DEPARTAMENTO DE MATEMATICAPROFESORA: ANTONIA RODRIGUEZ U.

SINTESIS DE UNIDAD: PROBABILIDADUnidad Nº 4: DATOS Y AZAR

MATEMÁTICA - OCTAVO BASICO - 2015

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Aprendizajes Esperados: - Calcular probabilidad aplicando Ley de Laplace- Identificar y clasificar las variables- Aplicar y comprender el principio multiplicativo

Instrucciones:- Leer atentamente el material entregado y guiado por la docente.- Se debe trabajar en conjunto con la docente y compañeros.- El desarrollo de los ejercicios debe expresado en la guía entregada.

1. PROBABILIDADDefinición:

La probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso podría definirse como la proporción de veces que ocurriría dicho suceso si se repitiese un experimento o una observación en un número grande de ocasiones bajo condiciones similares. Entonces, la probabilidad se mide por un número entre cero y uno; si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno. Así, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes. Para medir la probabilidad de que ocurra un evento dado, uno de los métodos más utilizados es la Regla de Laplace que define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P( A )=Casos FavorablesCasos Posibles

Ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 3: El caso favorable es tan sólo uno (que salga el tres), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:

P( A )=16=0 ,166

A este resultado lo podemos multiplicar por 100 para obtener un resultado en porcentaje, como se muestra a continuación:

P( A )=16

=0 ,166

0 ,166⋅100=16 ,6%

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar: En este caso, los casos favorables son tres (que salga el uno, el tres o el cinco), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:

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P( A )=36=0 ,50

A este resultado lo podemos multiplicar por 100 para obtener un resultado en porcentaje, como se muestra a continuación:

P( A )=36

=0 ,50

0 ,50⋅100=50%

II. ESTADISTICA DESCRIPTIVAEs la ciencia que trata de la recolección, presentación, análisis y uso de datos para tomar decisiones. Incluye las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos numéricos, gráficas, tablas y diagramas que muestran los datos y facilitan su interpretación.

Población: Es una colección de todos los elementos que estamos estudiando y acerca de los cuales intentamos establecer conclusiones. Se caracteriza por contar con alguna cualidad común que permite agruparlos.

Muestra: Es una colección de algunos de los elementos que componen una población y que son representativos de dicha población.

Muestra Aleatoria: Es una muestra al azar. Para que se considere propia y representativa de la población, deberá ser al azar.

Frecuencia Absoluta: Número de veces que se repite un dato.

Distribución de frecuencia: Representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia.

Media aritmética o promedio( X ): La media se calcula al sumar los valores de un conjunto y al dividir el valor de su suma entre el número de valores del mismo.

Mediana (Md): Es el valor central de una serie cuando los valores se ordenan según su magnitud, y es aquel que divide a una serie de tal forma que 50% de los valores son menores o iguales que él, y el 50% de los valores son mayores o iguales que él.

Moda (Mo): Es el valor que con más frecuencia se presenta en un conjunto de datos, es muy fácil de determinar, basta con observar detenidamente al conjunto de datos y ver cuál es el que más se repite. Además, puede ocurrir que una distribución tenga dos o más valores que se repitan con la misma frecuencia, en tal caso se tienen dos o más modas, también puede ocurrir que no exista ningún valor que se repita y entonces no habrá moda.

III. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

En general, puede decirse que si un evento A se puede hacer de m maneras y un evento B se puede hacer de n maneras, entonces existen m · n formas de realizar A y a continuación realizar B.

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Esto se conoce como el principio multiplicativo y se puede generalizar a más de dos procedimientos.

Ejemplo:

IV. DIAGRAMA DE ARBOL

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

EJEMPLO:

EJERCICIOS

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I. Decidir qué tipo de variable representan los siguientes datos, especificar si la variable es de tipo cuantitativa (discreta o continua) o de tipo cualitativa (nominal, ordinal):

a) Número de respuestas correctas en un test de 10 preguntas.

b) Preferencias políticas (izquierda, derecha o centro).

c) Nivel de educación de los habitantes de cierta comuna (Básico, Medio, Superior).

d) Superficie de los 40 lagos mayores del mundo.

e) Marcas de autos.

f ) Tiempo de espera en la fila de un banco.

g) Estado civil de los trabajadores de cierta empresa (soltero, casado, viudo, separado).

h) La presión de un neumático

II. Supongamos que se lanza dos dados honestos. (Teorema de Laplace)

a) ¿Cuál es la probabilidad de no sacar doble 5?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea mayor que 5?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea igual a 7?

d) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento? (Escríbalo)

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III. Un Ingeniero Civil visita 25 villas en una ciudad y en cada una registró el número de casas que han sufrido daños ocasionados por un terremoto, de lo cual resultaron los datos:

15 – 20 - 25 - 15 - 18 - 16 - 17 - 18 - 20 – 18- 18 - 18 - 19 - 16 - 17 - 19 - 16 - 17 - 17 - 17 - 19 - 18 - 19 18 – 15

a) ¿Qué tipo de datos son estos?

b) Construir una tabla de distribución de frecuencias adecuadas a este conjunto de datos.

c) ¿Cuántas villas tienen a lo más 20 casas que han sufrido daños?

d) ¿Que proporción de villas tienen por lo menos 17 casas que han sufrido daños?

e) ¿Qué proporción de villas tienen 18 casas que han sufrido daños?

f ) ¿Qué proporción y que porcentaje de villas tienen 18 o menos casas que han sufrido daños?

g) Calcular e interpretar la media aritmética de los datos.

h) Obtener e interpretar la mediana de los datos.

i) Construir un graficó adecuado y comentar.

IV. Desarrollar los ejercicios aplicando el principio multiplicativo.

a) Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dosmodelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para ensamblar el servidor?

b) Un alumno tiene 3 libros de Física y una alumna tiene 5 libros de Química. Si le pides un libro a cada uno, ¿De cuántas maneras podrías prestarte los libros?

c) Pablo ha visto en el parque un árbol que tiene 10 ramas; de cada una de ellas salen 12 brotes y de cada brote salen 9 hojas. ¿Cuántas hojas tiene el árbol?

d) Calcula el número de resultados posibles de un experimento que consiste en sacar una carta de una baraja española (40 cartas) y lanzar un dado.

e) Si tenemos 3 pantalones y 4 camisetas ¿Cuántas tenidas distintas podemos formar?

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V. Realice un diagrama de árbol con el siguiente problema:

Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?