SIMULACION MONTE CARLO CON MS EXCELRODRIGO PEREZ PEA

Sesin 1. Fundamentos de probabilidad para simulacin.Duracin 3 horas.Variables aleatorias.Distribuciones de probabilidad.Ley de los grandes nmeros.Teorema del lmite central.Principios de la simulacin MonteCarlo.Sesin 2. Nmeros aleatorios.Duracin 3 horas.Que son los nmeros aleatorios y pseudo-aleatoriosGeneracin de nmeros aleatorios en Excel.Generacin de forma dinmica.Generacin de forma esttica.Ejercicios.Sesin 3. Herramientas para simulacin.Duracin 3 horas.Un problema bsico de simulacin. Taller.Interpretacin de resultados de la simulacin.Sesin 4.Duracin 3 horas.Herramientas adicionales a Excel para simulacin MonteCarlo.Sesin 5.Duracin 4 horas.Ejercicios de simulacin con Excel aplicado a Finanzas. Taller.Interpretacin de resultados de la simulacin.

Que es la simulacin Monte Carlo?Mtodo computacional usado para estudiar el comportamiento de sistemas matemticos, fsicos o de cualquier ndole, a partir del uso de muestreo estadstico, nmeros aleatorios y pseudo-aleatorios.Es iterativo -> requiere clculos por computador.Las tcnicas de Monte Carlo pueden ser usadas para encontrar soluciones aproximadas a problemas cuantitativos, con o si incertidumbre.

OrgenesSe atribuye a Stanislaw Ulam, matemtico polaco que trabajo para John von Neumann en el proyecto Manhattan durante la segunda guerra mundial y contribuyo junto con Edward Teller en el diseo de la bomba de Hidrogeno en 1951. Ulam no invent el muestreo estadstico, pero reconoci la el potencial de los computadores electrnicos para automatizar el proceso. Trabajando con John von Neuman y Nicholas Metropolis, desarrollo algoritmos de implementacin y explor formas de convertir problemas no aleatorios en formas aleatorias para ser solucionados via muestro estadstico.Ulam y Metropolis publican el primer paper en 1949.

En este curso, usaremos la simulacin Monte Carlo para el tratamiento de problemas y modelos con incertidumbre.

Partiremos de modelos matemticos que describan un problema o situacin y a los cuales se les incorporarn componentes probabilisticos.

Hay dos componentes que pueden generar aleatoriedad en un modelo. Riesgo: es un efecto aleatorio propio del sistema bajo anlisis. Se puede reducir alterando el sistema.Incertidumbre es el nivel de ignorancia del evaluador acerca de los parmetros que caracterizan el sistema a modelar. Se puede reducir a veces con mediciones adicionales o mayor estudio, o consulta a expertos. La Variabilidad Total es la combinacin de riesgo e incertidumbre.

Tanto el riesgo como la incertidumbre se describen mediante variables aleatorias que hacen parte de las variables presentes en el modelo.

Para que queremos modelar la variabilidad?El riesgo no es algo que se "sufre", el riesgo es algo que se puede administrar.

Administracin del RiesgoNegociar las variables negociablesBuscar ms informacinAumentar el compromiso Tomar precauciones adicionalesCompartir el riesgoTransferir el riesgoFormular planes de contingenciaNo tomar medidas, asumir el riesgoCancelar el proyecto

Simulacin Monte Carlo1. Disear el modelo matemtico que representa el problema con incertidumbre.2. Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes.3. Incluir posibles dependencias entre variables.4. Muestrear valores de las variables aleatorias.5. Calcular el resultado del modelo segn los valores del muestreo y registrar el resultado.6. Repetir el proceso iterativamente hasta tener una muestra estadsticamente representativa.7. Obtener la distribucin de frecuencias del resultado de las iteraciones.8. Calcular media, desvo y curva de percentiles acumulados.

Analisis de escenariosDebido a que la simulacin monte carlo involucra la generacin de un numero alto de escenarios, tambin puede ser entendida como una forma mas completa de realizar anlisis de escenarios o anlisis What-if

Fundamentos de probabilidad para simulacin.

Variables AleatoriasDistribuciones de probabilidadLey de los grandes nmeros.Teorema del lmite central.

Fundamentos de probabilidad para simulacin.

Variables AleatoriasDistribuciones de probabilidadLey de los grandes nmeros.Teorema del lmite central.

