Matemáticas IV.- Álgebra 89

UNIDAD VI.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplificación de Fracciones Algebraicas

Como podrás recordar, en fracciones numéricas para simplificarlas era muy sencillo, pues por

ejemplo para simplificar se tenía:

Es decir la simplificación de es (al mencionar mitad o tercera se refiere a ambas partes de la fracción,

numerador y denominador), esto lo realizamos en general muy fácil, pero veamos la razón formal del porque se puede realizar así la simplificación.

Si factorizamos a 12 y 18 tenemos:

o sea

Ahora si comencemos a simplificar una fracción algebraica.

Ejemplo 1. Simplificar

518,

53,

21

1812

12 6 218 9 3

mitad tercera

1812

32

1812

322

13612

332

13918

12 (2)(2)(3) ( 218 (2)(3)(3)

)(2)( 3 )

( 2 )( 323)(3)

22

22

2 yxyxyx

OJO: El tipo de simplificación antes hecha es posible gracias a la propiedad fundamental de los números racionales, es decir, porque en el numerador (arriba) y el denominador (abajo) hay productos (multiplicaciones). Recuerda que si no hubiera multiplicación, la simplificación no es posible:

Diferente, o sea, no es lo mismo

No es valida pues hay una suma

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90 Prof. Jesús Calixto Suárez

OBSERVACIÓN

pero queda 1 arriba

Ya que

Es decir:

Ejemplo 2. Simplificar

Ejemplo 3. Simplificar

22

22

2 yxyxyx

x yx y

10720

2

2

aaaa

32 222

axaa

Caso IV (diferencia de cuadrados)

Caso III ( T.C.P. )

Caso V

Caso V

Recuerda no se puede ya que el numerador (2a) si es un producto pero no es un producto. Siempre debe haber multiplicaciones arriba y abajo.

Esto ya es un producto

Factor común Esto ya es un producto

OJO:

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Matemáticas IV.- Álgebra 91

Ejercicios Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a) b) c)

d) e) f)

Suma y Resta de Fracciones Algebraicas Para empezar a sumar o restar fracciones algebraicas recordemos lo que se hacia en fracciones numéricas.

Realizar: , como podrás estar de acuerdo en la suma y resta de fracciones hay que tener el mismo

denominador (siempre es posible), en este caso hay que convertir a sextos.

Lo anterior también lo aplicamos a fracciones algebraicas.

Ejemplos:

a) = convertimos a sextos los denominadores

b) 232

5 25x

x x

En este caso es un poco más complicado tener el mismo denominador, sin embargo la regla o sugerencia para lograrlo será SIEMPRE, FACTORIZAR a los denominadores.

232

5 25x

x x

o sea

Factorizando Para que ambas fracciones tengan el mismo denominador hay que multiplicar (arriba y abajo) a la fracción

por )5( x

5 2 3 2 10 3 5 105 5 5 5 5 5 5 5

x x x x xx x x x x x x x

Esto es permitido, pues su valor es uno. No realices la multiplicación pues regresarías a lo anterior que tenías 2 25x

2 2 33

x xx

2

2 2

m nm n

2 2

3 3x yx y

3

3 28 1

8 4 2n

n n n

3 2

26

12 36x x

x x

2

26

15 2x xx x

61

32

65

61

64

61

3)2(2)2(

61

32

sextosasconvertimo

2)4(

3)2(

xx

6165

612342

6123

642

)3(2)3)(4(

3)2()2)(2(

xxxxxxx

)5)(5(3

52

xxx

x

52x

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92 Prof. Jesús Calixto Suárez

Recuerda que una fracción se tiene que simplificar (factorizar arriba y abajo)

c)

Factorizando denominadores

Como podrás observar el común denominador será

Una vez que se obtiene el denominador común ya no se hace ninguna operación con este salvo al final se podrá simplificar algún factor con un factor igual del numerador.

