Sesión 4 Sistema de Coordenadas

7/23/2019 Sesión 4 Sistema de Coordenadas

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-4-sistema-de-coordenadas 1/22

UniversidadNacional de

Trujillo

SISTEMA DE COORDENADAS



Página 1

ÍNDICE GENERAL

I. SISTEMA DE COORDENADAS

A. Clasificación de los sistemas coordenados 3

B. Sistemas de coordenadas cartesianas

B.1. Sistema de coordenadas astronómico local 4

B.2. Sistema de coordenadas geodésico local 7

B.3. Sistema de coordenadas cartesiano geocéntrico 9

C. Sistemas de coordenadas curvilíneas

C.1. Sistema de coordenadas esféricas 11

C.2. Sistema de coordenadas geodésicas 14

C.3. Sistema de coordenadas astronómicas 15

II. SISTEMA DE COOREDENAS INERCIAL 19



Página 2

En cualquier espacio afín euclideo, definido un sistema de referencia, se puede recurrir a diferentes sistemas de coordenadas para parametrizar elespacio, para expresar la posición de cualquier punto.

Un sistema de coordenadas es una creación artificial para permitir la

definición analítica de un objeto o de un fenómeno. Existen múltiplesopciones para definir analíticamente la situación geométrica de un elemento y por tanto, es posible elegir entre diferentes sistemas de coordenadas.

Desde el punto de vista puramente matemático cualquier sistemas decoordenadas es admisible. Desde un punto de vista práctico la única razón para seleccionar un sistema de coordenadas en particular suele ser el hecho deque una determinada cuestión objeto de estudio aparezca en su forma más

simple, geométricamente interpretable y susceptible de ser medida.



Página 3

A. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS COORDENADOS

Dado un sistema de referencia geodésico, la posición espacial de un punto se

puede expresar según distintos sistemas de coordenadas que en geodesia seacostumbra a clasificar según diversos criterios:

En función de la situación del origen:

Sistemas de coordenadas geocéntricos. Son sistemas de coordenadascuyo origen se en-cuentra situado en el centro de masas terrestre.

Sistemas de coordenadas casi geocéntricos. Son sistemas de coordenadas

cuyo origen está situado en las proximidades del centro de masasterrestre, pero no exactamente en él.

Sistemas de coordenadas topo céntricos. Son sistemas de coordenadascuyo origen está situado en algún punto de la superficie terrestre.

En función del tipo de coordenadas:

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cartesianas tridimensionales globales, (X; Y; Z).

Coordenadas cartesianas tridimensionales locales, (x; y; z), que enalgunas ocasiones se denotan como (e; n; u)1.

Coordenadas curvilíneas:

Coordenadas esféricas (;; r), (; ),(; ).

Coordenadas astronómicas, (;; W ).

Coordenadas en una proyección cartográfica: Coordenadas sobre una proyección cartográfica junto a altitud

ortométrica ((x; y); H). Coordenadas sobre una proyección cartográfica junto a altitud

elipsoidal ((x; y); h).



Página 4

B. SISTEMA DE CORDENADAS CARTESIANAS

Dado un sistema de referencia del espacio afín euclídeoel sistema de coordenadas cartesianas estándar se define de manera que la

posición de un punto se expresa por la proyección de su vector de posiciónOX, definido por el punto origen y el propio punto, sobre los ejescorrespondientes a los tres vectores de la base elegida:

Siendo (,2,3) las coordenadas del

punto. Otras notaciones utilizadas para lascoordenadas (x, y, z) o (, 2, 3).

B.1. SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÍMICO LOCAL

Todas las técnicas clásicas de observación geodésica se realizan coninstrumental que materializa físicamente la dirección del vector de lagravedad o vertical astronómica del lugar. El sistema de coordenadasinstrumental más empleado en geodesia se denomina sistema astronómicolocal y, se define de la siguiente forma:

Origen en el punto i de estacionamiento, pudiendo corresponder alcentro del instrumento de medición o a la materialización del punto enel terreno.

