Simulacion de Procesos en Ingenieria Quimica CAPITULO 4

5/13/2018 Simulacion de Procesos en Ingenieria Quimica CAPITULO 4

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4ALGO'RITM'OS D IE ,SOLUCI,Q'N

D'EL'OSMODEL'O'S MATEMATI'C'OSAI finalizar este capitulo el estudiante sera capaz de:

I. Describir en que consisten los algoritmos de solucion de los modelos materna-ticos: modular secuencial, orientado a eeuaciones y modular simultaneo,

2. Explicar las.d iferencias qlJe existen entre eada uno de: ellos,3. V isualizer la rnagnitud del trabajo involucrado en la ereacion de un simulador

de procesos de prupesitos generales.4. Resolver diagramas de flujo simples qL!lerequieran el uso de balances de materiay energia, usando los elgoritmos de solucion tratados en el presente capitulo.Los modelos rnaternaticos SOil el elemento escncial en UiI sirnulador de procesos,

Los modclos de un proceso qulmieo son todas [as relaciones maternaticas derivadas delas Ieyes de conservacion, liasleyes de la termodinamica y las restricciones de control yde disefto, Estes modelos maternaticos constituyen para cada equipo en el proceso, unsistem a d e e cu ac io nc s alg eb ra i c as y d ife re nc ia le s q l!ledescribe e se e qu ip o ..L os rn od elo smatematicos de los equipos de unproceso, en conjunto dan forma al modele matematicodell proceso completo. Este debe ser resuelto par media de algun algoritmo de solucionpara producirlos resultados requeridos .

.En el caso de sirnulacion de procesos en estado estacionario dmodele matematicodel,proceso esta constituido, en general, por un enorme sistema de eeuaciones algebraicasno Iinea lies para cuya solucion exisren tres algoritmos: el metodo modular secuencial,el 'metoda orjentado a ecuaciones yell metoda modular simultaneo.

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Simalacinsi de procesos en ingerrierla qulmica

4.1 Metodo modular secueneialLa.estructura modular secuencial irnplica 1 8 1 interpretacion del diagrama de floje delproceso como un grupo de unidades de preeeso (equiposJ" para cada una de las cualesexisten subrutinas de calculo 0modulos. Denno deeste concepto, en urnsjmulador secuenta Don una biblioteca de modules que puede ser usada para. simu~ar una grandiversidad de diagrarnas de flujo de proceso en una estruetura flexible.

En este metodo, un modulo 0 subrutina de calculo para una unidad deproceso dada,calcula las variables de las corrientes de salida de esa unidad deproceso eon base en elmodelo rnaterreatico correspondiente @ ! esc equipo, conocidas las variables de laseorrientes deentrada y los paramerros de equipo de esa unidad de proceso.

Los recielos en urndiagrams de flujo son resueltos, en estemetodo, mediante unprocedimiento iterativo, Se suponen alores inicieles de las variables de una 0' variascorrientes invekrcradas en elreciclo y se @llIsca la C O 1]vergencia de los valores de esasvariables enel prcceso iterative.

Este procedim'iento se puede ~Iusl:nu con base en el conocido Diagrama de flu~o deLee y Rudd (1966).

1 . J s1 3 . . ~" ' - 1 ~I. . .I

. . . . 2 4_) I7L . . . I JI !'. . 5 . . 2 . . . . 4. . I .. -6 _ ., I: 3figllnI4.1. Diagrams de filUijode varies recielos.

Silas variables de las corrientes 2 y 7 fueran conocidas, el reciclo complete quedarjadefinido con Iia secuencia de calculo de unidades de proceso: I> 4, 3, 5 y 2. En lasolucion del reciclo, las variables de las corrientes 2 y 7 sedan recalculadas, partiendode valores inieiales, hasta lograr una eonvergenc ia en los valores de esas variables ..

A las corrientes a t supcner se les eonoee como corrlentes deC0I1e 0 rompimiento yen la Iiteratura de sirnulaeion existen tecnicas tanto para detectar reciclos en el diagrama

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Algoritmos de solucien de los modelos metematicosde flujo de un proceso (Sargent y\~festefberg, -1964Crov e et al. 1971), como para de-terminar I'as corrientes de corte (el nurnero minimo de elias) necesarias en la solucionde esos reciclos (Kehat y Shachman 11973;Pho ) Lapidus.I 973; Upadhye y Grens,11975;Murthy y Husain" 1983).

