sesión mediada: programación lineal

Álgebra Programación Lineal

Prof.: José A. Sulca Minchán 1

SESIONES DECLASE

ALGEBRA

Programación Lineal



PLAN DE SESIÓN DE CLASE

I. DATOS GENERALES

Área / Asignatura : Matemática / Álgebra

Grado / Nivel : Quinto de secundaria

Nombre de la unidad : Programación Lineal

Tema : Introducción a la Programación Lineal

Tiempo de aplicación : Cinco semanas (15 horas pedagógicas)

II. OBJETIVOS E INDICADORES DE LOGRO

OBJETIVOS INDICADORES DE LOGRO

o Analizar el conjunto solución deun sistema de inecuacioneslineales.

o Calcular los vértices de unaregión poligonal.

o Definir y fundamentar elmodelo matemático de laprogramación lineal.

o Utilizar el método de losvértices.

o Orientar las actividadespersonales de los estudiantes enfunción a intereses colectivos.

o Analiza el conjunto solución de unsistema de inecuaciones linealesgraficando la región relacionada alsistema.

o Calcula los vértices de una regiónpoligonal resolviendo el sistemaasociado de ecuaciones lineales.

o Define y fundamenta el modelomatemático de la programaciónlineal mediante un cuadrosinóptico.

o Utiliza el método de los vérticesresolviendo problemas deprogramación lineal.

o Realiza actividades priorizando eldesarrollo del colectivo.

I. DESARROLLO DE LA SESIÓN (SISTEMA DE SESIONES)

3.1 SESION 1

Analizar el conjunto solución de una inecuación lineal



A. SINTIENDO Y PENSANDO – PENSANDO Y SINTIENDO (con ayuda del mediador)

a.1. Situación problémica:

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto depropaganda publicitaria. La empresa A le paga 50 céntimos porcada impreso repartido y la empresa B, con folletos másgrandes, le paga 70 céntimos por impreso. El estudiante llevados bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otrapara los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cadadía es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que sepregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir decada clase para que su beneficio diario sea máximo? ¿Quénecesitamos conocer?

UN POCO DE HISTORIA

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilliy, sobre todo, Lagrange, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionadosde determinadas funciones. Posteriormente el matemático Fourier (1768-1830) fue elprimero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmentellamamos programación lineal.

Sin embargo, debemos remontarnos al año 1939 para encontrar nuevos estudiosrelacionados a la programación lineal. En este año, el matemático ruso LeonodasKantarovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos deorganización y planificación de la producción, en la que por primera vez se hacecorresponder a una extensa gama de problemas sobre la teoría matemática de laprogramación lineal.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema del transporte, estudiado porKoopmans. Tres años más tarde, Stigler plantea otro problema particular conocidocon el nombre de régimen alimenticio.

En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos seasumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación eraun problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasabanecesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.

En 1947, Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciadoestándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Una de lasprimeras aplicaciones fue el puente aéreo de Berlín. Se continuó con infinidad deaplicaciones de tipo preferentemente militar.

Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos deestudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programación lineal.



Respecto al método del simplex, que estudiaremos después, señalaremos que suestudio comenzó en el año 1951 y fue desarrollado por Dantzig, ayudándose devarios modelos de ordenador de la firma IBM.

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemáticonorteamericano de origen húngaro Von Neuman (1903-1957). En 1947 conjetura laequivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matricesdesarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo deHilbert en Gotinga y, desde 1930, hace que otros investigadores se interesaranpaulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.

En 1858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto:el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras deedificación de la ciudad de Moscú. El plan óptimo de transporte, calculado con elordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a loscostos previstos.

Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase losmétodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entreun 10 y un 15% en tan sólo un año.

En este sentido podemos decir que; la programación lineal es una técnicamatemática relativamente reciente, que consiste en una serie de métodos yprocedimientos que permiten resolver problemas de optimización. Nos centramos enaquellos problemas de programación lineal, donde solo intervienen 2 variables.

B. BUSCANDO Y HALLANDO (con ayuda del mediador)

b.1. Analiza el conjunto solución de una inecuación lineal graficando la regiónrelacionada al sistema:

Estamos interesados en encontrar el C.S. de una inecuación lineal con 2incógnitas, es decir; queremos hallar todos los pares ordenados que satisface lainecuación. Para ello la gráfica permitirá visualizar que región del planorepresenta el C.S. Esta región recibirá el nombre de semiplano, cuyo borde seráuna recta.

ACTIVIDAD (para el docente)

Esboce la región determinada por las siguientes inecuaciones lineales:

1. 632 yx

Para fines de graficar una inecuación es necesario reemplazar el símbolo



de la desigualdad ( ≤ ) por el símbolo igual ( = ), para graficar la ecuación

con dos variables. Luego se ve la inecuación.

(i) Graficamos 632 yx

Esto es una ecuación lineal con 2 variables; por lo tanto representa una recta.

Por tratarse de una recta solo necesitamos 2 puntos pertenecientes a la recta.

Conviene buscar los puntos de intersección con los ejes por ser los más

sencillos, para ello tabulamos con x = 0 y con y = 0.

263)0(2 yy

36)0(32 xx

La tabla nos dice que la recta pasa por los puntos (0,2) y (3,0).

Realicemos la gráfica:

La línea continua indica que los puntos de esta recta son soluciones de la

inecuación original debido al símbolo . Por otro lado, se observa que el

plano ha quedado dividido en 2 regiones, una región que está debajo de la

recta y la otra que está por encima.

(ii)Sombreamos 632 yx

Para ver en qué región están los pares ordenados que satisface la inecuación

elegimos un punto cualquiera que no esté en la recta 632 yx , se aconseja

un punto bastante simple, por ejemplo el punto (0,0) y lo sustituimos en la

inecuación

x y0 23 0



6)0(3)0(2

0

Hemos obtenido una desigualdad verdadera, esto significa que el par

ordenado (0,0) satisface la desigualdad por lo que debemos sombrear la

región donde se encuentra este par (0,0). Aquí se encontraran todos los pares

que cumplen la inecuación.