Eje z según la dirección del vector gravedad en i con sentido positivo

cenital.

Eje y tangente a la superficie equipotencial que pasa por i con sentido positivo al norte astronómico.



Página 5

Eje x tangente a la superficie equipotencial que pasa por i con sentido positivo al este astronómico, de manera que junto a los otros ejescompleta una terna dextrógira, o a derechas.

El dominio de las coordenadas cartesianas es R.El vector definido por el punto de estación i y el punto visado j se sueleexpresar tanto en coordenadas cartesianas como en coordenadas polares. Lascoordenadas polares, directamente relacionadas con las técnicas clásicas deobservación geodésica:

La relación entre las coordenadas polares y las correspondientes coordenadascartesianas, resultan:

Paso de coordenadas polares a cartesianas:



Página 6

Paso de coordenadas cartesianas a polares:

El sistema de coordenadas astronómico local es muy útil para expresar las

mediciones efectuadas desde el punto origen y para expresar incrementos decoordenadas respecto al mismo, pero no es válido como sistema de referencia para un levantamiento topográfico. La razón es que eje z sigue siempre ladirección del vector gravedad y éste, normal a la superficie equipotencial que pasa por el punto de estación i, sigue una dirección diferente en cada punto.Por tanto, al desplazar el origen, el sistema de coordenadas experimentará unarotación, cuya magnitud dependerá de la curvatura que presenten lassuperficies equipotenciales del campo gravitatorio. Es decir, que un sistemaastronómico local es único para cada punto y solamente sirve para referir las

mediciones efectuadas desde él.

Es frecuente en topografía definir un sistema de referencia directamenterelacionado con el sistema de coordenadas astronómico local. Dada una zonade actuación de dimensiones reducidas, se define el sistema de referencia a partir de materializar un punto origen en el terreno, que habitualmente dominael horizonte de la zona, al que se dota de coordenadas cartesianastridimensionales arbitrarias lo suficientemente grandes como para evitar la

aparición de coordenadas negativas en el cálculo, obteniéndose una traslacióndel origen del sistema de referencia. Como dirección del eje z se toma elmismo del sistema de coordenadas astronómico local para el puntomaterializado, la dirección del eje principal de un teodolito correctamenteestacionado en el punto con sentido positivo cenital, y el eje y se define a partir de una dirección materializada en el terreno en la que la puntería



Página 7

realizada con el teodolito está lo suficientemente definida (una veleta, unaantena), de manera que será recuperable en cualquier observación posterior. Ellevantamiento topográfico en el sistema de referencia definido pasa por dotarde coordenadas a los puntos objeto de representación a partir del paso de las

coordenadas polares observadas a coordenadas cartesianas. De igual forma, elreplanteo de puntos en el terreno cuyas coordenadas se han obtenido a partirdel diseño sobre la representación resultado del levantamiento. El errorintroducido tanto en la planimetría como en la altimetría por la curvatura delas superficies equipotenciales se corrige a partir de sencillas modelizaciones para las mismas, considerándolas habitualmente esféricas con un radioterrestre del orden de 6370 km.

B.2. SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICO LOCAL

El sistema de coordenadas geodésico local es similar al sistema astronómicolocal excepto que la dirección del eje z viene determinada por la normal alelipsoide o vertical geodésica, y se define según:

Origen en el punto i de estacionamiento, pudiendo corresponder alcentro del instrumento de medición o a la materialización del punto enel terreno.

Eje z según la dirección de la normal al elipsoide que pasa por i consentido positivo hacia el exterior de la superficie del elipsoide.

Eje y según la dirección resultante de la intersección del plano perpendicular al eje z con el plano que contiene al eje de rotación delelipsoide y al eje z, con sentido positivo al norte geodésico, es decir, ejey según la dirección de la meridiana geodésica y sentido positivo alnorte.

