SEPARATA Curso 1ra Parte

8/14/2019 SEPARATA Curso 1ra Parte

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CURSO: Investigacin de OperacionesDocumento de trabajo

Ciclo 2008 1 3

1.1 Formulacin de modelos

Modelo formal

En toda organizacin, siempre hay objetivos que quieren ser maximizados (p.e.las utilidades, la rentabilidad de la inversin, la difusin de los avisos, lasatisfaccin de los clientes, la productividad de los trabajadores, etc.) ominimizados (p.e. costos de produccin, mermas en la materia prima, plazos deentrega de proyectos, etc.).

Estos objetivos deben ser logrados mediante decisiones (p.e. cuntos productosfabricar, cuntos trabajadores contratar, cuntas acciones comprar, en quproyectos invertir, cuntos avisos publicar, etc.).

Sin embargo, estas decisiones deben cumplir con determinadas condiciones, yasea porque los recursos con que cuenta la organizacin son limitados (p.e.materia prima, mquinas disponibles, rea de almacenamiento, presupuesto, etc.)o porque hay determinadas polticas o compromisos que cumplir (p.e. lotesmnimos de produccin, compromisos con los proveedores, normas tcnicas,acuerdos con el sindicato, etc.).

Las situaciones mencionadas generalmente conducen a la formulacin de unproblema de programacin lineal, el cual es un modelo matemtico que expresacuantitativamente el objetivo que se quiere alcanzar ( funcin objetivo ) mediantedeterminadas decisiones que estn bajo el control de quien toma la decisin(variables de decisin ) y que deben cumplir las condiciones determinadas por lasituacin analizada ( restricciones ).

Tomemos el siguiente ejemplo para mostrar cmo se formula un problema deprogramacin lineal.

Enigma S.A. es una pequea empresa fabricante de carteras de cuero. Unaimportante cadena de tiendas por departamentos est interesada en adquirir enlos prximos tres meses todas las carteras que pueda producir Enigma S.A. ensus dos tipos, (cartera estndar y cartera de lujo). Un anlisis cuidadoso de losrequerimientos de fabricacin dio como resultado la siguiente tabla en la que semuestra la necesidad de tiempos de produccin (en horas) para las tresoperaciones de manufactura que requiere cada producto.

Producto Tiempo de produccin (horas)Corte Costura Acabado

Cartera Estndar 0,5 1,0 0,5Cartera de Lujo 1,5 0,5 0,5

El departamento de Contabilidad ha determinado que la utilidad por bolsaestndar es de S/. 20 y por bolsa de lujo S/. 15.


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Ciclo 2008 1 4

El departamento de Produccin estima que para los siguientes tres meses estarndisponibles 750 horas de tiempo para Corte, 600 horas de tiempo para Costura y350 horas de tiempo para Acabado.

Tambin se sabe que el lote mnimo de produccin es de 300 unidades, encualquier combinacin de las cantidades de productos.

La pregunta es: cuntas carteras de cada tipo debe fabricar la empresa losprximos tres meses, de tal manera que se obtenga la mxima utilidad dentro delos lmites capacidad de produccin mencionados?

Primero se definen las variables de decisin en este caso:

X1: nmero de carteras estndar a fabricar los prximos tres meses.

X2: nmero de carteras de lujo a fabricar los prximos tres meses.

De acuerdo a la situacin planteada, la utilidad total por la produccin y venta delas carteras es:

Utilidad total = 20 X1 + 15 X2

La solucin ptima es la combinacin de produccin que maximice la utilidad,el problema es determinar los valores de las variables X1 y X2 que dan el valorms elevado de utilidad.

Max 20 X1 + 15 X2

La produccin de las carteras est limitada por la cantidad de horas disponibles.

De la tabla sabemos que cada cartera estndar necesita de 0,5 horas de Corte porlo que X1 carteras estndar necesitarn 0,5 X1 horas de Corte. As tambin, unacartera de lujo necesita 1,5 horas de Corte por lo que X2 carteras de lujonecesitarn 1,5 X2 horas de Corte. El total de horas utilizadas para producir X1 carteras estndar y X2 carteras de lujo es:

Total de horas utilizadas en la operacin de corte =0,5 X1 + 1,5 X2

En vista que para Corte slo se dispone de 750 horas, se debe cumplir que:

0,5 X1 + 1,5 X2 750 Horas disponibles para Corte

Esta desigualdad se conoce como restriccin . En general una restriccin es unalimitacin de un recurso a utilizar ( ) o un requerimiento mnimo a satisfacer(), que puede ser expresada matemticamente como una desigualdad o igual-dad, y que debe ser cumplida por las variables del modelo.


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Ciclo 2008 1 5

De manera similar a la operacin de Corte, las limitaciones de horas para lasotras operaciones son las siguientes restricciones:

X1 + 0,5 X2 600 Horas disponibles para Costura

0,5 X1 + 0,5 X2 350 Horas disponibles para Acabado

Tambin hay un lote mnimo a producir, es decir la cantidad de unidades aproducir (X 1 + X2) debe ser por lo menos 300 unidades, entonces la restriccines:

X1 + X2 300 Lote mnimo de produccin

Adems debemos considerar que no pueden producirse un nmero de carterasnegativo, por lo tanto debe cumplirse:

X1 0 y X2 0 Condiciones de no negatividad

Estas restricciones aseguran que la solucin no tendr valores negativos y se lesconoce como condiciones o restricciones de no negatividad .

En resumen, el modelo formal de programacin lineal para el problema plan-teado es el siguiente:

Max 20 X1 + 15 X2 Utilidad en solesSujeto a:

0,5 X1 + 1,5 X2 750 Horas disponibles para CorteX1 + 0,5 X2 600 Horas disponibles para Costura

0,5 X1 + 0,5 X2 350 Horas disponibles para AcabadoX1 + X2 300 Lote mnimo de produccinX1, X2 0 Condiciones de no negatividad

Sobre el modelo formal de programacin lineal hay que hacer algunasobservaciones:

La funcin objetivo puede ser minimizar. Las restricciones tambin pueden ser estrictamente de igualdad (=), mayor

que (>) o menor que (


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Ciclo 2008 1 6

Guas para la formulacin de modelos

Como hemos visto, formulacin de modelos de programacin lineal es elproceso mediante el cual un enunciado verbal se traduce en un enunciado

matemtico.

El modelado de problemas de programacin lineal slo se puede dominar con laprctica y la experiencia. A continuacin se dan una guas para la formulacinde modelos:

Comprenda el problema en su totalidad.

Identifique el enunciado verbal de la funcin objetivo y de cada una de lasrestricciones.

Defina las variables de decisin.

Describa la funcin objetivo en funcin de las variables de decisin.

Escriba las restricciones en funcin de las variables de decisin.

Problema 1.1.- Enigma Diet S.A. es una empresa que produce alimentos dietticos. En la lneade alimentos deshidratados produce dos tipos de alimentos: Fit y Sbelt . Cadatipo de alimento deshidratado se produce mezclando trigo, fruta deshidratada yavena. En la siguiente tabla se presentan los precios de venta de los productos y

los precios de compra de los insumos (en nuevos soles) programados para elsiguiente mes:

Producto Precio de venta( 1 Kg.)

Insumo Precio de compra(1 Kg.)

Mxima cantidaddisponible (Kg.)

Fit 14 Trigo 6 10 000Sbelt 10 Fruta deshidratada 4 5 000

Avena 2 No tiene lmite

En la programacin de la produccin del prximo mes, Enigma debe tener encuenta las siguientes condiciones: El producto Fit debe tener un contenido de por lo menos de 30% de trigo y a

lo ms de 50% de fruta deshidratada. El producto Sbelt debe tener por lo menos 45% de trigo y a lo ms 40% de

frutas deshidratadas. La transformacin de un kilogramo de insumos en producto Fit cuesta $1,2 y

en el caso del producto Sbelt la transformacin cuesta $1. Existe un compromiso en realizar una entrega de 6 000 kilogramos del

producto Fit . Dada la gran demanda de productos dietticos, todos los productos

elaborados por Enigma se venden.


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Ciclo 2008 1 7

En el proceso de mezclado de los insumos existe una merma en el peso de5%, es decir, por cada kilogramo de insumos se obtiene 0,95 kilogramos deproducto.

Determine el modelo de programacin lineal que maximice las utilidades

obtenidas por la produccin y venta de los productos Fit y Sbelt .