Esta región sombreada (la región que está por debajo de la recta 632 yx )

nos indica la grafica de 632 yx ; es decir el C.S. de la inecuación. Nótese

que la región incluye a la recta. Si la desigualdad nos hubiera salido falsasombrearíamos la región opuesta.

2. 234 xy

(i) Graficar 234 xy

Tabulemos con x = 0 y con y = 0.

2/12)0(34 yy

3/223)0(4 xx

Como la inecuación original tiene el símbolo trazaremos la recta con unalínea punteada.

(ii)Sombrear 234 xy

Escojamos el punto (0,0). Veamos si satisface la inecuación al reemplazarlo:

x y0 1/2

-2/3 0



)...(2)0(3)0(4

0

F

Esto nos dice que debemos sombrear la región opuesta, es decir la región queno contiene al punto (0,0). La gráfica es:

Nótese que la región no incluye a la recta; en otras palabras el bordeno pertenece a la región.

ACTIVIDAD (para el estudiante)

1. Esboce la región determinada por las siguientes inecuaciones lineales:

a. 5 2 4x y

b. 2 3y x

c. 3 yx

d. 623 yx

e. 5y

f. 4 yx

g. 532 xy

h. 2x

i. 3y

j. 1x



2. Determine la inecuación que corresponde a cada región sombreada:

a. c.

b.

b.2. Internalizando la estrategia para analizar el conjunto solución de una inecuaciónlineal socialmente construidos:

1) ¿Qué entiendes por analizar el conjunto solución de una inecuación lineal?

…………………………………………..……………..…………………………..

2) ¿En qué consiste la estrategia?

…………………………………………..…………..……………………………..

C. TRANSFORMANDO NUESTRA PRÁCTICA (intentando sin ayuda del mediador)



c.1. Usa estrategias para analizar el conjunto solución de una inecuación lineal:

Se indica a los estudiantes desarrollar las actividades que se encuentran en el compendioescolar. El docente absuelve las dudas que se presentaran. Finalmente se procede acolocar un visto bueno a los estudiantes que desarrollaron de manera adecuada laactividad.

3.2 SESION 2

Analizar el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales


a.1. Recojo de saberes previos:

Para el recojo de los saberes previos emplearemos las siguientes interrogantes:

¿Qué entendemos por esbozar la región determinada por inecuacioneslineales?

¿Puedes indicar los pasos a seguir?


b.1. Analiza el conjunto solución de una inecuación lineal graficando la regiónrelacionada al sistema:

En esta oportunidad queremos en encontrar el C.S. de un sistema de inecuacioneslineales con 2 incógnitas. Para ello debemos seguir los siguientes pasos:

(1) Esboce la región determina por cada inecuación del sistema.

(2) Intercepte las regiones obtenidas.

(3) La intersección de todas las regiones representa la grafica del sistema.




Esboce la región determinada por el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

1.

)3...(0

)2...(30

)1...(6

y

x

yx

Veamos:

(1) 6 yx

· Graficamos 6 yx y sombreamos 6 yx

Con (0,0) tenemos 0 < 6 (V); luego

sombrearemos la región donde se

encuentra el punto (0,0).

(2) 3030 xxx

· Graficamos 30 xx y sombreamos 30 xx

La grafica correspondiente a la

ecuación x = 0 coincide con el eje Y

y la grafica de x = 3 corresponde

a una recta vertical que pasa por x = 3.

Luego sombremos la región a la derecha

de x = 0 y la región a la izquierda de

x = 3. Observamos que la región es una

franja desde x = 0 hasta x = 3.

x y0 66 0



(3) 0y

· Graficamos 0y (eje X) y sombreamos 0y

La grafica correspondiente a la

ecuación y = 0 coincide con el eje X.

Luego sombrearemos la región que

esta encima del eje X.

Interceptemos las gráficas, esto es debemos seleccionar la región común para

cada inecuación. Así tenemos la grafica:

Esta región sombreada nos indica la grafica del sistema; es decir el C.S.Nótese que la región incluye las rectas que conforman su frontera, en otraspalabras el borde pertenece a la región.


1. Esboce la región determinada por los siguientes sistemas de inecuacioneslineales:

a.

02

1234

yx

yx b.

2

12

yx

yx


Profesor: José A. Sulca M. 12

c.

62

41

y

x

d.1 5

0 4

x

y

e.

0

5

545

x

y

xy

f.

03

07

02

7

y

y

x

yx

g.

03

62

33

x

xy

yx

h.

0

5

y

yx

yx

i.

3

82

1234

y

yx

yx

j.

2

62

42

x

yx

yx

k.

0

4

1238

y

xy

yx

l.

0

0

062

082

y

x

yx

yx

m.

0

0

42

3

y

x

yx

yx

2. Determine la inecuación que corresponde a cada región sombreada:

a. b.



c. e.

d.

b.2. Internalizando la estrategia para analizar el conjunto solución de un sistema deinecuaciones lineales socialmente construidos:

1) ¿Qué entiendes por analizar el conjunto solución de un sistema de inecuacioneslineales?

………………………………………………………….…………………………..

2) ¿En qué consiste la estrategia?

………………………………………………………….…………………………..


c.1. Usa estrategias para analizar el conjunto solución de un sistema de inecuacióneslineales:



Se indica a los estudiantes desarrollar las actividades que se encuentran en elcompendio escolar. El docente absuelve las dudas que se presentaran. Finalmentese procede a colocar un visto bueno a los estudiantes que desarrollaron de maneraadecuada la actividad.

