Unidad ii

Equilibrio en el cuerpo rígido y momentos

Momentos de una fuerza respecto a un punto

Se denomina momento de una fuerza respecto a un punto, al producto vectorial del vector posición R de la fuerza por el vector fuerza F.

Se puede considerar una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido. Como se ha visto, la fuerza F está representada por un vector que define la magnitud y su dirección. Pero el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido depende de donde está su punto de aplicación.

El punto de aplicación puede definirse por medio del vector r , que une al punto de referencia fijo O ( origen), a este vector se le conoce como el vector de posición de A.

El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F.

Mo= r x F

Cuando se aplica una sola fuerza en forma perpendicular a un objeto, el momento de torsión o torca se calcula con la siguiente formula:

M= F.r

M= momento de torsión o torca en Newton-metro (joule)

F= fuerza aplicada al objeto en Newtons

r = brazo de palanca o longitud del punto donde se aplica la fuerza respecto al punto considerado en metros.

El sentido de Mo está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F. que son negativas si van como las manecillas del reloj y positivas si van al contrario de las manecillas del reloj.

Sentido negativo

Según la dirección de donde se

este aplicando la fuerza es la que

determina el sentido de la rotación.

Punto de aplicación

Sentido positivo

Por último, se representa con θ el ángulo entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O (origen) está dada por Mo= rF senθ=Fd

d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.

Teniendo en cuenta de que la tendencia de la fuerza F al hacer girar el cuerpo rígido alrededor de un eje fijo perpendicular a la fuerza, depende tanto de la distancia de F a dicho eje como de la magnitud de F.

A pesar de que el momento Mo de una fuerza con respecto a un punto depende de la magnitud, la línea de acción y el sentido de la fuerza, dicho memento no depende de la posición que tiene el punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su línea de acción. Esto quiere decir que el momento Mo de una fuerza F no caracteriza a la posición del punto de aplicación de F.

Se puede decir que el momento Mo de una fuerza F de magnitud y dirección conocida define completamente a la línea de acción de F. y que la línea de acción de F debe estar en un plano que pasa por el punto O y es perpendicular al momento Mo.

la distancia d medida desde O hasta la línea de acción de la fuerza debe ser igual al cociente de las magnitudes de Mo y F, esto debe de ser igual a dividir el Mo entre F.

MoF

Momento con respecto a un eje.

El momento de una fuerza P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector por el vector fuerza; esto:

Donde r = es el vector que va de O a P.

Por la propia definición del producto vectorial, el momento M es un vector perpendicular al plano determinado por los vectores F y r.

Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.

La definición de momento se aplica a otras magnitudes vectoriales. Así por ejemplo, el momento de la cantidad de movimiento o momento lineal, p, es el momento cinético o momento angular, L, definido como:

Teorema de Varignon

Propiedad Distributiva de un producto Vectorial.

Antes de poder explicar el Teorema de Varignon es necesario que conozcamos la propiedad distributiva del producto vectorial la cual nos dice lo siguiente:

P⃗× (Q⃗1+Q⃗2 )=P⃗×Q⃗1+ P⃗× Q⃗2

La demostración de dicha propiedad se presenta a continuación.

P⃗=a i+b j+c kQ⃗1=d i+e j+ f kQ⃗2=g i+h j+mk

Q⃗2+Q⃗2=(d+g )i+(e+h ) j+( f+m ) k

P⃗× (Q⃗1+Q⃗2 )=(b ( f +m )−c (e+h ) ) i(c (d+g )−a ( f +m) ) j(a ( e+h )−b (d+g ) )k

Ahora realizaremos la operación como lo muestra el lado derecho de la ecuación y si dan el mismo resultado entonces es suficiente para afirmar la propiedad distributiva.

P⃗×Q⃗1=(bf−ce ) i+( cd−af ) j+(ae−bd ) kP⃗×Q⃗2=(bm−ch ) i+ (cg−am ) j+ (ah−bg ) k

P⃗×Q⃗1+ P⃗×Q⃗2=( (bf−ce )+(bm−ch ) )i( (cd−af )+( cg−am) ) j( (ae−bd )+ (ah−bg ) )k

P⃗×Q⃗1+ P⃗×Q⃗2=(b (f +m )−c (e+h ) ) i(c (d+g )−a (f +m) ) j(a ( e+h )−b (d+g ) )k

Teorema de Varignon

Este se cita textualmente:

“El momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas

concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O”

Esto quieres decir que si quisiéramos calcular el momento en un punto dado y en el actúan varias fuerzas concurrentes podríamos calcular cada momento individual de cada fuerza y después sumarlos o calcular la resultante de esas fuerzas concurrentes y calcular el momento de nuestra resultante y el valor obtenida será el mismo para las dos formas de proceder.

Par de fuerzas y sistemas equivalentes.

El par de fuerzas es un sistema de dos fuerzas paralelas, de igual intensidad y de sentido contrario que produce un sistema de rotación. Se puede establecer que

dos sistemas de fuerzas equivalentes pueden transformar a uno de ellos en el otro por medio de una o varias de las siguientes operaciones:

1) Remplazar dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante.

2) Descomponer a una fuerza en dos componentes.3) Cancelas dos fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma

partícula.4) Unir a la misma partícula dos fuerzas iguales y opuestas.5) Mover una fuerza a lo largo de su línea de acción.

Todas estas operaciones se justificaran a la ley del paralelogramo o en el principio de transmisibilidad.

Después de esto tenemos que demostrar que dos pares que tienen el mismo momento M son equivalentes.

Sistema equivalente de fuerzas:

Este sistema equivalente fuerza – par caracteriza completamente el efecto del sistema de fuerzas dada sobre el cuerpo rígido. Por tanto dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza – par en un punto dado cero.

El sistema fuerza – par en cero se define por medio de las relaciones donde establece que dos sistemas de fuerzas F1,F2,F3, , , , , y F’1, F’2,F’3, , , , que actúan sobre el mismo cuerpo regido sin equivalentes si, y solo si respectivamente, la suma de las fuerzas y las sumas de los momentos con respecto a un punto dado 0 de las fuerzas de los sistemas son iguales.

Expresado de manera matemática las condiciones necesarias y suficientes para que los sistemas de fuerzas sean equivalentes son las siguientes:

∑F=∑F’ y ∑Mo=∑M’o

Equilibrio del cuerpo rígido en el plano.

Cuerpo rígido.

• Se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman) tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir no es deformable.

• El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimientos de traslación y rotación.

Equilibrio de un cuerpo rígido.

• Una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o esta en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio estático. El movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y rotación.

Condiciones de equilibrio.

• Se deben cumplir dos requisitos simultáneamente, llamados condiciones de equilibrio.

• -1era. Condición de Equilibrio: Es la primer Ley de Newton, que garantiza el equilibrio de traslación.

• -2da. Condición de Equilibrio: Corresponde al equilibrio de rotación, y se enuncia de la siguiente forma: ''la suma vectorial de todos los torques (momentos) externa que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de cualquier origen es cero.''

Estas dos ecuaciones son consideradas como las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido:

• En este caso para que haya equilibrio debemos pedir, tomando como referencia un punto P cualquiera del cuerpo, que P no se traslade y que no haya rotaciones. Por lo tanto en el equilibrio se deben cumplir las condiciones

• es decir que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante se anule.

Conclusión.

Las condiciones de equilibrio para cuerpo rígido son que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante tomado respecto de un punto cualquiera sea nulo.