Series Sumatorias

SERIES y SUMATORIASCAPITULO II

OJOEl símbolo se llama Sigma

e indica la sumatoria desde k = 1 :hasta para k = n. donde:

k = 1 : límite inferiork = n : límite superior"k" : término genérico

Ejemplo:

Solución:

Método Práctico:

Calcular : 1 + 2 + 3 + ......... + 10

Calcular : 1 + 2 + 3 + ......... + 10 = = 55

• Calcular

A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ....... + 7x8

B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11

10 • 112

Consecutivode "10"

Último término

k

(7k + 8) = 7(1) + 8 + 7(2) + 8 + 7(3) + 8 = 66k = 1 Para

k = 1Parak = 2

Parak = 3

3

Para poder desarrollar una sumatoria, tenemos queempezar asignando para k = 1; k = 2; k = 3; y asísucesivamente hasta k = n, al término genérico,para luego sumar todos los resultados.

"La suma está dada por la mitad de la multiplicacióndel último sumando con su consecutivo".

Solución:

Método Práctico:

A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ....... + 7x8 =

B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11

B =

En general :

n : Número de términos

7 x 8 x 93

9 x 10 x 11 x 124

"3 factores"

Consecutivodel "8"

Último término

"La suma está dada por la multiplicación entre elúltimo término y el consecutivo al último factor delúltimo término y todo sobre la cantidad de factoresque se va a formar.

k = 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2Para la suma de los 1ros. Números N: k

k(k + 1) = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + .... + n(n + 1)

k(k + 1)(k + 2) = 1x2x3 + 2x3x4 + .... + n(n + 1)(n + 2)

n(n + 1)(n + 2)3

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)4

=

=

k(k + 1)(k + 2) … (k + P) =

donde :Factorial de un número

n! = 1 x 2 x 3 x … x n

(n + p + 1)!(P + 2)(n - 1)!

Suma de los 1ros. Números Pares:

Suma de los 1ros. Números Impares:

• Calcular : 2 + 4 + 6 + … + 40

• Calcular : 1 + 3 + 5 + … + 19

2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420

1 + 3 + 5 + ..... + 19 =

1 + 3 + 5 + .....

1 + 3 + 5 + ..... = 25² = 625

• Calcular :

Solución:

En general:

Solución:

Ejemplo 1:

A) 26

Total de bolas: n(n +1)2

n(n +1) = 156

n (n +1) = 12 • 13

n = 12Rpta. C∴

= 78

sea "n" el número de filas

B) 23 C) 12 D) 13 E) 263

= 100( (1 + 192

2

En general :

Solución:

Solución:

Consecutivo dela mitad de 40.

Últimotérmino

Últimotérmino

Cuadrado dela semisuma

25 términos

25 términos

Primertérmino

Pero cuando nos muestren la cantidad detérminos, la suma será igual al cuadrado dedicha cantidad de términos o sumandos.

Método Práctico:

Método Práctico:

2k

(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = n²

(2k-1)

"La suma esta dada por la multiplicación de la mitaddel último y el consecutivo de esta mitad"

"La suma está dada por el cuadrado de la semisumadel primer y último término"

÷2

2k = 2 + 4 + 6 + … 2n = n(n + 1)

÷2

OJO

En una industria de productos para "Taco" produce78 bolas por cada minuto, las cuales lasacondicionan en forma de triángulo de modo que enla 1ª fila haya una, en la 2ª dos, en la tercera tres yasí sucesivamente. ¿Cuántas filas se formarán?

Así por ejemplo:

Solución:Solución:

Solución:

Solución:

Ejemplo 2: Ejemplo 4:

Ejemplo 5

Ejemplo 3:

A) 1240A) 1

A) 35

A) 69

D) 400D) 99

D) 38

D) 40

Si : S = 1 + 2 + 3 + … + nn Calcular :

Calcular : "x"

1 + 2 + 3 + ...... + x = aaa

1 + 2 + 3 + ...... + x = aaa

Calcular "x + y" si :

Calcular : S + S + S + … + S1 2 3 20 E = 0,01 + 0,03 + 0,05 + ...... + 19,99

E =

E =

E = = = 100

1 + 3 + 5 + 7 + ..... + x = 1962 + 4 + 6 + 8 + ..... + y = 420

Se tiene que :

Transformando los decimales :

(suma de los primeros impares)

Aplicando métodos prácticos :

Aplicando métodos prácticos :

Luego:

Luego piden :

S =n

+ + + ..... +

1 + 3 + 5 + 7 + ..... + x = 196

2 + 4 + 6 + 8 + ..... + y = 420

x + y = 27 + 40 = 67

+

=

= = 1610

+

[1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21]

[ [

+ …... +

n (n + 1)2

1100

1 + 3 + 5 + ..... + 1999100

1999 + 12 1000

1010

2( (

3100

5100

1999100

1 x 22

2 x 32

20 x 21 x 223

12

12

3 x 42

20 x 212

B) 1610B) 0,123

B) 36

B) 68

E) 210E) 100

E) 111

E) 27

C) 2000C) 80

C) 37

C) 67

1 + x2

= 1962( (

x (x + 1)2

x (x + 1) = a • 2 • 3 • 37

x = 36

= a • 111

(tanteando)

36 se deduce→

y2

y2

y2

= 20 • 21 = 20 y = 40+ 1( (

Rpta. B

Rpta. E

Rpta. BRpta. C

∴

∴

∴∴

Solución:

Solución:

Ejemplo 6:

Ejemplo 1:

A) 4525

A) S/.750.50

D) 1580

D) S/.717.50

Determinar el valor de :

S = 20 1 + 19 2 + 18 3 + ........ + 1 20. . . .

S = 21.1 + 21.2 + ... + 21.20 - (

Podemos resolver, dándole forma de la siguientemanera :

Sea "S" la suma a pagar, luego:

S = 0.25 + 1 + 2.25 + …

S =

S =

S = 717.5

S =

S =

+ 1 + + 4 + …

B) 1245

B) S/.700.50

E) 1540

E) S/.400.50

C) 3870

C) S/.350.50

Rpta. E

Rpta. D

∴

∴

Suma de los cuadrados de los 1ros.

. Calcular :

Suma de los cubos de los 1ros.

1² + 2² + 3² + .... + 20² )

• Calcular : 1³ + 2³ + 3³ + .... + n³

1² + 2² + 3² + .... + 10² =

1³ + 2³ + 3³ + .... + 10³ =

= 385

= 3025

10 • 11 • 216

14

14

1 + 4 + 9 + 16 + …4

1² + 2² + 3² + 4² + .... + (20)²4

94

20(21)(41)6

10 • 112

(10 + 11)

10 términos

20 sumandos

20 sumandos

10 términosCuadrado de la

mitad de lamultiplicación

Solución:

Solución:

Método Práctico:

Método Práctico:

En general :

En general :

donde : n : número de términos

donde : n : Número de términos

k²) )

k³) )

"La suma está dada por la multiplicación, entre elnúmero de términos, con su consecutivo y la sumadel número de términos y su consecutivo, paraluego dividir todo sobre 6".

Juan conviene en pagar un artículo cada fin desemana de la siguiente forma: la primera semanapaga S/.0.25, la segunda semana S/.1, la terceraS/.2.25, la cuarta S/.4 y así sucesivamente duranteveinte semanas. El precio del artículo es :

"La suma está dada por el cuadrado de la mitad dela multiplicación entre el número de términos y suconsecutivo".

S = (21-1).1 + (21-2).2 + (21-3).3 +.....+ (21-20).20

:

1² + 2² + 3² + .... + 10²

S = 21 . 20 (21) - 20 (21) (41)

2 6

S = 1540

___ _____

2

.

1

.

22

.333

Solución:

Solución:


Ejemplo 3:Efectuar:

A) 16

A) 5525

S = 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + ..... + 625

A) 16

C1 C2 C3 C4 .......

.......

.......

.......

.......

4444

D) 15

D) 3600

D) 15

Piden :

el artificio será :

- (1² + 2² + ...+ 5² + 6² + 7²)S = 1² + 2² + 3² + ....+ 25²n = 25 n = 7

1(1) + 2(2) + 3(3) + … + 20(20)

= 1² + 2² + 3² + .... + 20² =

Luego :

S

S

=

= 5385

-

Pero se requiere : 2 + 8 + 7 + 0 = 17= 2870

B) 17

B) 5665

B) 17

E) 19

E) 5388

E) 19

C) 18

C) 5385

C) 18

Rpta. B

Rpta. CRpta. B

∴

∴∴

20 x 21 x416

(25 • 26 • 51)6

(7 • 8 • 15)6

n (n + 1)(2n +1)6

En el triángulo numérico hallar la suma de las veinteprimeras columnas (dar como respuesta la suma decifras del resultado).

Es importante considerar que la fórmula de loscuadrados, específicamente está referida a la sumade los cuadrados de los primeros enteros positivos,es decir que si la suma no empieza en 1² + 2²; seránecesario un artificio previo, que consiste ensuponer que efectivamente empieza en 1², paraluego restarle los primeros términos que nocorrespondan a la suma planteada inicialmente; esdecir que siendo la suma original :

S = 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + ..... + 625,

que se puede expresar :

S = [8² + 9² + 10² + 11² + 12² + ..... + 25²]

Este procedimiento conocido, como el QUITA yPON nos permite aplicar la fórmula dos veces,primero para los 25 primeros términos y luego en elsustraendo a los siete primeros términos,apliquemos pues :

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10²2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10²

3² + 4² + 5² + ...... + 10²

10²

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10²

1(1²) + 2(2²) + 3(3²) + ..... + 10(10²)

1³ + 2³ + 3³ + ..... + 10³ =

= 3025

10•112

2( (

2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10²3² + 4² + 5² + ...... + 10²

10²

Solución:

Solución:

Ejemplo 5:

A) 194736

Aplicamos un procedimiento análogo al ejemplo 4,se tendrá que falta :

Luego :

2² + 4² + 6² + 8² + … + (2n) ² = (n+1)(2n+1)

2³ + 4³ + 6³ + 8³ + … + (2n)³ = 2[n(n + 1)]²

1³ + 3³ + 5³ + 7³ + … + (2n - 1)³ = n² (2n² - 1)

1² + 3² + 5² + 7² + … + (2n - 1)² = (4n² - 1)

1³ + 2³ + 3³ + .... + 11³ =

S = - = 39744

11 • 122

20 • 212

2n3

2n3

11 • 122

² ²

(

( (

(

( (

Calcular: S = 12³ + 13³ + 14³ + .... + 20³

D) 8910B) 36191E) 11197

C) 39744

Rpta. C∴

I) Suma de los cuadrados de los "n" primerosnúmeros pares naturales.