3.3 SESION 3

Calcular los vértices de una región poligonal



Un terreno está limitado por:

Grafique el terreno. Halle las coordenadas de sus esquinas. Halle el perímetro del terreno. Halle el área del terreno.


b.1. Calcula los vértices de una región poligonal resolviendo el sistema asociado deecuaciones lineales:

1. Calcule el vértice de la región poligonal definida por el siguiente sistema deinecuaciones lineales:

3

1

2

4

x y

x y

x y

x y

4 3 6

2 3

3

1

x y

x y

x

y



Para encontrar las coordenadas de los vértices de la región graficamos las rectas:

4x - 3y = -6, 2x + y = 3, x = 3, y = 1

Luego para saber donde se ubica la región poligonal tomamos un punto aleatorio yverificamos en las restricciones. De esto obtenemos la grafica de abajo.

Se observa que la región tiene 4 vértices; encontremos cada uno de ellos a partir delos sistemas de ecuaciones lineales que se forman.

Vértice A:Se forma el sistema (con las rectas que se cortan en el vértice)

Se obtiene A = (3, 1).

Vértice B:Se forma el sistema

Se obtiene B = (3, 6).

Vértice C:Se forma el sistema

Se obtiene C = (3/10, 12/5).

4 - 3 = -6

3x

x y

3

1

x

y

4 - 3 = -6

2 + = 3

x y

x y



Vértice D:Se forma el sistema

Se obtiene D = (1, 1).


1. Calcule el vértice de la región poligonal definida por los siguientes sistemas deinecuaciones lineales:

a.

5

3 0

0

0

x y

y

x

y

b.

2 4

7 5

5

x y

x y

x y

c.

2 6 17

5

1

2

x y

x y

x

y

2. Determine el sistema de inecuaciones lineales que corresponde a la región interiordel:

a. Triangulo de coordenadas (2, 1); (-3, 4) y (1, -2)b. Rectángulo de coordenadas (3, -1); (7, -1); (3, 6) y (7, 6)c. Cuadrilátero de coordenadas (4, 2); (2, 8); (-3, 6) y (0, 0)

b.2. Internalizando las estrategias para calcular los vértices de una región poligonalsocialmente construidas:

2 + = 3

= 1

x y

y



1) ¿En qué consiste hallar el vértice de una región?

……………………………………………………………………………..

2) ¿Podrías mencionar los métodos que existen para resolver un sistema deecuaciones?

……………………………………………………………………………..


c.1. Calcula los vértices de una región poligonal:

Se propone una actividad en el aula para lo cual los estudiantes desarrollaran losproblemas que se encuentran en el compendio. La resolución se dará en una hoja. Enlos problemas de mayor dificultad el maestro intervendrá y ayudará a losestudiantes. Finalmente la hoja se recepciona para ser evaluada.

3.4 SESION 4

Definir y fundamentar el modelo matemático de la programación lineal.




¿Conozco procedimientos para esbozar y determinar los vértices de una

región determinada por un sistema de inecuaciones lineales?

¿Puedo resolver este tipo de problemas sin ayuda?

UN POCO DE HISTORIA

Un día de 1939, George Dantzig (1914 – 2005) llego tarde a suclase de post grado en Berkeley. El profesor había escrito en lapizarra dos ejemplos famosos de problemas estadísticos noresueltos. Dantzig copio los problemas pensando que eran tareapara la casa y unos días después obtuvo soluciones completas.



Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, los estudios de Dantzig en Berkeleyfueron suspendidos y él se convirtió en la cabeza de la rama de Análisis de Combatede la Central Estadística de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos, donde lidio con lalogística de la cadena de abastecimiento y gestión de miles de artículos y personas.

Dantzig, el “padre de la programación lineal”, formulo el enunciado general al que sereducen los problemas de programación lineal. Recibió el premio Von NeumannTheory en 1974 y la Medalla Nacional de Ciencias en 1975.


b.1. Define y fundamenta el modelo matemático de la programación lineal mediante uncuadro sinóptico:

PROGRAMACIÓN LINEAL

Es una técnica que se utiliza en la resolución de problemas donde se busca optimizar

(maximizar y/o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo,

sujeta a un conjunto de restricciones que están expresadas por un sistema

inecuaciones lineales.

MODELO MATEMÁTICO

Un problema de programación lineal presenta el siguiente formato estándar:

El problema consiste en hallar los valores de las variables x e y que optimicen lafunción (I) sujeto a las restricciones (II).

En esta parte se expone la parte teórica de la programación lineal. Paraello se les entregara a los estudiantes una ficha con un cuadro sinópticopara que lo completen a medida que se va explicando.



DEFINICIONES

RReeggiióónn ffaaccttiibbllee..-- Es la representación grafica del conjunto de restricciones. Puede

ser acotada o no acotada.

OOBBSSEERRVVAACCIIÓÓNN:

Si la región factible es acotada, su representación gráfica es un

polígono convexo cuyo número de lados no supera al número de

restricciones.

PPoollííggoonnoo ccoonnvveexxoo PPoollííggoonnoo nnoo ccoonnvveexxoo

SSoolluucciióónn ooppttiimmaa..-- Es el par ordenado situado en la región factible que optimiza la

función objetivo.

FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA

Todo problema de programación lineal se sustenta en el siguiente teorema:

Teorema:

La función objetivo se optimiza en un vértice de la región factible acotada, nunca

en el interior de dicha región. Si la función objetivo se optimiza en dos vértices,

también tomará idéntico valor en todos los puntos del segmento de recta que

determinan estos dos vértices. En el caso de que la región factible no es acotada, la

función objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto; sin embargo,



si lo hace, la solución óptima se encuentra en el vértice de la región.

Del teorema concluimos que solo es necesario investigar la solucion optima en losvertices de la region factible.

Veamos el siguiente ejemplo:

1. MAXIMIZAR la función

f ( x, y ) = 2x + 3y

Sujeto a:

RESOLUCION.-

PASO 1.- Graficar lar restricciones y marcar claramente la región factible

Para graficar las restricciones primero debemos graficar las rectas

4x + 5y = 200, 6x + 3y = 210, x = 0, y = 0

Para saber donde se ubica la región factible tomamos un punto aleatorio yverificamos en las restricciones, por ejemplo tomemos el punto (0, 0). Seobserva que la región factible está limitada por la parte baja de las rectas4x + 5y = 200, 6x + 3y = 210 y las coordenadas del primer cuadrante.