Eje x perpendicular a los dos anteriores con sentido positivo al este

geodésico, de manera que completa con los otros dos ejes una ternadextrógira, o a derechas.

Este sistema de coordenadas puede considerarse una aproximación del sistemaastronómico local dado que la diferencia en dirección entre los ejes z y xdepende del ángulo que forman en el punto origen la vertical astronómica y la



Página 8

vertical geodésica, ángulo denominado desviación de la vertical que seráestudiado posteriormente. Si el valor de la desviación de la vertical no superaalgunos segundos y la precisión del sistema de nivelación del instrumental demedición angular empleado es del mismo orden o inferior, ambos sistemas

pueden utilizarse indistintamente en la mayoría de los casos sin pérdida de precisión.

Al igual que en el sistema de coordenadas astronómico local, en el sistema decoordenadas geodésico local el vector definido por el punto origen y cualquierotro punto observado con un instrumento se puede expresar en coordenadas polares o cartesianas,.

Para distinguir las coordenadas astronómicas de las geodésicas se considerará

la siguiente notación:



Página 9

B.3. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANOGEOCÉNTRICO

A diferencia de los sistemas de coordenadas topocéntricos, astronómico

local y geodésico local, de carácter local y especialmente útiles para referir lasmediciones clásicas, el sistema de coordenadas cartesiano geocéntrico seestablece para expresar la posición absoluta respecto al sistema de referenciageodésico de cualquier punto de la superficie terrestre.

El sistema de coordenadas cartesiano geocéntrico se define, a partir de:

Origen en el geocentro. Eje Z coincidente con el eje de rotación y perpendicular al plano XY ,

plano del ecuador. Eje X en el plano Z = 0, orientado en la dirección del meridiano deGreenwich.

Eje Y en el plano Z = 0, perpendicular a los dos anteriores y con sentidotal que completa con ellos una terna dextrógira.



Página10

C. SISTEMA DE CORDENADAS CURVILÍNEAS

La posición de un punto en el espacio afín euclídeo tridimensional sedetermina a partir de tres coordenadas, de tres parámetros, a partir de una

tripleta de números reales, (x1; x2; x3), que es asignada de modo único adicho punto. Existen múltiples modos de asignar esas tres coordenadas y cadauno de ellos constituye un sistema de coordenadas. Manteniendo constantesdos de las tres coordenadas, la variación de la tercera representa una curva enel espacio euclídeo. A dicha curva se la denomina línea coordenada o curva paramétrica. De esta forma, por cada punto siempre pasan tres líneascoordenadas L1; L2; L3; también denominadas x1-curva, en la queúnicamente varía x1, x2-curva, en la que únicamente varía x2, y x3-curva, enla que únicamente varía x3:

Elegida una parametrización del espacio afín euclídeo tridimensional, si lastres líneas coordenadas son rectas el sistema de coordenadas definido se

denomina sistema de coordenadas cartesianas. Si al menos una de las curvas paramétricas no es una recta el sistema de coordenadas definido es un sistemade coordenadas curvilíneas.



Página11

C.1. SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

A partir de un sistema de coordenadas cartesiano geocéntrico se pueden

definir, un sistema de coordenadas esféricas o polares (;; r):

distancia polar o ángulo que forman el eje Z y el vector de posicióndel punto, es la denominada distancia polar. Su dominio se suele

establecer en: 0 < < .

ángulo que forma el plano de…nido por contener al eje Z y al vector

de posición del punto, plano meridiano del punto, con el plano Y = 0, esla denominada coordenada longitud. Su dominio se suele establecer en:

- < <=. r módulo del vector de posición del punto. Su dominio es R+

Las líneas coordenadas son:

-curva: circunferencias paralelas al plano Z = 0, y tienen por radio

r(sin).

-curva: circunferencias que contienen el eje Z, al punto y tienen porradio r.

r-curva: línea recta que contiene al punto y al origen del sistema decoordenadas cartesianas.

