siendo la primera parte 13200; la segunda33000 y la tercera 528000; si ladivisin se hace en forma IP a esos3 nmeros. Cul sera la segunda parte?A) 60 000B) 24 000C) 15 000D) 33 000E) 35 000

18. Repartir S/. 1814 en 4 partes proporcionales a 8/11; 3/2; 5/6; 3/8. Dar como respuesta la suma de la parte mayor y menorA) S/. 495B) S/. 845C) S/. 980D) S/. 990E) S/. 1010

19. La seora Carmen dej una herencia de S/. 14400, para repartirla proporcionalmente a las edades de sus hijos: Miguel, Carlos y Jaime. Si la edad de Jaime es el doble de la de Miguel y Carlos obtuvo S/. 4200 y adems, la suma de las edades es de 72aos. Cul es la edad de Jaime?A) 21 aos B) 11 aos C) 32 aos D) 33 aos E) 44 aos

20. Dos hermanos se reparten una herencia de la siguiente manera: La quinta parte DP a 2 y 3, 2/5 del resto IP a 5 y 3 y el resto DP a 5 y 7, si a uno de los hermanos le correspondi 14000 soles. Hallar la herencia.A) 27500B) 47500C) 53000D) 42500E) 35000

Qu es una mezcla?

MEZCLA

II.

precio precio precio Es una reunin de 2 o ms sustancias

menor

medio

mayor(ingredientes) en cantidades arbitrarias conservando cada una de ellas su

III.

ganaciaaparente

perdidaaparentepropia naturaleza.

En qu consiste la regla de mezcla?

IV.

precio venta

precio gananciamedio

La regla de mezcla se origina por el deseo de los comerciantes en determinar el precio de venta de unaunidad de medida de la mezcla.

Mezcla alcohlica: Es aquella mezclaen la que interviene alcohol puro y agua.

Adems:

grado de

volumen de alcohol Para ello se vale de algunosprocedimientos aritmticos, lo cual ensu conjunto constituye la Regla de

mezcla

volumen total

100mezcla.

grado V1G V 2G V 3G ...V G 1 2 3 k k

Ejemplo inductivo:

medio

V1 V 2 V 3 ... k

Un comerciante hace el siguiente pedido a un distribuidor mayorista de caf:

CafCantida d en Kg.Precio unitario

Extrae (E) Superior (S) Corriente (C)50

20

15S/. 7

S/. 5

S/. 4

Para venderlos a sus clientes el comerciante mezcla los tres tipos de caf. A cmo se debe vender el kg para ganar el 20%?.

Para ello debe saber las siguientes frmulas:

* En general para K sustancias

Cantidades C1 C2 C3 Ck Precios unitarios P1 P2 P3 Pk Se debe cumplir:I. Precio medio =

Siendo: V1,V2,V3,VK volmenes

G1, G2, G3, ... Gk grado


1. Una mezcla alcohlica de 85% de pureza contiene 420 litros ms de un ingrediente que el otro. Qu cantidad de alcohol puro contiene?A) 510B) 490C) 560D) 450E) 360

2. Un recipiente A contiene una mezcla de alcohol y agua al 60% y otro recipiente B contiene la otra mezcla al 40% si las cantidades son 20 y 80 litros respectivamente. Ambas mezclas se mezclan en un recipiente C Qu concentracin tendr la nueva mezcla?A) 48% B) 50%C1P1 C2 P2 C3 P3 ... Ck Pk =C1 C2 C3 ... Ck

Costo total peso total

C) 44%D) 36% E) 25%

41

3. Se mezclan tres litros de cido al30% con 9 litros al 70% y al resultado se le agrega un diluyente hasta obtener una concentracin al50%. Cuntos litros de diluyente se emple?A) 2L B) 4LC) 2.4L D) 3LE) 2.5L

4. Cuntos litros de agua se debe agregar a 90 litros de vino, cuyo precio por litro es 20 soles, si se desea obtener un vino cuyo precio medio sea 15 soles?A) 20L B) 40L C) 15L D) 30L E) 25L

5. Una seora prepara el desayuno1

7. Se tienen 540L de alcohol al 90, se le agrega con 840L de un alcohol de 72 para que la mezcla sea de 60%, indicar la cantidad de agua que se debe adicionar a la mezcla.