Variables AleatoriasUna Variable aleatoria X es una funcin cuyos valores son nmeros reales y dependen del azar.

Para caracterizar las variables aleatorias se utilizan las distribuciones de probabilidad.

Fundamentos de probabilidad para simulacin.

Variables AleatoriasDistribuciones de probabilidadLey de los grandes nmeros.Teorema del lmite central.

Distribucin de probabilidadUna distribucin de probabilidad describe el rango de valores que puede tomar una variable aleatoria y la probabilidad asignada a cada valor o rango de valores.

Distribuciones de probabilidadDiscretasUna variable aleatoria representada mediante una distribucin discreta de probabilidad puede tomar un valor de entre un conjunto de valores, cada uno de los cuales tiene asignada una determinada probabilidad de ocurrencia.Ejemplos: Binomial, Geomtrica, Poisson, Discreta.

Distribuciones de probabilidad

ContinuasUna variable aleatoria representada mediante una distribucin continua de probabilidad puede tomar cualquier valor dentro de un rango determinado.Ejemplos: Normal, Lognormal, Uniforme, Triangular, Histograma

Distribuciones de probabilidadNo Limitadas La variable aleatoria puede tomar valores entre +infinito y infinito (ejemplos: Normal, Logstica).Limitadas Los valores de la variable aleatoria quedan confinados entre dos valores extremos (ejemplos: Binomial, Beta, Uniforme, Triangular, Histograma).Parcialmente Limitadas Los valores de la variable aleatoria quedan limitados en uno de los extremos de la distribucin (ejemplos: Poisson, Exponencial).

Distribuciones de probabilidadParamtricasLa distribucin de probabilidad se ajusta a la descripcin matemtica de un proceso aleatorio que cumple con determinados supuestos tericos.Los parmetros que definen la distribucin en general no guardan relacin intuitiva con la forma de la distribucin.Ejemplos: Normal, Lognormal, Exponencial, Beta.

Distribuciones de probabilidadNo ParamtricasLos parmetros que se usan para definir estas distribuciones describen la forma de la distribucin.No se apoyan en una teora que describa el proceso de generacin de valores aleatorios.Ejemplos: Triangular, Histograma, General, Uniforme, Acumulada

Distribuciones de probabilidadSubjetivasEl uso de estas distribuciones de probabilidad es la nica alternativa para describir una variable aleatoria cuando:1. No hay una base de antecedentes.2. Los datos del pasado no son relevantes.3. Los datos son escasos y no cubren todo el rango de posibles valores.4. Es demasiado caro generar datos.5. Generar valores llevara demasiado tiempo

DISTRIBUCIONES NO PARAMETRICAS

UniformeTodos los valores dentro del rango factible tienen la misma densidad de probabilidad.Parmetros : Uniform (min,max)Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generacin de los valores de todas las dems distribuciones de probabilidad en el muestreo aleatorio.Es una aproximacin muy cruda para usar como estimacin de la incertidumbre percibida de un parmetro

TriangularAplicaciones: estimar subjetivamente la distribucin de la variable aleatoria cuando todo lo que puede precisarse de la misma es el valor mnimo, el valor ms probable y el valor mximo.

Parmetros: Triang (min, +prob, max)

Triangular (cont.)Sus propiedades estadsticas se derivan de su forma, no de una teora subyacente.Es de definicin intuitiva y de gran flexibilidad en cuanto a geometras posibles.La forma de la distribucin usualmente lleva a sobreestimar la densidad de las colas y a subestimar la densidad en el tronco de la distribucin.

HistogramaAplicaciones: representar la forma de la distribucin de una serie de datos o la opinin de un experto acerca de la forma de la distribucin de una variable.

Parmetros: Histogram (min, max, {pi})

Todos los intervalos de la distribucin tienen el mismo ancho.

DiscretaAplicaciones: 1. Describir una variable aleatoria que puede tomar uno de entre un conjunto de valores discretos.2. Describir probabilidades condicionales para distintos estados de la naturaleza, donde cada estado de la naturaleza tiene una probabilidad de ocurrencia p.3. Armar distribuciones de probabilidad compuestas a partir de la opinin de dos o ms expertos, donde a la opinin de cada experto se le otorga una ponderacin p.Parmetros: Discrete ({xi},{pi})

DISTRIBUCIONES PARAMETRICAS

NormalAplicaciones: una variedad de situaciones, como se desprende del Teorema Central del Lmite.Es til en finanzas pues la suma o diferencia de distribuciones Normales resulta tambin en una distribucin Normal con parmetros que pueden ser determinados a partir del TCL.Parmetros: Normal (mu,sigma)

NormalLa mayora de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, fsicas y biolgicas, son continuas y se distribuyen segn la distribucin de probabilidad Normal, que tiene la siguiente expresin analtica :

Donde es la media de la variable aleatoria y es su desviacin tpica.