Solucin:

X1A: Kilogramos de trigo utilizados en el producto Fit X2A: Kilogramos de fruta deshidratada utilizados en el producto Fit X3A: Kilogramos de avena utilizados en el producto Fit X1B: Kilogramos de trigo utilizados en el producto Sbelt X2B: Kilogramos de fruta deshidratada utilizados en el producto Sbelt X3B: Kilogramos de avena utilizados en el producto Sbelt

Max 14 . 0,95 (X1A + X2A + X3A) + ingreso por venta de producto Fit 10 . 0,95 (X1B + X2B + X3B) ingreso por venta de producto Sbelt 6 (X1A + X1B) costo del trigo 4 (X2A + X2B) costo de fruta deshidratada 3 (X3A + X3B) costo de avena 1,2 (X1A + X2A + X3A) costo de mezcla de insumos de Fit 1 (X1B + X2B + X3B) costo de mezcla de insumos de Sbelt

Sujeto a:X1A 0,30 (X1A + X2A + X3A) contenido de trigo en FitX2A 0,50 (X1A + X2A + X3A) contenido de fruta deshidratada en FitX1B 0,45 (X1B + X2B + X3B) contenido de trigo en SbeltX2B 0,40 (X1B + X2B + X3B) contenido de fruta deshidratada en SbeltX1A + X1B 10 000 disponibilidad de trigoX2A + X2B 5 000 disponibilidad de fruta deshidratada 0,95 ( X1A + X2A + X3A ) 6 000 compromiso de entrega de Fit

X1, X2 0 condiciones de no negatividad

Finalmente, el modelo quedara:

Max 6,1 X1A + 8,1 X2A + 9,1X3A + 2,5 X1B + 4,5 X2B + 5,5 X3B

Sujeto a:0,70 X1A - 0,30 X2A - 0,30 X3A 0 0,50 X2A - 0,50 X1A - 0,50 X3A 0 0,55 X1B - 0,45 X2B - 0,45 X3B 0 0,60 X2B - 0,40 X1B - 0,40 X3B 0

X1A + X1B 10 000X2A + X2B 5 000

0,95 X1A + 0,95 X2A + 0,95 X3A 6 000X1, X2 0


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Ciclo 2008 1 10

Luego se establece la regin que corresponde a la desigualdad:

0,5 X1 + 1,5 X2 750

La regin definida por la restriccin (1) interceptada con la regin definida porlas condiciones de no negatividad determina la regin indicada en el siguientegrfico.

X 1

X 2

(1)

10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 600 700 80 0 90 0 10 00 110 0 120 0 1 300 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0,5 X1 + 1,5 X2 750

X 1

X 2

(1)

10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 600 700 80 0 90 0 10 00 110 0 120 0 1 300 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

X 1

X 2

(1)

10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 600 700 80 0 90 0 10 00 110 0 120 0 1 300 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

X 1

X 2

(1)

10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 600 700 80 0 90 0 10 00 110 0 120 0 1 300 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0,5 X1 + 1,5 X2 750

X 1

X 2

(1)

100 20 0 30 0 400 500 600 700 800 90 0 10 00 1 100 1 200 1 300 1 40 0 150 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

X 1

X 2

(1)

100 20 0 30 0 400 500 600 700 800 90 0 10 00 1 100 1 200 1 300 1 40 0 150 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

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Ciclo 2008 1 11

El procedimiento seguido para representar la restriccin (1) es el mismo paracada una de las otras restricciones. Por ejemplo, si representamos en el plano larestriccin (2):

X1 + 0,5 X2 600

La regin definida por la restriccin (2) se intercepta con las establecidas por lasrestricciones anteriores. La representacin grfica de los puntos que cumplen lasrestricciones hasta ahora analizadas es como se indica a continuacin:

X 1

X 2

10 0 200 30 0 40 0 50 0 600 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 1 20 0 13 00 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(2)

X1 + 0,5 X2 600

X 1

X 2

10 0 200 30 0 40 0 50 0 600 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 1 20 0 13 00 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(2)

X 1

X 2

10 0 200 30 0 40 0 50 0 600 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 1 20 0 13 00 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(2)

X 1

X 2

10 0 200 30 0 40 0 50 0 600 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 1 20 0 13 00 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(2)

X1 + 0,5 X2 600

X 1

X 2

10 0 20 0 30 0 400 500 600 700 800 900 1000 1 100 12 00 13 00 14 00 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(1)

(2)

X 1

X 2

10 0 20 0 30 0 400 500 600 700 800 900 1000 1 100 12 00 13 00 14 00 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(1)

(2)


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Ciclo 2008 1 12

Para el caso de la restriccin (3)

0,5 X1 + 0,5 X2 350

La regin de puntos que cumplen las restricciones hasta ahora analizadas es lasiguiente:

X 1

X 2

10 0 200 30 0 40 0 50 0 600 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 12 00 13 00 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(3)

0,5 X1 + 0,5 X2 350

X 1

X 2

10 0 200 30 0 40 0 50 0 600 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 12 00 13 00 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(3)

X 1

X 2

10 0 200 30 0 40 0 50 0 600 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 12 00 13 00 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(3)

X 1

X 2

10 0 200 30 0 40 0 50 0 600 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 12 00 13 00 14 00 15 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(3)

0,5 X1 + 0,5 X2 350

X 1

X 2

(1)

100 200 300 400 500 600 70 0 800 900 1000 1 100 12 00 1300 1400 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(2)

(3)

X 1

X 2

(1)

100 200 300 400 500 600 70 0 800 900 1000 1 100 12 00 1300 1400 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(2)

(3)


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Ciclo 2008 1 13

Finalmente, la restriccin (4)

X1 + X2 300

Entonces la interseccin de todas las regiones determinadas por las restriccionesser:

X 1

X 2

10 0 200 300 400 50 0 600 700 800 90 0 10 00 1 100 1 200 1 300 14 00 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(4)

X1 + X2 300

X 1

X 2

10 0 200 300 400 50 0 600 700 800 90 0 10 00 1 100 1 200 1 300 14 00 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(4)

X 1

X 2

10 0 200 300 400 50 0 600 700 800 90 0 10 00 1 100 1 200 1 300 14 00 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(4)

X1 + X2 300

X 1

X 2

10 0 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 100 1 200 1 30 0 1400 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(1)

(2)

(3)

(4)

X 1

X 2

10 0 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 100 1 200 1 30 0 1400 1 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

(1)

(2)

(3)

(4)


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Ciclo 2008 1 14

La regin de puntos que cumplen simultneamente todas las restricciones seconoce como regin factible y es la que se muestra en el grfico siguiente. Cadauno de los vrtices de regin factible se conoce como punto extremo (A, B, C,D, E y F). Cada uno de los puntos que forman parte de la regin factible seconoce como solucin factible . La solucin factible que optimiza (en este caso

maximiza) la funcin objetivo se le conoce como solucin ptima .

Solucin ptima y valor ptimo:

El siguiente paso es encontrar los valores de X1 y X2 que den el mximo valorposible a la funcin objetivo:

Utilidad total = 20 X1 + 15 X2

Dado un valor de utilidad total en particular, todos los pares de valores X1 y X2 que dan dicho valor de utilidad describen una recta, razn por la cual se ledenomina recta isoutilidad. Inicialmente tracemos en el plano algunas rectas queexpresen valores arbitrarios de utilidades, por ejemplo:

20 X1 + 15 X2 = 3 000

20 X1 + 15 X2 = 6 000

20 X1 + 15 X2 = 9 000

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

Reginfactible

A

B

C

D

EF

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

Reginfactible

A

B

C

D

EF


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Ciclo 2008 1 15

El grfico a continuacin muestra la regin factible y las rectas de isoutilidadmencionadas.

Como se puede apreciar en el caso de la primera recta ( 20 X1 + 15 X2 = 3 000),ninguno de sus puntos intercepta la regin factible y por lo tanto ningunacombinacin de X1 y X2 que den utilidad 3000 cumple con todas las restricciones.

La segunda recta ( 20 X1 + 15 X2 = 6 000) s tiene puntos dentro de la regin factible ypor lo tanto s hay valores de X1 y X2 que dan una utilidad de 6000 y que cumplenlas restricciones.

Al trazar la tercera recta ( 20 X1 + 15 X2 = 9 000) sucede algo similar a la anterior.

Observando el grfico podemos notar tambin que a medida que aumentamos elvalor de la funcin objetivo, las rectas de isoutilidad se desplazanparalelamente siguiendo la direccin indicada por la flecha. Como nuestroobjetivo es maximizar la utilidad, entonces debemos encontrar una recta de

isoutilidad lo ms desplazada en la direccin indicada pero sin salir de laregin factible.

En el ejemplo, el mximo valor de utilidad se logra cuando la recta de isoutilidadpasa por el vrtice D, y por lo tanto el punto D es la solucin ptima.

Los valores de X1 y X2 del punto D se obtienen del mismo grfico, o dado que elpunto pertenece a las restricciones (2) y (3), se obtienen tambin resolviendo elsiguiente sistema de ecuaciones:

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

2 0 X 1 + 1 5 X

2 = 9 0 0 0

2 0 X 1 + 1

5 X 2 = 6 0 0 0

2 0 X 1 + 1 5 X

2 = 3 0 0 0

D i r e c c i

n d e i n c

r e m e n t o

d e l a f u

n c i n o b

j e t i v o

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

2 0 X 1 + 1 5 X

2 = 9 0 0 0

2 0 X 1 + 1

5 X 2 = 6 0 0 0

2 0 X 1 + 1 5 X

2 = 3 0 0 0

D i r e c c i

n d e i n c

r e m e n t o

d e l a f u

n c i n o b

j e t i v o


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Ciclo 2008 1 16

X1 + 0,5 X2 = 600 (restriccin 2)

0,5 X1 + 0,5 X2 = 350 (restriccin 3)

Los valores obtenidos son: X1 = 500y X2. = 200. Reemplazando estos valores en lafuncin objetivo se obtiene el valor ptimo igual a S/. 13 000.

Podemos concluir que si para los prximos 3 meses se produjera 500 carterasestndar y 200 carteras de lujo se obtendra la mxima utilidad posible la cualsera S/. 13 000.

Del mtodo grfico podemos concluir:

Las rectas de isoutilidad son paralelas. Por lo tanto, lo importante de trazaruna recta con valor de utilidad arbitraria y la desplazamos paralelamenteen la direccin conveniente hasta determinar el punto ptimo.

La direccin a la cual se desplazar la recta de la funcin objetivo (haciadonde aumenta o disminuye el valor de la funcin objetivo) se hardependiendo si el objetivo del problema es de maximizar o minimizar.