A) 432B) 498C) 568D) 512E) 712

8. En un depsito hay 18 lt. de agua y 12 lt. de leche. Se retiran 8 litros de la mezcla. Cuntos litros de leche salen?

A) 4,8B) 4,2C) 3,2D) 3,6E) 5,4

9. Se hace una mezcla de vinos deS/.70 el litro y S/.60 el litro con agua, la mezcla tiene un precio demezclando

1 tazas de leche23

S/.50. Se sabe que la cantidad de agua es los 2/5 de la cantidad deevaporada con

2 tazas de agua4

vino de S/.60. En qu relacinhervida. Sirve a su esposo media taza de esta mezcla. Cunto de leche evaporada hay disuelta en la taza?A) 3/17B) 4/15C) 2/11D) 5/9E) 3/11

6. Se tiene 20 litros de alcohol al

porcentajedealcoholdelamezcla?.A) 78%B) 81%C) 75%D) 84%E) 60%80%, si se le agrega 5 litros de alcohol puro. Cul ser el

estn las cantidades de vinos deS/.40 respecto al de S/.60.

A) 0,4B) 0,33C) 0,5D) 0,45E) 0,44

10. En un depsito que tiene 48 tazas de agua se agregan 4 tazas de cloro (leja). Qu parte de la mezcla resultante es agua?A) 1/25B) 1/26C) 2/25D) 1/13E) 12/13

11. Se mezclan en una jarra 5 tazas de agua con 1/2 taza de zumo de limn.Qu parte de la mezcla resultante es agua?A) 10/11B) 1/11C) 3/8D) 1/9E) 2/9

12. En un costal se colocan 20 kg. de arroz tipo A de S/. 3 el kg. y 30 kg. de arroz de tipo B de S/. 2 el kg.Cunto costarn 25 kg. de dicha mezcla de arroz?A) 30B) 40C) 50D) 60E) 20

13. Un radiador de 16 litros se llena con agua, luego se sacan 4 litros y se reemplaza con lquido refrigerante puro; despus se sacan 4 litros de la mezcla y se reemplazan con el mismo lquido. Esta operacin se repite por tercera y cuarta vez; la fraccin de agua que queda en la mezcla final es:A) 1/4B) 81/256C) 27/64D) 45/128E) 1/16

14. Se mezclan 45 litros de vino de 40 soles el litro con vinos de 24 y 36 soles el litro. Resultando un precio medio de 34 soles el litro. Hallar la cantidad total de mezcla sabiendo que por cada 5 litros del segundo hay 7 litros del tercero.A) 45B) 90C) 135D) 150E) 55

15. Se mezcla un vino de 43 soles el litro, con otro de 27 soles el litro, resultando en total 128 litros a 32 soles el litro. Qu cantidad se tom de cada uno?A) 40 88B) 40 68C) 50 78D) 20 52E) 30 - 58.

16. Se han mezclado dos tipos de aceites de precios S/. 5 y S/. 8 el litro, resultando un precio medio de S/. 5,9. Hallar la proporcin de la mezcla.A) 2/3B) 3/7C) 5/7D) 2/9E) 3/9

17. En un bidn hay 40 litros de alcohol al 90% de pureza en otro hay 60L de alcohol al 70%. Cul es el grado medio?.A) 77,5B) 68C) 69,5D) 77E) 83

18. Se venda por S/.7710 un tonel de vino de 220L que es una mezcla de otros dos que valen S/.41 y S/.29 el litro. Cuntos litros de la1era clase contiene el tonel si seha realizado en la venta un beneficio de S/.1000.A) 28,5B) 26,5C) 27D) 27,5E) 28

ALEACIN

Definicin: Es la mezcla de 2 ms metales mediante el proceso de fundicin. En las aleaciones por convencionalismo los metales se clasifican en:

a) Finos oro, plata, platino.b) Ordinarios Cobre, hierro, zinc.

La pureza de una aleacin se determina mediante la relacin entre el peso del metal fino empleado y el peso total de la aleacin, a dicha relacin se le conoce como la ley de la aleacin.

EN GENERAL: Para la aleacin

Peso metal fino Peso metal ordinario

D) 152,4E) 174,5

3. Una aleacin con un peso de 4Kg se funde con 5Kg de plata y resulta 0,9 de Ley. Cul es la ley primitiva?.

A) 0,70B) 0,67C) 0,48D) 0,65E) 0,76.

4. Qu cantidad de cobre debe aadirse a una barra de plata que pesa 635g y tiene 0,920 de ley para que resulte una aleacin de 0,835 de ley?

A) 46,64I. Ley =

II. Liga =

peso metal fino N de kilates peso total 24 peso metal ordinario peso total

B) 64,64C) 56,84D) 63,64E) 66,44

III. 0

Ley de la 1aleacion

5. Si se funde 50 gramos de oro con450g de una aleacin, la ley de aleacin aumenta 0,02. Cul es laEJERCIOS DE APLICACIN

1. Una barra de oro de 14 quilates pesa 21 gramos. Qu peso de oro puro se le debe aadir para obtener una ley de 18 quilates?A) 13B) 17C) 21D) 10E) 14

2. Un anillo de oro de 18 quilates pesa9 gramos. Si el gramo de oro puro se paga a S/.18. Cul es el costo del anillo?.A) 125,1B) 121,5C) 134,5

ley de la aleacin primitiva?