La distribucin de probabilidad Normal, tiene forma de campana

Para una variable aleatoria X, que se distribuye normalmente con media : y desviacin tpica : , la probabilidad de que la variable X est comprendida entre los valores a y b es el rea teida de rojo en la siguiente figuraNormal

Esta probabilidad analticamente se puede calcular as:

Como el clculo de esta integral es laborioso, para calcular el rea se realiza el siguiente cambio de variable:

Este cambio origina una distribucin normal estndar de media = 0 y desviacin tpica = 1 cuya funcin de densidad es :

Estimacin subjetiva de los parmetros de una NormalMedia: Valor ms probableDesvo: el intervalo +/- 2*sigma contiene el 95% de los valores, por lo tanto:Sigma: (mximo - ms probable) / 2

LognormalAplicaciones: modelar variables que son el producto de una cantidad de otras variables aleatorias que ocurren naturalmente.Generalmente brinda una buena representacin de variables que se extienden de 0 a +inf y que tienen un sesgo positivo.Parmetros: Lognormal (mu,sigma)Se usan como parmetros la media aritmtica y el desvo standard de los datos disponibles.

Condiciones subyacentes de una distribucin LognormalLa variable aleatoria puede tomar valores que aumentan sin lmites pero no puede tomar valores negativos.La variable aleatoria tiene un sesgo positivo (modo < media) con la mayor parte de los valores cerca del lmite inferior.El logaritmo natural de la variable se ajusta a una distribucin Normal.

Distribuciones de probabilidad para Procesos estocasticos DiscretosUn Proceso Discreto se caracteriza por una probabilidad p de ocurrencia de un evento discreto en cada prueba.

BinomialAplicaciones: estimar la distribucin de la cantidad s de ocurrencias de un evento en n pruebas, cuando hay una probabilidad p de ocurrencia del evento en cada prueba.Parmetros: Binomial (n,p)Para n>30 o cuando p es alta, la distribucin Binomial puede ser aproximada por una distribucin Normal ((np),(npq)1/2).

Condiciones subyacentes a una distribucin BinomialEn cada prueba slo hay dos resultados posibles Las pruebas son independientes (lo que ocurre en la primera prueba no afecta a la segunda, y sucesivamente). La probabilidad de ocurrencia del evento se mantiene constante a travs de las pruebas (no hay un proceso de aprendizaje)

GeomtricaAplicaciones: estimar la cantidad n de pruebas necesarias hasta la ocurrencia del primer evento, cuando la probabilidad p de ocurrencia de un evento se mantiene constante en el tiempo.Parmetros: n = 1 + Geometric (p) La distribucin Geomtrica es anloga a la distribucin Exponencial: Geomtrica se aplica a variables discretas, Exponencial se aplica a variables continuas.

Condiciones subyacentes de una distribucin GeomtricaLa cantidad de eventos no est prefijada.Se contina con las pruebas hasta lograr el primer xito.La probabilidad de xito p es constante a travs de las pruebas.

Binomial NegativaAplicaciones: estimar la distribucin de la cantidad n de pruebas hasta que ocurran s eventos, cuando la probabilidad p de ocurrencia de un evento es constante en el tiempo.Parmetros: n = s + Negbin (s,p)s es el parmetro que le da la forma a la distribucin.

Condiciones subyacentes de una distribucin Binomial NegativaLa cantidad de pruebas no est prefijada.Se contina con las pruebas hasta que se observa la cantidad de eventos (s) buscada.La probabilidad de xito p es constante de prueba a prueba.

Distribucin HipergeomtricaAl igual que la distribucin Binomial, esta distribucin describe la cantidad de ocurrencias de un evento en una cantidad de pruebas.La diferencia con la distribucin Binomial es que a medida que se avanza con las pruebas cambia la probabilidad de ocurrencia del evento: pruebas sin reemplazo.

Condiciones subyacentes de una distribucin HipergeomtricaLa cantidad total de elementos de una poblacin es finita.La muestra representa una porcin de la poblacin.La probabilidad de ocurrencia del evento en la poblacin es conocida y cambia ligeramente luego de cada prueba.

