Simulacion Version 1

Informe parcial

ndice.

1.- Introduccin 11.1 Definiciones e importancia de la simulacin en la ingeniera. 2

1.2 Conceptos bsicos de modelacin. 3

1.3 Metodologa de la simulacin. 4

1.4 Sistemas, modelos y control. 5

1.5 Estructura y etapas de un estudio de simulacin. 71.6 Etapas de un proyecto de simulacin. 92.-Nmeros pseudoaleatorios. 20

2.1Metodos de Generacin. 22

2.2 Pruebas estadsticas de aleatoriedad. 25

2.3 Mtodo de Monte Carlo. 293.-Generacin de variables aleatorias. 333.1 Introduccin. 34

3.2 Variables aleatorias Discretas. 35

3.3 Variables aleatorias Continuas. 38

3.4 Mtodos para generar variables aleatorias. 41

3.5 Procedimientos especiales. 51

4.- Lenguajes de Simulacin 534.1Lenguajes de simulacin y simuladores. 54

4.2Aprendizaje y uso de un simulador. 59

4.3 Casos prcticos de simulacin. 71

4.3.1 Modelos de inventario. 71

4.3.2 Modelo de lneas de espera. 78

5.- Unidad integradora. 845.1 Caso de estudio 85

5.2 Validacin del sistema de simulacin 92Bibliografa. 99

Unidad 1.- Introduccin. 25 AGO 2014.Simular, segn el Diccionario Universitario Webster es: fingir, llegar a la esencia de algo, prescindiendo de la realidad.

El uso de trmino Simulacin data de 1940, cuando los cientficos Von Neuman y Ulam trabajaban en el proyecto Monte Carlo, durante la segunda guerra mundial, en la resolucin de problemas de reacciones nucleares.

Con la utilizacin de la computadora en los experimentos de simulacin, surgen nuevas aplicaciones y con ello una gran cantidad de problemas tericos y prcticos.

1.1 Definiciones e importancia de la simulacin en la ingeniera.

A continuacin se describen algunas de las definiciones ms aceptadas y difundidas del concepto simulacin.

A) Tomas H. Taylor la define como: Simulacin es una tcnica numrica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemticas y lgicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real.

B) Otra definicin la proporcionan H.Maisel y G. Gnugnoli, que la definen como: Simulacin es una tcnica numrica para realizar experimentos en una computadora digital. Estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemticos y lgicos que describen el comportamiento de un sistema de negocios, econmicos, sociales, biolgicos, fsicos o qumicos a travs de largos periodos de tiempo.C) Robert E. Shannon la define como: Simulacin es el proceso de disear y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propsito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema. La Simulacin es una herramienta de anlisis para el diseo, desarrollo y operacin de procesos o sistemas complejos.

Importancia de la simulacin en la ingeniera. La simulacin es una herramienta que se usa ampliamente, actualmente existe una gran cantidad de software para diversas aplicaciones lo que trae consigo las siguientes ventajas:

A travs de un estudio de simulacin se puede estudiar el efecto de los cambios internos y externos del sistema, al realizar cambios en el modelo del sistema se observan sus efectos en el comportamiento del sistema.

La observacin detallada del sistema que se est simulando puede conducir a un mejor entendimiento del mismo y por consiguiente a sugerir estrategias para mejorar la operacin y eficiencia del sistema.

Puede utilizarse como instrumento pedaggico para desarrollar en los estudiantes habilidades bsicas en anlisis estadstico, terico, etc. En ocasiones se puede tener una buena representacin del sistema y a travs de l es posible entrenar y dar cierto tipo de experiencia. (simuladores de negocios, de vuelo, etc). Ayuda a entender mejor los sistemas complejos, a detectar las variables ms importantes que interactan en el sistema y a entender las interrelaciones entre las variables.

Se puede utilizar para experimentar con nuevas situaciones, sobre las cuales se tiene poca o nula informacin.

Cuando se introducen nuevos elementos al sistema, la simulacin se puede usar para anticipar los cuellos de botella o algn otro problema que pueda surgir en el sistema.

1.2 Conceptos bsicos de modelacin.

La modelacin no es algo nuevo, la conceptualizacin y el desarrollo de modelos han tenido un papel importante en el desarrollo intelectual de la humanidad, desde que el hombre trat de entender e influir en su medio. El hombre ha usado la idea de los modelos para representar y expresar ideas y objetos. El modelado se presenta de diversas maneras, como pinturas murales, representacin de dolos, hasta un complejo sistema de ecuaciones matemticas para el vuelo de una nave espacial. El progreso de la ciencia y la ingeniera se refleja en el progreso de la habilidad del hombre para el desarrollo de modelos.

Un modelo es una representacin de un objeto, sistema o idea de forma diferente a la identidad misma. Un modelo de un objeto puede ser una rplica exacta de ste (con material o escala diferente) o una abstraccin de las propiedades dominantes.

Estructura de los modelos de simulacin.

Antes de iniciar el proceso de desarrollo de un modelo, se debera de comprender la estructura bsica a partir de la cual se construye un modelo. Dicha estructura se representa matemticamente como:

E = f ( xi, yi ) , donde:

E es el efecto del comportamiento del sistema.

xi son las variables y parmetros que podemos controlar.

yi son las variables y parmetros que no podemos controlar.

f es la relacin entre xi y yi , que da origen a E.

Elementos de los modelos.Un modelo, casi siempre contiene los siguientes elementos:

Parmetros. Son cantidades a las cuales el operador del modelo puede asignarle valores arbitrarios, de acuerdo a sus necesidades. Una vez establecidos, son constantes y no varan, por ejemplo Cantidad de repartidores necesarios por da, periodo de compra, etc.

Variables. (x) Su valor puede cambiar durante la ejecucin del experimento. Los valores que puede tomar es de acuerdo a la funcin permitida.

Podemos reconocer dos tipos de variables. Las exgenas tambin llamadas de entrada, es decir, se originan o producen fuera del sistema o surgen debido a causas externas, un ejemplo de variable exgena no controlable es el nmero de clientes por unidad de tiempo que llegan a una cola en un sistema de espera y las variables endgenas o de salida, que se producen dentro del sistema o que resultan de causas internas.

Relaciones funcionales. f(x) Describen a las variables y a los parmetros de tal manera que muestran el comportamiento dentro de un componente o entre componentes del sistema. Estas relaciones pueden ser de naturaleza determinstica o estocstica.

Las relaciones determinsticas son identidades que relacionan ciertas variables y/o parmetros donde una salida del proceso es singularmente determinada por una entrada dada. En las relaciones estocsticas el proceso tiene una salida indefinida para una entrada determinada.

Usualmente ambos tipos de relaciones adoptan la forma de una funcin matemtica, ecuacin o inecuacin, que relaciona las variables endgenas con las exgenas.

Restricciones. Son las limitaciones impuestas a los valores de las variables o la manera en que los recursos pueden consumirse o asignarse. Las restricciones pueden ser auto impuestas por el diseador (cantidad mxima de capital disponible) o por el sistema debido a su naturaleza (demanda mxima del producto).

Funcin objetivo. Es la definicin explicita de los objetivos y metas del sistema y la definicin de los criterios que se emplearn para evaluar su logro . Los objetivos pueden ser retentivos o adquisitivos.

Los objetivos retentivos son aquellos que tratan de preservar o conservar recursos (tiempo, energa, habilidad, etc.) o estados (comodidad, nivel de empleo, etc.). Los objetivos adquisitivos se relacionan con la adquisicin de recursos (utilidades, clientes, etc.).

La definicin de la funcin objetivo debe de ser una especificacin inequvoca de las metas y objetivos contra los cuales se van a medir las decisiones.

Proceso de construccin de modelos.

El proceso mediante el cual se deduce el modelo de un sistema en estudio, puede describirse como un arte intuitivo. Las reglas para desarrollar modelos tienen una utilidad limitada y solamente puede servir como una estructura o planteamiento sugerido, al intentar sistematizar la intuicin y la experiencia de los que han modelado diversos sistemas.

Toda divulgacin cientfica tiene una reconstruccin lgica de eventos, la cual trata de justificar las implicaciones producidas. Ningn informe expone las suposiciones errneas que se abandonaron, las frustraciones, las ideas repentinas y sus decisiones, solamente se relatan la secuencia de eventos y justificaciones acerca de cmo se abordo el problema y se alcanzo el resultado.

1.3 Sistemas, modelos y control.

1.3.1 Sistemas.

El concepto de sistemas tiene un papel importante en el mundo moderno. El enfoque de sistemas para abordar problemas reencuentra muy arraigado, y se habla de ella como si fuera una metodologa precisa (lo cual no es cierto).

Como definicin de sistema se puede decir que es un conjunto de elementos con relaciones de interaccin e interdependencia que le confieren entidad propia al formar un todo unificado. Un sistema puede ser cualquier objeto, cualquier cantidad de materia, cualquier regin del espacio, etc., seleccionado para estudiarlo y aislarlo (mentalmente) de todo lo dems. As todo lo que lo rodea es entonces el entorno o el medio donde se encuentra el sistema.

EL enfoque de sistemas intenta estudiar el comportamiento de sistemas completos en vez de concentrarse en sus partes. Se deriva de reconocer que an optimizando cada elemento del sistema desde el punto operativo, el comportamiento del sistema completo puede resultar menos que ptimo debido a las interacciones de los elementos.

Los sistemas complejos tienen caractersticas que pueden producir frustraciones al tratar de mejorar su comportamiento, entre las cuales tenemos:

1. Cambio. Ningn sistema del mundo real permanece esttico durante un largo periodo. La condicin o estado real de un sistema es el resultado del pasado y es la base para el futuro.

2. Medio. El medio de un sistema es un conjunto de elementos y sus principales propiedades, el cual an cuando no forma parte del sistema, si se modifica, puede producir cambios en el estado del sistema, el medio est constituido por todas las variables externas que pueden afectar al sistema. Cada sistema tiene su propio medio.