A) 0,7B) 0,55C) 0,8D) 0,6E) 0,9

6. Qu cantidad de cobre habr de aadirse a una barra de plata a4,4Kg, cuya ley es 0,92 para queesta disminuya a 0,88?

A) 0,1kg B) 0,2kg C) 0,18kg D) 0,3kg E) 0,25kg

7. Cul es la ley de aleacin del que est hecho un plato cuyo peso es500g. Si se ha vendido a S/.770, al precio de S/.2200 por kilogramo de plata pura?

A) 0,6B) 0,75C) 0,65D) 0,68E) 0,7

8. Se tiene una barra de plata de 0,85 de ley. En qu relacin en peso, deben quitarse las cantidades de plata y Cu para que la ley se conserve?.

A) 16/5B) 8/5C) 17/5D) 17/3E) 14/9

9. Se tiene tres lingotes de oro con leyes: 0,960; 0,760 y 0,93375 respectivamente. Se desea obtener un lingote de 2,45 kg. Con ley 0,900.Qu peso (gramos) es necesario tomar del segundo lingote si se impone la condicin de emplear 800 gramos del tercero?A) 730B) 830C) 530D) 630E) 430

10. Un joyero tiene un lingote de oro de ley 0,9 que pesa 1500 gr. Qu cantidad de oro puro en gramos tendr que aadir al lingote para elevar su ley a 0,925?A) 350B) 500C) 600D) 750E) 300

11. Una sortija de 16 quilates pesa 15 g.Calcule el precio de la sortija si el gramo de oro puro cuesta 30 soles (el precio del metal ordinario es despreciable).A) 270B) 300C) 330D) 420E) 510

12. Halle cual es el peso del oro puro en una joya de 14 quilates cuyo peso del metal ordinario es 30g.

A) 42B) 28

C) 36D) 48E) 60

13. Se tiene una joya de oro en la cual se ha utilizado para su confeccin:10 gramos de oro puro y 6 gramos de cobre. Cul es la ley de la sortija?

A) 0,750B) 0,800C) 0,625D) 0,825E) 0,900

14. Piero deja a un joyero una cadena de 16 quilates con el encargo para que luego de fundirla le haga una pulsera de 2 quilates ms que la anterior. Si el joyero empleo 20 gramos de oro puro adicional.Cunto pesaba la cadena? A) 42B) 28C) 36D) 48E) 60

15. Se tiene una barra de oro de 0,800 de ley y otra cuya ley es de 0,775. Si el peso de esta ltima es el cudruple de la anterior, halle la ley media que resulta de la aleacin.A) 0,680B) 0,800C) 0,780D) 0,850E) 0,940

16. Cuntos quilates tiene una aleacin que contiene 85 gramos de oro puro y 15 gramos de cobre?A) 20,4B) 18,4C) 10,4D) 18,8E) 22,4

17. Con dos lingotes de leyes de 0,820 y0,900 se hace una aleacin de 400 kilogramos y cuya ley es 0,850.Qu peso se ha tomado de cada uno de los lingotes?

A) 250 kg. Y 150 kg. B) 300 kg. Y 100 kg. C) 180 kg. Y 220 kg. D) 280 kg. Y 120 kg. E) 80 kg. Y 320 kg.

18. Se funde cuatro cucharas de plata de ley 0,750. Sabiendo que cada una pesa 170 gramos Qu peso de plata pura habr q agregar para obtener una aleacin de ley de0,900?

A) 1000 gr. B) 800 gr. C) 1040 gr. D) 1020 gr. E) 1120 gr.

19. Al fundir, un joyero, 3 lingotes cuyas leyes en oro son 0,92; 0,84 y 0,72 respectivamente, de los cuales se obtuvo un lingote de oro cuyo peso se desea conocer. Los pesos de los tres lingotes son inversamente proporcionales a sus leyes y el tercero pesa 245 gramos ms que el primero.A) 3115B) 2225C) 2775D) 2975E) 2725

20. Cul es la ley de aleacin de un vaso de plata que pesa 500 gramos, si se ha vendido en 77 soles al precio de 220 por kilogramos de plata pura?

A) 0,600B) 0,680C) 0,700D) 0,720E) 0,750CICLO PRE UNIVERSITARIO

MDULO DE LGEBRACENTRO PRE- ORD-UPB

BAGUA GRANDE PER

472015

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

48

DEFINICIN: Son aquellas ecuaciones polinomiales que tienen la siguiente forma cannica:

ax2 bx c 0; a ; b ; c

Siendo:

ax2 el trmino cuadrtico. ax el trmino lineal. c el trmino independiente.