4.2" Metodo orientado a ecuaclonesConsiste basicamente en la solucion simultanea de las ecuacjones que describen eldiagrama de flujo, es decir, resolver elenorme sistema de ecuaciones algebraieas noIineales que constituye el modele maternatico dell proceso complete por algunproced jill iento de solucion de sistemas de ecuaciones,, -Para propositos de jlustracion, se presentaran dos ejemplos que estan basados e.i!-Inpequeno proceso propuesto inicialmente por Crowe et al, (I971)) para rnostrar unaco:rrida con el simulador Pacer. En estos ejernplos se p re te nd e ilu str ar los dos algoritmosde sohicion de los modelos maternetieos presentados para posteriormente cornentaracerca del tercer algoritmo el modular sirnultaneo,

Ejemplo J7

1 -

5T

Corriente 1 Corriente 3Etanol: 50 Ilnnollh Etano]: 100 lbmol/hAgua: I 50 Agua: 505 of 75 -r14. psia 14..7 psiaA la corriente 4 se a el 30 % d e 1 1co rriente 3A la corriente 7 se va el 60 % de la corriente (2 + 4)

Determinar los valores de las variables de las:diversas corrientes.51


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Simulaejon de precesos en lngenierla qulntica

Solucion

A representa etanol8 representa agua

Datos:A . ~ 510 I!bm ollhB. = 150 Ibmoli/hA. = 1100 I l b m . o l 1 / b:JB ~ =SO Ibmollh_ ..

a) Solucion pOT ell metoda modular secuencialEquipo 3

A';l=0.3 AJ = 30 lbm ol/hB lJ =0 ..3 B 3 = 1 5 IlbmolllhAo =0.7 A3= 70lbmo~/hB 6 =0.7 BJ = 3S lbmol/h

Los equipos 1 y 2 fonnan parte de UIIl r ec ic lo c l! .I ly ao luc ion requ ie re un p roc ed im ien roiterar i : o.

Equipo I (Balances de material):50 +A ~A =01 :! !tSO + B..- B, = 0_ (4J)(4..2)

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Algcntmos de soluckm de los modelos matemadcos

Equipo 2A" =O'~ , 'A + A" ) =,Il , 4 " ' , ( A " ' + 3 ~( 1 0 ) ,5, ',i' ~], '4. ' U.. ", 2 U ,Bs =0'.4 (/ll + B~) =0.4 (B']. +15)Aj = 0.6 (A2 +A~)= 0.6 (A2 + 30)B ' . , = 0.6 , ( B " 1 _ + l J , . ) = 0,,6 ( l J ? _ . + 1 5 )

(4,,3)(4, ,4)(4.5)(4.6)

E c : v iable - -, uoone , n I: .-d I" ," t . '7-as aname S a spoiler so a a s c e a corn em e ..Secuencia de solucion del procedimiento iterarivo del recicle.

~)elH.1)1 v (4.2)[le' 1{4.1} v (4.2) ~ A 2 y 1 8 2 (equipo 1 )=; i> .As' B 5,. A, Y B 7 (equipo 2)

C ornp ara r v alo re s s up ues to s y ealculados (conu'6I1'gencia)

So!lu'Olcm

No se ha logrado, eonverqencia

ResultadosA2 = ~69.8 Ibmoll/hB2 = 397,.2 Ibmollih

As = 79.9 lbmollh185= ]64.8 lb rn ol/ h

A1 = 119.,S;lbmol/h! B = 247.2 lbrnol/fu" ., -

b) Solucicn por el metodo crientadc a ecuacionesLas ecuaciones del preceso completo forman un sistema de ecuaciones a ser resueltos imu Ianearnlen te..