Distribuciones de probabilidad para Procesos ContinuosUn Proceso Continuo se caracteriza por un Intervalo Medio de Tiempo entre Eventos (beta).

Estimacin del Intervalo Medio de Tiempo entre Eventos (beta)beta es el intervalo de exposicin promedio entre n eventos observados.El verdadero valor de beta puede ser estimado a partir de n eventos observados valindose del TCL:beta = Normal (t,sigma/(n-1)1/2)t = promedio de los n-1 intervalos contiguossigma = desvo standard de los ti intervalos.La precisin de la estimacin de beta aumenta a medida que aumenta n.

PoissonAplicaciones: estimar la cantidad N de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo T cuando el tiempo medio entre eventos sucesivos (beta) se ajusta a un proceso tipo Poisson.Parmetros: N = Poisson (lambda * t)lambda = 1 / betaLambda se puede interpretar como la cantidad promedio de ocurrencias del evento por unidad de exposicin.

Condiciones subyacentes a una distribucin PoissonLa cantidad de eventos por unidad de exposicin no est limitada a un valor discreto.Los eventos son independientes entre s (el nmero de eventos en un intervalo de exposicin no afecta al nmero de eventos en otro intervalo de exposicin).La cantidad promedio de eventos se mantiene constante de intervalo a intervalo.

ExponencialAplicaciones: estimar la distribucin del (tiempo) entre ocurrencias sucesivas de un evento que tiene una probabilidad de ocurrencia p constante por unidad de (tiempo). Parmetros: Expon (beta)Si la probabilidad p de ocurrencia del evento es constante a travs del tiempo, la estimacin del tiempo que medie hasta la ocurrencia del prximo evento es independiente del tiempo que haya transcurrido desde la ltima ocurrencia.

GammaAplicaciones: estimar la distribucin del (tiempo) entre ocurrencias sucesivas de un evento n veces cuando el evento tiene una probabilidad de ocurrencia p constante por unidad de (tiempo). Parmetros: Gamma (n, beta)

BetaAplicaciones: estimar la probabilidad de ocurrencia p de un evento, a partir de la observacin de s eventos en n pruebas.Parmetros: Beta (alfa1,alfa2)alfa 1 : s+1alfa2: n-s+1La distribucin Beta puede tomar muchas formas, segn los valores de alfa1 y alfa2.A medida que aumenta n, se gana precisin en la estimacin de p (la distribucin de p se comprime)

Dada la gran variedad de formas que puede asumir segn los valores asignados a los parmetros, la distribucin Beta tambin se usa para describir datos empricos.Si los valores de ambos parmetros son iguales, Beta es simtrica.Si alfa1 es menor que alfa2, la distribucin est sesgada hacia la derecha.Si alfa1 es mayor que alfa2, la distribucin est sesgada hacia la izquierda

Fundamentos de probabilidad para simulacin.

Variables AleatoriasDistribuciones de probabilidadLey de los grandes nmeros.Teorema del lmite central.

Ley de los Grandes Nmeros (desigualdad de Tschebycheff)

Cuanto mayor sea el tamao de la muestra, mayor ser el ajuste entre la distribucin muestral y la distribucin terica sobre la que se basa la muestra.

la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto nmero, que es precisamente la probabilidad , cuando el experimento se realiza muchas veces

Ley de los Grandes Nmeros (desigualdad de Tschebycheff)Ver simulacin del experimento

Fundamentos de probabilidad para simulacin.

Variables AleatoriasDistribuciones de probabilidadLey de los grandes nmeros.Teorema central del lmite.

Teorema Central del Lmite (TCL)La media muestral de un conjunto de n variables muestreadas en forma independiente a partir de una misma distribucin f(x) se ajusta a una distribucin aprox. Normal con los siguientes parmetros:x = Normal ( mu, sigma / n1/2 )En otras palabras, la distribucin del promedio de un conjunto de variables aleatorias depende tanto de la cantidad de variables aleatorias promediadas como de la incertidumbre aportada por cada variable.

Teorema Central del Lmite (cont.)La suma de n variables aleatorias independientes da como resultado una distribucin aproximadamente Normal, sin importar la forma de la distribucin de las variables sumadas.El producto de n variables aleatorias independientes da como resultado una distribucin aproximadamente Lognormal, independientemente de la forma de la distribucin de las variables intervinientes.