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

solucin ptima

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

solucin ptima


15/84


Ciclo 2008 1 17

Debido a que la recta de isoutilidad se desplaza hasta un extremo de laregin factible, la solucin ptima siempre es un punto extremo o vrtice dela regin factible.

La solucin ptima es el punto de intercepcin de dos rectas, los valores

correspondientes a X1 y X2 se determinan grficamente o resolviendo unsistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las rectas de lasrestricciones.

Holguras y excedentes:

Si reemplazamos los valores de la solucin ptima ( X1 = 500; X2. = 200) en laprimera restriccin ( 0,5 X1 + 1,5 X2 750) que corresponde a las horasdisponibles para Corte tenemos:

0,5 . 500 + 1,5 . 200 = 550 750

550 750

Esto no slo significa que cumple la restriccin, tambin significa que de las 750horas disponibles para Corte, si se ejecutara el plan de produccin ptimo slose necesitaran 550 horas. Es decir, quedaran 200 horas libres. La diferenciaentre el recurso disponible (750) y lo que se utilizara (550) al ejecutar lasolucin propuesta se denomina holgura . En este caso la holgura es 200 horas

Si reemplazamos los valores de las variables de la solucin ptima en la segundarestriccin ( X1 + 0,5 X2 600) que corresponden a las horas disponibles paraCostura tenemos:

500 + 0,5 . 200 600

600 600

Esto significa que de las 600 horas disponibles para Costura, si se ejecutara elplan ptimo de produccin se utilizaran las 600 horas, es decir, estamosutilizando todo el recurso disponible. En este caso decimos que la holgura escero horas.

Si reemplazamos los valores de las variables de la solucin ptima en la tercerarestriccin ( 0,5 X1 + 0,5 X2 350) que corresponden a la horas disponibles paraAcabado tenemos:

0,5 . 500 + 0,5 . 200 350

350 350


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Ciclo 2008 1 18

Esto significa que de las 350 horas disponibles para Acabado, si se ejecutara elplan ptimo de produccin se utilizaran todas las horas disponibles. En estecaso, como en la anterior restriccin, la holgura es cero.

Si reemplazamos los valores de las variables en la solucin ptima en la cuarta

restriccin ( X1 + X2 300) que corresponde al lote mnimo de produccin ,tenemos:

500 + 200 300

700 300

Esto significa que con el plan ptimo de produccin, se producirn 400 unidadesms de la cantidad mnima requerida. La diferencia entre lo que realmente seest obteniendo al ejecutar la solucin propuesta (700) y el requisito mnimo acumplir (300) se denomina excedente . En este caso se dice que se cumple elrequerimiento mnimo de produccin con un excedente de 400 unidades.

Las holguras se presentan en las restricciones del tipo ( ) y los excedentes sepresentan en las restricciones del tipo ( ).

Las restricciones con holgura o excedente cero se denominan restriccionesactivas y son las que determinan la solucin ptima. Estas restricciones son lasms importantes en el modelo de programacin lineal.

Cuando las restricciones tienen holguras o excedentes mayores a cero sedenominan restricciones no activas . Estas restricciones estn en un segundonivel de importancia.

Tambin existen algunas restricciones no activas que se denominanrestricciones redundantes , es decir, restricciones que no definen la reginfactible y que perfectamente pudieron no ser consideradas. De todos los tipos derestricciones son las menos importantes.

Problema 1.2.-Dado el siguiente problema de programacin lineal:

Min 2 X1 + 2 X2 sujeto a:

X1 + 3 X2 123 X1 + X2 12

X1 , X2 0

Mediante el mtodo grfico determine:a. La regin factible.b. Los puntos extremos de la regin factiblec. La solucin ptima.d. La regin factible y la solucin ptima si se agrega la restriccin: X1 - X2 = 3.


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Ciclo 2008 1 19

X2

X12 4 6 8

2

4

6

8

1 3 5 7 9 10 11 12

1

3

5

7

9

10

11

12

A

BC

X2

X12 4 6 8

2

4

6

8

1 3 5 7 9 10 11 12

1

3

5

7

9

10

11

12

A

BC

Solucin:

a. La regin factible es:

b. Los puntos extremos son:

A: x1 = 3; x 2 = 3B: x1 = 12; x 2 = 0

C: x1 = 4; x 2 = 0

c. La solucin ptima es el vrtice C.

X2

X12 4 6 8

2

4

6

8

1 3 5 7 9 10 11 12

1

3

5

7

9

10

11

12

3 X 1

+ x

2 = 1 2

X 1 + 3 x

2 = 1 2

Regin factible

A

BC

X2

X12 4 6 8

2

4

6

8

1 3 5 7 9 10 11 12

1

3

5

7

9

10

11

12

3 X 1

+ x

2 = 1 2

X 1 + 3 x

2 = 1 2

Regin factible

X2

X12 4 6 8

2

4

6

8

1 3 5 7 9 10 11 12

1

3

5

7

9

10

11

12

3 X 1

+ x

2 = 1 2

X 1 + 3 x

2 = 1 2

Regin factible

A

BC


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Ciclo 2008 1 20

X2

X12 4 6 8

2

4

6

8

1 3 5 7 9 10 11 12

1

3

5

7

9

10

11

12

D

E

-2

-3

-1

X 1 X 2

= 3

X2

X12 4 6 8

2

4

6

8

1 3 5 7 9 10 11 12

1

3

5

7

9

10

11

12

D

E

-2

-3

-1

X 1 X 2

= 3

d. Dado que la nueva restriccin es una igualdad, slo los puntos del segmentoDE que pertenece a la recta forman la regin factible.

Los puntos extremos son:

D: X1 = 3,75 y X 2 = 0,75E: X1 = 5,25 y X 2 = 2,25

La solucin ptima es el punto D.


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Ciclo 2008 1 21

Casos especiales

Soluciones ptimas alternativas:

Las soluciones ptimas alternativas se presentan cuando ms de una solucinnos da el valor ptimo de la funcin objetivo. Grficamente se puede ver cuandola lnea de la funcin objetivo coincide con una de las lneas de restriccin derecursos.

Tomando como referencia el modelo de Enigma S.A. pero esta vez cambiemos lafuncin objetivo es: 15 X1 + 15 X2. Obtengamos grficamente la solucin ptima.

Como no han cambiado las restricciones, la regin factible tampoco cambia. Altrazar la recta de mxima utilidad, el vrtice D (500, 200) sigue siendo solucinptima, pero tambin el punto C (300, 400). De hecho, cualquier punto sobre elsegmento CD es solucin ptima. Por lo tanto, si existe ms de una solucinptima se dice que el problema tiene soluciones ptimas alternativas.

Si reemplazamos el punto C y el punto D en la funcin objetivo tendremos:

Utilidad en el punto D: 15 . 500 + 15 . 200 = 10 500

Utilidad en el punto C: 15 . 300 + 15 . 400 = 10 500

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

l n e a d e u t i l i d a d m x i m a

Puntos de solucin ptima

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

l n e a d e u t i l i d a d m x i m a

Puntos de solucin ptima


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Ciclo 2008 1 22

Regin no factible:

Una regin no factible se presenta cuando no existe solucin al problema quesatisfaga simultneamente todas las restricciones

Tomando como referencia el modelo de Enigma S.A. obtenga grficamente laregin factible si adems agregamos las siguientes restricciones: se sabe que laproduccin mnima de las carteras estndar debe ser 600 unidades y de lascarteras de lujo 200 unidades.

A la regin factible original se le intercepta con la regin determinada por lasdos nuevas restricciones:

X1 600 (5) Lote mnimo de carteras estndar

X2 200 (6) Lote mnimo de carteras de lujo

Como se puede apreciar, la intercepcin de las regiones es vaca, es decir,ningn punto cumple simultneamente con todas las restricciones. Se diceentonces que el problema tiene una regin no factible y consecuentemente notiene soluciones factibles ni solucin ptima.

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

X1 600 y X2 200

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

X1 600 y X2 200

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

X1 600 y X2 200

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

X1 600 y X2 200


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Ciclo 2008 1 23

Regin factible no acotada:

Una regin factible no acotada se presenta cuando no est limitada en uno de suslados.

Para mostrar el concepto resolvamos el siguiente modelo de programacinlineal:

Max 20 X1 - 15 X2 Sujeto a:

X1 100 (1)X2 200 (2)X1, X2 0

Al trazar las restricciones observamos que la regin factible se prolongaindefinidamente hacia la derecha y se dice que es una regin factible no acotada.Al tratar de hallar la solucin ptima, la rectas de isoutilidad se pueden desplazaren la direccin creciente indefinidamente, por lo que el problema carece desolucin ptima.

Sin embargo, si la funcin objetivo hubiese sido de minimizacin, la solucinptima s existira y sera el vrtice B

En conclusin, puede existir una regin factible no acotada y dependiendo de lafuncin objetivo puede o no carecer de solucin ptima.

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

X1 100 y X2 200

En esta direccin elproblema tiene como

solucin ptimael vrtice B(100,200)

En esta direccin elproblema carece

de solucin ptima

A

B

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

X1 100 y X2 200

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

X1 100 y X2 200

En esta direccin elproblema tiene como

solucin ptimael vrtice B(100,200)

En esta direccin elproblema carece

de solucin ptima

A

B


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Ciclo 2008 1 24

Problema 1.3.-El siguiente problema de programacin lineal, qu tipo de soluciones tiene?

Max X1 + X2

sujeto a:4 X1 + 3 X2 122 X2 4

X1 , X2 0

Solucin:

La regin es no acotada y no existe solucin ptima.