4 5 200

6 3 210

0

0

x y

x y

x

y



PASO 2.- Hallar las coordenadas de los vértices de la región factible

La región tiene 4 vértices y son el (0, 0); (0, 40); (35, 0) y E. Parahallar el vértice E resolvemos el sistema

Se obtiene E = (25, 20) que viene hacer la intersección de las rectas.

PASO 3.- Sustituir las coordenadas de estos vértices en la función objetivo yhallar el vértice que proporcione el máximo valor de la funciónobjetivo

Se observa que la solución óptima que maximiza la función objetivo ocurre enel vértice (0, 40).

b.2. Internalizando las definiciones del modelo matemático de la programaciónlineal socialmente construidas:

1) ¿Qué es programación lineal?

…………………………………………………………………………………..

2) ¿Qué elementos intervienen?

…………………………………………………………………………………..

3) ¿Podrías decir que es una región factible?

…………………………………………………………………………………..

4) Y ¿Qué es una solución optima?

…………………………………………………………………………………..

VERTICE FUNCION OBJETIVO

x y f( x , y) = 2x + 3y

003525

040020

0120 ← Solución optima

70110

21036

20054

yx

yx




Se propone dos actividades para los estudiantes. La resolución se dará en el cuaderno unavez concluida se procede a dar el V.B. de la actividad.

Utilizando el método de los vértices resuelva los siguientes problemas deprogramación lineal:


f ( x, y ) = 4x + 3y

Sujeto a:

RPTA.- La solución óptima que maximiza la función objetivo ocurre en elvértice (20, 60).

2. MINIMIZAR la función

f ( x, y ) = 30x + 40y

Sujeto a:

RPTA.- La solución óptima que minimiza la función objetivo ocurre en elvértice (20, 30).

3.5 SESION 5

Utilizar el método de los vértices.

80

3 2 180

0

0

x y

x y

x

y

2 80

3 2 120

0

0

x y

x y

x

y






¿Conozco algún método para resolver problemas sobre programación lineal?

¿Puedo resolver problemas de programación lineal sin ayuda?

METODOLOGIA (sugerencia)

o Existe un programa llamado ProLin (Programación Lineal) que representa lassoluciones de un sistema de inecuaciones lineales de manera gráfica. Este lopodemos utilizar en la clase de diferentes formas:

Como software educativo se puede instalar en todos los ordenadores de la salade cómputo para desarrollar una clase dirigida en este ambiente.

Por otro lado, se puede solicitar un proyector multimedia y utilizar el programaen el aula para desarrollar la clase.

o También podemos invitar a los alumnos que visiten la dirección en internet:

www.phpsimplex.com/pages/simplex.htm

donde se pueden validar los resultados de los problemas de programación linealdesarrollados en clase.


b.1. Utiliza el método de los vértices resolviendo problemas de programación lineal:



Utilizando el método de los vértices resuelva los siguientes problemas deprogramación lineal:


f ( x, y ) = 3x + y

Sujeto a:

RPTA.- La función objetivo alcanza su máximo valor en el vértice (6, 1).


f ( x, y ) = x + y

Sujeto a:

RPTA.- La función objetivo alcanza su máximo valor en los vértices (0, 5) y(4, 1) y también en cualquiera de los puntos del segmento que generan estosvértices.


f ( x, y ) = x + y

Sujeto a:

RPTA.- En este caso no existe solución óptima que maximice la funciónobjetivo, por lo que puede decirse que el problema carece de solución.

2 13

3 3

0

0

x y

x y

x

y

5

3

0

0

x y

x y

x

y

3

2 2

0

0

x y

x y

x

y



b.2. Internalizando el método de los vértices socialmente construidos:

o Secuencia para utilizar el método de los vértices un problema deprogramación lineal.

Para resolver un problema de programación lineal se sugiere seguir lasiguiente secuencia:

• Representar gráficamente las restricciones y marcar claramente la región

factible.

• Hallar las coordenadas de todos los vértices de la región factible.

• Evaluar la función objetivo en cada vértice.

• Identificar el vértice que optimiza la función objetivo.


c.1. Metacognición:

Se plantea las siguientes preguntas:

1) Sigo correctamente los pasos que me ayudara a resolver problemas sobreprogramación lineal. ¿Necesito observar con mayor atención?

2) ¿Lo hago con rapidez?

3) ¿Crees que la técnica trabajada te servirá en el contexto actual en el que teencuentras?

c.2. Evaluación Escrita:

Se da algunas indicaciones sobre la evaluación que se tomara.

IV. REFERENCIAS PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE

Para el estudiante:

o Matemática 5. Alfonso Rojas.



o Matemática 5. Manuel Coveñas.

Para el profesor:

o Compendio académico de matemática. Academia ADUNI. Lumbreras editores, 2003.

o Álgebra y principios del análisis. Academia César Vallejo. Lumbreras editores, 2002.

V. ANEXOS



PLAN DE SESIÓN DE CLASE

I. DATOS GENERALES

Área / Asignatura : Matemática / Álgebra

Grado / Nivel : Quinto de secundaria

Nombre de la unidad : Programación Lineal

Tema : Aplicaciones de la Programación Lineal

Tiempo de aplicación : Tres semanas (9 horas pedagógicas)

II. OBJETIVOS E INDICADORES DE LOGRO

OBJETIVOS INDICADORES DE LOGRO

o Formular la función objetivo yel conjunto de restriccionescorrespondiente a un problemade programación lineal.

o Aplicar el método deoptimización lineal.

o Orientar las actividadespersonales de los estudiantesen función a interesescolectivos.

o Formula la función objetivo asícomo el conjunto de restriccionesasociadas a un problema deprogramación lineal a través detablas de doble entrada.

o Aplica el método de optimizaciónlineal resolviendo situacionesconcretas propias de laprogramación lineal.

o Realiza actividades priorizando eldesarrollo del colectivo.