3. Comportamiento intuitivo opuesto. Por lo general la causa y el efecto no se relacionan estrechamente en el tiempo o el espacio, los efectos pueden aparecer despus de mucho tiempo de que se dieran las causas. El examen superficial a menudo indica la necesidad de acciones correctivas errneas, que pueden intensificar los problemas.

4. Tendencia al bajo rendimiento. Con el paso del tiempo las partes del sistema se deterioran y surgen ineficiencias que van en perjuicio de su desempeo.

5. Interdependencia. Las actividades del mundo real influyen entre si. Ninguna de las actividades dentro de un sistema complejo esta aislada completamente, cada evento es influido por sus predecesores y afecta a sus sucesores.

6. Organizacin.

Los sistemas consisten en elementos o componentes altamente organizados. Sus partes se combinan en jerarquas de subsistemas que al interactuar llevan a cabo la funcin del sistema.

1.3.2. Modelos.

En el apartado 1.2 definimos como modelo la representacin de un objeto, sistema o idea de forma diferente a la identidad misma.

Para los propsitos de la simulacin la descripcin del sistema incluye una representacin esttica y una representacin dinmica. La primera trata de determinar y definir la existencia de subsistemas, los componentes que se incluyen y excluyen del modelo, cuales son parte del entorno y las relaciones estructurales entre ellos.

1.3.3. Control.

El control se ha definido bajo dos perspectivas; una limitada y una amplia. Para la perspectiva limitada, el control se concibe como la verificacin a posteriori de los resultados conseguidos en el seguimiento de objetivos planeados. La perspectiva amplia lo concibe como una actividad que orienta a la organizacin hacia el cumplimiento de los objetivos propuestos bajo mecanismos de medicin cualitativos y cuantitativos.

El control es una etapa primordial pues an cuando se tenga una estructura y operacin eficiente, se verifica que los hechos estn de acuerdo a los objetivos

1.3.3.1 Elementos del concepto de control. Relacin con lo planteado: Siempre existe razn para verificar el logro de los objetivos que se establecen en la planeacin.

Medicin: Para controlar es imprescindible medir y cuantificar los resultados.

Detectar desviaciones: Una de las funciones inherentes al control, es descubrir las diferencias que se presentan entre la ejecucin y la planeacin.

Establecer medidas correctivas: El objeto del control es prever y corregir los errores.1.4.3.2. Requisitos de un buen control

Correccin de fallas y errores: El control debe detectar e indicar errores de planeacin, organizacin o direccin.

Previsin de fallas o errores futuros: el control, al detectar e indicar errores actuales, debe prevenir errores futuros, ya sean de planeacin, organizacin o direccin.

Importancia del control

Una de las razones ms evidentes de la importancia del control es porque hasta el mejor de los planes se puede desviar. El control se emplea para:

Enfrentar el cambio: Este forma parte ineludible del ambiente de cualquier organizacin. Los mercados cambian, la competencia en todo el mundo ofrece productos o servicios nuevos que captan la atencin del pblico. Surgen materiales y tecnologas nuevas. Se aprueban o enmiendan reglamentos gubernamentales. La funcin del control sirve a los gerentes para responder a las amenazas o las oportunidades de todo ello, porque les ayuda a detectar los cambios que estn afectando los productos y los servicios de sus organizaciones.

Producir ciclos ms rpidos: Una cosa es reconocer la demanda de los consumidores para un diseo, calidad, o tiempo de entregas mejorados, y otra muy distinta es acelerar los ciclos que implican el desarrollo y la entrega de esos productos y servicios nuevos a los clientes. Los clientes de la actualidad no solo esperan velocidad, sino tambin productos y servicios a su medida.

Agregar valor: Los tiempos veloces de los ciclos son una manera de obtener ventajas competitivas. Otra forma, aplicada por el experto de la administracin japonesa Kenichi Ohmae, es agregar valor. Tratar de igualar todos los movimientos de la competencia puede resultar muy costoso y contraproducente. Ohmae, advierte, en cambio, que el principal objetivo de una organizacin debera ser "agregar valor" a su producto o servicio, de tal manera que los clientes lo comprarn, prefirindolo sobre la oferta del competidor. Con frecuencia, este valor agregado adopta la forma de una calidad por encima de la medida lograda aplicando procedimientos de control.

Facilitar la delegacin y el trabajo en equipo: La tendencia contempornea hacia la administracin participativa tambin aumenta la necesidad de delegar autoridad y de fomentar que los empleados trabajen juntos en equipo. Esto no disminuye la responsabilidad ltima de la gerencia. Por el contrario, cambia la ndole del proceso de control. Por tanto, el proceso de control permite que el gerente controle el avance de los empleados, sin entorpecer su creatividad o participacin en el trabajoEl proceso de formulacin de modelos es relativamente individualista, dado que depende en gran parte del juicio experimentado y la intuicin del analista. Estos aspectos influyen en cada aspecto de la modelacin: al decidir el planteamiento ms productivo, al disear el modelo cuando determinamos hechos y su importancia, as como al interpretar los resultados.

El primer paso para elaborar un modelo es especificar su objetivo o propsito, por lo tanto no existe algo que se denomine en forma exclusiva como modelo de un sistema, porque el modelado depende del objetivo deseado, el cual ser una gua para determinar los elementos y relaciones del modelo del sistema.

Un planteamiento para la construccin exitosa de modelos es comenzar con un modelo muy simple e intentar continuar con modelos ms elaborados que reflejen situaciones complejas con mayor claridad. Conforme se prueba e intenta validar cada versin del modelo, se produce una nueva versin que conduce a una nueva prueba y validacin.

Por lo tanto, el arte de modelar consiste en la habilidad para analizar un problema, resumir sus caractersticas esenciales, seleccionar y modificar suposiciones bsicas que caracterizan el sistema y luego enriquecer y elaborar el modelo hasta lograr una aproximacin til. Se sugieren:A.) principios:

Dividir el problema del sistema en problemas ms simples.

Establecer una definicin clara de los objetivos.

Buscar analogas.

Considerar un ejemplo numrico especfico del problema.

Establecer algunos smbolos.

Escribir datos obvios.

Si se tiene un modelo simple, enriquecerlo. Si es muy complejo, simplificarlo.

B.) Criteriosa. Fcil de entender

b. Dirigido a metas y objetivos

c. Sensato

d. Fcil de controlar y manipular

e. Adaptable

f. Evolutivo

C.) Patrones1. Inspeccin y/o discusin con quienes conocen el sistema

2. Buscar analogas

3. Realizar anlisis estadstico de los datos

4. Experimentacin

5. Recurrir a un grupo de expertos

Grupo de expertos. Mtodo delphi.1.4 Metodologa de la simulacin. La simulacin se basa en el mtodo de resolucin de problemas que ha estado en uso durante muchos aos. En ocasiones, se le ha denominado el mtodo de creacin del modelo o comnmente (I) el mtodo cientfico.

As, cuando se realiza la simulacin del sistema, se aplican los siguientes pasos:

1. Observacin del sistema.

2. Formulacin de teoras e hiptesis que explican el comportamiento observado.

3. Prediccin de comportamientos futuros en el sistema, basado en la suposicin de que las hiptesis son correctas.

4. Comparacin del comportamiento que se predice con el comportamiento actual.

En ocasiones, se considera el estudio de un sistema, el cual an no existe, por lo que es obvio que la observacin del sistema no es posible de realizar. Debido a esto, el mtodo cientfico se desarrollo bajo un enfoque poco diferente al cual se le llam(II) metodologa de sistemas.

Esta metodologa considera bsicamente cuatro fases: planeacin, modelacin, validacin y aplicacin.

A. En la fase de planeacin se contempla: la definicin del sistema, el establecimiento del alcance del modelo, la planeacin estratgica y la planeacin tctica.

B. La fase de modelado considera: la construccin del modelo, la traslacin del modelo y la adquisicin de datos.

C. En la fase de validacin se verifica y valida el modelo.

D. La fase de aplicacin comprende: la experimentacin, el anlisis de los resultados obtenidos del modelo, la implantacin y la documentacin.

Ms adelante se explicar con mayor detalle cada una de las etapas de la realizacin de un estudio de simulacin.

1.5 Estructura y etapas de un estudio de simulacin.Un proyecto de simulacin comienza normalmente con la descripcin de una situacin por parte del patrocinador o promotor al analista, en trminos generales y de manera vaga e imprecisa. Esto es de esperarse porque si conociera en forma exacta cual es el problema y la forma de resolverla, ya lo hubiera resuelto.

Si suponemos que la simulacin se usa para investigar las propiedades de un sistema real, se requieren de ciertas etapas las cuales difieren segn ciertos autores.

1.5.1.Raul Coss Bu, con la opinin de varios autores, plantea que las etapas para llevar a cabo un experimento de simulacin son:

Definicin del sistema. Se debe de realizar un anlisis preliminar con el fin de determinar la interaccin del sistema con otros sistemas, las restricciones del sistema, las variables que interactan dentro de l y sus interrelaciones, las medidas de efectividad a utilizar para definir y estudiar el sistema y los resultados que se esperan obtener del estudio.

Formulacin del modelo. En la formulacin es necesario definir todas las variables que forman parte de l, sus relaciones lgicas y los diagramas de flujo que describen en forma completa el modelo.

Coleccin de datos. Definir con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir para producir los resultados deseados. Por lo general la informacin se puede obtener de registros contables, ordenes de trabajo, opinin de expertos y si no hay otra alternativa, se recurre a la experimentacin.

Implementacin del modelo en la computadora. Decidir que lenguaje se utilizar o algn paquete, para procesarlo en la computadora y obtener los resultados deseados.

Experimentacin. Consiste en generar los datos deseados (planeacin tctica y planeacin estratgica) y realizar anlisis de sensibilidad de los ndices requeridos.

Validacin. En esta etapa es posible detectar deficiencias en la formulacin del modelo o en los datos alimentados a l. Las formas ms comunes de validar son: la opinin de expertos sobre los resultados de la simulacin, la exactitud de predecir datos histricos, exactitud de predicciones futuras, la comprobacin de falla del modelo al usar datos que hacen fallar al sistema real y la aceptacin y confianza en el modelo de la persona que usar los resultados que arroje el experimento.

