El cuadrado

Presentado por: mar yuri foreroAngela garciaDeisy rativa Leidy rodriguez

SIMETRIA Y ROTACION DEL EL CUADRADO es unparalelogramo que tiene sus lados iguales y adems sus cuatro ngulos son iguales y rectos, tiene 4 ejes de simetra, 4 vrtices y 4 aristas.

QUE ES ?En general la simetra de una figura geomtrica es una biyeccin de sus puntos tal que se preservan sus distancias entre dos puntos consecutivos.

La simetra de una figura se refiere a las posibilidades de hacerla coincidir consigo misma luego de aplicar un movimiento.SIMETRIA el grupo de simetras del cuadrado. Tambin se le llama grupo octal. De nuevo, sese una notacin y sombreo en la tabla que parece arbitraria, pero que se explicar ms adelante. Usaremos (pi )para las rotaciones y (Si ) para las simetras y (Ui) para las permutaciones, en este caso hay ocho permutaciones.

GRUPO DE SIMETRIA es una lnea de referencia imaginaria que al dividir una forma cualquiera en dos partes, sus puntos opuestos son equidistantes entre s, es decir, quedan simtricos. En geometra, se usa la expresin "eje de simetra" para los ejes de simetra planos y para los ejes de simetra axial.UN EJE DE SIMETRIA es una lnea imaginaria que al dividir unafigura cualquiera, lo hace en dos partes, y cuyospuntos simtricosson equidistantes a dicho eje. Todos los polgonos regulares tienen tantos ejes de simetra como lados.El eje de simetra es lamediatriz delsegmento cuyos extremos son puntos simtricos. Matemticamente, un eje de simetra de un conjunto geomtrico es siempre una lnea de puntos fijos invariante bajo un conjunto de operaciones del grupo de simetra del conjunto.EJE DE SIMETRIA PLANO es una lnea o recta tal que al rotar alrededor de ella una figura geomtrica, la figura resulta visualmente inalterada. El eje de simetra axial coincide con el conjunto de puntos invariables asociados a larotacin. En un cilindro, el eje del cilindro es obviamente un eje de simetra axial, y anlogamente en un cono o tronco de cono rectos. En una esfera, cualquier lnea recta que pase por el centro de la esfera es un eje de simetra axialEJE DE SIMETRIA AXIAL

Unarotacinconsiste en el mover de un objeto alrededor de un centro de la rotacin. Uncentro de la rotacines un punto alrededor de el cual se gira un objeto de 2 dimensiones. Elngulo de la rotacines cunto se gira el objeto. Cuando la direccin de la rotacin es importante, la rotacin se refiere comoa la derecha o a la izquierda. ROTACION

Lasimetra de la rotacinrefiere a las figuras geomtricas que, cuando estn giradas cierto ngulo sobre un centro de la rotacin, son coincidentes con el objeto original. Si dos objetos son coincidentes, son idnticos de tamao, forma, y la localizacin. Manipulante 3 demuestra la simetra de la rotacin de un circunferencia alrededor del centro del circunferencia. Para cualquier ngulo de la rotacin, el circunferencia girado escoincidente con el circunferencia original. El circunferencia girado parece siempre apenas el circunferencia original.

En el manipulante 4, el cuadrado original (en azul) y el cuadrado girado son coincidentes solamente a tres ngulos de la rotacin:90 = /2rad,180 = rad, y270 = 3/2rad. ACTIVIDAD Esta actividad consta de hallar las rotaciones, simetras, permutaciones y las inversas de cada rotacin:A continuacin se les guiara paso a paso para hallar lo anteriormente planteado

Para esta actividad se necesita tener:Dos cuadrados uno mas grande que el otro con vrtices (A,B,C,D), y un chinche .PASO 1 * Gira el cuadrado pequeo 90 grados como las manecillas del reloj : 0ABCD0BACDPi: rotaciones del cuadrado

P1: A B C D B C D A90 grados * Gira el cuadrado pequeo otros 90 grados00ABCDCBDAP2:A B C D C D A B

180 grados * Gira el cuadrado pequeo otros 90 grados00P3:A B C D D A B C

270 grados ADBCDCABGira el cuadrado pequeo otros 90 grados como las manecillas del reloj: Si observamos si giramos el cuadrado 360 grados es como si el cuadrado no hubiera rotado por lo tanto:00P0:A B C D A B C D

360 grados o 0 gradosABCDABCDGrupo de rotaciones del cuadrado son:P1: A B C D B C D A

P2:A B C D C D A B

P3: A B C D D A B C

P0:A B C D A B C D

90 Grados 180 Grados 270 Grados 360 Grados o 0 Grados Paso 2 Ahora vamos a hallar las simetras del cuadrado en este caso las vamos a llamar (Si) que son las imgenesreflejadas en bisectrices perpendiculares a los lados. Los vertices de este cuadrado son (A,B,C,D) a continuacion vamosJugar con estos vertices. 00ABCDEn este caso vamos a cambiar los vrtices A Y C por lo tanto :CADBS1: A B C D C B A D

Ahora vamos a hallar S2 vamos a cambiar los vrtices B y D. 00ABCDACDBPor lo tanto:S2: A B C D A D C B

00Ahora vamos a hallar S3 por lo tanto vamos a cambiar los vertices A con B y D con C . ABCDBACDS3: A B C D B A D C

00Ahora vamos a hallar S4 en este caso vamos a cambiar los vrtices D con A y C con B ADBCDCABS4: A B C D D C B A

Grupo de simetras del cuadrado son:S1: A B C D C B A D S2:A B C D A D C B S3:A B C D B A D C

S4: A B C D D C B A

ACDBAB y DCDA y CBEl grupo de permutaciones son: (Ui)Ui: (P0,P1,P2,P3,S1,S2,S3,S4)En este caso el grupo de permutaciones del cuadrado son 8, las rotaciones y las simetrias.Inversas de las rotacionesPara hallar las inversas de las rotaciones tenemos que tener en cuenta la rotacin de cada una recordemos que:P1: A B C D B C D A 90 Grados

P2:A B C D C D A B 180 Grados

P3: A B C D 270 Grados D A B C

P0:A B C D A B C D 360 grados o 0 grados

e: elemento neutroNOTA: Para operar las rotaciones o simetras se hace de la siguiente manera:EJEMPLO:

1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 4 2 3 1

= 1 2 3 4 1 3 4 2 Lo primero que vamos a hacer es hacer P1 operado con P3 primero vamos a operar a P3 primero y luego a P1:P1*P3: P1: A B C D B C D AP3: A B C D D A B C

=A B C D A B C D Por lo tanto

Se concluye que :

Ahora vamos a operar a P0*P0

P0:A B C D A B C D

P0:A B C D A B C D=A B C DA B C DPor lo tanto:

Se concluye que:

Ahora vamos a operar P2*P2P2:A B C D C D A BP2:A B C D C D A B

=A B C D A B C DPor lo tanto :

Se concluye:

Ahora vamos a operar P3*P1

P3: A B C D D A B C

P1: A B C D B C D A

=A B C D A B C DPor lo tanto:

Se concluye que:

Tabla de simetrias