Teorema Central del Lmite (cont.)Ver simulacin del experimento

Simulacin Monte Carlo1. Disear el modelo matemtico que representa el problema.2. Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes.3. Incluir posibles dependencias entre variables.4. Muestrear valores de las variables aleatorias.5. Calcular el resultado del modelo segn los valores del muestreo y registrar el resultado.6. Repetir el proceso iterativamente hasta tener una muestra estadsticamente representativa.7. Obtener la distribucin de frecuencias del resultado de las iteraciones.8. Calcular media, desvo y curva de percentiles acumulados.

********* Muchas de estas respuestas al riesgo generan a su vez riesgos secundarios. Se aumenta el compromiso cuando el anlisis muestra que se est siendo excesivamente cauteloso.Se busca ms informacin cuando se quiere reducir la incertidumbre.Precauciones adicionales pueden ser medidas tales como un enfoque menos riesgoso o sobredimensionamiento. Se comparten los riesgos con quienes puedan manejar un posible impacto adverso. Los planes de contingencia debieran desarrollarse para manejar riesgos que se identifican pero no se eliminan, de modo de poder reaccionar en forma efectiva en caso que se presente la adversidad.No se hace nada cuando costara demasiado hacer algo, o no hay nada que pueda razonablemente hacerse, se asume el riesgo.* El anlisis de escenarios tiene las siguientes limitaciones: Las combinaciones crecen exponencialmente cuantas ms variables aleatorias haya en juego. Definir la aleatoreidad de cada variable como valores con probabilidades discretas ignora la posibilidad que las variables sean de tipo continuo. No tiene en cuenta que los valores ms probables tienen una probabilidad de ocurrencia mucho mayor que los extremos. Montecarlo genera una serie de escenarios posibles, pero tiene en cuenta todos los valores que una variable puede tomar y pondera cada escenario por su probabilidad de ocurrencia.* El anlisis de escenarios tiene las siguientes limitaciones: Las combinaciones crecen exponencialmente cuantas ms variables aleatorias haya en juego. Definir la aleatoreidad de cada variable como valores con probabilidades discretas ignora la posibilidad que las variables sean de tipo continuo. No tiene en cuenta que los valores ms probables tienen una probabilidad de ocurrencia mucho mayor que los extremos. Montecarlo genera una serie de escenarios posibles, pero tiene en cuenta todos los valores que una variable puede tomar y pondera cada escenario por su probabilidad de ocurrencia.******* Se usan para representar propiedades que son infinitamente divisibles (tiempo, distancia, masa) o variables discretas en las que el intervalo entre valores factibles es irrelevante en la prctica.****** Uniform (0,l/2) se puede usar para estimar la distribucin de la distancia entre una filtracin y una junta en una caera. Uniform (0,360) puede usarse para estimar la distribucin de una posicin angular de descanso de un mecanismo giratorio ** Media : (a+b+c)/3 Desvo: ((a2 +b2 +c2 - ab - ac - bc) / 18)1/2 Por TCL, cuando se suman una cantidad de variables aleatorias, son la media y el desvo de las distribuciones las que tienten el mayor impacto por ser las que determinan la media y el desvo del resultado. La distribucin triangular, al dar el mismo peso en la determinacin de la media y el desvo de la distribucin a los tres parmetros, puede llevar a distorsiones cuando alguno de los valores extremos no est bien definido o toma valores muy altos.

**** El sesgo de una distribucin Normal es igual a 0. Un valor de sesgo >0 indica una distribucin volcada hacia la izquierda (modo < media). Un valor de sesgo media).Hay otras distribuciones que convergen a una Normal a medida que sus CV se acercan a 0: Lognormal, t de Student, Binomial, Poisson, Chi cuadrado, Binomial Negativa. Binomial (n,p) puede ser interpretada como la suma de n distribuciones independientes Binomial (1,p) por lo que razonando a partir de TCL se puede aproximar con Normal (np, (npq)1/2) para n alto y p intermedio Poisson (lambda*t) es la suma de t distribuciones independientes Poisson (lambda) por lo que razonando a partir de TCL se puede aproximar con Normal [lambda*t ,(lambda * t)1/2] para lambda * t > 20 Negbin (s,p) es la suma de s distribuciones independientes Negbin (1,p), por lo que razonando a partir de TCL se puede aproximar con Normal {s*(1-p)/p, [s*(1-p)]1/2/p} para s > 50 Gamma (alfa,beta) puede interpretarse como la suma de alfa distribuciones independientes Expon (beta), por lo que razonando a partir del TCL Gamma (alfa,beta) se puede aproximar con Normal (alfa * beta, (alfa)1/2 * beta) La distribucin Lognormal se puede aproximar con una Normal cuando mu > 6 * sigma La distribucin Beta (alfa1, alfa2) se puede aproximar con una Normal cuando alfa1 y alfa2 son suficientemente grandes (cuando ambas son mayores que 10)***** La distribucin Normal Truncada muestrea de una distribucin Normal con parmetros (mu,sigma) pero no registrar los valores que estn ms all del mnimo y el mximo indicados.