La relación directa y recíproca entre las coordenadas cartesianas geocéntricasy las coordenadas esféricas se deduce:

Este sistema de coordenadas se emplea en ciertas aplicaciones geodésicas perosu uso es más extendido en astronomía de posición dejando indeterminada lacoordenada r al no utilizarse la distancia a los astros, de manera que lasituación de una estrella queda definida por su dirección, dada por las

coordenadas y , que reciben un nombre y una notación diferente



Página12

dependiendo del plano fundamental escogido para referir el sistema decoordenadas. Se dividen en sistema de coordenadas ecuatoriales absolutas ysistema de coordenadas eclípticas.

Sistema de coordenadas ecuator iales absolutas: Tradicionalmente la situación de las estrellas respecto a la Tierra se hadefinido mediante coordenadas ecuatoriales absolutas. Estas coordenadas

emplean como plano fundamental el ecuador celeste o plano queconteniendo al geocentro es perpendicular al CEP. Las coordenadas deeste sistema son:

Ascensión recta, . Ángulo medido en sentido directo a lo largo

del ecuador celeste entre la dirección del punto ( Aries ) y el

meridiano del objeto celeste. Obsérvese que equivale a en la

notación general. Su dominio se suele establecer en: 0 <= < 2.

Declinación, . Ángulo que va desde el ecuador celeste hasta elobjeto considerado medido en el meridiano celeste de éste último.

Observese que = 90 - relaciona la declinación con la distancia

polar de la notación general. Su dominio se suele establecer en: /2

< < /2.



Página13

Sistema de coordenadas eclípticas: Tanto las direcciones determinadas por las coordenadas ecuatorialesabsolutas como las situaciones definidas por las coordenadas cartesianasgeocéntricas asociadas al CEP presentan una variación temporal debido alos fenómenos de precesión y nutación. Éstos fenómenos obligan al CEPa variar su dirección en el espacio y, en consecuencia, producen una

variación en las coordenadas a él referidas. Por ello es necesario definirel sistema de coordenadas eclípticas.

El plano fundamental en el sistema de coordenadas eclípticas loconstituye la eclíptica o plano orbital de la Tierra respecto al Sol. El plano de la eclíptica es perpendicular al polo NEP o polo de la eclíptica.

Longitud eclíptica, . Ángulo medido en el sentido directo en el

plano de la eclíptica entre el punto y el plano del círculo máximoque pasando por el objeto considerado contiene al NEP. Su

dominio se suele establecer en: 0 < < 2.

Latitud eclíptica, . Ángulo medido a lo largo del círculo máximoque contiene al objeto considerado y al NEP y que va desde el



Página14

plano de la eclíptica hasta el objeto. Su dominio se suele establecer

en: /2 < < /2.

C.2. SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS

Si la Tierra fuese esférica, el sistema de coordenadas curvilíneas idóneo seríanlas coordenadas esféricas. En ese supuesto todos los puntos de la superficie

tendrían la misma coordenada r, y los cambios en la misma representaríancambios en la separación de un punto respecto a la superficie. Sin embargo, laTierra presenta un achatamiento por los polos y la figura que se suele utilizarcomo superficie de referencia en geodesia es la de un elipsoide de revolución.

El utilizar como superficie de referencia la de un elipsoide implica que a cada punto P en el espacio se le hace corresponder una proyección sobre elelipsoide P0. La posición del punto P quedará definida a partir de la posiciónde P0, mediante dos coordenadas correspondientes a la parametrización de lasuperficie del elipsoide, y una tercera coordenada altitud que permitirárelacionar P0 y P. En definitiva, la parametrización del espacio afín euclideotridimensional se realiza a partir de la parametrización de una superficie, doscoordenadas, y una tercera coordenada.



Página15

Latitud geodésica, . Ángulo medido en el plano meridiano queforman la normal al elipsoide en el punto P considerado y el plano delecuador. En el sistema elipsoidal el plano meridiano es el definido porla normal al elipsoide y el propio eje de rotación, ya que ambas rectas se

cortan en el espacio, formando un plano. Su dominio se suele estableceren: -/2 < < /2.