II) Suma de los cuadrados de los "n" primerosnúmeros impares naturales.

III) Suma de los cubos de los "n" primerosnúmeros pares naturales.

IV) Suma de los cubos de los "n" primerosnúmeros impares naturales.

Suma de los términos de una ProgresiónAritmética

• Calcular : 4 + 7 + 10 + 13 + ...... + 37

Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizadosen una progresión aritmética.

Donde:

en el problema :

na

Sn

n

a

ra

1

n

: número de términos: término enésimo: suma de los "n" primeros términos

= 4= 3= 37

S =Semisuma

de extremos( ( Númerode términos

4 + 7 + 10 + 13 + ..... + 37

1er términoa = 41

a = a + (n - 1) rn 1

último términoa = 37n

Razón aritméticar = 3 = 7 - 4

+3 +3 +3

n = + 1a - a

rn r

S =n

n =

n = 12

S =12

n

+ 1 12

= 246

a + a2

n 1

37 - 43

37 + 42

OJO

2

CONSIDERACIONES IMPORTANTES: CONSIDERACIONES IMPORTANTES:

Suma de los "n" primeros términos de unaprogresión geométrica finita

I) En toda P.A. cada término comprendido entreel primero y el último, es igual a la semisuma desus dos términos adyacentes.

II) En toda P.A. de número impar de términos,siempre se cumple que existe un único términocentral cuyo valor es la semisuma de dostérminos equidistantes.

III) En toda serie aritmética de número impar detérminos se cumple:

I) En toda P.G. cada término comprendido entreel primero y el último es igual a la raíz cuadradadel producto de sus dos términos adyacentes.

II) En toda P.G. de número impar de términos secumple siempre que existe un único términocentral, cuyo valor es la raíz cuadrada delproducto de dos términos equidistantes.

t =central 2S términos

equidistantes T =central

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Solución:

Solución:

Estamos frente a una progresión geométrica finita:

donde :

multiplicando por 3

podemos expresar como :

Observamos "n" sumandos :

aplicando "S" de progresión geométrica

⇒

⇒

T = 1 ; q = 2 ; n = 20021

Calcular : Q = 1 + 2 + 2² + 2³ + 22001

Si n es un entero positivo, el valor de la suma :3 + 33 + 333 + ....... + 3 ..... 3

S = 3 + 33 + ....... + 3 ..... 3

3S = 9 + 99 + ....... + 99..... 9

3S = - n S =

3S = (10 - 1) + (10² - 1) + … + (10 - 1)n

3S = (10+10² + …+ 10 ) - (1 + 1 + ..."n" sumandos)n

n cifras

n cifras

n cifras

A)

A)

2 - 12001

D)

D)

42001

B)

B)

22001

E)

E)

1616

C)

C)

22003

PRODUCTO DE 2TÉRMINOS EQUIDISTANTES

t

t =central

IV)

Calcular : 3 + 6 + 12 + 24 + .....

3 + 6 + 12 + 24 + ......... "8 términos"

x 2 x 2 x 2

Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizadosen una progresión geométrica.

Donde :

• Sn : suma de los "n" primeros números

• q > 1

En el problema :

S = Tn 1

S = Tn 1 Q = 1

= 2 - 12002

q - 1q - 1

n

q - 1q - 1

n

10 - 9n - 1027

n 10 - 9n - 1027

n+1 10 + 9n - 1027

n+1

10 (10 -1)10 - 1

n 10 + 9n - 1027

n+1

10 - 9n + 1027

n+1 10 - 9n + 1027

n

2 - 12 - 1

2002

2 - 12 - 1

8

T

qn

1

T

qn

1S = 3 = 3 • 127 = 3818

=

=

=

=

=

=

3 (primer término)

2 (razón geométrica)

8 (número de términos)

3

2

8

Solución:

S

TS =

S—

x

términosde lugarimpar

central

términosde lugarpar

Númerode términos

( (

Rpta. A∴

Rpta. C∴

Suma de los Infinitos términos de unaprogresión geométrica decreciente :

Suma límite :

En el problema :

Hallar "S" :

Si los radios de una sucesión de circunferencias son:

Calcular:

A)

A)

A)

La suma de sus correspondientes longitudes esigual a:

Aplicando suma infinita, donde la razón geométricaserá :

Se debe saber que la longitud de una circunferen-cia se calcula como se indica :

Luego la suma de longitudes será :

2 (1) + 2 ( ) + 2 ( ) + 2 ( ) + …π π π π

= 2π

= 2π

= 4π

1 -1

1 + + + +...((

((

D)

D)

D)B)

B)

B)

E)

E)

E)C)

C)

C)

2

π

1/49

1/4

8π

1/31

2π

7/36

0

16π

13/371/3

4π

1/2

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Solución :

Solución :

Solución :

Donde : 0 < | q | < 1

S =∞

S =∞⇒

q =

S =

1m ;

S =

S =

7S =

6S =

6S = S =⇒

Como:

Multiplicando a "S" por 7 :

=

=

=

=

a =1

-+

+

+

+

-

++

+

+

+

-

m ; …

+

+

+

+

+ …∞

+ …∞

+ …∞

+ …

+ - …

= 2

Es decreciente ya que los términos vandisminuyendo su valor, donde el término enésimotiende a cero, cuando "n" es muy grande.

• Calcular :

Solución:

1 + + + + …

1 + + + + … a = 11

q =

por eso esdecreciente

< 1x x x

12

12

1

12

12

17

17

1

1

1

1 736

Suma límite

12

12

12

14

14

18

18

14

14

249

27²

27

17

17

18

18

3343

37³

37²

17²

42301

474

47³

17³

116

132

12

121

212

14

14

18

18

S =∞a1

1 - q

1- 12

12

14

12

32

12

13

12

11

12

1- -( (12

12

Rpta. C

Rpta. C

∴

∴

Rpta. B∴

L = 2 Rπ

m m

-

A)

A)

D)

D)B)

B)

E)

E)

Donde :

Luego la suma de todas las áreas será :

S +

S = = •

=

+ + ....... ∞S4

14

43

43

14

X

S

X

S16

S =

C)

C)


Solución :

Solución :

a² 3

πR²

πR²

πR²

πR²

πR²

2 ²πR

suma infinita

πR² πR²

2 2

π π( (

(

(

( (

(

(πR²/2

R ,

Los cuales seobtienen apartir de :

Luego la suma de las áreas será :

,

+

+

+

+

+=

=

=

=

,

+ ....

+ ....

+ ....

, .....

2 ²πR

3 ²/4πR

4πR²

a² 3

a² 3

a² 3

a² 3

a² 3

a² 3

3 2

6

4

4

3Rpta. A Rpta. B∴ ∴

Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide "a".Se toman los puntos medios de sus lados y alunírseles se forma otro triángulo equilátero, en estetriángulo a su vez se toman los puntos medios desus lados y se les une, formando otro triánguloequilátero y repetimos la operación infinitas veces.Calcular la suma de las áreas de todos estostriángulos formados, incluyendo el mayor.

En un círculo de Radio R se inscribe un cuadrado;en este cuadrado se inscribe un círculo; en éste,otro cuadrado y así sucesivamente (indefinidamen-te). Se quiere saber la suma de las áreas de loscírculos.

Sea "S" el área del triángulo del lado "a", luegosegún la figura se formará un triángulo cuya área esla cuarta parte de "S" y así sucesivamente.

Se puede determinar que los radios de cada círculoson respectivamente :

a² 3

R

R

R2

2

R

R

1

1

11 +

4

2

2

2 4

22

2

2 4

11 -2

2

S/4

S/4

S/4 S/4

14

1 -

R

R

o 22

A) A)

D) D)

B) B)

E) E)

Distancia de bajada :

Distancia de subida :

Distancia total = dist. bajada + dis. subida

Distancia total =

Observamos una progresión geométrica ilimitadade razón 2/3

Dist. total =

Dist. total = 5h

Dist. total = 500 m

=

+( ((((

( (

(

h + 2

h h

h

+ +

+

+ …

+ …

C) C)


Solución :Solución :Considerando de 2 en 2

Calcular:

7/5

3/25

S =

S =

S =

S = =

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ .....∞

.....∞

x

1/5

19/24

19/24200m 300m 400m

500m 600m

2h

2h

4

4

3

3

9

9

h h+ + + …2h 43 9

h + 2 hh + + …2 43 9

h+ + …2h 43 9

Rpta. D

Rpta. E

∴

∴

Se deja caer una bola desde una altura de 100metros. En cada rebote la bola eleva los 2/3 de laaltura desde la que cayó por última vez. ¿Quédistancia recorre la bola hasta que queda en reposopor la resistencia del aire?