Interpretacin. Se interpretan los datos que arroj la experimentacin y en base a estos se toma una decisin.

Documentacin. Se requieren dos tipos de documentacin: para hacer uso del modelo (tipo tcnico) y para la interaccin y uso del modelo (manual del usuario).

1.5.2. Robert E. Shannon, plantea una gua que divide el proceso de la simulacin en las siguientes etapas.

Definicin del sistema. Su objetivo es determinar los lmites o fronteras, las restricciones y las medidas de efectividad que se usarn para definir el sistema que se estudiar.

Formulacin del modelo. Consiste en la abstraccin o reduccin del sistema real a un diagrama de flujo lgico.

Preparacin de datos. Identifica los datos que el modelo requiere y realizar la reduccin de estos a una forma adecuada.

Traslacin del modelo. Se realiza la descripcin del modelo en un lenguaje aceptable para la computadora que se usar.

Validacin. Consiste en incrementar a un nivel de confianza aceptable la inferencia obtenida del modelo respecto al sistema real.

Planeacin estratgica. Disea el experimento, las corridas de simulacin, que producir la informacin deseada.

Planeacin tctica. Consiste en la determinacin de cmo se realizar cada una de las corridas de prueba especificadas en el diseo experimental.

Experimentacin. Realizar las corridas de simulacin para generar los datos deseados y efectuar el anlisis de sensibilidad.

Interpretacin. Obtener las inferencias respecto al sistema real con base en los datos generados en la simulacin.

Implantacin. Usar el modelo y/o los resultados, la capacitacin del personal la implantacin en los equipos correspondientes.

Documentacin. Es el registro de las actividades del proyecto y los resultados as como de la documentacin del modelo y su uso.

1.6 Etapas de un (III) proyecto de simulacin.Como se describi anteriormente, no existe una metodologa que nos garantice el como obtener la simulacin optima de un proceso, lo que tenemos en la realidad es una gua que nos sirve de referencia pero esta depende en gran parte de la experiencia y el juicio de los analistas que diseen el experimento de simulacin. Para este trabajo describiremos el proceso planteado por Shannon, porque es ms detallado en sus etapas.

1 Definicin del sistema.

Un proyecto de simulacin, usualmente inicia con una descripcin vaga de una situacin (disminucin de utilidades, cuellos de botella en la produccin, niveles de inventarios, etc.) que se presenta en el sistema donde labora el patrocinador del estudio.

Por otra parte, los lmites del estudio propuesto deben establecerse rpidamente, de modo que el analista y el patrocinador tengan claro lo que se har y lo que no se har.

El descubrimiento de hechos en el sistema., para realizarlo se pueden utilizar los siguientes procesos: observacin, medicin, participacin o la entrevista. Esto es que se puede recopilar la informacin y datos de: los documentos, vales, facturas, notas, bases de datos, etc. estos datos se deben aceptar tentativamente, y despus verificar su validez. Adems la informacin que se obtiene de las entrevistas se describe la situacin general. La entrevista tiene dos objetivos principales: Descubrir y verificar hechos y proporcionar la oportunidad de y enfrentarse superar a la resistencia a los cambios que genere el estudio. El analista debe estar considerar que la gente entrevistada est consciente de que sus opiniones pueden generar cambios dentro del sistema. Con esta informacin que a cada momento aumenta se puede generar el diagnstico de sntomas, la descripcin del estado actual del sistema, que requiere un conocimiento pleno de todos los aspectos de la operacin de la organizacin, que sean importantes para el caso. Esto incluye fuerzas o factores externos que impacten los resultados deseados y un entendimiento de los aspectos objetivos y subjetivos del problema.

Paralelamente al descubrimiento de hechos se realizar la fase de orientacin, cuya finalidad es entender y articular el conjunto de objetivos y metas que se desean lograr. Es muy raro que en nuestra compleja sociedad actual, solo una persona tome las decisiones ms importantes y que todos tengan el mismo objetivo.

Para su realizacin se proponen los siguientes pasos:

1. Identificar quien o quienes toman las decisiones, as como el proceso de toma de decisiones.

2. Determinar los principales objetivos de los responsables de algn aspecto de la decisin.

3. Identificar a otros participantes y el grado de influencia que pueden tener en la solucin, as como los canales en que ejercen su influencia.

4. Determinar los objetivos e intereses de los otros participantes.

5. Establecer que aspectos estn expuestos al control de quienes toman las decisiones, (variables endgenas) as como el tipo de control que pueden ejercer.

6. Identificar aquellos aspectos del entorno o contexto del problema que puedan afectar el resultado de posible soluciones, (variables exgenas) los cuales no controlan quien toma las decisiones.

7. Determinar que objeciones o acciones contrarias pueden surgir por parte de otros participantes que se oponen a cambios en el sistema.

La fase de investigacin del estudio, se refiere al establecimiento de las bases y la planeacin de la investigacin, (agenda o cronograma) este proceso incluye los siguientes pasos:

1. Especificar explcitamente las tareas por realizar y el sistema a estudiar.

2. Determinar las restricciones impuestas (personal, itinerario, fondos, tiempo, equipo, etc.). Establecer los lmites del estudio para que el analista y patrocinador tengan una idea clara de su alcance3. Establecer el sistema de administracin de tareas para coordinar: al personal, los recursos y transmitir conocimientos a todo el equipo desarrollador.

4. Motivar. Asegurar la participacin de todo el personal requerido.

5. Comunicacin. Tener acceso a toda la informacin y datos requeridos para resolver el problema.

6. Desarrollar una base de criterios adecuados, mediante los cuales los resultados se puedan evaluar. La definicin del sistema para el propsito de simulacin concluye cuando tenemos la representacin esttica y dinmica del sistema.

En la representacin esttica se determinan la organizacin de los elementos y subsistemas que contendr el modelo y cuales se excluyen. La representacin dinmica trata sobre la complejidad determinada por los cambios en el sistema. Que cambios son posibles? Como afectan las variables externas? y su interdependencia Que relacin secuencial existe entre los cambios? Qu se espera debido a los cambios?2 Formulacin del modelo. (diagramacin)Concluida la definicin del sistema debemos estar en condiciones de formular el modelo, por lo tanto, la definicin del problema transforma la descripcin del promotor en el lenguaje preciso de nuestros modelos formales.

Anteriormente en el apartado 1.2 se expusieron conceptos bsicos del modelo como una definicin, la estructura de los modelos de simulacin, los elementos de los modelos y el proceso de construccin de modelos. A continuacin se presentan algunos tipos de diagramas.

Diagramas para modelar.

El modelo es una representacin, por lo tanto requerimos de tcnicas para realizar la representacin del sistema. Los modelos esquemticos son todos los mtodos de anlisis que incluyen la representacin grfica de una operacin del sistema. Estos presentan una abstraccin de cmo ocurren o pueden ocurrir los eventos del mundo real. Su propsito es ayudar al analista a entender y documentar como funciona un sistema o proceso. Existen numerosos modelos esquemticos, pero solo presentaremos algunos de ellos, se pueden consultar sobre otros en textos para mejorar mtodos o de anlisis de administracin de la produccin.

Diagrama de flujo de proceso. Es una herramienta de fcil uso, as como una tcnica muy til para determinar como se realiza un proceso paso a paso. Se presenta la operacin de manera lgica y condensada, mostrando el progreso etapa por etapa del proceso que se plantea. Su limitacin es su uso para seguir un solo producto, material, objeto o persona. Tambin se pueden poner en el diagrama mltiples materiales, objetos y personas pero el procedimiento se vuelve ms complejo.

EL diagrama lo origin Frank B. Gilbreth y en la actualidad utiliza cinco smbolos:

Operacin. Representa que se esta haciendo algo o cambiando algo fsica o qumicamente; algo se esta creando, ensamblando o desarmando. Se consideran operaciones: capturar informacin, hacer un agujero, soldar piezas, etc. Tambin se consideran operaciones: calcular, planear, recibir informacin, etc.

Transportacin o movimiento. Describe el movimiento del articulo que se est planeando de un lugar a otro o de un departamento a otro. Un movimiento dentro del rea de operacin se considera parte de la operacin, sin embargo si la persona u objeto deben de desplazarse, es una transportacin.

Inspeccin. Es la comparacin contra los planes o estandares predeterminados, incluyendo examen del artculo para establecer la calidad, cantidad, as como la lectura de informacin impresa antes de tomar una decisin.

Demora. Representan retrasos temporales, como cuando se interrumpe a una persona que realiza una actividad, una carta que espera en el buzn, etc.

Almacenamiento. Tiene lugar cuando las partes o articulos se mantienen en un estado formal y deliberado de inactividad. Ejemplos son: las refacciones en un depsito, plasma en el banco de sangre, registros de un archivo, etc.

Con este conjunto de smbolos se puede describir grficamente cualquier procedimiento o proceso.

Una variante para visualizar el proceso es el diagrama de flujo, en el cual el diagrama de proceso se sobrepone en un plano de la planta a escala del rea fsica donde se realiza el proceso.

Diagrama de bloques.

Son quizs los dispositivos ms tiles disponibles para modelar. Los diagramas de bloques identifican a los elementos o subsistemas principales y muestran la existencia de las relaciones entre estos. Las flechas describen el flujo de transacciones entre los elementos, y los cuadros que contienen las palabras descriptivas o de identificacin representan los elementos o subsistemas.

Entrada Salida

Ejemplo de diagrama de bloques.

Diagrama de flujo lgico.

Es un tipo de diagrama de bloques que incluye los smbolos que utilizan los analistas de sistemas. Una caracterstica es su mayor flexibilidad al tener la capacidad de bifurcacin. Se pueden representar puntos de decisin y de eleccin en la secuencia.

Los smbolos que se utilizan son:

Entrada-Salida. Cualquier proceso que haga disponible informacin para procesamiento o registr.

Procesamiento. Es una funcin de procesamiento (similar, pero de mayor grado que una operacin).

Decisin. Sirve para mostrar los puntos donde es posible una trayectoria opcional, basada en condiciones variables.