Longitud geodésica, . Ángulo medido en el plano del ecuador en elsentido directo que forman el plano meridiano que contiene al punto Pconsiderado y el plano meridiano de Greenwich. Su dominio se suele

establecer en: - <= < .

Altitud elipsoidal, h. Distancia entre el punto P considerado y elelipsoide, medida a lo largo de la normal al elipsoide que pasa por dicho punto. Este tipo de altitud no tiene ningún significado físico, solamentecarácter geométrico. Su dominio es R.

C.3. SISTEMA DE COOREDENADAS ASTRONÓMICAS

La aproximación de la forma de la superficie de la Tierra por la de unelipsoide de revolución no es suficiente en ciertas aplicaciones y es necesariointroducir un sistema de coordenadas que tenga en cuenta la figura matemáticade la Tierra, o geoide.

El sistema de coordenadas astronómico global surge como respuesta a lanecesidad de encontrar un sistema natural de coordenadas asociado al campogravitatorio. De esta forma, en el campo de gravedad terrestre se define como

sistema natural de coordenadas el sistema de coordenadas astronómico global.

Para definir éste sistema de coordenadas es necesario definir en primer lugarel concepto de meridiano astronómico. Se entiende por meridiano astronómicode un punto el plano que conteniendo al vector gravedad en dicho punto es paralelo al eje de rotación.



Página16

Un punto cualquiera P viene definido en el sistema astronómico global portres coordenadas:

Latitud astronómica, . Ángulo medido en el plano del meridiano

astronómico entre la tan-gente a la dirección de la línea de la plomadaen P y el plano del ecuador. Su dominio: /2 < < /2.

Longitud astronómica, . Ángulo medido en sentido directo en el plano del ecuador entre el meridiano astronómico de Greenwich y el

plano meridiano que contiene a P . Su dominio: - < < .

Potencial de gravedad, W: La tercera coordenada es el potencial de

gravedad en el punto P y lo sitúa dentro del sistema de super…cies denivel.

Las líneas coordenadas serían en este caso:

-curvas. Curvas alabeadas de potencial constante y longitudastronómica constante.

-curvas. Curvas alabeadas de potencial constante y latitud

astronómica constante.

W-curvas. Curvas de latitud y longitud astronómica constante.

Las coordenadas y se pueden determinar de forma absoluta medianteobservaciones astronómicas, definen la dirección de la vertical astronómica ofísica en el punto considerado.

No es posible establecer una relación directa entre el sistema astronómicoglobal y un sistema de coordenadas cartesianas geocéntricas asociado a él. Esnecesario un paso intermedio a través del potencial de gravedad, es decir,



Página17

La dependencia de las coordenadas astronómicas respecto al potencialgravitatorio se deduce a continuación. Se parte de la relación existente entre elvector de gravedad, el potencial gravitatorio y la vertical astronómica:

Siendo n un vector unitario en la dirección del vector gravedad y sentidocontrario, sentido cenital, dado por sus componentes:



Página18

Se ha deducido que las coordenadas astronómicas son función de las primerasderivadas del potencial gravitatorio terrestre. Por ello, las líneas de los

meridianos astronómicos, = cte., y de los paralelos astronómicos, = cte.,son líneas en el espacio con doble curvatura y no pueden estar contenidas en

un plano, lo que ya se apuntó al definir las líneas coordenadas.

La tercera coordenada, el potencial gravitatorio W, no puede determinarse deforma absoluta. Se determinan en su lugar diferencias de potencial respecto ala superficie equipotencial de referencia, el geoide, mediante el empleo denivelación y medidas de gravedad. Por ello, se suele emplear también laaltitud ortométrica H como tercera coordenada en el sistema astronómicoglobal.