35

35

1925

1924

125

452

452

353

353

19625

454

454

355

1 - 125

1925

23

1 -

23

h

h = 100

.....h

x

h2/3

4/9

+ + +

+r

xq xq xq

+r +r

+ =∞....1q

1 + rq²

1 + 2rq³

1 + 3rq4

r + q - 1(q - 1)²

+ +

+3

x 7 x 7

+3

+ ........∞

=

=

17

449

7343

3 + 7 - 1(7 - 1)²

14

OBSERVACIÓN:

A)

A)

A)

D)

D)

D)

B)

B)

B)

E)

E)

E)

+

+

+

-

+

+

+ - + - + …

+ + ..... +

= = -

-

-

- -+ .... ++

+

+

+

+

+

+

+ .... +

+ .... +

+ .... +

+ .... + 3 +

C)

C)

C)

Suma de las Inversas de los ProductosConsecutivos

Calcular :

Calcular :

Factorizando el "3"

Calcular :

Ejercicio 1:

Ejercicio 3:

Ejercicio 2:

S =

S =

S = 3

S = 3

S =

S =

S =

En general :

Por ejemplo :

S =

S =

S =

S = =

=

1 -

1 -

1 -

- - -

-

( ( ( (

( ((( (

( ( ( (

( ((

Solución :

Solución :

Solución :

1

124/175

136/225

128/245

108/205

129/295

11 • 2

35 • 6

15 • 6

11

15

141

108205

11•2•3

12

12

12

13

13

14

12

13

1n

12

12

12

12

1n

13

14

1n + 1

11 • 2 • 3

3 - 11 • 2 • 3

11 • 2

11 • 2

12

1156

77312

12 • 3

12 • 3

13 • 4

112•13

111•12

12 • 3

1n + 1

1n + 1

nn + 1

1n

71120

n - 1n

77147

n - 1n + 1

7397

7771

nn + 1

77312

12 • 3

36 • 7

16 • 7

12•3•4

13 • 4

37 • 8

17 • 8

13•4•5

14 • 5

38 • 9

1n(n + 1)

340 • 41

140 • 41

111•12•13

+ + =+ … +1

1 • 21

2 • 31

3 • 41

n(n + 1)n

(n + 1)

+ + =+ … +1

1•2•31

2•3•41

3•4•51

n(n+1)(n+2)n(n + 3)

4(n+1)(n+2)

+ + -= =+ … +1

2 • 5

+3

+1 +1

( (15 • 8

18 • 11

135 • 38

13

319

12

138

P -=1

k(k + 1)(k + 2)...(k + P)

n

k = 1Σ n!

(n + P!)1P

En este tipo de situaciones se trata de descompo-ner cada término en la diferencia de 2 fracciones

Expresando todos los sumandos tal como :

Rpta. C

Rpta. C Rpta. E

∴

∴ ∴

Propiedades de las Sumatorias Suma de los "n" primeros términos de unasucesión polinomial

01)

02)

03)

Ejemplo:

Calcular :

Calcular :

Solución:

MÉTODO PRÁCTICO

En el problema :

reemplazando en "S "n

S = 10 • 5 +10

S = 117510

+ • 6

n = 10 ; T = 5 ; a = 9

m = 6 ; r = 01

(2k³ - 5k² + 7k + 4)

5 + 14 + 29 + 50 + 77 + .....

5 + 14 + 29 + 50 + 77 + .....

T + T + T + T + T + ..... + T1 2 3 4 5 n

a

m

r r

n p

b c d

10 términos

2 k³ - 5 k² + 7 k + 4

Σ

Σ Σ Σ Σ

12

12 12 12 12

k = 1

k = 1 k = 1 k = 1 k = 1

A)

D)

B)

E)

C)

Aplicando las propiedades de la sumatoria,resultará :

Solución :

8727

9192

7912

N.A.

9512

- 5 + 7 + 48( (( (= 2

= 9512

212 • 132

12 • 13 • 256

12 • 132

Rpta. C∴

+9

+6 +6 +6

+15 +21 +27DiferenciasSucesivas

+

S = T C + aC + mC + rCn 1 1 2 3 4

S = nT +n 1 +n(n - 1)a

1 • 2n(n - 1)(n - 2)m

1 • 2 • 3

n(n - 1)(n - 2)(n - 3)r1 • 2 • 3 • 4

10 • 9 • 92

10 • 9 • 86

n n n n

Ejercicio 1 :Calcular :

S = 1 • 20 +20

S = 268020

Si : T = 7n + 2n

Calcular "S " e indicar su valor para n = 50.n

Suma de términos de una sucesiónpolinomial conociendo su términoenésimo (T ).n

Solución:

Solución:

1 + 3 + 7 + 13 + 21 + .... "20 términos"

1 + 3 + 7 + 13 + .....

+2

+2 +2

+4 +6

A)

D)

B)

E)

C)4260

4440

Aplicando el método de las diferencias sucesivas

Se coloca "T " como término genérico de unasumatoria

n

S =n

S50

Luego para n = 50.

=

=

= 9025

+ 2n

+ 2(50)

7n (n + 1)2

7 • 50 • 512

n n nnT =k k + 2(7k + 2) = 7

k = 1 k = 1 k = 1k = 1Σ Σ ΣΣ

5440

8980

2680

Rpta. C∴

+20 • 19 • 2

1• 220 • 19 • 18 • 2

1 • 2 • 3

1.- 3.-

2.-

La suma de 20 enteros consecutivos es "S".¿Cuál es la suma de los 20 siguientes?

En el siguiente triángulo numérico, hallar lasuma de las diez primeras filas.

F1

=

F + F + F + ..... + F1 2 3 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

F2

=

F3

=

F4

=

= = 105

= 5565

1

1

2 3

2 3

4 5 6

4 5 6

7 8 9 10

7 8 9 10

Lucha y Pili leen una novela de Vargas Llosa;Lucha lee 10 páginas diarias y Pili lee 1 pági-na el 1er. día, 2 el 2do día, 3 el 3er. día y asísucesivamente. ¿Después de cuántos díascoincidirán si empiezan al mismo tiempo?

Solución:

Solución:

Solución:

A)

A)

A)

D)

D)

D)

B)

B)

B)

E)

E)

E)

C)

C)

C)

S + 210

13250

10

S + 20

11350

21

Sea:

Redistribuyendo en forma horizontal :

Luego nos piden :

Otro Método:

Luego piden :

1 + 2 + 3 + … + 105 =

Sea "n" : número de días

Según enunciado se planteará :

lo que piden es :

Separando adecuadamente :

S = (x + 20 + 1) + (x + 20 + 2) + (x + 20 + 3)1

S = (x + 1)+(x + 2)+(x + 3)+ … +(x + 20)+1

⇒

+ (x + 20 + 4) + … + (x + 20 + 20)

+ 20 + 20 + … + 20

S = S + 20 • 20 = S + 4001

S = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 20)

10 + 10 + 10 + … + 10 = 1 + 2 + 3 + … + n

20 enteros consecutivos

"n" días(páginas leídas por Lucha)

Coinciden

"n" días(páginas leídas por Pili)

NúmeroTriangulares

S

20 sumandos

Número detérminos : 1 + 2 + 3 + …

1 + 2 + 3 + … + 105 =

= 105

= 5565

S + 200

13255

20

S + 400

5565

42

S + 190

22155

19

Rpta. E

Rpta. E

∴

∴

⇒ 10n = n = 19n(n + 1)

2

10 x 112

105 x 1062

1 x 22

2 x 32

3 x 42

4 x 52

10 x 112

105 x 1062Rpta. D∴

4.- 5.-

6.-

Se disponen los números naturales, según elarreglo adjunto :

Hallar la suma de la fila 10 en el siguientearreglo :

En el siguiente arreglo triangular calcular lasuma de los términos de F :20

Solución:

Solución:

Solución:

A)

A)

A)

E indicar la suma de cifras del resultado.

Calcular las suma de los números de lafila 30 Fila 10 =

Fila 10 = (1 + 6 + 11 ...) - (1 + 6 + 11 ...)

Fila 10 =

Fila 10 =

Pero :

Luego :

⇒

T = 1 r = 5 T = a + (n - 1) r1 n 1

T = 1 + (46 - 1) 5 = 226T = 1 + (55 - 1) 5 = 271

46

55

x 10

x 10 = 2485

10 x 112

T + T

246 55

226 + 2712

9 x 102

= 55 términos = 45 términos

D)

D)

D)

B)

B)

B)

E)

E)

E)

C)

C)

C)

12742

2185

16

12 3

4 5 67 8 9 10

............................................

............................................

16

1611

21 2631 36 41 46

14

169

25 36

F1F2F3

F20

18645

2435

19

Hastala

Fila 29

Fila 30

Del esquema :

Hasta lafila 29

Hasta lafila 29

Hasta lafila 9

Hasta lafila 30

Hasta lafila 30

Hasta lafila 10

((

(

((

(

((

(

((

(

+ Fila 30 =

Fila 30 =

Fila 30 = (

(

1 +2 + 3 + … + 465) -

1 +2 + 3 + … + 435)

Fila 30 =

= 13515

465 x 466

2

435 x 436

2

—

—

—

13892

3140

15

13515

2485

21

18734

2355

17

Rpta. E

Rpta. E

∴

∴

= 435 términos

= 465 términos

=

=

29 x 302

30 x 312

7.-

8.-

9.-

Piden:

Piden : 1 + 0 + 4 + 5 + 2 + 4 + 0 = 16

1² + 2² + 3² + .... — 1² + 2² + 3² + ....

= = 1045240

20 x 212

210 x 211 x 4216

190 x 191 x 3816

19 x 202

= 210 Términos

—

= 190 Términos

Hallar la suma de las diez primera filas delsiguiente arreglo numérico :

Hallar la suma de los 50 primeros términosde la sucesión :

Calcular el valor de : "a + b" sabiendo que :

Rpta. A

Rpta. D

Rpta. D Rpta. B

∴

∴

∴ ∴

13

75

9 1113 15 17 19

21 23 25 27 29

11 x 4

11 • 3

12

1

42

48

44

36

24

151150

50151

1(3n - 2)(...)