Conector. Una entrada de, o salida a, otra parte del diagrama de flujo.

Terminal. Principio, final o punto de interrupcin del sistema.

El siguiente diagrama representa el cambio de una llanta ponchada.

Existe una gran diversidad de diagramas que se pueden utilizar para realizar diversas representaciones y cada un sus ventajas de acuerdo a la aplicacin particular.

UML.

3 Preparacin de datos.En esta etapa, se pretende adquirir los datos que se pueden obtener del sistema y de acuerdo al modelo elaborado prepararlos para que estos puedan ser ingresados en l.

Es posible que algunos datos sean de fcil obtencin, pero tambin existen otros que no estn disponibles o son difciles de adquirir y que pueden ser determinantes para el desarrollo del modelo.

Es importante que se definan con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir para lograr los resultados deseados. La informacin requerida se puede obtener de registros contables, de ordenes de trabajo, de ordenes de venta, de reportes de ventas, de opiniones de expertos, de anlisis estadstico y si no hay otro remedio de la experimentacin (o de la observacin directa).

En la siguiente unidad se presenta como realizar el anlisis de la informacin para determinar el comportamiento de las variables aleatorias de entrada al modelo.

4 Traslacin del modelo.

Esta etapa consiste bsicamente en la realizacin de la descripcin del modelo en un lenguaje aceptable para la computadora que se usar.

La mayora de las computadoras digitales operan en un lenguaje binario de representacin de datos o algn mltiplo del binario tal como el octal o el hexadecimal. Debido a que estos lenguajes son poco eficientes para la comunicacin, estos han evolucionado para que sus usuarios conversen con las computadoras. Es de lamentar, que en la actualidad se han desarrollado una gran cantidad de lenguajes de programacin, tanto de propsito general como de propsito especial, lo que hace muy difcil la seleccin del lenguaje que mejor se ajuste a las necesidades de la aplicacin particular.

Por lo tanto, la prctica comn es la adopcin del lenguaje conocido por el analista para el desarrollo del programa. Cualquier lenguaje algortmico general puede expresar el modelo deseado; sin embargo los lenguajes de simulacin especializados pueden tener ventajas muy diferentes en trminos de facilidad, eficiencia y efectividad.

Como se enunci anteriormente se han desarrollado lenguajes de propsito general y lenguajes de propsito especial.

Los primeros se disearon para resolver una extensa variedad de problemas, tales como FORTRAN, COBOL, BASIC, C++, etc. Tienen ciertas ventajas como: mnimas restricciones al formato de salida y estn bien informados (tienen bibliotecas y ayudas); pero requieren de mayor tiempo de programacin y no contiene trminos propios de la simulacin.

Los lenguajes de propsito especfico, se disean para satisfacer o resolver una clase o tipo particular de problemas, tales como los lenguajes de simulacin. Los lenguajes de simulacin comenzaron a desarrollarse a finales de los cincuenta, cuando se observo que gran nmero de programas tenan procesos funcionalmente similares y aparece la idea de crea lenguajes de propsito especfico, como el GPSS, SIMULA, TAYLOR, etc. Entre sus ventajas esta: menos tiempo de programacin, ofrece un medio conciso y directo para expresar conceptos de simulacin, tiene la habilidad de construir y proporcionar subrutinas, genera automticamente ciertos datos que se requieren en las corridas de simulacin, facilita la recopilacin y despliegue de datos; pero debe de apegarse a los requerimientos de formatos de entrada y salida y poseen una flexibilidad reducida de modelos y tiempo de las corridas.

5 Validacin.

Es al proceso para llevar a un nivel aceptable la confianza del usuario, referente a la inferencia obtenida del modelo respecto al sistema real. Es imposible probar que el simulador es un modelo correcto o verdadero del sistema real, debido a los mltiples factores que intervienen en su elaboracin. Lo que nos importa es la validacin de resultados y reflexiones que hemos obtenido u obtendremos a partir de la simulacin. Es decir, lo que importa es la utilidad operativa del modelo y no la verdad de su estructura.

No existe la prueba de validacin, en su lugar, el experimentador debe de realizar pruebas a lo largo del proceso de desarrollo del modelo a fin de crear confianza. Shannon, propone tres posibles pruebas para validar el modelo. Primera, cerciorarse que el modelo tenga validez en forma general, por ejemplo; puede el modelo dar respuestas absurdas si se lleva a los parmetros a valores extremos?; Tambin podemos preguntar a gente que interviene en el sistema si los resultados del modelo son razonables.

La segunda prueba es la de suposiciones y la tercera es la prueba de transformaciones de entrada-salida. Estas dos pruebas requieren del uso de pruebas estadsticas de medias y varianzas, anlisis de varianza, regresin, ji cuadrada, etc., pero su uso hace suposiciones acerca del proceso fundamental lo que trae consigo las preguntas de validez.

Coos Bu, seala que las formas ms comunes de validar son:

La opinin de expertos sobre los resultados de la simulacin.

La exactitud con que se predicen datos histricos.

La exactitud de prediccin del futuro.

La comprobacin de falla del modelo de simulacin al utilizar datos que hacen fallar el modelo.

La aceptacin y confianza en el modelo de la persona que har uso de los resultados que arroje el experimento de simulacin.

6 Planeacin estratgica. N incompletoEsta etapa tiene como finalidad el diseo del experimento que producir la informacin deseada. El objetivo de cualquier investigacin experimental, es aprender acerca del sistema que se estudia. El experimento es el proceso de observacin y anlisis que ofrece informacin que conduce a las soluciones. El diseo experimental selecciona un planteamiento particular para recopilar informacin que proporcione suficiente conocimiento acerca del sistema, para permitir que se obtengan inferencias vlidas acerca de su desempeo.

Se pueden dos tipos de objetivos del experimento:

Encontrar la combinacin de valores de los parmetros que optimizan la variable de respuesta (cuantas variables de entrada, valores de las variables de entrada, cuantas variables de salida).

Explicar la relacin entre la variable de respuesta y los factores controlables dentro del sistema (de que manera un cambio en una variable independiente, afecta a la variable de respuesta?).

En constrccion7 Planeacin tctica. n Esta etapa considera aspectos de eficiencia y se encarga de la determinacin de como se van a llevar a cabo cada una de las corridas que se especifican en el diseo experimental.

La planeacin tctica se interesa en dos reas problemticas: (A) las condiciones de inicio, conforme afectan el alcance de equilibrio del sistema y la necesidad de (B) reducir la varianza de las respuestas tanto como sea posible, mientras se minimiza los tamaos de muestra requeridos.

A. Las condiciones inciales.

Un experimento de simulacin tiene la facilidad de repetir las condiciones experimentales, as como la comodidad para empezar, detenerse y reiniciar el experimento. Esto es una gran ventaja porque se tiene un mejor control del experimento, pero existe la desventaja de que es necesario pensar y decidir cundo iniciar el modelo y cuando se debe de empezar a recolectar los datos del modelo.

La forma ms comn de poner en marcha un modelo es cuando est en reposo, pero para algunos sistemas esto ocurre solo una vez, por ejemplo en: un hospital, una autopista, un aeropuerto, etc.

Para eliminar este efecto transitorio inicial del sistema, se tienen tres alternativas:

Utilizar corridas lo suficientemente grandes que hagan insignificante el efecto del periodo inicial.

Desechar alguna parte del periodo inicial, de acuerdo a consideraciones propias.

Seleccionar las condiciones inciales tpicas del funcionamiento del sistema en condiciones estables.

B. El problema de variabilidad.

Una de las caractersticas de los modelos estocsticos de simulacin es su variabilidad, por lo tanto, se requiere de su repeticin para obtener la exactitud y precisin de los resultados. Como el tiempo de las corridas, de cmputo y de simulacin puede ser grande, se debe de obtener tanta informacin como sea posible con el menor nmero de corridas.

El experimento se debe de realizar de tal manera que no solo se obtengan los resultados sino que tambin se pueda estimar la precisin de estas y la confianza atribuible a las conclusiones. La cantidad del esfuerzo y la exactitud estn ntimamente relacionadas, por lo tanto debemos establecer la exactitud deseada del estudio para as determinar el esfuerzo a realizar.

La pregunta que con mayor frecuencia se realiza es: Cuntas muestras debo de tomar para logra la confianza deseada (significacin estadstica)?, para contestarla necesitamos saber cunto esfuerzo deseamos realizar.

Determinacin del tamao de la muestra.

Para la determinacin del tamao de la muestra, se pueden usar dos mtodos:

Previa e independientemente de la operacin del modelo.

Durante la operacin del modelo y en base a sus resultados.Para calcular el tamao de la muestra previa e independientemente de la operacin del modelo de simulacin, se requiere de tener conocimiento de las posibles respuestas ms altas y ms bajas que se pueden obtener y usa la siguiente relacin:n= ( Z/2)2 / D2

Donde:

= desviacin estndar, se calcula: intervalo de respuestas= 4

Z/2= constante de la distribucin normal, para cierto nivel de error ()

D=diferencia aceptable entre el estimado y el parmetro real.

Para calcular el tamao de la muestra en base a los resultados del modelos, se requiere correr el modelo al menos 30 veces, con sus resultados se determina la desviacin estndar () y posteriormente se usa la relacin descrita anteriormente.

8 Experimentacin. En construccionEn la experimentacin se planea un estudio de simulacin como una serie de corridas, cuyo objetivo es comparar entre una diversidad de sistemas alternos y/o condiciones de operacin.

Se utilizara el trmino experimento para indicar la prueba de un sistema determinado que opere bajo un conjunto de condiciones.

Entendemos por corrida a una sola ejecucin de una configuracin experimental y la observacin es una sola medicin de una variable del sistema.

La realizacin de un experimento de simulacin es el proceso de ejecutar el modelo de modo de que se observen las respuestas deseadas. Este experimento, es la realizacin de todas las corridas sugeridas en la planeacin tctica con la determinacin del tamao de la muestra (cantidad de corridas requeridas para lograr cierta confiabilidad en los resultados).