At. -A, ~AI =0B 'J _ ~ 81~BI.=0

A~.- 0.3 A3 = 'I)B.- 0.3 B., = 0, .>

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Simulacien de procesos en ingenierf quimica

0' 4 ,I .' '0 4 A' A - 0I ..i1.., T . ....'- _- ,- ,:>OA R, + 0.4 B~ - B " = 0- ,)0.6 A" ,. 0.6 A ~ - AI =00.6 B..+ 0..6 B 'J - BI= 0

,I l .- 0.7 A" =0B ~ 07 B =06 ,. j.

Por la seneillez del problema el sistema deeeuacioues es un sistema lineal quepodrfa ser resueltopor el rnetodo de Gauss-Jordan,

Ejemp/o 2Suponga que en el ejemplo I la temperatura de I la corriente 3 es 1_0 O F en luger de 75 oF .a) Solucion por el metoda modular secuencial

EI cambia en la temperatura de la corriente 3, genera las incognitas T~"T).t T, Yseilene que recurrir al balance de entalpla,

Ecuaciones ad icionales a lias anteriores, (4.1)- (4.6):Equipo I Balance de entajpia):

(4.7)

Equipo ;...

Para estimar las entalpias se supondra que las eapacidades calorificas de 'las dossubstancias no dependen d e la temperatura ell eJ intervale de trabajo y se puede usaruna capacidad calorifica ccnstante Cptn. Ademas se usara una temperatura dereferencia de 32 O F . Asi:

EtanolAgua

Cptu3 1 .1 8

Bru/Ibmcl O FBtu/Ibmol O F


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Alaoritmos de solucien de los rnodelos matemaricos""H A l =31 (75-32) =1333 Btu/lbmolHal = 18 (75-32) = 774 Btu/fbrnolH A ~ =H A S = 31 (120-32) ""2728 Btu/lbmolHIN =HB~ = 1 8 . ID 0-3 2) = 1 5 8 4 B tu /lb rn ol

Sustituyendo estes valores y ' las correspondientes ecuaciones de entalpla de lascor-dentes 2 7 en 'las ecuaciones (4.7) (4 ..8) sirnpl ificando, se llega a las siguienteseCUaCIOTI!!S:

182750 + (T,-32) (31A I + 18Bl)-(T2-32) (3 til;! + 118,H~)=0(T 1-3 2 I 31A 1 + 18B"}) =0 ..6 (T:!-32)31A 2 + 18B z ) + 6336'0(4.10)(4 ..11)

Estas des ecuaciones junto corn las ecuaciones (4.1)- (4.6) Y(4 ..9) eonstituyen elmodele maternatico del reciclo ..En la Figura siguiente se puede observar In.secuencia de solueion del procedim ientoiterative del reciclo,

De (4.1),1(4.2) Y (4 .110) =>De (4,3) - (4.6), (4..9) Y (4..11) ~

A2. 82 YT2 (equlpo 1)As. B5" Ts, A7 B7 Y T7 (equipo 2)

Comparar valores supuestos y calculados (converqencia)

No.se ha logrado converqencia Se lagro converqeneia

ResultadosA = 16 ,9 .8 Ibmol' lhB =397.2 lbmol/hT, = 80.3 O f '

A. = 79.9Ibrn.ol/h).B. =164.8 ~bmolllh)T _ ; ; ; ; ; : 8 3 . .3 I J " F),A := 119 .8 IlJmolllhB =247._ lbmol 1T - 83.3 , o pj'-

5 . 5


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Simulacton de procesos en ingenierla qufmica

b Solucion per e : 1 metodo orientado a ecuaciones,Las ecuacicnes del proceso complete fcrman urnsistema de ecuaciones a ser resueltosimultaneamente,

A f',"'A-O~ - ' 0 ' . . . , ) " 'I . - -~ ~B 4 - 03 B : ; ; ; ; ; ; 0T-T=(J" 3A,.- 0.7 A, =0II[) JJB 6 - 0.7 B] =0T- T= O1 0 - 3j -A - A = 0_ 1 IB-S-B;=O. : : ! 1 I

(T.- 32 (31AI + 18B.) + (T 1 ~ 32) (3 ~Al+ 18B .) - (T:. ,_32) .(31 Al + W8B 2) =0A- O ' 4 A + & ) = o f ' I ]' .. , . :1 .t'"i,.:, I . t . jB' j .~0.4 (B1 +B4) = 0T - T= 0- '1AJ ,_0.'0 (A] ;- A) = 0B - 0.,6 (B~ + B!j)= 0T1- 32) ], ~A7 ' 18B 1) - Q.,6 (T ; - 32) (31A 2 + 18B :!) ~.0 . .6 (T~- 32) (3 ]A~+ 19B) =0

Este sistema de ecuaciones es un sistema no lineal que podria scr resuelto por ellMetodo de,Newton-Raphson.

