Marco A. Fontelos

Singularidades en fluídos perfectos incompresibles con frontera libre: ruptura

de olas y formación de burbujas

Índice

1.-Evolución de la interfaz entre fluídos de distinta densidad.2.- Singularidades en Mecánica 3.- El problema de ondas superficiales de gravedad4.- Singularidades en ondas superficiales de gravedad:crestas y ruptura de olas.5.- Formación de burbujas.

Evolución de la interfaz entre dos fluídosde distinta densidad

Billow clouds

Kelvin-Helmholtz Water Waves

Rayleigh-Taylor

Crab Nebula

Modelo matemático (2D)

Condición Cinemática:

Balance de esfuerzos:

Ec. Bernoulli:

Flujo Potencial:

Incompresible +

Irrotacional

Campo de velocidades

c.c.

Análisis de estabilidad:

Inestabilidad si

Problema clásico de olas:

U =0, s=0, r =0i 2

Algunos resultados conocidos:

- Existencia de ondas progresivas, Siglos XVIII, XIX

Helmholtz, Stokes, Airy, Thomson, Rayleigh,...

- Existencia de ondas solitarias, 1834, Scott Russell.

Teoría de solitones (KdV, Korteweg-de Vries), 1895

- Existencia de ondas estacionarias, Siglo XIX.

Prueba rigurosa de existencia, Plotnikov y Toland 2000-2005

Zabusky, Kruskal ‘60

- Teoría de la turbulencia débil (ecuaciones cinéticas de

Solitones), Zakharov ‘90

Cuestiones matemáticas sobre el correcto planteamiento del

Problema:

- S. Wu, 1997, existencia de soluciones locales en tiempo para

perturbaciones iniciales arbitrarias pero muy regulares H 4

- D.Ambrose y N. Masmoudi, 2005, existencia de soluciones

locales en tiempo para perturbaciones iniciales arbitrarias más

regulares e incluyendo tensión superficial.

- S. Wu, 2008, existencia de soluciones para tiempos muy largos (del orden de exp(1/e)) para elevaciones de orden e

¿Pueden desarrollarse singularidades en tiempo finito?

Posible relación con las “Freak waves”.

c

Solitón extremal de Stokes

120º

Singularidades en ondas de gravedad

Solitones con un ángulo:

¿Existen singularidades que se forman espontáneamente?

Invariancia de escala: Leyes de Potencia

L

Escalas de longitud y tiempoen la evolución separadas de la

escala externa L

Invariancia de escala:

min 0( )h t t α−:

Singularidades (ideas generales)

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1

0

1

2

0

-10 0 10 20 30 40 50

0

5

10

15

20

h(z,t)

Cilindro fluido con cond. Contorno periódicas, J. Eggers, 1993

Una onda de choque

0u uut x

∂ ∂+ =

∂ ∂

t,u

x

0( , ) ( )u z t u x=

Curvas características:

0 ( )u xz t x= +

0 ( ) 1dz u x tdx

′= + 0=!

{ }0 01/ ( )xt Min u x′= −

Tiempo de la singularidad

Solución de similaridad

0u uut x

∂ ∂+ =

∂ ∂

[ ]1 2 0t U U t UUα α βα βξ− −′ ′ ′ ′− + + =

xu t Ut

αβ

⎛ ⎞′= ⎜ ⎟′⎝ ⎠x t βξ ′=

0t t t′ = −

11 xu t U x t

tα α

α ξ ++

⎛ ⎞′ ′= =⎜ ⎟′⎝ ⎠

(1 ) 0U U UUα α ξ ′ ′− + + + =

0ξ =

regular en 1 1/i

1, , 0,1, 2,2 2

, =0

U CU ii

U

α αξ

α

+⎧− − = =⎪= +⎨⎪−⎩

K...

Matching condition0t t t′ = −

11 xu t U x t

tα α

α ξ ++

⎛ ⎞′ ′= =⎜ ⎟′⎝ ⎠

1x t α+′∆ :tamaño región crítica:

finit( 0) as

e!0

u xt>′→

1 1/i

1, , 0,1, 2,2 2

iU CU ii

αξ α+= − − = =+

K...

Singularidad

Consideremos perturbación periódica de la superficie plana con

y= e sin(2px) y velocidad inicial nula. Tomamos g=10.

e = 0.06 e = 0.02

Singularidades en ondas superficiales de gravedad

Crestas

Ruptura

Potencial complejo

Velocidad compleja

Cauchy:

q

Ecuación para la “vorticidad” (a partir de Bernoulli)

Ec. tipo Burgers

Buscamos solución

De la ecuación de tenemos

max ~ 1.32

Apertura de unos 30º

Variable autosimilar

Buscamos soluciones

Espiral logarítmica

~ 0.39

Ruptura de burbujas

nuevo exponente de escala?

α

Bergmann et al. PRL `06

Compto. no-universal?

S.T. Thoroddsen

Keim et al. PRL `06

0.56α ≈

0h At α′=

' ( s)t µ

21 /2t pφ φ ρ∂ + ∇ =

Cuerpos delgados

z

fluido φ= ∇u

0φ∆ =

x x x x x x x x x x2 2

( )( )

C dz r

ξ ξφξ

=− +

∫

;

rvth∂ ≈2

t 4h C∂ ≈ −

2a h≡

aire

tension superficial subdominante

Si v >> v r z

Expansión

( ) ( )lhs rhs=′′ ′′

cuerpo delgado: ∆0 ( )a a g η=&& &&

/z ∆

2

1( ) , 1

zg η ηη

= =+ ∆

24

0 2( , ) 1 ( )za z t a O z⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟∆⎝ ⎠0 02 /a a′′∆ =

en z=0: = 0

0

Punto fijo: marginal

02 (ln )a τα = − 022 ln a

τ

δ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟∆⎝ ⎠

1 ( ),2

uα τ= + v( )δ τ=linearizo:

defino:

Aproximaciónmuy lenta!

11/ 24

ατ

= + +K1

4δ

τ= +K

0ln( )t tτ = − −

3v 8vτ = −vu uτ = −...

...

depende de condicionesinitiales

0τLos exponentes

( )00

1 11/ 244

ατ ττ τ

= + +++

0

14

δτ τ

=+

τδ

1/ 2α −

• exponente “anómalo”1/ 2α >

• depende de condicionesiniciales α

J. Eggers, MAF, D. Leppinen, J. Snoeijer, PRL 2007

- Hydrodynamic Stability (Cambridge Mathematical

Library) by P. G. Drazin , W. H. Reid.

- Worlds of Flow, Oxford University Press, by O. Darrigol

- J. Eggers, M. A. Fontelos The role of self-similarity in

singularities of PDE’s , Nonlinearity 22 , R1 (2009)

- J. Eggers, M.A. Fontelos, D. Leppinen, J.H. Snoeijer Theory of the collapsing axisymmetric cavity , Phys. Rev. Lett. 98 , 094502 (2007).

- M. A. Fontelos, F. de la Hoz, Singularities in Water Waves

and Rayleigh-Taylor instability, submitted.