Cuando se corre el modelo para obtener la informacin deseada, se empiezan a encontrar los defectos y los descuidos de nuestra planeacin y en ocasiones es necesario volver a nuestros pasos hasta alcanzar los objetivos originalmente establecidos.

9 Interpretacin.

Esta etapa tiene como finalidad determinar la sensibilidad de nuestras respuestas finales a los valores de los parmetros que se usaron. Usualmente el anlisis de sensibilidad consiste en la variacin sistemtica de los valores de los parmetros (o variables de entrada) sobre algn intervalo de inters y en la observacin del efecto en la respuesta del modelo (variables de salida).

En la mayora de los modelos de simulacin, gran parte de las variables establecidas se basan en datos sumamente dudosos. Comnmente, estos valores se pueden determinar slo con base a conjeturas del personal experimentado o en un anlisis superficial de datos mnimos. En consecuencia es de vital importancia la determinacin del grado de sensibilidad para los valores que se usaron.10 Implantacin.Un proyecto de simulacin est exitosamente terminado, cuando hasta que es aceptado, entendido y usado. Se ha determinado a travs del estudio de Gershefsky, que el porcentaje promedio para desarrollar un modelo era de 25%, para la formulacin del problema 25%, para el anlisis y recopilacin de datos 40% y para la implantacin 10%, por lo tanto no es de sorprenderse que una de las causas de principales del fracaso en la investigacin de operaciones y en los proyectos de ciencias administrativas se deba al mal entendimiento de los resultados por parte del usuario y tambin a la falta de implantacin. Este pequeo tiempo dedicado a la implantacin es difcil de entender cuando se considera que en esta etapa se debe de refinar el modelo, entrenar al usuario, ajustar el modelo a las condiciones cambiantes y asegurar que los resultados que se encontraron son vlidos.

El mejor modelo de simulacin no tiene valor hasta que sea aceptado por aquel que ponga en prctica los resultados que se obtengan. A menos que se logre la implantacin y se obtengan resultados, nuestros esfuerzos habran sido en vano.

El haber construido un sofisticado y elegante modelo de simulacin, el haber usado un buen anlisis estadstico en la generacin e interpretacin de resultados, no tiene mayor importancia para la mayora de los gerentes que se interesan en el problema y como resolverlo. Les importa poco el tamao de la muestra, los niveles de confianza y otros detalles que le interesan al investigador al realizar la preparacin de la presentacin de su trabajo.

La informacin que genera el simulador debe de ser aceptable por el cliente-usuario antes de ser utilizado. Los criterios de aceptacin incluyen aspectos de credibilidad y utilidad. Es obvio que la informacin de salida debe de ser razonable; es decir, el modelo no debe de proporcionar respuestas absurdas, a pesar de que se usen valores absurdos o extremos. Si las salidas del modelo no son crebles en ciertas circunstancias, estas se vuelven sospechosas an cuando los resultados parezcan razonables. El otro criterio, es que el cliente-usuario debe de ser capaz de percatarse de cmo debe usar o actuar con la informacin generada. Si no puede usar directamente la informacin para ayudarse a si mismo a tomar decisiones o apoyar a alguien para que las tome, entonces ignorar la informacin y el esfuerzo realizado habr sido intil.

El xito del esfuerzo y de la utilidad est ntimamente ligado al objetivo establecido para el estudio.

Para maximizar la oportunidad de implementacin de los resultados del proyecto de simulacin, debemos de tener un modelo que sea:

Entendible por el cliente y el usuario.

Capaz de dar respuestas razonables.

Capaz de proporcionar respuestas posibles de implementar.

Realista en lo referente a requerimiento de datos.

Capaz de proporcionar respuestas a preguntas como Qu pasa si?

Fcil de modificar Econmico en su uso.

11 Documentacin.

La documentacin tiene una relacin estrecha con la implantacin. La documentacin cuidadosa y completa del desarrollo y operacin del modelo puede incrementar notablemente su vida til y sus oportunidades para una exitosa implantacin.

Manual de usuario. La buena documentacin facilita la modificacin y asegura que el modelo pueda usarse a pesar de que los servicios de los que se encarga del desarrollo del modelo ya no estn disponibles.

Manual tcnico. La documentacin describe lo que es el sistema, lo que puede hacer y como funciona. Tambin proporciona conocimientos a quien o quienes lo utilizarn o evaluarn.

La documentacin sirve a los siguientes propsitos:

Mejorar la comunicacin.

Proporcionar material de referencia sobre lo que sucedi en el pasado.

Proporcionar una gua para el mantenimiento, modificacin y recursin de los sistemas.

Servir como herramienta para educacin y capacitacin del personal.

La falta de una documentacin puede traes consigo algunas consecuencias, entre las que tenemos:

Creacin de operaciones e ineficientes y no coordinadas.

Aumento de los esfuerzos redundantes.

Decepcin del personal de sistemas y los usuarios acerca del sistema.

La documentacin que se debe de presentar, la podemos dividir en tres tipos:

Documentacin General. Proporciona una gua y reglas de operacin para los usuarios cuando interactan con el sistema. Incluye el manual del usuario, el cual indica lo que el sistema y como recibir servicios de l.

Manual de procedimientos o manual de usuario. Induce a todo el personal de operacin de programacin y de sistemas al plan maestro del sistema, a las normas de operacin y procedimientos de programacin.

Documentacin de los programas o manual tcnico. Se compone de todos los documentos, diagramas y esquemas que explican los diferentes aspectos del programa.

Unidad 2Nmeros pseudoaleatorios.

Unidad 2.-Nmeros pseudoaleatorios.

La simulacin trabaja con modelos estocsticos, por tanto debe de ser capaz de generar valores de variables aleatorias que sean representadas por las distribuciones de probabilidades correspondientes a esas variables del modelo, ya sea que se generen con el uso de tablas empricas o a partir de distribuciones tericas de probabilidad con los parmetros deseados.

Los nmeros aleatorios son generados con dispositivos fsicos como: la ruleta, dados o sacando manualmente un nmero de un dispositivo, por ejemplo de una urna.

Conforme al aumento del uso de nmeros aleatorios, los investigadores utilizaron dispositivos electrnicos para obtener una generacin ms rpida y una mayor cantidad.

Se han diseado varios esquemas para generar nmeros pseudoaleatorios, a travs del uso de relaciones matemticas recursivas. Se dice que son nmeros pseudoaleatorios porque a pesar de que estos puedan pasar las pruebas de aleatoriedad, estos son de hecho deterministicos, porque si utilizamos en el generador los mismos valores de entrada, se obtienen la misma secuencia de nmeros generados.

Es conveniente sealar que el proceso de generacin de variables aleatorias no uniformes se hace a partir de la generacin de nmeros pseudoaleatorios o rectangulares. De Ah la importancia de estos nmeros que se usan para generar variables aleatorias ms complicadas.

Independientemente del proceso que se utilice para generar los nmeros rectangulares, estos deben de poseer ciertas caractersticas que aseguren o aumenten la confiabilidad de los resultados, las cuales son:

Uniformemente distribuidos.

Estadsticamente independientes.

Reproducibles.

Periodo largo de repeticin.

Generados a travs de un mtodo rpido.

Generados con un mtodo que requiere pocos recursos computacionales.

A los nmeros uniformes o rectangulares generados a travs de relaciones de recurrencia se les denomina nmeros pseudoaleatorios y se encuentran en el intervalo(0,1).

E(x) = (a + b) / 2 y Var(x) = 2 = (b a)2 / 12

2.1 Mtodos de Generacin.

Actualmente, casi todas las computadoras incluyen en programas de biblioteca alguno que genera nmeros pseudoaleatorios. En esta seccin se presentaran tres mtodos de generacin: el mtodo de cuadrados medios y dos mtodos conguenciales.

El mtodo de cuadrados medios.

Este mtodo lo desarrollo Von Newman y Metrpolis.

El mtodo consiste en generar aleatoriamente un nmero de cuatro dgitos, denominado la semilla, elevarlo al cuadrado y establecer una forma de tomar cuatro dgitos centrales del resultado, ya sea quitando dos dgitos o un dgito de ambos extremos.

Ejemplo 1. Se a la semilla R0 = 4380, que se obtuvo por algn procedimiento aleatorio (urna o tarjetas numeradas con reemplazo)

Primero, elevamos al cuadrado: (4380)2 = 19184400; eliminando 19 y 00, queda:

R1 = 1844 ; aplicando iterativamente el procedimiento obtenemos,

(1844)2 =3400336; como el nmero de dgitos es impar, establecemos el criterio de aumentar un cero por la izquierda (o por la derecha), y tendremos 03400336; eliminando los dgitos de los extremos: 03 y 36, queda:

R2 = 4003, si repetimos el procedimiento;

(4003)2 = 16024009, eliminando 16 y 09, obtenemos:

R3 = 0240, repitiendo una vez ms;

(0240)2 = 57600, como es impar aumentamos un cero, 057600. En este caso eliminamos un digito a los extremos y se tiene:

R4 = 5760Se continan generando valores con el procedimiento hasta lograr los nmeros que se desean o bien hasta que el procedimiento degenere, es decir cuando se repita una serie de nmeros previamente generados.

Mtodos congruenciales.

Se han propuesto varias alternativas para la generacin de nmeros pseudoaleatorios a travs de relaciones matemticas de recurrencia. Actualmente casi todas las computadoras incluyen programas para generar estos nmeros con alguna variante de los mtodos congruenciales sugeridos por Lehmer.

Los dos mtodos congruenciales ms populares son: el mixto y el multiplicativo.

Mtodo congruencia mixto.

Los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de nmeros pseudoaleatorios en el cual el proximo nmero pseudoaleatorio es determinado a partir del ltimo nmero generado, es decir el nmero pseudoaleatorio X n+1 es derivado del nmero pseudoaleatorio X n.

Para el mtodo congruencial mixto, la relacin de recurrencia utilizada es:

X n+1 = ( a X n + c ) mod mDonde : a = Constante multiplicativa.

c = Constante aditiva.

m = mdulo de m.

X 0 = Semilla.