De acuerdo a 1 0 observado en los ejemplos I ) 2 anteriores se podria pensar que elmetoda orientado a ecuaciones es preferible al metoda modular seeuencial porqueofreceLillaconvergencia !lUIS rapida, separa el problema ingenieril del problema puramcntcrnatematico y perm ire mayor versatil idad can relacion al tipo de incognitas facilitandoel problema de diseho ..Sin embargo se debe tomar en cuenta que el problema resueltoen esos ejernploses sumarnente simple mientras que ell el esquema general, en la solueiondel modelomatematieo de un proceso, se tendra 1 1 3 necesidad de resolver simuhaeeamentesistemas de cienros 0 miles de ecuaciones algebraicas no Iineales cuyos 1 1 1 H .rodosnumericos de solu ion requeriran buenas aproxirnaciones iniciales de los cientos 0'r n i lies, d e i n co g n it a s para poder lograr 1 . 3 convergencia, P o r otra parte. ell e . 1 1metodoorientado a ecuaciones. en easo de haberun error' no lozrar la COil erzencia, resultara- --- .. ... -~ -- - 'io... ..diflcil localizar e l p ro ble m a.

Par 1 0 anterior, el metodo mas ampllamente utilizado en sirnuladores de procesosde prcpositos generales tales como Aspen Pius ..Pro II ..Chemcad etc .. es el metoda

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A~goritmos de SOIUClO.l1 debs modelos matemadcos

modular secuencjal. EI metoda. orientado at ecuaciones ha sido usado basicarnenre ensimuladores de uri 'Solo equipo 0 simuladores de procesos involucrando equipos die unrnismo tipo (par ejernplo redes de columnas de destilacion 0 de intercambiadores decalor). Sin embargo, durante anos recientes, con el avarice tecnologico de lascornputadoras yel rnejoramiento de tecnicas rnatematicas, ell metodo orientado aecuaciones esta siendo ut i lizado en simuladores comerci a lies:para simulacion dinamicade proeesos; el ejemplo m a s conocido y utjlizado es el. simulador Speedup. Muchosinvestigadores creen que el metodc orientado a ecuaciones con el paso die) tiemporeernplazara al rnetodo modular secuencial en los sirnuladores ..

4 , . 1 . Metodo modular simultaneoEste rnetodo intenta aprovechar algunas ventajas de los dos rnetodos descritosanteriormente. Se usa la estructura modular tradicional pero a suez se resuelve unsistema de ecuaciones simultaneas incluyendo a todas las ariables de las corrientes,La diferencia principal: consiste en que el sistema de ecuaciones a resolver es un sistemasjrnplificado de mas faci! solucion que ,eisistema de ecuaciones que se resolverla en elmetodo orienrado a ecuaciones. Este sistema sirnplificado esta formado par modelo:singenieriles aproximados 0 0 representaciones lineales de 110srnodejos rigurosos[ecuaciones 110 lineales).

En ell enfoque modular sjmultaneo se hall propuesto varias secuencias de soleeion,basadas len el criterio expuesto en ellparrafo anterior. Aqui se hara referenda unicamentea la estrategia conocida como el algoritmo de doble rompirniento (two-tier) que puedeser represen tad0 en formailustrativa par medic del dia.gr:ama de flujo adaptado porMonti:,el yChavez 0 9(1), con base en la estrategia propuesta pm Jirapongphan 198:0).J que se observa en la figura 4.2.


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Simulacion de procesoseningenieria quimicaCicI0 externo

Ej:ecutarlos rnodelosI1gurosos

no

'Generar lo sparametros delsistema simplittcadoCicio interne

Gene-far nuevasvalores de lasvariables delciclo illtemo

Figura 4.2 ..Secuencia de calculo del algorjuno modular simulraneo.