X2

X11 2 3 4

1

2

3

4

Regin factible

X2

X11 2 3 4

1

2

3

4

Regin factible


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24/84


Ciclo 2008 1 26

Si la pendiente de la funcin objetivo excede el rango, la solucin ptimacambia, geomtricamente ya no es el punto D. Si la recta cambi a ms verticalla nueva solucin ptima es el punto E. Si la recta cambi a ms horizontal, lanueva solucin ptima es el punto C.

Calculemos ahora cunto puede variar el coeficiente de una variable en lafuncin objetivo sin que vare la solucin ptima. Volvamos al problema

Enigma S.A. y su produccin de carteras. La pregunta sera cul es el rango devariacin de la utilidad unitaria de la cartera estndar sin que cambie el plan deproduccin?

La utilidad unitaria actual de la cartera estndar es 20. Reemplacemos dichovalor por uno genrico C 1. Entonces la funcin objetivo ser:

Max C1 X1 + 15 X2

La pendiente de la recta es:

15C

m 1fo =

Para que la solucin ptima no cambie se debe cumplir que:

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

Reginfactible

solucin ptima

restriccin 3

0,5 x1 + 0,5 x2 = 350m =- 1

restriccin 2x1 + 0,5 x2 = 600

m =- 2

funcin objetivo20 x1 + 15 x2 = 13 000

m =- 4 / 3

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

Reginfactible

solucin ptima

restriccin 3

0,5 x1 + 0,5 x2 = 350m3 - 1

restriccin 2x1 + 0,5 x2 = 600

m2 - 2

funcin objetivo20 x1 + 15 x2 = 13 000

mfo - 4 / 3


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Ciclo 2008 1 27

30C15

115C

2

1m2

1

1

fo

La solucin matemtica es que mientras el coeficiente de X1 en la funcinobjetivo tenga un valor entre 15 y 30, la solucin ptima siempre ser X1 = 500 yX2 = 200. La interpretacin de la solucin matemtica es: mientras que la utilidadde la cartera estndar tenga un valor entre 15 y 30 soles, el plan de produccinque maximiza la utilidad ser producir 500 carteras estndar y 200 carteras delujo.

El mismo anlisis se podr realizar para determinar el rango de variacin de lautilidad unitaria de la cartera de lujo. La utilidad unitaria actual de la cartera delujo es 15. Reemplacemos dicho valor por uno genrico C 2. Entonces la funcinobjetivo ser

Max 20 X1 + C2 X2

La pendiente de la recta es:

2fo C

20m =

Para que la solucin ptima no cambie se debe cumplir que:

20C01

1C20

2

1m2

2

2

fo

La solucin matemtica es que mientras el coeficiente de X2 en la funcinobjetivo tenga un valor entre 10 y 20, la solucin ptima siempre ser X1 = 500 yX2 = 200. La interpretacin de la solucin matemtica es: mientras que la utilidadde la cartera de lujo tenga un valor entre 20 y 40 soles, el plan de produccin quemaximiza la utilidad ser producir 500 carteras estndar y 200 carteras de lujo.

Los rangos entre los que pueden variar los coeficientes de las variables en lafuncin objetivo sin que vare la solucin ptima se conocen como rangos de

optimalidad .


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Ciclo 2008 1 28

Cambios en los lados derechos de las restricciones:

Para mostrar el efecto en el cambio del lado derecho de una restriccin,volvamos al modelo de programacin lineal de Enigma S.A. Tomemosinicialmente una restriccin activa, por ejemplo la restriccin 2, que es:

Restriccin 2: X1 + 0,5 X2 600 Horas disponibles para Costura

Cambiemos el lado derecho de la restriccin de 600 horas disponibles a 500horas disponibles, entonces la restriccin 2 quedara:

Restriccin 2 : X1 + 0,5 X2 500 Horas disponibles para Costura

Geomtricamente el cambio del lado derecho de un recurso producir undesplazamiento paralelo de la recta de restriccin producindose un cambio en laregin factible. Adems, como la restriccin es activa, el punto de solucinptima tambin cambia, lo cual se aprecia claramente en el siguiente grfico.

Como las horas disponibles para Costura son un recurso limitante (se utiliza latotalidad de dicho recurso y por lo tanto la restriccin es activa) un cambio en lacantidad del recurso disponible no solo cambiar la regin factible y la solucinptima sino que como en este caso el cambio disminuye un recurso limitante, laregin factible disminuye en tamao (ms difcil de cumplir y por lo tanto menospuntos cumplen) y la solucin ptima empeora (la solucin ptima se debelograr con menos recursos). Lgicamente si el cambio aumentara ladisponibilidad del recurso limitante, la regin factible aumentara en tamao y lasolucin ptima mejorara.

La nueva solucin ptima es X1 = 300 y X2 = 400; el valor ptimo es S/. 12 000. Comoya analizamos, la disminucin de un recurso limitante disminuye la utilidad.

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

solucinptima

restriccin 2x1 + 0,5 x2 600

funcin objetivoptima

reginfactible

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

solucinptima



reginfactible

D

E

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C D

F

nuevareginfactible

E

nuevasolucinptima


NuevafuncinObjetivo ptima

D

E

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C D

F

nuevareginfactible

E

nuevasolucinptima


NuevafuncinObjetivo ptima


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Ciclo 2008 1 29

Ahora centremos nuestro anlisis en el cambio del lado derecho de unarestriccin no activa, por ejemplo la restriccin 4 que es:

Restriccin 4: X1 + X2 300 Lote mnimo de produccin

Cambiemos el lado derecho de la restriccin de un lote mnimo de 300 unidadesa 200 unidades, entonces la restriccin 4 quedara:

Restriccin 4 : X1 + X2 200 Lote mnimo de produccin

El cambio del lado derecho de la restriccin se puede apreciar en el siguientegrfico:

Como el lote mnimo de produccin no es una condicin a cumplir limitante (seexcede lo mnimo requerido) un cambio en dicha condicin mnima cambiarslo la regin factible pero no la solucin ptima. Como en este caso el cambioen la condicin mnima disminuye, la regin factible aumenta en tamao (msfcil de cumplir y por lo tanto ms puntos cumplen) pero la solucin ptima no

cambia (la solucin ptima cumple largamente lo mnimo requerido).Lgicamente si el cambio aumentara la condicin mnima requerida, la reginfactible disminuira de tamao pero la solucin ptima no cambiaranecesariamente.

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

solucinptima

restriccin 4x1 + x2 200


nuevareginfactible

X 1

X 2

100 200 30 0 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

solucinptima

restriccin 4x1 + x2 200restriccin 4x1 + x2 200



nuevareginfactible

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

solucinptima


reginfactible

restriccin 4x1 + x2 300

X 1

X 2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

A

B

C

D

EF

solucinptima



reginfactible

restriccin 4x1 + x2 300restriccin 4x1 + x2 300


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Ciclo 2008 1 30

Precio Dual:

El Precio dual de una restriccin es la mejora del valor ptimo si se agrega unaunidad adicional al lado derecho de dicha restriccin.

Dado que el precio dual de una restriccin es la mejora del valor ptimo, estamejora va a depender si el modelo es de maximizar o minimizar la funcinobjetivo. Si el objetivo es maximizar, entonces la mejora significar un aumentodel valor ptimo. Si el objetivo es minimizar, entonces la mejora significar unadisminucin del valor ptimo.

Para ilustrar el clculo y la interpretacin del precio dual, retomemos el ejemplode la produccin de las carteras estndar y de lujo y calculemos el precio dual dela restriccin 3.

Aumentamos una unidad el lado derecho de dicha restriccin y calculemos lanueva solucin ptima:

X1 + 0,5 X2 = 600 (restriccin 2)

0,5 X1 + 0,5 X2 = 351 (restriccin 3)

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos la nueva solucin ptima : X1 =498 y X2 = 204. Reemplazando estos valores en la funcin utilidad, nuevo valorptimo es 13 020. Si compara estos resultados con la solucin ptima original(X1 = 500, X2 = 200) y valor ptimo original ( 13 000) notar un cambio de valores.

El aumento en 1 del lado derecho de la restriccin 3 ha producido una mejora de20 en el valor ptimo, es decir, el precio dual de la restriccin 3 es 20. Lainterpretacin del precio dual de la restriccin 3 es que si aumentamos una horala capacidad del departamento de Acabado, este aumento generar unincremento de S/. 20 en la utilidad.

Costo Reducido:

El costo reducido de una variable en el modelo de programacin lineal es lacantidad en que debe cambiar el coeficiente de esa variable en la funcinobjetivo para que en la solucin ptima dicha variable tenga un valor positivo

Tambin se interpreta como el valor que disminuye la funcin objetivo cuandoesta variable cuyo valor ptimo es cero, es forzada a entrar en una unidad.

Como en el ejemplo de las carteras, la solucin ptima tiene valores de lasvariables positivas, entonces no es necesario realizar ningn cambio en loscoeficientes de las variables en la funcin objetivo y por lo tanto el costoreducido de ambas variables es cero.


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Ciclo 2008 1 31

Sobre el anlisis de sensibilidad se podra concluir que:

Al cambiar los coeficientes de la funcin objetivo, sta puede cambiar supendiente. El cambio de la pendiente puede afectar a la solucin ptima y al

valor ptimo.

El cambio en el valor del lado derecho de una restriccin produce undesplazamiento paralelo de la restriccin. Esto puede afectar tanto a lasolucin ptima como al valor ptimo. El efecto depender de qurestriccin se haya cambiado y en qu medida.