Satisfaciendo los siguientes requisitos:

X n, a, c, m 0 ; enteros y m a , m c ; m X 0 .

En la relacin mod representa al la operacin aritmtica mdulo entre los nmeros a y b tal que el resultado de (a mod b) es el residuo entero de la divisin a entre b. Por ejemplo, 16 mod 3 es igual a 1, dado que al dividir 16 entre 3 el residuo (entero) es 1.

Ejemplo. Sea: a= 5, c= 7, X 0 = 4 y m = 8 ; generar 10 nmeros pseudoaleatorios usando el metodo congruencial mixto.

nX nRelacin de recurrencia:

( 5 X n + 7 ) mod 8 X n+1

(mdulo)# aleatorio

04(27 / 8) = 3 + 3/833/8 = .375

13(22 / 8)= 2 + 6/866/8 = .750

26(37 / 8)= 4 + 5/855/8 = .625

35(32 / 8) = 4 + 0/8 00/8 = 0

40( 7 / 8) = 0 + 7/877/8 = .875

57(42 / 8) = 5 + 2/822/8 = .250

62(17 / 8) = 2 + 1/811/8 = .125

71(12 / 8) = 1 + 4/844/8 = .500

84(27 / 8) = 3 + 3/833/8 = .375

93(22 / 8)= 2 + 6/866/8 = .750

Si analizamos la tabla, se puede pensar que el periodo de todo generador es m ( 8 en nuestro caso), sin embargo esto es falso porque el periodo depende de una apropiada seleccin de los parmetros y de la semilla para que el generador logre el periodo deseado.

Por ejemplo si: a= 7, c= 7, X 0 = 7 y m = 10, los nmeros generados seran;


( 7 X n + 7 ) mod 10 X n+1

(mdulo)# aleatorio

07(56 / 10) = 5 + 6/1066/10

16( 49 / 10) = 4 + 9/1099/10

29( 70 / 10) = 7 + 0/1000

30( 7 / 10) = 0 + 7/1077/10

47(56 / 10) = 5 + 6/1066/10

En este caso se espera que el periodo fuera de 10, pero es de solo cuatro nmeros aleatorios. Mtodo congruencia multiplicativo.

Al igual que el generador congruencia mixto, el prximo nmero pseudoaleatorio se determina a partir del ltimo nmero generado, y utiliza la siguiente relacin de recurrencia:

X n+1 = ( a X n ) mod mDonde : a = Constante multiplicativa.

m = mdulo de m.

X 0 = Semilla.

Satisfaciendo los siguientes requisitos:

X n, a, m 0 ; enteros y m a ; m X 0 .

Ejemplo. Sea: a= 3, X 0 = 17 y m = 100 ; generar 10 nmeros pseudoaleatorios usando el mtodo congruencial multiplicativo.


( 3 X n + ) mod 100 X n+1

(mdulo)# aleatorio

017( 51 / 100 ) = 0 + 51/19951.51

151( 153 / 100 ) = 1 + 53/10053.53

253( 159 /100 ) = 1 + 59/10059.59

359( 177 / 100 ) = 1 + 77/10077.77

477( 231 / 100 ) = 2 + 31/10031.31

531( 93 / 100 ) = 0 + 93/10093.93

693( 279 / 100 ) = 2 + 79/10079.79

779( 237 / 100 ) = 2 + 37/10037.37

837( 111 / 100 ) = 1 + 11/10011.11

911( 33 / 100 ) = 0 + 33/10033.33

EL propsito de este apartado es conocer que existen diversos mtodos para generar nmeros pseudoaleatorios, los cuales se encuentran disponibles en calculadoras y computadoras, de ah que dado que estn disponibles , estos nmeros los podremos utilizar en los experimentos si cumplen las condiciones requeridas, para lo cual les aplicaremos diversas pruebas estadsticas de aleatoriedad.

2.2 Pruebas estadsticas de aleatoriedad.

En todos los experimentos de simulacin se utilizan variables aleatorias que pueden tener diferente comportamiento que la distribucin uniforme (Normal, Exponencial, Poisson, etc.), las cuales se obtienen a partir de nmeros uniformes ( entre 0 y 1), por lo que se debe de poner nfasis en el generador de nmeros pseudoaleatorios, ya que la deficiencia estadstica de una Distribucin no uniforme, se deber exclusivamente a un generador deficiente. De ah la importancia de la aplicacin de las pruebas estadsticas que se han desarrollado para probar la uniformidad y aleatoriedad o independencia de los mismos. A continuacin se presenta algunas de ellas.

Pruebas de uniformidad.

Prueba de promedios.

Para realizar la prueba se requiere una muestra de tamao N de nmeros pseudoaleatorios.

Primero, se evala el promedio aritmtico. X = (x1 + x2++ xn) / N.

Segundo, se determina el valor de Z0 con la relacin: Z0 = ( (X ) N ) / 1/12

Tercero, dado un nivel de significancia .

Si Zo Z/2; no se rechaza la hiptesis de que los nmeros provienen de una distribucin uniforme con = .

Ejemplo. Aplicar la prueba de promedios a la siguiente tabla de nmeros aleatorios (Rnd), si se acepta un nivel de significancia = 5%.

.411.819.191.037.894.575

.730.281.408.541.995.233

.553.469.392.598.434.668

.719.791.213.770.671.156

.383.771.914.826.018.984

1. El tamao de la muestra es 30. y la media aritmtica es: 16.445 / 30 = 0.5482

2. determinar el valor de Z0 = ( (X ) N ) / 1/12 Z0 = ( (0.5482 ) 30 ) / 0.08333 = 0.9145

3. Si el nivel de significancia = 5%, entonces:

Z/2 = Z.05/2 = Z.025; consultando en la tabla de distribucin normal estndar obtenemos que Z.025 = 1.96Comparando Zo Z/2, tenemos que 0.9145 1.96 , por lo tanto;

no se rechaza que los nmeros de la tabla provienen de una distribucin uniforme

Prueba de Frecuencias

Una de las pruebas ms importantes es la prueba de frecuencias sobre los nmeros aleatorios. La prueba consiste en dividir el intervalo (0,1) en n subintervalos.

Frecuencia esperadaN/nN/nN/nN/n

Frecuencia observadaFO1FO2FO3FOn

0 1/n 2/n 3/n n/n=1

Luego; se compara la frecuencia esperada con la frecuencia. Si estas frecuencias son bastante parecidas, entonces provienen de una distribucin uniforme.

El estadstico utilizado es 2 (chi-cuadrada) observada en los nmeros pseudoaleatorios y se calcula con la expresin:

n

2 = (FOi FEi)2 / FEi ; donde :

i=1

FOi; es la frecuencia observada del subintervalo i( cuantos valores se observaron en el intervalo respectivo).

FEi; es la frecuencia esperadadel subintervalo i.

N; es el tamao de la muestra.

n; es el nmero de subintervalos.

El estadstico 2 observado se compara con el estadstico tabulado 2 para un nivel de confianza y con n-1 grados de libertad.

Si 2 observada 2 (, n-1); no se puede rechazar la hiptesis de que la muestra proviene de una distribucin uniforme.

Ejemplo. Realizar la prueba de frecuencias a los siguientes 30 nmeros generados.

.411.819.191.037.894.575

.730.281.408.541.995.233

.553.469.392.598.434.668

.719.791.213.770.671.156

.383.771.914.826.018.984

Si dividimos el intervalo total (0,1) en 5 subintervalos, tendremos:

Frecuencia esperada66666Total=30

Frecuencia observada45876Total=30

(FE-FO)2/ FE0.6660.1660.6660.1660 2=1.664

El estimador observado es 2 = 1.664

Si = 5%, tenemos que los grados de libertad son: v = (5-1) = 4, determinando el valor en la tabla de la distribucin Ji- cuadrada : 2(5%,4) = 9.49.

Como la 2 observada ( 1.664) es menor que la 2 tabulada (9.49), no se puede rechazar la hiptesis de que los nmeros generados provienen de una distribucin uniforme.

Pruebas de independencia??? o aleatoriedad.

Prueba por arriba y por abajo del promedio. Esta prueba requiere de la determinacin de la longitud de las diversas corridas, por lo que a continuacin se presenta como se realiza su determinacin.

Corrida de longitud nj.

Sea B una sucesin binaria compuesta por los bits 0 y 1.

Una sucesin de nj unos, enmarcada por ceros en cada extremo, recibe el nombre de corridas de unos de longitud nj, de manera anloga se define la corrida de ceros. Por ejemplo, dada la siguiente sucesin binaria:

010011

100110

100101

110110

011101

El primer elemento de la sucesin(0); representa una corrida de longitud uno ya que a su derecha se encuentra un smbolo diferente, que es 1.

El segundo elemento(1); tambin es una corrida de longitud uno, ya que en sus extremos se tienen ceros.

los elementos en las posiciones tres y cuatro (son 0); se encuentran entre los unos de la segunda y quinta posicin.

De igual manera se determinan el resto de las corridas y sus longitudes.

Procedimiento de la prueba.

1. Generar la muestra de tamao N de nmeros aleatorios (Rnd).

2. Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesin binaria, segn el criterio:

Si Rndi es menor o igual a 0.5, asignar a Rndi el valor de 0.

Si Rndi es mayor 0.5, asignar a Rndi el valor de 1.3. Determinar la frecuencia esperada para cada longitud de corrida i, con:

FEi = ( N i + 3 ) / 2i +14. determinar la frecuencia observada de cada longitud de corrida i.5. Aplicar la prueba de frecuencias a las longitudes de corridas i. Nota: cada longitud de corrida debe tener una frecuencia mnima de cinco.Ejemplo. Dada la siguiente muestra de 30 nmeros aleatorios generados, aplicar la prueba de corridas por arriba y por abajo del promedio, para probar la aleatoriedad de los mismos.