III. DESARROLLO DE LA SESIÓN (SISTEMA DE SESIONES)

3.1 SESION 1

Formular la función objetivo y el conjunto de restricciones correspondiente a unproblema de programación lineal





La programación lineal hace historia

En 1946 comienza el largo período de la guerra fría

entre la Unión Soviética (URSS) y las potencias aliadas

(principalmente, Inglaterra y EEUU). Uno de los

episodios más llamativos de esa guerra se produjo a

mediados de 1948, cuando la URSS bloqueó las

comunicaciones terrestres con la ciudad de Berlín desde

las zonas alemanas en poder de los aliados, iniciando el

bloqueo a Berlín. A los aliados se les plantearon dos

posibilidades: o rompían el bloqueo terrestre por la

fuerza, o llegaban a Berlín por aire. Se optó la decisión de demostrar el poder aéreo

norteamericano; a tal efecto, se organizó un gigantesco puente aéreo para abastecer la ciudad.

En diciembre de 1948 se estaban transportando 4500 toneladas diarias de víveres; en marzo de

1949, se llegó a las 8000 toneladas, tanto como se transportaba por vía terrestre antes del corte

de las comunicaciones. En la planificación de los suministros se utilizó la programación lineal.

El 12 de mayo de 1949, los soviéticos levantaron el bloqueo.

¿Qué suministros habrán considerado para abastecer la ciudad?

¿Para optimizar la ayuda que variables tendrían que tener en cuenta?

¿Crees que la programación lineal jugó un papel importante en la solución del problema?


b.1. Formula la función objetivo así como el conjunto de restricciones asociadas a unproblema de programación lineal a través de tablas de doble entrada

3. Formule la función objetivo y el conjunto de restricciones en cada uno de lossiguientes problemas de programación lineal:




1) 10 chicos y 20 chicas están organizando un evento. Para financiarlo

deciden solicitar trabajo por las tardes, a una compañía encuestadora que

contrata a grupos de jóvenes de dos tipos:

• Tipo A: 1 chico y 1 chica.

• Tipo B: 1 chico y 3 chicas.

La empresa abona por una tarde de trabajo S/. 30 al equipo del tipo A y S/. 50

al equipo del tipo B. ¿Cómo les conviene distribuirse para obtener la

mayor cantidad posible de dinero?

RESOLUCION.-

PASO 1: Determinar el objetivo

Queremos encontrar cuántos equipos de cada tipo hay que considerar paraobtener el mayor ingreso posible.

PASO 2: Definir las variables y escribir la función objetivo

Seax: N0 de equipos del tipo Ay: N0 de equipos del tipo B

Como cada equipo del tipo A percibe un ingreso de S/. 30; el ingreso obtenido alhaber x equipos del tipo A será 30x, similarmente como cada equipo del tipo Bpercibe un ingreso de S/. 50; el ingreso obtenido al haber y equipos del tipo Bserá 50y, luego el ingreso total será 30x + 50y.

Así la función objetivo es:

U( x , y) = 30x + 50y

El problema consiste en hallar x e y tal que la función objetivo alcance sumayor valor posible; claro está teniendo en cuenta que las variables están sujetasa restricciones.

PASO 3: Escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones apartir de las variables

Hagamos una tabla donde escribamos toda la información de modo que nosayude a obtener las restricciones.



Análisis:

· En un equipo del tipo A hay 1 chico y 1 chica; por lo tanto para x equiposhabrá x chicos y x chicas.

Similarmente para el equipo del tipo B.

· La cantidad de chicos que trabajan del tipo A y del tipo B es x + y pero porcondición no debe de exceder de 10 chicos; esto se traduce en la inecuación

x + y ≤ 10

· Con igual razonamiento para el equipo del tipo B, se tiene la siguienteinecuación

x + 3y ≤ 20

· Además como se trata de equipos, queda implícito el no considerarcantidades negativas; por tanto se debe escribir

x ≥ 0y ≥ 0

PASO 4: Pasamos el problema a su formato estándar

En resumen el problema consiste en MAXIMIZAR la función

U ( x, y ) = 30x + 50y

Sujeto a las condiciones:

Equipos CantidadN0 de

ChicosN0 deChicas

Tipo A x x x

Tipo B y y 3 y

TOTAL x + y x + 3y

x 0

y 0

x y 10

x 3y 20



2. Una editorial planea producir dos libros de consulta. La utilidad por unidad es deS/.20 por el libro 1 y S/.30 para el libro 2. El libro 1 requiere de 4 horas para suimpresión y 6 horas para su encuadernación. El libro 2 requiere 5 horas paraimprimirse y 3 horas para encuadernarse. Se dispone de 200 horas para imprimiry de 210 horas para encuadernar. Determine la máxima utilidad.

RESOLUCION.-

PASO 1: Determinar el objetivo

Queremos hallar cuántos libros de cada tipo hay que producir para obtener lautilidad máxima.

PASO 2: Definir las variables y escribir la función objetivo

Seax: N0 de libros del tipo 1 producidosy: N0 de libros del tipo 2 producidos

Como cada libro del tipo 1 produce una utilidad de S/.20; la utilidad obtenida alproducir x libros del tipo 1 será 20x, similarmente como cada libro del tipo 2produce una utilidad de S/.30; la utilidad obtenida al producir y libros del tipo 2será 30y, luego la utilidad total será 20x + 30y.

Así la función objetivo es:

U( x , y) = 20x + 30y

El problema consiste en hallar x e y tal que la función objetivo sea máximo;teniendo en cuenta que las variables están sujetas a restricciones.

PASO 3: Escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones apartir de las variables

Hagamos una tabla donde escribamos toda la información de modo que nosayude a obtener las restricciones.