*Los precios de las acciones tienen un sesgo positivo porque su valor mnimo no puede ser menor que 0 pero su valor mximo no tiene lmite terico.***

La distribucin Bernouilli es un caso especial de la distribucin Binomial cuando n=1. La distribucin Binomial se relaciona con la distribucin Beta: Binomial estima el nmero de ocurrencias s en n pruebas cuando hay una probabilidad de xito p en cada prueba, Beta estima el valor de p dados n y s.** La distribucin geomtrica es un caso especial de Binomial Negativa, donde s=1. La distribucin geomtrica est muy sesgada hacia la derecha. p(0) = p, indicando que la probabilidad que no haya fallas es igual a p, lo que es la probabilidad que el primer intento resulte un xito.** Cuando s=1, la distribucin binomial negativa se vuelve una geomtrica.

A medida que s aumenta y p no asume valores extremos, la Binomial Negativa se aproxima a una Normal ***** Al igual que p para un Proceso Discreto, lambda (1/beta) no es una variable sino un parmetro del sistema. Se usa una distribucin de probabilidad para expresar nuestro grado de incertidumbre acerca de su valor.

Cuando no se conocen los valores de los intervalos ti sino solamente el nmero de eventos n que ocurrieron en un intervalo total T, beta se estima como: beta = T/n* A medida que p tiende a 0, un Proceso Binomial se vuelve un Proceso Poisson. Cuando p es baja y n es suficientemente grande (np 10 Si son asimtricas, n > 20 o 30 Si son altamente sesgadas (sesgo > 2) , n > 50.La mayor parte de los modelos son combinaciones de sumas y productos de variables aleatorias que tienen diferentes distribuciones de probabilidad. Por lo tanto, no debiera sorprender que los resultados de los modelos den distribuciones que estn entre Normal y Lognormal. Muchas distribuciones paramtricas pueden ser conceptualizadas como la suma de otras distribuciones idnticas. En general, si la media es mucho mayor que el desvo de estas distribuciones, se pueden aproximar mediante una Normal. * Segn el TCL, la suma de n variables aleatorias independientes con idnticas distribuciones de probabilidad se distribuye segn una distribucin Normal cuando n es suficientemente grande. Si las variables provienen de una distribucin Normal (mu,sigma) entonces la suma dar: Normal (n*mu, ((n)1/2**sigma) El n necesario para lograr la convergencia a una normal depender en parte de la forma de la distribucin de las variables intervinientes: Si son Normales, basta con n=1 Si son simtricas aunque no necesariamente normales, n > 10 Si son asimtricas, n > 20 o 30 Si son altamente sesgadas (sesgo > 2) , n > 50.La mayor parte de los modelos son combinaciones de sumas y productos de variables aleatorias que tienen diferentes distribuciones de probabilidad. Por lo tanto, no debiera sorprender que los resultados de los modelos den distribuciones que estn entre Normal y Lognormal. Muchas distribuciones paramtricas pueden ser conceptualizadas como la suma de otras distribuciones idnticas. En general, si la media es mucho mayor que el desvo de estas distribuciones, se pueden aproximar mediante una Normal. * El anlisis de escenarios tiene las siguientes limitaciones: Las combinaciones crecen exponencialmente cuantas ms variables aleatorias haya en juego. Definir la aleatoreidad de cada variable como valores con probabilidades discretas ignora la posibilidad que las variables sean de tipo continuo. No tiene en cuenta que los valores ms probables tienen una probabilidad de ocurrencia mucho mayor que los extremos. Montecarlo genera una serie de escenarios posibles, pero tiene en cuenta todos los valores que una variable puede tomar y pondera cada escenario por su probabilidad de ocurrencia.