Estrechar una restriccin de desigualdad significa hacerla ms difcil desatisfacer. Para una restriccin esto significa aumentar el lado derecho.Para una restriccin significa disminuirlo.

Relajar una restriccin de desigualdad, o bien contrae el conjunto factible oposiblemente queda inalterado. Al relajar una restriccin de desigualdad obien se expande el conjunto factible o posiblemente quede inalterado.

Al estrechar una restriccin de desigualdad, o bien se contrae el conjuntofactible posiblemente quede inalterado. Al relajar una restriccin dedesigualdad o bien se expande el conjunto factible o posiblemente quedeinalterado.

Una restriccin es redundante si al ser retirada no cambia la regin factible.

Es muy importante considerar que una restriccin puede ser redundante paraun conjunto dado, no lo sea cuando se cambian algunos datos.

En cualquier modelo de programacin lineal, para un conjunto fijo de datos,las restricciones inactivas pueden ser retiradas sin afectar la solucin ptima.Esta depende por completo de las restricciones activas.

Al eliminar las restricciones la regin factible queda inalterada o aumenta.

La adicin de restricciones hace que la regin factible quede inalterada o sereduzca.

La adicin de restricciones a un modelo o bien empeora el valor ptimo o lo

deja inalterado. La eliminacin de restricciones o bien mejora el valorptimo o lo deja inalterado.


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Ciclo 2008 1 32

Problema 1.4.-Dado el siguiente problema de programacin lineal:

Max 100 X1 + 500 X2 sujeto a:

3 X1 + 2 X2 6002 X1 + 4 X2 800X1 , X2 0

Encuentre el precio dual y el costo reducido de las variables.

Solucin:

Conceptos clave:

Variable de decisin:son los valores sobre los cuales se va a tomar decisiones, es decir estn bajo el control del decidor.

Funcin objetivo:expresin matemtica que resume el objetivo a optimizar por el modelo

Restriccin:Son los requisitos que debe cumplir los valores de las variables.

X 2

X 2100 200 300 400

100

200

300

400

X 2

X 2100 200 300 400

100

200

300

400


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Ciclo 2008 1 33

Conceptos clave:

Regin factible: Conjunto de soluciones que satisfacen todas las restricciones de manerasimultnea.

Puntos extremos: Los puntos factibles de la solucin que ocurren en los vrtices o esquinasde la regin factible.

Solucin: cualquier conjunto de valores de las variables

Solucin factible: una solucin que satisface todas las restricciones o limitantes.

Solucin ptima: una solucin que cumpliendo con todas las restricciones, maximiza (ominimiza) la funcin objetivo.

Valor pt imo: valor de la funcin objetivo en la solucin ptima.

Restriccin activa: restriccin que indica que para el caso de la solucin ptima un recurso seest utilizando totalmente (en el caso) o se est cumpliendo una condicin con lo mnimo

indispensable (en el caso).

Restriccin no activa: restriccin que indica que para el caso de la solucin ptima un recursotiene excedentes (en el caso) o se est cumpliendo una condicin con ms de lo mnimoindispensable (en el caso).

Restriccin redundante: restriccin que no influye en la regin factible y consecuentementeen la solucin ptima. Su presencia en el modelo no es necesaria.

Holgura: aplicada la solucin ptima en una restriccin es la cantidad de recurso no utilizadoen dicha restriccin.

Excedente: aplicada la solucin ptima en una restriccin es la cantidad adicional queexcede el lado derecho a lo mnimo indispensable requerido por dicha restriccin.

Solucin ptima alternativa: La situacin en la cual un programa lineal tiene ms de unasolucin que proporcione el valor ptimo de la funcin objetivo.

Regin no factible: Cuando la regin factible es vaca, es decir, cuando ningn punto puedecumplir con todas las condiciones o restricciones simultneamente.

Anlisis de sensibilidad: Estudia la forma en que los coeficientes del problema deprogramacin lineal afectan a la solucin ptima del problema.

Rango de optimalidad: El rango de los valores en el cual puede variar un coeficiente de lafuncin objetivo sin causar ninguna modificacin en los valores de las variables de decisin enla solucin ptima.

Precio Dual: La mejora en el valor de la solucin ptima por incremento unitario en el valor dellado derecho de una restriccin.

Rango de factibilidad:El rango de valores en el cual puede variar el lado derecho de unarestriccin y es aplicable el precio dual.

Costo reducido: Cantidad en que debe cambiar el coeficiente de esa variable en la funcinobjetivo para que tenga valor positivo para esa variable. Tambin es el valor que disminuye lafuncin objetivo cuando esta variable cuyo valor ptimo es cero, es forzada a entrar en unaunidad.


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Ciclo 2008 1 34

1.3 Solucin por computadora

Uso del LINDO

El mtodo grfico permite encontrar la solucin ptima en modelos con dosvariables. Para problemas de ms de dos variables existen procedimientos(algoritmos) que permiten encontrar la solucin. Sin embargo, gracias al avancede la tecnologa, hoy en da podemos acceder a programas aplicativos fciles deusar y que hacen que los esfuerzos se orienten principalmente al modelado desituaciones cada vez ms complejas y al anlisis de resultados, dejando elprocedimiento de resolucin al programa. En el mercado existen programascomo el LINDO, el WIN QSB, el Minitab, POM, etc. algunos de ellos conversiones de uso libre. Por su fcil acceso y su uso directo en la resolucin demodelos los problemas de la gua han sido resueltos mediante el WINQSB,adems el reporte de los resultados es similar al generado por otros programas.

Para mayores detalles de la sintaxis y uso de los comandos del WINQSB puedeconsultar una amplia variedad de libros que existen en la biblioteca y la propiaayuda de programa. En esta parte de la separata nos concentraremosdirectamente en el ingreso de modelo al programa y a la obtencin de resultados.

Para ingresar el modelo al programa, simplemente escribimos el modelo formalrespetando unas reglas sencillas de sintaxis. Tomemos como ejemplo el modelode la produccin de Enigma S.A . e ingresmoslo en la ventana principal delprograma de la siguiente manera:


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Ciclo 2008 1 35

Las reglas bsicas de sintaxis son:

La funcin objetivo va precedida del trmino MAX (para maximizar) o MIN(para minimizar).

Las restricciones van precedidas por cualquiera de las siguientesexpresiones:

SUBJECT TO

SUCH THAT

S.T.

ST

El final de las restricciones se indica con la palabra END.

Es indistinto ingresar las palabras mencionadas con maysculas ominsculas.

El nombre de las variables debe tener una extensin mxima de 8 caracteres.

El nombre de las variables debe comenzar con un carcter alfabtico.

El nombre de las variables no debe utilizar ninguno de los siguientescaracteres: ! ) + - = < >.

Las condiciones de no negatividad no se indican pues el LINDO las asumepor omisin.

Para que el reporte presente el modelo que se ha resuelto, active el comandoReports, Formulation, como se indica en la siguiente figura:


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Ciclo 2008 1 36

Para que el reporte con la solucin del modelo se presente, use el comando Solve o el icono indicado en la siguiente figura.

Al activar el comando Solve (o el icono correspondiente), el programa mostraruna pantalla como es presenta en la siguiente figura. Se debe indicar si se quiere

que adems de la solucin al modelo, el reporte muestre el anlisis desensibilidad.

IconoSolve


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Ciclo 2008 1 37

modelo

solucin

anlisis

desensibilidad

El reporte obtenido por el LINDO es el siguiente:

MAX 20 X1 + 15 X2SUBJECT TO

2) 0.5 X1 + 1.5 X2


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Ciclo 2008 1 38

Interpretacin de reportes de LINDO

En el reporte se ha incluido el modelo de programacin resuelto. Si bien estainclusin es opcional, es recomendable incluirla para que se tenga a la mano elmodelo resuelto.

MAX 20 X1 + 15 X2SUBJECT TO

2) 0.5 X1 + 1.5 X2


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Ciclo 2008 1 39

horas de Acabado, tambin la holgura es cero y por lo tanto, tambin es unarestriccin activa. La fila 5) corresponde al lote mnimo de produccin y elexcedente es 400 unidades y por lo tanto es una restriccin no activa. Como sepuede apreciar, los resultados coinciden con la solucin grfica.

Respecto a los precios duales, para la fila 2) si aumenta en una unidad el ladoderecho de la restriccin la utilidad no cambia porque el precio dual es cero. Esdecir, si a las 750 horas con que se cuenta para Corte le agregamos una hora, lautilidad no cambia. Esto es lgico porque si para la solucin ptima y el valorptimo hay horas sobrantes de Corte, agregar una hora ms no mejora lasolucin ptima ni el valor ptimo.

Para la fila 3), si aumentamos una hora adicional a las 600 ya disponibles, lautilidad aumenta en un monto equivalente al precio dual es decir $10.

Para la fila 4), si aumentamos una hora adicional a las 350 ya disponibles, lautilidad aumenta en un monto equivalente al precio dual es decir $20. Esteresultado confirma el que obtuviramos en el anlisis que hiciramos en lasolucin grfica (ver pgina 26)

Para la fila 5), si exigimos una unidad adicional a las 300 del lote mnimo, lautilidad no vara (el precio dual es cero) dado que se han producido 400unidades ms de las mnimas exigidas.

La siguiente parte del reporte muestra los coeficientes de las variables en lafuncin objetivo, en este caso las utilidades unitarias.