11 x 4

13

Método Práctico

50151

11

1151

14 x 7

1148 x 151

+ 3

+ 3 + 3

1148 x 151

150151

15150

14 x 7

13 • 5

11

1b

1123

b = 23a = 21

17 x 10

15 • 7

1a • b

1123

;

+

;

+

- = ⇒

=

; …

+ …+

F1F2

F3F4F5

Solución:

Solución:

Solución:

A)

A)

A)

Se requiere :

Hallando el término 50, para lo cual hay quededucir que :

Se deduce que a + 2 = b; y aplicando elmétodo práctico tendremos :

Luego : a + b = 44

F + F + F + … + F1 2 3 10

T =n

+

-

+ … +

= =

⇒ T =50

1 + 8 + 27 + …

1³ + 2³ + 3³ + … + 10³ =

=

= 3025

10 x 11

2

D)

D)

D)

B)

B)

B)

E)

E)

E)

C)

C)

C)

2530

3025

100

4238

1000

10.

11.

Calcular

Calcular

Rpta. C

Rpta. D

∴

∴

12 x 6

12 x 3

12 x 3

1

1

2443

307428

720

17237

1729

465934

16

16

16

12

12

30 x 312

13

15

1U - 30

13

1U

1467

465934

15

18

1U

1063

20 Sumandos

30 Sumandos

11 x 2

2021

12 x 3

13 x 4

120 x 21

1… x U

+30

1063

401948

14 x 9

13 x 5

13 x 5

16 x 12

15 x 8

15 x 8

18 x 12

18 x 12

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ ....... . +

+ …

+ …

+ …+

Solución:

Solución:

A)

A)

Dando una forma conocida :

Piden :

Cálculo de "U" para lo cual consideramos :

3 ; 5 ; 8 ; 12 .............U

Luego, la expresión a calcular será :

+ 2 + 3 + 4 + .... + 30

⇒ U = 3 + 2 + 3 + 4 + … + 30

U = 2+1 + 2 + 3 + 4 + … + 30

U = 2 + = 467

Término 30

+2

x xx x

+3 +4

+

=

=

=

=

=

-

-

-

- - -

+ + … +

D)

D)

B)

B)

E)

E)

C)

C)

12. Calcular:

E =

E =

9E = 3

8E = 3

E =

8E = 3

Rpta. A∴

13

13

333

333

3323

1532

23

19

535

535

533

233

737

737

735

235

15/321

15/1612/25

15/64

Se deduce

Suma infinita

X 9

+

+

+

+

+1 -

+

+

+

+

+

+

+

+

+ … ∞

+ … ∞

+ … ∞

+ … ∞

Solución:

A)

Multiplicando por la razón geométrica de losdenominadores, para luego restar :

D)B)E)

C)

13. Calcular el valor de :

R =

R =

R =

R =( (( (

R = + =

Rpta. C∴

212

1 + 112

1 + 112

112

112

6 + 112²

6 + 112²

612²

112²

6² + 112³

6² + 112³

6²12³

112³

7144

1766

12

112

12

112

12

112

12

112

371728

113/77

1/31/9

17/66

+

+

+

+ +

+

+

+ + +

1 - 1 -

+ + … ∞

+ … ∞

+ … ∞

+… +…∞

Solución:

A)

Dando una forma conocida :

D)B)E)

C)

14. 16.

15.

17.

Calcular el valor de : Si AB = BC = 1,calcular : BD + DE + EF + FG + ....∞

Determinar la suma de los perímetros de losinfinitos triángulos equiláteros como muestrala figura (los vértices son los puntos mediosde los lados del triángulo anterior).

En la base cuadrangular de una pirámide sehan usado 400 bolas de billar, ¿cuántas bolasse han usado en total?

17

3a2

20 x 21 x 416

472

973

1674S = + + + + … ∞

11 + 2 2

2 - 2

3 - 2

1 - 2

1 + 2

6a

2

12a 18a

9a 16a

727

1349

3771

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

A)A)

B)

C)

D)

E)

A)

6a + 3a +

12

12

x x

+ .... ∞

Multiplicando por 7 ambos miembros, paraluego restar :

Se deduce que :

Luego lo que se pide será :

AB BD= 2

BD DE= 2

1

BD =

DE =

+ + + … ∞

= = =

1

1

1

1

11

x

11 -

1 1 1

3

32

2

2

2

22

2

2 2 2

D)

D)

B)

B)

E)

E)

C)

C)

8270

3450

2870

2780

2370A)

D)

B)

E)

C)

S =

7S = 1

42S = 7 + 3 +

36S = 9 +

6S = 1

E =

36E = 9

= = 12a

Rpta. D

Rpta. E

Rpta. B Rpta. B

∴

∴

∴ ∴

17

472

47

37

727

27

17

12

973

97²

57

27

57²

1674

167³

77²

27²

27³

77³

x 7

x 7

+

+

+

+1 -

1 -

6a

+

+

+

+

+

+

+ +

+

+ … ∞

+ … ∞

+ … ∞

+ … ∞

+ … ∞

2a 2a

2a

- 12+ 12

A

D

F

H I

G

E

C

B

45º

45ºk

kk 2

Las bases serán cuadradas, como:

;

Total deBolas : 1 + 4 + 9 + … + 400

: 1² + 2² + 3² + … + 20² =

= = 2870

; ; … 400 Bolas

18. 20.

21.19.

Rosell está apilando las canicas que tieneformando una pirámide tetraédrica. ¿Cuántascanicas tiene Rosell como máximo sabiendoque solamente le es posible obtener unapirámide de 20 niveles?

Calcular la suma de los 25 términos de lasiguiente sucesión :

Calcular "x" :Calcular la suma total del siguiente arreglo:

20 x 21 x 223

19 x 20 x 213

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

146011700

25

2650

16504225

20

2760

154011050

24

2460

16458150

18

+4

+3 +3 +3

+7 +10 +13

2860

15608250

23

2660

A)A)

A)

2 ; 6 ; 13 ; 23 ; 36 ; 52 ; …

x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (3x) = 1640

2 + 6 + 13 + 23 + 36 + … "25 términos"

= 2C + 4C + 3C1 2 3

Número deTérminos

Suma :

⇒ x = 20

( (

= + 1 = 2x + 1

. (2x + 1) = 1640

= 2 x + 4x + 3x = 8150251

3x - x1

x + 3x2

25x241x2

25x24x231x2x3

25 25 25

A)

D)D)

D)

D)

B)B)

B)

B)

E)E)

E)

E)

C)C)

C)

C)

Rpta. B Rpta. E

Rpta. ERpta. C

∴ ∴

∴∴

Se deduce que las bases serán triángulos,como:

La suma equivalente será :1(2) + 2(3) + 3(4) + … + 19(20)

= 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 19x20

=

= 2660

,, , …1 x 2

2

Números Triangulares

2 x 32

3 x 42

20 x 212

Número de Canicas:

= (1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21)

= = 1540

23 + 34 + 4 + 45 + 5 + 5 + 5

20 + 20 + 20 + ........ + 20

, … 20 Bases

+ + + … +1 x 22

12

12 ( (

2 x 32

3 x 42

20 x 212

20 x 212

Canicas

22. 24.

25.

26.

23.

Fanny debe leer un libro en un númerodeterminado de días y se da cuenta que silee 13 páginas cada día logrará su cometido,pero si lee una página el primer día; tres elsegundo, cinco el tercero y así sucesivamen-

1 x 5 + 2 x 6 + 3 x 7 + … + 20 x 24

Sea "S" la siguiente serie finita:S = 1 + 2x2 + 3x2² + 4x2³ + 5x2 +…+ 100x24 99

S = 1 + 2x2 + 3x2² + 4x2³ + 5x2 +…+ 100x24 99

2S = 2x1 + 2x2² + 3x2³ +…+ 100x2100

-S = 1 + 2 + 2² + 2³ +…+ 2 - 100x299 100

-S = -99 x 2 - 1100

S = 99 x 2 + 1100

-S = - 100x2100

entonces "S" es igual a :

Calcular: +

+- -

+

-

+… ∞

… ∞

Un rollo de papel cuyo diámetro es de 30 cm.consiste de 500 vueltas de papel fuertementeenrollado en un cilindro de 10 cm. de diáme-tro. ¿Qué longitud tiene el papel?.

te, le faltarán aún 12 páginas por leer.¿Cuántas páginas tiene dicho libro?

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

144

9280

90x2 -1100 98x2 +1100 99x2 +1101

2

π cm

156

1710

99x2 +1100

1/4

1000π

142

484

1

10π

124

1000

99x2 -1100

7/13

1000

165

2142

1/3

10000π

A)

A)

A)

A)

A)

Sea "n" el número de días, luego :

Expresando como sumatoria:

Descomponiendo adecuadamente los términos:

Σ Σ Σ ΣK(K + 4) =

= + 4 = 171020 x 21 x 41

6

2 - 12 - 1

99-1

11 x 2

11 x 2

11 x 2

11 x 2

11

11 x 2 x 3

11 x 2 x 3

11 x 2 x 3 x 4

11 x 2 x 3 x 4

11 x 2 x 3 x 4

20 x 213

(K² + 4K) = K² + 4 K20 20 20 20

K = 1 K = 1 K = 1 K = 1

Considerando : L = 2 R = Dπ π

13 + 13 + 13 + … + 13 = 1 + 3 + 5 + … + 12

Luego :

13n = n² + 12

1ª vuelta + … +

10 + ........... + 30π π

últimavuelta

LongitudTotal

10 + 302

π π

⇒

=

=

= 1000π

x 500

Lo que falta por leer

Longitud de unacircunferencia

"n" términos

500 términos

500 términosen progresión aritmética

"n" términos

"n" términos

Número de páginas = 13n = 13(12) = 156

D)

D)

D)

D)

D)

B)

B)

B)

B)

B)

E)

E)

E)

E)

E)

C)

C)

C)

C)

C)

Rpta. D

Rpta. D

Rpta. D

Rpta. B

Rpta. C

∴

∴

∴

∴

∴

+1

1 x 2 x 3

11 x 2 x 3

PROBLEMA RECREATIVO

n = 12

PRACTICANDO 01

25. Si:

26. Hallar "n" si:

27. Hallar "x"

11³ + 12³ + 13³ + 14³ + … + x³ = 102600

49; 64; 81; ...; n

Lasumade los términos de lasucesiónes 433.

