Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.

Extensión Porlamar.

Ingeniería de Sistemas.

Simulación Digital.

Variables de Estado

Realizado por:

Jesús Jiménez.

Profesor:

Diógenes Rodríguez

Variables de Estado

Variables de Estado

Definición:

De acuerdo a Ogata, Katsuhiko (1996), "El estado de un sistema dinámico esel conjunto más pequeño de variables (llamadas variables de estado) tales queel conocimiento de dichas variables en t = , junto con el conocimiento de laentrada para t ≥ , determinan por completo el comportamiento del sistemapara cualquier tiempo t ≥ . El concepto de estado de ninguna manera estápara cualquier tiempo t ≥ . El concepto de estado de ninguna manera estálimitado a sistemas físicos; también se aplica en sistemas biológicos, sistemaseconómicos, sistemas sociales y otros." (p.294.)

Así mismo según Ogata, Katsuhiko (1996), podemos definir las variables deestado como "Las variables de estado de un sistema dinámico son las queconforman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado delsistema dinámico. Si para describir en su totalidad el comportamiento de unsistema dinámico se requiere de por lo menos n variables (de talforma que una vez dada la entrada para t ≥ y el estado inicial en t = , elestado futuro del sistema queda completamente determinado), entonces dichasn variables se consideran un conjunto de variables de estado." (p.294.)

Características:

Como lo menciona Ogata, Katsuhiko (1996), "Observe que las variables de estadono necesitan ser cantidades físicamente medibles u observables. Aquellas variablesque no representan cantidades físicas y aquellas que no se pueden medir ni observar,se pueden seleccionar como variables de estado. Esta libertad en la selección devariables de estado es una ventaja de los métodos en el espacio de estado. Sin

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variables de estado es una ventaja de los métodos en el espacio de estado. Sinembargo, en la práctica, lo conveniente es seleccionar cantidades fácilmentemedibles como variables de estado, si esto fuera posible, ya que las leyes de controlóptimo requerirán la retroalimentación de todas las variables de estado, con unaadecuada ponderación." (p.294.)

Transformar Ecuaciones Diferenciales en Ecuaciones de Estado

De acuerdo a Universidad de Antioquia (2010), "A partir de la función de transferencia,se obtiene la ecuación diferencial, se definen las variables de estado y se busca sudinámica. como la indica la figura 1."

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Figura 1. Ejemplo de transformación de ecuaciones diferenciales a estado. Tomado de http://ingenieria.udea.edu.co. Por Universidad de

Antioquia, (2010).

Construir Ecuaciones de Estado con Modelos Matemáticos

Como lo establece Ogata, Katsuhiko (1996), En el análisis en el espacio de estadose tratará con tres tipos de variables que están involucradas en el modelado desistemas dinámicos: las variables de entrada, las de salida y las de estado. Larepresentación en el espacio de estado para un sistema dado no es única, con laexcepción de que el número de variables de estado es el mismo para cualquiera delas distintas representaciones en el espacio de estado del mismo sistema.

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las distintas representaciones en el espacio de estado del mismo sistema.Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el tiempo, la

ecuación de estado se puede escribir como:

y la ecuación de salida como:

Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuaciónde estado y la ecuación de salida se pueden simplificar a:

donde:

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donde:

La presencia de la variable k en los argumentos de las matrices G(k), H(k), C(k) yD(k) implica que estas matrices varían con el tiempo. Si la variable k no aparece enforma explícita en estas matrices, se supone que son invariables en el tiempo, esdecir, constantes. Esto es, si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las dosúltimas ecuaciones se pueden simplificar a:

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Al igual que en el caso del tiempo discreto, los sistemas de tiempo continuo (linealo no lineal) se pueden representar mediante la siguiente ecuación de estado y lasiguiente ecuación de salida:

Para sistemas lineales de tiempo continuo variantes en el tiempo, las ecuacionesde estado y de salida están dadas por:

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Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las dos últimas ecuaciones sesimplifican a:

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Figura 5-1 a) Diagrama de bloques de un sistema de control lineal en tiempo discreto invariante en el tiempo representado en elespacio de estado; b) diagrama de bloques de un sistema de control lineal en tiempo continuo invariante en el tiemporepresentado en el espacio de estado. (p.295 - 296.)

Representación de los Sistemas en Ecuaciones de Estado

Según lo define Ogata, Katsuhiko (1996), para representar sistemas deecuaciones de estado, existen las:

Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempodiscreto.

Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estadocorrespondientes a sistemas en tiempo discreto. Considere el sistema en tiempo

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correspondientes a sistemas en tiempo discreto. Considere el sistema en tiempodiscreto descrito por

donde u(k) es la entrada e y(k) es la salida del sistema en el instante de muestreok. Observe que algunos de los coeficientes (i = 1 ,2 ,..., n) y ( j = 0, 1 ,2 ,..., n)pueden ser cero. La ecuación (5-5) se puede escribir en la forma de la función detransferencia pulso como

O bien

Existen muchas formas de llevar a cabo representaciones en el espacio de estado para elsistema en tiempo discreto descrito por las ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7). Aquí se presentan lassiguientes:

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Forma canónica controlable La representación en el espacio de estado del sistema en tiempodiscreto obtenida de las ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7) se puede expresar en la forma dada por lasecuaciones siguientes:

Las ecuaciones (5-8) y (5-9) son las ecuaciones de estado y salida,respectivamente. La representación en el espacio de estado dada por las ecuaciones(5-8) y (5-9) se conoce comúnmente como forma canónica controlable.