Generar nuevosvalores de lasvariables deleiclo externo

COllvergi6

SI .


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Algoritmos de solucien de los modelos matematiees

Ejemplo 3'Apliear el metoda modular simultaneo all problema del ejemplo 2,.SolucionEl problema es mu sencillo ' para dar forma al sistema simplificado 1 0 (mico que

se hara sera transformar las. ecuaciones no lineales (4.10) y (4.1 'I) de:1 ejemplo _ aecuaciones lineales pOI" media de series de Ta lor.

II dlf(x) =f(10) +L(~.,,) (X I -x; :O )hd cb:.,x=xo

Ya que se busca el punta en el cual f ex) =0I> df'"" 'ljf(rO + L/-,,- ., ) ( X I - Xi(l) = 0

1=1 dx, x=xoSiguiendo el plantearniento establecido por esta relaeicn, las ecuaciones (4.10) y

4,.11 pueden rransformarse en el siguiente par de ecuaciones:. .18_750+ Tt~32)(31A 0+ 18B1, o , ) - T:_o-3~)(31A:!o+ IgB~O)-31 (T20-32) (A __A;il)- 1 1 8 ( T ; O - 32 (B_ - B _ O ) - (3 tA 20 + 18B/' (T ]_ - T _ O ) + 31 (T ;O -, 32) ( A I - A.t) + 18(T~O-32 B } - 81 + (31A1+ 18B1)(Ti' - TO) = 0 (4.~2)( TiO - 32 (3IA

tO + 18B

Jo_ 0,.6 T :_ o - 3-) (3 L4~o+ - 18B

1) - 63 36 ,0 - 18.6 (T

10 - 32) .4

2-

A _ O ) - 10.8 T : _ o - 32) ( H ~ - B 'J . ) - 0.6 ( 3 1 A ~ ' O + 19B_G) ( T J - T]O) + 31 (T10 - 32) ( A i - A 0 0 )+ 18 TjO - 32) (8 -B1) + (31.41 + 18HfO ) (T1 - T/~)=0 (4.13)Agrupando los terminos constantes de las ecuaeiones (4J2) Y ( .13) como "constanre I ."

, ; constante 2' ) respectivamente reempl .azando a las ecuaciones (4.] 0) Y(4.11 conlias.ecuaciones resultantes, se puede tener un sistema lineal de ecuaciones para representara los equipos 1 _ del diagrama de flujo del problema, de I!asiguiente forma:

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Simulacion de pmcesos en ingenieria qutmiea

O . 6 B 2 + O. 6 B ~ - B '7 =1 1-18.6 ( T ~ O - 32 ) A : z - 11).8 ( T 20 - 32) 1 1 2 ~ 116, (31A:!o + 1813];)T2 + 3 I I (T1 - 32) A7 +1: 8( T ; O _ 32) s, + (31A7'O + 18E t 0) T 7 + constante 2 =0Estas eeuaeienes t.SuponerAlQ, Bll, 12, A E , O , IB , )o ',Tso , A1o , 'sl"yT,Q2. Resolver el sistema slrnpliflcado (llille.all usando !!.I!nmeiodo nurnerlco

de, so: lucion de sismemas. deecuaciones algebraicas =;I.

3 " G o m pa ra ,r v ato re s s up ue sto s '1 ealculados (cor!Alerg.encia)I

, I . . . . . " ' " IP 4...__------~~~~~~~~---------------/~ armNo se ha IOg[,800converqencta

Sa logr6oonvergencia

-4.l!Itilizando los ilalme$ dle~, 8;;,;.T"e;'. ' T,. rechii 'lobtentdos, cateutar nuevos valores deesas variiables ussndo el modele matematieo rigumso (no l ineal) precediendo-equlpo aeCjjllipo de acuerdo a la esll la~eglaJmodula.r ~ A _ . , B1, T ". A ". Bs' T"i' AI' B, y T,

5 ..Comparar lo s valoresA2s 802:;'Tz,; ... T;~ Y estosultlrnos V8i 'lm8S obtanidos A , . . . B2" T2 Tl(co nverg :en cia),

,, ---" '''-'' ----:7 SoltlcionNo se ha lo-gr,adocollverg enci a

Nuevamente se reccmienda pensar en el rnetodo de solucion que se estill eomentando,en terrninos de un diagrama de th~io menos simple que ell del ejemplo para apreciar

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Algoritmos de solncion de los modelos matematicos

mejor las ventajas 0 desventajas 'que este algcritmo tierre en comparacion con los otrosal g,nri tmos.