Hallar: A - B + C

A = 1 + 3 + 5 + 7 +... + 77B = 13 + 15 + 17 + 19 + … + 27C = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + 21³

20. Hallar:

21. Hallar:

22. Efectuar:

23. Hallar:

S = 1.(20) + 2.(19) + 3.(18) + … + 20.(1)

S =

S =

S =

A)

D) E)

B) C)

+

+ + +...+

+ +...+

+ + +...+1

1

1 1 1 1

17

19 19

17 15

1 1 1

17

15 16

15

1.2

2.4

6.9 9.12 12.15 30.33

57

71 61

63 62

3.8 4.12 31.124

18

24 17

23

2.3 3.4 16.171 1 1

19. Hallar:S = 1.(3) + 2.(4) + 3.(5) + … + 20.(22)

A) 3200 B) 3160 C) 3194D) 3198 E) 9431

24. Hallar "x"29 + 31 + 33 + 35 + … + x = 3525

A) 123 B) 119 C) 117D) 121 E) 125

A) 53621 B) 54722 C) 53924D) 54921 E) 54371

A) 529 B) 400 C) 576

D) 676 E) 900

A) 23 B) 24 C) 26 D) 27 E) 25

A) 1560 B) 1540 C) 1610

D) 1570 E) 1624

A)

D) E)

A) 1 C)

1

5 5

3 322

37 31

43 41A)

D) D)

B) C)

1)2)3)4)5)

6)7)8)9)

10)

26)27)

21)22)23)24)25)

16)17)18)19)20)

11)12)13)14)15)

ACEAC

CDAEB

AE

ECADB

BCBAB

BEADC

RESPUESTAS

1. Hallar x + y si: 6. Hallar "n"

7. Calcular:

8. Hallar "n"

9. Calcular:

10. La sucesión:

11. Hallar :

2. Hallar "x"

3. Calcular la suma de los números de la fila 20en el triángulo numérico:

4. A los términos de la serie:

5. Hallar: (x + y + z)², sabiendo que:

x2y x3y x4y x8y+ + + … + = 459921 + 23 + 25 + 27 + … + n = 800

S = 4 + 18 + 48 + … + 900

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + … + (3n) = 1640

S = S + S + S + … + S1 2 3 30

1: (2 + 3); (4 + 5 + 6); (7 + 8 + 9 +10); …

S = S + S + S + … + SSiendo : S = 1 + 2 + 3 + … + n

1 2 3 n

k

2² + 3² + 5² + 7² + … + x² = 67626

12 3

4 5 67 8 9 10

11 12 13 14 15

Fila: 12345

S = 2 + 5 + 8 +11 + 14 + ...; se le agrega 1, 2,3, 4, 5, 6, ..., de tal manera que la suma de lanueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántostérminos tiene la serie inicial?

9² + 99² + 999² + … = ...xyz

49 términos

A)A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

115

2760

18

33015

13009

n(n + 1)2

n6

(n+1)(n+1)

n3

(n+1)(n+2)

n + 12

2

53

4020

28

400

B)B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

1259

2785

19

31018

12915

51

4110

29

169

C)C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

1357

2890

20

33025

12975

49

4010

31

196

D)D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

1447

2960

21

34015

12615

57

4220

32

900

E)E)

E)

E)

E)

E)

E) n²

E)

E)

E)

E)

1571

2972

22

34215

13019

47

4015

30

729

PRACTICANDO 02

12. Hallar la suma de los elementos de la fila 20: 16. Hallar :

17. Hallar el valor de:

18. Hallar a + b; si: S - S = 41 2

19. Hallar: x + a + b + c

20. Si:

13. Hallar el total de palitos de fósforo de:

14. Calcular S30; sabiendo que:

15. Hallar el resultado de efectuar la serie:

S = 1S = 3 + 5S = 7 + 9 + 11S = 13 + 15 + 17 + 19

1

2

3

4

S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 + …sabiendo que tiene 100 sumandos

11 1

2 1 23 3 3 3

4 6 6 6 45 10 10 10 10 5

6 15 15 15 15 15 6

S = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - …

S = a + (a + 2) + (a + 4) + … + (a + 20)

S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + a

S = 40 + 38 + 36 + … + b1

2

x1x x2x x3x x9x abc3+ + + … + =

a + + + + + ... = 92ba aba baba ababa

Si: a = 93 - 33 n

1 2 3 28 29 30

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

2 46

— 930

240

49

20

8

900

24000

6675

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

3 12

— 740

263

48

21

9

920

27000

6645

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

3 15

— 820

242

46

24

10

930

25000

6895

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

3 16

— 910

361

47

25

11

891

24600

6915

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

3 16

— 790

351

52

22

12

895

24900

6924

13 sumandos

1)2)3)4)5)

6)7)8)9)

10)

16)17)18)19)20)

11)12)13)14)15)

CBCEA

BCCAE

CCAEB

DDDBA

RESPUESTAS

1. 5.

6.

7.

8.

9.

2.

3.

4.

Se tiene 85 naranjas; si con ellas se formauna pirámide tetraédrica, la más grandeposible. ¿Cuántas naranjas sobrarán?

Se tiene 3 números en progresión aritmética,al aumentarlo en 4, 5 y 9 respectivamente seobtiene números proporcionales a 3, 7, 14.Determine la suma de los 20 primeros térmi-

Los números: n - 2 ; n + 2 ; n + 14 ;... sonlos tres términos de una progresión geométri-ca, halle la suma de los 20 primeros términos.

Calcule la suma de los 41 términos de lasiguiente sucesión:

1, 1, 2, 3, 3, 6, 4, 10, 5, 15, 6, …

Calcule S

Calcule S

S =

S =

+

+

+

+

+ …

+ …

1

5 x 10

1

4 x 5

8

420

205

824

7

410

210

821

6

400

215

824

8

205

204

825

9

430

211

824

1

10x15

1

5 x 7

1

15x20

1

7 x 10

1

200 x 205

nos de la progresión aritmética.

Rlta con todas las monedas que tiene, formaun arreglo triangular de la siguiente manera:en la primera fila 1 moneda, en la segundafila 2 monedas y sobre cada una de ellas unamás, en la tercera fila tres monedas y sobrecada una de ellas 2 monedas más y asísucesivamente. Si pudo formar 20 filas entotal ¿cuántas monedas tenía?

Un comerciante advierte que la demanda desu producto va en aumento por lo que decidecomprar cada día 5 unidades más respecto aldía anterior y de esa manera satisfacer alos clientes, si empezó comprando 19 unida-des y el penúltimo día compró 169 unidades,¿cuántas unidades compró en total?

En la fábrica “Nuevo Amanecer” existe 2máquinas; una produce diariamente 100unidades de un producto, mientras que lasegunda el 1º día 10, el segundo día 20, eltercer día 30 y así sucesivamente, comienzanun 22 de febrero del año 2002. ¿En qué fechael total producido por ambas será lo mismo?

A)A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A) 13 de marzo

B) 12 de marzo

C) 13 de abril

D) 11 de marzo

E) 14 de marzo

1560

3 - 121

1770

2970

3005

B)B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

2550

3 - 240

1771

2870

3088

C)C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

3450

3 - 115

1760

2360

3006

D)D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

0460

3 - 120

1870

3620

3107

E)E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

4500

2 - 130

1880

5205

3012

PRACTICANDO 03

10.

11.

12.

13.

15.

17.

18.

19.

14.

16.

Halle la suma de los 50 términos de la si-guiente serie; dar como respuesta la suma decifras

En una progresión aritmética el primer térmi-no con el décimo noveno término con el déci-mo noveno término suman 462, y el segundotérmino con el duodécimo término suman468. Halle la suma de los 20 primeros térmi-

Calcule la suma de los 20 primeros términosde una progresión cuyos términos son de laforma: t = 2n² + 10nn

Halle el valor de S

Halle la suma de los 78 términos que tiene la

serie aritmética: + + … +1 1 1xy yx yx

Halle el valor de la suma de los 20 primerostérminos de la serie:

La masa de un péndulo recorre 32 cm. en laprimera oscilación. En cada una de las si-guientes, la masa recorre 3/4 de la distanciarecorrida en la oscilación anterior. Calcule elrecorrido total de la masa hasta que sedetenga.

Calcule la suma de los 20 primeros términosde la serie:

S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + …

Halle S

Calcule

S = 14 + 20 + 36 + 62 + ...

S =

S =

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ …

+ …1

3

1

3

5

8

5

4

13

9

3

5

3

8

3

4

13

8

4

5

11

8

5

3

1

32

2

32

1

33

3

33

1

34

4

34

1

35

5

35

1

36

30 sumandos

nos de dicha progresión

S = 11 + 101 + 101 + 10001 + …

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

90

6450

7840

43630

40900

3120

230 cm

2 + 121

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

55

4650

8740

43530

40911

2510

250 cm

2 - 121

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

80

4560

8470

43650

40192

4510

124 cm

2 - 2120

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

60

4659

7480

43560

41920

3150

224 cm

20 - 2120

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

70

4640

9480

43470

40920

3510

120 cm

2 - 2121

20.

21.

22.

23.

24.

26.

27.

28.

25.Edith con todas las fichas que tiene hace elsiguiente arreglo:

Calcule el valor de S

Calcule

Si el tercer término de una progresión aritmé-tica es 11 y el décimo 32, ¿cuál es la suma delos 20 primeros términos de dicha progresión?