Las coordenadas astronómicas pueden obtenerse de forma absoluta a partir demétodos de observación propios de astronomía de posición. La precisión quese obtiene para las mismas es del orden métrico (0.”1-0.”2). Las observaciones

más precisas en geodesia se obtienen de forma relativa. El problema radica enque dichas observaciones relativas están inevitablemente referidas al sistemaastronómico local asociado al instrumento con que se ha efectuado sumedición. Es decir, por un lado se dispone de observaciones de tipo absolutoen el sistema de coordenadas astronómicas globales y, por otro, de

observaciones relativas, de mayor precisión, en múltiples sistemasastronómicos locales. Las funciones de transferencia entre un sistemaastronómico local y el sistema astronómico.



Página19

En un sistema inercial no aparecen fuerzas ficticias para describir elmovimiento de las partículas observadas, y toda variación de la trayectoriatiene que tener una fuerza real que la provoca.

El punto de referencia es arbitrario, dado un sistema de referenciainercial, cualquier otro sistema desplazado respecto al primero a unadistancia fija sigue siendo inercial.

La orientación de los ejes es arbitraria, dado un sistema de referenciainercial, cualquier otro sistema de referencia con otra orientación distintadel primero, sigue siendo inercial.

Desplazamiento a velocidad lineal constante, dado un sistema dereferencia inercial, cualquier otro que se desplace con velocidad lineal yconstante, sigue siendo inercial.

Por combinación de los tres casos anteriores, tenemos que cualquier sistemade referencia desplazado respecto a uno inercial, girado y que se mueva avelocidad lineal y constante, sigue siendo inercial.

Se llaman “Sistemas Inerciales” en mecánica clásica a aquellos sistemas de

referencia donde es válida la primera ley de Newton “Un cuerpo persiste en su

estado de reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que algunafuerza solicitante cambie su estado”. En estos sistemas el movimiento a travésdel espacio se realiza con velocidad de traslación constante pero sin rotación.



Página20

La Teoría Especial de la Relatividad es un refinamiento de la mecánica clásica para el caso que tratemos con velocidades muy altas. La Teoría General de laRelatividad provee un refinamiento de la teoría Newtoniana de la gravitación,relevante para campos gravimétricos muy grandes tales como objetos masivos

y en cosmología.Para el campo gravitacional terrestre y para movimientos de satélites ysistemas terrestres, es suficiente la mecánica clásica, siendo los efectosrelativistas despreciables o influyendo solo en pequeñas correcciones delorden de 10−8 o 10

−9.

Para un espacio – tiempo curvado, tal como en las proximidades de un agujeronegro, pueden realizarse aproximaciones geométricas de la superficie curvada

por un plano tangente, pero no será posible aproximar la totalidad de lasuperficie.

Entonces, en un espacio-tiempo curvado será posible introducir coordenadasque corresponden a un sistema inercial en un entorno infinitesimal del punto; pero no es posible introducir un sistema inercial válido para la totalidad delespacio – tiempo. En este sentido, no hay sistemas inerciales en relatividadgeneral. Todos los posibles sistemas de coordenadas son equivalentes, no hay privilegiados.

No obstante, en el tratamiento relativístico de los SR pueden introducirseaproximaciones prácticas satisfactorias, que actúan como sistemas inerciales privilegiados a nivel local (Sistema Solar) e inclusive a nivel global (nuestragalaxia).

En un sistema inercial local las superficies curvadas pueden aproximarselocalmente por un plano tangente, el espacio – tiempo curvado puede

aproximarse, en el entorno de un punto, por un plano espacio – tiempo en elcual se puede introducir un sistema inercial. Entonces, para una cierta pequeñaregión son posibles sistemas inerciales aún en relatividad general.



Página21

Como nuestro espacio – tiempo es solo muy suavemente curvado, el campogravitacional solar es muy débil, la pequeña región mencionada cubre elSistema Solar y todavía se extiende más allá.

Sesión 4 Sistema de Coordenadas

Documents

Transcript of Sesión 4 Sistema de Coordenadas