AI respecto se puede comentar que el metedo modular simultaneo aprovecha algunasventajas del metodo modular secuencia], tales: como lafaeil incorporacion de modulesunjtarios al sistema, 1 3 facilidad de localizacion, diagnostico y solucion de fallas, y laenorrne inversion de recursos que ha habido len su desarroll 0;, aprovecha la ventaja delmetoda orientado a ecuaciones, de un manejo mas eficien te de las ecuaciones para queel esquema de calculo modular funcione mejor en procesos complejcs, con multipliesrecirculaciones formando ciclos anidados y can severas restricciones de disefio.

I., Dividir el grupo en cinco equipos y repartir alazar uno de los siguientes ejercicios:a) Completar 10s caleulos iterativos en el incise a del ejernplo l ,b) Resolver el incise b del ejemplo 1.c) Completar los calculos iterativos en el incisoe del ejemplo 2.d) Resolver el incise b del ejemplo 2 . .e) Completer los calculos it'erativos del ejemplo 1.2. En d siguiente diagrarna de fiujo,. determiner ~osvalores die lasvariables de lasdiversas corrientes, mediante el metodo modular secuencial y el metoda orientadoa ceuaerones:(Adaptacion del problema ejemplo 55-1 del libro Elementary Principles ofChemical Processes de R .M ,. Felder y R.W. Rousseau, Wiley and Sons, NewYork, 1978)

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4

7

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Simulacion de procesos en ingenierla qulrnica

Equipo 2:. EvaporadorEquipo 3: Cristalizador y fihroCorriente 1Crornato de potasio:AzuaS W J ' _ _ . ,

Corriente 3: Agll3!l500 Kglh3000 Kgfh Corriente 5: Cristales de cremate de potasio

25 Cil l arm. .

Agua: 50. .6 %Corriente 6Cromafo de potasio:Agua:

36 , . 36 %63.64 %

Corriente 4Crornato de potasio; 49 ..4 %

Corriente 7Cremate de potasio:Agua:

., 6 ." t:: '0/_j. r,J'ILiI ;1'063,64 % La corrienre 5 es el l 95 % de la corriente (5+6)

3. Con un simulador de procesos obtener los:valores de lasvariables de Ias ccnientesell los diagramas de flnjo de los ejemplos I y 2~yen el diagrama de flujo de laactividad de aprendizaje 2 de este capitulo.

BibliografiaCrowe, et ai.; Chemical Plant Shl1ulat ion. Englewood Cfiffs, Nueva Jersey. Prentice-

Ha Jll) 19 71 -Jirapongphan, S., Ph. D. Thesis" Institute of Technology, Massad1Usse~s, ]980.Kehat, IE,~y M. Shacbmea, Process Technol. Im., tomo 18~mim. 3, 1973 ~ p, 1 1 5 .Lee" \V.~y O. F . Rudd, AIChe i; tome 12~,1966~ p. I] 8.4.Montiel , C,) y A. Chavez, Tecnol, Ciencia C U v 1 ] Q ) tomo 7, num .. 1j, 1991~pp, 38-46.Nlmt~y, C. L.. N.) y A. Husain, Computers and Chem. Eng., tomo 7, mnn ..2, 1983,

'~I......

p .. IjJ.Pho, T. K. . YLapidus" L., AIChE J.~torno 19, ]973, p, I'~70.Sargent, R.W.H.,. y Westerberg, A ..\V., Trans. Insf, Chest. Engr .. tomo 42, 1964,

p. ~90.Upadhye, R.S. and Owns 11,.E.A.,.AIChEJ., tomo 21, 1975J p, 136.

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