Halle el valor de S

S = 2x5 + 3x6 + 4x7 + 5x8 + … + 100x103

Un agricultor posee 20 troncos de árbol quelos planta en línea recta, separado 2m y 7malternadamente. Halle el recorrido total a partirdel instante que muestra la figura hasta quetermina de plantar todos los árboles (sólo

Un ciclista sale de una ciudad A y recorre1km el primer día, 4km el segundo día, 7kmel tercer día; es decir, cada día 3km más queel día anterior. Después de 3 días de su parti-da, un motociclista sale a darle alcance yrecorre 17 km el primer día, 18 km el segundodía, 19 km el tercero, ..., encontrándose porprimera vez en un pueblo B y por segundavez en C. Halle la distancia entre estas dosciudades.

La suma de 81 números pares consecutivoses igual a 171 veces el primer número. Hallela suma de las cifras del término central.

Halle n en :

+ + + + … = ; 0 < < 14

n

1

n²

4

n³3

1

n4

5

7

1

n

S = 1 + (1+5) + (1+5+9) + (1+5+9+13) + …

(1 +3 + 5 + 7 + … + 19)0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 111

¿Cuántas fichas tiene?

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A) 5

5107

4430

10

670

338350

1760 m

82 km

8

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B) 6

3048

5210

11

675

338351

1750 m

120 km

12

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C) 4

3050

3150

9

676

353496

1875 m

76 km

14

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D) 2

3051

5530

16

750

353498

1567 m

64 km

10

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E) 3

3049

6479

25

576

353435

1630 m

90 km

16

F1

F2F3

F4

F10

F16

F17F18

F19

20 sumandos

carga uno cada vez).

2m 2m7m

29.

30.

31.

32.

Sabiendo que:

Se tiene un triángulo cualquiera cuya áreaes l ². Se toman los puntos medios de suslados y al unirlos se forma un triángulo, eneste triángulo a su vez se toman los puntosmedios de sus lados y se unen, y así repeti-mos la operación infinitas veces. Calcule lasuma de todas las áreas así formadas.

µ

Dada la sucesión aritmética creciente

Halle la suma de los 10 primeros términos deD a partir del siguiente arreglo triangular.3

aaa aa7 ac1; ; ; …

halle S = a + c + 5 + …

S = 20² + 19² + 18² + 17² + …n

Calcule S = S + S + S + … + S1 2 3 20

A)

A)

A)

A)

44100

4/3

88

917

D3

(2c + a) términos

36 3

9 9 312 18 12 3

15 30 30 15 3

B)

B)

B)

B)

38000

1/2

75

823

C)

C)

C)

C)

45600

5/6

66

800

D)

D)

D)

D)

44000

3/4

99

863

E)

E)

E)

E)

44450

8/5

78

857

"n" sumandos

1. 6.

7.

8.

9.

10.

2.

3.

4.

5.

De un libro se arrancan 61 hojas de la partefinal. Si se sabe que en la numeración deéstas (hojas arrancadas) se ha usado 365 ti-pos. Hallar la cantidad total de hojas de dicholibro.

Cuando la suma de los 10 primeros términosde una P.A. es igual a cuatro veces la sumade los cinco primeros. ¿Cuál es la razón geo-métrica entre el primer término y la diferenciacomún?

Calcular el valor de "S" :

Se deben almacenar 810 postes cilíndricosen un espacio abierto, formando así el primerlecho horizontal de 50 postes y cada lechosucesivo debe contener un poste menos queel precedente para no derrumbarse. ¿Cuántos

En el siguiente arreglo numérico hallar lasuma de los términos de la fila veinte.

Calcular la suma de:S = 7x31 + 9x29 + 11x27 + 13x25 + … + 31x7

F : 1F : 3 5F : 7

1

2

3 9 11F : 13 15 17 19F : 21 23 25 27 29

4

5

lechos pueden formarse?

S = 9 + 12 + 17 + 24 + .... + 177Hallar el valor de "S" :

Hallar la suma de los 15 primeros términos dela serie :

Calcular S en:

La suma de los terceros términos de dos P.A.cuyas razones se diferencian en 2 es 33. Ha-llar la suma de los 10 primeros términos deuna nueva P.A., que se forma al sumar térmi-nos correspondientes de las dos P.A. antesmencionadas sabiendo además que la sumade los términos anteriores al primero de lasprimeras P.A. es -3.

S =

S = 1 + 7 + 17 + 31 + …

S = 5 + 5 + 20 + 50 + 95 + .... (20 sumandos)

A) A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

120 2/3

814

81

7000

3955

1

1250

15400

550

B) B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

110 1/5

910

27

8000

3965

1/2

940

24350

620

C) C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

210 1/2

873

35

1250

3945

1/3

3500

17200

580

D) D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

240 2/7

913

44

4320

3975

1/5

2360

3540

630

E) E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

180 5/9

923

20

3560

3985

1/6

435

44320

610

+ + + + … ∞1

9

1

27

1

81

1

243

PRACTICANDO 04

11. 15.

16.

17.

18.

12.

13.

14.

Hallar la suma de:

S = 1x3 - 3x5 + 5x7 - 7x9 + …

Calcular el valor de S:

S = 3 + 10 + 29 + 66 + … + 1730

Ana va al cine durante tres días alternada-mente en una semana, y lo hace al mes entres semanas consecutivas. Si el segundo díade un cierto mes es jueves y la suma de lasfechas de los días que fue al cine ese es 198.¿Qué fecha y día será la sétima vez que fueal cine en dicho mes, si asiste siempre losmismos días?

En un torneo de fútbol de dos ruedas partici-paron 14 equipos. Al final del mismo se obser-vó que cada equipo tenía un punto de menosque el que le antecedía en la tabla de pun-tuaciones, excepto con el último que hizo ceropuntos. ¿Cuántos puntos hizo el campeón, sila puntuación por partido ganado es de 2puntos?

En una canasta hay 60 duraznos. Evelyn losva colocando por fila de la siguiente manera:en la primera fila pone un durazno; luego toma2 duraznos de la canasta y les pone en lasegunda fila y así sucesivamente hasta dondele sea posible. ¿Cuántos duraznos sobraránen la canasta?

En la siguiente sucesión :

Si:

Calcular la suma de todos los términos unidospor línea demarcada hasta la fila 20.

Hallar:

a. El término de número ordinal 20

b. La suma de los 20 primeros términos

1ab 2ab 3ab 4cd7

n1n n2n n3n n9n

+ + + … + = ; a b

+ + + … + = xyz4

Calcular: c + d + a + b + x + y + z

9ab ≠

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

f

f

f

f

f

f

f

1

2

3

4

5

6

7

.

.

.

.

.

.

1, 5, 15, 34, 65, 111, …

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

3280

29

1320

3215

lunes 27

72

5

4010; 22155

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

1570

73

3150

6108

martes 12

28

7

2050; 21215

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

1250

45

5985

4320

jueves 7

34

9

D)

D)

D)

D)

D)

D)

D)

C)

E)

3500

38

4270

8250

sábado 15

57

1

315; 1510

3290; 35710

E)

E)

E)

E)

E)

E)

E)

D)

-3280

41

7250

1308

lunes 8

43

3

7050; 180

40 sumandos

19. 24.

25.

26.

20.

21.

23.

27.

22.

Anita llega al colegio con cierto retraso diaria-mente. El primer día llegó 1 minuto tarde, elsegundo día 2 minutos tarde, el tercer día 3minutos tarde y así sucesivamente; al cabode 20 días de asistencia. ¿Cuánto tiempo haperdido por las tardanzas?

Si: A = 4 + 7 + 10 + 13 + ....B = 2 + 4 + 7 + 11 + …C = 3 + 6 + 12 + 24 + …

Encontrar un número de 3 cifras divisible por11 y tal que permutando la cifra de las dece-nas con la de unidades se obtiene un númerocuyas tres cifras están en progresión aritméti-ca. Indicar la suma de las cifras de dichonúmero.

Halle

S = 3 + 33 + 333 + 3333 + … + 333 … 3

La suma de los "n" primeros términos de unaserie geométrica en donde los términos sonnúmeros enteros es 31. Luego de calcular elprimer término y "n" dar el número desoluciones.

La suma de 81 números pares consecutivoses igual a 171 veces el primer número. Hallarla suma de las cifras del término central.

Halle el valor de "x":

He repartido un total de 1900 caramelos entrelos 25 sobrinos que tengo, dándole a cadauno 3 caramelos más que al anterior. ¿Cuán-tos caramelos les di a los 10 primeros?

S = 69 + 67 + 65 + 63 + … + x = 1000

Halle "S"

S = + + + + .... ∞9

201880

36320

721280

A)

A)

A)

A)

A)

A)

A)

cada serie posee 10 sumandos.Halle A + B + C

A)

A)

2,5 h

1

5

-29

815

1/19

1250

6; 12; 18

10 - 19

n 10 - 9n27

n+1

10 - 9n - 1027

n+1

10 + 9n - 109

n+1

10 - 9n27

n

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

B)

8 h

2

4

39

420

5/19

2578

3; 14; 15

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

C)

E)

D)

5 h

3

9

47

720

3/19

3474

7; 11; 15

D)

D)

D)

D)D)

D)

D)

D)

1 h

4

7

29535

7/19

4512

9; 13; 17

E)

E)

E)

E)E)

E)

E)

E)

3,5 h

5

8

-19180

9/19

5218

7; 12; 17

"n" sumandos

28. 32.

33.

29.

30.

34.

31.

La suma de los cuadrados de los "n" primerosnúmeros enteros positivos, es igual a la sumade los primeros "2n" números enteros positivos.Halle "n".