.411.819.191.037.894.575

.730.281.408.541.995.233

.553.469.392.598.434.668

.719.791.213.770.671.156

.383.771.914.826.018.984

Generando la nueva sucesin de acuerdo a los criterios establecidos, por ejemplo, para el primer elemento: 0.441 es menor que 0.5, entonces se asigna 0; para el segundo: 0.819 es mayor que 0.5, entonces se asigna 1; continuando con el procedimiento obtenemos:

010011

100110

100101

110110

011101

Se determina la frecuencia observada de la longitud de corrida i(1, 2, 3,) tanto para 0 como para 1, obtenemos:

Longitud de corrida 1 = 7



Se calcular la frecuencia esperada.

FE1 = ( 30 1 + 3 ) / 21+1 = 32 / 4 = 8

FE2 = ( 30 2 + 3 ) / 22+1 = 31 / 8 = 3.875

FE3 = ( 30 3+ 3 ) / 23+1 = 30 / 16 = 1.875

En resumen se tiene la siguiente tabla.

Longitud de corrida iFrecuencia esperadaFrecuencia observada.

18.0007

23.8756

31.8753

Como puede observarse la longitud de la corrida 3 es menor que 5, por lo tanto las frecuencias de las longitudes de corrida 3 se unen con las de la 2 y se obtiene:

Longitud de corrida iFrecuencia

esperadaFrecuencia observada(FE FO)2 / FE

1870.125

2 o ms5.7591.837

2 = 1.962

Determinando el valor en la tabla de la distribucin Ji- cuadrada, para un nivel de significancia de 5% y grados de libertad v = (2-1) = 1 : 2(5%,1) = 3.84.

Como 2 observada( 1.962) es menor que la tabulada ( 2(5%,1) = 3.84), entonces no se puede rechazar la independencia o aleatoriedad de los nmeros de la muestra..

2.3 Mtodo de Monte Carlo.

El mtodo de Monte Carlo es una de las tcnicas estadsticas ms usadas en simulacin. Naylor, dice que es una tcnica de simulacin para problemas que tienen una base estocstica o probabilstica.

Su origen y nombre se remontan al trabajo de von Newman y Ulan a finales de los aos cuarenta, cuando acuaron el trmino y aplicaron la tcnica para resolver ciertos problemas de proteccin nuclear. El mtodo fue tan exitoso que se extendi su popularidad a otros campos y el trmino casi se ha convertido en sinnimo de simulacin en la mente de muchas personas.

En el mtodo, la experiencia o los datos artificiales se generan mediante algn generador de nmeros aleatorios y de alguna distribucin acumulada de inters. El generador de nmeros aleatorios puede ser una tabla de dgitos aleatorios, una ruleta, una calculadora, una subrutina de computadora o cualquier otra fuente de dgitos aleatorios distribuidos uniformemente..

La distribucin de probabilidad de inters, puede basarse en datos empricos que se obtienen de registros anteriores, ser resultado de experimentos recientes (mediciones realizadas), puede ser una distribucin terica conocida.

Los nmeros aleatorios servirn para producir una secuencia aleatoria de valores que duplicaran la experiencia esperada de acuerdo al comportamiento de la variable de inters.

Para generar la muestra aleatoria de la muestra artificial se debe de partir de alguna distribucin de probabilidad. Podemos usar el siguiente procedimiento.

1. Graficar los datos de inters como una distribucin de probabilidad acumulada. En el eje x los valores de la variables y en el eje y la probabilidad (0,1).

2. Seleccione un nmero decimal aleatorio (NA) por medio de un generador de nmeros aleatorios.

3. Proyecte horizontalmente el punto sobre el eje y que corresponde al NA, hasta que la lnea interseque la curva acumulativa.

4. Proyectar hacia debajo de este punto de interseccin de la curva al eje x.

5. Escriba el valor de x, el cual ser el valor aleatorio para la muestra.

6. Repita los pasos del 2 al 6, hasta lograr la cantidad deseada de valores de las variables aleatorias.Ejemplo: Simulacin del lanzamiento de un dado legalDeseamos conocer el comportamiento que tiene el lanzamiento de un dado y determinar la probabilidad de ocurrencia de cada cara segn los puntos que muestra. Construir el histograma de frecuencias relativas y calcular su media.

Los componentes para este experimento es el dado, el cual se puede encontrar en reposo o en movimiento.

La actividad consiste en el lanzamiento del dado.

La variable endgena es el lanzador o generador.

La variable exgena o de salida es la variable aleatoria que representa la cantidad de puntos que muestra el dado (1, 2, 3, 4, 5, 6).

La funcin de probabilidad es la uniforme discreta.

El reloj simulador se incrementar en una unidad cada vez que se efectu un lanzamiento.

Inicialmente el dado est en reposo y es irrelevante la cantidad de puntos que actualmente muestra.

La variable aleatoria X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Para realizar el experimento y conocer el comportamiento del lanzamiento de un dado, tenemos dos opciones:

1. Simular por analoga, utilizando una tmbola. Se preparan seis papelitos idnticos numerados del 1 al 6 y los introducimos a una tmbola (Gorra, caja, urna, etc.), revolvemos los papeles y se extrae un papelito ale vez, se observa su valor y se anota (este nmero nos indica la cantidad de puntos de la cara superior). Se ingresa el papel de nuevo a la tmbola y se repite el experimento cuantas veces sea necesario.

Con los valores obtenidos se elabora la distribucin de frecuencias relativas, el histograma y se calcula la media aritmtica.

2. Usando el Mtodo de Monte Carlo.

Como se supone que el dado es legal, la probabilidad de ocurrencia una de las caras cualesquiera es de 1/6.

Entonces: f(x1) = f(x2) = f(x3) = f(x4) = f(x5) = f(x6) = 1/6La funcin acumulada F(x), sera:

x123456

F(x)1/62/63/64/65/66/6

Se construya la tabla para la generacin de la variable cantidad de puntos de la cara superior con la funcin acumulada. Se establece el criterio de obtener el valor de la variable x, si ocurre el nmero aleatorio NA obtenido por algn mtodo de generacin.

0 < NA 1/6Entonces x = 1 (punto)

1/6 < NA 2/6Entonces x = 2 (puntos)

2/6 < NA 3/6Entonces x = 3 (puntos)

3/6 < NA 4/6 Entonces x = 4 (puntos)

4/6< NA 5/6Entonces x = 5 (puntos)

5/6< NA 1Entonces x = 6 (puntos)

Por ejemplo, si el nmero obtenido en tabla de nmeros aleatorios, calculadora o computadora fuera NA = 0.523, observamos que se encuentra en el intervalo de (3/6, 4/6), por lo tanto la variable x=4, es decir que la cara superior muestra 4 puntos.

Ejercicio.

Generar 60 nmeros aleatorios con una calculadora y registrar el valor de la variable x. A continuacin elaborar la distribucin de frecuencias relativas (se pueden utilizar 10 subintervalos o clases), el histograma de frecuencias relativas.

Calcular la media aritmticaEjemplo. Una pequena tienda de regalos tiene una sola caja registradora para el cobro de las compras de los clientes (sistema de formacin de colas de un solo canal). Supongamos que se analizaron los tiempos de llegada de los clientes y el tiempo requerido para atenderlos. Para simplificar redondearemos los tiempos en minutos. Como resultado se obtuvo que el tiempo entre llegadas de los clientes se encuentra uniformemente distribuido de 1 a 10 minutos y el tiempo para la atencin de los clientes tambin esta uniformemente distribuido de 1 a 6 minutos. Deseamos conocer el tiempo promedio que espera un cliente y el porcentaje de tiempo desocupado del cajero. Para simular el sistema necesitamos generar la llegada artificial de los clientes a la fila de la caja registradora, as como tambin el tiempo requerido por el cajero para atenderlo. Una manera de simular las llegadas es usar 10 cartas numeradas, las cuales se colocan en una urna y posteriormente se extrae una, el nmero de la carta ser el tiempo que tarda en llegar el prximo cliente. Para simular los tiempos de servicio podemos utilizar un dado numerado( del 1 al 6) y al tirarlo, el nmero que marque la cara superior ser la cantidad de minutos que se requieren para atender al cliente.

Por otra parte, si se desea utilizar como base los nmeros pseudoaleatorios que genera una calculadora u otro medio, es necesario elaborar un generador de tiempos de llegadas y otro de los tiempos de servicios.

El generador de tiempo de llegadas, lo elaboramos dividiendo en 10 intervalos o clases, el rango total que tienen los nmeros pseudoaleatorios(0-1) y obtenemos:

Nmero aleatorio generadoTiempo entre llegadas

(minutos)

0 < NA .11

.1 < NA .22

.2 < NA .33

.3 < NA .44

.4 < NA .55

.5 < NA .66

.6 < NA .77

.7 < NA .88

.8 < NA .99

.9 < NA 110

Si por ejemplo el nmero pseudoaleatorio generado es .325, entonces el tiempo de la prxima llegada es de 4 minutos.Para el tiempo de servicio el generador sera:Nmero aleatorio generadoTiempo de servicio

(minutos)

0 < NA 1/61

1/6 < NA 2/62

2/6 < NA 3/63

3/6 < NA 4/6 4

4/6< NA 5/65

5/6< NA 16

La simulacin para la caja registradora sera:

ClienteTiempo de llegadaTiempo de servicioReloj de llegadasTiempo inicio servicioTiempo fin del servicioTiempo desocupcajeroTiempo espera cliente

1438:048:048:0740

2118:058:078:0802

3938:148:148:1760

4248:168:178:2101

5938:258:258:2840

61028:358:358:3770

7158:368:378:4201

8148:378:428:4605

9338:408:468:4906

10438:448:498:5205

11528:498:528:5403

12758:568:569:0120

13348:599:019:0502

14449:039:059:0902

151059:139:139:1840

Suma:27Suma:27

El tiempo promedio de espera es: 27 / 15 = 1.8 min/ clienteEl % de tiempo desocupado: (27 min./ 78 min.) x 100= 34.6%Ejercicio. Complete la simulacin para una jornada de cuatro horas. Calculando:

El tiempo promedio de espera

El % de tiempo desocupado del cajero.Unidad 3Generacin de variables aleatorias.Unidad 3.-Generacin de variables aleatorias.