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASEX1 20.000000 10.000000 5.000000X2 15.000000 5.000000 5.000000

La utilidad actual de la cartera estndar es $20 y puede aumentar hasta en $10 puede reducirse hasta en $5 y la solucin ptima no variar, es decir, mientras lautilidad unitaria de la cartera estndar tenga un valor entre $15 y $30 (rango deoptimalidad) el plan ptimo de produccin ser X1 = 500; X2. = 200.Note que si bienla solucin ptima no vara, el valor ptimo s. Un anlisis similar se cumplepara la utilidad unitaria de la cartera de lujo, la utilidad actual es $15 y puedeaumentar como mximo hasta $5 y disminuir como mximo hasta $5 sin que lasolucin ptima cambie.

La ltima parte del reporte se refiere al lado derecho de las restricciones y losrangos de variacin en los que es vlido el valor del precio dual.

RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE2 750.000000 INFINITY 200.0000003 600.000000 100.000000 100.0000004 350.000000 40.000000 50.0000005 300.000000 400.000000 INFINITY


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Ciclo 2008 1 40

1.4 Aplicaciones especiales

Problema de transporte

El problema de transporte se presenta frecuentemente al planear la distribucinde bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro hacia variaslocalizaciones de demanda.

Caractersticas del modelo:

La cantidad de bienes disponibles en cada localizacin de suministro(origen) es limitada.

La cantidad de bienes necesarios en cada una de las localizaciones dedemanda (destino) es conocida.

El objetivo generalmente es minimizar costos de traslado de los bienes desde

los orgenes hasta los destinos.Para mostrar el modelo que resuelve el problema de transporte tomemos lasiguiente situacin: Enigma S.A. tiene cuatro centros de distribucin deproductos marinos en Lima y estn ubicadas en Ate, Barranco, Comas yMagdalena. Los productos que distribuye los acopia de los terminales pesquerosde Ventanilla, San Juan de Miraflores y La Victoria. La demanda diariasolicitada por cada centro de distribucin (en Kg.) son los siguientes:

Centro de dist ribucin Cantidad (Kg.) Ate 400Barranco 900Comas 200

Magdalena 500

La cantidad de productos marinos que puede disponer cada terminal pesquero esla mostrada en la siguiente tabla:

Terminal Pesquero Cantidad (Kg.)Ventanilla 500San Juan de Miraflores 700La Victoria 800

El costo por transporte de cada kilogramo de producto marino desde uno de losterminales pesqueros a un centro de distribucin (en soles) es el siguiente:

Terminal Pesquero Centro de distr ibucin Ate Barranco Comas Magdalena

Ventanilla 1,20 1,30 0,40 0,60San Juan de Miraflores 0,50 0,40 1,00 1,10La Victoria 1,00 0,90 1,20 0,40

Se debe decidir cuntos kilogramos debe destinar de cada terminal pesquero acada centro de distribucin de manera que se minimice el costo de transporte.


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Ciclo 2008 1 42

Resolviendo el problema usando el programa LINDO se tiene el siguientereporte:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1200.000

VARIABLE VALUE REDUCED COSTX11 0.000000 0.000000X12 0.000000 0.200000X13 200.000000 0.000000X14 300.000000 0.000000X21 0.000000 0.100000X22 700.000000 0.000000X23 0.000000 1.300000X24 0.000000 1.200000X31 400.000000 0.000000X32 200.000000 0.000000X33 0.000000 1.000000X34 200.000000 0.000000

De acuerdo al reporte la solucin es:

X13: 200 Kg. transportados de Ventanilla a ComasX14: 300 Kg. transportados de Ventanilla a MagdalenaX22: 700 Kg. transportados de San Juan de Miraflores a BarrancoX31: 400 Kg. transportados de La Victoria a AteX32: 200 Kg. transportados de La Victoria a BarrancoX34: 200 Kg. transportados de La Victoria a Magdalena

El costo total del transporte propuesto es de S/. 1200Diagrama de red con la solucin:

2San Juan de

Miraflores

1Ventanilla

3

La Victoria

1Ate

2Barranco

3Comas

4Magdalena

400

900

200

500

500

700

800

200300

700

400200

200

Unidadestransportadas

2San Juan de

Miraflores

1Ventanilla

3

La Victoria

1Ate

2Barranco

3Comas

4Magdalena

400

900

200

500

500

700

800

200300

700

400200

200

Unidadestransportadas


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Ciclo 2008 1 43

Variantes del modelo:

Oferta o suministro total es mayor a la demanda total. Oferta o suministro total es menor a la demanda total.

Maximizacin e la funcin objetivo. Rutas con capacidad limitada. Rutas no aceptables.

Problema de asignacin

El problema de asignacin consiste en asignar un elemento (persona, mquina,contrato, etc.) a un destino (territorio, trabajo, limitante, etc.)


El nmero de elementos y el nmero de destinos son iguales. Un elemento es asignado a un solo destino. El objetivo es minimizar costos. Todas las asignaciones son posibles. Es un caso especial del problema de transporte donde Xij es igual a 1 si el

elemento i es asignado al destino j y 0 si no es asignado.

Para mostrar el modelo de resolucin del problema de asignacin tomemos elsiguiente ejemplo:

La gerencia de Enigma S.A . quiere asignar a tres ejecutivos para que visiten e

inspeccionen las tres plantas con que cuenta la empresa en provincias.Los costos de asignacin (en soles) de cada ejecutivo a cada planta sonmostrados en el siguiente cuadro:

Ejecutivo PlantaTacna Hunuco Cusco

Finanzas 24 10 21Mercadeo 14 22 10Operaciones 15 17 20

Encuentre la solucin ptima de asignacin de los ejecutivos a cada planta de Enigma S.A. de tal manera que se minimice el costo.

Diagrama de red:

De una manera similar al caso de transporte, el diagrama de red en el problemade asignacin muestra las unidades a asignar y los de destinos y estnrepresentados por crculos conectados con una lnea que indica la asignacin. Allado de cada crculo se indica 1 que es la nica asignacin del modelo y sobrelas lneas se indican los respectivos costos de la asignacin.


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Ciclo 2008 1 44

Variables:

=casoelesesernode0

jclientealasignaseiejecutivoelsi1ijX

donde: i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3

Modelo:

Min 24 X11 + 10 X12 + 21 X13 + 14 X21 + 22 X22 + 10 X23 + 15 X31 + 17 X32 + 20 X33

Sujeto a:X11 + X12 + X13 1 (Asignacin de ejecutivo de Finanzas)X21 + X22 + X23 1 (Asignacin de ejecutivo de Mercadeo)X31 + X32 + X33 1 (Asignacin de ejecutivo de Operaciones)X11 + X21 + X31 = 1 (Cliente 1)X12 + X22 + X32 = 1 (Cliente 2)X13 + X23 + X33 = 1 (Cliente 3)Xij 0 para i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3

Resolviendo el problema usando el programa LINDO tenemos:

2Mercadeo

1Finanzas

3Operaciones

Tacna1

Hunuco2

Cusco3

1

1

1

1

1

1

24

10

21

14

22

10

1517

20

Ofertas Asignaciones posibles(arcos)

Demandas

Ejecutivos(nodos de origen)

Clientes(nodos de destino)

Costo de asignacin

2Mercadeo

1Finanzas

3Operaciones

Tacna1

Hunuco2

Cusco3

1

1

1

1

1

1

24

10

21

14

22

10

1517

20

2Mercadeo

1Finanzas

3Operaciones

Tacna1

Hunuco2

Cusco3

1

1

1

1

1

1

24

10

21

14

22

10

1517

20

Ofertas Asignaciones posibles(arcos)

Demandas

Ejecutivos(nodos de origen)

Clientes(nodos de destino)

Costo de asignacin


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Ciclo 2008 1 45


1) 35.00

VARIABLE VALUE REDUCED COSTX11 0.00 9.00

X12 1.00 0.00X13 0.00 10.00X21 0.00 0.00X22 0.00 13.00X23 1.00 0.00X31 1.00 0.00X32 0.00 7.00X33 0.00 9.00

Los resultados se interpretan de la siguiente manera: Ejecutivo de Finanzas asignado a Hunuco (X12 = 1) Ejecutivo de Mercadeo asignado a Cusco (X23 = 1) Ejecutivo de Operaciones asignado a Tacna (X31 = 1)

El costo total de asignar los ejecutivos a las diferentes plantas es de S/. 35.

Diagrama de red con la solucin:

Variantes del modelo:

Nmero de elementos que se van a asignar es mayor al nmero de destinos. Nmero de elementos que se van a asignar es menor al nmero de destinos. Hay un problema de maximizacin. Se dan asignaciones inaceptables. Un elemento puede ser asignado a ms de un destino.

2Mercadeo

1Finanzas

3Operaciones

Tacna1

Hunuco2

Cusco3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2Mercadeo

1Finanzas

3Operaciones

Tacna1

Hunuco2

Cusco3

1

1

1

1

1

1

1

1

1


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Ciclo 2008 1 46

Problema de trasbordo

El problema de trasbordo es una extensin del modelo de transporte, al cual seagregan nodos intermedios denominados nodos de trasbordo.


La oferta disponible es limitada. En cada destino, la demanda est especificada. El objetivo generalmente es minimizar costos de traslado de los bienes desde

los orgenes hasta los destinos.

Para mostrar el problema de trasbordo, desarrollemos el siguiente ejemplo: Enigma S.A. tiene plantas de produccin en Lima y Tacna. Los productosfabricados en cualquiera de estas instalaciones pueden ser enviados a cualquierade sus almacenes regionales en Ica y Arequipa. De los almacenes regionales, laempresa distribuye a detallistas al menudeo en Ayacucho, Huancayo, Cusco yHunuco. En las siguientes tablas aparece el costo unitario de transporte de cadaruta de distribucin.