Libros CantidadHoras deimpresión

Horas deencuadernado

Tipo 1 x 4 x 6 x

Tipo 2 y 5 y 3 y

TOTAL 4x+5y 6x + 3y



Análisis:

· Para imprimir un libro del tipo 1, se necesitan 4 horas; por lo tanto para xlibros se necesitaran 4x horas. Para encuadernar un libro del tipo 1, se necesita 6horas; por lo tanto para x libros se necesitan 6x horas.· Similarmente para imprimir un libro del tipo 2.

· El tiempo necesario para imprimir libros del tipo 1 y libros del tipo 2 es4x + 5y pero por requisito no debe de exceder de las 200 horas; esto se traduceen la inecuación

4x + 5y ≤ 200

· Con igual razonamiento para el encuadernamiento, teniendo lasiguiente inecuación

6x + 3y ≤ 210

· Además como se trata de libros, queda implícito el no considerar cantidadesnegativas; por tanto se debe escribir

x ≥ 0y ≥ 0

PASO 4: Pasamos el problema a su formato estándar

En resumen el problema consiste en MAXIMIZAR la función

U ( x, y ) = 20x + 30y

Sujeto a las condiciones:


3. Un taller de armado de computadoras produce dos modelos de las mismas quellamaremos modelo I y modelo II. El modelo I requiere 1 horas de mano de obraespecializada y 2 horas de mano de obra no especializada. El modelo II requiere1 hora de mano de obra especializada y 1 hora de no especializada. Se disponende 120 horas de mano de obra especializada y 200 horas de mano de obra noespecializada por semana. El modelo I produce una utilidad de $60 por unidad yel modelo II de $30 por unidad. ¿Cuántas posibilidades de obtener máximasutilidades existen?

0

0

106

20054

y

x

23yx

yx



RESOLUCION.-

Llamemos:x: número de computadoras del modelo I fabricadas por semanay: número de computadoras del modelo II fabricadas por semana

Como las utilidades de cada modelo son $60 y $30 respectivamente, la funciónganancia será:

G(x,y) = 60x + 30y (función objetivo)

Restricciones:

x + y ≤ 120

x + y ≤ 200

x ≥ 0

y ≥ 0

4. Una persona debe cumplir una dieta que le exige consumir por semana al menos1 Kg. de carbohidratos y ½ Kg. de proteínas. Para ello cuenta con dos alimentosque llamaremos A y B que están constituidos exclusivamente por carbohidratosy proteínas. El alimento A contiene 90% (en peso) de carbohidratos y el resto deproteínas, mientras que el alimento B contiene 60% de carbohidratos y el restode proteínas. El alimento A cuesta $20 por Kg. y el alimento B, $40 por Kg.¿Qué cantidad de cada alimento deberá consumir la persona para que el costo desu dieta sea mínimo?

RESOLUCION.-

Llamemos:x: cantidad de Kg. por semana del alimento Ay: cantidad de Kg. por semana del alimento B

Como el alimento A cuesta $20 por Kg y el alimento B $40 por Kg. tendremosque el costo de la dieta por semana es:

C(x,y) = 20x + 40y

Restricciones:

0,9x + 0,6y ≥ 1

0,1x + 0,4y ≥ 0,5

x ≥ 0

y ≥ 0



b.2. Internalizando las estrategias para formular la función objetivo y el conjunto derestricciones en un problema de programación lineal socialmente construidos:

o Estrategia para plantear la función objetivo y el conjunto de restricciones en unproblema de programación lineal.

Para plantear un problema de programación lineal en dos variables, se

sugiere seguir los siguientes pasos:

• PPAASSOO 11..-- Leer detenidamente el enunciado del problema.

• PPAASSOO 22..-- Determinar que se pide en el problema.

•• PPAASSOO 33..-- Definir las variables y escribir la función objetivo.

•• PPAASSOO 44..-- Escribir el sistema de inecuaciones que determinan las

restricciones a partir de las variables por medio de un cuadro de doble

entrada..

• PPAASSOO 55..-- Expresar el problema en su formato estándar.


c.1. Usa estrategias para formular la función objetivo y el conjunto de restricciones en unproblema de programación lineal:

Se propone una actividad grupal para lo cual los estudiantes desarrollaran 4problemas del compendio escolar. La resolución de los problemas se dará en elcuaderno y se realizara de la siguiente manera:

o Se formara grupos de 5 integrantes y se asignara como responsable a 2estudiantes (de mayor nivel) para que apoyen y guíen a sus compañeros enel desarrollo de la actividad. En los problemas de mayor dificultad el docenteintervendrá y ayudará a los estudiantes.

o Paulatinamente se indicara los problemas a desarrollar. Luego se procederá acolocar el V.B. a los estudiantes que completaron la actividad

o Finalmente 4 estudiantes plantean la resolución de los problemas en la pizarray exponen ante sus compañeros.



c.2. Integrando áreas:

HISTORIA:Investiga el contexto histórico social que vivió George B. Dantzig.

3.2 SESION 2

Aplicar el método de optimización lineal




¿Recuerdas las estrategias utilizadas en la resolución de problemas queinvolucran la programación lineal?

¿Puedes indicar algunas de estas? ¿En que medida se podrán aplicar estas en la resolución de situaciones reales?


b.1. Aplica el método de optimización lineal resolviendo situaciones concretas propias dela programación lineal:

4. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de programación lineal:

1. Un comerciante acude al mercado de frutas a comprarnaranjas con S/. 1 300. Le ofrecen dos tipos de naranjas:las de jugo a S/. 1,8 el kilogramo y las de mesa a S/.2,6 el kilogramo. Sabiendo que en su camioneta sólodispone con espacio para transportar 700 kg de naranjascomo máximo y que piensa vender el kilogramo denaranjas de jugo a S/. 2,5 y el kilogramo de las de mesa aS/. 3,5 ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipodeberá comprar para obtener la máxima ganancia? ¿Cuálserá esa máxima ganancia?