Augusto y Celia leen una novel de 3000 pági-nas. Augusto lee 100 páginas diarias y Celialee 10 páginas el 1er día, 20 el 2do. día, 30 eltercero y así sucesivamente. Si ambos co-mienzan el 22 de febrero de un año bisiesto.¿En qué fecha coincidirán en leer la mismapágina por primera vez, y cuántas páginashabrán leído hasta ese día?

Calcule "S + S " siendo:1 2

S : la suma de términos de D

S : la suma de términos de D

1 3

2 4

Se contrata a un obrero para cavar en buscade dos fósiles prometiéndole pagar una sumapor el primer fósil que encuentre y que luegose le irá duplicando dicha suma por cadanuevo fósil encontrado.Si encuentra 12 fósiles y recibe 12285 soles¿cuánto le pagaron por el octavo fósil halladoque encontró?

Dados:S = 10x11 + 11x12 + 12x13 + … + 20x21

S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21

Hallar S ÷ S

1

2

2 1

Calcule la suma de los 20 primeros términos de:

-2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 8 ; ..............

La suma en el límite de los términos de unaprogresión geométrica decreciente de infinitostérminos es "m" veces la suma de sus "n"primeros términos. Hallar la razón de la P.G.

A)

A)

A)

A) B)

C) D)

E)A)

5

380

28/33

m-1m

m-1

m-12m

m+1m

m-1m+1

n n

n n

n 7730

A)B)C)D)E)

10 de febrero; 180012 de febrero; 160011 de febrero; 160010 de febrero; 190011 de febrero; 1900

B)

B)

B)

B)

9

384

25/24

7570

C)

C)

C)

C)

6

360

25/27

7700

D)

D)

D)

D)

9

400

28/25

7750

E)

E)

E)

E)

8

420

28/27

7755

A) 5985 B) 5855 C) 5900

D) 6985 E) 5585

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 19

D4 D3

19 1

35.

36.

37.

38.

Calcule:

S = 1 + + + + … (20 sumandos)56

3 x 2 - 43

3 x 2

21

20

3 x 2 - 53

3 x 2

20

19

3 x 2 - 53

3 x 2

21

20

3 x 2 - 53

3 x 2

20

18

3 x 2 - 50

3 x 2

21

20

712

924

La suma de los términos de la última fila delarreglo triangular mostrado es 9520 ¿cuántasfilas tiene el arreglo?

Calcular al suma de los "n" términos de lasucesión:

Calcular A en:

0 ; 8 ; 52 ; 156 ; 344 ; 640 ; ....

A =10 10

J = 1 K = 1[n(3n - 1)]Σ Σ

A)

E)

B)n - n + 2n4 2

D)C) n + n + 2n4 2

n + 3n4 2

n - 3n + 2n4 2

n - 3n + n4 2

A)

C)

E)

B)

D)

A) 40B) 38C) 35D) 42E) 50

FilaFila 2Fila 3Fila 4

1 48 12

12 16 2016 20 24 28

A) 3040 B) 3140 C) 3400D) 3420 E) 3410

39.

40.

Una persona debe vaciar un balde de agua acada uno de los 20 árboles que estánsembrados en fila y separados uno del otro8 m. Si la persona en cada viaje sólo puedellevar un balde con agua y el pozo dondesacará el agua está a 10 m. del primer árbol.¿Qué distancia habrá recorrido después dehaber terminado con su tarea y haber

Rebeca al ganarse el premio mayor lo reparteentre sus sobrinos de la siguiente manera: "al1º S/.100, al 2º S/.200, al 3º S/.300 y asísucesivamente en P.A. teniendo en cuentaque cuando ya no se pueda continuar con losque siguen, se continuará repartiendo de lamanera descrita anteriormente y así sucesiva-mente, hasta agotar todo el premio cuyo valorasciende a S/. 22,900. ¿Cuántos sobrinos sebeneficiaron?

devuelto el balde al pozo?

A)

A)

3420

24

B)

B)

3500

26

C)

C)

3440

28

D)

D)

3400

27

E)

E)

3600

30

C L A V E S

123456789

10

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

BEDCDCEEBB

EADCBACAEA

DEACACDABD

AEADEADECC

1.

2.

3.

4.

En una especie marina con "2n" miembros seobserva lo siguiente: los nacimiento son pro-ductos del azar y lo curioso fue que la primerapareja tuvo una cría, la segunda pareja tuvodos crías la tercera tuvo tres crías, y asísucesivamente, resultando con una poblacióntotal de "40n" miembros. Si abortó una hem-bra muriendo todas sus crías y disminuye asíla pobación en 1/150. ¿Cuántas crías murie-

La suma de los "n" primeros números natura-les consecutivos, pares consecutivos, imparesconsecutivos es 6(5n + 1) + n. Hallar "n"

Sabiendo que la suma de 30 números enterosconsecutivos es 1665, hallar la suma de los 30números enteros consecutivos siguientes:

Las dos últimas cifras de la suma de 53 núme-ros enteros consecutivos es 58. Entonces laúltima cifra del cuarto número consecutivo es?

ron? (Considerar n parejas).A)

A)

A)

A)

12

6

2500

3

B)

B)

B)

B)

18

8

2550

6

C)

C)

C)

C)

30

10

2565

8

D)

D)

D)

D)

24

12

2650

9

E)

E)

E)

E)

20

15

2700

0

5. Hallar "n", sí:

Además: B + C = A

A = 3 + 12 + 27 + … + n

B = 2 + 4 + 6 + … + 112

C = 1 + 3 + 5 + … + 7

A) 764 B) 768 C) 469D) 361 E) 969

7.

8.

9.

Hallar "n", si la suma de los términos de lasucesión:

Hallar "x", sí:

La suma de la última fila del arreglo es 2380,¿cuántas filas se tienen?

M = 5 + 10 + 15 + … + xN = 1 + 4 + 9 + … + 1600P = 1 + 8 + 27 + … + 3375Q = 2 + 4 + 6 + … + (x + 10)Además: N = M + P + Q + 1950

1

2 + 3

3 + 4 + 5

4 + 5 + 6 + 7

es igual a 79,600

4 ; 10 ; 13 ; 28 ; ...; n

A)

A)

A)

3940

10

39

B)

B)

B)

3120

25

42

C)

C)

C)

3195

28

40

D)

D)

D)

3910

30

46

E)

E)

E)

3780

20

48

6. Efectuar:

S = + + + … + 201 2 312

16

112

1420

A) 208,7 B) 207,8 C) 209,4D) 210,9 E) 207,4

PRACTICANDO 05

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Si: S = 1 + 2 + 3 + … + (x + 1)

calcular: S = S + S + S + … + Sx

1 2 3 20

Hallar a + b; si:

La suma de 23 números impares consecutivoses un número que está comprendido entre760 y 850. Entonces el término central es unnúmero:

Timo debe recorrer 3275 m, y lo hace de lasiguiente manera, en el primer minuto recorre"a" m, en el 2º minuto "2a" m, y retrocede 10 men el 3er. minuto recorre "3a" m, y retrocede10 m, y así sucesivamente. Llegando a lameta en 21 min. exactamente. Hallar "a".

Un camionero lleva ladrillos de un depósito asu casa; lleva la 1ª vez 28, pero se le caen 7,entonces decide aumentar 16 ladrillos por viajecon respecto a cada viaje anterior, pero lascaídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladri-llos. Si desea llevar 3150 ladrillos ¿cuántos

Hallar x + y, si:

viajes debe hacer?

1 (5) + 2 (6) + 3 (7) + … + x (y) = 3710

1b 2b 3b abb+ + + … + = 12631

A)

A)

A) Mayor que 50B) Menor que 30C) Primo

D) Múltiplo de 5E) Múltiplo de 3

12

10

B)

B)

18

11

C)

C)

30

12

D)

D)

24

13

E)

E)

20

14

A) 10 B) 15 C) 18D) 20 E) 16

A) 10 B) 12 C) 15D) 16 E) 20

A) 44 B) 46 C) 42D) 45 E) 48

17.

18.

19.

20.

21.

Calcular la suma de cifras de "n"Si: 4 +10 + 18 + 28 + … + n = 3500

Si:

La suma de los "n" primeros números conse-tivos es igual a . Hallar "M".MMM

Si se agrega al número 42 la suma de 25 nú-meros impares consecutivos es igual a .Hallar "M".

MMM

Si: a1a a2a a3a a9a xyz419bc 18bc wmn77

+ + + … + =+ + … + =

1² + 3² + 5² + … + m² = 5456hallar: x + y + b + w + z + m

1bc

1a 2a 3a 7a bb6+ + + … + =1 + 4 + 9 + … + c = 429251 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + … + d = 42hallar a + b + c + d

16. Hallar "M"

M =[1.3 + 3.5 + 5.7 + ...n términos] + n

1² + 2² + 3² + 4² + ...n términos

A)

A)

A)

A)

A)

A)

4

12

2518

1

2

57

1)2)3)4)5)

6)7)8)9)10)

11)12)13)14)15)

16)17)18)19)20)

21)EDCAB

DEECA

CDBCA

ABDDE

E

B)

B)

B)

B)

B)

B)

3

10

2513

2

6

58

C)

C)

C)

C)

C)

C)

2

11

2314

3

8

59

D)

D)

D)

D)

D)

D)

1

13

2514

6

9

61

E)

E)

E)

E)

E)

E)

0

14

2128

7

7

55

1.

2.

3.

4.

5.

6.

C

B

C

C

C

C

1.

2.

3.

4.

Calcular

Calcular

Sea a el último dígito del número:n

Calcular la suma de todos los términos delsiguiente arreglo y dar como respuesta lasuma de cifras del resultado.

1 + 2 + 3 + ....... + n ; n∀ ∈N

5.

6.

Calcular:

Calcular:

1 +

2 6 12

1 + 1 +

+

+

+

+

+ … ∞

+ …

+

+ + + … + 110

+ ++ + +...