OJO: NO queda

Observa las siguientes simplificaciones:

;

Ejercicios Realizar

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j)

)5)(5()2(5

)5)(5(105

253

52

2

xxx

xxx

xx

x

2

2 3 4 73 2 6

xx x x x

674

23

32

2

xxx

xx

)2)(3( xx)2)(3( xx

)2)(3()74()3(3)2(2

)2)(3(74

2)3(3)3(

3)2(2)2(

xxxxx

xxx

xxx

xxx

)2)(3(749342

)2)(3()74()3(3)2(2

xxxxx

xxxxx

2x

( 3) ( 2)x x

13x

3x

22

xx

21

2

xx

mmnmn 23

2 2

2

622

53

xx

xx

1

122

133

12

xxx

yxyx

yxyx

22

22

93

3 axxa

axax

22

22bababa

yyx

xxy

243

202

63

42

31

xxx

13

12

11

2

2

2

xx

xx

x

444

221

13

2

aa

aa

aa

Ojo son necesarios los paréntesis por el signo menos que aparece antes

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Matemáticas IV.- Álgebra 93

Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas

Para multiplicar o dividir, fracciones algebraicas, es más sencillo que la suma y resta, pues sólo hay que factorizar a todos los numeradores y denominadores involucrados, aplicar la regla (multiplicación o división) y simplificar los factores en común del numerador y denominador del resultado.

Regla de la multiplicación Regla de la división

Ejemplo 1.Realizar

3 2 32 33

2 3 2 3

10 9 2 3 610 95 3 5 3

a x my a yx y a ya mmx mxm x m x

Observa:

En el ejemplo anterior no hay necesidad de factorizar a los numeradores y denominadores, ya que, ya eran multiplicaciones.

Ejemplo 2. Realizar

Ahora sí, factoricemos a todos los numeradores y denominadores

No se multiplica sólo se representa

Ejemplo 3. Realizar

Como tanto los numeradores como los denominadores involucrados ya son productos (multiplicaciones), apliquemos la regla de la división.

))(())((

dbca

dc

ba

))(())((

cbda

dc

ba

2 3

2 3

10 95 3

x y a mm x

2)5(

)2)(5(5

10

mmmm

mm 1

))(()(

2 xxxx

xxxx 1

))()(())((

3

2

22

2

2 nmn

nmnnm

))(()()( 2

22

2

2 nmnmn

nmnnm

nmn

nmnnm

))()(())(( 2

nmnmnmnnnm

2

2 2 2

( )m nm n nmn n m n

2(n )n ( ) ( )m n m n

2( )( )n

m nm n

4

4

3

2

1410

75

anm

nm

OJO:

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94 Prof. Jesús Calixto Suárez

Observa que no se realiza (5)(14) = 70, sólo se expresa

Ejemplo 4. Realizar

Ahora en este caso si hay que factorizar a todos los numeradores y denominadores

Ya esta factorizado

Se aplica la regla de la división expresando las

multiplicaciones sin realizarlas

Ejercicios.

a) b) c)

d) e) f)

g) 245352

561556

2

2

2

2

aaaa

aaaa h) i)

j) k)

43

24

4

4

3

2

)10)(7()14)(5(

1410

75

mnmna

anm

nm

2243

24

22

)10)(7()14)(5(

mna

mna

mnmna

164

15153020

23

2

xx

xxxx

xx 3020 2 )32(2 x

)1()32(2

)1(15)32(10

164

15153020

223

2

xx

xxxx

xx

xxxx

23 1515 xx

)32)(2)(1(15)1)(32(10

164

15153020

223

2

xxxxxx

xx

xxxx

xxx 31

)2)()(3)(5()2)(5(

)2)((1510

501077

14255

xxx

10325

2

bb

aa

32

32

222

2

2

2

xxxx

xxx

3354

50222 2

2

aaa

aa 32

2

2

53 ba

xba

711

4912 2

2

3

xxx

xxx

56255

64125

2

23

2

3

xxxxx

xx

622

31

xx

22233

11

2

2

aaaa

aa

aa

45442

136

301178

2

2

2

2

2

2

aaaa

aa

aaaa

OJO:

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Matemáticas IV.- Álgebra 95

OPERACIONES MIXTAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS

Ejercicios. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas

a) b) c)

d) e)

f) g)

Simplifica las siguientes fracciones complejas:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