MTODOS DE RESOLUCIN DE UNA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO:

1. Por factorizacin.Se factoriza el trinomio de segundo grado, para luego igualar cada factor a cero y determinar los valores que verifican la ecuacin.

2. Por frmula.Dada la ecuacin cuadrtica:

PROPIEDADES DE LAS RACES:

Siendo: x1 y x2 las races de la ecuacin cuadrtica:

ax2 + bx + c = 0, entonces se cumple que:

1. Suma de races:x x b1 2 a

2. Producto de racesx .x c1 2 a

RECONSTRUCCIN DE LA ECUACIN CUADRTICA A PARTIR DE SUS RACES:

Si: x1 y x2 son las races de una ecuacin cuadrtica y adems:

x1 + x2 = S; x1 . x2 = P; entonces la ecuacin cuadrtica de dondeax2 bx c 0

en la que a 0, se

provienen dichas races es:puede obtener los valores de la incgnita (x) mediante la siguiente

x2 Sx + P = 0

formula.

x b

b2 4ac2a

Dnde: b2 4ac = (Discriminante)

NATURALEZA DE LAS RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA:

1. si: > 0, entonces las races sern reales y diferentes.2. si: = 0, entonces las races sern reales e iguales.3. si: < 0, entonces las races sern complejas y conjugadas.

Se refiere a las desigualdades de tipo:ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c < 0 ; ax2 + bx + c 0

Resolucin por el Mtodo de los puntos crticos

1. Se factoriza el polinomio mediante una aspa simple.2. Se hallan los puntos crticos, igualando cada factor a cero y se ubican en la recta numrica o eje lneal de coordenadas.

3. De derecha a izquierda se ubican los signos (+) y menos () en forma alternada en cada intervalo.4. Luego, si P(x) 0 se tomarn losintervalos (+) y si P(x)0 se tomarn los intervalos negativos.

Ejemplo:

Resolver: x2 5x + 6 > 0

Resolucin:1. Descomponiendo el polinomio: (x - 3) (x - 2) > 0

2. Hallando los puntos crticos:

x 3 = 0 x = 3 x 2 = 0 x = 2Los puntos crticos son 2 y 3.

3. Ubicamos los puntos crticos en la recta numrica.

4. Colocando los signos en los intervalos formados.

EJERCICIOS DE APLICACIN1. Resolver: x2 9x 20 0Indicar una solucin:

A) 4B) 1C) 2D) 3E) 7

2. Resolver: (x+3)3 x3 9x2 = 54

A) 0B) -1C) 1D) 2E) -2

3. Hallar el valor de x en:x a x b x c ab ac bca2A)a b cb2B)a b cc2C)c a bb2D)b c a

5. Como la ecuacin es de la formaP(x) > 0 la solucin es la unin de los intervalos que tienen signo positivo.

:. x < - ; 2 > U < 3; + >

E) abc a b c

4. Calcular: (x1 x2 )2 si: x1 y x2 son races de:x2 + 7x + 5 = 0A) 19B) 29C) 16D) 25E) 4

5. Halle una ecuacin de 2 grado cuyas races sean las recprocas de las races de:x2 5x 3 0

A) x2 2x 15 0B) x2 x 15 05x2 3x 1 0

10. Resolver:x 2 7 6 xA) 8, B) 7, C) [7, D) E) [9, C)x 2 1 x 1 0D) 5 3E) 3x2 5x 1 0

11. Hallar la solucin:24 2 x x 2 xA) 1;2]B) 1;4]6. Resolver: 3x2 11x + 6 < 0. Su intervalo solucin ser:A) B) UC) [2/3; 3]D) E) 3;+ >

7. Resolver: x2 9. Dar su intervalo solucin.A) [-3; 3]B) C) RD) E)

8. Resolver: x2 > 3. Dar un intervalo de su solucin.A) B) C) D) RE)

9. Resolver: x2 4x + 1 < 0 . Dar un intervalo solucin:

C) 3;4]D) RE) 2;4]

12. Resolver: 3x2 2x 5 < 0 .Dar un intervalo solucinA) B) C) D) E) R

13. Resolver: x2 9x +25 < 11A) B) C) D) RE) R+

14. Resolver: (x-3)2 0A) RB) [3;+ > C)

B) [2- 3 ; 0> C) RD) HAY 2 RESPUESTASE)

15. Resolver: x

A) [2;+ > B) C) D) R {2} E)

8x + 8 > 4 4x

16. Resolver:ax + bx2 a + bx ; b < a < 0

A) B) UC) D) UE) U

17. Resolver: x2 + 18 < 9x x2 > 2x

A) B) C) D) E) R

18. Sean los conjuntos:A = {x R / x2 x 2 0}B = {x R / x2 4x 5 0} Hallar A B:A) [2; 5] U {-1}B) [-1; 2] U [5; +> C)

19. Del problema anterior, hallar A B A) B)

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