RESOLUCION.-

Asignación de variables

Sea:x: kilogramos de naranjas de jugoy: kilogramos de naranjas de mesa

Función objetivoMaximizar F(x, y) = 0,7x + 0,9y

Restriccionesx + y ≤ 700

1 ,8x + 2,6y ≤ 1 300x ≥ 0y ≥ 0

Grafica

Máxima ganancia

F(650; 50) = 0,7·650 + 0,9·50 = 500 soles

Luego se debe comprar 650 kg de naranjas de jugo y 50 kg de naranjas de mesa.

2. Un granjero debe suministrar al día a sus animales un mínimo de30 mg de vitamina B12, 20 mg de vitamina A y 30 mg de vitaminaC a través de los alimentos concentrados Vitatone y Creceplus. Elcuadro de abajo indica la cantidad de vitaminas, en miligramos,que contiene cada kilogramo de alimento concentrado. Si elkilogramo del concentrado Vitatone cuesta S/. 10 y del CreceplusS/. 12 ¿Cuántos kilogramos de cada alimento debe mezclar paraque el costo sea mínimo? ¿Cuál será el costo, por kilogramo, deesta mezcla?



Vitatone Creceplus

B12 3 4

A 4 2

C 5 6

RESOLUCION.-


Sea:x: número de kilogramos de alimento concentrado Vitatoney: número de kilogramos de alimento concentrado Creceplus

Organización de la información

Tipo de alimento Dieta mínima

(en miligramos)

Vitatone Creceplus

B12 3 4 30

A 4 2 20

C 5 6 30

Costo porkilogramo

S/. 10 S/. 12

Planteamiento de la función objetivo y de las restricciones, a partir de los datos dela tabla:

1 12, 0F x y x y

Determinando los vértices de la región factible

Grafiquemos el sistema

3

2

3

0

0

3 4 0

4 2 0

5 6 0

x y

x y

x y

x

y

3

3

0

0

3 4 0

2 10

5 6 0

x y

x y

x y

x

y



Determinando la solución óptima

En A: F(10; 0) = 10(10) + 12(0) = 100En B: F( 2; 6) = 10(2) + 12(6) = 92 Costo mínimo

En C: F( 0; 10) = 10(0) + 12(10) = 120

Luego para minimizar los costos, el granjero debe mezclar 2 kg de alimentoconcentrado Vitatone y 6 kg de Creceplus. El costo será de 92/8 = S/. 11,5 porkilogramo de mezcla.

b.2. Internalizando las estrategias para aplicar el método de optimización linealsocialmente construidos:

1) ¿En qué consiste el método de optimización lineal?

………………………………………………………..........……………………….

2) Mencione qué tópicos del álgebra se han utilizado para resolver problemas deprogramación lineal

……………………………………………..………………..………………………..




c.1. Usa estrategias para aplicar el método de optimización lineal:

Se propone una actividad en el aula para lo cual los estudiantes desarrollaran losproblemas que se encuentran en el compendio. La resolución se dará en una hoja. Enlos problemas de mayor dificultad el maestro intervendrá y ayudará a losestudiantes. Finalmente la hoja se recepciona para ser evaluada.

c.2. Propone situaciones problémicas que implican utilizar el método de optimización:

Responde:

1) De 2 ejemplos en las que se puede aplicar las estrategias estudiadas.

……………………………………………………………………..………………..

2) Formula 1 problema de una situación concreta en la empleas estas estrategias deoptimización.

3.3 SESION 3

Aplicar el método de optimización lineal




¿Conozco estrategias para resolver problemas sobre programación lineal? ¿Puedo resolver problemas de programación lineal sin ayuda? ¿En qué campos se puede aplicar la programación lineal?

Como sabemos, en un comienzo la aplicación de la programación lineal estuvo

concentrada en las operaciones de planificación militar, sin embargo estos

modelos emigraron rápidamente hacia la industria. Hoy día con el aumento de las

capacidades computacionales más y más empresas tienen acceso a las ventajas de

los modelos de programación lineal. Modelos en los bancos, en la planificación,

en el diseño de computadores y redes, en modelos médicos son algunos ejemplos

importantes de las aplicaciones posibles de la programación lineal. A

continuación, se muestra brevemente algunos de los múltiples campos de acción

en los que se aplica los conocimientos de la programación lineal.



Asignación de la Flota de Aviones: Normalmente el departamento de

marketing de las aerolíneas entrega una planificación

para la conexión entre diferentes ciudades, considerando

la demanda, costos de operación, para cada tipo de

aeronave. Los modelos lineales se han usado para

planificar para cada aeronave una secuencia de tiempo,

aeropuertos buscando maximizar las ganancias y la satisfacción de los

clientes.

Planificación de la expansión de redes de telecomunicaciones: Las

compañías de telecomunicaciones están obligadas a

modernizarse y a expandir continuamente sus redes a

una tasa rápida para poder satisfacer la demanda

siempre creciente de clientes. Ellos deben decidir

entre usar cables dedicados para cada circuito

requerido o usar multiplexores, switches remotos o terminales de fibra óptica.

Los modelos lineales se han usado para minimizar el costo total de la

expansión e instalación de la red.

Agricultura: Los agricultores deben localizar áreas de plantación sujetas a

varias restricciones como subsidios del gobierno, disponibilidad de capital y

de mano de obra, riego, transporte y uso de equipamiento. Basado en un

conjunto razonable de expectativas de precios se usó

la programación lineal para desarrollar un plan de uso

de la tierra y control de stock buscando la

maximización de ganancias anuales. El resultado de

los análisis de sensibilidad le da ciertas herramientas

al agricultor para responder al "qué hacer si.." y asi

planificar en mejor forma.