11x4

12

12

2005

21001

2001 x 4003

7270

2001 x 4007

4850 3720

9007

4001

13

4006

11 11

701

2003

21001

2003

21001

1213

1118

12x5

32²

13x6

52³

2001

21001

12²

12

16

112

1110

13²

14²

13²

14²

15²

A)

A)

2001

2258

784

B)

B)

C)

C)

E)

E)

2003D)

D)

A)

A)

A)

A)

1

2 x 32002

2000

8

1357

21

3579

23

57911

…

…

…

...

...

...

...

...

...

...

...

2123…...

…

3 + 22001

7000

12

3 -

4000

10

3 -

9000

13

3 -

5050

9

2

B)

B)

B)

B)

C)

C)

C)

C)

D)

D)

D)

D)

E)

E)

E)

E)

AUTOEVALUACIÓN

07. Calcular:

a) 1410 b) 1510 c) 1328d) 1420 e) 5250

08. Calcular:

a) 9512 b) 9731 c) 9615d) 9475 e) 9820

09. Hallar: P +A+ T +A+ S

Si:

a) 29 b) 31 c) 28d) 30 e) 31

10. Hallar:

a) 2 (n !) - 1 b) (n - 1)! - 1c) (n - 1)! + 1 d) (n + 1)! - 1e) (n - 2)! - 2

11. Calcular:

a) 7,35 b) 9,45 c) 8,05d) 8,50 e) 8,25

( )2a² + a - 1 = PATASa=14

50

∑

x . x!x=1

n

∑


a) 728 b) 764 c) 777d) 782 e) N.A.

02. Hallar “n” en:

a) 62 b) 60 c) 68d) 64 e) 61

03. Calcular:

a) 518 b) 513 c) 418d) 712 e) 716

04. Calcular:

a) 460 b) 525 c) 843d) 715 e) 462

05. Calcular:

a) 4960 b) 4230 c) 4980d) 4970 e) 4860

06. Hallar:

a) 1938 b) 1921 c) 1916d) 1871 e) 1891

PRACTICANDO 06

k( )2 + 2k + 1k = 5

12

∑ x² + ( )2y + 1x=12 y=8

22 44

∑ ∑

( )2n³ - 5n² + 7n + 4n=1

12

∑2 = 128a = 3n + 4n

3n + 5 n - 5

2

2

∑

3xx = 1

18

∑

x + xx=1 x=1

30 27

∑ ∑

xa=1 x=1

30 a

∑ ∑

x.yx=1y=2

x=18y=17

∑

12 + 4 + — + …

24 + 12 + 6 + …

43

x+17

38

∑

12. Si:

Calcular el valor numérico de:

a) 6 b) 10 c) 4d) 14 e) 6

13. Sabiendo que:

Calcular:

14. Determinar el valor de:

a) b) c)

d) e)

15. Simplificar:

a) a + a b) a a c) a + ad) a - a e) N.A.

0 5 5 0 6 0

6 0

16. Hallar:

a) 67 b) 69 c) 77d) 87 e) 97

17. Hallar:

a) 35 b) 30 c) 35d) 63 e) 71


a) 319 b) 310 c) 300d) 320 e) N.A.

19. Calcular:

a) 62409 b) 67782 c) 63784d) 64009 e) N.A.

20. Calcular:

a) 2460 b) 4260c) 2640 d) 2767e) 3420

x = - 4 yi x² = 10i

i=1 i=1

6 6

∑ ∑

x = (x - 1)i i

i=1

6

∑

7k=17

27

∑

2i - 1i=10

20

∑

k³k=6

22

∑

k³ - k²k=1

10

∑

(2k - 1)Ra =k=1

a

∑

Raa=1

a=n

∑

a) n (n + 1) (2 n + 1)6

b) n (n + 1)4

c) n d) n (n + 1) e)

2 2

2 n(n-2)

E =i=1

k=1k

1——in

∑∑

k=1

a -k k-1a( )6

∑

n———n + 1

n(n + 1)————2(n + 2)

n(n - 1)————2(n + 2)

n - 1———n + 1

2n———n + 1

k² - (k + 1)²k=1

7

∑

01. Calcular:S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n + 3)

a) (n 2) b) n c) (n 1)d) (n + 1) e) (n + 2)

02. Calcular:

E = 26 + 27 + 28 + ... + 62

a) 1 626 b) 1 628 c) 1 632d) 1 723 e) 1 821

03. Calcular:

S = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 841

a) 8 555 b) 8 325 c) 4 335d) 7 214 e) 8 655

04. Calcular:

S = 8 + 27 + 64 + 125 + ... + 8000

a) 44 099 b) 44 039 c) 43 099d) 46 039 e) 48 039

05. Calcular:

S = 8 + 11 + 16 + 23 + ... + 1376

a) 16 842 b) 16 372 c) 17 941d) 17 834 e) 17 931

06. Calcular:S = 1 (8) + 2 (9) + 3 (10) + ... + 15 (22)

a) 2 060 b) 2 080 c) 2 010d) 2 720 e) 2 780

07. Calcular la suma de los siguientes númerosimpares consecutivos:

S = 32 + 34 + 36 + 41 + 43 + ... + 335

a) 7 446 b) 7 448 c) 7 443d) 7 459 e) 7 643

2 2 2

2 2

(n) (n) (n) (n) (n) (n)

08. Calcular la suma de los 90 términos de:

S = 4 + 5 + 7 + 3 + 6 + 5 + 9 + 3 + ...

a) 1 346 b) 1 391 c) 1 367d) 1 361 e) 1 395

09. Calcular “S” si tiene 45 términos:

S = 1 4 + 9 16 + 25 36 + ...

a) 2 400 b) 1 225 c) 1 035d) 625 e) 3 150

10. Calcular:

S = 3 + 8 + 15 + 24 + ... + 1 680

a) 23 700 b) 23 740 c) 23 780d) 23 880 e) 25 000

11. Efectuar:

a) 5 b) 5 2 c) 3 2

d) 2 2 e) 3

12. Calcular la suma de todos los números de laforma (3 k + 2) para: k = 1, 2, 3, ... , n.

13. Hallar la suma de los 30 primeros múltiplospositivos de 3 más los 20 primeros múltiplospositivos de 5.

a) 3n + 2 b) ——(3n+7) c) ——(2n + 5)

d) 3n - 2 e) 3n - 4

a) 2 445 b) 1 395 c) 1 050d) 2 454 e) 2 654

AUTOEVALUACIÓN

22(1 + 3 + 5 + … + 99)0,1 + 0,2 + … + 1

n2

n3

14. Hallar “S” si tiene “n” términos:

S = (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + (x + 7) + ...

a) n (x n) b) n (x + n)c) n (x 1) d) n (x + 1)e) x (n 1)

15. Si en una caja coloco 2 caramelos, en otracuatro, en otra seis y así sucesivamente.¿Cuántas cajas tengo en total si sólo tengo380 caramelos?.

a) 16 b) 17 c) 18d) 20 e) 19

16. Calcular (a + b + c) si:

2 + 8 + … + 236 + 242 =

a) 9 b) 11 c) 7d) 12 e) 6

17. Hallar la suma de los siguientes 40 númerosimpares consecutivos:

16 + 18 + 21 + 23 + ...

(Dar la respuesta en base 10)

a) 2 160 b) 1 560c) 2 520 d) 2 750e) 1 900

18. Una progresión aritmética comienza en 25 ytermina en 85, la suma de sus términos es1155. ¿Cuál es la suma de los 11 primerostérminos de dicha progresión?.

a) 400 b) 420 c) 360d) 440 e) 480

19. Hallar la suma de las cifras del resultado desumar:

3 + 15 + 35 + 63 + 99 + .... (50 sumandos)

a) 18 b) 21 c) 27d) 20 e) 24

2 2

2

abbc

(n) (n) (n) (n)

20. Hallar (a + b) si:(1) (5) + (2) (6) + (3) (7) + ... + (a) (b) = 3 710

a) 46 b) 48 c) 44d) 50 e) 52

21.

a) 15 b) 18 c) 20d) 12 e) 25

22.

a) 12 b) 10 c) 25d) 15 e) 20

23.

a) S/. 32 b) S/. 64 c) S/. 96d) S/. 60 e) S/. 48

24.

a) 1 296 m b) 1 944 m c) 2 592 md) 1 620 m e) 810 m

Una persona debe recorrer 3 275 m. y lo hace de lasiguiente manera, en el primer minuto recorre “a” m,en el segundo minuto recorre “2a” m y retrocede 10m, en el tercer minuto recorre “3 a” m y retrocede 10m, en el cuarto minuto recorre “4 a” m y retrocede 10m y así sucesivamente. Llegando a la meta en 21minutos exactamente. Hallar “a”.

Un camionero lleva ladrillos de un depósito a sucasa, lleva la primera vez 28 pero se le caen 7,entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje conrespecto a cada viaje anterior, pero las caídasaumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos, si deseallevar 750 ladrillos. ¿Cuántos viajes debe hacer?.

Se contrata a un obrero para cavar en busca defósiles prometiéndole pagar una suma por el primerfósil que encuentre y que luego se le irá duplicandodicha suma por cada nuevo fósil encontrado. Siencuentra 12 fósiles y recibe 12285 soles. ¿Cuántole pagaron por el quinto fósil hallado?.

Desde el momento en que el tripulante de un globoarrojó una bomba hasta el instante en que oyó ladetonación producida por la explosión, al chocarcontra el suelo, transcurrieron 23 segundos.Sabiendo que la bomba al caer recorrió 5 m en elprimer segundo, 15 m en el segundo, 25 m en eltercer segundo, 35 m en el cuarto segundo y asísucesivamente y que el sonido recorre 324 m porsegundo. ¿Cuál es la altura en que se hallaba elglobo, suponiendo que permaneció inmóvil durantelos 23 segundos?.

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