SINTITUL-1
11
INTRODUCCIÓN Los triángulos son las figuras geométricas más importantes ya que cualquier polígono con un número mayor de lados puede reducirse a una sucesión de triángulos, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o uniendo todos los vértices con un punto interior del polígono. Entre todos los triángulos sobresale el triángulo rectángulo cuyos lados satisfacen la relación métrica conocida como Teorema de Pitágoras, que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales. DEFINICIÓN: Es aquella figura geométrica que resulta de la reunión de tres segmentos de recta unidos por sus extremos a quienes se les denomina vértices. c A B b C a ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO • Vértices : A, B, C • Lados : , , AB BC AC NOTACIÓN : ∆ABC : (SE LEE: triángulo ABC) También se le puede denotar: ∆BCA, ∆CAB PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO: Se denomina perímetro de un triángulo a la línea cerrada que lo limita. La longitud del perímetro de la región triangular se calcula al sumar las longitudes de sus lados. Perímetro : 2 p a b c = + + Para el vértice A su lado opuesto es BC , convencionalmente a la longitud de dicho lado se le asigna el valor a, sucede lo mismo con los otros vértices.
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CAPÍTULO
04
INTRODUCCIÓN
Los triángulos son las figuras geométricas más importantes ya que cualquier polígono con un número mayor delados puede reducirse a una sucesión de triángulos, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o uniendotodos los vértices con un punto interior del polígono. Entre todos los triángulos sobresale el triángulo rectángulo cuyoslados satisfacen la relación métrica conocida como Teorema de Pitágoras, que es la base de nuestro concepto demedida de las dimensiones espaciales.
DEFINICIÓN: Es aquella figura geométrica que resulta de la reunión de tres segmentos de recta unidos por susextremos a quienes se les denomina vértices.
c
A
B
b C
a
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
• Vértices : A, B, C
• Lados : , ,AB BC AC
NOTACIÓN : ∆ABC : (SE LEE: triángulo ABC)
También se le puede denotar: ∆BCA, ∆CAB
PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO:
Se denomina perímetro de un triángulo a la línea cerrada que lo limita.
La longitud del perímetro de la región triangular se calcula al sumar las longitudes de sus lados.
Perímetro : 2p a b c= + +
Para el vértice A su lado opuesto es BC , convencionalmente a la longitud de dicho lado se le asigna el valor a, sucedelo mismo con los otros vértices.
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS ASOCIADOS AL TRIÁNGULO
β
φ
αω θ
• Interiores : α, β, θ
• Exteriores : ω, φ, γ
TEOREMAS FUNDAMENTALES EN EL TRIÁNGULO
1. Suma de medidas de ángulos internos
β
α θ
180α + β + θ = °
2. Suma de las medidas de los ángulos exteriores
θ
α ω
360wα + θ + = °
3. Cálculo de medida del ángulo exterior
β
xα
xα + β =
4. De la existencia de un triángulo
a b
c
Si : b a c≥ ≥
⇒ b c a b c− < < +
5. De la correspondencia de un triángulo
β
αθ
a b
c
Sea : α < θ < β
Luego: a b c< <
CLASIFICACIÓN:
I. Según las medidas de sus ángulos:
A. Triángulo Rectángulo.- Cuando uno de sus ángulos interiores mide 90°.
α
β
A
B C
Si m ABC=90°. Entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo recto enB
AB y BC : Catetos
AC : Hipotenusa
Se cumple : α + β = 90°
B. Triángulos Oblicuángulos.- Cuando ningún ángulo interior mide 90°
ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO
Si la medida de los ángulos internos Si la medida de un ángulo interno es obtuso
son agudos.