Planta Almacn Cantidad ofrecidaIca Arequipa

Lima 2 3 600Tacna 3 1 400

Almacn Distribuidor al detalle Ayacucho Huancayo Cusco Hunuco

Ica 2 6 3 6 Arequipa 4 4 6 5Cantidad demandada 200 150 350 300

Se debe determinar cuntos productos deben ser trasladados por cada rutpropuesta de tal manera que se cumpla con la cantidad demandada por cadadistribuidor al menor costo posible.

Diagrama de red:

Como es un caso de transporte, el diagrama de red en el problema de trasbordomuestra las unidades a transportar. Los lugares de origen trasbordo y los dedestinos estn representados por crculos conectados con una lnea que indica laruta. Al lado de cada crculo de origen y destino se indica la cantidad deunidades ofrecidas y demandadas sobre las lneas se indican los respectivoscostos de la transporte. La numeracin de los nodos se hace de maneraconsecutiva dado que los nodos de trasbordo son tanto origen como destino derutas.


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Ciclo 2008 1 47

Variables:

Xij: nmero de unidades transportadas del suministro i al destino j

Modelo:

Min 2 X13 + 3 X14 + 3 X23 + 1 X24 + 2 X35 + 6 X36 + 3 X37 + 6 X38 + 4 X45 + 4 X46 + 6 X47 + 5 X48

Sujeto a:X13 + X14 600 (suministro de Lima)X23 + X24 400 (suministro de Tacna)- X13 - X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0 (transbordo en Ica)- X14 - X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0 (transbordo en Arequipa)X35 + X45 = 200 (demanda de Ayacucho)X36 + X46 = 150 (demanda de Huancayo)X37 + X47 = 350 (demanda de Cusco)X38 + X48 = 300 (demanda de Huanuco)Xij 0 para todos los i, j

Resolviendo el problema usando el programa LINDO tenemos:

Distribuidores al menudeo(nodos destino)

1Lima

3Ica

4Arequipa

5Ayacucho

6Huancayo

7Cusco

8Hunuco

200

150

350

300

600

2

6

36

4

46

5

2Tacna400

2

3

3

1

Suministros Rutas de distribucin(arcos)

Demanda

Plantas(nodos origen)

Almacenes(nodos tranbordo)

Costo unitariode transporte

Distribuidores al menudeo(nodos destino)

1Lima

3Ica

4Arequipa

5Ayacucho

6Huancayo

7Cusco

8Hunuco

200

150

350

300

600

2

6

36

4

46

5

2Tacna400

2

3

3

1

Suministros Rutas de distribucin(arcos)

Demanda

Plantas(nodos origen)

Almacenes(nodos tranbordo)

Costo unitariode transporte


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Ciclo 2008 1 48


1) 5200.000

VARIABLE VALUE REDUCED COSTX13 550.00 0.00

X14 50.00 0.00X23 0.00 3.00X24 400.00 0.00X35 200.00 0.00X36 0.00 1.00X37 350.00 0.00X38 0.00 0.00X45 0.00 3.00X46 150.00 0.00X47 0.00 4.00X48 300.00 0.00

Los valores de las variables representan la cantidad de productos que serntransportados siguiendo la respectiva ruta.

X13: 550 unidades transportadas de Lima a IcaX14: 50 unidades transportadas de Lima a ArequipaX24: 400 unidades transportadas de Tacna a ArequipaX35: 200 unidades transportadas de Ica a AyacuchoX37: 350 unidades transportadas de Ica a CuscoX46: 150 unidades transportadas de Arequipa a HuancayoX48: 300 unidades transportadas de Arequipa a Hunuco

El costo total de la operacin es de S/. 5 200

Diagrama de red con la solucin:

1Lima

3Ica

4Arequipa

5Ayacucho

6Huancayo

7Cusco

8Hunuco

200

150

350

300

600

200

350

150

300

2Tacna400

550

50

400

1Lima

3Ica

4Arequipa

5Ayacucho

6Huancayo

7Cusco

8Hunuco

200

150

350

300

600

200

350

150

300

2Tacna400

550

50

400


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Ciclo 2008 1 50

AccinPrecio

por accin(US$)

Rendimiento anualestimado por accin

(US$)

Inversinmximaposible

Blue chip 50 6 50 000Best 30 4 45 000Regular 35 5 30 000

Formule un modelo de programacin lineal para el problema de inversin si elcliente desea maximizar el rendimiento anual total.

3. La Cmara de Comercio patrocina peridicamente programas educativos. Enestos momentos se estn elaborando los planes promocionales para losprogramas del presente ao. Las alternativas de publicidad incluyen anuncios entelevisin, radio y peridicos. A continuacin se muestran las estimaciones deaudiencia, los costos y las limitaciones sobre el uso mximo de los medios son:

MedioTelevisin Radio Peridico

Audiencia por anuncio 100 000 18 000 40 000Costo por anuncio (en nuevos soles) 2 000 300 600Uso mximo del medio (nmeros de avisos) 10 20 10

Para asegurar una utilizacin equilibrada de los medios publicitarios, losanuncios por radio no deben rebasar el 50% del nmero total de anuncios que seautoricen. Adems, se requiere que el nmero de avisos en televisin constituyacuando menos el 10% del nmero total de anuncios autorizados.

Si el presupuesto disponible para el ao es de S/. 20 000, presente un modelo deprogramacin lineal que maximice la audiencia obtenida por los avisos en losmedios.

4. Cannes S. A. proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Unacaracterstica particular en Cannes S. A. es la calidad del cuidado que reciben lasmascotas, incluyendo una excelente alimentacin. La comida para perros de laperrera se elabora mezclando dos alimentos de marca para perros a fin deobtener lo que la perrera identifica como una dieta para perros balanceada:Los datos para las dos comidas para perros son las siguientes:

Comida para perros Costo por onza Protenas (%) Grasa (%)Guau 0,06 30 15

Sniff 0,05 20 30

El gerente desea asegurarse de que los perros reciben por lo menos 5 onzas deprotenas y como mnimo 3 onzas de grasas cada da y quiere hacerlo al menorcosto. De acuerdo a lo planteado formule el modelo de programacin lineal.


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Ciclo 2008 1 51

5. Sport S.A. fabrica raquetas desde tamao normal y grande. Las raquetas de laempresa son extremadamente ligeras debido al uso de una aleacin especial demagnesio y grafito. Cada raqueta de tamao normal utiliza 0,125 Kg. de aleacin especial y cada

raqueta grande utiliza 0,4 Kg. de aleacin especial. Para el siguiente periodo de produccin de dos semanas slo hay disponible

80 Kg. de aleacin especial. Cada raqueta de tamao normal ocupa 10 minutos de tiempo de fabricacin

y cada raqueta tamao grande utiliza 12 minutos. Las contribuciones a la utilidad son de $10 por cada raqueta normal y $15

por cada raqueta grande y estn disponibles 40 horas de tiempo deproduccin por semana.

La administracin ha especificado que por lo menos 20% de la produccintotal debe ser de la raqueta de tamao estndar.

Suponiendo que debido a la naturaleza nica de los productos, la empresavender todas las raquetas que puede producir, se pide que desarrolle el modelode programacin lineal que maximice la contribucin a la utilidad las dossiguientes semanas.

6. Aerolneas S.A. est considerando la posibilidad de adquirir aviones comercialesen el mercado mundial a USA, Inglaterra o Rusia. El costo del avin USA es deUS$ 6,7 millones, el avin de Inglaterra es de US$ 5 millones y el avin deRusia de US$ 3, 5 millones. El directorio de dicha empresa ha autorizado lacompra de aviones por un valor mximo de US$ 150 millones.Los economistas de Aerolneas S.A . han calculado que el avin de USAproporcionar una utilidad neta de US$ 420 000 anuales, el avin de Inglaterraproporcionar una utilidad neta de US$ 300 000 y el avin de Rusia una utilidadde US$ 230 000.Por otro lado se conoce que se dispone slo de 30 pilotos debidamenteentrenados para pilotear dichos aviones.Si slo se adquiriesen los aviones de Rusia, que son los ms pequeos y simples,los servicios de reparacin y mantenimiento con que cuenta Aerolneas S.A. podran atender un mximo de 40 unidades. Adems se sabe que reparar ymantener un avin de Inglaterra demanda 4/3 veces los recursos que requiere unavin de Rusia y que reparar y mantener el avin de USA requiere 5/3 veces losrecursos que requiere el avin de Rusia. Formule el modelo de programacinlineal que maximice la utilidad de Aerolneas S.A.

7. Un granjero puede criar ovejas, cerdos y vacas. Tiene espacio para 30 ovejas 50 cerdos 20 vacas, aunque, siempre que el espacio lo permita, pueden estar en

l combinaciones de estos tres tipos de animales. Las utilidades dadas poranimal son 500, 400 y 1000 soles para ovejas, cerdos y vacas respectivamente.El granjero desea criar al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas.

Formule un modelo de programacin lineal que le ayude al granjero adeterminar el nmero de ovejas, cerdos y vacas que debe criar.