Racionalización Cuando al dar un resultado en matemáticas y éste es una fracción, en el denominador (parte de abajo) NO debe haber radicales, para lograr esto veamos lo siguiente:

122 2 entonces

1 1 1 1 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2

y en general ; 0x x x x (x cero ó positivo), entonces si tenemos la expresión 35 , como es una fracción

podemos multiplicar al numerador y al denominador por una misma cantidad sin que se altere, claramente como queremos que no haya radicales en el denominador la multiplicamos por 5

3 5 3 555 5

Ahora consideremos una expresión un poco más complicada para racionalizarla, por ejemplo 31 2

, en este caso

para lograr que no haya radicales en el denominador no es tan fácil sólo multiplicar por 2 , ya que tendríamos:

3 2 3 21 2 2 2 2

1 1x xa x a

2

21ab ba a b a

2

1 1xx xx x

bab

babba 1

2

22233

11

2

2

aaaa

aa

aa

431

21

2xxx

5245

2056

4912 2

2

2

2

2

xxx

xxxx

xxx

yxx

yxx

ba

ba

1

1

yyx

xyx

yxyxyxyx

dc

ba

dc

ba

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

42

mnnm

mn

nm

ba

a

a

11

ya no hay radicales

aún hay radicales en el denominador

Recuerda: 2

2 1 2 2 2 2 2 2 www.calix

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96 Prof. Jesús Calixto Suárez

Cuando en el denominador tenemos un binomio con radicales (1 2 ), no se multiplica simplemente por la raíz que contiene 2 , si no que se multiplica por el binomio conjugado que tenemos (del binomio 1 2 su conjugado es 1 2 ).

22

3 1 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 21 2 11 2 1 2 1 2

Ejemplos: 1. Racionalizar 2x

y

2xy

multiplicamos arriba y abajo por y

22 y x yxyy y

observa que lo importante de racionalizar es que no se tengan raíces en el denominador, no importando si las hay en el numerador.

2. Racionalizar 22 x

2 2 4 242 2

x xxx x

Ejercicios: Racionalizar

a) 11 3

b) 22

xx

c) 2 3

1 2

d) 4

3 1

e) 5 25 2

f) 7

3 g) 4 3

x h) 1

1 y

i) 31 2

j) 7 37 3

Recuerda: 1 2 1 2 es un producto de dos binomios conjugados y el resultado

es una diferencia de cuadrados, verifica el cuarto caso de factorización o el tercer caso de productos notables.

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Matemáticas IV.- Álgebra 97

Números complejos o imaginarios Hasta ahora conoces el conjunto de números llamado “números reales” que se denotan como ℝ, sin embargo existen más números que no se consideran reales, los cuales estudiaremos sólo en éste caso y posteriormente sólo trabajaremos con números reales, ya que el estudio completo de los números imaginarios o complejos forma parte de cursos estudiados a nivel Licenciatura.

Los números complejos o imaginarios surgieron de intentar resolver la ecuación 2 1 0x , pues si tú intentas resolver ésta ecuación, lo más seguro es que procederías de la siguiente manera:

2

2

1 01

1

xx

x

pero 1 no tiene un resultado real, pues no tenemos en los números reales un número que multiplicado por él mismo resulte -1.

Es decir no hay resultado real para 1 , pero en la antigüedad por tener un resultado para 1 se creó

(imaginó) una solución para 1 , que fue el número “imaginario” i, el cual entonces tiene que cumplir:

1 i , o sea 1i i pero por los conceptos que ya tenemos

2i i i Por lo tanto tenemos 2 relaciones importantes:

21 e 1i i Entonces ahora ya podemos hablar de la raíz cuadrada de números negativos:

2 24 2 ya que 2 2 4 pero 1 4 1 4i i i i i

2 29 3 ya que 3 3 9 pero 1 9 1 9i i i i i

Si la raíz de un número no es exacta, sólo se deja expresada, por ejemplo:

25 5 ya que 5 5 5 5 5 1 5i i i i

Todos los números que contengan a la unidad imaginaria i solamente, se llaman números imaginarios puros. En general un número imaginario o complejo tiene la forma #real #real i , por ejemplo 2 3i , 5 4i , 7 2i ,

