Serie de Fourier 1

Serie de Fourier

Las primeras cuatro aproximaciones para unafuncion periódica escalonada

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmentea una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series deFourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis deFourier empleado para analizar funciones periódicas a través de ladescomposición de dicha función en una suma infinita de funcionessenoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenoscon frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francésJean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiabala ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales seriessistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisisarmónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además deser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta.Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica,procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. Eningeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y através del uso de los componentes espectrales de frecuencia de unaseñal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señalportadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

DefiniciónSi es una función (o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier asociada a es:

Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

Serie de Fourier 2

donde y

siendo :

a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódicaSupongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finitode máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p. Sean

y

entonces la serie converge a

En donde , y

Forma compactaEn ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosenoidales en lugar de amplitudes cosenoidalesy senoidal.Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

donde

Forma exponencialPor la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

En forma más compacta:

estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo con

Serie de Fourier 3

Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

donde

Ejemplos de series de Fourier

Grafico de una función periódica.

Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.

Veamos un ejemplo:

En este caso, los coeficientes deFourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

Serie de Fourier 4

IngenieríaEl análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muycomún, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

Por lo tanto:

Aplicaciones•• Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides

generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.•• Análisis en el comportamiento armónico de una señal.•• Reforzamiento de señales.•• Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o

cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente senoidal en eldominio de la frecuencia.

• La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en formade series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión delcalor, la teoría de placas, etc.

Formulación modernaRealmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funcionesque cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con . Esteconjunto, tiene definido un producto interno dado por:

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de puedandesarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto de funciones exponenciales es una baseortonormal del espacio . El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función de cuadrado integrable y los coeficientes deFourier , se verifica que:

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y elespacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

Serie de Fourier 5

Formulación generalLas propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad dehomomorfismo de las funciones ei n x.Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles,concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad dehomomorfismo".Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones seobtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles sonsoluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Fourier Series [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ FourierSeries. html

Fuentes y contribuyentes del artículo 6

Fuentes y contribuyentes del artículoSerie de Fourier  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64525611  Contribuyentes: Acratta, Agualin, Albireo3000, Anasquerastepas, Antón Francho, Barraza.ae, DFTDER, Davius,Diegusjaimes, Divalino, Dodo, Gainsbarre, Galandil, HUB, JOe-LoFish, Javierito92, Jkbw, Jmcalderon, Josgba2002, Jtico, Juan Mayordomo, Koke0 0, Lucianobello, Manwë, Mar del Sur,Matdrodes, Matiasasb, Metalfan, Neodop, O428824sc, Paintman, Paulienator, Phisicist, Raulshc, Reyesoft, Ricardogpn, Ricardos, Roberpl, Sanbec, Slacks, Tano4595, Tico, Tonchizerodos,UA31, Vic Fede, Vitamine, Wikilario, Wiyarmir, 161 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesImagen:Fourier Series.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Fourier_Series.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Jim.belkArchivo:Periodic identity.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Periodic_identity.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Joey-das-WBF, Krishnavedala,LucasVB, 1 ediciones anónimasArchivo:Periodic identity function.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Periodic_identity_function.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: LucasVB, Panther, 2ediciones anónimas

LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/