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Ciclo 2008 1 53

10. El gerente de programacin del Canal M desea determinar la mejor forma de

asignar el tiempo para la difusin de las noticias en el horario de 11 h a 11:30 h.Especficamente le gustara determinar el nmero de minutos de tiempo dedifusin dedicado a las noticias locales, noticias nacionales, el clima y los

deportes. A lo largo de los 30 minutos de difusin, se reservan 10 minutos para

publicidad. La poltica de difusin de la estacin indica que por lo menos 15% del

tiempo disponible deber dedicarse a cobertura de noticias locales. El tiempo dedicado a noticias locales y nacionales deber ser por lo menos el

50% del tiempo total de difusin. El tiempo dedicado al segmento del clima deber ser inferior o igual al

tiempo dedicado a deportes. El tiempo dedicado al segmento de deportes no deber ser superior al tiempo

dedicado a noticias locales y nacionales. Por lo menos 20% del tiempo disponible deber dedicarse al segmento del

clima.Si los costos de produccin por minuto son S/. 300 para noticias locales, S/. 200para noticias nacionales, S/. 100 para el clima y S/. 100 para deportes, formule elmodelo de programacin lineal que permita obtener una programacin usandode manera ptima los recursos disponibles.

11. Cierta persona requiere por razones de salud como mnimo una cantidad diariade 6 000 unidades de carbohidratos, 4 000 unidades de protenas y 3 500unidades de grasas. Los carbohidratos, protenas y grasas se encuentranprincipalmente en dos alimentos diferentes A y B. La cantidad de cada uno deestos nutrientes presentes en los dos alimentos por cada 100 gramos de cadaalimento y los requerimientos mnimos diarios se muestran en la siguiente tabla:

Nutriente A B Requerimiento diario mnimoCarbohidratos 500 200 6 000Protenas 300 200 4 000Grasas 500 100 3 500

Si se sabe que el costo de 100 g. del alimento A es S/. 1,50 y el costo de 100 g.del alimento B es S/. 0,60. Desarrolle el modelo de programacin lineal queobtenga la mezcla de ambos alimentos y pueda cumplir la dieta al menor costo.

12. TACO S. A. produce dos lneas de equipo pesado. Una de estas lneas deproductos se destina esencialmente a aplicaciones de construccin (E). La otralnea est destinada a la industria maderera (F). Los equipos se producen en losmismos departamentos y con las mismas mquinas y personal. Haciendo uso delas predicciones econmicas para el prximo mes, el gerente de mercadotecniade TACO S. A. juzga que durante ese periodo ser posible vender todos equiposE y F que la empresa pueda producir. La administracin debe ahora recomendaruna meta de produccin para el prximo mes, es decir, cuntos equipos E y Fdeben producirse para maximizar la utilidad?


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Ciclo 2008 1 54

En la toma de decisiones, los principales factores a considerar son los siguientes:

TACO S. A. tendr una utilidad de $5 000 por cada equipo E y $4 000 porcada equipo F.

Cada producto para su fabricacin pasa tanto por el departamento A comopor el departamento B.

Para la produccin del prximo mes, estos departamentos tienen disponibles150 y 160 horas respectivamente. Cada E consume 10 horas de operacinmecnica en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientrasque cada F consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en eldepartamento B.

Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horasde trabajo que se dedicarn a la verificacin de los productos terminados delprximo mes no puede ser menor en 10% a una meta establecida de 150horas. Esta verificacin se realiza en un tercer departamento que no tienerelacin con los departamentos A y B. Cada E requiere 30 horas decomprobacin y cada F requiere de 10 horas.

Con el objeto de mantener su posicin actual en el mercado, la alta gerenciaha definido que para la poltica de operacin es necesario construir al menosun F por cada 3 Es.

Un cliente importante ha ordenado un total de por lo menos cinco equipos(en cualquier combinacin de E y F ) para el prximo mes, as que por lomenos debe producirse dicha cantidad.

Formule el modelo de programacin lineal del problema.

13. Una compaa puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones deradio y televisin locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $ 10000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $ 10 y cada minuto depublicidad en televisin cuesta $ 200. La compaa deseara utilizar la radiocuando menos dos veces ms que la televisin. La experiencia pasada muestraque cada minuto de publicidad por televisin generar en trminos generales 25veces ms ventas que cada minuto de publicidad por la radio.Formule el modelo de programacin para determinar el nmero de anuncios porradio y televisin para maximizar las ventas.

14. Un nuevo producto puede ser obtenido mezclando insumos de cuatroproveedores diferentes. Los anlisis han demostrado que para producir el nuevo

producto con las cualidades adecuadas mnimas se debe contar con treselementos bsicos que para abreviar designaremos A, B y C. En particular, cadatonelada del producto debe contener por lo menos 5 Kg. del el elemento A, porlo menos 100 Kg. del elemento B y al menos 30 Kg. del elemento C. El insumode cada uno de los cuatro proveedores contienen los tres elementos bsicos, peroen diferentes proporciones. La composicin, en kilogramos, de cada elementobsico por tonelada de insumo es:

Elemento Insumo del proveedor


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bsico 1 2 3 4 A 10 3 8 2B 90 150 75 175C 45 25 20 37

Los costos en dlares por tonelada de insumo de cada uno de los proveedores semuestran en la siguiente tabla:

Insumo del proveedor1 2 3 4

Costo de una tonelada ($) 800 400 600 500

Se pide encontrar el modelo de programacin lineal de las proporciones (ocantidades) de insumo de cada proveedor que permita obtener una tonelada delnuevo producto que cumpla los requisitos antes mencionados al menor costoposible.

15. La Unin de Crdito para Empleados en la Universidad Estatal est planeandola asignacin de fondos para el prximo ao. La unin de crdito hace cuatrotipos de prstamos a sus miembros; adems, invierte sus excedentes de efectivoen valores sin riesgo para estabilizar sus ingresos. Las diversas inversionesposibles junto con sus respectivas tasas de inters anuales son las siguientes:

Tipo de prstamo o inversin Tasa de inters anual (%) Prstamos para compra de automviles 8Prstamos para mobiliario 10Otros prstamos garantizados 11Prstamos quirografarios 12Valores libres de riesgos 9

La Unin de Crdito dispondr de S/.2 000 000 para prstamos o inversionesdurante el prximo ao. Las leyes estatales y las polticas de la unin de crditoimponen las siguientes restricciones en la composicin de los prstamos einversiones.

Los valores libres de riesgos no pueden exceder el 30% de los fondos totalesdisponibles para inversin.

Los prstamos quirografarios no pueden exceder el 10% de los fondosinvertidos en todos los prstamos.

Los prstamos para mobiliario ms otros prstamos garantizados no puedenexceder los prstamos para compra de automviles.

Otros prstamos garantizados ms los prstamos quirografarios no puedenexceder los fondos invertidos en valores sin riesgos.

Formule un modelo matemtico de programacin lineal con la finalidad dedeterminar cmo se asignaran los S/.2 000 000 a cada una de las alternativasde prstamo o inversin para maximizar el rendimiento anual total?


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16. Enigma Trucks ha decidido entrar al mercado de vehculos recreativos con la Dunamis , una especie de motocicleta con tres llantas extra-grandes. Dado que setrata de una nueva lnea de productos se plantea una campaa de publicidadbastante intensa durante el mes de introduccin a la cual se le asign unpresupuesto de $ 72 000 para ejecutarla.

Enigma Trucks decidi usar la radio durante la maana, la televisin en la tardey los peridicos durante toda la campaa. La agencia de publicidad de Enigma proporciona los datos relativos al costo de los anuncios en cada uno de losmedios y el nmero de unidades de compra que sern logrados mediante dichosanuncios de acuerdo a la siguiente tabla:

Medio depublicidad

Nmero de unidades decompra alcanzados por anuncio

Costo por anuncio($)

Radio en la maana 30 000 1 700TV en la tarde 60 000 2 800

Peridicos 45 000 1 200

La efectividad de un anuncio se mide en unidades de exposicin en una escalade 0 a 100 para cada anuncio exhibido. Tambin se sabe que la eficacia delanuncio disminuye con el nmero de exposiciones en un medio durante untiempo especfico. La siguiente tabla muestra el nmero de exposiciones poranuncio y su variacin de acuerdo al medio usado y a la cantidad de avisosutilizados en el mismo medio.

Medio de publicidad Primeros 10 anuncios Todos los anuncios siguientesRadio en la maana 60 40

TV en la tarde 80 55Peridicos 70 35

Adems se quiere asegurar que la campaa de publicidad satisfar ciertoscriterios que se consideran importantes. En concreto: no debern aparecer msde 25 anuncios en un solo medio; se deber alcanzar un total de por lo menos 1800 000 unidades de compra a travs de todos los medios y al menos una cuartaparte de los anuncios aparecern en la TV en la tarde.

Obtenga el modelo de programacin lineal que permita maximizar el total deunidades de exposicin.

17. Una compaa de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que

compiten por un presupuesto de inversin mximo de $ 1 500 000. En lasiguiente tabla se muestra la inversin neta y los rendimientos estimados de cadaproyecto. A cada proyecto se le puede asignar fondos a cualquier nivelfraccional menor o igual al 100%. La compaa requiere una rendimientomnimo del 25% y desea minimizar el riesgo. Suponga que el riesgo es aditivo,por ejemplo, el riesgo de asignar fondos para aceites al 20% y para oficinas al50% ser (0,2).(9) + (0,5).(4) = 3,8.

Proyecto Inversin Rendimiento neto RiesgoCentros comerciales 550 000 170 000 6


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Aceite 400 000 500 000 9Edificios de oficinas 450 000 100 000 4Edificios Mivivienda 500 000 100 000 2

Elabore el modelo de programacin lineal correspondiente.

18. Una planta puede manufacturar cinco productos diferentes en cualquiercombinacin. Cada producto requiere de cada una de las tres mq

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