312 4 i , 3i imaginario puro.

sacando raíz cuadrada en ambos lados

Recuerda: pues

Definición: Un número complejo o imaginario es un número que tiene la forma con e . A la parte a se le llama “parte real del número complejo” y a la parte bi se le llama “parte imaginaria”. www.ca

lixto.

com.m

x

98 Prof. Jesús Calixto Suárez

A los números complejos los denotamos con el símbolo ℂ y por la definición anterior podemos observar lo siguiente:

2 35 2

5 pues 5 5 02 pues 2 0 2

ii

ii i i

Si recordamos la clasificación de los números reales, ahora la situación queda de la siguiente manera:

Operaciones con números complejos Para realizar operaciones con números complejos sólo basta considerar a la unidad imaginaria i como si fuera una x o una y y proceder como si estuviéramos haciendo operaciones algebráicas.

Suma y resta de números complejos Consideremos a los números complejos 2 3i y 5 6i , al sumarlos tenemos:

2 3 5 6 2 5 3 6 3 3i i i i i como podrás observar, el resultado también es un número complejo con parte real y parte imaginaria. Ahora consideremos a 3 números complejos que denotaremos como 1 1 2Z i , 1

2 2Z i , 3 4 5Z i y encontremos: 1 2Z Z , 3 12Z Z y 2 34Z Z

a) 1 2

11 2 21 11 22 2

Z Z i i

i i i

b) 3 12 2 4 5 1 28 10 1 28 1 10 27 8

Z Z i ii i

i ii

imaginario puro

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Matemáticas IV.- Álgebra 99

c) 2 314 4 4 52

1 16 2021 16 202

31 192

Z Z i i

i i

i i

i

Multiplicación y División de números complejos

Sigamos considerando los 3 números imaginarios anteriores 1 1 2Z i , 12 2Z i , 3 4 5Z i y encontremos

a) 1 3Z Z 1 3

2

1 2 4 5

4 5 8 104 10 5 8

6 13

Z Z i i

i i ii i

i

b) 2 3Z Z

2 3

2

1 4 5252 4 52

52 5 42133 2

Z Z i i

i i i

i i

i

c) 2 32 3Z Z

2 3

2

12 3 2 3 4 521 2 12 15

12 15 24 3012 30 15 24

18 39

Z Z i i

i i

i i ii i

i

Finalmente realicemos las siguientes divisiones

d) 6 131 2

ii

para realizar la división, recuerda que 1i , entonces, en la división anterior es como si

se tuviera: 6 131 2 1

i

OJO:

se multiplican como expresiones algebráicas

RECUERDA: en una fracción NO debe haber radicales en el denominador y para lograr esto hay que racionalizar. www.ca

lixto.

com.m

x

100 Prof. Jesús Calixto Suárez

entonces, cuando se dividen 2 números complejos la sugerencia es multiplicar al numerador y denominador por el conjugado del denominador. 6 131 2

ii

1 2i

2

2 26 13 1 2 6 12 13 26 20 25 20 25 20 25 4 51 2 1 2 5 5 51 41 2

i i i i i i i i ii i i

e) 2 61 2

ii

su conjugado 1 2i

2

2 22 6 1 2 2 4 6 12 2 12 4 6 14 2 14 21 2 1 2 5 5 51 41 2

i i i i i i i i ii i i

Ejercicios Realiza las siguientes operaciones con números complejos

a) 3 4 3 2i i

b) 22 3 1i i

c) 2 233 2

ii

d) Si 1 2 33 2 , 4 y 2 3Z i Z i Z i , encuentra el valor de la operación 1 2 32 3Z Z Z e) Si 1 21 y 1Z i Z i , encontrar 2 2

1 2Z Z f) 7 12 62 4 7i i i g) 11 21 2012 13 12i i i h) 7 16 7 127 9 3i i i i i) 2 4 3 9

j) 2 16 3 25

k) 4 1 3 4

su conjugado es

multiplicación de complejos

diferencia de cuadrados

sólo se cambia el signo de en medio

Recuerda: , entonces

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