β
α θ
B
A C
β
BC
A
θα
90°<α<180°
0°< α < 90° 0° < β < 90°0° < θ < 90°
0°< β < 90°
0°< θ < 90°
II. Según las longitudes de sus lados
A. Triángulo Escaleno.- Es aquel triángulo cuyos lados son de diferente longitud.
c
B
A C
a
b
Del gráfico a ≠ b
a ≠ c
b ≠ c
B. Triángulo Isósceles.- Es aquel triángulo que sólo presenta dos lados de igual longitud.B
A C
l
m
l
α β
AB BC= =
α = β
Del gráfico : AB BC= ⇔ α = β
C. Triángulo Equilátero.- Es aquel triángulo cuyos lados son de la misma longitud.
Por lo tanto sus ángulos internos son de igual longitud.
B
A C
ll
l60º 60º
60º
AB BC AC= = =
I. Problema desarrollado
1. En la figura, calcular x:
120º
150º
x
E
B
A C D
Resolución:En el ∆AED : m A+120°=150°
m A =150° - 120°m A = 30°(Por Teorema de ÁnguloExterior de un triángulo)
En el ∆ABC : m A+90° = xPero : m A =30°⇒ 30° + 90° = xx = 120°(Por Teorema de ÁnguloExterior de un triángulo)
II. Problema por desarrollarEn la figura, calcular x:
x
x
B
A C D
E
150º x
Resolución:
1. En la figura, calcular x.
x
75º 40º
B
A C
Rpta.: .......................................................
2. En la figura, calcular x.
147º 63º
x
B
A C
Rpta.: .......................................................
3. En la figura, calcular x.
120°
140°
x B
AC
Rpta.: .......................................................
4. En la figura, calcular α.
B
A C
x
120ºa
a
Rpta.: .......................................................
5. En la figura, calcular x .
x
B
A
122º
C
Rpta.: .......................................................
6. En la figura; AC = BC, Calcular m ABC.
62º
C
A B
Rpta.: .......................................................
7. En la figura, calcular m ABC.
2x
2x 6x
A C
B
Rpta.: .......................................................
8. En el gráfico, calcular x.
A
B
C
x2+6 31
θ θ
Rpta.: .......................................................
9. Calcule el perímetro del triángulo, si x es un númeroentero.
A C
B
4 -3x
4 3
Rpta.: .......................................................
10. En la figura, calcule el valor entero de x.
x 5x
24
B
A C
Rpta.: .......................................................
11. En la figura, calcular x.
x
x+10º
B
A C
x+20º
Rpta.: .......................................................
12. En el gráfico, calcular x.
B
A C
130º
110º x
Rpta.: .......................................................
13. En el gráfico, calcular x. Si: AB = BC.
A C
B
x+30º 2 -10ºx
Rpta.: .......................................................
14. En el gráfico, calcular x.
x
B
α
D
θθ
A C
α
80°
Rpta.: .......................................................
15. En el gráfico, calcular x.
x
B
A CH50°
Rpta.: .......................................................
16. En la figura, //BC MN . Calcular: m MAN
80°
B
60°
M
A N C
Rpta.: .......................................................
1. Según el gráfico, calcular x.
A C
B
8x
4x
6x
A) 12°
B) 20°
C) 10°
D) 16°
E) 18°
2. Según la figura, calcular x.
B
A C40º
5x
7x
A) 50°
B) 40°
C) 10°
D) 20°
E) 30°
3. Según el gráfico, calcular el mayor valor entero dex.
x
10
B
A C
14A) 8B) 7C) 6D) 5E) 4
17. En el gráfico, calcular x.
42° x
A
B C E
D
Rpta.: .......................................................
18. En el gráfico calcule x, si se sabe que es el menorvalor entero, además: m A>m C
9-x 2 -12x
B
A C
Rpta.: .......................................................
19. En el gráfico, calcular el máximo valor enteroposible de x.
6
2x
B
A C
4
Rpta.: .......................................................
20. En la figura. Calcule el máximo valor entero de xsi: AB<BC.
A C
B
x
Rpta.: .......................................................
