Estadística Inferencial. Sesión 2. Distribuciones muestrales

Contextualización.

Toda cantidad que se obtiene de una muestra con el propósito de estimar un parámetro poblacional se llama estadístico muestral o sólo estadístico.

Uno de los estadísticos mayormente utilizados en la inferencia estadística es la media.

En esta sesión aprenderemos a definir y a utilizar el estadístico llamado media muestral en el uso de las distribuciones muestrales, aprenderemos a definir la distribución muestral para la media, el teorema del límite central y la relación entre la media y el tamaño de la muestra.

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Introducción.

Un estadístico muestral calculado a partir de x1,x2,…xn es una función de estas variables aleatorias y, por lo tanto, el mismo es una variable aleatoria.

¿Qué es una distribución muestral?

¿Cuáles distribuciones muestrales son mayormente utilizadas?

A la distribución de probabilidad de un estadístico muestral suele llamársele distribución muestral del estadístico

Alternativamente pueden considerarse todas las muestras posibles de tamaño n que pueden obtenerse de una población, y de cada muestra calcular el estadístico.

Fuente: http://hera.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image825.gif

Explicación.

Distribución muestral para la media (𝒙 )

Se dice que la media muestral de 𝑥 es una variable aleatoria y que

a su distribución de probabilidad se le llama distribución muestral

de 𝑥 y corresponde a todos los valores de la media muestral 𝑥 .

Valor esperado de 𝒙 :

E (𝑥 ) = µ donde: µ= media poblacional

x

Explicación. Desviación estándar de 𝒙 .

POBLACIÓN FINITA POBLACIÓN INFINITA

; donde:

N= tamaño de la población

n= tamaño d la muestra

σ= desviación estándar de la población

Al factor se le conoce como factor de

correlación para una población infinita.

; donde:

n= tamaño d la muestra

σ= desviación estándar de la población

Esta expresión se usara siempre que:

1. La población sea infinita

2. Sea infinita y el tamaño de la muestra sea

menor o igual al 5% del tamaño de la

población.

nN

nNx

1

1

N

nN

nx

Explicación.

Para conocer 𝜎𝑥 se necesita conocer σ, la desviación estándar de la

población, la diferencia entre 𝜎𝑥 y σ, a la desviación estándar de 𝑥 , 𝜎𝑥 se

le llama error estándar de la media y se refiere a la desviación estándar

de un estimador puntual.

Ejemplo: Se tiene que la desviación estándar de los sueldos anuales en

una población de 2500 administradores es σ= 4000, para una muestra de

30, encuentra la desviación estándar de la 𝑥 o error estándar (𝜎𝑥 ).

Explicación.

Considerando cuando el tamaño de la muestra es menor al 5% de la

población tenemos que n/N = 30/ 2500= 0.012, se puede ignorar el factor

de correlación para una población finito y usar la ecuación de población

infinita para hallar el error estándar (𝜎𝑥 ):

𝜎𝑥 =𝜎

𝑁=4000

30= 730.3

Explicación.

Forma de la distribución muestral de 𝑥 .

Se consideran dos casos:

La población tiene distribución normal: en muchas situaciones es

razonable suponer que la población de la que se seleccionó la

muestra aleatoria simple tenga distribución normal o casi normal.

La población no tiene distribución normal: se debe de usar el teorema

del límite central que nos ayuda a determinar la forma de la

distribución muestral de 𝑥 .

Explicación.

Teorema del límite central.

Cuando se seleccionan muestras aleatorias simples de tamaño n de

una población, la distribución muestral de la media puede aproximarse

mediante una distribución normal a medida que el tamaño de la

muestra se hace grande.

Ilustración del teorema del límite central con tres poblaciones:

Explicación.

Explicación

Determinación del tamaño de la muestra.

Para determinar de una mejor manera el tamaño de una muestra se debe de

considerar la relación entre el tamaño de la muestra y la distribución muestral

de 𝑥 .

Suponga que en un muestreo se toman aleatoriamente 100 elementos en

lugar de los 30 considerados. La intuición indica que teniendo más datos

proporcionados por una muestra mayor, la media muestral basada en n=100

proporcionara una mejor estimación de la media poblacional que una media

muestral basada en n=30. Para ver cuánto es mejor se considerara la relación

entre el tamaño de la muestra y la distribución muestral de 𝑥 .

Conclusión.

A la distribución de probabilidad de una variable aleatoria se le conoce como distribución muestral. En esta sesión se describió de manera particular la distribución muestral para la media.

Al estudiar las características de esta distribución se vio que el E (𝑥 ) = µ, después se dieron las fórmulas para calcular el error estándar de dicho estimador, se describieron las condiciones necesarias para que la distribución muestral de 𝑥 siga una distribución normal y se encontró la relación entre el tamaño de la muestra y la distribución muestral de 𝑥 .

En la siguiente sesión aprenderemos la estimación de parámetros tales como la media y la proporción.

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aplicada.jpg

Bibliografía.

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administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage

Learning. ISBN: 970-686-278-1

Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y

Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-

607-15-0270-4