Forma canónica observable La representación en el espacio de estado del sistemaen tiempo discreto dada por las ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7) se puede expresar enla forma siguiente:

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La representación en el espacio de estado dada por las ecuaciones (5-12) y (5-13)se conoce como canónica observable.

Forma canónica diagonal. Si los polos de la función de transferencia pulso dadospor las ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7) son todos distintos, entonces la representaciónen el espacio de estado se puede expresar en la forma canónica diagonal comosigue:

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Forma canónica de Jordán Si la función de transferencia pulso dada por lasecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7) incluye un polo múltiple del orden m en z = y todos losdemás polos son distintos, entonces la ecuación de estado y la ecuación de salida sepueden expresar como sigue:

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La matriz de estado de n x n está en la forma canónica de Jordán. (p.297 - 300.)

Métodos de Solución de Ecuaciones de Estado

Como lo indica Ogata, Katsuhiko (1996), entre los métodos para resolver los sistemasde ecuaciones de estado, se pueden definir los siguientes:

Método de solución de ecuaciones de estado lineal en tiempo discreto e invarianteen el tiempo: En general, las ecuaciones de tiempo discreto son más fáciles de resolverque las ecuaciones diferenciales, porque las primeras pueden resolverse simplementemediante un procedimiento de recursividad. Éste es bastante sencillo y conveniente paracálculos digitales.

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Considere las siguientes ecuación de estado y ecuación de salida:

La solución de la ecuación (5-28) para cualquier entero positivo k se puede obtenerdirectamente por recursión, como sigue:

Mediante la repetición de este procedimiento, se obtiene:

Claramente, x(k) está formado de dos partes, una que representa la contribucióndel estado inicial x(0) y otra. La contribución de la entrada u(j), donde j = 0, 1, 2, …..,k - 1. La salida y(k) está dada por

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k - 1. La salida y(k) está dada por

Matriz de transición de estado.

Observe que es posible escribir la solución de la ecuación de estado homogénea

En la forma

Donde es una matriz única de n x n que satisface la condición

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Es claro que puede estar dada por

En la ecuación (5-33), se puede ver que la solución (5-32) es simplemente una

transformación del estado inicial. Por lo tanto, la matriz única se llama matriz de

transición de estado. También se conoce como matriz fundamental. La matriz de

transición de estado contiene toda la información sobre los movimientos libres del

sistema definidos por la ecuación (5-32). (p.302 - 303.)

Continuando con las definiciones de Ogata, Katsuhiko (1996), veremos acontinuación el método:

Método de la transformada z a la solución de las ecuaciones de estado entiempo discreto: continuación se presenta la solución de una ecuación de estado entiempo discreto mediante el método de la transformada z. Considere el sistema entiempo discreto descrito por la ecuación (5-28).

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Si se toma la transformada z de ambos lados de la ecuación (5-40) se obtiene

Donde X(z) = Z[x(k)] y U(z) = Z [u(k)]. Entonces

Premultiplicando ambos lados de esta última ecuación por , se obtiene

Al tomar la transformada inversa z en ambos lados de la ecuación (5-41), da

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Al comparar la ecuación (5-30) con la ecuación (5-42), obtenemos

Y

donde k = 1, 2, 3 ,... .

Observe que la solución del método de la transformada z involucra el proceso deinvertir la matriz lo que puede realizarse mediante métodos analíticos outilizando una rutina de computador. (p.303 - 304.)

El Método de solución de ecuaciones de estado lineales en tiempo discreto yvariantes en el tiempo. mencionado por Ogata, Katsuhiko (1996) se define como:considere la siguiente ecuación de estado lineal en tiempo discreto y variante en eltiempo junto con la correspondiente ecuación de salida:

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tiempo junto con la correspondiente ecuación de salida:

La solución de la ecuación (5-52) se puede encontrar fácilmente medianterecursión, como sigue:

La matriz de transición de estado (matriz fundamental) para el sistema definido porla ecuación (5-52) se define como Ψ(k,h). Se trata de una matriz única, que satisfacelas condiciones

donde k = h, h + 1, h + 2 , . . . Se puede ver que la matriz de transición de estadoΨ(k,h) está dada por la ecuación

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Ψ(k,h), la solución de la ecuación (5-52) se convierte en

observe que el primer término segundo miembro de la ecuación (5-55) es lacontribución del estado inicial x(h) al estado actual x(k), y que el segundo término esla contribución de la entrada u(h), u(h + 1),..., u(k + 1).

Variables de EstadoEs fácil verificar la ecuación (5-55). En referencia a la ecuación (5-54), se tiene

Se sustituye la ecuación (5-56) en

Obteniéndose

Por tanto, se ha demostrado que la ecuación (5-55) es la solución de la ecuación(5-52). Una vez obtenida la solución de x(k), la ecuación de salida, ecuación (5-53),se convierte en:

Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, de forma que la

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Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, de forma que lainversa de Ψ(k,h) exista, entonces la inversa de Ψ(k,h), denotada como Ψ(h,k), estádada como sigue:

(p.309 - 310.)

(5-57)