Matrices

Dimensión o el orden de la matriz

nm

2ª columna

3ª fila

èçççççæ

ø÷÷÷÷÷ö a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna

Matrices

El nùmero de filas y columnas de la matriz

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ….. y los elementos de las mismas con letras minúsculas a, b, c, …..

Ej.

32A = 6 3 57 8 4

Donde sus filas son:

Y sus columnas:

6 3 5 7 8 4y

67

3

8

5

4

, y

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:

1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.

3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden agrupar en una matriz

2 1 1

1 1 1

1 1 0

Expresión matricial: ejemplo

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A * = èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial: èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3

1 –4 1 èççæ

ø÷÷ö x

y z

= èççæ

ø÷÷ö 1

– 2

2 z 4y - x

1352 zyxEl sistema

Matrices especiales

Matriz Cuadrada:

A matriz cuadrada si m = n

A= 4 13 2

Matriz Rectangular:

A= 1 6 42 5 9 Una matriz de orden mxn se

denomina rectangular si el numero de filas es diferente de

numero de columnas

Tipo de matrices

FilaAquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n

Columna

Rectangular

Ej.

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

Traspuesta

Opuesta La matriz opuesta es aquella que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

Nula Es una matriz donde todos sus elementos son nulos

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At ó AT

Ej.

0 00 0

Matriz Identidad

I =1 0 00 1 00 0 1

Solo tiene al 1 en la diagonal principal

Matriz Fila

A = 5 4 10Es la que pode una matriz de orden “ 1 x n “, es decir posee

una sola fila.

1 x 3

Matriz Columna

A = 2050700

Es la que pode una matriz de orden “ n x 1” , es decir posee

una sola columna1 x 3

Operaciones con matrices

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número

Producto de matrices

Matrices inversibles

Propiedades simplificativas

1.- Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:

1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades

I. Para la matriz A, (At)t = A

II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt

III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At

IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At

V. Si A es una matriz simétrica, At = A

Propiedades:

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Ejemplo: Si A =

èççæ

ø÷÷ö 1 2 3

4 5 6 t =

èççæ

ø÷÷ö 1 4

2 5 3 6

A

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij)

La matriz suma como: A+B=(aij+bij )

A=3 2 54 1 05 0 1

B=2 1 13 0 14 2 o

A+B=3+24+35+4

2+11+00+2

5+10+11+0

=5 3 67 1 19 2 1

A-B=

3-24-35-4

2-11-00-2

5-10-11-0

=1 1 41 0 -11 -2 1

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas, ya que se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices

Ej.

Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:A + 0 = ADonde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:A + (-A) = OLa matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están

cambiados de signo.

Conmutativa:A + B = B + A

Propiedades de la suma de matr ices

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

Producto de un número por una Matriz

k . A = k . (aij) = k·èççæ

ø÷÷ö a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

= èççæ

ø÷÷ö ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij)

Propiedades con la suma y el producto por un número

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

• Elemento neutro: 1 · A = A

• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Producto de matrices

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p

Ej. A =

1 0 2-1 3 1 B =

3 14 11 0

A x B =(1 . 3 + 0 . 2 + 2 . 1)

(-1 . 3 + 3 . 2 + 1 . 1) (-1 . 1 + 3 . 1 + 1 . 0)

(1 . 1 + 0 . 1 + 2 . 0) 5 14 2=

¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(aij)m,n . (bij)n,p =

Posible

filas

columnas

(cij)m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de la primera matriz con el número de filas de la segunda matriz.

Producto de matrices: Desarrollo

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1

. b1j + ai2. b2j + ... + ain

. bnj

El producto de la matriz

A = (aij) =

èççççæ

ø÷÷÷÷ö

a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

por la matriz

B = (bij) =

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

......

..........

......

......

......

Ejemplo: producto de matrices

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij)2,3 . (bij)3,3 =

productoposible

(cij) 2, 3

A · B = èççæ

ø÷÷ö 2 1 –1

3 –2 0 .

èççæ

ø÷÷ö 1 2 0

1 0 –3

0 1 –2

= èççæ

ø÷÷ö 3 3 –1

1 6 6

1. El producto de A = èçæ

ø÷ö 2 1 –1

3 –2 0 por la matriz B =

èçæ

ø÷ö 1 2 0

1 0 –3 0 1 –2

cada fila de A por cada columna de B.

se obtiene multiplicando

Asociativa:A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:A · I = ADonde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

Distributiva del producto respecto de la suma:A · (B + C) = A · B + A · C

Propiedades del producto de matrices

Producto: Potencia de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.

An = A . A . ........... . An veces

Ejemplo:÷÷ø

öççè

æ=

10

11A ÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=×=

10

21

10

11

10

11AAA2

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=×=

10

31

10

21

10

11AAA 23 ÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ×÷÷

ø

öççè

æ=×=×××=

10

41

10

31

10

11AAAAAAA 34

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ -÷÷ø

öççè

æ=×==

10

1

10

11

10

11AAAAA 1-

veces-

nnn

n

n

321 L

GRACIAS POR SU ATENCIÒN