La industria diaria: En las plantas procesadoras de leche, muchos productos

se producen directamente de la leche procesada incluyendo varios tipos de

leche, quesos, mantequilla y leche en polvo. Y otros

productos como la crema y la lactosa se producen

usando un segundo proceso. Cada día los

administradores de esas plantas deben tomar

decisiones de planificación para el flujo de producto,

equipo, asignación de personal, y transporte. Los

modelos lineales se han usado para determinar la

planificación de la producción óptima que toma en cuenta las limitaciones de

la capacidad de los equipos, demanda, flujo de producto.

Distribución de materia prima: A causa de las condiciones económicas, el



corte de los árboles y su transporte a las fábricas es de

gran complejidad. Por ello, se crearon modelos de

programación lineal para lograr la asignación de

choferes a camiones de modo que cumplieran visitas a

las fábricas buscando que el modelo global

minimizara los costos. Todo ello bajo restricciones de

horas de trabajo por chofer, de horarios de atención de

las fábricas y de condiciones de la ruta.


b.1. Aplica el método de optimización lineal resolviendo situaciones concretas propias dela programación lineal:

5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de programación lineal:

1. Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceite utilizandouna marca conocida C, así:

"Pague sólo S/. 2,50 por el litro de aceite C y S/.1,25 por el litro de aceite D siempre y cuandocompre en total 6 litros o más y la cantidadcomprada de aceite C esté comprendida entre lamitad y el doble de la cantidad comprada de aceiteD".

Si disponemos de S/. 31,25 y nos acogemos a la oferta ¿Cuál es la mínima cantidadde aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?

RESOLUCION.-


Sea:x: litros comprados de aceite Cy: litros comprados de aceite D

Función objetivo

Maximizar F(x, y) = 2,50x + 1,25y



Restriccionesx + y > 6

y ≤ 2xx ≤ 2y

2,50x + 1 ,25y ≤ 31,25x ≥ 0y ≥ 0

Grafica

Mínima y máxima ganancia

La mínima cantidad de aceite D que debemos comprar acogiéndonos a la oferta es elpunto (4; 2) y la máxima cantidad de aceite C es (l0; 5).

Conclusión, la mínima cantidad de D es 2 litros y la máxima de C es 10 litros.

2. Dos talleres T1 y T2 producen 40 y 50 unidades,respectivamente, de un determinado producto. Ellos debenabastecer a tres supermercados: S1, S2 y S3, que necesitan20; 45 y 25 unidades, respectivamente. El costo deltransporte de cada taller a cada supermercado, en nuevossoles por unidad, viene dado en el cuadro de abajo. ¿Cómodebe organizarse el transporte para que el costo sea elmínimo?

Talleres S1 S2 S3

T1 5 4 3

T2 3 1 4



RESOLUCION.-


Sea:x: número de unidades que se transportan de T1 a S1y: número de unidades que se transportan de T1 a S2

Organización de la información

SUPERMERCADOS

S1 S2 S3 Total

Taller 1 x y 40 – (x + y) = 40 – x – y 40

Taller 2 20 - x 45 - y 25 – [40 – (x + y)] = x + y – 15 50

Total 20 45 25 90

Planteamiento de la función objetivo y de las restricciones, a partir de los datos dela tabla:

El costo del transporte lo obtenemos sumando los productos de cada cantidad deunidades transportadas con sus respectivos precios unitarios (usamos la tabla decosto de transporte por unidad). Así:

F(x, y) = 5x + 4y + 3[40 - x - y] + 3(20 - x) + 1(45 - y) + 4(x + y - 15) = 3x + 4y + 165

Por tanto, el problema se reduce a minimizar F(x, y) = 3x + 4y + 165

Sujeto a:

-

-

- -

0

0

20 0

45 0

40 0

15 0

x

y

x y

x y

x

y

+

0

0

20

45

40

15

x

y

x y

x y

x

y



Determinando los vértices de la región factible

Grafiquemos el sistema

Determinando la solución óptima

En A: F(15; 0) = 3(15) + 4(0) + 165 = 210 Costo mínimoEn B: F(0; 15) = 3(0) + 4(15) + 165 = 225En C: F(0; 40) = 3(0) + 4(40) + 165 = 325En D: F(20; 20) = 3(20 + 4(20) + 165 = 305En E: F(20; 0) = 3(20) + 4(0) + 165 = 225

La función objetivo se minimiza en (l5; 0), cuando x = 15 e y = 0. Luego lascantidades que se deben transportar se muestran en el cuadro de abajo.

S1 S2 S3

T1 15 0 25

T2 5 45 0


c.1. Usa estrategias para aplicar el método de optimización lineal:

Se propone una actividad grupal para lo cual los estudiantes desarrollaran losproblemas del compendio escolar. La resolución de los problemas se dará en elcuaderno y se realizara de la siguiente manera:



o Se formara grupos de 5 integrantes y se asignara como responsable a 2estudiantes (de mayor nivel) para que apoyen y guíen a sus compañeros enel desarrollo de la actividad. En los problemas de mayor dificultad el docenteintervendrá y ayudará a los estudiantes. Luego se procederá a colocar elV.B. a los estudiantes que completaron la actividad. Finalmente unrepresentante de cada grupo plantean la resolución de los problemas en lapizarra y exponen ante sus compañeros.

c.2. Metacognición:

Se plantea las siguientes preguntas:

1) Selecciono correctamente la estrategia que me ayudara a resolver problemas deprogramación lineal.

2) Aplico con cuidado las estrategias.

3) Efectuo con precisión los procedimientos.

c.3. Evaluación Escrita:

Se da algunas indicaciones sobre la evaluación que se tomara.

IV. REFERENCIAS PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE

Para el estudiante:

o Reto. mate 5. Editorial Norma.

o Símbolos 5. Editorial Santillana.

Para el profesor:

o Compendio académico de matemática. Academia ADUNI. Lumbreras editores, 2003.

o Álgebra y principios del análisis. Academia César Vallejo. Lumbreras editores, 2002.

V. ANEXOS

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