3.1 Introduccin.

En los experimentos de simulacin, por lo general existe la necesidad de generar valores de variables aleatorias (ventas, compras de inventario, llegadas de clientes, etc.) las cuales se encuentran interactuando y presentan comportamientos diferentes.

Cuando se realiza el experimento de simulacin, el proceso de generar un valor de cierta variable aleatoria puede repetirse tantas veces como se requiera y tantas veces como distribuciones de probabilidad existan.

Es importante tener presente que el proceso de generacin de variables aleatorias no uniformes se hace a partir de la generacin de nmeros rectangulares (pseudoaleatorios).

Las variables que interactan en el experimento, por lo general presentan comportamientos que siguen distribuciones de probabilidad tericas o empricas diferentes a la distribucin uniforme. Por lo tanto, para generar estas variables, es necesario contar con un generador de nmeros uniformes y una funcin, que a travs de un mtodo proporcione los valores de la variable de la distribucin deseada.

En los prximos apartados se presentaran las variables aleatorias discretas y continuas, as como las distribuciones ms comunes, pero Qu es una variable aleatoria?

La mayora de los hechos de la vida real, genera resultados que se presentan como nmeros reales, por ejemplo, el tiempo que se tarda el cajero en cobrar a un cliente, el tiempo que el vendedor atiende a un cliente, el nmero de accidentes automovilsticos al da en una ciudad, etc. Estos resultados numricos que pueden cambiar en cada medicin, da o experimento, se llaman variable aleatoria.

Cada resultado no est determinado previamente sino depende del azar. El espacio muestral de un experimento son todos los resultados posibles al realizarlo, por ejemplo; al lanzar una moneda, hay dos resultados posibles: guila y sol, pero si lanzamos un dado el resultado de la cara superior puede ser 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Formalmente una variable aleatoria es una funcin de valor real cuyo dominio es un espacio muestral.

3.2 Variables aleatorias Discretas.

Definicin. Se denomina variable aleatoria discreta aquella que slo puede tomar un nmero finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el nmero de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 5 6 individuos pero nunca 5,75 5,87. Otros ejemplos de variable discreta seran el nmero de pollos de gorrin que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos.Una variable aleatoria es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. Un conjunto es discreto si est formado por un nmero finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y as sucesivamente. En general podemos decir que las variables discretas son enumerables y se mide por conteo.[

Se denomina densidad discreta a la probabilidad de que una variable aleatoria discreta X tome un valor numrico determinado (x). Se representa: f(x) = P[X=x]

La suma de todas las densidades ser igual a 1. f(x) = 1 El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados. = E (x) = x p(x)Donde: Xi = i-simo resultado de X, la variable discreta de inters.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-simo resultado de X

La varianza de una variable aleatoria discreta (s 2) se define como el promedio ponderado de los cuadros de las diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos son las probabilidades de los resultados posibles). Var(x) = 2 = ( xi - E (x) )2A continuacin se realizara una breve descripcin de las principales distribuciones de probabilidad discretas utilizadas en los experimentos de simulacin.

Distribucin Uniforme discreta.

Es la ms simple, y se usa en fenmenos que tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, la ocurrencia de la cara de un dado, la ocurrencia de un nmero en una ruleta legal, etc.

La funcin de densidad es:

P(xi) = 1 / n ; E(xi) = (xi) = 1 / n y Var(xi) = 2 = (xi - )2 / n

Distribucin Poisson.

La distribucin de Poisson es una distribucin de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un nmero k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el ltimo evento. Fue descubierta por Simon-Denis Poisson.

La distribucin se puede utilizar para el modelar las llegadas a una caja registradora, el nmero de defectos en un metro cuadrado de tela, el nmero de colonia de bacterias en un centmetro cbico de agua, el nmero de mquinas que fallan en el transcurso de una semana, el nmero de accidentes que ocurren al da en cierto crucero de la ciudad.


donde es un parmetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenmeno modelado por la distribucin.

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribucin de Poisson son iguales a .

Distribucin Binomial.

la distribucin binomial es una distribucin de probabilidad discreta que mide el nmero de xitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del xito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotmico, esto es, slo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina xito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribucin binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado nmero de xitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribucin de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribucin binomial de parmetros n y p, se escribe:

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Este tipo de experiencias se caracteriza por estar formada por un nmero predeterminado n de experimentos iguales. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir slo dos categoras (a las que se denomina xito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el nmero de xitos que se han producido en los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribucin de probabilidad binomial, y se nota B(n,p).

Una variable aleatoria tiene una distribucin Binomial si existen las siguientes condiciones:

1. El experimento consiste en un nmero fijo de n intentos idnticos.

2. Cada intento solo puede tener un resultado de dos posibles, que se llama xito y fracaso.

3. La probabilidad p de xito es constante de intento a intento.

4. Los intentos son independientes.

5. Se define a X como el nmero de xitos en el intento.

Ejemplos: Se lanza un dado diez veces y se cuenta el nmero de tres obtenidos: X ~ B(10, 1/6) ; se lanza una moneda dos veces y se cuenta el numero de guilas obtenidos. Su funcin de probabilidad est dada por:

donde , siendo

las combinaciones de en ( elementos tomados de en )

; 3.3 Variables aleatorias continuas.

Una variable aleatoria es continua si su recorrido no es un conjunto numerable, intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de nmeros reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extrada de una determinada poblacin es una variable continua ya que, tericamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.[Distribucin Uniforme o rectangular.

E(x) = (a + b) / 2 y Var(x) = 2 = (b a)2 / 12

Distribucin Exponencial.

Existen muchas situaciones reales que se comportan como la distribucin exponencial, como por ejemplo nacimientos, muertes, accidentes.


En estadstica la distribucin exponencial es una distribucin de probabilidad continua con un parmetro > 0 cuya funcin de distribucin es:

donde e representa el nmero e.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribucin exponencial son:

Distribucin Normal.

Se llama distribucin normal, distribucin de Gauss o distribucin gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con ms frecuencia aparece en fenmenos reales.

La grfica de su Funcin de densidad tiene una forma acampanada y es simtrica respecto de un determinado parmetro. Esta curva se conoce como campana de Gauus.

La importancia de esta distribucin radica en que permite modelar numerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos son desconocidos, por la ingente cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observacin se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

caracteres morfolgicos de individuos como la estatura;

caracteres fisiolgicos como el efecto de un frmaco;

caracteres sociolgicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;

caracteres psicolgicos como el cociente intelectual;

nivel de ruido.

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes, etc.

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucin normal de parmetros y y se denota X ~ N(, ) si su funcin de densidad est dada por:

donde (mu) es la media y (sigma) es la desviacin tpica (2 es la varianza).[]Se llama distribucin normal "estndar" a aquella en la que sus parmetros toman los valores = 0 y = 1. En este caso la funcin de densidad tiene la siguiente expresin:

Su grfica se muestra abajo y con frecuencia se usan tablas para el clculo de los valores de su distribucin.

E(x) = y Var(x) = 2

3.4 Mtodos para generar variables aleatorias.

Cuando se realiza el experimento de simulacin, normalmente una o ms variables tienen un comportamiento estocstico. El problema para generar estas variables aleatorias es determinar su comportamiento, es decir, se debe de probar la compatibilidad de un conjunto de frecuencias observadas con alguna frecuencia terica, o bien, pudieron originarse los datos observados de una distribucin de probabilidad especfica?, entonces para generar una variable aleatoria primero debemos de identificar su comportamiento, es decir que distribucin de probabilidad sigue.

Identificacin de la distribucin de probabilidad.

Si la frecuencia de datos observados se asemeja de manera conveniente a la frecuencia terica, entonces podemos utilizar la distribucin de probabilidad terica para representar la poblacin principal.

Para formular una hiptesis o suposicin razonable acerca de la distribucin de una variable aleatorios, debemos de compilar y analizar los datos histricos o experimentales.

Los datos se agrupan en una distribucin de frecuencias. Si la variable que se maneja es discreta, se registran las frecuencias individualmente, pero si la variable es contina, se divide la gama de valores en intervalos o clases iguales y se registra la frecuencia de cada clase. Usualmente el nmero de intervalos debe de 5 a 20.

A continuacin se elabora la grfica de distribucin de frecuencias relativas. La frecuencia relativa de cada intervalo es la frecuencia observada de cada intervalo entre el nmero total de datos.

Ejemplo de variables discretas. Se compilaron el nmero de consultas telefnicas recibidas en un consultorio, en intervalos de una hora y se presentan los resultados en la siguiente tabla. Determinar la frecuencia relativa y elaborar la distribucin de frecuencias relativas para los datos observados.

n( Nmero de consultas telefnicas en una hora)frecuencia(x)

(nmero de intervalos de una hora con n consultas)P(x) = frecuencia relativa.

f(x) / total de observaciones

0315315 / 509 = 0.619

1142142 / 509 = 0.279

24040 / 509 = 0.079

399 / 509 = 0.017

444 / 509 = 0.004

522 / 509 = 0.002

509 1.000

Ejemplo de variables continuas. La siguiente tabla es la distribucin de frecuencias de la produccin semanal del producto x, recabadas durante 120 semanas. Determinar la frecuencia relativa y elaborar la distribucin de frecuencias relativas para los datos observados.x(produccin semanal) f(x) = frecuencia

( Cantidad de semanas con esta produccin)frecuencia relativa

x / total de observaciones

Menos de 4611 / 520 = 0.008

46 - 5511 / 520 = 0. 008

56 - 6533 / 520 = 0.025

66 - 7577 / 520 = 0.058

76 - 851111 / 520 = 0.092

86 - 952121 / 520 = 0.175

96 - 1052828 / 520 = 0.234

106 - 1151616 / 520 = 0.134

116 - 1252222 / 520 = 0. 183

126 - 13577 / 520 = 0.058

136 - 14511 / 520 = 0. 008

146 o ms22 / 520 = 0. 017

5201.000

Despus de obtener el grfico de la distribucin de frecuencias relativas observadas, se compara visualmente con las grficas de las distribuciones

Simulacion Version 1

Documents

Transcript of Simulacion Version 1