4. En el ∆ABC, AB=BC, calcular: x.
30º+x
x
B
A C
A) 40° B) 50° C) 60°D) 80° E) 70°
5. Calcular x en la figura:
x
B
A CH D16
α α
A) 16 B) 18 C) 8D) 10 E) 12
1. En el gráfico. Calcular: x
x
x+45º
B
A C
x+15º
Rpta.: .......................................................
CAPÍTULO
05
Problema desarrollado
1. En la figura mostrada, si AF = FC. Calcular θ.
θ
4θ
B
A C
F
2θ 2θ
Resolución:
4θ
B
A C
F
θ2θ 2θ
a a
DATO: AF = FC = a∆AFC: Isósceles ⇒ m C=2θEn el ∆ABC:4θ+3θ+2θ = 180° 9θ =180°
θ = 20°
Problema por desarrollarEn la figura mostrada, si AF = FC. Calcular θ.
9θ
B
A C
F
4θ
3θ
Resolución:
2. En el gráfico. Calcular x.
B
A C
114º x
Rpta.: .......................................................
3. En el gráfico calcular x.
118°
A C
126º x
B
Rpta.: .......................................................
4. En la figura calcular x, si: AB=BD=DC
B
A C
x
24º
DRpta.: .......................................................
5. En el gráfico calcular x, si: AD=BD=DC
2x
B
A C
D
x
Rpta.: .......................................................
6. En el gráfico AD=DE, EF= FC. Calcular x
x
50º
B
D F
EA C
Rpta.: .......................................................
7. Según el gráfico, calcular x
80º
B
A C
16
20º
x
Rpta.: .......................................................
8. En el gráfico calcular x
x x
x
x
x
A D C F
B E
Rpta.: .......................................................
9. En la figura calcular x.
αα x
56º
ββ
B
A C
Rpta.: .......................................................
10. Calcular la medida del ángulo ADB en el gráficomostrado.
B
A D Cθ θ
α
αE
Rpta.: .......................................................
11. En el gráfico calcular x, Si: AB=AC
59º
B
A Cx
Rpta.: .......................................................
12. En el gráfico calcular x.
151º
B
A C
x
54º
Rpta.: .......................................................
13. En el gráfico calcular x.
B
A C
40º
2 +x y 3 + +10ºx y
Rpta.: .......................................................
14. En el gráfico calcular x, s i: AB=BD=DC,m ABD=40°.
B
A Dx
C
Rpta.: .......................................................
15. Calcular el mayor valor entero de x en el triánguloobtusángulo ABC, mostrado:
B A
C
x
315
Rpta.: .......................................................
16. En la figura mostrada, calcular x:
3θ
θ α
x
80º
3α
B
A C
DRpta.: .......................................................
17. En la figura calcular x, si: 2w=α+θ
x
α ω
A D C
B
3 5
θ
Rpta.: .......................................................
18. En el gráfico calcular: x, si: BD=BE y AB=BC.
x
B
DA C
E
Rpta.: .......................................................
19. En el gráfico calcular x
θθ
25°
φφ x
B D
A C
Rpta.: .......................................................
20. En el gráfico calcular x.
αα
θθ
B
x
E
A D C
Rpta.: .......................................................
1. En el gráfico, calcular x.
B
x+10°
x
4 +10°x
A C
A) 48º B) 60º C) 30º
D) 36º E) 54º
2. En la figura CD = AD. Calcular: m ABD
B65º
A
C
D35º
A) 70º B) 60º C) 50º
D) 80º E) 40º
3. Según el gráfico calcular: x, si: BD=BE y AB=BC
x
25°
B
A D C
E
A) 60º B) 50º C) 40º
D) 48º E) 42º
4. En el gráfico, calcular x.
B
A C
x
50° 55°
45°
A) 45º B) 40º C) 30º
D) 35º E) 50º
5. Del gráfico, calcular x.
α αx
αα
B
E
A D C
A) 80º B) 72º C) 90º
D) 100º E) 105º
